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Libro para el maestro

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2do Grado Volumen I

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Matemáticas II. Libro para el maestro. Volumen I fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación Básica y el ILCE.

Autoras Ana Laura Barriendos Rodríguez, Diana Violeta Solares Pineda Asesoría académica María Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav) Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav) (Convenio ILCE-Cinvestav, 2005) Apoyo técnico y pedagógico María Catalina Ortega Núñez Colaboración Araceli Castillo Macías, Rafael Durán Ponce, Ernesto Manuel Espinosa Asuar, Silvia García Peña, José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero, Jesús Rodríguez Viorato Colaboración (actividades tecnológicas) Deyanira Monroy Zariñán

Servicios editoriales Dirección de arte Rocío Mireles Gavito Diseño Zona Gráfica Diagramación Bruno Contreras, Víctor M. Vilchis Enríquez Iconografía Cynthia Valdespino, Fernando Villafán Ilustración Gustavo Cárdenas, Curro Gómez, Carlos Lara, Gabriela Podestá Fotografía Cynthia Valdespino, Fernando Villafán

Coordinación editorial Sandra Hussein Domínguez

Primera edición, 2007 Sexta reimpresión, 2012 (ciclo escolar 2013-2014) D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2007 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F. ISBN 978-970-790-964-9 (obra completa) ISBN 978-970-790-966-3 (volumen I) Impreso en México D istribución gratuita -P rohibida su venta

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Índice 20

Introducción al modelo pedagógico renovado La enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en el modelo renovado de Telesecundaria La tecnología en el modelo renovado de Telesecundaria

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C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E Ñ A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A

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Crear un ambiente de confianza Incorporar estrategias de enseñanza de manera permanente   3  Fomentar la interacción en el aula   4  Utilizar recursos múltiples   5  Desplegar ideas en el aula para consultas rápidas Pistas didácticas

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Mapa-índice Clave de logos

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Bloque 1 secuencia 1 Multiplicación y división de números con signo secuencia 2 Problemas aditivos con expresiones algebraicas secuencia 3 Expresiones algebraicas y modelos geométricos secuencia 4 Ángulos secuencia 5 Rectas y ángulos secuencia 6 Ángulos entre paralelas secuencia 7 La relación inversa de una relación de proporcionalidad directa secuencia 8 Proporcionalidad múltiple secuencia 9 Problemas de conteo secuencia 10 Polígonos de frecuencias

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11 secuencia 12 secuencia 13 secuencia 14 secuencia 15 secuencia 16 secuencia 17

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secuencia

Bloque 2 La jerarquía de las operaciones Multiplicación y división de polinomios Cubos, prismas y pirámides Volumen de prismas y pirámides Aplicación de volumenes Comparación de situaciones de proporcionalidad Medidas de tendencia central

Examen bloque 1 Examen bloque 2 Bibliografía

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Introducción al modelo pedagógico renovado Presentación La trayectoria de la Telesecundaria no ha sido ajena al avance de las tecnologías de la información y la comunicación y a las enormes posibilidades que dichas tecnologías han abierto para la educación. La renovación del modelo pedagógico ofrece, en esta tradición innovadora, la posibilidad de trabajar de manera flexible con la introducción del video, además de enriquecer la interacción en el aula al incluir los recursos informáticos, materiales en audio, así como materiales impresos diversos y renovados, de acuerdo con las necesidades de un sistema educativo que prepara a sus alumnos para producir y utilizar diferentes tipos de conocimientos y herramientas conceptuales, analíticas y culturales, para operar de modo competente en un medio complejo y dinámico. La renovación del modelo pedagógico de la Telesecundaria insiste en que el alumno encuentre múltiples oportunidades y maneras para expresar lo que sabe y acercarse a lo que no sabe; situaciones en las que pueda desplegar sus ideas y conocer las de los demás. Para lograr esto, las actividades propuestas requieren la colaboración entre los participantes, la consulta a diferentes fuentes y la participación en situaciones de aprendizaje variadas, así como usos diversos de la lectura y la escritura, el desarrollo de un pensamiento lógico-matemático, la comprensión del mundo natural y social, la formación en valores éticos y ciudadanos y la creatividad. Con base en lo anterior, se introducen nuevos materiales y actividades de aprendizaje que fomenten la consulta de varias fuentes, la discusión, la comparación de textos, la integración de diferentes formas de representación (imagen, sonido, gráficos, texto, mapas, entre otros), y el uso de herramientas digitales para la exploración y la verificación de conjeturas. La relevancia de los contenidos escolares para la vida de los alumnos de Telesecundaria y la necesidad de crear situaciones de aprendizaje en las que la experiencia y el conocimiento de los alumnos son relevantes y útiles para participar en la clase, constituyen desde luego el principal punto de partida de la renovación.



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La organización pedagógica en el aula En la nueva propuesta pedagógica para Telesecundaria, la actividad en el aula se organiza en secuencias de aprendizaje que duran entre una y dos semanas; las secuencias abarcan un cierto número de sesiones, dependiendo de la asignatura. Cada secuencia se articula en torno a la realización de un proyecto, la resolución de una o varias situaciones problemáticas o el análisis de un estudio de caso, que ponen en juego el tratamiento de varios contenidos de los Programas de estudio 2006 para la educación secundaria, y al menos uno de sus ámbitos o ejes transversales. El trabajo por proyectos, estudios de caso o la resolución de situaciones problemáticas permiten combinar el desarrollo de competencias con la atención a algunas necesidades de los adolescentes, tanto en el contexto personal como en el social/comunitario. El cambio de sesiones diarias a secuencias de una o dos semanas permite disponer del tiempo necesario para el trabajo alrededor de las situaciones problemáticas, proyectos temáticos, o estudios de caso, cuya realización exige la elaboración de productos y la discusión de los mismos ante el grupo. Otra de las razones de esta modificación tiene que ver con la necesidad de ampliar el tiempo para profundizar en la comprensión, la reflexión y la elaboración de conceptos y nociones, lo cual permite ofrecer mayores oportunidades para el aprendizaje. Se pretende que las secuencias de aprendizaje cumplan con los siguientes propósitos educativos: 1. Centrarse en el aprendizaje más que en la enseñanza, y en el alumno más que en la disciplina. • Proporcionar acceso a fuentes de información y recursos variados, impresos y tecnológicos, así como a diferentes formas de representación de ideas, situaciones y conceptos. • Presentar los contenidos de manera lógica y darle prioridad al tratamiento a profundidad sobre el extensivo. • Centrar el tratamiento temático en el desarrollo de nociones, habilidades y actitudes para la comprensión de conceptos centrales. • Utilizar, como referencia, los conocimientos e intereses de los alumnos.

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2. Promover la interacción en el aula y propiciar la participación reflexiva y colaborativa entre los alumnos. • Ampliar las prácticas lectoras y de escritura. • Contener actividades que permitan a los alumnos dar explicaciones ordenadas, formular argumentos lógicos, hacer interpretaciones fundamentadas y realizar análisis abstractos. 3. Presentar un proceso de evaluación que constituya una herramienta que oriente las decisiones del docente y de los alumnos. • Responder a una demanda social e interinstitucional de certificar los conocimientos curriculares previstos por asignación de calificaciones. • Reconocer los diferentes modos de representación en que se pueden expresar los procesos de producción de conocimiento y el lugar propicio para su evaluación. 4. Establecer estrategias claras de vinculación con la comunidad. • Incorporar el enfoque intercultural en los contenidos, discurso y diseño.

El papel del docente en el modelo renovado El modelo pedagógico renovado de Telesecundaria busca ampliar las prácticas de los docentes para que puedan: • Fomentar discusiones en el aula que impliquen razonamientos complejos. • Llevar a cabo actividades de aprendizaje que promuevan la discusión, el planteamiento de preguntas auténticas y la búsqueda de respuestas, el análisis y solución de problemas, la elaboración de productos culturales. • Integrar las participaciones de los alumnos para concluir, cuestionar y construir andamiajes, a fin de que éstos transiten hacia entendimientos más profundos. • Trabajar con una multiplicidad de materiales didácticos (impresos, digitales, de audio y video), utilizándolos de tal modo que tengan relevancia y sean significativos para el aprendizaje. • Reconocer los avances y aprendizajes de sus alumnos, así como los aspectos que requieren mayor reflexión. Es necesario concebir la transformación de la práctica docente en la Telesecundaria como un proceso paulatino, que permita a los docentes reconocer y recuperar logros alcanzados y aprender de los errores cometidos. Para apoyar al maestro, los nuevos materiales didácticos 

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aportan elementos que favorecen un proceso gradual de mejora continua, en el cual se articulen materiales educativos, actividades y formas de participación novedosas de los maestros y los alumnos.

La evaluación en el modelo renovado Desde el modelo pedagógico renovado se propone considerar que la evaluación es parte del proceso didáctico y que significa para los estudiantes una toma de conciencia de lo que han aprendido y, para los docentes, una interpretación de las implicaciones de la enseñanza de esos aprendizajes. A la hora de reflexionar sobre la evaluación, se aplican los mismos interrogantes que a la hora de pensar las actividades de aprendizaje y su valor en la construcción del conocimiento. En el modelo renovado planteamos que la evaluación tiene que ver más con la producción de conocimientos que con la reproducción de ellos, y por lo tanto requiere actividades que promuevan la revisión crítica de lo aprendido y de las actividades realizadas. La evaluación, planteada desde esta perspectiva, favorece en los alumnos el mejoramiento de sus producciones y proporciona a los docentes la oportunidad de mejorar su práctica y crecimiento profesional. En el modelo renovado de Telesecundaria, en términos generales se propone: 1. La evaluación del aprendizaje a partir de los diferentes modos de representación y expresión del conocimiento (ensayos, elaboración de proyectos, análisis de fuentes, resolución de casos, entre otras). 2. La incorporación de opciones de evaluación inspirados en pruebas estandarizadas a las que los alumnos tienen necesariamente que enfrentarse a lo largo de su vida escolar. 3. La evaluación del desempeño de los alumnos en su participación en la solución de problemas, la elaboración de proyectos, la utilización del pensamiento de nivel superior, el despliegue de estrategias de razonamiento en situaciones reales, las prácticas sociales del lenguaje y los productos alcanzados. 4. La evaluación entre pares: esto permite a los estudiantes, ver, juzgar y aprender del trabajo de los demás, basándose en los criterios definidos. La definición de criterios puede centrar la discusión durante la clase y el análisis del trabajo realizado por el grupo. Cuando se logra que los estudiantes participen en el establecimiento de los criterios a partir de los aprendizajes esperados, les es más fácil comprender los aspectos importantes de un producto.

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Para el caso de la evaluación de desempeño se requiere cubrir ciertos criterios que la conviertan en una herramienta eficaz: tener un propósito claro, identificar los aspectos observables, crear un ambiente propicio para realizar la evaluación, emitir un juicio o calificación que describa el desempeño. Se trata de formular criterios significativos, importantes y que los alumnos comprendan. Dadas las características anteriores, este tipo de evaluación consume mucho tiempo. Por ello, en una primera etapa los materiales renovados proponen los lugares específicos para evaluar, así como los criterios apegados a los aprendizajes esperados establecidos en los Programas de estudio 2006. Se espera que, con el tiempo, los maestros puedan conocer gradualmente las exigencias de este tipo de evaluaciones de tal manera que establezcan el momento para realizarla, los criterios para efectuarla y que éstos puedan establecerse conjuntamente con sus alumnos. Se pretende que el profesor se familiarice con la idea de conceder mayor valor a los tipos más importantes de desempeño (proyectos, portafolio, etcétera) que a los cuestionarios cortos, las pruebas objetivas o a las tareas escolares, pues los primeros ofrecen una visión más completa e integrada del aprendizaje. Las orientaciones específicas van dirigidas a que los métodos con que se valoren los diversos tipos de información evaluativa sean los más sencillos posible y su descripción concreta está expuesta en los documentos particulares de cada área académica.

Características de los nuevos materiales Un aspecto clave de la renovación pedagógica para la Telesecundaria es la disponibilidad de diversos materiales en el aula. Los nuevos materiales impresos incluyen llamados a diversos tipos de recursos: libros de consulta, libros temáticos de difusión científica y cultural, literatura, incluidos en las colecciones de las Bibliotecas Escolares y de Aula; material audiovisual en video y programas transmitidos por la red satelital Edusat y actividades para realizar en la computadora con capacidad de despliegue o de ejecución. Algunos de estos materiales se integrarán de manera gradual para llevar a cabo las actividades propuestas por el modelo renovado. En el material de base o libro para el alumno se hacen invitaciones específicas para el uso de varios recursos, y se crean tiempos curriculares para la lectura, la consulta y el trabajo con estos materiales.



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Materiales impresos Libro para el alumno Funciona como texto articulador de recursos múltiples, impresos, audiovisuales e informáticos. Integra, en dos volúmenes por asignatura, la información básica y las actividades de aprendizaje. El libro para el alumno cuenta con un mapa de contenidos, el cual se concibe como una herramienta que permite ver el panorama global del curso y de sus partes, las secuencias de aprendizaje con los temas y el uso de otros recursos involucrados, audiovisuales e informáticos, así como los aspectos que cada asignatura considera relevantes. Además de las secuencias de aprendizaje vinculadas con los contenidos programáticos, se proponen sesiones al final de cada bimestre, destinadas a la integración de los conocimientos y a la evaluación de los aprendizajes. De la misma manera, se incluye una sesión introductoria que ayudará al docente y alumnos a conocer sus materiales y las formas de trabajo sugeridas para el curso. Con base en lo planteado en los Programas de estudio 2006, las asignaturas constan de cinco bloques o bimestres integrados por un número variado de temas y subtemas. La distribución de los contenidos en cinco bloques por curso tiene la intención de apoyar a los docentes en el reporte de los avances de los logros de aprendizaje de los alumnos. El modelo pedagógico renovado retoma esta organización como eje articulador de toda la programación. La estructura general de las secuencias es la misma para todas las asignaturas, si bien se introducen subtítulos de acuerdo con las necesidades específicas de cada una de ellas. Las etapas generales y las específicas, así como su descripción se incluyen en las introducciones de cada volumen. El trabajo en cada secuencia considera diferentes formas de organización entre los alumnos, así como actividades que pueden realizarse en versiones para lápiz y papel o mediante la tecnología, con el énfasis en su uso como herramienta para la enseñanza (despliegue en aula) o bien con énfasis en su uso como herramienta para el aprendizaje (aula de medios). Las indicaciones sobre el tipo de actividades que pueden ser realizadas con el apoyo de recursos audiovisuales, informáticos u otros impresos, así como las formas de organización para el trabajo, están claramente indicadas a lo largo de las secuencias de aprendizaje mediante logotipos alusivos, cuya equivalencia puede ser consultada en la clave de logos de la página 45.

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Libro para el maestro El libro para el maestro reproduce, en formato reducido, las secuencias del libro para el alumno, con orientaciones didácticas concretas ligadas a la secuencia, además de ofrecer recursos y formas alternativas de abordar los contenidos. Este material incorpora la familiarización del docente con el modelo pedagógico renovado, la propuesta de uso de la tecnología, la presentación general del curso y sus propósitos, junto con la descripción general de las secuencias. También proporciona criterios de uso para los materiales impresos y tecnológicos y propuestas de evaluación. El apartado titulado “Cinco sugerencias para enseñar en la Telesecundaria”, proporciona recomendaciones didácticas generales y pistas didácticas concretas que el docente puede desplegar para el trabajo en el aula. Cada secuencia da inicio con un texto breve, el cual incluye información general como un resumen, los propósitos de la secuencia, qué se espera lograr y el enfoque. Un recuadro proporciona información referente a las sesiones en que se divide la secuencia, los temas que se abordarán, las destrezas y las actitudes por desarrollar, los productos esperados, los recursos por utilizar, la relación con otras asignaturas o secuencias, en resumen, la información que cada asignatura considere relevante para que el profesor pueda planear su trabajo y tener un panorama general de la secuencia. Las sugerencias y orientaciones específicas por sesiones y actividades o grupos de actividades principian con un breve texto sobre la intención didáctica de las mismas y el tiempo estimado para realizarlas. Asimismo, se incorporan las respuestas a las actividades planteadas diferenciando, cuando sea aplicable, las respuestas esperadas y el tratamiento didáctico de los errores, de las respuestas modelo y de las libres; se incluyen ideas para el maestro sobre qué aspectos o criterios debe considerar, en qué debe hacer énfasis, cómo orientar a los alumnos, etcétera.

Otros recursos impresos En los materiales de base para cada una de las asignaturas se consideró el uso de otros libros. Los impresos aprovechan las colecciones de las Bibliotecas Escolares y de Aula.

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Materiales audiovisuales La utilización de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación (TIC), en el modelo renovado para Telesecundaria, considera la actualización y el replanteamiento del uso de la televisión. Los nuevos materiales audiovisuales consideran diversos elementos como audiotextos, videos para un uso flexible y diverso, de corta duración, así como material para ser transmitido vía satélite. La inserción de estos recursos depende del diseño didáctico de cada asignatura y secuencia. En el apartado “La tecnología en el modelo renovado de Telesecundaria” se describen las características generales y los usos del material audiovisual.

Materiales informáticos Son materiales para el despliegue en el aula de representaciones dinámicas, interactivas y ejecutables de situaciones, fenómenos y conceptos, que permitan retroalimentar el tratamiento de temas concretos, la realización de actividades y generar dinámicas diversas para las intervenciones de los alumnos. De igual manera se aprovechan las experiencias que dan cuenta de la inserción de las TIC en el aula, entre las que destacan el proyecto de Enseñanza de las Matemáticas y de la Física con Tecnología (EMAT-EFIT), el proyecto de Enseñanza de la Ciencia por medio de Modelos Matemáticos (ECAMM), el proyecto de Enseñanza de las Ciencias con Tecnología (ECIT), y Enciclomedia, como herramienta para la vinculación y el despliegue de recursos. La forma como se articula cada uno de estos recursos en las secuencias de aprendizaje se aborda en la propuesta concreta de cada asignatura y en el apartado “La tecnología en el modelo renovado de Telesecundaria”.

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La enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas en Telesecundaria El enfoque con el cual se diseñaron los nuevos materiales para Telesecundaria considera que la resolución de problemas es la estrategia que permite a los alumnos apropiarse de los conocimientos matemáticos. Aunque la resolución de problemas ha estado presente en diversas posturas y prácticas de enseñanza, se le han otorgado diferentes significados. Desde el enfoque, en los nuevos materiales para Telesecundaria se asume que resolver problemas sirve para aprender cuando los conocimientos se ponen en juego y solucionan alguna situación. Con ese propósito, en el libro para el alumno se plantean situaciones problemáticas. Una situación problemática es aquella que representa un reto para el alumno, es decir, que implica una solución que no es tan sencilla como para que resulte obvia, ni tan difícil que a sus ojos parezca imposible de resolver. Una situación problemática puede tomar muchas formas: un enunciado, una construcción geométrica, una actividad puramente numérica, etcétera. El alumno echa mano de sus conocimientos previos para enfrentar el reto que le plantea la situación problemática y producir una solución. En este primer acercamiento quizá no resuelva correctamente el problema o siga procedimientos no convencionales. El maestro debe ser consciente de que lo importante es que el alumno obtenga al menos una solución. Después, el trabajo matemático que se desarrolla en las sesiones procura acercar al alumno a una (o varias) soluciones correctas, económicas y en muchos casos, convencionales. En buena medida, el desafío para el estudiante está en reestructurar algo que ya sabe, modificándolo o ampliándolo para enfrentar el problema nuevo que le presenta la situación problemática. Por ello, en este enfoque es fundamental permitir a los alumnos entrar en acción con la situación problemática antes de “darles la clase” y explicarles paso a paso lo que tienen que hacer; aun cuando pueda parecer que cometen muchos errores, que les toma mucho tiempo o que llegan a conclusiones equivocadas. Lo anterior no quiere decir que el maestro ya no deba enseñar fórmulas, definiciones o algoritmos; tampoco significa que no deba dar explicaciones o aclarar dudas. La diferencia está en el momento en el que introduce esos aspectos: en lugar de tomarlos como punto de partida, se pretende que se 12

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aborden una vez que los alumnos hayan enfrentado la situación problemática; es decir, primero ellos utilizan sus conocimientos previos para resolver el problema y luego el docente va orientando el trabajo matemático hasta formalizar los nuevos conocimientos (por ejemplo, definiendo algún concepto o dándole nombre a un procedimiento). La ejercitación de una técnica de resolución y la aplicación de lo aprendido siguen siendo necesarias, por lo que es conveniente dar espacios para ello. En la perspectiva que ahora se propone, hay que considerar también que los conocimientos matemáticos que se enseñan no están acabados, pues se trata de nociones que se van enriqueciendo. Por ejemplo, en la primaria los alumnos saben que 3 478 es mayor que 976 porque su experiencia les dice que los números con más cifras son mayores; pero si los números son 0.6 y 0.325, la comparación a partir de la cantidad de cifras ya no es un conocimiento que pueda funcionar de la misma manera. Por otra parte, se reconoce la importancia de la interacción entre los alumnos para el logro de los propósitos de aprendizaje, no sólo porque pueden apoyarse entre sí para comprender el planteamiento de un problema o intercambiar estrategias de solución, sino también porque se reconoce que el aprendizaje se produce en un medio social determinado; por eso es condición indispensable que existan mecanismos de comunicación oral, gráfica o escrita, que permitan transmitir información al otro y construir significados matemáticos compartidos.

El papel del docente en el modelo renovado Desde la perspectiva que orienta el diseño de estos materiales, tanto los alumnos como los docentes se enfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático y una revisión sobre lo que significa enseñar y aprender matemáticas. Los estudiantes aprenden matemáticas resolviendo problemas que implican la modificación de sus conocimientos previos, y el maestro se encarga de organizar las condiciones para que este aprendizaje tenga lugar. No se trata sólo de buscar las explicaciones más sencillas y amenas para dar la clase o de limitarse a plantear las instrucciones iniciales, sino de analizar L i b r o p a ra el maestro

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y proponer problemas adecuados para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces. El maestro debe ocuparse de los siguientes aspectos: • seleccionar y proponer problemas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos apliquen lo que saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos más eficaces; • organizar al grupo para que los alumnos trabajen en equipos, en parejas o individualmente; fomentar la comunicación de procedimientos y resultados obtenidos en el grupo; • identificar cómo interpretan los alumnos esos problemas, considerando que los resultados diferentes no son necesariamente incorrectos, sino que corresponden a una interpretación distinta del problema; • asegurarse que los alumnos aprendan las nociones o procedimientos que se establecen en los propósitos de aprendizaje.

Organización didáctica En el curso de Matemáticas para primer grado, los contenidos se trabajan a lo largo de 32 secuencias de aprendizaje organizadas en 5 bloques, uno por bimestre. En cada secuencia se aborda un contenido del programa de matemáticas en varias sesiones (de 2 a 5, dependiendo de la amplitud del contenido que se trate). La propuesta curricular actual considera una clase diaria de 50 minutos. En total, son 200 clases durante todo el ciclo escolar. En el libro para el alumno de Matemáticas para Telesecundaria hay 123 sesiones, por lo que el maestro dispone de 77 sesiones que puede utilizar a su criterio para repasar temas, continuar trabajando sesiones que se hayan prolongado, realizar actividades de evaluación, etcétera.

Los nuevos materiales educativos El modelo pedagógico renovado de Telesecundaria considera el diseño de nuevos materiales educativos: libro para el alumno, libro para el maestro, materiales informáticos e impresos complementarios. El propósito de todos ellos es promover la adquisición de los conocimientos descritos tanto en la propuesta curricular actual como en el modelo pedagógico de Telesecundaria, y articular la utilización de los múltiples recursos impresos e informáticos.

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Libro para el alumno Está conformado por dos volúmenes. La estructura y la organización de cada una de las sesiones que conforman una secuencia tienen la finalidad de favorecer procesos de enseñanza y aprendizaje acordes a los planteamientos del enfoque: la resolución de problemas como detonadora de la búsqueda de soluciones y la utilización de conocimientos previos; la comunicación y argumentación de resultados, así como de los procedimientos de resolución; el análisis y la reflexión en torno a las nociones y los procedimientos matemáticos que resuelven el problema; y la formalización de los conocimientos matemáticos que los alumnos deben aprender. Con el propósito de que desarrollen actividades acordes a cada uno de esos aspectos, cada sesión se compone, en general, de los apartados que se mencionan a continuación:

Para empezar Introducción del tema o presentación de un contexto determinado; se procura retomar las experiencias y conocimientos previos de los alumnos.

Consideremos lo siguiente Planteamiento de una situación problemática en torno a la cual se organizan la mayor parte de las actividades de la sesión.

Manos a la obra Actividades articuladas alrededor del propósito de aprendizaje establecido y orientadas al análisis de los procedimientos o nociones que se pretenden formalizar.

A lo que llegamos Información y actividades centradas en la formalización y la socialización del conocimiento matemático.

Lo que aprendimos Incluye tanto la ejercitación de técnicas como la valoración individual y colectiva de lo aprendido.

Para saber más Sugerencias de vínculos con materiales impresos o computacionales (Internet, multimedia, etc.) que amplían la información y las aplicaciones de los temas tratados en cada secuencia.

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Es necesario aclarar que la estructura de las sesiones no es rígida; hay unas en las cuales se parte de una situación problemática y otras que son un repaso de sesiones anteriores. En cada una de las sesiones se sugieren diferentes formas de organizar el trabajo de los alumnos (individual, en parejas o en equipos, y trabajo grupal). La importancia de alternar estas formas de trabajo se basa en el reconocimiento de que es posible aprender conocimientos matemáticos participando en actividades que son compartidas con otros. Las sesiones también consideran la utilización de recursos multimedia en distintos momentos, dependiendo del propósito específico de cada secuencia. Se proponen los siguientes recursos tecnológicos, cuyo uso dependerá de la infraestructura con la que cuente la escuela: Recursos tecnológicos para Matemáticas

Programas integradores

Videos de consulta

Interactivos

Trabajo en el Aula de Medios

Se transmiten uno por semana a través de la red satelital Edusat; su propósito es ampliar la información y diversificar los contextos desarrollados en cada una de las secuencias. Su uso y el momento en que se presentan son optativos. La programación y los contenidos de estos videos pueden consultarse en la Revista Edusat. Se señalan tanto en el libro para el alumno como en el libro del maestro.

Se indican en el impreso con el icono de una cámara de video; su propósito es contextualizar, ejemplificar y formalizar el contenido que se aborda en la secuencia.

Se indican en el impreso con el icono de un ratón; se utilizan en el salón de clases. Su propósito es desarrollar ideas intuitivas sobre los contenidos, verificar respuestas y validar hipótesis y conjeturas de los alumnos.

Trabajo en hojas de cálculo, geometría dinámica, calculadora y Logo. Permiten llevar a cabo el trabajo colaborativo en entornos tecnológicos. Promueven en los alumnos el desarrollo del pensamiento lógico y el análisis de datos mediante la resolución de problemas. Se trabajan en el Aula de Medios.

Libro para el maestro El libro para el maestro también consta de dos volúmenes, y en él se reproducen, en formato reducido, las sesiones que conforman el conjunto de las secuencias del libro para el alumno. Su propósito es ofrecerle orientaciones didácticas para abordar los contenidos de enseñanza, desarrollar en los alumnos los conocimientos y habilidades esperados y evaluar el aprendizaje. 16

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Para cada una de las secuencias, usted encontrará: • Una descripción general y los propósitos de la secuencia y de cada sesión. • Recomendaciones para la organización del grupo. • Información respecto a los posibles procedimientos, dificultades y errores de los alumnos ante un problema matemático concreto y sugerencias de cómo usted puede intervenir. • Soluciones correctas a los problemas y preguntas que se le plantean al alumno. • Explicaciones de conceptos matemáticos que pueden ayudarle en el desarrollo de la clase. • Orientaciones para propiciar el intercambio de idas entre los alumnos y la confrontación de distintos procedimientos y soluciones. • Actividades para recuperar lo aprendido y formalizar los conocimientos matemáticos esperados. • Formas alternativas de abordar los contenidos, desarrollar conocimientos y habilidades y evaluar el aprendizaje.

Estas orientaciones y sugerencias didácticas aparecen junto a las actividades específicas de cada secuencia de aprendizaje. El libro para el maestro no pretende ser un documento normativo de su trabajo, sino un recurso que puede enriquecer sus experiencias, saberes y estilos de enseñanza para que los alumnos y sus aprendizajes constituyan, realmente, el centro de la organización del trabajo en el aula.

Los recursos tecnológicos en la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas En el modelo de Telesecundaria que ha estado operando, los programas de televisión han desempeñado un papel central en las actividades de enseñanza y de aprendizaje que se llevan a cabo en el aula, pues además de ser una fuente de información para alumnos y docentes, otro de sus propósitos ha sido también provocar intercambios de experiencias y puntos de vista entre el docente y los alumnos. Si bien el modelo se ha visto enriquecido con las experiencias y las innovaciones que los docentes introducen en sus prácticas, la forma en que está diseñado limita las posibilidades de dialogar y profundizar en el tratamiento de los contenidos matemáticos. L i b r o p a ra el maestro

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El modelo renovado para la Telesecundaria, además de ampliar y diversificar el tipo de recursos tecnológicos (materiales audiovisuales, material informático para el trabajo con una computadora por salón de clases y hojas de trabajo para el Aula de Medios), sugiere un uso de los recursos tecnológicos acorde con las concepciones de aprendizaje y de enseñanza que se promueven en el enfoque: su propósito es apoyar la realización de actividades centradas en la exploración de los problemas, la argumentación y comunicación de los posibles procedimientos de resolución, así como estimular las diversas formas de colaboración en el salón de clases: entre el alumno y el recurso tecnológico, entre los alumnos al trabajar en equipos, y entre el grupo y el docente.

La evaluación Tradicionalmente, la evaluación se usa para medir lo que los alumnos saben respecto de algún conocimiento y, a partir de esa medición, se asigna una calificación. En el modelo que ahora se propone, la evaluación tiene, además, el objetivo de identificar los logros y las dificultades en los procesos de enseñanza y aprendizaje, haciéndolos evidentes a los docentes y alumnos, con la finalidad de que se tomen decisiones oportunas para mejorar la eficiencia de esos procesos. Para ello, se proponen dos recursos de evaluación: la integración de un por­tafolios del alumno y un examen escrito bimestral. Estos instrumentos pretenden apoyar el trabajo de evaluación, por lo que son susceptibles de ser adaptados a las condiciones específicas del grupo de alumnos y complementados con otras prácticas validadas por la experiencia docente.

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El portafolios del alumno Consiste en armar una carpeta para cada alumno en la que el maestro reúna algunos ejercicios. Tiene dos funciones principales: por una parte, proporcionarle información sobre el grado de avance del alumno de manera constante y sin tener que esperar a que acabe el bimestre y aplique el examen. Esto permite al docente estar en posición de tomar decisiones efectivas y a tiempo cuando considere que hay aspectos que los estudiantes no han comprendido o han comprendido débilmente. Por otra parte, los ejercicios del portafolios pueden convertirse en un insumo más para asignar a los alumnos la calificación bimestral. En cada secuencia, el maestro encontrará sugerencias de ejercicios para integrar al portafolios, qué aspectos son importantes en ellos y recomendaciones en caso de que los alumnos tengan dificultades.

El examen bimestral En el libro para el maestro se presenta, al final, una colección de problemas con sus soluciones para seleccionar algunos de ellos y elaborar un examen escrito. Se recomienda darle un valor que no sea superior al 50% de la calificación final.

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La tecnología en el modelo renovado de Telesecundaria El papel innovador de la Telesecundaria se reafirma en la propuesta del modelo renovado, que ofrece al maestro la posibilidad de trabajar con una gama de medios más amplia que incluye, además de los materiales impresos y de televisión, recursos informáticos. La inclusión del uso de la computadora, materiales en audio, programas de televisión transmitidos por la red satelital Edusat y videos de consulta, junto con la colección de las Bibliotecas Escolares y de Aula, tienen la finalidad de actualizar y diversificar los materiales educativos disponibles para crear en el aula situaciones de aprendizaje dinámicas, múltiples y variadas. Estos recursos se articulan a través del libro para el alumno: es decir, en éste aparecen llamadas para hacer uso de los diferentes recursos y, en puntos específicos del libro para el maestro, indicaciones sobre cómo y cuándo utilizar, entre otros, el video, los materiales informáticos, la televisión y los audiotextos Los recursos tecnológicos utilizados en el modelo renovado son de dos tipos: I nteractivo

1. Despliegue de material interactivo1 y multimedia en pantalla grande, que permite distintos tipos de actividades: S esi ones expo sitor i as y de discusi ón presentación de temas, contenidos, mapas conceptuales o procedimientos por parte del profesor, con apoyo visual y acceso a fuentes de información complementarias;

A ula de M edios

presentación de producciones de los alumnos (realizadas en aula de medios),y búsqueda de información en fuentes digitales previamente seleccionadas.

Actividades y discusion es c olecti va s realización de actividades en grupo, con participaciones individuales o por equipos “pasando al pizarrón”, como por ejemplo: resolución de problemas, realización de experimentos virtuales, verificación de respuestas, validación de hipótesis y conjeturas, análisis de textos, videos, datos e información en general; realización de actividades de producción de los alumnos, individual o por equipos, como por ejemplo: búsqueda y presentación de información, registro de datos, elaboración de reportes, producción de textos y otros materiales, y búsqueda de información en fuentes digitales previamente seleccionadas.

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Actividades preparadas para realizarse en computadora.

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En la asignatura Matemáticas II se puede mencionar el siguiente ejemplo de uso de un material interactivo; el ejemplo remite a una parte específica del interactivo pero, si se considera oportuno, se puede explorar el resto para trabajar otra escena de acuerdo con las condiciones del grupo, ya que en el interactivo se desarrolla todo el tema abordado en la secuencia. En el bloque 1, secuencia 3, sesión 1, Expresiones algebraicas y modelos geométricos, se le solicita al alumno que, a partir del material interactivo, obtenga diferentes expresiones algebraicas equivalentes para calcular el área de un rectángulo, como se muestra en la página 47.

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II

En esta secuencia encontrarás distintas expresiones algebraicas que representan disitintas formas de calcular el área de un rectángulo. Para simplificar los cálculos omitiremos las unidades de medida de sus lados. Puedes pensar que se trata de medidas en centímetros.

Consideremos lo siguiente De las siguientes expresiones, ¿cuáles representan el área del rectángulo enmarcado en rojo?

Recuerda que: Para indicar qu e un número multiplica a un a exp se usan los parén resión tesis: 5 (b + 3) = 5 × (b + 3)

4

a a) 4(a + 2)

b) 4a + 8

2

c) 4a + 2

d) 2(a + 2) + 2(a + 2)

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cómo saben cuáles son correctas y cuáles no?

Manos a la obra I. Contesten las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es la medida de la altura del rectángulo enmarcado en rojo? altura = b) Escriban una expresión que sirva para calcular la medida de la base de este rectángulo. base = c) ¿Qué expresión resulta al multiplicar la medida de la altura por la medida de la base? altura × base =

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LA TECNOLOGÍA EN EL MODELO RENOVADO DE TELESECUNDARIA

2. Programas de televisión por Edusat y videos de consulta con las siguientes características: PRO GRA MA S I NTEGRA D ORES Programa integrador E dusat

Estos programas son transmitidos por la red satelital Edusat, con horarios que permiten un uso flexible para apoyar los contenidos revisados durante una semana. Se encuentran indicados en el libro para el maestro, de tal manera que tenga la posibilidad de elegir cuándo verlos. Se debe consultar la cartelera Edusat para conocer los horarios de transmisión y repeticiones a lo largo de cada semana. Estos programas permiten la: presentación de temas desde una perspectiva integradora de los contenidos estudiados en la semana; ejemplificación de conceptos a partir de contextos socioculturales cercanos a las experiencias de los alumnos; presentación de contextos socioculturales lejanos a las experiencias de los jóvenes para que puedan conocer diversas formas de vida, e integración de información proveniente de diversas fuentes.

PRO GRA MA S DE E XTE NSI ÓN AC ADÉMIC A Estos programas apoyan algunos contenidos temáticos a través de películas y documentales, y se transmiten por la red satelital Edusat. Se debe consultar la cartelera para conocer los horarios de transmisión. Este tipo de programas: fomentan el sentido crítico, con la finalidad de desarrollar una visión más amplia del mundo; reúnen diversos contenidos de las áreas de conocimiento en algún programa, película o documental, y ofrecen un espacio de recreación entre los jóvenes para apoyar los contenidos. V ideo

VIDEOS DE C ONSULTA Estos materiales permiten trabajar contenidos específicos indicados en el libro para el alumno y en el libro para el maestro. El maestro tiene la posibilidad de elegir cuándo y cómo verlos en cada tema o sesión. Estos videos permiten la: interactividad en el aula a partir de un contenido específico; demostración de distintas maneras de colaborar en actividades dentro y fuera del aula; posibilidad de desplegar conocimientos y dudas, y capacidad de plantear y examinar hipótesis y conjeturas, a partir de diversos ejemplos o actividades problematizadoras.

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Además, los videos de consulta tienen una o más de las siguientes funciones: ejemplificar distintas aplicaciones de un concepto en diversos contextos y permiten observar estas aplicaciones en situaciones concretas de la vida diaria; plantear un problema o situación en particular que permita abordar el contenido de un tema desde una perspectiva crítica que, a su vez, promueva la formulación de preguntas auténticas y la búsqueda de respuestas dentro y fuera del aula; abordar aspectos específicos de un tema, dando información puntual y formalizadora, que ayude al entendimiento profundo de un concepto o noción; promover la reflexión colectiva mediante el diálogo y la comunicación en el aula a partir del análisis de diversas problemáticas, así como de diferentes opciones de solución; contextualizar diversos contenidos que proporcionen elementos para entender el entorno que existe alrededor de un tema, y demostrar procesos o procedimientos que permitan acceder a un conocimiento inductivodeductivo. En la asignatura Matemáticas II se puede mencionar el siguiente ejemplo de uso de un video de consulta: En el bloque 1, secuencia 6, sesión 3, Ángulos entre paralelas, el alumno puede, a partir del video Relaciones importantes (en el que se resumen las relaciones de medida entre los ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal), reforzar los conceptos vistos a lo largo de la secuencia a partir de la presentación dinámica de los resultados.

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II

9. ¿Cuánto mide el ángulo formado por la escalera y la pared?

50º

Relaciones importantes Las relaciones de los ángulos entre paralelas y la de los triángulos y paralelogramos te permiten resolver múltiples problemas.

A lo que llegamos Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180º. En un paralelogramo: Los ángulos opuestos son iguales. Los ángulos consecutivos suman 180º. Los cuatro ángulos interiores suman 360º.

Para saber más Sobre animaciones que representan la suma de los ángulos interiores de un triángulo consulta: http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub Ruta: Triángulos, prismas y pirámides Ángulos en el triángulo [Fecha de consulta: 22 de febrero de 2007] Resuelve el problema 2.1 de la página de internet de Educabri Clase 5: http://www.oma.org.ar/omanet/educabri/00-05.htm [Fecha de consulta: 22 de febrero de 2007]

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Cinco sugerencias para ense単ar en la Telesecundaria

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1 Crear un ambiente de confianza Aprender significa tomar riesgos: Lo nuevo siempre causa cierta inseguridad e intentar algo por primera vez implica estar dispuesto a equivocarse. Por eso es importante crear un ambiente de confianza en el cual los alumnos puedan decir lo que piensan, hacer preguntas o intentar procedimientos nuevos sin temor. Algunas ideas para lograr esto son:

• Antes de calificar una respuesta, reflexione sobre su origen, en muchas ocasiones las preguntas tienen más de una solución. Por ello, es importante valorar planteamientos diferentes y no obligar a todos a llegar a una solución única. Ayude a los alumnos a aprender a escuchar a sus compañeros y a encontrar diferencias y semejanzas en las propuestas, analizando sus partes y detectando hasta qué punto se acerca a una respuesta satisfactoria. En Matemáticas, por ejemplo, muchas veces los alumnos obtienen soluciones diferentes, que corresponden a interpretaciones distintas del problema. Es una tarea colectiva comprender las distintas interpretaciones que pueden aparecer en la clase sobre un mismo problema. • Los alumnos pueden aprender unos de otros: en el trabajo de equipo es conveniente que los alumnos tengan diferentes niveles de conocimientos y experiencias. Algunos serán lectores fluidos, otros sabrán argumentar con detalle sus ideas, otros dibujarán con mucha facilidad, otros harán cálculos y estimaciones con soltura. Formar equipos heterogéneos propicia que unos puedan compartir lo que saben con otros. Esto es particularmente útil para la realización de los proyectos de Ciencias, debido a que éstos integran contenidos conceptuales, habilidades y actitudes desarrolladas a lo largo de un bloque o al final del año escolar.

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• Los docentes pueden modelar las actividades para los alumnos usando su propio trabajo para ejemplificar alguna actividad o situación que desea introducir al grupo. Si los alumnos tienen que escribir, leer en silencio, o trabajar de manera individual en alguna tarea, el maestro puede hacer lo mismo. Esto lo ayudará a darse cuenta de cuánto tiempo toma, qué retos especiales presenta o qué aspectos hay que tomar en cuenta para realizarla. Al compartir su propio trabajo, también puede escuchar comentarios, responder preguntas, ampliar información y tomar sugerencias.

Cómo hacer una lluvia de ideas

Cómo coordinar la discusión de un dilema moral

• Mientras los alumnos trabajan en grupos, el maestro debe estar atento a qué ocurre en los equipos: aprovechar la oportunidad para hacer intervenciones más directas y cercanas con los alumnos, sin abordarlos de manera individual. Mientras ellos desarrollan una tarea, puede pasar a los equipos y escuchar brevemente, registrando frases o palabras de los alumnos para retomarlas en las discusiones generales; también puede participar en algunos grupos para conocer la dinámica del trabajo en equipo. Además, en algunos momentos, puede orientar el diálogo de los alumnos, si considera pertinente destacar algún contenido conceptual. • Considere tiempo para mejorar los productos y/o las actividades: en ocasiones los alumnos concluyen una actividad y después de discutirla con otros se dan cuenta de que les gustaría modificarla. Puede resultar de gran provecho dar oportunidad a los alumnos para revisar algún aspecto de su trabajo. Cuando lo considere pertinente, déles tiempo para reelaborar y sentirse más satisfechos con su trabajo.

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Incorporar estrategias de 2 enseñanza de manera permanente Es importante usar diferentes prácticas académicas de manera constante y reiterada. Se trata de guiar la lectura de distintos tipos de textos, gráficas, esquemas, mapas, fórmulas e imágenes; demostrar diversas formas de expresar y argumentar las ideas, utilizar términos técnicos; plantear preguntas, elaborar textos, registrar datos y realizar operaciones matemáticas. Las siguientes estrategias pueden servir como lineamientos generales para la enseñanza en el aula: • Invite a los alumnos a leer atentamente y dar sentido a lo que leen: las diferentes fórmulas, gráficas, mapas, tablas e imágenes que se les presentan en los libros para el alumno, libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula, recursos digitales, videos, etc. Reflexione con ellos sobre por qué se incluyen estos recursos en la actividad, qué tipo de información aportan y en qué aspectos deben poner atención para comprenderlos mejor. • Las actividades relacionadas con los mapas, imágenes, gráficas, problemas y textos incluidos en las secuencias, tienen la finalidad de favorecer la construcción colectiva de significados: en lugar de utilizarlas para verificar la comprensión de lectura o la interpretación de la información representada, se busca construir con el grupo, con la participación de todos, qué dice el texto o las otras representaciones, qué conocemos acerca de lo que dice, qué podemos aprender de ellos y qué nos dicen para comprender mejor nuestro mundo. • Utilice diferentes modalidades de lectura: la lectura en voz alta constituye una situación privilegiada para escuchar un texto y comentarlo sobre la marcha, haciendo pausas para plantear preguntas o explicar su significado; la lectura en pequeños grupos crea oportunidades para que todos lean; la lectura en silencio favorece la reflexión personal y la relectura de fragmentos. Según la ocasión y el propósito, también puede preparar lecturas dramatizadas con todo el grupo o en equipos. • Ayude a los alumnos a construir el sentido de sus respuestas: en lugar de ver estas actividades como pautas para verificar la comprensión de los estudiantes, utilícelas para construir, junto con ellos, los significados de los textos incluidos en las secuencias. • Cuando los alumnos deben escribir respuestas o componer pequeños textos, puede modelarse cómo iniciar el escrito en el pizarrón: pida a dos o tres estudiantes que den ejemplos de frases iniciales para ayudar a todos a empezar a escribir. 28

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Cómo concluir un diálogo o actividad • Invite a los alumnos a leer en voz alta los diferentes textos que van escribiendo: proporcione pautas para revisar colectivamente los escritos, dando oportunidad a los alumnos para reconsiderar sus textos y escuchar otras maneras de redactar lo que quieren expresar. Esto los ayudará a escuchar cómo se oye (y cómo se entienden) sus escritos. Propicie la valoración y aceptación de las opiniones de los otros con el fin de mejorar la composición de textos. Modele y propicie el uso de oraciones completas, en lugar de respuestas breves y recortadas. • Plantee preguntas relacionadas con los temas que tienden a extender el conocimiento disciplinario y sociocultural de los estudiantes: algunas preguntas pueden promover el pensamiento crítico en los estudiantes porque no sólo se dirigen a los contenidos conceptuales, también se involucra el desarrollo de actitudes, porque se promueve la reflexión de aspectos éticos, de salud, ambiente e interculturales, entre otros. • Busque ejemplos de uso del lenguaje de acuerdo a la temática o contenido académico: para ejemplificar algún tipo de expresión, identifique fragmentos en los libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula y léalos en clase. Incorpore la consulta puntual de materiales múltiples y la lectura de muchas fuentes como parte de la rutina en clase.

Cómo introducir otros recursos

Para hacer uso del diccionario

Cómo leer un mapa

Cómo apoyar la elaboración de resúmenes

• Busque ejemplos del contexto cotidiano y de la experiencia de los alumnos, de acuerdo a la temática o contenido académico. • Utilice la escritura como una herramienta de aprendizaje; no todo lo que se escribe en el aula tiene que ser un texto acabado: muchas veces, cuando intentamos poner una idea por escrito, nos damos cuenta de nuestras preguntas y dudas. También se puede usar la escritura para ensayar relaciones y procesos, hacer predicciones, formular hipótesis o registrar interrogantes que pueden retomarse en una ocasión posterior. En matemáticas, por ejemplo, el carácter de formal o acabado del procedimiento de solución de un problema depende del problema que trata de resolverse. Por ejemplo, para un problema de tipo multiplicativo, la suma es un procedimiento informal, pero esta misma operación es un procedimiento experto para un problema de tipo aditivo. El conocimiento matemático está en construcción permanente.

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3 Fomentar la interacción en el aula El diálogo e interacción entre los pares es una parte central en el proceso de aprendizaje: la participación con otros nos ayuda a desplegar nuestros conocimientos, demostrar lo que sabemos hacer, anticipar procesos, reconocer nuestras dudas, oír las ideas de los demás y compararlas con las propias. Por ello, es deseable: • Fomentar la interacción en el aula con múltiples oportunidades para opinar, explicar, argumentar, fundamentar, referirse a los textos, hacer preguntas y contestar: las preguntas que se responden con “sí” o “no”, o las que buscan respuestas muy delimitadas tienden a restringir las oportunidades de los alumnos para elaborar sus ideas. Las preguntas abiertas, en cambio, pueden provocar una variedad de respuestas que permiten el análisis, la comparación y la profundización en las problemáticas a tratar; también permiten explorar razonamientos diferentes y plantear nuevas interrogantes. Además, dan pie a un uso más extenso de la expresión oral. • Crear espacios para que los alumnos expresen lo que saben sobre el tema nuevo o lo que están aprendiendo: en diferentes momentos de las secuencias (al inicio, desarrollo, al final) pueden abrirse diálogos, con el fin de que contrasten sus conocimientos con los de otros alumnos, y con ello enriquecer y promover la construcción compartida de conocimientos.

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• Incorporar en las actividades cotidianas los diálogos en pequeños grupos: algunos estudiantes que no participan en un grupo grande, es más probable que lo hagan en un grupo más pequeño o en parejas. • Utilizar ciertos formatos de interacción de manera reiterada, con materiales de apoyo escritos y/o gráficos para organizar actividades: algunos ejemplos de estos formatos son la presentación oral de reseñas de libros, la revisión de textos escritos por los alumnos, realización de debates, el trabajo en equipo en el que cada alumno tiene una tarea asignada (coordinador, relator, buscador de información, analista, etcétera). • Realizar cierres de las actividades: obtener conclusiones que pueden ser listas de preguntas, dudas o diversas opiniones; los acuerdos del grupo; un registro de diferentes formas de expresión o propuestas de cómo “decir” algo; un resumen de lo aprendido, un diagrama, una tabla, un procedimiento eficaz para resolver un problema, entre otros.

Cómo llevar a cabo un debate

Cómo conducir una revisión grupal de textos

Cómo conducir un diálogo grupal

Cómo coordinar la discusión de un dilema moral

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4 Utilizar recursos múltiples Una parte fundamental de la educación secundaria es aprender a utilizar recursos impresos y tecnológicos para conocer diversas expresiones culturales, buscar información y resolver problemas. Por ello es indispensable explorar y conocer diferentes materiales como parte de la preparación de las clases y • Llevar al aula materiales complementarios: para compartir con los alumnos y animarlos a buscar y compartir con el grupo diferentes recursos. • Promover el uso constante de otros recursos tecnológicos y bibliográficos disponibles en la escuela: si tienen acceso a computadoras, puede

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Cómo anotar referencias de las fuentes utilizadas fomentarse su uso para la realización de los trabajos escolares y, de contar con conectividad, para buscar información en Internet. Asimismo las colecciones de Bibliotecas Escolares y de Aula, la biblioteca de la escuela y la biblioteca pública son fuentes de información potenciales importantes. Por otro lado, el uso de recursos tecnológicos, como los videos, los simuladores para computadora y otras actividades ejecutables en pantalla facilitan la comprensión de fenómenos o procesos matemáticos, biológicos, físicos y químicos que muchas veces son difíciles de replicar en el laboratorio o a través de alguna actividad experimental.

Cómo introducir otros recursos

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5 Desplegar ideas en el aula para consultas rápidas Las paredes del aula constituyen un espacio importante para exponer diferentes recursos de consulta rápida y constante. Por ejemplo, se puede: • Crear un banco de palabras en orden alfabético de los términos importantes que se están aprendiendo en las distintas materias. Sirven de recordatorio para los estudiantes cuando tienen que resolver sus guías, escribir pequeños textos, participar en los diálogos, etc. • Dejar apuntadas diferentes ideas aportadas por todos para resolver algún tipo de problema. Por ejemplo, puede hacerse un cartel para orientar qué hacer cuando uno encuentra una palabra desconocida en un texto:

¿Qué hacer cuando no sabes qué significa una palabra? Tratar de inferir el significado del texto. Buscarlo en el diccionario. Preguntar al maestro o a un compañero. Saltarla y seguir leyendo.

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• Colgar mapas, tablas, gráficas, fórmulas, diagramas y listas para la consulta continua. • Puede involucrar a los alumnos en el registro de la historia del grupo y la evolución de las clases. Una forma de hacer esto es llevar una bitácora donde se escribe cada día lo que ocurrió en las diferentes clases. Los alumnos, por turnos, toman la responsabilidad de llevar el registro del trabajo y experiencias del día. La bitácora se pone a disposición de todos para consultar. Esta no es una actividad para calificar o corregir. Se trata de darle importancia y presencia a la memoria del grupo durante el año escolar. Cada alumno podrá seleccionar qué fue lo relevante durante el día y escribirá de acuerdo a su estilo y sus intereses.

Cómo organizar la bitácora del grupo

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Pistas didácticas Cómo conducir un diálogo grupal • Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrón, para recuperarlas en la discusión o conclusiones. • Acepte respuestas distintas; sugiera que se basen en lo que dice el texto (video, mapa o problema) o en situaciones parecidas. • Para avanzar en el diálogo, resalte las diferencias y semejanzas entre las participaciones de los alumnos. Por ejemplo: “Juan dijo tal cosa, pero María piensa esta otra, ¿qué otras observaciones se podrían hacer?” • Cierre cada punto y dé pie al siguiente inciso. Por ejemplo: “Ya vimos las características comunes a todos los seres vivos, ahora pasaremos a las diferencias entre un ser vivo y un objeto inanimado”. • En cada ocasión otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo los que no levanten la mano. • Señale claramente el momento de las conclusiones y el cierre de los comentarios.

