KUPÁN A. PÁL LINEÁRIS ALGEBRA ÉS ALKALMAZÁSAI
SAPIENTIA ERDÉLYI MAGYAR TUDOMÁNYEGYETEM MAROSVÁSÁRHELYI KAR MATEMATIKA-INFORMATIKA TANSZÉK
KUPÁN A. PÁL
LINEÁRIS ALGEBRA ÉS ALKALMAZÁSAI
Scientia Kiadó Kolozsvár·2019
Felelős kiadó: Kása Zoltán
Lektor: András Szilárd (Kolozsvár)
Sorozatborı́tó: Tipotéka Kft.
Első magyar nyelvű kiadás: 2019 c Scientia, 2019 Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosı́tás, a nyilvános előadás, a rádióés televı́zióadás, valamint a fordı́tás jogát, az egyes fejezeteket illetően is. Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României KUPÁN, PÁL A. Lineáris algebra és alkalmazásai / Kupán A. Pál. – Cluj-Napoca: Scientia, 2019 Conţine bibliografie ISBN 978-606-975-027-8 51
TARTALOM Előszó
13
1. Vektorgeometria
15
1.1. Vektorok normája
24
1.2. Vektorok skaláris szorzata
27
1.2.1. Alkalmazás : két kör metszete 1.3. Vektorok vektoriális szorzata 1.3.1. Alkalmazás : terület kiszámı́tása koordinátákkal
30 32 37
1.4. Három vektor vegyes szorzata
38
1.5. Az egyenes és a sı́k a térben
41
2. Vektorterek, alterek, bázis
51
2.1. Vektorterek
51
2.2. Alterek
53
2.3. Lineáris függetlenség, bázis
55
2.4. Bázistranszformáció, alkalmazások
62
2.4.1. Bázisellenőrzés
67
2.4.2. Lineáris egyenletrendszerek megoldása
67
2.4.3. Mátrix inverzének a kiszámı́tása
69
2.4.4. Mátrix rangja
70
2.4.5. Lineáris programozás, a szimplex módszer
71
3. Euklideszi terek
79
3.1. Skaláris szorzat
79
3.2. Norma, távolság, szög
81
3.3. Gram–Schmidt-ortogonalizáció
89
3.4. Alkalmazások
92
3.4.1. QR-faktorizáció
93
3.4.2. Fourier-sor
95
6
TARTALOM
4. Lineáris transzformációk
101
4.1. Izomorfizmusok, lineáris transzformációk kompozı́ciója
106
4.2. Lineáris transzformációk mátrixa
109
4.3. Endomorfizmus mátrixának változása báziscsere esetén
114
4.4. Alkalmazás : geometriai transzformációk a térben
118
5. Sajátérték, sajátvektor
123
5.1. Diagonalizálható endomorfizmusok (mátrixok)
129
5.2. Szimmetrikus mátrixok diagonalizálása
133
5.3. Alkalmazások
137
5.3.1. Mátrix hatványozása, mátrix-exponenciális
137
5.3.2. A Fibonacci-sorozat
140
5.4. Szinguláris felbontás
143
5.4.1. Mátrix közelı́tése alacsony rangú mátrixszal
147
5.4.2. Mátrixok pszeudoinverze
150
6. Bilineáris alakok, négyzetes alakok
153
6.1. Bilineáris alakok
153
6.2. Négyzetes (kvadratikus) alakok
156
6.2.1. Négyzetes alakok kanonikus alakra hozatala
159
6.2.1.1. A Jacobi-módszer
159
6.2.1.2. A Gauss–Lagrange-módszer
162
6.2.1.3. A sajátérték, sajátvektor módszer
163
6.3. Alkalmazás : kúpszeletek
165
6.4. Alkalmazás : szélsőérték-számı́tás
182
6.5. Alkalmazás : konjugált gradiens módszer
187
7. Komplex vektorterek
193
Szakirodalom
205
Kivonat
207
TARTALOM
7
Rezumat
209
Abstract
211
A szerzőről
213
CONTENTS
Preface
13
1. Vector geometry
15
1.1. The norm of a vector
24
1.2. Inner product
27
1.2.1. Application: Intersection of two circles 1.3. Cross product 1.3.1. Application: Computation of area using coordinates
30 32 37
1.4. Mixed product of three vectors
