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MATEMÁTICAS I

R I U IT T S SU

1er Grado Volumen II

MATEMÁTICAS I

Libro para el maestro

Libro para el maestro

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Libro para el maestro

1er Grado Volumen II

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1er Grado Volumen II

matemรกticas I

Libro para el maestro

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Matemáticas I. Libro para el maestro. Volumen II. Telesecundaria. Primer grado fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación Básica y el ILCE.

Autores Ana Laura Barriendos Rodríguez Ernesto Manuel Espinosa Asuar Diana Violeta Solares Pineda Asesoría académica María Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav) Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav) (Convenio ILCE-Cinvestav, 2005) Apoyo técnico y pedagógico María Catalina Ortega Núñez María Padilla Longoria Colaboración Martha Gabriela Araujo Pardo, Silvia García Peña, José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero, Verónica Rosainz Bonilla Coordinación editorial Sandra Hussein Domínguez

Servicios editoriales Dirección de arte Rocío Mireles Gavito Diseño Zona gráfica Diagramación Bruno Contreras Iconografía Cynthia Valdespino Ilustración Imanimastudio, Curro Gómez, Gabriela Podestá, Cecilia Varela Fotografía Ariel Carlomagno, Pablo González de Alba, Pável Ramírez

Primera edición, 2006 Segunda edición, 2007 Sexta reimpresión, 2013 (ciclo escolar 2013-2014) D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2006 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F. ISBN: 978-968-01-1200-5 (obra completa) ISBN: 978-968-01-1486-3 (volumen II) Impreso en México D istribución gratuita -P rohibida su venta

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Índice 4 9

Mapa-índice Clave de logos

12 22 32 40 50 60 72 84

Bloque 3 secuencia 17 División de números decimales secuencia 18 Ecuaciones de primer grado secuencia 19 Existencia y unicidad secuencia 20 Áreas y perímetros secuencia 21 Porcentajes secuencia 22 Tablas de frecuencia secuencia 23 Gráficas de barras y circulares secuencia 24 Nociones de probabilidad

104 114 126 140 150 158 164 172

25 secuencia 26 secuencia 27 secuencia 28 secuencia 29 secuencia 30 secuencia 31 secuencia 32 secuencia

184 200 204 218 224 232

Bloque 5 Cuentas de números con signo Áreas de figuras planas Juegos equitativos Gráficas, tablas y expresiones algebraicas Proporcionalidad inversa Medidas de tendencia central

265

Propuesta de examen bimestral bloque 3 Propuesta de examen bimestral bloque 4 Propuesta de examen bimestral bloque 5

280

Bibliografía

241 255

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33 secuencia 34 secuencia 35 secuencia 36 secuencia 37 secuencia 38 secuencia

Bloque 4 Números con signo Raíz cuadrada y potencias Relación funcional Construcción de círculos y circunferencias El número Pi El área de los círculos Relaciones de proporcionalidad Gráficas asociadas a situaciones de proporcionalidad

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8. Problemas de conteo. • Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos y estrategias, como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos de enumeración.

7. Reparto proporcional. • Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.

6. Proporcionalidad. • Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.

5. Simetría. • Construir figuras simétricas respecto a un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

4. Geometría y expresiones algebraicas. • Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.

3. Sucesiones de números y figuras. • Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. • Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y figurativas.

2. Fracciones y decimales en la recta numérica. • Representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

1. Sistemas de numeración. • Identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales.

SECUENCIA

Diagrama de árbol

Diagrama de árbol

¿Saben cuántos caminos hay?

8.3 ¿Cuántos viajes hay…? 8.4 Otros contextos

Diagrama de árbol

8.1 ¿Cuántos caminos hay? 8.2 ¿De cuántas formas?

Mapa de calles

Variación proporcional 2

7.2 Más sobre reparto proporcional

Variación proporcional 1 Reparto proporcional

Simetría de polígonos

Simetría de puntos

Cuadrado

Rectángulo

Hexágono

Cuadrado

Patrones y secuencias 2

7.1 La kermés

Escalas y maquetas en arquitectura

Vitrales

Fórmulas y perímetros

6.3 La proporcionalidad en otros contextos

6.2 El valor unitario

6.1 Las cantidades directamente proporcionales

5.4 Algo más sobre simetría

5.3 Los vitrales

5.2 Papel picado

5.1 Como si fuera un espejo

4.2 Fórmulas y áreas

4.1 Fórmulas y perímetros

Patrones y secuencias 1

3.3 Reglas de sucesiones

Patrones y secuencias 1 Sucesiones

Figuras que crecen

3.2 Números que crecen

3.1 Figuras que crecen

La recta numérica: Fracciones decimales

2.3 El salto de longitud y los números decimales

Sistema de numeración maya

Interactivos

La recta numérica: Fracciones

El salto de altura

Los números mayas

Videos

6.2 Valor unitario (Hoja de cálculo)

5.4 Algo más sobre simetría (Geometría dinámica)

5.2. Papel picado (Geometría dinámica)

4.2 Fórmulas y áreas (Hoja de cálculo)

3.2 Números que crecen (Hoja de cálculo)

Hojas de trabajo

Sucesión

Archivo

Escalas

Aprendido

Simétrico

Papel

Cuadrado 1

Aula de medios

RECURSOS TECNOLÓGICOS

2.2 Densidad y fracciones

2.1 El salto de altura

1.3 El sistema decimal

1.2 Otro sistema de numeración

1.1 Acertijos arqueológicos

SESIÓN

Bloque 1




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16. Aplicación sucesiva de constantes de proporcionalidad. • Interpretar el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en diversos contextos.

15. La constante de proporcionalidad. • Identificar situaciones de proporcionalidad directa en diversos contextos, y resolverlas mediante procedimientos más eficientes.

14. Fórmulas para calcular el área de polígonos. • Justificar las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.

13. Polígonos regulares. • Construir polígonos regulares a partir de distintas informaciones.

12. Mediatriz y bisectriz. • Utilizar las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo para resolver diversos problemas geométricos.

11. Multiplicación de números decimales. • Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.

10. Multiplicación y división de fracciones. • Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.

9. Problemas aditivos con números fraccionarios y decimales. • Resolver problemas aditivos con números fraccionarios y decimales en distintos contextos.

SECUENCIA

16.3 Consomé ranchero

16.2 Escalas y reducciones

16.1 Microscopios compuestos

15.3 Rutas y transporte

15.2 Mapas y escalas

15.1 La cancha de básquetbol

14.4 Otras formas de justificar las fórmulas

14.3 Descomposición de figuras

14.2 Rompecabezas 2

14.1 Rompecabezas 1

Microscopios compuestos

Centro Histórico de la Ciudad de México

Justificación

Variación proporcional 5

Variación proporcional 4

Variación proporcional 3

Fórmulas geométricas

13.2 Mosaicos (Geometría dinámica)

16.1 Microscopios compuestos (Hoja de cálculo)

15.1 La cancha de básquetbol (Hoja de cálculo)

14.4 Otras formas de justificar (Geometría dinámica)

14.3 Descomposición de figuras (Geometría dinámica)

13.3 Más sobre polígonos regulares (Geometría dinámica)

Polígonos regulares ángulo interior

13.3 Más sobre polígonos regulares

13.2 Mosaicos

13.1 Tarjetas de felicitación (Geometría dinámica)

Polígonos regulares ángulo central

Felicidades

12.2 Un problema geométrico (Geometría dinámica)

12.1 A la misma distancia (Geometría dinámica)

9.1 El festival de fin de cursos (Hoja de cálculo)

Hojas de trabajo

Aula de medios

13.1 Tarjetas de felicitación

Bisectrices

Bisectriz

Mediatrices

Mediatriz

Áreas y números decimales

Escalas y números decimales

Multiplicación de números decimales

Multiplicación de fracciones 2

Multiplicación de fracciones 1

Multiplicación de fracciones 1

Números fraccionarios

Interactivos

12.3 Apliquemos nuestro conocimiento de mediatrices y bisectrices (Geometría dinámica)

Mitades de ángulos

Más de tres, pero menos de cuatro

El sistema solar y la fuerza de gravedad

¿Dónde se utilizan fracciones?

Videos

RECURSOS TECNOLÓGICOS

12.3 Apliquemos nuestros conocimientos de mediatrices y bisectrices

12.2 Un problema geométrico

12.1 A la misma distancia

11.3 ¿En dónde se usa la multiplicación de decimales?

11.2 El punto es el asunto

11.1 Tres veces y media

10.5 ¿Cuántas botellas de jugo se necesitan?

10.4 Hay tela de donde cortar

10.3 ¿Cómo serían las marcas atléticas en el espacio?

10.2 Superficies y fracciones

10.1 De compras en el mercado

9.3 Los precios de la cafetería

9.2 Marcas atléticas

9.1 El festival de fin de cursos

SESIÓN

Bloque 2

Microscopios

Cancha

Hexágono Apotema Fórmulas

Polígono Central

Centros Ángulo 2 Medida Ángulo 3

Ejes

Figura 1 Ángulo 1 Bisectrices

Mediatrices

Segmento

Fracciones

Archivos




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E VA L U A C I Ó N

24. Nociones de probabilidad.  (84 - 101) • Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes formas de expresarla. • Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir; justificar la respuesta.

23. Gráficas de barras y circulares.  (72 - 83) • Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, proveniente de diarios o revistas y de otras fuentes. • Comunicar información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.

22. Tablas de frecuencia.  (60 - 71) • Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

21. Porcentajes.  (50 - 59) • Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes utilizando de manera adecuada las expresiones fraccionarias o decimales.

20. Áreas y perímetros.  (40 - 49) • Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios, y establecer relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas figuras. • Realizar conversiones de medidas de superficie.

19. Existencia y unicidad.  (32 - 39) • Construir triángulos y cuadriláteros. • Analizar las condiciones de existencia y unicidad.

18. Ecuaciones de primer grado.  (22 - 31) • Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de las formas x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, cuando a, b y c son números naturales y decimales.

17. División de números decimales.  (12 - 21) • Resolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.

SECUENCIA

17.1 El metrobús

24.4 Comparación de probabilidades II

24.3 Comparación de probabilidades I

24.2 Probabilidad clásica

24.1 Probabilidad frecuencial

23.3 Gráfica circular

23.2 Gráficas de barras

23.1 Qué dicen las gráficas

Lanza monedas

¿Qué es más probable?

Bolsa con canicas

La ruleta

24.1 Probabilidad frecuencial (Hoja de cálculo)

22.3 La tabla representa… (Hoja de cálculo)

22.1 ¿Quién llegó primero? (Hoja de cálculo)

21.2 El IVA (Hoja de cálculo)

22.3 La tabla representa…

El rating en la televisión

Porcentajes 2

Porcentajes 1

19.2 ¿Es uno o son muchos? (Geometría dinámica)

22.2 Tabla de frecuencia relativa (Hoja de cálculo)

Un recorrido por el origen de la estadística

Los migrantes

Medidas de superficie

¿Es uno o son muchos?

Desigualdad triangular

Ecuaciones de primer grado

18.1 A repartir naranjas (Hoja de cálculo)

Hojas de trabajo

Rombos

Ecuación

Archivos

Matrículas

Frecuencias

Edades

Atletismo

IVA

Construcciones

Aula de medios

22.2 Tabla de frecuencia relativa

22.1 ¿Quién llegó primero?

21.3 Miscelánea de porcentajes

21.2 El IVA

21.1 México en el INEGI

20.3 Medidas de superficie

20.2 Relaciones importantes

20.1 Problemas de aplicación

19.2 ¿Es uno o son muchos?

19.1 ¿Existe o no existe?

18.3 Resolución de ecuaciones mixtas

Ecuaciones 2

18.2 El paseo escolar

División de números decimales

Interactivos

Ecuaciones 1 El terreno y el río

El metrobús

Videos

RECURSOS TECNOLÓGICOS

18.1 A repartir naranjas

17.3 Números decimales en la ciencia

17.2 Cambio de dinero

SESIÓN

Bloque 3




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8/25/07 3:00:42 PM

E VA L U A C I Ó N

32. Gráficas asociadas a situaciones de proporcionalidad.  (172 - 181) • Explicar las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

31. Relaciones de proporcionalidad.  (164 - 171) • Formular la expresión algebraica que corresponda a la relación entre dos cantidades que son directamente proporcionales. • Asociar los significados de las variables en la expresión y = kx con las cantidades que intervienen en dicha relación.

30. El área de los círculos.  (158 - 163) • Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro de un círculo.

29. El número Pi.  (150 - 157) • Determinar el número como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. • Justificar y usar la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia.

28. Construcción de círculos y circunferencias.  (140 - 149) • Construir círculos que cumplan condiciones dadas a partir de diferentes datos.

27. Relación funcional.  (126 - 139) • Analizar en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica.

26. Raíz cuadrada y potencias.  (114 - 125) • Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural, ambas de números naturales y decimales.

25. Números con signo.  (104 - 113) • Plantear y resolver problemas que impliquen la utilización de números con signo.

SECUENCIA

32.2 Comparación de gráficas

32.1 Gráficas y sus características

31.2 Expresiones algebraicas y relaciones de proporcionalidad en distintos contextos

31.1 Cambio de moneda

30.2 Áreas y perímetros

30.1 Área del círculo

29.2 Perímetro del círculo

Gráficas

Historia de la moneda

Área del círculo

Variación proporcional y gráficas

Variación proporcional 6

Área del círculo

Cálculo del área del círculo de Arquímedes

El número Pi

30.1 Área del círculo (Geometría dinámica)

29.1 Relación entre circunferencia y diámetro (Geometría dinámica) Relación entre circunferencia y diámetro

¿De dónde salió Pi?

29.1 La relación entre circunferencia y diámetro

28.3 Tres puntos y una circunferencia (Geometría dinámica)

Construcción de circunferencias con la mediatriz

27.3. Cocina navideña (Hoja de cálculo)

26.1 Cuadros y más cuadros (Hoja de cálculo)

Polígonos

Círculos

Aplicación

Comunidad

Comunidades

Pavo

Cuadrado 2

Archivos

Aula de medios Hojas de trabajo

28.3 Tres puntos y una circunferencia

Diagrama de árbol

Método babilónico

Temperaturas

Interactivos

Construcción de circunferencias

Las circunferencias que pasan por dos puntos

La expansión del universo

Los babilonios y la raíz cuadrada

Temperaturas ambientales

Videos

RECURSOS TECNOLÓGICOS

28.2 Cuerdas y circunferencias

28.1 Las circunferencias que pasan por dos puntos

27.4 El recibo de teléfono

27.3 Cocina navideña

27.2 Los husos horarios

27.1 La expansión del universo

26.3 ¿Cuántos tatarabuelos?

26.2 Cálculo de raíces cuadradas

26.1 Cuadros y más cuadros

25.3 Valor absoluto y simétricos

25.2 Distancia y orden

25.1 Nivel del mar

SESIÓN

Bloque 4




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8/25/07 3:00:43 PM

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

EJE 2:

EJE 3:

Sentido numérico y pensamiento algebraico

EJE 1:

E VA L U A C I Ó N

38. Medidas de tendencia central.  (232 - 239) • Comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de datos referidos a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central.

37. Proporcionalidad inversa.  (224 - 231) • Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

36. Gráficas, tablas y expresiones algebraicas.  (218 - 223) • Calcular valores faltantes a partir de varias representaciones relacionando las que corresponden a la misma situación, e identificar las que son de proporcionalidad directa.

35. Juegos equitativos.   (204 - 217) • Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

34. Áreas de figuras planas.  (200 - 203) • Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas de diversas figuras planas.

33. Cuentas de números con signo.  (184 - 199) • Utilizar procedimientos informales y algorítmicos de adición y sustracción de números con signo en diversas situaciones.

SECUENCIA

38.2 ¿Qué prefieren comer?

38.1 Promedios

37.3 La hipérbola

37.2 La velocidad

37.1 El agua

36.2 De la gráfica al problema

36.1 Gráficas, tablas y expresiones algebraicas asociadas a problemas de proporcionalidad directa

35.4 Quinielas

35.3 Juegos con dados

35.2 Ruletas

35.1 ¿Cuál es la mejor opción?

34.2 Áreas de figuras formadas por círculos

34.1 Áreas de figuras formadas por rectas

33.4 De todo un poco

Promedios

La velocidad constante

Elementos de la proporcionalidad directa

Pronósticos nacionales

Geometría andaluza

Variación proporcional inversa y gráficas 2

Variación proporcional inversa y gráficas 1

Lanza monedas

La ruleta

Los átomos 3

33.3 Restas de números con signo

Los átomos 1

Interactivos

Los átomos 2

Los átomos

Videos

37.3 La hipérbola (Hoja de cálculo)

36.1 Gráficas, tablas y expresiones algebraicas asociadas a problemas de proporcionalidad directa (Hoja de cálculo)

34.2. Áreas de figuras formadas por círculos (Geometría dinámica)

34.1 Áreas de figuras formadas por rectas (Geometría dinámica)

Hojas de trabajo

Años

Región

Figuras

Figura 2

Archivos

Pintores

Rectángulos

Aula de medios

RECURSOS TECNOLÓGICOS

33.2 Sumas de números con signo

33.1 Los átomos

SESIÓN

Bloque 5


Clave de logos T rabajo

individual

S itios

de I nternet

En

parejas

B iblioteca

En

equipos

V ideo

T odo

el grupo

C onexi贸n

con otras asignaturas

G losario

C onsulta

CD

Programa integrador Edusat

I nteractivo

A udiotexto

otros materiales

de recursos

A ula

de

M edios

O tros T extos



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BLOQUE   3

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secuencia 17

Propósito de la sesión. Dar sentido a lo que significa dividir entre un número con punto decimal, descubrir que el cociente no siempre es mayor que el dividendo y que hay varias maneras de resolver algunas divisiones entre números decimales.

División de números decimales En esta secuencia resolverás problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos. sEsión 1

EL mEtrOBús

Para empezar En la Ciudad de México hay un transporte llamado metrobús. Es un autobús más largo que lo normal, que transita por una avenida llamada Insurgentes.

Organización del grupo. Se sugiere trabajar en parejas durante toda la sesión, con algunos momentos de confrontación grupal.

Para subirse al metrobús se usan tarjetas, las cuales se pasan por un aparato que permi­ te el acceso. En el aparato se marca el dinero disponible en la tarjeta, es decir, el saldo. El costo por viaje en el metrobús es de $3.50.

12

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema Significado y uso de los números.

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.

Sesión

Título y propósitos de la sesión

Recursos

1

El metrobús Dar sentido a lo que significa dividir entre un número con punto decimal, descubrir que el cociente no siempre es mayor que el dividendo y que hay varias maneras de resolver algunas divisiones entre números decimales.

Video El metrobús Interactivo “División de números decimales”

2

Cambio de dinero Conocer y practicar la técnica para dividir entre un número con punto decimal.

3

Números decimales en la ciencia Resolver diversos problemas que implican operaciones de números con punto decimal.

Antecedentes Los alumnos aprendieron en la escuela primaria a resolver divisiones: - en las que dividendo y divisor son naturales, hallando el cociente hasta centésimos; y - en las que el dividendo tiene cifras decimales. En esta secuencia los alumnos aprenderán a resolver divisiones en las que el dividendo o el divisor tengan cifras decimales.

12

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MATEMÁTICAS

I

Propósito de la actividad. La finalidad es que los alumnos interpreten la división como la operación que permite saber cuántas veces cabe un número en otro. En este caso, deberán calcular “cuántas veces cabe” el número 3.50 en cada una de las cantidades indicadas como saldo. Es importante que en este momento los alumnos no utilicen la calculadora para que puedan hacer uso de otras estrategias.

Consideremos lo siguiente En cada caso anoten para cuántos viajes alcanza el saldo de la tarjeta y cuánto sobra. Recuerden que el costo de un viaje es $3.50.

Saldo $24.00

Número de viajes: Sobra:

6

$3.00

Saldo $37.50

Número de viajes:

10

$2.50

Sobra:

Saldo $75.00

viajes: Número de Sobra:

$1.50

Saldo $115.50

21

viajes: Número de Sobra:

33

0

Platiquen con su grupo los resultados y la manera en que llegaron a ellos. Si utilizaron operaciones digan cuáles y cómo las usaron.

Manos a la obra I. Hallar el número de viajes que se puede hacer con cierta cantidad de dinero, equiva­ le a dividir esa cantidad entre el costo de un viaje.

Utilicen los resultados que encontraron en el problema anterior y completen la tabla. División

Cociente (número de viajes)

Residuo (lo que sobra)

24.00 ÷ 3.50 37.50 ÷ 3.50

Posibles procedimientos. - Sumar varias veces 3.50 hasta llegar al número más cercano al saldo indicado. - Restar 3.50 al saldo indicado las veces que sea necesario hasta agotarlo o hasta que ya no alcance el dinero para un viaje más. - Multiplicar 3.50 por diferentes números hasta obtener un producto que se aproxime al saldo indicado. - Dividir el saldo entre 3.50. Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, trate de identificar qué procedimientos utilizan para, posteriormente, recuperar algunos de ellos durante la confrontación.

75.00 ÷ 3.50 115.50 ÷ 3.50

Observen que al calcular el número de viajes, están calculando cuántas veces cabe el costo de cada viaje en el saldo.

13

3 Sugerencia didáctica. Es importante que el algoritmo de la división sea considerado como una manera más de resolver el problema, no es la única y no siempre la mejor; por ejemplo, si el saldo es $37.50 se puede calcular más rápidamente sabiendo que de 10 viajes son $35.00 y sobran $2.50.

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos identifiquen que la actividad que resolvieron en el apartado Consideremos lo siguiente puede solucionarse mediante una división. Por eso es importante que utilicen los datos que encontraron anteriormente para completar la tabla.

13

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Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, usted puede plantear algunas preguntas para que los alumnos vayan reflexionando sobre aspectos interesantes que revisarán en las siguientes actividades; por ejemplo, para que identifiquen cómo varía el cociente en función del divisor: si el saldo es de $4 ¿a cuál destino se puede ir más veces, a uno cuyo viaje cuesta $0.50 o a otro que cuesta $0.20?

secuencia 17 ii. Imaginen ahora un lugar donde el precio de cada viaje varía y hay costos muy bajos. Completen la tabla. Saldo ($) (dividendo)

Posibles procedimientos. Los alumnos podrían ir completando cantidades “redondas”: si el costo del viaje es de $2.50, con $5.00 se hacen 2 viajes; si el costo es de $0.20, con $1.00, se hacen 5 viajes. También pueden recurrir al cálculo mental para resolver varias de las divisiones, pues los números que se ponen en juego son relativamente sencillos de manejar. Invite a los alumnos a que completen la tabla utilizando los procedimientos que ellos quieran; en este momento no es necesario que todos usen el algoritmo de la división, aunque sí es importante que sepan que están resolviendo divisiones. Recuerde que. Divisor

4 Cociente 6 27 Dividendo 3 Residuo

Costo del viaje ($) (divisor)

División

9

4.50

90 ÷ 4.50

15

2.50

4.50

1.50

4.80

1.20

9

1.80

4

0.50

8.50

0.50

4

0.25

5.25

0.25

4

0.20

4.30

0.10

Número de viajes (cociente)

iii. Analicen la tabla anterior para contestar las siguientes preguntas: a) ¿En cuáles casos el cociente es menor que el dividendo? b) ¿En cuáles casos el cociente es mayor que el dividendo? c) Encuentren qué tienen en común aquellas divisiones en las que el cociente es mayor que el dividendo y anoten sus observaciones:

iV. Anoten el resultado al que llegaron al dividir

4 ÷ 0.50 =

Observen que este resultado equivale a multiplicar 4 por un número, ¿por cuál número? 14

Propósito de la actividad. Hay dos aspectos interesantes que los alumnos trabajan: - Reconocer que al dividir no siempre el cociente resulta menor que el dividendo; por ejemplo, al dividir 4 entre 0.50 el resultado es 8 (8 > 4). - Al analizar en qué casos el cociente es mayor o menor que el dividendo, los alumnos podrán desarrollar, gradualmente, estrategias para estimar resultados. Respuestas. a) Cuando el costo del viaje (divisor) es mayor que uno. b) Cuando el costo del viaje (divisor) es menor que uno.

14

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MATEMÁTICAS

I

Propósito de la actividad. Que los alumnos se den cuenta de que el resultado de una división también puede obtenerse multiplicando por el inverso del divisor. Por ejemplo, para hallar el resultado de dividir 4 ÷ 0.1 se puede también multiplicar 4 × 10. En algunos casos, una manera es más sencilla que otra, y se espera que los alumnos vayan adquiriendo habilidades para decidir cuál les conviene, dependiendo de las circunstancias. Este tipo de prácticas son muy importantes porque desarrollan el sentido numérico de los alumnos.

Algunas divisiones entre un número con punto decimal pueden calcularse más fácilmen­ te con una multiplicación. Completen la siguiente tabla. Es lo mismo que multiplicar por:

Dividir entre:

0.50 0.25 0.20 0.10 0.125 0.01

Ejemplo resuelto con división

Ejemplo resuelto con multiplicación

2

3 ÷ 0.5 = 6

3×2=6

4

3 ÷ 0.25 = 12

3 × 4 = 12

10

3 ÷ 0.10 = 30 3 × 10 = 30

100

5 8

3 ÷ 0.20 = 15

3 × 5 = 15

3 ÷ 0.125 = 24 3 × 8 = 24

3 ÷ 0.01 = 300 3 × 100 = 300

V. Resuelvan mentalmente las siguientes divisiones: 2 ÷ 0.5 =

1 ÷ 0.125 =

3 ÷ 0.01 =

4 ÷ 0.25 =

1.5 ÷ 0.5 =

3 ÷ 0.1 =

12. 5 ÷ 2.5 =

9 ÷ 0.2 =

Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a que multipliquen los números de la primera y segunda columnas. Por ejemplo, 0.5 × 2; 0.25 × 4; 0.125 × 8. En todos los casos se obtiene 1. Pregunte: ¿Por qué creen que sucede esto?

VI. Platiquen a sus compañeros cómo resolvieron mentalmente alguna de las operacio­ nes de la actividad anterior. Elijan una operación y anoten en el pizarrón varios pro­ cedimientos para resolverla mentalmente. Comenten cuál procedimiento es mejor y por qué.

A lo que llegamos Dividir una cantidad entre un número equivale a calcular cuántas veces cabe ese número en dicha cantidad. Algunas divisiones entre números con punto decimal pueden resolverse más rápidamente con una multiplicación, por ejemplo, 10 ÷ 0.25 puede escribirse como 10 ÷ I, , que como estudiaron en la división de fracciones, equivale a multiplicar 10 × 4 = 40. Al dividir una cantidad entre un número menor que la unidad, el resultado será mayor que la cantidad, por ejemplo, 5 ÷ 0.2 = 25, 25 es mayor que 5. 15

Propósito del interactivo: Mostrar gráficamente la división de decimales por medio de la idea "cuántas veces cabe en".

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban en su cuaderno 2 ejemplos diferentes a los que se plantean en el recuadro de cada uno de los puntos.

Integrar al portafolios. Recupere esta actividad y analice las respuestas de los alumnos. Si lo considera necesario, revisen la secuencia 11, en ella se llena una tabla en la que se observa que dividir una fracción es lo mismo que multiplicarla por su recíproco. Sugerencia didáctica. El cálculo mental es una herramienta que permite, además de obtener algunos resultados de manera rápida, desarrollar habilidades, como el establecimiento de relaciones entre los datos y la anticipación de resultados. Invite a los alumnos a que resuelvan mentalmente estas operaciones, se darán cuenta de lo eficaz que es este tipo de cálculo y de las múltiples relaciones que pueden darse entre los números.

15

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Propósito del video. Observar el planteamiento y la solución de problemas que involucren la división entre un número decimal. Observar qué sucede cuando se divide entre un número menor o mayor que la unidad.

secuencia 17 El metrobús Vean el video y realicen lo que ahí se pide. Cuando terminen, reúnanse en parejas y jun­ tos hagan un resumen que se titule “La división con números decimales”. Después lean el resumen ante su grupo.

sEsión 2

Propósito de la sesión. Conocer y practicar la técnica para dividir entre un número con punto decimal.

CamBiO dE dinErO

Para empezar

Se van a repartir $29.60 entre 4 amigos, ¿cuánto le toca a cada uno? En la primaria aprendiste que este problema se resuelve con la siguiente división:

4

Organización del grupo. Inicie la sesión trabajando con el grupo en conjunto; posteriormente organice parejas para resolver el apartado Consideremos lo siguiente.

7.40 29.60 16 00

El resultado es $7.40. Estas divisiones se resuelven igual que con números enteros, pero al momento de bajar el 6 "se sube el punto". ¿Saben por qué se hace así? a) Cuando se divide 29 entre 4 se están dividiendo 29 enteros, por eso el resultado es entero.

Sugerencia didáctica. Dé tiempo para que los alumnos lean el apartado Para empezar y después comente con el grupo la información que se presenta. Repasen las divisiones con punto decimal en el dividendo resolviendo algunas en el pizarrón. Es necesario que los alumnos sepan resolver este tipo de divisiones para que puedan continuar con la sesión.

b) Al bajar el 6 junto al 1 ya se están dividiendo 16 décimos entre 4, por eso hay que poner un punto, para indicar que el resultado corresponde a décimos. Ahora aprenderás cómo se resuelve una división cuando el punto decimal está en el divisor.

Consideremos lo siguiente Araceli tiene $19.40 y le va a dar a cada uno de sus amigos $2.50. ¿Para cuántos amigos le alcanza y cuánto le sobra? Esta situación también se resuelve con una división. Encuentren una manera de hallar el resultado de la siguiente división que resuelve el problema.

2.5 19.4

3 Sugerencia didáctica. Anime a los alumnos para que expliquen sus intentos y escuchen los de otros. En caso de que alguna pareja sí haya podido resolver la división, pida a sus integrantes que muestren al grupo cómo lo hicieron. Si nadie logró resolverla, invítelos a que continúen trabajando la sesión.

Expliquen a sus compañeros cómo resolvieron la división anterior y por qué lo hicie­ ron así.

16

1 Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos manejen la técnica para dividir números con punto decimal. Por ello deberán resolver el problema utilizando una división y no mediante otros procedimientos (aunque sean correctos).

Sugerencia didáctica. Es probable que los alumnos no sepan cómo resolverlas. Invítelos a que lo intenten, recuerde que en estos momentos se trata de crear en los alumnos un conflicto al darse cuenta de que estas divisiones son distintas a las que ya conocen, así como la necesidad de hallar la manera de resolverlas.

16

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8/25/07 3:01:05 PM


MATEMÁTICAS

I

Manos a la obra I. Resuelvan las siguientes divisiones:

4

400

8

40

800

4 000

80

8 000

a) ¿Cómo son los resultados entre sí? b) Observen que el dividendo (8) y el divisor (4) de la primera división se multi­ plicaron por 10 para obtener la segunda división (80 y 40). c) ¿Por cuál número se multiplicaron dividendo y divisor de la primera división para obtener la tercera división? d) ¿Por cuál número se multiplicaron dividendo y divisor de la primera división

e: Recuerden qu n se visió Si en una di dividendo multiplica el el por y el divisor ero, el mismo núm la resultado de bia. cam división no

Sugerencia didáctica. Los alumnos ya estudiaron esta propiedad en la escuela primaria, por lo que la actividad puede ser considerada como un repaso; no obstante, usted puede enriquecerla comentando al grupo que, si se parte de que una división puede escribirse como fracción, al multiplicar dividendo y divisor por el mismo número, lo que se está haciendo es calcular fracciones equivalentes. Observe: 2 4 = wR = wR × T = qW p P = 10 20 × Esto implica que: 2 4 = 10 20

para obtener la cuarta división? II. Consideren que se tiene esta división

2.5 20

Multipliquen dividendo y divisor por 10, ¿qué división obtienen? Anótenla y re­ suélvanla.

ar un Al multiplic punto número con 10, se decimal por nto un recorre el pu recha. lugar a la de

Esta división es más sencilla que 20 ÷ 2.5 y, por la propiedad que recordaron en la actividad I, saben que el resultado de esta división es el mismo para ambas.

17

Sugerencia didáctica. Puede pedir a los alumnos que: 1. Estimen el resultado antes de que pasen al inciso a). Por ejemplo, si está entre 1 y 10, entre 10 y 100 o entre 100 y 1 000. 2. Calculen mentalmente el resultado antes de que pasen al inciso a). 3. Resuelvan la división y verifiquen su resultado en la calculadora. 4. Una vez resuelta, inventen un problema que se resuelva con esa operación. Si lo considera necesario, plantee más operaciones de este tipo para que los alumnos las resuelvan en su cuaderno. 17

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Respuestas. • Se multiplica por 10, 480 ÷ 12 = 40 y no sobra. • Se multiplica por 1 000, 3 500 ÷ 125 = 28 y no sobra. • Se multiplica por 100, 450 ÷ 32 = 14 y sobra. 2. Si algunos alumnos continúan dividiendo obtendrán 14.0625. Si lo considera pertinente, comente con sus alumnos lo que sucede con el residuo en esta división. Si bien es cierto que al multiplicar por un mismo número el dividendo y el divisor, el cociente no se altera, no pasa lo mismo con el residuo. Éste aumenta tantas veces como el número por el cual se multiplicó. Por ejemplo, mientras que en la división original (4.5 ÷ 0.32) el residuo es 0.02, en la división transformada (450 ÷ 32) el residuo es 2. El residuo de la división transformada es 100 veces mayor que el de la división original.

secuencia 17 iii. Transformen cada división en una cuyo divisor no tenga punto decimal y resuélvanla; elijan bien el número por el que tienen que multiplicar cada una. 1.2

48

0.125

0.32

3.5

4.5

iV. Resuelvan la división del problema inicial (19.4 2.5) transformándola en una divi­ sión sin punto en el divisor. Comparen este resultado con el que obtuvieron al princi­ pio de la sesión. Comenten los resultados que han obtenido hasta este momento. Pasen al pizarrón a re­ solver las 3 divisiones de la actividad III y expliquen por cuál número multiplicaron el dividendo y el divisor de cada una y por qué.

A lo que llegamos Para resolver una división con punto decimal en el divisor: 1. Primero se transforma la división en otra que no tenga punto decimal en el divisor, esto se logra multiplicando el dividendo y el divisor por 10, 1 00, 1 000, ... según el divisor tenga 1, 2, 3, ... cifras decimales. 2. Después se resuelve. Por ejemplo, para resolver: 0.12 2.4

se multiplican por 100 el dividendo y el divisor para transformar la división en 12 240

Y se resuelve:

20 12 240 000

El resultado de dividir 240 ÷ 12 es el mismo que el resultado de dividir 2.4 ÷ 0.12. Compruébenlo con una calculadora. 18

Propósito de la actividad. Esta actividad permite que los alumnos validen el resultado que obtuvieron en el problema inicial. Si es necesario pídales que corrijan. Puede haber discrepancia en los resultados si algunos alumnos dejaron el residuo y si otros continuaron la división. Es buen momento para que los anime a terminar la división.

Sugerencia didáctica. Resuelvan en el pizarrón más divisiones y aclare las posibles dudas.

18

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MATEMÁTICAS

I

Respuestas. Araceli tiene 100 monedas (50.00 ÷ 0.50). Necesita 5 monedas para hacer cada montón de $2.50, así que puede hacer 20 montones. Luis tiene 100 monedas (500.00 ÷ 5.00). Necesita 5 monedas para hacer cada montón de $25.00, así que también puede hacer 20 montones. Entonces la respuesta correcta es c).

Lo que aprendimos 1. Araceli tiene $50.00 en monedas de $0.50 y quiere hacer montones de $2.50; Luis tiene $500.00 en monedas de $5.00 y quiere hacer montones de $25.00. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) Araceli hará más montones. b) Luis hará más montones. c) Ambos harán el mismo número de montones. d) No puede calcularse quién hará más montones. Justifica la respuesta que elijas.

Respuestas. El número de envases siempre debe ser 14, entonces la cantidad de litros de leche a repartir hay que dividirla entre 14 para obtener la capacidad de cada envase. Si lo que conocemos es la capacidad de cada envase, entonces ese número se multiplica por 14 para hallar la cantidad de litros a repartir.

2. Don Fernando va a repartir 7 de leche en envases de 0.5 . ¿Cuántos envases ocu­ pará? Completa la tabla de tal manera que el número de envases siempre sea el mismo que los que ocupará don Fernando. Litros a repartir

Capacidad de cada envase ( )

Número de envases

14

1

14

21

1.5

14

28

2

14

70 5

14

140 10

14

Respuestas. El resultado es 4.6. Se obtendría el mismo cociente con números como: 92 entre 20, 920 entre 200, 9 200 entre 2 000, 92 000 entre 20 000, 920 000 entre 200 000, etcétera.

3. Resuelve la división 9.2 entre 2 = Inventa 5 divisiones que, partiendo de los mismos números que la anterior, tengan igual cociente.

19

19

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Propósito de la sesión. Resolver diversos problemas que implican operaciones de números con punto decimal. Organización del grupo. Forme equipos para que resuelvan los problemas.

1 Propósito de la actividad. Aunque la secuencia se refiere a la división de números con punto decimal, en la serie de problemas que aquí se presentan no siempre usarán la división, también harán uso de otras operaciones que ya han estudiado. Sugerencia didáctica. En algunos problemas puede solicitar a los alumnos que antes de hacer operaciones, den una respuesta aproximada del resultado y la anoten en una hoja. Al término, compararán sus estimaciones con los resultados obtenidos. Respuestas. El diamante es 4 veces más duro que la plata y 6.6666666… veces más duro que el azufre (se divide 10 entre 2.5 y 10 entre 1.5). La diferencia de temperatura es de 22.5 ˚C. Es la distancia de 4.5 a 18.5 ˚C bajo cero. Aun cuando el problema involucra números con signo, se espera que los alumnos puedan resolverlo mediante sus conocimientos sobre las temperaturas bajo cero. Si nota dificultades, puede auxiliarlos. La ballena es 22 veces más larga que una salamandra gigante y 117.857 veces más larga que una araña Goliat (se divide 33 entre 1.5 y 33 entre 0.28).

secuencia 17 sEsión 3

númErOs dECimaLEs En La CiEnCia

Lo que aprendimos

En esta sesión aplicarán varios de los conocimientos que han adquirido a lo largo de todas las secuencias sobre números con punto decimal. En cada caso, respondan la pre­ gunta planteada.

La dureza de un mineral puede medirse de acuerdo

El crecimiento de las bacterias a menos de 10 oC

con la facilidad para rayarlo. El mineral más duro

es muy lento, por ello los alimentos en el refrige­

es el diamante y su dureza es de 10. La mínima

rador se conservan más tiempo. La temperatura

dureza de la plata es 2.5 y la del azufre es 1.5.

del congelador se conserva alrededor de los 18 oC

¿Cuántas veces es más duro el diamante que la

bajo cero y en el refrigerador puede estar alrede­

plata?

dor de 4.5 oC. ¿Cuál

¿Y que el azufre?

es la diferencia entre la temperatura del congelador y la del refrigerador?

El animal más grande del mundo es la ballena azul,

La estrella más brillante que vemos en el cielo es

llega a medir hasta 33 m de largo. El anfibio más

Sirio, que se ve durante las noches de invierno. ¡La

grande es la salamandra gigante de Japón, con

luz de Sirio tarda 8.8 años en llegar a la Tierra!

1.5 m de largo. La araña más grande es la Goliath,

puede medir 0.28 m de longitud. ¿Cuántas veces es más larga una ballena azul que una salamandra

Si la luz viaja a 300 000 km/s, ¿qué operaciones tendríamos que hacer para conocer la distancia a la que está Sirio?

gigante? , ¿Y que una araña Goliath?

20

Invite a los alumnos a que lean atentamente la pregunta del problema de la estrella Sirio; no se pide el resultado, sino las operaciones que resuelven el problema. Hay varias maneras de expresar la respuesta, una posible es: - Multiplicar 60 × 60 × 24 × 365 × 8.8 para saber cuántos segundos hay en 8.8 años y el resultado multiplicarlo por 300 000 para saber la distancia que se pide. Si surgen varias respuestas será interesante analizarlas en la confrontación y determinar si son o no equivalentes.

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MATEMÁTICAS

I

El cuerpo humano está formado

Al caminar rápidamente se queman

por varios elementos: 63% de hi­

0.097 calorías por cada kilogramo de

drógeno, 23.5% de oxígeno, 9.5%

peso por minuto. Si una persona cami­

de carbono, 1.4% de nitrógeno

nando rápidamente quemó 6.305

y el resto de otros elementos.

calorías en un minuto, ¿cuánto pesa?

¿Cuál es el porcentaje que corres­ ponde en total a esos otros ele­

¿Cuánto tiempo, aproximadamente,

mentos?

tendría que caminar rápido esa per­ sona para quemar 500 calorías?

La Tierra, al viajar alrededor del Sol, re­

Si el tiempo que tardan los planetas en dar la vuelta al Sol

corre 30.5 kilómetros en un segundo.

se mide en años, se tiene que: Neptuno tarda 165.4 años y

¿En cuánto tiempo recorre 1 830 kiló­ metros?

Urano 83.7 años. ¿Cuál es la duración en años, meses y días del tiempo que tarda Neptuno en dar la vuelta al Sol? ¿Y Urano?

Respuestas. Los porcentajes de los elementos que forman el cuerpo humano suman 97.4, hace falta 2.6%, que es lo que corresponde a otros elementos. La Tierra recorre 1 830 km en un minuto (60 segundos). Se divide 1 830 entre 30.5. Neptuno tarda 165 años, 4 meses y 26 días (porque 0.4 de año son 146 días). Urano tarda 83 años, 8 meses y 12.5 días (porque 0.7 de año son 255.5 días). La persona pesa 65 kg (se divide 6.305 entre 0.097); y tendría que caminar durante 79.302 minutos (se divide 500 entre 6.305). Integrar al portafolios. Seleccione 3 problemas de esta sesión y pida a los alumnos que los resuelvan en una hoja aparte. En caso de haber errores, analice si tienen que ver con las divisiones con decimales, con la comprensión del problema o con ambas.

Comenten con otros equipos los resultados de estos problemas. Comparen los proce­ dimientos que muestren los diferentes equipos y elijan aquellos que les parezcan más fáciles.

Para saber más Sobre la división de números decimales consulta en: http://www.sectormatematica.cl/basica/decvida.htm [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Ruta: Dar clic en "Relacionando multiplicación y división". 21

21

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Propósito de la sesión. Interpretar la ecuación como una expresión que sintetiza las relaciones entre los datos y la cantidad desconocida del problema. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas aditivas del tipo x + a = b.

secuencia 18

Ecuaciones de primer grado En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, cuando a, b y c son números naturales o decimales.

Organización del grupo. Se sugiere que trabajen todas las actividades organizados en parejas. Propósitos de la actividad. Se trata de un problema sencillo que se resuelve con la suma 24 + 8. Se espera que los alumnos identifiquen cuáles son los datos conocidos y cuál es la operación que resuelve el problema. Es importante que identifiquen como una igualdad la expresión en la que aparece el signo igual. En este momento no es necesario que definan el concepto de igualdad, sino sólo que empiecen a reconocer y a utilizar el término.

sesión 1

Eje

Consideremos lo siguiente Un comerciante de naranjas quiere saber cuántos kilogramos de naranjas tenía al principio del día si vendió 24 kg y al final se quedó con 8 kg. a) ¿Cuál es el valor desconocido en este problema? Subráyenlo: • Los kilogramos de naranjas que vendió. • Los kilogramos de naranjas que tenía al principio. • Los kilogramos de naranjas que le quedaron al final. b) En el problema hay dos valores que sí se conocen, ¿cuáles son?

En la siguiente igualdad, el valor desconocido del problema es un número que debe estar en el recuadro azul: − 24 = 8

c) ¿Cuál es el número que debe estar en el recuadro azul? Comparen sus respuestas y comenten: a) ¿Qué operación hicieron para encontrar el número que va en el recuadro azul? b) ¿Cuántos kilogramos tenía el comerciante al principio del día?

22

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de las formas x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, cuando a, b y c son números naturales y decimales.

Sesión

Recursos

1

Interactivo “Ecuaciones” Aula de medios “A repartir naranjas” (Hoja de cálculo)

2

El paseo escolar Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax = b.

Video “El terreno y el río” Interactivo “Ecuaciones”

3

Resolución de ecuaciones mixtas Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax + b = c.

Interactivo “Ecuaciones de primer grado”

Significado y uso de las operaciones.

Antecedentes En las secuencias 3 y 4 los alumnos se iniciaron con la utilización de literales para expresar patrones y fórmulas geométricas. En esta secuencia usarán literales para traducir el texto de un problema al código algebraico y para resolver ecuaciones.

Título y propósitos de la sesión A repartir naranjas Interpretar la ecuación como una expresión que sintetiza las relaciones entre los datos y la cantidad desconocida del problema. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas aditivas del tipo x + a = b.

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema

Para empezar

En la primaria resolviste problemas en los que tenías que encontrar la solución haciendo operaciones aritméticas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. En esta secuencia aprenderás una nueva manera de resolver problemas: usarás expresiones algebraicas para representar y encontrar valores desconocidos.

Posibles dificultades. Dado que aparecen las palabras “tenía”, “vendió”, algunos alumnos podrían pensar que el problema se resuelve con la resta 24 – 8. Si bien está implícita una resta, el problema se resuelve mediante una suma (cantidad final de naranjas más cantidad de naranjas vendidas). Sugerencia didáctica. En caso de que algunos alumnos presenten una respuesta distinta a 32 kg, pídales que comenten cómo lo obtuvieron. Posteriormente invite al grupo a que resuelvan la actividad I del apartado Manos a la obra para verificar si la respuesta que dieron es correcta o no.

A RepARtiR nARAnjAs

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MATEMÁTICAS

I

Propósito del interactivo. Resolver ecuaciones de primer grado utilizando las propiedades de la igualdad.

Manos a la obra I. Escriban el número que encontraron y hagan las operaciones para comprobar la igualdad:

Propósito de la actividad. Que los alumnos continúen identificando los datos conocidos y los desconocidos de un problema, y que resuelvan problemas de suma o resta mediante la operación inversa.

− 24 = 8

II. Hay que encontrar un número que, al sumarle 57, dé como resultado 124. a) En este problema hay dos números que sí se conocen, ¿cuáles son?

En la siguiente igualdad, el número desconocido del problema es un número que debe estar en el recuadro morado. Completen la igualdad usando los números conocidos: +

=

Recuerde que. Los problemas aditivos son aquellos que implican tanto a la suma como a la resta. Cuando en una suma se desconoce uno de los datos, se puede encontrar el dato faltante mediante una resta, que es la operación inversa de la suma. En este caso, el dato desconocido de la suma se encuentra mediante una resta: 124 – 57 = 67. Los alumnos irán identificando estas relaciones en el transcurso de las actividades de este apartado y podrán formalizarlo al final de esta sesión.

b) ¿Cuál es el número que va en el recuadro? c) Comprueben la solución que encontraron: En lugar del recuadro morado escriban el número que encontraron y hagan las operaciones: +

=

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cuál es el número que al sumarle 57 da como resultado 124? III. Representen con una igualdad el siguiente problema: ¿Cuál es el número que al sumarle 110 da como resultado 221? Usen el recuadro rojo para representar el número desconocido. +

=

a) ¿Cuál es el número que debe ir en el recuadro rojo? b) ¿Qué operación hicieron para encontrarlo? IV. Generalmente, en las matemáticas se utilizan letras para representar los valores desconocidos. Si en el problema anterior: ¿Cuál es el número que al sumarle 110 da como resultado 221? se usa la letra x para representar el valor desconocido, el problema puede representarse mediante la siguiente igualdad: x + 110 = 221

Esta igualdad es la misma que:

+ 110 = 221

sólo que ahora se usa la letra x en lugar del recuadro rojo 23

Propósito de la actividad. Que los alumnos logren expresar mediante una igualdad, un problema que se les presenta de manera verbal. Esto implica identificar cuáles son los datos conocidos y desconocidos, y cómo se relacionan entre ellos: + 110 = 221 Posibles procedimientos. Puede hacerse restando 221 – 110 o pensando cuánto le falta a 110 para llegar a 221.

Propósito de la actividad. En secuencias anteriores los alumnos han utilizado letras para expresar fórmulas y patrones numéricos; en esta secuencia se pretende que los alumnos utilicen una letra (en este caso la x ) para representar al dato desconocido (incógnita) en una igualdad. Es importante que los alumnos identifiquen a la x no como una letra, sino como un número del que se desconoce su valor.

Propósito de la actividad. Que los alumnos analicen la estructura del problema (los datos y la forma en que están relacionados) para identificar cómo está conformada una igualdad. Aproveche diferentes momentos para que los alumnos se vayan familiarizando con el término “igualdad”; insista en que una igualdad comprende las expresiones que están de uno y del otro lado del signo igual. Sugerencia didáctica. Es importante que se comente cómo se obtiene el resultado. Algunos restarán 124 – 57, otros lo harán pensando cuánto le hace falta a 57 para llegar a 124; ambas formas de resolver implican a la resta.

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Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades para completar la ecuación, se les puede pedir que completen lo siguiente: x = 221 – x=

s e c ue n c ia 1 8 a) ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de x? Complétenla: 221 −

b) Comprueben su resultado sustituyendo el valor que obtuvieron para x en la igualdad:

Sugerencia didáctica. Si los alumnos muestran facilidad para realizar estos ejercicios, puede proponerles que verifiquen el valor de x sustituyéndolo en la ecuación: x + 110 = 221

+ 110 = 221

Comparen sus respuestas.

A lo que llegamos Las igualdades como x + 110 = 221 son expresiones algebraicas en las que hay un valor desconocido o incógnita que generalmente se representa con una letra. Estas igualdades se llaman ecuaciones.

111 + 110 = 221 221 = 221

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con sus alumnos. Destaque las siguientes ideas: - Las igualdades que aparecieron en las actividades anteriores tenían sólo números, ahora se presentan igualdades en las que se utilizan letras para representar un dato desconocido (incógnita). - Estas igualdades se llaman “ecuaciones”. Puede pedirles que en su cuaderno respondan a la pregunta “¿Qué es una ecuación?”. Pida a algunos alumnos que lean sus respuestas y, a partir de ellas, usted puede ampliarlas incorporando otros términos que las enriquezcan. Por ejemplo: “Es una igualdad en la que hay una incógnita que se representa con una letra”. “Es una expresión algebraica en la que hay una incógnita”. Una vez que se hayan leído y comentado algunas respuestas, los alumnos pueden hacer correcciones o ampliar lo que inicialmente habían escrito. Propósito del interactivo. Resolver ecuaciones de primer grado utilizando las propiedades de la igualdad.

x=

¿Cuánto vale x?

V. En la ecuación m − 1 = 7, ¿cuál es el valor desconocido o incógnita? Subráyenlo: • 1 • m • 7 a) ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de m? b) ¿Cuánto vale m? m = c) Comprueben su resultado sustituyendo m por el valor que encontraron: −1=7

A lo que llegamos Para resolver la ecuación x + 110 = 221, en la que se está sumando, se puede hacer una resta: x = 221 – 110. La solución de esta ecuación es x = 111. Para resolver la ecuación m – 1 = 7, en la que se está restando, se puede hacer una suma: m = 1 + 7. La solución de esta ecuación es m = 8. Se dice entonces que la suma y la resta son operaciones inversas. 24

Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que, en general, puede utilizarse cualquier letra para representar un valor desconocido o incógnita (no siempre es la letra x ). Para el inciso c), comente que una característica fundamental de toda igualdad es que lo que aparece del lado izquierdo del signo igual, debe tener el mismo valor que lo que está en el lado derecho, por lo que es importante verificar que el valor que se le ha asignado a las incógnitas es correcto.

Sugerencia didáctica. Una forma más de ejemplificar esta información, es “Lo contrario de sumar, es restar: si a un número le sumo 5 y al resultado le resto 5, obtenemos el mismo número”. Puede preguntar a los alumnos lo siguiente: - Si en una adición se desconoce un sumando ¿qué operación se realiza para calcularlo? - Si en una sustracción se desconoce el minuendo ¿qué operación se realiza para calcularlo?

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MATEMÁTICAS

I

Propósito de la actividad. A la cantidad inicial, que es la incógnita del problema, se le aplican dos operaciones sucesivas y se obtiene un resultado determinado. A partir de esas transformaciones y del resultado, que son los datos conocidos, debe obtenerse el valor de la incógnita. Respuesta. Las dos últimas ecuaciones representan el problema.

VI. El comerciante quiere saber ahora cuántos kilogramos de naranja tenía al principio, si en esta ocasión vendió primero 13 kg de naranja, después vendió 11 kg y finalmente se quedó con 5 kg. a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan el problema? • x – 13 – 11 + 5 • x – 13 + 11 = 5 • x – 24 = 5 • x – 13 – 11 = 5 b) Resuelvan la ecuación, ¿cuánto vale x? x =

Sugerencia didáctica. Pida que pasen algunos alumnos al pizarrón a resolver cada una de las ecuaciones elegidas y que identifiquen cuáles ecuaciones plantean el problema de manera adecuada. Es importante destacar que en el caso de la primera expresión algebraica no se plantea ninguna igualdad, a diferencia de las otras tres.

Comparen las ecuaciones que escogieron y las soluciones que encontraron. Comenten: a) ¿Cuántos kilogramos de naranja tenía el comerciante al principio? b) Hay dos ecuaciones que representan el problema, ¿por qué creen que la solución de estas dos ecuaciones es la misma? Comprueben su solución sustituyéndola en las dos ecuaciones: – 13 – 11 = 5

– 24 = 5

Lo que aprendimos

Sugerencia didáctica. Subraye el hecho de que con las dos últimas ecuaciones se obtiene la misma solución porque plantean el mismo problema: restar primero 11 kg y después 13 kg, es lo mismo que restar 24 kg en una sola operación.

1. Un camión que distribuye leche en un pueblo sale del establo con varios litros. Recoge 21 más en otro pueblo, deja 56 en una tienda, después deja 34 en otra tienda. Al acabar su recorrido se quedó con 15 de leche. a) En este problema hay 4 valores conocidos, ¿cuáles son?

b) La ecuación x + 21 – 56 – 34 = 15 permite resolver el problema. Resuélvanla en sus cuadernos. c) ¿Cuántos litros tenía el camión al salir del establo? d) Comprueben si la solución que encontraron es correcta. 2. Para los siguientes problemas plantea una ecuación y resuélvela. Hazlo en tu cuaderno. a) ¿Cuál es el número que al sumarle 27 da como resultado 138? b) ¿Cuál es el número que al restarle 2.73 da como resultado 5.04? Comprueba tus soluciones.

25

Integrar al portafolios. Si identifica que los alumnos tienen dificultades para plantear las ecuaciones, repase con el grupo las actividades III y IV del apartado Manos a la obra y el II del apartado A lo que llegamos, con la finalidad de enfatizar cuáles son las operaciones que permiten encontrar el número buscado una vez que se ha planteado la ecuación. Respuestas. a) x + 27 = 138 x = 138 – 27 x = 111 b) x – 2.73 = 5.04 x = 5.04 + 2.73 x = 7.77

Posibles procedimientos. Pueden resolver el problema de distintas maneras. Una de ellas es partir de los 15 con los que se quedó, e ir agregando los litros que fue entregando en cada tienda: 15 + 34 + 56 = 105 Y después se restan los 2 que había recogido en otro pueblo: 105 – 21 = 84 Otra forma es sumar las cantidades de litros entregados (56 + 34 = 90), restarles los 21 que se agregaron en otro pueblo (esos litros no salieron del primer establo): 90 – 21 = 69, y sumar después los 15 que sobraron: 69 + 15 = 84 Sugerencia didáctica. Ayúdeles a comprender cómo fueron variando las cantidades haciéndoles preguntas como: ¿Sabemos con cuántos litros de leche salió el camión del primer pueblo? ¿Qué pasó después, entregó o recibió más litros de leche? ¿A qué se refiere el número 21? ¿A qué se refiere el número 56? Posteriormente puede pedir a los alumnos que comenten por qué las ecuaciones x + 21 – 56 – 34 = 15 y x – 69 = 15 tienen la misma solución. 25

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Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax = b.

s e c ue n c ia 1 8 sesión 2

a) ¿Cuál es el valor desconocido en el problema? Subráyenlo. • El número de niños que asisten al paseo. • El número de autobuses que se rentan. • El número de niños que van en cada autobús.