Cómo conducir una revisión grupal de textos individuales • Solicite un voluntario para leer su texto frente al grupo. Copie fragmentos breves de los textos en el pizarrón o usando el procesador de textos, para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas. • Acepte dos o tres intervenciones, para hacer comentarios sobre el contenido cotejando lo que plantea el libro para los alumnos. En el pizarrón haga las modificaciones sugeridas por los comentaristas y pregunte al autor si está de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se le ha ocurrido otra idea para mejorarlo. Permita que sea el propio autor el que concluya cuál es la manera que mejor se acerca a lo que quiere relatar, la corrija en el pizarrón y después en su cuaderno. • Solicite que todos relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, poder leerlo con facilidad ante el grupo. • En cada ocasión invite a alumnos distintos a revisar sus textos con todo el grupo, incluyendo a los que no se autopropongan. • Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisión para el mejoramiento de la expresión escrita.

Cómo anotar referencias de las fuentes utilizadas • Cuando se utilizan textos o imágenes que aparecen en distintos medios, se cita su procedencia, usando alguno de los siguientes códigos: • Libro: apellido del autor, nombre del autor, título, lugar de edición, editorial y año de publicación. Si se trata de un diccionario o enciclopedia, anotar también las palabras o páginas consultadas. • Revista o periódico: título, número, lugar y fecha de publicación, páginas consultadas. • Programa de TV: Nombre del programa, horario de transmisión y canal. 36

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Cómo organizar la bitácora del grupo • La bitácora es una actividad compartida por todos los miembros del grupo. Se busca escribir día a día la vida del grupo escolar. Es una actividad libre de escritura en el sentido de que cada alumno puede elegir qué aspecto del día comentar y cómo comentarlo. No se trata de corregirlo sino de compartir las diferentes perspectivas acerca de los eventos centrales de la convivencia en el aula. • Cada día un alumno diferente se hace responsable de escribir, dibujar, insertar fotografías, etcétera. • Es una actividad que los alumnos pueden realizar en un procesador de palabras. • Si cuenta con conectividad, se puede crear un blog (bitácora electrónica) del grupo que se despliegue en Internet. En la página www.blogspot.com se explica cómo hacerlo.

Cómo hacer una lluvia de ideas • Plantee una pregunta abierta relacionada con una actividad, texto, imagen o situación (¿Qué pasaría si…? ¿Cómo podríamos…? ¿Por qué creen que esto ocurre así…? ¿Qué les sugiere esto?). • Permita y promueva que los alumnos den su opinión, anote ideas y sugerencias y planteen dudas. • Conforme los alumnos van participando, apunte en el pizarrón, de manera abreviada, sus comentarios y aportaciones. También puede anotar sus ideas en un procesador de palabras y proyectarlas en la pantalla. • Cuando los alumnos han terminado de participar, revise con ellos la lista y busquen diferentes formas de organizar sus ideas (juntar todas las similares, ordenarlas cronológicamente, agruparlas por contenido, etcétera). • Resuma con el grupo las principales aportaciones. • Retome las participaciones cuando sea pertinente relacionarlas con otras intervenciones.

Cómo concluir un diálogo o una actividad • Hacia el final del diálogo o de una actividad, resuma los comentarios de todos los participantes. • Señale las principales semejanzas y diferencias en las aportaciones. Recuérdele al grupo cómo se plantearon y cómo se resolvieron. • Ayude a los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos principales de la actividad y de sus reflexiones. • Permita a los alumnos expresar sus dudas y contestarlas entre ellos. • Anote en el pizarrón las ideas y conclusiones más importantes.

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Cómo llevar a cabo un debate • Antes de empezar, solicite a dos alumnos que desempeñen las funciones de moderador y de secretario, explicándoles en qué consiste su labor. • Defina con claridad los aspectos del tema seleccionado que se van a debatir; debe plantearse con claridad cuál o cuáles son los puntos o aspectos que se están confrontando. • El moderador anota en una lista los nombres de quienes desean participar e inicia la primera ronda de participaciones para que cada uno exprese su punto de vista y sus argumentos acerca del tema. • El secretario toma notas de las participaciones poniendo énfasis en las ideas o conceptos que aportan. • Al agotar la lista de participaciones, el moderador hace un resumen de los comentarios. De ser necesario y contar con tiempo, puede abrirse una nueva lista de participaciones; o bien, al final resume las principales conclusiones o puntos de vista para que el secretario tome nota de ellas. • Cada vez que sea necesario, es importante que el moderador les recuerde a los participantes cuáles son los puntos centrales del debate, para evitar distracciones. • Al final, el secretario lee sus anotaciones y reporta al grupo las conclusiones o puntos de vista.

Cómo introducir otros recursos • Explore y lea con anticipación los materiales, seleccionando aquellos que desea compartir con el grupo. • Presente el material (libro, revista, artículo de periódico, mapa, imagen, etcétera) al grupo, comentando qué tipo de material es, el autor o artista, el año. • Lea o muéstrelo al grupo. • Converse con los alumnos acerca de la relación de este material con el trabajo que se está desarrollando. Propicie la reflexión sobre la relación del material presentado con la actividad que se realiza o el contenido que se trabaja. • Invítelos a revisar el material y conocerlo más a detalle, o que ellos sugieran, aporten, lleven o busquen material relevante para los temas que están abordando en el curso.

Cómo coordinar la discusión de un dilema moral • Pida a los alumnos que lean el dilema individualmente y respondan las preguntas. Indique que los comentarios se harán más adelante. • Aclare con el grupo el sentido del dilema, preguntándoles, ¿por qué es un dilema?, ¿cuál es el tema central?, ¿qué habrá pensado el personaje en cuestión? • Invite a los alumnos a intercambiar ideas en plenaria. • Explique previamente dos reglas básicas: a) Debatir argumentos y no agredir ni elogiar a personas, y b) turnarse el uso de la palabra, de modo que se ofrezcan equilibradamente argumentos a favor y en contra de cada postura. • A medida que el grupo identifique las posturas y argumentos posibles, anótelos en el pizarrón e invite al grupo a organizarlos, mediante preguntas como: ¿Cuál es el mejor argumento a favor de X postura y por qué? ¿Habría otros argumentos?, ¿cuáles? • Para cerrar, invite al grupo a redefinir o confirmar sus posturas iniciales, con base en los argumentos dados, y a buscar salidas diversas y más satisfactorias al dilema. 38

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Cómo apoyar la elaboración de resúmenes • Elija el texto que se va a resumir y léalo con el grupo. • Solicite participaciones a partir de las preguntas: ¿cuál consideran que es la idea principal de cada párrafo?, ¿cuáles serán las ideas secundarias o ejemplos? Acepte participaciones de los alumnos, escriba algunas en el pizarrón o con el procesador de textos y después proponga usted sus respuestas a las mismas preguntas. • A partir de las respuestas, ejemplifique en el pizarrón cómo retomar la idea principal de cada párrafo. Puede incluir definiciones textuales, vocabulario técnico y ejemplos del texto. • De ser posible, muestre a los alumnos ejemplos de resúmenes elaborados por usted o por otros estudiantes.

Cómo conducir una revisión grupal de textos colectivos • Solicite a un equipo voluntario para leer su texto frente al grupo y otro para comentarlo. Copie fragmentos breves del texto en el pizarrón para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas. • Acepte dos o tres observaciones de los comentaristas, basadas en las pautas de revisión. En el pizarrón haga las modificaciones sugeridas y pregunte a los autores si están de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se les ocurre otra idea para mejorarlo. Permita que los autores sean quienes decidan sobre la manera que mejor se acerca a lo que quieren decir, reelaboren su idea en el pizarrón y luego en su cuaderno. • Solicite que en cada equipo relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, leerlo con facilidad ante el grupo. • En cada ocasión, invite a equipos distintos a que revisen y comenten sus textos con todo el grupo. Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisión para el mejoramiento de la expresión escrita.

Para hacer uso del diccionario • Haga una lista, con sus alumnos, de las palabras que no conocen o no comprenden. • Búsquenlas en el diccionario en orden alfabético. • Lea el significado e intenten utilizarlo dentro de un contexto. También pueden hacer uso de sinónimos. • Relea las oraciones que contienen las palabras consultadas para comprenderlas ampliamente. • Si aún quedan dudas, busque la palabra en un libro especializado.

Cómo leer un mapa • Pida a los alumnos que identifiquen el título del mapa para saber qué tipo de información representa. Si se trata de un mapa histórico, solicite a los estudiantes que identifiquen de cuándo data y si representa hechos o procesos del pasado. • Revise con los alumnos las referencias o simbología. • Señale claramente cuál es la escala empleada en el mapa. • Revise con el grupo la simbología utilizada y su explicación. • Comente con el grupo la información que se puede obtener a partir del mapa o relacionándolo con otras informaciones previas. • Interprete la orientación a partir de leer la rosa de los vientos. L i b r o p a ra el maestro

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10. Polígonos de frecuencias.  [132-147] Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.

9. Problemas de conteo.  [118-131] Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.

8. Proporcionalidad múltiple.  [104-117] Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

7. La relación inversa de una relación de proporcionalidad directa.  [92-103] Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.

6. Ángulos entre paralelas.  [82-91] Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

5. Rectas y ángulos.  [70-81] Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

4. Ángulos.  [56-69] Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.

3. Expresiones algebraicas y modelos geométricos.  [46-55] Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

2. Problemas aditivos con expresiones algebraicas.  [30-45] Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.

1. Multiplicación y división de números con signo.  [12-29] Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.

SECUENCIA

Suma y resta de expresiones algebraicas

2.4 Cuadrados mágicos y números consecutivos

6.1 Ángulos correspondientes

10.3 ¿Qué gráfica utilizar?

10.2 Anemia en la población infantil mexicana

10.1 Rezago educativo y gráficas

9.3 Reparto de dulces

9.2 La casa de cultura

9.1 ¿Cómo nos estacionamos?

8.3 Más problemas

8.2 La excursión

8.1 El volumen

7.3 Problemas

Polígonos de frecuencias en los reportes de investigación

¿De cuántas formas?

La proporcionalidad múltiple

7.1 El peso en otros planetas 7.2 Europa y Plutón

Relaciones importantes El peso en otros planetas

6.3 Los ángulos en los paralelogramos y en el triángulo

6.2 Ángulos alternos internos

Polígono de frecuencias

Anticipar resultados en problemas de conteo

Diagrama de árbol

Diagrama de árbol

Proporcionalidad múltiple

Proporcionalidad con Logo

Factores de proporcionalidad

Ángulos interiores del triángulo y del paralelogramo

Ángulos entre paralelas

Ángulos opuestos por el vértice

Rectas perpendiculares y paralelas

5.3 Relaciones entre ángulos Parejas de rectas

Rectas perpendiculares y paralelas Rectas perpendiculares y paralelas

5.2 Rectas que se cortan

Reconocer, estimar y medir ángulos

5.1 Rectas que no se cortan

4.3 Deducción de medidas de ángulos

4.2 Ángulos internos de triángulos

Reconocer, estimar y medir ángulos

Modelos geométricos de expresiones algebraicas

El grado como unidad de medida

3.2 Más expresiones equivalentes 4.1 Medidas de ángulos

Modelos geométricos de expresiones algebraicas

3.1 Expresiones equivalentes Más expresiones equivalentes

Suma y resta de expresiones algebraicas

2.3 La tabla numérica

2.2 A medir contornos

Suma y resta de expresiones algebraicas

Multiplicación y división de números con signo

2.1 Los gallineros

Multiplicación y división de números con signo

Multiplicación y división de números con signo

Interactivos

RECURSOS TECNOLÓGICOS

1.5 La regla de los signos 2

La magia de los chinos

Los números con signo

Videos

1.4 La regla de los signos 1

1.3 Más multiplicaciones de números con signo

1.2 Multiplicaciones de números con signo

1.1 Los números con signo

SESIÓN

Bloque 1 Aula de medios

¿Cuánto peso si estoy en Saturno? (Calculadora)

¿Cuánto suman? (Logo)

Relaciones de los ángulos entre paralelas (Geometría dinámica)

Paralelas y secantes (Logo)

Ángulos formados por la intersección de dos rectas (Geometría dinámica)

Posiciones relativas de las rectas en el plano (Geometría dinámica)

Trazo de una paralela (Geometría dinámica)

Suma de los ángulos interiores de un triángulo (Geometría dinámica)

Clasificación de ángulos (Geometría dinámica)

Suma con polinomios (Calculadora)

Rectángulos de diferentes tamaños (Logo)

Rectángulos (Logo)

¿Cómo restamos números con signo? (Calculadora)

Muchas maneras de hacer lo mismo 1 y 2 (Logo)


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17. Medidas de tendencia central.  [216-235] Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la media aritmética.

16. Comparación de situaciones de proporcionalidad.  [208-215] Resolver problemas de comparación de razones, con base en la noción de equivalencia.

15. Aplicación de volúmenes.  [200-207] Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Realizar conversiones de medidas de volumen y de capacidad y analizar la relación entre ellas.

14. Volumen de prismas y pirámides.  [188-199] Justificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

13. Cubos, prismas y pirámides.  [176-187] Describir las características de cubos, prismas y pirámides. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico.

12. Multiplicación y división de polinomios.  [160-175] Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

11. La jerarquía de las operaciones.  [150-159] Utilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos.

SECUENCIA Videos Interactivos

Medidas de tendencia central Medidas de tendencia central

17.3 Las calorías que consumen los jóvenes

Estadísticas, alimentos y otras situaciones

17.2 El promedio del grupo en el examen 2

17.1 El promedio del grupo en el examen 1

Comparación de razones

16.2 La concentración de pintura

Estimación y cálculo de volúmenes

Volumen de cubos, prismas y pirámides

Volumen de cubos, prismas y pirámides

Cubos, prismas y pirámides

Cubos, prismas y pirámides

Cubos, prismas y pirámides

Multiplicación y división de expresiones algebraicas

Multiplicación y división de expresiones algebraicas

Jerarquía de las operaciones y uso de paréntesis  

Comparación de razones Comparación de cocientes

Problemas prácticos

Unas fórmulas se obtienen de otras

La geometría a tu alrededor

Los bloques algebraicos

El concurso de la tele

RECURSOS TECNOLÓGICOS

16.1 El rendimiento constante

15.3 Variaciones

15.2 Capacidades y volúmenes

15.1 El decímetro cúbico

14.3 Arroz y volumen

14.2 Más volúmenes de prismas

14.1 Las cajas

13.5 Diferentes puntos de vista

13.4 Patrones y regularidades

13.3 El cuerpo escondido

13.2 Más desarrollos planos

13.1 Desarrolla tu imaginación

12.3 ¿Cuánto mide la base?

12.2 A cubrir rectángulos

12.1 Los bloques algebraicos

11.2 Más reglas

11.1 El concurso de la tele

SESIÓN

Bloque 2 Aula de medios

Construcción de programas VII (Calculadora)

Construcción de números solo con “cuatro cuatros” (Calculadora)

Aprende a calcular con Logo (Logo)


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Libro d e l m a e s t r o

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23. Las características de la línea recta Anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante. Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante.

22. Mosaicos y recubrimientos Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.

21. Los polígonos y sus ángulos internos Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

20. Relación funcional Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b. Construir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

19. Ecuaciones de primer grado Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx + c = dx + ex + f y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios, positivos o negativos.

18. Sucesiones de números con signo Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Obtener la regla que genera una sucesión de números con signo.

SECUENCIA Videos

20.5 El plan perfecto

Ecuación de la recta y = ax + b

23.3 La ordenada al origen

23.3 Miscelánea de problemas y algo más

Ecuación de la recta y = ax + b

23.2 Las pendientes negativas

Un punto importante en una recta (Calculadora)

Analizando gráficas de rectas (Hoja de cálculo)

Más sobre gráficas que “decrecen” (Calculadora)

Gráficas que “decrecen” (Calculadora)

¿Qué gráficas crecen más rápido? (Calculadora)

Rectas que “crecen” (Calculadora)

Ecuación de la recta y = ax + b

23.1 Pendiente y proporcionalidad

Cubrimientos del plano

Medición de perímetros, áreas y ángulos (Geometría dinámica)

Recubrimiento del plano con polígonos regulares (Geometría dinámica)

La ordenada al origen

Enmosaicados

Ángulos interiores de un polígono Ángulos interiores de un polígono

Descripción de fenómenos con rectas

¿Grados Farenheit o centígrados? (Calculadora)

Gráficas de funciones (Logo)

Variación linea (2) (Hoja de cálculo)

Cubrimientos del plano

22.2 Los mosaicos y los polígonos regulares

22.1 Recubrimientos del plano

21.2 La suma de ángulos internos

21.1 Triángulos en polígonos

Los celulares

Descripción de fenómenos con rectas

20.3 El taxi

Triangulación

Descripción de fenómenos con rectas

20.4 El resorte

Descripción de fenómenos con rectas

20.1 La cola de las tortillas 20.2 ¡Cómo hablan por teléfono!

19.4 Miscelánea de problemas

19.3 Más allá de la balanza

Ecuaciones (3) (Hoja de cálculo) Números perdidos (Calculadora)

19.1 Piensa un número Resolución de ecuaciones de primer grado

Aula de medios Descripción de programas (Calculadora)

19.2 El modelo de la balanza

Sucesiones geométricas con Logo

Sucesiones de números con signo Sucesiones y recursividad con Logo

La balanza

Interactivos Sucesiones de números con signo

18.3 De mayor a menor

Sucesiones de números

RECURSOS TECNOLÓGICOS

18.2 Números que crecen

18.1 ¿Cuál es la regla?

SESIÓN

Bloque 3


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E VA L U A C I Ó N

29. Gráficas formadas por rectas Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

28. Gráficas de línea Interpretar y utilizar dos o más gráficas de línea que representan características distintas de un fenómeno o situación para tener información más completa y en su caso tomar decisiones.

27. Eventos independientes Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.

26. Puntos y rectas notables del triángulo Explorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

25. Triángulos congruentes Determinar los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

24. Potencias y notación científica Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

SECUENCIA

29.2 Camino a la escuela

Llenado de recipientes Gráficas formadas por segmentos de recta

Gráficas de línea en la estadística

28.3 ¿Cuántos extranjeros nos visitaron? 29.1 Albercas para chicos y grandes

Gráficas de línea en la estadística

Gráficas de línea en la estadística

Frecuencia y probabilidad con Logo

28.2 ¿ Sabes cuántas personas visitan el estado en que vives?

El turismo: Una ocupación interesante

Probabilidad. Eventos independientes

28.1 Turismo, empleo y gráficas de línea

Probabilidad. Eventos independientes

27.3 Eventos independientes y dependientes

Probabilidad. Eventos independientes

27.2 Dos o más eventos independientes

¿Cuándo dos eventos son independientes?

Rectas y puntos notables del triángulo

26.4 Bisectrices 27.1 ¿Cuáles son los eventos independientes?

Rectas y puntos notables del triángulo Rectas y puntos notables del triángulo

26.2 Alturas 26.3 Medianas

Juego con dados 1, 2 y 3 (Logo)

Trazar el incírculo de un triángulo (Geometría dinámica)

Rectas y puntos notables del triángulo

Rectas notables del triángulo

Bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo cualquiera (Geometría dinámica)

Congruencia de triángulos

26.1 Mediatrices

Figuras directa o inversamente congruentes (Geometría dinámica)

Congruencia de triángulos

25.3 Un lado y dos ángulos correspondientes iguales

Leyes de los exponentes II y IV (Calculadora)

Leyes de los exponentes III (Calculadora)

Leyes de los exponentes I (Calculadora)

Aula de medios

25.2 Un ángulo y dos lados correspondientes iguales

25.1 Tres lados iguales

Congruencia de triángulos

Potencias y exponentes

24.4 Exponentes negativos

Figuras congruentes

Potencias y exponentes

24.3 Cocientes de potencias

24.5 Notación científica

Potencias y exponentes Potencias y exponentes

Interactivos

RECURSOS TECNOLÓGICOS

24.1 Producto de potencias

Números muy grandes y muy pequeños

Videos

24.2 Potencias de potencias

SESIÓN

Bloque 4


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Sentido numérico y pensamiento algebraico

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

EJE 1:

EJE 2:

EJE 3:

E VA L U A C I Ó N

32. Eventos mutuamente excluyentes Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.

31. Traslación, rotación y simetría central Determinar las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construir y reconocer diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

30. Sistemas de ecuaciones Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros. Representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretar la intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

SECUENCIA

Sistemas de ecuaciones

30.3 Solución gráfica de sistemas de ecuaciones

32.3 Más problemas de probabilidad

32.2 Dos o más eventos mutuamente excluyentes

32.1 ¿ Cuáles son los eventos mutuamente excluyentes?

31.4 A  lgo más sobre simetrías, rotaciones y traslaciones ¿Cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes?

Azar y probabilidad con Logo

Probabilidad. Eventos mutuamente excluyentes

Probabilidad. Eventos mutuamente excluyentes

Movimientos en el plano

Movimientos en el plano

31.2 Rotaciones

31.3 Simetría central

Movimientos en el plano

31.1 ¿Hacia dónde me muevo?

Movimientos en el plano

Sistemas de ecuaciones

30.2 Compras en el mercado

Interactivos Sistemas de ecuaciones

El viaje

Videos

Aula de medios

Uso de la simetría central (Geometría dinámica)

Molinos y rehiletes 1 y 2 (Logo)

Concepto de rotación (Geometría dinámica)

Concepto de traslación (Geometría dinámica)

Sistemas de dos ecuaciones (Hoja de cálculo)

RECURSOS TECNOLÓGICOS

30.1 La granja

SESIÓN

Bloque 5


Clave de logos

T rabajo

individual

S itios

de I nternet

En

parejas

Bibliotecas Escolares y de Aula

En

equipos

V ideo

T odo

el grupo

C onexi贸n

con otras asignaturas

G losario

C onsulta

CD

Programa integrador Edusat

I nteractivo

A udiotexto

otros materiales

de recursos

A ula

de

M edios

O tros T extos

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BLOQUE   1

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secuencia 1

Propósito del programa integrador. Mostrar casos en los que se resuelvan problemas de multiplicación y división de números con signo.

Multiplicación y división de números con signo

Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican efectuar sumas y restas de números con signo.

En esta secuencia resolverás problemas que impliquen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números con signo.

En esta sesión se hace un repaso de lo que se estudió en las secuencias 25 y 33 del libro Matemát icas I. La secuencia va a servir también como repaso de las operaciones y de las tablas de multiplicar.

SESIóN 1

Organización del grupo. Se sugiere resolver la sesión en parejas.

Para empezar Los números con signo

En las secuencias 25 y 33 de tu libro Matemáticas i Volumen ii resolviste problemas en los que utilizaste sumas y restas de números con signo. En esta sesión recordarás cómo hacer esas operaciones. Los números con signo son los números positivos y los números negativos. El cero no tiene signo. Los números positivos se ubican a la derecha del cero en la recta numérica. Pueden aparecer con el signo + o sin él. Cuando llevan el signo + es porque se desea resaltar que . son positivos. Por ejemplo: +3, +16, +7.9, +10.35, + 25 , + 37 3 Los números negativos se ubican a la izquierda del cero en la recta numérica y siempre . se escriben anteponiéndoles el signo –. Por ejemplo: –7, –1, –4.1, –12.73, – 38 , – 81 5

– 81 5

–12.73

–7

–1 0

–4.1 – 83

Sugerencia didáctica. En el libro de primero muchas veces se escribieron los números positivos anteponiéndoles el signo +. Comente con los alumnos que en esta secuencia no se hará así.

Sesión

48

+16 + 37 3

Propósitos de la sesión

Recursos Aula de medios Video “Los números con signo”

1

Los números con signo Resolver problemas que implican efectuar sumas y restas de números con signo.

2

Multiplicaciones de números con signo Resolver multiplicaciones de un número entero positivo por un número negativo, de la forma 5 × (–3).

3

Más multiplicaciones de números con signo Resolver multiplicaciones de un número negativo por un número positivo, de la forma (–7) × 4.

4

La regla de los signos 1 Identificar y utilizar la regla de los signos para multiplicar.

Interactivo

5

La regla de los signos 2 Identificar y utilizar la regla de los signos para dividir.

Interactivo

Antecedentes

En primer grado los alumnos ubicaron números con signo en la recta numérica e hicieron operaciones de suma y resta con ellos. En esta secuencia aprenderán a multiplicarlos y a dividirlos.

+10.35

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Significado y uso de las operaciones.

+7.9

12

Eje Tema

+3

+ 25

Interactivo

Programa integrador 1

Descripción del video. El video es de introducción, por lo cual puede ser observado antes de iniciar con la sesión. En él se hace un breve recorrido histórico para conocer quiénes y cuándo utilizaron por primera vez los números negativos, y se proveen los distintos contextos que provocaron su uso a lo largo de la historia. Se complementa la información sobre los distintos conjuntos de números, en particular de los naturales y los enteros.

LOS NÚMEROS CON SIGNO

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MATEMÁTICAS

II

Cuando se hacen operaciones de números con signo, los números se escriben entre paréntesis para no confundir los signos de los números con los signos de la operación. Por ejemplo: (–4) + (+5) – (–15).

Sugerencia didáctica. Comente esta información con los alumnos. Es frecuente que confundan el signo del número con el de la operación, así que conviene que lo repasen y que aclaren dudas.

Se puede escribir 5 en vez de +5 y entonces no son necesarios los paréntises: (–4) + 5 – (–15).

Lo que aprendimos 1. Una sustancia química que está a una temperatura de –5 °C se calienta en un mechero hasta que alcanza una temperatura de 12 °C.

¿Cuántos grados subió la temperatura de la sustancia?

Sugerencia didáctica. Al final de la sesión haga una puesta en común para que se revisen los resultados.

2. En una tienda de abarrotes se realizó el balance bimestral de todo un año. Se indicaron las ganancias con números negros y las pérdidas con números rojos. El saldo para un periodo se calcula sumando las ganancias y restando las pérdidas:

Ene-Feb

Mar-Abr

May-Jun

Jul-Ago

Sept-Oct

Nov-Dic

960.60

773.50

1 755.75

441.80

2 997.25

4 647.00

Balance bimestral

Respuesta. Subió 17° C. Puede sugerir a los alumnos que utilicen el termómetro para efectuar la operación o verificar su resultado.

a) Respondan sin hacer la cuenta, ¿el saldo anual fue positivo o negativo?

b) ¿De cuánto fue el saldo anual en la tienda? c) En otra tienda, el saldo anual fue de $9 550.60. En el bimestre enero-febrero tuvieron pérdidas por $845.25.

¿Cuál fue el saldo en esta tienda de marzo a diciembre?

3. Escriban mayor que (>) o menor que (<) según corresponda.

<

18

c) (–19)

<

1

d) (–7)

e) (–27)

>

(–35)

f) (–11)

a) 7

b) 12

>

(–5)

< <

14

Recuerden que: El número mayo r es el que está más a la de recha en la recta numérica.

(–3)

13

Respuestas. a) El saldo es positivo, a simple vista puede observarse que hay más ganancias que pérdidas. b) El saldo anual fue de $8 771.10. Para resolverlo lo mejor es sumar primero las ganancias, luego las pérdidas y restar los resultados. También puede hacerse sumando o restando el saldo de cada bimestre, uno por uno. Es importante que permita que los alumnos lo intenten de la manera que a ellos les parezca mejor. c) El saldo de marzo a diciembre fue de $10 395.85. Este saldo tiene que ser mayor al saldo anual debido a que en enero-febrero hubo pérdidas. Es posible que muchos alumnos resten 9 550.60 – 845.25 y obtengan $8 705.35. Una manera de que se den cuenta de que ese cálculo es erróneo es obteniendo el saldo de marzo a diciembre en la primera tienda (el saldo en ese periodo es de $9 731.70).

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secuencia 1 Recuerden que: • Los números simétricos son los que están a la misma distancia del cero. • El valor absoluto de un número siempre es un número positivo, se representta utilizando dos barras verticales.

e: Recuerden qu os del r dos númer • Para suma en ed pu se no mismo sig os lores absolut sumar los va y el signo del s, ro me nú de los el signo de los resultado es se suman. números que s números de do r • Para suma , se puede os nt sti di signos erencia de dif la r ra nt enco solutos de los los valores ab no del sig números, y el el signo del resultado es yor valor número de ma absoluto.

Sugerencia didáctica. En el libro de primero no se hicieron ejercicios en los que hubiera que sumar más de dos números con signo, por ello puede ser útil que ponga un par de ejemplos en el pizarrón en los que se utilice el método de sumar por separado los positivos y los negativos, de esta manera se convierte en una suma de números con distinto signo. Sin embargo, aclare a los alumnos que también pueden decidir realizar las sumas una por una en cualquier orden.

Recuerden que: eros con Para hacer restas de núm simétrico: signo se puede sumar el = –7. (–2) – 5 = (–2) + (–5) = 2. (–3) – (–5) = (–3) + 5

4. Escriban el simétrico o el valor absoluto de los siguientes números con signo, según corresponda: a) El simétrico de 29.3 es

–29.3

de ( b) El simétrico

19 7

c) |25.1| =

25.1

2 = d) |– 13 |

2 13

– 19 7

) es

5. Resuelvan las siguientes sumas: a) (–8) + (–15) = –23 b) 24 + (–24) =

0

c) (–31) + 48 =

17

d) 59 + (–81) =

–22

e) 4.3 + (–8.7) =

–4.4

f)

(– ) + 1 2

7 9

=

14 5 = 18 (– 189 ) + 18

6. Resuelvan las siguientes restas: a) (–31) – 14 =

– 45

b) 46 – (–10) =

46 + 10 = 56

c) (–2) – (–65) =

(– 2) + 65 = 63

d) (–52) – (–19) =

(– 52) + 19 = -33

e) (–15.7) – (–17.9) = f)

(– 15.7) + 17.9 = 2.2

(– 74 ) – (– 13 ) = (– 21 12 ) +

4 12

7 = – 12

7. Resuelvan las siguientes sumas: Recuerden que: Para realizar una suma de varios números con signo podemos sumar primero todos los números positivos, después todos los números negativos y por último sumar los resultados. Por ejemplo: (–18) + 31 + (–24) = 31 + (–42) = –11. (–15) + 11 + (–8) + 28 = 39 + (–23) = 16.

a) (–10) + 17 + (–15) = b) 28 + (–4) + 11 =

– 8

35

c) (–10) + (–21) + 86 =

55

d) (–47) + (–12) + (–33) =

– 92

e) 14 + (–25) + (–39) + 32 =

– 18

f) (–10) + (–33) + (–38) + (–9) =

– 90

14

50

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MATEMÁTICAS

II

Respuestas. a) Observe que al dibujar la recta los alumnos sitúen al cero, y que todas las unidades midan lo mismo.

8. El municipio de Temósachic, localizado en el noroeste del estado de Chihuahua, es uno de los municipios con las temperaturas más bajas del país. En el año 2006, en esa localidad se registraron las siguientes temperaturas mínimas promedio por mes (en grados centígrados):

Temperatura mínima promedio

Ene

Feb

Mar

Abr

May

Jun

Jul

Ago

Sept

Oct

Nov

Dic

–7

–2

0

2

5

12

13

14

10

4

–3

–6

b) Al sumar las temperaturas promedio registradas se obtiene 42. El promedio anual de la temperatura mínima son 3.5° C (porque 42 ÷ 12 = 3.5).

a) Dibujen una recta numérica y coloquen en ella todas las temperaturas.

b) Con los datos mensuales del cuadro, calculen el promedio anual de la temperatura mínima. 9. El faro de Alejandría es una de las siete maravillas del mundo antiguo. Ptolomeo I, rey de Egipto, mandó construirlo en el año 291 antes de nuestra era, en la isla de Faro. Consistía en una torre de 134 metros de altura; en su parte superior, una hoguera permanente marcaba la posición de la ciudad a los navegantes. a) La construcción del faro tardó 12 años en completarse. ¿En qué año se terminó de construir?

b) Ptolomeo I tenía 76 años cuando mandó construir el faro, ¿en qué año nació?

c) El sucesor de Ptolomeo I fue su hijo, Ptolomeo II, quien se convirtió en rey en el año 285 antes de nuestra era, a la edad de 24 años. Se sabe que Ptolomeo II nació cuando su madre tenía 31 años. ¿En qué año nació la madre?

15

Respuestas. a) En el año 279 antes de nuestra era, porque (– 291) + 12 = –279. b) Nació en el año 367 antes de nuestra era, porque (–291) – 76 = –367. c) La madre de Ptolomeo II nació en el año 340 antes de nuestra era. Para responder esta pregunta es necesario averiguar primero en qué año nació Ptolomeo II. Hay que restar su edad en ese momento al año en que se convirtió en rey, es decir, (–285) – 24 = –309. Después, para averiguar en qué año nació su madre, hay que restar (–309) – 31 = –340. Posibles dificultades. Quizá muchos alumnos consideren que la respuesta a la pregunta a) es el año 303. Sugiérales que sitúen los años en una línea de tiempo para que vean que la cuenta se hace de distinta manera cuando se trata de los años antes de nuestra era. L i b r o p a ra el maestro

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Propósito de la sesión. Resolver multiplicaciones de un número entero positivo por un número negativo, de la forma 5 × (–3).

secuencia 1 SESIóN 2

Organización del grupo. Se propone resolver la sesión individualmente y hacer comentarios grupales.

MULTIPLICACIONES DE NÚMEROS CON SIGNO

Para empezar

Los números tienen su origen en la necesidad de contar y de medir. Los primeros números que fueron utilizados son los llamados números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…

Al conjunto formado por los números naturales, los simétricos de los números naturales y el cero, se le llama conjunto de los números enteros: …, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4…

Propósito de la actividad. Que los alumnos puedan seguir el patrón de las multiplicaciones con positivos para responder las de los negativos. Se les da la pista en el resultado de 6 × (–4) para que puedan confirmar o rectificar sus resultados.

Consideremos lo siguiente Las siguientes tablas son parte de las tablas de multiplicar del 4 y del 6. Completa los resultados:

Es importante que usted no anticipe la regla de la multiplicación de un positivo por un negativo, deje que los alumnos encuentren los resultados de la manera que crean conveniente. Posibles procedimientos. Una posible respuesta es que continúen las tablas hacia los positivos: 4 × (−1) = 4, 4 × (−2) = 8, etcétera. Aunque se les da la pista de 6 × (−4) = −24, alguno podría pensar que es un error. Un procedimiento correcto es ver que los resultados van disminuyendo de 4 en 4 en la primera tabla, y de 6 en 6 en la segunda tabla, de esta manera pueden completar los resultados.

3

4×6=

24

6×6=

36

4×5=

20

6×5=

30

4×4=

16

6×4=

24

4×3=

12

6×3=

18

4×2=

8

6×2=

12

4×1=

4

6×1=

6 0

4×0=

0

6×0=

4 × (–1) =

–4

6 × (–1) =

–6

4 × (–2) =

–8

6 × (–2) =

–12

4 × (–3) =

–12

6 × (–3) =

–18

4 × (–4) =

–16

6 × (–4) =

–24

4 × (–5) =

–20

6 × (–5) =

–30

4 × (–6) =

–24

6 × (–6) =

–36

4 × (–7) =

–28

6 × (–7) =

–42

Comparen sus respuestas. Comenten los procedimientos que siguieron para llenar las tablas.

16

52

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MATEMÁTICAS

II

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos se den cuenta del patrón que aparece en las tablas: los resultados siempre van disminuyendo (de 4 en 4 en la primera tabla y de 6 en 6 en la segunda).

Manos a la obra I. Observa las tablas y responde las preguntas: a) ¿Cuánto se resta para pasar del resultado de 4 × 5 al resultado de 4 × 4?

Si hay dificultades, escriba en el pizarrón las restas correspondientes. Por ejemplo:

b) ¿Cuánto se resta para pasar del resultado de 4 × 1 al resultado de 4 × 0? c) Para pasar del resultado de 4 × 0 al resultado de 4 × (–1), se resta lo mismo.

0–4=

¿Cuánto es 4 × (–1)?

(–4) – 4 =

d) Entre dos renglones consecutivos de la tabla del 4, siempre se resta lo mismo.

(–8) – 4 =

¿Cuánto es 4 × (–5)? e) ¿Cuánto se resta entre dos renglones consecutivos de la tabla del 6?

0–6=

f) ¿Cuánto es 6 × (–2)?

(–6) – 6 =

g) ¿Cuánto es 6 × (–5)?

Respuestas. a) Se resta 4.

Comparen sus respuestas.

b) Se resta 4. II. Multiplicar 4 × 2 es lo mismo que sumar cuatro veces 2:

c) Se hace la resta 0 – 4 = –4.

4 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8.

d) -20. Se sigue restando –4 cada vez.

Se suma cuatro veces 2.

e) Se resta 6. f) –12.

Expresa cada multiplicación como sumas: a) 5 × 3 =

g) –30.

=

Se suma

veces 3.

b) 4 × 0 = 0 + 0 + 0 + 0 =

Se suma

veces 0.

17

Propósito del interactivo. Interpretar las multiplicaciones de números con signo como sumas. Sugerencias didácticas. Permita que los alumnos modifiquen los factores presentados en el interactivo para que recuerden que la multiplicación se puede interpretar como una suma repetida. Puede comenzar con los dos factores positivos y después ir cambiando el signo del segundo factor para mostrar que la idea de la suma repetida también sirve cuando se multiplican números con signo. Pida a los alumnos que relacionen los números que se están multiplicando con el resultado, llame su atención hacia los signos.

Permita que una vez que hayan elaborado alguna conjetura la validen modificando los números a multiplicar (éstos se pueden modificar aumentando o disminuyendo el grado de dificultad de acuerdo con las necesidades de sus alumnos).

Propósito de la actividad. Se quiere que los alumnos recuerden que una multiplicación puede verse como una suma repetida, y que esta idea sirve también para cuando se multiplica un entero positivo por un número negativo.

Recuerde que puede explorar el resto del interactivo por si alguna actividad anterior o posterior le sirve para reafirmar algunos conceptos con sus estudiantes, esto no necesariamente deberá ser delante del grupo, puede explorar previamente el interactivo y seleccionar, si lo considera oportuno, algunas otras actividades.

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secuencia 1 iii. Cuando en una multiplicación el primer factor es un número entero positivo y el segundo factor es un número negativo, también se hace una suma repetida, por ejemplo: 2 × (–5) = (–5) + (–5) = –10.

Se suma dos veces –5. O también: 4 × (–3.7) = (–3.7) + (–3.7) + (–3.7) + (–3.7) = –14.8.

Se suma cuatro veces –3.7. Expresa las siguientes multiplicaciones como sumas repetidas y encuentra el resultado: a) 3 × (–8) = ( b)

(-4)

c) 5 ×

–8

)+(

–8

)+(

–8

)=

× (–11) = (–11) + (–11) + (–11) + (–11) =

e) 6 × (–

4 3

–4.8

24 ) = (– 43 ) + (– 43 ) + (– 43 ) + (– 43 ) + (– 43 ) + (– 34 ) = –  3

f) 6 × (–7) =

–42 (–12) + (–12) + (–12)

g) 3 × (–12) =

Si es necesario, recuerden cómo se hacen las multiplicaciones con fracciones.

–44

(–2) = (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) = –10

d) 4 × (–1.2) = (–1.2) + (–1.2) + (–1.2) + (–1.2) =

Sugerencia didáctica. Pida a algunos alumnos que opinen al respecto. Y que comenten si están de acuerdo o no en que no es necesario hacer todas las sumas repetidas.

–24

= –36.

Comparen sus respuestas y comenten: en otro grupo encontraron el resultado de 6 × (–7) diciendo que 6 × 7 = 42 y que, entonces, 6 × (–7) = –42. ¿Están de acuerdo con este procedimiento? ¿Cómo usarían este procedimiento para encontrar el resultado de 4 × (–1.2) y de 6 × (– 34 )?

Se esperaría que después de la discusión resolvieran las multiplicaciones del número IV sin tener que hacer las sumas repetidas.

iV. Realiza las siguientes multiplicaciones: a) 8 × (–10) =

–80

b) 12 × (–4) =

–48

c) 7 × (–5.8) =

–40.6

d) 10 × (–

1 7

) = – 10 7

18

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6/2/07 11:07:23 PM


MATEMÁTICAS

II

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien esta información en sus cuadernos. Dígales que pongan algunos ejemplos de multiplicaciones con dos factores de signos distintos en las que empleen números enteros, decimales y fracciones.

A lo que llegamos Cuando en una multiplicación el primer factor es un número entero positivo y el segundo factor es un número negativo, se suma varias veces el número negativo. Por ejemplo:

5 × (–4) = (–4) + (–4) + (–4) + (–4) + (–4) = –20. Se suma cinco veces –4

3 × (–6.4) = (–6.4) + (–6.4) + (–6.4) = –19.2. Se suma tres veces –6.4

4 × (–

7 3

) = (– ) + (– 73 ) + (– 73 ) + (– 37 ) = (– 283 ) . 7 3

Se suma cuatro veces –

7 3

.

En general, para encontrar el resultado de una multiplicación de este tipo se multiplican los valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el signo –. Por ejemplo:

6 × (–3) = –18

Se hace la multiplicación 6 × 3 = 18, se le antepone el signo –, y el resultado es –18.

10 × (–8.32) = –83.2 Se hace la multiplicación 10 × 8.32 = 83.2, se le antepone el signo –, y el resultado es –83.2.

Sugerencia didáctica. Si no queda tiempo en la clase, deje esta actividad de tarea.

Lo que aprendimos 1. Completa la expresión de cada una de las siguientes multiplicaciones como una suma y encuentra el resultado.

a) 4 × 8 b) 8 × 0 = c) 3 × (–7) =

=

8

+

8

+

8

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 (−7) + (−7) + (−7)

+

8

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a estas actividades y revíselas para ver si han comprendido. Si lo considera necesario, repasen la información de A lo que llegamos.

= 32. =

0

= –21

d) 9 × (–1) = (−1)+(−1)+(−1)+(−1)+(−1)+(−1)+(−1)+(−1)+(−1) = –9 e)

7

f) 4 × (−3) =

× (–2) = (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) = –14

(−3) + (−3) + (−3) + (−3)

= –12. 19

L i b r o p a ra el maestro

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55

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secuencia 1 g) 5 × (–10.4) =

h) 6 × (–

2 5

(-10.4)+(-10.4)+(-10.4)+(-10.4)+(-10.4)

(

–  52

)=

)+(

–  52

)+(

–  25

)+(

–  52

)+(

–  25

)+(

–  25

=

–52

) = (– 125 )

2. Realiza las siguientes multiplicaciones: 5 × (–8) =

–40

8 × (–7) =

11 × 0 =

0

2 × (–13) =

6 × (–4.8) = –28.8

Propósito de la sesión. Resolver multiplicaciones de un número negativo por un número positivo, de la forma (–7) × 4.

SESIóN 3

–56

2×0=

–26

8 × (–2.25) =

0

14 × (–3) =

(

–18

–27

3 × (–9) =

–42

) – 21 4

7 × – 34 =

10 × 0 =

0

) – 44 3

(

4 × – 11 3 =

MÁS MULTIPLICACIONES DE NÚMEROS CON SIGNO

Para empezar

Organización del grupo. Esta sesión también se resuelve de manera individual.

En esta sesión vas a continuar haciendo multiplicaciones de números negativos con positivos.

Consideremos lo siguiente

Propósito de la actividad. Se presentan nuevamente dos tablas, pero ahora en la segunda hay números negativos como primer factor. Se espera que los alumnos resuelvan la primera tabla utilizando lo que aprendieron en la sesión anterior, y que resuelvan la segunda encontrando un patrón en los resultados (va disminuyendo de 8 en 8) y viendo que dichos resultados coinciden renglón a renglón con los de la primera tabla (propiedad conmutativa, aunque no se maneja con ese nombre).

Las siguientes tablas son parte de las tablas de multiplicar del 8. Encuentra los resultados:

Permita que los alumnos saquen sus propias conclusiones sin anticiparles la regla de los signos ni la conmutatividad.

3

8×6=

48

6×8=

48

8×5=

40

5×8=

40

8×4=

32

4×8=

32

8×3=

24

3×8=

24

8×2=

16

2×8=

16

8×1=

8

1×8=

8

8×0=

0

0×8=

8 × (–1) =

− 8

(–1) × 8 =

0 −8

8 × (–2) =

−16

(–2) × 8 =

−16

8 × (–3) =

−24

(–3) × 8 =

−24

8 × (–4) =

− 32

(–4) × 8 =

− 32

8 × (–5) =

− 40

(–5) × 8 =

− 40

8 × (–6) =

− 48

(–6) × 8 =

− 48

Comparen sus respuestas. Comenten cómo van cambiando los resultados en las tablas. 20

56

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MATEMÁTICAS

II

Propósito de la actividad. Que los alumnos se den cuenta del patrón que aparece en las tablas: los resultados siempre van disminuyendo.

Manos a la obra I. Observa las tablas y responde las preguntas:

Si hay dificultades, escriba en el pizarrón las restas correspondientes. Por ejemplo:

a) En la tabla de la izquierda, de arriba hacia abajo, ¿los resultados aumentan o disminuyen?

0–8=

b) ¿Cuánto se resta para pasar del resultado de 4 × 8 al resultado de 3 × 8?

(–8) – 8 =

c) ¿Cuánto se resta para pasar del resultado de 2 × 8 al resultado de 1 × 8?

(–16) – 8 =

d) Para pasar del resultado de 0 × 8 al resultado de (–1) × 8, se resta lo mismo.

Respuestas.

¿Cuánto es (–1) × 8?

a) Se resta 8.

e) Entre dos renglones consecutivos de la tabla del 8, siempre se resta lo mismo.

b) Se resta 8.

¿Cuánto es (–5) × 8? f) ¿Cómo son los resultados en cada renglón de las dos tablas? ¿Son iguales o son

c) –8.

distintos?

d) –40.

Comparen sus respuestas. Comenten: si 8 × (–9) = –72, ¿cuánto es (–9) × 8?

e) Los resultados son iguales.

II. Completa los siguientes resultados: 10 × 5 =

50

5 × 10 =

50

10 × 4 =

40

4 × 10 =

40

10 × 3 =

30

3 × 10 =

30

10 × 2 =

20

2 × 10 =

20

10 × 1 =

10

1 × 10 =

10

10 × 0 =

0

10 × (–1) =

−10

0 × 10 =

1

0

(–1) × 10 =

−10 −20

10 × (–2) =

−20

(–2) × 10 =

10 × (–3) =

− 30

(–3) × 10 =

− 30

10 × (–4) =

− 40

(–4) × 10 =

− 40

10 × (–5) =

− 50

(–5) × 10 =

− 50

a) En las tablas, ¿los resultados aumentan o disminuyen? b) Los resultados, en cada renglón de ambas tablas, ¿son iguales o son diferentes?

21

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secuencia 1 iii. Encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones:

a) 7 × (–4) =

–28

b) (–4) × 7 =

–28

c) 11 × (–9) =

–99

d) (–9) × 11 =

–99

e) 5 × (–12) =

–60

f) (–12) × 5 =

–60

g) 4 × (–27) =

–108

h) (–27) × 4 =

–108

i) 15 × (–4) =

–60

j) (–2) × 18 =

–36

k) 10 × (–16) =

–160

l) (–14) × 13 =

–182

Comparen sus respuestas. Comenten cuál es el signo del resultado cuando multiplicamos un número negativo con uno positivo.

Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que en las sesiones 2 y 3 han trabajado la multiplicación de un número positivo por uno negativo, y que el resultado es igual si el primer factor es positivo y el segundo negativo, o al revés, si el primero es negativo y el segundo positivo.

A lo que llegamos Cuando en una multiplicación el primer factor es un número negativo y el segundo factor es un número entero positivo, se multiplican los valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el signo –. Por ejemplo:

3 × (–8) = –24

(–8) × 2 = –16 Se hace la multiplicación 8 × 2 = 16, se le antepone el signo –, y el resultado es –16.

(–8) × 3 = -24

iV. Cuando se multiplica un número entero positivo por una fracción o un número decimal negativo, se hace lo mismo: se multiplican los valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el signo –. Realiza las siguientes multiplicaciones:

a) 3 × (–4.1) =

–12.3

b) (–9.47) × 10 =

–19.47

c) (–

– 12 5

d) 5 × (– 10 7)=

– 50 7

4 5

)×3=

Comparen sus respuestas. 22

58

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6/2/07 11:07:41 PM


MATEMÁTICAS

II

Lo que aprendimos 1. Realiza las siguientes multiplicaciones:

0×5=

0

7 x (–1) =

–7

3 × (–16) =

–48

(–1) × 14 =

–14

(–7) × 11 =

–77

1 × (–4) =

–4

(–17) × 7 =

–119

16 × (–12) =

–192

(–3.5) × 4 =

–14

8 × (–6.2) =

–49.6

(– 29 ) × 6 = – 12 9

(

)

8 × – 13 4 =

– 104 4 Propósito de la sesión. Identificar y utilizar la regla de los signos para multiplicar.

LA REGLA DE LOS SIGNOS 1

SESIóN 4

Para empezar

Cuando se multiplican números con signo se utiliza la regla de los signos. En esta sesión vas a conocer y a utilizar esta regla.

Consideremos lo siguiente

Propósito de la actividad. Al llenar esta tabla se pretende que los alumnos utilicen lo que aprendieron en las dos sesiones anteriores para que continúen encontrando los patrones. De esta manera podrán concluir que un número negativo multiplicado por un número negativo da como resultado un número positivo. Es importante que no les anticipe cuál es el resultado de multiplicar un número negativo por un número negativo.

Encuentra los resultados que hacen falta en la siguiente tabla y anótalos. ×

4

3

2

1

0

–1

–2

–3

–4

4

16

12

8

4

0

–4

–8

–12

–16

3

12

9

6

3

0

–3

–6

–9

–12

2

8

6

4

2

0

–2

–4

–6

–8

1

4

3

2

1

0

–1

–2

–3

–4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

–1

0

1

2

3

4 8

0 –1

–4 –3 –2

–2

–8 –6 –4

–2

0

2

4

6

–3

–12 –9 –6

–3

0

3

6

9 12

–4

–16 –12 –8

–4

0

4

8

12 16

Organización del grupo. Los alumnos trabajan de manera individual y comentan sus resultados con los demás.

Comparen sus respuestas. Comenten cómo van cambiando los resultados en cada renglón y en cada columna. 23

3

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59

6/2/07 11:07:44 PM


Propósito de la actividad. Se quiere que los alumnos se den cuenta del patrón que aparece en las tablas: los resultados en unas columnas/ renglones siempre aumentan o siempre disminuyen.

secuencia 1

Manos a la obra i. Observa las tablas y responde las preguntas: a) ¿Cuánto se suma para pasar del resultado de 4 × (–3) al resultado de 3 × (–3)?

Si ve que hay dificultades escriba en el pizarrón las sumas:

b) ¿Cuánto se suma para pasar del resultado de 1 × (–3) al resultado de 0 × (–3)?

(−12) + 3 = −9 (−9) + 3 = −6

c) Entre dos resultados consecutivos de la tabla del (–3) siempre se suma lo mismo.

(−6) + 3 = −3

¿Cuánto es (–1) × (–3)?

(−3) + 3 = 0

d) ¿Cuánto es (–2) × (–3)?

0+3=3 ii. Responde las siguientes preguntas:

Respuestas.

a) En la tabla del (–1), para pasar de un resultado al siguiente ¿se suma o se resta?

a) Se suma 3.

. ¿Cuánto se suma o cuánto se resta?

b) Se suma 3.

b) En la tabla del 1, para pasar de un resultado al siguiente ¿se suma o se resta? . ¿Cuánto se suma o cuánto se resta?

c) 3.

c) En la tabla del 2, ¿cuánto se suma o cuánto se resta para pasar de un resultado al

d) 6.

siguiente? d) En la tabla del (–4), ¿cuánto se suma o cuánto se resta para pasar de un resultado

Respuestas.

al siguiente?

a) Se suma 1.

e) ¿Cuál es el signo del resultado de multiplicar dos números negativos?

b) Se resta 1.

Comparen sus respuestas. Comenten cuál es el resultado de multiplicar (–3) × (–7).

c) Se resta 2. d) Se suma 4.

iii. Realiza las siguientes multiplicaciones:

e) Es positivo.

a) 7 × (–2) = c) (–3) × (–6) = e) 3 × (–15) =

–14 18 –45

b) (–12) × 4 =

–48

d) (–9) × 2 =

–18

f) (–17) × (–4) =

68

24

60

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MATEMÁTICAS

II

Respuestas. a) Negativo.

IV. Completa las afirmaciones con positivo o negativo: a) Cuando multiplicamos un número positivo por uno negativo el resultado es

b) Negativo. c) Positivo.

b) Cuando multiplicamos un número negativo por uno el resultado es positivo.

d) Positivo. por uno positivo

c) Cuando multiplicamos un número el resultado es positivo. d) Cuando multiplicamos un número negativo por uno el resultado es negativo. Comparen sus respuestas.