38
1.5. Equations of lines and planes
41
2. Vector spaces, subspaces, and basis
51
2.1. Vector spaces
51
2.2. Subspaces
53
2.3. Linear independence, basis
55
2.4. Change of basis, applications
62
2.4.1. Testing basis
67
2.4.2. Systems of linear equations
67
2.4.3. Inverse of a matrix
69
2.4.4. Rank of a matrix
70
2.4.5. Linear programming, the simplex method
71
3. Normed vector spaces
79
3.1. Inner product
79
3.2. Norm, distance, and angle
81
3.3. Gram–Schmidt orthogonalization
89
3.4. Applications
92
3.4.1. QR factorization
93
3.4.2. Fourier series
95
10
CONTENTS
4. Linear transformations
101
4.1. Isomorphism, composition of linear transformations
106
4.2. The matrix of a linear transformation
109
4.3. The effect of a change of basis on the matrix of an endomorphism
114
4.4. Application: Geometrical transformations in space
118
5. Eigenvalues, eigenvectors
123
5.1. Diagonalization of matrices
129
5.2. Diagonalization of symmetric matrices
133
5.3. Applications
137
5.3.1. The power of a matrix, matrix exponential
137
5.3.2. The Fibonacci sequence
140
5.4. SVD factorization
143
5.4.1. Approximation of matrices with low-rank matrices
147
5.4.2. Pseudoinverse of a matrix
150
6. Bilinear and quadratic forms
153
6.1. Bilinear forms
153
6.2. Quadratic forms
156
6.2.1. Reduction of quadratic form to canonical form
159
6.2.1.1. The Jacobi method
159
6.2.1.2. The Gauss–Lagrange method
162
6.2.1.3. The method of orthogonal transformations
163
6.3. Application: Conic sections
165
6.4. Application: Extrema of functions
182
6.5. Application: The conjugate gradient method
187
7. Complex vector spaces
193
References
205
Abstract
211
CUPRINS
Prefaţă
13
1. Geometrie vectorială
15
1.1. Norma vectorilor
24
1.2. Produs scalar
27
1.2.1. Aplicaţie: intersecţia a două cercuri 1.3. Produs vectorial 1.3.1. Aplicaţie: calculul ariei cu ajutorul coordonatelor
30 32 37
1.4. Produsul mixt a trei vectori
38
1.5. Dreapta şi planul
41
2. Spaţii vectoriale, subspaţii, baze
51
2.1. Spaţii vectoriale
51
2.2. Subspaţii
53
2.3. Independenţa liniară, baze
55
2.4. Transformarea bazei, aplicaţii
62
2.4.1. Verificarea bazei
67
2.4.2. Rezolvarea sistemelor liniare
67
2.4.3. Calculul inversei unei matrice
69
2.4.4. Rangul unei matrice
70
2.4.5. Programare liniară, metoda simplex
71
3. Spaţii euclidiene
79
3.1. Produs scalar
79
3.2. Norma, distanţa, unghiul
81
3.3. Procedeul de ortogonalizare Gram–Schmidt
89
3.4. Aplicaţii
92
3.4.1. Factorizare QR
93
3.4.2. Serii Fourier
95
12
CUPRINS
4. Transformări liniare
101
4.1. Izomorfism, compoziţia transformărilor liniare
106
4.2. Matricea unei transformări liniare
109
4.3. Schimbări de bază
114
4.4. Aplicaţii: transformări geometrice ı̂n spaţiu
118
5. Valori şi vectori proprii
123
5.1. Diagonalizarea endomorfismelor
129
5.2. Diagonalizarea matricelor simetrice
133
5.3. Aplicaţii
137
5.3.1. Calculul puterilor unei matrice
137
5.3.2. Şirul lui Fibonacci
140
5.4. Descompunerea SVD
143
5.4.1. Aproximare cu matrice de rang redus