Propósito de la actividad. El problema que ahora se plantea es de tipo multiplicativo: implica a la división y a la multiplicación. Encontrar el resultado es relativamente sencillo, pues los alumnos pueden identificar rápidamente que el problema se resuelve con una división, y los números que se dividen son enteros y con pocas cifras. La parte central de la actividad es que los alumnos traten de plantear –y resolver– una ecuación que represente el problema; no importa si en este momento no logran hacerlo de manera correcta, lo importante es que exploren distintas posibilidades.

Respuesta. 8y = 280. Esta ecuación representa que en cada camión hay “y” niños; como hay 8 camiones, con 8y se obtiene la cantidad total de niños, que es de 280. Respuesta. Para encontrar el valor de y se divide 280 ÷ 8. Propósito del interactivo. Resolver ecuaciones de primer grado utilizando las propiedades de la igualdad.

Consideremos lo siguiente Para un paseo al que asistirán 280 niños se van a rentar 8 autobuses. Todos los autobuses van a llevar el mismo número de niños. Se quiere saber cuántos niños debe llevar cada autobús.

Organización del grupo. Forme parejas para que trabajen de esa manera durante toda la sesión.

Sugerencia didáctica. Es posible que la mayoría de los alumnos haya logrado encontrar el resultado del problema mediante la división 280 ÷ 8, pero que no todos hayan logrado plantear la ecuación. Pida a estos alumnos que expliquen cómo resolvieron el problema, aunque no hayan podido plantear la ecuación; después pida a quienes sí lo hayan podido hacer, que muestren al grupo sus respuestas. Pregunte al grupo: ¿Cómo podemos saber cuál es la respuesta correcta?

eL PAseO esCOLAR

b) Usando la letra y escriban una ecuación que describa este problema:

c) Encuentren el valor de y Comparen sus ecuaciones y sus resultados.

Manos a la obra En esta actividad se usará algo que aprendieron en la secuencia 4. Recuerden que 8y es lo mismo que 8 por y; el símbolo de la multiplicación aquí no se pone para no confundirlo con la letra x. i. Una de las siguientes ecuaciones corresponde al problema anterior. Subráyenla: • 280 y = 8 • 280 + y = 8 • y + 8 = 280 • 8 y = 280 a) ¿Cuál de las siguientes operaciones permite encontrar el valor de y? • 8 ÷ 280 • 8 × 280 • 280 – 8 • 280 ÷ 8 b) Usando la operación que señalaron encuentren el valor de y.

y= c) Comprueben su solución sustituyendo el valor de y en la ecuación que escogieron. Háganlo en sus cuadernos. Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cuántos niños debe llevar cada autobús? 26

Sugerencia didáctica. En caso de que algunas parejas hayan elegido ecuaciones que no corresponden con el problema, pida que hagan la comprobación en el pizarrón. Los alumnos pueden comentar por qué esa ecuación no permite obtener el resultado correcto. Asimismo, es importante que se contraste con la ecuación correcta y que se muestre su comprobación. Destaque el hecho de que la ecuación plantea una multiplicación, y la operación con la que se resuelve es una división: 8y = 280

y = 280 ÷ 8 y = 35

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MATEMÁTICAS

I

Respuesta. Las ecuaciones que corresponden al problema son la segunda y la tercera.

II. Se quiere conocer la edad de Julián y se sabe que la tercera parte de su edad es igual a la edad de Diego, que tiene 4 años. a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a este problema? Se usa la letra J para representar a la edad de Julián. • J×3=4

Posibles procedimientos. Algunos alumnos quizá resuelvan el problema sin plantear la ecuación, aun cuando la hayan identificado. Pueden sumar 3 veces 4, o multiplicar 3 × 4, que es una forma correcta de resolver, pues para encontrar el valor de J es necesario realizar la multiplicación 3 × 4. Trate de identificar qué alumnos sí recurren a la ecuación y quiénes no.

• J÷3=4 • J÷4=3 • J=4

<

b) ¿Cuántos años tiene Julián? c) En sus cuadernos, comprueben su solución sustituyendo el valor de J en la ecuación que escogieron. Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron. a) ¿Cuáles son las dos ecuaciones que corresponden a este problema? b) ¿Qué operación hicieron para encontrar la edad de Julián? c) ¿La edad de Julián que encontraron es la cuarta parte de la edad de Diego? III. En la siguiente tabla se presentan algunos problemas, sus ecuaciones correspondientes y las operaciones con las que se pueden resolver. Complétenla. Problema

Ecuación

Operación que se hace para encontrar la incógnita

Valor de la incógnita

¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 3 da 57? ¿Cuál es el número que al dividirlo entre 6 da 48? ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por____ da ____?

x ÷ 6 = 48 m× 25 = 165

¿Cuál es el número que al dividirlo entre 7 da 12.5?

165 ÷ 25 12.5 × ______

87.5

Comparen sus tablas.

A lo que llegamos En la ecuación 2y = 16, el número 2 está multiplicando a la incógnita y. Para encontrar el valor de y se puede hacer una división: 16 ÷ 2. La solución de la ecuación es y = 8.

Sugerencia didáctica. Pida a dos alumnos que resuelvan en el pizarrón las ecuaciones que corresponden al problema, y que sustituyan la incógnita para hacer la comprobación. Pregunte a los alumnos por qué las expresiones J ÷ 3 = 4 y Je = 4 dan el mismo resultado. Aclare que si bien ambas ecuaciones expresan una división, en el lenguaje algebraico se utiliza más la raya ( Je = 4) para indicar una división y se usa poco el signo de la división.

En la ecuación s ÷ 5 = 6, el número 5 está dividiendo a la incógnita s. Para encontrar el valor de s se puede hacer una multiplicación: 6 × 5. La solución de la ecuación es s = 30. Se dice entonces que la multiplicación y la división son operaciones inversas.

27

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos establezcan relaciones entre los distintos momentos por los que han transitado en estas dos sesiones para encontrar el valor de una incógnita: el planteamiento verbal del problema, su expresión algebraica y la resolución aritmética. Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, reproduzca la tabla en el pizarrón para que puedan comparar sus respuestas. Pida a algunos alumnos que pasen a completar la tabla. Es posible que aparezcan distintas formas correctas

de expresar las ecuaciones, si no es así, es conveniente que usted las proponga, por ejemplo: En el segundo renglón, x ÷ 6 = 48 es lo mismo que xy = 48. En el tercer renglón, m × 25 = 165 es lo mismo que 25m = 165 (de hecho, esta última expresión es más adecuada que la anterior, pues el signo de multiplicación podría confundirse con la literal x ). En el cuarto renglón, la ecuación puede ser: y y ÷ 7 = 12.5 o u = 12.5

2 Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos. Puede pedirles que busquen en esta misma sesión otros ejemplos en los que la ecuación se resuelva mediante una división o una multiplicación. La idea de que la multiplicación y la división son operaciones inversas puede ejemplificarse de la siguiente manera: “Lo contrario de multiplicar es dividir: si un número lo multiplicamos por 6 y el resultado lo dividimos entre 6, obtenemos el mismo número”. Y viceversa. 27

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Propósito del video. Observar el planteamiento y la solución de problemas con un valor desconocido.

s e c ue n c ia 1 8

Lo que aprendimos El terreno y el río

Propósito de la actividad. Se conoce la medida del largo y la superficie total, la incógnita es la medida del ancho. Pueden resolver el problema dividiendo la superficie entre la medida del largo sin recurrir a una ecuación. Lo relevante es que logren plantear la ecuación y que encuentren el valor de la incógnita resolviendo la ecuación. Sugerencia didáctica. Pida a uno o dos de los alumnos que resuelvan en el pizarrón la ecuación que plantearon y que hagan la comprobación. Respuesta. 17y = 238 y = 238 ÷ 17 (o también y = y = 14

El terreno rectangular que se muestra en la figura de la izquierda está atravesado por un río y no es posible medir su ancho. ¿Cómo se puede calcular el ancho si se sabe que el terreno mide de largo 17 m y el área que ocupa es 238 m2? a) Escriban una ecuación para resolver el problema anterior:

b) Encuentren el valor de la incógnita.

17 m

c) Comprueben el valor que encontraron para la incógnita.

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cuánto mide el ancho del terreno?

sesión 3

ResOLUCión De eCUACiOnes MiXTAs

Consideremos lo siguiente

Juan pensó un número. Lo multiplicó por 3 y a lo que le salió le restó 5. Al final obtuvo 10. a) Escriban una ecuación para encontrar el número que pensó Juan. Usen la letra x para representarlo.

WqEuI

b) ¿Cuál es el número que pensó?

)

Comparen sus ecuaciones y soluciones. Comenten: ¿Qué operaciones hicieron para resolver la ecuación?

Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax + b = c . Organización del grupo.Se sugiere resolver todas las actividades en parejas, a excepción del apartado Lo que aprendimos, que puede resolverse de manera individual. Propósito de la actividad. Este problema implica dos transformaciones sucesivas de la cantidad inicial: primero se multiplica y luego se resta. Posibles dificultades. Si algunos alumnos siguen utilizando el signo de la multiplicación, usted puede sugerirles que lo cambien por la expresión 3x para evitar confusiones. Podrían tener mayores dificultades para resolver la ecuación en la que se aplican dos operaciones a la cantidad inicial: una multiplicación y una suma. ¿Qué se resuelve primero? Permita que los alumnos exploren la manera de encontrar el valor de la incógnita cuando la ecuación implica una operación aditiva.

Manos a la obra i. ¿Cuál es la incógnita en el problema? • El resultado de multiplicar por 3. • El resultado que obtuvo Juan al final. • El número que pensó Juan. Juan hizo dos operaciones con el número que pensó. a) ¿Cuál fue la primera operación que hizo? b) ¿Cuál fue la segunda operación que hizo? 28

Sugerencia didáctica. Mientras los alumnos resuelven, identifique dos o tres procedimientos que puedan apoyar a los demás alumnos en el planteamiento de la ecuación y en su resolución. Pida a esos alumnos que muestren su solución a todo el grupo. En las actividades del siguiente apartado tendrán oportunidad de encontrar una forma correcta de plantear y resolver la ecuación.

Propósito de las actividades. Los alumnos podrán identificar los datos conocidos y la incógnita, así como las relaciones que se establecen entre ellos; esto les permitirá identificar la ecuación que corresponde al planteamiento del problema. Respuesta. La incógnita es el número que pensó Juan, y la ecuación correcta es 3x – 5 = 10

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MATEMÁTICAS

I

c) Una de las siguientes ecuaciones sirve para encontrar el número que pensó Juan, ¿cuál es? • 3x – 5x = 10 • 3x + 10 = 5 • 3x – 5 = 10 Comparen sus ecuaciones y soluciones.

Comenten: la ecuación 5 x – 3 = 10 no corresponde a este problema, ¿por qué? II. En la ecuación 3x – 5 = 10 se hacen dos operaciones: primero se multiplica 3 por x, y después, al resultado se le resta 5. a) ¿Qué número creen que obtuvo Juan al hacer la operación: 3x? Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron. b) En la ecuación 3x – 5 = 10, ¿cuál es la operación que hay que hacer para encontrar el valor de 3x? Completen: 3x = 10 +

e: Recuerden qu que o 3x es lo mism lo bo 3 por x. El sím ión licac de la multip para no no se pone con la confundirlo letra x.

=

c) En la ecuación 3x = 15, ¿cuál es la operación que hay que hacer para encontrar el valor de x? Completen:

x = 15 ÷

=

d) En sus cuadernos, comprueben el valor que encontraron para el número que pensó Juan, sustituyéndolo en la ecuación. III. Ana pensó un número. Lo dividió entre 4 y después, a lo que le salió, le sumó 6. Al final obtuvo 11.

b) ¿Cuál es la segunda operación que hizo Ana? c) Escriban una ecuación para encontrar el número que Ana pensó. Usen la letra y para representarlo.

y÷4+

=

y=

e) Comprueben la solución en sus cuadernos. Comparen sus ecuaciones y soluciones. Comenten: La ecuación y – (2 ÷ 8) no corresponde al problema, ¿por qué?

29

Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos efectivamente hagan la comprobación en sus cuadernos; para ello, deben sustituir la incógnita por el valor que encontraron: 20 ÷ 4 + 6 = 5 + 6 = 11

Propósito de la actividad. Para encontrar el valor de la incógnita deben considerar que la operación inversa de la resta es la suma; por lo tanto, para saber cuál fue el número que obtuvo Juan al hacer la operación 3x , es necesario sumar 5 al resultado final: 10 + 5 = 15 Propósito de la actividad. La operación inversa de la multiplicación es la división, por lo tanto, tendrían que dividir 15 ÷ 3 para encontrar el valor de x .

a) ¿Cuál es la primera operación que hizo Ana?

d) ¿Cuál es el valor de y?

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que argumenten por qué esa ecuación no corresponde con el problema. Deben darse cuenta de que en esta ecuación los números no corresponden con las operaciones realizadas. Puede pedir que sustituyan x por el valor encontrado anteriormente, para ver si obtienen el mismo resultado que con la ecuación correcta.

3 Sugerencia didáctica. Anime a los alumnos para que argumenten por qué esa ecuación no resuelve el problema (una posible respuesta es que ni las operaciones ni los números coinciden con los del problema planteado). Si los argumentos no son suficientes, pueden sustituir la incógnita por el valor que ya encontraron, y ver si obtienen el mismo resultado.

Sugerencia didáctica. Puede pedir a un alumno que haga la comprobación en el pizarrón. Pida a los alumnos que regresen a la solución que dieron al mismo problema al inicio de la sesión, para que comparen la ecuación y la solución que dieron en ese momento con lo que obtuvieron ahora. Pídales que hagan las correcciones necesarias. Propósito de la actividad. Al igual que en la actividad anterior, se pretende que los alumnos identifiquen que en la ecuación hay dos operaciones, una multiplicativa (en este caso la división y ÷ 4) y otra aditiva (en este caso, la suma + 56), y que primero se resuelve la operación aditiva mediante la operación inversa: al resultado final se debe restar 6, que es lo que se había agregado. Respuesta. Pueden utilizar y y ÷ 4 + 6 = 11 o también r + 6 = 11

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s e c ue n c ia 1 8

A lo que llegamos Para resolver ecuaciones en las que se hacen dos operaciones con la incógnita, como 5x + 1 = 21, hay que respetar el orden de las operaciones. Una manera de resolver estas ecuaciones es la siguiente: Primero. Encontrar el valor de 5x: 5x = 21 – 1 5x = 20

Segundo. Encontrar el valor de x:

Propósito de la actividad. La incógnita de la ecuación que corresponde a este problema está determinada por dos operaciones. Se espera que, a partir de lo que trabajaron en la actividad anterior, los alumnos puedan identificar la ecuación que corresponde al problema y resolverla.

x = 20 ÷ 5 x=4 En la ecuación (y ÷ 6) – 8 = 4 se pone un paréntesis para indicar que primero se divide entre 6 y después se resta 8. Nuevamente se resuelve la ecuación respetando el orden de las operaciones: Primero. Se encuentra el valor de y ÷ 6: y÷6=4+8 y ÷ 6 = 12 Segundo. Se encuentra el valor de y: y = 12 × 6 y = 72 iV. En el rectángulo de la figura 1 la medida de la base es igual al doble de la medida de la altura más 1 cm.

Respuesta. La segunda ecuación (2a + 1 = 7.2) y la cuarta (a × 2 + 1 = 7.2) permiten encontrar el valor de la altura.

a

7.2 cm Figura 1

De las siguientes ecuaciones señalen las que sirven para encontrar la altura. • a × 2 + 7.2 = 1 • 2 a + 1 = 7.2 • (a ÷ 2) + 1 = 7.2 • a × 2 + 1 = 7.2 Comparen las ecuaciones que escogieron y comenten: a) ¿Cuáles son las operaciones que se hacen en este problema? b) ¿Cuáles son las dos ecuaciones que permiten resolver el problema? 30

Respuesta. La segunda y la cuarta ecuación son las correctas. Conviene que aclare a los alumnos que la respuesta óptima es la segunda ecuación, pues en la cuarta se está utilizando el signo × para indicar la multiplicación, lo cual podría resultar confuso. En caso de que haya alumnos que hayan elegido otras ecuaciones, puede pedirles que las resuelvan y que después hagan la comprobación, para que de esa manera se percaten del error.

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MATEMÁTICAS

I

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos apliquen lo aprendido en las sesiones anteriores para resolver estos problemas. Una particularidad de los problemas que aquí se plantean, es que se hace uso de números decimales.

Encuentren el valor de la altura y comprueben su respuesta sustituyéndolo en la ecuación.

Lo que aprendimos 1. La mitad del número de alumnos que hay en primer año más 29 es igual a 44. a) Escribe una ecuación para este problema: b) ¿Cuántos alumnos hay en primer año?

Sugerencia didáctica. Para cada uno de los siguientes problemas solicite a los alumnos que hagan las comprobaciones en sus cuadernos. Recuérdeles también que pueden usar las literales que quieran.

2. En tu cuaderno resuelve los siguientes problemas. Puedes usar ecuaciones. a) Si pienso un número, lo multiplico por 2, a lo que me sale le resto 3 y al final obtengo 15.8. ¿Cuál es el número que pensé? b) Si a la cuarta parte de un número le sumo 23.5 obtengo 117.7. ¿Cuál es el número? 3. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones. Escribe los procedimientos en tu cuaderno. a) 3x + 0.1 = 10

a

Respuestas. w + 29 = 44. También (a ÷ 2) + 29 = 44. El número de alumnos es 30 (puede usar cualquier literal).

b) (x ÷ 2) + 44 = 100 c) x + 23 − 15 = 29.2 d) (x ÷ 3) + 25 = 46 4. Un reto. Resuelve el siguiente problema. Intenta hacerlo solo, pero si tienes dudas, puedes consultar a tu maestro o a otros compañeros.

Respuestas. a) 2x – 3 = 15.8 2x = 18.8 xx = 9.4

Eugenio abrió una cuenta en el banco con cierta cantidad inicial de dinero, pero no recuerda cuánto. Después de un tiempo esta cantidad inicial se triplicó. Eugenio retiró todo el dinero que tenía y gastó 150 pesos. El resto lo repartió entre tres amigos, de modo que a cada uno le tocaron 100 pesos. Ayúdale a Eugenio a recordar cuánto dinero depositó en el banco. a) Escribe una ecuación que corresponda a este problema.

b) xr + 23.5 = 117.7

b) Resuelve la ecuación en tu cuaderno.

r = 94.2

c) ¿Cuánto dinero depositó Eugenio en el banco?

x = 376.8

Para saber más

Respuestas. a) x = 3.3 b) x = 112 c) x = 21.2 d) x = 63

Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a las incógnitas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Tahan, Malba. El hombre que calculaba. Trad, Basilio Lozada. México: SEP/Editorial Limusa, Libros del Rincón, 2005. 31

Propósito del interactivo. Resolver ecuaciones mixtas de primer grado respetando el orden de las operaciones.

Integrar al portafolios. Si identifica dificultades para plantear la ecuación, pida a uno o dos alumnos que lo hayan hecho correctamente que la escriban en el pizarrón. Usted puede preguntar: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cómo fue cambiando el dinero que inicialmente tenía Eugenio? ¿Con cuánto dinero se quedó al final? ¿Cómo podemos plantear la igualdad? Si los alumnos tienen dificultades para resolver la ecuación repase con ellos el apartado A lo que llegamos de las sesiones 2 y 3 de esta secuencia.

Respuestas. 3x – 150 = 300 (3x – 150) ÷ 3 = 100

Con el propósito de apoyar a aquellos alumnos que aún no hayan comprendido el problema, y para revisar una forma más de resolverlo sin plantear la ecuación, usted puede comentar el siguiente procedimiento: Si repartió $100 a cada amigo quiere decir que a Eugenio le quedaban $ 300. Si gastó $150, entonces tenía $450 (considerando los $300); esa fue la cantidad que retiró. Si esa cantidad se obtuvo al triplicarse su dinero, entonces inicialmente había depositado $150. 31

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Propósito de la sesión. Identificar que no siempre es posible construir un triángulo dadas 3 medidas. Conocer la propiedad que deben cumplir 3 medidas para que sea posible trazar un triángulo.

secuencia 19

Existencia y unicidad

Materiales. Popotes o tiras de cartoncillo, tijeras, regla y compás. Organización del grupo. Se sugiere que el problema inicial se resuelva en equipos, y el apartado Manos a la obra, en parejas.

En esta secuencia construirás triángulos y cuadriláteros, y analizarás las condiciones de existencia y unicidad. sEsión 1

Propósito de la actividad. Que los alumnos desarrollen su capacidad para cuestionarse acerca de dos hechos: 1) ¿Tiene solución este problema? Es decir, ¿existe la solución? 2) Si existe la solución, ¿es única o son varias las soluciones correctas? Se espera que los alumnos se den cuenta de que, dadas 3 medidas, no siempre es posible construir un triángulo cuyos lados tengan, precisamente, esas medidas. Es decir, se trabaja en torno de la existencia o no existencia de la solución de un problema.

Para empezar

Cuando se pide construir una figura geométrica con ciertas condiciones, a veces es posible hacerlo y a veces no. Por ejemplo, ¿crees que sea posible trazar un triángulo cuyos lados midan 10 cm, 1 cm y 1 cm?; ¿por qué? Éste es el tipo de reflexiones que realizarás a lo largo de la secuencia. Es importante que hagas tus suposiciones o hipótesis y luego trates de comprobarlas.

Consideremos lo siguiente Recorten popotes de las siguientes medidas.

3 cm

2 cm

5 cm

4 cm

6 cm

8 cm

Traten de formar triángulos, usando como lados tres de los pedazos de popotes que cortaron. Completen la siguiente tabla, anoten cuando sea posible formar el triángulo. Medida de los popotes para formar el triángulo

Posibles procedimientos. Tal vez algunos alumnos no necesiten manipular los popotes para completar la tabla; si es así, pídales que los usen después para comprobar sus hipótesis; esto permitirá que los integrantes del equipo validen los resultados obtenidos.

Respuesta. Sólo es posible formar

¿ExistE o no ExistE?

¿Es posible formar el triángulo?

8 cm, 3 cm, 2 cm 8 cm, 6 cm, 4 cm 8 cm, 4 cm, 2 cm 6 cm, 4 cm, 3 cm 6 cm, 3 cm, 2 cm

32

triángulos con las medidas 8, 6 y 4 cm, y con las medidas 6, 4 y 3 cm.

Eje

Propósitos de la secuencia Construir triángulos y cuadriláteros. Analizar las condiciones de existencia y unicidad

Forma, espacio y medida.

Tema Figuras geométricas.

Sesión

Antecedentes A diferencia de las construcciones geométricas que se realizan en la escuela primaria, en este grado se espera que con base en procedimientos específicos los alumnos logren anticipar, probar y justificar los datos que son necesarios y suficientes para llevar a cabo una construcción. Para ello se apoyarán en procedimientos que ya conocen: - Trazos con regla y compás de triángulos y cuadriláteros. - Trazo de ángulos dada su medida.

1

2

Título y propósitos de la sesión ¿Existe o no existe? Identificar que no siempre es posible construir un triángulo dadas 3 medidas. Conocer la propiedad que deben cumplir 3 medidas para que sea posible trazar un triángulo.

¿Es uno o son muchos? Analizar y explorar casos sencillos de existencia y unicidad en la construcción de cuadriláteros.

Recursos Interactivo “Desigualdad triangular” Video ¿Es uno o son muchos? Aula de medios “Es uno o son muchos” (Geometría dinámica)

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MATEMÁTICAS

I

a) ¿Siempre fue posible construir triángulos con las tres longitudes? b) Escriban tres longitudes de los popotes que no estén en la tabla con las que crean que sí es posible construir un triángulo .

,

,

c) Escriban tres longitudes de los popotes que no estén en la tabla con las que crean que no es posible construir un triángulo.

,

,

Comenten sus hallazgos y resultados con sus compañeros de grupo. Expliquen cuándo creen que dadas tres longitudes es posible construir un triángulo y cuándo no es posible.

Manos a la obra I. Recuerden cómo se construye con regla y compás un triángulo si se conocen las medidas de sus lados. Construir un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 4 cm y 3 cm. Paso 1. Se traza un segmento de cualquiera de las medidas dadas, por ejemplo, 6 cm.

Paso 2. Se abre el compás a cualquiera de las otras dos medidas y con centro en un extremo del segmento, se traza un arco.

Paso 3. Se abre el compás a la tercera medida y con centro en el otro extremo del segmento, se traza un arco que cruce al anterior.

Paso 4. Se unen los extremos del segmento con el punto donde se cortan los arcos y se obtiene el triángulo pedido.

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Sugerencia didáctica. Aunque los alumnos estudiaron el trazo de triángulos en la primaria es probable que ya no lo recuerden, por ello cerciórese de que las parejas sigan de manera correcta los pasos enunciados. Permita que sean ellos quienes interpreten las instrucciones; si nota que tienen dificultades, trate de auxiliarlos.

Respuestas. a) No. b) La medida que los alumnos propongan para cada uno de los lados debe ser menor que la suma de los otros dos lados. Podrán anotar cualquiera de las siguientes opciones: (8, 6, 5); (8, 6, 4); (8, 6, 3); (8, 5, 4); (6, 5, 4); (6, 5, 3); (6, 5, 2); (6, 4, 3); (5, 4, 3); (5, 4, 2); (4, 3, 2). c) Debe haber un lado que sea mayor o igual que la suma de los otros dos. El alumno podrá contestar cualquiera de las siguientes opciones: (8, 6, 2); (8, 5, 3); (8, 5, 2); (8, 4, 3); (8, 4, 2); (8, 3, 2); (6, 4, 2); (6, 3, 2); (5, 3, 2). Sugerencia didáctica. Recomiende a los alumnos que para verificar rápidamente si las medidas propuestas permiten formar un triángulo, sumen las medidas de los lados menores. Esa suma debe ser mayor que la longitud del lado más grande. Cuando se comparen las respuestas de los incisos b) y c) invite a los alumnos a que las verifiquen usando los popotes. Pregunte también cómo podrían saber si se puede o no formar el triángulo, pero sin usar los popotes. Esto tiene el propósito de que analicen las ternas de números y traten de encontrar la relación entre ellos para determinar la existencia o no existencia del triángulo.

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Propósito de la actividad. Con los incisos c), d) y e) se promueve que los alumnos identifiquen que dadas dos magnitudes para los lados de un triángulo, éste no queda completamente definido, lo que da lugar a varias respuestas.

secuencia 19 ii. Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar en su cuaderno triángulos cuyos lados midan a) 8 cm, 9 cm, 7 cm. b) 9 cm, 5 cm, 6 cm. c) 6 cm, 3 cm, 2 cm. iii. Respondan las preguntas: a) ¿Pudieron trazar los tres triángulos?

Respuestas. a) y b) El triángulo con las medidas 6, 3 y 2 cm es imposible de trazar. c) El tercer lado puede medir 8, 7, 6, 5 o 4 cm, aunque también puede tener una medida no entera, como 6.5, 7.5 cm; es probable que los alumnos no consideren estas soluciones, pero si alguno lo hace será interesante comentarla en el grupo. d) Si la tercera medida es un número entero, entonces hay 5 soluciones: 8, 7, 6, 0 y 4. e) El triángulo que los alumnos tracen deberá cumplir con la condición de las medidas que se dan. El tercer lado deberá medir más de 3 cm y menos de 9 cm.

b) ¿Cuál fue imposible trazar? c) Si dos lados de un triángulo miden 6 cm y 3 cm, indiquen una posible longitud para el tercer lado, de manera que se pueda trazar el triángulo. d) Tracen en su cuaderno triángulos en los que dos de sus lados midan 6 cm y 3 cm y el tercer lado tenga la longitud que ustedes indiquen. e) Si se pone la condición de que la medida del tercer lado sea un número entero, ¿cuántos triángulos diferentes pueden trazarse con dos lados que midan 6 cm y 3 cm?

iV. Propongan tres medidas de lados diferentes a las anteriores para que puedan trazar un triángulo. a) ¿Cuáles son esas medidas? b) Tracen el triángulo en su cuaderno y verifiquen su hipótesis; si no se puede trazar, intenten con otras medidas. V. Sin hacer trazos, anoten Medida de los lados

¿Existe el triángulo?

10 cm, 5 cm, 5 cm 8 cm, 9 cm, 2 cm 1 cm, 0.5 cm, 2 cm 2.5 cm, 3 cm, 1.5 cm

Propósito del interactivo. Explorar cómo deben ser las medidas de los lados de un triángulo para poder trazarlo. Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, observe qué medidas son las que propusieron, de tal manera que usted pueda identificar si los alumnos han elaborado ya alguna hipótesis respecto de las condiciones para que sea posible el trazo de un triángulo. Asegúrese de que los alumnos efectivamente construyan el triángulo en sus cuadernos para que puedan verificar sus respuestas.

a los triángulos que sí pueden trazarse.

N,

4 cm, 3

N, cm, 9 cm

Comenten sus respuestas con sus compañeros de grupo, traten de concluir qué condición deben cumplir las tres medidas de los lados de un triángulo.

34

Sugerencia didáctica. Es importante que para completar esta tabla ya no hagan uso de los popotes ni de los trazos, sino que atiendan a las relaciones entre los lados con el fin de que pongan en juego las conjeturas que fueron construyendo a lo largo de las actividades anteriores. En la puesta en común tendrán oportunidad de validar sus respuestas.

Respuestas. Sólo es posible trazar un triángulo con las siguientes medidas: 8, 9 y 2 cm, y 2.5, 3 y 1.5 cm. En el caso del primer renglón de la tabla, es la primera vez que se presenta un caso en el que la suma de dos lados es igual a la del lado mayor. Pida a los alumnos que comenten por qué no es posible trazar este triángulo.

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MATEMÁTICAS

I

2

A lo que llegamos No siempre es posible construir un triángulo cuando se dan tres medidas de los lados, por ejemplo, no existe un triángulo cuyos lados midan 7 cm, 4 cm y 2 cm.

Para que el triángulo exista, cada uno de los lados debe ser menor que la suma de los otros dos.

Sugerencia didáctica. Además de leer la información, pueden reproducirla con sus propias palabras de manera verbal o por escrito en sus cuadernos; también pueden dar ejemplos diferentes a los mostrados o localizar en el mismo libro alguna actividad que la identifique.

Por ejemplo, sí existe un triángulo cuyos lados midan 7 cm, 4 cm y 5 cm, porque: 7 es menor que 4 + 5.

4 es menor que 7 + 5. 5 es menor que 7 + 4.

¿Es UnO O sOn MUCHOs?

sEsión 2

Para empezar

En la lección anterior te diste cuenta de que a veces es posible trazar triángulos con ciertas medidas, y a veces no. En esta lección explorarás los cuadriláteros, ¿los recuerdas? Son figuras de cuatro lados.

trapecio cuadrado

rectángulo

rombo

romboide

Se analizará si, dadas ciertas condiciones, es posible trazar uno o muchos cuadriláteros. 35

Sugerencia didáctica. De manera breve, haga un recordatorio sobre lo que es un cuadrilátero, solicitando a los alumnos que mencionen las características principales de los cuadriláteros que aquí se muestran y de otros que conozcan.

Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos que realicen el siguiente ejercicio: a) Proponer unas medidas, distintas a las que se han dado anteriormente, con las cuales sea imposible construir un triángulo. Escribir por qué no es posible construirlo. b) Proponer unas medidas (distintas a las de los ejercicios anteriores) con las cuales sí sea posible construir un triángulo. Trazar el triángulo. Si los alumnos muestran dificultades para establecer cuáles son las condiciones para que esta figura exista, revise nuevamente con ellos la información del apartado A lo que llegamos. Propósito de la sesión. Analizar y explorar casos sencillos de existencia y unicidad en la construcción de cuadriláteros. Organización del grupo. Se sugiere trabajar en equipos durante toda la sesión, incluyendo momentos de intercambio con todo el grupo. Materiales. - Popotes o tiras de cartoncillo cortados en las medidas que se indican. - Tachuelas o hilo y aguja. - Regla, compás, escuadras y transportador.

35

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Sugerencia didáctica. La manipulación con material concreto es de gran ayuda para ciertos aprendizajes matemáticos. En este caso, el uso del material que se sugiere ayudará a que los alumnos se den cuenta de que existen rombos que son diferentes aunque sus lados midan lo mismo. Notarán que la medida de los popotes no varía, pero la medida de los ángulos que forman sí. Asegúrese de que se cuente con este material de manera oportuna y que los alumnos efectivamente lo empleen para realizar las actividades que se indican.

secuencia 19

Consideremos lo siguiente Recorten 4 popotes de 6 cm y armen con ellos un rombo; unan los popotes cosiéndolos con hilo o poniéndoles una tachuela.

6 cm

Observen que el rombo va cambiando al jalar dos de sus vértices opuestos. a) Cambien el rombo hasta formar un cuadrado. b) Cambien el rombo hasta que formen otro cuyos ángulos midan 120°

Sugerencia didáctica. Para el inciso a) es necesario que los alumnos se cercioren de que, efectivamente, su figura es un cuadrado; para ello pueden usar el ángulo recto de una hoja, de una escuadra o el transportador. Para el inciso b) pueden usar el ángulo de 60º de la escuadra o el transportador. Respecto del inciso d), al jalar los vértices se forman rombos diferentes, debido a que cambia la medida de los ángulos.

y 60°. c) Cada vez que jalan los vértices ¿se forma un rombo diferente al anterior?

d) ¿Qué es lo que varía en estos rombos? e) Si se te pide que traces un rombo cuyos lados midan 6 cm, ¿hay una solución o varias?

. ¿Por qué?

Comenten y comparen sus respuestas con las de otros compañeros. En particular, mencionen: • ¿Cuántos rombos diferentes que midan 6 cm de lado pueden trazar? • ¿Qué otro dato es necesario dar para que los rombos que se tracen sean todos iguales en forma y tamaño?

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36

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MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. En las actividades 1 y 2 es posible que los alumnos piensen que para hacer el trazo necesitan un dato más (la altura o la base, respectivamente). Mientras los equipos resuelven, hágales ver que lo que deben trazar es un rectángulo que cumpla con la condición pedida y que con ello están resolviendo el problema planteado; se espera que los alumnos se den cuenta de que se pueden trazar muchos rectángulos diferentes, construyendo gradualmente la idea de que para trazar un rectángulo y para que éste quede definido, se requiere, en este caso, saber tanto la medida de la base como de la altura (esto podrán verlo en el ejercicio 3).

Manos a la obra I. Tracen lo que se pide: 1. Un rectángulo cuya base sea el siguiente segmento:

¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden trazar? 2. Un rectángulo cuya altura sea el siguiente segmento:

¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden trazar? 3. Un rectángulo cuya base y altura sean los siguientes segmentos:

a) ¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden trazar en la actividad 3? b) ¿Cuántas medidas del rectángulo deben darse para que sólo pueda trazarse un rectángulo? 37

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secuencia 19 Propósito de la actividad. Los ii. Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar en su cuaderno un romboide cuya alumnos deberán percatarse de base mida 8 cm y su altura 5 cm. que existen ciertas condiciones Comparen sus romboides. que dan lugar al trazo de figuras a) ¿Cumplen con las condiciones pedidas: base 8 cm y altura 5 cm? diferentes, y que existen condiciones que permiten determinar a una b) ¿Son iguales todos los romboides que trazaron? figura de manera única. En el caso c) ¿En qué varían? del romboide que se sugiere, los d) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar que midan 8 cm de base y 5 cm alumnos identificarán que la base de altura? y la altura no son datos suficientes secuencia 19 e) ¿Qué otro dato es necesario dar para que sólo exista UN romboide con esas caracpara determinarlo, pero que si se terísticas? ii. Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar en su cuaderno un romboide cuya da el valor de un ángulo interior, base mida 8 cm y suf)altura 5 romboide cm. cuya base mida 7 cm, altura 5 cm y con un ángulo de 45°. Tracen un entonces es posible determinarlo de g) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar con estas características? Comparen sus romboides. manera única. Sugerencia didáctica. En la confrontación de resultados procure que los alumnos distingan un caso del otro y que hagan explícitas cuáles son las condiciones para cada uno de ellos.

a) ¿Cumplen con las condiciones pedidas: base 8 cm y altura 5 cm?

Propósito de la actividad. Todos los casos propuestos en la tabla permitirán a los alumnos establecer hipótesis y conjeturas acerca de la existencia y unicidad de las figuras, dadas ciertas condiciones, al mismo tiempo que tendrán que explorar posibles soluciones y validar o desechar sus hipótesis iniciales.

d) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar que midan 8 cm de base y 5 cm

3

Característicasque trazaron? b) ¿Son iguales todos los romboides

c) ¿En qué varían?

¿Existe uno o varios o no existe?

Un rombo cuyo lado mida 9 cm Un cuadrado cuyo lado mida 6 cm

de altura?

Un cuadrilátero cuyos lados midan 10 cm, 5 cm, 2 cm y 1 cm Un romboide cuya base mida 6 cm y uno de sus ángulos 130°

e) ¿Qué otro dato es necesario dar para que sólo exista UN romboide con esas caracUn rombo que tenga dos ángulos opuestos terísticas?

que midan 40° y los otros dos 140°

Un trapecio isósceles cuya base mayor mida 6 cm y la base menor 4 cm

f) Tracen un romboide cuya cuya base midamida 7 cm, Un cuadrado diagonal 10 cm altura 5 cm y con un ángulo de 45°. g) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar con estas características? Comparen con otros compañeros de grupo los resultados que obtuvieron; argumenten sus respuestas. 38

En el caso del cuadrilátero del tercer renglón, si el tiempo se lo permite, invite a los alumnos a construirlo y a que argumenten por qué no es posible hacerlo. La razón es que la suma de las longitudes de los tres lados más pequeños es menor que la longitud del lado más grande. Durante la puesta en común, invite a los alumnos a que ellos mismos se hagan cargo de la validación y defiendan sus respuestas, o que reconozcan cuando algún compañero les demuestre que están equivocados. Estas habilidades y actitudes son tan importantes como el contenido que se pretende que ellos construyan. 38

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iii. Analicen los datos y anoten si es posible trazar uno varios cuadriláteros con las características que se piden en cada caso.

iii. Analicen los datos y anoten si es posible trazar uno varios cuadriláteros con las características que se piden en cada caso. Características

¿Existe uno o varios o no existe?

Un rombo cuyo lado mida 9 cm

Varios (pueden variar los ángulos)

Un cuadrado cuyo lado mida 6 cm

Uno (la medida de los ángulos es de 90°)

Un cuadrilátero cuyos lados midan 10 cm, 5 cm, 2 cm y 1 cm Un romboide cuya base mida 6 cm y uno de sus ángulos 130°

No existe (la medida del lado mayor no debe exceder la suma de los otros 3) Varios (el otro lado puede tener cualquier longitud)

Un rombo que tenga dos ángulos opuestos que midan 40° y los otros dos 140°

Varios (puede variar la medida de los lados)

Un trapecio isósceles cuya base mayor mida 6 cm y la base menor 4 cm

Varios (puede variar la altura)

Un cuadrado cuya diagonal mida 10 cm

Uno (es un cuadrado de lado raíz cuadrada de 50)

Comparen con otros compañeros de grupo los resultados que obtuvieron; argumenten sus respuestas. 38

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MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. Para cerrar la sesión, además de comentar lo enunciado puede invitar a los alumnos a que ilustren casos en que las condiciones pedidas no pueden cumplirse para trazar un cuadrilátero, casos en que se cumplen pero hay varias soluciones posibles y casos en que el cuadrilátero queda determinado de manera única.

A lo que llegamos Si se pide que se trace un trapecio isósceles cuya base mayor mida 3 cm y su base menor mida 2 cm, puedes observar que existen varias soluciones. Cada trapecio tiene diferente altura, pero cumple con las medidas de las bases.

En cambio, si se pide un trapecio isósceles cuya base mayor mida 5 cm, la base menor 4 cm y la altura 2 cm, todos los trapecios isósceles que se tracen con estas características serán iguales en forma y tamaño.

¿Es uno o son muchos? Ahora ya sabes que cuando se dan ciertas condiciones para hacer trazos geométricos, es probable que la figura con esas condiciones no pueda trazarse o, en caso de que sí pueda trazarse, es probable que tenga varias respuestas correctas o sólo una.

Para saber más Sobre las propiedades de los triángulos y cuadriláteros consulten: http://matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=trianprop [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

39

Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos que realicen el siguiente ejercicio: a) Proponer las medidas para trazar un cuadrilátero (el que cada alumno elija), de tal manera que sea posible trazar varios cuadriláteros de distinto tamaño y forma. Trazar dos cuadriláteros. b) Proponer las medidas para trazar el cuadrilátero que eligieron anteriormente, de tal manera que todos los cuadriláteros que se tracen con esas medidas sean del mismo tamaño y forma. Trazar un cuadrilátero. Si los alumnos muestran dificultades para establecer cuáles son las características que cumplen con las condiciones anteriores, revise nuevamente con ellos las actividades I y II del apartado Manos a la obra y la información del apartado A lo que llegamos.

Propósito del video. Plantear y solucionar algunos problemas de trazo de triángulos y cuadriláteros con solución única o varias soluciones diferentes.

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Propósito de la sesión. Aplicar conocimientos sobre el cálculo de áreas y perímetros en la resolución de problemas.

secuencia 20

Áreas y perímetros

Organización del grupo. Se recomienda que los alumnos resuelvan todos los problemas organizados en parejas y que al final se comparen los resultados. Si lo considera conveniente, pueden resolver un problema e inmediatamente comparar los resultados.

En esta secuencia resolverás problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios, y establecerás relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas figuras. También realizarás conversiones de medidas de superficie.

Materiales. Instrumentos geométricos y calculadora. Propósito de la actividad. Que los alumnos decidan qué medidas deben tomar para calcular el área de una figura determinada.

sesión 1

Eje Forma, espacio y medida.

Tema Medida.

Lo que aprendimos 1. Para cada polígono regular midan lo que sea necesario y calculen su área. Uno de ustedes utilice el método de sumar las áreas de los triángulos, y el otro la fórmula del área.

40

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios y establecer relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas figuras. Realizar conversiones de medidas de superficie.

Sesión

Antecedentes Desde primer grado de primaria los alumnos han tenido contacto con las magnitudes de área y longitud. Se espera que en este grado los alumnos ya sepan calcular áreas utilizando diferentes procedimientos; particularmente en la secuencia 14 tuvieron la oportunidad de justificar algunas fórmulas para calcular áreas y perímetros. En esta ocasión continuarán resolviendo problemas de cálculo de áreas vinculando ese conocimiento con otros, por ejemplo, con las ecuaciones y con las situaciones de variación proporcional.

Para empezar

Tanto en la primaria como en las secuencias 4 y 14 has estudiado, conocido y justificado algunas fórmulas para calcular perímetros y áreas. Ahora se trata de que apliques estos conocimientos a la resolución de problemas. ¿Listo?

Posibles dificultades. Es probable que no puedan hacer mediciones exactas y, por lo tanto, que los resultados sean distintos. Proponga que utilicen aproximaciones. Esta es una oportunidad para reflexionar sobre la dificultad de obtener medidas exactas, así como sobre la necesidad de establecer un margen de error aceptable. Sugerencia didáctica. Pueden revisar la secuencia 14 con el fin de recordar la fórmula para calcular el área de un polígono regular. Es importante que los alumnos decidan qué es lo que tienen que medir para calcular el área de cierta figura, si usted les da todos los datos para que sólo hagan las operaciones, la situación se reduce a cálculos aritméticos. Mientras resuelven, identifique dificultades que usted pueda retomar en la comparación de resultados. Por ejemplo, en los alumnos que apliquen la fórmula usted puede observar cómo determinan la medida del apotema.

Problemas de aPlicación

Título y propósitos de la sesión

1

Problemas de aplicación Aplicar conocimientos sobre el cálculo de áreas y perímetros en la resolución de problemas.

2

Relaciones importantes Resolver problemas de áreas en los que se debe plantear una ecuación o identificar relaciones de variación proporcional.

3

Medidas de superficie Resolver problemas que implican conversiones de unidades de superficie.

Recursos

Video Medidas de superficie

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MATEMÁTICAS

I

2. De los siguientes triángulos, elijan el lado que quieran como base y tracen la altura correspondiente. Tomen las medidas necesarias y calculen el área y el perímetro.

e: Recuerden qu te En el siguien ha triángulo se de sus trazado una alturas.

Área

Área

Perímetro

Perímetro

perpenLa altura es do que dicular al la o base y se elige com vértice el r po sa pa En sus cuadernos tracen un triángulo que tenga la misma área que el primer triángulo e lado. opuesto a es de este ejercicio. 3. ¿Cuál es el área del siguiente terreno de forma irregular? Tomen las medidas necesarias y consideren que la escala es 1:200.

41

Posibles procedimientos. Este problema es de mayor complejidad que los anteriores no sólo porque se trata de una figura irregular y los alumnos tendrán que decidir cómo hacer particiones, sino también porque es una figura hecha a escala. Una forma de resolverlo es dividir el terreno en figuras conocidas, (pueden ser triángulos, rectángulos y romboides), calcular el área de cada una de ellas considerando desde un inicio la escala (1 cm en el dibujo equivale a 200 cm) y después sumar las áreas para obtener el área total. Si los alumnos no consideran la escala

Sugerencia didáctica. Un aspecto que es interesante observar en los procedimientos de los alumnos es cómo determinan la altura de cada uno de los triángulos; particularmente para el caso del segundo triángulo, si eligen como base el lado de menor longitud necesitarán prolongar este lado para poder trazar la perpendicular que va al vértice opuesto. Sin embargo, es probable que pocos alumnos hagan esto, por lo que usted puede aprovechar la comparación de resultados para plantear esta situación. También es pertinente que los alumnos reflexionen en torno de que aun cuando se hayan considerado distintas alturas en cada uno de los triángulos, el área debe ser la misma. Sugerencia didáctica. Puede dejar este ejercicio como tarea. Los alumnos tienen dos posibilidades para trazar un triángulo distinto pero con la misma área que el de la lección: pueden utilizar las mismas medidas de la base y la altura, pero deben “mover” la altura (que pase por la mitad de la base, por ejemplo) para que el triángulo resulte distinto al de la lección. Otra forma es variar las medidas de la base y de la altura de tal manera que obtengan la misma área.

desde un inicio, pueden obtener el área del dibujo y aplicar después la escala, aunque esto es más complejo: el área obtenida en el dibujo es aproximadamente de 24 cm2 , y 1 cm en el dibujo equivale a 200 cm, entonces 1 cm2 equivale a 40 000 cm2. El área es de 96 000 cm2. Seguramente las diferencias en las medidas serán más notorias en este caso, pero siempre dentro de un margen de error en el que los alumnos tendrán que decidir si tales diferencias se deben a las imprecisiones al medir o a un cálculo erróneo.

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Sugerencia didáctica. Si los alumnos no recuerdan la fórmula, recomiéndeles que consulten la secuencia 14. Respuesta. La fórmula es A = D × d , y el resultado es 1 750 cm2.

secuencia 20 4. Alejandro va a hacer un papalote en forma de rombo, quiere que las diagonales midan 50 cm y 70 cm. ¿Qué superficie estará en contacto con el viento? 5. Se va a construir la barda de un terreno con las siguientes medidas:

2

Integrar al portafolios. El reto que tienen los alumnos con este problema es que aun cuando se dan las medidas, deberán decidir cuáles de ellas deben tomar en cuenta para calcular lo que se cobrará en cada caso (el costo de los cimientos, de los castillos y del tabique). Tal vez las dificultades que se presenten tengan que ver precisamente con no poder decidir qué medidas considerar, por ello es importante que durante la comparación de resultados dedique mayor tiempo para analizar cuáles son la medidas que los alumnos deben tomar en cuenta y por qué. Respuestas. - Costo de los cimientos: se requiere calcular el perímetro del terreno, que es de 36 m, y se multiplica por el costo de cada metro: 36 × 200 = $7 200. - Costo de los castillos: son 9 castillos y cada castillo tiene 3 m de altura, es decir que son 27 metros en total. 27 × 80 = $2 160. - Costo de la barda: quitando el hueco para el zaguán, la barda tiene un perímetro de 33 m. Considerando los 3 m de altura: 33 m × 3 m de altura son 99 m2 de barda: 99 × 50 = $4 950. - El costo total de la mano de obra es de $14 310.

3m (hueco para el zaguán)

8m

s y los Los cimiento dan le os ill st ca barda fuerza a la eda para que pu techo y sostener el otros pisos.

10 m Castillo

Los albañiles cobran lo siguiente: Metro de cimientos

Cimientos

$200

Metro de castillos

$80

Metro cuadrado de tabique

$50

• La barda será de una altura de 3 m. • Cada punto negro indica el lugar donde se pondrá un castillo. • El tabique se cobra parejo, sin descontar el espacio que ocupan los castillos. • Los cimientos van alrededor de todo el terreno, incluso en la parte del zaguán. a) ¿Cuánto se pagará de mano de obra a los albañiles?

42

42

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MATEMÁTICAS

I

Comparen todos los procedimientos y resultados con los de otras parejas y, además, comenten: a) La dificultad de tomar medidas exactas en algunos de los ejercicios anteriores y la manera en que esto se refleja en resultados diferentes, aunque muy cercanos. b) La manera en que se trazan y miden las alturas de los triángulos.

relaciones imPortantes

Para empezar

sesión 2

En sesiones anteriores aprendiste a resolver ecuaciones, recuerda que el dato desconocido se llama incógnita y que puede representarse con una letra. En varias secuencias has estudiado la proporcionalidad y has elaborado tablas de proporcionalidad. Ahora te invitamos a que apliques tus conocimientos de ecuaciones y proporcionalidad para resolver problemas relacionados con el perímetro y el área de figuras.

Propósito de la sesión. Resolver problemas de áreas en los que se debe plantear una ecuación o identificar relaciones de variación proporcional.

Lo que aprendimos 1. Para cada problema deben plantear la ecuación correspondiente y resolverla. a) Doña Lupita usó 1.60 m de listón que colocó alrededor de una servilleta cuadrada para las tortillas. ¿Cuánto mide de lado la servilleta?

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan en equipo todas las actividades de la sesión. Propósito de las actividades. Que los alumnos recurran a otros conocimientos que tienen vínculos con el cálculo de áreas y perímetros; en los primeros 4 problemas ponen en juego el planteamiento y la resolución de ecuaciones, y en los siguientes problemas se explora la noción de variación proporcional vinculándola con problemas de áreas y perímetros.

Resultado:

b) ¿Cuánto mide de largo un corte de tela rectangular de ancho 1.5 m y de 40 m2 de superficie?

Resultado: 43

Respuesta. Considerando que la servilleta tiene 4 lados iguales y el total del perímetro es de 1.60 m, una forma de plantear y resolver la ecuación es la siguiente: 4x = 1.60 x = 1.60 ÷ 4 x = 0.40 La servilleta mide 40 cm por lado.

Sugerencia didáctica. Para hacer más ágil el momento de la confrontación, centre la atención en la medición y en los procedimientos para calcular el área y el perímetro de cada una de las figuras, no en los cálculos. Es decir, si se tienen que hacer cálculos pida sólo los resultados al equipo, o bien, pida a alguien que traiga calculadora, verifique los cálculos; recuerde que el propósito de esta secuencia no es ejercitar las operaciones.

Respuesta. El área del rectángulo se obtiene multiplicando largo por ancho. Una forma de plantear y resolver la ecuación es la siguiente: 1.5x = 40 x = 40 ÷ 1. 5 x = 26. 6666666… Si se redondea la cantidad, el largo de la tela es de 26.67 cm

Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que los primeros 4 problemas pueden resolverse por medio de las ecuaciones que ya estudiaron en la secuencia 18, mencione que hay otras formas de resolverlos pero que en este momento se trata de que apliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones. Invítelos a que verifiquen cada una de las ecuaciones que resuelvan. En un primer momento permita que los alumnos determinen cuál es la incógnita en cada problema. Si nota que algún equipo tiene dificultades, apóyelos con las siguientes preguntas: - - - -

¿Qué les piden? ¿Qué datos tienen? ¿Cómo se relacionan los datos? ¿Conocen alguna fórmula que relacione los datos? - De la fórmula que conocen, ¿cuáles datos tienen y cuál o cuáles les faltan? - ¿Cómo pueden calcular los datos que faltan? 43

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Respuesta. Para calcular el área del rectángulo se necesita encontrar primero la medida del ancho. Una forma de resolver es la siguiente: El largo mide x. El ancho mide x – 6. El perímetro es de 28 cm. El perímetro se calcula de la siguiente manera: 2 veces el largo + 2 veces el ancho; una manera de plantear y resolver la ecuación es:

secuencia 20 c) Un rectángulo de 28 cm de perímetro mide de ancho 6 cm menos que su largo. ¿Cuál es su área?

Resultado: d) Escriban y resuelvan la ecuación que permite calcular el valor de x, sabiendo que el área total de la figura es 45 cm2.

2x + 2 (x – 6) = 28 2x + 2x – 12 = 28 4x – 12 = 28 4x = 28 + 12 4x = 40 x = 40 ÷ 4 x = 10

6 cm

x

Ecuación:

El largo mide 10 cm y el ancho mide 4 cm. El área es de 40 cm2. Integrar al portafolios. Las siguientes son algunas formas de resolver el problema: a) Calcular primero el área del cuadrado rojo (6 cm × 6 cm = 36 cm2); si el área total es de 45 cm2, entonces el rectángulo azul tiene un área de 9 cm2. Como el área del rectángulo azul es 6x, entonces: 6x = 9 x=9÷6 x = 1.5 cm b) Calcular el área roja y sumarle el área azul: 36 + 6x = 45 6x = 45 – 36 6x = 9 x = 0.25 ÷ 6 x = 1.5 cm Si identifica que los alumnos tienen dificultades para plantear la ecuación, presénteles las 2 formas anteriores de resolver el problema.

Sugerencia didáctica. Los alumnos han tenido varias experiencias con problemas de proporcionalidad en distintos contextos, ahora se trata de que vinculen esa experiencia con problemas de área y perímetros. Una vez que hayan resuelto la primera tabla, usted puede hacer un breve recordatorio sobre las características de una relación de proporcionalidad directa, apoyándose en las siguientes preguntas: - Si aumenta la medida del lado ¿aumenta también el perímetro? - Si la medida del lado aumenta el doble, ¿la medida del perímetro también aumenta el doble?

6 cm

2. En cada caso completen la tabla y determinen si se trata de una relación de proporcionalidad directa y justifiquen por qué. a) Perímetro de un cuadrado. Lado del cuadrado (cm)

Perímetro

1 2 3 4

¿Es una tabla de variación proporcional? ¿Por qué? 44

- Si la medida del lado aumenta el triple, ¿la medida del perímetro también aumenta el triple? - ¿Por qué número se multiplica el lado del cuadrado que mide 1 cm para obtener el perímetro? - ¿Se multiplica por el mismo número en todos los casos para obtener la medida del perímetro? (ese número es la constante de proporcionalidad). - Si se divide el perímetro entre la medida del lado, ¿se obtiene siempre el mismo cociente en cada uno de los renglones?

Si la respuesta es afirmativa en cada una de las preguntas, entonces se trata de una relación de proporcionalidad directa: 1. Cuando crece una de las magnitudes, crece la otra. 2. Si una magnitud crece el doble, el triple, etc., la otra también. 3. A la suma de valores de una magnitud le corresponde la suma de valores de la otra magnitud, y a diferencias iguales en una magnitud corresponden diferencias iguales en la otra magnitud. 4. El cociente entre las cantidades de un mismo renglón es siempre el mismo.

44

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MATEMÁTICAS

I

Respuesta. Sí es una relación de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad es 4 porque todas las medidas de la primera columna se multiplican por 4 para obtener las medidas de la segunda columna.

En caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? b) Un rectángulo mantiene una base fija de 4 cm y su altura varía. Medida de la altura (cm)

Área

2 3 4 5

Respuesta. Sí es una relación de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad es 4 porque todas las medidas de la primera columna se multiplican por 4 para obtener las medidas de la segunda columna.

¿Es una situación proporcional? ¿Por qué? En caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? c) Un rombo mantiene la diagonal menor fija de 3 cm y la mayor varía.

Diagonal mayor (cm)

Área

4 5 7 9

¿Es una situación proporcional? ¿Por qué? En caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

45

Respuesta. Sí es una relación de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad está compuesta por dos operaciones: multiplicar por 3 y dividir entre 2, que es lo mismo que multiplicar por wE o por 1.5. Todas las medidas de la primera columna se multiplican por wE o por 1.5 para obtener las medidas de la segunda, columna.

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secuencia 20 d) Área de un cuadrado. Lado (cm)

Área

2 3

Respuesta. No es una situación de proporcionalidad, por lo tanto no hay constante de proporcionalidad: cada medida de la primera columna se multiplica por un número distinto para obtener las medidas de la segunda columna.

Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican conversiones de unidades de superficie.

4 5

¿Es una situación proporcional? ¿Por qué? En caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

Comenten sus conclusiones; recuerden que en los casos anteriores deben justificar si son o no proporcionales.

sesión 3

Medidas de suPerficie

Para empezar

¿Sabías que el estado más grande de la República Mexicana es Chihuahua? ¿Cuál crees que es su área?

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan la sesión organizados en parejas.

a) 245 962 m2. b) 245 962 cm2. c) 245 962 km2.

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46

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MATEMÁTICAS

I

Posibles procedimientos. Algunas formas de calcular el área, son:

Consideremos lo siguiente El siguiente es un mapa de Aguascalientes. Calculen aproximadamente su área considerando que cada centímetro equivale a 7.5 kilómetros.

1. Cuadricular el mapa. 2. Hacer un polígono que se ajuste

lo más posible al contorno del mapa y dividir el polígono en figuras conocidas; calcular el área de cada figura y después sumarlas.

3. Hacer un rectángulo que cubra

todo el mapa, calcular el área del rectángulo y después restarle el área de las figuras que quedaron dentro y que no corresponden al mapa. Una vez que obtengas el área en centímetros cuadrados, deben transformarla a kilómetros cuadrados. Para ello deben considerar que de acuerdo a la escala que se les da en el problema, 1 cm2 equivale 56.25 km2.

ESCALA: 1 cm: 7.5 km 7.5

0

7.5

15 km

Describan a sus compañeros de grupo la estrategia que siguieron para resolver el problema. En particular, comenten la unidad de área más conveniente para expresar el resultado y las posibles razones de las diferencias entre resultados.

Manos a la obra I. Realicen lo que se pide. a) El siguiente es un centímetro cuadrado (1 cm2); imaginen que lo dividen en cuadrados de un milímetro (1 mm) de lado, es decir, en milímetros cuadrados (mm2).

• ¿A cuántos milímetros cuadrados equivale un centímetro cuadrado?

47

Propósito de la actividad. Para que los alumnos logren construir la idea de que 1 cm2 no equivale a 10 mm2 sino a 100 mm2, así como 1 dm2 equivale a 100 cm2 o a 10 000 mm2, es importante que cuenten con un referente concreto o gráfico en el que puedan visualizar estas equivalencias. Por ello se les presentan los dibujos de 1 cm2 y de 1 dm2, y se les pide los dividan en otras unidades de superficie para que visualicen la equivalencia correspondiente.

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, puede pedir a los alumnos que construyan con papel el cm2 y el dm2 y que superpongan el primero en el segundo las veces que sea necesario para que vean “cuántas veces cabe” uno en el otro, es decir a cuántos cm2 equivale un dm2.

Posibles errores. La dificultad está en la conversión que hagan de la escala 1:750 000 a cm2. En general, las conversiones de unidades de superficie es un tema difícil para los alumnos porque transfieren las reglas de cambio de las longitudes a las de la superficie. Por ejemplo, si un metro equivale a 10 decímetros, los estudiantes podrían creer que 1 m cuadrado también equivale a 10 dm, cuadrados. En este caso, la escala se refiere a longitudes y no a superficies, por lo que un error probable es que calculen el área en cm2 y crean que hay que multiplicar este resultado por 750 000 para obtener la medida real. Sugerencia didáctica. Procure dar mayor énfasis a las unidades de superficie que utilizaron para expresar el resultado, pídales que las comparen para ver si son equivalentes; esto dará lugar a conversiones de medidas de superficie.

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secuencia 20 b) El siguiente es un decĂ­metro cuadrado (dm2). DivĂ­danlo en centĂ­metros cuadrados.

Propósito de la actividad. Es muy común que aun cuando los alumnos hablan del m² no tengan una idea precisa del tamaùo de esta unidad de medida, por ello es importante que construyan 1 m² para que tengan un referente de su tamaùo y logren hacer estimaciones sobre resultados correctos o incorrectos.

â&#x20AC;˘ ÂżA cuĂĄntos centĂ­metros cuadrados equivale un decĂ­metro cuadrado?

â&#x20AC;˘ ÂżA cuĂĄntos milĂ­metros cuadrados equivale un decĂ­metro cuadrado?

c) Peguen varias hojas de papel o consigan un pliego de papel grande y tracen y recorten un metro cuadrado (m). Luego divĂ­danlo en decĂ­metros cuadrados.

Respuestas. - Un m2 equivale a 100 dm2. (10 dm por lado). - Un m2 equivale a 10 000 cm2. (100 cm por lado). - Un m2 equivale a 1 000 000 mm2. (1 000 mm por lado).

â&#x20AC;˘ ÂżA cuĂĄntos decĂ­metros cuadrados equivale un metro cuadrado?

â&#x20AC;˘ ÂżA cuĂĄntos centĂ­metros cuadrados equivale un metro cuadrado?

â&#x20AC;˘ ÂżA cuĂĄntos milĂ­metros cuadrados equivale un metro cuadrado? Comenten y comparen sus resultados con sus compaĂąeros.

Sugerencia didåctica. Así como es importante que los alumnos puedan estimar el tamaùo de 1 m², tambiÊn es necesario que lo hagan con una hectårea (ha). Procure que efectivamente se haga la medición del patio de la escuela, pues esta actividad les ayudarå a estimar, a partir de un referente cercano, cuål es el tamaùo de la hectårea. Ademås de calcular cuånto le falta al patio para ser 1 ha, pueden tambiÊn calcular cuåntos patios como el de su escuela se necesitan para tener esa superficie.

ii. Un hectĂłmetro cuadrado (1 hm2) es el ĂĄrea de un cuadrado que mide 100 metros de cada lado, tambiĂŠn se llama hectĂĄrea (ha). a) ÂżCuĂĄl es el ĂĄrea en metros cuadrados de una hectĂĄrea? 48

Respuesta. 1 ha equivale a 10 000 m2 (100 m por lado).

48

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MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. Tener un referente concreto del tamaño de 1 km² es más difícil; no obstante, los alumnos podrían calcular cuántos patios como el de la escuela se requieren para formar 1 km². También podrían partir de algún referente (como la distancia de la escuela a algún punto de la comunidad) que les permita formarse una idea de un 1 km lineal e imaginarse un cuadrado que mida 1 km por lado.

b) ¿Creen que en el patio de su escuela se pueda trazar una figura plana cuya superficie mida una hectárea? c) Organícense en el grupo para que tracen en el patio una superficie de una hectárea. Si no se puede en el patio, calculen cuánto falta para la hectárea. III. Un kilómetro cuadrado es el área de un cuadrado que mide 1 km o 1 000 m por lado. ¿A cuántas hectáreas equivale un kilómetro cuadrado? IV. Completen la tabla. El área de:

Unidad con la que crees que se debe medir

Un estado

km2

Una tela

Respuesta. 1 km2 equivale a 100 ha.

dm2

1 km2 son 1 000 000 m2. 1 ha son 10 000 m2.

ha

Para terminar El área se mide en unidades cuadradas, por ejemplo: Kilómetros cuadrados (km2) Hectáreas (ha) Metros cuadrados (m2)

Algunas equivalencias entre las unidades de área son:

Entonces, en un km2 caben 100 ha.

1 km2 = 100 ha

1 ha = 10 000 m2

5

1 m2 = 10 000 cm2

Centímetros cuadrados (cm2) Milímetros cuadrados (mm2) Medidas de superficie Las unidades de superficie y sus conversiones son muy útiles para la resolución de algunos problemas prácticos relacionados con el cálculo de áreas de terrenos, extensiones territoriales, etc., de ahí la importancia que tiene conocerlas y comprender su uso.

Para saber más Sobre la superficie de los estados consulten: http://cuentame.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática. 49

Propósitos del video. Conocer diferentes unidades para medir áreas y visualizar sus equivalencias.

Sugerencia didáctica. Pida a una pareja de alumnos que elaboren un cartel con esta información para que se cuelgue en alguna parte del salón. Todos los alumnos pueden copiar en el cuaderno esa información e ilustrar algunas medidas, como el cm2 y el dm2. Asimismo, pueden agregar a sus notas las comparaciones que hicieron del patio de la escuela con algunas medidas de superficie (ha y km2). Si lo considera necesario, puede plantear algunas conversiones como las que se sugieren en seguida, para que los alumnos las resuelvan en el cuaderno:

Completen la tabla haciendo las conversiones necesarias: Estados de la República Mexicana

Superficie en km2

Sonora

184 934 49.41

Morelos Oaxaca Distrito Federal

Superficie en ha

95 364 14.99

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s e c u e n c i a 21

Propósito de la sesión. Resolver problemas sencillos de cálculo de porcentajes en los que se deba determinar e interpretar porcentajes menores al 100%. Construir tablas para usar técnicas de proporcionalidad directa en la resolución de cálculo de porcentajes.

Porcentajes En esta secuencia aprenderás a resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes utilizando de manera adecuada las expresiones fraccionarias o decimales.

Organización del grupo. Se sugiere trabajar en parejas durante toda la sesión. Materiales. Calculadora.

sesión 1

Sugerencia didáctica. La resolución de este problema implica aplicar un porcentaje a una cantidad para obtener otra cantidad; en este caso, se trata de aplicar el 13% a 2 000 000. Se espera que los alumnos tengan ya una noción de porcentaje y que cuenten al menos con un procedimiento para calcularlo; sin embargo, es probable que algunos no lo recuerden. Aclare que 13% quiere decir “13 de cada 100”, y que en este caso se trata de calcular q Q p E p de 2 000 000.

Los porcentajes aparecen en distintos contextos de la vida cotidiana, por ejemplo: se usan para calcular descuentos en la compra de artículos, para saber los intereses que cobra un banco por algún préstamo, para presentar datos estadísticos y para muchas otras cosas más. En la secuencia 7 de tu libro de Matemáticas I, volumen I conociste algunos datos acer­ ca de la población en México; una de las principales fuentes de información la proporcio­ na el INEGI (Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática). Este instituto se encarga de obtener datos por medio de los censos que realiza. Conocer algunas características de la población ayuda a comprender mejor los proble­ mas que tiene el lugar en el que vives.

Consideremos lo siguiente La población de la República Mexicana es de aproximadamente 110 000 000 habitantes y tiene una extensión territorial de alrededor de 2 000 000 de kilómetros cuadrados. En los datos del INEGI se encontró que el estado de Chihuahua ocupa 13% del territorio nacional.

Posibles procedimientos. Una forma de resolver es aplicar sucesivamente las dos operaciones: primero dividir 2 000 000 entre 100, y después multiplicar ese resultado por 13. Otra forma es mediante el algoritmo de la multiplicación por una fracción que estudiaron en la secuencia 10.

¿Cuál es la extensión territorial (en km2) del estado de Chihuahua? Comparen sus respuestas.

Manos a la obra i. En un equipo de otra escuela dijeron que13% de 2 000 000 es: 2 000 000 km2 × 1.3 = 2 600 000 km2

Respuesta. 260 000 km . 2

a) ¿En qué se equivocaron en el equipo de la otra escuela?

Respuestas. a) El procedimiento no puede ser correcto porque el territorio de Chihuahua sería mayor que todo el territorio nacional. b) Multiplicaron por 1.3, y se debe multiplicar por 0.13.

b) ¿Por qué número debieron multiplicar en la otra escuela?

50

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes utilizando de manera adecuada las expresiones fraccionarias o decimales.

Eje Manejo de la información.

Tema

Sesión

Proporcionalidad.

Título y propósitos de la sesión

Recursos

1

México en el INEGI Resolver problemas sencillos de cálculo de porcentajes en los que se deba determinar e interpretar porcentajes menores que 100%. Construir tablas para usar técnicas de proporcionalidad directa en la resolución de cálculo de porcentajes.

2

El IVA Resolver problemas de cálculo de porcentajes mayores que 100%.

Aula de medios “El IVA” (Hoja de cálculo)

3

Miscelánea de porcentajes Resolver problemas que impliquen calcular y comparar porcentajes.

Video Los migrantes Interactivo “Porcentajes”

Antecedentes En la escuela primaria los alumnos resolvieron problemas de porcentaje en los que debían averiguar qué parte es una cantidad de otra; definieron el porcentaje de una cantidad como una fracción de la misma, y exploraron diversas estrategias para calcular porcentajes (por ejemplo, obtener porcentajes a partir de 10% y de 1% de una cantidad). En este grado de la escuela secundaria se continúa con la resolución de problemas de ese tipo haciendo el vínculo, en algunos casos, con el estudio de las ecuaciones de primer grado.

México en el ineGi

Para empezar

Vínculos

Interactivo “Porcentajes”

Español I secuencia 10 La jaula de oro

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MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos se percaten de que la respuesta que dio el equipo es equivocada, pero que no puedan identificar por cuál número se debió haber multiplicado. Una vez que hayan expresado sus respuestas enfatice que calcular 13% de 2 000 000 implica multiplicar q Q p E p por 2 000 000, y que esa fracción también puede expresarse como 0.13; por lo tanto, los alumnos de la otra escuela debieron haber multiplicado por 0.13.

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cómo encontraron el número por el cual se deben multiplicar los 2 000 000 de kilóme­ tros cuadrados para obtener 13% de éstos? II. Completen la siguiente tabla para encontrar la extensión territorial que ocupa el estado de Chihuahua. Porcentaje de la extensión territorial

Extensión territorial (km2)

100%

2 000 000

20 000

1%

13%

360 000

Propósito de la actividad. Utilizar tablas para que los alumnos identifiquen y se apoyen en algunas propiedades de la proporcionalidad que les permitan resolver este tipo de problemas.

Tabla 1 Comparen sus tablas y comenten: a) ¿Por qué número hay que dividir los 2 000 000 de kilómetros cuadrados para obtener 1% de la extensión territorial del país? b) ¿Por qué número hay que multiplicar los 2 000 000 de kilómetros cuadrados para obtener 13% de la extensión territorial del país?

Respuestas. a) Hay que dividir entre 100. b) Hay que multiplicar por 0.13 o por q Q p E p .

III. Completen la siguiente tabla para saber el porcentaje que representan del total de la extensión territorial del país algunos estados de la República Mexicana. Territorio que ocupa (km2)

Nombre del estado

Porcentaje que representa del total del territorio nacional

Aguascalientes

1%

20 000

Tamaulipas

9%

180 000

Oaxaca

5%

100 000 Tabla 2 51

Sugerencia didáctica. Lea junto con los alumnos la información de la tabla y pregúnteles en qué consiste la actividad. Recuérdeles que la cantidad que representa el 100% del territorio nacional es 2 000 000 km2. De acuerdo con lo que hicieron en la actividad anterior, pregunte al grupo: ¿Por cuánto deben multiplicar en cada uno de los casos para obtener el territorio

que ocupa cada estado? Si nota que los alumnos aún tienen dificultades para resolver esta actividad, pueden completar la tabla en grupo. También puede hacerles notar que a partir de la obtención del 1% del territorio nacional (Aguascalientes), puede calcularse lo que corresponde al resto de los estados.

Sugerencia didáctica. Reproduzca la tabla en el pizarrón y enfatice lo siguiente: - En la columna que representa el porcentaje, para pasar de 100% a 1% se divide entre 100. Por ello, en la columna correspondiente a la extensión territorial, 2 000 000 también deben dividirse entre 100 para obtener lo que corresponde a 1%. - En la columna que representa el porcentaje, para pasar de 1% a 13% se multiplica por 13. Por ello, en la columna de la extensión territorial debe multiplicarse 20 000 km (1%) por 13, para obtener lo que corresponde a 13%. - Dividir entre 100 y luego ultiplicar por 13, es lo mismo que multiplicar por q Q p E p o por 0.13.

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2

s e c ue n c ia 21

A lo que llegamos

Sugerencia didáctica.

El porcentaje se puede calcular de varias maneras. Por ejemplo, para calcular 18% de la extensión territorial del país se pueden hacer las siguientes multiplicaciones:

A partir del ejemplo que aquí se da, destaque lo siguiente: - Un porcentaje puede interpretarse como “x de cada 100” (18 de cada 100, 20 de cada 100, etc.). - Para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica esa cantidad por el porcentaje expresado con una fracción (en la que el denominador es 100) o con un número decimal (centésimos). - Otra forma de calcular el porcentaje es apoyándose en una tabla en la que se calcula lo que corresponde al 1%; esto se obtiene dividiendo entre 100 la cantidad que corresponde al 100%. Una vez que se ha obtenido el 1%, se multiplica esa cantidad por el porcentaje buscado (en el caso del ejemplo es por 18). Hacer esas 2 operaciones es lo mismo que multiplicar por la fracción decimal o por el número decimal expresados en centésimos.

• 2 000 000 km2 ×

También se puede completar la siguiente tabla: Porcentaje de la extensión territorial

Posibles procedimientos. Es probable que los alumnos no conozcan una forma sistemática de resolver este tipo de problemas, por lo que pueden hacer una estimación y luego irse aproximando al resultado poco a poco. Por ejemplo, si suponen que es alrededor de 10% y hacen el cálculo aplicando ese porcentaje, obtendrán la cantidad de 11 000 000, que es cercana a 8 800 000. A partir de ahí pueden probar con otros porcentajes menores hasta llegar a 8%, que es el porcentaje correcto. No es necesario que espere a que todo el grupo termine ni que lo resuelvan correctamente, pues la misma lección ofrece de inmediato un procedimiento de resolución; lo importante es que los alumnos tengan la oportunidad de enfrentarse al problema.

Extensión territorial (en km2)

100 %

2 000 000

1%

20 000

18 %

360 000

×H , G $ G

÷ 100 × 18

iV. En los datos del INEGI se encontró que el Distrito Federal tiene aproximadamente 8 800 000 habitantes. Del total de la población del país, ¿cuál es el porcentaje que representa el Distrito Federal? Para encontrar el porcentaje de habitantes que tiene el Distrito Federal respecto del total de la población del país, pueden usar un diagrama como el siguiente:

110 000 000

×

____________

Número buscado

8 800 000

=

Número de habitantes Número buscado del paîs Luego hagan la siguiente división

Propósito de la actividad. Se trata de determinar el porcentaje que representa una cantidad con respecto a otra. Los alumnos deberán averiguar qué porcentaje representan 8 800 000 habitantes si el 100% son 110 000 000 habitantes. Sugerencia didáctica. Antes de que los alumnos resuelvan, pídales que hagan una estimación: ¿Será 50%? ¿Será más o menos 50%?

= 360 000 km2, o bien

H,G$G

• 2 000 000 km2 × 0.18 = 360 000 km2

Número de habitantes del Distrito Federal

=

HH$$G+G+G+G+G+GG=

Finalmente, escriban el número que obtuvieron como una fracción con denominador 100. Número buscado

= HG G

Comparen sus respuestas. 52

Sugerencia didáctica. Aproveche este momento de comparación de respuestas, para hacer algunas precisiones sobre el procedimiento que se sugiere. Reproduzca en el pizarrón el diagrama y plantee a los alumnos las siguientes preguntas: ¿Cuál es la operación que nos permite encontrar el número buscado? ¿Cuál es la operación inversa de la multiplicación? Una vez que los alumnos hayan identificado esa operación (lo estudiaron en la secuencia 18), señale que en este tipo de problemas, en los que se trata de determinar qué porcentaje representa una cantidad, el número buscado es una fracción con denominador 100 o un número decimal.

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MATEMÁTICAS

I

A lo que llegamos Para saber el porcentaje que representan los 8 800 000 habitantes que hay en el Distrito Federal respecto del total de la población, se puede hacer lo siguiente: Dividir 8 800 000 entre 110 000 000

HH$$G+G+G+G+G+GG

= 0.08 = H $ G G

Entonces 8 800 000 habitantes representan 8% de los 110 000 000 de habitantes que hay en el país. V. Completen la siguiente tabla para saber qué porcentaje representa el número de ha­ bitantes de los estados que en ella aparecen: Nombre del estado

Número de habitantes Porcentaje que representa que tiene respecto del total de la población

Sonora

2 200 000

Distrito Federal

8 800 000

Jalisco

6 600 000

2% 8%

6%

Tabla 3

el iVA

sesión 2

Para empezar

Propósito de la sesión. Resolver problemas de cálculo de porcentajes mayores al 100%.

En México se deben pagar impuestos al gobierno por algunos de los servicios y productos que se consumen. Por ejemplo, por el teléfono y la gasolina se paga el Impuesto al Valor Agregado (IVA), que es 15% del valor del producto o servicio. El total a pagar por un producto con IVA es: el precio del producto más 15% del precio. Completen la siguiente tabla para calcular el total a pagar por algunos productos. Producto

Integrar al portafolios. Si identifica que los alumnos tienen dificultades para resolver este problema, revise nuevamente con ellos el procedimiento que se describe en el último apartado A lo que llegamos de esta sesión. Además, cuando se haga la revisión colectiva de los resultados, usted puede plantear preguntas como las siguientes: ¿Qué número multiplicado por 110 000 000 da 2 200 000? ¿Qué número multiplicado por 110 000 000 da 6 600 000? Los alumnos deben concluir que ese número es el porcentaje que encontraron pero expresado con una fracción o con un número decimal.

Precio del producto sin IVA (en pesos)

IVA a cobrarse (en pesos)

Cantidad total a pagar por el producto con IVA (en pesos)

2 100

315

2 415

500

75

575

15 100

115

45 300

345

Organización de grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas durante toda la sesión.

Tabla 1 53

Propósito del interactivo. Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes.

Sugerencia didáctica. En los dos primeros renglones se trata de aplicar un porcentaje a una cantidad para obtener otra cantidad. Puede recomendar a los alumnos que revisen nuevamente el primer apartado A lo que llegamos de la sesión anterior (deben multiplicar el precio del producto sin IVA por q Q p T p o por 0.15).

En los dos renglones siguientes se trata de que a partir de una cantidad que representa un porcentaje (el 15%), se calcule la cantidad que representa el 100%. Es probable que los alumnos tengan mayores dificultades para este último tipo de problemas. Permita que intenten resolverlos aun cuando no logren completar toda la tabla.

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sec u enc i a 21

Sugerencia didáctica. Reproduzca la tabla en el pizarrón para hacer el siguiente análisis con los alumnos: - En la primera columna, para pasar de 15% a 1%, dividimos entre 15; por lo tanto, en la segunda columna también debemos dividir $45 entre 15. Obtenemos $3. - Para pasar de 1% a 100% en la primera columna, multiplicamos por 100. De la misma manera, en la segunda columna multiplicamos $3 por 100, y obtenemos $300, que es el precio del taladro sin IVA.

a) Completen la siguiente tabla para encontrar el precio del taladro: Porcentaje

Cantidad correspondiente al porcentaje

15%

$45

1%

$3 $300

100%

Tabla 2 Comparen sus resultados y comenten: ¿Por qué el 100% del precio del taladro es el precio del taladro? b) En su cuaderno hagan una tabla como la anterior para encontrar el precio de la licua­ dora.

Cuando se conoce un porcentaje del precio de un producto, se puede encontrar el precio o el 100% usando tablas. Por ejemplo, si se sabe que 17% del precio de una radiograbadora son $85.00, se completa la siguiente tabla: Porcentaje

Cantidad correspondiente al porcentaje

17 %

Propósito de la pregunta. Que los alumnos se familiaricen con el hecho de que una cantidad representa el 100% de sí misma, esto les permitirá darle sentido a los porcentajes mayores de 100.

$ 85.00

1%

$ 5.00

100 %

$ 500.00

Entonces, el precio de la radiograbadora es de $500.00. Éste es 100% del precio.

Consideremos lo siguiente

Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos hayan comparado y corregido sus respuestas, haga un análisis similar al que se sugiere para el caso del taladro:

La ilustración que se muestra es una copia de un recibo telefónico en la que faltan algunas de las cantidades que se cobraron.

Cantidad correspondiente al porcentaje 15%

$15

1%

$1

100%

$100

- Para pasar de 15% a 1% en la primera columna, se divide entre 15; de la misma manera, en la segunda columna se divide $15 entre 15, y se obtiene $1. - Para pasar de 1% a 100%, se multiplica por 100 en la primera columna. Por lo tanto, en la segunda columna también se multiplica $1 por 100. - Enfatice que el 100% de una cantidad puede interpretarse como 100 partes de 100.

54

4 Sugerencia didáctica. Antes de que las parejas resuelvan el problema inicial, invite a los alumnos a leer el recibo que se les presenta. Pueden comentar a qué se refieren algunos de los conceptos que aparecen en el recibo, como renta, larga distancia internacional, etcétera. Esto les permitirá tener una idea más clara sobre el contexto del problema que se está trabajando, lo que a su vez les ayudará a tener un mayor control sobre sus procedimientos y resultados.

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I

MATEMÁTICAS

Posibles procedimientos. Es muy probable que los alumnos tengan dificultades al resolver este problema, pues es la primera vez que enfrentan una situación en la que el total representa más de 100%. Una forma de determinar el subtotal del mes es por ensayo y error: estimar una cantidad, obtener el 15% de ella, sumar la cantidad más su 15% y ver si se obtiene 2 300. Si no es así, pueden ir aumentando o disminuyendo la cantidad que estimaron inicialmente hasta dar con la correcta. Un posible error es que calculen el 15% de 2 300, que es el total a pagar. Permita que exploren el problema y que lo resuelvan con los procedimientos que ellos decidan; posteriormente, en el apartado Manos a la obra podrán conocer formas correctas de resolver el problema.

El subtotal del mes es el costo del servicio telefónico. En el recibo telefónico de la ilustra­ ción anterior aparece la cantidad total a pagar, pero no cuánto se está pagando de IVA. Respondan las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto dinero se está cobrando por el IVA en el recibo telefónico de la ilustración? b) ¿Cuánto es el subtotal del mes? Comparen sus respuestas.

Manos a la obra I. Un equipo de otra escuela hizo lo siguiente para responder las preguntas anteriores: Total a pagar con IVA ($2 300)

= subtotal del mes + 15% del subtotal del mes = = 115% del subtotal del mes.

Luego hicieron la siguiente tabla para encontrar el subtotal del mes y el IVA. Compléten­ la ustedes: Porcentaje

Cantidad correspondiente al porcentaje (en pesos)

115%

2 300

1%

20 Éste es el subtotal del mes

100%

15%

Éste es el IVA que se pagó

Comenten en grupo lo siguiente a) ¿Ustedes usaron algún procedimiento parecido?

Respuesta. a) $300. b) $2 000 (restando el subtotal a 2 300 se encuentra el IVA).

b) ¿Es cierto que el total a pagar es igual a 115% del subtotal del mes? Verifiquen los resultados de la tabla con los que ustedes obtuvieron.

II. Si de larga distancia nacional se está cobrando en total $230.00 incluyendo el IVA, ¿cuánto es de larga distancia nacional sin IVA?

55

Sugerencia didáctica. Reproduzca la tabla en el pizarrón para que alguna pareja pueda registrar en ella sus respuestas; pida a esa pareja que explique cómo encontraron los resultados. Una vez que todo el grupo esté de acuerdo con las respuestas, comenten los incisos a) y b). Es importante que a los alumnos les quede claro que efectivamente el total a pagar es igual que 115% del subtotal del mes, porque ese porcentaje resulta de sumar 100% del precio más 15% del IVA.

Propósito de la actividad. Que los alumnos conozcan un procedimiento de solución que se basa en la elaboración de tablas y en algunas propiedades de la proporcionalidad. Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a resolver el problema utilizando la tabla de la manera en que se mostró en el problema anterior.

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Respuestas. a) $500. Se divide 575 entre 115 para obtener el 1%, luego se multiplica por 100. b) $250. Integrar al portafolios. Si advierte que los alumnos tienen dificultades para completar la tabla, analice junto con ellos cada uno de los casos para que identifiquen cuál es el dato que se desconoce y qué es lo que tienen que hacer: aplicar un porcentaje a una cantidad (primer renglón de la tabla), determinar qué porcentaje representa una cantidad con respecto a otra (segundo renglón) y determinar la base de un porcentaje (tercer renglón). Según sea la manera en que se utiliza el porcentaje en cada caso, revise con ellos nuevamente el apartado A lo que llegamos de esta sesión y de la sesión 1. Sugiérales también que elaboren tablas para resolver aquellos casos que les resulten más difíciles. Respuestas. - Para el caso de la plancha, 10% de 150 son $15. Se resta 150 – 15, el precio es $135. - Para el tostador, la diferencia entre el precio original y el precio con descuento es de $45, y 45 es el 15% de 300. - Para la lavadora, el precio original es de $423.07. El precio con el descuento es el 78% del precio original.

sec u enc i a 21

A lo que llegamos Como habrás notado en los problemas de esta sesión, no todos los porcentajes son menores a 100. En la vida diaria encontramos porcentajes mayores que 100%. Por ejemplo, cuando se paga un producto o servicio que tiene el impuesto del IVA, en realidad se está pagando el 115% del precio original del producto.

Lo que aprendimos 1. En su cuaderno resuelvan los siguientes problemas. a) Pedro compró una chamarra y le cobraron $575.00. Este precio ya tiene el IVA incluido. ¿Cuál es el precio de la chamarra sin el IVA? b) El precio de un pantalón es de $287.50 ya con el IVA incluido. ¿Cuál es el precio del pantalón sin el IVA? 2. Los productos de la siguiente tabla tienen distintos porcentajes de descuento. Com­ pleten la tabla.

Producto

Precio original del producto (pesos)

Descuento

150

10%

300

255

22%

sesión 3

Precio con el descuento (pesos)

330

MisceláneA de porcentAjes

Para empezar Los migrantes

Una fuente importante de dinero que ingresa a México son las remesas. Las remesas son el dinero que envían los migrantes mexicanos a sus familiares o amigos y provienen principalmente de los Estados Unidos de América. En la secuencia 10, La jaula de oro, del libro de Español I, volumen II estudiarás algunos de los aspectos de los migrantes mexicanos que viven en los Estados Unidos de América. 56

Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen calcular y comparar porcentajes.

Propósito del video. Practicar el cálculo de porcentajes en la solución de problemas.

Organización del grupo. Se sugiere que entre todos analicen la información que se presenta al principio de la sesión, y que posteriormente resuelvan organizados en parejas.

56

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MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos hayan leído la información que se presenta en el cartel y antes de que resuelvan el problema, motívelos para que comenten si tienen algún familiar que envíe dinero desde los Estados Unidos a México, o si saben algo sobre los servicios de las compañías que se mencionan o de otras.

Lo que aprendimos 1. Pedro es un migrante mexicano que vive en los Estados Unidos. Quiere mandar dine­ ro a sus familiares y encontró la siguiente información en un cartel: Existe una gran cantidad de opciones para realizar envíos de dinero de Estados Unidos a México. Como el costo y las características del envío varían según la empresa que utilices, es muy importante comparar opciones antes de enviar tu dinero. Es común que los envíos de dinero se hagan por cantidades fijas de 300 dólares. En la tabla de abajo se compara la cantidad de dinero que entregan en México algunas de las principa­ les empresas al enviar 300 dólares desde Estados Unidos. Envíos de 300 dólares Pesos entregados en México por

Nombre de la empresa

300 dólares enviados desde EUA

Northwestern Union

3 299.40

Cash Gram

3 291.32

Commission Express

3 290.84

Cash­check

3 213.52

Notas: 1. La cotización de referencia, al 25 de octubre de 2004, es de $11.70, es decir, 1 dólar equivale a $11.70. 2. Como las condiciones y costos de cada empresa varían, se recomienda consultar direc­ tamente con las instituciones de su preferencia. 3. Los envíos están estandarizados en 300 usd por envío, es decir, hay que enviar exacta­ mente esta cantidad de dinero en cada envío.

Para calcular cuánto le cobra Northwestern Union por el envío, Pedro hizo lo siguiente: 300 dólares × $11.70 = $3 510

$3 510 – $3 299.40 = $2 10.60 Contesten: a) ¿Qué porcentaje del dinero enviado cobra esta empresa? 57

Sugerencia didáctica. Solicite a los alumnos que traten de resolver el problema en sus cuadernos; anímelos para que algunos de ellos comenten sus procedimientos y resultados con todo el grupo. Invite a los demás alumnos a que participen dando opiniones o sugerencias sobre los procedimientos y resultados que presenten sus compañeros a todo el grupo. Respuesta. Se divide la comisión entre el total de dinero: 210.60 entre 3 510. Obtenemos 0.06, que es el 6%.

57

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Sugerencia didáctica. Una vez que haya acuerdos sobre el resultado del problema anterior y que se haya compartido al menos un procedimiento de resolución con todo el grupo, solicite a los alumnos que completen la tabla. Posteriormente puede preguntar: ¿Cuál es la opción que mejor conviene a Pedro? ¿Por qué?

sec u enc i a 21 b) Completen la siguiente tabla para determinar el porcentaje del dinero enviado que cobran estas empresas.

Respuesta. Northwestern Union: 6% (primero se resta 3 510 menos los pesos recibidos, y la cantidad obtenida se divide entre 3 510).

Nombre de la empresa

Pesos recibidos por 300 dólares

Porcentaje que cobra la empresa

Northwestern Union

3 299.40

6%

Cash Gram

3 291.32

6.23%

Commission Express

3 290.84

6.24%

Cash-check

3 213.52

8.44%

c) ¿Cuál es la empresa que cobra menor porcentaje?

Propósito del interactivo. Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes.

2. Un productor de piñas vende su cosecha al distribuidor en $0.75 el kilogramo. En el supermercado se venden en $4.50 el kilogramo. a) Si el kilogramo de piña se hubiera vendido en el super­

Respuestas.

mercado al doble de su precio original (es decir, a $1.50), ¿en qué porcentaje se habría incrementado el

a) Se incrementaría el 100%.

precio del kilogramo de piñas?

b) Se incrementaría el 200%. Posibles errores. Algunos alumnos podrían responder que en el inciso a) aumenta 200% y que en el inciso b) aumenta 300%.

b) Si el kilogramo de piña se hubiera vendido en el super­ mercado al triple de su precio original (es decir, a $2.25), ¿en qué porcentaje se habría incrementado el precio del kilogramo de piñas?

58

Usted puede ayudarles aclarando lo siguiente: - En el inciso a), la diferencia entre el precio original (0.75) y el precio final (1.50) es de 0.75. Esta diferencia representa el 100% del precio original, por lo tanto, el porcentaje de incremento es de 100%. - En el inciso b), la diferencia entre el precio original (0.75) y el precio final (2.25) es de 1.50. Esta diferencia es el 200% del precio original, por lo tanto, el porcentaje es de 200%.

58

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8/25/07 3:04:27 PM


MATEMÁTICAS

I

Completen la siguiente tabla para encontrar el porcentaje en que se incrementará el precio de las piñas. Precio al que el supermercado vende el kilogramo de piña

Porcentaje de incremento en el precio respecto al precio original

$1.50

100%

$3.00

300%

$4.50

500%

Respuestas. $4.90. Porque el 350% de 1.40 es 4.90.

3. Un productor de melones vendió su cosecha al distribuidor en $1.40 el kilo­

a) $250. Porque si 27.50 es el 11%, el 1% es 2.50. El 100% es 250.

gramo. El distribuidor vendió el kilogramo de melón en $350% de su precio original. ¿En cuánto se vendió el kilogramo? a) Si 11% del precio de un aparato telefónico es $27.50, ¿cuál es el precio

b) $150. Porque 37.50 es el 25%, el 1% es 1.5. El 100% es 150.

del aparato telefónico? b) Si 25% del precio de un libro es $37.50, ¿cuál es el precio del libro?

Para saber más Sobre la población, las extensiones territoriales y algunas otras características de los estados de la República consulta: http://www.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 28 de julio de 2006]. Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática. Sobre los envíos de dinero de los Estados Unidos de América a la República Mexicana consulta: http://www.condusef.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Ruta: Información sobre otros sectores centros cambiarios. Comisión Nacional para la Protección y Defensa de los Usuarios de Servicios Financieros. (Condusef). Debes tomar en cuenta la comisión y el tipo de cambio que cada compañía te ofrece; mientras más elevada sea la comisión y más bajo el tipo de cambio, menor será la cantidad de dinero que reciban los beneficiarios. 59

59

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secuencia 22

Propósito de la sesión. Reconocer las ventajas de presentar información en tablas.

Tablas de frecuencia

Organización del grupo. Trabajar en parejas durante toda la sesión intercalando momentos para comparar resultados y comentar conclusiones de manera grupal.

En esta secuencia interpretarán y comunicarán información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa. sesión 1

Material. Calculadora.

Para presentar un número pequeño de datos basta con enunciarlos o enumerarlos ordenadamente. Por ejemplo, las calificaciones de un alumno en los 5 bimestres de Matemáticas son: 10.0, 9.0, 9.0, 8.0, 8.0. Sin embargo, cuando el número de datos es grande, conviene recurrir a una tabla de frecuencias para poder hacer un análisis más completo o para tener una idea más clara de la información obtenida.

Consideremos lo siguiente

Propósito de la actividad. La intención es hacer sentir a los alumnos la conveniencia de organizar los datos para analizarlos. Aunque desde la escuela primaria los alumnos han utilizado, elaborado y completado tablas, quizá no recurran a ellas para responder las preguntas de los incisos a), b) y c). Acérquese a las parejas mientras trabajan para conocer qué estrategias utilizan.

Los alumnos de primer grado de una escuela secundaria participaron en una competencia de atletismo. A continuación se presentan los tiempos, en segundos, que hicieron 30 alumnos en la carrera de 1 000 metros y el grupo al que pertenece cada uno. 320 (1°C) 330 (1°A)

300 (1°C) 320 (1°A)

340 (1°B) 330 (1°C)

300 (1°B)

320 (1°A)

350 (1°C)

330 (1°B)

340 (1°C)

340 (1°B)

330 (1°B)

340 (1°A)

340 (1°C)

320 (1°A)

320 (1°A)

340 (1°A)

320 (1°C)

360 (1°A)

300 (1°B)

330 (1°B)

360 (1°C)

340 (1°B)

350 (1°C)

340 (1°A)

c) ¿Cuál es el tiempo en el que se registró el mayor número de alumnos que terminaron la competencia? d) Considerando los resultados por grupo, ¿en cuál hubo más alumnos que terminaron antes de 340 segundos? 60

Propósitos de la secuencia Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Sesión Título y propósitos de la sesión

Recursos

Vínculos

Video Un recorrido por el origen de la estadística Aula de medios “¿Quién llegó primero?” (Hoja de cálculo)

1

¿Quién llegó primero? Reconocer las ventajas de presentar información en tablas.

2

Tabla de frecuencia relativa Elaborar e interpretar tablas de frecuencia relativa.

Aula de medios “Tabla de frecuencia relativa” (Hoja de cálculo)

3

La tabla representa… Resolver problemas mediante la elaboración e interpretación de tablas de frecuencia absoluta y relativa, expresada como fracción, decimal o porcentaje.

Aula de medios “La tabla representa…” (Hoja de cálculo)

Antecedentes Durante la escuela primaria los alumnos han organizado y analizado la información contenida en tablas, ahora se espera que aborden otros aspectos, como la frecuencia relativa y absoluta expresada de distintas maneras.

330 (1°A) 360 (1°B)

b) ¿Qué diferencia de tiempo hay entre el primero y el último lugar de la carrera?

Tema Representación de la información.

350 (1°B) 340 (1°C)

a) ¿Cuánto tiempo registró el ganador de la carrera?

Respuestas. a) Hubo tres alumnos empatados en el primer lugar que hicieron la carrera en 300 segundos. b) 60 segundos. c) 340 segundos; 9 alumnos hicieron ese tiempo. d) En 1º A. Hay 6 alumnos que terminaron antes de 340 segundos (hubo 5 en 1º B y 4 en 1º C).

Manejo de la información.

Para empezar

Un recorrido por el origen de la estadística

Propósito del video. Conocer el origen y la importancia de la estadística. Identificar situaciones en las cuales es necesario organizar y representar la información.

Eje

¿Quién llegó primero?

Geografía I Secuencia 7

60

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8/25/07 3:04:49 PM


MATEMÁTICAS

I

Comenten qué grupo consideran que tuvo mejor desempeño en la competencia y por qué. Además, digan cómo organizaron los datos para responder las preguntas. ¿A cuántos minutos equivale el tiempo registrado por el primer lugar?

Manos a la obra I. Una forma de organizar y presentar los resultados de la competencia es mediante una tabla de frecuencias. Contesten las siguientes preguntas para construirla. a) ¿A qué se refieren los datos que aparecen en el listado anterior?

b) ¿Cuántos grupos participaron en la competencia? Recuerden que: el La frecuencia es es número de vec da que aparece ca valor.

c) ¿Cuáles fueron esos grupos? d) ¿Cuántos tiempos diferentes se registraron en la competencia? e) ¿Cuáles fueron esos tiempos? f) Completen la siguiente tabla de frecuencias.

Tabla de frecuencias del tiempo realizado en la carrera de 1 000 metros por grupo

Grupos 1° A

Tiempos Conteo

300

340

1° B

Frecuencia

Conteo

1° C

Frecuencia

Total

Conteo

Frecuencia

II

2

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos analicen los datos para valorar qué grupo tuvo un mejor desempeño, lo cual puede variar dependiendo de qué criterios utilicen. Por ejemplo, en 1º B hay 2 alumnos que quedaron en primer lugar, sin embargo, en 1º A hay más alumnos que terminaron la competencia antes de 340 segundos. Invite a los alumnos a que justifiquen sus respuestas. Propósito de la actividad. Con estas preguntas se pretende que el alumno vaya identificando los elementos que entran en juego en la elaboración de la tabla (qué tipo de datos se están organizando, cuántos son, etc.).

0

Ill

3

9

350 3

61

61

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Sugerencia didáctica. Comenten las respuestas del inciso e). Es importante que se den cuenta de que un conjunto de datos se puede analizar mirándolo desde distintos ángulos, por ejemplo, ver los resultados por grupo o ver los de todos los grupos.

secuencia 22 ii. Usen la información que proporciona la tabla para contestar las siguientes preguntas. a) ¿Cuál fue el mejor tiempo que se registró en el grupo 1° A en la carrera? ¿A cuántos minutos corresponde ese tiempo? b) ¿Cuántos alumnos de 1° A hicieron menos de 340 segundos? c) ¿Cuántos alumnos de 1° A llegaron a la meta en 330 segundos? d) ¿Cuántos del 1° B?

Respuestas. a) Fue de 320 segundos, que son 5 minutos y 20 segundos. b) 6 alumnos. c) 2 alumnos. d) 3 del 1º B y 1 del 1º C. e) Fue 340 segundos (9 alumnos llegaron en ese tiempo). Sólo en 1º A es más frecuente otro tiempo: 320 segundos.

¿Y cuántos del 1° C?

e) Considerando los resultados de los tres grupos, ¿cuál es el tiempo registrado en que más alumnos llegaron juntos a la meta?

Compara ese

tiempo con el más frecuente por grupo, ¿en qué caso o casos fue diferente?

iii. Consideren las siguientes afirmaciones y marquen el cuadro de la “V” si es verdadera o el de la “F” si es falsa, a partir de la información que proporciona la tabla de frecuencias. V F

F

• En el grupo de 1° B hubo más alumnos que hicieron 330 que 340 segundos. • Hay más alumnos de 1° C que de 1° A que hicieron menos de 320 segundos. • En total, hay más alumnos que lograron llegar en primer lugar que en último lugar.

V F

A lo que llegamos Una tabla de frecuencias es una forma de resumir datos. En ella se presentan en orden creciente los valores observados, así como sus respectivas frecuencias. El organizar los datos en una tabla de frecuencias permite contar con una visión global e inmediata del comportamiento de la situación que se analiza. Por ejemplo, en la tabla se observa fácilmente cuántos alumnos lograron el primer lugar y a qué grupo pertenecen, lo cual no ocurre con el listado de números. La suma de las frecuencias absolutas siempre es igual que el total de los datos considerados, es decir, que la población, en este caso los 30 alumnos que participaron en la competencia. 62

62

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MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. Es posible organizar los datos de diferentes maneras (en la secuencia 8 los alumnos aprendieron esto) y encontrar las distintas relaciones que se dan entre ellos. En esta situación los alumnos están organizando datos cualitativos (de cualidad): si la persona es hombre o mujer; y cuantitativos (de cantidad): qué edad tiene. Sugiera a los alumnos que lean las preguntas de los incisos a) al f) para decidir de qué manera les conviene organizar la información.

Lo que aprendimos La edad y el sexo de un grupo de personas que se encuentran en una reunión son los siguientes: 38 (M)

8 (M)

68 (H)

17 (H)

11 (M)

33 (H)

15 (M)

45 (H)

10 (H)

57 (H)

27 (M)

23 (M)

20 (H)

45 (H)

20 (M)

25 (M)

40 (H)

8 (M)

23 (H)

49 (M)

33 (H)

27 (H)

48 (H)

10 (H)

28 (M)

31 (M)

36 (M)

5 (H)

39 (H)

45 (M)

45 (H)

23 (H)

45 (M)

8 (H)

48 (M)

20 (M)

33 (M)

22 (H)

55 (M)

33 (H)

45 (H)

40 (H)

52 (M)

15 (M)

5 (H)

65 (M)

3 (M)

15 (H)

15 (M)

8 (M)

a) En su cuaderno, organicen los datos en una tabla de frecuencias. Decidan cuál información va en las columnas y cuál en los renglones. Pónganle el título a la tabla y a cada una de las columnas.

Respuestas. b) 50 personas. c) Igual, 25 hombres y 25 mujeres. d) 45 años. Hay 6 personas con esa edad. e) 11 personas de 20 a 29 años, 6 mujeres y 5 hombres. f) 18 personas eran mujeres y tenían menos de 40 años.

b) ¿Cuántas personas asistieron a la reunión? c) ¿Qué hubo más, hombres o mujeres? d) De las personas que asistieron, ¿cuál fue la edad más frecuente? e) ¿Cuántas personas del grupo tenían de 20 a 29 años?

Y de ese gru-

po de edades, ¿qué hubo más, hombres o mujeres? f) ¿Cuántas personas eran mujeres y tenían menos de 40 años?

63

63

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Propósito de la sesión. Elaborar e interpretar tablas de frecuencia relativa.

secuencia 22 sesión 2

Para empezar

En la sesión anterior construiste la tabla de frecuencias de la siguiente situación.

Organización del grupo. Forme parejas de alumnos para las dos primeras partes de la sesión y equipos para la tercera. La última se sugiere que la resuelvan de manera individual. Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos la información de las tablas. Los datos están organizados por género y por intervalos de edad: se cuenta a todas los hombres (o mujeres) que tienen de 0 a 9 años y el resultado se pone en la columna de frecuencia. Se va haciendo lo mismo con las que tienen de 10 a 19, de 20 a 29, etcétera. La columna de “frecuencia relativa” está dividida en 2 para expresarla con una fracción y con un número decimal. La fracción puede leerse así: “3 de cada 25 hombres tienen entre 0 y 9 años”. Diga a los alumnos que pueden utilizar la calculadora para encontrar la expresión decimal de la frecuencia relativa. La columna de “porcentaje” puede interpretarse como: “del total de hombres, el 12% tienen entre 0 y 9 años”. Puede preguntar a los alumnos: si el total de hombres fuera 100 y el 12% tuvieran entre 0 y 9 años ¿cuál sería la frecuencia?, ¿cuál sería la frecuencia relativa?

Tabla de frecuencias relaTivas

La edad y el sexo de un grupo de personas que se encuentran en una reunión son las siguientes: 38 (M)

8 (M)

68 (H)

17 (H)

11 (M)

33 (H)

15 (M)

45 (H)

10 (H)

57 (H)

27 (M)

23 (M)

20 (H)

45 (H)

20 (M)

25 (M)

40 (H)

8 (M)

23 (H)

49 (M)

33 (H)

27 (H)

48 (H)

10 (H)

28 (M)

31 (M)

36 (M)

5 (H)

39 (H)

45 (M)

45 (H)

23 (H)

45 (M)

8 (H)

48 (M)

20 (M)

33 (M)

22 (H)

55 (M)

33 (H)

45 (H)

40 (H)

52 (M)

15 (M)

5 (H)

65 (M)

3 (M)

15 (H)

15 (M)

8 (M)

Sin embargo, esta información se puede presentar de otra manera, en la que las edades se agrupan en intervalos y se dan las frecuencias absoluta y relativa y el porcentaje de cada intervalo.

Consideremos lo siguiente En las siguientes tablas faltan algunos datos, realicen los cálculos necesarios y completen: Hombres edad (años)

frecuencia

frecuencia relativa fracción

decimal

Porcentaje

0-9

3

JK

12%

10-19

4

J- K

16%

20-29

5

J/ K

30-39

4

J- K

16%

40-49

7

J0K

28%

50-59

1

J,K

60-69

1

J,K

Total

25

2 N K/

0.20

0.04

20%

4% 4%

1

100%

64

64

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MATEMÁTICAS

I

2

Mujeres Edad (años)

0-9

Frecuencia

4 4

Frecuencia relativa Fracción

wRt

Decimal

0.16 0.16

16%

6

4

0.24

24%

30-39

wRt wYt wRt

40-49

4 2

0.16 J- K

0.08

16%

50-59 60-69

1 J,K 25   

0.04 1

10-19 20-29

Total

wWt

0.16

Sugerencia didáctica. Es conveniente hacer notar a los alumnos la relación entre la columna de “Frecuencia relativa” y la de “Porcentaje”. Puede hacerles preguntas como: ¿De qué manera obtuvieron los datos de la columna “Porcentaje”?, ¿en qué se parecen a los de la columna “Frecuencia relativa”?

Porcentaje

16 %

16% 8%

4%

Integrar al portafolios. Cuando terminen de resolver la sesión 2 pida a los alumnos una copia de esta tabla llena y de las respuestas a las preguntas de los incisos a) al d). Analícelas para ver si han comprendido la diferencia entre la frecuencia absoluta y la relativa, y sobre su expresión como porcentaje. Si lo considera necesario, repasen la sesión.

100 %

a) ¿Cuántas personas son menores de 20 años? b) ¿Qué significa que la frecuencia relativa de hombres entre 20 y 29 años sea

J"K?

c) De las mujeres que asistieron a la reunión, ¿qué porcentaje tiene entre 30 y 39 años de edad? d) ¿Qué porcentaje de hombres y mujeres tiene 50 años o más? Comparen sus respuestas.

Manos a la obra I. Usen la información que proporcionan las tablas para contestar las siguientes preguntas.

Recuerden que: cuencia entre el Si divides la fre observaciones, de al tot ro me nú . cuencia relativa obtienes la fre

a) ¿Cuántos intervalos de edades se formaron? b) ¿Cuántos hombres hay en la reunión?

¿Y cuántas mujeres?

c) ¿Cuántos de los hombres que están en la reunión tienen entre 40 y 49 años de edad? d) ¿Qué parte del total de hombres tiene entre 40 y 49 años de edad? e) Uno de los valores de la tabla es J"K , ¿qué representa el número 5? ¿Y el 25? 65

Propósito de la actividad. Con las preguntas de los incisos a) al j) se pretende que los alumnos le den sentido a la frecuencia relativa (su significado y obtención), así como a las diferentes formas en que se puede expresar (como porcentaje, fracción o decimal).

Respuestas. a) 7 intervalos. b) 25 hombres y 25 mujeres. c) Hay 7 hombres. d) 7 de 25 o w U t  . e) El 5 es el número de personas cuyas edades se encuentran en cierto intervalo, y el 25 es el número del total de personas.

65

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Respuestas. f)

secuencia 22

A lo que llegamos A la fracciónJ"K se le llama frecuencia relativa e indica la parte del

wRt 

g) Es también la frecuencia relativa. Quiere decir que del total (que es igual a 1), hay 0.16 mujeres que tienen entre 40 y 49 años. h) Cuando las relaciones entre los datos se expresan en forma de porcentaje, el total es igual a 100%. El porcentaje de mujeres que tienen entre 40 y 49 años de edad es 16%. i) Suman 1. j) En las 4 mujeres de 40 a 49 años, porque el número 4 en ese caso es la frecuencia; en cambio, en el otro caso se refiere al porcentaje, y en este ejemplo (el de las personas que asistieron a una reunión) 4% equivale a una sola mujer. Sugerencia didáctica. Cuando revisen sus respuestas deténgase un poco en el inciso g). Para algunos alumnos no es evidente que w R t y 0.16 son el mismo número. Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos se den cuenta de los diferentes tipos de análisis que pueden hacerse al reorganizar la información.

total de la población que tiene un mismo atributo o característica.

f) De las mujeres que había en la reunión, ¿cuál es la frecuencia relativa de las que tienen entre 30 y 39 años de edad? g) La frecuencia relativa de mujeres que tienen entre 40 y 49 años es J!K. Esta fracción expresada como decimal es 0.16, ¿qué significa este decimal en esta situación? h) ¿De qué manera expresarían como porcentaje la frecuencia relativa 0.16? i) ¿Cuánto suman las frecuencias relativas correspondientes a las mujeres que asistieron a la reunión? j) ¿En dónde hay más mujeres, en 4% de las mujeres de 60 a 69 años o en las 4 mujeres de 40 a 49?

A lo que llegamos La frecuencia relativa también puede expresarse en forma de número decimal y porcentaje. ii. Utilicen la información que presentan las dos tablas anteriores para completar la siguiente tabla que agrupa todos los resultados. Total hombres y mujeres Edad (años)

Frecuencia

0-9

7

10-19

8

20-29

11

30-39

8

40-49

11

50-59

3

60-69

2

Total

50

Frecuencia relativa Fracción

tUp tIp Qt Qp tIp Qt Qp tEp tWp Tt Pp

Decimal

Porcentaje

0.14

14%

0.16

16%

0.22

22%

0.16

16%

0.22

22%

0.06

6%

0.04

4%

1

100%

66 66

66

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8/25/07 3:05:06 PM


MATEMÁTICAS

I

Respuestas. a) 16% en total.

a) ¿Qué porcentaje de personas que tienen entre 30 y 39 años de edad fueron a la reunión?

b) Es igual, 4 hombres y 4 mujeres. Esta información la buscamos en las tablas anteriores, en las que se separó a hombres y mujeres.

b) De las personas de entre 30 y 39 años de edad que había en la reunión, ¿son más hombres o más mujeres?

¿En qué tablas encuentran esta

información? c) ¿Cuál es la suma de frecuencias relativas de hombres y mujeres que asistieron a la reunión?

c) 1

d) En total, ¿cuántas personas menores de 20 años asistieron a la reunión?

d) 15 personas, que representan 30%.

¿Qué porcentaje representan?

A lo llegamos

Sugerencia didáctica. Lean juntos esta información y pida a los alumnos que la copien en sus cuadernos.

Cuando se trata de presentar información estadística, las tablas que generalmente se utilizan son de frecuencias relativas con porcentaje. La frecuencia relativa de un valor observado es el cociente entre su frecuencia y el total de observaciones realizadas. El porcentaje de veces que aparece un determinado valor observado se obtiene multiplicando su frecuencia relativa por 100. La suma de las frecuencias absolutas es igual al total de los datos u observaciones. La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. La suma de los porcentajes es igual a 100.