A lo que llegamos Para multiplicar números con signo se multiplican los valores absolutos de los números y luego se determina el signo del resultado utilizando la regla de los signos:

Sugerencia didáctica. Copie esta información en una cartulina y péguela en el salón.

cuando multiplicamos Positivo por positivo el resultado es positivo. Positivo por negativo el resultado es negativo. Negativo por positivo el resultado es negativo. Negativo por negativo el resultado es positivo. Por ejemplo, para multiplicar (–4) × 11, primero se hace la multiplicación:

4 × 11 = 44, y utilizando la regla de los signos sabemos que el resultado es negativo. Entonces,

(–4) × 11 = –44.

V. Cuando se multiplican fracciones o números decimales con signo, también se utiliza la regla de los signos. Realiza las siguientes multiplicaciones:

a) (–5) × 8.4 =

–42

c) (–5.8) × (–3.6) = e) (–

1 7

) × (– 149 ) =

b) (–10.35) × (–4) =

20.88 14 63

=

2 9

d)

4 11

× (–3) =

f)

12 5

× – 21 =

(

)

41.4

– 12 11 12 – 10 = –  56 25

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61

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secuencia 1

Integrar al portafolios. Guarde una copia de las respuestas de los alumnos a esta actividad. Si los alumnos tienen dificultades repasen la información de los apartados A lo que llegamos de las últimas tres sesiones.

Lo que aprendimos 1. Realiza las siguientes multiplicaciones:

Propósito del interactivo. Resolver multiplicaciones de números con signo.

(–8) × 0 =

Sugerencias didácticas. Si desea realizar más ejercicios con los alumnos, el interactivo presenta aleatoriamente los números a multiplicar. Una forma de utilizar el interactivo es formando equipos para resolver las tablas y antes de presionar el botón Verificar pregunte a los alumnos si las respuestas son correctas, en caso de no serlo, que ellos mismos expliquen por qué. Puede ocupar la actividad para evaluar lo aprendido por sus alumnos.

0

1 × (–15) =

–15

0 × (–4) =

–39

(–12) × (–8) =

(–17) × 1 =

–17

(–3) × 13 =

(–16) × 2 =

–32

(–13) × (–15) =

(–2.5) × 4.1 =

(– ) × (– 1 2

10.25

SESIóN 5

1 8

195

1 ) =  16

0

7 × (–1.3) = 4×

(

– 21 8

96

–9.1

) = – 84 8

LA REGLA DE LOS SIGNOS 2

Para empezar

La regla de los signos también se utiliza para hacer divisiones entre dos números con signo.

Consideremos lo siguiente Completen los datos y los resultados que faltan en las siguientes multiplicaciones:

Propósito de la sesión. Identificar y utilizar la regla de los signos para dividir.

× 7 –4 –12 2 14 –8 –24 –4 16 −28 48 35 −20 −60 5 –56 −8 32 96 –52 −156 13 91 –105 −15 60 180 −18 −126 72 216

Organización del grupo. En esta sesión hay trabajo tanto individual como de parejas. Los comentarios sobre las respuestas y procedimientos son con todo el grupo. Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos utilicen la regla de los signos para saber cuál es el signo del resultado de una multiplicación o el de uno de los factores. En algunos casos es necesario dividir.

Comparen sus respuestas. Comenten qué hicieron para encontrar el signo de los números que faltaban.

Si observa los alumnos que cometen errores aritméticos en las divisiones no los corrija, es mejor pedirles que ellos realicen, al final, todas las multiplicaciones para verificar los resultados.

Manos a la obra i. Respondan las siguientes preguntas: a) Un número multiplicado por 17 da como resultado 204, ¿cuál es la operación que se puede hacer para encontrar ese número? 26

3 Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos extiendan a los números negativos lo que ya saben hacer con las multiplicaciones y divisiones de números positivos. Se extiende la regla de los signos a la divisiones para que se siga cumpliendo la regla de los signos en las multiplicaciones.

Posibles dificultades. Quizá en los incisos g) e i) los alumnos no escriban los paréntesis. Recuérdeles lo que se vio en la sesión 1, en el apartado Para empezar : los paréntesis se utilizan para no confundir el signo del número con los signos de la operación.

Respuestas. a) Se divide 204 entre 17. b) Es 12. c) 12 × 17 = 204. d) La división es 184 ÷ (−8). e) 23. f) 23 × (−8) = −184.

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II

MATEMÁTICAS b) ¿Cuál es el número que buscamos? c) Esto es cierto porque:

× 17 = 204.

d) Para encontrar el número que multiplicado por –8 da como resultado 184, ¿cuál es la operación que se puede hacer? e) ¿Cuál es el número que buscamos? f) Esto es cierto porque:

× (–8) = 184.

II. En la siguiente tabla se presentan algunos problemas. Complétenla: División que se hace para encontrar el número

Problema

¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 3 da –78?

(–78) ÷ 3 =

¿Cuál es el número que al multiplicarlo por –9 da 171?

171 ÷ (−9) = −19

−26

¿Cuál es el número que al multiplicarlo por

−25 da −75 ?

(–75) ÷ (–25) =

Verificación

−26

× 3 = –78

(−19) × (−9) = 171

3

3

Respuestas.

× (−25) = –75

a) Negativo.

a) ¿Cuál es el signo del resultado de dividir un número negativo entre uno positivo?

b) Negativo. c) Positivo.

b) ¿Cuál es el signo del resultado de dividir un número positivo entre uno negativo?

c) ¿Cuál es el signo del resultado de dividir un número negativo entre uno negativo?

III. Encuentren el resultado de las siguientes divisiones: a) 12 ÷ (–6) =

–2

b) (–18) ÷ 6 =

–3

c) (–44) ÷ (–4) =

11

d) (–20) ÷ 5 =

–4

e) (–16) ÷ (–8) =

2

f) 28 ÷ (–28) =

–1

Comparen sus respuestas. Comenten qué hicieron para encontrar el signo de los resultados.

3 27

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63

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secuencia 1

A lo que llegamos Sugerencia didáctica. Copie esta información en una cartulina y péguela en el salón.

Para hacer divisiones entre números con signo se dividen los valores absolutos de los números y luego se encuentra el signo del resultado utilizando la regla de los signos: Cuando dividimos, Positivo entre positivo el resultado es positivo. Positivo entre negativo el resultado es negativo. Negativo entre positivo el resultado es negativo. Negativo entre negativo el resultado es positivo. Por ejemplo, para dividir (–110) ÷ (–5) , primero se hace la división: 110 ÷ 5 = 22, y utilizando la regla de los signos, sabemos que el resultado es positivo. Entonces,

(–110) ÷ (–5) = 22.

Sugerencia didáctica. Puede ser útil recordar cómo se hacen las divisiones con fracciones.

iV. Cuando se dividen fracciones o números decimales con signo, también se utiliza la regla de los signos. Realicen las siguientes operaciones: a) (–7.4) ÷ 2 =

Integrar al portafolios. Seleccione una de las actividades de este apartado y pida a los alumnos que le entreguen una copia de sus respuestas. Sugerencia didáctica. Utilicen la calculadora de la computadora para verificar los resultados de estas operaciones. Hay que dar un clic en Inicio, luego ir a Programas, y en Accesorios encontrarán la calculadora. También pueden hacerlo con cualquier calculadora que haya en el salón. Es importante que los alumnos aprendan a distinguir entre las teclas de operadores (+ – ÷ ×) y la de cambio de signo (+/–). Para realizar la operación 6× (–5.3) hay que oprimir: [ 6 ] [×] [ 5.3 ] [ +/– ] [ = ] Dé a los alumnos un tiempo para explorar cómo funciona la calculadora y posteriormente pida a algunos que expliquen paso por paso las teclas que hay que oprimir para obtener el resultado correcto en la operación 16 ÷ (–5), por ejemplo. Proponga otras sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números con signo.

64

–3.7

b) (–15.5) ÷ (–5) =

c) (–10) ÷ (– 11 4)=

40 11

d) (–

e) (–

32 21

f)

8 3

) ÷ (– 74 ) =

2 3

2 3

3.1

2 ) ÷ 7 = – 21

) –  63 = – 2

(

÷ – 13 =

Lo que aprendimos 1. Realiza las siguientes operaciones:

×0= (–9)

0

(–1) × 17 =

×7= (–2)

–14

6 × (–8) =

× (–1) = 12

–12

÷ (–11) = 44

–4

–17 –48 45

(–9) × (–5) = (–48) ÷ (–2) =

24

÷8= (–35)

–4.375

16 ÷ (–5) =

–3.2

6 × (–5.3) =

–31.8

(–3) x 2.4 =

–7.2

1 × (–29) = (–7) × 3 =

–29

–21

(–15) × (–1) = (–56) ÷ 8 =

15

–7

(–29) ÷ (–4) =

7.25

(–3.75) ÷ (–5) =

0.75

0 × (–24) =

0

11 × (–4) =

–44 130

(–10) × (–13) = (–18) ÷ (–4) =

4.5

(–71) ÷ (–10) =

7.1

(–34.2) ÷ (–9) =

3.8

28

Propósito del interactivo. Practicar las reglas para multiplicar y dividir números con signo. Sugerencias didácticas. Si desea realizar más ejercicios con los alumnos, el interactivo presenta aleatoriamente los números a multiplicar o dividir. Una forma de utilizar el interactivo es formando equipos para resolver las actividades propuestas y antes de presionar el botón Verificar, pregunte a los alumnos si las respuestas son correctas, en caso de no serlo que ellos mismos expliquen por qué. Puede ocupar la actividad para evaluar lo aprendido por sus alumnos.

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MATEMÁTICAS 3   (–3) × – 61 = 6

(

)

(– 132 ) × 5 = – 65 2

7 8

÷ (–4) =

7 – 32

8 6

(

72 33 (–11) ÷ (– 10 ) – 12 = 6   3 ) = 10

× – 92 =

2 3

) (

(

(

)

)

=42

13

)

÷ – 58 =

Respuestas.

84 (–12) ÷ – 27 =  2

54 (–7.4) × 5.1 = –37.74 (–2.7) × (–10.5) =28.35 – 65 × – 95 = 25

(

II (– 71 ) × 13 = –  7

b) Es −6.84° C porque la suma de las temperaturas mínimas es −34.2° C y (−34.2) ÷ 5 = -6.84.

3 – 16 (– 14 ) ÷ (– 103 ) = 40 15  

2. Del 25 al 29 de diciembre de 2006 se registraron las siguientes temperaturas en Temósachic, Chihuahua: 25

26

27

28

c) Del día 25 / XII / 06 es −1° C porque 8 + (−10) = –2 y –2 ÷ 2 = −1.

29

Temperatura máxima

8

17.4

20.2

16

7

Temperatura mínima

–10

–9.4

–8.8

0

–6

Del día 26 / XII / 06 es 4° C porque 17.4 + (−9.4) = 8 y 8 ÷ 2 = 4. Del día 27 / XII / 06 es 5.7° C porque 20.2 + (−8.8) = 11.4 y 11.4 ÷ 2 = 5.7.

a) Encuentra el promedio de las temperaturas máximas en esos días. b) Encuentra el promedio de las temperaturas mínimas en esos días.

Del día 28 / XII / 06 es 8° C porque 16 + 0 = 16 y 16 ÷ 2 = 8.

c) Encuentra la temperatura promedio de cada día (el promedio calculado entre la temperatura máxima y la mínima de ese día).

Del día 29 / XII / 06 es 0.5° C porque 7 + (−6) = 1 y 1 ÷ 2 = 0.5.

3. Coloca los números que faltan para que todas las operaciones sean correctas:

24

×

÷

−8

=

× ÷

= –3

−1

4

−4

−24 ÷

=

= ×

a) Es 13.72° C porque la suma de las temperaturas mínimas es 68.6° C y 68.6 ÷ 5 = 13.72.

–2 =

=

12

Para saber más Sobre los números enteros consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Números enteros”, “Suma y resta de números enteros” y “Multiplicación y división de enteros”, en Una ventana al infinito. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Sobre los números con signo: Marván, Luz María. “Números con signo”, “¿Mayor o menor?”, “El valor absoluto” y “Reglas para operar con negativos”, en Representación numérica. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002. Sobre los egipcios consulta: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/faro/home.htm Sobre héroes, tumbas y sabios El periódico Egipcio Ruta: Menú [Fecha de consulta: 23 de mayo de 2007]. Red Escolar, Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa. 29

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secuencia 2

Problemas aditivos con expresiones algebraicas Propósito del programa integrador. Mostrar casos en los que se resuelvan problemas aditivos con expresiones algebraicas.

En esta secuencia resolverás problemas de adición y sustracción de expresiones algebraicas.

Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen la suma de monomios.

SESIóN 1

Organización del grupo. En esta sesión se sugiere que los alumnos trabajen de manera individual y que haya momentos de intercambio grupal.

LOS GALLINEROS

Consideremos lo siguiente Don Lencho es un granjero que desea construir un gallinero de forma rectangular. El técnico avícola de la región le ha recomendado que el largo del gallinero mida el doble que su ancho. Para determinar las dimensiones del gallinero, don Lencho tiene una gran cantidad de posibilidades que respeten la recomendación anterior.

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, pase a algunos alumnos al pizarrón a que dibujen rectángulos que cumplan dicha condición.

a

Posibles respuestas. Puede haber distintas respuestas correctas, como 6 a, 3 a + 3 a, a + 2 a + a + 2 a.

Si el número de metros que tiene el ancho se representa con la letra a, escribe una expresión algebraica que represente el perímetro del gallinero.

Es importante que lo comenten y que los alumnos tengan claro que todas las respuestas correctas son expresiones equivalentes a 6 a.

Perímetro = Comparen sus expresiones algebraicas. Comenten: ¿Cuál es el perímetro del gallinero si el ancho mide 1 metro?

1

30

Eje

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.

Tema Significado y uso de las operaciones.

Antecedentes

En primero de secundaria los alumnos aprendieron a usar incógnitas como números generales y a resolver problemas aditivos con números enteros. En esta secuencia aprenderán a sumar y restar monomios y binomios.

66

Sesión

Propósitos de la sesión

Recursos

1

Los gallineros Resolver problemas que impliquen la suma de monomios.

Interactivo Aula de medios

2

A medir contornos Resolver problemas que impliquen la suma de binomios.

Aula de medios

3

La tabla numérica Resolver problemas que impliquen la suma o resta de monomios con coeficientes positivos y negativos.

Interactivo

4

Cuadrados mágicos y números consecutivos Resolver problemas con números consecutivos que impliquen la suma de expresiones algebraicas.

Video “La magia de los chinos” Interactivo

Programa integrador 2

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

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MATEMÁTICAS

II

Propósito del interactivo. Ejemplificar el uso de expresiones algebraicas.

Manos a la obra

Que los alumnos se familiaricen con el uso de expresiones algebraicas.

I. Completa la siguiente tabla para ayudar a don Lencho a decidir el tamaño del gallinero.

Medida en metros del ancho

Medida en metros del largo

Operaciones que se realizan para calcular el perímetro del gallinero

1 2

6

1 12

3

9

2 4

12

3

Sugerencias didácticas. Esta parte del interactivo presenta la traducción de enunciados en expresiones algebraicas; puede ocuparse para mostrar a los alumnos más ejemplos de cómo representar algebraicamente un problema. Conviene realizar las dos actividades ya que en la primera sólo se trabaja aritméticamente y en la segunda se hace la representación algebraica de los procedimientos realizados.

Perímetro del gallinero en metros

6

18

4 8

24

4.5

9

8

16

48

a

2 × a

6a

27

Comparen sus tablas. Si es necesario, verifiquen sus respuestas dibujando en su cuaderno los rectángulos correspondientes (utilicen una escala de 1cm = 1m). Comenten: a) ¿Qué operación hicieron para obtener la medida del largo del gallinero cuando a representa la medida del ancho en metros?

b) ¿Qué operaciones hicieron para obtener el perímetro del gallinero cuando a representa la medida del ancho en metros?

Respuestas. Con excepción de la primera, las demás expresiones representan la medida del perímetro.

II. Contesta lo siguiente: a) En las siguientes expresiones algebraicas la letra a representa el número de metros que tiene el ancho del gallinero. Subraya las expresiones que, al sumarse, permiten obtener el perímetro. ¡Cuidado, puede haber más de una que sea correcta!

a+a+a a + a + 2 a + 2a a+a+a+a+a+a 3a + 3 a

e: Recuerda qu ) signo × (por confundir el x, Para evitar con la literal n ió ac lic tip de la mul ibe. ” no se escr el signo “por o: Por lo mism +a sa=a+a 3a = 3 vece 31

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6/2/07 11:10:14 PM


secuencia 2 b) El resultado de la suma a + a es 2a, o sea, 2 veces a. Completa el siguiente esquema para encontrar el resultado de la suma a + a + 2a + 2a.

a + a

+

2a

a + a

+ ( a + a) +

+

2a = (a + a)

c) ¿Cuántas veces aparece a en la expresión a + a + (a + a) + (a + a)?

3

Comenten las soluciones que obtuvieron.

A lo que llegamos

Propósito del interactivo. Identificar las partes que forman un término.

En una suma de expresiones algebraicas los sumandos se llaman términos. Por ejemplo, a y 2a son términos de la suma

a + a + 2a + 2a

Introducir el concepto de términos semejantes.

Los términos tienen coeficiente, literales y exponentes.

Sugerencias didácticas. El interactivo es una animación que presenta términos semejantes a un término dado, el cual se puede modificar. Pida a los alumnos que obseven qué es lo que se mantiene constante y lo qué es que cambia al presentarles los términos semejantes al término dado. Puede pedir a los alumnos que modifiquen el término para validar sus conjeturas respecto de qué es un término semejante a otro.

El término 2a tiene: Coeficiente: 2

Literal: a Exponente: 1

El término a tiene: Coeficiente: 1

Literal: a Exponente: 1

El término 3a 2 tiene: Coeficiente: 3

Literal: a Exponente: 2

A los términos que tienen la misma literal con igual exponente como

a, 3a, 2a, 1.5a, se les llama términos semejantes. Los términos numéricos son semejantes entre sí. Por ejemplo, 8 y –5 son términos semejantes.

Sugerencia didáctica. Haga ver a los alumnos que un término puede tener varias literales con sus respectivos exponentes, por ejemplo en 3 a 2 b 3 el coeficiente es 3 y hay dos variables a cuyo exponente es 2 y b cuyo exponente es 3.   

3a 2 y 2a aunque tienen la misma literal no son semejantes porque no tienen el mismo exponente. 32

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que mientras a representa una unidad lineal (para medir longitudes), a 2 representa una unidad de superficie (para medir áreas) y a 3 es una unidad cúbica (para medir volumen). También puede preguntar a los alumnos si 2 a y a 2 representan lo mismo o no, y si es el caso, en qué son distintas. Pídales algún ejemplo en el que se utilicen una u otra.

68

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MATEMÁTICAS

II

III. Un hijo de don Lencho le presentó a su papá otros diseños para construir el gallinero.

Respuestas. Al rectángulo le corresponde la expresión 8 x  y al trapecio la expresión 6.5x.

Une con una línea cada figura con la expresión de la derecha que representa su perímetro. 3x 8x x 6x

1.5x

4.5x

2x

2x

6.5x

x

Comparen las soluciones que obtuvieron. Comenten:

3

¿Cómo sumar términos semejantes cuando los coeficientes son decimales?

A lo que llegamos Para sumar términos semejantes se suman los coeficientes y se conserva la parte literal. Por ejemplo:

5.2x + 7.3x = 12.5x 5.2 + 7.3 = 12.5

IV. El perímetro del triángulo ABC es 13x.

C

3x

A

4x

B

¿Cuál es la medida del lado BC? Comparen sus respuestas y comenten: ¿Qué operación hicieron para encontrar la medida del lado BC? 33

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69

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Propósito de la actividad. Lo que se plantea aquí tiene la intención de que los alumnos exploren la solución de problemas que involucran una resta de expresiones algebraicas utilizando algunos de sus conocimientos geométricos.

secuencia 2

A lo que llegamos Para restar términos semejantes se restan los coeficientes y se conserva la parte literal. Por ejemplo:

7x – 4x = 3x

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas y procedimientos a cualquiera de las actividades del apartado Lo que aprendimos y guárdela en el portafolios.

7–4=3

Lo que aprendimos 1. El ancho de un rectángulo es 15x, y el largo tiene la medida del ancho más 3x. Dibuja en tu cuaderno el rectángulo con la medida de sus lados y escribe la expresión que corresponde a su perímetro.

Si tienen dificultades analice a qué se deben, ya que pueden estar relacionadas con algunos conocimientos geométricos, o bien con la suma de expresiones algebraicas. Si ocurre esto último, revisen nuevamente la información de A lo que llegamos y propóngales otras sumas y restas de expresiones algebraicas.

2. Escribe la expresión del perímetro para cada uno de los siguientes polígonos regulares.

2x

Respuesta. El largo del rectángulo se obtiene sumando 15x + 3 x = 18 x ; por lo tanto, el perímetro del rectángulo es 66 x (perímetro = 15x + 15x + 18 x +18 x = 66 x).

P=

12 x

3.6 z

P=

2.4y

P=

12 y

3. Encuentra el valor faltante en cada una de las figuras siguientes. a)

Posibles dificultades. A algunos alumnos puede serles difícil esta actividad porque no saben cuánto vale x ni tienen manera de averiguarlo. Si esto ocurre dígales que x puede ser cualquier medida, pero que el problema puede resolverse aunque ésta no se conozca, lo importante es que cumplan con la condición de que el largo sea 3 x mayor que el ancho. Una vez que hayan hecho el dibujo pídales que lo comparen con el de otros compañeros. Si no hubo errores, todos los rectángulos serán proporcionales.

1.2z

b)

y

y El perímetro del triángulo isósceles es 5y. ¿Cuánto mide cada uno de los lados iguales? El perímetro del rectángulo es 8y. ¿Cuánto mide de largo?

34

Posibles dificultades. Si los alumnos no saben cómo hallar las medidas faltantes de los lados del triángulo isósceles recuérdeles que esa figura tiene dos lados iguales y uno desigual; por lo tanto, si el desigual mide y, cada uno de los otros debe medir 2 y.

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MATEMÁTICAS A MEDIR CONTORNOS

II SESIóN 2

Para empezar

Organización del grupo. En esta sesión se propone que el alumno trabaje de manera individual y en parejas, y que las discusiones sean grupales.

Son binomios expresiones algebraicas con dos términos como las siguientes:

x+3 x+z y–

Propósito de la sesión. Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen la suma de binomios.

5 3

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos en qué es distinto un monomio de un binomio y pídales que escriban ejemplos en el pizarrón.

2x 2 + 7

Consideremos lo siguiente

Respuestas.

En el siguiente rectángulo se han determinado las medidas de la base y la altura. Ancho = x + 2

a) Los alumnos pueden escribir distintas expresiones correctas, como: P = 2 x + (x + 2) + 2 x + (x + 2) P = 4x + (x + 2) + (x + 2) P = 2x + x + 2 + 2x + x + 2 P = 6x + 4

Largo = 2x

P = 6x + 2 + 2

a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del rectángulo?

P=x+x+x+x+x+x+2+2 Pida a los alumnos que escriban en el pizarrón todas las expresiones distintas que hayan encontrado y comenten cuáles son correctas, es decir, cuáles son equivalentes.

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cómo obtuvieron el perímetro del rectángulo?

Manos a la obra I. ¿Cuáles de las siguientes expresiones permiten encontrar el perímetro del rectángulo anterior? Subráyenlas.

x + 2 + 2x 2x + 2x + (x +2) + (x + 2) 2x + (x +2) + 2x +(x + 2) (3x + 2) + (3x + 2)

e: Recuerden qu es son semejant Dos términos cuando: misma parte 1) tienen la 3w y 2w. literal, como numéricos, os in 2) son térm . 8 , -2 como 35

Respuestas. Con excepción de la primera, las demás expresiones representan el perímetro del rectángulo.

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secuencia 2

3

Comparen sus respuestas y comenten: ¿por qué las expresiones que señalaron representan lo mismo (el perímetro del rectángulo)? ii. En la sesión anterior aprendieron a sumar términos semejantes: sumar los coeficientes y conservar la parte literal. ¿Cómo sumarían los términos semejantes de las expresiones anteriores? Contesten las siguientes preguntas.

Respuestas.

a) Para hacer la suma 2x + 2x + (x + 2) + (x + 2) se suman los términos semejantes. Completen:

a) 2 x, 2 x, x, x . b) La expresión quedaría 6 x + 4. c) 2 x + (x + 2) + 2 x + (x + 2) = 6 x + 4 (3 x + 2) + (3 x + 2) = 6 x + 4 Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos por qué las expresiones obtenidas dan como resultado el mismo binomio (6 x + 4). Pueden dar una variedad de respuestas, como “porque todas representan el perímetro del rectángulo”, “porque todas son iguales”, “porque dan lo mismo”, etcétera, lo importante es que se aseguren de que, efectivamente, las expresiones que escribieron son equivalentes a 6 x + 4.

en (x + 2) se El paréntesis r que x + 2 dica in ra pa a us del a de un lado se es la medid is y el paréntes rectángulo r. puede quita

2x +

2x + (x + 2) + (x + 2) =

2x + 2x + x + x =

+

2+2=

b) Suma los términos semejantes de las siguientes expresiones: 2x + (x +2) + 2x +(x + 2) =

x + 2 + 2x =

+

+

(3x + 2) + (3x + 2) =

+

Comparen sus resultados.

Respuesta. La expresión es 8 x + 2.

iii. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del siguiente rectángulo?

x+2

3x – 1

3

Comparen las soluciones que obtuvieron. Sumen los términos semejantes y verifiquen si obtienen el mismo resultado.

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MATEMÁTICAS

II

A lo que llegamos Para sumar binomios se suman los términos que son semejantes. (2x +

3) + (x – 2) = 3x + 1

2x + x = 3x

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos que le entreguen una copia de sus respuestas a cualquiera de las dos actividades del apartado Lo que aprendimos.

3–2= 1

Lo que aprendimos

Sugerencia didáctica. Si el tiempo es insuficiente deje como tarea las actividades de este apartado.

1. La altura de un rectángulo es x, y la base es 5 unidades mayor que la altura. Dibuja en tu cuaderno el rectángulo con la medida de sus lados y escribe la expresión que corresponde a su perímetro. No te olvides de sumar los términos semejantes. P=

Respuestas. 1. El perímetro es 4x + 10, porque la altura mide x  y la base x + 5.

2. Escribe la expresión que corresponde al perímetro de cada polígono. No te olvides de sumar los términos semejantes. a)

b)

2r

r r+1

2. El perímetro del trapecio es 5 r + 2 y el del hexágono es 6 r + 4.

r+2 r

3. El largo mide 3 y + 2.

r+1 r r

Perímetro:

r r+2

Perímetro:

3. El perímetro del rectángulo de la derecha es 10y + 6. ¿Cuál es la medida del largo?

2y + 1

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Propósito de la sesión. Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen la suma o la resta de monomios con coeficientes positivos y negativos.

secuencia 2 SESIóN 3

LA TABLA NUMÉRICA

Para empezar

En la columna x de la siguiente tabla se encuentran algunos números enteros.

Organización del grupo. Al igual que en la sesión anterior, se sugiere que los alumnos trabajen en parejas, individualmente y en grupo.

e: Recuerda qu rx –x = –1 po

Los números de las columnas: 2x, 3x, –3x, 0x, y –x se obtuvieron al multiplicar el coeficiente de cada expresión algebraica por el valor de x que está en su mismo renglón.

x

2x

3x

–3x

0x

-x

3x – x

3x + (–x)

5

2×5=10

3×5=15

–3×5=–15

0×5=0

–1×5=–5

15 – 5 =10

15 + (–5) = 10

4

8

12

–12

0

–4

8

8 6

3

6

9

–9

0

–3

6

2

4

6

–6

0

–2

4

1

2

3

–3

0

–1

0

0

0

0

–1

2x (–1) = –2 3x (–1) = –3 (–3)×(1)=+3

2

0

0

0

0

0×(-1)=0

(–1)×(1)=+1

(–3) – (–1)= (–3) +(+1)=–2

(–3) +(+1)=–2

–2

–4

–6

6

0

2

–4

–3

–6

–9

9

0

3

–6

–4

–8

–12

12

0

4

–5

–10

–15

15

0

5

–6 –8

–10

Tabla 1

Completen la tabla y coementen: • ¿Por qué 3x – x equivale a restar el valor de x a 3x? • ¿Por qué el valor de 3x + (– x) equivale a sumar el valor de – x a 3x ?

e: Recuerden qu do s, al minuen meros entero nú r o: ta res ra Pa del sustraend o ric ét sim se le suma el B) (simétrico de A-B=A+ (-B) A-B=A+

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MATEMÁTICAS

II

Consideremos lo siguiente

Respuestas.

Las expresiones algebraicas del renglón superior de las primeras seis columnas son: x, 2x, 3x, –3x, 0x, y –x.

a) 2 x

a) ¿Cuál de ellas es el resultado de la resta 3x – x?

b) 2 x

b) ¿Cuál es el resultado de la suma 3x + (–x)?

Sugerencia didáctica. En este punto pida a los alumnos que hagan las correcciones de los errores que hubieran podido cometer en las actividades anteriores y aclare dudas. También puede:

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cómo hicieron las operaciones?

Manos a la obra

• escribir la tabla en el pizarrón para que los alumnos la vayan llenando;

I. Observen la tabla 1 y contesten: a) ¿Qué columnas tienen los mismos números que la columna 3x + (–x)?

• hacerles preguntas como: ¿En qué columna están los múltiplos de 2?

Si se agregaran la columna 2x + (–3x ) y la columna 2x + (–x ):

Los múltiplos de 2 ¿son múltiplos de –2?

b) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna 2x + (–3x )?

¿En qué se parecen y en qué son diferentes los números de las columnas 3 x  y –3 x?

c) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna 2x + (–x )?

• plantearles problemas como “si se suma el doble de un número con su triple ¿cuál es el resultado?” Será el quíntuplo de dicho número, es decir, 2 x + 3 x = 5x. Esto será importante posteriormente porque le permitirá al alumno hacer generalizaciones.

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Por qué creen que la columna 3x + (–x ) tiene los mismos resultados que la columna 2x?

A lo que llegamos

Sugerencia didáctica. Los comentarios de los alumnos pueden ser diversos, dependiendo de lo que cada uno haya descubierto.

Para sumar términos semejantes con coeficientes que son números con signo, se suman los coeficientes y se conserva la parte literal. Por ejemplo:

6x + (–8x ) = –2x

Para casos como 2 x – (– x) es importante recordar que una sustracción con números enteros puede realizarse como una adición, cambiándole el signo al sustraendo.

6 + (–8) = 6 – 8 = –2

(–6) – (–4) = (–6) + (+4) = –2 39

(–6) – (+4) = (–6) + (–4) = –10

Propósito del interactivo. Practicar la suma de términos semejantes. Sugerencias didácticas. El interactivo presenta aleatoriamente ejercicios de suma de términos semejantes. Puede ocupar la actividad para evaluar lo aprendido por sus alumnos. Pídales que expliquen sus resultados, esto le orientará sobre cuales podrían ser las dificultades que tienen.

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secuencia 2 ii. Agregen a la tabla 1 la columna 2x – (–x ) y escriban los números que deben ir en cada renglón. a) ¿Qué columna tiene los mismos números que la columna 2x – (–x )? b) ¿Cuál es el resultado de la operación 2x – (–x )? Si se agregaran la columna x – (–x ) y la columna –x – (–3x ): e: Recuerden qu e de -x es -1 El coeficient

c) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna

x – (–x )? d) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna –x – (–3x )?

Comparen sus respuestas y comenten cómo encontraron el resultado de las restas anteriores.

A lo que llegamos Para restar términos semejantes con coeficientes negativos, se restan los coeficientes y se conserva la parte literal.

– 2x – (– 5x ) = 3x

Respuestas.

– 2 – (– 5) = – 2 + (+5) = +3

a) [4 + (–1)] x = 3 x

iii. Apliquen las dos reglas anteriores para encontrar el resultado de las operaciones:

b) (2 – 1)x = x

a) 4x + (–x ) =

c) [1 – (–1)] x = (1 + 1)x = 2 x

b) 2x – x = c) x – (–x ) = Comparen sus respuestas. iV. Completen las siguientes operaciones sumando o restando términos semejantes.

Respuestas.

a) x –

x – x = 0x = 0 x + (–3 x) = –2 x

b) x +

= –2x

c) 2x +

= 0x = 0

2 x + (–2 x) = 0 x = 0

d) –3x –

–3 x – (– x) = –2 x

e) x –

x – (–6 x) = 7x

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= 0x = 0

= –2x = 5x

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MATEMÁTICAS

II

Lo que aprendimos

Integrar al portafolios. Guarde una copia de las respuestas de los alumnos a esta actividad y valore si han aprendido a sumar monomios o es conveniente hacer un repaso.

1. Para cada operación de la izquierda escoge su resultado de las expresiones que aparecen en la columna de la derecha. Operaciones

Resultados posibles

a) 5x + (–3x) =

2x

b) –5x – (–3x) =

–8x

c) 5x – (+3x) =

–2x

d) –5x + (3x) =

+8x

Respuestas. a) 2 x – 12.5 b) Los alumnos pueden escribir distintas expresiones, como

e) –3x – (–5x) =

2(2 x – 12.5) + 2 x

2. El largo de un terreno rectangular mide 12.5 metros menos que el doble del ancho. La barda que lo rodea mide 197 metros. Si el ancho mide x metros:

2 x – 12.5 + 2 x – 12.5 + x + x

Ancho = x

Aunque son correctas, pídales que efectúen las operaciones que han aprendido en estas sesiones para llegar a 6 x – 25. c) Si la barda que rodea al terreno mide 197 metros, el perímetro puede expresarse como 6 x – 25 = 197; haciendo las operaciones necesarias se tiene que el ancho mide 37 metros y el largo 61.5 metros.

Largo

a) ¿Qué expresión algebraica corresponde a la medida del largo? b) ¿Qué expresión corresponde al perímetro?

Sugerencia didáctica. Si los alumnos lograron llegar a la expresión 6 x – 25 pero no saben de qué manera continuar resolviendo el problema, plantee las siguientes preguntas:

c) ¿Cuántos metros mide cada lado del terreno? metros

Ancho :

Largo:

metros

3. Un comerciante vendió cierta cantidad x de aguacate el lunes, el martes vendió 20 kg más que el lunes y el miércoles le faltaron 5 kg para vender el triple de lo que vendió el lunes. Si en los tres días vendió en total 167.5 kg de aguacate:

¿Qué número al restarle 25 es igual a 197? Y posteriormente:

a) ¿Qué cantidad de esta fruta vendió cada día? Lunes:

kg

Martes:

kg

Miércoles:

¿Qué número multiplicado por 6 da como resultado 222?

kg

b) ¿Qué día vendió un poco más de 50 kg de aguacate? c) ¿Qué día vendió 86.5 kg?

41

Respuestas. a) Lo que vendió el lunes puede expresarse como x, lo que vendió el martes x + 20 y lo que vendió el miércoles 3 x – 5.

Sugerencia didáctica. Al igual que en el problema anterior, puede ayudar a los alumnos planteándoles las siguientes preguntas:

Se obtiene la expresión

¿Qué número al sumarle 15 da como resultado 167.5?

x + (x + 20) + (3 x – 5) = 167.5

Y posteriormente:

5x + 15 = 167.5

¿Qué número multiplicado por 5 da como resultado 152.5?

b) El martes (el lunes vendió 30.5 kilos, el martes 50.5 y el miércoles 86.5).

También puede pedirles que revisen la secuencia 18 del libro de primer grado, en la que hay actividades que pueden servirles.

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Propósito de la sesión. Que los alumnos resuelvan problemas con números consecutivos que impliquen la suma de expresiones algebraicas.

secuencia 2 SESIóN 4

CUADRADOS MÁGICOS Y NÚMEROS CONSECUTIVOS

Para empezar

Organización del grupo. Se recomienda que los alumnos resuelvan la sesión individualmente y que los comentarios sobre las actividades realizadas sean grupales.

La magia de los chinos El origen de los cuadrados mágicos es incierto, aunque sabemos que antiguas civilizaciones los conocieron. Se piensa que su origen se da hace cerca de 400 años en la antigua China. En el siguiente cuadrado mágico, las sumas de los tres números de cada renglón, de cada columna y de cada diagonal dan como resultado el mismo número.

Descripción del video. El video hace una pequeña descripción de los cuadrados mágicos y sus principales características. Se hace un recorrido histórico sobre el uso de los cuadrados mágicos por distintas culturas, principalmente por parte de los chinos. Se hacen referencias a las cualidades extraordinarias que les dieron estas culturas y la razón por la cual se les llaman mágicos.

13

6

11

8

10

12

9

14

7

En total hay ocho sumas. Comprueba que todas dan el mismo número como resultado.

Sugerencia didáctica. Para fomentar el análisis de un cuadrado mágico se puede proponer a los alumnos que encuentren relaciones matemáticas entre los números que los forman, preguntándoles:

Lo que aprendimos 1. Los números consecutivos: –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1 y 2 se pueden acomodar en un cuadrado mágico para que sus renglones, columnas y diagonales sumen el mismo número. Completa el cuadrado mágico usando los números que se proporcionan.

• ¿Qué número está en el centro del cuadrado? • ¿Cuánto suman los dos números que están en los extremos de una misma diagonal?

–3

–4

1

• ¿Cuánto suman los dos números que están en los extremos del renglón central?

+2 –2

–6

• ¿Cuánto suman los dos números que están en los extremos de la columna central?

–5 0

–1

• ¿Cuánto suman los 9 números del cuadrado? • ¿La suma anterior tiene alguna relación con el número de la casilla del centro del cuadrado? • ¿Cuántas veces tienes que sumar el número del centro para encontrar lo que suman los tres números de cada renglón, columna o diagonal?

Números faltantes: –6, –5, –4, –3 y 2

42

Para seguir reflexionando sobre los cuadrados mágicos puede preguntarles: • ¿Qué relación encuentran entre el número de la casilla central y la suma de los tres números de cada columna, renglón o diagonal? • ¿Qué relación encuentran entre el número de la casilla central y la suma de los nueve números del cuadrado? • Si los números de una columna suman 60 ¿qué número estará en la casilla del centro del cuadrado?, ¿cuánto suman los nueve números que lo forman?

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MATEMÁTICAS

II

2. Para el siguiente cuadrado mágico los nueve números consecutivos están representados por las expresiones algebraicas: n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7, n + 8. Acomoda las expresiones faltantes de manera que los renglones, columnas o diagonales sumen lo mismo.

n+7

n

n+5

n+2

n+4

n+6

n+3

n+8

n+1

Expresiones que falta colocar: n +2, n +3, n +5, n +6 y n +7. Haz las siguientes sumas para verificar si los renglones, columnas o diagonales suman lo mismo. No te olvides de sumar los términos semejantes. n + (

) + (

) =

b) Renglón central:

(n + 4) + (

)+ (

) =

c) Renglón inferior:

(n + 8) + (n + 1) + (

) =

a) Renglón superior:

d) Columna izquierda:

=

n + (n + 4) + (n + 8) =

e) Columna central:

(n + 1) + (

f) Columna derecha: g) Diagonal de izquierda a derecha h) Diagonal de derecha a izquierda

) +(

) =

) + (n + 4) + (n + 1) =

( (

) + (n + 4) + (

)=

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secuencia 2 3. Realiza las siguientes sumas:

Recuerda que: al 3 se obtienen Los múltiplos de os por 3. números enter multiplicar los de 3: Son múltiplos … 0, 3, 6, 9, 12, …, –9, –6, –3,

a) 1 + 2 + 3 = b) 2 + 3 + 4 =

Posibles respuestas. Los alumnos pueden responder cosas como “porque se puede obtener sumando tres veces el número de enmedio”, o “porque es tres veces el número inicial y se le suman tres”.

c) 15 + 16 + 17 = d) n + (n +1) + (n +2) =

e) ¿Por qué la suma de tres números consecutivos es un múltiplo de 3?

4. Realiza las siguientes sumas:

Sugerencia didáctica. La suma de cuatro números consecutivos no es múltiplo de 4, pero déles tiempo a los alumnos para averiguarlo y pídales ejemplos que justifiquen su conclusión (por ejemplo, que el resultado de sumar 1+ 2 + 3 + 4 no es múltiplo de 4).

a) 1 + 2 + 3 + 4=

Podrían incluso llegar a una respuesta generalizada:

f) ¿Será cierto que la suma de cuatro números consecutivos es un múltiplo de 4?

b) 10 + 11+ 12 + 13 = c) 45 + 46 + 47 + 48 = d) 100 + 101 + 102 + 103 = e) n + (n +1) + (n +2) + (n +3) =

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4 n + 6, donde 4 n es múltiplo de 4 pero 6 no lo es.

Justifica tu respuesta

La suma de n números consecutivos es múltiplo de n siempre y cuando n sea número impar mayor que 1.

5. La suma de cinco números consecutivos es un múltiplo de 5. Realiza la siguiente suma para comprobarlo. n + (n +1) + (n +2) + (n +3) + (n +4) =

La suma de dos múltiplos de un número también es múltiplo de ese número. Por ejemplo, 15 y 75 son múltiplos de 15, la suma 15 + 75 = 90 también es múltiplo de 15.

¿Por qué 5n + 10 es múltiplo de 5?

6. La suma de nueve números consecutivos de un cuadrado mágico es un múltiplo de 9. a) Realiza la siguiente suma para comprobarlo.

Ayude a los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos principales de la actividad y de sus reflexiones.

n + (n +1) + (n +2) + (n +3) + (n +4) + (n +5) + (n +6) + (n +7) + (n +8) = b) ¿Por qué el resultado de la suma anterior es un múltiplo de 9?

44

Recuerde que. Si se tienen nueve números consecutivos, el número del centro será el promedio de ellos, por lo que la suma se puede obtener multiplicando por 9 el número del centro. Por ejemplo, en la suma 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11+ 12 + 13 + 14, el número del centro es 10 y la suma es 9 × 10 = 90.

Respuestas. a) 9 n + 36. b) Porque al sumar dos múltiplos de 9 se obtiene otro múltiplo de 9 + 36, o bien, porque 9 n y 36 son múltiplos de 9.

Sugerencia didáctica. Se puede aprovechar esta actividad para destacar maneras creativas de sumar números consecutivos. Por ejemplo: 6 + 14 = 20 7 + 13 = 20 8 + 12 = 20 9 + 11 = 10 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 4 x 20 + 10 = 80 + 10 = 90. 80

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MATEMÁTICAS

II

Para saber más Sobre resolución de cuadrados mágicos consulta: http://interactiva.matem.unam.mx Ruta: Secundaria Juegos aritméticos Un cuadrado mágico. [Fecha de consulta: 23 de mayo de 2007]. Proyecto Universitario de Enseñanza de la Matemáticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM. Explora las actividades del interactivo Suma y resta de expresiones algebraicas.

Propósito del interactivo. Mostrar una forma de sumar expresiones algebraicas. Sugerencias didácticas. En esta parte del interactivo se pretende que el alumno ponga en práctica sus habilidades para agrupar y sumar términos semejantes en la suma de expresiones algebraicas.

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secuencia 3

Expresiones algebraicas y modelos geométricos Propósito de la sesión. Obtener equivalencias algebraicas entre expresiones lineales, empleando al rectángulo como modelo geométrico.

En esta secuencia reconocerás y obtendrás expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos

Organización del grupo. Se sugiere que trabajen en parejas y que se organicen momentos de intercambio grupal.

SESIóN 1

EXPRESIONES EQUIVALENTES

Para empezar

En primer año aprendiste a obtener expresiones algebraicas para calcular el área de distintas figuras geométricas. Por ejemplo, para un rectángulo de altura a y base b obtuviste la expresión ab.

Propósito de la actividad. Que los alumnos recuerden, a partir de un ejemplo sencillo, el tipo de situaciones en las que utilizaron expresiones algebraicas durante el primer grado de la secundaria. A partir de la expresión algebraica que se propone para el cálculo del área de un mismo rectángulo, los alumnos tratarán de obtener expresiones equivalentes.

De igual manera, la expresión 4b representa el área de un rectángulo que mide 4 unidades de altura (a = 4) y b unidades de base. 4

Recuerda que: ab = a ×b 4b = 4 ×b

Sugerencia didáctica. Dedique a esta actividad sólo el tiempo necesario para que los alumnos recuerden cómo se obtiene el área de cualquier rectángulo (base por altura) y cómo se puede expresar algebraicamente el área de un rectángulo que mide 4 de altura y b de base. Enfatice que en este momento no van a expresar las unidades de medida.

b

Los siguientes rectángulos tienen altura 4 y distintas bases: 2, 3 y 6. El área de cada uno se puede calcular usando la expresión 4b. Calcula las áreas usando esta expresión.

4 cm

4 cm

b = 2 cm Área =

4 cm

b = 3 cm Área =

b = 6 cm Área =

46

Propósitos de la secuencia Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema

Sesión

Propósitos de la sesión

Recursos

Significado y uso de las operaciones.

Antecedentes Durante el primer grado de la educación secundaria los alumnos aprendieron a identificar expresiones algebraicas equivalentes en el contexto del cálculo de áreas y perímetros de figuras. En esta secuencia trabajarán con expresiones algebraicas más complejas que las de primer grado, pues implican operaciones combinadas y el uso de paréntesis. Se espera que los alumnos logren reconocer y obtener ese tipo de expresiones a través de la resolución de problemas en los que se utilizan modelos geométricos.

82

1

Expresiones equivalentes A partir del rectángulo como modelo geométrico, obtener expresiones algebraicas equivalentes.

Interactivo

2

Más expresiones equivalentes A partir de una expresión algebraica obtener otros equivalentes apoyándose en el rectángulo como modelo geométrico.

Video “Más expresiones equivalentes” Interactivo

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MATEMÁTICAS

II

Propósito del interactivo. Obtener expresiones algebraicas equivalentes para indicar el área de un rectángulo.

En esta secuencia encontrarás distintas expresiones algebraicas que representan disitintas formas de calcular el área de un rectángulo. Para simplificar los cálculos omitiremos las unidades de medida de sus lados. Puedes pensar que se trata de medidas en centímetros.

Consideremos lo siguiente De las siguientes expresiones, ¿cuáles representan el área del rectángulo enmarcado en rojo?

Recuerden que: Para indicar qu e un número multiplica a un a exp se usan los parén resión tesis: 5 (b + 3) = 5 ×  (b + 3)

4

a a) 4(a + 2)

b) 4a + 8

Propósito de la actividad. Que los alumnos descubran que hay varias expresiones que sirven para calcular el área de un rectángulo.

2

c) 4a + 2

d) 2(a + 2) + 2(a + 2)

Sugerencia didáctica. Antes de que los alumnos respondan la pregunta, revise con ellos la información que se presenta en el recuadro: es importante que los alumnos se familiaricen con el uso de los paréntesis para expresar una multiplicación; coménteles que aun cuando la utilización del signo × es correcta, como se muestra en el mismo recuadro, lo mejor es utilizar sólo los paréntesis para evitar confusiones.

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cómo saben cuáles son correctas y cuáles no?

Manos a la obra I. Contesten las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es la medida de la altura del rectángulo enmarcado en rojo?

altura =

4

Respuestas. Los incisos a, b y d son los correctos.

b) Escriban una expresión que represente la medida de la base de este rectángulo.

base =

Posibles errores. Es probable que los alumnos identifiquen únicamente las expresiones 4(a + 2) y 4 a + 8 y que no consideren la del inciso c). También puede suceder que algunos alumnos opinen que la expresión 4 a + 2 es correcta. Si esto sucede, permítales que en este momento contesten lo que ellos consideren, más adelante tendrán la oportunidad de revisar sus respuestas y de corregir, si es necesario.

a+2

c) ¿Qué expresión resulta al multiplicar la medida de la altura por la medida de la base?

altura × base =

Sugerencias didácticas. Con el interactivo se pueden resolver las actividades I y II del libro del alumno. La primera parte ayuda a que los alumnos obtengan el área de un rectángulo como la suma de dos expresiones. La segunda actividad ayuda a mostrar que el área del rectángulo se puede obtener utilizando diferentes expresiones. En la tercera actividad usted puede modificar el nivel de dificultad de las expresiones propuestas para obtener el área del rectángulo. Permita que los alumnos exploren los diferentes ejercicios que se les presentan en el interactivo.

4(a + 2)

47

3

Propósito de la actividad. Las actividades I y II dan elementos que permiten establecer que las expresiones 4(a + 2) y 4 a + 8 sí permiten calcular el área del rectángulo. Aquellos alumnos que ya las habían identificado podrán constatar sus respuestas, y lo que no, tendrán oportunidad de corregirlas.

Sugerencia didáctica. Anote las expresiones algebraicas en el pizarrón y pregunte al grupo cuáles consideraron correctas y cuáles no. Es muy probable que haya respuestas distintas, por lo que conviene que anime a los alumnos a que expresen por qué consideran que alguna expresión es correcta o no. Usted puede registrar algunas de sus ideas en el pizarrón para, posteriormente, volver a ellas y que los alumnos vean si estuvieron en lo correcto o si es necesario que corrijan algunas de sus respuestas. No es necesario que en este momento todos lleguen a la respuesta correcta, podrán hacerlo más adelante.

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secuencia 3 ii. Realicen lo siguiente. a) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo verde oscuro:

b) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo verde claro:

c) Observen que el área del rectángulo enmarcado en rojo es la suma del área del rectángulo verde claro y del verde oscuro. Escriban otra expresión que represente el área del rectángulo enmarcado en rojo a partir del área de los rectángulos verde claro y verde oscuro:

Comparen sus respuestas.

Propósito de la actividad. Que los alumnos reconozcan la expresión 2(a + 2) + 2(a + 2) como una expresión algebraica que sí permite calcular el área del rectángulo.

iii. En la siguiente figura, la superficie del rectángulo enmarcado en rojo se dividió con una línea horizontal.

2

2

a+2 a) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo gris oscuro:

2(a + 2) b) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo gris claro:

2(a + 2) c) Usando las expresiones anteriores, escriban una expresión que represente el área del rectángulo enmarcado en rojo:

2(a + 2) + 2(a + 2)

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MATEMÁTICAS

II

Propósito del interactivo. Obtener expresiones algebraicas equivalentes para indicar el área de un rectángulo.

IV. Dividan el rectángulo de abajo y usen esa división para encontrar otra expresión algebraica que represente su área.

Sugerencias didácticas. Permita que los alumnos exploren las diferentes formas en que se pueden dividir los rectángulos. Pídales que escriban las expresiones con las que se determinaría el área del rectángulo. Si es necesario recuérdeles que para obtener el área del rectángulo original hay que sumar el área de todos los rectángulos en los que se dividió.

4

a+2

Posibles dificultades. Probablemente algunos alumnos no sepan cómo usar las dos expresiones (de los incisos a y b) para calcular el área del rectángulo enmarcado en rojo (inciso c). Anime primero a los alumnos para que comenten cómo resolvieron el inciso c); es probable que algunos hayan escrito (a + 2) × 2 + (a + 2) × 2, dígales que esta expresión es la misma que 2(a + 2) + 2(a + 2), pero que es mejor no utilizar el signo × para evitar confusiones.

Área = Comparen sus respuestas y comenten la siguiente información.

Existen varias expresiones algebraicas que representan el área de un rectángulo de medidas 4 y (a + 2). Por ejemplo, las tres expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2) representan su área.

V. Contesten las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto vale la expresión 4(a + 2), si a = 3? b) ¿Cuánto vale la expresión 4a + 8, si a = 3? c) ¿Cuánto vale la expresión 2(a + 2)+2(a + 2), si a = 3? VI. Completen la siguiente tabla calculando el valor de las expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2 (a + 2) + 2 (a + 2) para los valores de a indicados en la primera columna.

a

4(a + 2)

4a + 8

2(a + 2)+2(a + 2)

4(4) + 8 = 16 + 8 = 24 4(4+2)=4(6)=24 4.5 4(4.5 + 2) = 4(11) = 44 4(4.5)+8=18+8=26 5 4(5 + 2) = 4(7) = 28 4(5) + 8 = 20 + 8 = 28 4

5.5 4(5.5 + 2) = 4(7.5) = 30 4(5.5) + 8 = 22 + 8 = 30 4(6) + 8 = 24 + 8 = 32 6 4(6 + 2) = 4(8) = 32

2(4 + 2) + 2(4 + 2) = 2(6) + 2(6) = 12 + 12 = 24 2(4.5 + 2) + 2(4.5 + 2) = 2(6.5) + 2(6.5)= 13 +13 = 26 2(5 + 2) + 2(5 + 2) = 2(7) + 2(7) = 14 + 14 = 28 2(5.5 + 2) + 2(5.5 + 2) = 2(7.5) + 2(7.5)= 15 + 15 = 30

Si aún hay dificultades, puede decirles que la suma de las áreas de los rectángulos gris oscuro y gris claro es igual al área del rectángulo enmarcado en rojo. Posteriormente, lea junto con los alumnos la información del recuadro y pídales que regresen al apartado Consideremos lo siguiente para que revisen sus respuestas, y en caso de que sea necesario, las corrijan.