147
5.4.2. Pseudoinversa unei matrice
150
6. Forme biliniare, forme pătratice
153
6.1. Forme biliniare
153
6.2. Forme pătratice
156
6.2.1. Aducerea la forma canonică
159
6.2.1.1. Metoda lui Jacobi
159
6.2.1.2. Metoda Gauss–Lagrange
162
6.2.1.3. Metoda valorilor-vectorilor proprii
163
6.3. Aplicaţie: conice
165
6.4. Aplicaţie: calculul extremelor
182
6.5. Aplicaţie: metoda gradientului conjugat
187
7. Spaţii vectoriale complexe
193
Bibliografie
205
Rezumat
209
ELŐSZÓ
A lineáris algebra a matematikának az az ága, amelyet nagyon gyakran alkalmaznak mind az informatika, mind a fizika, mérnöki, gazdasági stb. tudományokban is. A széles körben alkalmazott lineáris módszerek annak is köszönhetik meghatározó szerepüket, hogy rengeteg (természeti és nem csak) jelenség lineáris lefolyású, és ezek megoldására nyújt a lineáris algebra megoldási módszereket. Sőt, a nem lineáris jelenségeket is lehet közelı́teni lineáris modellekkel (linearizálás), amit a már ismert módszerekkel megoldhatunk. A számı́tógépek megjelenése és elterjedése nagy lendületet adott a lineáris algebra tanulmányozásának. A lineáris algebra egyik fontos feladata megoldást adni az Ax = b tı́pusú lineáris egyenletrendszereknek. Az ehhez szükséges alapfogalmakat: mátrix, determináns stb. a diákok a középiskolában már elsajátı́tották. Jelen könyv mérnöki szakos hallgatóknak szól és a középiskolákban tanı́tott lineáris algebra folytatásának tekinthető: általános vektorterek, lineáris transzformációk, négyzetes alakok, sajátértékek-sajátvektorok problémáira, illetve ezeknek az alkalmazásaira fókuszál. Az anyag könnyebb megértése érdekében az elméletet gyakorlati példák egészı́tik ki.
Marosvásárhely, 2018. december
SZAKIRODALOM
ANTON, H.–RORRES, C. 2013 Elementary linear algebra with applications. Wiley. DAVAADORZSIN, M. 2001 Valós lineáris algebra és lineáris programozás. Budapest, Műszaki Könyvkiadó. DeFRANZA, J.–GAGLIARDI, D. 2008 Introduction to linear algebra with applications. McGraw-Hill. DEMMEL, J. W. 1997 Applied numerical linear algebra. SIAM. FADDEEVA, V. N. 1959 Computational methods of linear algebra. New York, Dover. FINTA B.–KISS E.–BARTHA Zs. 2006 Algebrai struktúrák-feladatgyűjtemény. Kolozsvár, Scientia Kiadó. FREUD R. 2001 Lineáris algebra. Budapest, ELTE Eötvös Kiadó. FORSYTHE, G. E.–MOLER, C. B. 1967 Computer solution of linear algebraic systems. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. FOX, L. 1964 An introduction to numerical linear algebra. Oxford, Oxford Univ. Press. FRIED E. 1977 Klasszikus és lineáris algebra. Budapest, Tankönyvkiadó. FRIEDBERG, S. H.–INSEL, A. J.–SPENCE, L. E. 2002 Linear algebra, Pearson. GOLUB, G.–van LOAN, Ch. 2013 Matrix computations. Johns Hopkins Univ. Press. HOFFMAN, K. M.–KUNZE, R. 2004 Linear algebra, Pearson. KLEIN, Ph. N. 2013 Coding the Matrix : Linear Algebra through Applications to Computer Science. Newtonian Press. KLUKOVITS L. 1999 Klasszikus és lineáris algebra, Polygon Jegyzettár.
