Metodo simplex dual

El método simplex dual resulta ser una estrategia algorítmica eficiente cuando luego de llevar un modelo de programación lineal a su forma estándar, la aplicación del método simplex no es inmediata o más bien compleja, por ejemplo, puede requerir la utilización del método simplex de 2 fases.

METODO SIMPLEX DUAL MSD Ingenieros: Alexander Hernández Sergio Buitrago Vladimir Leal Henderson Bautista

DDEFINICION

El método simplex dual resulta ser una estrategia algorítmica eficiente cuando luego de llevar un modelo de programación lineal a su forma estándar, la aplicación del método simplex no es inmediata o más bien compleja, por ejemplo, puede requerir la utilización del método simplex de 2 fases.

Una aplicación típica del método simplex dual es en la resolución de problemas con una función objetivo de minimización, con restricciones del tipo mayor o igual y donde las variables de decisión son mayores o iguales a cero.

Citado de: http://www.investigaciondeoperaci ones.net/metodo_simplex_dual.htm l

PROCEDIMIENTO PARA SOLUCIONAR Considere el siguiente modelo de Programación Lineal método Simplex Dual:

Paso 1: Se lleva el modelo a su forma estándar. En nuestro ejemplo esto se logra agregando variables de exceso en cada una de las restricciones (3 primeras: S1, S2, S3, respectivamente).

Luego, se multiplica cada fila de las restricciones por -1 de modo de disponer una solución básica inicial (infactible) en las variables de exceso S1, S2 y S3. De esta forma se obtiene la siguiente tabla inicial.

A

B

C

S1

S2

S3

-15

-2

-1

1

0

0

-200

-7,5

-3

-1

0

1

0

-150

-5

-2

-1

0

0

1

-120

315

110

50

0

0

0

0

Paso 2: Se selecciona el lado derecho "más negativo" lo cual indicará cuál de las actuales variables básicas deberá abandonar la base. En el ejemplo el lado derecho más negativo se encuentra en la primera fila, por tanto, S1 deja la base. Para determinar cuál de las actuales variables no básicas (A, B, C) entrará a la base se busca el mínimo de {-Yj/aij} donde aij es el coeficiente de la respectiva variable no básica en la fija i (del lado derecho más negativo, marcado en verde) y donde Yj es el costo reducido de la respectiva variable no básica. De esta forma se obtiene: Min {-315/15, -110/-2, -50/-1} = 21, donde el pivote (marcado en rojo) se encuentra al hacer el primer cociente, por tanto, A entra a la base.

Paso 3: Se actualiza la tabla anterior siguiendo un procedimiento similar al utilizado en el Método Simplex. En el ejemplo se debe dejar a la variable A como básica y S1 como no básica. La tabla que resulta es la siguiente:

A

B

C

S1

S2

S3

1

2/15

1/15

-1/15

0

0

40/3

0

-2

-1/2

-1/2

1

0

-50

0

-4/3

-2/3

-1/3

0

1

-160/3

0

68

29

21

0

0

-4.200

Paso 4: Continuar las iteraciones y siguiendo el mismo procedimiento hasta disponer de una solución básica factible. Luego de unas iteraciones se obtiene la siguiente tabla final:

[TÍTULO DE LA BARRA LATERAL] A

B

C

S1

S2

S3

1

0

0

1/10

0

1/10

8

0

1

0

1/4

-1

3/4

10

0

0

1

0

2

-3

60

0

0

0

4

10

36

6.620

La solución óptima es A=8, B=10, C=60 (marcado en verde) con valor óptimo V(P)=6.620 (marcado en rojo - se obtiene con signo cambiado).

También es interesante notar que los costos reducidos de las variables artificiales S1, S2 y S3 (marcado en amarillo), corresponde a la solución óptima del modelo presentado en el tutorial de solver, esto dado que dicho modelo resulta ser el problema dual de nuestro ejemplo.

Citado de: http://www.investigaciondeoperaciones.net/metodo_s implex_dual.html

MÉTODO SIMPLEX El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.

El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución.

Citado de: http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingenieroindustrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/

HISTORIA El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975.

Citado de: http://myslide.es/documents/historia-del-metodo-simplex.html

METODO PROGRAMACION LINEAL

DEFINICION

La programación lineal es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de inecuaciones también lineales. Los métodos más recurridos para resolver problemas de programación lineal son algoritmos de pivote, en particular los algoritmos simplex.

HISTORIA

El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático de origen ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cual demostró que el problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo polinomial.2 Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área.

Citado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal

APLICABILIDAD

La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución.

Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal.

Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción.

Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc.

Otros son:   

Optimización de la combinación de cifras comerciales en una red lineal de distribución de agua.

Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia.

Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas; 

Solución de problemas de transporte.

Citado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal

APLICABILIDAD METODO SIMPLEX Y SIMPLEX DUAL

El software para aplicar los METODO SIMPLEX , METODO SIMPLEX DUAL normalmente es Excel, PHPSimplex ya que hoy en día puede aplicarse con eficiencia dar diversidad de paquetes de software que facilitan el proceso de cálculo. Es aplicable a problemas de PL multidimensionales. Tiene como base el álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss – Jordán.

Es un proceso de búsqueda que se vuelve sorprendentemente eficiente para solucionar problemas muy grandes.

Citado de: http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-elingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-deoperaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-solver/ http://www.phpsimplex.com/

AUTOR

GEORGE BERNARD DANZIG (1914 - 2005) El hombre en su camino al conocimiento en el afán de saber el porqué de las cosas el resolver sus incógnitas guiando con la observación y análisis en sus investigaciones, desarrollo en el siglo XVII el método científico que consiste en la observación sistemática, medición, experimentación, la formulación, análisis y modificación de las hipótesis, desde este momento el hombre creo una estructura o serie de procedimientos que ayudarían a resolver sus problemas, pero a medida que fue pasando el tiempo fue evolucionando el hombre y a su vez problemas.