2(6+2)+2(6+2)=2(8)+2(8)=16+16=32 49

Propósito de la actividad. Que los alumnos ejerciten la sustitución de valores en una expresión algebraica.

Sugerencia didáctica. Para mayor rapidez pida a las parejas que se organicen y que se dividan las columnas, pero que hagan los cálculos paso a paso como en los ejemplos. Antes de que empiecen, usted puede revisar con todo el grupo alguno de los ejemplos ya resueltos, haga énfasis en que primero se resuelve la operación que está indicada entre paréntesis. Mientras los alumnos terminan, usted puede reproducir la tabla en el pizarrón para que posteriormente puedan compararse los resultados.

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Sugerencia didáctica. Pida a algunos alumnos que completen la tabla en el pizarrón, escribiendo únicamente el resultado; en caso de que haya diferencias en algún resultado, pida al alumno que lo registró que escriba el desarrollo completo de las cuentas, para que el grupo pueda identificar si hubo algún error o no.

secuencia 3 Comparen los resultados que obtuvieron en las tres columnas y comenten: ¿Creen que para cualquier otro valor de a las tres expresiones coincidan? Por ejemplo, ¿coincidirán para a = 163.25?

A lo que llegamos Las expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2) siempre dan el mismo resultado al asignarle valores a a, pues representan el área del mismo rectángulo, por lo que se puede escribir:

Para el valor de 163.25, una vez que los alumnos hayan expresado su hipótesis, pídales que la verifiquen sustituyendo el valor de a en cada una de las expresiones. Para que esto sea más rápido, unos alumnos pueden usar la primera expresión, otros la segunda y otros la tercera, y después comparan sus resultados.

4(a + 2) = 4a + 8 = 2(a + 2) + 2(a + 2) A este tipo de expresiones se les llama expresiones equivalentes. Vi. Completen la siguiente tabla.

a

4a + 2

4

Propósito de la actividad. Que los alumnos constaten que la expresión 4 a + 2 no sirve para calcular el área del rectángulo, pues el valor que se obtiene con ella no coincide con el de todas las demás.

4.5

4(4.5) + 2 = 18 + 2 = 20

5 5.5 6

La expresión 4a + 2 no representa el área de un rectángulo de lados que miden 4 y (a + 2), ¿por qué?

Sugerencia didáctica. Si observa que los alumnos tienen dificultades para responder a esta pregunta, invítelos a comparar los resultados que se obtienen con esta expresión, con los que se obtuvieron en la otra tabla con las demás expresiones. Una vez que se hayan dado cuenta de que es errónea, pídales que regresen al problema inicial y que revisen si la habían elegido como correcta o no. También puede recuperar alguna de las ideas que los alumnos expresaron en el problema inicial respecto a si esta expresión era correcta o no.

Lo que aprendimos 1. Las siguientes figuras son dibujos del mismo rectángulo, con distintas divisiones de su superficie. Para cada una de estas figuras escribe una expresión algebraica que represente su área a partir de la división que se propone.

3

b+2 Expresión: 3(b +2) 50

Sugerencia didáctica. Comente al grupo que cuando se multiplica por 1 no es necesario escribirlo, por ejemplo, 1 × b se escribe únicamente b. Esto debe considerarse particularmente para el tercer caso. Una vez que los alumnos hayan concluido, pídales que elijan un valor para b y que lo sustituyan en las expresiones que elaboraron, para verificar que efectivamente obtienen el mismo resultado en todas ellas.

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MATEMÁTICAS

II

1 3 2

b Expresión:

b+2

2

3 b + 6 ó 3 b + 3(2)

Expresión:

2( b + 2) + ( b + 2) 2

2. Encuentren dos expresiones equivalentes que representan el área del rectángulo gris oscuro a partir de la figura que se propone. 3

3 c–6 ó 3 c–(2×3)

3(c–2)

=

Expresión 1

Expresión 2

Incorporar al portafolios. Algunos alumnos podrían creer que deben calcular el área del rectángulo enmarcado en rojo. Acláreles que se trata del rectángulo gris oscuro; asímismo, si lo considera necesario, puede orientarlos señalando que (c–2) representa la medida de la base del rectángulo gris oscuro.

c

Llenen la siguiente tabla para verificar que las expresiones que obtuvieron dan el mismo resultado al sustituir los valores c = 3, 3.5, 4, 4.5 y algún otro valor que elijan. Expresión 1

Expresión 2

c 3 3.5 4 4.5

3. Dividan la figura de la derecha en rectángulos de menor área y encuentren dos expresiones equivalentes que representen el área de la figura completa.

a(a + 2)

=

a

a 2 + 2 a a+2 51

Sugerencia didáctica: Si los alumnos tienen dificultades, usted puede sugerirles dividir la figura usando una línea horizontal. Una vez que hayan escrito las expresiones, recuérdeles que para simplificar la notación se acostumbra escribir a 2 en lugar de a × a.

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Propósito de la sesión. Obtener expresiones algebraicas equivalentes a otra usando el modelo geométrico del rectángulo.

secuencia 3 SESIóN 2

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas y que el apartado Lo que aprendimos se resuelva individualmente.

MÁS EXPRESIONES EQUIVALENTES

Para empezar

En la sesión 1 aprendiste a obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir de un rectángulo. En esta sesión aprenderás a obtener expresiones equivalentes a partir de otra dada.

Consideremos lo siguiente Propósito de la actividad: Introducir al alumno a las dificultades que tiene la obtención de expresiones equivalentes.

Para cada una de las siguientes expresiones encuentren una expresión equivalente.

Posibles dificultades. Algunos alumnos podrían requerir de la representación del rectángulo para comprender mejor las expresiones equivalentes. Si es así, sugiérales que intenten dibujar un rectángulo que les ayude.

Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para encontrarlas.

a) 3(x +2) =

b) 2(2x + 4) =

Manos a la obra i. Dibujen un rectángulo cuya área se represente con la expresión 3(x+2)

Expresión

Rectángulo

3(x+2)

Sugerencia didáctica. Pida a algunas parejas que presenten al grupo las expresiones equivalentes que escribieron. En caso de que algunos alumnos no estén de acuerdo con algunas de las respuestas, invítelos a que den sus argumentos. Si no logran identificar o corregir sus respuestas, en las siguientes actividades tendrán la oportunidad de hacerlo. Dividan la superficie del rectángulo anterior en varios rectángulos pequeños. Encuentren las expresiones que corresponden al área de cada uno de los rectángulos pequeños y anótenlas: 3(x+2) =

3 x+6

Comparen sus respuestas. Comenten cómo dividieron la superficie del rectángulo grande y cómo encontraron el área de cada uno de los rectángulos pequeños. 52

Propósito del interactivo. Obtener expresiones algebraicas equivalentes para indicar el área de un rectángulo.

Propósito de la actividad. Que los alumnos logren encontrar una expresión equivalente a la expresión 3(x+2). Respuesta.

3

x

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2

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MATEMÁTICAS

II

II. Dibujen un rectángulo cuya área se represente con la expresión 2(2x + 4), divídanlo en rectángulos más pequeños y encuentren sus áreas.

Expresión

Rectángulo

2(2x + 4)

2(2x + 4) =

4x + 8

Comparen sus respuestas y comenten: ¿son equivalentes las expresiones que obtuvieron? ¿Por qué?

Sugerencia didáctica. Si los alumnos presentan dificultades para resolver, pídales que primero intenten estimar las medidas de los segmentos marcados usando expresiones algebraicas.

III. Usen la siguiente figura para encontrar una expresión equivalente a x 2 + 2x.

x

x 2 + 2x =

x2

2x

x

2

x(x+2) 53

Posibles dificultades. Esta es la primera vez que se estudia una expresión con coeficiente distinto de 1 en la literal, los alumnos no conocen un rectángulo que sirva para ello, sin embargo se espera que puedan lograrlo apoyándose en su experiencia adquirida con la expresión 3(x + 2). Respuesta.

2

x

x

4

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Descripción del video. El video formaliza los conceptos vistos a lo largo de la secuencia en relación con las expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos. Se utilizan los recursos visuales para mostrar las equivalencias algebraica y geométricamente. Por tal razón se recomienda su uso al final de la secuencia.

secuencia 3

A lo que llegamos Más expresiones equivalentes

Cuando se quiere encontrar una expresión equivalente a otra dada, puede ser útil construir un rectángulo cuya área se represente con la expresión. Por ejemplo, para la expresión dada 3(2x + 1) se puede construir un rectángulo que mida 3 unidades de altura y 2x+1 unidades de la base:

1 1 1

x

x

1

Dividiendo este rectángulo en piezas de menor área se puede ver que la expresión 6x+3 también sirve para calcular su área, y por lo tanto es equivalente a la expresión 3(2x+1) .

Lo que aprendimos 1. Para cada una de las siguientes expresiones encuentra una expresión equivalente a ésta.

6 x+9

a) 3(2x+3) =

b) x (2x+4) =

2 x 2+4x

2. Para cada uno de los siguientes rectángulos anota las medidas de sus lados en los espacios marcados, y después usa la figura para escribir dos expresiones equivalentes que representen su área. a)

5

5 a+15

5a

15

a

3 =

5(a+3)

54

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MATEMÁTICAS

II

b)

a

a 2+4 a

a2

4a

a

4

a(a+4)

=

Incorporar al portafolios. Si lo considera necesario, sugiera a los alumnos calcular el área de cada pieza y luego sumar todas las áreas.

3. Ayúdate de la siguiente figura para encontrar una expresión equivalente a la expresión (b + 1)(b + 2) =

b 2+3 b+2

1

b

b

1

1

Para saber más Sobre otras expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos consulta: http://www.interactiva.matem.unam.mx Una embarrada de álgebra Binomio al cuadrado Ruta: Álgebra [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.

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secuencia 4

Propósito del programa integrador. Presentar datos del grado como unidad de medida y explicar la posición relativa de dos rectas en el plano y los ángulos que se forman.

Ángulos

Propósito de la sesión. Identificar a los ángulos como una herramienta para resolver problemas. Utilizar el transportador para medir ángulos. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen individualmente y que se organicen momentos para comentarios grupales.

En esta secuencia determinarás la medida de ángulos usando tu transportador, y deducirás algunas medidas sin usarlo.

Descripción del video. Se hace un repaso histórico de la medición de ángulos y el uso del sistema sexagesimal. Se pone énfasis en la asociación que tiene la medición de los ángulos con la medición del tiempo. Se dan hipótesis de por qué la circunferencia está dividida en 360 grados.

MEDIDAS DE ÁNGULOS

SESIóN 1

Para empezar

El grado como unidad de medida La regularidad de los fenómenos naturales y astronómicos interesó a hombres de todos los tiempos. Antiguas civilizaciones, como la babilónica, estimaron la duración del año en 360 días. Como estas civilizaciones pensaban que el Sol giraba alrededor de la Tierra, dividieron en 360 partes la trayectoria en la que veían moverse al Sol, haciendo corresponder a cada parte un día y una noche. Es probable que de esta división se derive la división de un giro completo en 360 partes, llamadas grados.

Sugerencia didáctica. Comente con los estudiantes las características de cada uno de los ángulos mostrados. Por ejemplo, ¿cuáles son los lados en cada uno?, ¿cuál es la dirección del giro?, ¿cuál es el ángulo es mayor? ¿cuál es el ángulo menor?

Los siguientes son algunos ángulos que encontrarás frecuentemente en tus secuencias de geometría. Observa sus medidas y sus nombres.

270º

Posibles dificultades. Para resolver el problema, los alumnos necesariamente tienen que utilizar el transportador. Pueden presentar dificultades o errores como los siguientes:

180º

360º

90º

• Colocar el transportador en posición incorrecta. • Confundir el sentido del giro y tomar medidas que no corresponden (sobre todo con los transportadores semicirculares).

Ángulo recto

En el baúl de su papá, Jaime encontró un viejo pergamino en el que se indica cómo y dónde encontrar un cofre lleno de monedas de oro. Las indicaciones para llegar al tesoro estaban claras, pero una mancha de agua borró el mapa. Sigue las indicaciones y ayúdale a Jaime a reproducir el mapa. Supón que un paso es igual a un centímetro.

56

Eje

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.

Propósitos de la sesión

1

Medidas de ángulos Identificar a los ángulos como una herramienta para resolver problemas. Utilizar el transportador para medir ángulos.

2

Ángulos internos de triángulos Descubrir propiedades de los triángulos a partir de la medición de ángulos. Deducir medidas de ángulos.

3

Deducción de medidas de ángulos Deducir la medida de ángulos a partir de las características y propiedades de las figuras. Hacer generalizaciones sobre medidas de ángulos a partir de casos particulares.

92

Recursos Video “El grado como unidad de medida” Interactivo

Interactivo

Programa integrador 3

Sesión

Antecedentes Desde la escuela primaria los alumnos han trabajado con ángulos: los identifican, los miden mediante diversos recursos, y los usan como criterio para caracterizar determinadas figuras. En el primer grado de la secundaria los ángulos fueron un auxiliar importante para el estudio de ciertas nociones, como la simetría y la bisectriz, así como para la caracterización de los polígonos regulares. En este grado se pretende que los alumnos formalicen sus conocimientos y que a partir de ellos, elaboren deducciones sencillas que les permitan resolver situaciones en las que tienen que calcular la medida de un ángulo. Así mismo, se promueve la habilidad para medir ángulos utilizando el transportador.

Ángulo perigonal

Consideremos lo siguiente

Forma, espacio y medida.

Formas geométricas.

Ángulo entrante Son los ángulos que miden más de 180º y menos de 360º

Otra dificultad puede ser interpretar mal las instrucciones. Usted puede ayudarlos a comprenderlas preguntando: ¿alguien ha entendido de qué se trata el problema? ¿Cuál es el punto de partida? ¿Hacia qué dirección debe mirar la persona en el punto de partida? ¿Y luego hacia adónde gira?, etcétera. Debe tener cuidado en no mostrarles en este momento la solución, sino únicamente ayudarlos en caso de que tengan dudas con algunas instrucciones. Lo interesante será ver cómo colocan el transportador, cómo miden los ángulos y el resultado que obtienen finalmente.

Tema

Ángulo llano

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MATEMÁTICAS

II

Para encontrar el cofre tienes que llegar a la meseta del Cerro Colorado y caminar hasta el monolito que ahí encuentres. Luego, tienes que sentarte en el monolito viendo hacia al Este, gira 60º al Norte y camina de frente 3 pasos. En ese punto clava una estaca. Regresa al monolito y siéntate viendo al oeste. Gira 150º al sur y camina de frente 4 pasos, en este punto clava otra estaca. El cofre está enterrado justo a la mitad de la distancia entre las dos estacas.

Propósito del interactivo. Mostrar el uso del transportador y ejercitar su uso. Sugerencias didácticas. El interactivo presenta un transportador que por su tamaño y fácil manejo puede ayudar a mostrar la manera correcta de medir los ángulos a todo el grupo. Pida a algunos alumnos que pasen al pizarrón a medir los ángulos presentados en el interactivo.

Comparen sus mapas y comenten cómo hicieron para reconstruirlos.

Manos a la obra I. Encierra con un círculo las ilustraciones en las que el transportador se utilice de manera correcta para medir el ángulo.

1

2

3

Propósito de la actividad. Que los alumnos reflexionen sobre el uso del transportador para medir ángulos. 4

Respuesta. Las ilustraciones 2 y 3 son las correctas. En las ilustraciones 1, 4 y 5 el transportador está mal colocado.

5

57

estaca 1

3 60º

150º

cofre

4 estaca 2

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Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos argumenten por qué consideran que unas respuestas son correctas y otras incorrectas. Es posible que alguno de ellos haya utilizado una de las erróneas; invítelos a comentar las dificultades que tuvieron al utilizar el transportador en el problema inicial.

secuencia 4 Comparen sus respuestas y comenten los errores que descubrieron en el uso del transportador en las ilustraciones. Comenten ¿en la ilustración de abajo se está midiendo de manera correcta el ángulo?

Respuesta. La medición no es correcta, pues se está haciendo una lectura errónea en el transportador.

ii. ¿Cuál de los siguientes ángulos cumple con las indicaciones del mapa para determinar el lugar de la primera estaca? estaca 1

estaca 1

Respuestas. De izquierda a derecha, el primer ángulo no mide 60°, y la longitud del lado debería ser de 3 cm; el segundo ángulo sí cumple con las indicaciones; en el tercero el giro se hizo en sentido contrario, y en el cuarto ángulo el punto de partida está mal orientado, pues tendría que estar dirigido hacia el este, no al oeste.

monolito

monolito

estaca 1

estaca 1

3 Sugerencia didáctica. Es probable que algunos alumnos hayan cometido errores similares a los que se presentan, por ello es importante que expresen sus argumentos sobre cuál ángulo cumple con las condiciones establecidas, de esa manera será posible que quienes hayan tenido errores o dudas, puedan corregirlos.

monolito

monolito Comparen sus resultados y comenten los errores que descubrieron en los ángulos. Verifiquen sus mapas. Si es necesario, háganlos otra vez.

A lo que llegamos Al medir un ángulo hay que colocar la marca central del transportador sobre el vértice del ángulo. La marca que corresponde a 0° debe coincidir con un lado del ángulo. 115º

Sugerencia didáctica. Cerciórese de que todos los alumnos tengan clara la forma correcta de medir ángulos usando el transportador. Para ello, dibuje un ángulo en el pizarrón y, si cuenta con un juego de geometría grande, pida a un alumno que pase a mostrar cómo se mide; también pueden hacerlo en el cuaderno con cualquier ángulo que ellos tracen.

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115º

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MATEMÁTICAS

II

Propósito del interactivo. Mostrar el uso del transportador y ejercitar su uso.

III. A continuación se presenta una forma de medir ángulos mayores de 180º.

Sugerencias didácticas. Pida a los alumnos que pasen al pizarrón a medir los diferentes ángulos que presenta el interactivo. D

Sugerencia didáctica. Generalmente los estudiantes cuentan con transportadores de 180°, por lo que es importante apoyarlos para medir un ángulo cuya medida es mayor que 180°.

E

F

Prolonga uno de los lados del ángulo marcado de forma que la prolongación lo divida en dos ángulos.

cada uno de los ángulos que se formaron? a) ¿Cuánto mide b)

el ángulo marcado originalmente? ¿Cuánto mide

180º y

100º

280º

Comparen sus respuestas y comenten: ¿habrá alguna otra manera de medir un ángulo mayor que 180º? ¿Cuál? IV. Recuerda que un ángulo está formado por dos semirrectas que tienen el mismo punto inicial. A las semirrectas se les llama lados del ángulo. Al punto inicial se le llama vértice.

vértice

lado

lado

59

Respuesta. Otra forma es midiendo el complemento de 360° del ángulo que se quiere medir.

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secuencia 4 Anota en los cuadritos los números del 1 al 5 para ordenar de mayor a menor los siguientes ángulos.

1

Sugerencia didáctica. Apoye a los alumnos para que expliciten que la longitud de los lados de un ángulo no influye en la medida de éste.

4

5

2

3

Comparen sus respuestas. Comenten: a) ¿En qué se fijaron para comparar los ángulos? b) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos?

A lo que llegamos La medida de un ángulo no depende de la longitud de sus lados. Por ejemplo, el ángulo azul y el ángulo verde miden 100º.

60

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MATEMÁTICAS

II

Incorporar al portafolios. Considere el primero y el segundo problema para el portafolios. Para el primer problema hay dos posibilidades correctas para cada ángulo, de acuerdo con la dirección que los alumnos decidan darle al giro.

Lo que aprendimos 1. Considera las siguientes semirrectas como un lado y su punto inicial como vértice. Construye los ángulos que se piden, utiliza tu transportador.

Q

En caso de que los alumnos muestren errores en la resolución de estos problemas, revise con ellos nuevamente la forma correcta en que se miden los ángulos usando el transportador (apartado A lo que llegamos), y pídales que midan y construyan ángulos de manera similar a las actividades de este apartado.

E

R 120º

210º

70º

2. Usa tu transportador y determina cuánto miden los ángulos marcados.

Respuestas. El ángulo morado mide 150° y el azul 100°.

3. Varios estudiantes fueron al museo y se pararon frente a una de las pinturas para observarla mientras escuchaban la explicación del guía. Las figuras muestran la forma como se acomodaron los estudiantes. A fin de ver la pintura completa, identifica quién tiene el mayor ángulo.

Respuesta. El estudiante que está en medio de todos los demás.

¿Cuál de todos tiene el mayor ángulo para ver la pintura completa? 61

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Propósitos de la sesión. Descubrir propiedades de los triángulos a partir de la medición de ángulos. Deducir medidas de ángulos.

secuencia 4 SESIÓN 2

Organización del grupo. Los alumnos pueden resolver individualmente y comparar sus respuestas con todo el grupo.

ÁNGULOS INTERNOS DE TRIÁNGULOS

Para empezar

Un ángulo se puede representar por medio de una letra mayúscula asignada a su vértice. Por ejemplo, el siguiente ángulo se puede representar como D.

Sugerencia didáctica. Antes de que los alumnos traten de construir los triángulos, pídales que intenten anticipar una respuesta. Es posible que la mayoría piense que las tres opciones pueden ser las medidas de los ángulos de un triángulo, pues es probable que no sepan o que no recuerden que la suma de los ángulos internos de un triángulo debe ser de 180º. En caso de que algún alumno sí utilice ese conocimiento para poder anticipar en qué caso sí es posible construir un triángulo, invítelo a que comente al grupo sus argumentos. En este momento evite decir quién tiene la razón, invítelos a que construyan los triángulos para que verifiquen sus respuestas.

D

Consideremos lo siguiente ¿Cuáles de las siguientes ternas son las medidas de los ángulos internos de un triángulo? Construye el triángulo correspondiente. Utiliza el segmento aB como uno de los lados. a) 30°, 60°, 70°

a

Respuesta. La terna del inciso c) es la que funciona para construir el triángulo.

B

¿Pudiste construir el triángulo? Justifica tu respuesta b) 50°, 70°, 120°

a

B

¿Pudiste construir el triángulo? Justifica tu respuesta 62

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MATEMÁTICAS

II

c) 50°, 60°, 70°

A

B

¿Pudiste construir el triángulo? Justifica tu respuesta

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que las medidas de los ángulos internos son características importantes para determinar la posibilidad de que un triángulo exista o no. Gradualmente irán identificando que la suma de los ángulos internos de un triángulo debe ser de 180º.

Comparen sus respuestas y comenten cómo construyeron sus triángulos.

Manos a la obra I. La siguiente figura muestra una construcción incompleta en la que se intenta construir el triángulo con la terna de medidas 30º, 60º y 70° y con el segmento NM como uno de sus lados. Completa la construcción. a) Con tu transportador mide el tercer ángulo interno de este triángulo. ¿Cuánto mide? b) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos internos de este triángulo?

70º

30º

N

M

Comparen sus respuestas. II. En la siguiente figura se intenta construir un triángulo con la terna 50°, 70° y 120° como medidas de sus ángulos internos y con el segmento QR como uno de sus lados. Completa la construcción. ¿Pudiste construir el triángulo? 120º

Justifica tu respuesta Q

R

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secuencia 4 Comparen sus construcciones y comenten: a) Si el ángulo en el vértice Q mide 50°, ¿cuánto mide el tercer ángulo interno? b) ¿Se puede construir un triángulo con dos ángulos internos que midan 70° y 120°? ¿Por qué?

Propósito de la actividad. Que los alumnos observen el ángulo que se forma al juntar los tres ángulos internos de un triángulo, para que con ello se pueda mostrar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.

iii. Dibuja un triángulo en una hoja blanca, pinta cada uno de sus ángulos internos de un color distinto. Corta el triángulo en tres partes de manera que en cada parte quede uno de los ángulos internos. Pega las tres partes haciendo coincidir los vértices en un punto rojo, como se indica en las fotos. Ten cuidado de que no se encimen las partes y que no dejen huecos entre ellas.

Sugerencia didáctica. Es posible que los alumnos obtengan respuestas cercanas a 180°, usted puede aprovechar para que los alumnos reflexionen sobre la posibilidad de que haya errores cada vez que hacemos mediciones, y que esos errores son aceptables siempre y cuando las diferencias sean mínimas.

Sugerencia didáctica. Aproveche la diversidad de triángulos que los alumnos construyeron para que concluyan que en todos los triángulos la suma de las medidas de sus ángulos internos es igual a 180°. Es recomendable trabajar con ellos esta conjetura antes de leer el apartado A lo que llegamos.

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¿Cuánto mide el ángulo que se obtiene al pegar los tres ángulos del triángulo que dibujaste? Comparen sus respuestas y comenten: ¿Creen que si dibujan otro triángulo, la medida del ángulo formado al pegar sus tres ángulos internos sea la misma? ¿Por qué?

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MATEMÁTICAS

II

Propósito del interactivo. Practicar el uso del transportador, comprobar que la suma de los ángulos interiores de los triángulos es 180°.

IV. Mide los ángulos internos de los siguientes triángulos. Anota las medidas en la tabla. A

Deducir las medidas de los ángulos interiores de otros triángulos.

P R

X

H

Sugerencias didácticas. Pida a algunos alumnos que midan los ángulos interiores de los triángulos presentados en el interactivo, mientras los demás llenan la tabla que se muestra. Se pretende que los alumnos concluyan que la suma de los ángulos interiores del triángulo es 180°. Con esta información pida a los alumnos que llenen las tablas que se presentan en el interactivo.

Q

B C

J

W

Triángulo

ABC WXY

Y

I

Ángulo

Ángulo

Ángulo

Suma de las medidas de los tres ángulos internos

A= W=

PQR HIJ

J=

A lo que llegamos La suma de las medidas de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a 180º.

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Posibles errores. Es probable que los números que anoten en la quinta columna no sean exactamente 180º, pues son posibles algunos errores en la medición.

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secuencia 4

Lo que aprendimos 1. Los triángulos equilateros tienen sus tres ángulos internos iguales. Sin usar transportador, contesta la pregunta.

Sugerencia didáctica. A partir de los resultados obtenidos anteriormente, comente con los alumnos cómo pueden deducir la medida de los ángulos internos de un triángulo equilátero (la medida es de 60°). Propósitos de la sesión. Deducir la medida de ángulos a partir de las características y propiedades de las figuras.

¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos de cualquier triángulo equilátero?

SESIóN 3

DEDUccIóN DE MEDIDAS DE ÁNGULOS

Para empezar

¿Sabías que en todos los triángulos isósceles dos de sus ángulos internos son iguales?

Hacer generalizaciones sobre medidas de ángulos, a partir de casos particulares.

Verifica esta propiedad en los siguientes triángulos isósceles y pinta del mismo color los ángulos que sean iguales.

Organización del grupo. Los alumnos pueden resolver de manera individual y comparar sus resultados con todo el grupo.

e: Recuerda qu ángulos Se llaman tri uellos equiláteros aq s tres que tienen su s. lados iguale

e: Recuerda qu eles ángulos isósc Se llaman tri tienen e qu los gu los trián ales. dos lados igu

Sugerencia didáctica. El triángulo rojo es un triángulo equilátero; comente con los alumnos que el triángulo equilátero cumple con la propiedad de los triángulos isósceles, pues dos de sus ángulos son iguales. Los triángulos equiláteros son de la familia de los isósceles.

A continuación se presentan varios problemas sobre medidas de ángulos.

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MATEMÁTICAS

II

Lo que aprendimos Otra forma de representar ángulos es con tres letras mayúsculas, una para el vértice y dos para un punto de cada lado del ángulo. Así, el ángulo R

T

S

se representará como TSR. Observen que la letra correspondiente al vértice se coloca en medio de las otras dos.

1. El pentágono regular está inscrito en un círculo de centro O y radio OA.

C O

B

A

Respuesta. 180º

Sin utilizar instrumentos de medición responde: ¿cuánto mide ABC?

Comparen y comenten sus respuestas. Responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuánto mide el ángulo central del pentágono?

b) ¿Qué tipo de triángulo es OAB?

c) ¿Cuánto miden OAB y OBA?

d)

OBA = OBC ¿por qué?

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Sugerencia didáctica. Es importante que estos ejercicios se realicen sin utilizar instrumentos de medición.

secuencia 4 2. En los siguientes triángulos isósceles se marcó la medida del ángulo formado por los lados iguales. Selecciona del recuadro las medidas de los ángulos faltantes y anótalas en el triángulo correspondiente. 113º 72º

45º

100º

Incorporar al portafolios. Elija el problema 3 o el 4 para la evaluación. Aclare a los alumnos que no deben utilizar el transportador para resolver los siguientes problemas, pues pueden hallar el valor de los ángulos estableciendo relaciones entre las características de las figuras y los conocimientos que han elaborado durante esta sesión.

54º

80º

67.5º

33.5º

40º

3. Determina el valor de los ángulos marcados y escribe en tu cuaderno el proceso que utilizaste para determinar el valor de cada uno.

Respuestas. Hexágono: El ángulo mide 120°. El hexágono puede dividirse en 6 triángulos. La medida del ángulo central, y de los otros ángulos, es de 60° por tratarse de triángulos equiláteros. Pentágono: El ángulo mide 150°, pues se forma con la suma de los 90° del ángulo del rectángulo y los 60° del triángulo.

Hexágono regular

Pentágono formado por un rectángulo y un triángulo equilátero

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MATEMÁTICAS

II

Respuesta. Mide 130°. En caso de que algún alumno ponga una medida menor, es probable que considere, de manera errónea, que como la representación del ángulo rojo es menor que la del ángulo gris, entonces el ángulo debe ser más pequeño. En ese caso, aclare a los alumnos que ese no es un buen criterio para comparar ángulos, en cambio, hay información pertinente en la que pueden apoyarse para determinar la medida del ángulo, en este caso, la medida del otro ángulo: 180° – 50° = 130°.

4. Sin utilizar instrumentos de medición, determina la medida de los ángulos marcados con rojo en las ilustraciones.

N 50

º

R

S

O

M

T RST =

MNO =

Para saber más Sobre ángulos y cómo interactuar con ellos consulta: http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Medicion_de_angulos/index.htm Ruta 1: El transportador de ángulos Ruta 2: Ángulos complementarios y suplementarios [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.

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secuencia 5

Propósito del programa integrador. Presentar datos del grado como unidad de medida y explicar la posición relativa de dos rectas en el plano y los ángulos que se forman.

Rectas y ángulos

Propósito de la sesión. Profundizar en el estudio de las rectas paralelas al aprender a trazarlas con regla y compás y poder definirlas correctamente.

¿Cómo se llaman las rectas que no se cortan?, ¿y las que sí se cortan?; cuando dos rectas se cortan se forman cuatro ángulos, ¿cómo se relacionan sus medidas?

Organización del grupo. Se sugiere trabajar en parejas todas las actividades de la sesión, y llevar a cabo intercambios de respuestas y comentarios con todo el grupo.

Este tipo de preguntas son las que podrás contestar cuando termines de estudiar esta secuencia.

Materiales. Instrumentos geométricos: regla, escuadras, transportador y compás.

sesión 1

Propósito de la actividad. El estudio de las rectas paralelas inicia en tercer grado de educación primaria, en donde una forma de trazar rectas paralelas es el doblado de papel. Utilizar nuevamente ese recurso es una manera familiar y “tangible” de abordar el estudio de una noción que será ampliada y enriquecida en el transcurso de esta secuencia.

Consideremos lo siguiente

Posibles procedimientos: • Marcar los puntos al “tanteo”, aproximando los 2 centímetros. • Marcar puntos a 2 cm de la recta pero sin conservar la perpendicularidad. Pueden darse cuenta del error al tratar de trazar una recta, pues los puntos no quedarán alineados. • Marcar los puntos usando la escuadra para medir los 2 cm de cada punto a la recta. • Para los alumnos que tienen una idea clara de que las paralelas son rectas que conservan la misma distancia entre sí, es probable que tracen la paralela a 2 cm (lo saben hacer con las escuadras) y ubiquen diez puntos de ella. Este procedimiento es el óptimo.

Tema Formas geométricas.

Recuerden que: a un punto a un La distancia de lar re la perpendicu sob de mi se ta rec recta. del punto a la Observen:

70

Propósitos de la secuencia Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

Sesión

Propósitos de la sesión

1

Rectas que no se cortan Profundizar en el estudio de las rectas paralelas al aprender a trazarlas con regla y compás y poder definirlas correctamente.

Interactivo Aula de medio

2

Rectas que se cortan Profundizar en el estudio de las rectas perpendiculares al aprender a trazarlas con regla y compás, poder definirlas correctamente y distinguirlas de las rectas oblicuas.

Interactivo

3

Relaciones entre ángulos Identificar y definir a los ángulos opuestos por el vértice y a los adyacentes. Descubrir las relaciones entre las medidas de los cuatro ángulos que se forman cuando dos rectas se cortan.

Video “Parejas de rectas” Interactivo

Antecedentes Los alumnos han trabajado con las nociones de ángulo y de rectas paralelas y perpendiculares desde la escuela primaria y en el primer grado de la secundaria. En ese último grado trazaron perpendiculares y paralelas y midieron ángulos para resolver situaciones relacionadas con las nociones de simetría, mediatriz y bisectriz, así como para construir diversas figuras geométricas. Se espera que en el segundo grado, además de reconocer esos tipos de rectas y las clases de ángulos, identifiquen y describan sus propiedades, establezcan relaciones entre ellos y elaboren argumentos para validar tales propiedades y relaciones; asimismo, que sean capaces de aplicar esas nociones para resolver ciertos problemas.

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Consideren que la recta roja representa una carretera y que 1 cm representa 1 km. La casa de Lety está situada a 2 km de la carretera del lado donde está el punto azul, señala con puntos cinco lugares donde podría estar la casa de Lety.

Recursos

Programa integrador 3

Eje

Para empezar

Desde la escuela primaria has estudiado el trazo de paralelas usando distintos recursos, ¿lo recuerdas? Uno de esos recursos fue el doblado de papel. Consigue una hoja y haz los dobleces tal como se muestra en la figura y marca las rectas paralelas. Después pega la hoja en tu cuaderno.

Posible dificultad. No saber medir adecuadamente la distancia entre un punto y una recta, por lo que es importante que les recomiende leer con atención la nota del “Recuerden que”. Esta idea la practicaron en primer grado (al medir la distancia de puntos simétricos al eje de simetría y al medir alguna de las alturas de un triángulo). Se espera que la escala no represente una dificultad.

Forma, espacio y medida.

Rectas que no se coRtan

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MATEMÁTICAS

II

Propósito de la actividad. Definir objetos geométricos y comunicar a otros sus propiedades es una habilidad que tiene que ver con la adquisición y el desarrollo de un lenguaje matemático. Con esta actividad es posible identificar el grado de comprensión que tienen del objeto que están definiendo; al mismo tiempo, los alumnos tienen la oportunidad de expresar por escrito una idea. No se espera que los alumnos den una respuesta totalmente correcta o completa. Algunas respuestas podrían ser: “Son dos líneas rectas que no se juntan”, “Rectas que no se cortan”, “Rectas que están a la misma distancia”.

Si localizaron bien los cinco puntos podrán unirlos con una línea recta, tracen esa línea recta. a) ¿Cómo son entre sí la recta roja y la que acaban de trazar? b) Anoten dos cosas de su alrededor que representen rectas paralelas. y c) Escriban una definición para rectas paralelas.

Comparen las diferentes definiciones de rectas paralelas con sus compañeros y, entre todos, elijan aquellas que les parezcan adecuadas. Si creen que alguna es incorrecta traten de dar un ejemplo de por qué la consideran incorrecta.

Manos a la obra I. En cada caso marquen con

2

si las rectas representadas son paralelas.

1

2

3

4

5

6

Sugerencia didáctica. Si el tiempo se lo permite, pida a los alumnos que primero comparen en parejas, para que tengan la oportunidad de corregir o enriquecer su definición. Posteriormente, pida a cada pareja que escriba en el pizarrón su definición para que el grupo las analice. Para orientar la confrontación grupal, es importante que destaque: • Las diferencias más relevantes entre las definiciones formuladas por los alumnos. • La idea de que todos los puntos de la recta paralela a la recta roja equidistan de ella. Si los alumnos consideran que alguna definición es incorrecta, invítelos a que den sus argumentos; puede ayudarles planteando un contraejemplo para que después ellos también lo hagan. Esto es un buen inicio de la argumentación y sienta las bases para que, poco a poco, los alumnos desarrollen el pensamiento deductivo que ocuparán posteriormente en las demostraciones geométricas.

II. Se desea trazar una paralela a la recta que pase por el punto P. P

71

Propósito de la actividad. Que los alumnos describan los pasos que se siguieron para trazar una paralela que pasa por el punto P a partir del análisis de la construcción ya realizada. Es importante que los alumnos practiquen continuamente trazos geométricos porque con ello profundizan en el estudio de las características y propiedades geométricas de las figuras. Por otra parte, además de desarrollar su habilidad para interpretar instrucciones, también es importante que aprendan a describir los pasos de una construcción, con la finalidad de que sean competentes para comunicar ideas matemáticas. Sugerencia didáctica. Pida a dos o tres parejas que lean al grupo los pasos que escribieron para reproducir la figura en sus cuadernos. Sugiera a los alumnos que hagan las correcciones que consideren necesarias con la finalidad de que la secuencia de trazos sea lo más clara posible.

Propósito de la actividad. Que los alumnos consideren la posibilidad de que dos rectas (representadas por segmentos) que aparentemente son paralelas, sí llegan a cortarse al prolongar los segmentos (como sucede en los casos 2 y 4). Es decir, no basta con que vean que los dos segmentos no se cortan, deben considerar si sus prolongaciones tampoco lo harán. El propósito de hacerlo sobre una cuadrícula tiene que ver con la idea de que rectas con igual pendiente son paralelas (esto lo estudiarán en el bloque 3 y en tercer grado lo retomarán al estudiar la pendiente como razón de cambio). Recuerde a los alumnos que las rectas se pueden prolongar en ambos sentidos.

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secuencia 5

Propósito del interactivo. Explorar paso a paso la construcción de una recta paralela a otra que pase por un punto dado.

La siguiente figura muestra un procedimiento completo con el que, usando regla y compás, se trazó una recta que pasa por el punto P y es paralela a la recta negra.

Explorar las características de las rectas paralelas.

P' P

Sugerencias didácticas. Puede ocupar el interactivo para verificar los pasos propuestos por los alumnos. Además, al mover algunos de los elementos de la construcción los alumnos pueden explorar y generalizar características de las rectas paralelas.

O' O

En la actividad III del libro del alumno el interactivo podría servir para que los alumnos exploren cuáles de las definiciones de rectas paralelas son correctas, o para mostrar contraejemplos en los que no se cumpla alguna de las características dadas.

c'

c

Analicen la figura y a) Reprodúzcanla en su cuaderno. b) Escriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron. iii. Subrayen las dos definiciones correctas de rectas paralelas. En cuanto a las incorrectas, busquen un ejemplo para mostrar por qué lo son.

3

a) Son rectas horizontales. b) Son rectas que siempre conservan la misma distancia entre sí.

Propósito de la actividad. Aun cuando los alumnos han trabajado desde la primaria con las rectas paralelas, en esta actividad se espera que sean capaces de expresar, por sí mismos, lo que entienden de esa noción. Recuerde que es importante que argumenten sus respuestas y que sean capaces de expresar contrajemplos de las definiciones que consideran incorrectas.

c) Son rectas que no se cortan. d) Son rectas que tienen la misma medida.

A lo que llegamos Las rectas que no se cortan se llaman rectas paralelas.

Respuestas: Los incisos b) y c) son los correctos. Sugerencia didáctica. Apoye a los alumnos en la elaboración de argumentos con preguntas y con ideas que les permitan identificar errores. Por ejemplo, es probable que algunos alumnos elijan el inciso d), este error puede ser resultado de identificar a los lados opuestos de los paralelogramos como rectas paralelas, por lo que se han creado la imagen de que las paralelas son del mismo tamaño; en este caso es importante comentar con ellos lo siguiente: • La rectas no tienen “medida” porque se pueden prolongar, en ambos sentidos, todo lo que deseemos. • Aun cuando los segmentos paralelos sí tienen medida, ésta no tiene por qué ser del mismo tamaño; por ejemplo, en un trapecio la pareja de lados paralelos siempre tiene medidas diferentes.

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Si una recta m es paralela a la recta n, esto se escribe: m II n.

72

2 Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con sus alumnos. Pida que comparen esta definición con la que ellos escribieron en el inciso c) del Consideremos lo siguiente, y que agreguen o corrijan a su definición lo que crean necesario.

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MATEMÁTICAS

II

Sugerencia didáctica. La solución de este problema requiere saber un hecho importante: dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí. La forma en que se construyen paralelas con doblado de papel se basa en ese conocimiento. Si nota que los alumnos tienen dificultades, invítelos a que analicen la secuencia de doblado de papel que hicieron al inicio de esta sesión. También puede ayudarlos pidiendo que observen los bordes de la hoja de su libro, que vean que los lados opuestos son paralelos y los contiguos son perpendiculares, y que pueden aprovechar esta perpendicularidad para obtener paralelas (el transportador sirve para trazar los ángulos de 90º).

Lo que aprendimos 1. Busca una manera de trazar rectas paralelas usando sólo regla y transportador. Cuando lo hayas hecho comenta en grupo los diferentes procedimientos, y si en alguno no están de acuerdo argumenten sus razones (pista: analiza los dobleces que hiciste al inicio de la sesión, te ayudará a resolver este problema). 2. En cada caso, traza una recta paralela a la recta H que pase por el punto M.

M

H

M

H

ReCTAs QUe se CORTAn

Para empezar

sesión 2

También las rectas perpendiculares pueden trazarse usando distintos recursos, como el doblado de papel. Consigue una hoja y haz los dobleces que se muestran en la figura, marca las rectas perpendiculares y después pega la hoja en tu cuaderno.

Sugerencia didáctica. Al igual que en el problema inicial, en éste ya se establece un punto por donde debe pasar la recta. Dado que no se especifica qué instrumentos geométricos deben emplear, los alumnos tienen al menos tres opciones para hacer el trazo: usando dos escuadras, la regla y el transportador o la regla y el compás, siguiendo el procedimiento ilustrado en el apartado Manos a la obra. Propósito de la sesión: Profundizar en el estudio de las rectas perpendiculares al aprender a trazarlas con regla y compás, poder definirlas correctamente y distinguirlas de las rectas oblicuas. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas durante toda la sesión y hagan una confrontación grupal. Materiales. Instrumentos geométricos.

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Propósito de la actividad. En la primaria los alumnos iniciaron el estudio de las rectas perpendiculares también usando el doblado de papel. En esta actividad se recupera ese procedimiento como punto de partida para después arribar a un procedimiento más formal.

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Posibles procedimientos. Aun cuando no se menciona el uso de instrumentos geométricos, hágales notar que trazar una recta no puede hacerse “a mano alzada”, es decir, sin ningún instrumento; es importante que al menos usen la regla. Posiblemente los alumnos relacionen las rectas perpendiculares con la igualdad de los cuatro ángulos y traten de trazarlas. Una forma de hacerlo, aunque difícil, es al “tanteo”, utilizando únicamente la regla. Otras formas de hacerlo con instrumentos geométricos, son:

secuencia 5

Consideremos lo siguiente En el primer recuadro tracen dos rectas que se corten formando cuatro ángulos iguales y en el segundo recuadro tracen dos rectas que se corten formando ángulos que no sean todos iguales. a) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos del primer recuadro?

b) Si trazaron bien las rectas del primer recuadro, se trata de dos rectas perpendiculares. Anoten dos cosas de su alrededor que representen rectas perpendiculares.

• Usando las dos escuadras (lo hicieron en primer grado).

c) Escriban una definición para rectas perpendiculares.

• Con el transportador y la regla. Para el segundo caso (ángulos que no son todos iguales), es suficiente la utilización de la regla.

d) Las rectas que trazaron en el segundo recuadro se llaman

Sugerencia didáctica. Al igual que en la comparación de respuestas de la sesión 1, es importante que invite a los alumnos a dar argumentos y contraejemplos para los casos en que consideren que una definición es incorrecta. Usted puede apoyarlos enfatizando el hecho de que si los cuatro ángulos deben medir lo mismo, la medida será de 90º, es decir, deben ser cuatro ángulos rectos.

Comparen las diferentes definiciones de rectas perpendiculares y rectas oblicuas con las de sus compañeros y entre todos elijan aquellas que les parezcan adecuadas. Si creen que alguna es incorrecta traten de dar un ejemplo de por qué lo es.

oblicuas. Escriban una definición para rectas oblicuas.

Manos a la obra i. En cada caso anoten si las rectas representadas son perpendiculares u oblicuas.

1

2

perpendiculares

4

3

oblicuas

5

perpendiculares

oblicuas

6

perpendiculares

oblicuas

74

Posibles procedimientos. Para determinar si las rectas son perpendiculares, es importante que los alumnos identifiquen si los ángulos que forman las rectas son de 90º. Para ello, es probable que recurran a procedimientos empíricos, como usar el transportador para medir los ángulos o la escuadra para ver si los ángulos son rectos; también es posible que se apoyen en deducciones lógicas; por ejemplo, en el caso número 4 pueden observar que al prolongar las rectas éstas coincidirán con los lados de un cuadrado que, como ya saben, sus ángulos son rectos.

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MATEMÁTICAS

II

Propósito del interactivo. Mostrar paso a paso la construcción de una recta perpendicular a otra que pase por un punto dado.

II. Se desea trazar una recta que pase por el punto P y que sea perpendicular a la recta dada.

Sugerencias didácticas. El interactivo, a diferencia del impreso, muestra paso a paso los trazos realizados para obtener las rectas perpendiculares; puede mostrarlo a los alumnos y que ellos vayan escribiendo qué es lo que observan, posteriormente pueden mover los elementos que conforman la construcción para explorar que si efectivamente las indicaciones que escribieron se cumplen siempre o en qué casos no.

P

La siguiente figura muestra un procedimiento completo para hacer el trazo con regla y compás.

O

P

O'

En la actividad III del libro del alumno el interactivo parmite a los alumnos explorar cuáles de las definiciones de rectas perpendiculares son correctas, también permite mostrar contraejemplos en los que no se cumple alguna de las características dadas.

Analicen la figura y a) Reprodúzcanla en su cuaderno. b) Escriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron.

Propósito de la actividad. Al igual que en el trazo de una paralela a una recta, en esta actividad se pretende que dado el punto de partida y el resultado final, los alumnos puedan reconstruir y comunicar los pasos que se siguieron para trazar una perpendicular a una recta que pase por un punto sobre ella.

III. Subrayen las dos definiciones correctas para rectas perpendiculares y para rectas oblicuas, para las otras definiciones den un ejemplo de por qué las consideran incorrectas. Rectas perpendiculares: a) Son dos rectas, una vertical y otra horizontal b) Son rectas que se cortan formando ángulos rectos c) Son rectas que no se cortan

Sugerencia didáctica. Pida a dos o tres parejas que lean al grupo los pasos que escribieron para reproducir la figura en sus cuadernos. Sugiera a los alumnos que hagan las correcciones que consideren necesarias con la finalidad de que la secuencia de trazos sea lo más clara posible.

d) Son rectas que al cortarse forman cuatro ángulos iguales Rectas oblicuas: a) Son rectas que se cortan formando ángulos iguales b) Son rectas que se cortan formando dos ángulos agudos y dos obtusos c) Son rectas que se cortan formando ángulos que no son rectos d) Son rectas que no se cortan 75

Respuestas. Las definiciones correctas para el caso de las rectas perpendiculares son los incisos b) y d); y para el caso de las oblicuas son los incisos b) y c). Sugerencia didáctica. Insista en la importancia de que los alumnos den argumentos convincentes y que en lo posible den contraejemplos para aquellas definiciones que consideren incorrectas. Por ejemplo, la definición errónea de rectas perpendiculares que señala que una siempre es vertical y la otra siempre horizontal, puede ser discutida tomando como contraejemplo el caso número 5 del apartado Manos a la obra, actividad I.

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Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos. Puede pedirles que la copien en sus cuadernos y que ilustren ambas definiciones con representaciones diversas.

secuencia 5

A lo que llegamos Si dos rectas que se cortan forman ángulos de 90º, entonces se llaman rectas perpendiculares; si se cortan formando ángulos que no son de 90º, se llaman rectas oblicuas. Si una recta p es perpendicular a la recta q, esto se escribe: p

q.

Para indicar que un ángulo mide 90º, es decir, que es recto, se coloca en el ángulo una marca como la roja.

Sugerencia didáctica. Los alumnos podrán resolver fácilmente este ejercicio a partir de la consideración de que las perpendiculares forman ángulos de 90º: pueden trazar una recta y luego ayudarse del transportador para trazar la otra recta en un ángulo de 90º. Pídale a algún alumno que muestren en el pizarrón la manera en que lo hizo.

Lo que aprendimos 1. Busquen una manera de trazar rectas perpendiculares usando sólo regla y transportador; cuando lo hayan hecho comenten en grupo los diferentes procedimientos, si en alguno no están de acuerdo argumenten sus razones. 2. Realicen los siguientes trazos en una hoja blanca, utilizando sus instrumentos geométricos. a) Un cuadrado de cualquier tamaño cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la hoja.

Posibles procedimientos. Hay distintas formas de resolver cada uno de estos ejercicios, permita que los alumnos exploren diferentes posibilidades. Una forma sencilla de resolverlos es trazar rectas perpendiculares, a partir de ahí se puede trazar tanto el cuadrado como el rectángulo de distintas maneras:

b) Un rectángulo de cualquier tamaño cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la hoja. 3. En cada caso, tracen una recta perpendicular a la recta r que pase por el punto P.

P P

Para el cuadrado, trazar un círculo con centro donde se cortan las rectas, y después unir los cuatro puntos en los que la circunferencia corta a las perpendiculares, para obtener los lados del cuadrado. También pueden trazar un lado del cuadrado de la medida elegida y en los extremos de ese segmento trazan dos segmentos perpendiculares de la misma medida, luego trazan el cuarto lado para cerrar el cuadrado. El rectángulo lo pueden hacer igual, cuidando que el primer segmento que tracen sea de medida diferente a las dos perpendiculares de los extremos. Para cumplir con la condición de que los lados de las figuras no sean paralelos a la hoja del cuaderno, es importante que las rectas perpendiculares se tracen en una posición distinta a aquella en la que una recta es horizontal y la otra vertical.

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r r

76

Posibles procedimientos. Como no se indica qué instrumentos geométricos deben utilizar, los alumnos pueden recurrir tanto a las escuadras, la regla y el transportador, como sólo a la regla y el compás. Los trazos que se piden en este ejercicio no son sencillos, si nota que sus alumnos tienen problemas puede ayudarlos dándoles algunas pistas.

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MATEMÁTICAS

II

ReLACiOnes enTRe ÁnGULOs

sesión 3

Para empezar

Une dos palitos o lápices con una liga, como se muestra en la foto, y manipúlalos para formar ángulos.

Propósito de la sesión. Identificar y definir los ángulos opuestos por el vértice y los adyacentes. Descubrir las relaciones entre las medidas de los cuatro ángulos que se forman cuando dos rectas se cortan. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas y que el apartado Lo que aprendimos lo resuelvan individualmente. Materiales. Un par de lápices, una liga y el transportador que se propone en esta sesión.

¿Cuántos ángulos se forman?

,

¿son todos diferentes?

,

¿hay algunos que sean iguales entre sí?

.

Propósito de la actividad. La manipulación de lápices unidos por una liga permite a los alumnos experimentar distintas posibilidades de formación de ángulos cuando dos rectas se cortan.

Coloca los palitos de tal manera que todos los ángulos sean iguales. Cuando los colocas de esta manera ¿cuánto mide cada ángulo?

Consideremos lo siguiente Sin utilizar transportador, en cada pareja de rectas averigüen y anoten la medida de cada uno de los tres ángulos a, b y c.

a

b

60º

c

a

90º

b

c

115º

a b

c

77

Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos no usen el transportador, pues esa restricción favorece que recurran a otros conocimientos que les permitan relacionar la medida del ángulo dado y los ángulos a, b , c. Posibles procedimientos. Los alumnos pueden apoyarse tanto en su percepción visual como en sus conocimientos previos para hacer estimaciones y para establecer distintas relaciones entre los ángulos, por ejemplo: • Apoyándose en la percepción visual, es posible identificar que el ángulo b es igual al ángulo del que se conoce la medida; y en el caso de las perpendiculares es sencillo visualizar la igualdad de los ángulos (los alumnos aprendieron en la sesión 2 que las rectas perpendiculares forman ángulos de 90º).