Lo que aprendimos Completa la tabla de frecuencias relativas y de porcentaje para los datos de la carrera de 1 000 metros, presentada en la sesión 1 de esta secuencia. Tiempo registrado en segundos

Frecuencia

300

3

320

6

330

6

340

9

350

3

360

3

Total

30

Frecuencia relativa Fracción

eEp eYp eYp eOp eEp eEp Ee Pp

Decimal

0. 1 0. 2 0. 2 0. 3 0. 1 0. 1 1

Porcentaje %

10% 20% 20% 30% 10% 10% 100% 67

67

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Respuestas. a) El 30% sería equivalente a 9 corredores, por lo tanto, corresponde a 340 segundos. 0.1 como frecuencia relativa quiere decir que una décima parte de los corredores registró cierto tiempo (o 10%). La décima parte del total de corredores (30) es 3, así que corresponde a los que hicieron 300, 350 y 360 segundos. 0.3 como frecuencia relativa puede expresarse también como 30%, lo que equivale a 9 corredores (340 segundos).    significa que 3 de los 30 corredores registraron cierto tiempo, así que corresponde a 300, 350 y 360 segundos. Puede expresarse también como 0.1 o como 10%. b)     c) 10% (10 de 30)

secuencia 22 a) ¿A qué tiempo registrado corresponden cada una de las siguientes frecuencias relativas?

Organización del grupo. La sesión se trabaja en parejas, con momentos de intercambio grupal.

0.3

0.1

<G

b) ¿Cuál es la frecuencia relativa de alumnos que llegaron a la meta antes de 330 segundos? c) ¿Qué porcentaje de alumnos que participaron en la carrera hicieron menos de 320 segundos?

la Tabla represenTa…

sesión 3

Para empezar

Como habrás observado, en tu clase de Geografía de México y del mundo, es frecuente que se presente información en tablas; por ejemplo, en la secuencia 7 ¿cómo es y dónde está la población?

Lo que aprendimos 1. La matrícula en educación básica se refiere al número de alumnos inscritos en instituciones educativas de preescolar, primaria y secundaria en un ciclo escolar determinado. Analicen la información que presenta la siguiente tabla y complétenla. Pueden utilizar una calculadora. Matrícula en Educación Básica por nivel educativo y por sexo en los años 1992 y 2002 1992

Año Nivel educativo y sexo

1 Propósito de la sesión. Resolver problemas mediante la elaboración e interpretación de tablas de frecuencia absoluta y relativa, expresada como fracción, decimal o porcentaje.

30%

Total

2002

Porcentaje

Total

Porcentaje

Preescolar

2 858 890

100%

3 635 903

100%

Hombres

1 439 632

50.35%

1 836 121

51%

Mujeres

1 419 258

Primaria

14 425 669

Hombres Mujeres

49.65%

1 799 782

49%

100%

14 857 191

100%

7 429 429

51.50%

7 604 635

51.18%

6 996 240

48.50%

7 252 556

48.82%

Secundaria

4 203 098

100%

5 660 070

Hombres

2 152 648

51.22%

2 862 463

Mujeres

2 050 450

50.47%

2 797 607

100%

48.78% 49.43%

Fuente: SEP, Estadística Básica del Sistema Educativo Nacional. Inicio de cursos 1992-1993. SEP, DGPPP, Subdirección de Análisis Estadístico y Presupuestal 2003. 68

Propósito de la actividad. Que los alumnos analicen la información de la tabla para completarla y para contestar las preguntas que aparecen en seguida. Respuesta. Una forma de resolver es completando el porcentaje, es decir, teniendo en cuenta que el porcentaje de hombres y el de mujeres en cada nivel escolar, debe sumar 100.

68

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MATEMÁTICAS

I

Respuestas. a) Número y porcentaje de alumnos en 1992 y 2002, por nivel educativo y por género. b) 1992 y 2002. c) El total de estudiantes en ese nivel en 1992 y el de 2002. d) En primaria. e) Preescolar: 777 013. Primaria: 431 52. Secundaria: 1 456 972. f) En primaria. g) En secundaria.

a) ¿Qué información les muestra la tabla? b) ¿A qué años corresponde la información que presenta la tabla?

c) En el renglón que corresponde al nivel de Preescolar aparece dos veces la expresión “100%”, ¿qué significa en cada caso?

d) ¿En cuál de los tres niveles es mayor la matrícula? e) De 1992 a 2002 aumentó la matrícula en todos los niveles educativos. ¿Cuáles fueron los incrementos en cada uno de los tres niveles educativos? Escríbelos en tu cuaderno. f) ¿En cuál de los tres niveles hubo un menor aumento? g) ¿Y en cuál hubo un mayor aumento? 2. Con la información que presenta la tabla anterior, completen la siguiente tabla para que muestre la matrícula de la educación básica por sexo en los años 1992 y 2002. Año

1992

Nivel educativo y sexo

Total

Respuestas. Hay que calcular los porcentajes, no deben sumarse o promediarse.

2002 Porcentaje

Total

Porcentaje

Educación Básica

21,487,657

Hombres

11,021,709

51.29% 12,303,219

50.94%

Mujeres

10,465,948

48.71% 11,849,945

49.06%

100%

24,153,164

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que la educación básica, como se señala en la tabla anterior, comprende el preescolar, la primaria y la secundaria, por lo tanto, en esta segunda tabla deben sumar las matrículas de los tres niveles.

100%

Puede dar indicaciones a los alumnos para que redondeen los porcentajes y la suma sea 100%.

a) ¿Cómo obtienen el total de la matrícula para el año 1992? b) ¿Y para el año 2002? c) De 1992 a 2002, ¿cuál de los porcentajes de matrícula aumentó, el de los hombres o el de las mujeres?

69

69

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2

secuencia 22 3. En el examen que se aplicó en una escuela aprobaron 90 alumnos. De acuerdo con esta información, sólo una de las siguientes afirmaciones es válida. Márquenla con una

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos analicen si con la información que les da el enunciado es posible hacer alguna de las afirmaciones.

El examen se aplicó a 100 alumnos. La mayoría de los alumnos aprobó el examen. El examen lo presentaron cuando menos 90 alumnos. El número de alumnos reprobados fue 10.

Analizar la información es un aspecto muy importante en clase, y para fomentarlo es útil presentar actividades o problemas:

4. En el examen que se aplicó en una escuela la frecuencia relativa de los alumnos aprobados es H *G+G. De acuerdo con esta información, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son válidas? Márquenlas con El examen se aplicó a 100 alumnos. La mayoría de los alumnos aprobó el examen.

- en los que haya información innecesaria para resolverlo, o

El examen lo presentaron cuando menos 90 alumnos. El número de alumnos reprobados fue 10.

- en los que falten datos.

5. Completen la siguiente tabla.

Así, los alumnos no se acostumbrarán a que todo problema tiene solución o a que siempre deben utilizar todos los datos presentados. Sugerencia didáctica. Discutan cada una de las afirmaciones del punto 3. Cuando digan que una de ellas es válida, pregunte por qué y cómo pueden estar seguros. Pregunte al resto del grupo si están o no de acuerdo. Pasen al número 4 cuando todos estén seguros de cuál es la afirmación válida. Luego analicen con detenimiento la nueva información. Pregunte: ¿Qué significa que la frecuencia relativa de los alumnos aprobados sea q O p P p ?, ¿en qué cambia esta nueva información lo que sabíamos en el punto 3?

Intervalo

Frecuencia

0-9

6

10-19

8

20-29

6

30-39 40-49 50-59

8 4 7

80-89

10 3

90-99

60-69 70-79

Total

3

5

60

Porcentaje

Decimal

P 4 G

0.1

0

0.133...

13.33

0.1

10

yIp yYp yIp yRp yUp yEp y p yEp yTp Yy Pp

0.133...

13.33

0.0666…

6.67

0.116…

1.67

0.05

5

0.1666…

16.67

0.05

5

0.08333…

8.3

1

100

70

Respuestas.

La única afirmación que es válida es la tercera (el examen lo presentaron al menos 90 alumnos).

3. Con la información que

4. Todas las afirmaciones son válidas.

proporciona el enunciado no se puede saber:

Frecuencia relativa Fracción

El conocer la frecuencia relativa de los que aprobaron permite saber:

- a cuántos alumnos se aplicó el examen,

- a cuántos alumnos se les aplicó el examen,

- cuántos fueron los reprobados,

- que la mayoría aprobó,

- si los 90 que aprobaron eran la mayoría de los alumnos que presentaron el examen.

- que al menos lo presentaron 90 alumnos, y - que los reprobados fueron 10.

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MATEMÁTICAS

I

Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos puedan relacionar los datos que están representados en una tabla con la situación que los genera. Cada pareja debe decidir cuál es la situación que más le parece y responder en función de su elección.

a) ¿A cuál de las siguientes tres situaciones puede corresponder esta tabla? Márquenla con una Número de saltos que pueden dar en 10 segundos un conjunto de 60 personas. Número de pulsaciones por minuto que registró un conjunto de personas. Número de clientes que llegan a una tienda en ciertos intervalos de tiempo. De acuerdo con el contexto de la situación que eligieron, respondan las siguientes preguntas b) ¿Qué representa el intervalo 40-49?

Integrar al portafolios. Pida a cada pareja de alumnos una copia de la actividad 5.

c) ¿Y el valor 10 de la columna de frecuencias? d) ¿Tiene sentido el valor 15.5?

e) ¿Qué representa la fracción

¿Por qué?

?#G de

la columna de frecuencia relativa?

f) ¿Qué significa el número 5 de la columna de porcentajes?

Para saber más Sobre información que ofrece el INEGI para la utilización de tablas de frecuencia consulten: www.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática.

71

71

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Propósito de la sesión. Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa.

secuencia 23

Gráficas de barras y circulares

Organización del grupo. Para esta sesión es conveniente que los alumnos trabajen en parejas, excepto en el apartado Lo que aprendimos, que es individual. Sugerencia didáctica. Esta información puede aprovecharse para hablar sobre los censos, qué son y para qué sirven.

En esta secuencia aprenderás a interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencias absoluta y relativa, proveniente de diarios o revistas y de otras fuentes. También verás cómo comunicar información proporcionada por estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada. sesión 1

Eje Manejo de la información.

Tema Representación de la información.

Consideremos lo siguiente Según el XII Censo General de Población y Vivienda, la población de México en el año 2000 era de 99 722 200 habitantes, de los cuales 1 795 000 presentaban al menos un tipo de discapacidad. Dicho censo consideró 5 tipos de discapacidad. La siguiente gráfica muestra la cantidad de personas que padecen cada tipo de discapacidad. Población de discapacitados en México Número de personas discapacitadas (en miles)

1000 800 600 400 200 0

Motriz

Visual

Lenguaje

Auditiva

Mental

Tipo de discapacidad Fuente: INEGI, XII Censo General de Población y Vivienda 2000.

a) ¿Cuál de las siguientes preguntas puede contestarse a partir de la información que proporciona la gráfica? Márquenla con una ¿Cuántos niños padecen la discapacidad motriz? ¿Cuántas personas tienen discapacidad auditiva? 72

Propósitos de la secuencia Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, proveniente de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicar información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.

Sesión

Título y propósitos de la sesión

1

Qué dicen las gráficas Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa.

2

Gráficas de barras Elaborar e interpretar una gráfica de barras de frecuencia relativa.

3

Gráfica circular Elaborar e interpretar una gráfica circular.

Antecedentes

Durante la escuela primaria los alumnos han interpretado la información representada en gráficas circulares, ahora se espera que también las construyan y analicen.

Para empezar

Dos de las maneras más utilizadas para presentar información son la gráfica de barras y la gráfica circular. Debido a su forma sencilla, resultan muy útiles para representar los datos obtenidos en encuestas y estudios sobre diversos temas.

Propósito de la actividad. La intención con la que se hacen las preguntas del inciso a) es que los alumnos analicen la gráfica y sepan qué tipo de información es la que proporciona y qué cosas no pueden saberse por la manera en que se organiza dicha información. Permítales contestarlas sin darles aún explicaciones. Respuestas. a) La primera pregunta no puede contestarse porque en el eje vertical dice “número de personas”, pero no se sabe cuántas de esas personas son niños. La segunda sí se puede contestar: hay 300 000 personas con discapacidad auditiva.

Qué dicen las gráficas

Recursos

Vínculos

Español I Secuencia 10 Video “El rating en la televisión”

Español I Secuencia 14

72

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MATEMÁTICAS

I

b) Escriban tres preguntas que se puedan contestar con la información que proporciona la gráfica. Pregunta 1: Pregunta 2: Pregunta 3: Lean al grupo una de las preguntas que escribieron y pidan que se las respondan.

Manos a la obra I. Observen la gráfica anterior y contesten las siguientes preguntas. a) ¿Cuáles son los tipos de discapacidad que reporta el XII Censo General de Población y Vivienda? b) ¿Cuál es la discapacidad más frecuente en México?

¿Y la

menos frecuente? c) Un alumno dice que en México hay 800 personas con discapacidad motriz. ¿Es esto cierto?

¿Por qué?

d) En la gráfica hay cuatro tipos de discapacidades con al menos 300 000 personas, ¿cuáles son? e) Completen la tabla de frecuencias que corresponde a la información que presenta la gráfica de barras.

Tipo de discapacidad

Número de personas

Total 73

Respuestas. a) Son 5: motriz, visual, lenguaje, auditiva, mental. b) La más frecuente es la motriz (es la barra más alta en la gráfica). La menos frecuente es la de lenguaje (es la barra más corta en la gráfica). c) Es importante comentar esta pregunta porque los alumnos suelen cometer errores como el que se plantea al analizar la información contenida en gráficas y tablas. En el eje vertical de la gráfica dice “número de personas” y también “en miles”. Esto quiere decir que el número al que llega la altura de cada barra en la gráfica debe multiplicarse por mil. Los datos se escriben así para no tener que poner muchos ceros en los números de los ejes, lo cual dificulta la lectura. Por lo tanto, no hay 800 personas con discapacidad motriz, sino 800 000. d) Motriz, visual, auditiva y mental. e) Hay 800 000 con discapacidad motriz, y aproximadamente 450 000 con discapacidad visual, 85 000 con discapacidad de lenguaje, 300 000 auditiva y 300 000 mental. El cálculo del número de personas se hace por la altura de la barra. Si es necesario hay que medirlas. f) No, la suma de los datos anteriores excede los 1 795 000, aunque el número total de personas con alguna discapacidad no cambia, lo que sucede es que hay personas con más de una discapacidad. g) Una persona puede tener más de un tipo de discapacidad.

73

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2

secuencia 23 f) ¿El número total de personas discapacitadas que obtuvieron en la tabla es igual al

Propósito de la actividad. Interpretar la información presentada en una gráfica circular. Cada sector representa un porcentaje, y a diferencia de la gráfica anterior, aquí sólo se consideran los datos correspondientes a una de las discapacidades (la motriz) y se presenta información nueva: el grupo de edad en el que se encuentran quienes padecen tal discapacidad. Respuestas. a) 800 000 b) Adultos mayores, adultos, jóvenes, niños. c) Sí, de las personas con discapacidad motriz, 10% son niños y 10% son jóvenes, es decir que hay la misma cantidad de personas en cada grupo de edad (80 000).

que señala el INEGI de 1 795 000 personas? g) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones justifica esta situación? Subráyenla. • Existe un error en los datos que se recolectaron. • El número de personas con discapacidad aumenta conforme a la edad. • Una persona puede tener más de un tipo de discapacidad. ii. La siguiente gráfica muestra, según el grupo de edad, los porcentajes de personas en México que tienen discapacidad motriz. Distribución de la población con discapacidad motriz por grupo de edad en porcentaje

Niños 10 %

Adultos 30 %

Adultos mayores 50 %

Jóvenes 10 %

Número total de personas con discapacidad motriz: 800 000 Fuente: INEGI, XII Censo General de Población y Vivienda 2000.

a) ¿Cuántas personas tienen discapacidad motriz en México? b) ¿En cuáles grupos de edad se manifiesta más esta discapacidad?

Un alumno planteó la siguiente pregunta: ¿Habrá la misma cantidad de niños que de jóvenes con discapacidad motriz? c) ¿Podrán contestar esta pregunta con la información que proporciona la gráfica? ¿Cómo podrían saberlo? 74

74

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MATEMÁTICAS

I

d) Completen la tabla de frecuencias que corresponde a la información que presenta la gráfica circular. Grupo de edad

Número de personas

Porcentaje

400 000

50%

80 000

10%

Adultos Mayores Adultos Jóvenes Niños

240 000 80 000 800 000

Total

30% 10% 100%

3

A lo que llegamos

Sugerencia didáctica. Comenten lo que aprendieron en la secuencia anterior sobre la frecuencia absoluta y relativa.

Las gráficas de barras y las gráficas circulares nos permiten comparar la forma en que se distribuyen los atributos o características en una cierta población o muestra, ya sea que los datos se expresen mediante frecuencias absolutas o relativas. En el caso de que los datos de la gráfica estén expresados como frecuencias relativas y se conozca el total de la población, como es el caso de la gráfica circular anterior, es posible determinar con exactitud la frecuencia con que se observa cada uno de los atributos en la población.

Lo que aprendimos La siguiente gráfica presenta el resultado de una encuesta realizada a un grupo de 200 personas sobre su nivel máximo de estudios. 50

Porcentaje

40 30 20 10 0

Primaria

Secundaria

Bachillerato

Licenciatura

Nivel máximo de estudios 75

75

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Respuestas. a) Sugiérales que calculen el porcentaje representado por cada barra, si es necesario, midiendo cada una. La suma de los porcentajes debe ser 100%. Las frecuencias relativas se obtienen de la siguiente manera: sabemos que la encuesta se realizó a 200 personas. Los que cursaron hasta primaria son el 45% de esos 200, es decir, 90 personas ( w O p P p ), y así con los demás valores. La tabla debe mostrar los siguientes datos:

• Un total de 10 personas tienen licenciatura como nivel máximo de estudios. • De las personas encuestadas 30 tenían, como nivel máximo de estudios, secundaria o bachillerato. • El 45% de las personas entrevistadas sólo terminaron la primaria. • Menos de 20% de las personas encuestadas estudiaron hasta bachillerato.

Gráficas de barras

sesión 2

Para empezar

Existen diversas situaciones en las que se requiere comparar valores, por ejemplo, cuando se trata de definir a un ganador o establecer el valor más frecuente.

Consideremos lo siguiente Una agencia de automóviles da un bono mensual al vendedor que logre hacer mayores ventas. Para motivar a los vendedores, se les muestra el número de autos que llevan vendidos y el monto de sus ventas. En cierto mes se presentó la siguiente gráfica:

Porcentaje

Prim.

90

wOpPp

= 0.45

45%

Sec.

50

wTpPp

= 0.25

25%

Bach.

40

wRpPp

= 0. 2

20%

20

wWpPp

= 0. 1

10%

Lic.

b) Según los datos registrados en la gráfica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? Subráyala con una línea roja.

Total de ventas, en miles de pesos, correspondientes al mes de noviembre

1 200

Ventas

Frecuencia/relativa

a) En tu cuaderno, elabora la tabla de frecuencias a partir de la información que proporciona la gráfica.

(miles de pesos)

Frecuencia

secuencia 23

800

400

b) La primera es incorrecta, sin embargo, algunos alumnos podrían pensar lo contrario porque en la tabla se muestra que quienes terminaron la licenciatura son 10%, pero ese porcentaje está referido al total de personas encuestadas, que son 200, por lo tanto, 10% de 200 es 20. La segunda también es incorrecta. La suma de los porcentajes de quienes tienen como nivel máximo de estudios la secundaria y los que tienen el bachillerato es 45%, lo que equivale a 90 personas. La tercera es correcta. El 45% de las personas encuestadas estudiaron hasta la primaria. La cuarta es incorrecta. De las personas encuestadas, exactamente 20% cursaron el bachillerato.

Ricardo

Fernando

Vendedores

Gustavo

Antonio

El gerente le dijo a Gustavo que el importe de las ventas de otro vendedor es el doble de las que hizo él. a) ¿En qué creen que se basa el gerente para hacer esa afirmación? b) ¿Es correcta?

¿Por qué?

Comparen sus respuestas. 76

Propósito de la sesión. Elaborar e interpretar una gráfica de barras de frecuencia relativa. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas, excepto en el apartado Lo que aprendimos, que es individual.

Respuestas. a) En la gráfica podría parecer que Ricardo vendió el doble que Gustavo, porque la barra que representa las ventas de Gustavo tiene la mitad del tamaño de la de Ricardo. b) No, debido a que el eje vertical no empieza en 0 sino en 400 000. Observando con cuidado los datos podemos ver que 1 200 000 no es el doble de 800 000.

76

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MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. En esta gráfica, como en otras anteriores, hay que multiplicar por mil los valores del eje vertical. Si algunos alumnos no lo han notado podrían responder que Gustavo ha vendido $800. Hágales ver que ese monto no corresponde a los precios de los autos e invítelos a leer con cuidado la información de la gráfica.

Manos a la obra I. Con la información que proporciona la gráfica, respondan las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el importe de las ventas de autos que hizo Gustavo?

b) ¿Y las de Ricardo? c) ¿Cuántas veces más grande es el importe de las ventas de Ricardo que el importe de las ventas de Gustavo? d) ¿Cuántas veces más alta es la barra que representa las ventas de Ricardo que la barra que representa las ventas de Gustavo? e) Si el importe de las ventas de un quinto vendedor fuera de $200 000, ¿qué cambios habría que hacer en la gráfica para representarla?

A lo que llegamos En una gráfica de barras, la altura de cada barra debe ser proporcional a la cantidad que representa. Observa que en la gráfica anterior esto no ocurre. Para corregirla hay que considerar el eje de las ventas como una recta numérica que va de 0 a un valor máximo adecuado a la situación, y dividirla en un número conveniente de partes iguales. II. Completen la siguiente gráfica de modo que incluya la venta del quinto vendedor. Total de ventas, en miles de pesos, correspondientes al mes de noviembre 1 400

Respuestas. a) $800 000. b) $1 200 000. c) Es 1.5 veces más grande (una vez y media). d) La de Ricardo es el doble de alta que la de Gustavo. e) Hay que agregar la casilla del otro vendedor en el eje horizontal y hacer que el eje vertical comience al menos en 200.

1 200

Venta

(miles de pesos)

1 000 800 600 400 200 0

Ricardo

Fernando

Gustavo

Antonio

Otro vendedor

Vendedores 77

Propósito de la actividad. Además de reconocer que el eje vertical empieza desde 0, se espera que los alumnos se percaten de que lo importante no es cuántas divisiones haya sino lo que representa cada una. Por ejemplo, para representar cierta información, el eje de una gráfica puede:

En ambos casos la información representada no cambiará, pero una de las opciones puede ser más cómoda que la otra, dependiendo de los datos con los que se esté trabajando.

- Empezar en 0, terminar en 120 y tener 12 divisiones (cada una representa 10 segundos). - Empezar en 0, terminar en 120 y tener 4 divisiones (cada una representa 30 segundos). 77

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Respuestas. a) De cero. b) $1 400 000. c) Está dividida en 7 partes y cada una representa $200 000. d) No, para que la barra que representa las ventas de Ricardo fuera del doble de tamaño que la de Gustavo tendría que haber vendido el doble que Gustavo, es decir $1 600 000. Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien esta información en sus cuadernos.

secuencia 23 a) ¿A partir de qué valor empieza la escala que representa el importe de las ventas?

b) ¿Cuál es el máximo valor que está representado en esa escala? c) ¿En cuántas partes está dividida?

¿Qué valor representa cada

parte? d) ¿La altura que representa la barra de Ricardo mide el doble de la de Gustavo? ¿Cuánto debió haber vendido Ricardo para que esto sucediera?

A lo que llegamos La gráfica de barras o diagrama de barras facilita la comparación de datos, al interpretar la altura o la longitud de las barras. Cómo trazar una gráfica de barras: • Determinen el número de barras que necesitarán en el eje x (horizontal) para representar los datos, de acuerdo con el número de atributos o cualidades que se observan. • A partir del origen, definan la escala en el eje y (vertical) considerando los valores mínimo y máximo que se proporcionan. Marquen la escala y anoten las unidades. • Definan el ancho de las barras y el espacio que se dejará entre ellas. Marquen los anchos y rotulen las barras. Con la escala del eje y como referencia, tracen la altura de las barras. • Asignen un título a la gráfica.

Lo que aprendimos 1. Se le preguntó a un grupo de personas a cuál de los siguientes personajes les gustaría más haber conocido. La siguiente tabla muestra los resultados de la encuesta: Número de votos

Personaje

Adultos

Niños

Benito Juárez

16

7

Miguel Hidalgo

22

18

Emiliano Zapata

24

31

9

15

Francisco I. Madero

78

78

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MATEMÁTICAS

I

Respuesta. En los recuadros de la izquierda van los números 0 y 30 (cada división representa 10 votos).

Utiliza la información que presenta la tabla anterior para completar la siguiente gráfica de barras.

30

Personaje al que más le hubiera gustado conocer

El título debe corresponder a la información presentada en la tabla. Podría ser algo como “Personaje al que más le hubiera gustado conocer”. Hay que escribir al lado del cuadrito de abajo que las barras moradas representan los votos de los niños.

Número de votos

20

10

0

Benito Juárez

Miguel Hidalgo

Emiliano Zapata

Propósitos de la actividad. En las actividades 2 y 3 se pretende que los alumnos:

Francisco I. Madero

Niños

Adultos

- Representen la información de diversas formas (en una tabla, gráfica de barras, circular, etc.) y que comprendan que ésta no cambia.

2. En la sesión 2 de la secuencia 22, aprendiste a construir las tablas de frecuencia. Utiliza la información de la tabla que presenta los resultados de la carrera de 1 000 m para construir, en tu cuaderno, la gráfica de barras que le corresponde. a) Compárala con las que elaboren tus compañeros. ¿Eligieron el mismo tipo de escala? ¿Por qué?

- Aprendan a utilizar escalas apropiadas a los datos que estén manejando.

b) ¿Qué título y etiquetas le pusieron? 3. En la secuencia 10 La jaula de oro, de tu libro de Español I, volumen II estudiaste la migración a los Estados Unidos. Además, realizaste una encuesta.

- Representen tanto la frecuencia absoluta como la relativa.

a) Elabora una gráfica de barras con los datos que obtuviste en la pregunta: ¿Cuál es la actividad que desempeñan en los Estados Unidos? b) ¿Qué escala utilizarás? 79

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de la gráfica que elaboren y analícela para ver si han comprendido lo trabajado en la sesión.

Resultados de la carrera de 1 000 metros 10

Frecuencia

8 6 4 2 0

300

320

330

340

350

360

Tiempo registrado en segundos 79

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Propósito de la sesión. Elaborar e interpretar una gráfica circular.

secuencia 23 sesión 3

Organización del grupo. En esta sesión se sugieren actividades que se resuelven en equipo, en parejas e individualmente.

Consideremos lo siguiente Una revista deportiva presentó la siguiente información sobre los jóvenes futbolistas que se preparan para el próximo campeonato mundial Sub 17:

b) El 10% de 740 es igual a 74.

Posibles procedimientos. Para conocer qué porcentaje representan los 37 delanteros zurdos podrían: - Calcular qué porcentaje representan del total de jugadores registrados (740), con lo cual obtendrían 5%. - Calcular qué porcentaje representan del total de delanteros (222), con lo cual obtendrían 17% (redondeando). Ambos datos son correctos, sin embargo, para hacer el trazo que se pide en la gráfica se deben seguir distintos procedimientos, dependiendo de con cuál de ellos se trabaje. Para trazar la “rebanada” correspondiente a los 37 delanteros zurdos podrían: - Partir la “rebanada” de los delanteros “a ojo”, dividiéndola en 25% de los derechos y 5% de los zurdos. La idea es acertada pero puede ser inexacta la división, por lo que se le considera un procedimiento incorrecto. - Partir la “rebanada” de los delanteros (30% del total de jugadores) restándole 17% y trazando “a ojo” 13% resultante. Este procedimiento es incorrecto, porque los delanteros representan el 30% del total de jugadores, y el 17% son los delanteros zurdos del total de delanteros. Para hacer un trazo correcto tendrían que calcular 17% de 108º (es la medida del ángulo central que representa 30%), obteniendo 18º. Esa sería la medida del ángulo central que representa a los 37 delanteros zurdos.

Para empezar

Durante el mes de septiembre de 2005, se llevó a cabo en Perú el Campeonato Mundial Juvenil Sub 17 de la FIFA, y el equipo mexicano resultó campeón. En esta sesión analizarás y presentarás estadísticamente algunas cifras relacionadas con este tema.

Respuestas. a) El 30% de 740 es igual a 222.

Sugerencia didáctica. Es probable que los alumnos no sepan cómo modificar la gráfica circular, en cuyo caso conviene que comenten cuáles son sus dudas y continúen resolviendo la sesión, ya que más adelante aprenderán cómo hacerlo.

Gráfica circular

a) De los 740 jugadores registrados, ¿cuántos

Tercera división profesional de futbol. Relación de menores nacidos en 1990 o más, por posiciones, al 7 de octubre de 2005.

son delanteros? Defensas 25%

b) ¿Y cuántos son porteros?

Delanteros 30%

740 jugadores registrados.

Porteros 10%

Medios 35%

c) Hay 37 jugadores delanteros zurdos. Si se requiere que en la gráfica se distingan los delanteros diestros de los zurdos, ¿qué cambio debe hacerse en la gráfica? Contesten en su cuaderno.

Fuente: Revista Futbol Total, 2005.

Comparen sus respuestas.

Manos a la obra i. Observen la gráfica circular anterior y contesten las siguientes preguntas: a) ¿Qué información proporciona? b) ¿Cuál es la posición en la que hay más jugadores? c) ¿Qué fracción de la gráfica representa el porcentaje de defensas? d) ¿Cuántos jugadores defensas hay?

¿Qué fracción representan

del total de jugadores registrados? e) ¿Qué porcentaje representan los delanteros zurdos del total de jugadores registrados? f) ¿Qué porcentaje le correspondería a los delanteros diestros? g) ¿Cuánto es la suma de los porcentajes de delanteros zurdos y delanteros diestros? h) ¿Cómo representarían el porcentaje de delanteros zurdos y el de delanteros diestros en la gráfica? 80

- Trazar el 5% en la “rebanada” de los delanteros. Los delanteros son uW rW pW , ese número se multiplica por 360º (son los grados que mide todo el círculo). La “rebanada” de 5% tendría 18º. También puede calcularse así: hay que dividir los 360º del círculo entre 100 (el porcentaje) para saber cuántos grados tendría 1%, y el resultado multiplicarlo por 5. Los 18º resultantes se trazan en el 30% correspondiente a los delanteros. Estos son procedimientos correctos. - “Acomodar” una rebanada que represente aproximadamente 5% quitando un poquito a todas las demás. Este procedimiento es incorrecto.

Respuestas. a) Número de jugadores menores nacidos en 1990 o más, por posición, en la tercera división profesional. b) Medios. c) Es la cuarta parte de la gráfica. d) Hay 185 defensas y representan la cuarta parte del total. e) Es 5% (37 de 740). f) 25% (30% menos el 5%). g) 30%. h) Se debe dividir la parte correspondiente a los delanteros. Ahora el 5% será para los delanteros zurdos (37 es el 5% de 740) y el 25% para los delanteros derechos.

80

MAT1 B3 S23 maestro.indd 80

8/25/07 3:06:05 PM


MATEMÁTICAS

I

A lo que llegamos A la gráfica circular se le llama también de pastel o diagrama de sectores.

Cómo trazar una gráfica circular: Deporte favorito

Frecuencia

Basquetbol

10

Futbol

20

Natación

4

Volibol

6

Total de alumnos

40

• Se calcula la fracción que corresponde a cada una de las preferencias por cada deporte. Por ejemplo, el basquetbol representa , I +G , o sea , I de los votos totales. • Se multiplica la fracción por los 360° que corresponden a todo el círculo. Por ejemplo, , I × 360° = 90°. Ésta es la medida del ángulo central que corresponde a la preferencia de basquetbol. Con este ángulo (90°) se traza el sector circular que representa la cantidad de personas a las que les gusta practicar el basquetbol. Así, se obtiene el ángulo para cada uno de los demás datos, como se muestra en la tabla: Deporte

Cantidad de personas que lo prefieren

Basquetbol

10

Futbol

20

Natación Volibol Total

I, +G

• Se anota el título de la gráfica circular.

=

I,

Ángulo central de:

I, × 360° = 90°

I2 +G = I2

I2 × 360° = 180°

4

I!G

=

H G

H G

× 360° = 36°

6

I#G

=

NG

NG

× 360° = 54°

40

I- G+ = 1

• Se traza el círculo y se marcan los ángulos centrales. • Se nombran las partes de la gráfica.

Frecuencia relativa (fracción del círculo)

Sugerencia didáctica. Es conveniente vincular esta actividad con los conocimientos de la secuencia 13 Polígonos regulares para trabajar con los ángulos a los que equivale el porcentaje. Hagan una o dos gráficas circulares con datos de esta misma secuencia para practicar.

1 × 360° = 360°

Volibol 15%

Futbol 50%

Natación 10%

Preferencias de deporte que les gusta practicar a los alumnos de 1º

Basquetbol 25%

81

81

MAT1 B3 S23 maestro.indd 81

8/25/07 3:06:09 PM


secuencia 23 ii. Se aplicó una encuesta a un grupo de alumnos, y con los datos obtenidos se elaboró la siguiente gráfica. a) ¿Qué tipo de música es el que más le gusta a los alumnos? Tipo de música que prefieren los alumnos de primero.

b) ¿Qué fracción de la gráfica representa? c) Expresado en porcentaje, ¿cuánto le corresponde? d) ¿A qué porcentaje de los alumnos de primero les gusta el rock?

Clásica

hera

e) ¿Qué relación encuentran entre los alumnos a los que les gusta Balada

escuchar la música ranchera y a los que les gusta la cumbia?

Ro

ck

Ranc

a

bi

m Cu

Respuestas. a) La balada. b) Es wQ . c) Al 50%. d) Al 25%. e) Los sectores son del mismo tamaño, por lo tanto, la música ranchera y la cumbia les gustan a la misma cantidad de alumnos. f) Es 5%. Entre la balada y el rock llevamos 75%, el 25% restante se reparte con 10% ranchera, 10% cumbia y 5% clásica.

f) ¿Qué fracción de la gráfica representa a los que prefieren música clásica, si se sabe que es la mitad de los que prefieren música ranchera?

Propósito del video. Visualizar la construcción de una gráfica circular. Sugerencia didáctica. Si se suman los porcentajes no se obtiene 100% debido a que se quitan cifras decimales (por ejemplo, el porcentaje que representa la matrícula de preescolar en 1992 es 13.304800984118… pero para manejar con facilidad los datos se suelen anotar sólo las primeras cifras decimales). Coméntelo con los alumnos. Integrar al portafolios. Pida a los alumnos que le entreguen al menos una de las dos gráficas circulares que hagan. Si no son correctas, resuelvan juntos todo este apartado (Lo que aprendimos) para aclarar dudas y hacer correcciones. b) Redondeando, en la gráfica de 1992 pueden tomarse ángulos de 50º, 240º y 70º. En la de 2002 de 54º, 216º y 90º para preescolar, primaria y secundaria, respectivamente.

El rating en la televisión La medida que se utiliza para conocer la aceptación de un programa de televisión por parte de los televidentes se llama rating, y existen diferentes formas de medirlo. Con esta medida las televisoras definen, entre otras cosas, el horario de transmisión de los programas y su duración.

Lo que aprendimos 1. En la sesión 3 de la secuencia 22, Tablas de frecuencia absoluta y relativa, completaste la siguiente tabla. Matrícula en Educación Básica por nivel educativo y por sexo (1992 y 2002) Año Nivel educativo Preescolar Primaria Secundaria

1992 Total

2002 Porcentaje

2 858 890 14 425 669

4 203 098

Total

13.3% 67.13% 19.56%

Porcentaje

3 635 903 14 857 191 5 660 070

15.05% 61.51% 23.43%

Fuente: SEP, Estadística Básica del Sistema Educativo Nacional. Inicio de cursos 1992-1993. SEP, DGPPP, Subdirección de Análisis Estadístico y Presupuestal 2003.

a) Anota en la tabla los porcentajes que corresponden a cada año. b) Construye en tu cuaderno las gráficas circulares que representan la información de la tabla. 82

Matrícula en Educación Básica por nivel

Matrícula en Educación Básica por nivel

educativo (1992)

educativo (2002)

13 %

20 %

67 % Preescolar

Primaria

15 %

23 %

62 % Secundaria

Preescolar

Primaria

Secundaria

82

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8/25/07 3:06:12 PM


MATEMÁTICAS

I

2. En la secuencia 14, La TV ¿Ventana al mundo o “caja idiota"?, de su libro de Español I, volumen II realizaron una encuesta sobre el impacto de la televisión en su familia; posteriormente, registraron los datos que reunieron todos los alumnos del grupo en una tabla. Ahora, en su cuaderno deberán utilizar esa información para presentarla en gráficas de barras o circulares, según sea conveniente para dar respuesta a las siguientes preguntas. a) ¿Cuántas horas permanece encendido el televisor durante el día? b) ¿En qué tipo de gráfico es más conveniente presentar esta información? c) ¿Qué opinan otros compañeros? Si representaron de manera diferente la información, anoten por qué. 3. Una forma de recolectar datos es aplicando una encuesta. a) Utilicen las siguientes preguntas para encuestar a un grupo de personas (pueden ser sus compañeros de grupo, todos los estudiantes de su escuela o algunas de las personas de su comunidad). b) Una vez que hayan recopilado los datos, cada equipo deberá presentar en una gráfica de barras o circular los resultados de una de las preguntas de la encuesta. Si hay más de cuatro equipos en el grupo, no importa que se presenten más de dos gráficas de la misma pregunta. Compárenlas y determinen qué gráfica es mejor y está más completa.

Queremos conocer tus intereses Encuesta de entretenimiento Contesten marcando una opción en cada pregunta. 1 ¿Cuál es el tipo de música que te gusta escuchar? a. grupera b. rock c. cumbia d. clásica e. balada 2 ¿Cuál es el tipo de programa que te gusta ver en la televisión? a. noticias b. comedias c. caricaturas d. musicales e. concursos 3 ¿Cuál es el deporte que te gusta practicar? a. basquetbol b. futbol c. natación d. volibol 4 ¿Cuál es el tipo de película que te gusta ver? a. suspenso b. terror c. comedia d. drama e. infantil

Para saber más Consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Sobre información para conocer otras estadísticas de los jugadores de futbol, consulten: http://www.terceradivision.com.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. 83

2 Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que organicen los datos obtenidos en una tabla, en la que señalarán la frecuencia relativa y el porcentaje para facilitar la elaboración de la gráfica.

83

MAT1 B3 S23 maestro.indd 83

8/25/07 3:06:15 PM


Propósito de la sesión. Obtener la probabilidad frecuencial expresada en forma de fracción, decimal y porcentaje.

secuencia 24

Nociones de probabilidad

Organización del grupo. La mayoría de las actividades las resolverán en parejas o en equipos de tres.

En esta secuencia enumerarás los posibles resultados de una experiencia aleatoria y utilizarás la escala de la probabilidad entre 0 y 1 expresada en forma de fracción, decimal y porcentaje. Además, establecerás cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificarán su respuesta.

3

Probabilidad frecuencial

sesión 1

Para empezar

Propósito de la pregunta. En este punto se busca que los alumnos expresen sus ideas basándose en su experiencia, más adelante trabajarán situaciones que les permitirán conocer algunos aspectos de la probabilidad y el azar.

La mayoría de las personas nos hemos enfrentado a situaciones en las que hay más de una alternativa y, sin tener preferencia por alguna, hemos dejado que la “suerte” lo decida. En matemáticas, decimos que es una situación de azar o aleatoria, y aunque no podemos asegurar cuál será su resultado, sí podemos determinar los posibles resultados.

Consideremos lo siguiente Si lanzas 10 veces una moneda al aire, ¿qué crees que suceda? ¿Caerán más águilas o más soles?

Manos a la obra i. Cada integrante del equipo, por turno, lanza una moneda 10 veces al aire. Registren en la siguiente tabla los resultados de los tres integrantes. Tachen a si cae águila y s si cae sol.

1

Primer juego

Sugerencia didáctica. En esta sesión, y en general en todas las que tratan temas de probabilidad frecuencial, es muy importante que los alumnos realicen todos los experimentos.

Jugador

Jugador 1

Jugador 2

Propósito del interactivo. Desarrollar una noción de probabilidad frecuencial al enumerar posibles resultados de lanzar una moneda.

Eje Manejo de la información.

Tema Análisis de la información.

Jugador 3

10°

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

Total por resultado

84

Propósitos de la secuencia Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes formas de expresarla. Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar la respuesta.

Sesión

Título y propósitos de la sesión

Recursos Interactivos “Lanza monedas” “La ruleta” Aula de medios “Probabilidad frecuencial” (Hoja de cálculo)

1

Probabilidad frecuencial Obtener la probabilidad frecuencial expresada en forma de fracción, decimal y porcentaje.

2

Probabilidad clásica Calcular la probabilidad clásica de eventos simples e interpretar la escala de la probabilidad.

Interactivo “Bolsa con canicas”

3

Comparación de probabilidades I Explorar y analizar la relación entre la probabilidad frecuencial y la clásica.

Video ¿Qué es más probable?

4

Comparación de probabilidades II Calcular las probabilidades de diversos eventos y distinguir entre ellos cuál es más probable que ocurra, cuál es menos probable y cuáles tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Antecedentes Durante la escuela primaria los alumnos han realizado experimentos aleatorios, definido el espacio muestral y registrado la frecuencia con la cual se presenta un resultado. Ahora aprenderán a obtener la probabilidad frecuencial y la clásica, y explorarán la relación entre ellas.

Número de volado

84

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8/25/07 3:06:33 PM


I

MATEMÁTICAS

3

Contesten las siguientes preguntas a) ¿Cuántas águilas cayeron por jugador?

Propósito de las preguntas. Aunque es posible obtener los mismos resultados, es poco probable que suceda, sin embargo, una vez más la intención es que los alumnos expresen sus ideas sobre la probabilidad en situaciones aleatorias.

b) ¿Cuántos soles por jugador? c) Si vuelven a jugar, ¿creen que obtendrán los mismos resultados? d) Realicen el juego dos veces más y marquen los resultados de cada torneo. Segundo juego Jugador

Jugador 1

Jugador 2

Jugador 3

Número de volado

10°

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

Total por resultado

Tercer juego Jugador

Jugador 1

Jugador 2

Jugador 3

Número de volado

10°

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

Total por resultado

e) De los tres juegos que realizaron, ¿en cuál obtuvieron más águilas? f) ¿En cuál obtuvieron más águilas los otros jugadores? 85

85

MAT1 B3 S24 maestro.indd 85

8/25/07 3:06:36 PM


Sugerencia didáctica. Si lo considera útil, recuerde a los alumnos que: - La suma de las frecuencias debe ser 90 (en este caso). - La suma de las frecuencias relativas debe ser 1 (en cualquier caso). - La suma de los porcentajes debe ser 100% (en cualquier caso).

secuencia 24 g) Consideren los resultados de los tres jugadores y completen la siguiente tabla.

Recuerda que: Un experimento o fenómeno es aleatorio si su ocurrencia presenta varios resultados posibles y no se puede asegurar cuál de ellos se obtendrá.

Resultados en el equipo

Frecuencia

Total de lanzamientos

90

Frecuenta relativa Fracción

Decimal

F*G+

1

Caer águila

FG

Caer sol

FG

Porcentaje

100%

Sugerencia didáctica. Es importante analizar con los alumnos la tabla que llenaron. Hágales notar que en una situación aleatoria la frecuencia relativa es la probabilidad frecuencial.

Al cociente entre el número de veces que ocurre el evento y el número de veces que se realizó el experimento se le llama probabilidad frecuencial de un evento. Con los resultados obtenidos en tu equipo pueden calcular la probabilidad frecuencial de obtener águila o de obtener sol. Se calcula así: P (caer águila en el equipo) = Número de veces que cae águila

Propósito de la actividad. Que los alumnos se percaten de lo que sucede cuando se efectúa un experimento o juego de azar (como lanzar una moneda) cuando la cantidad de ensayos o registros (número de lanzamientos) es mayor que en un experimento anterior.

P (caer sol en el equipo) = Número de veces que cae sol Número de lanzamientos

Posibles dificultades. Algunas de las estrategias erróneas más comunes y sistemáticas que presentan los alumnos surgen de situaciones como las siguientes: - Desconocer los efectos de considerar pocos resultados sobre la precisión de las estimaciones. Por ejemplo, considerar suficientes diez lanzamientos. - Confiar, sin fundamento, en una predicción basada en información no válida (supersticiones). Por ejemplo, creer que se le puede pasar “buena vibra” a la moneda para que caiga un cierto resultado. - Creer que la aparición de una racha a favor de un resultado aumenta la probabilidad del contrario. Por ejemplo, creer que si la serie de lanzamientos de una moneda ha sido AAASSSSAAA, en el siguiente lanzamiento debe caer sol. - Creer que SASASASASA es una serie de volados más probable que la anterior.

Número de lanzamientos P (caer águila en el equipo) se lee: probabilidad de caer águila en el equipo.

h) Calculen la probabilidad frecuencial del evento “caer sol” que obtuvieron en sus primeros 10 lanzamientos. P (caer sol en el grupo) =

Número de veces que cae sol = Número total de lazamientos

10

ii. Ahora consideren los resultados de todo el grupo. a) Calculen la probabilidad frecuencial del evento "caer águila" que se obtuvo en todo el grupo. Resultados en el grupo

Frecuencia

Total de lanzamientos

P (caer águila en el grupo) = Caer águila

Número de veces que cae águila = Número total de lanzamientos

Caer sol

86

86

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8/25/07 3:06:39 PM


MATEMÁTICAS

I

b) Completen la siguiente tabla, escribiendo en forma de fracción, número decimal y porcentaje la probabilidad frecuencial de los eventos “caer águila en el equipo” y "caer águila en el grupo". Comparen estas probabilidades. Probabilidad frecuencial Evento Fracción

Decimal

Porcentaje

Recuerde que. Si se repite muchas veces un experimento aleatorio en condiciones idénticas, la probabilidad frecuencial se va acercando a la clásica. En el caso de los volados, tenderá a wQ o 0.5 porque en una moneda que no esté “cargada” es igualmente probable que caiga sol o que caiga águila. Sin embargo, la probabilidad frecuencial del evento caer águila en el grupo no necesariamente será igual a wQ  .

Caer águila en el equipo

Caer águila en el grupo

¿Es mayor la del equipo?

¿Es menor?

¿Es igual?

c) ¿Creen que si repiten el experimento de lanzar 10 veces una moneda obtendrán la misma probabilidad frecuencial? ¿Por qué?

A lo que llegamos La probabilidad frecuencial es una medida obtenida de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. Sin embargo, no es definitiva, por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen.

Respuestas. No necesariamente se obtendrá la misma probabilidad frecuencial, aunque es posible. Además, hay que considerar que se puede obtener la misma probabilidad frecuencial pero quizá la serie de lanzamientos tenga otro comportamiento, es decir, puede ser AAASSSSSAA o SASSSAASAA, por ejemplo.

La probabilidad frecuencial de un evento A, que se denotará P(A), se obtiene dividiendo el número de veces que ocurre el evento entre el número total de veces que se realizó el experimento. P (A) =

Número de veces que ocurre el evento Número total de veces que se realiza el experimento

Como el valor de la probabilidad es el de la frecuencia relativa, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que puede expresarse en forma de fracción, número decimal y porcentaje.

87

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien en sus cuadernos la información del recuadro.

87

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8/25/07 3:06:42 PM


secuencia 24

Lo que aprendimos

Respuestas. a) 300 volados. b) 120 veces (300 – 180). c) En el experimento realizado se lanzaron 300 volados y cayó águila el 60% de las veces, por lo tanto, en 100 volados se esperaría que 60 fueran águila, pero no se puede saber con certeza porque es un experimento aleatorio.

1. La siguiente tabla muestra los resultados que se obtuvieron en un grupo al lanzar una moneda. Con estos datos, contesten las siguientes preguntas. Probabilidad frecuencial

Evento

Caer águila en el grupo

Fracción

Decimal

Porcentaje

<, G$ G+ = K

0.60

60 %

a) ¿En total, cuántos volados se realizaron en el grupo? b) ¿En total, cuántas veces cayó sol? c) De acuerdo con la probabilidad frecuencial del evento caer águila obtenida por el grupo, si se realizan 100 volados, ¿en cuántos caerá águila?

Propósito del interactivo. Desarrollar una noción de probabilidad frecuencial al enumerar los posibles resultados de girar una ruleta.

2. Elaboren una ruleta como la que se muestra en el dibujo. Pueden ayudarse con el procedimiento para trazar un hexágono de la segunda sesión de la secuencia 13 Polígonos regulares. Cada integrante del equipo, por turnos, hace girar la ruleta. Para ello pueden desdoblar un clip y colocar un extremo en el centro de la ruleta. Anoten en la siguiente tabla en qué color se detiene. Giren la ruleta 50 veces y completen la siguiente tabla.

Sugerencia didáctica. Si resulta difícil construir la ruleta,, pueden hacer el experimento con 6 papeles pintados con los colores de la misma o marcados con el nombre del color. Se ponen los papeles en una bolsa que no sea transparente. En vez de girar la ruleta, se saca un papel y cuando hayan visto el color lo regresan a la bolsa hasta completar 50 extracciones.

Resultados en el equipo Evento

Conteo

Frecuencia

Probabilidad frecuencial Fracción

Cae el color azul

KG

Cae el color morado

KG

Cae el color verde

KG Total

50

KG

Decimal

Porcentaje

100%

88

Integrar al portafolios. Una vez que los alumnos hayan hecho el experimento, pídales que le den una copia de la tabla. Cada equipo obtendrá frecuencias distintas dependiendo de los resultados del experimento, pero revise que hayan escrito correctamente la probabilidad frecuencial expresada como fracción, como decimal y como porcentaje. Si después de analizar las respuestas de los alumnos considera necesario hacer un repaso, resuelvan juntos el apartado Manos a la obra.

88

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8/25/07 3:06:45 PM


MATEMÁTICAS

I

PRobabilidad clásica

sesión 2

Para empezar

En la sesión 4 de la secuencia 8, Problemas de conteo, trabajaste con un diagrama de árbol para contar los resultados posibles al lanzar dos dados.

Consideremos lo siguiente El siguiente diagrama de árbol muestra todos los resultados posibles que pueden obtenerse al lanzar dos dados. Dado A Dado B

Resultados posibles Dado A

Dado B

1

1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

2

1 2 3 4 5 6

2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6

3

1 2 3 4 5 6

3 3 3 3 3 3

1 2 3 4 5 6

4

1 2 3 4 5 5

4 4 4 4 4 4

1 2 3 4 5 6

5

1 2 3 4 5 6

5 5 5 5 5 5

1 2 3 4 5 6

6

1 2 3 4 5 6

6 6 6 6 6 6

1 2 3 4 5 6

a) ¿Cuántos resultados diferentes en total puede haber al lanzar dos dados? 89

Propósito de la sesión. Calcular la probabilidad clásica de eventos simples e interpretar la escala de la probabilidad. Organización del grupo. La sesión se trabaja en parejas y de manera individual.

Respuesta. a) Son todos los resultados que pueden verse en el diagrama, es decir, 36. Esos 36 resultados constituyen el “espacio muestral”, o sea, el conjunto de todos los resultados posibles al realizar un experimento aleatorio.

89

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Respuesta. b) Es el 7, porque puede obtenerse de 6 maneras distintas: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1). c) 2 y 12, ya que cada 1 puede obtenerse de 1 sola manera: (1,1) y (6,6), respectivamente.

secuencia 24 b) Si se hace referencia al evento “la suma de los puntos obtenidos en el lanzamiento de dos dados”, ¿qué suma es más probable de obtener? c) ¿Qué suma tiene menos probabilidades de salir? d) Si en un juego con dos dados te ofrecen la siguiente apuesta: “Si obtienes de tus dados una suma mayor que 7, ganas; si no, pierdes”, ¿te arriesgarías a jugar? ¿Por qué?

¿A qué suma le apostarías para

tener más seguridad de ganar?

Propósito de la pregunta. Lo importante aquí es que los alumnos lean y analicen el diagrama, las probabilidades las calcularán después.

¿A qué suma no le apostarías?

Comparen sus respuestas.

Manos a la obra i. Dos resultados posibles para obtener una suma mayor que 7 son: (2, 6) y (3, 5). a) Anoten los resultados favorables que faltan

Respuesta. Una vez que hayan expresado sus opiniones, puede hacerles notar que un resultado mayor que 7 se obtiene de 15 distintas maneras, y que uno menor o igual que 7 se obtiene de 21 distintas maneras, por lo que no conviene apostar. Conviene apostar a obtener 7. No conviene apostar a obtener 2 o 12.

c) Busquen determinar qué fracción del total de resultados posibles representan. d) ¿Cuáles son los resultados favorables del evento: “obtener una suma igual que 12 al lanzar dos dados”? e) ¿Cuántos resultados favorables son? f) ¿Qué fracción representan del total de resultados posibles? g) Marquen en el siguiente diagrama rectangular los resultados favorables del evento: “obtener una suma igual que 7 al lanzar dos dados”. Sumas que se obtienen al lanzar dos dados

Caras del dado B

Respuestas. a) Faltan 13: (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (4,4), (4,5), (4,6), (3,6). b) Son 15. c) eQ yT d) Hay un solo resultado mediante el cual se obtiene 12, (6,6). e) 1 f) e Q y   g) Son 6 resultados: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). h) Son 6. i) e Y y  

b) ¿Cuántos resultados favorables son?

6

7

8

9

10

11

12

5

6

7

8

9

10

11

4

5

6

7

8

9

10

3

4

5

6

7

8

9

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

Caras del dado A

h) ¿Cuántos resultados favorables son? i) ¿Qué fracción representan del total de resultados posibles? 90

90

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MATEMÁTICAS

I

A lo que llegamos Cuando se realiza un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados sencillos posibles recibe el nombre de espacio de eventos o espacio muestral. Por ejemplo, en el caso de lanzar dos dados, uno azul y otro rojo se lanzan una vez y se anota el número de puntos que aparecen en cada uno. El espacio muestral son todos los resultados sencillos posibles que se presentan en forma de diagrama de árbol. Si ahora se lanzan dos dados y se obtiene la suma de los puntos que aparecen en cada uno, el espacio muestral es el que se observa en el diagrama rectangular.

Respuestas. j) Son 15 resultados favorables: (1,5), (1,4), (1,3), (1,2), (1,1), (2,4), (2,3), (2,2), (2,1), (3,3), (3,2), (3,1), (4,2), (4,1), (5,1).

j) Marquen en el mismo diagrama rectangular los resultados favorables del evento: “obtener una suma menor que 7”. k) ¿Cuántos resultados favorables son?

A lo que llegamos Se llama probabilidad clásica de un evento al número P(e) que se obtiene por medio del cociente: Número de resultados favorables P (e) = Número total de resultados posibles

k) eQ

Sugerencia didáctica. Si es posible, pida a los alumnos que también expresen la probabilidad con número decimal y mediante un porcentaje.