En 1947 por primera vez propuso el METODO SIMPLEX para resolver un problema de programación lineal. Trabajo en RAND corporación de ordenadores donde comenzó a implementar la programación lineal, enseño ciencias de la computación. Otro de sus grandes logros es la teoría de la dualidad, ideado conjuntamente con Fulkerson y Johnson en 1954 para resolver el paradigmático problema del Agente Viajero que consistía de 49 ciudades y que hoy en día con ese método y ayuda de la tecnología se resuelven problemas para miles de ciudades.

El primer problema práctico resuelto con este nuevo método fue el problema de nutrición que había planteado George Joseph Tiger a finales de la década anterior, debido al interés del ejército americano por encontrar una dieta equilibrada para alimentar a sus tropas, que cumpliera con unos requisitos mínimos de nutrición y fuese económica. El problema, que constaba de 9 ecuaciones y 77 incógnitas, fue resuelto manualmente tras 120 días de trabajo. Se demostró que el resultado obtenido apenas difería unos céntimos de la solución hallada anteriormente mediante métodos heurísticos, resultando el nuevo método Simplex todo un éxito.

Citado de:

https://es.wikipedia.org/wiki/George_Dantzig

EJEMPLO 1 Una compañía produce y vende 2 tipos de máquinas de escribir: manual y eléctrica. Cada máquina de escribir manual es vendida por un ingreso de 40 dls. y cada máquina de escribir eléctrica produce un ingreso de 60 dls. Ambas máquinas tienen que ser procesadas (ensambladas y empacadas) a través de 2 operaciones diferentes (O1 y O2).

La compañía tiene una capacidad de 2000 hrs. Mensuales para la operación O1 y 1000 hrs.

Mensuales de la operación O2.

El número de horas requeridas de O1 y O2 para producir un modelo terminado se da en la siguiente tabla:

OPERACIÓN O1 O2

HORAS

REQUERIDAS

CAPACIDAD

MANUAL 3 1

ELECTRICA 2 2

(HRS MENSUALES) 2000 1000

Encuentre el número óptimo de unidades de cada tipo de máquina de escribir que se debe producir mensualmente para maximizar el ingreso.

OBJETIVO: Maximizar el ingreso total RESTRICCIONES: horas mensuales de las operaciones VARIABLE DE DECISION: número de máquinas de escribir a producir X1 = número de máquinas de escribir manuales X2 = número de máquinas de escribir eléctricas Maximizar Sujeto a:

V. Básica

Z

W1

W2

S1

S2

Solución

Z

1

0

0

5

25

35000

S1

0

1

0

1/ 2

-1/2

500

W1

0

0

1

-1/ 4

3/ 4

250

EJEMPLO 2 Considere el siguiente modelo de PL y determine su solución por el método dual-simplex.

Minimizar. Z= 2X1 + X2 S.A. 3X1 +X2 3 4X! +3X2 6 X! +2X2 X1 0 ,

#3

X2 0 X 3 0

Igualando a cero la funciรณn objetivo y agregando las variables de holgura para obtener ecuaciones de restricciรณn.

Minimizar. Z-2X1 - X2 = 0 S.A. -3X1 -X2 +X3 =-3 -4X! -3X2 +X4 =-6 X! +2X2 X5 = 3 X1 0 ,

X2 0 X3 0

Obteniendo la forma tabular para aplicar el procedimiento del dual-simplex.

Conclusiรณn.

La soluciรณn รณptima es: X1 = 3/5 X2= 6/5 Con Zoptima = 12/5

EJEMPLO 3 Considere el siguiente modelo de PL y determine su solución por el método dual-simplex.

Maximizar. Z= -4X1 -12 X2 -18 X3 S.A. X1 +3X3 3 +2X2 +2X3 5 X1 0 ,

X2 0 X3 0

Igualando a cero la función objetivo y agregando las variables de holgura para obtener ecuaciones de restricción.

Minimizar. Z+4X1 +12 X2 +18 X3= 0 S.A. -X1 -3X3 +X4 =-3 -.2X2 -2 X3 X5 =-5

X1 0 ,

X2 0 X3 0

Obteniendo la forma tabular para aplicar el procedimiento del dual-simplex.

Conclusión.

La solución óptima es: X2 = 3/2 X3= 1 Con Zoptima = -36

EJEMPLO 4

MIN Z = 2X1 + X2 3X1 + X2 ³ 3

4X1 + 3X2 ³ 6 X1 + 2X2 ³ 3 X1, X2 ³ 0

1ER PASO: PONEMOS LAS RESTRICCIONES EN FORMA CANÓNICA

MIN Z = 2X1 + X2 -3X1 - X2 £ -3 -4X1 - 3X2 £ -6 - X1 - 2X2 £ -3 X1, X2 ³ 0

2º Paso: Agregamos holguras positivas

Min Z = 2X1 + X2 -3X1 - X2 + S1 = -3 -4X1 - 3X2 +S2 = -6 - X1 - 2X2 +S3 = -3 X1, X2 ³ 0

3er Paso: Igualamos a 0 la función objetivo Z - 2X1 - X2 = 0

Como tiene factibilidad dual se puede aplicar el método dual-simplex: -

Hacemos la primera iteración

Definimos la variable de salida, para ello tomamos el coeficiente más negativo de la columna de solución, esto es válido tanto para casos de Max como de Min. Puesto que tiene factibilidad dual, se puede aplicar el método dual-simplex.

-

Hacemos una segunda iteración