KOVÁCS A. 2002 Alkalmazott matematika a közgazdaságtanban. Lineáris algebra. Kolozsvár, Scientia Kiadó. LAY, D. C.–LAY, S. R.–McDONALD, J. J., 2015 Linear algebra and its applications. Pearson. LEON, S. J. 2014 Linear algebra with applications. Pearson. MARCUS A. 2001 Lineáris algebra–egyetemi jegyzet. Kolozsvár, Ábel Kiadó. MEYER, C. D. 2000 Matrix analysis and applied linear algebra. SIAM. NICHOLSON, W. K. 1995 Linear algebra with applications. PWS Boston. OBÁDOVICS Gy. 2001 Lineáris algebra példákkal. Scolar Kiadó. POOLE, D. 2014 Linear algebra : A modern introduction. Cengage Learning. ROBBIANO, L. 2011 Linear algebra for everyone. Springer. ROBINSON, D. J. 2006 A course in linear algebra with applications. World Scientific. SCHARNITZKY V. 1999 Vektorgeometria és lineáris algebra. Budapest, Nemzeti Tankönyvkiadó. SCHAY, G. 2012 A concise introduction to linear algebra. Birkhauser. SHELDON, A. 2015 Linear algebra done right. Springer. STRANG, G. 2005 Linear algebra and its applications. Cengage Learning. STRANG, G. 2016 Introduction to linear algebra. Wellesley-Cambridge. TREFETHEN, L.–BAU, D. 1997 Numerical linear algebra. SIAM.
KIVONAT
A lineáris algebra a matematikának az az ága, melyet nagyon gyakran alkalmaznak mind az informatika, mind a fizika, mérnöki, gazdasági stb. tudományokban. A számı́tógépek megjelenése és elterjedése nagy lendületet adott a lineáris algebra tanulmányozásának. Jelen könyv mérnöki szakos hallgatóknak szól, és a középiskolákban tanı́tott lineáris algebra folytatásának tekinthető : általános vektorterek, lineáris transzformációk, négyzetes alakok, sajátértékek, sajátvektorok problémáira, illetve ezeknek az alkalmazásaira fókuszál. Az anyag könnyebb megértése érdekében az elméletet gyakorlati példák egészı́tik ki.
REZUMAT
Algebra liniară este ramura matematicii des utilizată ı̂n studiul altor discipline, cu numeroase aplicaţii ı̂n informatică, fizică, ştiinţe inginereşti, economie etc. Studiul algebrei liniare a luat o amploare deosebită odată cu apariţia şi dezvoltarea calculatoarelor. În carte sunt discutate teme cum ar fi: spaţii vectoriale generale, transformări liniare, valori şi vectori proprii, forme pătratice respectiv aplicaţiile acestora. Cartea este destinată ı̂n special celor care studiază ştiinţe inginereşti, dar nu numai. Pentru a ı̂nlesni ı̂nţelegerea conceptelor, noţiunile teoretice sunt urmate de numeroase exemple.
ABSTRACT
Linear algebra is the branch of mathematics often used in the study of other disciplines, with numerous applications in computer science, physics, engineering sciences, economics, etc. The appearance and spread of computers gave great impetus to the study of linear algebra. The book discusses themes such as general vector spaces, linear transformations, eigenvalues and eigenvectors, quadratic forms, and their applications. The book is intended especially for students studying engineering sciences but not just. In order to facilitate the understanding of concepts, theoretical notions are followed by numerous examples.
A SZERZŐRŐL
A szerző 1968-ban született Marosvásárhelyen, és itt is járta ki a középiskolát. Az egyetemet és a doktori iskolát a kolozsvári Babeş–Bolyai Tudományegyetem Matematika Karán végezte. A Sapientia 2001-es évi megalapı́tása óta tanı́t a Marosvásárhelyi Karon. Kutatási területe a függvények numerikus közelı́tése és a numerikus lineáris algebra.
Scientia Kiadó 400112 Kolozsvár (Cluj-Napoca) Mátyás király (Matei Corvin) u. 4. sz. Tel./fax: +40-364-401454 E-mail: scientia@kpi.sapientia.ro www.scientiakiado.ro Korrektúra: Szenkovics Enikő Műszaki szerkesztés: Kupán A. Pál Tipográfia: Könczey Elemér Nyomdai munkálatok: F&F INTERNATIONAL Kft. Felelős vezető: Ambrus Enikő igazgató