II. Completen la siguiente tabla Evento (e)

Resultados (dado A, dado B)

Número de resultados favorables al evento

Probabilidad clásica del evento P (e)

La suma de las (2, 6), (3, 5) caras de dos dados al caer es mayor que 7

número total de resultados posibles = <P

La suma de las caras de dos dados al caer es igual que 12

número total de resultados posibles =

La suma de las caras de dos dados al caer es igual que 7

número total de resultados posibles=

La suma de las caras de dos dados al caer es menor que 12

número total de resultados posibles=

La suma de la cara de dos dados al caer es menor que 7

número total de resultados posibles=

yT

número de resultados favorables

número de resultados favorables

número de resultados favorables

número de resultados favorables

número de resultados favorables

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91

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Integrar al portafolios. Revise las respuestas de los alumnos a los incisos del a) al f). Si nota dificultades, copie en el pizarrón la tabla del número II de esta sección y resuélvanla juntos.

secuencia 24 a) Consideren la probabilidad de los siguientes eventos: ¿Qué evento es más probable que ocurra al lanzar dos dados: obtener una suma igual que 12 o una igual a 7? b) ¿Qué evento es más probable que ocurra al lanzar dos dados: obtener una suma mayor que 7 o una menor a 7? c) Calculen las siguientes probabilidades:

Respuestas. a) Hay seis casos favorables para que el evento “obtener una suma igual a 7” ocurra, mientras que sólo hay un caso favorable para “obtener una suma igual a 12”.

P (la suma es igual que 1) = P (la suma es igual que 6) = ¿A qué suma no le apostarían? d) Completen la siguiente tabla calculando la probabilidad clásica de cada evento que se pide.

b) Son igualmente probables porque hay 15 posibilidades en cada caso.

La suma es un número par

La suma es igual que 7

La suma es menor que 13

número de resultados favorables

número total de resultados posibles

c) Obtener una suma igual a 1 no está en el espacio muestral porque no hay casos favorables para tal evento, así que su probabilidad es e P y . La probabilidad de obtener una suma igual a 6 es

La suma es igual que 13

Evento Probabilidad clásica

e) ¿Cuántos resultados favorables existen al lanzar dos dados en los que la suma sea menor que 13? f) ¿Cuántos resultados favorables existen al lanzar dos dados en los que la suma sea igual que 13?

e T y  .

A lo que llegamos

d) La suma es igual a 13:

e P y  La suma es número par:    

Para obtener la probabilidad clásica de un evento no se requiere de la realización de experimentos, como en la probabilidad frecuencial, sino de conocer dos datos:

La suma es igual a 7:

La suma es menor que 13:

El de todos los resultados posibles que se pueden dar en una situación de azar, y el de los resultados favorables de un evento de esa situación:

eYy eE yY  

e) 36

P (e)=

Número de resultados favorables del evento Número total de resultados posibles

f) Cero. 92

Sugerencia didáctica. Es importante señalar la diferencia entre la probabilidad frecuencial y la clásica. Ambas se refieren a la probabilidad de que un evento ocurra en situaciones aleatorias, pero la frecuencial se obtiene a partir de los resultados de un experimento, y la clásica a partir del análisis de la situación sin realizar el experimento. Sin embargo, se espera que cuando un experimento se repita una gran cantidad de veces, el valor de la

probabilidad frecuencial de un evento se aproxime al valor de su probabilidad clásica. Por ejemplo, el valor de la probabilidad clásica de “obtener una suma igual a 7” es e Y y debido a que hay 6 de 36 formas de obtenerla. Si lanzamos muchas veces 2 dados y reunimos los resultados, el valor de probabilidad frecuencial de obtener una suma igual a 7 debe de aproximarse a e Y y . La notación utilizada es la misma en ambos casos: p(e).

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MATEMÁTICAS

I

A la probabilidad clásica se le llama también probabilidad teórica. Cuando el número de resultados favorables de un evento es el mismo que los resultados posibles (espacio muestral), se trata de un evento seguro, y la probabilidad de ese evento es igual a 1. Cuando el número de resultados favorables de un evento es 0, es decir, no hay casos favorables, entonces se trata de un evento imposible y la probabilidad de ese evento es 0. Si el valor de la probabilidad de un evento es un número muy cercano a 0, se dice que ese evento es poco probable, pero si el valor de la probabilidad de ese evento es un número muy cercano a 1, entonces el evento es muy probable.

Propósito del interactivo. Desarrollar una noción de probabilidad frecuencial al enumerar los posibles resultados de extraer canicas de una bolsa. Comparar las probabilidades clásicas con los datos experimentales. Respuestas.

Lo que aprendimos

a) wQ

En una urna hay dos canicas blancas y dos negras. Extrae una canica de la urna, anota el color, y devuélvela a la urna; de nuevo extrae una canica y anota su color. De esta forma, dos extracciones sucesivas conducen a uno de estos cuatro resultados:

b) rW c) rQ

¿Cuál es la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos?

Propósito de la sesión. Explorar y analizar la relación entre la probabilidad frecuencial y la clásica.

a) Extraer dos canicas negras. b) Extraer dos canicas de diferente color. c) Extraer dos canicas blancas.

comParación de Probabilidades i

Para empezar

sesión 3

¿Qué es más probable? La comparación de probabilidades permite determinar cuál es la mejor opción que se puede elegir, ya sea en un juego o en otro tipo de situaciones de azar.

Consideremos lo siguiente En una caja hay 10 tarjetas numeradas del 1 al 10. Si sacas una tarjeta al azar, ¿cuántos resultados posibles hay? ¿Qué probabilidad existe de obtener un número par? Comparen sus respuestas. 93

Propósito del video. Identificar y visualizar situaciones en las que obtienen la probabilidad frecuencial y situaciones en las cuales obtienen la probabilidad clásica.

Propósito de las preguntas. La intención es que los alumnos se vayan familiarizando con el análisis de resultados posibles y con el cálculo de la probabilidad clásica y frecuencial.

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secuencia 24 Respuestas. a) 2, 4, 6, 8, 10. b) Hay 5 formas (sacando 2, 4, 6…). c) Es q T p .

Manos a la obra i. Formen equipos de tres integrantes y coloquen tarjetas de papel numeradas del 1 al 10 en una caja o bolsa. a) ¿Cuáles son las tarjetas que tienen un número par? b) ¿Cuántas formas existen de obtener un número par?

Sugerencia didáctica. Recuerde que es indispensable que los alumnos realicen todos los experimentos para poder lograr los propósitos de la sesión. Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos analicen las diferencias y coincidencias entre la probabilidad clásica y la frecuencial. En general, la probabilidad frecuencial y la clásica en este experimento no van a ser iguales (porque 10 extracciones son muy pocas para que la probabilidad frecuencial se acerque a la clásica). Cuando terminen de contestar las preguntas pídales que expliquen los resultados que obtuvieron y que expresen sus dudas (si las tienen), más adelante podrán aclararlas.

c) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener un número par? P (obtener un número par) =

resultados favorables de obtener un número par resultados posibles al extraer una tarjeta

ii. Ahora, cada integrante del equipo saca de la caja una tarjeta numerada y anota el resultado en la siguiente tabla. Luego regresa la tarjeta y repite el experimento otro integrante del equipo hasta que cada quien haya hecho 10 extracciones.

Extracciones Jugador

10°

Número de veces que obtuvieron una tarjeta par

Jugador 1

Jugador 2

Jugador 3

a) En total, ¿cuántas veces obtuvieron una tarjeta con un número par? b) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de este evento? c) Comparen la probabilidad clásica de obtener un número par y la probabilidad frecuencial que obtuvieron al realizar el experimento. ¿Son iguales? ¿Cuál es mayor?

Recuerden que: esarse en La probabilidad puede expr y porcentaje. forma de fracción, decimal

94

94

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MATEMÁTICAS

I

III. Reúnan los resultados que obtuvieron en su equipo con los de los demás equipos y completen la tabla. Equipo

Número de veces que se obtuvo una tarjeta con un número par

Número total de extracciones

Total

a) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de obtener una tarjeta con un número par en su equipo? b) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de obtener una tarjeta con un número par en su grupo? c) Ahora, comparen esta probabilidad con la probabilidad clásica de este evento. ¿Se aproxima la probabilidad frecuencial de este evento a la probabilidad clásica?

Respuestas. a) Es 1, un evento seguro.

d) ¿Cuál de las dos probabilidades frecuenciales, la que obtuvo su equipo o la del grupo, es más cercana a la de la probabilidad clásica?

b) w Q

pP c) w Q p P

IV. Consideren que la urna tiene 20 tarjetas numeradas del 1 al 20 y contesten las siguientes preguntas.

= =

wQ wQ

d) 0, es un resultado imposible. e) No, un resultado favorable debe “caber” en el número de resultados posibles.

a) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número mayor que 0? b) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número mayor que 10?

c) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número par? d) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número mayor que 20?

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95

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secuencia 24 e) ¿Se podría dar el caso de que el número de resultados favorables sea mayor que el

2

número de resultados posibles?

A lo que llegamos

Sugerencia didáctica. Lean esta información. Después revisen sus respuestas a los números II y III del apartado Manos a la obra y aclaren dudas.

La probabilidad clásica es diferente de la probabilidad frecuencial. Para obtener la probabilidad clásica se consideran las condiciones del experimento. Por ejemplo, en una urna hay veinte tarjetas numeradas del 1 al 20 y se quiere elegir una tarjeta con número impar, entonces la probabilidad clásica es ,N ; y la probabilidad frecuencial se calcula a partir de los resultados que se obtienen al efectuar el experimento. En este caso, si se realizó el experimento 100 veces y 38 veces se sacó una tarjeta con número impar, la probabilidad frecuencial de este evento es: P (sacar número impar) =

HG&G =

0.38 = 38%

Después de realizar muchos experimentos, la probabilidad frecuencial de un evento se parece a la probabilidad clásica.

Respuestas. a) Clásica, no se realiza el experimento. b) Frecuencial, sí se lleva a cabo el experimento. c) Clásica, no se llevó a cabo.

Tanto la probabilidad clásica como la frecuencial se pueden expresar utilizando fracciones, decimales y porcentaje.

Lo que aprendimos 1. Indiquen en cada caso si se trata de probabilidad frecuencial o probabilidad clásica: a) Una bolsa contiene 5 canicas rojas y 7 azules. La probabilidad de sacar una canica roja es

H"N .

b) Se les hace una encuesta a 600 personas para conocer qué bebida prefieren tomar para acompañar su comida; se sabe que 450 prefieren refresco. Se determina que la probabilidad del evento es

P-G/G+ .

c) En una feria hay una ruleta como la siguiente:

La probabilidad de caer en el área B es 96

96

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I

MATEMÁTICAS

Propósito de la actividad. A diferencia de los anteriores, este experimento no es aleatorio porque no depende del azar sino de la preferencia de cada persona. Por ello, aunque muchas personas elijan en la rockola su música favorita, la probabilidad frecuencial no necesariamente tenderá a la clásica, que en este caso es r Q p P o rQ. .

2. En un restaurante hay una rockola que tiene 40 diferentes melodías, las cuales están clasificadas y distribuidas equitativamente en cuatro diferentes tipos de música: a) Grupera

b) Rock

c) Cumbia

d) Balada

a) Calculen la probabilidad clásica de que sea seleccionada una melodía de rock. opciones de elegir música rock

P (rock) =

total de opciones de elegir una melodía

En la siguiente tabla se muestra la preferencia con la cual se han seleccionado las melodías a partir del tipo de música al que pertenece. Tipo de música

Grupera

Rock

Cumbia

Balada

Núm. de veces que se tocó

15

24

11

30

Total

80

En esta actividad la intención es que el alumno identifique situaciones relacionadas con la preferencia (de música, candidatos, deportes, etc.) y la probabilidad; es decir, introducir la probabilidad y la estadística de un modo experimental, además de confrontar creencias personales o de carácter determinista con la importancia y utilidad de la estadística para la toma de decisiones con una base racional y objetiva.

b) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de seleccionar una melodía de música grupera? veces que se tocó música grupera número total de melodías que se tocaron

P (grupera) =

c) Comparen la probabilidad clásica de que sea seleccionada una melodía que pertenece al género de la música grupera y la probabilidad frecuencial del mismo evento. ¿Son iguales?

¿Cuál es mayor?

d) Calculen las probabilidades que se indican: Tipo de música

Cumbia

Rock

Probabilidad clásica

P (cumbia) =

P (rock) =

Balada

P (balada) =

Grupera

P (grupera) =

Probabilidad frecuencial

rQ pP

P (cumbia) =

iQ pQ

rQ pP rQ pP

P (rock) =

iW pR

P (balada) =

iE pP

P (grupera) =

iQ pT

rQ pP

Respuestas. a) Como están distribuidas equitativamente es r Q p P . b)

rQ pT

c) No son iguales. Es mayor la probabilidad clásica ( r Q p P > i Q p T ). 97

97

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Propósito de la sesión. Calcular las probabilidades de diversos eventos y distinguir entre ellos cuál es más probable que ocurra, cuál es menos probable y cuáles tienen la misma probabilidad de ocurrir.

secuencia 24 sesión 4

comParación de Probabilidades ii

Para empezar

Cuando has participado en un juego de azar, ¿alguna vez te ha tocado elegir las reglas que rigen el juego? En esta sesión calcularás las probabilidades de diversos eventos y distinguirás cuál es más probable que ocurra, cuál es menos probable y cuáles tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Consideremos lo siguiente

Organización del grupo. Se sugieren actividades individuales, en parejas y en equipos.

Para realizar el siguiente juego se necesitan 4 bolsas no transparentes, 6 canicas rojas y 6 canicas verdes. Hay que distribuir las canicas en las cuatro bolsas como se indica en la figura.

Sugerencia didáctica. Si no tienen a la mano canicas pueden sustituirlas por papeles de colores o blancos con el nombre del color escrito.

Bolsa 3

Bolsa 1

3 Bolsa 4

Propósito de las preguntas. Es muy importante que los alumnos contesten las preguntas antes de realizar el experimento. Se pretende que al responderlas hagan uso de lo que han aprendido sobre la probabilidad clásica, sin embargo, puede ser que en un primer momento no se den cuenta de que es igualmente probable obtener una canica roja en la bolsa 1 y en la 3. Respuestas. En la bolsa 1 la probabilidad es wQ , y en la 3 es rW , es decir, de ambas es igualmente probable extraer una canica roja. Es mejor elegir la bolsa 2 porque ahí la probabilidad es eW y es mayor que en cualquiera de los otros casos.

Bolsa 2

El juego se realiza de la siguiente manera: cada integrante elige una de las cuatro bolsas y extrae, sin mirar, una canica; anota el color que sale. Después regresa la canica a la bolsa y repite hasta tener 20 extracciones. Gana quien haya sacado más veces una canica roja de la bolsa que eligió. Antes de empezar a jugar contesten: ¿Qué creen que sea más probable, extraer una canica roja de la bolsa 1 o de la bolsa 3?

¿Qué bolsas elegirían? ¿Por qué? Comparen sus respuestas.

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MATEMÁTICAS

I

Manos a la obra I. Realicen el juego. Usen el siguiente casillero para anotar la letra r si sale roja y la v si sale verde. Repitan el experimento 20 veces para llenar los casilleros. Recuerden, gana quien haya sacado más veces una canica roja.

Bolsa núm._____________ Resultado en cada extracción

10ª 11ª 12ª 13ª 14ª 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª 20ª

a) Utilicen la siguiente tabla para registrar los resultados que obtuvieron al realizar este juego. Resultados de 20 extracciones en la bolsa ____________

Color de la canica

Frecuencia Número de veces que sale una canica

Roja (r) Verde (v)

Probabilidad frecuencial

P (r) = _____________________

P (v) = _____________________

b) Analicen los resultados obtenidos por todos los integrantes de su equipo. ¿Quién ganó? c) ¿Qué número de bolsa utilizó? d) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de sacar una canica roja en esa bolsa? e) Consideren los resultados del equipo, ¿qué color de canica salió más veces?

II. Reúnan los resultados del grupo en la siguiente tabla y después marquen con “X” si es verdadero (V) o falso (F) en el cuadrito correspondiente.

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secuencia 24 Total de canicas de color rojo Equipo

Bolsa 1

Bolsa 2

Bolsa 3

Bolsa 4

1 2 3 4 5

Respuestas. Considerando la probabilidad clásica: a) F, en la 2 la probabilidad es mientras que en la 1 es wQ.. b) V, en la 1 la probabilidad es la 4 es eQ . c) V, porque

eW

6 7 8 9 10 Total de canicas de color rojo (Frecuencia) Probabilidad frecuencial de sacar una canica roja

Sugerencia didáctica. Para responder estos incisos los alumnos deben considerar los resultados de los experimentos que reunieron en la tabla anterior. Cuando hayan terminado, anote en el pizarrón los incisos y contéstenlos considerando ahora la probabilidad clásica. Comparen ambas respuestas y comenten sus diferencias y coincidencias (si las hubo).

Fracción Decimal %

V

F

a) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 2.

,

eW

b) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 4. c) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 2 que de la bolsa 4.

wQ

y en

d) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 3. e) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 2 que de la bolsa 3.

> eQ  .

d) F, son igualmente probables. e) V, porque

eW

> wQ. .

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MATEMÁTICAS

I

Respuestas. La probabilidad clásica en cada bolsa es:

III. Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la probabilidad clásica de sacar una canica roja de cada bolsa? Bolsa 1

Bolsa 2

Bolsa 3

Bolsa 4

P (sacar una canica roja) =

P (sacar una canica roja) =

P (sacar una canica roja) =

P (sacar una canica roja) =

número total de canicas rojas en la bolsa 1 número de canicas en la bolsa 1

número total de canicas rojas en la bolsa 2 número de canicas en la bolsa 2

número total de canicas rojas en la bolsa 3 número de canicas en la bolsa 3

Bolsa 1 y bolsa 3: wQ.  Bolsa 2: eW. 

=

Bolsa 4: eQ. 

=

Sugerencia didáctica. Es posible que en la bolsa 3 algunos alumnos escriban rW . Señale que, como wQ y son equivalentes, la probabilidad en ambas bolsas es la misma.

=

número total de canicas rojas en la bolsa 4 = número de canicas en la bolsa 4

b) De acuerdo con estos cálculos, para ganar el juego, ¿qué bolsa debes elegir?

rW

Sugerencia didáctica. Cuando contesten estas preguntas, pida a los alumnos que revisen lo que respondieron en el apartado Consideremos lo siguiente y que corrijan si es necesario.

c) ¿Por qué? d) Pregúntale a alguno de tus compañeros qué bolsa eligió. e) ¿En qué bolsas existe la misma probabilidad de sacar una canica roja? f) ¿Por qué?

A lo que llegamos La comparación de probabilidades permite determinar cuál es la mejor opción que se puede elegir, ya sea en un juego o en otro tipo de situaciones. Así, por ejemplo, en el juego anterior podemos determinar la probabilidad clásica de sacar una canica roja de cada bolsa y elegir la bolsa que más nos convenga. La probabilidad clásica proporciona una información de lo que puede suceder, mientras que la probabilidad frecuencial indica lo que sucedió al realizar el juego.

Para saber más Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Sobre información para conocer otros juegos de azar consulta: http://www.acanomas.com/Biblioteca.php [Fecha de consulta: 23 de agosto 2007].

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                                                                                                                                                                MAT1  B4S25maestro.indd   103        

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

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3:07:45 PM


Propósito de la sesión. Conocer e identificar los números con signo.

secuencia 25

Números con signo

Organización del grupo. La sesión se trabaja en parejas, con algunos momentos de intercambio grupal.

En esta secuencia plantearás y resolverás problemas que impliquen la utilización de números con signo.

1 Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos empleen cualquier recurso que les parezca útil para comunicar las ubicaciones de los objetos. La dificultad radica en que hay objetos que están bajo el nivel del mar a la misma distancia de otros que están sobre el nivel del mar (por ejemplo, el buzo y la gaviota), por lo que escribir en el mensaje sólo el número no es suficiente para diferenciarlos. Los alumnos se verán en la necesidad de escribir alguna marca que logre diferenciar entre lo que se encuentra sobre el nivel del mar y lo que está bajo el mismo. Acepte cualquier tipo de mensaje que cumpla con las condiciones planteadas (no usar palabras, dibujos ni flechas), incluso aquellos en los que aparecieran los signos + y –, pero no los exija. Sugerencia didáctica. Oriente la discusión hacia la comparación de los recursos empleados para comunicar la ubicación de los objetos. Aunque varios tipos de mensaje hayan podido ser interpretados correctamente, pregunte al grupo cuál les parece más claro, cuál podría crear confusiones y por qué.

sEsióN 1

Consideremos lo siguiente Para jugar necesitan organizarse en parejas: • Todos observen con cuidado la siguiente ilustración. • Cada pareja escoge cuatro objetos de los que ahí aparecen. • Cada pareja envía un mensaje por escrito a otra pareja indicando la ubicación de los cuatro objetos que eligieron. Pero hay una condición: en el mensaje NO SE VALE ESCRIBIR PALABRAS NI HACER DIBUJOS O FLECHAS. • La pareja que recibe el mensaje debe interpretarlo para saber cuáles fueron los objetos que sus compañeros eligieron. Cuando los hayan encontrado, los anotan en el mensaje y lo regresan a la pareja que lo envió. • Cuando terminen, revisen si la otra pareja interpretó correctamente. Si hubo equivocaciones, deben encontrar en dónde estuvo la falla y corregirla. Anoten en el pizarrón las distintas maneras que utilizaron para identificar los objetos, decidan cuáles fueron las más adecuadas, o aquellas que les gustaron más, y escriban por qué.

104

Propósitos de la secuencia Plantear y resolver problemas que impliquen la utilización de números con signo.

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Significado y uso de los números.

Antecedentes En la escuela primaria los alumnos conocieron los números naturales, los fraccionarios y los decimales. En esta secuencia se introducen los números enteros, que por sus características permiten resolver problemas que no tendrían solución con los naturales.

Para empezar

Existen situaciones donde además de utilizar los números naturales se requieren otros números, por ejemplo: al calcular los gastos y las ganancias de una tienda, en un termómetro ambiental, en la línea del tiempo, en metros sobre y bajo el nivel del mar, etcétera.

Eje Tema

NivEL dEL mar

Sesión

Título y propósitos de la sesión

1

Nivel del mar Conocer e identificar los números con signo.

2

Distancia y orden Obtener la distancia entre dos números con signo, ordenarlos y compararlos.

3

Valor absoluto y simétricos Ubicar números con signo en la recta numérica, obtener su valor absoluto e identificar sus simétricos.

Recursos

Vínculos

Video Temperaturas ambientales

Geografía de México y el mundo Secuencia 4

Interactivo “Temperaturas”

104

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MATEMÁTICAS

I

700 m 600 m

80 m 50 m

2m

2m

700 m

50 m

600 m

60 m

80 m 700 m

50 m

2m 2m

50 m

80 m

700 m

10 5

105

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8/25/07 3:07:53 PM


Propósito de la actividad. Los alumnos utilizarán signos no convencionales para diferenciar entre lo que se encuentra sobre el nivel del mar y bajo éste.

secuencia 25

Manos a la obra i. En otra telesecundaria, una de las parejas elaboró un mensaje que fue correctamente interpretado por otra pareja. Fíjense cómo hicieron: Pareja que elaboró el mensaje.

Objetos que elegimos:

Creemos que es el:

700 m

Avión

600 m

Nubes

0m

**2 m **50 m

Pareja que recibió el mensaje.

Barco Pez amarillo Buzo

a) Utilicen ese mismo sistema y completen la siguiente tabla. Ubicación

Dibujo Gaviotas

80 m Barco

2m Peces

Respuestas. - Los que están sobre el nivel del mar con una carita. - Los que están bajo el nivel del mar con dos asteriscos. - El barco lo ubicó a 0 m, es decir, al nivel del mar.

**700 m b) El barco está ubicado al nivel del mar. También hay objetos sobre el nivel del mar (como las nubes) y bajo el nivel del mar (como el submarino). • ¿Cómo representó esta pareja a los objetos que están ubicados sobre el nivel del mar? • ¿Cómo representó esta pareja a los objetos que están ubicados bajo el nivel del mar? • ¿A cuántos metros ubicaron el barco? Comparen estos mensajes con los mensajes que ustedes elaboraron. ¿Cuáles le parecen más claros y por qué? Como vieron, hay distintas maneras de comunicar la ubicación de los objetos, sin embargo, es posible que algunas personas no sepan qué es lo que se quiere decir en un mensaje. Por ello, en matemáticas se representa el nivel del mar con el cero, lo que está sobre el nivel del mar con signo positivo “+” y lo que está bajo el nivel del mar con signo negativo “– “. 106

106

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MATEMÁTICAS II. Completen la siguiente tabla usando los signos + y –, según corresponda: Objeto

Ubicación

Algas marinas a 20 m bajo el nivel del mar

− 20 m

I

2 Propósito de la actividad. Ahora se pretende que los alumnos empleen los signos convencionales (+ y –) para diferenciar entre lo que se encuentra sobre el nivel del mar y bajo éste.

Una lancha sobre el nivel del mar Un delfín que salta 5 m sobre el nivel del mar

Posibles dificultades. Anteriormente, los alumnos utilizaron los signos + y – para denotar una operación (la suma o la resta), y ahora adquieren otro significado que se añade al que ellos ya sabían. Cuando en esta secuencia se escribe +20 no significa que hay que hacer una suma, sino que el 20 es un número positivo (que está del lado derecho de la recta con respecto al 0, o en este ejemplo, que está sobre el nivel del mar). Comente con los alumnos esta cuestión.

Un tiburón que nada a 5 m bajo el nivel del mar Una roca que sobresale 20 m sobre el nivel del mar

+ 20 m

III. En matemáticas se usa la recta numérica para ubicar a los números positivos, negativos y al cero. Primero, determinen el lugar del cero (como lo hicieron en la secuencia 2), después los números con signo + se ubican a la derecha del cero y los números con signo - se ubican a la izquierda del cero. Localicen en la siguiente recta numérica los objetos que se mencionan en la tabla del inciso c). Fíjense que cada división vale 5 unidades.

−10 m

0

+15 m

A lo que llegamos

Respuestas. Lancha 0 m. Delfín +5 m. Tiburón –5 m.

Los números que has utilizado en esta sesión se llaman: números con signo. Pueden ser positivos o negativos, y para diferenciarlos se representan de la siguiente manera: Números positivos: se ubican a la derecha del cero en la recta numérica y se escriben anteponiéndoles un signo +; por ejemplo, el 5 positivo se escribe +5. En el caso de los objetos de la ilustración, los números positivos se utilizan para designar a todo lo que se encuentra arriba del nivel del mar.

0 +100

+1 200 +1 300

107

3 Sugerencia didáctica. Lean la información del recuadro en voz alta. Cuando terminen, pregunte a los alumnos si conocen algún otro caso en el que se utilicen los números con signo. Comente con los alumnos que el signo + se pone para resaltar que el número es positivo y diferenciarlo de uno negativo, pero que dependiendo del contexto, los números positivos también se escriben sin el signo.

Propósito de la actividad. Los alumnos han trabajado hasta ahora con la recta numérica para ubicar números naturales, fracciones y decimales. En esta actividad, en la que la recta considera también los números negativos, se espera que utilicen lo que han aprendido con los naturales para ubicar estos nuevos números. Sugerencia didáctica. Dibuje la recta en el pizarrón y pida a los alumnos que comenten cómo ubicaron los objetos. Haga notar que, a la derecha del cero están los números positivos, y que mientras más a la derecha se encuentre un número, será mayor. Los números negativos están a la izquierda del cero, y mientras más a la izquierda se encuentre un número, será menor. Por eso –22 < –5.

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secuencia 25 Números negativos: se ubican a la izquierda del cero en la recta numérica y se escriben anteponiéndoles un signo −, por ejemplo, el 7 negativo se escribe −7. En el caso de los objetos de la ilustración, los números negativos se utilizan para designar a todo lo que se encuentra por debajo del nivel del mar. −1 500

Propósito de la sesión. Obtener la distancia entre 2 números con signo, ordenarlos y compararlos.

−1 200

−500

−300

−100 0 +100

+1 200 +1 300

El cero se escribe sin signo (no se le pone + ni –). En la ilustración, todo lo que se encuentra en el nivel del mar se dice que está a 0 metros. sEsióN 2

Organización del grupo. Al igual que en la sesión anterior, el trabajo es en parejas, con espacios para comentarios grupales.

distaNcia y OrdEN

Para empezar Temperaturas ambientales

Los termómetros ambientales, como el de la ilustración, miden tanto temperaturas sobre cero o temperaturas positivas, como temperaturas bajo cero o temperaturas negativas. Las temperaturas bajo cero se distinguen porque se escriben anteponiéndoles el signo “–“. En la secuencia 4 La Tierra: un planeta con vida de tu libro de Geografía de México y del mundo, volumen I estudiaste las diversas características que definen el clima, como la variación de la temperatura. En el desierto, la variación de la temperatura determina las condiciones climáticas extremas que lo caracterizan: en un mismo día puede haber temperaturas máximas de 40 °C y temperaturas mínimas de 2 °C. En este caso hay una variación de 38 °C. En contraste, las zonas tropicales tienen variaciones de temperatura muy pequeñas: en promedio, las temperaturas máximas pueden ser de 20 °C y las mínimas de 10 °C. La variación de la temperatura es entonces de 10 °C, porque hay 10 grados entre 20 °C y 10 °C. La variación de la temperatura es un factor que influye tanto en la conservación del equilibrio biológico como en la salud y el bienestar de los seres humanos. Grandes variaciones de temperatura pueden ocasionar la extinción de plantas y animales o la pérdida de las cosechas en el campo.

Consideremos lo siguiente El 4 de noviembre del 2005, el Servicio Meteorológico Nacional publicó un aviso de heladas que se esperaban en distintas ciudades para ese día.

108

Ciudad

Estado

Temperatura máxima (ºC)

Las Vigas de Ramírez

Puebla

26.5

Temperatura mínima (ºC)

1.0

El Saladillo

Zacatecas

22.0

-5.0

Tepatitlán

México

23.5

-4.0

Balcón del Diablo

Puebla

26.5

2.5

Tabla 1

108

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8/25/07 3:08:03 PM


MATEMÁTICAS

I

Propósito del interactivo. Introducir la idea de resta de números con signo, como la variación de la temperatura.

Con estos datos, contesten las siguientes preguntas (si lo necesitan, se pueden auxiliar del termómetro de la derecha): a) ¿De cuánto se esperaba la variación de temperatura en Las Vigas de Ramírez?

Posibles dificultades. En la comparación de temperaturas negativas y positivas los signos pueden ser motivo de confusión. - Podría ocurrir que los alumnos dijeran que entre 22 °C y −5 °C hay una variación de 17 °C (porque 22 – 5 = 17). - También es posible que algunos alumnos piensen que −3 °C es menor que −12 °C porque los comparan como si fueran números naturales (3 < 12). Permítales utilizar los procedimientos que les parezcan convenientes para responder las preguntas y cerciórese de que más adelante expliquen lo que hicieron, pero si se equivocan no los corrija en este punto, más adelante tendrán oportunidad de rectificar sus errores.

b) ¿De cuánto se esperaba la variación de temperatura en Tepatitlán? c) ¿Cuál de las temperaturas máximas que se esperaban en Las Vigas de Ramírez y Tepatitlán es mayor? d) ¿Cuál de las temperaturas mínimas que se esperaban en Tepatitlán y Las Vigas de Ramírez es menor? Comparen sus resultados y comenten sus procedimientos.

Manos a la obra I. En una escuela obtuvieron los siguientes resultados: • En el equipo 1 dijeron que la variación que se esperaba en Tepatitlán es de 19.5 °C, porque 23.5 − 4 = 19.5. • En el equipo 2 utilizaron el termómetro ambiental para localizar las temperaturas y dijeron que la variación es de 27.5 °C, porque es el número de grados que hay entre ambas temperaturas. a) En el termómetro de la derecha ubiquen las temperaturas 23 °C y −4 °C. b) Cuenten los grados que hay de −4 °C a 0 °C. Hay

grados.

c) Cuenten los grados que hay de 0 °C a 23.5 °C. Hay

grados.

d) ¿Cuántos grados hay de −4 ºC hasta 23.5 ºC? e) ¿De cuánto es la variación de temperatura que se esperaba en Tepatitlán?

f) ¿Cuál de los dos equipos obtuvo la variación correcta? II. Usando el mismo termómetro, contesten las siguientes preguntas: a) La temperatura máxima de una ciudad es de 18 °C y la temperatura mí-

nima de −2 °C. ¿De cuánto es la variación de temperatura en esa ciudad?

b) La temperatura mínima de otra ciudad es de −8 °C. Si se sabe que la va-

riación de temperatura es de 12 °C, ¿cuál es la temperatura máxima de dicha ciudad?

109

Propósito de las preguntas. Se pretende que los alumnos calculen la variación entre dos temperaturas, una positiva y una negativa, como el número de grados que hay que recorrer para llegar de una a la otra. Para corregir un error que muchos alumnos cometen (que consiste en restarle a una de las temperaturas la otra), se les pide que primero calculen cuántos grados hay desde una de las temperaturas hasta el cero, y del cero a la otra temperatura.

Respuestas. a) La máxima es de 26.5, la mínima es de 1. La variación es de 25.5 °C. b) La máxima es de 23.5 °C, la mínima es de −4. La variación es de 27.5 °C. c) La temperatura de Las Vigas de Ramírez (26.5 °C) es mayor que la de Tepatitlán (23.5 °C). d) La temperatura de Tepatitlán es menor, porque −4 < 1 (hace más frío a −4 °C que a 1 °C).

Respuestas. a) 20 °C. De −2 a 0 hay 2 °C, y de 0 a 18 hay 18 °C. Se suma 2 + 18. b) 4 °C. Sabemos que la variación es de 12 °C y que hay 8 grados de − 8 a 0.

Respuestas. b) 4 °C. c) 23.5 °C. d) 27.5 °C. e) De 27.5 °C. f) El equipo 2. 109

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Posibles dificultades. En esta actividad las 2 temperaturas que se comparan son negativas, lo que puede hacer pensar a algunos alumnos que la diferencia entre ellas será también un número negativo (por ejemplo, que la variación entre la máxima y la mínima en Anchorage es de −7 °C). Comente con los alumnos que en estas actividades sólo se pregunta cuántos grados hay entre las 2 temperaturas, no se pregunta si la segunda temperatura subió o bajó con respecto a la primera. Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos se den cuenta de que para hallar la variación entre 2 temperaturas se deben contar todos los grados que hay entre ellas. Si las temperaturas que se comparan son una positiva y otra negativa, el conteo va a pasar por el cero. Si cree que los alumnos lo necesitan, ponga ejercicios similares, por ejemplo: Encontrar la variación de temperatura entre: 6 °C y −2 °C −12 °C y −4 °C −9 °C y 1 °C 28 °C y 0 °C 24 °C y 7 °C Pídales que ubiquen las temperaturas en un termómetro ambiental o en una recta numérica para encontrar el segmento que representa la distancia entre ambas.

secuencia 25 iii. En otros países se han registrado las siguientes temperaturas: Ciudad

Estado

Temperatura máxima (ºC)

Temperatura mínima (ºC)

Anchorage

Alaska (Estados Unidos de América)

−6.0

−13.0

Armstrong

Ontario (Canadá)

−1.0

−9.0

a) En el termómetro de la izquierda, localicen las temperaturas máxima y mínima de Anchorage. b) ¿Cuántos grados hay de −6 °C a −13 °C? c) ¿De cuántos grados es la variación de temperatura en Anchorage? d) En el mismo termómetro, localicen las temperaturas máxima y mínima de Armstrong. e) ¿Cuántos grados hay de −1 °C a −9 °C? f) ¿De cuántos grados es la variación de temperatura en Armstrong?

A lo que llegamos • La variación de temperatura es el número de grados que hay entre ambas temperaturas. Por ejemplo, en el termómetro de la izquierda: Ajocucar

Máxima

Mínima

Diferencia

29.0

−2.5

31.5

• La variación de temperatura también la podemos ver como la distancia que hay entre dos números en una recta numérica horizontal. Por ejemplo: entre el −4 y el 8 hay una distancia de 12, como lo muestra la ilustración. 12

−4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

Es decir, la distancia entre dos números es la longitud del segmento que los une.

110

110

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MATEMÁTICAS

I

IV. De las temperaturas mínimas de Tepatitlán y Las Vigas de Ramírez dos alumnos dicen lo siguiente: • Dulce dice que Las Vigas de Ramírez tiene la menor temperatura, porque 1 es menor que 4. • Consuelo dice que Tepatitlán tiene la menor temperatura, porque −4 °C está abajo de 1°C. a) ¿Quién creen que tiene la razón? b) En el termómetro de la derecha ubiquen las temperaturas 12 °C y 2 °C. c) ¿Cuál de las dos es menor? La temperatura 2 °C está debajo de 12 °C y es la menor de ellas. d) En el mismo termómetro, ubiquen las temperaturas mínimas de Las Vigas de Ramírez y Tepatitlán. e) ¿Cuál de las dos temperaturas está debajo de la otra? f) ¿Cuál de las dos es menor? Comparen sus respuestas.

A lo que llegamos • Al comparar dos temperaturas en un termómetro, siempre es mayor aquella que está más arriba. Por ejemplo: a) 22 °C es mayor que 3 °C. b) 2 °C es mayor que −10 °C. c) −5 °C es mayor que −35 °C.

Respuestas. a) Consuelo tiene razón. Otra manera de verlo es preguntarse a qué temperatura hace más frío: a 1 °C o a −4 °C. c) 2 °C e) −4 °C está por debajo. f) −4 °C es menor.

• Al comparar dos temperaturas en la recta numérica, siempre es mayor aquella que está más a la derecha. Por ejemplo: a) +9 es mayor que +2. −15

b) +5 es mayor que −10. −10

−3

c) −3 es mayor que −15. 0

+2

+5

+9 111

111

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Propósito de la pregunta. Ahora ya no se habla de comparar temperaturas sino números. Se pretende que el alumno pueda aplicar los conocimientos que adquirió con los termómetros y las rectas para comparar cualquier par de números con signo. Integrar al portafolios. Que los alumnos le entreguen en una hoja aparte los resultados que obtuvieron en los números 1 y 2. Respuestas. 1. a) 16 b) 16 c) 8 d) 18 2. a) 6 b) 8 c) 4 3. a) Mayor que > b) Menor que < c) Mayor que >

secuencia 25

Lo que aprendimos 1. ¿Qué distancia hay entre los siguientes pares de números? a) −6 y +10

c) −9 y −1

d) −15 y +3

2. ¿Que distancias hay entre... a) −6 y 0?

b) 0 y +8?

c) −4 y 0?

3. Escriban mayor que (>) o menor que (<) según corresponda. Ayúdense con la recta numérica. a) +14

+6

−16

−14

−12

−10

−8

b) −9

−6

+5

−4

0

−2

+2

+4

c) −4

+6

−15

+8

+10

+12

+14

VaLOr aBsOLUtO y simétricOs

sEsióN 3

Para empezar

8

La distancia de un número al cero es la longitud del segmento que va del cero al número. A esta longitud se le llama valor absoluto, y se representa por medio de dos barras paralelas

9

Por ejemplo: Entre el –8 y el 0 hay un segmento de longitud 8. −8

0

+9

Entre +9 y el 0 hay un segmento de longitud 9. El valor absoluto de –8, se escribe –8 = 8. El valor absoluto de +9, se escribe +9 = 9

Consideremos lo siguiente En la siguiente recta numérica se han ubicado algunos números.

−8

Propósito de la sesión. Ubicar números con signo en la recta numérica, obtener su valor absoluto e identificar sus simétricos.

b) +10 y +26

−6.5

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

N,

0

+

N,

+1

+2

+3

+4

+5

+6.5

+6

+7

a) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −6.5? b) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que + N,? c) ¿Cuáles números tienen valor absoluto 5? Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos. 112

Organización del grupo. Pida a los alumnos que trabajen en parejas. Respuestas. a) Si el valor absoluto es la distancia de un número al cero, entonces es el +6.5. b) − wQ c) +5 y −5

112

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MATEMÁTICAS

I

Manos a la obra I. Sobre el anterior inciso c): • Pablo dice que el único número cuyo valor absoluto es 5 es el número +5 • Delia dice que son dos números: el +5 y el −5 a) ¿Con quién de los dos están de acuerdo? ¿Por qué? b) ¿Cuál es la distancia del −5 al cero?, ¿y del +5 al cero? c) ¿Qué números tienen como valor absoluto 5? II. Contesten las siguientes preguntas: a) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que +20? b) ¿Qué valor absoluto tienen los números +13 y −13? c) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −9.5?

A lo que llegamos • El valor absoluto de números positivos y negativos siempre es un número positivo. Por ejemplo: –12.5 = 12.5 y +12.5 = 12.5

2

• Dos números que están a la misma distancia del cero se llaman números simétricos entre sí. Por ejemplo: +2 y –2 son números simétricos entre sí.

−2

2 0

+2

III. Contesten las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el número simétrico del +6?

Sugerencia didáctica. Lean juntos esta información y comente a los alumnos que, como el valor absoluto es la distancia a la que está un número con respecto al cero, y no en qué dirección está, el valor absoluto nunca puede ser un número negativo. Pregunte a los alumnos: ¿Cuál es el valor absoluto del cero, es decir, a qué distancia está el cero del cero? La respuesta es “a cero unidades”, por lo tanto, su valor absoluto es cero.

b) ¿Cuál es el número simétrico del −35? c) ¿Cuál es el número simétrico del −13.9? d) ¿Cuál es el número simétrico del +26.1? e) ¿El número + N, y el − N,, son simétricos? f) ¿Cuál es el número simétrico del −I ? Comparen sus respuestas.

Para saber más

Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. "Números enteros" en Una ventana al infinito. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002. Luz María Marván. "Números simétricos", "Números con signo", "¿Mayor o menor?" y “El valor absoluto” en Representación numérica. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002. 113

113

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Propósitos de la sesión. Explorar la segunda potencia o el cuadrado de un número a partir de la obtención de la medida del lado de un cuadrado que mide un área determinada. Identificar la raíz cuadrada de un número A como el número que multiplicado por sí mismo da A. Identificar el cuadrado de un número y la raíz cuadrada como operaciones inversas. Organización del grupo. Se recomienda trabajar en parejas, a excepción del apartado Lo que aprendimos, que puede resolverse de manera individual. Materiales. Una calculadora por alumno o por pareja.

secuencia 26

Raíz cuadrada y potencias En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural, ambas de números naturales y decimales. sesión 1

Propósito de la actividad. Se les plantea el reto: ¿cuál será la medida del lado de un cuadrado cuya área es igual a 18 cm2? Dado que esa medida no es exacta, la tarea consiste en encontrar un número que multiplicado por sí mismo dé 18. Sugerencia didáctica. Respecto al inciso e), algunos alumnos podrían afirmar que no existe un cuadrado con esa área, pues con 4 cm obtienen 16 cm2 y con 5 cm, obtienen 25 cm2. Invítelos a probar utilizando también números decimales. Lo más probable es que prueben con varios números buscando aquel que más se aproxime a 18 cm2. Durante la comparación de resultados pida a los alumnos que identifiquen qué medida se acerca más al número buscado. Respuestas a) 4 cm2 (lado por lado = 2 × 2). b) 9 cm2. c) 4 cm. d) 5 cm. e) Sí existe, y la medida de sus lados es de 4.2426 cm aproximadamente. Propósito de la actividad. Que los alumnos constaten que sí existe un cuadrado con esa superficie y que verifiquen la longitud de los lados midiendo. Respuestas. a) El cuadrado blanco tiene 6 cm por lado. Su área es de 36 cm2. Al trazar los cuatro triángulos azules pueden darse cuenta de que son triángulos rectángulos isósceles, y de que su base y su altura miden 3 cm. También podrían considerar como base a la hipotenusa y medir la altura. b) El área de cada triángulo es de 4.5 cm2. c) El cuadrado azul está formado por los cuatro triángulos. Su área es de 18 cm2. d) La medida está entre 4.2 o 4.3 cm. Es importante que consideren que se trata de una aproximación. e) Si utilizan la medida de 4.2, el área es de 17.64 cm2, y si utilizan la medida de 4.3, el área es de 18.49 cm2. En el primer caso nos falta, en el segundo caso nos pasamos. Es decir que la medida real de cada lado debe ser un valor entre 4.2 y 4.3.

Eje

Consideremos lo siguiente Calculen: a) ¿Cuál es el área de un cuadrado que tiene lados que miden 2 cm? b) ¿Cuál es el área de un cuadrado que tiene lados que miden 3 cm? c) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene 16 cm2 de área? d) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene 25 cm2 de área? e) ¿Creen que exista algún cuadrado de 18 cm2 de área?

Es la primera vez que los alumnos estudian estas operaciones; sin embargo, el contexto en el que se abordan (cálculo del área de cuadrados) es bastante conocido por ellos, lo que les permitirá hacer uso de sus conocimientos previos para iniciar el estudio de este tema.

¿Cuánto medi-

rían sus lados? Expliquen y comprueben sus respuestas en su cuaderno. Comparen sus respuestas.

Manos a la obra i. En la ilustración hay un cuadrado blanco cuyos lados miden 6 cm; dentro del cuadrado blanco hay un cuadrado azul. a) Calculen el área del cuadrado blanco

114

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural, ambas de números naturales y decimales.

Sesión

Título y propósitos de la sesión

Recursos

1

Cuadros y más cuadros Explorar la segunda potencia o el cuadrado de un número a partir de la obtención de la medida del lado de un cuadrado que mide un área determinada. Identificar la raíz cuadrada de un número A como el número que multiplicado por sí mismo da A. Identificar el cuadrado de un número y la raíz cuadrada como operaciones inversas.

Aula de medios “Cuadros y más cuadros” (Hoja de cálculo)

2

Cálculo de raíces cuadradas Calcular mediante aproximaciones la raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto.

Video Los babilonios y la raíz cuadrada Interactivo “Método babilónico”

3

¿Cuántos tatarabuelos? Resolver problemas que impliquen el cálculo de las potencias de exponentes naturales de números naturales. Identificar la raíz cúbica de un número A como el número que tiene tercera potencia igual a A, y la raíz cuarta de un número A como el número que tiene cuarta potencia igual a A.

Interactivo “Diagrama de árbol”

Tema Antecedentes

Para empezar

En la secuencia 4 de Matemáticas I encontraste la expresión algebraica de la fórmula del cuadrado. Si el lado del cuadrado mide , entonces su área a se calcula con la expresión: a = × . En esta sesión, estudiarás cómo encontrar la medida del lado del cuadrado a partir de su área.

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Significado y uso de las operaciones.

Cuadros y más Cuadros

114

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8/25/07 3:08:39 PM


MATEMÁTICAS

I

Tracen las diagonales del cuadrado azul. Van a obtener cuatro triángulos azules iguales. b) Calculen el área de cada triángulo azul. c) Calculen el área del cuadrado azul. d) ¿Cuánto miden los lados del cuadrado azul? Midan con su regla. e) En sus cuadernos, comprueben la medida que obtuvieron para el lado del cuadrado azul aplicando la fórmula del área: A = ×

Recuerden que: El área de un triángulo con ura medida de la alt la a y medida de la: base b se calcu b×a A= 2

¿Qué valor del área encontraron usando la fórmula? Comparen sus respuestas y comenten: a) De los valores del área que encontraron usando la fórmula, ¿cuál es el que más se aproxima a 18 cm2? b) ¿Cuál es la mejor aproximación que encontraron para la medida del lado del cuadrado? II. Llenen la siguiente tabla para encontrar valores aproximados a la medida del lado del cuadrado de área 18 cm2: Medida del lado (cm) 1

Área (cm2) 1

2

4

3 4

16

5

6 4.5 4.2 4.3 4.25

Propósito de la actividad. La tabla sirve para ir encontrando los valores del lado del cuadrado que hacen que el área se vaya aproximando a 18 cm2.

9

25 36

Respuestas. El valor de la tabla que más se aproxima es 18.0625, que corresponde a 4.25 cm por lado. Sin embargo, es posible hallar valores que se aproximen más a la medida buscada.

20.25 17.64 18.49

18.0625

a) ¿Cuál es el valor más aproximado que encontraron para la medida del lado del cuadrado? b) ¿Podrían encontrar un valor más aproximado?

Sugerencia didáctica. El área del cuadrado azul es de 18 cm2; por lo tanto, sí existe un cuadrado con esa área. Pida a los alumnos que revisen lo que respondieron en el inciso e) del apartado Consideremos lo siguiente. Solicite a las parejas que registren en el pizarrón la medida que encontraron para los lados del cuadrado azul y el área que obtienen con esa medida (esto puede hacerse en una tabla que usted previamente puede trazar en el pizarrón). Pídales que identifiquen cuál es la medida que se aproxima más a la longitud del lado del cuadrado para que el área sea de 18 cm2.

¿Cuál?

Comparen sus respuestas. 115

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que, con la ayuda de la calculadora, encuentren uno o dos valores que se aproximen más a la medida del lado. Usted puede hacerles notar que el valor debe estar entre 4.2 y 4.25; asimismo, puede comentarles que el valor exacto tiene una cantidad infinita de cifras decimales, por lo que siempre se toma una cantidad aproximada.

115

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Sugerencia didáctica. Antes de que las parejas busquen la medida del lado del cuadrado, pida al grupo que estimen una respuesta. Algunas de esas estimaciones pueden ser registradas en el pizarrón para que después verifiquen qué tanto se acercaron a la respuesta.

secuencia 26 iii. ¿Creen que exista algún cuadrado de 32 cm2 de área?

¿Cuánto medi-

rían sus lados? a) Completen la siguiente tabla para encontrar valores aproximados a la medida de sus lados. Medida del lado (cm)

Área (cm2)

5

25

5.5 5.6 5.7 6

Sugerencia didáctica. Se puede continuar la exploración hasta con tres cifras decimales. Los valores más aproximados son 5.65 y 5.66. Usted puede preguntar a todo el grupo si pueden decirle algunos números entre estos dos y cuáles de ellos son mejores opciones para la medida del lado. Los más aproximados son 5.656 y 5.657.

b) La medida del lado de este cuadrado está entre 5.6 cm y 5.7 cm. ¿Con qué valor continuarían la tabla para encontrar un valor que se aproxime más a la medida del lado de este cuadrado? c) Hagan la comprobación. ¿Qué valor del área encontraron? Comparen sus respuestas y hagan la comprobación.

A lo que llegamos • Para calcular el área de un cuadrado, conociendo la medida de su lado , se multiplica la medida del lado por ella misma: × En general, cuando se multiplica un número por él mismo, por ejemplo y × y, se dice que se calcula la segunda potencia o el cuadrado del número. Esto se escribe: y2

2

Por ejemplo, al calcular 5 × 5, se dice que se está calculando 5 a la segunda potencia o el cuadrado de 5, y se escribe 52. O sea:

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que lean la información y que respondan en sus cuadernos las siguientes preguntas: - ¿Cómo se calcula la segunda potencia o el cuadrado de un número? - ¿Cómo se representa el cuadrado de un número? Dar algunos ejemplos. - ¿Qué es la raíz cuadrada de un número? Dar ejemplos.

5 × 5 = 52 = 25

• Al calcular el lado de un cuadrado a partir de su área se dice que se calcula la raíz cuadrada del área. En general, la raíz cuadrada de un número A es el número que multiplicado por él mismo da A. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4, porque 4 × 4 = 16. La raíz cuadrada de 16 se escribe: 16

116

116

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I

MATEMÁTICAS

Sugerencia didáctica. Esta tabla puede servir para que los alumnos utilicen la tecla de la raíz cuadrada en la calculadora. También pueden ubicar la tecla que sirve para elevar al cuadrado y no sólo multiplicar a cada número por sí mismo.

IV. Llenen la siguiente tabla: Número

7 8 9 10 11 11.5 12

13 14

15 15.5 16

Cuadrado del número 2

49 64

81 100

121 132.25

lculaPueden usar ca y dora para hacer lculos. verificar sus cá

144 169 196

225 240.25

256

A partir de la información de la tabla anterior, relacionen las dos columnas: (a) ¿Cuál es el área del cuadrado cuyos lados miden 13 cm? (b) ¿A cuánto es igual

240.25?

(c) ¿A cuánto es igual 122? (d) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 169? (e) ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyos lados miden 15 cm? (f) ¿A cuánto es igual 225?

c e (b) 15.5 (f ) 15 (a) 169 cm (d) 13 ( ) 144

( ) 225 cm2

2

Comparen sus respuestas y hagan las comprobaciones.

A lo que llegamos El cuadrado de un número y la raíz cuadrada son operaciones inversas. Esto quiere decir que si a un número se le aplica una operación y después la otra, se obtendrá el número original. Por ejemplo, el cuadrado del número 15 es: 152 = 15 × 15 = 225

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien la información en sus cuadernos y que presenten ejemplos distintos a los que ahí se ofrecen. Además, usted puede recordarles las operaciones inversas que ya conocen: suma y resta, multiplicación y división.

Y la raíz cuadrada del número 225 es: 225 = 15

117

117

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Integrar al portafolios. Respuesta. 1. Si consideran hasta con dos cifras decimales, es 1.41, si consideran cuatro cifras decimales, es 1.4142; pida a los alumnos que registren las distintas operaciones que efectuaron, ya sea que las hayan hecho con calculadora o con lápiz y papel. Propósito de la sesión. Calcular mediante aproximaciones la raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto.

secuencia 26

Lo que aprendimos 1. En tu cuaderno encuentra una aproximación para la medida del lado de un cuadrado de área 2 cm2. 2. Relaciona las dos columnas.

Materiales. Calculadora. Propósito de la actividad. Presentar a los alumnos un procedimiento para calcular la raíz cuadrada de un número, en el contexto del área de un cuadrado: al calcular la raíz cuadrada de un número estamos buscando la medida del lado de un cuadrado del que se conoce el área.

( ) 196

(b) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 196?

( ) 100 cm2

(c) ¿Cuánto es 14 ?

( ) 11.5

(d) ¿Cuánto es 256?

( ) 16

(e) ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyos lados miden 7 cm?

( ) 49 cm2

(f) ¿Cuánto es 132.25?

( ) 14

a f

2

sesión 2

c

(a) ¿Cuál es el área del cuadrado cuyos lados miden 10 cm?

d

e

b

CálCulo de raíCes Cuadradas

Para empezar

Los babilonios y la raíz cuadrada Existen varios métodos para calcular la raíz cuadrada de un número. En esta sesión aprenderán un método que fue inventado por los antiguos babilonios. Para obtener la raíz cuadrada de 32 con el método babilónico, se siguen los siguientes pasos:

1. Se escogen dos números que multiplicados den 32. Por ejemplo, 8 y 4. 4 cm

Propósito del video. Visualizar la aplicación del método babilónico en el cálculo de raíces cuadradas de distintos números.

2. Se construye un rectángulo de área 32 cm2 y lados 8 cm y 4 cm (rectángulo rojo).

8 cm

A partir de ahora se encuentran rectángulos cada vez más parecidos a un cuadrado de área 32 cm2 . Vean cómo se hace esto: 3. Se promedian las medidas de los lados del rectángulo: 8 cm + 4 cm = 6 cm 2

118

Sugerencia didáctica. Antes de revisar cada uno de los pasos del método babilónico, comente al grupo que se va a buscar la medida del lado de un cuadrado cuya área es de 32 cm2. Pida al grupo que haga una estimación de la posible medida del lado del cuadrado (la respuesta es entre 5 y 6 cm). Posteriormente, una vez que hayan revisado el método babilónico, tendrán oportunidad de verificar su respuesta.

Propósito de la actividad. El método de los babilonios considera un rectángulo con un área determinada, al cual gradualmente se modifican las medidas de sus lados –conservando el área–, de manera tal que cada vez se acerca más a un cuadrado. Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, recuerde a los alumnos que el procedimiento para encontrar un promedio (paso número 3) consiste en sumar los valores y luego dividir esa suma entre el número de valores que se están promediando.

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8/25/07 3:08:51 PM


MATEMÁTICAS 4. Se construye otro rectángulo (más parecido a un cuadrado) que tenga un lado que mida 6 cm, ¿cuánto debe medir el otro lado para que el área del rectángulo sea 32 cm2? . Con estas medidas se construyó el rectángulo azul.

I

Respuesta. Se divide 32 entre 6. Es igual a 5.333333… Si se toman sólo dos cifras decimales, es 5.33.