• Pueden determinar las medidas recurriendo a alguna de las siguientes relaciones: el ángulo del que se conoce la medida forma, junto con el ángulo a (o el c), un ángulo de 180°, de la misma manera que el ángulo b y el ángulo c (o el a). A partir de ahí se puede restar a 180º la medida del ángulo conocido para obtener la del otro ángulo. La otra posibilidad es que, sabiendo que los cuatro ángulos suman 360°, y que el ángulo dado y su opuesto miden lo mismo, sumen esas dos medidas y resten esa suma a 360°, y luego dividan el resultado entre 2 para obtener el valor de los ángulos a y c (porque a y c son iguales). En caso de que no obtengan todos los resultados correctos, en la confrontación tendrán la oportunidad de verificar sus respuestas usando un transportador.

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secuencia 5

2

Comparen sus resultados. Sólo hasta que todos estén de acuerdo podrán utilizar el transportador y medir los ángulos, para verificar sus respuestas. Comenten:

Sugerencia didáctica. Antes de llevar a cabo la comparación grupal, puede pedir a los alumnos que primero comparen entre parejas, para que todos tengan la oportunidad de intercambiar sus respuestas y puntos de vista. En la comparación grupal, en caso de que aún haya diferencias, invítelos a que argumenten sus respuestas antes de recurrir a la medición de ángulos. Finalmente, pídales que verifiquen utilizando el transportador.

a) ¿Cómo pudieron calcular la medida de los ángulos? b) ¿Cuál es la relación entre los ángulos a y c de cada pareja de rectas? c) ¿Cuál es la relación entre los ángulos a y b de cada pareja de rectas?

Manos a la obra i. De acuerdo con lo ilustrado contesten lo que se pide. Los ángulos a y b son ángulos opuestos por el vértice

Propósito de la actividad. La elaboración de definiciones y de argumentos respecto de la validez o no de una definición, es una habilidad que se desarrolla gradualmente en los alumnos, por ello es importante que tengan la oportunidad de expresar sus propias ideas aun cuando éstas sean incompletas o incorrectas.

Los ángulos c y d son ángulos adyacentes

a

b

d

d

c

b

b

a

Sugerencia didáctica. En caso de que algunos alumnos quieran consultar un diccionario u otra fuente para investigar estas definiciones, invítelos a que primero traten de enunciar la definición y que después la comparen y la complementen con lo que dice el diccionario.

b

a

c d

a

c

c

d

Escriban una definición para: Ángulos opuestos por el vértice Ángulos adyacentes

3 Sugerencia didáctica. Es importante que invite a los alumnos a argumentar sus puntos de vista acerca de las diferentes definiciones que surjan en el grupo. Recuerde que la elaboración de argumentos es una parte fundamental del conocimiento matemático, además de que prepara a los alumnos para las demostraciones formales que tendrán que hacer en grados posteriores.

114

Comparen las definiciones que escribieron para ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes. Si alguna definición les parece incorrecta traten de dar argumentos de por qué lo consideran así; por ejemplo, si algún equipo define a los ángulos opuestos por el vértice como ángulos que son iguales, pueden poner de ejemplo que los ángulos de un triángulo equilátero son iguales, pero no son opuestos por el vértice. 78

Sugerencia didáctica. Si algunos alumnos definen a los ángulos opuestos por el vértice como ángulos que son iguales, usted puede precisar que realmente no están dando una definición de ángulos opuestos, sino una propiedad, pues hay ángulos que son iguales pero que no están opuestos por el vértice.

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MATEMÁTICAS

II

II. Realicen lo que se indica. • Recorten una tira de papel de 10 cm de largo por 12 cm de ancho; a lo largo de ella y pasando por la mitad, tracen una línea recta. Dibujen un punto en el centro de la tira.

• Coloquen la tira en el transportador como se muestra en el dibujo, de tal manera que puedan girarla.

Giren la tira de modo que el ángulo 1 mida 30º. Ayúdense del transportador para obtener las medidas de los ángulos 2, 3 y 4. Anoten esas medidas en la tabla que se muestra adelante, en el renglón del ángulo de 30º. Repitan lo mismo con las otras medidas que se indican en la tabla para el ángulo 1.

120º

105º 90º 75º

60º

135º

45º

150º

30º

165º

15º

180º

360º

195º

345º

210º

330º

225º

315º 240º

255º270º 285º

300º

79

Propósito del interactivo. Explorar las propiedades de los ángulos formados por dos rectas. Sugerencias didácticas. En el interactivo se puede trabajar con otras medidas de los ángulos, lo cual ayudaría a mostrar contraejemplos o para que los alumnos generalicen las características de los ángulos opuestos por el vértice y de los ángulos adyacentes. El interactivo puede servir para generar otros ejercicios que les permitan a los alumnos validar sus hipótesis, o en su defecto presentarles contraejemplos para que analicen en qué casos son ciertas y en qué casos no. Se pueden adecuar los ejemplos de acuerdo a las necesidades de los alumnos aumentando o disminuyendo el grado de dificultad de los ejercicios planteados a los alumnos.

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secuencia 5 Ángulo 1

Ángulo 2

Ángulo 3

Ángulo 4

30º

150°

30°

150°

45º

135°

45°

135°

75º

105°

75°

105°

90º

90°

90°

90°

130º

50°

130°

50°

145º

35°

145°

35°

a) ¿Qué relación encuentran entre las medidas de los ángulos 1 y 3?

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, organice una puesta en común para que los alumnos comenten sus hallazgos acerca de las relaciones entre los ángulos. Lean y comenten en grupo la información del apartado A lo que llegamos; para ello, puede apoyarse en el pizarrón para trazar ahí dos rectas que se cortan e ir señalando los ángulos opuestos por el vértice y los ángulos adyacentes que suman 180°. Enfatice en el hecho de que éstos últimos son un caso especial, pues existen ángulos adyacentes que pueden sumar más o menos de 180° (en la tabla de la actividad I del Manos a la obra hay un par de ejemplos).

b) ¿Y entre las medidas de los ángulos 2 y 4?

Son iguales

c) ¿Entre las medidas de los ángulos 1 y 2?

Suman 180°

d) ¿Y entre las medidas de los ángulos 3 y 4?

Suman 180°

Son iguales

e) Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen que sus respuestas coincidan con las relaciones que acaban de encontrar.

A lo que llegamos Cuando dos rectas se cortan se forman cuatro ángulos. b c

a d

Los ángulos a y c son opuestos por el vértice, observa que tienen el mismo vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos a y b suman 180º y, además, son ángulos adyacentes, observen que tienen en común el vértice y un lado.

Descripción del video. En el video se muestran de manera visual y dinámica las posiciones relativas de dos rectas en el plano, el trazo de rectas paralelas y perpendiculares y las relaciones que hay entre los ángulos cuando las dos rectas se cortan. Este video se puede utilizar al final de la secuencia para reafirmar lo visto a lo largo de ésta.

Parejas de rectas Ahora sabes que dos rectas pueden cortarse o no cortarse. Si se cortan pueden formar ángulos rectos o ángulos no rectos.

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MATEMÁTICAS

II

Incorporar al portafolios. Para los problemas 1 y 2, el propósito es que los alumnos integren sus conocimientos algebraicos y los geométricos para resolver una situación determinada, y para el problema 3, que acudan a las relaciones ya estudiadas entre dos rectas que se cortan y los ángulos que se forman. Por ello es importante que los alumnos no utilicen el transportador para resolver y, en lo posible, tampoco para verificar, pues tienen otros elementos que les permiten revisar sus respuestas y elaborar argumentos para validarlas.

Lo que aprendimos 1. Plantea una ecuación y encuentra el valor de los cuatro ángulos de la siguiente figura.

x + 20° x

2. Si la suma de las medidas de dos ángulos adyacentes es 180°, y uno de ellos mide el doble del otro, ¿cuánto mide cada uno? 3. Anota las medidas de los otros tres ángulos que forman las diagonales.

Respuesta: La ecuación que se debe plantear es: x + x + 20 = 180. Al despejar x se tiene el valor de uno de los ángulos y, sumando 20 a ese valor, se obtiene la medida del otro ángulo.

50°

Respuesta. Este problema puede resolverse haciendo estimaciones y probando con distintas medidas hasta obtener la correcta, o bien, planteando la siguiente ecuación: x + 2 x = 180. Deben constatar que efectivamente uno de los ángulos mida el doble del otro.

Para saber más Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: De la Peña, José Antonio. “Rectas y puntos”, en Geometría y el mundo. México: SEP/ Santillana, Libros del Rincón, 2003. Sobre las ilusiones ópticas que se refieren a objetos geométricos, en particular a líneas paralelas consulta: http://www.opticas.info/articulos/ilusiones-opticas.php http://perso.wanadoo.es/e/ochum/ilu02.htm [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

Posibles procedimientos. Los alumnos pueden resolver estableciendo las siguientes relaciones: • La medida del ángulo opuesto al de 50° es también de 50°, por ser opuestos por el vértice. • El ángulo adyacente al de 50° se obtiene restando 180° menos 50°; la medida de ese ángulo es de 130°. 81

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secuencia 6

Propósito del programa integrador. Mostrar los tipos de ángulos que se generan cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

Ángulos entre paralelas

Propósito de la sesión. Identificar la igualdad de los ángulos correspondientes cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. Organización de grupo. Se recomienda que los alumnos trabajen en parejas y que se organicen momentos para el intercambio grupal.

En secuencias anteriores has estudiado, por un lado ángulos, y por otro rectas paralelas, ahora seguirás explorando ambos temas: ángulos entre paralelas. También trabajarás con los ángulos interiores de triángulos y paralelogramos.

Materiales. Una hoja delgada de papel y tijeras. Propósito de la actividad. Introducir el término “secante” o “transversal”, el cual habrá de utilizarse a lo largo de la secuencia.

SESIóN 1

r1 r2 t Observa que la recta t corta a las dos rectas paralelas. Esta recta recibe el nombre de transversal o secante.

Posibles procedimientos. Para resolver este problema los alumnos cuentan con algunos antecedentes: saben que dos ángulos opuestos por el vértice son iguales y que cuando dos rectas se cortan los ángulos adyacentes suman 180º, esto hará que sea relativamente sencillo calcular el valor de los tres ángulos que están junto con el ángulo de 135º. Después se enfrentarán a la dificultad de encontrar el valor de los otros cuatro ángulos, pues hasta ahora no se ha estudiado la relación entre éstos y los ángulos que ya determinaron. Apoyándose en la percepción visual, los alumnos podrían identificar que los dos conjuntos de ángulos son iguales. Otro procedimiento es el de calcar algunos ángulos y sobreponerlos en otros para determinar si son iguales.

Consideremos lo siguiente Sin medir, encuentren y anoten el valor de cada uno de los ángulos marcados con rojo.

r1

135º 45º

135º

45º

r1 II r2

135º 45º 135°

82

Eje

Propósitos de la secuencia Establecer las relaciones de los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de triángulos y paralelogramos.

Sesión

Propósitos de la sesión

1

Ángulos correspondientes Identificar la igualdad de los ángulos correspondientes cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

Aula de medios Interactivo

2

Ángulos alternos internos Identificar la igualdad de los ángulos alternos internos y alternos externos cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

Aula de medios

3

Los ángulos en los paralelogramos y en el triángulo Explorar las relaciones entre los ángulos interiores de un triángulo y los ángulos interiores de un paralelogramo.

Antecedentes

Recursos

Aula de medios Video “Relaciones importantes” Interactivo

Programa integrador 4

Tema

118

45º

r2

Comparen sus resultados con los del resto del grupo, y si hay resultados diferentes argu­ menten sus respuestas para convencer a sus compañeros.

Forma, espacio y medida.

En la secuencia 4 los alumnos aprendieron diferentes definiciones de ángulos y elaboraron deducciones sencillas para calcular la medida de un ángulo. En la secuencia 5, establecieron relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y aprendieron a reconocer ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes. En esta secuencia los alumnos trabajarán con los ángulos que se forman entre dos paralelas cortadas por una secante: aprenderán a establecer relaciones de igualdad entre ellos, a justificar esa igualdad mediante la elaboración de argumentos y a nombrar los tipos de ángulos que resultan.

Para empezar

Considera las siguientes rectas paralelas, r1 y r2. Recuerda que esto se escribe: r1 II r2

Sugerencia didáctica. En varias actividades de esta sesión se presentan a los alumnos paralelas cortadas por una secante en distintas posiciones, es decir: paralelas horizontales, paralelas verticales y en diagonal, para que los alumnos no fijen la noción de rectas paralelas a una sola representación. Si lo considera conveniente, puede trazar en el pizarrón varios sistemas de dos paralelas y una transversal para que los alumnos identifiquen tanto las paralelas como la transversal.

Formas geométricas.

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES

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MATEMÁTICAS

II

Propósito del interactivo. Explorar las características de los ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal.

Manos a la obra I. Realicen la siguiente actividad. 1. Tracen en una hoja blanca de papel delgado (de preferencia transparente) dos rectas paralelas y una transversal, y numeren los ángulos de la siguiente manera:

2 3 6 7

2. Marquen una línea punteada como la que se muestra en el dibujo:

1

2

4

3 6

5 8

3. Corten la hoja por la línea punteada.

7

1 4

5 8

4. Coloquen una parte de la hoja encima de la otra de tal manera que el ángulo 1 coincida exactamente con el ángulo 5.

Los ángulos 1 y 5 se llaman ángulos correspondientes.

6 , ¿y del 3?

7 ¿ y del 4?

correspondientes? b) ¿Cómo son entre sí las medidas de los ángulos

Las relaciones entre los ángulos se pueden explorar de dos maneras con el interactivo, una es moviendo los ángulos, para superponerlos, y otra es midiéndolos con el transportador. Al mover los ángulos, ya sea sobre la misma paralela o hacia la otra, los alumnos pueden explorar cuáles ángulos miden lo mismo, con la finalidad de que puedan generalizar las relaciones existentes entre los ángulos que se forman cuando dos paralelas son cortadas por una transversal.

Propósito de la actividad. Que los alumnos comprueben, mediante la superposición de figuras, que los ángulos correspondientes son iguales. Asegúrese de que los alumnos efectivamente lleven a cabo esta actividad.

Ahora tienen el ángulo 5 sobre el ángulo 1.

a) ¿Cuál es el ángulo correspondiente del 2?

Sugerencias didácticas. Al mover las rectas paralelas o la transversal se representan una infinidad de rectas paralelas y transversales, lo cual permite mostrar a los alumnos que los ángulos correspondientes son iguales no sólo para el caso que ellos trazaron. Además se pueden girar las rectas, para que los alumnos observen y comprueben que las características de los ángulos se mantienen independientemente de la posición de las rectas, siempre y cuando éstas sigan siendo paralelas.

8

iguales

c) Verifiquen, midiendo, que cuando dos rectas paralelas son cortadas por una trans­ versal los ángulos correspondientes son iguales.

83

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Sugerencia didáctica. Es importante que recuerde a sus alumnos que el símbolo se refiere a la medida del ángulo, mientras que el símbolo se refiere al ángulo. Así, a, se lee “ángulo a”, mientras que a, se lee “la medida del ángulo a”. Organice un momento breve de comparación de respuestas. Invite a los alumnos a que argumenten sus afirmaciones.

secuencia 6 ii. Subrayen las afirmaciones verdaderas.

Recuerden que: a” a se lee “ángulo a del ángulo a” did me a se lee ”la

a)

2=

6 porque son ángulos correspondientes.

b)

1=

5 porque son ángulos opuestos por el vértice.

c)

5=

7 porque son ángulos opuestos por el vértice.

5+

6 = 180º porque son ángulos adyacentes que se forman

d)

cuando dos rectas se cortan.

Respuestas. Deben subrayarse las afirmaciones a, c y d.

iii. Completen el razonamiento para encontrar f considerando que trata de dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

son correspondientes

a = e porque

Propósito de la actividad. El desarrollo de un pensamiento deductivo es uno de los propósitos de las matemáticas, por ello, con esta actividad se propicia la elaboración de razonamientos deductivos sencillos a partir de casos particulares.

50º

Entonces, el ∠ e mide

a c

e g b d f h

e + f = 180º

a = 50º y que se

porque

son adyacentes que se forman cuando dos rectas se cortan

Por lo tanto,

130º

f=

iV. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente, identifiquen los ángu­ los correspondientes y verifiquen que sus respuestas hayan sido correctas.

3 Sugerencia didáctica. Es probable que los alumnos no tengan la necesidad de demostrar algo que les resulta obvio, y por ello mismo tengan dificultades para elaborar argumentos. En caso de que lo considere necesario, ayúdelos a completar las afirmaciones.

V. Consideren ahora dos rectas que no son paralelas y que son cortadas por una transversal.

2 3 5

6 7

Sugerencia didáctica. Asegúrese de que sus alumnos revisen las respuestas que dieron al problema inicial.

1 4

8

a) En este caso también se dice que el ángulo 1 es correspondiente del ángulo 5, y el 2 del 6, ¿cuál es el correspondiente del 3?

,

¿y del 4? b) Comparen las medidas de los ángulos correspondientes cuando las rectas no son paralelas. 84

Propósito de la actividad. Que los alumnos consideren que incluso rectas que no son paralelas, cuando son cortadas por una secante también forman ángulos correspondientes, pero en tal caso, esos ángulos no son iguales. Recuerde que. Dos rectas que son cortadas por una transversal son paralelas si –y sólo si– forman ángulos correspondientes iguales.

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MATEMÁTICAS

II

A lo que llegamos Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ángulos correspondientes iguales.

1

Incorporar al portafolios. Antes de que los alumnos resuelvan, asigne al primero y al segundo caso una letra a cada uno de los ángulos, para que posteriormente puedan comparar sus resultados. Si identifica que en esos dos casos los alumnos tienen dificultades para determinar las medidas, repase con ellos la identificación de ángulos adyacentes, de ángulos opuestos por el vértice (apartado A lo que llegamos de la sesión 3, secuencia 5), y de ángulos correspondiente (A lo que llegamos de esta sesión).

2

1 es correspondiente al

El

2 , por lo tanto

1=

2.

Si dos rectas que no son paralelas son cortadas por una transversal los ángulos correspondientes tienen diferente medida.

Lo que aprendimos Encuentra el valor de los ángulos que faltan en cada caso.

x

En el tercer caso se pretende vincular este tema de geometría con el tema de ecuaciones; la ecuación que debe plantearse es x + 3 x = 180º, al despejar x se obtiene x = 45º, por lo que un ángulo mide 45º y el otro 135º.

3x

80° 103°

ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS

Para empezar

SESIóN 2

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ocho ángulos.

Observa que los ángulos 2, 3, 6 y 7 están dentro de las paralelas. 1

2 5

3 6

Estos ángulos se llaman internos.

4 7

8

Sugerencia didáctica. Lea junto con los alumnos esta información, y coméntela. Usted puede pedirles que comparen lo que aquí se afirma con los casos que ellos resolvieron en las actividades III y V.

¿Qué ángulos quedan fuera de las paralelas?

1, 4, 5, 8

¿Cómo crees que se llaman estos ángulos?

externos

85

También es probable que algunos alumnos lo resuelvan por ensayo y error: si logran identificar que un ángulo es el triple del otro (3 x) y ambos suman 180º, pueden empezar a buscar parejas de números que cumplan esa relación. Este procedimiento también es válido.

Propósito de la sesión. Identificar la igualdad de los ángulos alternos internos y alternos externos cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan la sesión organizados en parejas.

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen a los ángulos que están dentro de las paralelas como “internos”, y a los que están fuera como “externos”. Si algunos nombran a estos últimos “exteriores”, puede decirles que aunque su respuesta es correcta, se acostumbra llamarlos “externos”.

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secuencia 6

2

Consideremos lo siguiente

Sugerencia didáctica. El antecedente directo de esta actividad es la actividad III de la sesión anterior, en la que completaron un razonamiento para determinar la medida de un ángulo. En este caso ya no se les ofrecen afirmaciones para que las completen, sino que ellos tendrán que escribir, con sus propias palabras, el razonamiento deductivo que establece la igualdad entre los ángulos a y h. Para ello es importante que usted enfatice la indicación de que deben convencer a alguien respecto de la igualdad de los ángulos que se proponen.

Sin medir los ángulos, ¿cómo podrían convencer a alguien de que argumentos.

a b e f

Posibles dificultades. Aun cuando los alumnos podrían disponer de las distintas formas de resolver apoyándose en las relaciones entre ángulos que han estudiado (opuestos por el vértice, adyacentes suplementarios y correspondientes), podrían tener dificultades como las siguientes:

Manos a la obra i. Lean la siguiente información: a) Si dos ángulos están de diferente lado de la transversal, en diferen­ te paralela y dentro de las paralelas, se llaman alternos internos. Por ejemplo, los ángulos 2 y 7 son alternos internos. Hay otra pareja de ángulos alternos internos, ¿cuál es? 1

3 6

6y3

4 7

8

b) Si dos ángulos están de diferente lado de la transversal, en diferen­ te paralela y fuera de las paralelas, se llaman alternos externos. Por ejemplo, los angulos 1 y 8 son alternos externos. Hay otra pareja de ángulos alternos externos, ¿cuál es?

5y4

c) En la figura del apartado Consideremos lo siguiente identifiquen án­ gulos alternos internos o alternos externos y verifiquen que miden lo mismo. ii. Con respecto a la figura del apartado Consideremos lo siguiente subrayen las afirma­ ciones que son verdaderas.

c) Establecer un razonamiento correcto pero no poder expresarlo por escrito.

• Los ángulos a y f son iguales por ser opuestos por el vértice.

2 5

b) No poder elaborar una secuencia lógica de razonamientos, esto es, formular afirmaciones que no se deducen de otras. Por ejemplo: “Los ángulos a y f son iguales porque son opuestos por el vértice, y los ángulos c y h también son iguales porque son opuestos por el vértice, entonces el ángulo a es igual al ángulo h”.

Sugerencia didáctica. Dado que hay distintas formas de argumentar correctamente la igualdad de esos ángulos, es conveniente que usted prepare diferentes razonamientos que puedan enriquecer los que surjan en el grupo. Un razonamiento posible es:

d h

Comparen sus argumentos con los del resto del grupo, observen que hay diferentes ma­ neras de llegar al mismo resultado.

a) No recordar las relaciones que se han estudiado, o recordar algunas de ellas sin poder hacer todos los vínculos necesarios para resolver este caso.

Usted puede sugerirles que revisen la actividad III de la sesión anterior y, principalmente, que platiquen primero en cada pareja sus ideas, y cuando uno de ellos logre convencer al otro, entonces que traten de redactar esas ideas.

c g

a = h? Anoten sus

a)

c=

b)

a=

f porque son ángulos alternos internos. c porque son ángulos correspondientes.

c)

e=

d porque son ángulos alternos externos.

d)

a=

h porque son ángulos opuestos por el vértice.

86

Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos efectivamente hagan esta actividad, pues por un lado les ayudará a precisar las nociones de ángulos alternos internos y alternos externos, y por el otro, podrán constatar las relaciones de igualdad que aquí se establecen. Esta actividad no requiere de mucho tiempo, pues ellos ya obtuvieron las medidas de esos ángulos, sólo tienen que compararlas.

Respuestas. Incisos a, b y c.

• Los ángulos f y h son iguales por ser correspondientes. • Si el ángulo a es igual al ángulo f, y si el ángulo f es igual al ángulo h, entonces los ángulos a y h también son iguales entre sí.

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MATEMÁTICAS

II

III. En la siguiente figura, los ángulos d y g son alternos internos entre dos paralelas cor­ tadas por una transversal. Completen el razonamiento para justificar que los ángulos alternos internos siempre son iguales.

d = f porque f=

g

porque

son correspondientes son opuestos por el vértice

Entonces, como los dos ángulos, el ∠ d y el ∠ g son iguales

a d b c

al ∠ f, podemos decir que

e f g h

Respuesta. Siguiendo el razonamiento anterior: los ángulos a y e son iguales por ser correspondientes; los ángulos e y h son iguales por ser opuestos por el vértice, entonces los ángulos a y h son iguales.

los ángulos d y g son iguales IV. Escriban en su cuaderno un razonamiento parecido para justificar que dos ángulos alternos externos son iguales.

Sugerencia didáctica. Los alumnos pueden elegir los ángulos a y h o los ángulos b y f para hacer esta actividad, pero conviene que lo hagan con a y h porque pueden usar después su escrito para verificar lo que respondieron en el problema inicial, como se pide en la siguiente actividad.

V. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y revisen los argumen­ tos que dieron para justificar la igualdad de los ángulos a y h.

A lo que llegamos Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ángulos alternos internos y alternos externos que miden lo mismo. El ∠ 1 es alterno externo del ∠ 7 , por lo tanto

1=

7.

El ∠ 4 es alterno interno del ∠ 6 , por lo tanto

4=

6.

4

5

6 7

También pueden regresar a la actividad II del Manos a la obra y corregir sus respuestas, en caso necesario.

1

2 3

Sugerencia didáctica. Es importante que usted formalice que los ángulos a y h son alternos externos y que por lo tanto son iguales. Puede pedir que identifiquen la otra pareja de ángulos alternos externos y, si consideran que también son iguales, pídales que den sus argumentos.

8

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Respuesta. Cuando las rectas que son cortadas por una secante no son paralelas, también se pueden identificar ángulos alternos internos y alternos externos, pero no hay ninguna relación de igualdad entre sus medidas.

secuencia 6

Lo que aprendimos 1. Investiguen si hay o no alguna relación entre los ángulos alternos internos y alternos externos cuando las dos rectas que corta la transversal no son paralelas.

SESIóN 3

Propósito de la sesión. Explorar las relaciones entre los ángulos interiores de un triángulo y los ángulos interiores de un paralelogramo.

LOS ÁNGULOS EN LOS PARALELOGRAMOS Y EN EL TRIÁNGULO

Para empezar

Las relaciones entre las parejas de ángulos que se forman cuando dos rectas son cortadas por una transversal se usan para seguir explorando y descubriendo otras propiedades de las figuras.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen individualmente.

Lo que aprendimos 1. Considera la figura de la derecha y anota las medidas que faltan.

Propósito de la actividad. Que exploren las relaciones entre los ángulos interiores de paralelogramos. En esta actividad lo harán de manera intuitiva, para un caso particular, y en la siguiente actividad aplicarán sus conocimientos sobre paralelas para el caso general.

1=

135º

2=

45º

3=

135º

4 = 45° Propósitos del interactivo. Explorar las relaciones entre los ángulos interiores del paralelogramo.

5=

45º

6=

135º

=

45º

8=

135º

∠7

1 5

2 6

3 7

4 8

2. Considera los siguientes paralelogramos.

Sugerencias didácticas. Usando el transportador, los alumnos pueden tomar las medidas de los ángulos opuestos o de los adyacentes, y modificar el paralelogramo. Esto les permitirá explorar varios paralelogramos y generalizar sus características. Puede ocupar el interactivo al final de la actividad para que los alumnos comprueben las conjeturas a las que llegaron. En caso de que éstas se limiten sólo a algunos casos, moviendo uno de los vértices se modificará el paralelogramo y usted podrá, mostrar contraejemplos que permitan a los alumnos acotar cada vez más sus respuestas.

124

a) En el romboide se ha marcado una pareja de ángulos opuestos. Cada cuadrilátero tiene dos parejas de ángulos opuestos. Identifica y marca, con diferente color, cada pareja de ángulos opuestos en cada paralelogramo.

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MATEMÁTICAS

II

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos identifiquen la igualdad de los ángulos opuestos de un paralelogramo.

b) Subraya la afirmación verdadera • Los ángulos opuestos de un paralelogramo tienen diferente medida.

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, invite a los alumnos a que midan con el transportador (se trata de una validación empírica), o que recuerden algunas de las características que ya conocen de estas figuras; por ejemplo, en el caso del rectángulo y el cuadrado saben que todos sus ángulos son rectos, por lo tanto los ángulos opuestos son iguales. Invítelos también a que traten de identificar qué relación hay entre los lados de los paralelogramos con la cuadrícula en la que están dibujados.

• Los ángulos opuestos de un paralelogramo miden lo mismo. • Los ángulos opuestos de un paralelogramo suman 180º. 3. Ahora, en el romboide se ha marcado una pareja de ángulos consecutivos. a) Marca en los otros paralelogramos una pareja de ángulos consecutivos.

Respuesta. Sólo la segunda afirmación es verdadera.

b) ¿Cuál es la relación entre las medidas de los ángulos consecutivos de un paralelo­ gramo?

Posibles dificultades. Es muy probable que los alumnos anoten relaciones falsas o que sólo se aplican para algunos paralelogramos. Por ejemplo, si dicen que los ángulos consecutivos son iguales, esto es válido para el cuadrado y el rectángulo, pero no para el rombo y el romboide. O bien, podrían afirmar que los ángulos consecutivos son uno agudo y el otro obtuso, pero el cuadrado y el rectángulo son un contraejemplo. Es importante que los invite a argumentar cualquiera de las relaciones que establezcan.

4. Considera las rectas paralelas que resultan de prolongar los lados del paralelogramo.

a

1

2

e

r1

r1 II r2 t1 II t2 4

3

b c

5

d

r2

t2

t1

a) Completa el siguiente razonamiento para demostrar que el ángulo 1 es igual al ángulo 3.

1=

5 porque

son correspondientes

3=

5 porque

son alternos internos

Si ambos ángulos, el ∠ 1 y el ∠ 3, son iguales al ∠ 5, entonces:

1

=

3

b) Escribe en tu cuaderno un razonamiento para demostrar que el ángulo 2 es igual al ángulo 4.

89

Posibles dificultades. Para los ángulos 1 y 5 se consideran las paralelas r 1 y r 2 con la transversal t2 , por lo tanto son correspondientes. Para los ángulos 3 y 5 se consideran las paralelas t 1 y t 2 con la transversal r 2, por lo que son alternos internos. Es posible que algunos alumnos tengan dificultades para identificar qué paralelas con qué transversal están en juego. Si lo considera necesario, resuelva esta actividad con todo el grupo.   

Sugerencia didáctica. Puede orientarlos diciéndoles que elaboren un razonamiento similar al anterior.

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secuencia 6 5. Responde a las preguntas, se refieren a la figura anterior. a) Considera la transversal t 1 y las rectas paralelas r 1 y r 2, ¿cuánto suman las medi­

180°

das de los ángulos 2 y 3?

Sugerencia didáctica. En la confrontación de resultados es importante que formalice dos propiedades de los paralelogramos:

2 + a = 180º por ser adyacentes que se forman al cortarse dos rectas.

b) Justifica tu respuesta

• Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.

a=

3 por ser alternos internos.

a por

Sustituyendo

• Los ángulos consecutivos de un paralelogramo suman 180º.

2+

Esto lo trabajaron con casos particulares en los ejercicios 2 y 3, y en los ejercicios 4 y 5 trabajaron el caso general con pequeñas demostraciones.

3 en la suma anterior (porque son iguales)

3 = 180º

6. Revisa tus conjeturas de los ejercicios 2 y 3 y verifica si corresponden a los resultados hallados en los ejercicios 4 y 5. 7. En la secuencia 4 exploraste la relación de los ángulos interiores de un triángulo, ¿cuánto suman los tres ángulos interiores de un triángulo?

Propósito del interactivo. Mostrar otra forma de comprobar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

8. Se tiene un romboide cualquiera y se traza una de sus diagonales, observa que se forman dos triángulos. Completa el siguiente razonamiento para justificar que la suma de los ángulos interiores del triángulo aBc es 180º.

Sugerencias didácticas. Usando el transportador los alumnos pueden obtener las medidas de los ángulos interiores del triángulo, después modificarlo y verificar que para cualquier triángulo la suma de sus ángulos interiores es siempre 180°. El interactivo puede servir para generar otros ejercicios que le permitan a los estudiantes validar sus hipótesis, o en su defecto presentarles contraejemplos para que analicen en qué casos son ciertas y en qué casos no. Se pueden modificar los ejemplos para aumentar o disminuir el grado de dificultad de los ejercicios planteados a los alumnos. Propósito de la actividad. Las demostraciones no son sencillas para los alumnos y muchas veces no comprenden por qué tienen que demostrar, para un caso general, algo que ya saben. En la secuencia 4 los alumnos exploraron empíricamente la propiedad de que los ángulos interiores de un triángulo suman 180º. En este ejercicio se pretende que lo hagan para qualquier triángulo.

126

B

d

b

e

c

a a

c

d+

Si sustituimos

b+

e = 180º porque forman un ángulo de 180º.

d=

a porque

son alternos internos

e=

c porque

son alternos internos

dy

e por sus iguales, que son

a

+

b

+

c

ay

c , entonces la suma queda

= 180º

90

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MATEMÁTICAS

II

Respuesta. Mide 40º (los tres ángulos suman 180º, la pared y el piso forman un ángulo de 90º y el otro ángulo es de 50º).

9. ¿Cuánto mide el ángulo formado por la escalera y la pared?

Descripción del video. El video muestra de manera dinámica las relaciones que hay entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas. Se destacan algunas de éstas figuras como el triángulo y los paralelogramos. Los recursos de traslación, rotación y reflexión de ángulos, para sobreponer un ángulo sobre otro, son utilizados para mostrar la congruencia que existe entre los ángulos formados. El video se puede utilizar al finalizar la secuencia como apoyo para formalizar los conceptos que se utilizaron.

50º

Relaciones importantes Las relaciones de los ángulos entre paralelas y la de los triángulos y paralelogramos te permiten resolver múltiples problemas.

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos esta información y pídales que verifiquen, en uno de los paralelogramos anteriores, la tercera afirmación. Posteriormente pueden copiarla en su cuaderno.

A lo que llegamos Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180º. En un paralelogramo: Los ángulos opuestos son iguales. Los ángulos consecutivos suman 180º. Los cuatro ángulos interiores suman 360º.

Para saber más Sobre animaciones que representan la suma de los ángulos interiores de un triángulo consulta: http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub Ruta: Triángulos, prismas y pirámides Ángulos en el triángulo [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Resuelve el problema 2.1 de la página de internet de Educabri Clase 5: http://www.oma.org.ar/omanet/educabri/00-05.htm [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

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secuencia 7

La relación inversa de una relación de proporcionalidad directa

Propósito de la sesión. Encontrar la relación inversa en una situación de proporcionalidad directa y establecer que ésta es la recíproca de la constante de proporcionalidad de la relación original. Organización del grupo. A lo largo de la sesión los alumnos trabajan en parejas y comentan sus resultados con todo el grupo. En el apartado Lo que aprendimos se sugiere que los alumnos trabajen de forma individual.

En esta secuencia determinarás la relación inversa de una relación de proporcionalidad directa.

Descripción del video. El video es introductorio a la sesión y ejemplifica las diferencias que hay en la fuerza de gravedad de los distintos planetas, y cómo ésta determina el peso de los cuerpos que se encuentran en ellos. La intención es mostrar cómo ésta es la razón por la cual el peso varía proporcionalmente de un planeta a otro.

SESióN 1

El peso en otros planetas ¿Sabías que el peso de un objeto varía en función de la fuerza de gravedad que actúa sobre él? Esto significa que un objeto no pesa lo mismo en la Tierra que lo que pesa en la Luna, Marte o en algún otro lugar del sistema solar. De hecho, el peso que tienen los objetos en un planeta y su peso en otro planeta son cantidades directamente proporcionales; por ejemplo, un objeto que en la Tierra pesa 4 kilogramos, en Júpiter pesa 10 kilogramos. ¿Cuánto pesa en Júpiter un objeto que en la

Sugerencia didáctica. Los alumnos han trabajado en numerosas ocasiones con relaciones de proporcionalidad directa, por lo que esta pregunta puede resultarles fácil. Recordar este tipo de relación entre dos cantidades les será de utilidad para abordar lo siguiente.

Tierra pesa 12 kilogramos? En esta sesión descubrirás cómo encontrar el peso de un mismo objeto en distintos pla­ netas y satélites del sistema solar.

Consideremos lo siguiente La siguiente tabla muestra los distintos pesos que una misma barra de plomo tiene en la Tierra y en la Luna:

Respuesta. En Júpiter un objeto pesa 2.5 veces más que en la Tierra, por lo tanto, algo que en la Tierra pesa 12 kg en Júpiter pesa 30 kg. O bien, el objeto de 12 kg pesa el triple que el de 4 kg en la Tierra, entonces, dado que en Júpiter también se conserva esa relación, allá el objeto pesa 30 kg. x3

Tierra 4 12

Júpiter 10 ?

Peso de la barra de plomo

Eje Tema Análisis de la información

Sesión

1

128

Peso en la Luna (en kilogramos)

720

120

Propósito de la secuencia Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.

Antecedentes

En primer grado los alumnos trabajaron diversas situaciones de proporcionalidad directa. Ahora se pretende que en una situación de proporcionalidad directa los alumnos encuentren la relación inversa y que establezcan el tipo de relación que hay entre las dos constantes de proporcionalidad. El estudio de estas constantes también permitirá repasar la multiplicación de fracciones.

Peso en la Tierra (en kilogramos)

92

x3

Manejo de la información

EL PESO EN OTROS PLANETAS

Para empezar

Propósitos de la sesión El peso en otros planetas Dada una relación de proporcionalidad directa, hallar la relación inversa. Establecer que la constante de proporcionalidad de la relación inversa es la recíproca de la constante de proporcionalidad de la relación original.

2

Europa y Plutón Establecer las relaciones inversas en un problema donde se aplican sucesivamente dos constantes de proporcionalidad directa.

3

Más problemas Resolver problemas en los que se deba hallar la constante de proporcionalidad y su inversa.

Recursos Video

“El peso en otros planetas”

Interactivo

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MATEMÁTICAS

II

Sugerencia didáctica. Muy posiblemente los alumnos sepan hallar los pesos correspondientes [incisos b) y d)] pero podrían tener dificultades para saber cuál es la constante de proporcionalidad y la inversa de dicha constante. Permítales contestar lo que puedan aunque cometan errores, y sigan resolviendo la sesión.

Con la información de la tabla anterior respondan lo siguiente: a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un obje­ to en la Luna a partir de su peso en la Tierra? b) Si una barra de plomo pesa en la Tierra 18 kilogramos, ¿cuántos kilogramos pesa en la Luna?

Respuestas.

c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un obje­

a) Es 1 de kilogramo por cada kilogramo, 6 porque 720 × 1 = 120. 6

to en la Tierra a partir de que se conoce su peso en la Luna? d) Si una barra de plomo pesa en la Luna 25 kilogramos, ¿cuántos kilogramos pesa en la Tierra?

b) Pesa 3 kilogramos. c) Es 6 kilogramos por cada kilogramo, porque 120 × 6 = 720.

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cuántas veces es más pesado un objeto en la Tierra que en la Luna?

d) Pesa 150 kilogramos.

Manos a la obra I. Completen la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barras de plomo en la Luna conociendo su peso en la Tierra.

Peso en la Tierra (en kilogramos)

3

Peso respectivo en la Luna

Respuesta. Es seis veces más pesado.

(en kilogramos)

720

120

72

12

12

2

1

1 6

18

3

Observen que al encontrar cuánto pesa en la Luna un objeto que pesa 1 kilogramo en la Tierra, se encuentra también la constante de proporcionalidad que permite saber el peso de un objeto en la Luna conociendo su peso en la Tierra.

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2

secuencia 7 ii. Completen la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barras de plomo en la Tierra conociendo su peso en la Luna.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que comparen esta tabla con la que llenaron en el número I del apartado Manos a la obra. Puede preguntarles: • ¿En qué se parecen? • ¿En qué son distintas? • ¿Creen que están relacionadas?, ¿de qué manera? Sugerencia didáctica. Analicen en grupo la manera en que completaron el diagrama. Resalte la relación entre las dos constantes de 1 proporcionalidad (6 y 6 ) que hay en esta situación.

Peso en la Tierra (en kilogramos)

120

720

60

360

10

60

1

6

25

150

Comparen sus respuestas y verifiquen los resultados del apartado Consideremos lo siguiente. iii. Completen el siguiente diagrama y comenten la relación que hay entre las constantes que utilizaron.

Una vez que lo hayan comentado, pídales que verifiquen los resultados que obtuvieron en las dos tablas anteriores utilizando las constantes que encontraron en el diagrama.

Se multiplica por la constante de proporcionalidad, que es: o se divide entre:

Sugerencia didáctica. Aunque la cuestión de dividir entre un número y multiplicar por su recíproco ya la trabajaron en primer grado, puede seguir representando una dificultad para algunos alumnos. Cuando contesten las preguntas del libro usted puede hacerles otras:

Peso en la Luna

Peso en la Tierra

Se multiplica por la constante de proporcionalidad, que es:

Del diagrama anterior se observa que da el mismo resultado

• ¿Pasará lo mismo con otras cantidades, por 1 ejemplo, multiplicar por 9 y dividir entre 9?

e: Recuerden qu distinto de un número El recíproco 1 , de cero a es: a 1 =1 además, a × a

• ¿Por cuál número habría que multiplicar para obtener el mismo resultado que si se divide 3 entre 2 ? • ¿Por cuál número habría que dividir para obtener el mismo resultado que si se multiplica por 10 ? 4

Peso en la Luna (en kilogramos)

dividir entre 6 que multiplicar por su recíproco, que es

1 6

.

¿Están de acuerdo con esta observación? Justifiquen su respuesta

94

Sugerencia didáctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrón para luego recuperarlas en la discusión o conclusiones.

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MATEMÁTICAS

II

Sugerencia didáctica. Es importante que comenten esta información, dedique tiempo a aclararla si es que existieran dudas. En ella aparece por primera vez en las secuencias de proporcionalidad la palabra “conjunto” y se utiliza para señalar a las “cantidades de un tipo”. Por ejemplo, un conjunto son los pesos que tienen los objetos en la Tierra, y otro conjunto son los pesos que tienen los objetos en la Luna.

A lo que llegamos Cuando dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales, siempre hay en juego dos relaciones de proporcionalidad. El siguiente diagrama ilustra esta situación. Relación 1

Conjunto A

Conjunto B

Relación 2 La relación 1 permite encontrar las cantidades del conjunto B a partir de las cantidades del conjunto A. La relación 2, al revés, permite encontrar las cantidades del conjunto A a partir de las cantidades del conjunto B. Se dice que estas dos relaciones son inversas una de la otra. Además, las constantes de proporcionalidad asociadas a estas dos relaciones son recíprocas una de la otra. Por ejemplo, 61 es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso en la Luna a partir del peso en la Tierra. Mientras que 6 es la constante de proporcionalidad que permite conocer el peso en la Tierra a partir del peso en la Luna. Estas dos relaciones son inversas y sus constantes de proporcionalidad son recíprocas.

6y

1 6

son recíprocos porque 6 ×

1 6

=1o

1 6

Peso de la barra de plomo

648

B. Costo

Relación 2 Const. 1 3

Lo anterior puede leerse como “para hallar las cantidades del conjunto B debe aplicarse la constante 3 a las cantidades del conjunto A, mientras que para hallar las cantidades del conjunto A debe aplicarse la constante 1 a las 3 del conjunto B”.

Lo que aprendimos

720

Relación 1 Const. 3

A. Núm. Dulces

La siguiente tabla muestra los distintos pesos que una barra de plomo tiene en la Tierra y en Venus:

Peso en Venus (en kilogramos)

× 6 = 1.

Peso en la Tierra (en kilogramos)

Comente lo anterior con los alumnos y pídales que, utilizando este esquema, propongan ejemplos en los que dos conjuntos se relacionen de manera directamente proporcional y señalen cuáles son las constantes, como:

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Sugerencia didáctica. Quizá sea problemático para algunos alumnos hallar una u otra constante en la relación del peso en la Tierra y en Venus porque las cantidades no hacen “evidente” dicha relación (como al relacionar 3 y 6, 50 y 200, 1 y 1 ). Anote en el pizarrón la 2 4 siguiente tabla para encontrar la constante de proporcionalidad de la relación 1 (averiguar las cantidades del conjunto B (peso en Venus) a partir de las cantidades del conjunto A (peso en la Tierra)): Tierra 720 360 180 90 10 1

Venus 648

secuencia 7 Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de los objetos en Venus a partir de conocer su peso en la Tierra? b) Si una barra de plomo pesa 1 kilogramo en la Tierra, ¿cuánto pesa esa barra en el planeta Venus? c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de los objetos en la Tierra a partir de conocer su peso en Venus? d) Si una barra de plomo pesa 1 kilogramo en el planeta Venus, ¿cuánto pesa esa barra en la Tierra?

SESióN 2

Tierra 720

O bien, puede preguntarles ¿habrá un número que multiplicado por 720 dé 648?; y ¿habrá un número que multiplicado por 648 dé 720? Si no los encuentran, sugiérales que usen la calculadora. Cuando los tengan, dígales que verifiquen si ese número funciona con otros valores, por ejemplo, ¿cuánto pesa un objeto en Venus si en la Tierra pesa 28 kilogramos?

Para empezar

¿Sabías que Júpiter, el planeta más grande del sistema solar, tiene 16 lunas conoci­ das? Una de ellas se llama Europa. Europa tiene características que han fascinado a los astrónomos contemporáneos. Es un poco más grande que nuestro satélite, la Luna, pero lo más interesante es que su su­ perficie está cubierta por una capa de hie­ lo y se cree que debajo de esta helada capa existe una gran cantidad de agua. De ser así, sería el único lugar de nuestro sistema solar, además de nuestro planeta, donde existe agua en cantidades significativas.

Esta segunda tabla permite hallar la relación 2 (averiguar las cantidades del conjunto A (peso en la Tierra) a partir de las cantidades del conjunto B (peso en Venus): Venus 648 324 162 81 9 1

EUROPA Y PLUTóN

Consideremos lo siguiente Las siguientes tablas muestran los pesos de algunas barras de plomo en la Tierra, Europa y Plutón.

Peso en Europa (en kilogramos)

Peso en la Tierra (en kilogramos)

Peso en la Tierra (en kilogramos)

Peso en Plutón (en kilogramos)

30

240

240

16

1

8

15

Tabla 1

1

Tabla 2

a) ¿Cuánto pesa en Plutón una barra de plomo que en la Tierra pesa 1 kilogramo?

96

Respuestas. a) 9 . 10 b) 0.9 o bien, 9 kg. 10 c) 10 . 9 d) 1.111… o bien, 10 kg. 9 Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si tras revisar las respuestas de los alumnos lo considera necesario, revisen juntos el apartado Manos a la obra y pídales que copien en sus cuadernos la información de A lo que llegamos .

132

Propósito de la sesión. Establecer las relaciones inversas en un problema donde se aplican sucesivamente dos constantes de proporcionalidad directa. Organización del grupo. Se sugiere resolver las actividades individualmente.

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MATEMÁTICAS

II

Posibles dificultades. Se espera que sea fácil para los estudiantes responder a los incisos a) y b); en cambio, el c) y el d) pueden ser problemáticos.

b) ¿Cuánto pesa en Europa una barra de plo­ mo que en la Tierra pesa 1 kilogramo?

c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en Europa a partir de su peso en Plutón?

Recuerda que: de una la constante a El producto de r la rcionalidad po po pro de ión relac a 1 relación invers la de te constan a : cir de es es igual a 1, 1 1 =1 a× a = a ×a

Con la información de las tablas 1 y 2 se conoce cuánto pesa un mismo objeto en la Tierra (240 kg), en Plutón (16 kg) y en Europa (30 kg). Lo que relaciona a esos datos es el peso del objeto en la Tierra; sin embargo, si no se tiene en cuenta este hecho y se observa el segundo renglón de la tabla, podría pensarse que el objeto pesa lo mismo en Plutón y en Europa (1 kg). Si algunos alumnos cometen ese error, pídales que justifiquen su respuesta y no los corrija, habrá oportunidad de hacerlo más adelante.

d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en Plutón a partir de su peso en Europa?

Comparen sus respuestas y sus procedimientos.

Manos a la obra I. Completa la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barras de plomo en la Tierra y Plutón.

Peso en Europa (en kilogramos)

Peso en la Tierra (en kilogramos)

Peso en Plutón (en kilogramos)

30

240

16

120

8

15

1

8

Respuestas. a) 1 kg. 15 b) 1 kg. 8 c) 15 . 8 d) 8 . 15

8 15

Comparen sus tablas y completen el siguiente diagrama, en el que se establecen algunas de las relaciones que hay entre los pesos de los objetos en Europa, la Tierra y Plutón.

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secuencia 7 Se multiplica por

Recuerden que: ciada La constante aso sucesiva Peso en Europa a la aplicación tes de de dos constan d es proporcionalida de las igual al producto se que dos constantes nte. me aplican sucesiva

1

8

Se multiplica por 15

Peso en la Tierra

Peso en Plutón

8

Se multiplica por 15 Diagrama 1

Sugerencia didáctica. Ahora sí, corrijan los errores que pudieron haber cometido en el apartado Consideremos lo siguiente.

Verifiquen sus respuestas del apartado Consideremos lo siguiente. ii. En la siguiente tabla se indican las relaciones de proporcionalidad del diagrama 1 y sus relaciones inversas correspondientes. Complétala.

Relación de proporcionalidad

Relación inversa

Relación que a cada peso en Europa Relación que a cada peso en Europa asocia el peso correspondiente en la asocia el peso correspondiente Tierra. en laTierra . Relación que a cada peso en Plutón Relación que a cada peso en laTierra asocia el peso correspondiente asocia el peso correspondiente en Plutón. en la Tierra. Relación que a cada peso en Plutón Relación que a cada peso en Plutón asocia el peso correspondiente asocia el peso correspondiente en Plutón en Plutón. . Completa el siguiente diagrama para establecer las constantes de proporcionalidad de las relaciones inversas de las relaciones del diagrama 1. Se multiplica por

Peso en Plutón

15

Se multiplica por

Peso en la Tierra

Se multiplica por

1 8

Peso en Europa

15 8

Diagrama 2 98

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MATEMÁTICAS

II

Respuestas. a) 15 . 8 b) Del peso en Plutón al peso en la Tierra 15, del peso en la Tierra al peso en Europa 1 , 8 del peso en Plutón al peso en Europa 15 8 (porque 15 × 1 = 15 ). 8 8

Comparen sus tablas y diagramas. Comenten: a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en Europa a partir de su peso en Plutón? b) ¿Cuáles son los recíprocos de las constantes de proporcionalidad indicadas en el Diagrama 2? El siguiente esquema muestra las constantes de todas las relaciones de proporcionalidad que hay entre los pesos en Plutón, la Tierra y Europa. Se multiplica por Se multiplica por 15

Peso en Plutón

Se multiplica por

Sugerencia didáctica. Anote este diagrama en el pizarrón y analícenlo juntos. Enfatice la dirección de las flechas y que las constantes ( 15 8 y 15 ) son recíprocas. 8

1 8

Peso en la Tierra Se multiplica por

2

15 8

Peso en Europa Se multiplica por 8

1 15

Se multiplica por

8 15

Lo que aprendimos 1. En la sesión 1 de la secuencia 16 de tu libro de Matemáticas I Volumen I aprendiste que los microscopios compuestos tienen dos lentes, llamados objetivo y ocular. Un microscopio compuesto tiene un lente objetivo que aumenta 15 veces el tamaño de lo que se observa y un lente ocular que lo aumenta 25 veces. Completa el siguiente diagrama para encontrar el aumento final obtenido con el microscopio. Se multiplica por

Tamaño real

15

Se multiplica por

Tamaño obtenido con la primera lente

Se multiplica por

Integrar al portafolios. Guarde una copia de esta actividad en el portafolios de cada alumno.

25

Tamaño final

375

99

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secuencia 7 Completa el siguiente diagrama para establecer las constantes de proporcionalidad de las relaciones inversas del diagrama anterior. Se multiplica por

1 25

Se multiplica por

Tamaño obtenido con el primer lente

Tamaño final

1 15

Tamaño real

1 Se multiplica por 375

Propósito de la sesión. Resolver problemas en los que deban hallar la constante de proporcionalidad y su inversa.

SESióN 3

Organización del grupo. En esta sesión se propone que los alumnos trabajen de manera individual.

PROBLEMAS

Lo que aprendimos 1. El siguiente es el dibujo de un rompecabezas: 4 cm

6 cm

2 cm

6 cm

6 cm

6 cm 4 cm 2 cm 4 cm

2 cm

4 cm

Figura 1

100

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MATEMÁTICAS

II

Posibles dificultades. La relación entre los 4cm del original y los 7 cm de la ampliación puede ser problemática para algunos alumnos. Es posible que algunos utilicen una estrategia errónea: sumar 3 centímetros a cada una de las medidas. Si esto sucede, cuando junten las piezas del rompecabezas se darán cuenta de que algo estuvo mal porque no van a embonar.

