ČLÁNKY
krokem pak je ustavení výrazu pro délku oblouku nějaké křivky (tvrz. 2); následuje obsah roviny vymezené nějakou křivkou (tvrz. 3); dále povrchu zakřivené plochy nějakého tělesa (tvrz. 4); a konečně objemu tohoto tělesa (tvrz. 5). Na jejich základě pak Bolzano odvozuje větu pro výpočet povrchu a objemu kulové úseče. Na začátku tvrz. 2 uvažuje Bolzano prodloužení délky oblouku bm z m do n (obr. 4a), kde pq = i. „Neznámá funkce“ F(x), tj. délka oblouku bm, se tímto na základě rozvoje F(x+i) (až do druhého členu, kde� λ je „libovolný neznámý zlomek“) � promění . Odtud výraz � pro délku mn.100konečně plyne promění na na 𝐹𝐹�𝑥𝑥 � ��konečně � 𝐹𝐹�𝑥𝑥�plyne � �𝐹𝐹𝐹�𝑥𝑥� 𝐹𝐹𝐹𝐹�𝑥𝑥 oblouku � ���. Odtud výraz 𝐹𝐹�𝑥𝑥 � �� � 𝐹𝐹�𝑥𝑥� � �𝐹𝐹𝐹�𝑥𝑥� �
�� �
�
𝐹𝐹𝐹𝐹�𝑥𝑥 � ��� pro délku oblouku mn.100
Bolzanova odpověď
Obr. 4a101
Obr. 4b102
V rámci tvrz. 3, jak známo, Bolzano hledá „obsah roviny vymezené křivou čarou a pravoúhlými souřadnicemi“.103 Uvažuje tedy obdobně jako u předchozího tvrzení F(x) = bpm; prostřednictvím vzrůstu ap = x do pq = i pak (obr. 4b) plyne �� mpqn=F(x+i)-F(x)=iF‘x+i^2/2 F‘‘(x+λi). axiomu, jejž ���� � 𝐹𝐹�𝑥𝑥 � �� � 𝐹𝐹�𝑥𝑥� � �𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥 � 𝐹𝐹𝐹𝐹�𝑥𝑥„Na � ���. základě „Na základě axiomu, jejž � vzal (a dokonce již Eukleidés)“ Eukleidés)“ ���� mpqo <�mpqn < nqpu, od vzal za za svůj svůj Archimédes Archimédes (a dokonce již ���� � ����, kud za předpokladu, že mpqo = ifx a zároveň nqpu = if(x+i), konečně plyne odkud za předpokladu, že ���� � ��𝑥𝑥 a zároveň ���� � ���𝑥𝑥 � ��, konečně �
plyne �𝑥𝑥 � 𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥 � 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑥𝑥 � �� � �𝑥𝑥 � ��𝐹𝑥𝑥 � ��. A „stejně jako v tvrz. 2“ �
Tamtéž, s. [14r]; Dodatek s. 198–199, srov. J.-L. LAGRANGE. Lagrange’s Theorie der
100
104 dostáváme, že Funktionen, 𝐹𝐹𝐹�𝑥𝑥� � ��𝑥𝑥�. analytischen II, s. 70.
ČG Publicum 1796–1805, 98/755, Bolzano, s. [14r]; Dodatek, s. 198. Tamtéž, s. [14v]. Dodatek, s. 199. 103 Tamtéž. 101 102
Konkurz 1804: Bolzano a matematika v Českých zemích konce 18. století
187