Recuerden que: culos pueden Para hacer sus cál . usar aproximaciones la división er hac al , Por ejemplo r el número 32 ÷ 6 pueden usa 33 decimal 5.33 o 5.3

Observen que: El área de un rectángulo se obtiene multiplicando la medida de sus lados. Entonces, si conocen el área (32 cm2) y la medida de uno de los lados (6 cm) la medida del otro lado (x cm) se puede obtener resolviendo la ecuación: 6x = 32

Sugerencia didáctica. Usted puede pedir a los alumnos que resuelvan la ecuación que se les plantea: 6x = 32 x = 32 ÷ 6 x = 5.333

5. Se vuelven a promediar las medidas de los lados del rectángulo: 6 cm + 5.33 cm 2

= 5.665 cm

x

Área 32 cm2

6. Se construye otro nuevo rectángulo (rectángulo anaranjado) que tenga un lado que mida 5.665 cm y otro que mida 32 entre 5.665, es decir 5.648 cm.

Respuestas. Se obtiene:

Se puede seguir con esta construcción y acercarse cada vez más al valor exacto de la raíz de 32. Por el momento, se detendrá aquí el proceso para observar que el rectángulo anaranjado es casi un cuadrado. Sus lados miden: 5.665 cm y 5.648 cm.

5.6652 = 32.092225 5.6482 = 31.899904

6 cm

El primer número es el que más se acerca a la raíz cuadrada de 32.

Calculen (pueden usar una calculadora): 5.6652 = 5.665 cm

5.6482 =

¿Cuál de los dos números es una mejor aproximación a

Área 32 cm2

32 ?

Los lados del rectángulo azul midieron 6 cm y 5.33 cm. Calculen (pueden usar calculadora):

X

62 = 5.332 =

Comenten: ¿Qué rectángulo da mejores aproximaciones a

32 , el azul o

el anaranjado?

119

Respuesta. El rectángulo anaranjado es el que más se aproxima. Sugerencia didáctica. Entre todo el grupo pueden realizar una aproximación más si se promedia 5.665 y 5.648

119

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8/25/07 3:08:54 PM


Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, procure estar pendiente de cómo lo hacen y apóyelos si tienen dificultades. Particularmente, sugiérales que revisen nuevamente cada uno de los pasos que se describen en el caso anterior.

secuencia 26

Consideremos lo siguiente Con el método babilónico se puede calcular la raíz cuadrada de cualquier número. Siguiendo los pasos de este método, calculen la raíz cuadrada de 7.3 Pueden usar su calculadora para hacer las operaciones que se indican y una regla para hacer los dibujos de los rectángulos. 1. Se escogen dos números que multiplicados den 7.3 Háganlo con 1 y 7.3 2. Dibujen en sus cuadernos un rectángulo de lados 1 cm y 7.3 cm. Ahora van a encontrar rectángulos cada vez más parecidos a un cuadrado. 3. Obtengan el promedio de 1 cm y 7.3 cm, ¿cuánto es? Éste es uno de los lados del nuevo rectángulo. 4. ¿Cuánto mide el otro lado del rectángulo? Para encontrar esta medida pueden resolver la ecuación: 4.15x = 7.3 Dibujen en sus cuadernos un rectángulo que tenga las medidas que acaban de encontrar. Pueden seguir con el método para encontrar rectángulos cada vez más parecidos a un cuadrado de área 7.3 cm2 5. Obtengan el promedio de 4.15 cm y 1.759 cm, ¿cuánto es? Éste es uno de los lados del otro rectángulo.

Respuesta. Aproximadamente 2.701.

6. Si saben que 7.3 ÷ 2.95 es aproximadamente 2.474, ¿cuánto mide el otro lado del nuevo rectángulo?

Sugerencia didáctica. Usted puede pedir a algunas parejas que vayan indicando las medidas de los lados de cada uno de los rectángulos que encontraron. Propósito de la actividad. Que de manera individual, los alumnos ejerciten el método babilónico para obtener la raíz cuadrada de un número. Los alumnos pueden recurrir a los ejercicios anteriores en caso de que tengan dudas o dificultades para resolver este ejercicio. Propósito del interactivo. Obtener la aproximación de la raíz cuadrada de un número por medio del método babilónico.

Dibujen en sus cuadernos un rectángulo que tenga las medidas que acaban de encontrar. 7. Encuentren el siguiente rectángulo y dibújenlo en sus cuadernos. Comparen las medidas que obtuvieron siguiendo los pasos del método babilónico. Comenten: ¿Cuánto es 7.3 ?

Manos a la obra i. Calcula por pasos la raíz cuadrada de 10 con el método babilónico. 1. Se escogen dos números cuya diferencia sea la menor posible y cuyo producto sea igual a 10, es decir, el 2 y el 5. Observa que:

2 cm

Área 10 cm2

5 cm

Podrías escoger el 1 y el 10, pero los lados del rectángulo serían muy distintos: medirían 1 cm y 10 cm. En cambio, si escoges 2 y 5, el rectángulo que obtienes se parece más a un cuadrado. 2. Se construye un rectángulo de área 10 cm2 y lados 2 cm y 5 cm (rectángulo morado).

120

120

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MATEMÁTICAS

I

Se construye otro rectángulo de área 10 cm, pero más parecido a un cuadrado. 3. Se obtiene el promedio entre 2 y 5, sumando 2 más 5 y dividiendo entre 2. El promedio es:

Área 10 cm2

Sugerencia didáctica. En cada uno de los pasos siguientes usted puede pedirles que dibujen los rectángulos en sus cuadernos.

. Éste es uno de los lados del

nuevo rectángulo (rectángulo azul). 4. Si sabes que 10 ÷ 3.5 es aproximadamente 2.86, ¿cuánto mide el otro lado del nuevo rectángulo?

Respuestas. 2.862 = 8.1796 3.52 = 12.25

El método se puede continuar para aproximar mejor 10 , encontrando rectángulos de área 10 cm2 cada vez más parecidos a un cuadrado. Calcula: 2.862 = 3.52 =

Respuesta. Una buena aproximación con cuatro cifras decimales es 3.1622.

¿Qué número usarías para una mejor aproximación de 10 ?

Sugerencia didáctica. Puede pedir a algunos alumnos que encuentren todavía una o dos aproximaciones mejores. Esto debe hacerse utilizando más cifras decimales en los resultados.

Comparen sus aproximaciones. ¿Cuál es la mejor?

Lo que aprendimos 1. En tu cuaderno, calcula la raíz cuadrada de 18. Obtén 3 rectángulos de área 18 cm2 siguiendo los pasos del método babilónico. 2. Completa la siguiente tabla para calcular la raíz cuadrada de números enteros y decimales. Si el resultado es un número decimal, utiliza sólo dos cifras decimales para tus respuestas. Puedes usar una calculadora.

Número

Raíz cuadrada

25

5

1

1

0.01 0.25

0.1

0. 5

a) ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado tiene 0.1 cm de longitud? b) ¿Cuál es la longitud del lado de una figura de 0.25 cm2 de área? 121

Respuestas. a) 0.01 cm2. b) 0.5 cm. Recomiende a los alumnos que utilicen la calculadora para verificar sus resultados.

Integrar al portafolios. Si identifica que los alumnos aún tienen dificultades para encontrar la raíz cuadrada de un número con el método babilónico, revise con ellos cada uno de los pasos tomando este caso como ejemplo. Recuerde que no se trata de que los alumnos sean expertos en el manejo de este método, pues hay otros recursos, como la calculadora, que en ciertas circunstancias permiten obtener resultados de manera más rápida y segura; el propósito es que comprendan qué implica buscar la raíz cuadrada de un número. Respuesta. El primer rectángulo puede ser de 3 × 6. Una buena aproximación es 4.2426.

121

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Propósitos de la sesión. Resolver problemas que impliquen el cálculo de las potencias de exponentes naturales de números naturales. Identificar la raíz cúbica de un número A como el número que tiene la tercera potencia igual a A, y la raíz cuarta de un número A como el número que tiene cuarta potencia igual a A.

secuencia 26 sesión 3

¿Cuántos tatarabuelos?

Para empezar

Un árbol genealógico es una representación gráfica de la historia familiar de una persona. En un árbol genealógico aparecen los antepasados de cada persona, es decir, sus padres, abuelos, bisabuelos (padres de los abuelos), tatarabuelos (padres de los bisabuelos), etc. Diremos que los padres son la primera generación de antepasados, que los abuelos son la segunda generación de antepasados, etcétera.

Consideremos lo siguiente En una familia, los bisabuelos son los papás de los abuelos, y los tatarabuelos son los papás de los bisabuelos. ¿Cuántos tatarabuelos hay en el árbol genealógico de una persona?

Organización del grupo. Se sugiere que trabajen en parejas y que el apartado Lo que aprendimos lo resuelvan de manera individual.

Manos a la obra i. El siguiente árbol genealógico puede servir para encontrar cuántos tatarabuelos tiene una persona. Copien el árbol en sus cuadernos y dibujen a los tatarabuelos.

Materiales. Calculadora.

¿Cuántos son?

Respuesta. Una persona tiene 2 papás, 4 abuelos, 8 bisabuelos y 16 tatarabuelos.

Bisabuelos

Abuelos

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que registren en sus cuadernos la forma en que encontraron la respuesta. Pueden apoyarse con operaciones o con elementos gráficos. Respuestas. a) 32 b) 64 c) 128 d) La segunda multiplicación (el 2 se multiplica 7 veces). Puede pedir a los alumnos que realicen las multiplicaciones para comprobar el resultado.

Padres Persona a) Si quieren continuar con el árbol genealógico, ¿cuántos antepasados habría en la siguiente rama hacia arriba? Es decir, ¿cuántos antepasados hay en la quinta generación?

. Dibújenlos en sus cuadernos.

b) ¿Cuántos antepasados de la sexta generación tiene una persona? c) ¿Y cuántos antepasados tiene en la séptima generación? d) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones les permite encontrar el número de antepasados de la séptima generación? • 2×2×2×2×2×2×2×2 • 2×2×2×2×2×2×2 Comparen sus respuestas y expliquen cómo las encontraron. 122

122

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MATEMÁTICAS

I

Respuestas. a) De cada uno de los nietos deben salir tres ramas, cada rama representa a un bisnieto. b) 27 c) 759 d) La segunda multiplicación (el 3 se multiplica 9 veces). e) 625 f) 390 625 g) La segunda multiplicación (el 5 se multiplica 12 veces).

II. Los descendientes de una persona son sus hijos, nietos, bisnietos, tataranietos, etc. Supongan que Rogelio tiene 3 hijos (primera generación de descendientes) y cada uno de sus hijos tiene a su vez 3 hijos (segunda generación de descendientes), de los cuales cada uno tiene 3 hijos (tercera generación de descendientes) y así sucesivamente. Es decir, cada miembro de la familia tendrá exactamente 3 hijos. a) Completen el siguiente diagrama de árbol hasta la tercera generación de descendientes: Rogelio

Hijos (primera generación)

Nietos (segunda generación)

b) ¿Cuántos descendientes tendrá Rogelio en la tercera generación? c) ¿Cuántos descendientes tendrá Rogelio en la sexta? d) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite calcular el número de descendientes de la novena generación?: • 3×3×3×3×3×3×3×3×3×3 • 3×3×3×3×3×3×3×3×3 e) Si en lugar de tener 3 hijos, cada quien tuviera 5 hijos, ¿cuántos descendientes tendría Rogelio en la cuarta generación? f) ¿Y en la octava? g) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite encontrar el número de descendientes en la duodécima generación? • 5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5 • 5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5 123

Propósito del interactivo. Utilizar el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas con potencias.

123

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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que elijan un número como base para ejemplificar en sus cuadernos cada una de las potencias, desde la potencia 1 hasta la décima potencia. Es recomendable que para esto utilicen la notación con el exponente y con las multiplicaciones.

secuencia 26

A lo que llegamos Una potencia es la multiplicación de un número por sí mismo varias veces. Por ejemplo, en el problema de los árboles genealógicos: 210 es la multiplicación 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

2 se llama la décima potencia de 2 y se lee 2 elevado a la 10 o 2 a la 10. 10

2 es la base y 10 es el exponente.

59 es la multiplicación 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5.

59 se llama la novena potencia de 5 y se lee 5 elevado a la 9 o 5 a la 9.

Respuestas. a) 3 b) 10 c) 0.5 d) 20 736. Algunos podrán pensar que es el 12. Pídales que verifiquen con la calculadora. e) 4

5 es la base y 9 es el exponente.

iii. Completen la siguiente tabla de potencias y contesten: Número n

Cuadrado n2

3

9

4 10

Tercera potencia n3

27

64 16

1 000

100

0.25 0.125 0.5

1.5

2.25

3.375

144 12 1728

Sugerencia didáctica. Después de leer y comentar esta información, pida a los alumnos que escriban en sus cuadernos otros ejemplos de raíces cuadradas, raíces cúbicas y raíces cuartas.

Cuarta potencia n4

81

256 10 000

0.0625 5.0625 20 736

a) ¿Qué número multiplicado 3 veces por él mismo da 27? b) ¿Qué número tiene tercera potencia igual a 1 000? c) ¿Qué número tiene segunda potencia igual a 0.25? d) ¿Qué número tiene raíz cuadrada igual a 144? e) ¿Qué número tiene cuarta potencia igual a 256?

A lo que llegamos • La raíz cúbica de 64 es 4, porque 43 = 64. La raíz cúbica de 64 se escribe así: 3 64 En general, la raíz cúbica de un número k es otro número que tiene tercera potencia igual a k. • La raíz cuarta de 81 es 3, porque 34 = 81. La raíz cuarta de 81 se escribe así: 4 81 En general, la raíz cuarta de un número k es otro número que tiene cuarta potencia igual a k. 124

124

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MATEMÁTICAS

I

Respuestas. f) 10 g) 10 h) Es la raíz cuadrada.

f) ¿Cuál es la raíz cúbica de 1 000? g) ¿Cuál es la raíz cuarta de 10 000? de 2.25 es 1.5

h) La raíz

Integrar al portafolios. Si advierte que los alumnos tienen dificultades para calcular las potencias que se indican, revise nuevamente con ellos el primer apartado A lo que llegamos de esta sesión. Si tienen dificultades para identificar las raíces cúbicas o las raíces cuartas, revise nuevamente con ellos el segundo apartado A lo que llegamos de esta misma sesión. En los casos de estas raíces, no se trata de que los alumnos las calculen, sino que a partir de la información que se proporciona en la tabla puedan establecer relaciones y las identifiquen.

Lo que aprendimos 1. Completa la siguiente tabla de potencias y contesta: Número n

Cuadrado n2

0.2

0.04

0

1

1.1 1.21

Tercera potencia n3

Cuarta potencia n4

0.008

0

0.0016

0

1

0

1

1

1.331

1.4641

4 8 2

11

16

1 331 121

14 641

a) ¿Cuál es la raíz cúbica de 0.008? b) ¿Cuál es la raíz cúbica de 0? c) ¿Cuál es la raíz cuarta de 1.4641? d) ¿Cuál es la raíz cuarta de 1?

Respuestas. a) 0.2 b) 0 c) 1.1 d) 1

2. Si la raíz cúbica de 8 es 2 y la de 27 es 3, encuentra una aproximación con dos cifras decimales de la raíz cúbica de 20. 3. Completa. a) En la potencia 76, la base es b) En la potencia

y el exponente es

.

, la base es 8 y el exponente es 13.

c) Al escribir 6 × 6 × 6 × 6 como potencia, la base es

y el exponente es

.

Respuesta. Es 2.71.

Para saber más Sobre el árbol genealógico consulta: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/historia/histdeltiempo/pasado/famili/p_arbol.htm [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Red Escolar, Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa. 125

Respuestas. a) La base es 7 y el exponente es 6. b) 813 c) La base es 6 y el exponente es 4.

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Propósito de la sesión. Analizar y representar algebraicamente la relación de dependencia en una relación funcional de la forma y = ax. Organización del grupo. Se sugiere trabajar la sesión en parejas, excepto en el apartado Lo que aprendimos y en momentos de discusión grupal.

secuencia 27

Propósito del video. Introducir las ideas generales de la ley de Hubble: Velocidad de alejamiento de una galaxia y Constante de Hubble.

sEsión 1

Relación funcional En esta secuencia analizarás en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representarás esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica.

Eje

Hasta principios del siglo XX los astrónomos pensaron que el Universo había sido siempre del mismo tamaño. Sin embargo, en 1929, el astrónomo Edwin Hubble observó que las galaxias se están alejando unas de otras. Este descubrimiento confirmó una teoría de extraordinaria importancia para la ciencia: la teo­ ría de la Expansión del Universo. A la velocidad con la que una galaxia se aleja de la Tierra se le llama velocidad de alejamiento y, de acuerdo con el descubri­ miento de Hubble, las galaxias que están más lejos de la Tierra son también las que se alejan a mayor velocidad.

Consideremos lo siguiente Una galaxia que está a 1 megaparsec de distancia se aleja de la Tierra a una velocidad de 50 km/s; otra galaxia que está a 2 megaparsecs se aleja de la Tierra a una velocidad de 100 km/s, y así sucesivamente. A partir de esta información, contesten las siguientes preguntas:

b) ¿A qué velocidad se aleja una galaxia que está a 6 megaparsecs de distancia?

c) Representen con la letra d la distancia en megaparsecs a la que se encuentra una galaxia, y con v a la velocidad de alejamiento, ¿qué expresión algebraica usarían para encontrar la velocidad de alejamiento a partir de la distancia? Comparen sus respuestas. 126

Propósitos de la secuencia Analizar en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica.

Sesión

En secuencias anteriores los alumnos han expresado algebraicamente reglas de sucesiones numéricas y fórmulas geométricas. En esta secuencia van a expresar algebraicamente relaciones entre dos cantidades que varían.

Título y propósitos de la sesión

1

La expansión del universo Analizar y representar algebraicamente la relación de dependencia en una relación funcional de la forma y = ax.

2

Los husos horarios Analizar y representar algebraicamente la relación de dependencia en una relación funcional de la forma y = x + ab.

3

Cocina navideña Analizar y representar algebraicamente la relación de dependencia en una relación funcional de la forma y = ax + b.

4

El recibo de teléfono Identificar la expresión algebraica correspondiente a una relación funcional de la forma y = a(x − b) + c.

Significado y uso de las literales.

Antecedentes

es una El megaparsec usa unidad que se tancias para medir dis astronómicas. es igual a 1 megaparsec 18 que 3.082 × 10 km milloequivale a 3.26 . nes de años luz

a) ¿A qué velocidad se aleja una galaxia que está a 3 megaparsecs de distancia?

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema

Para empezar La expansión del Universo.

1 Propósito de la actividad. En otras secuencias los alumnos han trabajado con cantidades directamente proporcionales. Lo que aprendieron les permitirá contestar con relativa facilidad los incisos a) y b); sin embargo, lo que pretende constituirse en un reto en esta sesión es el inciso c), que es expresar algebraicamente la relación entre las cantidades. Quizá los alumnos tengan dificultades para lograr una expresión correcta. Si es el caso, no los corrija ni les dé la solución, permítales continuar resolviendo. Respuestas. a) A 150 km/s (se multiplica 3 por 50). b) A 300 km/s. c) v = 50d También podrían escribir v = 50 × d, aunque en esta expresión se puede confundir el signo de multiplicación con la letra x.

La Expansión dEL UnivErso

Recursos Video La expansión del Universo

Aula de medios “Cocina navideña” (Hoja de cálculo)

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8/25/07 3:09:31 PM


MATEMÁTICAS

I

Manos a la obra

Respuestas. Para hallar los datos faltantes se multiplica la distancia por 50. Si se conoce la velocidad, se divide ésta entre 50. a) 50

I. Completen la siguiente tabla para encontrar la velocidad con la que se alejan algunas galaxias a partir de las distancias a las que se encuentran. Distancia (en megaparsecs)

Velocidad de alejamiento (en km/s)

1

50

2

100

3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30

b) v = 50 × d También se puede poner v

150 200 250 300 350 400 450 500 750

= 50d

3

1000

1250

Sugerencia didáctica. En este momento puede ser útil recordar el concepto de constante de proporcionalidad que los alumnos trabajaron en la secuencia 15.

1500

a) Para encontrar la velocidad de alejamiento se multiplica la distancia por un nú­ mero, ¿cuál es ese número? b) Completen la siguiente expresión algebraica para encontrar la velocidad de aleja­ miento v a partir de la distancia d:

v=

×d

Comparen sus expresiones algebraicas y comenten: La velocidad de alejamiento es directamente proporcional a la distancia a la que está la galaxia, ¿cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la velocidad de alejamiento a partir de la distancia? II. Usen la expresión algebraica que encontraron para hacer los siguientes cálculos: a) Si la distancia es igual a 50 megaparsecs, ¿cuál es la velocidad de alejamiento v (en km/s)? b) Si d = 600 megaparsecs, ¿cuál es la v (en km/s)? c) Si d = 100 megaparsecs, ¿cuál es la v (en km/s)? 127

Respuestas. La constante de proporcionalidad que se busca permite encontrar la velocidad de alejamiento a partir de la distancia. Por ejemplo, para obtener la velocidad de alejamiento de una galaxia que está a 3 megaparsecs se multiplica por el número 50 y se obtiene que la velocidad es 150 km/s. El número 50 corresponde a la constante de proporcionalidad.

Respuestas. v = 50 × d a) v = 50 × 50 v = 2 500 km/s b) v = 50 × 600 v = 30 000 km/s c) v = 50 × 100 v = 5 000 km/s

127

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secuencia 27

A lo que llegamos Respuestas. a) Centauro, porque está más lejos de la Tierra. b) A 0.1 megaparsecs (también puede decirse: a megaparsecs). c) A 0.02 megaparsecs (también puede decirse: a megaparsecs). d) La expresión es d = 50 ÷ v.

qQp

Recuerden que: Por convención, v = 50 × d se escribe v = 50d

iii. Contesten las siguientes preguntas: a) Si la galaxia Centauro se encuentra a 1.31 megaparsecs y la galaxia Andrómeda a 0.7 megaparsecs, ¿cuál de las dos se aleja más rápidamente de la Tierra?

tQp

Posibles dificultades. Es común que los alumnos vean las fórmulas v = 50d y d = v ÷ 50 como expresiones que no están relacionadas, y por consiguiente, se las aprendan de manera separada. Analice con ellos ambas fórmulas para que puedan relacionarlas. Sugerencia didáctica. Escriba en el pizarrón la expresión que permite encontrar la velocidad conociendo la distancia (v = 50d ) y la que permite hallar la distancia conociendo la velocidad de alejamiento (d = v ÷ 50) y analícenlas. Propongan distintas variables (tanto velocidades de alejamiento como distancia) y utilicen las expresiones algebraicas para hallar la otra variable. Pregunte a los alumnos en qué se parecen y en qué son distintas las 2 expresiones y si creen que están relacionadas o no.

En la expresión algebraica v = 50d, conocida como Ley de Hubble, la velocidad de alejamiento depende o está en función de la distancia. Según dicha fórmula, para encontrar la velocidad de alejamiento se multiplica la distancia por 50. Se dice entonces que entre la velocidad y la distancia hay una relación funcional. En este caso, la relación funcional es una relación de proporcionalidad.

b) Si una galaxia se aleja a 5 km/s, ¿a qué distancia estará? c) ¿A qué distancia estará una galaxia que se aleja a 1 km/s? d) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite encontrar la distancia (d) a partir de la velocidad de alejamiento (v)? Subráyenla.

d = 50v

d = 50 ÷ v

d ÷ 50 = v

d = v ÷ 50

Comparen sus respuestas. Usen la expresión algebraica para verificarlas.

A lo que llegamos En las relaciones funcionales hay cantidades que varían y otras que no varían. En la relación funcional dada por la Ley de Hubble: • La distancia d a la que se encuentra cada galaxia varía. • La velocidad v con la que se aleja una galaxia varía, dependiendo de la distancia. • El número 50 por el que se multiplica la distancia para encontrar la velocidad no varía. 128

128

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MATEMÁTICAS

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a las actividades de esta sección.

I

A las cantidades que varían se les llama variables, y a las que no varían se les llama constantes. En este caso: • 50 es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la variable v a partir de la variable d. • KK G es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la variable d a partir de la variable v.

Respuestas. b) d = eQ t

1. Un atleta corre la tercera parte de un kilómetro por minuto. a) Completen la siguiente tabla para calcular la distancia que recorre el atleta en diferentes momentos de una carrera. Distancia recorrida (en kilómetros)

1

<, <2

2

3

1

<-

4

5 6 10 11 60

eQ

× t ).

Hay que fijarse en la tabla, la distancia siempre es una tercera parte del tiempo.

Lo que aprendimos

Tiempo (en minutos)

(podrían escribirlo como d =

c)

QeP QeW WeW

Puede pedirles que las escriban como números mixtos. d) El tiempo ( t ) y la distancia ( d ).

tE 2

e) La distancia que recorre en un minuto, eQ km.

Q e P = 3  Q e Q = 3  20

b) Si d es la distancia que recorre el atleta y t el tiempo transcurrido, escriban una ex­ presión algebraica para calcular la distancia que recorre el atleta al variar el tiempo. c) Utilicen la expresión algebraica para responder las siguientes preguntas: • Si t = 10 minutos, ¿cuánto es d en kilómetros? • Si t = 12 minutos, ¿cuánto es d en kilómetros? • Si t = 22 minutos, ¿cuánto es d en kilómetros? En esta relación funcional: d) ¿Cuáles son las variables?

y

e) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la distancia a partir del tiempo? 129

129

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Propósito de la sesión. Analizar y representar algebraicamente la relación de dependencia en una relación funcional de la forma y = x + ab.

secuencia 27 sEsión 2

Los hUsos horarios

Para empezar

Debido al movimiento de rotación de la Tierra, hay diferencias de horario. ¡Esto quiere decir que mientras en un lugar del mundo son las 12 del día, en otro son las 12 de la noche! Por ejemplo, cuando en la ciudad de Nueva York en EEUU son las 7:00 h (7 de la mañana), en la ciudad de Chihuahua en México son las 6:00 h (6 de la mañana).

Organización del grupo. En la sesión hay trabajo individual, en parejas y en equipo.

Para calcular las horas, el planeta Tierra se ha dividido en 24 franjas llamadas husos horarios. A cada uno de los husos horarios le corresponde una hora distinta, de manera que en el planeta hay 24 horas distintas al mismo tiempo. Así, cuan­ do en Nueva York son las 00:00 h (12 de la noche) en Chihua­ hua son las 23:00 h (11 de la noche). Es importante notar que es común decir 24:00 h o 12 de la noche en lugar de 0:00 h. En el momento en que se completan 24 horas de un día se reinicia el conteo a 0:00 h (un minuto después de las 23 h con 59 min vienen otra vez las 0:00 h), por lo tanto, las 0:00 h y las 24:00 h son dos formas de escribir la misma hora.

3 Sugerencia didáctica. Puede aprovechar esta actividad para comentar con los alumnos sobre las distintas maneras de escribir la hora. Por ejemplo: - Después de la medianoche viene la 1 de la mañana, las 2, 3, etc. Después del mediodía viene la 1 de la tarde, las 2, 3… hasta llegar nuevamente a la medianoche. - En vez de decir “1 de la mañana” también suele decirse “1 a.m.”. Las letras “a.m.” significan “antes del meridiano”, es decir, antes del mediodía. Después del mediodía se dice “p.m.” que significa “pasado meridiano”. - También se cuentan las horas empezando por las 0:00 h (medianoche). Se va aumentando de una en una hasta las 23:00 h, y la que sigue es otra vez las 0:00 h. Por eso, después de las 12 de la tarde siguen las 13:00 h (la 1 de la tarde), las 14:00 h (las 2 de la tarde), y así sucesivamente.

Consideremos lo siguiente Comenten el siguiente problema: María vive en la ciudad de Chihuahua y su papá en la ciudad de Nueva York. Si el papá de María trabaja de 7 de la mañana (7:00 h) a 3 de la tarde (15:00 h), ¿creen que María encontrará a su papá en casa si lo llama a las 6 de la mañana (hora de Chihuahua)?

Manos a la obra i. Completen la siguiente tabla para calcular la hora en la ciudad de Nueva York a par­ tir de la hora en Chihuaha. Hora en Chihuahua

6 7 8

Hora en Nueva York

7 8

9

10 11 12 13 14 15

a) ¿Qué hora es en Nueva York si en Chihuahua son las 15:00 h? b) Si el papá de María hace una hora cuarenta y cinco minutos en el trayecto del trabajo a su casa, ¿a partir de qué hora (de Chihuahua) puede hablarle María para encontrarlo de re­ greso en casa? c) ¿De qué hora a qué hora de Chihuahua, Ma­ ría no va a encontrar a su papá? ¡Cuidado: la respuesta no es de 7 de la mañana a 3 de la tarde!

16 130

Propósito de la actividad. La intención es que al llegar al inciso c) los alumnos expresen algebraicamente la relación entre la hora de Chihuahua y la hora de Nueva York. Déles tiempo para trabajar la situación y no les proporcione la respuesta.

Respuestas. Para conocer la hora de Nueva York hay que aumentar una hora a la de Chihuahua. a) Las 16:00 h. b) A partir de las 15:45 de Chihuahua. El papá sale a las 15:00 h (hora de Nueva York), y tras 1 hora y 45 minutos de trayecto, llega a su casa a las 16:45 (de Nueva York), que son las 15:45 de Chihuahua. c) De las 4:15 de la mañana a las 15:45 (hora de Chihuahua), tomando en cuenta los trayectos de ida y vuelta.

130

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MATEMÁTICAS

I

Posibles dificultades. Los estudiantes podrían sentirse confundidos porque la expresión y = x + 1 no permite encontrar la hora de Nueva York. Explíqueles que cuando se usa esta expresión se pasa de las 24:00 h y que, pasadas las 24:00 h se reinicia el conteo de horas. Por ejemplo, en lugar de ser las 24:30, en Nueva York son las 00:30. En el inciso a) es posible que digan que la operación que se hace es sumar 1 y quitarle el 24. Eso es correcto, pero no es una operación algebraica. No los corrija, y permítales pasar al inciso b). En el inciso b) necesitarán interpretar el “quitarle el 24” como un resto 24. Si no surge en el grupo, dígaselos. Al final, los alumnos deberán conjugar esta última observación con el sumar 1 y así obtener: y = x – 23

II. Llamen x a la hora en Chihuahua y y a la hora en Nueva York. Si la hora en Chihuahua está entre las 00:00 h y las 23:00 h, ¿cuál de las siguientes expresiones permite cal­ cular la hora de Nueva York a partir de la hora de Chihuahua? Subráyenla. a) x = y + 1

b) y = x – 1

c) y = x + 1

d) x = y – 1

Comparen sus expresiones algebraicas. III. Si la hora en Chihuahua está entre 23:00 h y 24:00 h, por ejemplo las 23:30 h, la expresión algebraica y = x + 1 NO permite encontrar la hora en Nueva York (y) a partir de la hora en Chihuahua (x), pues se pasa de las 24:00 h. a) Cuando la hora en Chihuahua está entre las 23:00 h y las 24:00 h, ¿qué cálculos hay que hacer para obtener la hora en Nueva York a partir de la hora en Chihuahua?

b) Escriban una expresión que nos permita encontrar la hora de Nueva York (y) a partir de la hora en Chihuahua (x), cuando la hora en Chihuahua está entre las 23:00 h y las 24:00 h.

Comparen sus expresiones. IV. Para obtener la hora de Nueva York a partir de la hora de Chihuahua, cuando en Chihuahua pasan de las 23:00 horas, se resta 23 a la hora de Chihuahua. Por ello, la expresión es y = x – 23. Usando la expresión algebraica y = x + 1 (o bien, la expresión y = x – 23), contesten las siguientes preguntas. a) ¿Qué hora es en Nueva York si en Chihuahua son las 23:45 h? b) ¿Qué hora es en Chihuahua si en Nueva York son las 0:30 h? c) ¿Qué hora es en Nueva York si en Chihuahua son las 22:59 h? d) ¿Qué hora es en Nueva York si en Chihuahua son las 0:00 h?

0:45 h 23:30 h 23:59 h 1:00 h

A lo que llegamos En la expresión algebraica y = x + 1, la variable y depende o está en función de la variable x. Al número 1, que siempre hay que sumar a la x para obtener la y, se le llama constante.

V. Cuando en Los Ángeles son las 4:00 h, en Chihuahua son las 6:00 h y en Tokio (la capital de Japón) son las 21:00 h. Completen la siguiente tabla para calcular las horas en Los Ángeles y Tokio a partir de la hora en Chihuahua. 131

131

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8/25/07 3:09:47 PM


secuencia 27 Hora en Los Ángeles

Hora en Chihuahua

Hora en Tokio

4

6

21

5

7

22

8 9 10 11 12

Respuestas. La hora de Los Ángeles es igual a la hora de Chihuahua menos 2. La hora de Tokio es igual a la hora en Chihuahua más 15. a) Las 18:00 h. b) Las 17:00 h. c) y = x  – 2 d)

13 14 15 16 17 18 19

a) ¿Qué hora es en Los Ángeles cuando son las 20 h en Chihuahua?

i) z = x + 15 ii) z = x – 9

b) ¿Qué hora es en Tokio cuando son las 0 h en Los Ángeles? c) Escriban una expresión algebraica para encontrar la hora en Los Ángeles a partir de la hora en Chihuahua, cuando la hora en Chihuahua está entre las 02:00 h y las 24:00 h. Llámenle x a la hora en Chihuahua y y a la hora en Los Ángeles. d) Llamen x a la hora en Chihuahua y z a la hora en Tokio. Escriban una expresión algebraica para encontrar la hora en Tokio a partir de la hora en Chihuahua en cada caso: i) Cuando la hora en Chihuahua está entre las 00:00 h y las 9:00 h.

ii) Cuando la hora en Chihuahua está entre las 09:00 h y las 24:00 h.

Comparen sus expresiones algebraicas. 132

132

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MATEMÁTICAS

I

Respuestas. a) 22:00 h. b) 1:00 h. c) 0:00 h. d) 9:00 h.

VI. Contesten las siguientes preguntas, usando las expresiones algebraicas que encontraron. a) Si en Chihuahua son las 24:00 h, ¿qué hora es en Los Ángeles? b) Si en Chihuahua son las 3:00 h, ¿qué hora es en Los Ángeles? c) Si en Chihuahua son las 9:00 h, ¿qué hora es en Tokio? d) Si en Tokio son las 24:00 h, ¿qué hora es en Chihuahua?

A lo que llegamos En la expresión algebraica y = x – 2, la variable y depende o está en función de la variable x. El número 2, que siempre hay que restar a la x para obtener la y, es la constante de la relación funcional.

Respuestas. a) z (la hora de Tokio) y x (la hora de Chihuahua). b) 15 (las horas de diferencia entre Chihuahua y Tokio).

VII. La expresión algebraica z = x + 15 describe una relación funcional entre la hora en Chihuahua (x) y la hora en Tokio (z). a) ¿Cuáles son las variables en esta relación funcional? b) ¿Cuál es la constante en esta relación funcional?

Propósito de la actividad. Se espera que completar la tabla no sea difícil para los alumnos, el reto consiste en la escritura de las expresiones algebraicas.

Lo que aprendimos 1. Luis tiene tres hermanos: Rocío, Juan y Fernanda. Completen la siguiente tabla con las edades de los hermanos de Luis. Edad de Luis (años)

Edad de Rocío (años)

Edad de Juan (años)

Edad de Fernanda (años)

6

10

8

1

7

11

9

2

8

12

10

3

12

5

10 12

16

13 14

Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos una copia de sus respuestas a las actividades del número 1.

14 15

8

18

20 25

27

a) Cada integrante del equipo escoja a uno de los hermanos de Luis y escriba en su cuaderno una expresión algebraica para calcular la edad del hermano que escogió a partir de la edad de Luis. b) Verifiquen entre todos si las tres expresiones algebraicas (una para cada hermano) son correctas. 133

Posibles dificultades. Es común que los alumnos piensen que si se cambia la letra que representa a una variable la expresión será incorrecta. Es importante que sepan que se pueden poner letras distintas, siempre y cuando esté claro qué representa cada una. Usted puede escribir en el pizarrón las expresiones que hayan elaborado y cambiarles las letras para que ellos digan si es correcto o no. Respuestas. a) (r es Rocío, j es Juan, f es Fernanda y l es Luis). Rocío: r = l + 4 Juan: j = l +2 Fernanda: f = l – 5 c) r, j, f y l (o las letras que ellos hayan usado). d) 4, 2 y 5.

133

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Respuestas. a) 5 cm. b) 9 cm. c) a = b – 3 d) a y b. e) 3 Posibles dificultades. Los alumnos podrían pensar que la expresión algebraica es a = b – 3, porque saben que la base es 3 cm mayor que la altura. Revise sus respuestas y si cometieron ese error pídales que la utilicen con los valores de los incisos a) y b) para que comprueben si es correcta.

secuencia 27 c) En conjunto, en las expresiones que encontraron hay cuatro variables distintas, ¿cuáles son? ,

,

y

y

2. La longitud de la base de un rectángulo es 3 cm más grande que su altura. a) ¿Cuánto medirá la base si la altura mide 2 cm? b) Y si la base midiera 6 cm, ¿cuánto mediría la altura? c) Encuentra una expresión algebraica para calcular la medida de la altura a partir de la medida de la base. d) ¿Cuáles son las variables en esta relación funcional? e) ¿Cuál es la constante?

sEsión 3

Propósito de la sesión. Analizar y representar algebraicamente la relación de dependencia en una relación funcional de la forma y = ax + b.

CoCina navidEña

Para empezar

Existen muchos problemas prácticos en los que interviene una relación funcional. En esta sesión abordaremos algunos de ellos.

Consideremos lo siguiente En un libro de cocina aparece la siguiente receta para cocinar un pavo:

Organización del grupo. La sesión se trabaja en parejas, habiendo momentos de discusión grupal.

PAVO AL HORNO

a) ¿Cuánto tiempo de horneado requiere un pavo de 5 kg? b) ¿Cuánto tiempo de horneado requiere un pavo que pesa

Envuelva el pavo en papel aluminio; hornee el pavo 15 minutos por cada kilogramo de pavo y

Propósito de la actividad. Al igual que en la sesión anterior, lo que se pretende es que los alumnos escriban expresiones algebraicas que les permitan modelar la situación y encontrar los valores de las variables. Respuestas. a) 165 minutos. b) 210 minutos. c) 187.5 minutos. d) Siendo t el tiempo de horneado (en minutos) y p el peso del pavo (en kilos), t = 15p + 90 Se leería “tiempo de horneado es igual a peso por 15 más 90”.

,

d) ¿Cuáles son las constantes en estas relaciones funcionales?

8 kg? c) ¿Cuánto tiempo de horneado requiere un pavo que pesa 6.5 kg?

sume a esto 90 minutos extras.

d) Escriban una expresión algebraica para calcular el tiempo de horneado de un pavo de cualquier peso.

Comparen sus expresiones algebraicas. 134

Posibles respuestas. Para responder el inciso d) los alumnos podrían escribir cosas como “Se multiplica el peso por 15 y al resultado se le suma 90”, que si bien son correctas, no son expresiones algebraicas. Permítales esas respuestas siempre y cuando sean correctas, y cuando terminen de resolver el apartado Manos a la obra dígales que las expresen algebraicamente.

134

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MATEMÁTICAS

I

Manos a la obra I. Completen la siguiente tabla para calcular el tiempo de horneado que requiere un pavo con diferentes pesos: Peso del pavo (kg)

Tiempo de horneado (min)

1

105

2 2.5 3 4 4.5 6 6.5 7 10

120 127.5 135 150 157.5

180 187.5 195

Respuestas. a) 15 b) 90 c) t = 15p + 90

240

a) En esta relación funcional hay un número por el cual se multiplica cada kilogramo de pavo, ¿cuál es ese número? b) ¿Cuál es el número que hay que sumar siempre para obtener el tiempo total de horneado? c) Completen la siguiente expresión algebraica para encontrar el tiempo t a partir del peso p:

t=

×p+

Respuestas. a) El tiempo de horneado t y el peso del pavo p. b) 15 y 90.

II. Comparen sus expresiones algebraicas y comenten. a) ¿Cuáles son las variables en esta relación funcional? b) ¿Cuáles son las constantes en esta relación funcional? III. Usen la expresión algebraica que encontraron para calcular los tiempos de horneado de pavos con los siguientes pesos:

Integrar al portafolios. Guarde las respuestas de los alumnos a la actividad III y valórelas para ver si han comprendido.

a) Si el pavo pesa 2.5 kg, ¿cuántos minutos debe hornearse? b) Si p = 3.75 kg, ¿cuánto vale t (en minutos)? c) Si p = 8.4 kg, ¿cuánto vale t (en minutos)? 135

Respuestas. Cuando se conoce el peso, se multiplica éste por 15 y se le suma 90. Cuando se conoce el tiempo de horneado, se le resta 90 y se divide entre 15. Posibles dificultades. La expresión (algebraica o no) que los alumnos escribieron en la sección anterior funciona para cuando se quiere hallar el tiempo de horneado conociendo el peso del pavo. Sin embargo, en la tabla se les plantea también el caso inverso: averiguar el peso del pavo conociendo el tiempo de horneado.

Si lo cree conveniente, repasen juntos la expresión original t = 15p + 90 (o equivalentes), y analicen de qué manera podrían averiguar el peso. Puede preguntarles: “Si sabemos que el tiempo de horneado es de 105 minutos, ¿cómo pueden estar seguros de que el pavo pesa 1 kg?”. Trabajar con valores que ya conocen para las variables puede ser de ayuda para resolver la cuestión. Otra dificultad que está asociada a lo anterior es la de desconocer en qué orden deben hacerse las operaciones.

Saben que el tiempo de horneado es igual al peso por 15 más 90, pero conociendo el tiempo de horneado ¿qué debe hacerse primero, restar los 90 minutos o dividir entre 15? Si los alumnos tuvieran esa duda, repasen juntos la expresión que escribieron antes. Sugerencia didáctica. Cuando terminen de llenar la tabla, pida a los alumnos que expresen los tiempos de horneado en horas, minutos y segundos, especialmente en los casos en que el resultado es un número como 157.5 minutos. 135

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Respuestas. a) Necesita 90 minutos más, porque la diferencia es de 6 kg, entonces 6 × 15 = 90. b) No es cierto, hay que tener en cuenta la otra constante: añadir 90 minutos al tiempo de horneado. Esto puede verse en el ejemplo anterior, mientras que para el pavo de 3 kg el tiempo de horneado es de 135 minutos, para el de 9 kg es de 225 minutos; 9 es el triple de 3, pero el tiempo de horneado no es el triple. Posibles dificultades. Es un error común confundir una constante (multiplicativa) con una constante aditiva. Sugiera a los alumnos que lean con cuidado las 2 expresiones algebraicas para que analicen qué es lo que hacen el 80 y el 16 en cada caso. En la primera el tiempo de horneado se obtiene así: cada kilo de pavo se multiplica por 80 minutos y luego se añaden 16 minutos. Aquí el 80 es una constante (se multiplica) y el 16 es una constante aditiva (se suma). En la segunda el tiempo de horneado se obtiene de esta manera: cada kilo de pavo se multiplica por 16 y luego se añaden 80 minutos. Aquí el 16 es una constante (se multiplica) y el 80 es una constante aditiva (se suma). Ésta es la expresión correcta. Si los alumnos no notan la diferencia o tienen dificultades para elegir la expresión correcta, pídales que primero calculen el tiempo de horneado de un pavo de 7 kg a partir de la receta y luego, utilizando cada una de las expresiones algebraicas.

secuencia 27 iV. Comparen sus respuestas y contesten las siguientes preguntas: a) Si un pavo pesa 9 kg y otro pesa 3 kg, ¿cuánto tiempo de horneado más necesita el pavo de 9 kg? b) Si un pavo pesa el triple que otro, ¿será cierto que el tiempo de horneado que requiere el más chico es la tercera parte de lo que requiere el mayor? ¿Por qué?

A lo que llegamos La expresión algebraica t = 15 p + 90 es una relación funcional: el valor de la variable t depende del valor de la variable p. La variable p se multiplica por 15 y al resultado se le suma 90. Ambos números, el 15 y el 90, son constantes. V. En otra receta se sugiere hornear 16 minutos por cada kilogramo de pavo y agregar 80 minutos ex­ tras. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas permitiría encontrar el tiempo total de horneado (t) para cualquier cantidad de kilogramos de pavo (p )?

Recuerden que: Se acostumbra bolo × suprimir el sím nfun(por) para no co uis). dirlo con la x (eq

• t = 80 p +16 • t = 16 p + 80 a) ¿Cuáles son las variables en esta relación funcional? b) ¿Cuáles son las constantes?

Lo que aprendimos En la expresión algebraica y = 3 x + 1 a) ¿Cuáles son las variables? y b) ¿Cuáles son las constantes? y c) Completen la tabla de la derecha usando la expresión algebraica:

y y

x

1 1.5 2 5 10 11.6 20 21

y

4 5.5 7 16 31 35.8 61 76

136

Respuestas. a) y, x. b) 3, 1. c) x se multiplica por 3 y se suma 1. Para hallar el valor de x cuando y es igual a 76 deben realizarse las operaciones inversas y en orden contrario: primero restar 1 y luego dividir entre 3, o bien, plantear la ecuación 3 x + 1 = 76  y resolverla.

136

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MATEMÁTICAS EL rECibo dE tELéfono

I sEsion 4

Para empezar

En esta sesión continuarás con el estudio de las relaciones fun­ cionales. Estudiarás un problema práctico: el costo mensual del servicio telefónico. El costo del servicio telefónico depende de la renta fija y de la cantidad de llamadas que se realicen en el mes.

Propósito de la sesión. Identificar la expresión algebraica correspondiente a una relación funcional de la forma y = a (x − b) + c. Organización del grupo. La sesión se resuelve en parejas, con momentos para comentarios grupales, a excepción del último apartado, que es individual.

Consideremos lo siguiente La renta mensual del servicio telefónico es de $167.00. Esta renta incluye 100 llamadas. Por ejemplo, si en el recibo apare­ cen 125 llamadas realizadas, se paga: la renta mensual más el costo de las 25 llamadas adicionales. El costo de cada llamada adicional es de $1.50. a) ¿Cuál es el costo mensual del servicio si se hacen 125 llamadas? b) Completen la siguiente tabla para calcular el costo mensual del servicio telefónico a partir del número de llamadas. Total de llamadas realizadas

100 o menos

Costo mensual (en pesos)

167

101

168.50

110

182 195.50 197 198.50 204 242 269 279.50 287

119 120 121 125 150 168 175 180

Respuesta. 122 llamadas. Quitando la renta quedan $33, con los que se pueden pagar 22 llamadas adicionales.

c) ¿Cuál es el mayor número de llamadas que se pueden hacer con $200.00? Comparen sus resultados y comenten sus procedimientos. ¿Qué operaciones hicieron para encontrar los costos a partir del número de llamadas? 137

Respuesta. a) $ 204.50. Se hicieron 25 llamadas adicionales y cada una cuesta $1.50, así que son $ 37.50 de las llamadas más los $167 de la renta.

Propósito de la pregunta. Se espera que los alumnos describan el procedimiento que utilizaron para llenar la tabla con la intención de que esa descripción les sirva para escribir posteriormente una expresión algebraica. Por ello es muy importante que comenten varios procedimientos (qué operaciones hicieron, con cuáles cantidades y en qué orden) y que revisen si son equivalentes o no.

137

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Respuestas. a) Entre 0 y 100 llamadas. b) $1.50 por una llamada, $168.50 en total. c) $3.00 por las 2 llamadas, $170 en total. d) 81 llamadas adicionales y hay que pagar $ 288.50 de costo mensual.

secuencia 27

Manos a la obra i. Contesten las siguientes preguntas: a) Si sólo se pagan $167.00 (la renta mensual), ¿cuántas llamadas se han hecho?

b) ¿Cuánto hay que pagar de costo mensual por 1 llamada adicional? c) ¿Cuánto hay que pagar por 2 llamadas adicionales?

Posibles dificultades. Para algunos alumnos la tercera opción puede resultar difícil de interpretar por el uso del paréntesis. Explíqueles que el paréntesis sirve para no confundir el orden en el que deben efectuarse las operaciones en la expresión (en este caso, la multiplicación y la resta). Lo que va dentro del paréntesis debe resolverse primero, así que la expresión puede leerse como “el costo mensual es igual al número total de llamadas menos 100, el resultado se multiplica por 1.50 y a eso se le suman 167”.

.

d) Si se hacen 181 llamadas en total, ¿cuántas llamadas adicionales se han hecho? ¿Cuánto hay que pagar de costo mensual?

Sugerencia didáctica. La frase que los alumnos escribieron sobre las operaciones realizadas para llenar la tabla les será de utilidad para elegir la opción correcta, pero si eligen otra no los corrija. Las actividades que se les proponen más adelante les ayudarán a darse cuenta del error. Respuestas. La primera opción es incorrecta porque se multiplican todas las llamadas realizadas por $1.50, pero hay que recordar que ese es el costo de las llamadas adicionales, es decir de aquellas llamadas que excedan las 100 incluidas en la renta mensual. La segunda también es incorrecta porque se cambia de lugar a las 2 constantes. Considera a 167 como una constante (que se multiplica), cuando en realidad es una constante aditiva (se suma), y viceversa. La tercera opción es correcta porque es la que considera que al número total de llamadas (x ) hay que restarle 100 (las que incluye la renta mensual) y al resto multiplicarlo por 1.50 y sumarle 167.

.

ii. ¿Con cuál de las siguientes expresiones alge­ braicas se puede calcular el costo mensual del servicio telefónico cuando se hacen más de 100 llamadas? En estas expresiones se usa la letra x para representar el total de llamadas y la letra y para representar el costo mensual del servicio telefónico.

.

la expresión El paréntesis de 0) + 167 10 – y = 1.50 (x hay que ro me pri e qu indica mero x y, nú al 0 10 tar res licar el después, multip 0 resultado por 1.5

y = 1.50 x + 167 y = 167 x + 1.50 y = 1.50 (x – 100) + 167 a) Comparen las expresiones algebraicas que escogieron y comenten por qué creen que son correctas. b) Con la expresión que escogieron calculen el costo mensual del teléfono, si en el recibo estuvieran registrados los siguientes números totales de llamadas:

167

x = 100,

y=

x = 121,

y=

x = 125,

y=

x = 175,

y=

x = 200,

y=

317

x = 250,

y=

392

198.50

204

279.50

c) Comparen sus resultados con los que obtuvieron en la tabla, y comenten: Si el número de llamadas aumenta al doble, ¿también aumentará al doble el costo mensual?

138

Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos utilicen la expresión algebraica que hayan elegido, aunque sea incorrecta. Después comparen los resultados, si hubo alumnos que eligieron una expresión algebraica incorrecta se toparán con respuestas distintas. Ayúdelos a analizar las expresiones algebraicas para encontrar la correcta y corrijan los resultados de esta parte.

Respuesta. La relación funcional entre el costo mensual y el número total de llamadas realizadas no es de proporcionalidad directa. Sugiera a los alumnos que analicen los siguientes ejemplos con los costos que acaban de calcular, en los que al doble de llamadas no corresponde el doble de costo mensual: - Por hacer 100 llamadas se pagan $ 167; por hacer 200 se pagan $317. - Por hacer 125 llamadas se pagan $204; por hacer 250 se pagan $392.

138

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MATEMÁTICAS

I

Respuestas. a) x (cantidad total de llamadas) y y (costo mensual). b) 1.50 (costo por cada llamada adicional), 167 (renta mensual) y 100 (las llamadas que se incluyen en la renta mensual).

III. El costo mensual del teléfono depende del número total de llamadas que se realizan. Ésta es una relación funcional. Contesten las siguientes preguntas: a) ¿Cuáles son las variables? b) En esta relación funcional hay tres constantes, ¿cuáles son?

Lo que aprendimos Un bebé nació pesando 3 kg. Durante su primer año de vida su peso aumentó 0.5 kg cada mes.

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de todo el apartado Lo que aprendimos y dígales que también anoten cuáles son las constantes en este caso y de qué tipo son, y cuáles son las variables.

Completa la siguiente tabla para calcular el peso del bebé. Edad del bebé (meses)

Peso del bebé (kilogramos)

3

Al nacer

5

3. 5 4 4. 5 5 5. 5

7

6.5

1 2 3 4 6

Sugerencia didáctica. Aunque en este caso los datos sobre el peso del bebé muestran un aumento constante de 0.5 kg por mes, regularmente no sucede así. Coméntelo con los alumnos.

6

8

7

9

7.5

a) Si se representa con la letra y el peso del bebé y con x la edad del bebé (en meses), escribe una expresión algebraica para calcular el peso del bebé durante su pri­ mer año de vida. b) Utiliza la expresión algebraica para calcular el peso del bebé a partir de las si­ guientes edades: x = 7 (meses),

y=

x = 8 (meses),

y=

x = 9 (meses),

y=

x = 12 (meses), y =

6. 5 7 7. 5 9

Respuestas. El bebé aumenta cada mes 0.5 kg, entonces tendríamos que su peso es igual a su edad en meses por 0.5; pero hay que agregar los 3 kg que pesó al nacer, por lo tanto la expresión sería: y = 0.5x + 3

kilogramos kilogramos kilogramos kilogramos

Para saber más Sobre la expansión del Universo consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Concepción Ruiz y Sergio de Régules. Crónicas algebraicas. México: SEP/ Santillana, Libros del Rincón, 2002, pp. 44-45. También puedes consultar: http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/01/html/sec_11.html [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. 139

139

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Propósito de la sesión. Trazar un círculo, dados 2 puntos. Identificar cuántos círculos se pueden trazar bajo esas condiciones. Organización del grupo. Se sugiere que la sesión se trabaje en parejas. Materiales. Regla y compás. Propósito de la actividad. Hay dos aspectos centrales en la resolución de este problema: - Que los alumnos tracen 2 circunferencias distintas y verifiquen que cumplan con la condición de que cada una de ellas pase por ambos puntos (A y B). - Que describan el procedimiento que siguieron para encontrar el centro de ambas circunferencias. Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, aclare a los alumnos que el pasar por los 2 puntos no significa tomar uno como centro y el otro como radio, sino que ambos puntos deben ser parte de la circunferencia. Posibles procedimientos. Una forma de resolver es por ensayo y error, esto es, abrir el compás haciendo una estimación del radio, probar si con ese radio es posible trazar una circunferencia que pase por los 2 puntos. Si no es así, cerrar o abrir más el compás, según lo requieran, hasta aproximarse lo más posible a la circunferencia buscada. El trazo de la segunda circunferencia podría llevarse a cabo de la misma manera. Una forma más sistemática de trazar la primera circunferencia es la que se presenta en la actividad II del apartado Manos a la obra. La segunda circunferencia puede resultarles más complicada de encontrar, pues necesitan situar un punto que esté a la misma distancia de los puntos A y B. Esto puede hacerse trazando la mediatriz que ya estudiaron en la secuencia 12, pero es poco probable que los alumnos recurran a ello.

secuencia 28

Construcción de círculos y circunferencias En esta secuencia construirás círculos que cumplan condiciones dadas a partir de diferentes datos. sesión 1

por dos puntos

Para empezar

Una circunferencia está formada por todos los puntos que están a la misma distancia, llamada radio, de un punto fijo llamado centro. Radio

Consideremos lo siguiente Tracen dos circunferencias que cumplan la siguiente condición: pasar por los dos puntos siguientes.

B

A

Escriban en su cuaderno cómo encontraron los puntos que utilizaron como centro de cada circunferencia. Comenten en grupo sus procedimientos. 140

Propósitos de la secuencia Construir círculos que cumplan condiciones dadas a partir de diferentes datos.

Eje Forma, espacio y medida.

Sesión

Tema Formas geométricas.

Antecedentes En la escuela primaria los alumnos aprendieron a construir círculos a partir de la medida del radio. Asimismo, aprendieron a ubicar el centro de una circunferencia utilizando 2 recursos: por medio del punto en el que se cruzan los ejes de simetría, y mediante el trazo de perpendiculares de cuerdas no paralelas. En esta secuencia aprenderán otras formas de construir círculos, y para ello requerirán apoyarse en el trazo de mediatrices que trabajaron en la secuencia 12.