Se va a hacer una copia del rompecabezas de la figura 1 de manera que el lado que mide 4 centímetros mida ahora 7 centímetros. a) Completen la siguiente tabla para encontrar algunas de las medidas de la copia. Medidas en el original (en centímetros)

Medidas en la copia (en centímetros)

4

7

2

3.5

1

1.75

6

Para los alumnos puede ser difícil encontrar cuál fue el error y será necesario que usted intervenga. Puede preguntarles: ¿por cuál número tendríamos que multiplicar al 4 para que dé 7? Luego déles un tiempo para explorar posibles soluciones.

10.5

b) Construyan las piezas de la copia del rompecabezas. Cada uno de los integrantes de equipo contruirá una pieza distinta . Al final, armen la copia del rompecabezas.

La respuesta es 7 o 1.75, que es la constante 4 de proporcionalidad de la relación 1 (hallar las medidas de la copia conociendo las del original).

c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas de la copia a partir de las medidas del original? d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad de la relación inversa, la que permite encontrar las medidas del original a partir de las medidas de la copia?

Otra forma de ayudarlos a detectar errores puede ser la siguiente: plantéeles que si a 4 (en el original) le toca 7 (en la copia), a 2 le toca 3.5 y a 1 le toca 1.75, que es el valor unitario. A partir de ese dato podrían calcular las demás medidas.

2. Se va a hacer otra copia del rompecabezas de la figura 1 pero de tal manera que el lado que mide 2 centímetros mida ahora 3 centímetros. Completen la siguiente tabla para encontrar algunas medidas que tendrá la nueva copia del rompecabezas. Medidas del rompecabezas (en centímetros)

Medidas de la copia (en centímetros)

2

3

4

6

6

9

Respuestas. c) 7 es la constante de proporcionalidad de 4 la relación 1. d) 4 es la constante de proporcionalidad de 7 la relación 2.

a) ¿Por qué número hay que multiplicar las medidas de la figura 1 para obtener las medidas de la nueva copia? b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que nos permite obtener las medidas del rompecabezas original a partir de las medidas de la copia?

101

Respuestas. a) 3 es la constante de proporcionalidad de 2 la relación 1. b) 2 es la constante de proporcionalidad de 3 la relación 2.

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Propósito del interactivo. Resolver problemas de proporcionalidad.

secuencia 7 3. El siguiente es el dibujo del plano de una casa hecho a escala 2 000 cm a 10 cm.

Sugerencias didácticas. Si lo considera oportuno puede modificar las medidas presentadas en el interactivo para que los alumnos observen las relaciones entre las medidas reales y las medidas en el dibujo. También puede ocupar el botón Resolver para que se presenten los resultados de las tablas y que los alumnos generen algunas hipótesis de cómo se pueden obtener, para después cambiar los valores de la tabla y verificar su hipótesis.

Recámara 2

Recámara 1

Baño 2

Baño 1

Patio y Jardín Sala y Comedor

Completa la siguiente tabla para encontrar algunas medidas reales y del dibujo de la casa.

Medidas reales (en centímetros)

Respuestas. a) 200 es la constante de proporcionalidad de la relación 1. b)

Medidas en el dibujo (en centímetros)

10

Largo de la casa

2 000

Ancho de la casa

1 000

5

Largo de la recámara 1

500

2.5

Ancho del baño 2

200

1

Largo del patio y jardín

700

3.5

Largo del baño 2

260

1.3

Ancho de la recámara 2

360

1.8

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas rea­

1 es la constante de proporcionalidad 200 de la relación 2.

les a partir de las medidas del dibujo? b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas del dibujo a partir de las medidas reales?

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MATEMÁTICAS

II

Respuestas. a) 19 litros.

4. Un automóvil tiene un rendimiento de 20 kilómetros por cada litro de gasolina.

b)

a) ¿Cuántos litros de gasolina consume si recorrió 380 kilómetros?

1 . 20

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite conocer la cantidad de gaso­ lina que consumió el automóvil a partir del número de kilómetros que recorrió?

Para saber más Sobre el peso y el tiempo en otros planetas consulta: http://www.astrored.org/contenidos/articulo.php/alex_dantart/peso [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

Propósito del interactivo. Observar el efecto de ampliación o reducción de una figura e identificar los elementos invariantes y el factor de proporcionalidad para construir figuras a escala. Hacer uso de una variable para variar el tamaño de una figura o crear otras a diferentes escalas.

Explora el interactivo Porporcionalidad con Logo.

Sugerencias didácticas. Se sugiere usar este interactivo para repasar los temas de proporcionalidad directa. Además puede usar los interactivos indicados en las secuencias 6, 7, 15 y 16 de primer grado.

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secuencia 8

Proporcionalidad múltiple

Propósito del programa integrador. Abordar situaciones en las cuales se resuelven problemas de proporcionalidad múltiple. Propósito de la sesión. Resolver problemas de proporcionalidad múltiple en los que los conjuntos involucrados se relacionan de manera directamente proporcional.

En esta secuencia estudiarás problemas en los cuales hay dos o más cantidades que se encuentran en proporción directa o proporción inversa con otra cantidad. A este tipo de problemas se les llama problemas de proporcionalidad múltiple.

Organización del grupo. Se propone que resuelvan la sesión en parejas y que comenten sus resultados y procedimientos con todo el grupo.

sEsióN 1

Descripción del video. El video es introductorio. A partir de varios ejemplos se ve cuándo dos cantidades son directamente proporcionales o inversamente proporcionales. Además se muestra la diferencia que hay entre la relación inversa de proporcionalidad y cantidades inversamente proporcionales para evitar confusiones entre ambos términos. Se dan los elementos necesarios para introducir el concepto de proporcionalidad múltiple.

EL VOLUMEN

Para empezar La proporcionalidad múltiple

e: Recuerden qu

des os de cantida Dos conjunt na­ ente proporcio son inversam mentar una au les cuando al etcé­ doble, triple, cantidad al correspon­ d ida nt ca tera, su tad, nuye a la mi diente dismi , etcétera. rte pa ra rce te

Una de las situaciones en las que surgen problemas de proporcionalidad múltiple es el cálculo de volúmenes. En tu libro Matemáticas de sexto de primaria aprendieste a calcular los volúmenes de algunos prismas. Por ejemplo, para un prisma rectangular como el siguiente:

Altura 3 cm

Propósito de la actividad. Los alumnos han calculado el volumen de prismas desde la primaria, sin embargo, lo que se pretende en esta actividad no es que repasen las fórmulas sino que exploren las relaciones entre las tres cantidades involucradas en el cálculo del volumen: la altura, el largo y el ancho.

Ancho 2 cm

Largo 4 cm Prisma 1

El volumen se calcula: Volumen = 4 cm × 2 cm × 3 cm = 24 cm3

104

Eje

Propósito de la secuencia Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

Tema Análisis de la información

Sesión

Propósitos de la sesión

1

El volumen Resolver problemas de proporcionalidad múltiple en los que los conjuntos involucrados se relacionan de manera directamente proporcional.

2

La excursión Resolver problemas de proporcionalidad múltiple en los que los conjuntos involucrados se relacionan tanto de manera directa como inversamente proporcional.

3

Más problemas Resolver problemas de proporcionalidad múltiple en diversos contextos.

Antecedentes

En primer grado los alumnos resolvieron diversas situaciones en las que dos cantidades se relacionaban de manera directamente proporcional e inversamente proporcional. En esta secuencia explorarán esas relaciones cuando hay tres o más cantidades en juego.

140

Recursos Aula de medios Video “La proporcionalidad múltiple” Interactivo

Programa integrador 5

Manejo de la información

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MATEMÁTICAS

II

Respuestas. a) Se aumenta el triple. Las medidas del nuevo prisma serían 12 cm, 3 cm y 2 cm, así que al variar una de las dimensiones (el largo) aumentándola al triple, el volumen también aumenta tres veces (de 24 cm 3 a 72 cm 3 ). b) Las medidas de dicho prisma serían 2 cm, 3 cm y 2 cm, y su volumen es 12 cm 3 , la mitad del prisma original porque una de sus dimensiones (el largo) disminuyó a la mitad. c) Las medidas de este prisma serían 8 cm, 9 cm y 2 cm, dando como resultado un volumen de 144 cm 3 . Con respecto al volumen del prisma original, el del nuevo aumentó 6 veces porque una de sus dimensiones aumentó al doble (el largo) y otra al triple (la altura).

Consideremos lo siguiente Respondan lo siguiente: a) Si se aumenta al triple la medida del largo del prisma 1, ¿cuántas veces aumenta su volumen? b) Si disminuye a la mitad la medida del largo del prisma 1, ¿cuántas veces disminuye el volumen? c) Si aumenta al doble la medida del largo y aumenta al triple la medida de la altura del prisma 1, ¿cuántas veces aumenta el volumen?

Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.

Manos a la obra I. En la siguiente figura se aumentó al triple la medida del largo del prisma 1 y se obtuvo un nuevo prisma rectangular, al que llamaremos prisma 2. Largo

Sugerencia didáctica. Es importante que en este momento no dé explicaciones a los alumnos acerca de la relación entre la variación de la medida de una o dos dimensiones del prisma y su volumen. Permítales explorar dicha relación aunque cometan errores. Por ejemplo, los alumnos pueden pensar que al modificar las medidas del prisma como se indica en el inciso c) (aumentar al doble la medida del largo y al triple la de la altura) el volumen del prisma aumenta 5 veces (porque 2 + 3 = 5). Si algunos alumnos dan esa respuesta (u otra) pregúnteles por qué y sigan resolviendo la sesión, más adelante tendrán oportunidad de aclararlo.

cm

Altura 3 cm

4 cm

4 cm

4 cm

Ancho 2 cm

Prisma 2

a) ¿Cuánto mide el largo del prisma 2? b) ¿Cuál es el volumen del prisma 2? c) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el volumen del prisma 2? d) Supongan que aumentara cinco veces el largo del prisma 1, ¿cuántas veces au-

1

mentará su volumen? e) ¿Cuánto medirá el volumen del nuevo prisma? 105

Sugerencia didáctica. Antes de contestar las preguntas siguientes pida a los alumnos que, observando los dibujos, digan cuántas veces aumentó el volumen del prisma 2 con respecto al 1. Para los alumnos es sencillo percibir el cambio en el volumen cuando se modifica una de las dimensiones (en este caso, el largo). Tener esto claro es importante para analizar lo que ocurre cuando se modifican dos dimensiones simultáneamente.

Respuestas. a) 12 cm. b) 72 cm 3 (12 × 3 × 2). c) Por 3. d) Aumenta 5 veces. e) 120 cm 3 .

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Propósito de la actividad. Con esta actividad se pretende seguir trabajando con los alumnos el hecho de que al aumentar o disminuir x número de veces una de las dimensiones del prisma, su volumen también aumenta o disminuye x veces. En este caso, la altura y la anchura permanecen fijas y se varía el largo. El número de veces en el que aumenta o disminuye el volumen, o bien, el número por el que hay que multiplicar el volumen del prisma original para obtener el del nuevo prisma, es la constante de proporcionalidad.

secuencia 8 En la siguiente tabla las medidas del ancho y la altura del prisma 1 permanecen fijas, pero la medida del largo varía. Completen la tabla y encuentren los volúmenes correspondientes.

Propósito de la actividad. Ahora se varía la altura y se dejan fijas las otras dos dimensiones, largo y ancho. La intención es que los alumnos se percaten de que no importa cuál sea la dimensión que se varíe, el volumen aumenta o disminuye tantas veces como lo haya hecho esa dimensión, es decir, si dos de las dimensiones del prisma permanecen fijas, entonces la variación de la otra medida se encuentra en proporción directa con el volumen del prisma.

Largo del prisma (cm)

Ancho del prisma (cm)

Altura del prisma (cm)

Volumen del prisma (cm3)

4

2

3

24

2×4

2

3

48

16

2

3

96

2

2

3

12

Variación del volumen del prisma (las medidas del ancho y la altura permanecen fijas pero cambia la medida del largo)

El largo aumentó 2 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen? 2 veces El largo aumentó 4 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen? 4 veces 1 vez El largo disminuyó 2 ¿Cuántas veces disminuyó el volumen?

1 2

vez

Comparen sus respuestas. ii. En la siguiente figura se aumentó al triple la medida de la altura del prisma 1 y se obtuvo un nuevo prisma rectangular, al que llamaremos prisma 3.

3 cm

Altura cm

3 cm

3 cm

Largo 4 cm

Ancho 2 cm

Prisma 3 106

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MATEMÁTICAS

II

Respuestas. a) 9 cm. b) 72 cm 3 . c) Por 3. Esa es la constante de proporcionalidad.

a) ¿Cuánto mide la altura del prisma 3? b) ¿Cuánto mide el volumen del prisma 3? c) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el volumen del prisma 3? En la siguiente tabla las medidas del largo y del ancho del prisma 1 permanecen fijas, pero la medida de la altura varía. Completen la tabla y encuentren los volúmenes correspondientes. Largo del prisma (cm)

Ancho del prisma (cm)

Altura del prisma (cm)

Volumen del prisma (cm3)

4

2

3

24

4

2

12

96

4

2

24

192

4

2

1 2

×3

12

Variación del volumen del prisma (la medida del largo y el ancho permanecen fijas pero cambia la medida de la altura)

La altura aumentó 4 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen? La altura aumentó 8 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen? La altura disminuyó ¿Cuántas veces disminuyó el volumen?

4 veces 8 veces 1 vez 2 1 vez 2

A lo que llegamos Las situaciones de proporcionalidad múltiple se caracterizan porque dos o más cantidades se encuentran relacionadas proporcionalmente con otra cantidad. Por ejemplo, cuando las medidas del ancho y la altura de un prisma rectangular permanecen fijas, la medida de su largo se encuentra en proporción directa con la medida de su volumen. Es decir, cuando se aumenta al doble, o triple, etcétera, la medida del largo del prisma rectangular y la altura y el ancho permanecen fijos, la medida del volumen aumenta al doble, o triple, etcétera. Esto también sucede con las otras medidas del prisma. Es decir, cuando las medidas del largo y del ancho del prisma permanecen fijas, la medida de la altura del prisma se encuentra en proporción directa con el volumen del prisma. Y cuando las medidas de la altura y del largo del prisma permanecen fijas, la medida del ancho se encuentra en proporción directa con la medida del volumen. 107

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Propósito de la actividad. Ahora se hacen variar dos de las dimensiones para hacer notar que si una dimensión aumenta o disminuye n veces, y la otra aumenta o disminuye m veces, el volumen varía n × m veces. Puede pensarse así: • cuando se varía una dimensión n veces, n es la constante de proporcionalidad y el volumen varía n veces; • cuando se varían dos dimensiones, n es una constante de proporcionalidad y m es otra constante de proporcionalidad, y el volumen se obtiene al multiplicar esas dos constantes (n × m). En la secuencia 16 del libro de primer grado los estudiantes abordaron la aplicación sucesiva de dos constantes de proporcionalidad. Si lo considera útil pueden repasar la información de los recuadros de A lo que llegamos.

secuencia 8 iii. Completen las medidas que faltan en el prisma 4 para encontrar qué sucede con el volumen del prisma 1 cuando la medida del largo se duplica y la medida de la altura se triplica, pero la medida del ancho permanece fija. Largo

3 cm

Altura cm

3 cm

3 cm

Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren un problema donde dos cantidades están relacionadas proporcionalmente con otra y observen cómo cambian o se mantienen dichas relaciones. Sugerencias didácticas. Puede cambiar las medidas del prisma para que los alumnos trabajen con números sencillos y sea fácil encontrar relaciones, después puede modificar los números para comprobar que sus hipótesis se cumplen para otros casos, o elegir medidas en las que no se cumplan y pedir a los alumnos que expliquen por qué. También se puede trabajar con las medidas que presenta el interactivo aleatoriamente y ocupar el botón Resolver para que los alumnos trabajen con ejercicios resueltos, analizando las relaciones entre los números, para después comprobarlas con ejercicios que ellos resuelvan.

cm

4 cm

4 cm

Ancho 2 cm

Prisma 4

a) ¿Cuánto mide el volumen del prisma 4? b) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el volumen del prisma 4?

108

Respuestas. a) 144 cm 3 . b) Por 6. Una de sus dimensiones aumentó al triple (la altura) y otra al doble (el largo), por lo tanto el volumen aumentó 3 × 2 veces.

144

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MATEMÁTICAS

II

En la siguiente tabla las medidas del largo y de la altura del prisma 1 varían, pero la medida del ancho permanece fija. Completen la tabla y encuentren los volúmenes correspondientes.

Largo del prisma (cm)

Ancho del prisma (cm)

Altura del prisma (cm)

Volumen del prisma (cm3)

4

2

3

24

8=2×4

2

9=3×3

Variación del volumen del prisma (las medidas del ancho permanece fija y cambian las medidas de la altura y del largo)

¿Cuántas veces aumentó el largo? 2 veces

144

¿Cuántas veces aumentó la altura? 3 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen? 6 veces ¿Cuántas veces aumentó el largo? 3 veces

12

2

12

288

¿Cuántas veces aumentó la altura? 4 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen?12 veces ¿Cuántas veces aumentó el largo? 4 veces

16

2

9

288

¿Cuántas veces aumentó la altura? 3 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen?12 veces 1 ¿Cuántas veces disminuyo el largo? 2 vez

2

2

12

48

¿Cuántas veces aumentó la altura? 4 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen? 2 veces

Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.

A lo que llegamos

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que verifiquen en la tabla anterior si efectivamente el volumen varía tantas veces como el producto del número de veces que varía el largo por el número de veces que varía la altura.

En algunas situaciones de proporcionalidad múltiple, como en la del prisma rectangular, si dos o más de las cantidades varían al mismo tiempo, por ejemplo, si el largo aumenta n veces y al mismo tiempo el ancho aumenta m veces pero la altura permanece fija, entonces el volumen aumenta n × m veces.

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secuencia 8

Lo que aprendimos

Respuestas. a) 144 cm 3 . b) Por 6 (la altura aumentó 3 veces y el ancho 2, así pues, el volumen aumentó 3 × 2 veces). c) Aumentaría nueve veces.

1. El siguiente prisma rectangular se obtuvo al variar las medidas del prisma 1 de la siguiente manera: la altura aumentó al triple, el ancho aumentó al doble y el largo se mantuvo fijo. Completen los datos que faltan en el dibujo.

3 cm

Altura cm

3 cm

Ancho:

cm

2

cm

2

cm

3 cm

Altura 4 cm Prisma 5

a) ¿Cuánto mide el volumen del prisma 5? b) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el volumen del prisma 5? c) Si las medidas del largo y del ancho del prisma 1 aumentaran al triple y la altura permaneciera fija, ¿cuántas veces aumentaría el volumen del prisma 1?

110

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MATEMÁTICAS

II

LA EXCURsióN

Propósito de la sesión. Resolver problemas de proporcionalidad múltiple en los que los conjuntos involucrados se relacionan tanto de manera directa como inversamente proporcional. Organización del grupo. Al igual que en la sesión anterior, se propone que los alumnos trabajen en parejas y que los comentarios se hagan con todo el grupo.

sEsióN 2

Consideremos lo siguiente En una escuela se va a realizar una excursión. Los organizadores saben que en promedio 12 niños consumen 144 litros de agua durante 6 días. a) ¿Cuántos litros de agua hay que llevar a la excursión si van a ir 60 niños durante 3 días? b) Y si fueran 36 niños y los organizadores llevaran 144 litros de agua, ¿para cuántos días de excursión alcanzaría el agua?

Propósito del problema. En este caso, y a diferencia de las situaciones planteadas en la sesión 1, las cantidades no sólo se relacionan de manera directamente proporcional sino también de manera inversamente proporcional. Es decir, en la sesión anterior al aumentar una o dos de las dimensiones del prisma se vio que el volumen también aumenta en forma directamente proporcional; mientras que en este problema si se deja fija la cantidad de litros de agua, la cantidad de días y la cantidad de niños se relacionan de manera inversamente proporcional (mientras más niños vayan a la excursión, menos días alcanzará el suministro de agua y viceversa, mientras más días dure la excursión, el suministro alcanza para menos niños).

Comparen sus respuestas.

Manos a la obra I. Respondan las siguientes preguntas. a) Si en lugar de ir 12 niños a la excursión fueran 24 niños: • ¿Los 144 litros de agua alcanzarían para más o menos días? • ¿Para cuántos días alcanzaría el agua? • ¿El número de días aumentaría al doble o disminuiría a la mitad? b) Si en lugar de ir 12 niños a la excursión fueran 6 niños: • ¿Los 144 litros de agua alcanzarían para más o menos días? • ¿Para cuántos días alcanzaría el agua? • ¿El número de días aumentaría al doble o disminuiría a la mitad? c) Si fueran a la excursión 4 niños y llevaran 144 litros de agua: • ¿Para cuántos días alcanzaría el agua? • ¿El número de días aumentaría al triple o disminuiría a la tercera parte?

Comparen sus respuestas.

111

Respuestas. a) Los 144 litros alcanzarían para menos días porque se incrementa el número de niños. Como es el doble de niños, la cantidad de días que duraría el agua sería la mitad, o sea, 3 días. b) Serían la mitad de niños, por lo tanto el agua alcanzaría para el doble de días (12). c) Si va la tercera parte de niños (4) el agua alcanzaría para tres veces más días (18).

Sugerencia didáctica. Las anteriores preguntas tienen el propósito de que los alumnos noten que cuando la cantidad de agua permanece fija (144 litros), si se aumenta n veces el número de niños, entonces el número de días disminuye n veces; y que si se disminuye el número de niños n veces, entonces el número de días aumenta n veces. Si lo considera útil para el momento de comparar sus respuestas, pídales que completen una tabla como la siguiente para verificarlas y haga énfasis en que la cantidad de agua permanece fija y las otras dos cantidades son inversamente proporcionales. Cantidad de agua consumida

Número de niños

Días de excursión

120 litros

12

6

120 litros

24

120 litros

6

120 litros

4

Sugerencia didáctica. Comprender las relaciones de proporcionalidad inversa puede ser difícil para algunos alumnos, especialmente en situaciones como ésta en la que entran en juego tres cantidades (litros de agua, días que dura la excursión y número de niños que asisten). Permita a sus alumnos explorar la situación mediante los procedimientos que quieran aunque no lleguen a obtener respuestas correctas. En el transcurso de la sesión irán trabajando la situación para lograrlo. Posibles dificultades. Quizá algunos alumnos confundan la relación inversa de una relación de proporcionalidad directa con una relación inversamente proporcional. La primera la han trabajado en tablas y esquemas diversos y es la que permite “ir de regreso”, por ejemplo, si la constante de proporcionalidad es “por 3”, la inversa de esa constante es “por 1 ”. La 3 segunda es un tipo de variación distinta en la que cuando una cantidad aumenta el doble, la otra disminuye a la mitad, si aumenta el triple la otra disminuye a la tercera parte, etcétera (revisaron situaciones de proporcionalidad inversa en la secuencia 37 de primer grado). Si lo considera necesario, comente esto con los alumnos y recuerden secuencias de su libro de primero en las que hayan trabajado con una y otra. Respuestas. a) Deben llevar 360 litros. b) Alcanzaría para 2 días.

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Sugerencia didáctica. Permita a los alumnos que contesten lo que consideren correcto, no les dé las respuestas en este momento.

secuencia 8 d) Comenten las siguientes afirmaciones. Pongan la letra V cuando la afirmación sea verdadera y la letra F cuando la afirmación sea falsa.

Una vez que analicen las siguientes tablas, pídales que revisen sus respuestas y corrijan si es necesario.

Cuando el número de litros de agua permanece fijo (144 litros), el número de días y el número de niños son cantidades directamente proporcionales. Cuando el número de litros de agua permanece fijo (144 litros), el número de días y el número de niños son cantidades inversamente proporcionales.

F V

Las siguientes tablas son útiles para determinar si dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales o inversamente proporcionales. Cantidades directamente proporcionales

Cantidades inversamente proporcionales

Si una cantidad aumenta al do- …la otra aumenta al doble, al ble, al triple, etcétera… triple, etcétera.

Si una cantidad aumenta al doble, …la otra cantidad disminuye a la al triple, etcétera… mitad, tercera parte, etcétera.

Si una cantidad disminuye a la …la otra cantidad disminuye a mitad, tercera parte, etcétera… la mitad, tercera parte, etcétera.

Si una cantidad disminuye a la mi- …la otra cantidad aumenta al tad, tercera parte, etcétera… doble, al triple, etcétera.

Respuestas. a) Habría que llevar más agua, si va a haber 5 veces más niños y el número de días permanece igual, se necesita cinco veces más agua (720 litros).

ii. Respondan las siguientes preguntas. Recuerden que en promedio 12 niños consumen 144 litros de agua durante 6 días. a) Si en lugar de ir 12 niños a la excursión fueran 60 niños: • ¿Habría que llevar más o menos agua para 6 días de excursión? • ¿Cuánta agua habría que llevar? • ¿La cantidad de agua aumentaría cinco veces o disminuiría a la quinta parte? b) Comenten las siguientes afirmaciones. Pongan la letra V cuando la afirmación sea verdadera y la letra F cuando la afirmación sea falsa.

Cuando el número de días permanece fijo (6 días), el número de niños y la cantidad de agua que se consumirá son cantidades directamente proporcionales.

V

Cuando el número de días permanece fijo (6 días), el número de niños y la cantidad de agua que se consumirá son cantidades inversamente proporcionales.

F

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MATEMÁTICAS

II

Respuestas. c) Necesitarían menos agua, si el número de días se reduce a la mitad, la cantidad de litros de agua necesarios también (72 litros). d) 24 litros. e) 2 litros.

c) Si en lugar de ir 6 días de excursión fueran sólo 3 días: • ¿Los 12 niños necesitarían más o menos de 144 litros de agua? • ¿Cuánta agua tendrían que llevar? • ¿La cantidad de agua aumentaría al doble o disminuiría a la mitad?

d) ¿Cuántos litros de agua consumen 12 niños durante 1 día de excursión?

e) ¿Cuántos litros de agua consume 1 niño durante 1 día de excursión?

f) Comenten las siguientes afirmaciones y pongan la letra V cuando la afirmación sea verdadera y la letra F cuando la afirmación sea falsa.

Cuando el número de niños permanece fijo (12 niños), el número de días y la cantidad de agua que se consumirá son cantidades

V

Cuando el número de niños permanece fijo (12 niños), el número de días y la cantidad de agua que se consumirá son cantidades

F

directamente proporcionales.

inversamente proporcionales.

g) ¿Cuántos litros de agua consumirán 60 niños durante 1 día de excursión?

h) ¿Cuántos litros de agua consumirán 60 niños durante 3 días de excursión?

113

Respuestas. g) 120 litros. h) 360 litros.

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secuencia 8

A lo que llegamos En los problemas de proporcionalidad múltiple puede suceder que cuando una de las cantidades permanece fija las otras dos sean directamente proporcionales o inversamente proporcionales. Por ejemplo:

1. Si el número de niños que van a ir a la excursión permanece fijo, entonces el número de días que van a estar en la excursión y el número de litros de agua que se consumirán son cantidades directamente proporcionales.

2. Si el número de litros de agua que se consumió en la excursión permanece fijo, entonces el número de días y el número de niños son cantidades inversamente proporcionales. Una de las técnicas útiles para resolver algunos problemas de proporcionalidad múltiple es encontrar el valor que corresponde a las unidades. Por ejemplo, en el problema de la excursión la cantidad de agua que consume 1 niño durante 1 día es el valor que corresponde a las unidades: en 1 día 1 niño consume 2 litros de agua. El valor que le corresponde a las unidades en este caso es 2.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que con este método verifiquen sus respuestas a las preguntas planteadas al inicio de la sesión.

Luego, si queremos saber cuántos litros de agua consumirán 70 niños durante 5 días de excursión, solamente tenemos que hacer una multiplicación, el siguiente esquema ilustra mejor este hecho.

Número de niños que fueron a la excursión

Número de litros de agua que consumieron 70 niños durante 5 días de excursión

2 × 5 × 70 = 700 Valor que le corresponde a las unidades: número de litros de agua que consume 1 niño durante 1 día de excursión

Número de días que duró la excursión

Así que 70 niños durante 5 días de excursión consumirán 700 litros de agua.

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MATEMÁTICAS

II

Respuestas. a) Alcanzarían para menos niños. Como los días de excursión son el triple (18), el agua alcanzaría para la tercera parte de los niños (4). b) Alcanzarían para más niños. Si se reduce a la tercera parte el número de días, el agua alcanzaría para tres veces más niños (36).

Lo que aprendimos 1. Responde las siguientes preguntas. Recuerda que en promedio 12 niños consumen 144 litros de agua durante 6 días. a) Si en lugar de ir 6 días de excursión van 18 días. • ¿Los 144 litros de agua alcanzarían para más o menos niños? • ¿Para cuántos niños alcanzaría el agua? • ¿El número de niños aumentó al triple o disminuyó a la tercera parte? b) Si en lugar de ir 6 días de excursión van 2 días. • ¿Los 144 litros de agua alcanzarían para más o menos niños? • ¿Para cuántos niños alcanzaría el agua? • ¿El número de niños aumentó al triple o disminuyó a la tercera parte?

2. Completa la siguiente tabla para verificar si el número de niños y el número de días de la excursión son cantidades directamente proporcionales o inversamente proporcionales cuando la cantidad de agua permanece fija (144 litros). Cantidad de agua consumida

Días de excursión

144 litros

6

12

144 litros

3

144 litros

12

144 litros

1

24 6 72

Número de niños

MÁs PROBLEMAs

Propósito de la sesión. Resolver problemas de proporcionalidad múltiple en diversos contextos.

sEsióN 3

Lo que aprendimos 1. En la sesión 1 de esta secuencia se calculó el volumen del prisma rectangular 1

Prisma 1

Sugerencia didáctica. Esta sesión está dedicada a emplear los conocimientos y las técnicas de resolución aprendidos en las dos anteriores. Puede dejar algunos de tarea o pedir que cada equipo resuelva un problema y luego lo expliquen a los demás en el pizarrón. Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a las actividades 2 y 3.

3 cm 4 cm

2 cm

Volumen = 4 cm × 2 cm × 3 cm = 24 cm3 115

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Respuestas. a) 192 cm 3 (porque sus medidas serían 8 de largo, 6 de alto y 4 de ancho). b) Por 8 (porque sus tres dimensiones aumentaron dos veces, entonces el volumen es 2 × 2 × 2 veces mayor que el prisma 1). c) 648 cm 3 (porque sus medidas serían 12 de largo, 9 de alto y 6 de ancho). d) Por 27 (porque sus tres dimensiones aumentaron tres veces, entonces el volumen es 3 × 3 × 3 veces mayor que el prisma 1).

secuencia 8 Contesta las siguientes preguntas: a) Si se aumenta cada una de las dimensiones (altura, largo y ancho) del prisma 1 al doble se obtiene un nuevo prisma: el prisma 6. ¿Cuál es el volumen del prisma 6?

b) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el volumen del prisma 6? c) Al aumentar cada una de las dimensiones (altura, largo y ancho) del prisma 1 al triple se obtiene otro nuevo prisma: el prisma 7. ¿Cuál es el volumen del prisma 7?

Respuestas. a) 75 tabiques. b) 25 tabiques. c) 900 tabiques.

d) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el volumen del prisma 7?

2. Sabiendo que para construir un muro de 3 metros de largo y 2 metros de altura se necesitan 150 ladrillos, contesta las siguientes preguntas:

Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades para resolver este problema sugiérales que dibujen en sus cuadernos los muros, y así será más sencillo ver que el muro que mide 1 m largo por 3 m largo (inciso a) es de la mitad del tamaño que el original. Además, como mide 3 m2 es fácil notar que para construir cada metro cuadrado se necesitan 25 tabiques (con lo que se responde el inciso b).

a) ¿Cuántos tabiques se necesitan para construir un muro que mida un metro de largo por 3 metros de alto? b) ¿Cuántos tabiques se necesitan para construir un muro que mida 1 metro de largo por 1 metro de alto? c) ¿Cuántos tabiques se necesitan para construir un muro que mida 12 metros de largo por 3 metros de alto? Subraya las afirmaciones correctas:

Respuesta. Las últimas dos afirmaciones son correctas, cuando se deja fija una de las dimensiones, la superficie (expresada en cantidad de ladrillos) es directamente proporcional a la dimensión que varía. Respuestas. d) 1 metro. e) 2 metros. f) 4 metros. g) “… son cantidades inversamente proporcionales” porque si la superficie (cantidad de tabiques) permanece fija y la altura aumenta, el ancho debe disminuir, y viceversa.

152

• Si la medida de la altura del muro permanece fija (2 metros), entonces el número de ladrillos es inversamente proporcional a la medida del largo del muro. • Si la medida del largo del muro permanece fija (3 metros), entonces la medida de la altura y el número de ladrillos que se necesitan son cantidades directamente proporcionales. • Si la medida de la altura del muro permanece fija (2 metros), entonces la medida del largo y el número de ladrillos que se necesitan son cantidades directamente proporcionales. d) Si un muro mide 4 metros de largo y está hecho con 100 tabiques, ¿cuánto mide su altura?

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MATEMÁTICAS

II

e) Si un muro mide 2 metros de largo y está hecho con 100 tabiques, ¿cuánto mide su altura? f) Si un muro mide 1 metro de largo y está hecho con 100 tabiques, ¿cuánto mide su altura? g) Completa la siguiente afirmación para que sea correcta. Si la cantidad de tabiques permanece fija (100 tabiques), entonces la medida del largo y la medida de la altura son cantidades

Respuestas. a) 40 kg. b) 4 kg. c) 4 800 kg. d) A 5 guajolotes. e) A 20 guajolotes.

proporcionales.

3. Damián es un granjero y se dedica a la crianza de guajolotes. Él sabe que 10 guajolotes consumen aproximadamente 120 kilogramos de alimento durante 3 días. a) ¿Cuántos kilogramos de alimento consumen 10 guajolotes durante 1 día?

b) ¿Cuántos kilogramos de alimento consume un guajolote durante 1 día?

c) ¿Cuántos kilogramos de alimento consumen 40 guajolotes durante 30 días?

d) Si se consumieron 240 kilogramos de alimento durante 12 días, ¿a cuántos guajolotes se alimentaron? e) Si se consumieron 240 kilogramos de alimento durante 3 días, ¿a cuantos guajolotes se alimentaron?

Para saber más Sobre los prismas rectangulares y otras figuras geométricas consulta: http://es.wikipedia.org/wiki/Prisma [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

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secuencia 9

Propósito de la sesión. Encontrar procedimientos sistemáticos de conteo en situaciones en las que no resulta práctico contar los casos uno por uno.

Problemas de conteo

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan individualmente, y que se organicen momentos de intercambio grupal. Descripción del video. El video es de introducción, contiene algunos ejemplos en los que resulta importante responder la pregunta ¿de cuántas formas?

En esta secuencia vas a identificar regularidades para resolver problemas de conteo. Verificarás tus resultados utilizando arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.

Posibles procedimientos. Los alumnos pueden intentar hacer una lista o una tabla, aunque es posible que no lo hagan de manera sistemática, por lo que tal vez omitan el conteo de algunos casos.

SESIÓN 1

¿CÓMO NOS ESTACIONAMOS?

Para empezar ¿De cuántas formas?

Existen situaciones en las que queremos ordenar o repartir varios objetos y resulta útil conocer de cuántas maneras distintas podemos realizarlo. En los problemas de conteo se responde la pregunta ¿de cuántas formas? Es importante contar de manera sistemática y para ello conviene saber desarrollar patrones. En ocasiones contar los casos de uno en uno no resulta práctico, ya que puede requerir de mucho tiempo y además se corre el riesgo de no contarlos todos.

Sugerencia didáctica. Usted puede ayudarles a comprender el problema formulando algunas preguntas, como: ¿cuántos lugares hay en el estacionamiento?, ¿cuántas personas hacen uso del estacionamiento?; si Sofía se estaciona en el lugar A, ¿qué lugares puede elegir Miguel?, y si Miguel se estaciona en el lugar B, ¿qué opciones tiene Sofía? También puede sugerirles que se apoyen en un dibujo o que representen en su cuaderno, de alguna manera, la forma en que se pueden ocupar los lugares y qué lugares quedan libres.

En la secuencia 8 de tu libro Matemáticas i Volumen i resolviste problemas de conteo utilizando tablas, diagramas de árbol y enumeraciones. En esta secuencia conocerás otras técnicas de conteo. En la secuencia 32 de este libro aprenderás a calcular probabilidades y tomar decisones utilizando las técnicas de conteo.

Consideremos lo siguiente En un edifico nuevo hay cinco departamentos y cinco lugares para estacionarse. Los lugares de estacionamiento se identifican con letras de la A a la E. Se han habitado dos departamentos únicamente, el de Sofía y el de Miguel, quienes estacionan cada noche su auto en alguno de los lugares. Por ejemplo, Sofía puede estacionarse en el lugar D y Miguel en el lugar B. ¿Cuáles son todas las formas en las que se pueden estacionar Sofía y Miguel? ¿En total cuántas son?

Respuesta. En total hay 20 maneras en las que pueden estacionarse. La lista puede ser así: Sofía Miguel A B A C A D B A B C B D...

Comparen sus respuestas. Comenten los procedimientos que utilizaron.

118

Eje Manejo de la información

Tema Representación de la información.

Antecedentes En el primer grado los alumnos resolvieron problemas de conteo con apoyo de representaciones gráficas, tales como tablas y diagramas de árbol. Asimismo, exploraron procedimientos sistemáticos de conteo, particularmente la regla del producto. En el segundo grado los alumnos continúan desarrollando su razonamiento combinatorio a través de la resolución de problemas de conteo. Las combinaciones son un caso particular del tipo de problemas que se aborda en la secuencia (las combinaciones también se presentan, por ejemplo, cuando tenemos que escoger tres objetos de cinco posibles, y no importa el orden). Para ello, utilizarán diagramas de árbol y arreglos rectangulares como recursos para organizar la información y averiguar el número total de casos posibles. 154

Propósito de la secuencia Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.

Sesión

Propósitos de la sesión

Recursos

1

¿Cómo nos estacionamos? Encontrar procedimientos sistemáticos de conteo en situaciones en las que no resulta práctico contar los casos uno por uno.

Video “De cuántas formas” Interactivo

2

La casa de cultura Identificar situaciones en las que importa el orden y en las que no importa el orden.

3

Reparto de dulces Encontrar procedimientos sistemáticos para contar todas las maneras en las que podemos repartir varios objetos.

Interactivo

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MATEMÁTICAS

II

Manos a la obra I. La siguiente lista sirve para encontrar todas las posibles formas en las que se pueden estacionar Sofía y Miguel. La lista no indica quién de los dos llegó primero a estacionarse, sino los distintos lugares de estacionamiento que pudieron ocupar. Hacen falta varias opciones, encuéntralas todas y escríbelas en tu cuaderno. Sofía

Miguel

A

B

A

C

A

D

A

E

B

A

B

C

B Responde las siguientes preguntas: a) Un día Sofía llegó primero y escogió el lugar B; cuando llega Miguel, ¿cuántos lugares tiene para escoger?

4

b) Otro día Miguel llegó primero y escogió el lugar D; cuando llega Sofía, ¿cuántos lugares tiene para escoger?

4

c) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la primera persona en llegar?

5

d) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la segunda persona en llegar?

4

e) ¿De cuántas maneras distintas pueden estacionarse Sofía y Miguel?

20

Comparen sus respuestas II. Ha llegado un nuevo vecino, llamado Paco; también estaciona su auto cada noche en alguno de los lugares. ¿De cuántas formas pueden estacionarse Sofía, Miguel y Paco?

119

Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos respondan estas preguntas sin anticiparles que multiplicar 5 × 4 es la forma más rápida de obtener todas las combinaciones. En los incisos c) y d) es conveniente que aclare a los alumnos que la primera persona en llegar no va a ser necesariamente Sofía, y la segunda persona en llegar no necesariamente será Miguel. En la tabla anterior fijamos el lugar de una persona (Sofía) y vemos las opciones de la otra (Miguel); en los incisos a) y b) fijamos las opciones según el orden en el que pudieran llegar a estacionarse, y en los incisos c) y d) no se sabe quién llega primero y quién después, pero se está contando lo mismo, eso es lo importante. Se pregunta de esa manera para que los alumnos puedan ir identificando los factores 5 y 4.

Propósito de la actividad. Que los alumnos exploren técnicas de conteo al resolver problemas en los que, al aumentar el número de vecinos, aumentan también las formas de estacionarse. Posibles dificultades. Dado que en este caso aumenta considerablemente el número de opciones, es probable que los alumnos no cuenten todas. Usted puede animarlos a encontrarlas todas utilizando una lista o una tabla, pues resulta poco práctico intentar enumerar todas las opciones.

Propósito de la actividad. Que los alumnos conozcan una forma sistemática de enumerar todas las formas de estacionarse. Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que, en la lista que se presenta, fijamos el lugar de una persona (Sofía) y vemos las opciones de la otra persona (Miguel). Esto nos permite ver las distintas formas en que pueden quedar estacionados, pero no quiere decir que primero llegó Sofía a estacionarse y luego Miguel. Se pueden intercambiar los nombres en la tabla, de manera que primero fijamos el lugar de Miguel y vemos las opciones que tiene Sofía. De cualquier manera se están contando las mismas formas de estacionarse. Es importante que los alumnos identifiquen que en este tipo de problemas no es relevante el orden en el que se vayan colocando los objetos (en este caso el orden en el que se vayan estacionando), sino que estamos identificando todas las posibles maneras en que pueden quedar colocados al final. Durante la sesión aparecen preguntas en las que sí interviene el orden de llegada, esto se hace para hacer más clara la expresión que se obtiene para contar todas las posibles maneras que tienen los vecinos para estacionarse. Se pregunta de manera general, cualquiera de los vecinos pudo llegar en primer lugar o en segundo lugar. Lo importante es que, cuando todos los lugares están vacíos, hay 5 opciones para estacionarse. Si ya se ocupó un lugar, quedan 4 lugares para estacionarse. Es semejante a lo que ocurre en la tabla: Sofía tiene 5 opciones, y para cada opción que ella escoge, Miguel tiene 4 opciones para escoger. Al final obtenemos la expresión 5 × 4. Lo que se esperaría es que los alumnos logren generalizar y digan que la primera persona en llegar (sin especificar quién fue) tiene 5 opciones, y la segunda persona en llegar (sin especificar quién fue) tiene 4 opciones. Sin embargo, esto no es fácil de lograr, por eso se utilizan mucho los recursos como la enumeración, las tablas y los diagramas de árbol, para resolver los problemas. Respuesta. La lista tiene veinte renglones, se fija el lugar en el que está Sofía y luego se va cambiando el lugar en el que está Miguel.

Respuesta. Hay 60 maneras en que los vecinos pueden estacionarse.

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Propósito del interactivo. Utilizar el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas.

secuencia 9 iii. Las posibles maneras de estacionarse que tienen Sofía, Miguel y Paco se pueden representar utilizando un diagrama de árbol. El diagrama indica el lugar que escogió cada uno, sin importar quién llegó primero a estacionarse. Complétalo en tu cuaderno:

Sugerencias didácticas. Para resolver este tipo de problemas utilice la opción Muchos recorridos presentada en el interactivo. Pida a los alumnos que identifiquen cuáles son los datos que deben ir en cada nivel y cuáles en las ramas. Se puede ocupar el interactivo para: • que los alumnos introduzcan los datos y observen cómo se construye el árbol; • presentar problemas con menos datos para que los alumnos puedan empezar a generalizar otra forma de obtener el número de resultados posibles, y cada vez aumentar el número de datos;

Propósito de la actividad. Se espera que, a partir de las preguntas y con la ayuda del diagrama, los alumnos establezcan la operación que permite contar todos los casos. En el apartado A lo que llegamos se analiza por qué esta operación es la correcta. Sugerencia didáctica. Nuevamente, aclare a los alumnos que la primera persona en llegar no necesariamente es Sofía, la segunda persona en llegar no necesariamente es Miguel y la tercera persona en llegar no necesariamente es Paco.

Lugares ocupados

c

aBc

B

D

aBD

a

c

e

aBe

B

D

c

e

Miguel

D e Utiliza el diagrama de árbol para responder las siguientes preguntas:

• mostrarles que cuando los datos son demasiados es conveniente utilizar otras estrategias, como puede ser la multiplicación. Propósito de la actividad. Utilizar al diagramas de árbol como un recurso que permite identificar y contar las opciones posibles. Además, en este caso, el diagrama permite ilustrar la operación a la que se quiere llegar para encontrar el número total de formas de estacionarse: 5 × 4 × 3. Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que en el diagrama se pone un orden para identificar los distintos niveles (Sofía, Miguel, Paco), pero esto no indica el orden en el que llegaron a estacionarse. Para economizar tiempo y con la finalidad de que todos los alumnos tengan el mismo diagrama, lo que les facilitará responder las preguntas siguientes, usted puede copiar en el pizarrón la parte del diagrama que se presenta en el libro, y pedir a algunos alumnos que pasen a completarlo. Una vez que todo el grupo esté de acuerdo con el diagrama, cada alumno lo copia en su cuaderno.

Paco

sofía

a) Si Sofía está en el lugar C y Miguel no ha llegado, cuando llega Paco, ¿en qué lugares se puede estacionar? A,

B, D, E

b) Si Paco está en el lugar B y Miguel está en el lugar E, cuando llega Sofía, ¿en qué lugares se puede estacionar? A,

C, D

c) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la primera persona en llegar?

5

d) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la segunda persona en llegar?

4

e) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la tercera persona en llegar?

3

f) ¿De cuántas maneras distintas pueden estacionarse Sofía, Miguel y Paco?

Otra manera con la que podemos calcular el número total de formas que tienen para estacionarse Sofía, Miguel y Paco, es realizando una operación. Subraya cuál es: • 5+4+3

B

C D E

C

B D E

• 5+5+5

D

B C E

¿Por qué es la operación correcta?

E

B C D

A

C D E

C

A D E

D

A C E

E

A C D

A

B D E

B

A D E

D

A B E

E

A B D

A

B C E

B

A C E

C

A B E

E

A B C

A

B C D

B

A C D

C

A B D

D

A B C

• 5×4×3 • 5×5×5

A

120

B

Posibles respuestas. • Se multiplican las opciones de cada vecino. • El primero en llegar tiene 5 opciones, el segundo tiene 4 y el tercero tiene 3 opciones. • Una respuesta parcialmente correcta puede ser: ésta es la operación que nos da el número total de opciones.

C

D

E

Digrama de árbol de la actividad III. 156

60

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MATEMÁTICAS

II

Propósito de las preguntas. En el inciso a) se espera que los alumnos se den cuenta de que podemos presentar el diagrama de árbol de distintas maneras, pero siempre estamos contando el número total de opciones o de formas de estacionarse. En el inciso b) se pretende reafirmar la idea de que no importa el orden en el que lleguen a estacionarse, sino el número de formas distintas en las que los autos pueden quedar colocados.

IV. Responde las siguientes preguntas: a) En el diagrama de árbol, Sofía está en el primer nivel, Miguel en el segundo y Paco en el tercero. Si en otro diagrama de árbol ponemos a Paco en el primer nivel, a Sofía en el segundo y a Miguel en el tercero, ¿habría más, menos o el mismo número de posibles formas de estacionarseentre los tres? Explica por qué:

Respuestas. a) Es el mismo número de formas de estacionarse. El nivel en el que esté cada uno no es importante, podríamos cambiarlos de lugar pero seguiríamos contando el número total de posibles formas para estacionarse. b) Es la misma manera, no importa el orden de llegada sino el lugar que haya escogido cada uno, y quedaron en los mismos lugares en esos dos días.

b) Un día Paco llegó primero y se estacionó en el lugar C; luego llegó Sofía y se estacionó en el lugar E; Miguel fue el último en llegar y se estacionó en el lugar A. Otro día Miguel llegó primero y se estacionó en el lugar A, luego llegó Paco y se estacionó en el lugar C, al final llegó Sofía y se estacionó en el lugar E. ¿Se cuenta como la misma manera de estacionarse o son formas distintas? Explica por qué:

Comparen sus respuestas. Comenten si, para contar el número total de formas que tienen para estacionarse los vecinos, es importante saber el orden en el que llegaron a estacionarse.

Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos hayan identificado que con la operación 5 × 4 pueden contar el número de formas de estacionarse, pídales que vuelvan al problema inicial para que, en caso de ser necesario, corrijan su respuesta.

V. Los cinco departamentos están ocupados. Cada vecino estaciona su auto en alguno de los cinco lugares. Responde las siguientes preguntas: a) ¿De cuántas maneras distintas pueden estacionarse los vecinos? b) ¿Cuál es la operación a realizar para encontrar de cuántas maneras distintas pueden estacionarse los cinco vecinos? c) ¿Cuál sería el inconveniente de realizar un diagrama de árbol para encontrar todas las formas de estacionarse que tienen los cinco vecinos? d) Cierto día, dos de los vecinos no utilizaron su auto y lo dejaron estacionado, ¿de cuántas maneras distintas pueden estacionarse los tres vecinos restantes?

Comparen sus respuestas. Para el caso en el que hay dos personas en el edificio, Sofía y Miguel, comenten cuál es la operación que se hace para calcular el número total de formas que tienen para estacionarse. 121

Propósito de la actividad. Dado que ahora son cinco vecinos y el número de casos aumenta considerablemente, es poco práctico intentar contar las opciones una por una. Se espera que los alumnos puedan generalizar los procedimientos de resolución que han utilizado, identificando a la multiplicación (5 × 4 × 3 × 2 × 1) como la operación que permite obtener el número total de opciones. Respuestas. a) 120 b) (5 × 4 × 3 × 2 × 1). Es lo mismo que (5 × 4 × 3 × 2). c) Son demasiadas opciones. El árbol es muy grande. Llevaría demasiado tiempo completarlo. d) Son seis maneras (es un caso en el que hay tres lugares y tres vecinos: 3 × 2 × 1).

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Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos. En los casos de cuatro y de cinco vecinos el resultado es el mismo debido a que con cuatro vecinos queda sólo un lugar desocupado cada vez, sería lo mismo si llega otro vecino y se estaciona en ese lugar. Posteriormente, usted puede preguntarles que pasaría en otros casos, por ejemplo: si hay seis departamentos y tres vecinos, ¿de cuántas maneras pueden estacionarse?

secuencia 9

A lo que llegamos Podemos contar las distintas maneras en las que se pueden estacionar los vecinos fijándonos en el número de opciones que tiene para cada uno en el momento en que llega: Cuando todos los lugares están vacíos, cualquier vecino tiene cinco opciones para escoger. Cuando ya está ocupado un lugar, los otros vecinos tienen cuatro lugares para escoger. Si hay dos lugares ocupados, los tres vecinos restantes tienen tres lugares para escoger. Luego, si hay tres lugares ocupados, quedan dos lugares para los dos vecinos restantes. Finalmente, queda un lugar para el último vecino.

Incorporar al portafolios. Elija uno de los tres problemas para identificar los aprendizajes y las dificultades de los alumnos. Se espera que puedan resolver utilizando los recursos que se vieron en la sesión: enumeración, tablas y diagramas de árbol. Es poco probable que utilicen directamente la multiplicación; usted puede proponer que identifiquen la operación que resuelve cada uno de los problemas una vez que los alumnos hayan comparado sus respuestas y procedimientos. Respuestas. 1. Son 24 números (4 × 3 × 2): Primer dígito

Segundo dígito

Tercer dígito

Número que se forma

2

4

5

245

2

4

8

248

2

5

8

258

2

5

4

254

2

8

5

285

El número total de casos posibles se obtiene multiplicando: Si hay dos vecinos: 5 × 4. Si hay tres vecinos: 5 × 4 × 3. Si hay cuatro vecinos: 5 × 4 × 3 × 2. Si hay cinco vecinos: 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Lo que aprendimos 1. Con los dígitos 2, 4, 8, 5 queremos formar números de tres cifras; en cada número no se puede repetir ninguno de los dígitos. ¿Cuántos números podemos formar? Haz una lista con todos los números. 2. En una telesecundaria, dos alumnos deben escoger un día, de lunes a viernes, en el que les va a tocar hacer las tareas de limpieza del salón; cada uno debe escoger un día distinto. ¿De cuántas maneras puede hacerse el rol de limpieza de esa semana? Haz un diagrama de árbol para representar todos los roles distintos. 3. Cuatro alumnos van con el médico a que les pongan una vacuna y ninguno quiere pasar primero, ¿de cuántas formas distintas pueden ordenarse para pasar con el médico?

2

8

4

284

4

2

5

425

4

2

8

428

4

5

2

452

4

5

8

458

4

8

2

482

2. Hay 20 formas (5 × 4).

4

8

5

485

3. Hay 24 formas (4 × 3 × 2 × 1).

5

2

4

524

5

2

8

528

5

4

2

542

5

4

8

548

Aunque no se les pide que hagan la lista de todas las formas de ordenarse, una manera de resolverlo es identificando a cada alumno con un número o una letra, también es posible inventar un nombre para cada alumno.

5

8

2

582

Martes

122

Lunes

Miércoles Jueves Viernes Lunes

Martes

Miércoles Jueves Viernes Lunes

Miércoles

Martes Jueves Viernes

5

8

4

584

8

2

4

824

8

2

5

825

8

4

2

842

8

4

5

845

Lunes

8

5

2

852

Martes

8

5

4

854

Lunes Jueves

Martes Miércoles Viernes

Viernes

Miércoles Jueves

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MATEMÁTICAS

II

LA CASA DE CULTURA

SESIÓN 2

Para empezar

La Casa de Cultura es un lugar en los municipios y barrios en el que se fomentan la cultura, el arte y la educación. En la Casa de Cultura hay bibliotecas públicas, se imparten talleres y cursos, y se organizan conferencias, obras de teatro, exposiciones, conciertos y presentaciones de libros. La Casa de Cultura tiene como objetivo contribuir a que la población tenga la oportunidad de acercarse a diversas expresiones artísticas y también preservar las tradiciones del lugar donde se ubique.

Respuesta. Hay seis formas posibles para inscribirse: danza y música, danza y teatro, danza y dibujo, música y teatro, música y dibujo, teatro y dibujo. Los alumnos pueden hacer una lista, una tabla o un diagrama de árbol. Posibles errores. Puede haber alumnos que no identifiquen que en este caso el orden no es importante, por lo que podrían contar más opciones de las debidas (por ejemplo, repetir la misma opción: danza y música, música y danza). Permita que los alumnos resuelvan por sí mismos aun cuando cometan errores.

Consideremos lo siguiente Fernanda asiste a la Casa de Cultura de su municipio; en esta Casa de Cultura se imparten cuatro talleres: danza, música, teatro y dibujo. Fernanda se va a inscribir sólo a dos de los talleres. ¿Cuántas formas posibles tiene para inscribirse?

Casa de Cultu ra Inscripción a los talleres Nombre:

Comparen sus respuestas. Expliquen cómo hicieron para encontrar las distintas formas que tiene Fernanda para inscribirse. ¿Es lo mismo o es distinto si Fernanda pone en la hoja de inscripción “música y teatro” o si pone “teatro y música”?

Fernanda

Deseo inscrib

irme a los sig

uientes taller

Propósito de la sesión. Identificar situaciones en las que importa el orden y en las que no importa el orden. Organización del grupo. Los alumnos pueden trabajar de manera individual y comparar sus resultados grupalmente.

es:

y

Firma

123

Sugerencia didáctica. Enfatice el hecho de que en este problema el orden en que se presentan las opciones no es relevante.

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secuencia 9 Propósito de la actividad. Sugerir a los alumnos que una manera de contar todas las formas posibles, en este caso, es utilizando una lista de enumeración.

Manos a la obra i. En la siguiente lista hacen falta varias de las opciones que tiene Fernanda, encuéntralas todas y escríbelas en tu cuaderno. danza y música danza y teatro danza y

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que, en este caso, el orden no importa, ya que se están escogiendo dos de los talleres, sin importar cuál va primero en la hoja de inscripción.

ii. En el diagrama de árbol están representadas las formas en las que Fernanda puede inscribirse: Música Danza

Teatro Dibujo Danza

Música

Teatro Dibujo Danza

Teatro

Música Dibujo Danza

Dibujo

Música Teatro

Respuesta. En el árbol hay 12 opciones, las cuales se obtienen mediante la operación 4 × 3. Como cada opción aparece 2 veces, se divide 12 ÷ 2.

a) ¿Cuántas opciones hay en el diagrama?

12

b) Cada una de las opciones está repetida: ¿cuántas veces aparece cada una? 2

veces

c) Subraya cuál de las siguientes operaciones sirve para calcular el número total de formas que tiene Fernanda para inscribirse: • 4×3

Posibles respuestas: • Hay 12 opciones y cada una se repite 2 veces, hay que dividir 12 entre 2. • Para el primer taller hay 4 opciones, y 3 opciones para el segundo taller, luego se divide entre 2. • Es con la que se obtiene el número de opciones (aunque ésta no es del todo correcta).

4×3 2

d) ¿Por qué es la operación correcta?

Comparen sus respuestas. 124

Sugerencia didáctica. Apoyándose en el diagrama de árbol, haga notar a los alumnos que cada una de las opciones aparece 2 veces, y que por ello el resultado de multiplicar 4 × 3 debe ser dividido después entre 2.

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MATEMÁTICAS

II

Propósito de la actividad. Identificar una situación en la que, de manera contraria a la anterior, el orden sí importe.

III. Otra Casa de Cultura imparte los mismos talleres: danza, música, teatro y dibujo. Para inscribirse hay que indicar cuál es la primera opción y cuál es la segunda. a) En tu cuaderno haz una lista con todas las posibles maneras de inscribirse. b) ¿Cuántas maneras son?

12 maneras

Respuesta. El número total de posibles formas de inscribirse son 12 (son las mismas que se muestran en el diagrama de árbol anterior):

c) Si no se ha llenado todavía ninguna de las opciones en la hoja de inscripción, ¿cuántos talleres hay para poner en la primera opción?

4

d) Si ya se puso la primera opción, ¿cuántos talleres hay para poner en la segunda opción?

3

e) Subraya cuál de las siguientes operaciones sirve para calcular el número total de formas de llenar la hoja de inscripción: • 4×3 •

4×3 2

f) Argumenta tu respuesta

Casa de Cultura Inscripción a los talleres Nombre: Deseo inscribirme a los siguientes

talleres:

Primera opción Segunda opción

Firma

Primera

Segunda

danza

música

danza

teatro

danza

dibujo

música

danza

música

teatro

música

dibujo

teatro

danza

teatro

música

teatro

dibujo

dibujo

danza

dibujo

música

dibujo

teatro

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secuencia 9

A lo que llegamos En los problemas de conteo hay que distinguir si importa o no el orden en el que pongamos las opciones. Además, siempre hay que tener cuidado al utilizar un diagrama de árbol o una lista de enumeración, porque es posible que se cuente, erróneamente, varias veces la misma opción.

Propósito de la actividad. Generalizar el caso en el que se tienen n opciones y se escogen dos de ellas, tanto en situaciones en las que sí importa el orden como en situaciones en las que no importa.

iV. En otra Casa de Cultura se imparten seis talleres: literatura, dibujo, alfarería, guitarra clásica, grabado y danza. Es posible inscribirse a dos de los talleres. Responde las siguientes preguntas: a) Si la inscripción se hace sin tener que indicar el orden de preferencia, ¿de cuántas maneras distintas se puede llenar la hoja de inscripción?

hay 15

b) ¿Cuál es la operación con la que podemos calcular el número total de posibles 6×5 formas de inscribirse en este caso? 2 c) Si se hace la inscripción indicando el orden de preferencia (primera y segunda opción), ¿de cuántas maneras distintas se puede llenar la hoja de inscripción?

Respuesta. n (n−1)

hay 30 maneras

Posibles errores. Algunos alumnos podrían pensar que deben sumar 1 al número de opciones (en este caso, sumar 1 al número de talleres), obteniendo así n (n + 1).

d) ¿Cuál es la operación con la que podemos calcular el número total de posibles formas de inscribirse en este caso?

6×5

e) En la Casa de Cultura hay n talleres distintos. En la hoja de inscripción se ponen dos talleres y hay que indicar el orden de preferencia. Subraya cuál de las siguientes expresiones generales sirve para calcular el número total de formas de inscribirse:

Sugerencia didáctica. En caso de que los alumnos tengan dificultades para identificar la fórmula general, pídales que identifiquen en cada uno de los casos que anteriormente resolvieron, el valor de n.

n (n +1) 2

• n (n-1) •

n (n-1) 2

• n (n +1) Comparen sus respuestas.

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MATEMÁTICAS

II

Sugerencia didáctica. Lea esta información junto con los alumnos, comente con ellos que este resultado es válido en cualquier caso en el que haya m opciones, de las que vamos a escoger dos.

A lo que llegamos En una Casa de Cultura se imparten m talleres. Es posible inscribirse a dos talleres. Si en la hoja de inscripción hay que indicar el orden de preferencia, hay m (m-1) distintas formas de inscribirse. Si no indicamos el orden de preferencia, hay m (m-1) maneras de hacerlo. 2

Lo que aprendimos 1. Juan tiene que elegir dos de los cuatro ejercicios que le dejaron de tarea. ¿De cuántas formas distintas puede realizar su tarea? 2. Una maestra tiene que elegir a dos alumnos para un comité, uno va a ser presidente y el otro va a ser secretario. Para ello dispone de cinco voluntarios: Elisa, Francisco, Germán, Jorge y María. ¿De cuántas maneras distintas puede elegir a los alumnos? Haz una lista con todos los posibles comités que puede elegir la maestra. 3. Ahora la maestra tiene que elegir a tres alumnos para organizar la fiesta de fin de año. Para ello dispone de cinco voluntarios: Juan, Sandra, Alejandra, Hugo y Patricia. Haz una lista con todas las maneras distintas en las que la maestra puede elegir a los alumnos. ¿Cuántas son?

REPARTO DE DULCES

Consideremos lo siguiente

SESIÓN 3

Julián tiene cuatro dulces de distintos sabores: fresa, piña, sandía y naranja. Julián sabe que a sus primos Diego y Emilio les gustan mucho esos dulces y se los va a regalar. ¿De cuántas maneras distintas puede repartir los cuatro dulces? (puede decidir regalar todos a uno de sus primos). Comparen sus respuestas. Comenten los procedimientos que utilizaron.

127

Incorporar al portafolios. Estos ejercicios se resuelven de manera similar a los de la sesión, pero es posible que algunos alumnos tengan dificultades con el cambio de contexto. Usted puede orientarlos pidiéndoles que identifiquen, en cada caso, si el orden importa o no. En el problema 3 hay una dificultad adicional: se deben elegir tres alumnos, mientras que en los problemas anteriores se tenían sólo dos opciones. Lo importante es que identifiquen que en este problema no importa el orden, pues se trata de contar todas las maneras posibles de escoger tres de los cinco alumnos, y por lo tanto deberán multiplicar y luego hacer una división. En este último punto los alumnos podrían pensar que deben dividir entre 3, pero la operación que resuelve el problema es: 5 × 64 × 3 . Para atender ese error, se puede escoger a tres de los alumnos del problema (por ejempo: Elisa, Franciso y Germán) y, en el pizarrón, enlistar todas las formas posibles en las que se puede ordenarlos (son seis). A partir de esa lista los alumnos podrán percatarse de cuántas veces se repite una misma combinación, lo que les permitirá identificar que deben dividir entre 6. Respuestas. 1. De seis maneras distintas. No importa el orden. Una manera de realizarlo es numerando los ejercicios del 1 al 4. También pueden aplicar la expresión general: 4 ×2 3 =6 2. Hay 20 comités distintos. (P – Presidente, S – Secretario. E, F, G, J, M son las iniciales del nombre de cada alumno): P

Propósito de la sesión. Encontrar procedimientos sistemáticos para contar todas las maneras en las que podemos repartir varios objetos. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen de forma individual y que se hagan intercambios grupales. Posibles procedimientos. Los alumnos podrían intentar hacer una lista con los dulces que le tocan a Emilio y a Diego en cada caso (dar todos los dulces a un solo niño, dar el de fresa a Diego y todos los demás a Emilio, etc.), pero con este procedimiento es posible que no encuentren todos los casos. A lo largo de la sesión se explora ese procedimiento y también otro, en el que nos fijamos a quién le toca cada dulce, en vez de los dulces que le tocan a cada niño. Respuesta. Hay 16 maneras de repartirlos.

S

P

S

P

S

E

F

F

E

G

E

E

G

F

G

G

F

E

J

F

J

G

J

E

M

F

M

G

M

P

S

P

S

J

E

M

E

J

F

M

F

J

G

M

G

J

M

M

J

3. Hay 10 maneras de elegirlos. JSA

JHP

JSH

SAH

JSP

SAP

JAH

SHP

JAP

AHP L i b r o p a ra el maestro

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Propósito de la actividad. Sistematizar una manera de contar todas las posibles reparticiones. Cada una de las posibilidades (4 dulces a un niño, 3 dulces a un niño y 1 al otro, 2 y 2) incluye, a su vez, varios casos de repartición.

secuencia 9

Manos a la obra i. Julián tiene las siguientes posibilidades para repartir los dulces: los cuatro dulces a uno de sus primos, tres dulces a uno y un dulce al otro o dos dulces a cada uno. En la siguiente lista hacen falta varias de las maneras de repartirlos, encuéntralas todas. Cada sabor se identifica por su inicial:

Respuesta Diego

Emilio

Diego

Emilio

FPSN

FPSN

FPSN

FPSN

FPS

N

FPS

N

N

FPS

N

FPS

FPN

S

FPN

S

S

FPN

FSN

P

P

FSN

PSN

F

F

PSN

FP

SN

SN

FP

FS

PN

PN

FS

FN

PS

PS

FN

Comparen sus respuestas. ii. Julián tiene dos opciones para regalar el dulce de fresa: se lo puede dar a Diego o se lo puede dar a Emilio. Responde las siguientes preguntas:

Propósito del interactivo. Utilizar el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas. Sugerencias didácticas. Para resolver este tipo de problemas utilice la opción de Muchos recorridos presentada en el interactivo. Pida a los alumnos que identifiquen cuáles datos deben ir en cada nivel y cuáles en las ramas. Se puede ocupar el interactivo para: • que ellos introduzcan los datos y observen cómo se construye el árbol; • presentar problemas con menos datos para que los alumnos puedan empezar a generalizar otra forma de obtener el número de resultados posibles, y cada vez aumentar el número de datos; • mostrarles que no siempre es práctico resolver los problemas utilizando un diagrama de árbol.

164

a) ¿Cuántas opciones tiene Julián para regalar el dulce de piña? b) ¿Cuántas opciones tiene Julián para regalar el dulce de sandía? c) ¿Cuántas opciones tiene Julián para regalar el dulce de naranja?

2 2 2

128

Propósito de la actividad. Presentar una estrategia distinta para encontrar el número total de formas en las que se puede hacer la repartición. En lugar de plantear qué dulces le tocan a cada niño, se plantea ¿quién recibe cada uno de los dulces? Posibles errores. Después de completar el diagrama de árbol es posible que los alumnos piensen que hay 2 opciones para repartir el dulce de fresa, 4 opciones para el de piña, 8 para el de sandía y 16 para el de naranja. Si se presenta este caso, hay que aclarar que, para cada sabor, hay sólo 2 opciones: se le da a Diego o se le da a Emilio.

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MATEMÁTICAS

II

d) Otra forma de representar las posibles maneras de repartir los dulces es utilizando un diagrama de árbol. Complétalo en tu cuaderno.

Fresa

Piña

Sandía

Naranja Emilio

Emilio Emilio Emilio

Diego

Diego

Diego

Diego

Propósito de los incisos e) y f). Que los alumnos identifiquen el sentido del diagrama de árbol: cada uno de los caminos entre los niveles indica una posible repartición.

e) Ilumina, en el diagrama de árbol que hiciste, la opción en la que Julián le da a Emilio el dulce de fresa y el de sandía, y a Diego, el de piña y el de naranja. f) Ilumina de otro color la opción en la que Julián le da a Emilio el dulce de sandía y a Diego todos los demás. g) ¿De cuántas maneras distintas puede repartir los cuatro dulces?

Sugerencia didáctica. Es importante que analice con los alumnos la operación que se sugiere: como hay cuatro dulces, y para cada dulce Julián tiene dos opciones (se lo da a Diego o se lo de a Emilio), se hace la multiplicación 2 × 2 × 2 × 2. Esta situación es similar a los casos presentados en las sesiones anteriores, con la diferencia de que en esta situación sí es posible repetir la misma opción para cada dulce.

16

Comparen sus respuestas. Una forma de calcular el número total de maneras en las que se pueden repartir los dulces es multiplicando 2 × 2 × 2 × 2. Comenten por qué se hace así. También podemos escribir esta operación como 24. III. Julián tiene cinco dulces de sabores distintos: fresa, piña, sandía, naranja y limón. Los va a regalar a sus primos Diego, Emilio y Camila. Responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuántas opciones tiene Julián para regalar cada dulce? b) ¿De cuántas maneras distintas puede repartir los dulces?

3 243

Propósito de la actividad. A partir de los resultados anteriores, generalizar para otras situaciones de reparto. En este caso Julián tiene 5 dulces y 3 opciones para regalar cada uno de los dulces.

c) ¿Cuál es la operación con la que podemos calcular todas las maneras que tiene Julián para repartir los dulces?

3 × 3 × 3 × 3 × 3 o también 3 5

129

FRESA

PIÑA

SANDÍA

NARANJA

EMILIO

EMILIO

Diego

EMILIO

EMILIO

Diego

Diego

EMILIO

EMILIO

EMILIO

Diego

Diego

EMILIO

Diego

Diego EMILIO

EMILIO

Diego

EMILIO

EMILIO

Diego

Diego

Diego

EMILIO

EMILIO

Diego

Diego

EMILIO

Diego

Diego

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Martes


Propósito de la actividad. Generalizar la manera en que contamos todas las formas de repartir objetos, cuando en cada lugar puede ir más de un objeto. Hay un cambio de contexto, por lo que puede resultar difícil para los alumnos identificar que es un caso similar al reparto de dulces. Sugerencia didáctica. Como una forma de invitar a los alumnos a que prueben la aplicación directa de una multiplicación, usted puede comentarles que tanto en la actividad III como en ésta sería poco práctico realizar un diagrama de árbol debido a que son muchas las opciones posibles. Anímelos para que identifiquen la operación que resuelve el problema y que la apliquen para obtener el total de posibilidades.

secuencia 9 iV. Roberto tiene tres canicas de distintos colores: azul, rojo y blanco. Las va a colocar en cuatro cajas numeradas. Puede colocar varias canicas en la misma caja. Responde las siguientes preguntas. a) ¿En cuántas cajas puede colocar cada canica?

en 4 cajas

b) Subraya la operación que nos sirve para calcular todas las formas posibles de colocar las canicas. • 43 • 4×3 • 34

c) Argumenta tu respuesta.

d) Roberto tiene m canicas, todas de distinto color, y tiene n cajas numeradas. Roberto va a colocar las canicas en las cajas, es posible colocar varias canicas en la misma caja. Subraya la expresión general que nos sirve para calcular todas las formas posibles de colocar las canicas. • mn

Posibles respuestas. • Cada canica la podemos colocar en alguna de las 4 cajas, entonces se multiplica 4 x 4 x 4. • Hay 4 opciones para cada canica.

• nm • mn

Respuesta. Puede colocar cada canica en n cajas, por lo tanto tiene n m  formas distintas de colocar las canicas.

Comparen sus respuestas.

A lo que llegamos

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos. Usted puede plantear otros ejemplos sencillos para que los alumnos entiendan cuál es la multiplicación que resuelve el problema. Otra forma de plantear la generalización q p es: ¿qué representa el número que se escribe como base?, ¿qué representa el exponente?

Si se tiene seis dulces de distinto sabor y hay cuatro niños a los que podemos regalar los dulces, cada dulce lo podemos dar a alguno de los cuatro niños. El número total de posibles reparticiones se puede calcular multiplicando 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4. Es decir, el número total de reparticiones es 46. Generalizando, si tenemos p objetos distintos y los queremos repartir en q cajas o bolsas, el número total de reparticiones es qp (p puede ser mayor, menor o igual a q).

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MATEMÁTICAS

II

Sugerencia didáctica. Recomiende a sus alumnos que primero intenten encontrar cuántos casos hay, esto les servirá para dos cosas: • Si se les pide hacer una lista de todos los casos (enumerar), podrán verificar su resultado. • Pueden decidir si conviene o no enumerarlos.

Lo que aprendimos 1. Con los dígitos 2, 4, 6, 7, 9 queremos formar números de dos cifras, se puede repetir los dígitos. Haz una lista con todos los números que podemos formar. ¿Cuántos son? 2. Vamos a colocar una canica roja y una canica azul en cuatro cajas numeradas. Es posible colocar las dos canicas en la misma caja. ¿De cuántas maneras podemos hacerlo? 3. Con los dígitos 5, 6, 8 queremos formar números de cinco cifras, se puede repetir los dígitos. ¿Cuántos números distintos podemos formar?

Incorporar al portafolios. Evalúe los aprendizajes y las dificultades de los alumnos con los problemas 1, 2 y 3.

4. Julián tiene cuatro dulces, todos son de fresa. Los va a regalar a sus primos Diego y Emilio. ¿De cuántas maneras puede regalar los dulces a sus primos? 5. Vamos a colocar tres canicas azules en tres cajas numeradas. Es posible colocar las tres canicas en la misma caja. ¿De cuántas maneras podemos hacerlo?

Respuestas. 1. Se pueden formar 25 números. Se multiplica 5 × 5 o se hace la operación 5 2 : 22, 24, 26, 27, 29, 42, 44, 46, 47, 49, 62, 64, 66, 67, 69, 72, 74, 76, 77, 79, 92, 94, 96, 97, 99. 2. Hay 16 maneras. Cada canica puede colocarse en alguna de las 4 cajas. Se multiplica 4 × 4 o se hace la operación 4 2 . 3. Se pueden formar 243 números. Se multiplica 3 × 3 × 3 × 3 × 3 o se hace la operación 3 5 . En este caso no resulta práctico intentar hacer la lista con todos los números.

Para saber más Sobre otros ejemplos de problemas de conteo consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “El principio de las casillas”, “Contar: principio de la suma” y “¿Cuántos caminos llevan a Roma?”, en Una ventana al infinito. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Nozaki, Akiro. Trucos con sombreros. México: SEP/FCE, Libros del Rincón, 2005. Sobre la Casa de Cultura consulta: http://sic.conaculta.gob.mx Ruta: Espacios culturales Centros culturales (Dar clic en el mapa sobre tu estado) (Dar clic en el mapa sobre tu municipio). [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Sistema de información cultural - CONACULTA Explora las actividades del interactivo Anticipar resultados en problemas de conteo.

Propósito del interactivo. Mostrar el arreglo rectangular como técnica de conteo en la resolución de problemas.

131

Sugerencia didáctica. En todos los problemas que se resolvieron en la sesión, los objetos que se repartían eran distintos entre sí (por ejemplo, dulces de distintos sabores). En los problemas 4 y 5, los objetos que se reparten son todos iguales, por lo que el procedimiento para resolverlos es distinto al que se utilizó en los problemas anteriores. Permita que los alumnos intenten resolverlos y, posteriormente, en la comparación de resultados, haga notar esta característica, contrastando con el tipo de problemas que han resuelto. Para ello, se puede apoyar en la información del último A lo que llegamos .

Respuestas. 4. En este ejercicio todos los objetos son iguales, por lo que sólo importa cuántos le tocan a cada uno. Hay 5 maneras de repartirlos: Diego

Emilio

4

0

3

1

2

2

1

3

0

4

Sugerencias didácticas. Mediante el uso del interactivo se puede presentar a los alumnos otra forma de resolver problemas de conteo, utilizando arreglos rectangulares. Es importante aclararles que aunque existen diferentes técnicas de conteo, no todas son igualmente eficaces, por lo que ellos deberán decidir cuál conviene usar de acuerdo con las características de cada problema.

5. También en este caso todos los objetos son iguales. Hay 10 maneras de repartirlos: caja 1

caja 2

caja 3

3

0

0

0

3

0

0

0

3

2

1

0

2

0

1

1

2

0

1

0

2

0

2

1

0

1

2

1

1

1

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secuencia 10

Polígonos de frecuencias

Propósito del programa integrador. Presentar casos donde se utilicen los polígonos de frecuencias e interpretar la información contenida.

En esta secuencia, aprenderás a interpretar y a comunicar información mediante polígonos de frecuencias. Como recordarás, existen diferentes tipos de gráficas estadísticas. En primer grado aprendiste a construir las gráficas de barras y las circulares, ahora aprenderás a interpretar y a construir otro tipo de gráficas, llamadas histogramas y polígonos de frecuencias, que también son muy utilizadas en libros, periódicos y revistas.

Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican la interpretación y construcción de polígonos de frecuencias de datos cuantitativos (tablas de frecuencia, histograma, polígono de frecuencias). Organización del grupo. Se sugiere resolver la sesión de manera individual y en parejas.

SESIón 1

REZAGO EDUCATIVO Y GRÁFICAS

Para empezar

Desde 1993 la educación básica obligatoria comprende hasta la secundaria completa. Cuando una persona tiene más de 15 años y está en alguna de las siguientes situaciones: no sabe leer ni escribir, no terminó de estudiar la primaria, únicamente estudió la primaria o no terminó de estudiar la secundaria, se considera que esa persona se encuentra en rezago educativo.

2

Consideremos lo siguiente La siguiente gráfica es un polígono de frecuencias. En ella se presentan los datos que se obtuvieron en el censo del año 2000 acerca de la población mexicana que se encuentra en rezago educativo.

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos interpreten la información que presenta un polígono de frecuencias para comprender las características más importantes de la situación, en este caso el rezago educativo en nuestro país en el año 2000.

Población mexicana de 15 años y más en condición de rezago educativo en el año 2000

Número de personas (en millones)

12 10 8 6 4 2 0 15-29 30-44 45-59 60-74 75-89 Edades (en años) Fuente: INEGI. XII Censo General de Población y Vivienda, 2000. Base de datos. 132

Eje

Propósito de la secuencia Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencias

Tema Representación de la información

Sesión

Propósitos de la sesión

1

Rezago educativo y gráficas Resolver problemas que implican la interpretación y construcción de polígonos de frecuencias de datos cuantitativos (tablas de frecuencia, histograma, polígono de frecuencias).

2

Anemia en la población infantil mexicana Resolver problemas que implican la interpretación y construcción de polígonos de frecuencias relativas (histograma y polígono de frecuencias relativas).

3

¿Qué gráfica utilizar? Interpretar polígonos de frecuencias de dos o más conjuntos de datos.

Antecedentes

En primero de secundaria los alumnos aprendieron a representar información mediante gráficas de barras y circulares. En esta secuencia interpretarán y construirán polígonos de frecuencias.

168

Recursos

Vínculos

Video

“El peso en otros planetas”

Video

“Polígonos de frecuencias en los reportes de investigación” Interactivo

Ciencias I Secuencia 12

Programa integrador 6

Manejo de la información

Ciencias I Secuencia 12

Libro p a ra e l m a e s t r o

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MATEMÁTICAS

II

Respuestas. a) 10 millones de personas. b) V, V, F, F, V.

a) En el intervalo de entre 15 y 29 años de edad hay 11 millones de personas que están en condición de rezago educativo. ¿Cuántas personas de 30 a 44 años están en esa condición?

Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos cometan errores al contestar estas preguntas al no considerar que los datos están agrupados, equivocarse al interpretar la escala del eje vertical o alguna otra dificultad. Si esto sucede, permítales seguir resolviendo las actividades y luego pídales que regresen a estas preguntas para que las corrijan.

b) Toma en cuenta la información que presenta el polígono de frecuencias y anota V o F según sean verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. El intervalo de edad con mayor cantidad de personas en condición de rezago educativo es el de 15 a 29 años. En el año 2000, alrededor de 35 millones de personas se encontraban en condición de rezago educativo. 8 millones de personas en condición de rezago educativo tienen 45 años.

De la población en condición de rezago educativo, la cantidad de personas que tienen entre 15 y 29 años es el doble de la que tiene entre 45 y 59 años. Si la población total en México era de 97.5 millones, aproximadamente el 36% de las personas estaban en condición de rezago educativo.

Manos a la obra

Respuestas. Hay 5 intervalos de edad y todos son del mismo tamaño porque cada uno comprende 15 edades.

I. Contesta las siguientes preguntas tomando en cuenta el polígono de frecuencias. ¿Cuántas edades

a) ¿Cuántos intervalos de edad hay? comprende cada intervalo?

¿Todos los intervalos son

del mismo tamaño? que: or ite inferi Recuerda e un lím rvalo tien año de un te in a m Cad ta tre perior. El la diferencia en y uno su a o es igual feriores in es o intervalo it el polígon sivos lím dos suce Por ejemplo, en e inferior . it es lím or ri supe primer s el encias, el es 30, entonce 5. de frecu c) Si en el intervalo de entre 45 y 59 años de edad hay 7 millones siguiente es igual a 30-1 el y 5 1 o es al de personas que están en condición de rezago educativo, ¿podel interv tamaño drías decir cuántas personas de 50 años de edad hay en esa condición?

b) La frecuencia en el intervalo de entre 15 y 29 años de edad es de 11 millones de personas que están en condición de rezago educativo, ¿en qué intervalo la frecuencia es de 5 millones de personas que están en esa condición?

Sugerencia didáctica. Comenten esta información. Ponga varios ejemplos para que los alumnos sepan distinguir qué es un límite superior y qué es un límite inferior y cómo calcular el tamaño de un intervalo.

¿Y de 45 años? ¿Por qué?

133

Respuesta. En el de personas de 60 a 74 años de edad.

Posibles dificultades. Quizá algunos alumnos crean que sí es posible determinar, a partir del polígono de frecuencias, cuántas personas de 50 años tienen rezago educativo y traten de ubicar el 50 en la gráfica (aproximadamente serían 7 millones de personas). De la misma manera, pueden pensar que hay 8.5 millones de personas de 45 años que tienen rezago educativo. Si esto ocurre, explíqueles que al sumar esas dos cantidades (7 millones + 8.5 millones) se obtiene un resultado mayor al total de personas en ese grupo de edad que tienen rezago educativo, así que esos datos no son correctos.

Es difícil para los alumnos darse cuenta de que en este tipo de gráficas deben observarse los puntos del polígono porque son los que determinan la altura con respecto al eje vertical, y que la línea que los une simplemente es una conexión para marcar la tendencia general en la gráfica (si sube, baja o se mantiene) pero no representa ningún valor en particular. Aunque es posible que hubiera más personas de 55 años con rezago educativo que de otras edades de ese mismo intervalo, esto no se puede saber a partir del polígono de frecuencias, lo cual no significa que no sea confiable, sino que la información que muestra es de datos agrupados.

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secuencia 10 d) Completa la siguiente gráfica a partir de los datos del polígono de frecuencias. Población mexicana de 15 años y más en condición de rezago educativo en el año 2000 12

Número de personas (en millones)

10 8 6 4 2

Respuestas. e) Son diferentes e indican la cantidad de personas que hay en cada intervalo de edad en condición de rezago educativo, es decir, la frecuencia del intervalo. f) Son iguales porque los intervalos son del mismo tamaño. g) Los puntos que señalan cuántas personas hay en cada intervalo. h) En la mitad de la parte superior.

0

15-29

30-44

45-59

60-74

75-89

Edades (en años) Fuente: INEGI. XII Censo General de Población y Vivienda, 2000. Base de datos.

e) Esta gráfica es un histograma. ¿Las alturas de las barras son iguales o diferentes? ¿Qué indican? f) Compara el tamaño del ancho de las barras, ¿son iguales o diferentes? ¿Por qué crees que ocurre eso?

Ahora, calca el histograma en una hoja de papel delgado y coloca la copia sobre el polígono de frecuencia del apartado Consideremos lo siguiente. g) ¿Qué puntos del polígono de frecuencias quedan cubiertos con las barras del histograma? h) ¿En qué parte de las barras quedan los puntos del polígono de frecuencias? En el histograma que calcaste dibuja el polígono de frecuencias. Consideren el primer punto del polígono de frecuencias y tracen a partir de ese punto un segmento perpendicular al eje horizontal. Este segmento intersecta al eje horizontal en el punto medio del intervalo 15-29 años de edad. Tracen los segmentos que faltan para los otros puntos del polígono de frecuencias. Observen que las barras del histograma quedan divididas en dos partes iguales y que los puntos del polígono de frecuencias están sobre la mitad de la parte superior de cada barra, es decir, a la mitad de cada “techo de las barras”.

Sugerencia didáctica. Si no saben cómo hacer estos trazos pídales que observen la gráfica que aparece más adelante, en el apartado A lo que llegamos. 134

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MATEMÁTICAS

II

A lo que llegamos Los histogramas se utilizan para presentar información acerca de una situación sobre la cual se tienen datos organizados en intervalos. Si los intervalos son del mismo tamaño, como los que estudiaste en esta sesión, un histograma tiene las siguientes características importantes: • La altura de una barra está determinada por la frecuencia del intervalo correspondiente. • La anchura de las barras es igual para cada una debido a que esta medida representa el tamaño de cada intervalo. • En un histograma las barras se dibujan sin dejar espacios vacíos entre ellas porque abarcan todo el intervalo correspondiente a los datos agrupados. Un polígono de frecuencias de datos organizados en intervalos del mismo tamaño es la gráfica que se obtiene al unir, mediante una línea poligonal, los puntos medios consecutivos de los techos de las barras. Estas gráficas nos permiten observar de manera general la tendencia de los datos. Sin embargo, no es correcto darle significado a la línea que une a los puntos medios, ya que solamente estamos representando la frecuencia por intervalo y no para cada valor del intervalo. Por ejemplo, la siguiente gráfica muestra a la población varonil de 15 años y más en condición de rezago educativo en el año 2000 en México; como podemos ver, en el intervalo de 15 a 29 años de edad hay 5 millones de varones en total, pero no sabemos cuántas personas hay de 15, 16, 17… o 29 años de edad. Población varonil de 15 años y más en condición de rezago educativo en el año 2000 6

Número de varones (en millones)

5 4 3 2 1 0

15-29

30-44

45-59

60-74

75-89

Edades (en años)

Tanto en los histogramas como en los polígonos de frecuencias se pueden representar frecuencias absolutas, relativas o porcentajes.

135

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que revisen las respuestas que anotaron en el apartado Consideremos lo siguiente y que las corrijan si es necesario. Enfatice que en este tipo de gráficas los datos están agrupados y pregúnteles qué representan las líneas que unen a los puntos medios en el polígono.

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Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que el resultado obtenido en cada renglón de la tercera columna indica el porcentaje de personas que se encontraban en rezago educativo de cada grupo de edad, no con respecto a toda la población de 15 años o más. Por eso en el último renglón no se suman todos los porcentajes para obtener el porcentaje de personas en situación de rezago educativo de todos los grupos de edad. Posibles dificultades. Existen diversas maneras de calcular un porcentaje. Por ejemplo, para saber qué porcentaje de personas de entre 15 y 29 años de edad tiene un rezago educativo podría calcularse:

secuencia 10 ii. En la siguiente tabla se presenta el número de personas de 15 años y más que habitan en México. Complétala con los datos que se dan en el polígono de frecuencias. Población total y de personas en condición de rezago educativo en México en el año 2000. Edades

Número total de personas (en millones)

Número de personas en condición de rezago educativo (en millones)

Porcentaje de personas en condición de rezago educativo por grupo de edad

15-29 30-44

28

11

(11÷ 28) × 100 = 39.2

20

10 7

45-59

10

60-74

6

75-89

2

5 1.5

Total

66

3 4.5

( (

10 20 7 10

) × 100=50 ) × 100=70

( 56 ) × 100=83.33 ( 1.5 2 ) × 100=75 (

34.5 66

) × 100=52.2

a) En el año 2000 había 11 millones de personas entre 15 y 29 años de edad con rezago educativo. ¿Qué fracción representa de la población total de ese intervalo de edad?

• (28 ÷ 100) × 11 • (11 ÷ 28) × 100

¿Qué porcentaje representan?

b) ¿Cuántas personas de 15 años y más había en México en el año 2000?

En el libro de primer grado los alumnos trabajaron con la primera y para algunos podría ser confuso emplear la segunda. Compare junto con ellos estas dos formas de efectuar el cálculo. Puede preguntarles ¿da el mismo resultado si se hace de una u otra forma?, ¿por qué?

c) ¿Y cuántas personas de 15 años y más estaban en condición de rezago educativo?

d) ¿Qué porcentaje de la población de 15 años y más se encontraba en condición de rezago educativo? iii. Lean el texto informativo: ¿Quién es el inea? del anexo 1 y contesten las siguientes preguntas. De acuerdo con cifras del INEGI, la población total en México durante el año 2000 era de 97.5 millones de personas.

Respuestas. a) 11 , que representan el 39.2%.

a) ¿Qué porcentaje de la población total representan las personas que tienen un rezago educativo?

28

b) ¿Por qué razón creen que no están consideradas las personas menores de 15 años?

b) 66 millones. c) 34.5 millones.

c) En su localidad, ¿conocen a alguien de entre 15 y 29 años que se encuentre en condición de rezago educativo?

d) 52.2%.

¿Cuáles consideran que son las causas de esa situación?

136

Respuestas. a) 35.38% (porque 34.5 millones es el 35.38% de 97.5 millones). b) Porque no se encuentran en rezago educativo al estar en edad de acudir a la primaria o a la secundaria. c) y d) Las respuestas son abiertas. Los alumnos podrían mencionar cosas como “porque no terminó la primaria”, “porque cuando estudió la secundaria no era obligatoria”, etcétera. e) Sí, pueden estudiar en el sistema de educación para adultos.

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MATEMÁTICAS

II

d) ¿Y conocen a personas de 60 a 89 años que se encuentren en condición de rezago educativo?

¿Cuál creen que es la razón principal de esa situación?

e) ¿Creen que estas personas puedan cambiar la condición de rezago en que se encuentran?

¿Cómo?

4

f) Investiguen qué programas o alternativas existen para mejorar la condición educativa de estas personas en su localidad.

Lo que aprendimos 1. Construye el polígono de frecuencias que corresponde al siguiente histograma. Población de mujeres de 15 años y más en condición de rezago educativo en el año 2000 7

Número de mujeres (en millones)

6 5 4 3 2 1 0

15-29

30-44

45-59

60-74

75-89

Edades (en años)

Respuestas. a) 5 millones. c) 50%.

Fuente: INEGI. XII Censo General de Población y Vivienda, 2000. Base de datos.

a) ¿Cuántas mujeres de entre 30 y 44 años se encuentran en rezago educativo?

Sugerencia didáctica. Dé un tiempo para hablar de lo que se plantea en el inciso d).

b) En tu cuaderno, elabora la tabla de frecuencias que corresponde a esta situación. c) Si la población total de mujeres entre 30 y 44 años era de 10 millones de personas, ¿qué porcentaje representa la población de mujeres que se encuentra en rezago educativo en ese intervalo?

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secuencia 10 d) ¿Qué opinas sobre la situación en que viven estas mujeres?

2. Analiza la siguiente gráfica para contestar las preguntas que se plantean. calificaciones del grupo de 2° en el examen de matemáticas 9 8

Número de alumnos

7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Calificaciones

Respuestas. a) F, V, V. b) Lo aprobaron 18 y la calificación que más alumnos obtuvieron fue 5.

a) Anota en el recuadro V o F según sean verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, de acuerdo con la información que presenta la gráfica anterior. La mayoría de los alumnos obtuvieron 10 de calificación. Más de la mitad del grupo reprobó el examen. El grupo está formado por 40 alumnos. b) En tu cuaderno, elabora la tabla de frecuencias que corresponde a esta gráfica y contesta las siguientes preguntas. ¿Cuántos alumnos aprobaron el examen? ¿Cuál es la calificación que más alumnos obtuvieron?

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MATEMÁTICAS

II

AnEMIA En LA POBLACIón InFAnTIL MEXICAnA

SESIón 2

Para empezar

La nutrición es el proceso por medio del cual el organismo obtiene, a partir de los alimentos, los nutrientes y la energía necesarios para el sostenimiento de las funciones vitales y de la salud. Un problema nutricional es la anemia la cual ocurre cuando no hay una cantidad suficiente de hierro para producir los glóbulos rojos necesarios que transportan el oxígeno a cada célula del organismo. Este tema lo estudiaste ya en la secuencia 12 ¿Cómo evitar problemas relacionados con la alimentación? en tu libro de Ciencias I Volumen I.

Conexión con Ciencias I Secuencia 12: ¿Cómo evitar problemas relacionados con la alimentación?

Organización del grupo. Se propone resolver la sesión tanto individualmente como en parejas, y hacer comentarios en grupo.

Sugerencia didáctica. Pida a sus alumnos que revisen la secuencia 12 del libro de Ciencias I (primer grado). La utilizarán en esta sesión y en la siguiente.

Consideremos lo siguiente La siguiente gráfica muestra el porcentaje de personas de 5 a 11 años que tenían anemia en el año 1999, según datos obtenidos en la Encuesta Nacional de Nutrición de ese año.

Propósito de la actividad. Ahora los alumnos interpretarán y representarán en una misma gráfica dos polígonos de frecuencias que corresponden a dos conjuntos de datos en los que se analiza la misma variable (porcentaje de niños y de niñas que padecen anemia).

Porcentaje de la población infantil con problemas de anemia en el año 1999. 40 30 Porcentaje

Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican la interpretación y construcción de polígonos de frecuencias relativas (histograma y polígonos de frecuencias relativas).

20 10

0

5 Niñas Niños

6

7

8

9

10

11

Edades (en años)

Fuente: Encuesta de Nacional de Nutrición 1999.

Contesten en sus cuadernos las siguientes preguntas: a) ¿Cómo describirían el comportamiento de esta enfermedad en las niñas de 5 a 11 años de edad? b) ¿La mayoría de la población infantil que padece anemia son hombres o mujeres? ¿Cómo se presenta esta situación en la gráfica? Comenten sus respuestas.

139

Respuestas. a) Las niñas presentan mayor problema a los 6 años (aproximadamente el 32% de ellas la padecen), después de esa edad se reduce el porcentaje hasta casi la mitad. A los 11 años es igual a la de los niños. b) Es un poco mayor la población de niñas que padecen esta enfermedad. Si pensamos que de cada edad hay cien niñas y cien niños, entonces a los 5 años el 11% son niñas que padecen anemia y el 12% son niños, lo que significaría que hay 11 niñas y 12 niños de 5 años que padecen anemia. De la misma manera, a los 6 años de edad habría 32 niñas y 26 niños; a los 7 años serían 25 niñas y 26 niños; y así sucesivamente. Habría aproximadamente 140 niñas y 132 niños que padecen anemia en un grupo de 700 niñas y 700 niños de entre 5 y 11 años de edad.

Sugerencia didáctica. Comenten en grupo la respuesta al inciso b). La respuesta que se da en este libro es una manera de interpretar la gráfica, pero es importante que los alumnos digan cómo contestaron esa pregunta y si llegaron a la misma conclusión. Posibles dificultades. Algunos alumnos podrían sumar el porcentaje de las niñas que tienen anemia a los 5 años con el de las que la padecen a los 6, a los 7, etcétera, como una manera de contestar el inciso b), pero es una estrategia incorrecta. Si ocurre, discutan por qué no puede hacerse así.

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Respuestas. a) 32%. b) En el sexto intervalo, porque ahí “caben” todos los niños y niñas que tengan desde 10 años hasta 10 años 11 meses. c) No, porque los datos están agrupados y no es posible saber cuántas niñas de las que se consideran en ese intervalo tenían exactamente 7 años y medio. d) Niños a los 6 y 7 años, y niñas a los 6. e) A los 7 y a los 9 años.

secuencia 10

Manos a la obra i. Contesten las siguientes preguntas a partir de la información que presentan los polígonos de frecuencias anteriores. a) ¿Qué porcentaje de niñas de 6 años tenía anemia en 1999? En el primer intervalo se consideran a las niñas y niños que tienen entre 5 años y 5 años 11 meses. b) ¿En qué intervalo crees que están considerados los niños que tienen 10 años y 8 meses de edad? ¿Por qué? c) ¿Puedes saber cuál es el porcentaje exacto de niñas de 7 años y medio que tenían anemia en 1999?

Posibles dificultades. En el inciso c) se les vuelve a preguntar si es posible conocer la frecuencia de un dato en particular. Algunos alumnos pueden contestar que sí, pero habrá que insistir en que la línea que une a los puntos muestra la tendencia general, pero no es posible saber qué porcentaje tuvo ese dato. Se sugiere insistir en que ese porcentaje es resultado de los datos obtenidos en ese intervalo.

¿Por qué?

d) ¿A qué edad es mayor el porcentaje de niños anémicos? ¿Y el de niñas anémicas? e) ¿Para qué edades el porcentaje de niños con anemia fue mayor que el de niñas? f) Utilicen los datos que presenta el polígono de frecuencias para completar la siguiente tabla. Porcentaje de niños de 5 a 11 años que padecen anemia, de acuerdo con su edad Edad

5 6 7 8 9 10 11

Porcentaje de niñas

Porcentaje de niños

11 32 25 21 18 20 15

12 28 26 19 20 15 15

ii. La siguiente tabla presenta el número de niños y niñas de 5 a 11 años de edad que había en México en el año 2000. Población infantil de 5 a 11 años de edad (en millones de personas) Total

Niños

Niñas

11.7

6

5.7

Fuente: INEGI. Censo General de Población, 2000. 140

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MATEMÁTICAS

II

a) Si la población infantil era de 11.7 millones, y 19.5% padecían anemia, ¿cuántos niños y niñas tenían anemia en el año de 2000? b) Para orientar las acciones médicas y sociales que ayuden a corregir esta situación es útil conocer el porcentaje de personas que padecen anemia, principalmente si se trata de niños de 5 a 11 años. Investiguen en la secuencia 12 ¿Cómo evitar problemas relacionados con la alimentación? de su libro Ciencias I Volumen I, cuáles son algunas de las causas de esa enfermedad y cuáles son algunas de sus consecuencias si no se atiende correctamente. Coméntenlas en su grupo.

Conexión con Ciencias I Secuencia 12: ¿Cómo evitar problemas relacionados con la alimentación?

Respuestas. a) El 19.5% de 11.7 millones son 2 281 500 niños. Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cuántos niños son 11.7 millones, resaltando el significado de la parte decimal (¿cuántos niños son 0.7 millones?).

A lo que llegamos Polígonos de frecuencias en los reportes de investigación

Los polígonos de frecuencias presentados en una misma gráfica permiten comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de datos que se refieren a una misma situación o fenómeno.

Descripción del video El video es ejemplificador. Se muestran diversas situaciones para conocer qué tipo de información es conveniente representar en polígonos de frecuencias e histogramas. Se proveen los elementos para construir este tipo de gráficas y para poder analizar la información a partir de un histograma dado.

Lo que aprendimos 1. Para determinar si una población tiene problemas de nutrición se analizan factores como la estatura, el peso y la anemia. La siguiente gráfica presenta los porcentajes de la población de 5 a 11 años con estatura por debajo de sus valores normales (o estatura baja) según su edad y sexo. Porcentaje de la población de 5 a 11 años de edad que presentan estatura baja 25

Niñas Niños

Porcentaje

20 15 10 5 0

5

6

7

8

9

10

11

Edades

a) ¿A qué edad es mayor el porcentaje de niñas con estatura baja? ¿Y en los niños?

141

Respuestas. a) Las niñas a los 5 años y los niños a los 5 y a los 7.

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secuencia 10 b) Utiliza los datos que presenta el polígono de frecuencias para completar la siguiente tabla.

Sugerencia didáctica. Puede ser confusa la información de esta columna, especialmente debido a las cantidades negativas. Comente con los alumnos que se está cuantificando la diferencia entre el porcentaje de niñas y niños con baja estatura por grupo de edad, pero el punto de referencia son las niñas. Por eso en el tercer renglón las niñas tienen una diferencia de −5 respecto al porcentaje de los niños. Pregunte a los alumnos si es posible hacer la tabla tomando como punto de referencia a los niños y cómo quedaría esa tabla.

Porcentaje de niños de 5 a 11 años que tienen talla baja de acuerdo con su edad Edad

Porcentaje de niñas

Porcentaje de niños

23 16 14 11 14 18 18

19 16 19 15 14 18 15

5 6 7 8 9 10 11

Diferencia de porcentajes niñas-niños

4 0 −5 −4 0 0 3

c) ¿En qué edades el porcentaje de niñas con estatura baja fue mayor que el de los niños? d) En tu cuaderno, elabora un polígono de frecuencias en el que se puedan comparar los porcentajes de niñas de 5 a 11 años que padecen anemia con los porcentajes de niñas que tienen estatura baja. Para hacerlo, utiliza la información que se presenta en las siguientes dos gráficas.

Respuesta. c) A los 5 y a los 11 años.

Porcentaje de niñas entre 5 y 11 años con problemas de anemia en el año 1999. 25 40

20 Porcentaje

Porcentaje

Propósito de la actividad. Ahora los alumnos van a representar en una misma gráfica dos polígonos de frecuencias que corresponden a dos variables diferentes (el porcentaje de niñas que padecen anemia y el porcentaje que tienen baja estatura).

Porcentaje de niñas de 5 a 11 años de edad que tenían estatura baja en 1999.

30 20 10 0

15 10 5

5

6

7

8

9

10

Edades

11

0

5

6

7 8 Edades

9

10

11

e) ¿Coincide la edad en que hay mayor porcentaje de niñas con problemas de anemia y estatura baja?

¿Por qué crees que suceda esto?

142

Respuesta. e) No coinciden. Aunque son problemas que están relacionados, no necesariamente se manifiestan al mismo tiempo.

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MATEMÁTICAS

II

¿QUÉ GRÁFICA UTILIZAR?

Propósito de la sesión. Interpretar polígonos de frecuencias de dos o más conjuntos de datos. SESIón 3

Consideremos lo siguiente La siguiente gráfica presenta el porcentaje de niños menores de 5 años que tienen estatura baja de acuerdo con su edad. Estos datos están tomados de la Encuesta Nacional de Nutrición de 1999. Porcentaje de la población menor de 5 años que tiene estatura baja de acuerdo con su edad

Sugerencia didáctica. Haga notar a los alumnos que en el eje horizontal la edad de los niños se presenta en meses.

30 Niños Niñas Porcentaje

Organización del grupo. Al igual que en la sesión anterior, el trabajo es en parejas e individualmente, y los comentarios grupales.

20

10

0 0-11

12-23

24-35

36-47

48-59

Respuestas. a) En el segundo. b) En el cuarto, cuando tienen de 36 a 47 meses de edad. Una edad que represente a ese intervalo sería aquella que se encuentre en el punto medio del mismo, es decir 41.5 meses.

Edades (en meses)

a) ¿En qué intervalo se encuentran los niños y las niñas de un año y medio de edad que tienen estatura baja? b) ¿En qué intervalo de edad se encuentra el mayor porcentaje de niñas menores de 5 años que tienen estatura baja?

,

¿creen que se podría utilizar una edad que represente a ese intervalo?, ¿cuál sería?

Comenten sus respuestas.

Respuestas. a) En el eje horizontal se representan las edades de los menores de 5 años que tienen baja estatura. La edad se expresa en meses. Hay cinco intervalos, todos de 11 meses.

Manos a la obra I. Contesten las siguientes preguntas tomando en cuenta los polígonos de frecuencias anteriores. a) ¿Qué información se presenta en el eje horizontal? ¿Qué unidad o escala se utiliza? ¿Cuántos intervalos se utilizan para representar los datos? ¿De qué tamaño es cada intervalo? ¿Son iguales?

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Respuestas. b) En el eje vertical se representa el porcentaje de 5 años que tienen baja estatura. El valor mínimo es 0% y el máximo 30%. c) El cuarto (de 36 a 47 meses). d) En el primero (0-11 meses) y en el segundo (12-23 meses). Esa tendencia se invierte tanto en el tercer intervalo (24-35 meses) como en el quinto (48-59 meses). e) 17.5, 41.5, 53.5.

secuencia 10 b) Ahora, en el eje vertical, ¿qué información se presenta? ¿Cuáles son los valores mínimo y máximo que están rotulados en este eje? c) Si quieren conocer qué porcentaje de niñas de 3 años de edad tienen estatura baja, ¿cuál de los intervalos de edad deben consultar? d) ¿En qué intervalo de edad el porcentaje de niños con problemas de estatura es Recuerden que: Cada intervalo puede ser e identificado por su límit inferior y superior, pero también podemos utilizar el punto medio del intervalo que se obtiene es con sólo sumar los límit inferior y superior del intervalo y dividir esta suma entre 2.

mayor que el de las niñas?

¿Hay algún momento en la gráfica

en que se invierta esa situación?

¿En qué intervalo de edad

ocurre y cuál es la diferencia de porcentajes? Consideren el punto del polígono de frecuencias en el cual el porcentaje de niños con estatura baja es el mayor. Tracen a partir de ese punto un segmento perpendicular al eje horizontal. Este segmento intersecta al eje horizontal en el punto medio del intervalo 12-23 meses de edad. e) Señalen los puntos medios de los intervalos que faltan, ¿cuáles son esos puntos?

f) Completen la siguiente gráfica: Porcentaje de la población menor de 5 años que tiene estatura baja de acuerdo con su edad 30 Hombres Mujeres

Porcentaje

25 20 15 10 5

Sugerencia didáctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrón, para luego recuperarlas en la discusión o en las conclusiones.

0 5.5

29.5 Edades (en meses)

conexión con ciencias i secuencia 12: ¿cómo evitar problemas relacionados con la alimentación?

g) Investiguen en la secuencia 12 ¿cómo evitar problemas relacionados con la alimentación? de su libro ciencias i Volumen i, cuáles pueden ser algunas causas de este problema y preséntenlas en una gráfica o tabla que consideren que muestra mejor la información. Expliquen a sus compañeros y a su profesor por qué la eligieron.

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MATEMÁTICAS

II

A lo que llegamos Un polígono de frecuencias se construye a partir de los puntos medios de los techos de las barras de un histograma. Otra manera de construirlo consiste en calcular el valor que se ubica en el punto medio de cada intervalo. El punto medio de un intervalo es el promedio de los valores extremos del intervalo.

Respuestas. a) En el A 76 kg, en el B 73 kg. b) En el A 35 kg, en el B 36 kg. c) En el A el rango es de 41 kg, en el B es de 37 kg. d) Los intervalos son: 35-39, 40-44, 45-49, 50-54, 55-59, 60-64, 65-69, 70-74, 75-79. e) 35, 36, 37, 38 y 39 kg. Los intervalos son de cinco edades. f) 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72 y 77 kg.

Lo que aprendimos 1. En la siguiente lista aparecen los pesos de los alumnos de segundo grado de una escuela secundaria. Los pesos se registraron redondeando al kilogramo más cercano.

Grupo A

Grupo B

38, 64, 50, 42, 44, 35, 49, 57, 46, 58, 40, 47, 38, 48, 52, 45, 68, 46, 38, 76

65, 46, 73, 42, 47, 45, 61, 45, 48, 42, 50, 56, 69, 38, 36, 55, 52, 67, 54, 71

a) ¿Cuál es el peso máximo de los alumnos del grupo A? ¿Y del grupo B?

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a la actividad 1 del apartado Lo que aprendimos. Si tuvieron dificultades, revisen los aspectos de esta secuencia, en los que se destaca lo siguiente: • Qué es un intervalo. • Cómo determinar el tamaño de un intervalo. • Cómo determinar el punto medio de un intervalo. • Cómo elaborar un polígono de frecuencias. • Cómo interpretar la información que da un polígono de frecuencias (destacando lo que representan y lo que no representan las líneas que unen a los puntos medios).

b) ¿Cuál es el peso mínimo de los alumnos del grupo A? ¿Y del grupo B? c) ¿Cuál es el rango de los pesos de los alumnos del grupo A? ¿Y del grupo B? d) En tu cuaderno, organiza los pesos de los alumnos de ambos grupos en una tabla de datos reunidos en nueve intervalos iguales. e) ¿Cuáles son los pesos que se consideran en el primer intervalo?

Recuerda que: El rango es la dif erencia entre el mayor valor de los datos y el meno r.

¿De qué tamaño son los intervalos? f) ¿Cuál es el punto medio de cada intervalo? g) Elabora, en tu cuaderno, una gráfica que presente los polígonos de frecuencias de los dos grupos. Utiliza los puntos medios para rotular el eje horizontal. h) En tu cuaderno, describe, a partir de los polígonos de frecuencias, cómo es la distribución del peso de los alumnos de ambos grupos.

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Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos identifiquen distintas gráficas y distingan cuáles cumplen con las convenciones de representación adecuadas, como la escala en los ejes, títulos en la gráfica y los ejes, uso correcto de la gráfica de acuerdo al tipo de información que se presenta.

Propósito de la actividad. Los alumnos deben aplicar y recopilar la información, luego organizarla y representarla adecuadamente. Si es posible, pídales que hagan las tablas y gráficas con ayuda del programa de Excel.

Respuestas. Deporte. Podría representarse mediante una gráfica de barras o con una circular, aunque no muestran lo mismo. La de barras permite conocer la frecuencia y el total debe obtenerse al sumar todas las frecuencias, mientras que la circular muestra cómo se reparten las preferencias del total de alumnos. Cumpleaños. Una gráfica de barras es adecuada para representar esa información en términos de frecuencia (en qué mes cumplen años más alumnos, en cuál menos, etc.). Una circular permitiría tener un panorama del año completo (ese sería el total) y conocer cómo se distribuyen los cumpleaños (las “rebanadas” de los meses serían de distintos tamaños). Número de hermanos. Una gráfica de barras es conveniente para mostrar la frecuencia (cuántos alumnos no tienen hermanos, cuántos tienen 1, cuántos tienen 2, etc.). Estatura. Medir la estatura de los alumnos puede dar lugar a un número de datos mayor que en los otros casos, por lo que sería conveniente agruparlos (por ejemplo, los que miden de 1.2 a 1.29 metros en un intervalo) y presentar la información mediante un polígono de frecuencias o un histograma. Número de calzado. Al igual que en la medición de la estatura, la del calzado es conveniente representarla mediante un polígono de frecuencias o un histograma.

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secuencia 10 2. Busquen y copien distintas gráficas que se encuentren en periódicos, revistas, etcétera. Reúnan junto con sus compañeros de equipo las gráficas que encontraron y clasifíquenlas distinguiendo los diferentes tipos de gráfica que han estudiado.

Recuerden que: barras permite - Una gráfica de arar la frecuen presentar y comp do urre una cualida cia con que oc lor r ejemplo, el co un atributo. Po grupo de perso que prefiere un sica que te mú de o tip el nas o r. gusta escucha cular puede ser - Una gráfica cir ra comparar las pa más adecuada s de un todo, distintas parte cuando la presen especialmente ma tos está en for da los de ión tac Por ejemplo, el de porcentaje. rsonas que porcentaje de pe har la radio, ver prefieren escuc po. cine en un gru televisión o ir al

a) ¿Cuál es el tipo de gráfica que más se utiliza cuando se quiere comparar la relación entre dos conjuntos de datos en una misma situación?

3. Reúne la información que se pide en el siguiente cuestionario. Aplícalo a todos tus compañeros de grupo. Organiza la información y decide qué gráfica utilizar para presentar los resultados de cada una de las preguntas.

• ¿Qué deporte te gusta practicar?

Tipo de gráfica

• ¿En qué mes es tu cumpleaños?

Tipo de gráfica

• ¿Cuántos hermanos tienes?

Tipo de gráfica

• ¿Qué estatura tienes?

Tipo de gráfica

• ¿Qué número de zapato calzas?

Tipo de gráfica

a) Menciona una razón por la que elegiste cada tipo de gráfica:

b) ¿Cuál es el deporte que más les gusta practicar a los hombres de tu grupo?

c) ¿En qué mes hay más cumpleaños en tu grupo? d) ¿Cuál es el número promedio de hermanos que tienen en tu grupo? e) ¿Cuál es la estatura del compañero más alto de tu grupo? f) ¿Cuántos compañeros tienen la misma estatura que tú? g) ¿Quiénes son más altos, las mujeres o los hombres de tu grupo? h) ¿Qué número de zapato calzan la mayoría de tus compañeros hombres del grupo? ¿Y las mujeres? 146

Sugerencia didáctica. Dedique un tiempo suficiente para que comenten grupalmente las razones que los llevaron a elegir una gráfica u otra.

Sugerencia didáctica. Las siguientes preguntas tienen que responderse a partir de la información que los alumnos hayan obtenido y representado en las gráficas. Analícenlas juntos para poder responderlas.

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MATEMÁTICAS

II

Para saber más Sobre la variedad de información que puede ser presentada en polígonos de frecuencias, gráficas de barras, circulares y tablas estadísticas consulta: http://www.inegi.gob.mx Ruta 1: Información estadística Estadísticas por tema Estadísticas sociodemográficas Educación Población escolar Distribución porcentual de la población escolar de 3 a 24 años por entidad federativa y sexo para cada grupo de edad, 2000 y 2005 Ruta 2: Información estadística Estadísticas por tema Estadísticas sociodemográficas Población hablante de lengua indígena de 5 y más años por entidad federativa, 2000 y 2005 [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática. Sobre los programas de apoyo que ofrece el Instituto Nacional para la Educación de los Adultos consulta: http://www.inea.sep.gob.mx Ruta 1: Proyectos Alfabetización Ruta 2: Proyectos Cero rezago Estrategias Ruta 3: Proyectos Oportunidades Estrategias [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Instituto Nacional para la Educación de los Adultos.

Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren otros ejemplos que impliquen la interpretación de datos cualitativos o cuantitativos mediante la construcción de polígonos de frecuencias.

Explora las actividades del interactivo Polígono de frecuencias.

Sugerencias didácticas. En el interactivo se presentan varios contextos en los que los alumnos pueden aplicar lo aprendido. Si lo considera oportuno puede ocuparlo para evaluar lo aprendido por sus alumnos y mostrar otros ejemplos para clarificar algunos conceptos. Recuerde que en los interactivos se desarrolla todo el contenido de la secuencia, por tanto puede escoger algunas de las actividades para reforzar lo aprendido o incluso utilizarlas como una explicación alternativa.

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secuencia 11

Propósito del programa integrador. Ejemplificar y explicar las reglas de la jerarquía de las operaciones, y uso de los paréntesis.

La jerarquía de las operaciones

Propósito de la sesión. Utilizar la jerarquía de las operaciones como un reglamento que ayuda a eliminar ambigüedades. Organización del grupo. En la sesión se sugieren momentos de trabajo en parejas e individualmente, y que comenten sus resultados y procedimientos con todo el grupo.

En esta secuencia aprenderás a utilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en problemas y cálculos.

Descripción del video. Se presenta el contexto necesario para introducir al alumno a los concursos en donde se opera con números enteros para acercarse lo más posible a una cantidad dada. En estos concursos se dan varias cantidades y un resultado. El objetivo es emplear estos números una sola vez y realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones para obtener el resultado dado en el menor tiempo posible.

SESióN 1

En 1965, en Europa aparecieron concursos televisados en los que se pedía a cada participante hacer operaciones con números. Estos concursos continúan viéndose en televisión y siguen llamando la atención de mucha gente. Uno de estos concursos tiene las siguientes reglas: 1. Se da una lista de números. Por ejemplo: 1, 3, 4, 9, 10. 2. Se da otro número, que será el número a alcanzar. Por ejemplo: 100. 3. Cada jugador debe sumar, restar, multiplicar o dividir los números de la lista hasta obtener un resultado lo más cercano posible al número dado. Por ejemplo: 9 × 10 + 4 + 3 + 1 = 98, o también 3 × 4 × 9 + 1 – 10 = 99. 4. El concursante deberá emplear cada uno de los números de la lista exactamente una sola vez.

Sugerencias didácticas. Puede ocupar el interactivo para mostrar a los alumnos la necesidad de conocer las convenciones con las que se realizan las operaciones.

5. Gana el concursante que obtenga el resultado más cercano al número a alcanzar. Por ejemplo, entre 9 × 10 + 4 + 3 + 1 = 98 y 3 × 4 × 9 + 1 – 10 = 99 gana la segunda opción, porque 99 está más cerca de 100 que 98.

Consideremos lo siguiente

Pida a los alumnos que expliquen por qué se están obteniendo diferentes resultados para la misma expresión. Puede pedir que observen qué es lo que está haciendo el interactivo para indicar la respuesta correcta, una vez que los alumnos han establecido una hipótesis pueden contrastarla con otros ejercicios presentados aleatoriamente en el interactivo. Permita que una vez que hayan elaborado alguna conjetura la validen con los siguientes ejemplos.

Tema Significado y uso de las operaciones

i. Imaginen que están en uno de estos concursos y les dan la siguiente lista de números: 3

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9

15

El número a alcanzar es el 117. Encuentren una forma de operar los números de la lista para quedar lo más cercano posible al 117. ¡El que quede más cerca del 117 gana! Anota tu respuesta aquí:

150

Propósito de la actividad. El contexto del concurso tiene la intención de crear en el alumno la necesidad de escribir y leer expresiones aritméticas en las que las operaciones deben efectuarse en un cierto orden, y que se dé cuenta de que si no se señala dicho orden puede haber ambigüedades.

Sugerencia didáctica. Acepte todo tipo de respuestas sin importar si las escribieron con palabras, mediante un diagrama, un esquema o una expresión aritmética; pero recomiende a los alumnos utilizar los signos de suma, resta, multiplicación y división. Si algún alumno utiliza paréntesis pídale que explique qué significan en la expresión que escribió.

Propósitos de la secuencia Utilizar la jerarquía de las operaciones, y los paréntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos.

Sesión

Antecedentes En primer grado los alumnos han resuelto expresiones que involucran operaciones tanto aditivas como multiplicativas utilizando distintos tipos de números (fraccionarios, decimales, enteros). Ahora conocerán la jerarquía de las operaciones para que establezcan el orden correcto en el que deben efectuarse.

7

Propósitos de la sesión

Recursos

1

El concurso de la tele Utilizar la jerarquía de las operaciones como un reglamento que ayuda a eliminar ambigüedades.

Aula de medios Interactivo

2

Más reglas Utilizar las reglas de la jerarquía de operaciones para leer y escribir una expresión aritmética.

Aula de medios

Programa integrador 7

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico

Para empezar El concurso de la tele

Propósito del Interactivo. Explorar expresiones en donde sea necesario establecer un orden para resolverlas.

Sugerencia didáctica. Es importante que enfatice la siguiente cuestión: el ganador es el que más se acerque al 100 (en este caso), pero es posible “pasarse”o quedar “corto”, es decir, el número obtenido puede ser mayor, menor o igual al que se pide.

EL CONCURSO DE LA TELE

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MATEMÁTICAS

II

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que quedaron más cerca del 117 que pasen al pizarrón a escribir sus soluciones y que las expliquen. Verifiquen entre todos los resultados.

Comparen sus respuestas y comenten: a) ¿Quiénes quedaron más cerca del 117? b) ¿Qué operaciones hicieron?

Sugerencia didáctica. Las razones de los alumnos para elegir una u otra opción pueden ser muchas, motívelos a que las expliquen a los demás. Aproveche este intercambio para hacerlos meditar sobre sus respuestas, y si hay opiniones distintas organice un pequeño debate en el que cada quien exponga sus razones y pueda contraargumentar una sola vez. Hágales ver que para justificar la elección del ganador es necesario exponer argumentos que logren convencer al resto de los compañeros.

II. Las siguientes expresiones fueron las respuestas de dos concursantes. Ambos dicen haber obtenido exactamente el 117. Ana: 3 + 15 × 7 + 9 = 117 Beto: 3 + 15 × 7 − 9 = 117 a) ¿Cuál de estas respuestas creen que es correcta? b) ¿Por qué consideran que la otra es incorrecta?

Comparen sus respuestas.

Manos a la obra I. Los miembros del jurado señalaron que la ganadora era Ana. Pero Beto no está de acuerdo. Beto le dijo al jurado:

Sugerencia didáctica. Pida a un alumno que lea esta parte en voz alta. Cuando termine, dígales que sigan resolviendo en parejas.

Me ha tomado por sorpresa su veredicto. En mi humilde opinión, la expresión propuesta por mi contrincante no es correcta. Permítanme explicarles mis razones.

Cuando el jurado le concedió la palabra, Beto tomó un gis y empezó a escribir sobre el pizarrón, al mismo tiempo que explicaba: La expresión de mi oponente pide calcular 3 + 15; luego, al resultado multiplicarlo por 7; y por último, a lo obtenido sumarle 9. Entonces, el resultado es 135 y no 117, como ella lo indica.

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secuencia 11 Completen el siguiente diagrama de acuerdo con lo que Beto explicó. 3 + 15 × 7 + 9 = × 7 + 9 =

Sugerencia didáctica. Anote el diagrama en el pizarrón y explíquelo. Es importante que todos entiendan el orden en que se efectúan las operaciones.

+ 9 = 135

Comparen sus respuestas. Comenten: ¿están de acuerdo con lo que dijo Beto? ii. Terminada la explicación de Beto, el jurado designó a unos de sus miembros para que expusiera los motivos de su veredicto. Dicho miembro se acercó al pizarrón y explicó: Vemos con claridad el error que has cometido. No tomaste en cuenta la jerarquía de operaciones. La forma correcta de calcular la expresión de Ana es la siguiente: primero debemos calcular el producto 15 × 7; después sumar 3 al resultado y, luego, a eso sumarle 9; así, el resultado es 117, y no 135 como lo has señalado.

Sugerencia didáctica. Anote también este diagrama en el pizarrón y explíquelo. Cuando termine pida a los alumnos que expliquen en qué es diferente respecto del anterior. Para ayudarlos a verbalizar las diferencias puede hacerles preguntas como: • ¿En ambos diagramas están presentes los mismos números? • ¿En ambos diagramas se efectúan las mismas operaciones (dos sumas y una multiplicación)? • ¿Por qué entonces Beto dice que el resultado es 135 y el jurado dice que es 117? • ¿Quién creen que efectivamente ganó el concurso?

Completen lo que escribió el miembro del jurado en el pizarrón: 3 + 15 × 7 + 9 = 3+

+ 9 = + 9 = 117

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cuál es la diferencia entre ambos procedimientos?

A lo que llegamos La jerarquía de las operaciones es un conjunto de reglas matemáticas que dicen qué operaciones deben hacerse primero. Una de estas reglas es la siguiente:

Las multiplicaciones y divisiones se hacen antes que las sumas y las restas. 152

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MATEMÁTICAS

II

Respuestas. En efecto Ana obtuvo 117, y considerando la jerarquía de operaciones Beto obtuvo 99.

III. Aplica esta regla para calcular el resultado de las expresiones de Ana y Beto respectivamente. a) Ana: 3 + 15 × 7 + 9 =

.

b) Beto: 3 + 15 × 7 − 9 =

.

A lo que llegamos

Si a las siguientes expresiones aplicamos la regla “Las multiplicaciones y divisiones se hacen antes que las sumas y restas”, nos dan los siguientes resultados:

2 + 14×6 + 8 = 2 + 84 + 8 = 94 y

2 + 14×6 – 8 = 2 + 84 – 8 = 78 La regla se aplica de la misma manera cuando aparecen divisiones, por ejemplo,

2 + 14÷7 + 8 = 2 + 2 + 8 = 12 Y

2 + 14÷7 – 8 = 2 + 2 – 8 = -4

IV. Después de haber escuchado la explicación del miembro del jurado, Beto se dio cuenta de su error. Agradeció la explicación y preguntó: ¿Cómo tengo que escribir la operación para indicar que primero sumo 3 y 15; y luego al resultado lo multiplico por 7?

Con el uso correcto de los paréntesis puedes expresar esa operación.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos escribir aquí la expresión, pero ahora con paréntesis.

Pon paréntesis a la expresión de Beto para que sea correcta: 3 + 15 × 7 − 9 = 117 153

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Propósito del interactivo. Mostrar expresiones en donde al cambiar de lugar el paréntesis se modifica el orden en que se resuelven las operaciones.

secuencia 11

A lo que llegamos Una regla de jerarquía de operaciones que permite sumar o restar antes de multiplicar o dividir es la siguiente:

Sugerencias didácticas. El interactivo se puede utilizar para mostrar cómo el uso de los paréntesis permite cambiar el orden de las operaciones. Permita que los alumnos exploren los diferentes ejercicios mostrados en el interactivo para descubrir cómo se comportan los paréntesis. A manera de evaluación puede pedir a los alumnos que coloquen los paréntesis en una expresión para obtener un resultado específico.

Las operaciones que estén encerradas entre paréntesis se realizan antes que las demás. Por ejemplo,

(2 + 14) × 8 – 10 = 16 × 8 – 10 = 128 – 10 = 118 Los paréntesis pueden usarse varias veces,

(2 + 14) × (8 – 10) = 16 × (8 – 10) =

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que en esta expresión no hacen falta los paréntesis pues, cómo se dijo, las multiplicaciones y las divisiones deben hacerse primero. Explique que esto no es un error, sino que el uso de los paréntesis enfatiza que primero se multiplica. Es como cuando decimos: “Ayer viernes fui a la escuela”.

16 × (–2) = -32

V. Después de la explicación del jurado, Beto le puso unos paréntesis a su expresión para que ésta quedara correcta. Al ver el cambio que Beto hizo a su expresión, el jurado decidió declarar un empate entre Ana y Beto, pues Beto, al igual que Ana, hizo bien sus cálculos, sólo que no supo escribir la expresión correctamente. Revisen las expresiones que encontraron al principio de la sesión y escríbanlas respetando las reglas de jerarquía de operaciones.

Lo que aprendimos 1. Une con una línea cada expresión de la columna izquierda con su respectivo valor de la columna derecha.

Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos consideren injusto el empate, pídales que expliquen por qué, pero no le dedique mucho tiempo a esa discusión, sólo haga notar que es importante escribir bien las expresiones y saber usar los paréntesis.

I) 24 + 12 ÷ 4 + 2 =

a) 6

II) (24 + 12) ÷ 4 + 2 =

b) 11

III) 24 + 12 ÷ (4 + 2) =

c) 19

IV) (24 + 12) ÷ (4 + 2) =

d) 26 e) 29

154

Respuestas. I e II b III d IV a En la expresión I el resultado es 29, porque primero hay que efectuar la división. Pida a los alumnos que la escriban con paréntesis, quedaría 24 + (12 ÷ 4) + 2, y luego que resuelvan por pasos (primero lo que está entre paréntesis). Sería 24 + 3 + 2. En la expresión II el resultado es 11. Resolviendo primero lo que está entre paréntesis quedaría 36 ÷ 4 + 2.

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Reconocer por qué son diferentes las expresiones III y IV puede ser difícil para los alumnos. En la III pídales que resuelvan primero lo que está entre paréntesis, quedaría 24 + 12 ÷ 6, y luego que efectúen la división, sería 24 + 2. En la IV hay dos paréntesis, por lo que pueden confundirse. Explíqueles que hay que resolver primero lo que está en los dos paréntesis, quedaría 36 ÷ 6. Posibles dificultades. Aunque las reglas de la jerarquía de operaciones no sean difíciles de entender, es posible que para algunos alumnos resulten confusas e incluso contradictorias con sus años de práctica aritmética, en la que siempre han efectuado los cálculos de izquierda a derecha sin importar qué tipo de operaciones fueran. Cuando los alumnos terminen de resolver estas actividades revísenlas juntos y aclaren dudas.

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MATEMÁTICAS

II

Posibles dificultades. Comente con los alumnos el caso del inciso d). Explíqueles que es posible que en un paréntesis haya más de una operación, sin embargo, dentro de él también debe respetarse la jerarquía de operaciones. Por ejemplo, tanto en (10 ÷ 2 + 5) como en (5 + 10 ÷ 2) el resultado es 10.

2. Las siguientes respuestas fueron dadas por algunos concursantes durante el transcurso de un programa televisivo. Todas las respuestas son erróneas, pues los concursantes olvidaron usar los paréntesis. Escriban los paréntesis faltantes para que las expresiones sean correctas. a) b)

( 11

+ 2 ) × 10 + 8 = 138

10 + 12 × ( 2 + 13) = 190

c)

( 10

+ 2 ) × (7 + 3) = 120

d)

( 10

÷ 2 + 5 ) × 3 = 30

Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos las reglas del juego: deben usarse todos los números pero no repetir ninguno.

3. Imaginen que están concursando en uno de estos programas televisados. Combinen los números de la primera columna junto con las operaciones de suma, resta, multiplicación y división para obtener un número lo más cercano posible al de la segunda columna. El que quede más cerca gana. ¡No olviden usar correctamente las reglas de jerarquía de las operaciones!

Números

Meta

1, 2, 3, 4, 5

0

6, 7, 8, 9, 10

2

1, 2, 3, 4, 5

49

8, 10, 12, 15, 23

319

MÁS REGLAS

SESióN 2

Para empezar

Posibles respuestas. Los alumnos pueden encontrar distintas expresiones en esta actividad, algunas darán exactamente el resultado de la meta y otras solamente un resultado aproximado. Recuerde que lo importante es que al escribirlas utilicen correctamente la jerarquía de operaciones. Algunas expresiones que arrojan exactamente el número meta son: 1. (1 + 5) ÷ 3 + 2 – 4 = 0 5×1+3–4–2=0 2. 6 – (9 – 7) – (10 – 8) = 2 3. (5 + 3) × (4 + 2) + 1 = 49 4. 23 × 8 + 10 × 12 + 15 = 319 Integrar al portafolios. Revise las expresiones que los alumnos escribieron e integre esta actividad al portafolio. Si los alumnos tienen dificultades repasen las reglas de la jerarquía de operaciones poniendo ejemplos.

En la sesión anterior vimos que a veces pueden ocurrir confusiones al calcular el valor de una expresión y que, para evitarlas, se ha acordado un conjunto de reglas que se conoce como jerarquía de operaciones. Estas reglas nos dicen qué operaciones se deben hacer primero. Hasta el momento hemos visto que: 1. Las operaciones que estén encerradas entre paréntesis se realizan antes que todo lo demás. 2. Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse antes que las sumas y restas. Hay más reglas sobre jerarquía de operaciones que ayudan a evitar nuevas confusiones. Por ejemplo: 3. Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha. 4. Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha. 155

Propósito de la sesión. Que los alumnos utilicen las reglas de la jerarquía de operaciones para leer y escribir una expresión aritmética. Organización del grupo. El trabajo en esta sesión es individual, con algunos momentos de discusión grupal.

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secuencia 11

Propósito de la actividad. Que el alumno se enfrente a nuevas ambigüedades en la lectura de expresiones y que las resuelva haciendo uso de las reglas de la jerarquía de operaciones.

Consideremos lo siguiente Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones. Respeta las reglas de jerarquía de operaciones.

Sugerencia didáctica. Aunque los alumnos cometan errores al hallar los resultados de estas expresiones, permítales seguir resolviendo la sesión. Más adelante tendrán oportunidad de hacer correcciones.

9

c) 24 ÷ 4 × 2 =

12

20 – 10 ÷ 5 + 1 =

19

e)

Respuestas. En las expresiones a) y b) hay que utilizar la regla 4 porque no hay operaciones entre paréntesis sino sólo sumas y restas. En las expresiones c) y d) hay que utilizar la regla 3 porque no hay operaciones entre paréntesis ni sumas ni restas. En la expresión e) hay que utilizar la regla 2, porque no hay operaciones entre paréntesis, y después la regla 4 para hacer las sumas y restas. En la expresión f) hay que utilizar tanto la regla 1 para resolver primero lo que está entre paréntesis, como la regla 2 para efectuar la división antes que la suma.

. . .

b) 10 – 3 – 2 =

5

.

d) 24 ÷ 4 ÷ 2 =

3

.

f) (20 – 10) ÷ 5 + 1=

3

.

Comenten: a) ¿En qué orden hicieron las operaciones para calcular el valor de las expresiones? b) ¿Qué regla emplearon para decidir qué operación hacer primero?

Manos a la obra i. Contesta las siguientes preguntas tomando en cuenta las reglas de jerarquía: 1. Lo que esté encerrado entre paréntesis se hace primero que todo lo demás. 2. Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse primero que las sumas y restas. 3. Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha. 4. Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha. a) ¿Qué operación hiciste primero para calcular el valor de la expresión 10 – 3 + 2, la resta o la suma?

.

b) ¿Cuál de las reglas aplicaste (1, 2, 3 o 4)?

.

c) ¿Qué operación hiciste primero para calcular el valor de la expresión 24 ÷ 4 ÷ 2,

Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos apliquen una regla y no puedan decir cuál es o no sepan explicar por qué la eligieron. Las siguientes preguntas (Manos a la obra I) están diseñadas para ayudarlos a tomar conciencia de dichas elecciones, sin embargo usted también puede preguntarles cómo le hicieron para decidir cuál operación hacer primero. Respuestas. a) La resta, porque es la primera operación de izquierda a derecha. b) La regla 4. c) 24 ÷ 4 porque es la primera operación de izquierda a derecha. d) La regla 3. e) 10 ÷ 5 f) La regla 2. g) La regla 1 y la regla 2.

a) 10 – 3 + 2 =

la división 24 ÷ 4 o la división 4 ÷ 2? d) ¿Cuál de las reglas aplicaste (1, 2, 3 o 4)?

. .

e) ¿Cuál de las siguientes operaciones hiciste primero para calcular el valor de la expresión 20 – 10 ÷ 5 + 1? Subráyala. 20 – 10

10 ÷ 5

5+1

f) ¿Cuál regla usaste para decidir qué operación hacer primero?

.

g) ¿Cuáles reglas usaste para encontrar el valor de la expresión (20 – 10) ÷ 5 + 1?

Comparen sus respuestas. Si hay diferencias, comenten cuál regla usaron y cómo la usaron. 156

4

Sugerencia didáctica. Después de contestar estas preguntas pida a los alumnos que revisen los resultados que obtuvieron en las expresiones del apartado Consideremos lo siguiente y que hagan las correcciones pertinentes.

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MATEMÁTICAS

II

A lo que llegamos Para calcular correctamente el valor de una expresión como 25 – 15 ÷ 5 + 5 debemos decidir cuál operación hacer primero. La regla de jerarquía de operaciones que usamos para decidir esto es: Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse primero que las sumas y restas.

25 – 15 ÷ 5 + 5 Se hace primero

Una vez decidido cuál operación hacer primero, calculamos dicha operación y reducimos la expresión.

25 – 15 ÷ 5 + 5 = 25 – 3 + 5 Para decidir cuál operación sigue por hacer, usamos otra regla de jerarquía de las operaciones: Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha

25 – 3 + 5 Primero esta (izquierda)

Luego esta (derecha)

Ya sabemos el orden en que hay que hacer las operaciones, sólo falta hacerlas:

25 – 3 + 5 = 22 + 5 = 27

Sugerencia didáctica. Diga a los alumnos que no escriban el resultado de las operaciones descritas en la frase, lo que tienen que hacer es escribir una expresión, como se muestra en el ejemplo del inciso a).

II. Para cada una de las siguientes frases, escribe una expresión que represente los cálculos descritos en ella. a) A 12 le sumo el resultado de multiplicar 4 por 3: b) A 12 le sumo 4 y el resultado lo multiplico por 3: c) Divido 12 entre 4 y el resultado lo multiplico por 3: d) Divido 12 entre el resultado de multiplicar 4 por 3:

12 + 4 × 3

(12 + 4) × 3 12 ÷ 4 × 3 o bien (12 ÷ 4) × 3 12 ÷ (4 × 3)

Comparen sus respuestas. Comenten si sus expresiones están bien escritas de acuerdo con las reglas de jerarquía de operaciones.

157

Sugerencia didáctica. Pida a algunos alumnos que pasen a escribir sus expresiones al pizarrón y pregunte a los demás si alguien obtuvo una expresión distinta para que también la escriba en el pizarrón. Pida que las expliquen y que, considerando la jerarquía de las operaciones, todo el grupo analice si ambas son correctas o alguno cometió un error.

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secuencia 11

A lo que llegamos Una expresión que describe los cálculos de la frase

“Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10” es: 6 × 5 ÷ 10 Los cálculos que indica esta expresión se realizan aplicando la siguiente regla de jerarquía de operaciones: Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

6 × 5 ÷ 10 Primero esta (izquierda)

Luego esta (derecha)

Otra expresión que describe los cálculos de la frase anterior es:

(6 × 5) ÷ 10 En esta expresión los paréntesis se usan para evitar errores de jerarquía de operaciones, aunque ya no hagan falta. También se acostumbra escribir esta expresión así: 6×5 10 En esta última forma, la raya de división indica que toda la expresión del numerador 6 × 5, se divide entre el denominador 10.

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de las actividades 1 y 2. Si lo considera necesario, repasen las cuatro reglas de la jerarquía de operaciones poniendo ejemplos.

Lo que aprendimos 1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarquía de las operaciones. a) 30 ÷ 10 × 3 =

9

b) 30 ÷ (10 × 3) =

1

c) 20 – 10 + 5 =

15

d) 20 – (10 + 5) =

5

e) 20 – 30 ÷ 10 × 3 + 5 =

16

f) (20 – 30) ÷ 10 × (3 + 5) =

8

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. a) 6 × 5 = 10

3

b) 4 – 6 × 5 = 10

1

c) 5 × 8 = 10

4

d) 5 × 8 – 6 × 5 = 10

1

e) 2 × 6 – 2 =

10

f) 5 × 8 – 6 × 5 = 2×6–2

1

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MATEMÁTICAS

II

3. ¿Sabías que no todas las calculadoras funcionan igual? Hay unas que están programadas para aplicar las reglas de jerarquía de operaciones y otras que no. Averigüemos si la calculadora que tienes (o la que haya en el salón) jerarquiza o no. Presiona la siguiente sucesión de teclas en la calculadora y escribe en el espacio marcado cuál fue el resultado.

1

+

2

×

3

=

Ahora, calcula los valores de las siguientes dos expresiones sin usar la calculadora, pero tomando en cuenta la jerarquía de operaciones. a) 1 + 2 × 3 =

7

b) (1 + 2) × 3 =

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos: • ¿Qué teclas tendrían que oprimir en una calculadora que jerarquiza para que el resultado de 1 + 2 × 3 fuera 9? • ¿Qué teclas tendrían que oprimir en una calculadora que no jerarquiza para que el resultado de 1 + 2 × 3 fuera 7? Si disponen de aula de medios abran la calculadora de la computadora (ir a Programas y seleccionar Accesorios, ahí encontrarán Calculadora). En el menú Ver hay dos opciones: Científica o Estándar. Pida a los alumnos que averigüen en cuál de esas modalidades la calculadora jerarquiza y en cuál no.

9

Compara el resultado que te dio la calculadora con las expresiones anteriores. ¿Con cuál resultado coincide tu calculadora (con el de a o con el de b)? Si tu calculadora coincide con a entonces jerarquiza, y si coincide con b, no jerarquiza. Tu calculadora, ¿jerarquiza o no jerarquiza?

.

Para saber más Sobre los concursos de números consulta: http://www.rodoval.com/heureka/cifras.html [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Sobre la jerarquía de operaciones consulta: http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/prioridad_operaciones_rat/Unidad_didactica.htm [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.

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secuencia 12

Multiplicación y división de polinomios

Propósito del programa integrador. Mostrar las reglas para multiplicar polinomios y para dividir un polinomio entre un monomio.

Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen la multiplicación de un monomio por un monomio o por un polinomio. Organización del grupo. Se recomienda que las actividades de esta sesión los alumnos las resuelvan de manera individual y que hagan comentarios grupales.

En esta secuencia resolverás problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

LOS BLOQUES ALGEBRAICOS

SESIón 1

Para empezar

Descripción del video. El video es de introducción. Se presenta una explicación acerca de los bloques algebraicos, se define qué son y cómo se usan. Se dan varios ejemplos para mostrar su uso apoyándose en el recurso visual.

Los bloques algebraicos Los bloques algebraicos son piezas de forma rectangular o cuadrada que permiten modelar operaciones con expresiones algebraicas. En esta secuencia ocuparás los siguientes bloques, cada uno de ellos tiene un área que se representa con una expresión algebraica: 1, x, x 2, y, xy, y 2.

Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos cómo se obtiene el área de cada bloque. 1

1×1=1

x×1=x

Área= 1

1

Área= x

1

x

1

Área= y

y

x × x = x 

2

x × y = xy y×1=y

y

y × y = y 2

x

Recuerden también la diferencia entre una unidad lineal y una unidad de superficie.

x

Sugerencia didáctica. Un día antes, deje como tarea a los alumnos que recorten y peguen los bloques algebraicos. Es mejor que los peguen en un material rígido para manipularlos con facilidad.

y

y

Propósito de la secuencia Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

Sesión

Antecedentes

Propósitos de la sesión

Recursos

1

Los bloques algebraicos Resolver problemas que impliquen la multiplicación de un monomio por un monomio o por un polinomio.

Aula de medios Video “Los bloques algebraicos” Interactivo

2

A cubrir rectángulos Resolver problemas que impliquen la multiplicación de polinomios.

Aula de medios Interactivo

3

¿Cuánto mide la base? Resolver problemas que impliquen la división de un polinomio por un monomio.

Aula de medios

Programa integrador 8

Tema

196

Área= y 2

Área= xy

160

Eje

En las secuencias 1, 2 y 11 los alumnos aprendieron a multiplicar números con signo, a sumar y restar polinomios y el uso de los paréntesis. En esta secuencia aprenderán a multiplicar polinomios y a dividir un polinomio entre un monomio.

x

Recorta los Bloques algebraicos del anexo 2 Recortables y pégalos en cartón.

Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones

Área= x 2

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MATEMÁTICAS

II

Propósito de la actividad. Esta actividad sirve para que los alumnos se inicien en la representación de una expresión algebraica usando el modelo de áreas.

Cubre los rectángulos siguientes con los bloques algebraicos. Une con una línea cada rectángulo con el binomio que corresponda a su área. Rectángulo

Área

Sabías que:

y+1

x+1

x 2 + 2x

xy + x

Las expresiones algebrai cas se nombran de acuerdo con su número de términos: El monomio tiene un térm ino El polinomio tiene dos o más términos. El binomio es un polinomio que tiene dos términos. El trinomio tiene tres térm

inos.

Comparen sus soluciones.

Usted puede pedirles que representen otros polinomios con los bloques algebraicos para que sigan practicando. Eventualmente, ya no tendrán necesidad de usarlos porque habrán comprendido qué es lo que representan, pero mientras los necesiten, permítales usarlos para hacer cálculos o verificar resultados. Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos contesten las actividades usando los bloques algebraicos y no utilizando la regla para medir los lados de los rectángulos. Explíqueles que la intención en esta secuencia no es calcular áreas de rectángulos midiendo sus lados (eso ya saben hacerlo), sino aprender a multiplicar y dividir expresiones algebraicas. Respuestas. Al rectángulo superior le corresponde x 2 + 2 x, al de en medio y + 1, y al inferior xy + x.

Consideremos lo siguiente Los siguientes rectángulos se han formado usando los bloques algebraicos.

Rectángulo A

2x

Rectángulo B

2x

3x

x +y

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secuencia 12 Rectángulo C

2x

Respuestas. Área del rectángulo A = 6 x 2

3y

Área del rectángulo B = 2 x 2 + 2 xy

¿Qué expresión algebraica corresponde al área de cada rectángulo?

Área del rectángulo C = 6 xy

a) Rectángulo A: Área =

Sugerencia didáctica. Posiblemente algunos de los primeros intentos de los alumnos (como tratar de “rellenar” el rectángulo A con bloques de tamaño x) no sean exitosos. Dé tiempo a los alumnos para que exploren y en este momento no los corrija si se equivocan.

b) Rectángulo B: Área = c) Rectángulo C: Área = Comparen sus soluciones.

Manos a la obra

Propósito del interactivo. Explorar mediante un modelo geométrico la multiplicación y división de monomios y polinomios. Sugerencia didáctica. El interactivo puede servir para generar otros ejercicios que permitan a los estudiantes validar sus hipótesis, o en su defecto presentarles contraejemplos para que analicen en qué casos son ciertas y en qué casos no. Se pueden modificar los ejemplos de acuerdo con las necesidades de los alumnos para aumentar o disminuir el grado de dificultad de los ejercicios planteados. En general el uso de la tecnología en el salón de clases se propone para que los alumnos exploren los interactivos y generen hipótesis que puedan validar. También pueden generarse ejemplos específicos en los que se muestre la validez de sus hipótesis o contraejemplos en los que no se validarán.

i. ¿Qué bloques algebraicos se usan para construir cada rectángulo? Para responder esta pregunta, completa la tabla. Rectángulo

Base

Altura

Base × Altura

A

3x

2x

(3x ) × (2x )

B

x+y

2x

(x+y) × (2 x)

C

3y

2x

(3 y) × (2 x)

Expresión algebraica para el área

6 bloques de x 2 o 6 x 2

2 bloques de x 2 y 2 bloques de xy o 2 x 2 + 2 xy 6 bloques de xy o 6 xy

a) ¿Cuántos bloques algebraicos de área x 2 se requieren para formar el rectángulo A?

b) ¿Cuántos bloques algebraicos de área x 2 se usan para formar el rectángulo B?

162

Sugerencia didáctica. En un primer momento no necesariamente tienen que escribir los polinomios que representan el área de cada rectángulo (tercera columna de la tabla). Por ello, en la última columna puede sugerir a los alumnos que escriban cuántos bloques de cada tipo usaron para construir cada rectángulo (como se muestra en la tabla).

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MATEMÁTICAS

II

3

c) ¿Cuántos bloques algebraicos de área xy se usan para formar el rectángulo B?

Propósito de la actividad. El intercambio y la discusión en este momento son importantes para validar las respuestas que cada uno obtuvo. Ahora todos los alumnos deben comprender que el área de los polinomios A, B y C puede representarse con una expresión algebraica.

d) ¿Cuántos bloques algebraicos de área xy se necesitan para formar el rectángulo C?

Comparen sus soluciones. Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen las expresiones algebraicas que obtuvieron para las áreas de los rectángulos. II. Los siguientes rectángulos también se construyeron usando los bloques algebraicos. Rectángulo D

Rectángulo E

Posibles dificultades. Para algunos alumnos puede resultar difícil identificar la medida de cada lado en estos rectángulos. Usted puede ayudarlos preguntándoles cuál es la medida de cada lado en términos de los segmentos x, y, 1.

Rectángulo F

Si los alumnos miden los lados con su regla, pídales que encuentren la medida de cada segmento en milímetros:

x +2

Segmento x = 23 mm Segmento y = 37 mm Segmento 1 = 17 mm Luego dígales que expresen la medida de los lados de los rectángulos con los segmentos x, y, 1 y no con milímetros. Por ejemplo, en vez de decir “la altura del rectángulo D mide 69 mm”, que lo expresen como “la altura del rectángulo D mide 3 x”.

a) Completa la tabla para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden a las áreas de los rectángulos anteriores.

Rectángulo D

Base

Altura

y 3x

Expresión algebraica para el área

Base × Altura

(y ) × (

3 x

3 xy

)

E

y + 1

x

(y + 1) × (

x

F

x

x + 2

x ×(

x + 2 )

)

xy + x

Sugerencia didáctica. Diga a los alumnos que verifiquen con los bloques algebraicos sus respuestas en esta columna.

x 2 + 2 x Recuerden que:

Comparen sus soluciones. Verifiquen que hayan sumado todos los términos semejantes de las expresiones algebraicas.

Términos semejantes son los términos que tienen la misma parte literal, como: w, 3w, 2w, 1.5w. 163

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Sugerencia didáctica. Proponga a los alumnos otras multiplicaciones además de las que se explican aquí (término numérico por monomio, monomio por monomio, monomio por binomio) para que apliquen las reglas y las practiquen.

secuencia 12

A lo que llegamos Para multiplicar expresiones algebraicas existen algunas reglas que pueden servir: Recuerden que: 4 por x = 4x

Propósito del interactivo. Explorar mediante un modelo geométrico la multiplicación y división de monomios y polinomios.

x por x = x

2

1. Para multiplicar un término numérico por un monomio se multiplica el término numérico por el coeficiente del monomio, por ejemplo:

(3) × (2y) = 3 (2y) = (2 × 3) (y) = 6y 6 2. Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes y se multiplican las partes literales, por ejemplo:

Sugerencias didácticas. Puede ocupar el interactivo para mostrar a los alumnos otros ejercicios y que practiquen la resolución de multiplicaciones de monomios y polinomios.

x2 (2x) × (3x) = (2 × 3) (xx) = 6x 2 6 3. Para multiplicar un monomio por un binomio se multiplica el monomio por cada uno de los términos del binomio, por ejemplo:

2x 2

x (2x + y) = 2x 2 + xy xy iii. Las reglas anteriores también se aplican para multiplicar expresiones algebraicas con cualquier tipo de coeficientes: fraccionarios, negativos o decimales, por ejemplo: – 3x 8

x2

1 x (2x – 5y – 3 ) = x 2 – 5 xy – 3 x 2 4 2 8

– 5 xy 2

164

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos se den cuenta de que también se pueden multiplicar expresiones algebraicas cuando los coeficientes son decimales, fracciones o negativos. Las operaciones pueden parecer más difíciles, pero enfatice el hecho de que cuando los coeficientes son decimales o fracciones, positivos o negativos, las reglas para multiplicar polinomios son las mismas.

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MATEMÁTICAS

II

Respuestas. a)

Realiza las siguientes multiplicaciones. a)

c) –6 yx + 9 y 2

b) (– 3x) (5y) = 3 5

x 2 y

b) –15xy

( 12 x ) ( 34 xy ) =

c) (–

3 8

d) –13 x 2 y – 6.25xy 2 + 3 xy

y ) (10x –15y ) =

d) (– 2.5xy ) (5.2x + 2.5y – 1.2) =

Lo que aprendimos 1. Calcula el área del siguiente rectángulo multiplicando las expresiones que representan las medidas de la base y la altura.

x

3y + 2

a) Área = (3y + 2) × (x ) =

3 yx + 2 x

b) Cubre con bloques algebraicos la figura anterior para verificar si el área obtenida mediante la multiplicación corresponde a los bloques utilizados para cubrirla. Dibuja cómo quedó cubierto el rectángulo. 2. Completa las siguientes multiplicaciones.

3y

a) ( b)

( 12 xy ) (

c) (1.25 z ) ( d) (–

3 5

) (

) (5x ) = 15xy

3 5

( )

 x

3 x 2y ) = 10

–3 y

) = – 3.75yz

–  35  z ) = z

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Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen la multiplicación de polinomios. Organización del grupo. Las actividades se resuelven tanto individualmente como en parejas, y los comentarios son entre todo el grupo.

secuencia 12 SESIón 2

A CUBRIR RECTÁnGULOS

Para empezar

En esta sesión resolverás problemas de cálculo de áreas que impliquen la multiplicación de polinomios.

Consideremos lo siguiente

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos multipliquen las expresiones correspondientes a las medidas de los lados del rectángulo a través del uso de los bloques algebraicos.

Cubre con bloques algebraicos el siguiente rectángulo para calcular su área.

Sugerencia didáctica. Déles tiempo para explorar con los bloques algebraicos. Si aún no saben cómo multiplicar polinomios, el empleo de los bloques les permitirá hallar el resultado. Si ya saben cómo multiplicar ( y + 2) (3 x + y + 4) los bloques le darán sentido al resultado.

y+2

Respuestas. a) ( y + 2) (3 x + y + 4). 3x+y +3

b) 3 xy + y 2 + 6 y + 6 x + 8, es decir, tres bloques cuya área sea xy, un bloque y 2 , seis bloques y, seis bloques x y ocho bloques de área 1.

a) ¿Qué expresiones algebraicas tienen que multiplicarse para obtener el área del rectángulo? b) ¿Qué expresión algebraica representa el área? Comparen sus respuestas.

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MATEMÁTICAS

II

Propósito del Interactivo. Explorar mediante un modelo geométrico la multiplicación y división de monomios y polinomios.

Manos a la obra I. A continuación se presenta una forma de dividir la superficie del rectángulo. Aplica lo aprendido en la sesión 1 para encontrar las áreas de los rectángulos R1, R2 y R3.

y+2

R1

R2

3x

y

Sugerencias didácticas. Puede ocupar el interactivo para mostrar a los alumnos otros ejercicios y que practiquen la resolución de multiplicaciones de monomios y polinomios.

Propósito de la actividad. Ahora la base del rectángulo se divide en tres partes, tomando como criterio de tales divisiones cada uno de los términos que componen el polinomio que expresa su medida. La intención es que los alumnos vayan efectuando una a una las multiplicaciones de un binomio (altura del rectángulo) por un monomio (cada una de las partes de la medida de la base).

R3

3

Sugerencia didáctica. Si los alumnos no lograron obtener el área de todo el rectángulo en el apartado anterior (Consideremos lo siguiente) sugiérales que utilicen los bloques algebraicos para hallar el área de cada uno de los rectángulos en los que se dividió el original.

a) Área de R1: (3x ) (y + 2) = b) Área de R2: (y ) (y + 2) = c) Área de R3: (3) (y + 2) = d) De los seis términos que se obtienen en las tres multiplicaciones anteriores, dos

Respuestas.

son semejantes. Escríbelos:

a) 3 xy + 6 x y

b) y 2 + 2 y

e) ¿Cuál es la suma del área de los rectángulos R1, R2, y R3? No olvides sumar los

c) 4y + 8

términos semejantes.

d) Los términos semejantes son 2 y y 4y.

Comparen sus soluciones. Regresen al apartado Consideremos los siguiente y comparen la expresión algebraica con el resultado que obtuvieron cubriendo el rectángulo con los bloques algebraicos.

e) 3 xy + y 2 + 6 y + 6 x + 8

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secuencia 12 ii. A continuación se presenta otra forma de dividir la superficie del rectángulo. a) Cubran los rectángulos R4 y R5 con bloques algebraicos y luego calculen el área de cada uno.

2

R4

y

R5

3x + y + 3

Respuestas. b) 6 x + 2 y + 8

b) Área de R4: (2) (3x + y + 3) =

c) 3 xy + y 2 + 4y

c) Área de R5: (y ) (3x + y + 3) =

d) 3 xy + y 2 + 6 y + 6 x + 8

d) ¿Cuál es la suma del área de los rectángulos R4 y R5?

Sugerencia didáctica. Pídales que verifiquen que la expresión correspondiente a la suma del área de los rectángulos R4 + R5 sea igual a la que obtuvieron al sumar las áreas de los rectángulos R1 + R2 + R3 .

Comparen sus respuestas y comenten con todo el grupo los procedimientos que usaron para multiplicar polinomios.

A lo que llegamos Una forma de multiplicar y + 2 por 3x + y + 3 es la siguiente:

(y + 2) (3x + y + 3) = y (3x + y + 3) + 2 (3x + y + 3) = 3xy + y 2 + 3y + 6x + 2y + 6 = 3xy + y 2 + 5y + 6x + 6

1º Se multiplica cada término de y +2 por todos los términos de 3x + y + 3 2º Se suman los términos semejantes

168

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MATEMÁTICAS

II

Sugerencia didáctica. Plantee a los alumnos otras multiplicaciones de polinomios y pídales que las resuelvan mediante alguno de los dos procedimientos que se explican aquí.

También puede multiplicarse de forma vertical

3x + y + 3 y+2

3xy + y 2

1º Se multiplica el término +2 por todos los términos de 3x + y + 3

6x + 2y + 6 + 3y

2º Se multiplica el término y por todos los términos de 3x + y + 3

3xy + y 2 + 6x + 5y + 6

3º Se suman los términos semejantes

III. Los procedimientos anteriores se aplican para multiplicar polinomios con coeficientes decimales, fraccionarios y negativos. 3 2 10 x

– 32 xy

( 12 x – 2y ) ( 35 x – 3y ) = 103 x – 65 xy

2

3 x 2 – 27 xy + 6y 2 – 32 xy – 65 xy + 6y 2 = 10 10

+ 6y 2

Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si tras revisarla considera que aún tienen dificultades, repasen la información de A lo que llegamos.

Realiza o completa las siguientes multiplicaciones. a) (3.5x + 2y ) (3.5x) =

12.5x 2 + 7xy

b) (2xy ) (3 x – 2y + 2) =

6 x 2 y – 4x y 2 + 4xy

c)

Es importante que señale las características de la multiplicación de forma vertical: al igual que se acomodan las cifras en las multiplicaciones que ellos ya conocen (unidades, decenas, centenas, etc.), cada término se acomoda en una “columna” y el resultado de la multiplicación se anota en esa misma columna. Por ello en el ejemplo se dejó un espacio para anotar el resultado de multiplicar y por y (no puede quedar debajo de 6 x).

( 12 x ) ( – 2x + 35 ) =

3 – x 2 +  10  x

–6 x 2 – 27x – 30

d) (3x + 6) (– 2x -5) =

e) (– 3x) (–2 x + 5y) = 6x 2 – 15xy

Lo que aprendimos 1. Completa las siguientes multiplicaciones. No olvides sumar todos los términos semejantes. a) (x – 2) (3x + 2) = (

x – 2 ) 3x + ( x – 2

= 3x

2

– 6x +

2 x

)2 –

4

= 3x – 4x – 4 2

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L i b r o p a ra el maestro

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secuencia 12 b) –

Respuesta. El área es 3 x 2 + 8 x + 4, es decir, 3 bloques cuya área es x 2 , + 8 bloques de x y 4 bloques de área 1.

x

+

2

3x

+

5

5x

+

10

+

10

3 x 

3 x 2 – x

2

6x

2. Cubre el rectángulo con bloques algebraicos y encuentra su área.

x+2

3x + 2

Área = 3. Coloca cada expresión en el círculo que le corresponda para que los productos de los tres términos de cada lado del triángulo mágico de la derecha sean iguales.