Las circunferencias que pasan

Título y propósitos de la sesión

Recursos

1

Las circunferencias que pasan por dos puntos Trazar un círculo, dados dos puntos. Identificar cuántos círculos se pueden trazar bajo esas condiciones.

2

Cuerdas y circunferencias Identificar en qué casos es posible trazar un círculo dadas dos cuerdas.

Interactivo “Construcción de circunferencias”

3

Tres puntos y una circunferencia Identificar en qué casos es posible trazar un círculo dados tres puntos.

Interactivo “Construcción de circunferencias con la mediatriz” Aula de medios “Tres puntos y una circunferencia” (Geometría dinámica)

Video Las circunferencias que pasan por dos puntos

140

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MATEMÁTICAS

I

Manos a la obra I. Rosa consideró los dos puntos de la siguiente manera:

Respuesta. Porque no pasa por el punto B, pues se tomó a éste como centro.

• Tomó como centro el punto B y trazó la circunferencia tomando como radio la distancia del punto A al punto B.

B

A

¿Por qué esta circunferencia no cumple la condición pedida?

II. Para hallar las dos circunferencias, Guillermo hizo lo siguiente. Para la primera circunferencia: • Trazó el segmento que une los dos puntos, obtuvo el punto medio del AB (punto C) y trazó la circunferencia tomando como radio la distancia del punto C al punto A. Comenten en equipo, ¿por qué esta circunferencia sí cumple la condición pedida? Para hallar el centro de la segunda circunferencia, Guillermo tomó un punto C’ muy cerca de C. , C

B C

A

a) Midan la distancia del punto A al punto C’: b) Midan la distancia del punto B al punto C’: Comenten en equipo, ¿por qué el punto C’ no es el centro de la circunferencia? 141

Respuestas. Las medidas de las distancias en ambos incisos no son las mismas: AC’ ≠ BC’.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que hagan los mismos trazos que hizo "Guillermo", una vez que hayan obtenido la circunferencia, invítelos a comentar por qué esta circunferencia sí cumple con la condición dada. Enfatice las ideas que se sugieren en seguida para enriquecer los argumentos de los alumnos: - Los segmentos AC y BC son radios de la circunferencia. - AC = BC, es decir, ambos radios miden lo mismo. - Dado que los dos radios son iguales, entonces los puntos A y B son parte de la circunferencia, y ésta cumple la condición de pasar por los puntos A y B.

Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos hayan expresado sus argumentos, enfatice lo siguiente: - El punto C’ se colocó de manera arbitraria. - Los segmentos AC’ y BC’ tienen medidas distintas. - Dado que son segmentos desiguales, no son radios de la circunferencia (todos los radios miden lo mismo), por lo tanto el punto C’ no es centro de la circunferencia que pasa por los puntos A y B.

141

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Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos: - Utilicen la propiedad de la mediatriz que consiste en que todos los puntos que la conforman equidistan de los extremos del segmento. - Identifiquen que el segmento que une el punto A con cualquiera de los centros (puntos sobre la mediatriz),es igual al segmento que une al punto B con cualquiera de los centros (puntos sobre la mediatriz); por lo tanto, la circunferencia sí cumple la condición de pasar por los puntos A y B.

secuencia 28 iii. A continuación se explica una manera de trazar las circunferencias que pasan por A y B. Tracen primero el segmento que une los puntos A y B: B

A

Recuerden que: El conjunto de puntos que equidistan de los extremos de un segmento forma una recta llamada mediatriz del segmento.

a) En la secuencia 12 estudiaron cómo trazar la mediatriz de un segmento. Tracen la mediatriz del AB. b) Ubiquen un punto sobre la mediatriz, llámenlo D. c) Midan lo siguiente: Distancia del punto A al punto D. Distancia del punto B al punto D. d) Tracen una circunferencia con centro en D y que pase por A y por B. e) Ubiquen otros dos puntos sobre la mediatriz (llámenlos E, F) y tracen las circunfe­ rencias con esos puntos como centro, y que pasen por A y por B. f) En las dos circunferencias que acaban de trazar midan las siguientes distancias: Distancia de A a E .

Distancia de B a E.

Distancia de A a F.

Distancia de B a F.

g) Tomen otro punto sobre la mediatriz, ¿cómo son las distancias de ese punto a los

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, pida a los alumnos que revisen la secuencia 12 para que recuerden el procedimiento para trazar la mediatriz.

puntos A y B? Comenten en grupo la siguiente pregunta: ¿Habrá algún otro punto de la mediatriz del AB que no sea centro de una circunferencia que pase por A y por B? iV. En la siguiente circunferencia que pasa por los puntos A y B está marcado su centro (punto E).

Respuesta. Las distancias de A y B al punto E son las mismas: AE = BE. Las distancias de A y B al punto F son las mismas: AF = BF.

E B

Respuesta. La distancia de los nuevos puntos sobre la mediatriz hacia A y B es la misma (aunque diferente a las del inciso f).

a) Tracen el AB y su mediatriz.

A

b) ¿Cómo son las distancias del punto E al punto A y del punto E al punto B?

142

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que cualquier punto de la mediatriz es el centro de una circunferencia que pasa por los puntos A y B; por lo tanto, pueden trazarse distintas circunferencias que pasen por los puntos A y B, y el centro de cada una de ellas siempre será un punto de la mediatriz.

142

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MATEMÁTICAS

I

Como el punto E equidista de los puntos A y B, entonces está sobre la mediatriz del AB.

Recuerden que: Si un punto cualquiera equidista de los extremos del segmento, entonces pertenece a la mediatriz del segmento.

c) Observen que al trazar la mediatriz del AB, el centro está sobre dicha mediatriz. d) ¿Cuántas circunferencias pasan por los puntos A y B?

A lo que llegamos Cada punto de la mediatriz de un segmento CD es el centro de una circunferencia que pasa por C y D, y cada circunferencia que pasa por C y D tiene su centro sobre la mediatriz del segmento CD.

Conjunto de puntos que son centros de las circunferencias que pasan por C y por D.

D

Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos que tracen dos puntos cualesquiera (puntos P y Q), y que tracen dos circunferencias que pasen por esos dos puntos. Si identifica que los alumnos tienen dificultades, repase con ellos la actividad III del apartado Manos a la obra.

C

Mediatriz

Propósito del video. Visualizar la construcción de la familia de circunferencias que pasan por los extremos de un segmento dado.

Vean el video Las circunferencias que pasan por dos puntos y al término del mismo escriban en su cuaderno, con sus propias palabras, cuántas circunferencias se pueden trazar que pasen por dos puntos dados: C y D.

cuerdas y circunferencias

Para empezar

sesión 2

Los segmentos de recta que unen a dos puntos de una circunferencia se llaman cuerdas. En la ilustración 1 los puntos A y B están unidos por la cuerda AB.

Propósito de la sesión. Identificar en qué casos es posible trazar un círculo dadas 2 cuerdas.

B

A

Cuerda AB

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas durante toda la sesión y que luego, en grupo, comparen resultados.

El diámetro de una circunferencia es una cuerda que pasa por el centro de la circun­ ferencia.

Materiales. Regla y compás. Diámetro

143

Sugerencia didáctica. Es importante que lea y comente esta información con los alumnos, pues se les presenta un nuevo término que deberán incorporar a su vocabulario matemático. Puede pedir a una pareja de alumnos que elabore un cartel con esta información para que esté a la vista de todo el grupo.

143

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secuencia 28

Consideremos lo siguiente Una maquiladora de latas de refresco debe colocar la “lengüeta” exactamente en el cen­ tro de la tapa. En el dibujo se muestra una tapa sin la lengüeta, las líneas sirven de guía para poner la lengüeta y son dos cuerdas de la circunferencia.

Posibles procedimientos. Algunos alumnos podrían tratar de ubicar el centro de la circunferencia “a ojo”, trazando dos “diámetros” que se corten perpendicularmente. Si es así, pregunte a esos alumnos cómo pueden estar seguros de que ese es el centro, y pregúnteles si las 2 cuerdas que se indican en el dibujo podrían servirles de algo para encontrar el centro de la circunferencia. Otra forma más sistemática de resolver, es trazar la mediatriz de cada una de las cuerdas; el punto en el que se cruzan las mediatrices es el centro de la circunferencia, y es donde debe colocarse el remache.

Encuentren el punto de la tapa donde debe colocarse el remache de la lengüeta.

Manos a la obra i. Veamos dos procedimientos: Procedimiento 1 • En el equipo 1 unieron los extremos de las cuerdas y tomaron como centro de la tapa el punto de intersección C’. Dijeron que el remache de la lengüeta debería colocarse en el punto C’.

B

D

E A

144

144

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MATEMÁTICAS

I

Procedimiento 2 • En el equipo 2 trazaron las mediatrices de la cuerdas y dicen que el punto de inter­ sección de las mediatrices es donde debe ponerse el remache de la lengüeta.

B

D

C E A

a) ¿Cuánto miden las distancias del punto C’ a los extremos de cada cuerda? Mídan­ las y completen: Distancia de C’ a A.

Distancia de C’ a B.

Distancia de C’ a D.

Distancia de C’ a E.

b) ¿Cuánto miden las distancias del punto C a los extremos de cada cuerda? Completen: Distancia de C a A.

Distancia de C a B.

Distancia de C a D.

Distancia de C a E.

Comparen sus respuestas y comenten: • ¿Por qué el punto C’ no es el centro de la circunferencia? • ¿Por qué el punto de intersección C de las dos mediatrices sí es el centro de la circunferencia? II. En las siguientes circunferencias: a) Encuentren su centro.

Circunferencia 1

Circunferencia 2

Circunferencia 3

145

Propósito del interactivo. Mostrar los casos posibles para construir una circunferencia.

Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos hayan expresado sus argumentos, subraye lo siguiente: - En el caso del procedimiento 1, si el punto C’ fuera el centro de la circunferencia, los segmentos BC’, AC’, DC’ y EC’ tendrían la misma medida, y serían radios de la circunferencia. - El punto C’ no es el centro de la circunferencia dado que las distancias BC’, AC’, DC’ y EC’ no miden lo mismo. Los alumnos pueden comprobar lo anterior si trazan una circunferencia con centro en C’ y como radio cualquiera de los cuatro puntos (A, B, D, E); podrán ver que esa circunferencia no pasa por los cuatro puntos. En cambio, en el procedimiento 2, cualquier punto de cada mediatriz equidista de los extremos del segmento correspondiente, y el punto de intersección de las mediatrices equidista de los cuatro extremos; por lo tanto, los segmentos AC, BC, DC y EC, son radios de la circunferencia. Los alumnos pueden comprobarlo trazando la circunferencia tomando como centro el punto C y como radio cualquiera de los 4 puntos (A, B, D, E).

145

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secuencia 28 b) Encuentren su centro.

Circunferencia 5

Circunferencia 4

c) En la circunferencia 5 la cuerda dada es un diámetro, ¿cómo obtuvieron su centro?

d) En las circunferencias 4 y 6, ¿las mediatrices de las cuerdas se intersectan en un punto, son la misma recta o son rectas paralelas? e) La mediatriz que trazaron corta a la circunferencia 4 en dos puntos, llámenlos A y B; obtengan el punto medio de la cuerda AB y llámenlo D. f) ¿Cómo son las distancias del punto D a cada extremo de la cuerda AB? Mídanlas y completen: Distancia de D a A.

Distancia de D a B.

Comparen sus respuestas y comenten: • ¿Por qué la cuerda AB es un diámetro de la circunferencia 4?

5

• ¿Por qué el punto D es el centro de la circunferencia 4? • ¿Con este procedimiento podrán encontrar el centro de la circunferencia 6? Háganlo.

Sugerencia didáctica. Pida a una pareja de alumnos que elabore un cartel con esta información y que lo pegue en el salón de clases. Los alumnos pueden copiar esta información en sus cuadernos e ilustrarla con ejemplos.

A lo que llegamos Para encontrar el centro de las circunferencias: a) Dadas dos cuerdas no paralelas, se traza la mediatriz a cada cuerda y el punto de intersección de las mediatrices trazadas es el centro de la circunferencia. Cuerdas

b) Dadas dos paralelas, se traza la mediatriz a una de las cuerdas, se identifica el diámetro que está sobre la mediatriz, se obtiene el punto medio del diámetro, el cual es el centro de la circunferencia. Di

Cuerdas Cuerda

C Mediatrices

C Mediatrices

ám

Centro

et

ro Mediatriz

Cuerda 146

146

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I

MATEMÁTICAS tres puntos y una circunferencia

sesión 3

Para empezar

En la primera sesión de esta secuencia estudiaste cómo trazar circunferencias que pasen por dos puntos dados. En la segunda sesión estudiaron cómo obtener el centro de una circunferencia dadas dos cuerdas. En esta sesión aprenderás cómo trazar una circunfe­ rencia que pase por tres puntos dados.

Organización del grupo. Se recomienda trabajar la sesión en parejas; si lo considera conveniente, el apartado Lo que aprendimos puede resolverse de manera individual.

Consideremos lo siguiente La siguiente ilustración indica los lugares en que se ubican las comunidades de Pochitlán, Mipa­ chán y Sisiján.

Se quiere construir un centro de salud que esté a la misma distancia de todas ellas. Encuentren el sitio donde se debería construir ese centro de salud.

Materiales. Regla y compás.

pachitlán

Posibles procedimientos. Los alumnos resolvieron un problema similar en la sesión 3 de la secuencia 12, por lo que es posible que utilicen el mismo procedimiento que usaron en aquel problema: unir los 3 puntos mediante segmentos, trazar la mediatriz de cada segmento y ubicar al punto en el que se cortan las mediatrices como el lugar donde debe construirse el Centro de Salud. Otra forma en que los alumnos podrían plantear el problema, aunque también utilicen las mediatrices para resolverlo, es trazando segmentos que representan las cuerdas de una circunferencia. Lo que deben buscar es el centro de esa circunferencia.

sisiján

Mipachán

Manos a la obra I. A continuación se explica una manera de encontrar un punto que equidiste de los tres pueblos. a) En el siguiente dibujo los pueblos se repre­ sentan con puntos. Ya se trazó la mediatriz del MP. La distancia del punto M al punto C (cualquier punto de la mediatriz) es la misma que la distancia del punto P al mis­ mo punto C.

2c

m

p

2c

m

b) Tracen la mediatriz de MS y PS. c) Localicen el punto de intersección de las mediatrices y llámenlo D. Midan la distan­ cia de D a cada uno de los pueblos:

M

s

Distancia de D a M. Distancia de D a P. Distancia de D a S.

Propósito de la sesión. Identificar en qué casos es posible trazar un círculo dados 3 puntos.

e: Recuerden qu e de puntos qu El conjunto extremos de los de an ist equid recta forman una un segmento ento. triz del segm llamada media 147

Respuesta. La distancia es la misma en los tres casos.

147

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secuencia 28 Comparen sus resultados y comenten:

Respuesta. Es suficiente el trazo de dos mediatrices.

a) ¿Es conveniente construir el centro de salud en el punto D? b) ¿Para encontrar un punto que equidiste de los puntos M, P y S será necesario tra­ zar las tres mediatrices o será suficiente con trazar dos de ellas? En el siguiente dibujo tracen dos de las tres mediatrices B

C

A

a) Llamen F al punto de intersección de las dos mediatrices. b) ¿Cuáles son las distancias del punto F a los puntos A, B y C?

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen en qué casos no es posible trazar una circunferencia dados 3 puntos, y esto es cuando los puntos no son colineales. Es importante que los alumnos logren expresar las razones por las cuales no puede trazarse la circunferencia en ese caso.

Distancia de F a A. Distancia de F a B. Distancia de F a C. ii. En la siguiente ilustración se muestran los lugares en donde se ubican otras tres co­ munidades: D, E y F. Encuentren un punto que esté a la misma distancia de los tres pueblos. Cuando tres puntos están en una misma recta se dice que son colineales.

D

Respuesta. No hay intersección porque las mediatrices son líneas paralelas.

E

F

a) Unan los puntos mediante segmentos. b) Tracen las mediatrices de los segmentos. c) Encuentren la intersección de las mediatrices. Comenten: a) Estos tres puntos están en una misma recta, ¿por qué creen que no se intersectan las mediatrices de los segmentos que los unen? b) ¿En qué lugar creen que sería más conveniente construir un centro de salud? 148

Respuestas. a) No se intersecan porque son paralelas. b) Dado que las mediatrices no se intersecan, no es posible ubicar un punto que esté a la misma distancia de los 3 pueblos. En todo caso, el lugar más conveniente para establecer el centro de salud sería a la mitad del segmento DF.

148

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MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien esta información y que hagan trazos que ilustren cada uno de los casos.

III. En sus cuadernos dibujen tres puntos, los que quieran, pero que no sean colineales. Tracen una circunferencia que pase por los tres puntos que dibujaron. Comparen los puntos que dibujaron y las circunferencias que trazaron. Comenten: Dados tres puntos, ¿se podrá siempre trazar una circunferencia que pase por ellos?

Integrar al portafolios. Sólo en el caso 2 no es posible trazar la circunferencia, pues los 3 puntos son colineales. En los casos 1 y 3 se le muestran a usted las 3 mediatrices, pero los alumnos podrían trazar sólo 2 de ellas, lo cual es correcto. Si identifica que los alumnos tienen algunas dificultades con el caso 2 (por ejemplo, considerar erróneamente el punto E como el centro de la circunferencia), revise nuevamente con ellos la actividad II del apartado Manos a la obra y comente con ellos el apartado A lo que llegamos de esta sesión. Si identifica que tienen dificultades con los casos 1 y 3, revise con los alumnos nuevamente la actividad I de ese mismo apartado.

A lo que llegamos • Dados tres puntos que no son colineales siempre se puede trazar una circunferencia que pase por ellos. El centro de la circunferencia que pasa por ellos es el punto de intersección de las mediatrices de MP, PS y MS. • Cuando los tres puntos son colineales (están sobre la misma recta), no se puede trazar la circunferencia.

Lo que aprendimos 1. En los siguientes casos, tracen una circunferencia que pase por los tres puntos. C D B H E

A Caso 2

Caso 1

I

G

F

Caso 3

2. ¿En cuáles de los tres casos pudieron trazar una circunferencia? ¿Por qué?

Para saber más

Propósito del interactivo. Mostrar la construcción de la circunferencia.

Sobre círculo y circunferencia consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: De la Peña, José Antonio. Geometría y el mundo. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002. Hernández, Carlos. La geometría en el deporte. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.

149

No se puede trazar la circunferencia

D

C E

H

B

Caso 2

F I

G A

Caso 1

Caso 3 149

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secuencia 29

Propósito del interactivo. Justificar el valor de π.

Eje Forma, espacio y medida.

Tema Medida.

20 19 18 17 15

16

El diámetro de un círculo es una cuerda que pasa por su centro.

12

13

14

Diámetro

11

Consideremos lo siguiente

10

b) Coloquen uno de los círculos sobre la regla graduada de esta página, haciendo coincidir la punta de la flecha con el cero de la regla.

5

6

7

8

a) Recorten los círculos. En cada círculo dibujen una flecha del centro a uno de los puntos de la orilla del círculo, como se muestra en el dibujo.

9

i. En una hoja blanca tracen cinco círculos de distintos tamaños.

0

4

Sugerencia didáctica. Es posible que al girar los círculos sobre la regla haya algunas dificultades para medir su perímetro de manera exacta; por ello, pida a los alumnos que lo hagan lo más cuidadosamente posible y que utilicen medidas aproximadas.

1

c) Midan el perímetro del círculo rodándolo sobre la regla. Marquen cuando el círculo dé una vuelta completa. Recuerden que: d) Midan los perímetros de los otros cuatro círculos. l El perímetro de círculo es igual la de a la longitud circunferencia. 150

Propósitos de la secuencia Determinar el número π como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Justificar y usar la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia.

Sesión

Título y propósitos de la sesión

Recursos

1

La relación entre circunferencia y diámetro Determinar el número π como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Resolver problemas de proporcionalidad que implican el cálculo del perímetro del círculo.

Video Relación entre circunferencia y diámetro Interactivo “¿De dónde salió pi?” “El número pi”

2

Perímetro del círculo Obtener una fórmula para calcular el perímetro del círculo. Resolver problemas de proporcionalidad que implican al número π y a la fórmula del perímetro de un círculo.

Video Temperaturas ambientales Interactivo “Temperaturas"

Antecedentes En la escuela primaria los alumnos identificaron el número π como el número de veces que el diámetro cabe en la circunferencia; asimismo, aprendieron a calcular el perímetro de un círculo aplicando la fórmula. En este grado de la educación secundaria profundizarán en el estudio de la relación que existe entre la circunferencia y el diámetro en diversas situaciones problemáticas.

La reLación entre circunferencia y diámetro

Para empezar

3

Propósitos de la actividad. Que los alumnos obtengan el perímetro de los círculos haciendo uso de recursos distintos a la utilización de la fórmula. Que identifiquen cuántas veces cabe el diámetro en la circunferencia.

sesión 1

2

Materiales. Calculadora, regla, compás, tijeras y hojas blancas.

En esta secuencia determinarás el número pi como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Justificarás y usarás la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia.

1

Organización del grupo. Los alumnos pueden trabajar en parejas, a excepción del apartado Lo que aprendimos, que puede resolverse de manera individual.

El número Pi

0

Propósitos de la sesión. Determinar el número π como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Resolver problemas de proporcionalidad que implican el cálculo del perímetro del círculo.

150

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MATEMÁTICAS

I

Propósito del interactivo. Mostrar que la relación entre el perímetro y el diámetro de un círculo es siempre igual al valor de π, independientemente del tamaño del círculo.

e) Completen la siguiente tabla: Perímetro del círculo (cm)

Diámetro del círculo (cm)

Perímetro entre diámetro

Sugerencia didáctica. Se espera que al dividir el perímetro entre el diámetro los alumnos interpreten el cociente como el número de veces que cabe una medida en la otra; en este caso, el diámetro en el perímetro. Apoye a sus alumnos con preguntas como las siguientes: ¿Cuál es el dividendo? ¿Cuál es el divisor? ¿Qué representa el resultado de la división o cociente?

Comenten: De acuerdo con la tabla que llenaron, ¿cuántas veces cabe la medida del diámetro en la medida del perímetro de cada uno de los círculos que recortaron?

A lo que llegamos El número que se obtiene al dividir el perímetro de un círculo entre la longitud de su diámetro siempre es el mismo, se llama pi y se simboliza con la letra griega π. Una aproximación a ese número es 3.1416

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien esta información en el cuaderno, pueden ilustrarla pegando algunos de los círculos que recortaron y con los datos de la tabla anterior.

Vean el video Relación entre circunferencia y diámetro, y al término del mismo midan cinco objetos circulares que encuentren en su salón, su diámetro y su perímetro (ya sea con un hilo o bien rodándolos sobre una regla). Verifiquen lo mostrado en el video. II. Usando una calculadora, completen la siguiente tabla: Diámetro del círculo (cm)

Perímetro del círculo (cm)

Perímetro entre diámetro

10

31.416

3.1416

2

6.2832

3.1416

5

15.708

3.1416

4

12.5664

3.1416

20

62.832

3.1416

6

18.8496

3.1416

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos profundicen en la relación entre el diámetro y el perímetro: para conocer el perímetro se debe multiplicar 3.1416 por el diámetro, y dividir el perímetro entre 3.1416 para conocer el diámetro. 151

Propósito del video. Mostrar la obtención del número π como el cociente de la división del perímetro de cualquier círculo entra la longitud de su diámetro.

151

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Sugerencia didáctica. Además de comparar los resultados, enfatice las relaciones entre el diámetro y el perímetro planteando las siguientes preguntas: Si conocemos el diámetro, ¿cómo obtenemos el perímetro? Si conocemos el perímetro, ¿cómo obtenemos el diámetro?

secuencia 29 Comenten en grupo cómo completaron la tabla.

Lo que aprendimos iii. En la mayoría de los triciclos, la rueda delantera es más grande que las dos traseras.

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen cómo varía el perímetro en función del diámetro, y que utilicen esa relación para resolver problemas; por ejemplo, si el diámetro disminuye a la mitad, el perímetro varía en la misma proporción.

Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente, antes de que los alumnos resuelvan los incisos b) y c), puede pedirles que hagan una estimación sobre cuántas vueltas tendría que dar la rueda delantera para recorrer 94 m. La finalidad de esa estimación es que se percaten de que la distancia es en metros, no en centímetros. Recomiéndeles que cada uno de ellos elija la unidad con la que quieren trabajar (metros o centímetros), para que antes de que empiecen a resolver, hagan las conversiones necesarias.

En un triciclo, el diámetro de la rueda delantera mide 30 cm y la rueda trasera mide la mitad del diámetro de la rueda delantera. Para simplificar sus cálculos, usen 3.14 como valor aproximado de .

a) Completen la siguiente tabla:

Rueda

Delantera

Trasera

Diámetro del círculo (cm)

Perímetro del círculo (cm)

Perímetro entre diámetro

30

94.2

3.14

15

47.1

3.14

b) ¿Cuántas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que el triciclo avance 94 m? c) ¿Cuántas vueltas completas tienen que dar las ruedas traseras para que el triciclo avance 94 m?

152

Respuestas. b) 100 vueltas. c) 200 vueltas.

152

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MATEMÁTICAS

I

Perímetro deL círcuLo

sesión 2

Para empezar

En esta sesión veremos cómo calcular el perímetro del círculo, o sea la longitud de la circunferencia, mediante una fórmula.

Consideremos lo siguiente a) Completen en la tabla 1 las medidas del diámetro y del perímetro de algunos círculos. Diámetro (cm)

Perímetro (cm)

4

12.56

8

25.12

12

37.69

9.45

3

100

314

15

47.1

1

3.14

50

Para simplificar los cálculos pueden utilizar lor 3.14 como va . aproximado de

157 Tabla 1

b) ¿Cuánto aumenta el perímetro de un círculo cuando el diámetro aumenta al triple? c) ¿Cuánto disminuye el diámetro de un círculo cuando el perímetro disminuye a la mitad? d) La tabla 1 es una tabla de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

153

Respuestas. b) Aumenta el triple. Puede verse en la tabla con los diámetros de 4 y 12 y con los de 1 y 3. c) Disminuye a la mitad. Puede verse con los perímetros de 25.12 y 12.56, y con los de 314 y 157. d) La constante de proporcionalidad es π. e) Perímetro = Diámetro × π Sugerencia didáctica. Tal vez algunos alumnos utilicen los números 3.14 o 3.1416 para expresar la fórmula para calcular el perímetro, sin embargo, lo correcto es que lleguen a la conclusión

Propósitos de la sesión. Obtener una fórmula para calcular el perímetro del círculo. Resolver problemas de proporcionalidad que implican al número π y a la fórmula del perímetro de un círculo. Organización del grupo. Se sugiere que la sesión se trabaje en parejas. Si lo considera conveniente, el apartado Lo que aprendimos puede resolverse de manera individual, o en parejas, como se indica. Materiales. Calculadora. Posibles procedimientos. Se espera que los alumnos identifiquen la tabla 1 como una tabla de proporcionalidad y la resuelvan como tal, sin necesidad de utilizar la fórmula P = π × d. No obstante, es posible que algunos alumnos apliquen directamente la fórmula, lo cual es correcto, sin atender las relaciones de proporcionalidad (por ejemplo, si el diámetro aumenta al doble o al triple, el perímetro aumenta en la misma proporción). También puede suceder que en los casos en los que la variación proporcional es evidente, se apoyen en algunas propiedades de la proporcionalidad (por ejemplo, al doble corresponde el doble), y que en otros apliquen la fórmula.

de que el perímetro es diámetro por π y no diámetro por 3.14 o 3.1416. Es importante que en distintos momentos de la clase usted haga esa aclaración, para que no se queden con la idea de que la constante de proporcionalidad es la cantidad 3.1416 o 3.14. Lo correcto es que la constante de proporcionalidad es π, y por eso el perímetro se calcula multiplicando el diámetro por π (sin importar el valor aproximado que se tome de π).

153

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Sugerencia didáctica. Reproduzca la tabla en el pizarrón para que algunas parejas pasen a poner sus respuestas. Aproveche el momento para enfatizar algunas de las propiedades de la proporcionalidad apoyándose en la tabla. Por ejemplo: si el diámetro aumenta al doble o al triple, ¿qué sucede con el perímetro?, ¿en qué casos a la suma de los diámetros le corresponde la suma de los perímetros?, ¿por cuánto debe multiplicarse cada una de las medidas del diámetro para obtener el perímetro que le corresponde? Respuestas. a) El equipo 1 expresó la relación que hay entre el perímetro y el diámetro mediante una aproximación del valor de π. El equipo 2 expresó una fórmula para encontrar el perímetro. Es importante subrayar con los alumnos que lo correcto es decir Perímetro = diámetro por la constante de proporcionalidad, o bien, Perímetro = diámetro por π, y que como fórmula no es correcto decir Perímetro = diámetro por 3.14 o 3.1416, dado que estas cantidades son aproximaciones de π. b) La constante de proporcionalidad en la tabla 1 es π (sin importar la aproximación de su valor que se tome). c) Porque el equipo 1 utilizó la relación que hay del perímetro entre el diámetro y una de las aproximaciones del valor de π, y el equipo 2 utilizó la fórmula para calcular el perímetro de un círculo.

secuencia 29 e) Encuentren una fórmula para obtener el perímetro de un círculo. Comparen sus tablas y sus fórmulas. Comenten cómo llenaron la tabla y cómo obtuvieron sus fórmulas.

Manos a la obra i. En otra escuela, dos equipos propusieron las siguientes fórmulas para obtener el perímetro de un círculo. • En el equipo 1 dicen que la fórmula es: ado El valor aproxim que utilizó el de 4 equipo 2 fue 3.1

Perímetro = 3.14 Diámetro • En el equipo 2 dicen que la fórmula es: Perímetro = diámetro por la constante de proporcionalidad Comenten: a) ¿Están de acuerdo con alguna de las dos fórmulas?, ¿por qué? b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad a la que se refiere el equipo 2? c) Los equipos 1 y 2 obtuvieron los mismos resultados en la tabla 1, ¿por qué? d) Entre todos obtengan una fórmula para calcular el perímetro de un círculo.

A lo que llegamos El diámetro es directamente proporcional al perímetro del círculo, es decir, en la misma proporción en que aumenta o disminuye el diámetro, aumenta o disminuye el perímetro del círculo. La constante de proporcionalidad es el número . Una aproximación de este número es 3.14 ii. Utilicen la fórmula que encontraron para completar la siguiente tabla: Para simplificar los cálculos pueden utilizar lor 3.14 como va . aproximado de

Diámetro (cm)

Perímetro (cm)

1 2.5 25 50

154

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos esta información, enfatice que la constante de proporcionalidad es el número π y no el valor aproximado de π, el cual podría ser 3.14, 3.1416, 3.141598, o cualquier otra aproximación. Pida a los alumnos que copien esta información en el cuaderno y que den algunos ejemplos en los que se muestre cómo el diámetro y el perímetro del círculo varían proporcionalmente.

154

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MATEMÁTICAS

I

5

A lo que llegamos • El perímetro de un círculo se calcula multiplicando la medida de su diámetro por el número .

Sugerencia didáctica. Pida a una pareja de alumnos que elabore un cartel con esta información, para que se cuelgue o se pegue en una de las paredes del salón de clases.

Por ejemplo: para calcular el perímetro de un círculo de diámetro 3.2 cm y tomando 3.1416 como valor aproximado de , entonces Perímetro = 3.2 cm × 3.1416 = 10.05 cm

Posibles procedimientos. Los alumnos no necesitan realizar los cálculos en cada una de las circunferencias, bastará con que una vez obtenidas todas las medidas de los diámetros calculen el perímetro de una de ellas y, por medio de la proporcionalidad, obtengan las demás. Esto es posible porque los diámetros son proporcionales, miden 1, 2, 4, 6, 7 y 3.5 cm respectivamente. Si los alumnos se sienten inseguros con el uso de la proporcionalidad, pueden comprobar sus resultados haciendo las operaciones directas para cada circunferencia.

3.2 cm

• Es decir, podemos obtener el perímetro de cualquier círculo con la fórmula: Perímetro = por diámetro

Si se llama P al perímetro y d al diámetro, entonces puede escribirse: P=

×d o P=

d

Lo que aprendimos 1. Midan la longitud de los diámetros y obtengan los perímetros de los siguientes círculos:

Respuestas. La medidas aproximadas de los perímetros, son: 3.14, 6.28, 10.99, 12.56, 18.84 y 21.98 (de menor a mayor).

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Integrar al portafolios. Igual que en el ejercicio anterior, es suficiente con que los alumnos obtengan el perímetro de 28” y 24,” y a partir de ellos, el de 14” (es la mitad de 28”) y el de 12” (es la mitad de 24”). Respuestas. - Para encontrar el diámetro se multiplica la rodada por 2.54. - Para encontrar el perímetro se multiplica el diámetro por 3.14. - Para encontrar el número de vueltas es necesario considerar que 100 m equivale a 10 000 cm, entonces hay que dividir 10 000 entre el perímetro. Para que sean vueltas completas, las cantidades pueden redondearse al entero siguiente: 45, 90, 53 y 105, respectivamente. Si los alumnos muestran dificultades en el cálculo de los perímetros, revise nuevamente con ellos el último apartado A lo que llegamos de esta sesión. Si nota que tienen dificultades para identificar la relación proporcional que existe entre las bicicletas de adulto y de niño, y entre las bicicletas de montaña y la infantil, haga preguntas similares a las que se le sugieren para el apartado Consideremos lo siguiente de esta sesión.

secuencia 29 2. Se tienen cuatro bicicletas: una de adulto rodada 28, una de niño rodada 14, una de montaña rodada 24 y una infantil rodada 12. La rodada significa la medida en pulgadas del diámetro de las ruedas; es decir, que las ruedas de una bicicleta rodada 28 tienen un diámetro de 71.12 cm. Recuerden que: ale 1 pulgada equiv te aproximadamen a 2.54 cm.

a) Completen la siguiente tabla:

Para simplificar los cálculos pueden utilizar lor 3.14 como va . aproximado de

Bicicleta

Rodada

Adulto

28”

Niño

14”

Montaña

Infantil

Diámetro del círculo Perímetro del círculo (cm) (cm)

71.12

Número de vueltas en 100 m

223.3168

44.77

35.56

111.6584

89.55

24”

60.96

191.4144

52.24

12”

30.48

95.7072

104.48

b) ¿Cuántas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que la bicicleta de adulto avance 100 m? c) ¿Cuántas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que la bicicleta de niño avance 100 m? d) ¿Cuántas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que la bicicleta de montaña avance 100?

¿Y cuántas vueltas

tiene que dar la infantil? 156

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MATEMÁTICAS

I

Respuestas. a) El primer nivel costará $1 884.00. Este resultado se obtuvo de la siguiente manera: el perímetro es de 12.56 m (tomando a π como 3.14), se multiplica eso por el costo por metro y se obtiene el precio total del primer nivel. b) Se pueden pagar 5 niveles. Esto es, se divide 9 500 entre 1 884. c) Se pusieron 4 niveles. Esto es, se divide 7 539.84 entre 1 884. d) Costará $15 079.68. Esto es, se multiplica 7 539.84 por 2.

3. En el quiosco de una plaza se va a construir un barandal para que puedan jugar los niños. El quiosco es de forma circular y su radio mide 2 m. El barandal se desea poner en distintos niveles, como se muestra en la imagen. Cada metro de barandal cuesta $150.00 a) ¿Cuánto costará el primer nivel del barandal? b) ¿Cuántos niveles se pueden pagar con $9 500.00? c) Al final del trabajo se pagaron $7 539.84, ¿cuántos niveles se pusieron? d) Todos los niveles están a la misma distancia uno del otro, ¿cuánto costará poner un barandal del doble de altura que el del inciso c)?

los cálculos Para simplificar 3.14 como pueden utilizar o de . valor aproximad

Para saber más Consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula: De la Peña, José Antonio. “¿De dónde sale el famoso número mundo. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.

?”, en Geometría y el

Marván, Luz María. “Números de cuento y de película”, en Representación numérica. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002. Hernández, Carlos. "Perímetro del círculo", en La geometría en el deporte. México: SEP/ Santillana, Libros del Rincón, 2002. Sobre el número

consulten:

http://www.interactiva.matem.unam.mx [Fecha de consulta 23 de agosto de 2007]. Ruta: Secundaria Cuadratura del círculo (dar clic en el dibujo de un círculo y un cuadrado) Avanzar tres páginas y llegar a "Definición de "

Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora, UNAM.

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Propósito de la sesión. Identificar la fórmula del área de un círculo a través de la fórmula del área de un polígono regular y calcular algunas áreas.

secuencia 30

El área de los círculos

Organización del grupo. Se sugiere que trabajen en parejas durante toda la sesión. Materiales. Calculadora y regla. Posibles procedimientos. No se espera que los alumnos resuelvan correctamente el problema, sino que hagan uso de sus propios recursos para diseñar una estrategia que les permita aproximarse a la solución. Una posibilidad es que dividan el círculo en figuras que ya conocen, por ejemplo, que lo dividan en varios triángulos iguales, que calculen el área de cada uno de ellos y después las sumen. De manera similar, pueden formar un polígono regular con un número de lados que ellos decidan, aunque entre mayor número de lados tenga el polígono, más se aproximará a la medida real del área del círculo. Si observa que tienen dificultades para establecer una estrategia de solución, usted puede sugerirles que dividan al círculo en figuras que ya conocen. Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, observe qué procedimientos utilizan para que en el momento de la comparación de resultados usted pueda elegir a 2 o 3 parejas que hayan empleado procedimientos distintos que se aproximen al área del círculo (por ejemplo, alguna que haya utilizado la triangulación, otra que haya trazado un pentágono y otra que haya trazado un polígono con un mayor número de lados). Pregunte al grupo qué procedimiento consideran que permite obtener un resultado más aproximado al área del círculo y por qué.

En esta secuencia resolverás problemas que impliquen calcular el área y el perímetro de un círculo. sesión 1

En la secuencia 14 de Matemáticas I, vieste que el área de un triángulo se obtiene multiplicando la base del triángulo por su altura y el resultado se divide entre 2. El área de un paralelogramo se calcula multiplicando su base por su altura. En la vida cotidiana se encuentran diversos objetos circulares, de los cuales a menudo se necesita calcular su área, por ejemplo: la superficie de una mesa para hacerle un mantel, la superficie del asiento de una silla para tapizarla, el área de un piso para saber la cantidad de losetas necesarias para cubrirlo, entre otras cosas.

Consideremos lo siguiente En pareja, planeen una estrategia para calcular el área del siguiente círculo y llévenla a cabo. ¿Cuál es el área del círculo?

3 cm

Comenten con otros equipos su procedimiento y resultado.

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Eje

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.

Forma, espacio y medida.

Tema Medida.

Área del círculo

Para empezar

Sesión

Título y propósitos de la sesión

Antecedentes En la escuela primaria los alumnos aproximaron áreas de círculos y de figuras curvas mediante el conteo de cuadrículas. En este grado de la educación secundaria los alumnos aprenderán a calcular el área del círculo mediante el uso de la fórmula. Para ello, se apoyarán en el cálculo de áreas de paralelogramos y de polígonos regulares que estudiaron en la secuencia 14.

1

Área del círculo Identificar la fórmula del área de un círculo a través de la fórmula del área de un polígono regular y calcular algunas áreas.

2

Áreas y perímetros Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.

Recursos Video Área del círculo Interactivo “Cálculo del área del círculo de Arquímedes“ “Área del círculo” Aula de medios “Área del círculo” (Geometría dinámica)

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MATEMÁTICAS

I

Propósito de las actividades. Ofrecer a los alumnos 2 procedimientos que les permitan aproximarse al área del círculo haciendo uso de los conocimientos que ya tienen para calcular el área de paralelogramos y de polígonos regulares.

Manos a la obra I. En una escuela encontraron el área de las siguientes maneras: Procedimiento 1. Un equipo recortó el círculo en 18 partes y las colocó como se muestra a continuación.

Propósito del interactivo. Mostrar una justificación de la fórmula para calcular el área del círculo.

Respuestas. a) Base × altura. (Si no lo recuerdan, los alumnos pueden repasar la secuencia 14.) b) 3 cm aproximadamente. c) 9.4 cm aproximadamente. d) 28.3 cm2 aproximadamente.

¿Observaron que la figura se parece a un paralelogramo? Supongan que esta figura es un paralelogramo y contesten las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto mide su altura? b) ¿Cuánto mide su base? Observen que la altura del paralelogramo es aproximadamente igual a la medida del radio del círculo y que su base es aproximadamente igual a la mitad de la longitud de la circunferencia.

NOTA: Para los incisos c) y d) se utilizó π = 3.14.

c) ¿Cuál es el área aproximada del paralelogramo?

Propósito del interactivo. Mostrar 2 procedimientos de aproximación al área de un círculo. Uno es numérico y el otro es simbólico.

Procedimiento 2. Otro equipo notó que, si hacía polígonos regulares inscritos en una circunferencia, entre más lados tuviera el polígono más se parecía al círculo.

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Propósito de la actividad. Es importante que los alumnos concluyan que entre mayor sea el número de lados del polígono inscrito: a) Su área es más cercana al área del círculo. b) La apotema coincide con el radio del círculo. c) Por lo tanto, si sustituimos los datos en la fórmula del área de un polígono y se hacen algunas simplificaciones, tenemos que el área del círculo se puede calcular como si fuera un polígono regular: Área del círculo = π × radio × radio

s e c ue n c ia 3 0 Con ayuda del profesor, comenten con sus compañeros: a) ¿Qué pasa con el perímetro del polígono y el perímetro de la circunferencia cuando aumenta el número de lados del polígono regular? b) ¿Qué pasa con la apotema del polígono regular y el radio de la circunferencia cuando aumenta el número de lados del polígono regular? c) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un polígono regular? d) ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro del círculo? e) Calcula el área del círculo usando la discusión anterior. El área del círculo es: Recuerda que: Apotema se le llama a la altura de los triángulos iguales en los que se divide un polígono regular. 3 cm

Respuestas. a) El perímetro del polígono se acerca más al perímetro de la circunferencia. Haga notar a los alumnos que mientras más lados tenga el polígono su perímetro será mayor. b) La longitud del apotema se acerca más a la longitud del radio. También, mientras más lados tenga el polígono, su apotema será mayor. Recuerde a los alumnos que la apotema va del centro del polígono al punto medio de uno de los lados. perímetro × apotema c) Área = 2 d)

5 cm

Apotema

3.6 cm

3.4 cm

A lo que llegamos Observaste que el área de un círculo puede ser aproximada con la fórmula del área de un polígono regular. perímetro × apotema Área de un polígono regular = 2 Como el perímetro del círculo es por diámetro y la apotema, cuando el número de lados aumenta, coincide con el radio, entonces: × diámetro × radio Área de un círculo = 2 × 2 × radio × radio Y como el diámetro es 2 veces el radio: área de un círculo = 2

Simplificando: Área del círculo =

× radio × radio

Si se llama A al área y r al radio, entonces puede escribirse: A =

r2

Vean el video Área del círculo y, al término del mismo, en su cuaderno dibujen un círculo cuyo diámetro mida 15 cm y realicen el procedimiento mostrado en el video. 160

π por diámetro.

e) 28.26 cm2 Es posible que no todos los alumnos puedan elaborar conclusiones a partir de las preguntas anteriores; no obstante, es importante que intenten establecer relaciones y elaborar argumentos. Si tienen dificultades no se preocupe, este procedimiento se detalla en el apartado A lo que llegamos. Una forma de establecer relaciones entre las preguntas anteriores, es la siguiente: - Cuando aumenta el número de lados del polígono, su área se parece más a la del círculo y la

apotema se parece más al radio. El área del polígono es: perímetro × apotema Área = 2 - En el caso del círculo, el perímetro es igual a π × diámetro, o π × 2 veces el radio, o 2 π × radio. (las tres fórmulas son equivalentes). - Entonces, perímetro × apotema

2

=

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos esta información y posteriormente pídales que vuelvan al problema inicial del apartado Consideremos lo siguiente y que verifiquen, aplicando la fórmula, el área del círculo. Propósito del video. Mostrar la obtención de la fórmula del área del círculo mediante una aproximación por triangulaciones.

2 π × radio × radio = π × radio × radio 2

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MATEMÁTICAS

I

Lo que aprendimos: En sus cuadernos obtengan el área del vidrio que cubre las siguientes brújulas.

Áreas y perímetros

Respuesta. En cada caso se debe medir el radio. El área se obtiene con la fórmula: π × r 2

Recuerden que: Un valor aproximado de es 3.14

sesión 2

Para empezar

Aproximadamente: Radio 0.4 cm 0.75 cm 0.85 cm 1.25 cm 1.5 cm 1.5 cm

Área 0.5 cm2 1.77 cm2 2.29 cm2 4.91 cm2 7.07 cm2 7.07 cm2

Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.

Ahora ya sabes calcular el área y el perímetro de un círculo. En esta sesión tendrás la oportunidad de aplicar estos conocimientos en la resolución de problemas diversos.

Consideremos lo siguiente El vidrio para una mesa cuadrada de un metro por lado cuesta $300. El vidrio para una mesa circular cuesta $150.00

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas, y que el apartado Lo que aprendimos se resuelva de manera individual.

¿Cuál es la medida aproximada del radio de la mesa circular si los costos son proporcionales a la cantidad de vidrio, sin importar si el vidrio es rectangular o circular? Pueden usar calculadora.

Materiales. Calculadora.

Comparen sus procedimientos y resultados con sus compañeros.

Manos a la obra I. Completen los siguientes procedimientos cuando haga falta y discutan con su pareja cuál es el correcto. Procedimiento 1.

Como $150 es la mitad de $300, entonces la mesa circular tiene por radio la mitad de 1 m, es decir, N,m.

• ¿Cuál es el área de la mesa cuadrada? • ¿Cuál es el área de una mesa circular cuyo radio mide N,m? • Compara las áreas de ambas mesas. • ¿Consideras correcto este resultado? • ¿Por qué? 161

Propósito de la actividad. Utilizar sus conocimientos sobre proporcionalidad, áreas y perímetros para resolver un problema que implica el cálculo del área de un círculo. Respuesta. La mesa cuadrada tiene 1 m2 de área; si la mesa circular cuesta la mitad, entonces tiene la mitad del área de la mesa cuadrada; es decir, tiene medio metro cuadrado de área (0.5 m2). Por lo tanto, hay que encontrar un radio para el que se cumpla π × r 2 = 0.5. Esa medida es de 0.4 m aproximadamente.

Posibles procedimientos. Dado que la mesa circular es la mitad del área de la mesa cuadrada y ésta tiene 1 m por lado, algunos alumnos podrían pensar, erróneamente, que el radio de la mesa circular es de 0.5 m. Otros alumnos podrían establecer la relación de manera correcta, pero es poco probable que tengan una forma sistemática de encontrar la medida del radio, por lo que seguramente probarán con una medida y se irán aproximando poco a poco, a través de varios intentos, hasta encontrar el número que multiplicado por sí mismo y por π, dé 0.5 m2 o una medida cercana. 161

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s e c ue n c ia 3 0 Procedimiento 2. Calculamos en centímetros cuadrados el área de la mesa cuadrada, esto es: cm x cm = cm 2 Como el vidrio para la mesa redonda costó la mitad, entonces el área de la mesa redonda es la mitad del área de la mesa cuadrada, es decir:

Respuestas. Procedimiento 1. El resultado no es correcto. Si el radio mide 0.5 m, su área es: π x 0.5 x 0.5 = 0.7854 m2. Pero el área debe ser la mitad del área de la mesa cuadrada, esto es 0.5m2. Procedimiento 2. El área de la mesa cuadrada es de 100 cm x 100 cm = 10 000 cm2. Entonces la mesa redonda tiene un área de 5 000 cm2. Este procedimiento es correcto porque el área de la mesa circular sí es la mitad del área de la mesa cuadrada. El área se calcula con la fórmula π × r2. Una buena aproximación para el número que buscamos es 40 cm: 3.1416 × 40 × 40 = 5 024. Los alumnos pueden continuar buscando con números decimales, una mejor aproximación es 39.9 cm o 39.89 cm. En metros el resultado es 0.4 m o 0.39 m.

Área de la mesa circular = Área mesa cuadrada= 2

cm 2

Como el área de un círculo se calcula con la fórmula: buscamos, con ayuda de la calculadora, un número que multiplicado por sí mismo y después por 3.14 nos dé el área de la mesa circular. Ese número es: • ¿Cuál es el área, en centímetros cuadrados, de una mesa circular cuyo radio tiene esta última medida? • Compara las áreas de ambas mesas. • ¿Consideras correcto este resultado? • ¿Por qué? Comparen y comenten sus respuestas con sus compañeros de grupo. ii. La siguiente figura es un disco compacto. Las áreas anaranjada y blanca se llaman coronas circulares.

1.9 cm

0.75 cm

5.95 cm

162

162

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MATEMÁTICAS

I

Respuestas. a) El área de la corona anaranjada es aproximadamente de 99.83 cm2. Una manera de resolver es la siguiente: se calcula el área total del círculo delimitado por la circunferencia roja y se le resta el área delimitada por la circunferencia azul. La primera circunferencia tiene un área de 11.16 cm2, y la segunda circunferencia tiene un área de 11.33 cm2, entonces al hacer la resta nos da el área de la corona circular anaranjada: 99.83 cm2. Todos los resultados son aproximados, porque estamos tomando un valor aproximado para π igual a 3.14. b) El área de la corona circular blanca es aproximadamente de 9.56 cm2. Se resta el área delimitada por la circunferencia azul, menos el área delimitada por la circunferencia verde: 11.33 – 1.77 = 9.56 cm2.

a) El área de la corona circular anaranjada, que es la parte del disco compacto donde se graba la información, mide: b) El área de la corona circular blanca, que es la protección del disco compacto, mide: c) En su cuaderno escriban cómo obtuvieron el área de ambas coronas circulares. Comparen en grupo los procedimientos de cada equipo y escriban en sus cuadernos un procedimiento general para obtener el área de una corona circular.

Lo que aprendimos 1. ¿Cuánto medirá, aproximadamente, el radio de una ventana circular si el área del vidrio mide 2 827.44 cm2? 2. ¿Cuánto medirá el diámetro de un carrete, como el de la ilustración, si su perímetro es igual a 11 cm? 3. Obtengan el área de la corona circular azul. 4. Calculen el área de la parte sombreada de color verde. El punto verde es el centro del círculo verde y el punto negro es el centro del círculo blanco. 1.25 cm

2.5 cm 0.9 cm

0.9 cm

5. Calcula el área de la parte sombreada en color gris de la siguiente figura. El punto negro es el centro de los círculos. 1.3 cm 1.9 cm

0.6 cm

Para saber más Sobre el área del círculo consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Hernández, Carlos. La geometría en el deporte. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002. Sobre el área del círculo consulta: http://www.interactiva.matem.unam.mx Cuadratura del [Fecha de consulta 23 de agosto de 2007]. RUTA: Secundaria círculo dar clic en el dibujo de un círculo y un cuadrado. Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora, UNAM. 163

Respuestas. 1. El radio mide 30 cm aproximadamente. Se debe buscar un radio que al aplicar la fórmula π × r2, se obtenga 2 827.44 cm2. 2. El diámetro mide 3.5 cm aproximadamente. La fórmula para el perímetro es π × diámetro, entonces debe buscarse el número que multiplicado por π dé 11. 3. El círculo mayor tiene un área aproximada de 4.9 cm2, el círculo menor tiene un área aproximada de 2.54 cm2. Se calcula la diferencia entre ambas áreas para obtener el área de la corona circular azul, que es aproximadamente de 2.36 cm2.

4. El procedimiento es el mismo que el anterior: se debe restar el área del círculo mayor, menos el área del círculo menor. El resultado es: 2.36 cm2. 5. Se necesita calcular el área del círculo de radio 1.3 cm y el área del círculo de radio 0.6 cm. Se restan ambas áreas y el resultado es de 4.17 cm2. Es importante que los alumnos lleguen a establecer que el hecho de mover el círculo interno en las figuras no altera el procedimiento para obtener el área de una corona circular.

Sugerencia didáctica. Una vez que el grupo haya llegado a un acuerdo sobre los procedimientos correctos, pida a los alumnos que intenten describir uno de esos procedimientos en su cuaderno. En general, el procedimiento consiste en calcular el área del círculo mayor y restarle el área del círculo menor. Integrar al portafolios. Considere los ejercicios 4 y 5 para el portafolios de los alumnos. Si identifica que los alumnos tienen dificultades para establecer una estrategia que les permita resolver el problema, revise nuevamente con ellos el problema que resolvieron en la actividad II del apartado Manos a la obra de esta sesión, y comente con ellos cuál es la estrategia general para hallar el área de coronas circulares.

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s e c u e n c i a 31

Propósitos de la sesión. Solucionar problemas sencillos de conversión entre dos tipos de moneda para determinar e interpretar la expresión algebraica o relación funcional asociada al problema. Construir tablas para usar técnicas de proporcionalidad directa en la búsqueda de la expresión algebraica.

Relaciones de proporcionalidad En esta secuencia aprenderás a formular la expresión algebraica que corresponde a la relación entre dos cantidades que son directamente proporcionales. También aprenderás a asociar los significados de las variables en la expresión y = kx, con las cantidades que intervienen en dicha relación. sesión 1

Cambio de moneda

Para empezar Historia de la moneda

Los orígenes de la moneda como forma de pago se remontan al siglo VII antes de Cristo, en la antigua Grecia. La moneda surge como una necesidad de superar las formas de intercambio como el trueque. Para ello, había que darle cierto valor a algo tan pequeño como un simple trozo de metal. La solución fue fabricar la moneda con metales preciosos como el oro y la plata.

Organización del grupo. Hay momentos de trabajo en grupo, de parejas e individual.

Las monedas registran acontecimientos que ocurrieron hace miles de años y hechos que sólo se conocen a través de ellas.

Propósito del video. Contextualizar a lo largo de la historia el problema del cambio de monedas mediante el establecimiento del “tipo de cambio”.

Existen algunos emperadores romanos de los que se conoció su existencia por aparecer en las monedas que ellos mismos mandaron acuñar.

En la secuencia 21 de su libro de Matemáticas I, volumen II resolviste problemas de conversiones o de tipo de cambio del dólar respecto del peso: un dólar equivale a $11.70.1 El tipo de cambio entre la moneda de un país y la de otro es la cantidad de dinero que se recibe por la unidad en el otro tipo de moneda. En la actualidad hay negocios que se dedican a cambiar monedas de un país por monedas de otro. Estos negocios se llaman casas de cambio. En esta sesión aprenderás a realizar conversiones entre la moneda de México y las monedas de distintos países. 1

Tipo de cambio vigente al 24 de noviembre de 2005.

164

Eje Manejo de la información.

Tema Análisis de la información.

Propósitos de la secuencia Formular la expresión algebraica que corresponde a la relación entre dos cantidades que son directamente proporcionales. Asociar los significados de las variables en la expresión y = kx con las cantidades que intervienen en dicha relación.

Sesión

Antecedentes En secuencias anteriores los alumnos han trabajado tanto situaciones de proporcionalidad directa como situaciones en las que deben expresar algebraicamente sucesiones numéricas, relaciones geométricas y entre cantidades que varían. En esta secuencia los alumnos estudiarán la representación algebraica de una variación específica: la proporcionalidad directa.

Título y propósitos de la sesión Cambio de moneda

1

2

Solucionar problemas sencillos de conversión entre dos tipos de moneda para determinar e interpretar la expresión algebraica o relación funcional asociada al problema. Construir tablas para usar técnicas de proporcionalidad directa en la búsqueda de la expresión algebraica.

Recursos Video Historia de la moneda Interactivo “Variación proporcional 6”

Expresiones algebraicas y relaciones de proporcionalidad en distintos contextos Encontrar la expresión algebraica o la relación funcional cuando se aplican sucesivamente dos constantes de proporcionalidad. Una vez encontrada la expresión algebraica, hallar la inversa y notar las similitudes y diferencias entre estas dos expresiones algebraicas.

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MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que la peseta española fue la moneda oficial en ese país hasta 1999. Tras su incorporación a la Unión Europea la moneda oficial es el euro.

Consideremos lo siguiente La tabla 1 muestra algunas conversiones que se hicieron en una casa de cambio con monedas de distintos países respecto del peso mexicano.

Cantidad en la moneda correspondiente

País

Nombre de la moneda

Estados Unidos de América

Dólar estadounidense

España

Peseta española

100

Inglaterra

Libra esterlina

200

Japón

Yen japonés

200

Guatemala

Quetzal guatemalteco

150

Cantidad recibida en pesos mexicanos

10

Posibles procedimientos. Los alumnos pueden utilizar distintas estrategias para hallar los valores que se les piden, por ejemplo, encontrar el valor unitario o hacer una tabla. Permítales utilizar cualquier procedimiento, incluso si es erróneo, más adelante tendrán oportunidad de verificar sus resultados.

117 7.48 3 666 17.8 210

Tabla 1 Vicente fue de viaje a los Estados Unidos de América y a Guatemala. A su regreso, cambió las monedas que le sobraron: 13 dólares estadounidenses y 8 quetzales guatemaltecos.

Respuestas. a) Por un quetzal se reciben 1.40 pesos (se divide 210 entre 150), entonces por 8 quetzales se reciben 11.20 pesos (1.4 por 8). b) Por un dólar americano se reciben 11.70 pesos, por 13 dólares se reciben 152.10 pesos (11.7 por 13).

Contesten las siguientes preguntas: a) ¿Qué cantidad en pesos recibió Vicente por los 8 quetzales guatemaltecos? b) ¿Qué cantidad en pesos recibió Vicente por los 13 dólares estadounidenses?

Manos a la obra I. Completen la siguiente tabla para encontrar la cantidad en pesos que equivale a 8 quetzales guatemaltecos. Cantidad de quetzales guatemaltecos

Cantidad recibida en pesos mexicanos

150

210

70 7

50 5

1.4 11.2

1 8

Tabla 2 165

Propósito del interactivo. Deducir las expresiones algebraicas que corresponden a la relación entre dos cantidades que son directamente proporcionales.

Propósito de la actividad. En el apartado Manos a la obra se privilegia el uso de la constante de proporcionalidad para la resolución del problema, ya que se pretende que el alumno asocie la ecuación de la forma y = kx a una relación de proporcionalidad directa.

Respuestas. Es conveniente que escriban las cantidades con números decimales. Si algunos alumnos ponen indíqueles que lo escriban como 1.4.

tU

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cuántos pesos y cuántos centavos son $1.4, porque es común que piensen que equivale a un peso con cuatro centavos. Explíqueles que un décimo de peso (0.1) es igual a la décima parte, es decir, a 10 centavos, por lo tanto, 0.4 son 40 centavos. Si lo prefieren, pueden escribir $1.40 para no confundirse.

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3

s ec ue nc ia 31 Los quetzales guatemaltecos y los pesos son cantidades directamente proporcionales, ¿cuál es la constante de proporcionalidad que permite multiplicar cualquier cantidad de

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos esta afirmación y pregúnteles: - ¿Qué significa que los quetzales guatemaltecos y los pesos sean cantidades directamente proporcionales? - ¿Ocurrirá lo mismo entre el yen japonés y el peso? - ¿Y entre el yen japonés y la libra esterlina?

quetzales guatemaltecos y encontrar su equivalente en pesos?

ii. Un equipo de otra escuela hizo la siguiente observación: Si llamamos x a la cantidad de quetzales guatemaltecos que se van a cambiar y llamamos y a la cantidad de pesos que se obtienen por el cambio, la siguiente expresión algebraica permite obtener la cantidad y de pesos:

y = 1.4x Comenten:

Sugerencia didáctica. Reconocer la constante de proporcionalidad es muy importante en esta secuencia para poder asociarle a la situación de cambio de moneda (y a otras que involucren relaciones de proporcionalidad directa) la expresión y = kx, por lo que vale la pena dedicarle un tiempo a esta pregunta si los alumnos tienen dificultades.

a) ¿Están de acuerdo con la expresión algebraica que encontraron en el otro grupo? b) Con esta expresión encuentren cuántos pesos obtienen si cambian 8 quetzales. ¿Obtuvieron el mismo resultado que al llenar la tabla? iii. Llamen x a la cantidad de dólares que se van a cambiar y llamen y a la cantidad de pesos que se obtiene por el cambio. ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas permiten obtener y a partir de x? • y=x

• 11.70x = y

Respuesta. La constante de proporcionalidad es 1.4 pesos por cada quetzal guatemalteco.

• 11.70y = x

• x=y

• y = 11.70x • x = 11.70y

Comparen las expresiones que escogieron.

2 Sugerencia didáctica. Permita que se discuta en grupo la expresión algebraica. Para iniciar, puede ser útil plantear a los alumnos algunas preguntas como: ¿Cuál es la constante en la expresión? ¿Es una constante de proporcionalidad o aditiva? ¿Cuáles son las variables? ¿Qué significa 1.4x? ¿Alguien podría leer la expresión? ¿Alguien podría leer la expresión explicando el significado de las variables? (por ejemplo, “la cantidad de pesos y es igual a la cantidad de quetzales guatemaltecos x multiplicada por 1.4”). Sugerencia didáctica. Si sus estrategias anteriores fueron correctas deben obtener el mismo resultado al utilizar la expresión algebraica. Si hay resultados distintos, corríjanlos y averigüen cuál fue el error.

Sugerencia didáctica. Puede ser de utilidad que encuentren la constante de proporcionalidad que permite saber a cuántos pesos equivale cierta cantidad de dólares americanos. Esa constante es 11.7 pesos por cada dólar americano. Respuestas. Hay dos expresiones correctas (11.70x = y y y = 11.70x ). Si hay alumnos que tienen dificultad en reconocerlas puede pedirles que utilicen cada una de las seis expresiones para hallar la cantidad de pesos a los que equivalen , por ejemplo, 5 dólares (tendrían que obtener y = 58.5), para descartar aquellas que son erróneas.

iV. Completen la siguiente tabla para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden a las distintas situaciones de proporcionalidad de la tabla 1. Relación proporcionalidad

Expresión algebraica

Cambio de dólar estadounidense (x) a pesos (y)

y = 11.70x

Cambio de quetzales guatemaltecos (x) a pesos (y)

y = 1.4x

Cambio de libra esterlina (x) a pesos (y) Cambio de peseta española (x) a pesos (y) Cambio de yen japonés (x) a pesos (y)

Tabla 3 166

2 Sugerencia didáctica. Una vez que haya consenso sobre cuáles son las expresiones algebraicas correctas, escríbalas en el pizarrón y pida a los alumnos que las lean en voz alta y que expliquen en qué se parecen y en qué son diferentes. Como resultado de años de práctica con la aritmética, para muchos alumnos el signo igual ( = ) no significa que lo que está a la izquierda del signo sea equivalente a lo de su derecha, sino que lo de la derecha es el resultado de lo de la izquierda, es decir, el signo es unidireccional. Por eso es importante que se comenten casos como éste, en el que las expresiones son idénticas pero el término 11.70x aparece en uno u otro lado del signo igual. Respuestas. Por una libra esterlina obtenemos 18.33 pesos (se divide 3 666 entre 200). Por una peseta obtenemos 0.0748 pesos (se divide 7.48 entre 100). Por un yen obtenemos 0.089 pesos (se divide 17.8 entre 200). Entonces las expresiones algebraicas son: Libra a peso y = 18.33x Peseta a peso y = 0.0748x Yen a peso y = 0.089x Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que a partir de las expresiones algebraicas digan: - Por cuál moneda extranjera (un dólar americano, un quetzal guatemalteco, etc.) dan más pesos al cambio. - Por cada peso, de cuál moneda extranjera puede comprarse una mayor cantidad.

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MATEMÁTICAS

I

Respuestas. a) Es 8.9 pesos por cada dólar canadiense. b) y = 8.9x y son los pesos, x son los dólares canadienses.

A lo que llegamos A las relaciones de proporcionalidad directa les corresponden expresiones algebraicas que permiten encontrar las cantidades multiplicando su correspondiente por la constante de proporcionalidad. Por ejemplo, si la cantidad de dólares estadounidenses que se van a cambiar se representa como x, y la cantidad de pesos que se obtienen se representa como y, entonces la expresión algebraica

Sugerencia didáctica. Diga a los alumnos que investiguen las cotizaciones actualizadas de diversas monedas y realicen varios ejercicios de este tipo: encontrar la constante de proporcionalidad y la expresión algebraica que permiten realizar la conversión de una moneda a otra.

y = 11.70x permite saber la cantidad de pesos (y) que se obtienes al cambiar cierta cantidad de dólares (x). La constante de proporcionalidad en este caso es: 11.70 pesos por cada dólar. Esta expresión es llamada la expresión algebraica que corresponde a la relación de proporcionalidad directa.

Lo que aprendimos 1. Completa la siguiente tabla para encontrar las cantidades de pesos que se obtienen al cambiar distintas cantidades de dólares canadienses.

Cantidad de dólares canadienses

Cantidad recibida en pesos mexicanos

20

178

10

89

1

Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad y valore sus resultados. Si tienen dificultades, realicen más cambios entre monedas, averigüen cuál es la constante de proporcionalidad y escriban sus expresiones algebraicas.

8. 9

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite calcular la cantidad de pesos obtenidos al cambiar dólares canadienses? b) ¿Cuál es la expresión algebraica para calcular la cantidad de pesos obtenidos al cambiar dólares canadienses?

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167

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Propósito de la sesión. Encontrar la expresión algebraica o la relación funcional cuando se aplican sucesivamente dos constantes de proporcionalidad. Una vez encontrada la expresión algebraica, hallar la inversa y notar las similitudes y diferencias entre estas dos expresiones algebraicas.

se c u en c i a 31 sesión 2

Para empezar

En esta sesión continuarás estudiando las expresiones algebraicas correspondientes a las situaciones de proporcionalidad. En la secuencia 16 de tu libro de Matemáticas I, volumen I estudiaste la aplicación sucesiva de constantes de proporcionalidad en el cálculo de amplificaciones de imágenes con los microscopios ópticos compuestos.

Consideremos lo siguiente

Organización del grupo. Se sugiere trabajar en parejas y de manera individual.

En el laboratorio de Ciencias hay algunos microscopios compuestos. Uno de ellos tiene una lente en el objetivo que aumenta 15 veces el tamaño de los objetos. Además, tiene una lente en el ocular que aumenta 10 veces.

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos puedan llenar la tabla con facilidad porque las han utilizado anteriormente en los temas de proporcionalidad. El desafío al que van a enfrentarse en esta actividad consiste en escribir expresiones algebraicas que den cuenta de las relaciones de proporcionalidad implicadas en la situación cuando se componen dos constantes de proporcionalidad. Respuestas. a) El tamaño real se multiplica por 150 para obtener el tamaño final. Si llamamos w al tamaño final, y x al tamaño real, entonces w = 150x. b) El tamaño real ( x ) se multiplica por 15 para pasar al tamaño de la primera lente ( y ). y = 15x c) El tamaño obtenido con la primera lente ( y ) se multiplica por 10 para obtener el de la segunda lente o tamaño final ( w ). w = 10y Recuerde que los alumnos pueden utilizar otras letras.

expresiones algebraiCas y relaCiones de proporCionalidad en distintos Contextos

Llenen la siguiente tabla para encontrar el tamaño con el que se verán las imágenes usando este microscopio.

Tamaño real (micras) Bacteria 1 Espermatozoide humano Cloroplasto Glóbulo rojo Glóbulo blanco

Tamaño obtenido con la primera lente (micras)

3 45 8 120 11 165 12 180 200 3 000

Tamaño final (micras)

450

1 200

1 650

1 800

30 000

Tabla 1 En esta tabla hay varias relaciones de proporcionalidad. En sus cuadernos escriban la expresión algebraica que permite: a) Pasar del tamaño real del objeto al tamaño final. b) Pasar del tamaño real al tamaño obtenido con la primera lente. c) Pasar del tamaño obtenido con la primera lente al tamaño obtenido con la segunda lente. 168

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MATEMÁTICAS

I

Manos a la obra I. En el siguiente diagrama se llama x al tamaño real, y al tamaño obtenido con la primera lente y w al tamaño final visto en el microscopio. Complétenlo: Expresión algebraica para pasar del tamaño real al tamaño obtenido con la primera lente

Expresión algebraica para pasar del tamaño obtenido con la primera lente al tamaño final

w = 10y ____________

y = 15x

Tamaño real:

Tamaño obtenido con la primera lente:

Tamaño final:

Expresión algebraica para pasar del tamaño real al tamaño final

w = 150x _____________

Comparen las fórmulas que obtuvieron en el diagrama y comenten cómo las obtuvieron.

Sugerencia didáctica. Proponga a los alumnos otros ejemplos de microscopios compuestos para que practiquen la escritura de expresiones algebraicas y pídales que averigüen cuál es la constante de proporcionalidad que les permite pasar del tamaño real al tamaño final.

A lo que llegamos Cuando se aplican sucesivamente dos constantes de proporcionalidad se obtienen varias relaciones de proporcionalidad. Para cada una de estas relaciones se puede encontrar una expresión algebraica. Por ejemplo, en un microscopio con lentes de 20 y 30 veces de aumento, si se llama x al tamaño real, y al tamaño obtenido con la primera lente y w al tamaño final, se pueden obtener: • La expresión que permite pasar del tamaño real al tamaño obteniy = 20x do con la primera lente: • La expresión que permite pasar del tamaño obtenido con la primew = 30y ra lente al tamaño obtenido con la segunda lente: • La expresión que permite pasar directamente del tamaño real al tamaño final:

w = 600x La constante de proporcionalidad de la última expresión se obtiene al multiplicar las constantes dadas por los aumentos de las lentes.

169

169

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Respuestas. a) 36 km (18 × 2). b) 90 km (18 × 5). c) La constante de proporcionalidad es 18 km por litro. Si la distancia recorrida ( y ) es igual al consumo de litros de gasolina por 18, entonces la expresión es y = 18x.

se c u en c i a 31 ii. En la secuencia 15 de su libro de Matemáticas i aprendieron que el rendimiento de un automóvil es el número de km recorridos por cada litro de gasolina. Si el rendimiento de un automóvil es de 18 km por litro de gasolina, a) ¿Cuántos km recorrerá ese automóvil con 2 de gasolina?

b) ¿Y con 5 litros de gasolina? c) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite calcular la distancia recorrida para cualquier cantidad de litros de gasolina? Completen la siguiente tabla para saber cuántos litros de gasolina consume el automóvil en las distintas rutas indicadas en la tabla.

Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que pueden utilizarse otras letras, siempre y cuando se indique el significado de cada una. Por ejemplo: d = 18l a = 18b m = 18n

Ruta

Propósito de la actividad. Ahora los alumnos tienen que averiguar cuál es el consumo de gasolina conociendo la distancia recorrida, o sea, se invierte el lugar en el que se encuentra el dato a hallar. En las 3 preguntas anteriores la situación era: A tantos litros de gasolina

Consumo de gasolina ( )

Morelia – Guanajuato

162

9

Ciudad Victoria – Monterrey

288

16

Ciudad de México – Guadalajara

576

32

1 818

101

Aguascalientes – Campeche

Tabla 2 d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el consumo de gasolina a partir de la distancia que se recorre? e) ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta situación de proporciona-

¿Qué distancia se recorre?

lidad?

A lo que llegamos En la relación de proporcionalidad del rendimiento de gasolina encontraron dos expresiones algebraicas: • La que permite calcular los kilómetros que se pueden recorrer con cierta cantidad de litros de gasolina. • La que permite calcular la cantidad de gasolina necesaria para recorrer cierta cantidad de kilómetros.

Como se plantea en la tabla 2 es: A tantos kilómetros recorridos

Distancia recorrida (km)

¿Cuántos litros de gasolina se consumen? 170

Ambos casos son parte de una misma relación de proporcionalidad directa, pero se invierte el conjunto de partida: en el primer caso es el consumo de gasolina y en el segundo la distancia recorrida. Para los alumnos esto implica encontrar 2 constantes de proporcionalidad, una inversa de la otra: 18 km por litro y q Q i de litro por km.

Respuestas. d) Es q Q i de litro de gasolina por cada kilómetro recorrido (se multiplican los kilómetros recorridos por q Q i o se dividen entre 18). e) El consumo de gasolina ( x ) es igual a los kilómetros recorridos ( y ) por q Q i , entonces la expresión es x = q Q i y.

170

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MATEMÁTICAS

I

El siguiente diagrama muestra la relación que existe entre estas dos expresiones: y = 18x

Kilómetros recorridos

Cantidad de litros de gasolina

Recuerden que: Un número y su lirecíproco multip r cados dan 1. Po ejemplo: 6 × P, = 1

x =8,@y

En este caso, las constantes de proporcionalidad son números recíprocos, es decir, la constante de proporcionalidad de la segunda expresión es el recíproco de la constante de proporcionalidad de la primera.

Lo que aprendimos Un microscopio tiene una lente en el objetivo que aumenta 30 veces el tamaño de los objetos y una lente en el ocular que aumenta 20 veces. 1. Encuentra:

Sugerencia didáctica. Copie en el pizarrón el diagrama y analícenlo juntos. Pregunte a los alumnos: - Si se ve la relación que señala la flecha de arriba, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? - ¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa a la anterior (la relación que señala la flecha de abajo)? - ¿Por qué el recuadro afirma que 18 y q Q i son números recíprocos? Si no lo saben, sugiérales que revisen la secuencia 10, sesión 4, en la que vieron el tema de los números recíprocos.

a) La expresión algebraica que permite pasar del tamaño real de un objeto a su tamaño final.

b) La expresión algebraica que permite pasar del tamaño real a su tamaño obtenido con la primera lente.

c) La expresión algebraica que permite pasar del tamaño obtenido con la primera lente al tamaño obtenido con la segunda lente.

2. Hay una célula que con este microscopio se ve de 3 milímetros de tamaño, ¿cuánto mide realmente?

Encuentra la expresión algebraica que permite encontrar el tamaño real de un objeto si se sabe el tamaño final con el que se ve.

Para saber más Sobre el tipo de cambio entre monedas de distintos países consulta: http://www.oanda.com/convert/classic?user=etravetware lang=es [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. 171

Integrar al portafolios. Guarde una copia de las respuestas de cada alumno a las preguntas de este apartado. Si después de revisarlas considera necesario hacer un repaso, vuelvan al apartado Manos a la obra de esta secuencia.

Respuestas. 1. a) Los objetos aumentan 600 veces, así que la expresión es y = 600x (y es el tamaño final y x el tamaño real). b) w = 30x (w es el tamaño obtenido con la primera lente). d) y = 20w 2.

Hay que dividir y p E p = w p Q p de milímetro. Expresado como número decimal es 0.005 milímetros o 5 micras (una micra es 0.001 milímetros). x = y p Q p y (siguiendo la nomenclatura anterior). 171

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Propósito de la sesión. Analizar y construir gráficas de variación directamente proporcional y no proporcional. Comparar gráficas de variación proporcional con otras gráficas.

secuencia 32

Gráficas asociadas a situaciones de proporcionalidad

Organización del grupo. A lo largo de la sesión se sugiere trabajo en equipos, en parejas e individual. Propósito del video. Ejemplificar el uso de gráficas para el análisis y la representación de distintas situaciones problemáticas.

En esta secuencia aprenderás a explicar las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano. sesión 1

Gráficas y sus características

Para empezar Gráficas

Mediante el uso de las gráficas se pueden interpretar y explicar situaciones diversas, por ejemplo: • El crecimiento de la población en determinada región del país en un tiempo dado. • La variación del peso de un bebé a lo largo de cierto tiempo.

1

• El índice de natalidad en un país a través del tiempo.

Eje Manejo de la información.

Tema Representación de la información.

En la secuencia 7 ¿cómo es y dónde está la población? de su libro de Geografía de México y del mundo, volumen I estudiaron la distribución de la población en México. La siguiente es una gráfica que muestra el crecimiento de la población de nuestro país en los últimos 8 años. Crecimiento de la población en los últimos 8 años 104

102 101 100 99 98 97 96 95 1997

1998 1999 2000 2001

2002

2003 2004

Años 172

Propósitos de la secuencia Explicar las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

Sesión

Título y propósitos de la sesión

Recursos

Vínculos

1

Gráficas y sus características Analizar y construir gráficas de variación directamente proporcional y no proporcional. Comparar gráficas de variación proporcional con otras gráficas.

Video Gráficas

Geografía de México y el mundo Secuencia 7

2

Comparación de gráficas Analizar las propiedades de las gráficas asociadas a cantidades directamente proporcionales.

Antecedentes En esta secuencia se parte de los conocimientos con los que ya cuentan los alumnos sobre proporcionalidad directa y su expresión algebraica, para vincularlos con su representación en el plano cartesiano.

A = (2004, 104)

103

Millones de habitantes

Propósito de la actividad. La presentación de esta gráfica tiene como objetivo introducir algunos conceptos (como el nombre de los ejes), y recordar otros (como la localización de un punto mediante ejes de coordenadas y el análisis de la información). Como puede observarse, no presenta una relación de proporcionalidad. Se espera que al incluir gráficas que representan distintos tipos de relaciones entre sus datos, los alumnos noten las diferencias y distingan cuáles gráficas representan relaciones proporcionales.

Interactivo “Variación proporcional y gráficas”

172

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MATEMÁTICAS

I

Para localizar e interpretar los puntos de una gráfica se hace uso de sus coordenadas. Las coordenadas del punto A son (2004,104), esto quiere decir que en el año 2004 había 104 millones de habitantes. En la primera coordenada del punto, llamada abscisa, van los años, y en la segunda coordenada del punto, llamada ordenada, el número de habitantes que hubo en ese año. El punto A tiene como abscisa a 2004 y como ordenada a 104.

Respuestas. a) En el 2002. b) En 1997. c) 1998

De acuerdo con la información de la gráfica, respondan lo siguiente: a) ¿En qué año había 102 millones de habitantes? b) ¿En qué año había 95 millones de habitantes? c) Localicen el punto que tiene ordenada 96. ¿Cuál es su abscisa? ¿A qué año corresponde este punto?

¿Cuántos mi-

llones de habitantes hubo en ese año? d) Completen la siguiente tabla para establecer el número de habitantes que hubo en los años que se indican. Año

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Número de habitantes (en millones)

95 96 98 99 100 102

Sugerencia didáctica. Si los alumnos no conocen la respuesta, pídales que copien la gráfica en su cuaderno añadiendo en el eje de las abscisas los años 2005 y 2006, y suponiendo que el total de habitantes siguiera siendo el mismo que en el 2004, 104 000 000.

103 104

Comenten: ¿Cómo se vería la gráfica si de un año a otro la población no hubiera crecido?

Consideremos lo siguiente A continuación van a construir las gráficas de dos situaciones que han estudiado en este libro. • En la secuencia 27 de su libro de Matemáticas I, Volumen II analizaron que el peso de un bebé durante el primer año de vida aumenta aproximadamente 0.5 kg por mes. Elaboraron una tabla en la que se muestra cómo va cambiando el peso de un bebé mes con mes, hasta cumplido un año de edad, considerando que el bebé al nacer pesó 3 kg. a) En sus cuadernos copien la tabla que completaron en la secuencia 27. b) Con los datos de la tabla terminen la siguiente gráfica: 173

173

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s e c ue n c ia 3 2 Crecimiento del bebé durante sus primeros 6 meses 7.5 7 6.5 6 5.5

Kilogramos

5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5

Respuestas. c) Entre los 8 y 9 meses. d) Entre el primero y segundo mes de edad.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Meses

c) ¿En qué mes el bebé pesó 7.2 kg? d) ¿En qué mes el bebé pesó 3.6 kg? • Las compañías fabricantes de automóviles hacen pruebas de velocidad a sus autos para verificar sus motores, frenos y sistemas de suspensión. Entre otras cosas, deben verificar que las velocidades a las que pueden viajar se mantengan constantes durante recorridos largos. En la secuencia 6 de su libro de Matemáticas I, volumen I hicieron una tabla de la velocidad promedio de un automóvil. Supongan que, viajando en carretera, un automóvil va a 120 km por hora en promedio.

Sugerencia didáctica. Si los alumnos no recuerdan cómo multiplicar números fraccionarios, pídales que revisen la secuencia 10. También podrían averiguar a cuántos minutos equivale wQ y eQ de hora, así sólo tendrían que multiplicar números naturales.

a) Completen la siguiente tabla para encontrar las distancias recorridas. Tiempo de viaje (en horas)

Kilómetros recorridos

1

120

2

240

3N,

420

4

K,

504

5

<,

640

6

720

174

174

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MATEMÁTICAS

I

Respuestas. c) 20 km es la sexta parte de 120 km, así que los recorre en yQ de hora o 10 minutos. d) 20 minutos (el doble que lo que se tarda en recorrer 20 km).

b) Con los datos de la tabla anterior, completen la siguiente gráfica. 6 5 <,

Tiempo (en horas)

4 K, 3 N,

2

3

(240, 2)

1

Sugerencia didáctica. Organice un intercambio de ideas sobre esta pregunta. Trace en el pizarrón o en cartulina la gráfica correspondiente a la situación del peso del bebé y pregunte si es o no proporcional y pida que le expliquen por qué. Luego, haga lo mismo con la del automóvil. Compárenlas y pregunte a los alumnos qué es igual y qué es distinto en una con respecto de la otra. Si no llegan a un acuerdo, permítales seguir resolviendo la sesión, más adelante tendrán oportunidad de comentarlo.

(120, 1)

0

120

240

420

504

640 720

Distancia (en kilómetros)

c) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer el automóvil 20 km? d) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer el automóvil 40 km? Respondan: ¿Cuál de las dos gráficas que acaban de construir, la del peso del bebé y la de la velocidad promedio del automóvil, corresponde a una situación de proporcionalidad?

Comparen sus respuestas y sus gráficas.

Manos a la obra I. Contesten las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto pesó el bebé a los dos meses de nacido? b) ¿Cuánto pesó a los cuatro meses? c) A los 6 meses el bebé pesó 6 km. ¿Cuánto pesó a los 12 meses? 175

Respuestas. Si el peso del bebé es y y la edad x, se puede hallar el peso del bebé con la ecuación y = 0.5x + 3. a) 4 kg. b) 5 kg. c) 9 kg.

Sugerencia didáctica. Comenten en el grupo su respuesta al inciso c). Posiblemente algunos alumnos respondieron que el bebé pesa 12 kg a los 12 meses, pero eso es incorrecto porque no es una relación de proporcionalidad directa. Si existe confusión, recurra a lo que los alumnos aprendieron en otras secuencias. Saben que en las relaciones proporcionales hay una constante de proporcionalidad, pregúnteles si en esta situación es posible hallarla.

Propósito de la pregunta. Es importante que los alumnos analicen en las gráficas qué caracteriza a una relación de proporcionalidad directa. Aunque la gráfica del peso del bebé da la impresión de ser directamente proporcional (porque cada mes aumenta 0.5 kg), cuando el bebé nace (tiene 0 meses) ya pesa 3 kg, por lo que la recta no pasa por el punto 0,0. En cambio, en la situación del automóvil a 0 horas de viaje corresponden 0 km de recorrido y la recta sí pasa por el punto 0,0.

175

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s e c ue n c ia 3 2 ii. Completen la siguiente tabla para encontrar el número de kilómetros recorridos en las distintas fracciones de tiempo que se indican: Tiempo de viaje (hs)

Respuestas. a) yQ de hora son 10 minutos. b) Sí, 0 minutos. c) 0 km.

Kilómetros recorridos

1

120

N,

60

<,

40

I,

30

K,

24

P,

20

Comenten: a) ¿En qué fracción de tiempo se recorren 20 km?, ¿a cuántos minutos es equivalente esta fracción de tiempo? b) ¿Hay un tiempo para el cual el automóvil recorre 0 km? c) ¿Cuántos kilómetros se recorren en cero minutos?

A lo que llegamos • Las gráficas son de mucha utilidad para representar diversas situaciones que se quieran estudiar. Por ejemplo, la gráfica de la velocidad constante del automóvil es una gráfica de proporcionalidad directa, porque la distancia recorrida por el automóvil y el tiempo que tarda en recorrerla son cantidades directamente proporcionales.

Sugerencia didáctica. Después de leer esta información, pídales que regresen a la última pregunta del apartado Consideremos lo siguiente y corrijan si es necesario.

• En las situaciones de proporcionalidad el punto (0,0) es parte de la gráfica (en 0 horas se recorren 0 km). Esto siempre sucede en las gráficas que representan relaciones de proporcionalidad.

176

176

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MATEMÁTICAS

I

Integrar al portafolios. Revise las gráficas y las respuestas de los alumnos. Si nota dificultades, pídales que regresen al apartado Manos a la obra.

Lo que aprendimos 1. En la secuencia 31 de su libro de Matemáticas I encontraron que la expresión algebraica.

y = 11.70x Permite encontrar la cantidad de pesos (y) que se obtienen al cambiar distintas cantidades de dólares (x).

Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades para trazar la gráfica puede darles algunas sugerencias, como: - Primero hay que precisar qué información se pone en cada eje (por ejemplo, en el eje de las abscisas poner la cantidad de pesos). - Luego hay que definir una escala conveniente para cada uno de los ejes.

En su cuaderno hagan la gráfica que corresponde a esta situación de proporcionalidad y contesten: a) Si x = 0, ¿cuánto vale la y? b) Si x = 10, ¿cuánto vale y? c) Si x = 30, ¿cuánto vale y?

comparación de Gráficas

sesión 2

Para empezar

En la secuencia 6 del libro de Matemáticas I, volumen I estudiaste las propiedades de las cantidades directamente proporcionales y aprendiste que la cantidad de pintura es proporcional a su precio.

Consideremos lo siguiente Completen la tabla 1 para determinar los costos de varias cantidades de pintura azul y, en su cuaderno, hagan una gráfica correspondiente.

Cantidad de pintura azul (ml)

Respuestas. a) 0 b) 117 c) 351

Costo de la pintura ($)

500

50

100

10

80

800

Propósitos de la sesión. Analizar las propiedades de las gráficas asociadas a cantidades directamente proporcionales.

20

200

0

0

40

400

100

1 000

Organización del grupo. Se sugiere trabajar en parejas, y en el último apartado de manera individual.

Tabla 1 a) ¿Qué cantidad de pintura se compra con $5? b) ¿Qué cantidad de pintura se compra con $3?

Propósito de la actividad. Se espera que para los alumnos no sea difícil el llenado de la tabla porque lo han hecho anteriormente. Ahora el reto consiste en que, a partir de los datos de la tabla, elaboren una gráfica y la analicen para hallar otros datos (como la cantidad de pintura que se compra con $3).

177

Cambio de dólares americanos a pesos

450 400

Cantidad de pesos

350 300

Respuestas. a) 150 ml. b) 30 ml.

250 200 150 100 50 0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Cantidad de dólares americanos 177

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s e c ue n c ia 3 2

Manos a la obra

Propósito del interactivo. Relacionar la expresión algebraica que corresponde a la relación entre 2 cantidades que son directamente proporcionales con su representación gráfica y tabular.

i. En un equipo de otra escuela hicieron lo siguiente para construir la gráfica asociada a la tabla 1. Primero determinaron dos puntos a graficar. a = (500 ml, $50) B = (100 ml, $10) Luego localizaron los puntos a y B en el plano cartesiano. Finalmente, dijeron que como la gráfica era de proporcionalidad, entonces bastaba unir el punto a con el punto B y prolongar la recta que une a estos puntos y así obtener la gráfica asociada a la tabla 1.

Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos sepan que la representación gráfica de una relación de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el origen, y que todos los valores asociados a dicha relación están en esa recta. Por ello, cuando se conocen 2 puntos se puede trazar la recta y afirmar que en ella estarán todos los demás valores.

En el siguiente espacio hagan el procedimiento que hizo el equipo de la otra escuela. 105 100 95 90 85

Precio de la pintura azul ($)

80 75 70 65 60 55 50

A = (500 ml, $50)

45 40 35 30 25 20 15 10 5 100

3

200

300

400

500

600

700

800

900

Cantidad de la pintura azul (ml)

Sugerencia didáctica. Permítales discutir este punto. Si no están seguros de que el procedimiento de la otra escuela es correcto, sigan resolviendo la sesión, luego podrán aclararlo.

Comenten: ¿Están de acuerdo con el procedimiento que hicieron en la otra escuela? ¿Por qué? Con los datos de la tabla 1 completen los siguientes datos para determinar algunos puntos más que pertenecen a la gráfica.

A = (500 ml, $50) E = (0 ml, $

B = (100 ml, $10) )

F = (400 ml, $

C = (800 ml, $ )

G = (1000 ml, $

)

D = (200 ml, $

)

)

Tabla 2 178

178

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8/25/07 3:45:17 PM


MATEMÁTICAS

I

Respuestas. Todos los puntos deben quedar sobre la recta.

En la gráfica que completaron anteriormente localicen y dibujen los puntos de la tabla 2. ¿Cuáles de los puntos que dibujaron pertenecen a la gráfica?

Sugerencia didáctica. Los alumnos ya tienen experiencia en el llenado de tablas de proporcionalidad directa. Antes de que empiecen a llenarlas, pregúnteles qué procedimiento les parece más económico en este caso y por qué: hallar el valor unitario, multiplicar por la constante de proporcionalidad, calcular el costo de 100 ml y a partir de éste los demás, u otros.

II. Completen las siguientes tablas, en las que vienen los precios de algunas cantidades de pintura amarilla y pintura verde. Cantidad de pintura amarilla (ml) 500 100 800 200 0 400

Costo de la pintura ($)

Cantidad de pintura verde (ml)

60

Costo de la pintura ($)

500

12 96 24 0 48

65

13 104 26 0 52

100 800 200 0 400

Tabla 3 y 4 En el siguiente espacio hagan la gráfica asociada a las cantidades de pintura amarilla y su precio.

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos hagan más gráficas de proporcionalidad directa y que constaten que siempre van a obtener rectas que pasan por el origen. También se espera que las comparen para obtener otras informaciones (como lo que significa la mayor o menor inclinación de la recta en este caso).

105 100 95 90

Precio de la pintura amarilla ($)

85 80 75 70 65 60

A = (500 ml, $60)

55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 100

200

300

400

500

600

700

800

900

Cantidad de la pintura amarilla (ml)

179

179

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8/25/07 3:45:20 PM


secu encia 32 105

En el siguiente espacio hagan la grรกfica asociada a las cantidades de pintura verde y su precio.

100 95 90

Precio de la pintura verde ($)

85 80 75 70 65

A = (500 ml, $65)

60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 100

200

300

400

500

600

700

800

900

Cantidad de la pintura verde (ml)

iii. En el siguiente espacio dibujen las grรกficas correspondientes a la tabla 1, la tabla 3 y la tabla 4 (usen el color azul para la 1, el amarillo para la 3 y el verde claro para la 4). 105 100 95 90 85 80

Precio de la pintura ($)

75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 100

200

300

400

500

600

700

800

900

Cantidad de la pintura (ml) 180

180

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8/25/07 3:45:23 PM


MATEMÁTICAS

I

Respuestas. La recta que representa a la pintura más cara estará por encima de las otras dos. a) La recta verde va por encima de la azul. b) La recta verde va por encima de la amarilla.

IV. Comenten lo siguiente: a) El litro de pintura verde cuesta más que el litro de pintura azul. ¿Cómo se refleja esto en la gráfica que completaron anteriormente? b) El costo del litro de pintura verde es mayor que el costo de pintura amarilla. ¿Cómo se refleja esto en la gráfica que completaron anteriormente?

A lo que llegamos Una situación en la que estén involucradas cantidades directamente proporcionales (por ejemplo, la cantidad de pintura azul y su costo) tiene asociada una gráfica con dos características particulares:

Integrar al portafolios. Analice las respuestas de los alumnos y sus gráficas. Si lo considera necesario, revisen juntos el apartado Manos a la obra de esta sesión.

• Son puntos que están sobre una línea recta. • Pasan por el origen, es decir, por el punto (0,0). De la comparación de gráficas puede obtenerse información sobre la relación de proporcionalidad. Por ejemplo, la gráfica de la pintura azul se encuentra entre la de la pintura verde claro y el eje horizontal. La interpretación de este hecho es que la pintura verde claro es más cara que la pintura azul, pues 500 ml de pintura verde claro cuestan $65, mientras que 500 ml de pintura azul cuestan $50.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que hagan esta gráfica sobre la de los dólares americanos que hicieron al final de la sesión 1.

Lo que aprendimos En la secuencia 31 de su libro de Matemáticas I encontraron que la expresión algebraica

y = 8.9x

Respuestas. Para elaborar la gráfica necesitan hallar al menos 2 puntos, por lo que deben encontrar otros valores de y. a) 0 b) Todos.

permite encontrar la cantidad de pesos (y) que se obtienen al cambiar distintas cantidades de dólares canadienses (x). 1. En sus cuadernos grafiquen esta situación de proporcionalidad y contesta: a) Si y = 0, ¿cuánto vale x? b) ¿Cuáles puntos de la gráfica están sobre una línea recta? 2. Comparen la gráfica anterior con la gráfica correspondiente a la expresión y = 11.70 x, que permite encontrar la cantidad de pesos que se obtienen al cambiar dólares americanos.

Respuestas. La gráfica correspondiente a los dólares americanos va por arriba de la de los dólares canadienses porque obtenemos más pesos al cambiar dólares americanos que dólares canadienses.

a) ¿Cuál de las dos gráficas queda entre el eje horizontal y la otra gráfica? ¿Cómo interpretan esto? Comparen sus respuestas.

Para saber más Sobre el crecimiento de la población en el país consulten: http://www.cideiber.com/infopaises/Mexico/Mexico-02-01.html [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. 181

450

Cambio de dólares americanos y canadienses a pesos

400

Cantidad de pesos

350 300 250 200 150 100 50 0

0

10

Cantidad de pesos por dólares canadienses

20

30

40

Cantidad de dólares

Cantidad de pesos por dólares americanos

181

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8/25/07 3:45:26 PM


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8/25/07 3:14:25 PM


BLOQUE   5

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8/25/07 3:14:28 PM


secuencia 33

Cuentas de números con signo Propósito de la sesión. Resolver problemas de suma de números con signo mediante procedimientos informales. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas y que el apartado Lo que aprendimos se resuelva de manera individual.

En esta secuencia utilizarás procedimientos informales y algorítmicos de adición y sustracción de números con signo en diversas situaciones. sEsión 1

Los átomos Una de las inquietudes más antiguas del hombre ha sido la de conocer de qué tipo de sustancias están hechas las cosas. Si bien se necesitaron muchos años de estudio para responder esta pregunta, ahora se sabe que toda sustancia está hecha de materia, que a su vez está formada por átomos. Asimismo, los átomos están compuestos por varios tipos de partículas, entre las que destacan las siguientes tres:

Sugerencia didáctica. Con esta información se presenta el contexto a partir del cual se explicarán las operaciones de números con signo. Usted puede darles tiempo para leer el texto y después comentarlo con todo el grupo. Algunas preguntas que pueden ayudar a los alumnos a recuperar la información más relevante, son: ¿qué partículas componen a los átomos y cuál es la carga de cada una de ellas? ¿Cómo se obtiene la carga total de un átomo? ¿Cómo se obtiene una carga 0?. Propósito del video. Presentar los diferentes tipos de partículas y cargas que constituyen un átomo.

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema Significado y uso de las operaciones.

Antecedentes En la secuencia 25 los alumnos aprendieron a plantear y resolver problemas que implican números con signo. Identificaron el valor absoluto de los números así como el simétrico de un número. En esta secuencia resolverán problemas de suma y resta de números con signo utilizando tanto procedimientos informales como los algoritmos.

LOs átOmOs

Para empezar

Los neutrones. No tienen carga eléctrica o su carga es nula, y forman parte del núcleo del átomo. La carga de un neutrón es 0. Los protones. Tienen carga eléctrica positiva y, junto con los neutrones, constituyen el núcleo del átomo. La carga de un protón es +1. Los electrones. Tienen carga eléctrica negativa y giran alrededor del núcleo del átomo. La carga de un electrón es −1.

+1

Protones

0 +1 Neutrones

0

+1

0

+1

Electrones

0

0

+1

0

-1

+1

0

+1 0

La carga total de un átomo depende del número de protones (cargas positivas) y de electrones (cargas negativas) que lo componen. Al juntar un protón y un electrón se obtiene una carga 0, ya que la carga positiva del protón se cancela con la carga negativa del electrón. Así, la carga total de un átomo es el número de protones o electrones que resultan después de haber hecho todas las cancelaciones posibles. 184

Propósitos de la secuencia Utilizar procedimientos informales y algoritmos de adición y sustracción de números con signo en diversas situaciones.

Sesión

Título y propósitos de la sesión

Recursos

1

Los átomos Resolver problemas de suma de números con signo mediante procedimientos informales.

Video Los átomos Interactivo “Los átomos 1”

2

Sumas de números con signo Resolver problemas de suma de números con signo mediante procedimientos convencionales. Sumar números decimales y fraccionarios con signo.

Interactivo “Los átomos 2”

3

Restas de números con signo Resolver problemas de resta de números con signo. Restar números decimales y fraccionarios con signo.

Interactivo “Los átomos 3”

4

De todo un poco Aplicar lo aprendido en la resolución de problemas de suma y resta de números con signo.

184

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8/25/07 3:14:33 PM


MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. Pregunte al grupo por qué se afirma que estos 2 átomos tienen carga total +1.

Por ejemplo, los átomos A y B de la siguiente figura son distintos, pero ambos tienen carga total +1: ÁTOMO A

ÁTOMO B

Protones

Propósito de la actividad. Que los alumnos apliquen el procedimiento para obtener la carga total de cada átomo haciendo las cancelaciones −de protones o de neutrones− necesarias.

Electrones

Consideremos lo siguiente Completen la siguiente tabla para calcular la carga total de distintos átomos:

Átomo

Partículas

Carga total

A

+2

B

+2

C

0

D

−1

I

+2

E

−1

F

−3

G

0

H

+3

Comparen sus tablas y comenten: Aparte de los átomos con carga +2 que aparecen en la tabla, ¿habrá otros átomos que tengan carga +2? Dibújenlos. 185

Sugerencia didáctica. Una vez que todo el grupo esté de acuerdo con el resultado, pida a cada pareja que proponga un ejemplo de átomos con carga +2 distintos a los de la tabla. Solicite a 2 o 3 parejas que pasen al pizarrón a dibujar sus ejemplos. En todos los casos debe haber 2 protones más que el número de electrones.

185

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8/25/07 3:14:36 PM


s e c ue n c ia 3 3

Manos a la obra i. En un equipo de otra escuela dijeron que los átomos A, B, I y H tienen carga total +2. Explicaron lo siguiente: La carga total del átomo A se puede obtener cancelando los pares protón-electrón que tiene:

+2 Cancelen los pares protón-electrón en los átomos B, I y H y verifiquen si tienen carga total +2.

Respuesta. El átomo H tiene carga total +3, los demás sí tienen carga total +2.

Comenten: ¿Tienen carga total +2 los átomos A, B, I y H? a) En la tabla hay dos átomos con carga total −1, ¿cuáles son?

y

Verifiquen las cargas cancelando pares protón-electrón. b) En la tabla, ¿cuáles átomos tienen carga 0?

Respuesta. En los átomos que dibujen debe haber 3 electrones más que los protones.

ii. El átomo F tiene carga total −3. Dibujen dos átomos más con carga −3.

Sugerencia didáctica. En caso de que casi todos hayan dibujado el mismo átomo, pida al grupo que encuentren otros dos átomos con carga total de −3.

Comparen sus átomos y comenten: a) ¿Cuántos átomos distintos, pero con carga −3, encontraron en el grupo?, ¿cuántos protones y cuántos electrones tienen? b) En todos los átomos que encontraron hay más cargas negativas que positivas; ¿cuántas cargas negativas más hay que cargas positivas en cada átomo?

A lo que llegamos Un átomo tiene: • Carga positiva, si tiene más protones que electrones. • Carga negativa, si tiene más electrones que protones. La carga total de un átomo es independiente del número de cargas 0 (neutrones) que tenga, ya que no aportan a la carga total. 186

186

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8/25/07 3:14:39 PM


MATEMÁTICAS

I

Respuesta. En el primer átomo hay que agregar 4 electrones. En el segundo átomo hay que agregar 2 protones.

III. Completen con los protones o electrones necesarios para que los siguientes átomos tengan carga total 0. ÁTOMO A

ÁTOMO B

a) ¿Cuántos protones tiene el átomo A?

Respuestas. a) Tiene 4 protones, deben agregarse 4 electrones para que la carga total sea 0. b) Tiene 2 electrones, deben agregarse 2 protones. c) Tiene 25 electrones.

¿Y cuántos electro-

nes debe tener para que tenga carga total 0? b) ¿Cuántos electrones tiene el átomo B?

¿Y cuántos protones

debe tener para que tenga carga total 0? c) Si un átomo tiene carga total 0 y se sabe que tiene 25 protones, ¿cuántos electrones tiene?

Sugerencia didáctica. Lea junto con los alumnos esta información y pídales que busquen en la tabla del apartado Consideremos lo siguiente ejemplos de lo que aquí se afirma.

A lo que llegamos Un átomo tiene carga 0 si tiene el mismo número de protones que de electrones, ya que la carga positiva de cada protón se anula con la carga negativa de cada electrón. IV. El valor absoluto de la carga de un átomo es el número total de cargas que tiene, es decir, es el número de protones o electrones que quedan después de cancelar las parejas protón-electrón.

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, revise nuevamente con los alumnos la información de la secuencia 25, en la que se explica el valor absoluto de un número. Antes de que las parejas completen la tabla, usted puede resolver junto con todo el grupo el primer renglón, para que a todos les quede clara la distinción entre la carga total y el valor absoluto.

a) Encuentren el valor absoluto de las cargas de los siguientes átomos: Partículas del átomo

Carga total

Valor absoluto de la carga total

+ 2

2

0

0

− 1

1

+ 5

5

+ 1

1

187

Propósito del interactivo. Explorar el modelo de átomos para sumar y restar números con signo.

187

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8/25/07 3:14:42 PM


Respuesta. Las partículas que dibujen los alumnos pueden tener carga positiva o negativa.

s e c ue n c ia 3 3 b) Dibujen en cada uno de los rectángulos un átomo que tenga el valor absoluto de la carga que se indica.

Partículas del átomo

Valor absoluto de la carga total

4

7

Sugerencia didáctica. Usted puede pedir a algunas parejas que pongan en el pizarrón un ejemplo de cada tipo: uno con carga total negativa y otro con carga total positiva.

0

Comparen sus átomos.

Respuestas. - En los átomos de la primera fila de la tabla se agregan 3 protones al primer átomo y 4 protones al segundo átomo.

Lo que aprendimos 1. Completa con los protones o electrones necesarios para que la carga de los átomos siguientes sea +3.

- En los átomos de la segunda fila se agregan 2 protones al primer átomo y 2 protones al segundo. Propósito del interactivo. Explorar el modelo de átomos para sumar y restar números con signo.

En todos los átomos que encontraste hay más cargas positivas que negativas, ¿cuántas cargas positivas más hay?

188

188

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8/25/07 3:14:45 PM


MATEMÁTICAS

I

Respuestas. En todos los átomos que dibujen debe haber 2 electrones más que los protones. a) 2 cargas negativas más. b) 2

2. Encuentra cuatro átomos distintos en los que la carga sea −2.

Propósito de la sesión. Resolver problemas de suma de números con signo mediante procedimientos convencionales. Sumar números decimales y fraccionarios con signo.

a) En todos los átomos que encontraste hay más cargas negativas que positivas, ¿cuántas cargas negativas más hay? b) ¿Cuál es el valor absoluto de la carga de estos átomos?

sUmas dE númErOs cOn signO

Para empezar

sEsión 2

El proceso mediante el cual se agregan o se quitan cargas de un átomo se llama ionización. En esta sesión agregarás protones y electrones a algunos átomos y aprenderás a encontrar la carga final mediante la suma de números con signo.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen organizados en parejas, y que el apartado Lo que aprendimos lo resuelvan de manera individual.

Consideremos lo siguiente a) ¿Cuál es la carga final de un átomo que tiene originalmente carga total +3 y se le

Respuesta. +1

agregan 2 electrones? Pueden usar círculos azules y anaranjados para representar las partículas del átomo. b) Esta ionización se puede representar mediante una suma de números con signo: Se agregan partículas (+3)

+

Carga original del átomo

(−2)

Sugerencia didáctica. Si todos los alumnos, o casi todos, dibujaron el mismo átomo, pida al grupo que encuentren 2 ejemplos más con carga +3. Usted puede analizar con los alumnos qué pasa en cada caso si se agregan 2 electrones.

Carga de los 2 electrones

¿Cuál es el resultado de esta suma? (+3)

+

(−2) =

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cuántos átomos distintos con carga +3 dibujaron en el grupo para hacer la suma?

189

189

MAT1 B5 S33 maestro.indd 189

8/25/07 3:14:48 PM


s e c ue n c ia 3 3

Manos a la obra

Respuesta. En los 3 casos deberá haber una carga final igual a +1.

i. En la siguiente tabla se han dibujado distintos átomos con carga +3. Usando estos átomos encuentren la carga final cuando se le agregan 2 electrones.

Propósito del interactivo. Explorar el modelo de átomos para sumar y restar números con signo.

Sugerencia didáctica. Enfatice con sus alumnos que el valor de la suma que se indica no cambia: si tenemos un átomo con carga total igual a +3 y se agregan 2 electrones, la carga total es igual a +1.

(+3)

=

+

=

+

=

+

(−2)

=

Comparen sus tablas. Comenten: ¿Cambia el valor de la suma (+ 3) + (−2) si cambia el número de protones y electrones del átomo de carga + 3? ii. En sus cuadernos, representen la siguiente ionización usando círculos azules y anaranjados para las cargas:

Respuesta. Tiene carga total igual a −3.

A un átomo que tiene originalmente carga total + 5 se le agregan 8 electrones, ¿cuál es la carga que tiene finalmente este átomo? Comparen sus respuestas y comenten:

Sugerencia didáctica. Si todos, o casi todos, dibujaron el mismo átomo, usted puede pedirle al grupo que encuentren otros 2 ejemplos con carga total igual a +5. A esos ejemplos deben agregar 8 electrones y ver cuál es su carga total al hacer esto.

a) ¿Cuántos átomos distintos con carga + 5 dibujaron en el grupo para hacer la suma? b) ¿Cambia el valor de la suma (+ 5) + (−8) si cambia el número de pares protón-electrón del átomo de carga + 5? iii. Hagan las siguientes sumas de números con signo. Pueden representar las cargas usando círculos azules y anaranjados.

Respuesta. Inciso b), no cambia. Respuestas: a) −8

+

a) (−9) + (+1) =

b) (+ 4) + (−2) =

c) (−5) + (−9) =

d) (− 6) + (+ 6) =

e) (+ 3) + (+2) =

f)

g) (+25) + (−33) =

h) (-24) + (−17) =

(+ 8) + (−8) =

190

b) +2 c) −14 d) 0 e) +5 f) 0 g) −8 h) −41

190

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8/25/07 3:14:51 PM


MATEMÁTICAS

I

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cómo hicieron la suma (+25) + (−33)?, ¿dibujaron todas las partículas?

A lo que llegamos Las cargas simétricas o números simétricos tienen el mismo valor absoluto y están a la misma distancia del cero en la recta numérica. Por ejemplo: +6 y –6 son simétricos. Estos números al sumarse dan cero, es decir: (–6) + (+6) = (+6) + (–6) = 0 IV. La suma (+100) + (−123) representa la siguiente ionización: a un átomo de carga +100 se le agregan 123 electrones. ¿Cómo harían la suma sin dibujar las partículas? A continuación se presenta una manera de hacerlo: a) Un átomo con carga total +100 tiene más protones que electrones, ¿cuántos protones más tiene? b) Al hacer la ionización, estos 100 protones del átomo se cancelan con 100 de los electrones que se le agregan. ¿Cuántos electrones quedan? c) ¿Cuánto es (+100) + (−123)? V. Resuelvan las siguientes sumas de números con signo. No usen dibujos. a) (+105) + (+10) =

b) ( −110) + ( −150) =

c) ( −230) + (+525) =

d) (+125) + ( −125) =

Sugerencia didáctica. Lo importante de esta actividad es que se realice sin recurrir al dibujo de las partículas de los átomos. Si usted lo considera conveniente puede poner algunos otros ejercicios.

A lo que llegamos • Para sumar dos números del mismo signo se pueden sumar los valores absolutos de los números y el signo del resultado es el signo de los números que se suman. Por ejemplo, para sumar +3 con +2:

+3 + +2 = 3 + 2 = 5

y el signo del resultado es "+":

(+3) + (+2) = +5

Para sumar −5 con −9: se suma −5 con −9 :

−5 + −9 = 5 + 9 = 14

y el signo del resultado es "−": (−5) + (−9) = −14

191

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con sus alumnos. Recuérdeles la notación que se utiliza para indicar el valor absoluto de un número (lo vieron en la secuencia 25). Es importante considerar que la forma en que se desarrolla cada uno de los ejemplos que se presentan en este apartado tiene la finalidad de explicar el procedimiento para sumar números con signo. No se espera que los alumnos tengan que hacer todo el desarrollo cuando resuelvan las sumas, sino que apliquen las reglas que ahí se utilizan.

Sugerencia didáctica. Es importante que se revisen las respuestas entre todos. Si usted lo considera conveniente, puede pedir que hagan algunos ejercicios más, pero ahora sin dibujar los átomos. No hay que perder de vista que el propósito es que los alumnos manejen correctamente las operaciones con números con signo, sin necesidad de estar dibujando los átomos cada vez. Respuestas. a) Tiene 100 protones más. b) Quedan 23 electrones. c) Es −23.

Comenten sus resultados y sus procedimientos.

se suma +3 con +2 :

Respuesta. No es necesario dibujar todas las partículas: 25 protones se cancelan con 25 electrones. Quedan 8 electrones, por lo que el valor de la carga total es −8.

Respuestas. a) +115 b) −260 c) +295 d) 0

Pida a los alumnos que copien en sus cuadernos las 2 reglas para sumar números con signo, y que propongan otros ejemplos en los que se utilicen estas reglas.

191

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8/25/07 3:14:54 PM


s e c ue n c ia 3 3 • Para sumar dos números de signos distintos se puede encontrar la diferencia de los valores absolutos de los números y el signo del resultado es el signo del número de mayor valor absoluto. Por ejemplo, para sumar +3 con −2: se encuentra la diferencia de +3 y –2 ; es decir, +3 − −2 = 3 − 2 = 1 (+3) + (−2) = +1

y el signo del resultado es "+": Para sumar −9 con +1:

se encuentra la diferencia de −9 y +1 ; es decir, −9 − +1 = 9 − 1 = 8 (−9) + (+1) = −8

y el signo del resultado es "−":

Respuestas.

Vi. Los átomos no son útiles para representar números decimales ni fraccionarios, porque los electrones y los protones sólo tienen cargas −1 y +1. Sin embargo, para sumar números decimales y números fraccionarios con signo se pueden usar las dos reglas que acaban de aprender.

a) Ambos números son negativos. Se suman y el resultado es negativo: −3.

Hagan las siguientes sumas usando las reglas anteriores:

b) rQ,

a) (−1.3) + ( −1.7) = Recuerden que

+ rE

rW

−1.7 = 1.7

¿Cuánto es + I, ?

− rW

¿Cuánto es − I ?

c) −10.5

Encuentren la siguiente diferencia:

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que digan cuál de las reglas utilizaron en cada caso. Respuesta. Puede dibujarse un electrón y q E p de electrón, a esto se le agrega un electrón y q U p de electrón. El resultado son 3 electrones. El resultado de sumar (−1.3) + (−1.7) es −3.

−1.3 = 1.3 y que

b) Contesten las siguientes preguntas: