Pat1 ครูแกนนำภาคอีสาน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 1 กําหนดการเชิงเสน (ม.6) 1. บริษัทผลิตโทรศัพทแหงหนึ่งไดผลิตโทรศัพทรุนใหมออกมา 2 รุน คือ รุน P1 และ P2 โดยที่รุน P1 จะขายไดกําไร เครื่องละ 1,000 บาท และรุน P2 จะขายไดกําไรเครื่องละ 500 บาท ในแตละวันบริษัทตั้งใจจะผลิตโทรศัพทรุน P1 ไมนอยกวา 80 เครื่อง และผลิต รุน P2 ระหวาง 50 ถึง 100 เครื่อง ถาบริษัทมีความสามารถในการผลิตโทรศัพททั้ง 2 รุนรวมกันในแตละวันไมเกิน 150 เครื่อง แลวบริษัทจะไดกําไรสูงสุดจากการผลิตโทรศัพททั้ง 2 รุน เปนจํานวนเงินเทา กับขอใด (ตุลา 41) 1. 105,000 บาท 2. 115,000 บาท 3. 125,000 บาท 4. 130,000 บาท 2. กําหนดสมการจุดประสงค P = 7 x + 5 y โดยมีอสมการขอจํากัด ดังนี้ 2 x + y ≥ 40 , 2 x + 3 y ≤ 60 , 0 ≤ x ≤ 24 , y ≥ 0 ถา (a , b) เปนจุดมุมที่ไดจาก อสมการขอจํากัด และใหคา P นอยที่สุด แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 42) 1. 20 2. 24 3. 25 4. 28 3. โรงงานแหงหนึ่งตองการผลิตสินคาสินคา A และ B โดยที่มีราคาขายตอชิ้นเปน 10 และ 15 บาท ตามลําดับ ถาโรงงานนี้ผลิตสินคา A ได x ชิ้น และผลิตสินคา B ได y ชิ้น โดยมีอสมการขอจํากัด ดังนี้ x + y ≤ 10 , 2 x + y ≤ 16 , 0 ≤ y ≤ 5 , x ≥ 0 แลวโรงงานจะขายสินคาไดเงินมากที่สุดเปนจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 1. 120 2. 125 3. 130 4. 150 4. แมคาคนหนึ่งทําขนมขายสงสองชนิด โดยขนมชนิดแรกราคาชิ้นละ 12 บาท ชนิดที่ 2 ราคาชิ้นละ 10 บาท ถาแมคาทําขนมชนิดแรก x ชิ้น และชนิดที่สอง y ชิ้น โดยมีอสมการขอจํากัด ดังนี้ 5 x + 6 y ≤ 15000 , 3 x + 2 y ≤ 6000 , x ≥ 0 , y ≥ 0 แลวแมคาจะขายขนมไดเงินสูงสุดเมื่อขายขนมทั้งสองชนิดรวมกันเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 43) 1. 2575 ชิ้น 2. 2625 ชิ้น 3. 2875 ชิ้น 4. 3205 ชิ้น 5. บริษัทแหงหนึ่งผลิตเกาอี้โยกมีกําไร 50 บาท/ตัว และผลิตเกาอี้นั่งธรรมดามีกําไร 30 บาท/ตัว ถาบริษัทผลิตเกาอี้โยก x ตัว/วัน และเกาอี้นั่งธรรมดา y ตัว/วัน และมีเงื่อนไขการผลิต ดังนี้ 6 x + 3 y ≤ 900 และ 3 x + 4 y ≤ 600 แลว บริษัทจะมีกําไรมากที่สุดเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43) 1. 4,500 บาท/วัน 2. 7,500 บาท/วัน 3. 7,800 บาท/วัน 4. 9,500 บาท/วัน 6. กําหนดให P = ax + 2 y และมีเงื่อนไขขอจํากัดดังนี้ 2 x + y ≤ 50 , x + 2 y ≤ 70 , x ≥ 0 , y ≥ 0 ถาคาสูงสุดของ P เทากับ 100 แลว a เทากับคาในขอใดตอไปนี้ (มีนา 44) 1. 1 2. 2 3. 4

1

4. 6

¾ กําหนดการเชิงเสน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

7. คาของ x, y ที่ทําให P = 2 x + 3 y มีคาสูงสุดตามเงื่อนไขขอจํากัดที่กําหนดใหตอไปนี้ x + y ≥ 4 , 3x + 2 y ≤ 10 , 2 x − y ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 สอดคลองกับขอใด (ตุลา 44) 1. x + y = 5

2. x + y = 4

3. x + y =

39 8

4. x + y =

33 8

8. น้ํามันดีเซล 100 ลิตร ราคาตนทุนลิตรละ 12 บาท และน้ํามันปาลม 120 ลิตร ราคาตนทุนลิตรละ 8 บาท ถาจะ ผสมน้ํามันสองชนิดนี้รวมกันใหมีจํานวนไมนอยกวา 150 ลิตร และขายน้ํามันผสมนี้ในราคาลิตรละ 11 บาท ใหได กําไรมากที่สุดแลว กําไรที่ไดเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1. 230 บาท 2. 260 บาท 3. 330 บาท 4. 460 บาท 9. กําหนดใหสมการจุดประสงคคือ P = 2ax + 3ay โดยที่ a > 0 อสมการขอจํากัดคือ 2 x + y ≤ 1, 000 , x + 3 y ≤ 900 , x ≥ 0 , y ≥ 0 ถาคาสูงสุดของ P คือ 33,000 แลว a เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45)

1. 10 < a ≤ 20

2. 20 < a ≤ 30

3. 30 < a ≤ 40

4. 40 < a ≤ 50

10. กําหนดสมการจุดประสงคคือ P = 3x + 2 y โดยมีอสมการขอจํากัดคือ 0 ≤ x ≤ 4 และ 6 ≤ x + y ≤ 7 แลว คาสูงสุดของ P เทากับเทาใด (มีนา 46) __________ 11. กําหนดสมการจุดประสงคคือ P( x, y ) = (a 2 − 1) x + ay โดยที่ a เปนจํานวนจริงบวก ซึ่ง a 2 − a − 2 ≥ 0 และมี อสมการขอจํากัดคือ 2 ≤ x ≤ 4, y ≥ 1, x + y ≤ 7 ถาคาสูงสุดของ P( x, y ) เทากับ 41 แลว a มีคาอยูใน ชวงใดตอไปนี้ (ตุลา 46) 1. [2, 2.5) 2. [2.5, 3) 3. [3, 3.5) 4. [3.5, 4) 12. กําหนดให สมการจุดประสงคคือ P = a 2 x + ay โดย a เปนจํานวนจริงบวก อสมการขอจํากัดคือ 2 x + y ≤ 8, x + y ≥ 6, x > 0, y > 0 ถาคามากที่สุดของ P เทากับ 70 แลว a เปนจริงตามขอใด (มีนา 47) 2. 4 ≤ a < 7 3. 7 ≤ a < 10 4. a ≥ 10 1. 1 ≤ a < 4 13. ถาสมการจุดประสงคคือ P = 35 x − 25 y และอสมการขอจํากัดคือ 2 x + 3 y ≤ 15,3x + y ≤ 12, x ≥ 0, แลว คาสูงสุดของ P เทากับเทาใด (ตุลา 47 )___________

y≥0

14. กําหนดสมการจุดประสงค z = ax + by โดยที่ a > 0, b > 0 และมีอสมการขอจํากัดคือ x − 2 y ≤ 0, x + y ≥ 3, 2 x + y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 เมื่อ z = 0 จะไดเสนตรง ax + by = 0 มีความชันเทากับ − แลว คาของ x0 − y0 เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 48) 1. – 4 2. – 1

3 ถา z มีคานอยที่สุดที่จุด ( x0 , y0 ) 2

3. 1

2

4. 3

¾ กําหนดการเชิงเสน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

15. ในการผลิตสินคาตามโครงการ OTOP ของตําบลหนึ่ง ในและวันผลิตผาฝายได x ชิ้น และผลิตผาไหมได y ชิ้น โดยมีอสมการขอจํากัดคือ 2 x + y ≤ 12, x + y ≤ 8, x ≥ 0 และ 0 ≤ y ≤ 6 ถาผาฝายและผาไหมมีราคาขายชิ้นละ 90 บาท และ 300 บาท ตามลําดับ แลวโครงการนี้จะขายสินคาไดเงินมากที่สุด ตอวัน เทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 49) 1. 1,560 บาท 2. 1,800 บาท 3. 1,980 บาท 4. 2,400 บาท 16. กําหนดฟงกชันจุดประสงค C = 40 x + 32 y และอสมการขอจํากัดเปนดังนี้ 6 x + 2 y ≥ 12, 2 x + 2 y ≤ 8, 4 x + 12 y ≥ 24 แลวคาต่ําสุดของ C เทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 50) 1. 108 2. 112 3. 136 4. 152 17. กําหนดฟงกชันจุดประสงค และอสมการขอจํากัด ดังนี้ C = 6 x + 2 y, x + y ≥ 2, x + 3 y ≤ 9, 0 ≤ x ≤ y คาสูงสุดของ C เทากับเทาใด (A-NET 51) ____________

18. ในการผลิตขนมขบเคี้ยวชนิดหนึ่ง ในแตละวันโรงงานตองใชมันฝรั่งเปนวัตถุดิบไมต่ํากวา 500 กิโลกรัม โดยนํามาจากแหลง ปลูกที่จังหวัดเชียงรายและจังหวัดชลบุรี มันฝรั่งจากเชียงรายใหปริมาณแปง 4 หนวยตอกิโลกรัม ในขณะที่มันฝรั่งจากชลบุรี ใหปริมาณแปง 3 หนวยตอกิโลกรัม ทั้งนี้ปริมาณแปงที่ตองการจากมันฝรั่งทั้งหมดไมนอยกวา 1,600 หนวย หากราคาของ มันฝรั่งจากเชียงรายและชลบุรีเทากับกิโลกรัมละ 10 บาทและ 8 บาทตามลําดับ ในแตละวันโรงงานตองจายคามันฝรั่ง ต่ําสุดเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1. 3,600 บาท 2. 4,000 บาท 3. 4,200 บาท 4. 4,600 บาท 19. ถา C เปนปริมาณที่มีคาขึ้นกับคาของตัวแปร x และ y ดวยความสัมพันธ C = 3x + 5 y เมื่อ x, y เปนไปตาม เงื่อนไข 3x + 4 y ≥ 5, x + 3 y ≥ 3, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลวคาต่ําสุดของ C ตามเงื่อนไขขางตน มีคาเทากับขอใด ตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1.

21 5

2.

29 5

3.

25 4

4.

27 4

20. ถา P = 5 x + 4 y เมื่อ x, y เปนไปตามเงื่อนไข x + 2 y ≤ 40, 3x + 2 y ≤ 60, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลวคาสูงสุดของ P เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 90 2. 100 3. 110 4. 115 21. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวก ถา คามากสุดและคานอยสุดของ P = 2 x + y เมื่อ x, y เปนไปตามเงื่อนไข a ≤ x + 2 y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 มีคาเทากับ 100 และ 10 ตามลําดับ แลว a + b มีคาเทาใด (PAT ตุลา 52) ___________

3

¾ กําหนดการเชิงเสน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 2 ตรรกศาสตรเบื้องตน (ม.4) 1. ประพจน ~ p → ( q → ( r ∨ p )) สมมูลกับประพจนในขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41) 2. p ∨ (~ q) ∨ r 1. ( ~ p ) ∨ q ∨ r 4. p ∨ (~ q) ∨ (~ r ) 3. p ∨ q ∨ (~ r ) 2. พิจารณาการอางเหตุผลตอไปนี้ เมื่อ p , q , r เปนประพจน (ตุลา 41) ข. เหตุ 1. ~ p → r ก. เหตุ 1. p ∨ ( p ∧ ~ q) 2. ~ r ∨ s 2. p → q 3. ~ s ผล q ผล p ขอใดตอไปนี้ถูก 1. ก สมเหตุสมผล ข สมเหตุสมผล 2. ก สมเหตุสมผล ข ไมสมเหตุสมผล 3. ก ไมสมเหตุสมผล ข สมเหตุสมผล 4. ก ไมสมเหตุสมผล ข ไมสมเหตุสมผล 3. กําหนดให p , q , r เปนประพจน ประพจน ~ [( p ∧ q) → (~ q ∨ r )] สมมูลกับประพจน ในขอใดตอไปนี้ (มีนา 42) 2. ~ q ∨ (~ p ∧ r ) 1. p ∧ ~ (q → r ) 4. ~ ( p ∧ q) → (q ∧ ~ r ) 3. ~ ( p ∧ q) ∧ (q ∧ r ) 4. พิจารณาการใหเหตุผลตอไปนี้ ก. เหตุ 1. p → (q → r ) 2. p 3. ~ t → q ผล r → t ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 42) 1. ก สมเหตุสมผล ข สมเหตุสมผล 3. ก ไมสมเหตุสมผล ข สมเหตุสมผล

ข. เหตุ 1. p → (q → ~ s) 2. p ∧ s ผล q

2. ก สมเหตุสมผล ข ไมสมเหตุสมผล 4. ก ไมสมเหตุสมผล ข ไมสมเหตุสมผล

5. พิจารณาการใหเหตุผลตอไปนี้ ก. เหตุ 1. p → ( p →~ r ) 2. q 3. r ผล p ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 42) 1. ก และ ข สมเหตุสมผล 3. ก ไมสมเหตุสมผล แต ข สมเหตุสมผล

ข. เหตุ 1. ( p ∧ q) → r 2. ~ (r ∨ s) 3. p ผล ~ q 2. ก สมเหตุสมผล แต ข ไมสมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไมสมเหตุสมผล

1

¾ ตรรกศาสตรเบื้องตน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

6. เอกภพสัมพัทธ U ที่กําหนดในขอใดตอไปนี้ที่ทําใหประโยค ∃x[2x2 + x −1 ≤ 0 ∧ x2 − 4x + 4 ≤ 3] มีคาความจริง เปนจริง (ตุลา 42) 2. U = เซตของจํานวนเต็มบวกคี่ 1. U = เซตของจํานวนเต็มบวกคู 4. U = เซตของจํานวนเต็มลบคี่ 3. U = เซตของจํานวนเต็มลบคู 7. นิเสธของขอความ ∃x [ P( x) ∧ ~ Q( x) ] คือขอความในขอใดตอไปนี้ (มีนา 43) 2. ∃x [ ~ P( x) → Q( x) ] 1. ∀x [ P( x) → ~ Q( x) ] 4. ∃x [ Q( x) → P( x) ] 3. ∀x [ P( x) → Q( x) ] 8. กําหนดให เหตุ 1. ~ P → ~ q 2. p → (r ∨ s ) 3. q ∨ t 4. ~ t

ผลในขอใดตอไปนี้ทําใหการอางเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (มีนา 42) 1. s → r 2. s →~ r 3. r →~ s 4. ~ r → s

9. ให p , q , r , s และ t เปนประพจน ถาประพจน ( p ∧ q) → ( r ∨ s ) มีคาความจริงเปนเท็จแลว ประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ (ตุลา 43) 1. ( p ∧ r ) ↔ ( s → t ) 2. ( p ∧ s) → (q ∨ t ) 3. ( p ∧ s) ∨ (r ∧ t ) 4. (r → p) ∧ ( s → t ) 10. กําหนดให p , q , r เปนประพจน ถาประพจน p → (q ∧ r ) มีคาความจริงเปนเท็จ และ ( p ∨ q ) ↔ r มีคาความจริงเปนจริง แลว พิจารณาคาความจริงของประพจนตอไปนี้ ข. p ↔ ( q ∨ ~ r ) ก. ( p ↔ q ) ↔ ~ r ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 44) 1. ก จริง และ ข จริง 2. ก จริง และ ข เท็จ 3. ก เท็จ และ ข จริง 4. ก เท็จ และ ข เท็จ 11. เอกภพสัมพัทธในขอใดที่ทําใหขอความ ( ∀x [ x ≤ 2 x + 3]) ∧ ( ∃y [ y 2 − 4 > 0 ]) มีคาความจริงเปนจริง (มีนา 44) 1. [-3 , 0] 2. [-1.5 , 1.5] 3. [-1 , 2] 4. [-0.5 , 2.5] 12. กําหนดให p, q, r เปนประพจนที่มีคาความจริงเปน จริง เท็จ และ เท็จ ตามลําดับ ประพจนในขอใดตอไปนี้ มีคาความจริงเหมือนกับประพจน ( p →~ q) ∨ (r ∧ ~ p) (ตุลา 44) 2. (q ∧ ~ r ) ↔ (~ p →~ q) 1. (~ r → p) ∧ (q ∨ r ) 4. ( p → q) ∨ (~ r ↔ q) 3. (~ p ∨ r ) → (q ∧ ~ r ) 13. พิจารณาขอความตอไปนี้ 1 2

ก. ถาเอกภพสัมพัทธ คือเซต U = (0,1) ∪ (2, ∞) แลว ประพจน ∀x[( x − ) 2 <

1 หรือ ( x − 1) 2 > 1] 4

มีคาความจริงเปนจริง ข. ถา p , q , r เปนประพจนแลว p → (q ∧ r ) สมมูลกับ ( p → q) ∨ (q → r ) ขอใดตอไปนี้เปนจริง (มีนา 45) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด

2

¾ ตรรกศาสตรเบื้องตน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

14. ให p , q , r , s เปนประพจน ถา [ p → (q → r )] ↔ s ∧ r มีคาความจริงเปนจริง และ ~ p ∨ s มีคา ความจริงเปนเท็จ แลวขอใดตอไปนี้ถูก มีคาความจริงเปน จริง 2. q → r มีคาความจริงเปน จริง 1. p → q มีคาความจริงเปน เท็จ 4. s → p มีคา ความจริงเปน เท็จ 3. r → s 15. กําหนดให P( x) และ Q( x) เปนประโยคเปด โดยที่ ∀x[ P( x)] → ∃x[~ Q( x)] มีคาความจริงเปนเท็จ เมื่อเอกภพสัมพัทธคือเชตของจํานวนจริง ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง (ตุลา 45) 2. ∃x [~ P( x) ∨ ~ Q( x)] 1. ∃x [ P( x) ∧ ~ Q( x)] 4. ∀x [ P( x) → Q( x)] 3. ∀x [ P( x) → ~ Q( x)] 16. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา p, q เปนประพจน โดยที่ p มีคาความจริงเปนจริง และ ~ q → (~ p ∨ q) เปนสัจนิรันดร แลว q มีคาความจริงเปนจริง ข. นิเสธของขอความ ∃x [(~ P( x) ∧ Q( x) ∧ (~ R( x))] คือขอความ ∀x [Q( x) → ( P( x) ∨ R( x))] ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 45) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 17. ให p, q และ r เปนประพจน พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา [( p ∧ ∼ r ) ∧ q] → ∼ ( p ∧ q) เปนเท็จ แลว ( p ∨ q) → r เปนจริง ข. ถา q∨ ∼ r เปนเท็จ แลว [ p ∨ (q → r )] → ∼ q เปนจริง ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 46) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 18. กําหนดให p, q, r และ s เปนประพจน ในการอางเหตุผล ถา “เหตุ” คือ 1. ( p ∨ q) → (r ∧ s) 2. r → ∼ s แลวประพจนในขอใดตอไปนี้เปน “ผล” ที่ทําใหการอางเหตุผลมีความสมเหตุสมผล (มีนา 46) 2. q 3. ∼ p ∧ ∼ q 4. ∼ p ∧ q 1. p 19. ใหเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํานวนจริง ถา P( x) แทนขอความ x 2 − 3x < 0

และ Q( x) แทนขอความ − 2 < log 1 x < − 1 3

แลวประโยคในขอใดตอไปนี้ มีคาความจริงเปนจริง (ตุลา 46) 1. ∀x [ P( x) → Q( x)] 2. ∀x [Q( x) → P( x)] 4. ∀x [ P( x) →∼ Q( x)] 3. ∀x [∼ P( x) → Q( x)]

3

¾ ตรรกศาสตรเบื้องตน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

20. พิจารณาการอางเหตุผลตอไปนี้ ก. เหตุ 1. p ∧ q 2. (q ∨ r ) → ( s ∧ p) 3. p →∼ s ผล s ∧ ∼ r ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 46) 1. ก. และ ข. สมเหตุสมผลทั้งคู 3. ก. ไมสมเหตุสมผล แต ข. สมเหตุสมผล

ข. เหตุ 1. P( x) →∼ Q( x) 2. Q( x) ∨ R( x) ผล P( x) → R( x)

2. ก. สมเหตุสมผล แต ข. ไมสมเหตุสมผล 4. ก. และ ข. ไมสมเหตุสมผลทั้งคู

21. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ประพจน [ p → (q → r )] ↔ [q → ( p → r )] เปนสัจนิรันดร 1 4

ข. มีจํานวนจริง a อยูในชวง (0, ) ทําใหประโยค ∃x [ x 2 + x + a = 0 ] มีคาความจริงเปนจริง เมื่อเอกภพ 1 2

สัมพัทธคือ U = (− , 0) ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 47) 1. ก ถูก และ ข ถูก

2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

22. กําหนดให ประพจน (∼ p ↔∼ r ) ∨ ( p ↔ q) มีคาความจริงเปนเท็จ ประพจนใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ (มีนา 47) 2. ∼ p → (q ∧ r ) 3. p ∨ q∨ ∼ r 1. ∼ p → (q ∧ r )

4. ก ผิด และ ข ผิด

4. p ∧ q ∧ ∼ r

23. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถาประพจน [ p ∧ (q → r )] → (r ∨ s) มีคาความจริงเปนเท็จ แลว p ∧ q → s มีคาความจริงเปนเท็จ ข. นิเสธของขอความ ∀x∃y [( x > y ) ∧ ( x 2 < y )] คือ ∃x∀y [( x > y ) → ( y ≤ x 2 )] ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 47) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 24. กําหนเอกภพสัมพัทธคือชวงเปด (−2, 2) พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ประพจน ∀x [ x − x 2 ≤ x + x 2 และ x ≤ x 2 ] มีความความจริงเปนจริง ข. ประพจน ∃x [ x 2 − x − 6 ≥ 0] มีความความจริงเปนจริง ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 47) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 25. ให p, q, r , s เปนประพจน ถา [( p →∼ q) ∨ r ] ∨ (q ∨ s) มีคาความจริงเปนจริง และ ( p ∧ s) → r มีคาความจริงเปนเท็จ แลว ประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปน เท็จ (มีนา 48) 2. q → r 3. r → s 4. s → p 1. p → q

4

¾ ตรรกศาสตรเบื้องตน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

26. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถาเอกภพสัมพัทธคือ เซตของจํานวนเต็มแลว ขอความ ∃m∃n [5m + 7n = 1] มีคาความจริงเปนจริง ข. นิเสธของขอความ ∀x∃y [( x 2 − 2 x ≥ y − 2) ∧ ( y ≥ sin x) ] คือ ∃x∀y [( x 2 − 2 x < y − 2) ∨ ( y < sin x)] . ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 48) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 27. กําหนดให เอกภพสัมพัทธคือ U = { − 3, − 2, − 1, 1, 2, 3 } ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ (A-NET 49) 2. ∃x∀y [ x − y 2 < x] 1. ∃x∀y [ x + y < y ] 3. ∃x∀y [ xy 2 = x] 4. ∃x∀y [ x 2 y = y ] 28. ให p, q, r เปนประพจน p → (q ∨ r ) ถาประพจนมีคาความจริงเปนจริง และ p ∨ (q ∧ r ) มีคาความจริงเปนเท็จ แลว ประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ (A-NET 49) 2. ~ p → (~ p ∨ q) 1. ~ q ∨ ( p → r ) [~ q∨ ~ r ] → [ p ∧ (q ∨ r )] 3. (q ∨ r ) →~ p ∨ (q ∧ r ) 29. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ใหเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํานวนเฉพาะบวก ขอความ ∀x∃y [ x 2 + x + 1 = y ] มีคาความจริงเปนจริง ข. นิเสธของขอความ ∀x [ P( x) → (Q( x) ∨ R( x))] คือ ∃x [ P( x)∧ ~ Q( x)∧ ~ R( x)] ขอใดตอไปนี้ถูก (A-NET 50) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 30. กําหนด เหตุ ใหดังนี้ (A-NET 50) 1) เอกภพสัมพัทธไมเปนเซตวาง 2) ∀x [ P( x) → Q( x)] 3) ∀x [Q( x) ∨ R( x)] 4) ∃x [~ R( x)]

ขอความในขอใดตอไปนี้เปน ผล ที่ทําใหการอางเหตุผล สมเหตุสมผล 1. ∃x [ P( x)] 2. ∃x [Q( x)] 3. ∀x [ P( x)] 4. ∀x [Q( x)]

31. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา ( p ∨ q) → r และ (q → r ) → s ตางมีคาความจริงเปนเท็จ แลว ( p ∨ q) → (r ∨ s) มีคาความจริงเปนจริง ข. การอางเหตุผลขางลางนี้ สมเหตุสมผล 2) q ∧ s 3) ~ r เหตุ 1) ~ p →~ (q ∨ r ) ผล s → p ขอใดตอไปนี้ถูก (A-NET 51) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก

5

4. ก. ผิด และ ข. ผิด

¾ ตรรกศาสตรเบื้องตน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

a

32. กําหนดให I (a) = ∫ ( x − 1) dx สําหรับ a ∈ [0, ∞) −a

ประโยคในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปน จริง เมื่อเอกภพสัมพัทธคือชวง [0, ∞) (A-NET 51) 2. ∀a [( I (a ) = 0) → (a = 0)] 1. ∀a [ I (a) > 0] 4. ∃a [(a ≠ 0) ∧ ( I (a) = 0)] 3. ∃a [(a > 2) ∧ ( I (a) < 0)] 33. ให p, q, r , s เปนประพจน พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ประพจน (~ p ∨ q) → (r ~ ∧ s) สมมูลกับ ( s∨ ~ r ) → ( p ∧ ~ q) ข. ประพจน ( p ∨ r ) ∧ [( p ∧ r ) → (q ∨ r ∨ ~ s)] เปนสัจนิรันดร ขอใดตอไปนี้ถูก (PAT ตุลา 51) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต ข ผิด 3. ก. ผิด แต ข. ถูก

4. ก. ผิด และ ข. ผิด

34. กําหนดให p, q, r เปนประพจน พิจารณาการอางเหตุผลตอไปนี้ เหตุ 1. p → (~ q ∨ r ) 2. q ∨ r 3. ~ r ผล A A เปนประพจนในขอใดตอไปนี้ จึงจะทําใหการอางเหตุผลขางตน สมเหตุสมผล (PAT ตุลา 51) 2. ~ q 3. p∨ ~ q 4. p ∨ r 1. ~ p 35. กําหนดเอกภพสัมพัทธคือเซต U = ⎧⎨−1, 0, 1. ∀x [ x 2 ≤ x]

1⎫ ⎬ ประโยคในขอใดตอไปนี้เปนจริง (PAT ตุลา 51) 2⎭ ⎩ 2. ∀x [ x3 ≤ x] 3. ∃x [ x > 2 x 2 ] 4. ∃x [ x3 > x]

36. กําหนดให p, q, r เปนประพจน พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ประพจน p → [ p → (q ∨ r )] สมมูลกับประพจน p → (q ∨ r ) ข. ประพจน p ∧ (q → r ) สมมูลกับประพจน (q → p)∨ ~ ( p →~ r ) ขอใดตอไปนี้เปนจริง (PAT มีนา 52) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต ข ผิด 3. ก. ผิด แต ข. ถูก

4. ก. ผิด และ ข. ผิด

37. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ ขอใดตอไปนี้ถูก (PAT มีนา 52) 2. ∀x∀y [ x ∪ y = U ] 1. ∀x∀y [ x ∩ y ≠ φ ] 4. ∃x∀y [ y ≠ x ∧ y ⊂ x ] 3. ∀x∃y [ y ≠ x ∧ y ⊂ x ] 38. กําหนดให P( x) และ Q( x) เปนประโยคเปด ประโยค ∀x [ P( x)] → ∃x [~ Q( x)] สมมูลกับประโยคในขอใด ตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 2. ∀x [Q( x)] → ∃x [~ P( x)] 1. ∀x [~ P( x)] → ∃x [Q( x)] 4. ∃x [~ Q( x)] → ∀x [ P( x)] 3. ∃x [ P( x)] → ∀x [Q( x)]

6

¾ ตรรกศาสตรเบื้องตน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

39. กําหดให U = { n ∈ I + n ≤ 10 } ประโยคในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ (PAT กรกฎา 52) 1. ∀x∀y ⎡⎣( x 2 = y 2 ) → ( x = y ) ⎤⎦

2. ∀x∃y ⎡⎣( x ≠ 1) → ( x > y 2 ) ⎤⎦

3. ∃x∀y [ xy ≤ x + y ]

4. ∃x∃y ⎡⎣( x − y ) 2 ≥ y 2 + 9 xy ⎤⎦

40. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือเซต { − 2, − 1, 1, 2 } ประโยคในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ (PAT ตุลา 52) 1. ∃x∃y ⎡⎣ x ≤ 0 ∧ x = y + 1⎤⎦ 2. ∃x∀y [ x ≤ y ∧ − ( x + y ) ≥ 0] 3. ∀x∃y [ x + y = 0 ∨ x − y = 0]

4. ∀x∀y ⎡⎣ x < y ∨ x > y ⎤⎦

41. กําหนดให p, q, r เปนประพจน พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา q ∧ r มีคาความจริงเปนจริงแลว p และ p ∨ [(q ∧ r ) → p] มีคาความจริงเหมือนกัน ข. ถา p มีคาความจริงเปนเท็จแลว r และ ( p → q) ∧ r มีคาความจริงเหมือนกัน ขอใดตอไปนี้เปนจริง (PAT ตุลา 52) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต ข ผิด 3. ก. ผิด แต ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 42. ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ (PAT มีนา 53) 1. ( p → q) ∨ p 3. [( p → q) ∧ p] → q

2. (~ p ∧ p) → q 4. (~ p → q) ↔ (~ p ∧ ~ q)

43. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (PAT มีนา 53) 1. ถาเอกภพสัมพัทธ คือ {−1, 0, 1} คาความจริงของ ∀x∃y [ x 2 + x = y 2 + y ] เปนเท็จ 2. ถาเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนจริง คาความจริงของ ∃x [3x = log3 x] เปนจริง 3. ถาเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนจริง นิเสธของขอความ ∀x∃y [( x > 0 ∧ y ≤ 0) ∧ ( xy < 0)] คือ ∃x∀y [( xy < 0) → ( x ≤ 0 ∨ y > 0)] 4. ถาเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนเต็ม นิเสธของขอความ ∀x [ x > 0 → x3 ≥ x 2 ] คือ ∃x [( x ≤ 0) ∧ ( x3 < x)]

7

¾ ตรรกศาสตรเบื้องตน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 3 ตรีโกณมิติและการประยุกต (ม.5) 1. ให

⎛ −π π ⎞ S =⎜ , ⎟ ⎝ 2 2 ⎠

และ F ( x) = sin 2 x + sin 2 x + sin 2 x + ... , x ∈ S ถา a เปนสมาชิกของเซต

S ที่นอยที่สุดที่ทําให F (a) ≤ 1 แลว F (a) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41)

2.

1. 0 2. sec ( 2 arcsin

1 4

1 2

3.

4. 1

1 ) มีคาเทากับเทาใด (ตุลา 41) __________ 3

3. ถา 1 + cos 2 θ + cos 4 θ + ... = a โดยที่ a เปนจํานวนจริง แลว cos (π − 2θ ) sin ⎛⎜

π

⎞ − 2θ ⎟ ⎝2 ⎠

มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 42 ) 1.

⎛a−2⎞ −⎜ ⎟ ⎝ a ⎠

2

2.

⎛a−2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠

2

3.

⎛ a ⎞ −⎜ ⎟ ⎝a+2⎠

2

4.

⎛ a ⎞ ⎜ ⎟ ⎝a+2⎠

2

4. ให A เปนเซตคําตอบของอสมการ cos (2 arcsin x) + 2 = 4sin 2 (arccos x) ขอใดตอไปนี้คือ ผลคูณของ สมาชิกในเซต A (มีนา 42 ) 1. −

1 4

2. −

1 2

3.

1 4

4.

1 2

4π และ 5 − 3 sin 3 A มีคามากที่สุด } เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 3 ⎧ ⎫⎪ ⎧ 1 3 ⎫⎪ 3 1 1. ⎪⎨ − , 0 , 2. ⎪⎨ − , − , 0⎬ ⎬ 2 ⎪⎭ 2 ⎪⎩ 2 ⎩⎪ 2 ⎭⎪ ⎧ ⎧ 1 3 ⎫⎪ 3 1 3 ⎫⎪ 4. ⎪⎨ − , , 3. ⎪⎨ 0 , , ⎬ ⎬ 2 2 ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎩ 2 2 2 ⎭⎪

5. {cos A 0 ≤ A ≤

6. ให O เปนจุดกําเนิด A เปนจุดบนแกน X และ B เปนจุดในระนาบ ซึ่งทําใหเสนตรง OB มีความชันเทากับ ˆ แลว sec 2 θ เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 2 และเสนตรง AB มีความชันเทากับ 1 ถา θ = ABO 1.

10 9

2.

11 9

3. 10

4. 11

7. ถาสามเหลี่ยม ABC มีมุม BAC = 45D มุม ACB = 60D และดาน AC ยาว 20 นิ้ว แลวพื้นที่ของ สามเหลี่ยม ABC มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 43 ) 1.

300 2 3 +1

ตารางหนวย

2.

300 3 3 +1

ตารางหนวย

3.

200 2 3 +1

ตารางหนวย

4.

200 3 3 +1

ตารางหนวย

1

¾ ตรีโกณมิติและการประยุกต

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions ⎡1

3 ⎤

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

⎡1

4 ⎤

8. sec ⎢ ⎛⎜ arcsin + arccos ⎞⎟ ⎥ + tan ⎢ ⎛⎜ arcsin + arccos ⎞⎟ ⎥ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 43 ) 5 5 ⎠⎦ 5 5 ⎠⎦ ⎣2 ⎝ ⎣2 ⎝ 2. 3 3. 1 + 2 4. 2 + 3 1. 2 3

1 4

9. ถา arctan x = arctan − 2 arctan 1.

13 5 17

แลว sin (180D + arctan x) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43)

16 5 17

3.

−13 5 17

4.

−16 5 17

⎡csc x sec x ⎤ 3 3 ) เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43) และ tan x = − แลว det ( 2 ⎢ cos x ⎥⎦ 5 4 ⎣ 1 1 2 2. − 3. − 4. − 1 3 3

10. ถา sin x = 1. −

2.

1 2

4

1 6

11. กําหนดวงกลม C มีจุดศูนยกลางที่ (-1 , 2) และสัมผัสแกน X ที่จุด P เสนตรง L ผานจุดศูนยกลางของวงกลม C และมีความชันเปน 1 ถา Q เปนจุดตัดของ C และ L ทีอ่ ยูในควอดรันตที่ 2 แลวกําลังสองของระยะ PQ เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43) 2. 7 − 4 2 หนวย 3. 8 − 4 2 หนวย 4. 9 − 4 2 หนวย 1. 6 − 4 2 หนวย 12. รูปสามเหลี่ยม ABC มี a , b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A , B และ C ตามลําดับ ถา cos B = 1. 12

1 และ (a + b + c)(a − b + c) = 30 แลว ac มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 44 ) 4 20 40 2. 20 3.

4.

5 3

13. ถา sin15D + sin 55D = x และ cos15D + cos 55D = y แลว ( x + y )2 − 2 xy เทากับขอใด (ตุลา 44) 4 cos 2 20D 2. 2 cos 2 20D 3. 4 cos 2 40D 4. 2 cos 2 40D 1.

14. − sin 2 1D + sin 2 2D − sin 2 3D + ... − sin 2 89D + sin 2 90D มีคาเทากับเทาใด (มีนา 45 ) __________ 15. กําหนดให 0 ≤ θ ≤ 2π เซตคําตอบของอสมการ

cos 2 θ − cos θ < 0 เปนสับเซตของเซตในขอใด sin θ − 12

ตอไปนี้ (มีนา 45 ) π

π

2. ( ,

1. (0 , ) 3

3

π

5π 3. (0 , ) ∪ ( , π ) 4 6

5π ) 6

π

π

6

2

4. ( , ) ∪ (

3π 3π , ) 4 2

16. ถา a และ b เปนคําตอบของสมการ sin (2 arcsin x) = x โดยที่ a ≠ 0, b ≠ 0 และ a ≠ b แลว sin arctan(ab) เทากับเทาใด (ตุลา 45) __________

2

¾ ตรีโกณมิติและการประยุกต

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

17. นายดํายืนอยูบนสนามแหงหนึ่งมองเห็นยอดเสาธงสูงเปนมุมเงย 600 แตเมื่อเขาเดินตรงเขาไปหาเสาธงอีก 20 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเปนมุมเงย 750 ในขณะที่เขามองเปนยอดเสาธงเปนมุมเงย 600 นั้น เขายืนอยูหางจากเสาธง เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45) 3 3) เมตร 2 3. 10(2 + 2 3) เมตร

1.

1 3) เมตร 2 4. 10(2 + 3) เมตร

2. 10(2 +

10(2 +

18. ในสามเหลี่ยม ABC ถา A = 30D ดาน BC ยาว 2 เซนติเมตร และดาน AC ยาว 3 เซนติเมตร แลว 4sin 3B มีคาเทากับเทาใด (มีนา 46 ) __________ 19. ถา arccos x − arcsin x = 1.

π

π

แลว arccos x − arctan 2 x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 46 )

6

5π 12

2.

12 ⎛π

3.

7π 12

4.

11π 12

4 ⎞

20. 1 + cos ⎜ + ⎛⎜ arccos − arctan ⎞⎟ ⎟ เทากับเทาใด (ตุลา 46) __________ 2 5 3 ⎝

21. ถา

4

⎝

⎠⎠

sin A 2 cos A 1 = และ = แลว tan 2 B มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 46) sin B cos B 3 2 3 2 1. 4 2.

3. 1 4.

2 3

22. คา sin ⎛⎜ 2 arctan ⎞⎟ + cot 2 ⎛⎜ arcsin ⎞⎟ เทากับเทาใด (มีนา 47 ) __________ 2 3 1

⎝

1

⎠

⎝

⎠

ˆ = 60D ลากเสนตรงจากจุด A ไปพบดาน BC ที่จุด D โดยทําให 23. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมี ACB ˆ = 30D ถาระยะ BD ยาว 3 หนวย และระยะ AD ยาว 2 หนวย แลวระยะ CD ยาวเทาใด (มีนา 47 ) BAD

1.

4 3 3

2.

5 3 3

24. กําหนดใหรูปสามเหลี่ยม ABC มีดาน BC ยาว

3.

7 6 9

4.

8 6 9

3 หนวย ดาน AC ยาว 2 หนวย

⎛ 1 ⎞ ⎟ แลว คาของ sin ( A + B) + sin ( A − B) เทากับเทาใด (ตุลา 47 ) __________ ⎝ 3⎠

ถามุม B = arctan ⎜

⎛π ⎞ tan 2 ⎜ − θ ⎟ − 1 π π 3 ⎝4 ⎠ 25. กําหนดให θ ∈ ⎡⎢ − , ⎤⎥ ถา = แลว cos 2 θ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 47 ) π 4 4 5 ⎛ ⎞ ⎣ ⎦ tan 2 ⎜ − θ ⎟ + 1 ⎝4 ⎠ 3 4 7 9 1.

2.

3.

4.

5 5 10 10

3

¾ ตรีโกณมิติและการประยุกต

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions 26. ถา

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

sin 2 3 A cos 2 3 A − = 2 แลว cos 2A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 48) sin 2 A cos 2 A 1 1 2.

3. 1 1.

4 2 2

4.

1 3

27. ถา tan(arccos x) = − 3 แลว คาของ x sin(2 arccos x) เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 48) 3 4

1. −

2. −

1 2

3.

1 2

4.

3 4

28. sin(arctan 2 + arctan 3) เทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 49) 1. −

1 2

2. −

1 2

3.

1 2

4.

29. ถา secθ + cscθ = 1 แลว sin 2θ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 49) 2. 2( 2 − 1) 3. 1 − 3 1. 2(1 − 2)

1 2

4.

3 −1

30. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. tan14D + tan 76D = 2 csc 28D ข. ถา x > 0 และ sin(2 arctan x) = ขอใดตอไปนี้ถูก (A-NET 50) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก

4 1 แลว x ∈ ( , 3) 5 3

2. ก. ถูก และ ข. ผิด

3. ก. ผิด และ ข. ถูก

4. ก. ผิด และ ข. ผิด

31. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีดานตรงขามมุม A, B, C ยาว 2a, 3a, 4a ตามลําดับ ถา sin A = k แลว cot B + cot C มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 50) 1.

1 6k

2.

k 6

3.

1 3k

4.

k 3

32. ให A, B และ C เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC และ Aˆ < Bˆ < Cˆ โดยที่ tan A tan B tan C = 3 + 2 3 และ tan B + tan C = 2 + 2 3 พิจารณาขอความตอไปนี้ 5π ข. Cˆ =

ก. tan C = 2 + 3 ขอใดตอไปนี้ถูก (A-NET 51) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก

12

2. ก. ถูก และ ข. ผิด

33. ให θ เปนจํานวนจริง ซึ่งสอดคลองกับสมการ

3. ก. ผิด และ ข. ถูก

4. ก. ผิด และ ข. ผิด

1 1 1 1 + + + = 7 2 2 2 tan θ cot θ sin θ cos 2 θ

แลว tan 2 2θ มีคาเทาใด (A-NET 51) __________

4

¾ ตรีโกณมิติและการประยุกต

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

34. กําหนดให sec x + tan x = A ถา A ≠ 0 แลวคาของ cos x เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1. 2 A 35. ถา

2.

A2 − 1 A2 + 1

3.

A A +1

4.

2

2A A2 + 1

1 + tan x 1 + A cos x sin x = แลว A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1 − tan x cos 2 x

1. 1

2. 2

3. 4

4. 6

36. จํานวนคําตอบที่แตกตางกันของสมการ arcsin x = 2 arccos x มีทั้งหมดกี่คา (PAT ตุลา 51) 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 ˆ = CAD ˆ 37. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมและ D เปนจุดบนดาน BC ซึ่ง BAD

ถา

BD sin Bˆ = 2 แลวคาของ เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) CD sin Cˆ 1 3 1.

2. 1 3.

2 2

38. ถา cos θ − sin θ = 1.

4 13

4. 2

5 แลวคาของ sin 2θ เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 3 9 4 13 2.

3.

4.

13 9 9

39. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม A เทากับ 60D , BC = 6 และ AC = 1 คาของ cos(2 B) เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1.

1 4

2.

1 2

3 2

3.

40. ให −1 ≤ x ≤ 1 เปนจํานวนจริงซึ่ง arccos x − arcsin x = π

4.

π 2552

⎞ แลว คาของ sin ⎛⎜ ⎟ เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) ⎝ 2552 ⎠ 1. 2x 2. 1 − 2 x 2 3. 2 x 2 − 1 ⎛ sin 30D

3 4

4. −2x

cos 30D ⎞

41. คาของ ⎜ − ⎟ เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) D cos10D ⎠ ⎝ sin10 1. – 1 2. 1 3. 2

4. – 2

42. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมและ D เปนจุดกึ่งกลางดาน BC ถา AB = 4 หนวย, AC = 3 หนวย และ AD = 1. 3

5 หนวย แลวดาน BC ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 2

2. 4

3. 5

5

4. 6

¾ ตรีโกณมิติและการประยุกต

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions 43. ถา arcsin(5 x) + arcsin( x) = 1.

π

2 1 2.

3

1 5

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

แลวคาของ tan(arcsin x) เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1 3

3.

4.

1 2

44. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีดาน AB ยาว 2 หนวย ถา BC 3 + AC 3 = 2 BC + 2 AC แลว cot C คาเทากับเทาใด (PAT ตุลา 52) 1.

1 3

2.

45. ถา 1 − cot 20D =

1 2

3. 1

4.

3

x แลว x มีคาเทาใด (PAT ตุลา 52) __________ 1 − cot 25D

46. ถา (sin θ + cos θ ) 2 =

3 π เมื่อ 0 ≤ θ ≤ แลว arccos(tan 3θ ) มีคาเทาใด (PAT ตุลา 52) _________ 2 4

π

⎞ 47. กําหนดให f ⎛⎜ เมื่อ x ≠ 0 และ x ≠ 1 ถา 0 < θ < ⎟ = 2 x ⎝ x −1 ⎠ 2 แลว f (sec θ ) เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 53) x

1

1. sin 2 θ

3.

2. cos 2 θ

47. ให α และ β เปนมุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ tan α = ⎛

⎛

a

⎞⎞

⎛

⎛

a

ถา cos ⎜⎜ arcsin ⎜ 2 2 ⎟ ⎟⎟ + sin ⎜⎜ arccos ⎜ 2 2 ⎝ a + b ⎠⎠ ⎝ a +b ⎝ ⎝ แลว sin β มีคาเทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________ 48. คาของ

cos 36D − cos 72D sin 36D tan18D + cos 36D

4.

tan 2 θ

cot 2 θ

a b

⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ = 1 ⎠⎠

เทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________

6

¾ ตรีโกณมิติและการประยุกต

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 4 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม (ม.5) 1. กําหนดให f = {( x, y) y = log( x + 1) + log( x + 2) − log(4 − x2 )} และ g = {( x, y ) y = 2 x −1 และ x ≥ 0} แลว Dr ∩ Rg เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41) 1. [ 0 , 1.5 ) 2. [ 0.5 , 2.5 ) 3. [ 1 , 3 ) 4. [ 1.5 , 4 ) 2. เซตคําตอบของสมการ log 2 ( x 2 − x − 4) 2 = log 0.1 (0.01) เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41) 1. R – [-2 , 2] 2. R – [-1 , 3] 3. [-4 , 2] 4. [-3 , 3] 3. log10 28 − log 1 325 + log 1 91 มีคาเทาใด (มีนา 42) __________ 10

100

4. ถา x และ y สอดคลองกับระบบสมการ 9 log x + 4 log 3

2

y

= 16

กับ

log 3 x − log 1 y = 2 − log 3 2 3

แลว x − y 2

2

มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 42)

1. 5 + 7 5. กําหนดให A

2. 5 − 7

⎧ = ⎨x ∈ R ⎩

5

(32 x + 3)

3. 5 7

= 25

5(3

x−

1 2

)

⎫ ⎬ ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ ⎭

4. 10 7

A มีคาเทากับเทาใด

(ตุลา 42) _____________ 6. กําหนดให a , b เปนคําตอบของสมการ log3 x + 6 log x 3 = 5 โดยที่ a < b ถา A = {x ∈ I + x ∈ [a, b] และ 3 x } แลว A มีจํานวนสมาชิกเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 1. 6 2. 7 3. 18 4. 19 7. ถา x เปนรากของสมการ 23 x −1 ⋅ 6 x ⋅ 255 x −1 = 75 x 8. log 3

3+3 ( 3+5

1.

27 3 + 6)

1 3 − log 3 (3 4 + 2) 4

แลว x มีคาเทากับเทาใด (มีนา 43) __________

มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 43) 2.

1 1 − log 3 (3 2 + 2) 4

3. 3 − 1 log3 19 4

4

9. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ U = { 2n n ∈ I + } พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ∃x [22 x +3 − 18(2 x ) + 4 = 0 ] มีคาความจริงเปนจริง ข. ∃x [log 2 ( x + 2) + log 2 ( x − 1) = 2 ] มีคาความจริงเปนจริง ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 43) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก

1

4. 1 − 1 log3 19 4

4

4. ก. ผิด และ ข. ผิด

¾ ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions 10. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของสมการ xlog

3

x3

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1) = 9x

และ B เปนเซตคําตอบของสมการ log3 x x =

x 3

ถา C = {ab a ∈ A และ b ∈ B } แลวเซตในขอใดตอไปนี้เปนสับเซตของ C (ตุลา 43) −

1 2

−

1. {3 , 3 }

1 3

4 3

4 3

2. {3 , 3 }

2

3. {3 , 3 } 2

−

1 3

2 3

4. {3 , 3 }

11. กําหนด A ใหเปนเซตคําตอบของอสมการ log 4 log3 log 2 ( x 2 + 2 x) ≤ 0 จํานวนเต็มที่เปนสมาชิกของ A มีทั้งหมดกี่จํานวน (มีนา 44) __________ 2 ( −x)

12. เซตคําตอบของอสมการ 2 x ( x−3) < 8 3 เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้ (มีนา 44) 1. (1 , ∞) 2. (-2 , 100) 3. (-10 , 10) 4. (-∞ , 2) 2

13. ใหชวงเปด (a , b) เปนเซตคําตอบของอสมการ log(3x + 4) > log( x − 1) + 1 แลว a + b มีคาเทาใด (ตุลา 44) ____________ 14. เซตคําตอบของสมการ 4 ⋅ 32 x + 9 ⋅ 22 x = 13 ⋅ 6 x เปนสับเซตในขอใดตอไปนี้ (ตุลา 44) 1. [– 4 , 0] 2. [– 3 , 1] 3. [– 2 , 2] 4. [1 , 3] 15. ถา 0 < x <

π 4

แลวเซตคําตอบของ log 0.5 (sin x) + log 0.5 (sin 2 x) < log 0.5 (cos x) log 0.5 (cos 2 x)

คือเซตในขอใดตอไปนี้ (ตุลา 44) 1. φ

π

2. (0, )

3. (

π π

, ) 12 6

6

π π

4. ( , ) 6 4

16. กําหนดให r1 = {( x, y ) e x + y ≤ 1 } และ r2 = {( x, y ) ln( x − 3 y + 5) ≥ 0 } พื้นที่ของบริเวณที่ เปนกราฟ r1 ∩ r2 ซึ่งอยูเหนือแกน X เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1. 1.5 ตารางหนวย 2. 2 ตารางหนวย 3. 2.5 ตารางหนวย 4. 3 ตารางหนวย 17. กําหนดให a > 0 เปนคําตอบของสมการ 4a − 9 ⋅ 2a−1 + 2 = 0 เซตคําตอบของอสมการ 2 log a ( x + 2) − log a ( x − 1) < 4 เปนสับเซตของชวงใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1. (-3 , 3) 2. (-2 , 7) 3. (0 , 8) 4. (1 , 10) 18. x ที่สอดคลองสมการ

log 2 x + log 3 ( x − 12) = log 3 [ x ( x + 5 − x − 5)] log 3

มีคาทากับเทาใด (มีนา 45) ______ 19. กําหนดให log8 (log 4 (log 2 x)) = 2 ถา x = 4(2 ) แลว n มีคาเทากับเทาใด (ตุลา 45) _________ n

2

¾ ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

20. ให A เปนเซตคําตอบของอสมการ log16 x + log 4 x + log 2 x < 7 และ B เปนเซตคําตอบของอสมการ 34 x −3 − 26(32 x −3 ) ≥ 1 แลว A – B คือชวงในขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45) 1. (0, 1.5) 2. [1.5, 16) 3. (0, 3] 4. [3, 16) 21. เซตคําตอบของอสมการ (4 x − 2) log(1 − x 2 ) > 0 เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้ (มีนา 46) 1 2

1. (−2, )

1 2

2. (− , 2)

1 2

3. (0, 10)

22. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของอสมการ log x (

4. ( , 20)

x+3 ) ≥ 1 และ T = log x −1

{

3

}

x x ∈S

T เปนสับเซตของชวงใดตอไปนี้ (ตุลา 46)

1. [0, 2]

1 5 2 2

2. [1, 3]

3. [ , ]

1 7 3 3

4. [ , ]

23. ถา a, b เปนคําตอบของสมการ 6 x − 3x +1 − 2 x + 2 + 12 = 0 แลวคําตอบของสมการ (ab) 2 x +1 = (ab + 3) x เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 46) 1.

log 3 log 2 − log 3

2.

log 4 log 7 − log16

3.

1 log 5 8 − 2

4.

1 log 2 5 − 2

24. ผลบวกของคําตอบของสมการ log 2 (4 x −1 + 2 x −1 + 6) = 2 + log 2 (2 x −1 + 1) มีคาเทาใด (มีนา 47) __________ x ⎞ ⎛ ⎜ log +1⎟ 10 ⎠

25. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของอสมการ 4 ⋅ 2log x − 9 ⋅ 2⎝ 2

คามากสุดและคานอยสุด ตามลําดับ แลว 1. 20

+ 2 ≤ 0 ถา a และ b เปนสมาชิกของ S ที่มี

a เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 47) b

2. 100

3. 200

4. 1,000

26. ผลบวกของคําตอบของสมการ 1 + (2 log x 3)[log9 (9 − x)] = log x 14 มีคาเทากับเทาใด (ตุลา 47) __________ 27. ให S เปนเซตคําตอบของอสมการ 52 x + 11 ≤ 12(5x ) − 9 ถา a และ b เปนสมาชิกของ S ที่มีคามากที่สุด และนอยที่สุด ตามลําดับ แลว a + b เทากับเทาใดตอไปนี้ (ตุลา 47) 2. log 5 20 3. 2 4. log 5 30 1. log 5 15 28. ผลบวกของคําตอบของสมการ 12 − 2(3x ) − 9(4 x ) + 18 = 0 มีคาเทากับเทาใด (มีนา 48) __________ 29. ให S เปนเซตคําตอบของอสมการ log(log x) + log(9 − log x 2 ) ≥ 1 ถา a และ b เปนสมาชิกของ S ที่มีคามากที่สุดและนอยที่สุด ตามลําดับ แลว ab เทากับขอใด (มีนา 48) 7

1. 10 2

9

11

2. 10 2

3. 10 2

3

13

4. 10 2

¾ ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

30. ขอใดตอไปนี้ถูก (A-NET 49) 1. log 7 3 < log5 3 < log 7 10 3. log 7 3 < log 7 10 < log5 3

2. log5 3 < log 7 3 < log 7 10 4. log 7 10 < log5 3 < log 7 3

31. จํานวนเต็มที่สอดคลองกับอสมการ log 1 [ log3 ( x + 1)] > − 1 มีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 49) 2

1. 6

2. 7

32. กําหนดให A = {z ∈ R | z =

3. 8

4. มากกวา 8

x และ 6 log( x − 2 y ) = log x3 + log y 3 } ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต A y

มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 50) 1. 3 2. 4

3. 5

4. 6

33. ถา log 2 3 = 1.59 แลวคาของ x ที่สอดคลองสมการ 22 x +1 ⋅ 32 x + 2 = 122 x เทากับเทาใด (A-NET 50) __________ 1 2

34. ถา (a, b) เปนเซตคําตอบของอสมการ log 2 (2 x − 1) − log 4 ( x 2 + ) <

1 2

แลว a + b มีคาเทาใด (A-NET 51) ____________ 1

35. ผลบวกของรากทั้งหมดของสมการ log 3 (3 x + 27) = log 3 4 + 1 + 2.

1. 0

1 2

3.

3 4

1 เทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 51) 2x

4. 1

36. ถา 6 x + y = 36 และ 5x + 2 y = 125 แลวคาของ x เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1. 1 2. 1.5 3. 2 4. 2.5 37. ถา 4(log x)2 + 9(log y ) 2 = 12(log x)(log y ) แลวขอใดตอไปนี้ถูก (PAT ตุลา 51) 1. y 2 = x 2. x 2 = y 3. x3 = y 2 4. x 2 = y 3 38. ถา xy = 2 แลว 1. 4

2( x + y )

2

2( x − y )

2

มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 2. 8

3. 64

4. 256

39. กําหนดให A และ B เปนจํานวนเต็มบวก ถา A log50 5 + B log 50 2 = 1 แลว A + B เทากับขอใด (PAT ตุลา 51) 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 40. ถา 4 x − y = 128 และ 32 x + y = 81 แลวคาของ y เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1. – 2 2. – 1 3. 1 4. 2

4

¾ ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

41. ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการ log3 x = 1 + log x 9 อยูในชวงใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 2. [4, 8) 3. [8, 12) 4. [12, 16) 1. [0, 4) x

x

4 9 42. กําหนดสมการ ⎜⎛ ⎟⎞ + ⎜⎛ ⎟⎞ = 1 จงพิจารณาขอความตอไปนี้ (PAT มีนา 52) ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ข. ถาสมการมีคําตอบ แลวคําตอบจะมีเพียงคาเดียว ก. ถา a เปนคําตอบของสมการ แลว a > 1

ขอใดตอไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก

2. ก. ถูก และ ข. ผิด

3. ก. ผิด และ ข. ถูก

4. ก. ผิด และ ข. ผิด

43. คําตอบของสมการ log 2 (4 − x) = log 2 (9 − 4 x) + 1 อยูในชวงใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. [−10, 6) 2. [−6, − 2) 3. [−2, 2) 4. [2, 6) 44. กําหนดให x, y > 0 ถา x y = y x และ y = 5 x แลว คาของ x อยูในชวงใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 2. [1, 2) 3. [2, 3) 4. [3, 4) 1. [0, 1) 45. กําหนดให a, b, c > 1 ถา log a d = 30, logb d = 50 และ log abc d = 15 แลวคาของ log c d เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 75 2. 90 3. 120

4. 150

46. ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4 x + 2 x +3 แลว คาของ x อยูในชวงใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 52) 2. [1, 2) 3. [2, 3) 4. [3, 4) 1. [0, 1) 47. กําหนด log y x + 4 log x y = 4 แลว log y x3 มีคาเทาใด (PAT ตุลา 52) __________ 48. รากที่มีคานอยที่สุดของสมการ 2log( x −2) ⋅ 2log( x −3) = 2log 2 มีคาเทาใด (PAT ตุลา 52) __________ 49. กําหนดให x และ y เปนจํานวนจริงบวกและ y ≠ 1 ถา log y 2 x = a และ 2 y = b แลว x มีคาเทากับ ขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 53) 1.

1 a ( log 2 b ) 2 x

1 1 50. ถาสมการ ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝4⎠ ⎝2⎠

ตอไปนี้ (PAT มีนา 53) 1. (−∞, − 3)

2. 2 ( log 2 b )

3.

a

a ( log 2 b ) 2

4. 2a ( log 2 b )

x −1

+ a = 0 มีคําตอบเปนจํานวนจริงบวก แลวคาของ a ที่เปนไปไดอยูในชวงขอใด

2. (−3, 0)

3. (0, 1)

4. (1, 3)

51. เซตคําตอบของอสมการ 72 x + 72 < 23 x +3 + 32 x + 2 เปนสับเซตของชวงใดตอไปนี้ (PAT มีนา 53)

5

¾ ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions 1. (log8 7, log9 8)

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

2. (log9 8, log8 9)

3. (log8 9, log 7 8)

6

4. (log9 10, log8 9)

¾ ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 5 เมตริกซ (ม.4) ⎡1 −1⎤

1. กําหนดให A = ⎢ ⎥ ⎣2 1 ⎦ 1. 6 y 0⎤ ⎡x ⎢ 2. ถา A = ⎢ 1 2 0⎥⎥ ⎢⎣ −1 − x 1 ⎥⎦

ถา B เปนเมตริกซที่ B = 2 A−1 แลวขอใดเปนคาของ det (3adj B ) (ตุลา 41) 2. 9

3. 12

4. 18

, det A = 1 และโคแฟกเตอรของ a21 = 3 แลว det ( A + I )

เทากับเทาใด (มีนา 42) __________ 3. ถา x1 สอดคลองระบบสมการ x1 + 2 x2 + x3 = 0 , 3x1 + x2 − 2 x3 = 5 , 2 x1 − 3x2 − 3x3 = 9 ⎡ x + y 2 x1 ⎤ แลวผลบวกของ y ทั้งหมดที่ทําให A เปนเมตริกซเอกฐานเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 42) y ⎥⎦

และ A = ⎢ 1 ⎣ 3 1. 0

2. – 1

4. ให A เปนเมตริกซมิติ 3× 3 ถา M 13 =

3. – 2 −1 3 −1 1 , M 21 = 1 2 2 4

4. – 3 และ M 32 =

2 1 −1 0

แลว det A มีคาเทากับเทาใด (ตุลา 42) __________ ⎡ x 5 −1⎤ 5. กําหนดให A = ⎢⎢ 0 4 −2 ⎥⎥ โดยที่ det A = − 1 และ x เปนจํานวนจริง ถา I เปนเมตริกซเอกลักษณ ⎢⎣ 0 0 − x ⎥⎦ ขนาด 3× 3 แลว det (2( I − A) At ) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42)

1. 4

2. 8

⎡5 6. ถา A = ⎢⎢ −2 ⎢⎣ 1 แลว det ( B −1 )

3. 12

4. 18

4 6⎤ ⎡C ( A) C23 ( A) ⎤ 0 7 ⎥⎥ และ B = ⎢ 13 3 2 ⎥⎦ ⎣ 2 0 ⎥⎦

มีคาเทากับเทาใด (มีนา 43) ________

⎛ ⎡ csc x sec x ⎤ ⎞ 3 3 และ tan x = − แลว det ⎜ 2 ⎢ ⎟ cos x ⎥⎦ ⎠ 5 4 ⎝ ⎣ 1 1 1 2 1. − 2. − 3. − 6 3 3

7. ถา sin x =

เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43) 4. −1

⎡3 2⎤

แลว det (4 ( A−1 )) + det (4 ( A−1 )2 ) + det (4 ( A−1 )3 ) + ... + det(4 ( A−1 )6 ) 8. ถา A = ⎢ ⎥ ⎣2 2⎦ มีคาเทาใด (ตุลา 43) __________

1

¾ เมทริกซ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

⎡ x −1 6 ⎤ 9. กําหนดให A = ⎢⎢ 2 5 7 ⎥⎥ ถาไมเนอรของ a32 เทากับ 23 และโคแฟกเตอรของ a23 เทากับ −44 แลว ⎢⎣ 4 2 y 9 ⎥⎦ x + y มีคาเทากับเทาไร (มีนา 44) __________

⎧2i −1 ; i = j

10. กําหนดให A = [aij ] 3×3 โดยที่ aij = ⎨

⎩2

1. – 16

2. – 4

⎛ adj ( At ) ⎞

แลว det ⎜ 4 ⎟ เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 44) ; i≠ j ⎝ det( A) ⎠ 3. 4 4. 16

⎡ 1 0 −1⎤ 11. ถา A = ⎢⎢ 3 −1 −2⎥⎥ และ C11 ( A) = 2 แลว det(−3 A−1 ) มีคาเทากับเทาใด (ตุลา 44) __________ ⎢⎣ 2 5 a ⎥⎦

⎛ ⎡ x2 ⎜⎢ 12. ให f ( x) = det ⎜ ⎢ 0 ⎜⎢ x ⎝⎣

− x 1⎤ ⎞ ⎥⎟ 1 2 ⎥ ⎟ ถาชวง [a, b] เปนสับเซตของอสมการ f ( x) ≥ − 2 1 1 ⎥⎦ ⎟⎠

แลว a − b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 44) 1.

1 3

2.

2 3

3.

4 3

4.

5 3

⎡ (tan 30 ) x −1⎤ −1 13. กําหนดให A = ⎢ ⎥ และ det( A) = 9 แลว A คือเมตริกซในขอใดตอไปนี้ (มีนา 45) x 2⎦ ⎣(cot 60 ) ⎡ 2 −1 ⎤ ⎡ 2 1⎤ ⎡ 1 −1 ⎤ ⎡ 2 1⎤ 1. ⎢ 91 13 ⎥ 2. ⎢ −91 13 ⎥ 3. ⎢ 13 32 ⎥ 4. ⎢ −91 91 ⎥ ⎣9 9 ⎦ ⎣9 3 ⎦ ⎣ 9 3⎦ ⎣ 3 3⎦

14. พิจารณาขอความตอไปนี้ ⎛ ⎡x x ⎜ ก. ถา x ∈ R และ det ⎜ ⎢⎢ 1 x ⎜ ⎢1 1 ⎝⎣ ⎡a ข. ถา a, b ∈ R และ A = ⎢ ⎣ 2b

x⎤ ⎞ ⎟ x ⎥⎥ ⎟ = − 4 แลว x ≤ 2 x ⎥⎦ ⎟⎠ 2⎤ ถา A = b adj A แลว a + b ≥ 2 3 ⎥⎦

ขอใดตอไปนี้เปนจริง (มีนา 45) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

2

4. ก ผิด และ ข ผิด

¾ เมทริกซ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

⎡ 4 −2 ⎤ ⎡1 0 ⎤ , I = ⎢ ⎥ ⎥ และ c เปนจํานวนจริงที่นอยที่สุดที่ทําให det( A − cI ) = 0 1⎦ ⎣0 1⎦ ⎡1 c c ⎤ 1 ถา B = ⎢⎢c 1 c ⎥⎥ แลว det ⎛⎜ B ⎞⎟ เทากับเทาใด (ตุลา 45) __________ ⎝2 ⎠ ⎢⎣c c 1⎥⎦

15. กําหนดให A = ⎢ ⎣1

16. ถา A เปนเมตริกซซึ่ง A

−1

⎡1 = ⎢⎢ 3 ⎢⎣ x

0⎤ 1 −1⎥⎥ , x > 0 0 −2 ⎥⎦ 2

แลว x เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45) 2. 5 ≤ x < 9 1. x < 5

และ det(2 adj A) =

3. 9 ≤ x < 13 ⎡5

1 18

4. x ≥ 13

4⎤

⎡ 2

1⎤

17. กําหนดให A และ B เปนเมตริกซนาด 2 × 2 ถา A + 2 B = ⎢ ⎥ และ A − B = ⎢ −1 −5⎥ ⎣8 16 ⎦ ⎣ ⎦ −1 แลว det(2 A B) มีคาเทากับเทาใด (มีนา 46) ______________ ⎡ x + 2 x x + 1⎤ ⎡x 18. กําหนดให A = ⎢⎢ 0 x x + 1⎥⎥ และ B = ⎢ ⎣2 x ⎢⎣ x + 1 −1 x ⎥⎦ แลว adj B คือเมตริกซในขอใดตอไปนี้ (มีนา 46)

⎡3

1. ⎢ ⎣ −2

−2 ⎤ 1 ⎥⎦

⎡3

0⎤

x + 1⎤ ถา x เปนจํานวนจริงที่ทําให det( A) = 0 3 ⎥⎦

⎡3

2. ⎢ ⎥ ⎣ 2 −1⎦

3. ⎢ ⎣ −4

−3⎤ 2 ⎥⎦

⎡3

1⎤

4. ⎢ ⎥ ⎣ 4 −2 ⎦

⎡1 0 2 ⎤ 19. กําหนดให a เปนจํานวนจริง A = ⎢⎢ 0 3 0 ⎥⎥ และ det(adjA) = 225 ถา a > 10 และ แลว a มีคาเทากับ ⎢⎣ 4 0 a ⎥⎦

ขอใดตอไปนี้ (ตุลา 46) 1. 11

2. 12

3. 13

4. 14

⎡ a 1 2a + 6 ⎤ ⎢ ⎥ 3 ⎥ ถา M11 ( A) = 18 และ M 22 ( A) = − 12 20. กําหนดให a เปนจํานวนจริง และ A = ⎢ 6 a ⎢a 2 a ⎥⎦ ⎣ แลว C31 ( A) เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 46)

1. – 57

2. – 33

3. – 15

4. – 3 1 3

21. ให A, B เปนเมตริกซมิติ 3 x 3 ถา AB = 3I โดยที่ I เปนเมตริกซเอกลักษณ และ adjB = A แลว det( A) มีคาเทากับเทาใด (มีนา 47) __________

3

¾ เมทริกซ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

⎡ a a − 2 −1⎤ 22. กําหนดให A = ⎢⎢ −1 a 1 ⎥⎥ เมื่อ a เปนจํานวนจริง ถา M11 ( A) = 5 และ M 33 ( A) = 0 แลว ⎢⎣ 1 a ⎥⎦ −1

พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. det( A) = 11 ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 47) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด

ข. C13 ( A) = − 1 3. ก ผิด และ ข ถูก

4. ก ผิด และ ข ผิด

23. ให x, y, z เปนคําตอบของระบบสมการเชิงเสน a11 x + a12 y + a13 z = 2, a21 x + a22 y + a23 z = 1, a31 x + a32 y + a33 z = 0 ⎡ a11 ถา ⎢⎢ a21 ⎢⎣ a31

a12 a22

a13 a23

a32

a33

1 0 0⎤ ⎡1 0 0 ⎥ ⎢ 0 1 0⎥ ∼ ⎢0 1 0 ⎢⎣0 0 1 0 0 1 ⎥⎦

1 −1 1 ⎤ ⎥ 0 −2 1 ⎥ 2 3 0 ⎥⎦

แลว คาของ x + y + z เทากับเทาใด (ตุลา 47) __________ 24. กําหนดให A เปนเมตริกซมิติ 3 x 3 และ Aij คือเมตริกซที่ไดจากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของเมตริกซออก ⎡ 2 −5 −1⎤ ⎡ −1 −2 ⎤ ⎡1 −1⎤ และ A32 = ⎢ ถา adj A = ⎢⎢ −28 10 −1⎥⎥ A11 = ⎢ ⎥ 3 −2 ⎥⎦ 5 8⎦ ⎣ ⎣ ⎢⎣ 17 −5 −1⎥⎦ แลว det( A) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 47)

1. – 92

2. – 15

3. 15

4. 92

⎡1 −1 0 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ x⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 25. กําหนดให B = ⎢0 1 2⎥ , C = ⎢ 0 ⎥ , X = ⎢⎢ y ⎥⎥ และ I เปนเมตริกซเอกลักษณ ⎢⎣ 3 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ถา A เปนเมตริกซมิติ 3 x 3 ซึ่งสอดคลองกับสมการ 2AB = I และ AX = C แลว

คาของ x + y + z เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 48) 1. 20 2. 24

3. 26

4. 30

⎡ 4 12 −9 ⎤ 26. กําหนดให A = ⎢⎢7 −10 5 ⎥⎥ และ B, C , D เปนเมตริกซมิติ 3 x 3 ซึ่ง A ~ B ~ C ~ D ⎢⎣ 1 0 0 ⎥⎦ 4 โดยที่ B ไดจาก A โดยการดําเนินการ R1 − R2 3 C ไดจาก B โดยการดําเนินการ 5R1

D ไดจาก C โดยการดําเนินการ R23

แลว det ( D) เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 48) 1. – 3,750 2. – 150

3. 150

4

4. 3,750

¾ เมทริกซ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

27. ถา x, y, z สอดคลองระบบสมการ x + 2 y − 2 z = − 2, 2 x + y + 2 z = 5, x − 3 y − 2 z = 3 แลว ดีเทอรมินันต

2

1

−3

−2

2

−2

x + 2 y 2x + y

1. 60

มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 49)

x − 3y

2. 75

⎡3 28. กําหนดให A = ⎢⎢ 2 ⎢⎣1 ⎡3 x 3 1 ถา ⎢⎢ 2 0 9 0 ⎢⎣ 1 1 2 0

x 3⎤ 0 9 ⎥⎥ เมื่อ 1 2 ⎥⎦ 0 0⎤ ⎥ 1 0⎥ ∼ 0 1 ⎥⎦

3. 90

4. 105

x เปนจํานวนจริง

⎡1 0 0 ⎢ ⎢0 1 0 ⎢⎣ 0 0 1

−36 ⎤ ⎥ −5 −3 21 ⎥ แลว x มีคาเทากับเทาใด (A-NET 49) ______ −2 −1 8 ⎥⎦ 9

5

⎡x 1 1 ⎤ 29. กําหนดให A = ⎢⎢ 3 1 1 ⎥⎥ ถา C12 ( A) = 4 แลว det(2 A) มีคาเทาใด (A-NET 50) __________ ⎢⎣ x 0 −1⎥⎦

⎡1 a ⎤ ⎡ 1 −3⎤ ถา ( A + B) 2 − 2 AB = A2 + B 2 , B=⎢ ⎥ ⎥ ⎣1 b ⎦ ⎣2 3 ⎦

30. กําหนดให A = ⎢

แลว det( A) เทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 50) 1. 0.5 2. 1.5 ⎡ x2 31. กําหนดใหเมทริกซ A และ B ดังนี้ A = ⎢ ⎣⎢ 2 2

3. 3.5

4. 4.5

−2 2 ⎤ ⎡ −2 −4 x ⎤ โดยที่ x เปนจํานวนจริง ⎥ และ B = ⎢ 0 ⎥⎦ x ⎦⎥ ⎣2

ถา det (2 A) = − 76 แลว เมทริกซ C ในขอใดตอไปนี้ ที่ทําใหคาของ det ( BC ) อยูภายในชวง (−100, − 50) (A-NET 51) 1.

⎡1 −1⎤ C=⎢ ⎥ ⎣1 2 ⎦

⎡ −1 2 ⎤ 1 ⎥⎦

⎡2

2. C = ⎢ ⎣1

1⎤

3. C = ⎢ ⎥ ⎣ −1 4 ⎦

⎡2

1⎤

4. C = ⎢ ⎥ ⎣ 3 −1⎦

x 1⎤ ⎡ 2 ⎢ 32. กําหนดเมตริกซ A = ⎢ −1 0 1 ⎥⎥ โดยที่ x เปนจํานวนจริง ถา C22 ( A) = 14 แลว det(adj ( A)) ⎢⎣1 − x 2 2 x ⎥⎦

มีคาเทาใด (A-NET 51) 33. ถา x, y, z เปนจํานวนจริงที่ทําให x − y + 2 z = 9, 2 x + y − z = 0, 3x − 2 y + z = 11 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1. – 4 2. – 2 3. 2 4. 4

5

¾ เมทริกซ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

⎡1 2 3⎤ ⎡ 2 x 3⎤ ⎢ ⎥ 34. กําหนดให x และ y เปนจํานวนจริง และ A = ⎢ 2 x 1 ⎥ , B = ⎢⎢ 2 y 3⎥⎥ ⎢⎣ 3 y 2 ⎥⎦ ⎢⎣1 2 3⎥⎦ ถา A และ B ไมมีตัวผกผัน แลว x + y เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51)

1. – 1

2. – 2

3. – 3

4. – 4

⎡1 2 4⎤ 35. ถา A = [aij ] เปนเมทริกซ ซึ่งมี A = ⎢⎢ −3 8 0 ⎥⎥ แลว a23 มีคาเทาใด (PAT ตุลา 51) ⎢⎣ 1 2 −1⎥⎦ −1

1. 0

2.

16 70

3.

32 70

4.

12 70

⎡1 2 −1⎤ 36. กําหนดให A = ⎢⎢ 2 x 2 ⎥⎥ โดยที่ x และ y เปนจํานวนจริง ถา C11 ( A) = 13 และ C21 ( A) = 9 ⎢⎣ 2 1 y ⎥⎦ แลว det( A) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52)

1. – 33

2. – 30

3. 30

4. 33

⎡ −2 2 3 ⎤ 37. กําหนดให A = ⎢⎢ 1 −1 0 ⎥⎥ สมาชิกในแถวที่ 2 และหลักที่ 3 ของ A−1 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) ⎢⎣ 0 1 4 ⎥⎦ 2 2 1. − 2. −2 3.

4. 2 3 3 T

38. กําหนดให x, y, z สอดคลองกับระบบสมการ 2 x − 2 y − z = − 5, x − 3 y + z = − 6, − x + y − z = 4 ขอใดตอไปนี้ถูก (PAT มีนา 52) 1. x 2 + y 2 + z 2 = 6

2. x + y + z = 2

3. xyz = 6

4.

xy = −2 z

39. กําหนดให A เปนเมทริกซที่มีมิติ 2 × 2 และ det( A) = 4 ถา I เปนเมทริกซเอกลักษณ และ A − 3I เปนเมตริกซเอกฐาน แลว det ( A + 3I ) เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 0 2. 6 3. 13 4. 26 40. ถา x, y, z เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับระบบสมการ 2 x − 2 y − z = 1, x − 3 y + z = 7, − x + y − z = − 5 แลว

1 2 3 + + เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) x y z

1. 0

2. 2

3. 5

6

4. 8

¾ เมทริกซ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1) ⎡ −1

⎡3 4 ⎤

41. ถา A และ B เปนเมทริกซซึ่ง 2 A − B = ⎢ ⎥ และ A + 2 B = ⎢ 4 ⎣3 6 ⎦ ⎣ −1 แลว ( AB) คือเมทริกซในขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) ⎡ 1 − 1. ⎢ 4 ⎢ ⎣ 1

⎤ 0⎥ ⎥ −1⎦

⎡ −1 0 ⎤ ⎥ 2. ⎢ ⎢ 1 − 1⎥ ⎣ 4⎦

⎡ x⎤ 42. กําหนดให X = ⎢⎢ y ⎥⎥ สอดคลองสมการ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎡2⎤ และ C = ⎢⎢ −2⎥⎥ ถา (2 A + B) X = ⎢⎣ 3 ⎥⎦

1. 3

1⎤ ⎡ 1 ⎢ 3.

4⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 −1⎦

2⎤ −2 ⎥⎦ ⎡1 −1 ⎤ ⎥ 4. ⎢ ⎢0 − 1 ⎥ ⎣ 4⎦

⎡ 1 2 1⎤ ⎡ 1 −1 0 ⎤ ⎢ ⎥ AX = C เมื่อ A = ⎢ −2 0 1 ⎥ , B = ⎢⎢ 2 0 −1⎥⎥ ⎢⎣ 0 1 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 4 0 ⎥⎦ ⎡a ⎤ ⎢ b ⎥ แลว a + b + c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 52) ⎢ ⎥ ⎢⎣ c ⎥⎦

2. 6

3. 9

4. 12

⎛ ⎡0 x 0 ⎤ −1 ⎞ ⎜ ⎟ 1 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 52) 43. ถา det ⎜ 2 ⎢⎢0 2 2⎥⎥ ⎟ = x 1 − ⎜⎜ ⎢⎣ 3 1 5 ⎥⎦ ⎟⎟ ⎝ ⎠

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

⎡1 2 4⎤ 44. กําหนดให A = ⎢⎢ −3 8 0 ⎥⎥ สมาชิกแถวที่ 3 หลักที่ 1 ของ A−1 เทากับเทาใด (PAT ตุลา 52) ___________ ⎢⎣ 1 2 −1⎥⎦

⎡ −5 −8⎤ ⎡ −4 −4 ⎤ และ A − 2 B = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣4 0⎦ ⎣5 6⎦

45. ให A และ B เปนเมทริกซที่มีขนาด 2 × 2 โดยที่ 2 A − B = ⎢ คาของ det( A4 B −1 ) เทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________ ⎡1

0 ⎤ ⎡ x −1⎤

⎡ 2 y −1⎤ ⎡ 1 0 ⎤ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ −1 w⎥⎦

46. ให x, y, z และ w สอดคลองกับสมการ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢z ⎣ −1 w⎦ ⎣ 0 y ⎦ ⎣ คาของ 4w − 3z + 2 y − x เทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________

7

¾ เมทริกซ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 6 ระบบจํานวนจริง (ม.4) 1. กําหนดให A และ B เปนเซตคําตอบของอสมการ

3 − x2 ≥ 0 x+2

เซตในขอใดเปนสับเซตของ B − A (ตุลา 41) 1. { -1.6 , 1.6 } 2. { -1.7 , 1.7 } 2. ให A = { x

และ 2 − x 2 ≤ 2 ตามลําดับ

3. { -1.8 , 1.8 }

4. { -1.8 , 1.7 }

x − 2 < 4 } และ B = { x 15 x −2 − 8 x −1 + 1 > 0 } แลว A ∩ B คือเซตในขอใด

1. (-2 , 3) ∪ (5 , 6) 3. (0 , 3) ∪ (3 , 5) ∪ (5 , 6)

2. (0 , 3) ∪ (5 , 6) 4. (-2 , 0) ∪ (0 , 3) ∪ (5 , 6)

3. ให S = {0 , 1 , 2 , ... , 7 } และนิยาม a ∗ b = เศษเหลือจากการหารผลคูณ ab ดวย 6 ทุก a , b ∈ S พิจารณาขอความตอไปนี้ ข. {4 ∗ x x ∈ S } = {0 , 2 , 4} ก. x ∗ 1 = x ทุก x ∈ S ขอใดตอไปนี้เปนจริง (มีนา 43) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก แต ข ผิด 3. ก ผิด แต ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 4. กําหนดให A = { x

x−4 > 5 } ,

B = {x

1. A ∪ B = (-∞ , -1) ∪ (1 , ∞) 3. B – A = [1 , 9)

x+3 −

x ≤ 1 } ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 43)

2. ( A ∩ B)′ = (9 , ∞) 4. A – B = (-∞ , -1)

5. ให x , y , z เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคาเรียงติดกันจากนอยไปมาก ถา y เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยที่สุด ที่ทําให 3 x + y + z เปนจํานวนเต็มบวก แลว y มีคาเทาใด (ตุลา 43) __________ 6. กําหนดให x + 1 และ x −1 เปนตัวประกอบของพหุนาม p( x) = 3x3 + x 2 − ax + b เมื่อ a , b เปน คาคงตัว เศษเหลือที่ไดจากการหาร p( x) ดวย x − a − b เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 44) 1. 15 2. 17 3. 19 4. 21 7. กําหนดให A = { x x −1 ≤ 2 และ

1 1 > } x +1 2

แลว A ∩ B คือชวงในขอใดตอไปนี้ (มีนา 44) 1. (-1 , 0) 2. [-1 , 0)

และ 3. (0 , 1)

B =

{x

x2 + 2x < 0 }

4. (0 , 1]

x

⎛1⎞ ⎜ ⎟ +1 เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 44) 8. ถา −2 ≤ x ≤ 2 และ 8 ≤ y ≤ 13 แลว คามากสุดของ ⎝ 2 ⎠ y+2 1 1 1 1. 1 2.

3.

4.

2 3 8

1

¾ ระบบจํานวนจริง

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

9. กําหนดให P( x) = x3 + ax 2 + bx + 2 โดยที่ a และ b เปนจํานวนจริง ถา x − 1 และ x + 3 ตางหาร P( x) แลวเหลือเศษ 5 ดังนั้น a + 2b มีคาเทากับขอใด (ตุลา 44) 1. – 11 2. – 1 3. 1 4. 9 10. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ 12 + x − x 2 < 0 และ B เปนเซตคําตอบของอสมการ 3 − x < 1 เซต A ∩ B เปนสับเซตของชวงใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1. (-5 , -3) 2. (-3 , -1) 3. (1 , 3) 4. (3 , 5) 11. ให S เปนเซตคําตอบของอสมการ

3x − 2 ≥ 2 พิจารณาขอความตอไปนี้ x −1

ก. S = (−1, 0] ∪ (1, ∞) ข. ∃x [ x ∈ S ∧ ( x + 2) ∉ S ] ขอใดตอไปนี้เปนจริง (ตุลา 45) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก

4. ก ผิด และ ข ผิด

12. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ x > x − 1 และ

x −5 ≥ 0 ( x + 1)( x + 3)

B เปนเซตคําตอบของอสมการ

ถา A − B คือชวง (a, b) แลว a + b มีคาเทากับเทาใด (มีนา 46) __________ 13. กําหนดให I คือจํานวนเต็มและ S = { x x − 1 − 1 ⋅ x − 1 + 1 < 50 } จํานวนสมาชิกของเซต S ∩ I เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 46) 1. 13 2. 14

3. 15

4. 16

14. กําหนดให f ( x) = x3 + kx 2 + mx + 4 เมื่อ k และ m เปนคาคงตัว ถา x − 2 เปนตัวประกอบตัวหนึ่งของ f ( x) และเมื่อนํา x + 1 ไปหาร f ( x) ไดเศษเหลือ 3 แลวคาสัมบูรณของ k + m เทากับเทาใด __________ 15. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของอสมการ

3x − 2 ≥ 0 เซต x −1 −1

{x

x > 0 และ x ∉ S } เปนสับเซตของชวงใน

ขอใดตอไปนี้ (มีนา 47) 1. [ 0, 1]

1 3 2. ⎡⎢ , ⎤⎥ ⎣4 2⎦

1 3. ⎡⎢ , 2 ⎤⎥ ⎣2 ⎦

3 4. ⎡⎢ , 3⎤⎥ ⎣4 ⎦

16. ให a และ b เปนจํานวนจริงที่ทําให x 2 + ax + b หาร x3 − 3x 2 + 5 x + 7 มีเศษเหลือเทากับ 10 คา a + b เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 47) 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

2

¾ ระบบจํานวนจริง

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

17. เซตในขอใดตอไปนี้เปนเซตคําตอบของสมการ 9 x3 + 12 x 2 + x − 2 = 0 (มีนา 48) 1. {−2,

1 3 , } 3 2

2 1 3 2

2. {−1, − , }

1 2 , } 3 3

3. {−1,

2 1 3 3

4. {−1, − , }

18. กําหนด I เปนเซตของจํานวนเต็ม ถา S = { x ∈ I | 2 x 2 − 9 x − 26 ≤ 0 และ |1 − 2 x | ≥ 3 } แลว ผลบวกของ สมาชิกของ S เทากับเทาใด (A-Net 49) __________ 19. ถา x และ y เปนจํานวนจริงบวกที่ตางกัน ซึ่งสอดคลองกับสมการ x y = y x แลว ขอใดตอไปนี้ผิด (A-Net 49) y

⎛x⎞ 1. y = x 2. x = y 3. ( xy ) = x 4. ⎜ ⎟ = y ( x − y ) ⎝ y⎠ 20. กําหนดให I เปนเซตของจํานวนเต็ม ถา S = {x ∈ I 2 x 2 − 9 x − 26 ≤ 0 และ 1 − 2 x ≥ 3} x ( ) y

y ( ) x

y

( x+ y )

แลว ผลบวกของสมาชิกของ S เทากับเทาใด (A-Net 49) __________ 21. กําหนดให A = { x (2 x + 1)( x − 1) < 2 } และ B = { x 16 − 9 x 2 > 0 } เซต A ∩ B เปนสับเซตของชวงในขอใดตอไปนี้ (A-Net 50) 2 7 3 3

1. (− , )

5 3

4 5 3 4

2. (−1, )

3. (− , )

5 3

4. (− , 1)

22. ถาเซตคําตอบของอสมการ x 2 + x − 2 < x + 2 คือชวง (a, b) แลว a + b มีคาเทาใด (A-Net 50) __________ 23. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ x 2 + x − 2 ≤ x 2 − 4 x + 3 และ B = A − {1} ถา a เปนสมาชิกของ B ซึ่ง a − b ≥ 0 ทุก b ∈ B แลว พิจารณาขอความตอไปนี้ ก.

4 a เปนจํานวนคู 3

ขอใดตอไปนี้ถูก (A-Net 51) 1. ก ถูก และ ข ถูก

ข. เปนจํานวนคู 2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

4. ก ผิด และ ข ผิด

24. กําหนดให A = { x x 2 + 2 x − 3 < 0 } และ B = { x x + 1 ≥ 2 x } ถา A − B = (a, b) แลว 3 a + b มีคาเทาใด (A-Net 51) __________ 25. ให P( x) = x3 + ax 2 + bx + 10 เมื่อ a, b เปนจํานวนเต็ม และ Q( x) = x 2 + 9 ถา Q( x) หาร P( x) เหลือเศษ 1 แลว P(a) + P(b) มีคาเทาใด (A-Net 51) __________

3

¾ ระบบจํานวนจริง

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1) a 2

26. กําหนดให a เปนคาคงตัวและ P( x) = x3 − 3x 2 + x + 5 ถา P( x) หารดวย x − 2 ไดเศษเหลือเทากับ 7 a 3

แลว P( + 2) เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1. 31

2. 33

3. 35

4. 37

27. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของสมการ x 4 − 5 2 x 2 + 8 = 0 ผลบวกของสมาชิกที่เปนจํานวนจริงบวกของ S เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 2. 24 3. 4 242 4. 4 162 1. 18 ⎧

⎫ ( x − 2)( x + 3) ≤ 0 ⎬ และ B = { x x ∈ A และ x < 0} ถา a เปนสมาชิกที่มีคามาก ⎩ ( x + 4)(2 x − 1) ⎭ ที่สุดของ A และ b เปนสมาชิกที่มีคามากที่สุดของ B แลว ab เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51)

28. กําหนดให A = ⎨ x 1. 6

2. 8

3. 10

4. 12

29. ถาชวง (a, b) เปนเซตคําตอบของอสมการ 2 x + 3 > 3 x − 2 แลว b − a เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1. 11 2. 12 3. 13 4. 14 30. กําหนดให S = { x | x | 3 = 1 } เซตในขอใดตอไปนี้เทากับเซต S (PAT มีนา 52) 1. { x | x3 = 1}

2. { x | x 2 = 1}

3. { x | x3 = − 1}

4. { x | x 4 = x }

31. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของสมการ 2 x3 − 7 x 2 + 7 x − 2 = 0 ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ S เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1. 2.1 2. 2.2 3. 3.3

4. 3.5

32. กําหนดให A = { x | x − 1| ≤ 3 − x } และ a เปนสมาชิกคามากที่สุดของ A คาของ a อยูในชวงใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 2. (0.5, 1] 3. (1, 1.5] 1. (0, 0.5]

4. (1.5, 2]

(2 x + 1)( x − 1) ≥0 2− x และ B เปนเซตคําตอบของอสมการ 2 x 2 − 7 x + 3 < 0

33. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ

ถา A ∩ B = [c, d ] แลว 6c − d เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 4 2. 5 3. 6

4. 7

34. กําหนดให A = { x ( x 2 − 1)( x 2 − 3) ≤ 15 } ถา a เปนสมาชิกคานอยสุดในเซต A และ b เปนสมาชิกคามากสุดในเซต A แลว (b − a) 2 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 24 2. 16 3. 8 4. 4

4

¾ ระบบจํานวนจริง

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

x 4 − 13 x 2 + 36 ≥0 x2 + 5x + 6 ถา a เปนจํานวนที่มีคานอยที่สุดในเซต S ∩ (2, ∞) และ b เปนจํานวนลบที่มีคามากที่สุดซึ่ง b ∉ S

35. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของอสมการ

แลว a 2 − b 2 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. – 9 2. – 5

3. 5

4. 9

36. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ x3 + x 2 − 27 x − 27 = 0 และ B เปนเซตคําตอบของอสมการ x3 + (1 − 3) x 2 − (36 + 3) x − 36 = 0 แลว A ∩ B เปนสับเซตของชวงในขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 52) 2. [−1.1, 0] 3. [0, 3 5] 4. [1, 5 3] 1. [−3 5, − 0.9] ⎧

37. กําหนดให S = ⎨ x ⎩ 1. (−∞, − 3)

{

x x+2⎫ ≥ 2 ⎬ ชวงในขอใดตอไปนี้เปนสับเซตของ S (PAT ตุลา 52) x − 3x + 2 x − 1⎭ 2

2. (−1, 0.5)

38. กําหนดให A = x ∈ R

x2 − 6 x + 9 ≤ 4

3. (−0.5, 2)

4. (1, ∞)

} เมื่อ R แทนเซตของจํานวนจริง

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (PAT มีนา 53) 1. A′ = { x ∈ R 3 − x > 4 }

2. A′ ⊂ (−1, ∞) 4. A ⊂ { x ∈ R 2 x − 3 < 7 }

3. A = { x ∈ R x ≤ 7 }

{

39. ถา S = x ∈ R

3x + 1 +

x −1 =

7x +1

}

เมื่อ R แทนเซตของจํานวนจริง

แลวผลบวกของสมาชิกใน S เทากับเทาใด (PAT มีนา 53)__________

5

¾ ระบบจํานวนจริง

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 7 ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน (ม.4) 1. จํานวนเต็มทั้งหมดที่หาร 210 ลงตัว มีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41) 1. 14 2. 15 3. 16

4. 17

2. ถา A = { p p เปนจํานวนเฉพาะบวกและ p (980 − p)3 } แลวผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน A มีคา เทาใด (มีนา 42)__________ 3. สําหรับจํานวนเต็ม a , b ใด ๆ ให (a , b) = ห.ร.ม. ของ a และ b ให A = {1 , 2 , 3 , ... , 400} จํานวนสมาชิกของเซต { x ∈ A ( x , 40 ) = 5} มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 1. 30 2. 40 3. 60 4. 80 4. กําหนดให S = { n ∈ I + n ≤ 1000, ห.ร.ม. ของ n และ 100 เทากับ 1} จํานวนสมาชิกของเซต S เทากับเทาใด (มีนา 45) __________ 5. กําหนดให a, b เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง a เปน ห.ร.ม. ของ b และ 216 ให q1 , q2 เปนจํานวนเต็มบวก โดยที่ 216 = bq1 + 106 b = 106 q2 + 4 3 ถา P(x) = x + ax2 + bx – 36 แลว เมื่อหาร P(x) ดวย x – a ไดเศษเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45) 1. 192 2. 200 3. 236 4. 272 6. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา a, b และ c เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง a (2b − c) และ a 2 (b + c) แลว a 3c ⎧ ข. ถา A = ⎨ x ∈ R ⎩

ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 46) 1. ก ถูก และ ข ถูก

⎫ x2 − 2x + 2 < 1 ⎬ และ B = x ∈ R x 3 − 2 x 2 < 0 x−2 ⎭

{

2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

}

แลว A = B

4. ก ผิด และ ข ผิด

7. กําหนดให m เปนจํานวนเต็มบวก และ n เปนจํานวนเฉพาะ ถา m หาร 777 และ 910 แลวเหลือเศษ n แลว m – n มีคาเทากับเทาใด (ตุลา 47) __________ 8. ขอความในขอใดตอไปนี้ผิด (ตุลา 47) 1. ถา a, b, n เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง n | a และ n | b แลวจะไดวา n หาร ห.ร.ม. ของ a, b ลงตัวดวย 2. ถา a, b, n เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a | n และ b | n แลวจะไดวา ค.ร.น. ของ a, b หาร n ลงตัวดวย 3. ถา a, m, n เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a | mn แลวจะไดวา a | m หรือ a | n 4. ถา d และ c เปน ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนเต็มบวก m, n แลว จะไดวา dc = mn

1

¾ ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

9. ถา S เปนเซตของจํานวนเต็ม m ที่มีสมบัติดังนี้ 50 ≤ m ≤ 100 และ 7 หาร m3 เหลือเศษ 6 แลวจํานวนสมาชิก ของ S เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 48) 1. 7 2. 14 3. 18 4. 21 10. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกที่มีสมบัติดังนี้ 100 ≤ n ≤ 1,000 แลว n มีคาเทากับเทาใด (มีนา 48) __________

45 และ 75 หาร n ลงตัว 7 หาร n เหลือเศษ 3

11. ถา x เปนจํานวนเต็มบวกที่นอยที่สุด ซึ่ง 9, 12 และ 15 หาร x ลงตัว แต 11 หาร x เหลือเศษ 7 แลว x มีคา เทากับเทาใด (A-NET 49) __________ 12. ให a เปนจํานวนคูบวก และ b เปนจํานวนคี่บวก ขอใดตอไปนี้ถูก (A-NET 49) 1. a และ b เปนจําวนเฉพาะสัมพัทธ 2. a + b เปนจํานวนเฉพาะ 3. ห.ร.ม. ของ a และ b เทากับ ห.ร.ม. ของ a และ 2b 4. ค.ร.น. ของ a และ b เทากับ ค.ร.น. ของ a และ 2b 13. กําหนดให n เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยที่สุด ซึ่งหารดวย 7 แลวมีเศษเหลือเทากับ 4 ถา 9 และ 11 ตางก็หาร n – 2 ลงตัว แลว n คือจํานวนใด (A-NET 50) __________ 14. กําหนดให n เปนจํานวนเต็มที่มีคามากที่สุด ซึ่งมีสมบัติวา n หาร 551 และ 731 เหลือเศษ r เทากัน และ n หาร 1093 เหลือเศษ r + 2 แลว 1.

1 17

r −1 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 51) n 1 1 2.

3.

18 19

4.

1 20

15. ถา a เปน ห.ร.ม. ของ 403 และ 465 และ b เปน ห.ร.ม. ของ 431 และ 465 แลว a – b มีคาเทาใด (PAT ตุลา 52) ____________ 16. ถา a, b, c, d เปนเลขโดดที่แตกตางกันที่ทําใหจํานวนเต็ม 4 หลัก dcba เทากับ 9 เทาของ abcd แลว b เทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________

2

¾ ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 6 เวกเตอร (ม.5) K K K K K 1. ให u = ai + b j โดยที่ a > 0 ถา uK ตั้งฉากกับเวกเตอร −i + 2 j แลวมุมระหวางเวกเตอร uK กับเวกเตอร K K 3i − j (มุมแหลม) มีขนาดกีอ่ งศา (ตุลา 41) __________

2. ถา u + v = 5 2 และ u − v = 1. 3 2. 6

26 แลว u ⋅ v เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 42)

3. 8

4. 12 JJJK

JJJK

3. กําหนดให ABC เปนสามเหลี่ยมใด ๆ และ E เปนจุดที่ทําให CE = 2BA เมื่อ a , b เปนคาคงตัวแลว b − a คือคาในขอใดตอไปนี้ (มีนา 42) 1. –1 2. 2 3. 3 4. ถา u และ v ทํามุมกัน 60D และ u + v = ตอไปนี้ (ตุลา 42) 1. 5 2. 7 K

JJJK

K

37 , u − v =

JJJK

3.

37

K

K

JJJK JJJK JJJK BE = aCB + bCA

ถา

4. 5

13 แลว u + v

4.

มีคาเทากับขอใด

50

5. กําหนดให O เปนจุดกําเนิด OA = 3i + 4 j , OB = 5i − 2 j จากจุด A ลากเสนตรงไปตั้งฉากกับ OB ที่ JJJK จุด D แลว OD คือขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 1.

K K 7 (5i − 2 j ) 29

K

K

1.

1 5

K

K

2.

7 K K (5i − 2 j ) 29

K K 8 (5i − 2 j ) 29

3.

K K

K

K

4.

K

8 K K (5i − 2 j ) 29

K

6. ให u = i + 3 j , v = 2i + j ถา θ เปนมุมระหวาง ( u + v ) และ ( u − v ) แลว cos θ มีคาเทากับ ขอใดตอไปนี้ (มีนา 43) 2.

K K

2 5

3.

1 5

4.

2 5

K K

7. กําหนดให u − v = 3 และ u ⋅ v = −2 จงพิจารณาขอความตอไปนี้ K

K2

K

K2

. u + v เปนเวกเตอรหนึ่งหนวย ข. u + v = 3 ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 43) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก

4. ก ผิด และ ข ผิด

8. ให u และ v เปนเวกเตอร และ θ เปนมุมระหวาง u และ v ถา u + v ตั้งฉากกับ u + 2v และ u + 2v ตั้งฉากกับ 2u − v และ u = 2 แลว cos θ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43) 1.

−1 10

2.

−1 6

3.

1

−1 4

4.

−1 2

¾ เวกเตอรใน 3 มิติ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

9. กําหนดจุด A ( 3 , -2) , B (9 , 4) และ O (0 , 0) ถาแบงสวนของเสนตรง AB เปน 3 สวนเทา ๆ กันที่ JJJK JJJK จุด C และ D แลว OC ⋅ OD มีคาเทาใด (ตุลา 44) _________ 10. ให u = ai + b j โดยที่ a > 0 และ b > 0 และ u ⋅ (5i − 2 j ) = 14 ถา u ทํามุม θ กับเวกเตอร i และ cos θ =

3 5

แลว a + b มีคาเทาใดตอไปนี้ (มีนา 44)

1. 7

2. 14

3. 18

4. 21

JJJK

JJJK

11. ให A, B, C เปนจุดในระนาบ และ O เปนจุดกําเนิด โดยที่ OA = 3i − 2 j และ OB = 2i + 5 j 2 JJJK AB 3 113 1.

9

JJJK

ถา AC =

12. กําหนดให u =

JJJK 2

แลว OC 2.

มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 44)

98 9

3.

193 9

4.

153 9

2 , u + v = 5 , u − v = 4 ถา θ เปนมุมระหวาง u และ v 2

แลว θ อยูในชวงใดตอไปนี้ (ตุลา 44) π

π π

π π

2. ( , )

1. (0, ) 6

π π

3. ( , )

6 4

4. ( , )

4 3

3 2

13. กําหนดจุด A(1,1) , B(4,10) , C (7,9) และ D เปนจุดที่อยูบนดาน AB โดยที่ JJJK JJJK ถา θ คือมุมระหวาง CA และ DC แลว cosθ คือคาในขอใดตอไปนี้ (ตุลา 44)

1. −

2 5

2. −

2 10

3.

2 5

AD AB

4.

2 10

JJJK

14. กําหนดจุด P(-1, 2), R(3, 3), O(0, 0) และ Q เปนจุดบนสวนของเสนตรง PR โดยที่ PQ = JJJK

JJJK

2 3

=

JJJK

1 JJJK PR 3

ถา A (x, y) เปนจุดในควอดรันตที่ 2 ที่ทําให OA ตั้งฉากกับ OQ และ OA = 5 หนวย แลว x + y เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1.

−6 10

2.

−6 2

3.

JJJK

6 10

JJJK

4.

6 2

JJJK

15. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมีสมบัติวา 5 AB = BC + CA ถา M และ N เปนจุดแบงครึ่งดาน BC และ AC ตามลําดับแลว พิจารณาขอความตอไปนี้ JJJJK

ก. MN =

1 JJJK JJJK ( BC − AC ) 2

ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 45) 1. ก ถูก และ ข ถูก

JJJJK JJJK

ข. AM ⋅ BN = 0

2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

2

4. ก ผิด และ ข ผิด

¾ เวกเตอรใน 3 มิติ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

JJJK JJJK JJJK 16. กําหนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยม โดยที่ AB = c, BC = a, CA = b ถา a 2 + b 2 + c 2 = JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK AB ⋅ BC + BC ⋅ CA + CA ⋅ AB เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45) 13 2

1.

13 2

2. −

13 3

3.

JJJK

4. −

JJJK

JJJK

1.

ˆ = และ cos BCA

5 4

2.

5 2

13 3

JJJK 1 JJJK ( CA + 2CB ) , θ เปนมุม 3

17. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยม โดยที่ BC = 1, CA = 2 ถา u = ระหวาง u และ CB

13 แลว

1 แลว cosθ เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45) 4 5 5 3.

4.

4 2 2 2

K K 18. ถา uK = 4i + 3 j , vK = uK และ uK + vK = 8 แลว uK ⋅ vK มีคาเทาใด (มีนา 46) __________

JJJK JJJK

JJJK

JJJK

19. ให A, B เปนจุดสองจุดบนเสนตรง y = 2 x ถาจุด C (-2, 1) ทําให CA ⋅ CB = 0 และ CA = CB แลว รูปสามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 46) 4. 10 ตารางหนวย 1. 2 5 ตารางหนวย 2. 10 ตารางหนวย 3. 5 ตารางหนวย K K K K K K K K 20. กําหนดเวกเตอร aK, b , cK ดังนี้ aK = 4i − 2 j , aK + b = 6i + 4 j และ cK = c1i + c2 j โดยที่ c1 > 0, c2 > 0 K และ cK = 2 17 ถา cK ตั้งฉากกับ (aK − b ) แลว c1 + c2 มีคาเทากับเทาใด (ตุลา 46) __________ JJJK

JJJK

21. กําหนดใหสามเหลี่ยม ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา และ D เปนจุดบนดาน BC ซึ่งทําให BD : BC = 1 : 3 พิจารณาขอความตอไปนี้ JJJK

JJJK JJJK

JJJK JJJK

ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 46) 1. ก ถูก และ ข ถูก

1 JJJK 2 6

ข. AD ⋅ BC = − BC

ก. 3 AD = 2 AB + BC

2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

⎡ −8⎤

⎡1 ⎤

⎡5 ⎤

⎡1 ⎤

4. ก ผิด และ ข ผิด

⎡ −8⎤

22. กําหนดใหเวกเตอร ⎢ ⎥ ตั้งฉากกับเวกเตอร ⎢ ⎥ และ ⎢ ⎥ = b ⎢ ⎥ + c ⎢ ⎥ ถา θ เปนมุมระหวางเวกเตอร ⎣ 4⎦ ⎣a⎦ ⎣ 3⎦ ⎣4⎦ ⎣a⎦ ⎡a ⎤ ⎡b ⎤ 2 ⎢ 0 ⎥ และ ⎢ c ⎥ แลว cos θ เทากับเทาใด (มีนา 47) __________ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

23. ให A, B, C เปนสามจุดที่ไมอยูบนเสนตรงเดียวกัน และ D เปนจุดบนเสนตรง BC ที่ทําให BD : DC = 2 : 1 JJJK 2

JJJK 2

JJJK 2

JJJK JJJK

ถา AD = a AB + b AC + c AB ⋅ AC โดยที่ a, b เปนจํานวนจริง และ AB ⋅ AC ≠ 0 แลว a 2 + b 2 + c 2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 47) 1.

31 81

2.

32 81

3.

3

10 27

4.

11 27

¾ เวกเตอรใน 3 มิติ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

24. กําหนดให u . v , w เปนเวกเตอรที่สอดคลองกับสมการ u + 5v − 2w = 0 โดยที่ u = 3i + 4 j และ u ตั้งฉากกับ v ถา θ เปนมุมระหวาง u และ w แลว คาของ w cos θ มีคาเทาใด (มีนา 48)__________ 25. กําหนดให u = 3i + 4 j ถา w = ai + bj โดยที่ w มิทิศทางเดียวกันกับ u และ w = 10 แลว a + b เทากับเทาใด (A-NET 49) 26. กําหนดให u = i + 3k , v = 2 j + xk เมื่อ x เปนจํานวนจริง และ w = − 3i + j − k ถา u , v และ w อยูบนระนาบเดียวกัน แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 49) 1. – 1 2 2. - 8 3. 8 4. 16 27. ให u = ai + bj + 2k และ v = 2ai − 3bj โดยที่ a, b เปนจํานวนเต็มบวก และ θ เปนมุมระหวาง 1 แลว u × v มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 50) 3 2. −6 i − 8 j + 10k 3. 12 i + 4 j − 10k 4. −12 i − 4 j + 10k

u และ v ถา u = 3 และ cos θ =

1. 6 i + 8 j − 10k

28. กําหนดให P(−8, 5), Q(−15, − 19), R(1, − 7) เปนจุดบนระนาบ ถา v = ai + bj ( a, b เปนจํานวนจริง ) a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 50) b 2 2 3.

4. − 11 11

ˆ แลว เปนเวกเตอรซึ่งมีทิศทางขนานกับเสนตรงซึ่งแบงครึ่งมุม QPR

2. −2

1. 2

29. ให A, B , C เปนเวกเตอร ซึ่ง A = 3, B = 2 และ C = 1 ถา A + B + 4C = 0 แลว A ⋅ B + B ⋅ C + C ⋅ A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 51) 1. −

5 2

2. −1

3. 0

4.

1 2

30. กําหนดทรงสี่เหลี่ยมดานขนาน มีจุดยอดอยูที่ O(0, 0, 0), A(1, 5, 7), B(2a, − b, − 1) และ C (a, 3b, 2) JJJK JJJK JJJK โดยที่ a, b เปนจํานวนเต็ม ถา OA ตั้งฉากกับฐานที่ประกอบดวย OB และ OC และ θ เปนมุมระหวาง JJJK JJJK OB และ OC แลวขอใดตอไปนี้ถูก (A-NET 51) 1. sin θ =

5

3 7 JJJK JJJK 2. OB OC = 21

5 3 ตารางหนวย 2 4. ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมดานขนาน เทากับ 75 ตารางหนวย

3. พื้นที่ฐานของทรงสี่เหลี่ยมดานขนาน เทากับ

4

¾ เวกเตอรใน 3 มิติ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

31. กําหนดให u , v ≠ 0 โดยที่ u + v ตั้งฉากกับ u − v ถา u แลว v เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1. 1 2. 2 3. 4 4. 8 32. กําหนดใหรูปสี่เหลี่ยม PQRS เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนานในระนาบ XY ถา P(−3, − 2), Q(1, − 5), R(9, 1) JJJK แลว QS มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1.

2. 10

91

3.

4. 10 2

97

33. กําหนดให u = − 4 i + 7 j และ v = 3i + j ถา u ⋅ w = 3 และ v ⋅ w = 4 แลวคาของ w เทากับขอใด ตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1. 0 2. 1 3. 2 4. 2 JJJJK

1 JJJK 5

34. กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน M เปนจุดบนดาน AD ซึ่ง AM = AD และ N เปนจุดบน JJJK

JJJJK JJJK JJJK 1 JJJK AC ถา MN = a AB + b AD แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 6 1 1 2.

3.

4. 1 5 3

เสนทแยงมุม AC ซึ่ง AN = 1.

2 15

35. กําหนดให u , v เปนเวกเตอรที่มีขนาดหนึ่งหนวย ถาเวกเตอร u + 2v ตั้งฉากกับเวกเตอร 2u + v (PAT มีนา 52) แลว u ⋅ v เทากับขอใดตอไปนี้ 1. −

4 5

2. 0

3.

1 5

4.

3 5

36. ถา u , v เปนเวกเตอรที่มีขนาดหนึ่งหนวย ถาเวกเตอร 3u + v ตั้งฉากกับเวกเตอร u + 3v แลวเวกเตอร 5u − v มีขนาดเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 3. 4 หนวย 4. 4 2 หนวย 1. 3 หนวย 2. 3 2 หนวย 37. กําหนดให u และ v เปนเวกเตอรซึ่ง u ⋅ v ≠ u v ถา a(v − 2u ) + 3u = b(2u + v ) แลวคาของ a อยูในชวงใด (PAT มีนา 52) 1 2

1. [0, )

1 2

3 2

2. [ , 1)

3. [1, )

3 2

4. [ , 2)

38. กําหนดให u และ v เปนเวกเตอรที่ไมเทากับเวกเตอรศูนย ซึ่ง u ตั้งฉากกับ v และ u + v ตั้งฉากกับ u − v พิจารณาขอความตอไปนี้ ข. u + 2v ตั้งฉากกับ 2u − v ก. u = v ขอใดตอไปนี้เปนจริง (PAT ตุลา 52) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด

5

¾ เวกเตอรใน 3 มิติ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

39. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี D เปนจุดบนดาน AC และ F เปนจุดบนดาน BC JJJK

ถา AD =

JJJK JJJK JJJK 1 JJJK JJJK 1 JJJK a AC , BF = BC และ DF = a AB + bBC แลว มีคาเทาใด (PAT ตุลา 52) 4 3 b 1 2

40. ให a และ b เปนเวกเตอร กําหนดโดย a = i + j − 3 pk และ b = − 2 pi + 2 j + pk เมื่อ p เปนจํานวนจริง ถา a ตั้งฉากกับ b และขนาดของ b เทากับ 3 แลว คาของ p อยูในชวงขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 53) 3 2

1. (−3, − )

3 2

3 2

2. (− , 0)

3. (0, )

3 2

4. ( , 3)

41. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี A (0, 0) และ B (2, 2) เปนจุดยอดและ C ( x, y ) เปนจุดยอดใน จตุภาค (quadrant) ที่ 2 ที่ทําใหดาน AC ยาวเทากับดาน BC ถาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC มีคาเทากับ 4 ตารางหนวย แลวจุด C อยูบนเสนตรงในขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 53) 2. 4 x + 3 y − 1 = 0 3. 2 x − y − 3 = 0 4. x + y − 5 = 0 1. x − y + 4 = 0 42. ให u , v และ w เปนเวกเตอร กําหนดโดย u = i + 2 j + 3k , v = 2 i − dj + k , w = ai + bj + ck เมื่อ a, b, c และ d เปนจํานวนจริง ถา u ⋅ w = 2, u ⋅ (v + w) = 3, v + w = i + qj + rk 2 3

1 2

1 3

เมื่อ q, r เปนจํานวนจริง และ w ขนานกับ − i + j + k แลวคาของ a + 4b + 2c เทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________

6

¾ เวกเตอรใน 3 มิติ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 9 จํานวนเชิงซอน (ม.5) 1. ถา z เปนจํานวนเชิงซอนซึ่ง (1 + i ) ( z + 1) = −1 สวนจริงของจํานวนเชิงซอน z ( z − z )15 เทากับขอใด (ตุลา 41) 1. −

3 2

2.

3 2

1 2

3. −

4.

2. ถา z เปนจํานวนเชิงซอน ซึ่ง (7 − 24i )(3 + 4i) z 6 = 1 แลว z z

1 2

มีคาเทาใด (มีนา 42) __________

3. ให P( x) เปนฟงกชันพหุนามกําลังสาม ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนจริง และสัมประสิทธิ์ของ x3 เปน 1 ถา x − 2 หาร P( x) เหลือเศษ 5 และ (1 + 3i) เปนรากที่หนึ่งของ P( x) แลวรากที่เปนจํานวนจริงของ P( x) คือคาใน ขอใดตอไปนี้ (มีนา 42) 1.

3 4

2.

4. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา A = {x ∈ R

4 3

3.

5 4

4.

4 5

(1 + i ) x 3 + (1 + 2i ) x 2 − (1 + i ) x − (1 + 2i ) = 0 } แลว A ⊆ [ −1.5,1.5]

ข. ถา z เปนจํานวนเชิงซอน ซึ่ง z 6 = ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 42) 1. ก ถูก และ ข ถูก

1 i แลว z เทากับ 8

2. ก ถูก และ ข ผิด

1 2

3. ก ผิด และ ข ถูก

4. ก ผิด และ ข ผิด

5. ถา z = −2 + 2 3i เมื่อ i 2 = −1 แลว z17 อยูในควอดรันตในขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 15

6. ถา z1 = cos12 + i sin12 และ z2 = − cos16 − i sin16 D

1.

−1 + 3i 2

D

D

2.

1 + 3i 2

3.

D

⎛z ⎞ แลว ⎜ 1 ⎟ ⎝ z2 ⎠

− 3+i 2

เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 43) 4.

− 3 −i 2

7. ให z1 , z2 , z3 , z4 เปนรากของสมการ z 4 + z 2 + 2 = 0 แลว z1 + z2 + z3 + z4 มีคาเทากับขอใด (มีนา 43) 1. 2

2. 4

3. 2

5 2

8. ถา z เปนจํานวนเชิงซอน ซึ่ง z = 3 − 4i และ z − 1 = 30 แลวสวนจินตภาพของ z อยูในเซตใดตอไปนี้ (ตุลา 43) 2. {− 21, 21} 3. {−3,3} 1. {−4, 4}

1

4. 2

9 4

4. {− 24, 24}

¾ จํานวนเชิงซอน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

π π 9. กําหนดให z1 และ z2 เปนจํานวนเชิงซอนที่ 2z1 z2 = 1 + z2 และ z1 = ⎛⎜ cos + i sin ⎞⎟ 18 18 ⎠ ⎝ ขอใดตอไปนี้คือ อินเวอรสการคูณของ z2 (ตุลา 43)

1.

1 3i − 2 2

10. ถา 2z 3 = 1 + 3 i และ

2.

1 3i + 2 2

3.

4.

3i

6

− 3i

z18 = a + bi เมื่อ a , b เปนจํานวนจริง i − z 27

แลว a + b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 44) 1. –1 2. 0 11. กําหนดให z = i 9 + i10 + … + i126 2. 1 − i 1. 1 + i

3. 1

4. 2

เมื่อ i 2 = −1 แลว 2 z −1 เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 44) 3. −1 + i 4. −1 − i

12. ให Z = − 1 − 3 i แลว Z 6 + Z 6 เทากับเทาใด (ตุลา 44) __________ 3 39 + i เปนคําตอบหนึ่งของสมการ ax 2 − 3x + c = 0 และ c เปนจํานวนจริง แลวเศษที่เหลือจาก 4 4 การหาร ax 2 − 3x + c = 0 ดวย x + 2 เทากับขอใด (ตุลา 44)

13. ถา

1. 8

2. 12

3. 16

4. 20

14. กําหนดให ω = cosθ + i cosθ เมื่อ cos θ < 2 และ 2 cos 2 θ = 1 ถา z เปนจํานวนเชิงซอนมีสมบัติวา ω z = 2 และอารกิวเมนตของ

1. –3 + 2i

z

ω

เทากับ

π 4

แลว z 2 + z + 1 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 45)

2. –3 – 2i

3. 3 + 2i

4. 3 – 2i

15. กําหนดให จํานวนเชิงซอน z1 , z2 , z3 เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปหนึ่ง ถา

z3 − z1 π π = cos + i sin , z1 z2 = 1 + i , z2 z3 = 2 + 2i , z3 z1 = 3 + 4i 3 3 z2 − z1

แลวพิจารณาขอความตอไปนี้ ก.

z3 − z 2 π π = cos + i sin 3 3 z1 − z2

ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 45) 1. ก ถูก และ ข ถูก

ข. z12 + z22 + z32 = 6 + 7i

2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

4. ก ผิด และ ข ผิด

16. กําหนดให z เปนจํานวนเซิงซอน ถา -1+ 3 i เปนรากที่ 5 ของ z แลวรากที่ 2 ของ z คือจํานวนในขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45) 2. 2 2( − 1 − 3 i), 2 2(1 + 3 i) 1. 2 2( − 3 − i), 2 2( 3 + i) 4. 2 2( − 1 + 3 i), 2 2(1 − 3 i) 3. 2 2( − 3 + i), 2 2( 3 − i)

2

¾ จํานวนเชิงซอน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

17. กําหนดให z1 , z2 , z3 เปนจํานวนเซิงซอน ซึ่งมีคุณสมบัติวา z1 = z 2 = z3 = 1, z1 + z2 + z3 = 0 และให Re( z ) แทนสวนจริงของจํานวนเชิงซอน z พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. Re( z1 z2 ) =

1 2

ข. z1 − z2 =

ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 45) 1. ก ถูก และ ข ถูก

2. ก ถูก และ ข ผิด

3

3. ก ผิด และ ข ถูก

4. ก ผิด และ ข ผิด

18. กําหนดให z1 , z2 , z3 เปนรากของสมการ (1 − i ) z 3 = 2 โดยที่ z1 , z2 , z3 อยูในควอดรันตที่ 1, 2, 3 ตามลําดับ z1 z3 + z22 เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 46) 1. – 2i 2. 2i 3. – 2 4. 2 19. กําหนดให a, b เปนจํานวนจริง และ f ( x) = x 4 − 6 x3 + 15 x 2 + ax + b ถาจํานวนเซิงซอน 1 + i และ 2 + i เปนราก ของ f ( x) แลว a + b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 46) 1. – 10 2. – 8 3. 8 4. 10 20. ให z = a + bi ซึ่ง b > 0 ถา z สอดคลองกับ ขอใดตอไปนี้ (ตุลา 46) 1. 9

z 2 + 4 z − 32 = 1 และ z z = 61 แลว a + b มีคาเทากับ z 2 − 64

2. 10

3. 11

4. 12

21. กําหนดจํานวนเชิงซอน z1 = a, z2 = b(cos θ + i sin θ ) โดยที่ a > 0, b > 0 และ 0 <θ <

π 2

ถา 2i z1 z2 sin θ = cz1 z2 + dz1 z2 โดยที่ c, d เปนจํานวนจริง แลว 5c + 2d มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 46) 1. 4 2. 3 3. 2 4. 1 22. ถา z1 และ z2 เปนรากของสมการ ( z − 2 3)3 = − 8 ซึ่งมีขนาดเปนจํานวนเต็ม แลว z1 + z2 เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 47) 2. 3 − i 3. 3 3 − i 1. − 3 − i

4. 3 3 + i

23. กําหนดให z1 , z2 , z3 เปนจํานวนเชิงซอน ซึ่งสอดคลอง z1 z2 z3 = 1 และ z1 + z2 + z3 =

1 1 1 + + z1 z2 z3

พิจารณาขอความตอไปนี้ ⎛

1 ⎞⎛

1⎞

ก. (1 − z1 )(1 − z2 ) = ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ z z

⎝ 1 ⎠⎝ 2 ⎠ ข. ถา z1 ≠ 1 และ z2 ≠ 1 แลว z3 + i z3 − i = 4

ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 47) 1. ก ถูก และ ข ถูก

2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

3

4. ก ผิด และ ข ผิด

¾ จํานวนเชิงซอน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions 24. ถา z =

3 +i แลว คาของ 2

z −i 6 z + z3 + 2

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

2

เทากับเทาใด (ตุลา 47) __________

25. ถา A เปนเซตคําตอบของสมการ z14 − i = 0 และ B เปนเซตคําตอบของสมการ z 22 − i = 0 แลว จํานวนสมาชิกของ A ∩ B เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 47) 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 26. ถา z1 = 4 (cos145D + i sin145D ) และ z2 = 3 (cos115D + i sin115D ) แลว คาของ z1 − z2 เทากับเทาใด (มีนา 48) __________ 27. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. เซตคําตอบของ x 4 − 2 x3 + x 2 + 4 x − 6 = 0 คือ 6

⎛ 1 + 3i ⎞ ⎛ 1 − 3i ⎞ ข. ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 48) 1. ก ถูก และ ข ถูก

{

2, − 2, 1 + 2i, − 2 + i

2

}

6

≤ 2

2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

4. ก ผิด และ ข ผิด

28. จํานวนเชิงซอน z = 1 + i เปนคําตอบของสมการในขอใดตอไปนี้ (A-NET 49) 1. z 4 − 2 z 2 + 4 z = 0 2. z 4 − 2 z 2 − 4 z = 0 3. z 4 + 2 z 2 − 4 z = 0 4. z 4 + 2 z 2 + 4 z 29. กราฟของจุด z ทั้งหมดในระนาบเชิงซอน ที่สอดคลองสมการ ( z + i)( z − i ) = 1 เปนรูปใดตอไปนี้ (A-NET 49) 1. เสนตรง 2. วงกลม 3. วงรี 4. ไฮเพอรโบลา 3

30. ให z1 , z2 , z3 เปนคําตอบของสมการ 1 + ⎛⎜1 + ⎞⎟ = 0 z 1

⎝

⎠

แลว Re ( z1 + z2 + z3 ) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 50) 2. −1

1. 1

3.

3 2

4. − π

π

6

6

31. ให z1 , z2 เปนจํานวนเชิงซอน ซึ่ง z1 z2 = 2i และ z1−1 = cos − i sin

3 2

2

แลว z1 + 1. 4

3 z2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 50) 2

2. 5

3. 7

4

4. 8

¾ จํานวนเชิงซอน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

32. ให ( x − 1 + i) และ ( x + 2) เปนตัวประกอบของฟงกชัน f ( x) = x3 + ax 2 + bx + c ถา x − 3 หาร f ( x) เหลือเศษเทาไร (A-NET 50) ___________ 33. ถา z เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับสมการ z z + 2 z + i = 0 แลว สวนจินตภาพของ z มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 51) 2. 2 3. 2 − 1 1. −1

4. 1 − 2

z +1⎞ 34. ถา z1 , z2 เปนคําตอบที่ไมใชจํานวนจริงของสมการ ⎛⎜ ⎟ = 8 แลว z1 z2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 51) 3

⎝ z −1 ⎠

3 3. −3 7 35. กําหนดให A = { z ∈ C (1 + 2i ) z ∈ R } กราฟของ A จะมีรูปใด (PAT ตุลา 51)

1. 3

2.

1. เสนตรง

2. พาราโบลา

3. ไฮเพอรโบลา

36. ถา z เปนจํานวนเชิงซอนซึ่ง z 2 = 2 + 4i แลวคาของ z + 1.

4

2. 2 4 125

125

3 7

4. วงรี

1 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) z

3.

37. กําหนดให z เปนจํานวนเชิงซอนซึ่ง z ≠ 0 และ

4. −

4.

2 4 125

2 4 125 2

1 = cos θ + i sin θ z

คาของ z 2 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1. cos 2 θ + i sin 2 θ 2. cos 2 θ − i sin 2 θ

3. cos 2θ − i sin 2θ

4. cos 2θ + i sin 2θ

38. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของสมการ z 2 + z + 1 = 0 เมื่อ z เปนจํานวนเชิงซอน เซตในขอใดตอไปนี้เทากับเซต S (PAT มีนา 52) 1. {− cos120D − i sin 60D , cos 60D + i sin 60D } 2.

3.

4.

{cos120 + i sin 60 , − cos 60 + i sin 60 } {− cos120 − i sin120 , − cos 60 + i sin 60 } {cos120 + i sin120 , − cos 60 − i sin 60 } D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

39. กําหนดให z1 , z2 เปนจํานวนเชิงซอน ซึ่ง z1 + z2 = 5 และ z1 − z2 = 1 2

2

คาของ z1 + z2 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1. 1 2. 2 2

2

3. 3

4. 4

40. กําหนดให z เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับสมการ z 4 + 1 = 0 1 คาของ z + z

1. 1

2

เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 2. 2

3. 3

5

4. 4

¾ จํานวนเชิงซอน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

41. กําหนดให z1 , z2 เปนจํานวนเชิงซอน ซึ่ง z1 + z2 = 3 และ z1 ⋅ z2 = 3 + 4i คาของ z1 + z2 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 3 2. 4 3. 5 2

2

4. 6

42. กําหนดให z เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับสมการ z 3 − 2 z 2 + 2 z = 0 และ z ≠ 0 ถา อารกิวเมนตของ z π

อยูในชวง (0, ) แลว 2

1. −2i

z4 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 52) ( z )2 2. 1 − i 3. 1 + i

4. 2i

43. กําหนดให w, z เปนจํานวนเชิงซอนซึ่ง w = z − 2 i และ w = z + 6 ถาอารกิวเมนตของ w อยูในชวง 2

⎡ π⎤ ⎢⎣ 0, 2 ⎥⎦ และ w = a + bi เมื่อ a, b เปนจํานวนจริง แลว a + b มีคาเทาใด (PAT ตุลา 52) __________

44. ให z1 , z2 , z3 , ... เปนลําดับของจํานวนเชิงซอน โดยที่ z1 = 0, zn+1 = zn2 + i สําหรับ n = 1, 2, 3, ... เมื่อ i = −1 คาสัมบูรณของ z111 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 53) 2. 2 3. 3 4. 110 1. 1 45. ให z1 และ z2 เปนจํานวนเชิงซอนใด ๆ และ z2 แทนสังยุค (conjugate) ของ z2 ถา 5 z1 + 2 z2 = 5 และ z2 = 1 + 2 i เมื่อ i 2 = −1 แลว คาของ 5 z1−1 เทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________

6

¾ จํานวนเชิงซอน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 10 วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู (ม.5) 1. ถาจัดนักเรียน 6 คน ซึ่งมีเมตาตาและปราณีรวมอยูดวย ใหเรียงแถวเปน 2 แบบ แบบที่หนึ่ง นักเรียนทั้งหมดยืนเปนแถวตรง โดยที่เมตตาและปราณียืนติดกัน และแบบที่สอง นักเรียนทั้งหมดยืนเปนวงกลมโดยที่เมตตาและปราณียืนตรงกันขามแลว จํานวนวิธีของการจัดแตละแบบแตกตางกันเทากับเทาใด (ตุลา 41) 1. 96 2. 120 3. 196 4. 216 2. ให A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { a , b , c , d } แลวจํานวนสมาชิกของเซต { f : A → B⎥ f ไมเปนฟงกชัน 1 – 1 } เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41) 1. 40 2. 34 3. 30 4. 24 3. ถา A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } และ B = { 1 , 2 , 3 } แลวจํานวนฟงกชัน f : A → B ทั้งหมดซึ่ง f(1) ≠ 1 หรือ f(2) ≠ 2 หรือ f(3) ≠ 3 เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41) 1. 530 2. 612 3. 702 4. 814 4. ถา a และ b เปนสัมประสิทธิ์ของ x −2 และ x 4 ของการกระจาย

10

1 ⎞ ⎛ 4 ⎜x − 2 ⎟ 2x ⎠ ⎝

ตามลําดับ แลว

a b

เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 42) 1. −

2 7

2. −

1 2

3. −

1 3

4. −

4 15

5. ถา A = {5 , 6 , 7 , ... , 20} และ B = {1 , 2 , 3 , ... , 15} แลวจํานวนสมาชิกในเซต { x x เปนสับเซต ของ A และ x ไมเปนสับเซตของ B } เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 42) 1. 7 × 210 2. 31 × 211 3. 31 × 210 4. 63 × 211 6. ในการประชุมครั้งหนึ่งมีผูแทนจาก 3 ประเทศเขารวมประชุม โดยมีผูแทนประเทศละ 3 คน จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดให ผูแทนแตละประเทศตองนั่งติดกันในการประชุมโตะกลมเทากับเทาใด (ตุลา 42) __________ 7. ให A = { 1, 2 , 3 } และ B = { 3 , 4 } ถา S = { f : A ∪ B → A × B ⎥ f เปนฟงกชัน 1 – 1 } แลวจํานวนสมาชิกของ S เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 1. 120 2. 240 3. 360 4. 480 8. ในโรงเรียนแหงหนึ่ง มีนักกีฬาฟุตบอลและนักกีฬาบาสเกตบอลรวมกัน 30 คน เปนนักกีฬาฟุตบอล 17 คน และนักกีฬา บาสเกตบอล 18 คน ถาจะเลือกประธานกีฬาของรงเรียน 1 คน และรองประธานกีฬา 1 คน จากนักกีฬากลุมนี้ โดยที่ ประธานตองเปนทั้งนักกีฬาฟุตบอลและนักกีฬาบาสเกตบอล แลวจํานวนวิธีการเลือกดังกลาว มีทั้งหมดเทาใด (มีนา 43) 1. 125 2. 130 3. 145 4. 150

1

¾ วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

9. ถาตองการเขียนจํานวนที่มี 7 หลัก โดยใชตัวเลขโดด 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 และใหมีเลขโดด 3 , 4 , 5 อยูติดกัน ตรงกลางระหวางเลขโดดคูและเลขโดดคี่โดยแตละจํานวนไมมีเลขซ้ํา แลวจะเขียนไดทั้งหมดเปนจํานวนเทากับเทาใด (มีนา 43) 1. 8 2. 16 3. 24 4. 48 10. จํานวนเลขสามหลักซึ่งหารดวย 5 ลงตัว และตัวเลขหลักสิบแตกตางจากตัวเลขหลักรอย มีจํานวนทั้งหมดเทาใด (ตุลา 43) _______ n

1 11. กําหนดให n เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่งทําใหพจนที่ไมมี x ในการกระจาย ⎛⎜ x 2 + ⎞⎟ คือพจนที่ 9 สัมประสิทธิ์ 2x ⎠ ⎝ 15 ของ x ในการกระจายนี้เทากับเทาใด (มีนา 44)__________

12. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. จํานวนวิธีในการจัดเด็ก 5 คน และผูใหญ 5 คน ถายรูปหมู โดยใหเด็กยืนแถวหนาและผูใหญยืนแถวหลังเทากับ 5!5!

ข. จํานวนวิธีในการจัดชาย 6 คน หญิง 6 คน นั่งโตะกลม 2 โตะที่ตางกันซึ่งมีโตะละ 6 ที่นั่ง โดยที่ชายและหญิง นั่งแยกโตะกัน เทากับ 5!5! ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 44) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 13. คนกลุมหนึ่งเปนชายและหญิงจํานวนเทากัน โดยที่อัตราสวนของจํานวนวิธีที่ชายและหญิงยืนสลับที่กันเปนแถวตรง กับจํานวนวิธีที่ชายและหญิงยืนสลับที่กันเปนวงกลม เทากับ 10 : 1 แลว จํานวนวิธีที่จะเลือกตัวแทน 2 คน จากคนกลุมนี้ โดยมีชายอยางนอย 1 คน เทากับเทาใด (ตุลา 44) 1. 30 2. 35 3. 40 4. 45 14. กําหนดจุด 10 จุด บนแผนกระดาษมี 4 จุดอยูบนเสนตรงเดียวกัน นอกนั้นไมมี 3 จุดใดอยูบนเสนตรงเดียวกัน จํานวนรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการลากเสนตรงเชื่อมจุดที่กําหนดใหเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1. 80 2. 106 3. 116 4. 120 15. ในการเรียงสับเปลี่ยนตัวเลขทั้ง 7 ตัวในเซต { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } จํานวนวิธีที่เรียงไดเลข 7 หลัก ซึ่งผลบวกของเลข โดดในหลักหนวยและหลักสิบมีคานอยกวา 7 เทากับเทาใด (ตุลา 45) __________ 16. มีคนงานหญิง 6 คน และคนงานชาย 8 คน ซึ่งมีนายดํารวมอยูดวย ถาจะเลือกคนงาน 4 คนไปทํางานที่ตางกัน 4 ประเภท โดยใหเปนหญิง 2 คน เปนชาย 2 คน และใหมีนายดําอยูใน 4 คนนี้ดวย จํานวนวิธีการเลือกคนงานดังกลาว เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 46) 1. 1,920 วิธี 2. 2,400 วิธี 3. 2,520 วิธี 4. 2,880 วิธี 17. ขอสอบชุดหนึ่งมี 2 ตอน ตอนละ 4 ขอ มีคําสั่งใหผูสอบทําขอสอบตอนที่หนึ่งอยางนอย 1 ขอและทําขอสอบตอนที่สอง 2 ขอ จํานวนวิธีที่ผูสอบจะทําขอสอบชุดนี้เทากับเทาใด (ตุลา 46) __________

2

¾ วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

18. วิธีในการเขียนจํานวนคูที่มีสามหลักจากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยที่หลักรอยและหลักหนวยเปนตัวเลขที่แตกตางกัน และมีคาไมนอยกวา 200 มีจํานวนวิธีเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 47) 1. 72 2. 71 3. 60 4. 59 19. ถา S คือเซตของล็อตเตอรี่รัฐบาล ซึ่งมีเลข 6 หลัก และมีเลข 0 อยู 4 ตัว แลวจํานวนสมาชิกของ S เทากับเทาใด (ตุลา 47) __________ 20. ถา a และ b เปนคําตอบขอสมการ

3 x + 5 = x + 2 แลว คาของ

⎛8⎞ ⎛8⎞ ⎛8⎞ a8 − ⎜ ⎟ a 7b + ⎜ ⎟ a 6b 2 − ... − ⎜ ⎟ ab7 + b8 ⎝1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝7⎠

เทากับเทาใด (ตุลา 47) __________

21. ในคณะกรรมการนักเรียนจํานวน 10 คน จะมีวิธีเลือกประธาน รองประธาน และเลขานุการ ไดกี่วิธี ถากรรมการคนหนึ่ง ไมสมัครที่จะเปนประธาน (มีนา 48) __________ 22. ให A = { 1, 2, 3, 4 } และ B = { 1, 2, 3, 4, 5 } ถา f เปนฟงกชันจาก A ไป B โดยที่ f (1) = 2 หรือ f (2) = m เมื่อ m เปนจํานวนคี่ แลวจํานวนของฟงกชัน f ที่มีสมบัติดังกลาว เทากับขอใด (มีนา 48) 1. 75 2. 150 3. 425 4. 500 23. กําหนดให A = { 1, 2, 3, 4, 5 } และ B = { a, b } ฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B มีจํานวนทั้งหมดกี่ฟงกชัน (A-NET 49) ___________ 24. จัดคน 8 คน ซึ่งมีสมชาย สมคิด และสมศรีรวมอยูดวย เขานั่งเรียงกันเปนแถวตรง โดยที่สมศรีนั่งกลางติดกับสมชายและ สมคิดเสมอ จํานวนวิธีการจัดที่นั่งดังกลาวมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 50) 1. 360 2. 720 3. 1,080 4. 1,440 25. ในการสรางรหัส (code) กําหนดใหใชตัวอักขระ 3 ตัวที่ไมซ้ํากัน โดยตองมีตัวอักษรภาษาอังกฤษ (A ถึง F) อยางนอย 1 ตัว และมีตัวเลข (0 ถึง 9) อยางนอยหนึ่งตัว จํานวนรหัสที่สรางไดโดยไมซ้ําแบบกันเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1. 1,260 2. 2,520 3. 5,040 4. 3,780 26. ในการจัดนักเรียน 9 คนเขาพักในบานของคายพักแรม 3 หลัง ซึ่งรับผูเขาพักได 2, 3, 4 คน ตามลําดับ แตมีนักเรียน 3 คนที่ตองพักอยูบานเดียวกัน มีจํานวนวิธีการจัดเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1. 75 วิธี 2. 80 วิธี 3. 90 วิธี 4. 95 วิธี 27. ในการจัดใหแขกที่ไดรับเชิญมางานเลี้ยง นั่งรอบโตะกลมที่มี 10 ที่นั่ง ในจํานวนนี้มีชายโสด 3 คน หญิงโสด 3 คน และคูสามีภรรยา 2 คู โดยที่ใหสามีนั่งติดกับภรรยาของตนเอง และหญิงโสดทั้ง 3 คนนั่งติดกัน จํานวนวิธีการจัดเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1. 720 2. 1,440 3. 2,880 3. 5,760

3

¾ วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions 28. กําหนดให A = { 1, 2, 3, 4 } และ B = { a, b, c } ฟงกชันจาก เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1. 12 2. 24

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1) A ไปทั่วถึง B มีจํานวนทั้งหมด

3. 36

4. 39

29. คุณลุง คุณปา ลูชายและลูกสาว มาเยี่ยมครอบครัวเราซึ่งมี 4 คนคือ คุณพอ คุณแม ตัวฉันและนองชาย ในการจัดที่นั่ง รอบโตะอาหารกลมที่มี 8 ที่นั่ง โดยใหคุณลุงนั่งติดกับคุณพอ คุณปานั่งติดับคุณแม ลูกชายของคุณลุงนั่งติดกับนองชาย ของฉัน และลูกสาวของคุณลุงนั่งติดกับฉัน จะมีวิธีจํานวนวิธีจัดไดเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1. 96 วิธี 2. 192 วิธี 3. 288 วิธี 4. 384 วิธี 30. ในการสรางจํานวนคูบวก 4 หลัก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 7, 8 โดยแตละจํานวนที่สรางขึ้นไมมีเลขโดดในหลักใด ที่ซ้ํากันเลย จะมีวิธีที่สรางไดเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 180 2. 156 3. 144 4. 136 31. จํานวนเต็มที่มีคาตั้งแต 100 ถึง 999 ที่หารดวย 2 ลงตัว แตหารดวย 3 ไมลงตัว มีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 250 2. 283 3. 300

4. 303

โจทยสําหรับขอ 32 – 33 นาย ก, ข, ค, ง, จ และ ฉ นั่งเกาอี้ 6 ตัวที่มีหมายเลข 1 ถึง 6 เรียงแถวหนากระดาน จากซายไปขวา โดยมีเงื่อนไขดังตอไปนี้ นาย ค นั่งเกาอี้หมายเลข 1 หรือ 6, นาย จ ไมนั่งติดนาย ค, นาย จ ไมนั่งติดนาย ข, นาย ฉ นั่งติดดานซายของนาย จ 32. ถา นาย ค นั่งเกาอี้หมายเลข 1 และนาย ข นั่งเกาอี้หมายเลข 5 แลว ขอใดตอไปนี้เปนจริง (PAT ตุลา 52) 1. นาย ก นั่งเกาอี้หมายเลข 4 2. นาย ก นั่งเกาอี้หมายเลข 4 3. นาย ฉ นั่งเกาอี้หมายเลข 2 4. นาย ง นั่งเกาอี้หมายเลข 6 33. ถากําหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมใหมีคนนั่งคั่นกลางระหวางนาย ข และ ค อยู 3 คน แลว จํานวนวิธีของการนั่งทั้งหมด เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 52) 1. 1 วิธี 2. 2 วิธี 3. 3 วิธี 4. 4 วิธี 34. มีสิ่งของซึ่งแตกตางกันอยู 8 ชิ้น ตองการแบงใหคน 2 คน คนหนึ่งได 6 ชิ้น อีกคนหนึ่งได 2 ชิ้น จะมีจํานวนวิธีแบงกี่วิธี (PAT ตุลา 52) ___________ 35. ในการแขงขันฟุตบอลฤดูกาลหนึ่ง มีทีมเขารวมการแขงขัน 7 ทีม จัดแขงแบบพบกันหมด (แตละทีมตองลงแขงกับทีมอื่นทุกทีม) จะตองจัดการแขงขันกี่นัด (PAT ตุลา 52) ___________

4

¾ วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1) 36. กําหนดให A = { 0, 1, 2, 3, 4 } จํานวนเต็มบวกที่มีคานอยกวา 300 โดยสรางมาจากตัวเลขในเซต A และตัวเลข แตละหลักไมซ้ํากัน เทากับเทาใด (PAT มีนา 53)__________ 37. คณะกรรมการชุดหนึ่งมี 7 คน ประกอบดวยประธาน รองประธาน เลขานุการและกรรมการอีก 4 คน จํานวนวิธีที่จัดกลุมคน 7 คนนี้นั่งประชุมรอบโตะกลม โดยใหประธานและรองประธานนั่งติดกันเสมอ แตเลขานุการไมนั่งติดกับรองประธานเทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________

5

¾ วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 11 ความนาจะเปน (ม.5) 1. จากการสํารวจแมบานที่ชมโทรทัศนจํานวน 200 คน ปรากฏวามี 65 คน ชมละครเรื่องที่ 1 , 90 คน ชมละครเรื่องที่ 2 45 คน ชมละครเรื่องที่ 2 อยางเดียว , 35 คน ชมละครเรื่องที่ 3 เรื่องเดียว , 15 คน ชมละครเรื่องที่ 1 และเรื่องที่ 3 35 คน ชมละครเรื่องที่ 2 และเรื่องที่ 3 และมี 30 คน ที่ไมไดชมละครทั้ง 3 เรื่องนี้ ถาสุมเลือกแมบานจากกลุมนี้มา 1 คน แลวขอใดตอไปนี้ผิด (ตุลา 41) 1. ความนาจะเปนที่จะไดผูที่ดูละครทั้ง 3 เรื่องนี้เทากับ 0.05 2. ความนาจะเปนที่จะไดผูที่ดูละครอยางนอยหนึ่งเรื่องเทากับ 0.85 3. ความนาจะเปนที่จะไดผูที่ดูละครเรื่องที่ 1 เรื่องเดียวเทากับ 0.2 4. ความนาจะเปนที่จะไดผูที่ดูละครเรื่องที่ 3 เทากับ 0.45 2. ชาย 3 คน และหญิง 3 คน เขาคิวในแถวเดียวกันเพื่อซื้อตั๋วภาพยนตร ความนาจะเปนที่หญิงทั้งสามคน จะยืนเรียงติดกัน ทั้งหมดในแถวมีคาเทากับเทาใด (ตุลา 41) __________ 3. ถุงใบหนึ่งมีลูกแกวขนาดเดียวกันอยู 10 ลูก เปนสีแดง 3 ลูก สีขาว 5 ลูก สีดํา 2 ลูก สุมหยิบลูกแกวออกจากถุงสองครั้ง ๆ ละลูกโดยไมใสคืน ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกที่สองเปนสีแดงเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 42) 1.

1 3

2.

3 10

3.

27 100

4.

33 100

4. ในจํานวนเด็ก 12 คน มีเด็กถนัดซาย 4 คน ถาเลือกเด็ก 5 คน โดยการสุมจากเด็กเหลานี้ แลวความนาจะเปนที่จะมี เด็กถนัดซายอยูในกลุมที่เลือกเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 1.

35 99

2.

47 99

3.

63 99

4.

92 99

5. กลองใบหนึ่งบรรจุขนมชั้น 24 ชิ้น แตละชิ้นมี 4 ชั้น ๆ ละสี ซึ่งมีสีเขียว ขาว แดง เหลือง และการเรียงลําดับสีของแตละ ชิ้นทั้ง 24 ชิ้นแตกตางกันหมด ถาหยิบขนม 1 ชิ้นออกจากกลองนี้โดยสุม แลวความนาจะเปนที่ชิ้นที่หยิบไดมีสองชั้นบน ไมใชสีแดงและไมใชสีเหลืองเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 1.

1 24

2.

1 12

3.

1 6

4.

1 4

6. ในการทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน 1 ครั้ง ความนาจะเปนที่ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองลูกจเปนเลขที่หารดวย 4 ไมลงตัว มีคาเทากับเทาใด (มีนา 43) __________ 7. กลองใบหนึ่งมีลูกหินสีขาว 5 ลูก สีเขียว 3 ลูก สีน้ําเงิน 2 ลูก ถาหยิบลูกหินอยางสุม ครั้งละ 1 ลูก โดยไมใสคืน 3 ครั้ง แลวความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกหินสีเดียวกันอยางนอย 2 ลูก มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 43) 1.

1 24

2.

23 24

3.

1

1 4

4.

3 4

¾ ความนาจะเปน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

8. กลองใบหนึ่งมีบัตรอยู 5 ใบ หมายเลข 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หยิบบัตร 2 ใบ โดยหยิบทีละใบแบบไมคืนที่ ให x เปนหมายเลขบัตรใบแรกที่หยิบได และ y เปนหมายเลขบัตรใบที่สองที่หยิบได ความนาจะเปนที่จะได x < y และ 4 < xy < 12 เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43) 1.

1 5

2.

2 5

3.

3 5

4.

4 5

9. ในการจัดคน 6 คน ซึ่งมีนาย ก และนาย ข รวมอยูดวย เขาพักในหอง 3 หอง โดยที่หองที่หนึ่งพักได 3 คน หองที่สอง พักได 2 คน และหองที่สามพักได 1 คน ความนาจะเปนที่นาย ก และนาย ข จะไดพักหองเดียวกันเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43) 1.

1 15

2.

3 15

3.

4 15

4.

5 15

10. คาแรงงานตอวันของคนงานกลุมหนึ่งจํานวน 8 คน เปน 150 , 152 , 158 , 168 , 170 , 177 , 180 , 185 บาท ถาสุมเลือกคนงานจากกลุมนี้มา 2 คน แลวความนาจะเปนที่จะไดคนงานอยางนอยหนึ่งคนที่มีคาแรงงานตอวันต่ํากวา คาแรงเฉลี่ยของคนงานกลุมนี้เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43) 1.

3 14

2.

11. ในการสรางเมตริกซ ในรูป

⎡ x2 ⎢ ⎣− x

5 14

x − 4⎤ ⎥ x − 1⎦

3.

9 14

4.

11 14

แบบสุม โดยที่ x ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } ความนาจะเปนที่ไดเมตริกซเอกฐาน

เทากับเทาใด (มีนา 44) __________ 12. ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งสอบผานวิชาคณิตศาสตรเทากับ นาจะเปนในการสอบอยางมากหนึ่งวิชาเทากับ

2 1 และสอบผานวิชาภาษาอังกฤษเทากับ 5 3

ถาความ

13 แลว ความนาจะเปนที่เขาจะสอบผานอยางนอยหนึ่งวิชา เทากับขอใด 15

ตอไปนี้ (มีนา 44) 1.

7 15

2.

4 15

3.

3 5

4.

1 5

13. กําหนดความนาจะเปนของเหตุการณ A , B และ A ∩ B ดังนี้ P( A) = 0.5 , P( A) = 0.3 , P( A ∩ B) = 0.1 คาของ P( A′ ∪ B′) มีคาเทาใด (ตุลา 44) __________ 14. หางสรรพสินคาแหงหนึ่งจัดรายการสมนาคุณแกลูกคา โดยจะใหลูกคาทุกคนหยิบคูปองสวนลดได 2 ใบ จากกลองซึ่งมี คูปอง ทั้งหมด 12 ใบ ซึ่งมีคูปองมูลคา 50 บาท 5 ใบ คูปองมูลคา 100 บาท 3 ใบ คูปองมูลคา 200 บาท 3 ใบ และคูปองมูลคา 500 บาท 1 ใบ ความนาจะเปนที่ลูกคาคนหนึ่งจะสุมหยิบคูปอง 2 ใบ และไดคูปองที่มีมูลคาสวน ลดรวมมากกวา 300 บาท มีคาเทากับขอใด (ตุลา 44) 1.

11 66

2.

14 66

3.

2

20 66

4.

23 66

¾ ความนาจะเปน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

15. กลองใบหนึ่งบรรจุสลากสีแดงซึ่งเขียนหมายเลข 1, 2, 3 ไวสลากละหนึ่งหมายเลข รวมกับสลากสีเขียวซึ่งเขียนหมาย เลข 1, 2, 3 ไวสลากละหนึ่งหมายเลขเชนเดียวกัน ถาจับสลากสองใบจากกลองโดยจับทีละใบแบบไมใสกลับคืน ความนาจะเปนที่จะไดสลากสีเหมือนกัน หรือหมายเลขเดียวกันเทากับเทาใด (มีนา 45) __________ 16. ในการใสจดหมาย 5 ฉบับทีเขียนถึงคน 5 คน คนละ 1 ฉบับ ลงในซองที่จายหนาซองไวแลว 5 ซอง ซองละหนึ่งฉบับ ความนาจะเปนที่ใสจดหมายลงในซองไดตรงกับชื่อหนาซองไมเกิน และไมนอยกวา 1 ซอง ตรงกับขอใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1.

75 120

2.

85 120

3.

90 120

4.

90 120

17. ชมรมกีฬาของโรงเรียนแหงหนึ่งมีสมาชิกทั้งหมด 80 คน สมาชิกทุกคนตองเลนกีฬาอยางนอยหนึ่งอยาง และมีสมาชิก เปนนักกีฬาฟุตบอล 49 คน นักบาสเกตบอล 40 คน นักเทนนิส 33 คน นักกีฬาทั้งสามอยาง 5 คน นักเทนนิสอยาง เดียว 10 คน นักบาสเกตบอลอยางเดียว 13 คน นักบาสเกตบอลและนักเทนนิส 13 คน ความนาจะเปนในการเลือก ประธาน รองประธาน และเลขานุการของชมรมตําแหนงละ 1 คน จากสมาชิกทั้งหมด โดยที่ประธานตองเปนนักกีฬาทั้ง สามอยาง และรองประธานจะตองเปนนักกีฬาอยางนอย 2 อยาง เทากับเทาใดตอไปนี้ (ตุลา 45) 1.

9 316

2.

11 316

3.

15 632

4.

23 632

18. ถุงใบหนึ่งมีลูกกวาดขนาดเดียวกันเปนสีแดง 24 เม็ด ที่เหลือเปนลูกกวาดสีขาวและ ลูกกวาดสีเขียว ถาสุมหยิบลูกกวาด 5 และความนาจะเปนที่ไดลูกกวาดสีเขียวหรือสีแดง 6

ขึ้นมา 1 เม็ด ความนาจะเปนที่ไดลูกกวาดสีขาวหรือสีเขียวเทากับ เทากับ

3 แลวจํานวนลูกกวาดสีเขียวเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45) 4

1. 36

2. 60

3. 72

4. 84

19. สลาก 1 ใบ มีหมายเลข 1 ถึง 11 กํากับอยูใบละ 1 หมายเลข สุมหยิบสลากมา 4 ใบ ความนาจะเปนสลากที่หยิบมา มีผลคูณของหมายเลขเปนจํานวนคู แตผลบวกของหมายเลขเปนจํานวนคี่มีคาเทาใด (มีนา 46)__________ 20. นายกวีและนายขจรไดรับเชิญไปงานเลี้ยง ซึ่งมีผูไดรับเชิญทั้งหมด 20 คน เจาภาพจัด (โดยสุม) ใหผูรวมงานนั่งโตะกลม 2 โตะ ๆ ละ 10 ที่นั่ง ความนาจะเปนที่นายกวีและนายขจรจะไดนั่งติดกันในโตะเดียวกันเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 46) 1.

1 19

2.

2 19

3.

2 9

4.

4 9

21. กลองใบหนึ่งมีลูกแกวขนาดเดียวกัน 3 สี เปนสีขาว 4 ลูก สีแดงและสีเขียวจํานวนทากัน เมื่อสุมหยิบลูกแกวมา 2 ลูก ความนาจะเปนที่จะไดลูกแกวสีขาวทั้ง 2 ลูกเทากับ

2 ถาสุมหยิบลูกแกวมา 4 ลูก ความนาจะเปนที่จะไดลูกแกว 15

เปนสีเขียว 1 ลูก และสีแดงอยาง 1 ลูก เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 46) 1.

30 70

2.

31 70

3.

3

29 35

4.

33 35

¾ ความนาจะเปน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

22. ในการยืนเรียงเปนแถวตรงของนักเรียนชาย 6 คน และนักเรียนหญิง 4 คน ถาความนาจะเปนที่ไมมีนักเรียนหญิงสองคน ใดยืนติดกันเลยเทากับ a และความนาจะเปนที่นักเรียนหญิงทั้งหมดตองยืนติดกันเทากับ b แลว a + b เทากับขอใด ตอไปนี้ (ตุลา 46) 1. 0.20 2. 0.25 3. 0.30 4. 0.35 23. จัดคน 8 คน ซึ่งมีสมศักดิ์ สมชายและสมหญิง รวมอยูดวย เขานั่งรอบโตะกลมซึ่งมี 8 ที่นั่ง ความนาจะเปนที่สมชายได นั่งติดกับสมหญิง และสมศักดิ์ไมนั่งติดกับสมชาย เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 47) 1.

1 7

2.

5 21

3.

11 42

4.

5 42

24. ในการเลือกประธาน รองประธาน และเหรัญญิก จากนักเรียนชาย 6 คน และนักเรียนหญิง 4 คน ซึ่งมีนายกําธร รวมอยูดวย ความนาจะเปนที่การเลือกครั้งนี้นายกําธรไดเปนประธาน และมีนักเรียนหญิงไดรับเลือกอยางนอยหนึ่งคน เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 47) 1.

13 180

2.

13 360

3.

2 45

4.

4 45

⎧⎡a b ⎤ ⎪⎫ 25. กําหนดให S คือเซตของเมตริกซ ⎪⎨ ⎢ a, b, c, d ∈ {0, }⎬ ความนาจะเปนในการสุมหยิบเมตริกซ A ⎥ ⎪⎩ ⎣ c d ⎦ ⎪⎭ จากเซต S โดยมสมบัติ det( A) = 0 หรือ det( A) = 1 เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 47)

1.

3 4

2.

5 8

3.

11 16

4.

13 16

26. ในการออกรางวัลเลขทายสองตัวของลอตเตอรีรัฐบาล ความนาจะเปนที่รางวัลเลขทายสองตัวมีหลักสิบที่เปนเลขที่มากกวา หรือเทากับ 7 หรือหลักหนวยเปนเลขที่นอยกวาหรือเทากับ 2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 47) 1. 0.40 2. 0.51 3. 0.54 4. 0.60 27. กลองใบหนึ่งมีลูกบอลสีดํา 4 ลูก และสีแดง 6 ลูก ถาสุมหยิบลูกบอลจากกลองใบนี้มา 3 ลูก ความนาจะเปนที่จะได ลูกบอลสีละอยางนอยหนึ่งลูก เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 48) 1. 0.78 2. 0.80 3. 0.82 4. 0.84 28. ในการสุมหยิบเลข 3 หลัก ที่มากกวาหรือเทากับ 100 มาหนึ่งจํานวน ความนาจะเปนที่เลขจํานวนนั้นมีเลข 8 อยางนอย 1 หลัก และไมมีเลข 9 ในหลักใด ๆ จะเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 48) 1.

1 8

2.

1 9

3.

2 8

4.

2 9

29. กลองใบหนึ่งมีบัตร 10 ใบ แตละใบเขียนหมายเลข –4, –3, –2, ..., 4, 5 ใบละ 1 หมายเลข ถาสุมหยิบบัตร 2 ใบ พรอมกันจากกลองใบนี้ ความนาจะเปนที่จะไดบัตรที่มีหมายเลขบนบัตรทั้งสองซึ่งมีผลคูณมากกวาหรือเทากับ 0 เทากับ ขอใดตอไปนี้ (A-NET 49) 1.

2 3

2.

5 9

3.

4

32 45

4.

41 45

¾ ความนาจะเปน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

30. ให S เปนเซตของจุด 10 จุดบนวงกลมวงหนึ่ง ซึ่งมีสมบัติดังนี้ “เมื่อลากเสนตรงเชื่อมระหวางจุด 2 จุดใด ๆ ใน S จะมี เพียง 3 เสนเทานั้นที่ผานจุดศูนยกลางของวงกลมวงนี้” ถาสรางรูปสามเหลี่ยมโดยเลือกจุด 3 จุดใน S มาเปนจุดยอด ของรูปสามเหลี่ยม ความนาจะเปนที่จะไดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 49) 1. 0.1 2. 0.2 3. 0.3 4. 0.4 31. กลองใบหนึ่งมีบัตร 10 ใบ แตละใบมีหมายเลข 0, 1, 2, 3, ..., 9 บัตรละหนึ่งหมายเลข ถาหยิบบัตรจากกลองพรอมกัน 3 ใบ ความนาจะเปนที่จะไดบัตรหมายเลขคูทุกใบ และมีแตมรวมกันมากกวา 10 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 50) 1.

1 12

2.

1 15

3.

1 20

4.

1 30

32. กลองใบหนึ่งมีหลอดไฟอยู 10 หลอด เปนหลอดดี 8 หลอด และหลอดเสีย 2 หลอด สุมหยิบหลอดไฟขึ้นมาครั้งละ 1 หลอด 3 ครั้ง โดยที่ในการหยิบแตะละครั้งใหใสคืนหลอดไฟลงไปในกลองกอนที่จะหยิบครั้งตอไป แลวความนาจะเปนที่ จะไดหลอดเสีย 2 ครั้ง มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 51) 1.

3 125

2.

6 125

3.

12 125

4.

16 125

33. ให S แทนปริภูมิตัวอยาง A, B และ C เปนเหตุการณ โดยที่ A ∪ B ∪ C = S และ A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = φ ถา P( A ∪ B) = 0.7 และ P( B ∪ C ) = 0.5 แลว P( A′ ∩ C ′) มีคาเทาใด (A-NET 51) __________ 34. กนก ขจร และคํารณ อาศัยอยูที่เมือง A ทั้งสามนัดกันวาจะไปเที่ยวเมือง C โดยจะขับรถไปพรอมกับครอบครัวคนละคัน ทั้งนี้การเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C ตองผานเมือง B เสียกอน มีถนน 3 สายเชื่อมระหวางเมือง A กับ B และมี ถนน 2 สายเชื่อมระหวางเมือง B กับ C โดยมิไดนัดแนะกันวาใครจะใชเสนทางใดในแตละชวง ความนาจะเปนที่ทั้งสาม เดินทางไป – กลับ โดยใชเสนทางเหมือนกันตลอดการเดินทางเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1.

1 36

2.

1 72

3.

1 432

4.

1 1, 296

35. ปวีณาและเพื่อนๆ อีก 3 คน ชวนกันไปเที่ยวงานกาชาด และนัดแนะกันวาหากเกิดพลัดหลงกัน ใหทุกคนมาพบกันที่ประตู ทางออกเวลา 20.00 น. ปรากฏวาในงานมีผูมาเที่ยวเปนจํานวนมาก ปวีณาและเพื่อน ๆ จึงพลัดหลงกัน ดังนั้นเมื่อถึงเวลา นัดหมาย แตละคนจึงไปยืนที่ประตูทางออกโดยไมรูวางานกาชาดมีประตูทางออกถึง 4 ประตู ความนาจะเปนที่ปวีณาจะมา ที่ประตูกับเพื่อนอยางนอยหนึ่งคนเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1.

37 64

2.

27 64

3.

1 4

4.

1 2

36. กําหนดให A, B และ C เปนเหตุการณ โดยที่ P( A) = 0.3, P( B) = 0.35, P(C ) = 0.4 ถา P( A ∩ B) = 0.1, P( A ∩ C ) = 0.2, P( B ∩ C ) = 0.15 และ P(C − ( A ∪ B)) = 0.1 แลว P( A ∪ B ∪ C )′ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1. 0.20 2. 0.25 3. 0.30 4. 0.35

5

¾ ความนาจะเปน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

37. ขาวสารบรรจุถุงแลวกองหนึ่งประกอบดวย ขาวหอมมะลิ 4 ถุง ขาวเสาไห 3 ถุง ขาวขาวตาแหง 2 ถุง และขาวบัสมาตี 1 ถุง สุมหยิบขาวจากกองนี้มา 4 ถุง ความนาจะเปนที่จะไดขาวครบทุกชนิด เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1.

4 35

2.

3 35

3.

2 5

4.

1 4

38. กิตติและสมาน กับเพื่อน ๆ รวม 7 คน ไปเที่ยวตางจังหวัดดวยกัน ในการคางแรมที่มีบานพัก 3 หลัง หลังแรกพักได 3 คน สวนที่สองและที่สามพักไดหลังละ 2 คน ซึ่งแตละหลังมีความแตกตางกัน พวกเขาจึงตกลงที่จะจับสลากวาใครจะพักที่บาน หลังใด ความนาจะเปนที่กิตติและสมานจะไดพักบานหลังเดียวกันในหลังที่หนึ่งหรือหลังที่สาม เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1.

4 21

2.

5 21

3.

8 21

4.

10 21

39. กําหนดให n เปนจํานวนนับ ในการสุมหยิบเลข n จํานวนพรอม ๆ กัน จากเซต { 1, 2, 3, ..., 2n } ถาความนา จะเปนที่จะไดเลขคูทั้งหมดเทากับ 1.

1 20

1 แลว ความนาจะเปนที่จะไดเลขคูเพียง 1 จํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 20 3 9 11 2.

3.

4.

20 20 20

40. ถุงใบหนึ่งบรรจุลูกกวาดรสสตรอเบอรี่ 5 ลูก รสชอคโกแลต 4 ลูก รสกาแฟและรสมินทอยางละ 2 ลูก หากสุมหยิบ ลูกกวาดจากถุงใบนี้มา 3 ลูก ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกกวาดตางรสกันทั้งหมด เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1.

57 143

2.

58 143

3.

59 143

4.

60 143

41. กําหนดให A = {(0, n) n = 1, 2, ..., 10 } และ A = {(1, n) n = 1, 2, ..., 10 } ในการเลือกจุดสองจุดที่ แตกตางกันจากเซต A และอีกหนึ่งจุดจากเซต B เพื่อเปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมบนระนาบ ความนาจะเปนจะไดรูป สามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ 1 ตารางหนวย เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1.

8 45

2.

9 45

3.

10 45

4.

11 45

42. ในลิ้นชักมีถุงเทาสีขาว 4 คู สีดํา 3 คู และสีน้ําเงิน 2 คู แตไมไดจัดเรียงไวเปนคู ๆ ถาสุมหยิบถุงเทามา 2 ขาง ความนาจะเปนที่จะไดถุงเทาสีเดียวกันเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1.

1 2

2.

2 3

3.

43 153

4.

49 153

43. ถุงใบหนึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 5 ลูก สีเขียว 4 ลูก และสีเหลือง 3 ลูก ถาหยิบลูกแกวจากถุงทีละลูก 3 ครั้งโดยไมใสคืน แลวความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกแกวลูกที่หนึ่ง สอง และสามเปนสีแดง สีเขียว และสีเหลือง ตามลําดับ เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 52) 1.

1 21

2.

1 22

3.

6

3 22

4.

3 25

¾ ความนาจะเปน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

44. กลองใบหนึ่งบรรจุหลอดไฟ 12 หลอด เปนหลอดชํารุด 3 หลอด ถาหยิบหลอดไฟ จากกลองมา 4 หลอด แลวความนาจะเปนที่จะไดหลอดชํารุดไมเกิน 1 หลอด เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 52) 1.

1 3

2.

1 4

3.

14 99

4.

14 55

45. ในการโยนลูกเตา 2 ลูกหนึ่งครั้ง ความนาจะเปนที่จะไดแตมรวมเปน 7 โดยที่มีลูกเตาลูกหนึ่งขึ้นแตมไมนอยกวา 4 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 52) 1.

1 3

2.

1 4

3.

1 6

4.

1 12

46. กลองใบหนึ่งบรรจุเสื้อยืด 13 สี ๆ ละ 4 ตัว โดยที่ เสื้อยืดในแตละสีมีขนาด S, M, L และ XL ตามลําดับ สุมหยิบเสื้อจากกลองมา 3 ตัวพรอม ๆ กัน ความนาจะเปนที่จะไดเสื้อยืดมีสีเหมือนกัน 2 ตัว เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 53) 1.

72 425

2.

72 5525

3.

3 221

4.

3 22100

47. กําหนดให S เปนแซมเปลสเปซ และ A, B เปนเหตุการณใด ๆ ใน S จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. P( A) = P( A ∩ B) + P( A ∩ B′) ข. ถา P( A) = 0.5, P( B) = 0.6 และ P( A ∪ B′) = 0.7 แลว P( A − B) = 0.4 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (PAT มีนา 53) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

7

¾ ความนาจะเปน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 12 ลําดับและอนุกรมอนันต (ม.6) 1. จํานวนสมาชิกในเซต { 100 , 101 , 102 , … , 600 } ซึ่งหารดวย 8 หรือ 12 ลงตัวเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41) 1. 84 2. 92 3. 100 4. 125 −π π

2. ให S = ⎜⎛ , ⎞⎟ และ F ( x) = sin 2 x + sin 4 x + sin 6 x + ..., x ∈ S ⎝ 2 2⎠ ถา a เปนสมาชิกของ S ที่นอยที่สุดที่ทําให F (a) ≤ 1 แลว F (a) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41) 1. 0

2.

1 4

3.

1 2

4. 1 π

3. ถา 1 + cos2 θ + cos4 θ + ... = a โดยที่ a เปนจํานวนจริง แลว cos (π − 2θ ) sin ⎛⎜

⎞ − 2θ ⎟ ⎝2 ⎠

มีคาเทาไร (มีนา 42) 1.

⎛a−2⎞ −⎜ ⎟ ⎝ a ⎠

2

2.

4. ถา f ( x) = x − 1 แลว

⎛a−2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠

2

3.

30

∑ ( f D f ) (n ) 2

⎛ a ⎞ −⎜ ⎟ ⎝a+2⎠

2

4.

⎛ a ⎞ ⎜ ⎟ ⎝a+2⎠

2

มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 42)

n =10

1. 9028

2. 9030

3. 9128

5. ให a เปนจํานวนจริง กําหนดพจนที่ n ของอนุกรมคือ

4. 9170

1 + (n − 2) a 1− a

ถาพจนที่ m คือ

1 + 38 a 1− a

แลวผลบวก m พจนแรกของอนุกรมนี้มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 1.

40 + 740 a 1− a

2.

40 + 790 a 1− a

3.

20 + 720 a 1− a

20 + 760 a 1− a

4.

6. ถาลําดับเลขคณิต a1 , a2 , a3 , ... มีพจนที่ 10 และพจนที่ 15 เปน – 19 และ – 34 ตามลําดับ 20

∑ (a + 2i)

แลว

i =1

i

เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 42)

1. – 30

2. – 15

3. 10

4. 20

7. ให 5 , x , 20 , … เปนลําดับเลขคณิตที่มีผลบวกของ 12 พจนแรกเปน a และ 5 , y , 20 , … เปนลําดับเรขาคณิตที่มีพจนที่ 6 เปน b โดยที่ y < 0 โดยที่ a + b มีคาเทาใด (ตุลา 42) 1. 205 2. 395 3. 435 4. 845 8. ถา

10

∑ xi = − 8 , i =1

1. – 60

10

∑ yi = 4

และ

i =1

10

∑ (5 − xi )( yi + 2) = 76 i =1

2. – 30

3. 30

1

แลว

10

∑x i =1

i

yi

มีคาเทาใด (มีนา 43)

4. 60

¾ ลําดับและอนุกรมอนันต

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

9. กําหนดให a , b , c เปน 3 พจนเรียงติดกันในลําดับเรขาคณิต และมีผลคูณเปน 27 ถา a , b + 3 , c + 2 เปน 3 พจนเรียงติดกันในลําดับเลขคณิตแลว a + b + c มีคาเทากับเทาใด (มีนา 44) __________ 10. กําหนดให n เปนจํานวนเต็มบวกที่ทําใหผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต 7 + 15 + 23 + … มีคา 217 แลว

2n + 2n +1 + ... + 22 n 28

1. 127

มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 44)

2. 128

11. ถา c เปนจํานวนจริงซึ่ง lim n →∞

12. กําหนดให Sn =

⎛1⎞ ∑ ⎜ ⎟ k =1 ⎝ 10 ⎠ n

3. 127.5

3cn3 − n 2 + cn = (2n + 1)3

k −1

และ S =

∞

∞

∑ n =1

⎛1⎞ ∑ ⎜ ⎟ k =1 ⎝ 10 ⎠

(−2) n −1 3n − 2

4. 128.5 แลว c มีคาเทาใด (ตุลา 44) __________

k −1

จํานวนเต็มบวก n ที่ทําให S − Sn =

1 −5 (10 ) 9

เทากับเทาใด (มีนา 45) __________ 13. กําหนดให log x, log( x + 2), log( x + 16) เปนสามพจนแรกที่เรียงกันของลําดับเลขคณิต ถา a10 เปนพจนที่ 10 และ S10 เปนผลบวก 10 พจนแรกของลําดับนี้ แลวขอใดตอไปนี้ถูกตอง (ตุลา 45) 1. a10 = 9 log 5 − 8log 3, S10 = 5[9 log 5 − 7 log 3] 2. a10 = 9 log 5 − 8log 3, S10 = 5[9 log 7 − 2 log 3] 3. a10 = 9 log 7 − log 3, S10 = 5[9 log 5 − 7 log 3] 4. a10 = 9 log 7 − log 3, S10 = 5[9 log 7 − 2 log 3] 14. ถา log9 3, log9 (3x − 2), log 9 (3x + 16) เปนพจนสามพจนที่เรียงกันในอนุกรมเลขคณิต และ S เปนผลบวกของสี่พจนแรกของอนุกรมนี้ แลว 3S มีคาเทากับเทาใด (มีนา 46) __________ 15. ให x เปนจํานวนจริง ซึ่ง x < 1 2

3

1 1 1 16 ถาอนุกรม 1 + (1 + x ) ⎛⎜ ⎞⎟ + (1 + x + x 2 ) ⎛⎜ ⎞⎟ + (1 + x + x 2 + x3 ) ⎛⎜ ⎞⎟ + ... มีผลบวกเทากับ 7 ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 46)

1. −

1 3

2. −

1 4

16. กําหนดใหพจนที่ n ของลําดับสองลําดับดังนี้ an =

3.

1 3

4.

1 4

n (1 + 2 + 3 + ... + n) และ bn = 3(12 + 22 + 32 + ... + n 2 )

3n + 2 − 3n + 1 n + 2 − n +1

แลว lim ( an + bn ) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 47) n →∞ 1. 1 +

1 3

2. 1 + 3

3.

2

1 1 + 2 3

4.

1 + 3 2

¾ ลําดับและอนุกรมอนันต

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions 17. กําหนดให r = 1 + sin 1.

π 8

∞

∑r

ผลบวกของอนุกรมในขอใดตอไปนี้เทากับ 2.

n

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

n=0

∞

∑ (−1)

n

∞

∑

3.

rn

n=0

n=0

1 (ตุลา 47) 1+ r 1 4. r n +1

∞

∑ n=0

(−1) n r n +1

n term

18. ถา an เปนคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูล 1, 2, 2, 3, 3, 3, ..., n, n, n, ..., n

an เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 48) n 1 2.

1. 0 2

แลว lim n →∞

1 3

3.

4.

2 3

⎧ 2 ; n ≤ 100 ⎧ n2 ; n ≤ 100 ⎪ ⎪ และ bn = ⎨ n 2 19. พิจารณาลําดับ an และ bn ซึ่ง an = ⎨ 2n + 1 ; n > 100 ⎪ ⎪ 2 ; n > 100 ⎩ 2n + 1 ⎩

ขอใดตอไปนี้ถูก (A-NET 49) 1. an และ bn เปนลําดับลูเขา 3. an เปนลําดับลูเขา และ bn เปนลําดับลูออก 20. ถา

2. an และ bn เปนลําดับลูออก 4. an เปนลําดับลูกออก และ bn เปนลําดับลูเขา

a a2 1 1 4 + + 2 + 3 + ... เปนอนุกรมเรขาคณิตซึ่งมีผลบวกเทากับ แลว a มีคาเทาใด (A-NET 49) _________ a 3 3 3 3

21. กําหนดให an =

2n +1 + 3n −1 1 และ bn = n 4 1 + 2 + 3 + ... + n

ถา A และ B เปนผลบวกของอนุกรม

∞

∑ an และ n =1

1. 4.5

∞

∑b n =1

2. 5

n

ตามลําดับ แลว A + B เทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 50)

3. 5.5

4. 6

n term

⎤ 1 ⎡⎢ 22. กําหนดให an = k 1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + ... + (n + n + n + ... + n) ⎥ n ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ โดยที่ k เปนคาคงตัว ที่ทําให lim an = L โดยที่ L > 0 แลว 6( L + k ) มีคาเทาใด (A-NET 51) _________ n →∞

23. ผลบวกของอนุกรม

∞

∑n n =3

1 1.

4

24. คาของ lim n →∞ 1. 1

2

1 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) −4 25 2.

3. 25 12 48

4. หาคาไมได

1 ⎛1 3 7 2n − 1 ⎞ ... + + + + ⎜ ⎟ เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 2n ⎠ n +1⎝ 2 4 8

2. 2

3. 0

3

4. หาคาไมได

¾ ลําดับและอนุกรมอนันต

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions 25. ผลบวกของอนุกรม 1.

13 18

⎛ 4 2n ⎞ + ∑ ⎜ n +1 ⎟ เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 3n + 2 ⎠ n =1 ⎝ 2 40 33 2.

3.

18 27 ∞

n 2b + 1 = 1 แลวผลบวกของอนุกรม 26. ถา lim n →∞ 2n 2 a − 1 1 2 1.

2.

3 3

27. กําหนดให an เปนลําดับที่สอดคลองกับ ถา

10

2552

n =1

n =1

∑ an = 31 แลว 1. 21275 − 1

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

∑a

n

4.

56 27

n

∞

⎛ ab ⎞ เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) ∑ ⎜ 2 2 ⎟ n =1 ⎝ a + b ⎠

3. 1

4. หาคาไมได

an + 2 = 2 สําหรับทุกจํานวนนับ n an

เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52)

2.

3.

21276 − 1

28. ถา a1 , a2 , a3 , ... เปนลําดับเรขาคณิตซึ่ง

∞

∑a n =1

n

22551 − 1

4.

22552 − 1

= 4 แลวคามากที่สุดที่เปนไปไดของ a2

เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1. 4 2. 2

3. 1

4. หาคาไมได

an − a1 ⎞ ⎟ = 5 ถา a9 + a5 = 100 ⎝ n ⎠

⎛ 29. กําหนดให an เปนลําดับเลขคณิตที่สอดคลองกับเงื่อนไข lim ⎜ n →∞

แลว a100 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 500 2. 515

3. 520

4. หาไมไดเพราะขอมูลไมเพียงพอ

⎛ ⎞ 2n k 30. ถา A = lim ⎜ ⎟ มีคาเปนจํานวนจริงบวกแลว คาของ A เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) n →∞ 1 + 8 + 27 + ... + n 3 ⎝ ⎠

1. 0 31. ถา

2. 2

3. 4

4. 8

∞

∞ 1 1 = A แล ว มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) ∑ ∑ 4 2 2 n=2 n − n n=2 n 3 5 1. + A 2. + A 3. 3 − A 4 4 4

⎛ an2+1 − an2 ⎞ 32. ถา an เปนลําดับเลขคณิตซึ่ง lim ⎜ ⎟ = 4 แลว n →∞ n ⎝ ⎠

4.

5 −A 4

a17 − a9 มีคาเทาใด (PAT ตุลา 52) __________ 2

⎛ 3n + 12n + 27 n + ... + 3n3 ⎞ ⎟ มีคาเทาใด (PAT ตุลา 52) __________ 3 ⎝ 1 + 8 + 27 + ... + n ⎠

33. lim ⎜ n →∞

4

¾ ลําดับและอนุกรมอนันต

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

34. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา ลําดับ an ลูเขา แลวอนุกรม

∞

∑a n =1

∞

∑ an ลูเขา แลวอนุกรม

ข. ถา อนุกรม

n =1

n ∞

ลูเขา ⎛

an ⎞ ลูเขา n ⎟ ⎠

∑ ⎜⎝1 + 2 n =1

ขอใดตอไปนี้เปนจริง (PAT ตุลา 52) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 35. ผลบวกของอนุกรม 3 + 1.

20 3

3. ก. ผิด และ ข. ถูก

4. ก. ผิด และ ข. ผิด

11 33 3n + 2n − 2 + + ... + + ... เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 53) 4 16 4n−1 29 31 40 2.

3.

4.

3 3 3

36. ถา {an } เปนลําดับของจํานวนจริงที่ an =

2 + 4 + 6 + ... + 2n สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n n2

an มีคาเทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________ แลว lim n →∞

37. กําหนดให S n =

n

⎛

⎞ 1 ⎟ สําหรับ n = 1, 2, 3, ... ⎝ k (k + 1) + k k + 1 ⎠

∑⎜ k =1

คาของ lim Sn เทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________ n →∞

5

¾ ลําดับและอนุกรมอนันต

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 13 ลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชัน (ม.6) ⎧ 1 ⎪ ⎪ 3x + 1 1. กําหนดให f ( x) = ⎪⎨ 1 ⎪ ⎪ 2− 5− x ⎪⎩ x − 1 ก. lim− f ( x) = lim+ f ( x) x →1

; 0 < x < 1

พิจารณาขอความตอไปนี้

; x = 1 ; x > 1

ข. f เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x = 1

x →1

ขอใดตอไปนี้เปนจริง (ตุลา 41) 1. ก ถูก, ข ถูก 2. ก ถูก, ข ผิด ⎧ 3 ⎪ − 2 ⎪ 2 ⎪ 2x + x −1 2. กําหนดให f ( x) = ⎨ ⎪ 2( x + 1) ⎪ 1− x ⎪ ⎩ 1− x ก. f ตอเนื่องที่จุด x = -1

3. ก ผิด, ข ถูก

4. ก ผิด, ข ผิด

; x ≤ −1

พิจารณาขอความตอไปนี้

; −1 < x ≤ 1 ; x > 1

ข. f ตอเนื่องที่จุด x = 1

ขอใดตอไปนี้เปนจริง (มีนา 42) 1. ก ถูก, ข ถูก 2. ก ถูก, ข ผิด

3. ก ผิด, ข ถูก

4. ก ผิด, ข ผิด

x3 − x 2 − 4 x + 4 เมื่อ x ≠ ± 2 3. กําหนดให f เปนฟงกชันตอเนื่อง โดยที่ f ( x) = 4 − x2 และ f (2) = a, f (−2) = b แลว a และ b เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42)

1. a = 1, b = −3

3.

2. a = 1, b = 3

⎧ x2 ⎪ 4. ถา f ( x) = ⎨ x − 1 ⎪ 0 ⎩

a = −1, b = −3

4.

a = −1, b = 3

4.

1 3

; x > 1 ; 0 < x ≤ 1 ; x ≤ 0

f ( x − 1) ⎤ แลว lim f ( x 2 ) + lim ⎡⎢ เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 43) x →0 x →1 ⎣ x + 2 ⎥⎦ −

1. −

+

4 3

2. −1

3. 0

⎧ f ( x) 5. กําหนดให f ( x) = ax − 4 x + 1 เมื่อ a เปนคาคงตัวและ g ( x) = ⎪⎨ f ′( x) ⎪ 0 ⎩ ถา g ( x) มีลิมิตที่ 1 แลว a เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43) 3

1. 0

2

2.

5 2

3.

1

8 3

; x > 1 ; x < 1 ; x = 0

4. 3

¾ ลิมิตและความตอเนือ่ งของฟงกชัน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

x2 + 3 − 2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 44) __________ x −1

6. lim x →1

⎧ 1 7. กําหนดให f ( x) = ⎪⎨ x − 1 ⎪⎩ 2

; x ≠ 1

และ g ( x) = x3 + x − 2 ถา h( x) = f ( x) g ( x)

; x = 1

แลวขอใดถูกตอง (ตุลา’44) h( x ) = 0 1. h ตอเนื่องที่จุด x = 1 และ lim x →1

2. h ตอเนื่องที่จุด x = 1 และ lim h( x ) = 4 x →1

3. h ไมตอเนื่องที่จุด x = 1 และ lim h( x) = 0 x →1

8. ให

⎧ ( x − 4)( x + 2)a ⎪ x −2 ⎪⎪ f ( x) = ⎨ 1 ⎪ x2 − b ⎪ ⎪⎩

; x>4

9. กําหนดให a > 0

; x<4

x→a

1. 1

b ) เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา’45) 16

2. -14 ⎧ x ⎪⎪ x + 2 f ( x) = ⎨ ⎪ x +1 ⎪⎩ x

ถา lim ( fog )( x ) − +

โดยที่ a , b เปนจํานวนจริง

; x=4

ถา f ตอเนื่องที่จุด x = 4 แลว f (a + 1. -16

4. h ไมตอเนื่องที่จุด x = 1 และ lim h( x) = 4 x →1

3. 14 ; x<a

และ

g ( x) = x 2

; x≥a

lim− ( gof )( x) =

x→a

4. 16

11 a (a + 2)

2. 3

3. 5

แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา’45) 4. 9

1 ⎡ 1 + x − 1 − x − (1 + x)(1 − x 2 ) + (1 − x)(1 − x 2 ) ⎤ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา’46) ⎦ x3 ⎣ 1 1 2.

3.

4. 1 1. 0 4 2

10. lim x →0

11. กําหนดให f ( x) = x 2 + 4 x และ g ( x) = x 2 − 16 ถา a, b เปนคําตอบทั้งสองของสมการ f ( x) = g ( x) f ( x) f ( x) + lim เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา’46) x → b g ( x) g ( x) 3 5 1 1.

2.

3.

2 6 2

แลว lim x →a

2

4.

1 3

¾ ลิมิตและความตอเนือ่ งของฟงกชัน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

⎧1 ; x≠0 1 12. กําหนดให f ( x) = ⎪⎨ x และ g ( x) = พิจารณาขอความตอไปนี้ x −1 ⎪⎩ 1 ; x = 0 1 1 ข. f ′(− ) = g ′( ) ก. f D g ตอเนื่องที่ x = 0 2 2

ขอใดตอไปนี้เปนถูก (มีนา 47) 1. ก ถูก, ข ถูก 2. ก ถูก, ข ผิด ⎧1 ; x ≤ 0 f ( x) = ⎨ ⎩0 ; x>0 ก. lim− ( f D f )( x) = 0

13. กําหนดให

3. ก ผิด, ข ถูก

พิจารณาขอความตอไปนี้ ข. lim ( f D f )( x) = 1 x → 0+

x →0

ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 48) 1. ก ถูก และ ข ถูก

4. ก ผิด, ข ผิด

2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

4. ก ผิด และ ข ผิด

⎧ x2 ; x < 0 ⎪ 14. กําหนดให f ( x) = ⎨2 x − 1 ; 0 ≤ x < 1 คาของ lim− f ( x 2 ) + lim− f (1 − x) เทากับขอใดตอไปนี้ (ANET 49) x →0 x →0 ⎪ 3x ; x ≥ 1 ⎩

1. 0

2. 1

3. 2

4. 3

⎧( x − 1) 2 + 1 ; x < 0 ⎪ 15. กําหนดให a, b เปนจํานวนจริง และ f เปนฟงกชันซึ่งนิยามโดย f ( x) = ⎨ x3 + ax + b ; 0 ≤ x ≤ 1 ⎪ x −b ; x >1 ⎩ 1 ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง [−2, 2] แลว f ( ) เทากับขอใดตอไปนี้ (ANET 50) 2

1. 0

2. 0.25

3. 0.5

4. 0.75

⎧ x3 − 3x − 2 ; x<2 ⎪ x−2 ⎪⎪ 16. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริง และ f เปนฟงกชัน ซึ่งกําหนดโดย f ( x) = ⎨ a − b ; x = 2 ⎪ x 2 + ax + 1 ; x > 2 ⎪ ⎪⎩ 2 2 ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริงแลว คาของ a + b เทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________

2 x2 + x − 6 เทากับขอใดตอไปนี้ (สมาคม 42) 3 6 − x − 2 3 3x + 7 17 17 84 1. − 2.

3. − 5 5 25

17. คาของ xlim →− 2

3

4.

84 25

¾ ลิมิตและความตอเนือ่ งของฟงกชัน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

⎧ x+2 −2 ; x>2 ⎪⎪ g ( x) + x−2 18. กําหนด f ( x) = ⎨ x3 − 8 ⎪ ;0 < x < 2 x3 − 4 x ⎩⎪

ถา f มีลิมิตที่ x = 2 แลว lim x 2 g ( x) x → 2+

มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (สมาคม 43) 1. 3 2. 5

3. 7

19. ถา a และ b เปนจํานวนจริงที่ทําให lim x →1 1. −

5 4

2. −

7 4

4. 9

3x + 1 + a = b แลว a + b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (สมาคม 45) x −1 9 11 3.

4.

4 4

⎧ 1 − x2 ; x < −1 ⎪ x2 + x ⎪ พิจารณาขอความตอไปนี้ 20. กําหนดให f ( x) = ⎪⎨ c ; x = −1 ⎪ 2x +1 x ⎪ 2 − ; x > −1 ⎪⎩ x + 3 x + 2 x + 1 ข. มีจํานวนจริง c ที่ทําให f มีความตอเนื่องที่ x = −1 ก. lim+ f ( x) = − 2 x →−1

ขอใดตอไปนี้เปนถูก (สมาคม 46) 1. ก ถูก, ข ถูก 2. ก ถูก, ข ผิด

3. ก ผิด, ข ถูก

x + 2 − 2x + 3 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (สมาคม 47) 3x + 7 − 2 x + 6 1 1 1. −2 2. − 3.

2 2

4. ก ผิด, ข ผิด

21. xlim →−1

4. 2

⎧ Ax + B ; x ≤ 1 ⎪ 2 x − 6x 22. กําหนดให f ( x) = ⎪⎨ 2 ; 1 < x < 6 โดยที่ฟงกชัน f มีความตอเนื่องที่ x = 1 และ x = 6 ⎪ x − 5x − 6 ⎪⎩ Bx + A ; x ≥ 6 แลว 9 A + 44 B มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (สมาคม 47)

1. 3

2. 5

3. 7

4

4. 9

¾ ลิมิตและความตอเนือ่ งของฟงกชัน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 13 เรขาคณิตวิเคราะห (ม.4) 1. ถา A1 เปนเสนตรงที่ผานจุด (–2 , 0) และ (–1 , 2) และ A 2 เปนเสนตรงที่ผานจุดกําเนิดและตั้งฉากกับ A1 แลว พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ลอมรอบดวยแกน x เสนตรง A1 และเสนตรง A 2 เทากับกี่ตารางหนวย (ตุลา 41) __________ 2. สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอดเปน (0 , –1) และผานจุดโฟกัสทั้งสองของวงรี 3x2 + 4y2 −16y + 4 = 0 ผานจุดใน ขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41) 2 , 1) 3

1. (

1 2

3 , 1) 2

2. (

3. ( , 0)

1 3

4. ( , 0)

3. ให S เปนเซตจํานวนจริง m ทั้งหมดที่ทําใหเสนตรง y = mx ตัดวงกลม x2 + y2 −10x +16 = 0 ขอบเขตบนคานอยสุดของ S คือจํานวนในขอใดตอไปนี้ (มีนา 42) 1.

1 2

2.

2 3

3.

3 4

4.

4 5

4. ถาสมการไฮเพอรโบลา H มีสมการเปน 16x2 − 64x −9y2 −80 = 0 แลววงรีที่มีจุดยอดอยูที่จุดโฟกัสทั้งสอง ของ H และมีแกนโทคือ แกนสังยุคของ H มีสมการเปนขอใดตอไปนี้ (มีนา 42) 1. 16x2 − 64x + 25y2 − 464 = 0 2. 16x2 − 64x + 25y2 −336 = 0 3. 25x2 −100x +16y2 − 464 = 0 4. 25x2 −100x +16y2 −336 = 0 5. วงรีวงหนึ่งมีจุดศูนยกลางที่ (3 , 1) จุดโฟกัสจุดหนึ่งที่ (5 , 1) และสัมผัสแกน y ที่จุด (0 , 1) สมการของวงกลมที่มี จุดศูนยกลางที่ (–2 , 1) และมีรัศมีเทากับความยาวของแกนโทของวงรีคือ ขอใดตอไปนี้ (มีนา 42) 2. x2 + y2 + 4x − 2y −1 = 0 1. x2 + y2 + 4x − 2y = 0 3. x2 + y2 + 4x − 2y − 4 = 0 4. x2 + y2 + 4x − 2y −15 = 0 6. พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดเปนจุดกําเนิด และจุดโฟกัสทั้งสองของวงรี x2 + 2y2 + 4x − 4y − 2 = 0 เทากับเทาใด (ตุลา 42) ___________ 7. ถา A เปนจุดบนวงกลม x2 + y2 + 4x − 6y +11 = 0 ซึ่งอยูใกลจุดโฟกัส F ของพาราโบลา x2 −12x + 4y + 52 = 0มากที่สุด แลวระยะระหวางจุด A กับ F มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 2. 8 2 3. 7 2 − 2 4. 8 2 − 2 1. 7 2 8. กําหนดใหเสนตรง 3x − 4 y − 5 = 0 ขนานกับเสนตรง x + ky + 5 = 0 เมื่อ k เปนจํานวนจริง 1 4

ถาวงกลมซึ่งมีเสนตรงทั้งสองนี้เปนเสนสัมผัส มีจุดศูนยกลางอยูบนแกน y และผานจุด (a, ) แลว a เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 43) 1.

6 2

2.

7 2

3.

1

2

4.

3

¾ เรขาคณิตวิเคราะห

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

9. ให C เปนวงกลม x2 + y2 − 2x − 4y − 20 = 0 มีจุดศูนยกลางอยูที่ (h , k ) และมีรัศมี r สมการพาราโบลาซึ่งมี (h , k ) เปนจุดยอด และ x = r เปนสมการไดเรกตริกซ คือขอใดตอไปนี้ (มีนา 43) 1. y2 − 4y + 20x −16 = 0 2. y2 + 4y −16x −12 = 0 3. y2 − 4y +16x −12 = 0 4. y2 − 4y +16x −14 = 0 10. กําหนดให P เปนพาราโบลา y = x 2 และ L เปนเสนตรง x − y − 2 = 0 ระยะทางที่สั้นที่สุดระหวาง P และ L มีคาเทากับเทาใดในขอตอไปนี้ (ตุลา 43) 1.

7 2 หนวย 8

2.

7 หนวย 8

3.

7 2 หนวย 16

4.

7 หนวย 16

11. กําหนดใหเสนโคง y = 22 x − 2 x + 2 − 45 ตัดแกน x ที่จุด A ถาเสนตรงที่ผานจุด A และจุด B (0 , b) ขนานกับเสนตรง y = (log 3 2) x − 4 แลว b มีคา เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43) 1. 2 2. 1 3. – 1 4. – 2 12. กําหนดให A และ B เปนจุดโฟกัสของวงรี x2 + 2y2 + 4x − 4y + 2 = 0 และวงรีนี้ตัดแกน x ที่จุด C และ D โดยทําให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยม พิจารณาขอความตอไปนี้ ข. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD เทากับ 4 2 ตารางหนวย ก. ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา ขอใดตอไปนี้เปนจริง (มีนา 44) 1. ก ถูก และ ข ผิด 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 13. กําหนดให A เปนเสนตรงทีผานจุด (1 , 4) และมีความชันเทากับ

3 4

ถาเสนตรง A สัมผัสวงกลม C

ซึ่งมีจุดศูนยกลางที่จุด (1 , 2) แลวจุดใดตอไปนี้เปนจุดบนวงกลม C (มีนา 44) 2 5

1. (1 , )

2. (1 ,

−13 , 2) 5

16 ) 5

3. (

3 5

4. ( , 2)

14. ให C เปนวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูที่จุดศูนยกลางของวงรี x 2 + 2 y 2 + 4 x − 4 y + 2 = 0 และผานจุดโฟกัสทั้งสอง ของวงรีนี้ ถาวงกลม C ตัดกับเสนตรง y = − x ที่จุด A และ B แลวระยะ AB ยาวเทาใด (ตุลา 44) 3 หนวย 2. 5 หนวย 3. 6 หนวย 4. 8 หนวย 1.

15. กําหนดให P เปนพาราโบลา y 2 − 2 y − 8 x − 7 = 0 ซึ่งมี L เปนเสนไดเรกตริกซ สมการวงกลมซึ่งมีจุดศูนยกลาง อยูที่จุดโฟกัสของ P และมี L เปนเสนสัมผัส คือขอใด (ตุลา 44) 1. x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 14 = 0 2. x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 2 = 0 3. x 2 + y 2 + 2 x + 2 y − 2 = 0 4. x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 14 = 0 16. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนยกลาง (h , k) อยูบนเสนตรง 2x + 3y = 6 โดยที่ h , k เปนจํานวนเต็ม ถาวงกลมนี้มีเสนตรง 2x – y = 1 และเสนตรง 2x + y = – 3 เปนเสนสัมผัสแลว ความยาวรัศมีของวงกลมนี้อยูในชวงใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1. [2 , 4] 2. [4 , 5] 3. [5 , 6] 4. [6 , 7]

2

¾ เรขาคณิตวิเคราะห

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

17. กําหนดให F1 และ F2 เปนจุดโฟกัสของไฮเพอรโบลา x2 + 6x – y2 – 14y – 41 = 0 ถา P1 (0 , y1) และ P2 (0 , y2) เปนจุดสองจุดที่ทําใหพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม P1F1F2 และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม P2F1F2 ตางก็เทากับ 2 2 ตารางหนวย แลว y12 − y22 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1. 28 2. 56 3. 84 4. 420 18. ถาไฮเพอรโบลา H มีจุดศูนยกลางอยูที่จุดศูนยกลางของวงรี 4 x 2 + 9 y 2 − 8 x − 36 y + 4 = 0 จุดยอดอยูที่จุดโฟกัส ทั้งสองจุดของวงรีนี้ และผานจุด (5, 5) แลวจุดโฟกัสของไฮเพอรโบลา H คือ จุดในขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45) 7 7 , 2) และ (1 + , 2) 11 11 9 9 , 2) และ (1 + , 2) 3. (1 − 11 11

8 8 , 2) และ (1 + , 2) 11 11 10 10 , 2) และ (1 + , 2) 4. (1 − 11 11

2. (1 −

1. (1 −

x 2

19. กําหนดให f1 ( x) = − + ของวงกลมที่มีรัศมียาว 1. −2 2

3 เมื่อ x ≤ 1 และ f 2 ( x) = 3x − 2 เมื่อ x ≥ 1 ถา P(a, b) เปนจุดศูนยกลาง 2

7 หนวย และสัมผัสกราฟ f1 และ f 2 แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45) 5 2. 2 2 3. 6 − 2 4. 6 + 2

20. กําหนดให a เปนจํานวนจริง และ A (a, 1), B (– 5, – 4), C (1, – 2) และ D (2, 3) เปนจุดยอดของรูป สี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD ถา A เปนเสนตรงที่ตั้งฉากกับ AC และผานจุดพึ่งกลางของดาน AC แลวสมการของ เสนตรง A คือสมการในขอใดตอไปนี้ (มีนา 46) 1. 5x – 3y + 6 = 0 2. 5x – 3y – 6 = 0 3. 5x + 3y + 9 = 0 4. 5x + 3y – 9 = 0 21. ให E เปนวงรีซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ บนวงรี E ไปยังจุด (–3, 2) และ (5, 2) เทากับ 12 หนวย ถา A และ B เปนจุดยอดของวงรี E และวงรี E ตัดแกน Y ที่จุด C และ D แลวพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD เทากับเทาใด 2. 20 5 ตารางหนวย 1. 10 5 ตารางหนวย 4. 20 7 ตารางหนวย 3. 10 7 ตารางหนวย 22. กําหนดให วงกลม C มีจุดศูนยกลางอยูที่โฟกัสของพาราโบลา y = 1 − 8( x − 2)2 ถาเสนตรง 3x − 4 y + 5 = 0 เปนเสนสัมผัสวงกลม C แลว จุดในขอใดตอไปนี้อยูบนวงกลม C (ตุลา 46) 2. (1 − 2 2, 0) 3. (−1, − 1) 4. (2, − 2) 1. (0, 1 + 5) 23. ให H เปนไฮเพอรโบลา 12 y 2 − 4 x 2 + 72 y + 16 x + 44 = 0 ซึ่งมีโฟกัสคือ F1 และ F2 ให E เปนวงรีซึ่งมีจุดศูนย กลางรวมกับ H โดยมี F1 และ F2 เปนจุดยอดและสัมผัสกับแกน Y ถา E ตัดแกน X ที่จุด A และ B แลว AB ยาว เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 46) 2. 7 หนวย 3. 6 หนวย 4. 5 หนวย 1. 8 หนวย

3

¾ เรขาคณิตวิเคราะห

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

24. กําหนดให P คือพาราโบลา x 2 + 8 y + 2 x + a = 0 โดยที่ a < 0 และมีเสนตรง y = 4 เปนไดเรกตริกซ ถา P ตัดแกน X ทางลบที่จุด A แลวเสนตรงที่ผานจุด A และจุดยอดของ P มีความชันเทากับเทาใด (มีนา 47) _________ 25. ให A เปนจุดในควอดรันตที่หนึ่ง และเปนจุดศูนยกลางของวงกลม C ซึ่งมีรัศมี 3 หนวย ถา C ผานโฟกัสทั้งสองของไฮเพอรโบลา 2 y 2 − 12 y − 3x 2 + 6 x + 9 = 0 แลว ระยะทางจากจุดกําเนิดไปยังจุด A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 47) 2. 18 3. 20 4. 24 1. 15 ( x − 1) 2 ( y − 2) 2 − = 1 ถาระยะทางระหวางจุด A และจุดโฟกัส 9 16 จุดหนึ่งของไฮเพอรโบลาคือ 3 หนวย แลวระยะระหวางจุด A กับจุดโฟกัสอีจุดหนึ่งของไฮเพอรโบลา

26. กําหนดให A เปนจุด ๆ หนึ่งบนไฮเพอรโบลา มีคาเทากับกี่หนวย (ตุลา 47) __________

27. ถา F1 และ F2 เปนโฟกัสของวงรี x 2 + 3 y 2 − 2 x − 23 = 0 และ P(4, 5) เปนจุดซึ่งอยูบนวงรีนี้ ˆ ) เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 47) แลวคาของ cos( F1 PF 2 1. −

1 9

2. −

1 7

3.

3 4

4.

3 5

( x − 1) 2 ( y − 1) 2 + = 1 ที่จุด A และ B ถา F1 และ F2 เปนโฟกัส 9 4 ของวงรีนี้ แลว AF1 + AF2 + BF1 + BF2 มีคาเทาใด (มีนา 48) __________

28. กําหนดใหเสนตรง x = y ตัดวงรี

29. กําหนดใหพาราโบลารูปหนึ่งมีสมการเปน y 2 − 4 y − 16 x − 12 = 0 ถา A เปนเสนตรงที่ผานโฟกัสของพาราโบลารูปนี้ และตั้งฉากกับเสนตรง 3x − 2 y + 5 = 0 แลว ระยะตัดแกน Y ของเสนตรง A มีคาเทากับเทาใด (มีนา 48) _________ 30. กําหนดใหวงกลม x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 ตัดแกน Y ที่จุด 2 จุด แตไมตัดแกน X ขอความในขอใด ตอไปนี้เปนจริง (มีนา 48) 2. a2 > c และ b2 < c 1. a2 > c และ b2 > c 4. a2 < c และ b2 < c 3. a2 < c และ b2 > c 31. ถาวงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่จุดศูนยกลางของวงรีที่มีสมการเปน 9 x 2 + 4 y 2 − 36 x − 24 y + 36 = 0 ถาวงกลมวงนี้สัมผัสกับเสนตรงที่ผานจุด (1, 3) และ (5, 0) แลว รัศมีของวงกลมวงนี้เทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 49) 1.

3 5

2.

4 5

3.

4

7 8

4.

9 13

¾ เรขาคณิตวิเคราะห

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

32. กําหนดให H เปนไฮเพอรโบลาที่มีสมการเปน 16 x 2 − 9 y 2 − 144 = 0 ถาจุด A (6, k ) เมื่อ k > 0 เปนจุดอยูบนเสนกํากับของ H และ F1 , F2 เปนโฟกัสของ H แลว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม AF1 F2 เทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 49) 1.

37 ตารางหนวย 2

2.

45 ตารางหนวย 2

3. 30 ตารางหนวย

4. 40 ตารางหนวย

33. ถา k , l และ m เปนจํานวนจริงที่ทําใหวงรี kx 2 + ly 2 − 72 x − 24 y + m = 0 มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (4, 3) และสัมผัสแกน Y แลว ขอใดตอไปนี้ผิด (A-NET 50) 1. ความยาวแกนเอกเทากับ 12 หนวย 2. ความยาวแกนโทเทากับ 8 หนวย 3. ระยะหางระหวางจุดโฟกัสทั้งสองเทากับ 4 5 หนวย 4. จุด (2, 6) อยูบนวงรี 34. วงกลม C มีจุดศูนยกลางอยูที่จุดกําเนิด และผานจุดโฟกัสของพาราโบลาซึ่งมีสมการเปน ( x − 2) 2 = 8 y โดยเสนไดเรกตริกซของพาราโบลาตัดวงกลม C ที่จุด P และจุด Q ถาจุด R อยูบนพาราโบลาและอยูหางจากจุด โฟกัสเปนระยะทาง 4 หนวย แลวสามเหลี่ยม PQR มีพื้นที่เทากับขอใด (A-NET 50) 1. 8 ตารางหนวย 2. 9 ตารางหนวย 3. 10 ตารางหนวย 4. 12 ตารางหนวย 35. ถาเสนกํากับของไฮเพอรโบลา 16 x 2 − 9 y 2 + 32 x + 36 y = 164 ตัดแกน X ที่จุด x1 , x2 แลวระยะระหวาง x1 , x2 ยาวกี่หนวย (A-NET 50) __________ 36. ให A และ B ปนจุดยอดของไฮเพอรโบลา 4 x 2 − y 2 − 24 x + 6 y + 11 = 0 สมการของพาราโบลาที่มี AB เปนเลตัสเรกตัม และมีกราฟอยูเหนือแกน X คือสมการในขอใด (A-NET 51) 1. ( x − 3)2 = 4( y − 2) 2. ( x − 3)2 = 8( y − 1) 3. ( x − 2)2 = 4( y − 2) 4. ( x − 2)2 = 8( y − 1) 37. ให E เปนวงรีที่มีแกนเอกขนานกับแกน X , มีจุดศูนยกลางที่ (−2, 1) สัมผัสเสนตรง x = 1 และ y = 3 โดยมี F1 และ F2 เปนจุดโฟกัสของ E ให C เปนวงกลมที่มี F1 F2 เปนเสนผานศูนยกลาง ถาวงรี E ตัดวงกลม C ที่จุด P, Q, R และ S แลว พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม PQRS มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 51) 1.

12 ตารางหนวย 5

2.

24 ตารางหนวย 5

3.

36 ตารางหนวย 5

4.

48 ตารางหนวย 5

38. ให C เปนจุดตัดของเสนตรง x − 2 y = 0 และเสนไดเรกตริกซของพาราโบลา x 2 = 8 y ระยะระหวางจุด C และเสนตรง 2 x − y = 1 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1.

6 หนวย 5

2.

7 หนวย 5

3. 7 หนวย

4.

7 หนวย 5

39. วงรีมีจุดศูนยกลางอยูที่ (1, 2) แกนเอกขนานกับแกน X และยาว 6 หนวย แกนโทยาว 4 หนวย ผานจุดในขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 2. (2, 0) 3. (1, 4) 4. (4, 1) 1. (0, 1)

5

¾ เรขาคณิตวิเคราะห

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

40. กําหนดให P (−1, − 1) และ Q(1, c) เปนจุดในระนาบ XY ถา l เปนเสนตรงซึ่งผานจุด P, Q และมีความชัน เทากับ 3 แลวเสนตรงที่มีความชันเทากับ −2 และผานจุด Q จะมีสมการดังขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 2. y = − 2 x + 5 3. y = − 2 x + 3 4. y = − 2 x + 1 1. y = − 2 x + 7 41. กําหนดให C1 , C2 เปนจุดโฟกัสของไฮเพอรโบลา 2( x − 1)2 − ( y − 2)2 = 8 โดยที่ C2 อยูในควอดรันตที่ 1 วงกลมที่มี C2 เปนจุดศูนยกลางและผานจุด (2 3, 3) คือวงกลมที่มีสมการดังขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1.

3.

( x + (1 + 2 3) ) ( x + (1 + 2 3) )

2

= 4 y − y2 + 2

2.

2

= 4 y − y2 − 2

4.

( x − (1 + 2 3) ) ( x − (1 + 2 3) )

42. กําหนดให A = { a | เสนตรง y = ax ไมตัดกราฟ y 2 = 1 + x 2 } และ B = { b | เสนตรง y = x + b ตัดกราฟ y 2 = 1 − x 2 สองจุด } เซต {d | d = c 2 , c ∈ B − A } เทากับชวงในขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1. (0, 1) 2. (0, 2) 3. (1, 2)

2

= 4 y − y2 + 2

2

= 4 y − y2 − 2

4. (0, 4)

43. ถาเสนตรงหนึ่งผานจุดกําเนิดและจุดยอดของพาราโบลา y 2 − 4 y + 4 x = 0 และ ตัดเสนไดเรกตริกซที่จุด (a, b) แลว a + b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 1 3

44. กําหนดใหวงกลมรูปหนึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (2, 1) ถาเสนสัมผัสวงกลมที่จุด x = 1 เสนหนึ่งมีความชันเทากับ แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบนวงกลมที่กําหนด (PAT มีนา 52) 2. (0, 2) 3. (1, 0) 1. (0, 1) 45. กําหนดใหวงรีรูปหนึ่งมีโฟกัสอยูที่จุด (±3, 0) และผานจุด (2,

4. (3, 0)

21 ) 2

จุดในขอใดตอไปนี้อยูในวงรีที่กําหนด (PAT มีนา 52) 5 2 3. (6, 0) 4. (0, − 3 2) ) 2 46. กําหนดใหเสนตรง l1 และ l2 สัมผัสวงกลม ( x − 5) 2 + y 2 = 20 ที่จุด P และ Q ตามลําดับ และจุดศูนยกลาง

1. (−4, 0)

2. (0,

ของวงกลมอยูบนเสนตรงที่ผานจุด P และ Q ถา l1 มีสมการเปน x − 2 y + 5 = 0 แลวจุดในขอใดตอไปนี้ อยูบนเสนตรง l2 (PAT กรกฎา 52) 5 2

1. (0, )

2. (8, − 1)

47. กําหนดให S = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 17 }

3. (1, − 8)

{

A = ( x, y ) x 2 − y 2 = 1

4. (15, 0)

}

{

B = ( x, y ) y 2 − x 2 = 1

}

ถา p ∈ S ∩ A และ q ∈ S ∩ B แลวระยะทางที่นอยที่สุดที่เปนไปไดระหวางจุด p และ q เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 3 2 − 2 3. 2 3 − 2 4. 2 3 − 3 1. 3 2 − 4

6

¾ เรขาคณิตวิเคราะห

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

48. ระยะทางจากโฟกัสของพาราโบลา y 2 = − 8 x ไปยังเสนตรง 2 x + y = 6 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 2 5 หนวย

2. 5 2 หนวย

3.

2 หนวย 5

2 หนวย 5

4.

49. กําหนดใหวงรี E มีจุดโฟกัสทั้งสองอยูบนวงกลม C ซึ่งมีสมการเปน x 2 + y 2 = 1 ถา E สัมผัสกับ C ที่จุด (1, 0) แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบน E (PAT กรกฎา 52) 1 3 2 2

1. ( , )

1 5 2 2

1 2 3 3

2. ( , )

3. ( , )

1 4 3 3

4. ( , )

50. กําหนดให A = { ( x, y ) x 2 + y 2 = 1 } และ B = {( x, y ) x 2 + y 2 − 10 x − 10 y + 49 = 0} ถา p ∈ A และ q ∈ B แลวระยะทางมากสุดที่เปนไปไดระหวางจุด p และ q เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 52) 2. 2 + 5 2 หนวย 3. 2 5 หนวย 4. 5 + 2 5 หนวย 1. 5 2 หนวย 51. กําหนดให E เปนวงรีที่มีโฟกัสอยูที่จุดยอดของไฮเพอรโบลา x 2 − y 2 = 1 ถา E ผานจุด (0, 1) แลว จุดในขอใดตอไปนี้อยูบน E (PAT ตุลา 52) 1. (1, −

2 ) 2

1 2

2. (1, 2)

3. (1, − )

4. (1,

3 ) 2

52. ให a, b และ c เปนจํานวนจริง ถาวงกลม x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 มีจุดศูนยกลางที่ (2, 1) และมีเสนตรง x − y + 2 = 0 เปนเสนสัมผัสวงกลมแลว a + b + c เทากับเทาใด (PAT ตุลา 52) __________ 53. พาราโบลามีจุดยอดอยูที่ (−1, 0) และมีจุดกําเนิดเปนโฟกัส ถาเสนตรง y = x ตัดพาราโบลาที่จุด P และ Q แลว ระยะทางระหวางจุด P กับจุด Q เทากับเทาใด (PAT ตุลา 52) __________ 54. กําหนดใหวงรีรูปหนึ่งมีสมการเปน 25 x 2 + 21y 2 + 100 x − 42 y − 404 = 0 แลวไฮเพอรโบลาที่มีจุดยอดอยูที่ จุดโฟกัสทั้งสองของวงรีและผานจุด (−3, 1 + 8) มีสมการตรงกับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 53) 2. 3 y 2 − 2 x 2 − 6 8 y − 8 x + 15 = 0 1. 5 y 2 − 4 x 2 − 10 8 y − 32 x − 25 = 0 3. y 2 − 4 x 2 − 2 y − 16 x − 19 = 0 4. y 2 − 7 x 2 − 2 y − 28 x − 28 = 0 54. จุด A (−3, 1), B (1, 5), C (8, 3) และ D (2, − 3) เปนจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ขอใดตอไปนี้ผิด (PAT มีนา 53) 1. ดาน AB ขนานกับดาน DC 2. ผลบวกความยาวของดาน AB กับ DC เทากับ 10 2 หนวย 9 2 หนวย 2 9 หนวย 4. ระยะตั้งฉากจากจุด B ไปยังเสนตรงที่ผานจุด C และจุด D มีคาเทากับ 2

3. ระยะตั้งฉากจากจุด A ไปยังเสนตรงที่ผานจุด C และจุด D มีคาเทากับ

7

¾ เรขาคณิตวิเคราะห

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 15 ความสัมพันธและฟงกชัน (ม.4) 1. กําหนดให S = { x x เปนจํานวนเต็ม และ x ≤ 5} และ f ( x) =

x3 − x 2 − 4 x + a 2 x 4 + bx + 4

โดยที่ a ∈ S , b ∈ S

จํานวนคูอันดับ (a, b) ∈ S × S ทั้งหมดที่ทําให f (1) = 0 เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41) 1. 15 2. 18 3. 20 4. 22 2. ให I เปนเซตของจํานวนเต็ม ถา f และ g เปนฟงกชันซึ่งกําหนดโดย f ( x) = 2 x และ g ( x) = x − 1 ทุก x ∈ I แลวเรนจของ ( fog ) + f คือเซตในขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41) 1. { x ∈ I

x เปนจํานวนเต็มคี่ } 2

2. { x ∈ I

3. เซตของจํานวนเต็มคี่ทั้งหมด

x เปนจํานวนเต็มคู } 2

4. เซตของจํานวนเต็มคูทั้งหมด ⎧

⎫⎪ ⎬ ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 42) ⎪⎩ ⎭⎪ 2. Dr = [−1 , 1] , Dr −1 = [0 , 1]

3. ให r เปนความสัมพันธในเซตของจํานวนจริง โดยที่ r = ⎪⎨( x, y ) y = 1. Dr = [−1 , 1] , Dr = [−1 , 1] 3. Dr = [0 , 1] , Dr = [−1 , 1] −1

1 − x2 1 + x2

4. Dr = [0 , 1] , Dr = [0 , 1]

−1

−1

4. กําหนดให f ( x) = x และ A = { x ∈ R f −1 ( x) + [ f ( x)]2 = 2 } พิจารณาคาความจริงตอไปนี้ ข. ∀x ∈ A [ x 2 + 2 x − 3 = 0] ก. ∃x ∈ A [ x 2 − x − 6 = 0] ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 42) 1. ก จริง ข จริง 2. ก จริง ข เท็จ 3. ก เท็จ ข จริง 4. ก เท็จ ข เท็จ ⎧0 ; x < 0 ⎩1 ; x ≥ 0

5. กําหนด f ( x) = ⎨

ถา g = {( x, y ) y = f (1 − e x ) และ y > 0}

แลว ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 42) 2. Dg′ ⊂ Rg 1. Dg ⊂ Rg′ 6. ถา f ( x) = 4 x และ g ( x) =

3. Dg ⊂ Rg ∪ [1, ∞) 4. Rg ⊂ Dg ∩ [1, ∞)

2 แลวคา x ที่ทําให ( fog )( x) = ( gof )( x) x −1

เทากับเทาไร (ตุลา 42) ________ 7. กําหนดให f ( x) =

x และ g ( x) = 1− x

x 2 − 1 ถา A = Dgof และ B = Dg แลว A ∪ B′

คือเซตในขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 1. R − {−1 , 1}

1 2

2. (−1 , ∞)

3. ( , 1) ∪ (1 , ∞)

1

4. (−1 , 1) ∪ (1 , ∞)

¾ความสัมพันธและฟงกชัน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

8. ให f ( x) = arcsin x , g ( x) = cos x และ h( x) = ( fog )( x) พิจารณาขอความตอไปนี้ π

ก. โดเมนของ h คือเซตของจํานวนจริง และ g ( − h( x)) = g ( x) 2

ขอใดตอไปนี้เปนจริง (ตุลา 42) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด

ข. h เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

3. ก ผิด และ ข ถูก

4. ก ผิด และ ข ผิด

x+7

⎞ 9. กําหนดให f ( x) = π ⎛⎜ ⎟ เมื่อ − 3 < x ≤ 3 และ f ( x + 6) = f ( x) ทุก ๆ x ∈ R ⎝ 24 ⎠ 2 คาของ ( g −1o f ) (5) เทากับขอใด (ตุลา 42) 5 −1 −1 3.

4.

5 10

ถา g ( x) = A + arcsin x โดยที่ A ∈ [0 , π ] และ cos A = 1.

1 10

2.

1 5

10. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของอสมการ x 2 ≤ 8 x + 20 ถา A = { x ∈ S x เปนจํานวนเฉพาะบวก } และ B = { x ∈ S x เปนจํานวนเต็มคี่ } แลว ( A × B) − ( B × A) มีจํานวนสมาชิกเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 43) 1. 11 2. 15 3. 21 4. 23

{

11. กําหนดให r = ( x, y ) y = 9 − x 2

} และ s = ⎩⎧⎨( x, y)

y=

⎫ ⎬ พิจารณาขอความตอไปนี้ x2 − 9 ⎭ 1

ก. Dr ∩ Rs = φ ข. Rr ∩ Ds = (0, ∞) ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 43) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก −1

−1

12. ให f , g : R → R กําหนดโดย f ( x) =

4. ก ผิด และ ข ผิด

x และ g ( x) = เปนจํานวนเต็มซึ่งนอยที่สุด ที่มากกวาหรือเทากับ x +1

x ( เชน g (1.01) = 2 , g (−6) = − 6 , g (−7.99) = − 7 เปนตน ) ถา F(x) = ( fog)(x) และ

G( x) = ( fog )( x) แลวขอใดตอไปนี้เปนเท็จ (มีนา 43)

1. DF = (−∞ , ∞)

2. RF = (0,1)

3. G ( x) = 1 เมื่อ x > 0 4. G ( x) = 0 เมื่อ x < 0

13. ให A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {a, b} และให S = { f f : A → B เปนฟงกชันทั่วถึง } จํานวนสมาชิก ของ S เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43) 1. 22 2. 25 3. 27 4. 30 ′ คือเซตในขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 14. ให f ( x) = ( x + 1) 2 และ g ( x) = x + 1 แลว D fog ∩ Rgof 1. [0,1] 2. [0, 2] 3. [1, ∞) 4. [2, ∞) 1 3 2. 3x − 6

15. ถา ( fog )( x) = 3x − 14 และ f ( x + 2) = x − 2 แลว g −1o f ( x) เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43) 1. 3x − 4

3. 3x − 8

2

4. 3x − 10

¾ความสัมพันธและฟงกชัน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1) B = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}

16. ให A , B และ F เปนเซตซึ่งกําหนดดังนี้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} F = { f : B → A f ( x) ∉ x ทุกเซต x ∈ B } จํานวนสมาชิกของ F เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 44) 1. 24 2. 60 3. 100 4. 120 17. กําหนดความสัมพันธ r = ⎧⎨( x , y ) ⎩

y =

1 ⎫ ⎬ พิจารณาขอความตอไปนี้ x − 1⎭ 2

⎧

ข. r −1 = ⎪⎨( x , y ) y = ±

ก. Dr = (−∞ , − 1) ∪ (1, ∞) ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 44) 1. ก ถูก และ ข ถูก

⎩⎪

2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

1 + x ⎫⎪ ⎬ x ⎭⎪

4. ก ผิด และ ข ผิด

x x , x ≠ −1 และ g ( x) = , x ≠ 1 ขอใดตอไปนี้ผิด (มีนา 44) 1+ x 1− x 1. ( fog ) −1 ( x) = x , x ≠ 1 2. ( f −1o g −1 )( x) = x , x ≠ −1

18. กําหนดให f ( x) =

3. ( f −1o g )( x) =

x , x ≠1 1+ 2x

19. กําหนดให f ( x) = 2 sin 1. {−1 , 1}

x และ g ( x) = 2 2. {−2 , 2}

4. ( g −1o f )( x) =

x , x ≠ −1 1 + 2x

x 2 − 1 เซต ( R f ∩ Dg ) − Rgof คือเซตในขอใดตอไปนี้ (มีนา 44)

3. [2, − 3] ∪ [1, 2] 4. [−2, − 1] ∪ [ 3 , 2]

20. กําหนดให A = {1 , 2 , 3 , 4} และ S = { f : A → A f ( x) ≤ x + 1 ทุก x ∈ A} จํานวนฟงกชันทั้งหมดที่เปนสมาชิกของ S เทากับเทาใด (ตุลา 44) __________ 21. ถา r {( x, y ) ∈ R × R 2 x3 + 3xy 2 − x 2 + y 2 = 0} แลว เรนจของ r −1 เทากับขอใด (ตุลา 44) 1 1 3 2

1. (− , ]

1 1 2 3

22. กําหนดให f ( x) = 4 − x 2 และ g ( x) = 1.

1 2

1 3

2. [− , )

2.

1 3

3. (−∞, − ) ∪ (− , ∞) 1 9 − x2

1 4

4. (−∞, ∞)

จํานวนในขอใดตอไปนี้ เปนสมาชิกของ Rgof (ตุลา 44) 3.

1 8

4.

1 14

23. กําหนดให f ( x + 1) = 3x + 2 + f ( x) และ g (3x − 1) = 2 x + 8 ถา f (0) = 1 แลว g −1 ( f (2)) ตรงกับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 44) 1. – 1 2. 0 3. 1 4. 2 24. กําหนดให r1 = {( x, y ) e x + y ≤ 1 } และ r2 = {( x, y ) ln( x − 3 y + 5) ≥ 0 } พื้นที่ของบริเวณที่ เปนกราฟ r1 ∩ r2 ซึ่งอยูเหนือแกน X เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1. 1.5 ตารางหนวย 2. 2 ตารางหนวย 3. 2.5 ตารางหนวย 4. 3 ตารางหนวย

3

¾ความสัมพันธและฟงกชัน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

25. กําหนดให I เปนเซตของจํานวนเต็ม และให f , g เปนฟงกชันจาก I ไป I ซึ่งกําหนดโดย f ( x) = 2 x ⎧x ⎪ และ g ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ x

เมื่อ x เปนจํานวนคูบวก เมื่อ x เปนจํานวนคูลบ

แลว gof - f เปนฟงกชันจาก I ไป I ที่มีสมบัติตามขอใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1. หนึ่งตอหนึ่งและทั่วถึง 2. หนึ่งตอหนึ่งตาไมทั่วถึง 3. ทั่วถึงแตไมหนึ่งตอหนึ่ง 4. ไมหนึ่งตอหนึ่งและไมทั่วถึง 26. กําหนดให f ( x) = 5 − g ( x) โดยที่ g ( x) = 5 + 2 x ถา D fog = [a, b] แลว 4(a + b) เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1. 15 2. 20 3. 25 4. 30 27. กําหนดให f , g เปนฟงกชันที่มีสมบัติวา f −1 ( g ( x)) = x + 2 ทกุ x ∈ R พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. f (2 x) = g (2( x − 1)) ทกุ x ∈ R ข. g −1 ( f ( x) เปนฟงกชันเพิ่มใน R ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 45) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 28. กําหนดให k เปนคาคงตัว และ r = {( x, y ) ∈ R + × R + x + k x = y + k y } พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา k = 1 แลว r เปนฟงกชัน ข. ถา k = –1 แลว r เปนฟงกชัน ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 45) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 29. กําหนดให f ( x) =

x เมื่อ x ≥ 0

; 0 ≤ x <1 ⎧ x ⎩ x +1 ; 1 ≤ x

และ g ( x) = ⎨

ก. gof-1 เปนฟงกชันฟงกชันเพิ่มบน Rf ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 45) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด

พิจารณาขอความตอไปนี้

ข. fog-1 เปนฟงกชันฟงกชันเพิ่มบน Rg

3. ก ผิด และ ข ถูก

4. ก ผิด และ ข ผิด

; x ≤ −1 ⎧ 2 ⎪ 30. กําหนดให f ( x) = ⎨( x − 1) 2 ; − 1 < x < 2 และ g ( x) = f ( x) + 2 ถา k เปนจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่ ⎪ x +1 ; x ≥ 2 ⎩

ทําให g(k) > 5 แลว (gof)(k) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45) 1. 5 2. 6 3. 7

4

4. 8

¾ความสัมพันธและฟงกชัน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

31. กําหนดให r = {( x, y ) 0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ 5 และ x 2 − y 2 − 2 x + 6 y ≤ 8} พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. Dr = [0, 3] ข. ถา 0 < c และ (3, c) ∈ r แลว c = 5 ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 46) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 1−1

32. กําหนดให A = { 1, 2 }, B = { 1, 2, 3, …, 10 } เซต { f | f : A → B จะมี x ∈ A ซึ่ง f ( x) = x } มีจํานวนสมาชิกเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 46) 1. 16 2. 17 3. 18 4. 19 33. กําหนดให f ( x) = − ( x − 1) 2 ทุก x ≤ 0 และ g ( x) = 1 − x ทุก x ≤ 0 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. f −1 ( x) = 1 − x ทุก x ≤ 0 1 4

ข. ( g −1of −1 )(− ) = ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 46) 1. ก ถูก และ ข ถูก

3 4

2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

34. กําหนดให f และ g เปนฟงกชันซึ่ง f ( x) < 0 ทุก x ถา และ g −1 ( x) =

x +1 3

4. ก ผิด และ ข ผิด

( gof ) = 2[ f ( x)]2 + 2 f ( x) − 4

พิจารณาขอความตอไปนี้

ข. f (100) + g (100) = 300 ก. gof เปนฟงกชันคงตัว ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 46) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 35. กําหนดให a > 0 และ f ( x) = ax 2 , x ≥ 0

g ( x) = x3

ถา ( f −1og )(4) = 2 แลว

f −1 (64) มีคา g −1 (64)

เทากับเทาใด (ตุลา 46) __________ ⎧

36. ให r = ⎨( x, y ) y = ⎩ ก. 4 ∈ Rr

ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 46) 1. ก ถูก และ ข ถูก

x2 − 4 ⎫ ⎬ พิจารณาขอความตอไปนี้ x − 2⎭

ข. Rr = [0, 4) ∪ (4, ∞) −1

2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

4. ก ผิด และ ข ผิด

37. กําหนดให f , g เปนฟงกชัน ซึ่ง D f = [0, ∞) โดยที่ f −1 ( x) = x 2 , x ≥ 0 และ g −1 ( x) = ( f ( x) ) + 1 , x ≥ 0 ถา a > 0 และ f (a) + g (a ) = 19 แลว f −1 (a) + g −1 (a) เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 46) 1. 273 2. 274 3. 513 4. 514 2

5

¾ความสัมพันธและฟงกชัน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

⎧⎪ −a (10 x ) ; x < 1 38. กําหนดให a > 0 และ g ( x) = ⎨ 3 ⎪⎩ x − 1 ; x ≥ 1

ถา Rg = (−2.5, ∞) แลวพิจารณาขอความตอไปนี้ ⎧log(4 x ) ; x < 0

ข. g −1 ( x) = ⎪⎨ 3

ก. g −1 (a − 1) = log 2 ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 46) 1. ก ถูก และ ข ถูก

⎪⎩ x + 1

2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

; x≥0

4. ก ผิด และ ข ผิด

39. กําหนดให f ( x) = x และ g ( x) = 100 − 3x 2 จํานวนเต็มที่มากที่สุดที่เปนสมาชิกของ Rgof มีคาเทาใด (มีนา 47) __________ 40. กําหนดให r = {( x, y ) x ≥ y และ y 2 = x 2 + 2 x − 3} พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. Dr = [1, ∞) ข. Rr = (−∞, ∞) ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 47) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 41. กําหนดให f ( x) = ax 2 + b และ g ( x − 1) = 6 x + c เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว ถา f ( x) = g ( x) เมื่อ x = 1, 2 และ ( f + g )(1) = 8 แลว ( fog −1 )(16) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 47) 1.

31 9

2. ⎧ 1− x

42. กําหนดให f ( x) = ⎪⎨

61 9

; x ∈ [0, 1]

⎩⎪1 + x − 1 ; x ∈ (1, ∞) ก. f −1 ( x) ≠ f ( x) ทุก x ∈ (1, ∞)

3. 10

พิจารณาขอความตอไปนี้

ข. มีจํานวนจริง a ≥ 0 เพียง 2 จํานวนเทานั้น ซึ่ง f −1 (a) = a ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 47) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก x 1 − x2 ⎧ −1 − −1 ก. f ( x) = ⎨⎪ ⎪ ⎩

43. กําหนดให f ( x) =

ขอใดตอไปนี้จริง (ตุลา 47) 1. ก ถูก และ ข ถูก

4. 20

4. ก ผิด และ ข ผิด

เมื่อ x ∈ (−1, 1) พิจารณาขอความตอไปนี้ 1 + 4x2 ; x≠0 2x 0 ; x=0

ข. f เปนฟงกชันเพิ่มในชวง (−1, 1)

2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

6

4. ก ผิด และ ข ผิด

¾ความสัมพันธและฟงกชัน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

⎧x +1 ; x ≥ 0 ฟงกชัน g ในขอใดตอไปนี้ ทําใหฟงกชัน g D f ไมตอเนื่อง (ตุลา 47) ⎩x −1 ; x < 0

44. กําหนดให f ( x) = ⎨

1. g ( x) = 1 เมื่อ x ∈ (−∞, − 1) ∪ (1, ∞)

2. g ( x) = f −1 ( x) เมื่อ x ∈ (−∞, − 1) ∪ (1, ∞)

⎧( x − 1) 2 ; x ≥ 1

3. g ( x) = ⎪⎨

4. g ( x) = x3 เมื่อ x ∈ (−∞, − 1) ∪ (1, ∞)

⎪⎩( x + 1) ; x < −1 2

⎡ 1 ⎤ 1⎥ ⎢ 45. กําหนดให f ( x) = det 1 − x เมื่อ x ≠ 1 ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 48) ⎢ ⎥ 1⎥⎦ ⎢⎣ 1 −1

⎡ 1 ⎤ 1 −1 1. f เปนฟงกชัน 1 – 1 และ f ( x) = det ⎢1 − x ⎥ เมื่อ x ≠ 0, x ≠ 1 ⎢ ⎥ 1⎥⎦ ⎣⎢ 1 ⎡ 1 ⎤ 1 −1 2. f เปนฟงกชัน 1 – 1 และ f ( x) = det ⎢1 − x ⎥ เมื่อ x ≠ − 1 ⎢ ⎥ 1⎦⎥ ⎣⎢ 1 ⎡ 1 ⎤ 1 3. f ไมเปนฟงกชัน 1 – 1 เนื่องจากมีคา x ที่ทําให det ⎢1 − x ⎥ = 0 ⎢ ⎥ 1⎥⎦ ⎣⎢ 1 2

⎡ 1 ⎤ 1⎥ ⎢ เมื่อ x ≠ 1 4. f ไมเปนฟงกชัน 1 – 1 และ ( f D f )( x) = det 1 − x ⎢ ⎥ 1⎥⎦ ⎢⎣ 1

46. กําหนดให h( x) = 1 − x5 และ g ( x) = x5 ถา f เปนฟงกชันซึ่ง f ( g ( x)) = h( x) แลว f (5) มีคาเทาใด (A-NET 49) __________ 47. กําหนดให A = {1, 2, {1, 2}, (1, 2)} เมื่อ (1, 2) หมายถึงคูอันดับ และ B = ( A × A) − A จํานวนสมาชิกของเซต B เทากับเทาใด (A-NET 49) __________ ⎧ −1 + 1 + 4 x 2 ; x≠0 48. กําหนดให f ( x) = ⎨⎪ 2x ⎪ 0 ; x=0 ⎩ 2 ถา f −1 (a) = แลว a มีคาเทากับเทาใด (A-NET 49) __________ 3

49. กําหนดให r = {( x, y ) ∈ R × R x 2 + y 2 = 16 } และ s = {( x, y ) ∈ R × R xy 2 + x + 3 y 2 + 2 = 0 } เซตในขอใดตอไปนี้เปนสับเซตของ Dr − Ds (A-NET 50) 2. [−3, 0] 3. [−2, 1] 1. [−4, − 1]

7

4. [−1, 2]

¾ความสัมพันธและฟงกชัน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

50. กําหนดให f , g เปนฟงกชันซึ่ง f ( x) = ( x − 1)3 + 3 และ g −1 ( x) = x 2 − 1, x ≥ 0 ถา g D f −1 (a) = 0 แลว a 2 อยูในเซตใดตอไปนี้ (A-NET 50) 2. [40, 70] 3. [70, 100] 4. [100, 130] 1. [10, 40] 51. กําหนดให f ( x) = 3x + 5 และ h( x) = 3x 2 + 3x − 1 ถา g เปนฟงกชันซึ่งทําให f D g = h แลว g (5) มีคาเทาใด (A-NET 50) __________ 52. กําหนดให f , g เปนฟงกชัน ซึ่งนิยามโดย f ( x) = x 2 + 1 และ g ( x) = ax เมื่อ a ∈ (0, 1) 1 k

ถา k เปนจํานวนจริงที่ทําให ( f D g )(k ) = ( g D f )(k ) แลว ( f D g −1 )( 2 ) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 51) 1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

⎧ x −1 ; x < 0

53. กําหนดให f , g เปนฟงกชัน ซึ่งนิยามโดย f ( x) = ⎨

3 ⎩x −1 ; x ≥ 0

และ g ( x) = x 2 + 4 x + 13

ถา a เปนจํานวนจริงบวก ซึ่ง g (a) = 25 แลว f −1 (−2a) + f −1 (13a) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 51) 1. 0 2. 2 3. 4 4. 6 54. กําหนดให r = {( x, y ) ( x − 2)( y − 1) = 1} และ s = {( x, y ) xy 2 = ( y + 1)2 } เซตในขอใดตอไปนี้ไมเปนสับเซตของ Rr ∩ Rs (A-NET 51) 1. (−∞, − 1)

1 2

1 2

2. (−2, − )

3. ( , 2)

4. (1, ∞)

55. กําหนดให A = [−2, − 1] ∪ [ , 4] และ r = {( x, y ) ∈ A × A 3 x = 2 y} 1 2

ถา a, b ∈ Dr โดยที่ a มีคานอยที่สุดและ b มีคามากที่สุด แลว b − a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 56. กําหนดให r = {( x, y ) 2 y = 3x − 4} ถา a, b เปนคาคงตัว และ r −1 = {( x, y ) y = ax + b} b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 4 5 3 2.

1.

3 4

แลว 3a −

57. กําหนดให f ( x) = 1. 16

3.

4 5

4.

4 3

x + 1 และ g ( x) = x3 แลว ( f −1 D g )(3) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 2

2. 20

3. 50

8

4. 52

¾ความสัมพันธและฟงกชัน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

⎧ − x ; x ∈ [−1, 0] 58. กําหนดให f ( x) = x + 2 เมื่อ x ∈ [−1, 0] ∪ (1, 2) และ g ( x) = ⎪⎨ 1 ⎪⎩4 x − 2 ; x ∈ [ 2 , 2] 2

ขอใดตอไปนี้ผิด (PAT ตุลา 51) 1. D f ⊂ Dg 3. f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

2. R f ⊂ Rg 4. g เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ⎧ x2 ; x ≥ 0

59. กําหนดให f ( x) = 3x − 1 และ g −1 ( x) = ⎪⎨

⎪⎩− x ; x < 0 2

คาของ f −1 ( g (2)) + g (−8)

เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1.

1− 2 3

2.

1+ 2 3

3.

1− 2 −3

4.

1+ 2 −3

60. กําหนดให A = [−2, − 1] ∪ [1, 2] และ r = {( x, y ) ∈ A × A x − y = − 1} ถา a, b > 0 และ a ∈ D f , b ∈ Rr แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1. 2.5 2. 3 3. 3.5 4. 4 61. กําหนดให f ( x) = x 2 − 1 เมื่อ x ∈ (−∞, − 1] ∪ [0, 1] และ g ( x) = 2 x เมื่อ x ∈ (−∞, 0] ขอใดตอไปนี้ถูก 2. R f ⊂ Dg 3. f เปนฟงกชัน 1 – 1 4. g ไมเปนฟงกชัน 1 – 1 1. Rg ⊂ D f 62. กําหนดให f ( x) = x − 5 และ g ( x) = x 2 ถา a เปนจํานวนจริงซึ่ง g D f (a) = f D g (a) แลว ( fg )(a) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. – 2 5 2. – 1 8 3. 18 4. 25 63. กําหนดให f ( x) = x 2 + x + 1 และ a, b เปนคาคงตัวโดยที่ b ≠ 0 ถา f (a + b) = f (a − b) แลว a 2 อยูในชวงใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 2. (0.5, 1) 3. (1, 1.5) 4. (1.5, 2) 1. (0, 0.5) 64. กําหนดให r = {( x, y ) x ∈ [−1, 1] และ y = x 2 } พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. r −1 = {( x, y ) x ∈ [0, 1] และ y = ± x

}

ข. กราฟของ r และกราฟของ r −1 ตัดกัน 2 จุด ขอใดตอไปนี้ถูก (PAT กรกฎา 52) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก

4. ก ผิด และ ข ผิด

65. กําหนดให S = [−2, 2] และ r = {( x, y ) ∈ S × S x 2 + 2 y 2 = 2 } ชวงในขอใดตอไปนี้ไมเปนสับเซตของ Dr − Rr (PAT ตุลา 52) 2. (−1.3, − 1.2) 3. (1.2, 1.4) 1. (−1.4, − 1.3)

9

4. (1.4, 1.5)

¾ความสัมพันธและฟงกชัน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions 66. ถา f ( x) =

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

1 และ g ( x) = 2 f ( x) แลว g D f (3) + f D g −1 (3) มีคาเทาใด (PAT ตุลา 52) __________ x

67. ถา f ( x) = 3 x และ g ( x) =

x แลว ( f −1 + g −1 )(2) มีคาเทาใด (PAT ตุลา 52) __________ 1+ x

x +1 เมื่อ x เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับ 1 x −1 y2 = f ( y1 ) , y3 = f ( y2 ), ...

68. กําหนดให y1 = f ( x) =

yn = f ( yn −1 ) สําหรับ n = 2, 3, 4, ... y2553 + y2010 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 53) x −1 1. x +1

x2 + 1 2. x −1

x2 + 1 3.

2x

1 + 2x − x2 4. x −1

69. ให f และ g เปนฟงกชันจากเซตของจํานวนจริงไปยังเซตของจํานวนจริง โดยที่ f ( x) =

x −1 และ g ( x) = x2 − 4

f ( x) −

x −1

จงพิจารณาขอความตอไปนี้ (PAT มีนา 53) ข. คาของ x > 0 ที่ทําให g ( x) = 0 มีเพียง 1 คาเทานั้น ก. Dg = (2, ∞) ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต ข ผิด 3. ก. ผิด แต ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 70. กําหนดให R เปนเซตของจํานวนจริง บทนิยาม ให f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชันใด ๆ กําหนดการดําเนินการ ⊗ ของ f และ g ดังนี้ ( f ⊗ g )( x) = f ( g ( x)) − g ( f ( x)) สําหรับทุกจํานวนจริง x ถา f ( x) = x 2 − 1 และ g ( x) = 2 x + 1 สําหรับทุกจํานวนจริง x แลว ( f ⊗ g )(1) เทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________

10

¾ความสัมพันธและฟงกชัน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 16 การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน 1. ขอมูลชุดหนึ่งเรียงลําดับจากนอยไปมากไดเปน 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120 ถาฐานนิยมและมัธยฐานของ คะแนนชุดนี้เปน 30 และ 40 ตามลําดับ แลวขอมูลชุดตอไปนี้คือ 11, 22, 33, 34, a+5, b+6, 67, 68, 99, 130 มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับเทาใด (ตุลา 41) 1. 50 2. 55.5 3. 60 4. 60.5 2. เมื่อสรางตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนของนักเรียน 36 คน โดยใชความกวางของแตละอันตรภาคชั้นเปน 10 แลวปรากฏ วามัธยฐานและคะแนนทั้งหมดอยูในชวง 50 – 59 ถามีนักเรียนที่สอบไดคะแนนต่ํากวา 49.5 คะแนน อยูจํานวน 12 คน และมีนักเรียนไดคะแนนต่ํากวา 59.5 อยูจํานวน 20 คน และมัธยฐานของคะแนนการสอบครั้งนี้มีคาเทากับเทาใด (มีนา 42) 1. 53 2. 54 3. 56 4. 57 3. ขอมูลชนิดหนึ่งมี 5 จํานวน มีฐานนิยม มัธยฐาน และคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน 15, 16 และ 17 ตามลําดับ และพิสัยของ ขอมูลชุดนี้เทากับ 5 ความแปรปรวนของขอมูลชุดนี้มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 42) 1.

31 5

4. ให a เปนจํานวนจริงที่ทําให

24 5

2.

3.

8

∑ ( x − a) i =1

i

2

22 5

19 5

4.

มีคาต่ําสุดสําหรับขอมูล 2 2 6 12 12 20 16 10 แลวมัธยฐาน

ของขอมูล 5 a 2a 6 3 7 15 16 เทากับเทาใด __________ 5. กําหนดขอมูล 2 ชุด ดังนี้ ชุดที่หนึ่ง คือ 5, 8, 6, 7, 9 ชุดที่สอง คือ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ถาสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน ของขอมูลชุดที่หนึ่งเปน 2 เทาของขอมูลชุดที่สอง และความแปรปรวนของขอมูลชุดที่สองเทากับ 9 แลวคาเฉลี่ยเลขคณิต ของขอมูลชุดที่สองเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43) 2. 42 2 3. 18 4. 16 1. 21 2 6. กําหนดให x1 , x2 , ..., x10 มีคาเปน 5, 6, a, 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามลําดับ โดยที่ a < 15 ถาพิสัยของ ขอมูลชุดนี้เทากับ 12 b เปนจํานวนจริงที่ทําให

10

∑ ( x − b) i =1

10

∑ x −c i =1

i

2

i

มีคานอยที่สุด และ c เปนจํานวนจริงที่ทําให

มีคานอยที่สุด แลว a + b + c มีคาเทาใด (มีนา 44) __________

7. นักเรียนอนุบาล 4 คน มีอายุเปน x1 , x2 , x3 , x4 โดยมีคาเฉลี่ยของอายุเปน 5.5 ป และ

4

∑x i =1

2 i

= 141 ถานักเรียน

ที่มีอายุ 3 ป มาเพิ่มอีก 1 คน แลวสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของอายุนักเรียนทั้ง 5 คนนี้เทากับขอใด (ตุลา 44) 1.

5 5

2. 1

3.

1

2 5 5

4. 5

¾ การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

8. ถาตารางแจกแจงความถี่ของขอมูลชุดหนึ่ง ซึ่งมีความกวางของแตละอันตรภาคชั้นเทากัน เปนดังตอไปนี้ ชั้นที่ 1 1 2 3 4 5

จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น … … …

25 30

ความถี่สะสม 8 16 36 40 50

ให x เปนคาเฉลี่ยเลขคณิต และ Med เปนคามัธยฐานของขอมูล ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 44) 2. x = 19 และ Med = 17.5 1. x = 19 และ Med = 19.75 4. x = 20 และ Med = 17.5 3. x = 20 และ Med = 19.75 9. ถาตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนวิชาหนึ่งของนักเรียน 20 คน ของโรงเรียนแหงหนึ่งเปนดังนี้ คะแนน จํานวนนักเรียน

31 – 39 2

40 – 48 3

49 – 57 5

58 – 66 4

67 – 75 3

76 – 84 2

85 – 93 1

พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. คาเฉลี่ยเลขคณิตมากกวาฐานนิยม ข. คาการกระจายของคะแนน ที่วัดโดยสวนเบี่ยงเบนควอไทล เทากับ 10.5 คะแนน ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 45) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 10. ในการชั่งน้ําหนักกระเปาเดินทาง 4 ใบ ปรากฏวาไดน้ําหนักเปน 15.5, 14.8, 14.5 และ 15.2 กิโลกรัม ถาชั่งน้ําหนัก ของกระเปาเดินทาง 4 ใบนี้รวมกับกระเปาเดินทางอีกใบหนึ่งไดคาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักกระเปา 5 ใบนี้เปน 16 กิโลกรัม แลวคามัธยฐานและความแปรปรวนของน้ําหนักของกระเปาเดินทางทั้งหาใบนี้ ตามลําดับ เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1. 15, 4.58 2. 15.2, 4.58 3. 15, 4.116 4. 15.2, 4.116 11. ขอมูลชุดหนึ่งเรียงจากนอยไปมากคือ a, 4, 5, 6, b ซึ่งมีคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเทากับ 6 และ 3 ตามลําดับ สัมประสิทธิ์ของพิสัยของขอมูลชุดนี้เทากับเทาใด (ตุลา 45) __________ 12. กําหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง ดังนี้ คะแนน ความถี่

16 – 18 a

19 – 21 2

22 – 24 3

25 – 27 6

28 – 30 4

ถาควอไทลที่หนึ่ง (Q1) เทากับ 18.5 คะแนน แลวมัธยฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองนี้ เทากับเทาใด (มีนา 46) __________

2

¾ การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

13. ในการสํารวจน้ําหนักตัวของนักเรียน 200 คน มีการแจกแจงความถี่ดังนี้ น้ําหนักตัว (ก.ก.) ความถี่

19 – 22 a

23 – 26 2

27 – 30 3

31 – 34 6

35 – 38 4

จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. น้ําหนักตัวของนักเรียน 200 คนนี้ มีฐานนิยมมากกวามัธยฐาน ข. สัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนควอไทลของน้ําหนักตัวนักเรียน 200 คนนี้เทากับ 0.15 ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 46) 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 14. ถา 20, x2 , ..., x25 เปนขอมูลที่เรียงจากคานอยไปมาก และเปนลําดับเลขคณิต และควอไทลที่หนึ่งของขอมูลชุดนี้ เทากับ 31 แลวสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของขอมูลชุดนี้เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 47) 1. 6.24 2. 10.28 3. 12.48 4. 24.96 15. กําหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาสถิติที่เปนจํานวนเต็มของนักเรียน 40 คน ดังนี้ คะแนน จํานวนนักเรียน

60 – 64 4

65 – 69 a

70 – 74 10

75 – 79 b

80 – 84 7

เมื่อสุมเลือกนักเรียนกลุมนี้มาหนึ่งคน ไดวาความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้ไดคะแนนนอยกวา 70 คะแนน มีคาเทากับ 0.30 มัธยฐานของคะแนนชุดนี้เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 47) 1. 71.50 2. 73.50 3. 73.75 4. 74.50 16. ให x1 , x2 , ..., x5 เปนขอมูลชุดหนึ่งซึ่งมีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 6 ถา แลว สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 47) 2. 2 3. 6 1. 2

5

∑ ( x − 4) i =1

i

2

= 30

4. 2 2

17. กําหนดฮิสโทแกรมของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 80 คน ดังนี้ ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 48) 1. นักเรียนที่สอบไดคะแนนระหวาง 50 – 79 มีจํานวนมากกวา นักเรียนที่สอบไดคะแนน 90 คะแนนขึ้นไป เทากับ 50 คน 2. นักเรียนที่สอบไดคะแนน 90 คะแนนขึ้นไป มีรอยละ 10 ของนักเรียนทั้งหด 3. ควอไทลที่หนึ่งของคะแนนสอบมีคาระหวาง 60 – 69 คะแนน 4. ควอไทลที่สามของคะแนนสอบมีคาระหวาง 80 – 89 คะแนน

3

¾ การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

18. ถาขอมูลชุดหนึ่งมีสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเทากับ 0.12 สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเทากับ 6 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เทากับ 10 แลว สัมประสิทธิ์ของการแปรผันมีคาเทากับเทาใด (A-NET 49) _________ 19. โรงงานแหงหนึ่งมีพนักงานจํานวน 40 คน และตารางแจกแจงความถี่สะสมของอายุของพนักงาน เปนดังนี้ อายุ (ป) ความถี่สะสม

11 – 20 6

21 – 30 14

31 – 40 26

41 – 50 36

51 – 60 40

ถาผูจัดการมีอายุ 48.5 ป แลวพนักงานที่มีอายุระหวาง คามัธยฐานของอายุพนักงานและอายุของผูจัดการ มีจํานวนประมาณเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 49) 1. 31.5 % 2. 33.7 % 3. 35.0 % 4. 37.0 % 20. ตารางตอไปนี้เปนคะแนนสอบวิชาหนึ่งของนักเรียน 40 คน คะแนน จํานวนนักเรียน ( fi )

10 – 14 2

15 – 19 3

โดยมีคะแนนเฉลี่ย ( µ ) เทากับ 24.5 และ

20 – 24 5

3

∑ f (x − µ) i =1

i

i

25 – 29 4

30 – 34 3

35 – 39 2

= − 125 ถาสวนเบี่ยงเบนควอไทลเทากับ b

และสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเทากับ c แลว ขอใดตอไปนี้ถูก (A-NET 50) 1. b = 5 และ c = 6.25 2. b = 6.25 และ c = 5 3. b = 4.5 และ c = 5 4. b = 5 และ c = 4.5 21. กําหนดตารางแสดงเงินคาอาหารกลางวันที่นักเรียนหองหนึ่งไดรับจกผูปกครอง ดังนี้ คาอาหารกลางวัน (บาท) จํานวนนักเรียน (คน)

29 – 31 1

32 – 34 4

35 – 37 5

38 – 40 5

41 – 43 5

คาเฉลี่ยเลขคณิต คามัธยฐาน และสวนเบี่ยงเบนควอไทล ตามลําดับ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 51) 1. 37.35, 37.5 และ 3 2. 37.5, 37.5 และ 3 3. 37.35, 37.5 และ 3.5 4. 37.5, 37.0 และ 3 22. พิจารณาขอมูลชุดหนึ่งซึ่งเรียงลําดับจากนอยไปมาก ดังตอไปนี้ 8 a 12 17 22 b 26 ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 17 และควอไทลที่หนึ่งเทากับ 10 แลวสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย และสัมประสิทธิ์ของ สวนเบี่ยงเบนควอไทล ตามลําดับ เทากับคาในขอใดตอไปนี้ (ใชทศนิยมสองตําแหนง) (A-NET 51) 1. 0.35, 0.45 2. 0.35, 0.41 3. 0.42, 0.45 4. 0.42, 0.41 23. ขอมูลชุดหนึ่งเรียงลําดับจากนอยไปมากเปนดังนี้ 1, a, a, 7, b, 12 ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานของขอมูลชุดนี้ คือ 7 และ 6 ตามลําดับ แลวสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของขอมูลชุดนี้มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 1. 3.33 2. 2.33 3. 2 4. 3

4

¾ การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

24. เปอรเซ็นไทลที่ 60 ของน้ําหนักของเด็กแรกเกิดโดยอาศัยขอมูลตามตารางขางลางนี้ มีคาเทากับขอใด (PAT ตุลา 51) น้ําหนัก (กิโลกรัม) จํานวนเด็ก (คน)

0–1 10

1. 2.5 กิโลกรัม

1–2 40

2–3 250

2. 3.0 กิโลกรัม

3–4 190

3–5 10

3. 3.5 กิโลกรัม

4. 3.9 กิโลกรัม

25. ขอมูลชุดหนึ่งมี 99 จํานวน เรียงลําดับจากนอยไปมากไดเปน x1 , x2 , ..., x99 ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้ เทากับมัธยฐาน แลวขอใดตอไปนี้ถูก (PAT มีนา 52) 1.

49

∑ xi = i =1

99

∑ xi

2.

i = 51

49

3. ∑ x50 − xi = i =1

99

∑

i = 51

4.

x50 − xi

49

∑ ( x50 − xi ) =

99

∑ (x

i =1

i = 51

49

99

∑ ( x50 − xi )2 = i =1

− xi )

50

∑ (x

i = 51

50

− xi ) 2

26. โรงเรียนอนุบาลแหงหนึ่งมีนักเรียน 80 คน โดยการแจกแจงของอายุนักเรียนเปนดังตาราง อายุ (ป) จํานวนนักเรียน (คน)

3.5 a

4 15

4.5 10

5 20

5.5 b

6 5

ถาคาเฉลี่ยของอายุนักเรียนมีคา 4.5 ป แลวสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของอายุนักเรียนมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1.

5 16

2.

7 16

3.

9 16

4.

11 16

27. ถาตารางแจกแจงความถี่แสดงน้ําหนักของเด็กจํานวน 40 คน เปนดังนี้ น้ําหนัก (กิโลกรัม) จํานวน (คน)

9 – 11 15

12 – 14 5

15 – 17 5

18 – 20 10

21 – 23 5

ถา x แทนคาเฉลี่ยของน้ําหนักเด็กกลุมนี้ แลวขอใดตอไปนี้ถูก (PAT มีนา 52) 2. x = 14.875 และมัธยฐานนอยกวาฐานนิยม 1. x = 17.44 และมัธยฐานนอยกวาฐานนิยม 4. x = 14.875 และมัธยฐานมากกวาฐานนิยม 3. x = 17.444 และมัธยฐานมากกวาฐานนิยม 28. กําหนดตารางแจกแจงความถี่แสดงความสูงของนักเรียนในโรงเรียนแหงหนึ่งเปนดังนี้ ความสูง (เซนติเมตร) จํานวนนักเรียน (คน)

120 – 129 130 – 139 140 – 149 150 – 159 160 – 169 15 5 5 10 5

ขอใดตอไปนี้ถูก (PAT กรกฎา 52) 1. มัธยฐานของความสูงมีคานอยกวา 149 เซนติเมตร 2. ฐานนิยมของความสูงมีคานอยกวา 147 เซนติเมตร 3. ควอไทลที่ 3 ของความสูงมีคามากกวา 150 เซนติเมตร 4. เปอรเซ็นไทลที่ 20 ของความสูงมีคามากกวา 145 เซนติเมตร

5

¾ การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

29. ถาความยาวรัศมีของวงกลม 10 วง มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 3 และมีความแปรปรวนเทากับ 5 แลว ผลรวมของพื้นที่วงกลมทั้ง 10 วงนี้ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 90 π 2. 95 π 3. 140 π 4. 340 π 30. จากตารางแจกแจงขอมูลเงินเดือนของพนักงานบริษัทแหงหนึ่ง พบวา เดไซลที่ เงินเดือน (บาท)

1 10,000

3 15,000

5 20,000

7 25,000

9 40,000

ถานายเอกและนายยศมีเงินเดือนรวมกันเทากับ 40,000 บาท และมีจํานวนพนักงานที่ไดเงินเดือนมากกวานายยศ อยูประมาณ 30% ของพนักงานทั้งหมด แลวเปอรเซ็นตของจํานวนพนักงานที่ไดเงินเดือนนอยกวานายเอก เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 10 % 2. 30 % 3. 50 % 4. 70 % 31. ขอมูลชุดหนึ่งเรียงจากนอยไปมากเปนดังนี้ 1, 4, x , y , 9, 10 ถามัธยฐานของขอมูลชุดนี้เทากับคาเฉลี่ยเลขคณิต และสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของขอมูลชุดนี้เทากับ

8 แลว y − x มีคาเทาใด (PAT ตุลา 52) __________ 3

32. ขอมูลชุดหนึ่งมี 5 จํานวนและมีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 12 ถาควอไทลที่ 1 และ 3 ของขอมูลชุดนี้มีคาเทากับ 5 และ 20 ตามลําดับ แลวเดไซลที่ 5 ของขอมูลชุดนี้มีคาเทาใด (PAT ตุลา 52) __________ 33. กําหนดตารางแจกแจงความถี่แสดงอายุของคนในหมูบานแหงหนึ่ง เปนดังนี้ อายุ (ป) จํานวน (คน)

0–9 5

10 – 19 10

20 – 29 A

30 – 39 20

40 – 49 10

50 – 59 10

ถาอายุเฉลี่ยของคนในหมูบานนี้เทากับ 33.33 ป แลว จํานวนคนในหมูบานนี้เทากับเทากับเทาใด (PAT ตุลา 52) __________ 34. นักเรียนหองหนึ่งสอบวิชาคณิตศาสตรไดคะแนนเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ 40 คะแนน ถานักเรียนชายสอบไดคะแนนเฉลี่ย เลขคณิต 35 คะแนนและนักเรียนหญิงสอบไดคะแนนเฉลี่ยเลขคณิต 50 คะแนน อัตราสวนของนักเรียนชายตอนักเรียนหญิงตรงกับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 53) 1. 3 : 2 2. 2 : 3 3. 2 : 1 4. 1 : 2 35. คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งเทากับ 72 คะแนน ความแปรปรวน (ประชากร) เทากับ 600 ถามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน ซึ่งสอบได 60 คะแนน ทําใหคาเฉลี่ยเปลี่ยนไปเปน 70 คะแนน ความแปรปรวนของขอมูล ชุดใหมเทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________ 36. จากการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 4 คน มี 2 คน น้ําหนักเทากันและหนักนอยกวาอีก 2 คนที่เหลือ ถาฐานนิยม มัธยฐานและพิสัยของน้ําหนักของนักเรียน 4 คนนี้คือ 45, 46 และ 6 กิโลกรัม ตามลําดับ แลวความแปรปรวนของน้ําหนักของนักเรียน 4 คนนี้เทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________

6

¾ การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 17 การแจกแจงปกติ 1. ถาน้ําหนักแรกเกิดของเด็กไทยมีการแจกแจงปกติ โดยในป 2533 มีน้ําหนักเฉลี่ย 2500 กรัม และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 250 กรัม และในป 2540 มีน้ําหนักเฉลี่ย 3240 กรัม และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 200 กรัม น้ําหนักแรกเกิดของเด็กไทยที่ อยูในตําแหนงเปอรเซนไทลที่ 97.73 ในป 2533 จะอยูในตําแหนงเปอรเซนไทลตามขดใดตอไปนี้ ในป 2540 (ตุลา 41) กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติดังนี้ Z A 1. 11.51

1.0 0.3413

1.2 0.3849

2.0 0.4773

2. 38.49

2.2 0.4861

3. 48.61

4. 61.51

2. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นหนึ่ง มีการแจกแจงปกติโดยมีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน 64 คะแนน ถานักเรียนที่ สอบไดคะแนนมากวา 80 คะแนนมีอยู 15.87% แลวสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนสอบวิชานี้คือขอใดตอไปนี้ พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง Z = 0 ถึง Z = 1 คือ 0.3413 (มีนา 42) 1. 35 % 2. 30 % 3. 25 % 4. 20 % 3. ถาคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักศึกษาในมหาวิทยาลัยแหงหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีคะแนนเฉลี่ยและ ความแปรปรวนของคะแนนเทากับ 60 และ 25 ตามลําดับ และผูสอนกําหนดวานักศึกษาที่จะสอบผานตองไดคะแนน ไมนอยกวา 54 คะแนน ถานายขาว นายแดง และนายดํา สอบไดคะแนนอยูในตําแหนงเปอรเซนไตลที่ 10 , 15 และ 33 ตามลําดับ จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. นายขาวสอบไมผาน แตนายแดงและนายดําสอบผาน ข. นายดําสอบได 57.8 คะแนน ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 42) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 4. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง ปรากฏวา คาเฉลี่ยเลขคณิต และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เปน 55 และ 10 ตามลําดับ โดยที่นาย ก คิดเปนคามาตรฐานเทากับ 1.3 เมื่อรวมคะแนนเก็บระหวางภาคการศึกษาซึ่งนักเรียนทุกคนไดคนละ 5 คะแนน แลวนาย ข ไดคะแนนรวมนอยกวาคะแนนรวมของนาย ก 8 คะแนน ขอใดตอไปนี้เปนคะแนนรวม และ คามาตรฐานของคะแนนรวมของนาย ข ตามลําดับ (มีนา 44) 1. 60 , 0.5 2. 60 , 1 3. 65 , 0.5 4. 65 , 1 5. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่งมีการแจกแจงปกติ นายคณิตและนายวิทยาเปนนักเรียนหองนี้ ถาปรากฏวามีนักเรียน 5.7 % ที่สอบไดคะแนนมากกวานายคณิต และมีนักเรียน 16.6 % ที่สอบไดคะแนนนอยกวานายวิทยา และนายคณิตไดคะแนนมากกวานายวิทยาอยู 51 คะแนน สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการสอบครั้งนี้เทากับขอใดตอไปนี้ กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติดังนี้ (มีนา 44) Z A 1. 12

0.97 0.334

1.58 0.443

2. 15

3. 18

1

4. 20

¾ การแจกแจงปกติ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

6. ถาความสูงของนักเรียนหองหนึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีมัธยฐานเทากับ 160 เซนติเมตร และมีนักเรียนที่สูงนอยกวา 158 เซนติเมตร อยู 34.46% สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของความสูงของนักเรียนหองนี้เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1. 1.563 % 2. 2.432 % 3. 3.125 % 4. 4.346 % Z A

0.3 0.1179

0.4 0.1554

0.5 0.1915

7. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่งซึ่งมีคะแนนเต็ม 70 คะแนน มีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนน เทากับ

2 ถานายบัณฑิตสอบได 65 คะแนน ซึ่งคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ 3 และนางสาวบังอรสอบไดคะแนนซึ่ง 7

คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ 1.9 แลวนางสาวบังอรไดคะแนนเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45) 1. 50 คะแนน 2. 52 คะแนน 3. 54 คะแนน 4. 56 คะแนน 8. ถาน้ําหนักของนักเรียนชั้นอนุบาลในโรงเรียนแหงหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีคามัธยฐานเปนสามเทาของสวนเบี่ยงเบน มาตรฐาน และ 55.57 เปอรเซ็นตของนักเรียนกลุมนี้มีน้ําหนักนอยกวา 15.7 กิโลกรัม แลวเปอรเซ็นตของนักเรียนกลุมนี้ ที่มีน้ําหนักอยูระหวาง 13 กิโลกรัม ถึง 18 กิโกกรัม เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45) กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานที่อยูระหวาง 0 ถึง Z Z พื้นที่ 1. 30.15 %

0.13 .0517

0.14 .0557

0.2 .0793

2. 33.37 %

0.4 .1554

0.6 .2258

3. 38.12 %

0.7 .2580 4. 41.34 %

9. ในการสอบครั้งหนึ่ง มีผูเขาสอบจํานวนหนึ่งซึ่งมีนายคณิตและนายวิทยารวมอยูดวย โดยที่คาเฉลี่ยเลขคณิตของผลการสอบ เทากับ 60 คะแนน และสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับ 0.25 นายคณิตสอบไดมากกวานายวิทยา 9 คะแนน และผลบวกของคามาตรฐานของคะแนนของคนทั้งสองเทากับ 1.5 ถาให A = คามาตรฐานของคะแนนของนายคณิต และ B = คะแนนของนายวิทยา แลว A และ B เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ (มีนา 46) 1. A = 0.45, B = 65.75 2. A = 0.45, B = 66 3. A = 1.05, B = 66.75 4. A = 1.05, B = 68 10. การแจกแจงความสูงของนักเรียนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ถานักเรียนที่มีความสูงมากกวา 149.4 เซนติเมตร มีอยู 3% และนักเรียนที่มีความสูงนอยกวาฐานนิยมแตมากกวา 136.5 เซนติเมตร มีอยู 25.8% แลวขอใดตอไปนี้คือฐานนิยมและ ความแปรปรวนของความสูงของนักเรียนกลุมนี้ตามลําดับ (หนวยเปนเซนติเมตร) (มีนา 46) 1. 144.4, 5 2. 144.4, 25 3. 140, 5 4.

140, 25 Z พื้นที่

0.3 0.1179

0.7 0.2580

1.49 0.4139

2

1.88 0.4700

¾ การแจกแจงปกติ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

11. โรงงานแหงหนึ่งคัดเลือกคนงานจากผูสมัครเขาทํางานทั้งหมด โดยมีเงื่อนไขวาผูที่จะไดรับการพิจารณาคัดเลือกเขาทํางาน ตองมีคามาตรฐานของอายุไมนอยกวา 1.5 และไมเกิน 3.5 ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของอายุของผูสมัครทั้งหมดเปน 23 ป และ a ป2 ตามลําดับ และถานํา คามาตรฐานของอายุของผูสมัครทั้งหมดมาหาความแปรปรวนไดความแปรปรวนเทากับ

a แลว ผูสมัครไมอยูในขาย 4

ที่จะไดรับการคัดเลือกเขาทํางานจะตองมีอายุตามขอใดตอไปนี้ (ตุลา 46) 1. ไมนอยกวา 26 ป และไมเกิน 37 ป 2. ไมนอยกวา 29 ป และไมเกิน 37 ป 3. ไมนอยกวา 26 ป และไมเกิน 30 ป 4. ไมนอยกวา 29 ป และไมเกิน 30 ป 12. ในการสอบวิชาหนึ่งมีนักเรียนสอบสองหอง เปนหอง ก และหอง ข พบวาคะแนนสอบของทั้งสองหองมีการแจกแจงปกติ โดยมีมัธยฐานเทากันและเทากับ a สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนของนักเรียนหอง ก และหอง ข เทากับ c และ c +

5 a

ตามลําดับ ถาในการสอบครั้งนี้เด็กหญิงสดซึ่งอยูหอง ก และเด็กหญิง ใสซึ่งอยูหอง ข ทําคะแนนไดใน

ตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่ 78.81 ทั้งคู แลวเด็กหญิงใสไดคะแนนมากกวาเด็กหญิงสดเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 46) Z A 1. 5

0.70 0.2580

0.80 0.2881

0.90 0.3159

2. 4

3. 3.5

4. 2

13. คะแนนการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นหนึ่งซึ่งมีสองหอง มีคาเฉลี่ยเลขคณิตรวมเทากับ 54 คะแนน โดยที่หอง ก และหอง ข มีนักเรียน 30 และ 20 คน ตามลําดับ ถาคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนหอง ก เทากับ 50 คะแนน เมื่อแยกพิจารณาผลสอบแตละหอง พบวานักเรียนหอง ก ผูไดคะแนน 55 คิดเปนคามาตรฐาน 1.0 เทากับคามาตรฐาน ของนักเรียนหอง ข ผูที่ไดคะแนน 66 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ความแปรปรวนของคะแนนของนักเรียนหอง ก เทากับ 25 ข. สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนของนักเรียนหอง ก มากกวาสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนหอง ข ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 47) 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 14. อายุของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติที่มีความแปรปรวนเทากับ 4 และมีนักเรียนจํานวน 50.4 % ที่มีอายุไมเกิน 14 ป เมื่อพิจารณาอายุของนักเรียนหองนี้ในอีก 2 ปขางหนา และให a แทนตําแหนงเปอรเซ็นไทลของนักเรียนอายุ 16 ป ให b แทนจํานวนเปอรเซ็นตของนักเรียนที่มีอายุ (หนวยเปนป) อยูในชวง [14, 16] แลว a และ b มีคาเทาใดตอไปนี้ กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติดังนี้ (มีนา 47) Z A

0.01 0.004

0.99 0.3389

1.01 0.3438

1. a = 50.4, b = 33.78 % 3. a = 99.6, b = 33.78 %

2.65 0.496

2. a = 50.4, b = 34.29 % 4. a = 99.6, b = 34.29 %

3

¾ การแจกแจงปกติ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

15. ถาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมหนึ่งซึ่งมีจํานวน 20,000 คน มีการแจกแจงปกติ แลว จํานวนนักเรียนที่ สอบไดคะแนนซึ่งตางจากคะแนนเฉลี่ยมากกวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 48) กําหนดใหพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง Z = 0 ถึง Z = 1 เทากับ 0.3413 1. 3,413 2. 6,348 3. 6,826 4. 13,652 16. บริษัทแหงหนึ่งมีพนักงาน 20 คน เงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานเทากับ 60,000 บาท และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 10,000 บาท ถาผลรวมของคามาตรฐานของเงินเดือนของพนักงานจํานวน 19 คน มีคาเทากับ 2.5 แลว พนักงานอีก 1 คนที่เหลือมีเงินเดือนเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 49) 1. 35,000 บาท 2. 57,500 บาท 3. 62,500 บาท 4. 85,000 บาท 17. ถาคะแนนสอบเขามหาวิทยาลัยของนักเรียนจํานวน 10,000 คน มีการแจกแจงปกติ และมีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 58 คะแนน โดยมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 6 คะแนน แลวนักเรียนที่มีคะแนนระหวาง 49 – 73 คะแนน มีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 49) 1. 4,394 คน 2. 5,606 คน 3. 7,300 คน 4. 9,270 คน Z 0.016 0.168 พื้นที่ใตเสนโคง 0.0062 0.0668

1.5 2.5 0.4332 0.4938

18. สมศักดิ์สอบวิชาคณิตศาสตรสองครั้ง โดยที่ไดคามาตรฐานของคะแนนสอบครั้งที่หนึ่งเปน 1.96 และไดคะแนนในการสอบ ครั้งที่สองคิดเปนตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่ 98.3 ในกาสอบทั้งสองครั้งนี้ คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ โดยมีคะแนนเฉลี่ย เทากัน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครั้งที่หนึ่ง และครั้งที่สอง เทากับ 10 และ 5 ตามลําดับ พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. คะแนนสอบที่ไดในครั้งที่หนึ่ง นอยกวา ครั้งที่สอง ข. คามาตรฐานของคะแนนสอบครั้งที่หนึ่ง นอยกวา ครั้งที่สอง ขอใดตอไปนี้ถูก (A-NET 50) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด Z 1.53 1.96 พื้นที่ใตเสนโคง 0.4370 0.4750

2.12 2.35 0.4830 0.4906

19. ถาน้ําหนักของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปที่ 1 ของโรงเรียนแหงหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีมัธยฐานเทากับ 10 กิโลกรัม และสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับ 0.2 แลว นักเรียนที่หนักมากกวา 13 กิโลกรัม และหนักนอยกวา 8 กิโลกรัม คิดเปนเปอรเซ็นตเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 50) 1. 9.19 % 2. 22.55 % 3. 40.81 % 4. 69.19 % Z 0.75 1 พื้นที่ใตเสนโคง 0.2734 0.3413

1.25 1.5 0.3944 0.4332

4

¾ การแจกแจงปกติ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

20. นักเรียนหองหนึ่งเปนนักเรียนหญิง 20 คน นักเรียนชาย 30 คน มีคาเฉลี่ยของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ 24.6 กิโลกรัม สมศรีเปนนักเรียนหญิงที่มีน้ําหนัก a กิโลกรัม คิดเปนคามาตรฐานของน้ําหนักในกลุมนักเรียนหญิง เทากับ b สมชายเปนนักเรียนชายที่มีน้ําหนัก a กิโลกรัม คิดเปนคามาตรฐานของน้ําหนักในกลุมนักเรียนชายเทากับ b ถาสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเฉพาะกลุมนักเรียนหญิง = 0.125 สัมประสิทธิ์ของการแปรผันเฉพาะกลุมนักเรียนชาย = 0.16 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเฉพาะกลุมนักเรียนชาย เทากับ 4 แลว ขอใดตอไปนี้ถูก (A-NET 51) 1. a = 22, b = –1.1 2. a = 22, b = –1 3. a = 21, b = –1.1 4. a = 21, b = –1 21. คะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งมีการแจกแจปกติ โดยมีฐานนิยมเทากับ 66.2 คะแนน ถา 39 % ของนักเรียนกลุมนี้สอบ ไดคะแนนระหวาง 56 และ 76.4 คะแนน แลวสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครั้งนี้เทากับเทาใด (A-NET 51) 1. 8 2. 12 3. 20 4. 25 Z 0.40 0.51 พื้นที่ใตเสนโคง 0.1554 0.1950

0.85 1.23 0.3023 0.3907

22. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของโรงเรียนแหงหนึ่ง สมมติวาคะแนนสอบของนักเรียนมีการแจกแจงปกติ และอาจารยมีเกณฑในการใหเกรดตามคะแนนมาตรฐาน Z ของนักเรียน ดังนี้ เกรด

Z < –1.5 F

–1.5 ≤ Z < –1 D

–1 ≤ Z < 1 C

1 ≤ Z < 1.5 B

Z ≥ 1.5 A

ถานายสมจิตรสอบไดคะแนนนอยกวาคามัธยฐานอยูครึ่งหนึ่งของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แลวนายสมจิตรจะไดเกรดใด ในการสอบครั้งนี้ (PAT ตุลา 51) 1. B 2. C 3. D 4. F 23. จากโจทยขอที่แลว ถามีจํานวนนักเรียนที่สอบไดคะแนนมากกวานายมนัสอยู 15.87 % แลวมนัสจะไดเกรดใด (PAT ตุลา 51) 1. A 2. B 3. C 4. ขอมูลใหมาไมเพียงพอ Z พื้นที่ใตโคงปกติจาก 0 ถึง Z

0.50 0.1915

0.75 0.2734

1.00 0.3413

1.25 1.50 0.3944 0.4332

24. ขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ถาหยิบขอมูล a, b, c, d มาคํานวณคามาตรฐาน ปรากฏวาไดคาดังตาราง ขอมูล คามาตรฐาน (Z)

a –3

b – 0.45

c 0.45

ขอใดตอไปนี้ถูก (PAT มีนา 52) 1. – a + 2b + 2c – 3d = 0 3. a – 2b + 3c + 2d = 0

d 1

2. – a + b + c – 3d = 0 4. a – b + c – d = 0

5

¾ การแจกแจงปกติ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

25. ขอมูลความสูงของนักเรียนชั้น ม.6 โรงเรียนแหงหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ถานักเรียนที่มีความสูงนอยกวา 140.6 เซนติเมตร มีอยู 3.01 % และจํานวนนักเรียนที่มีความสูงมากกวาคามัธยฐานแตนอยกวา 159.4 เซนติเมตร มีอยู 46.99 % แลว จํานวนนักเรียนที่มีความสูงไมนอยกวา 155 เซนิตเมตร แตไมเกิน 160 เซนิตเมตร มีเปอรเซ็นตเทากับขอใดตอไปนี้ เมื่อกําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐาน ระหวาง 0 ถึง Z เปนดังนี้ (PAT มีนา 52) Z 1.00 1.12 พื้นที่ใตเสนโคง 0.3413 0.3686 1. 12.86 %

1.88 2.00 0.4699 0.4772

2. 13.14 %

3. 15.87 %

4. 13.59 %

26. คะแนนสอบวิชาความถนัดของนักเรียนกลุมหนึ่งซึ่งมีการแจกแจงปกติ ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนสอบของ นายแดงและนายดําเทากับ 0 และผลรวมของคะแนนนายแดงและนายดําเปน 4 เทาของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แลวสัมประสิทธิ์ของความแปรผันของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมนี้เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 0.5 2. 1 3. 1.5 4. 2 27. กําหนดใหขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ ถาหยิบขอมูล x และ y จากขอมูลชุดนี้มาพิจารณา พบวา 13.14 % ของ ขอมูลมีคามากกวา x และ x มากกวา y อยู 2 % ของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แลวจํานวนขอมูล (คิดเปนเปอรเซ็นต) ที่มีคานอยกวา y เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 36.43 % 2. 37.29 % 3. 86.43 % 4. 87.29 % Z 1.00 1.10 1.12 1.14 1.16 พื้นที่ใตเสนโคง 0.3413 0.3643 0.3686 0.3729 0.3770 28. กําหนดใหความสูงของคนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ ถามีคนสูงกวา 145 เซนติเมตร และ 165 เซนติเมตร อยู 84.13 % และ 15.87 % ตามลําดับ แลวสัมประสิทธิ์ของความแปรผันของความสูงของคนกลุมนี้เทากับ ขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 52) 1.

1 31

2.

2 31

Z 1.00 1.12 พื้นที่ใตเสนโคง 0.3413 0.3686

3.

3 31

4.

4 31

1.14 1.16 0.3729 0.3770

29. กําหนดใหขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ หยิบขอมูล x1 , x2 , x3 มาคํานวณคามาตรฐานปรากฏวาไดคาเปน z1 , z2 , z3 ตามลําดับ ถา z1 + z2 = z3 แลว คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 52) 1. x1 + x2 − x3

3.

2. x1 − x2 − x3

x3 − x2 − x1

4.

x1 + x2 + x3

30. ในการสอบคัดเลือกเขาศึกษาตอของโรงเรียนแหงหนึ่ง ถาสอบไดคะแนน 700 คะแนน แปลงคะแนนเปนคามาตรฐานได 4 แตถาสอบได 400 คะแนน แปลงเปนคามาตรฐานได – 2 แลวสัมประสิทธิ์การแปรผันเทากับรอยละเทาใด (PAT มีนา 53) __________

6

¾ การแจกแจงปกติ

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 18 ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล 1. กําหนดให ความสัมพันธระหวางรายได (x) และรายจาย (y) ตอเดือนของครอบครัวที่อาศัยในอําเภอหนึ่งมีสมการเปน y = 200 + 0.85x ครอบครัวสองครอบครัวในอําเภอนี้ ซึ่งมีรายไดตางกัน 1,000 บาท จะมีรายจายโดยประมาณตางกัน เทาใด (ตุลา 41) __________ 2. พิจารณาขอมูล x และ y ดังนี้ x y

-3 0

-1 a

0 a+3

1 a+4

3 a+6

เมื่อ a เปนคาคงที่ ให x และ y มีความสัมพันธเชิงฟงกชันเปนกราฟเสนตรง โดยที่ความชันเทากับ 1.55 ถา x = 4 จะประมาณคา y ไดเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 1. 8.7 2. 10.8 3. 11.2 4. 12.8 3. ถาใหสมการที่ใชแทนความสัมพันธเชิงฟงกชันที่ใชสําหรับการประมาณจํานวนหองพักที่มีแขกมาพักจริง (แทนดวย y) จากจํานวนหองพักที่มีการจองลวงหนา (แทนดวย x ) คือ y = a + 0.75x โดยที่ x = 40 และ y = 60 ถา x = 60 แลวจํานวนหองพักจริงโดยประมาณเทากับเทาใด (มีนา 43) __________ 4. ถา y = mx + c เปนความสัมพันธเชิงฟงกชันเพื่อการทํานายรายจายหมวดบริการลูกคา (y) จากจํานวนของพนักงาน โรงแรม (x) ในจังหวัดหนึ่ง และจํานวนขอมูลทั้งหมดที่นํามาสรางความสัมพันธเทากับ 5 โดยมีสมการปกติดังนี้ 28 = 5c + 10m ………….(1) 67 = 10c + 30m ………….(2) พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา x = 5 คาประมาณของ y = 8.9 ข. x = 5.6 ขอความใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 43) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 5. ถาจากการศึกษาความสัมพันธระหวางจํานวนชั่วโมงตอสัปดาหที่ใชในการทบทวนวิชาตาง ๆ (แทนดวย X ) และ ผลการ เรียนเฉลี่ย หรือ GPA (แทนดวย Y ) ไดสมการที่ใชประมาณผลการเรียนเฉลี่ย จากจํานวนชั่วโมงตอสัปดาหที่ใชในการ ทบทวนวิชาตาง ๆ เปนสมการเสนตรงที่มีความชันเทากับ 0.02 และ ระยะตัดแกน Y เทากับ 2.7 พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) ถาจํานวนชั่วโมงที่ใชในการทบทวนวิชาตาง ๆ เพิ่มขึ้น 10 ชั่วโมงตอสัปดาห ผลการเรียนเฉลี่ยเพิ่มขึ้น 0.2 (ข) ถาผลการเรียนเฉลี่ยเทากับ 3 ทํานายวา จํานวนชั่วโมงที่ใชในการทบทวนเทากับ 15 ชั่วโมงตอสัปดาห ขอใดตอไปนี้เปนจริง (ตุลา 44) 1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก และ (ข) ผิด 3. (ก) ผิด และ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

1

¾ ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

6. จากขอมูลความสูงของพอ และลูก (ซึ่งมีอายุ 10 ป) กลุมหนึ่งปรากฏความสัมพันธเชิงฟงกชันเปน y = 0.9 x + 54.8 เมื่อ y แทนความสูงของพอ และ x แทนความสูงของลูก ปรากฏวาความสูงเฉลี่ยของเด็กในกลุมนี้เทากับ 120 เซนติเมตร สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานความสูงของเด็กเทากับ 8 เซนติเมตร ถาเด็กคนหนึ่งในกลุมนี้มีคามาตรฐานความสูงเทากับ -1.8 แลวเราประมาณความสูงของพอไดเทากับกี่เซนติเมตร (มีนา 45) __________ 7. ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางตนทุนการผลิตสินคาตอหนวย (y) (หนวยเปนบาท) กับจํานวนสินคาที่ผลิตไดในแตละวัน (x) (หนวยเปนชิ้น) ของโรงงานแหงหนึ่งที่ไดจากการเก็บขอมูล ตั้งแตวันที่ 1 – 30 กันยายน 2545 อยูในรูปสมการ y = 8 – 0.5 x ถาจํานวนสินคาที่โรงงานแหงนี้ผลิตไดในวันที่ 1 – 4 ตุลาคม 2545 เปน 4, 2, 8, 10 ชิ้น ตามลําดับ แลวความแปรปรวนของตนทุนการผลิตสินคาตอหนวยที่ทํานายไดในชวงเวลาดังกลาวเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45) 1. 2.5 2. 10 3. 17.5 4. 22.5 8. ในการศึกษาความสัมพันธเชิงฟงกชันของปริมาณนมโดยเฉลี่ย (ลิตร) ที่เด็กแตละคนในตําบลหนึ่งบริโภคตอป (y) ระหวางป 2538 – 2545 พบวาเมื่อเปลี่ยนชวงเวลาใหอยูในรูปคาของ x ดังนี้ พ.ศ. x

2538 -7

2539 -5

2540 -3

2541 -1

2542 1

2543 3

2544 5

2545 7

จะไดสมการแสดงความสัมพันธ (ทศนิยม 2 ตําแหนง) เปน y = 0.54 x + 38.85 ถาใชความสัมพันธนี้ทํานายปริมาณนม โดยเฉลี่ยที่เด็กแตละคนในตําบลนี้บริโภคใน พ.ศ. 2547 แลว จะไดวาปริมาณนมโดยเฉลี่ยที่เด็กแตละคนบริโภคโดยประมาณ เทากับเทาใด (ตุลา 46) __________ 9. ถานําปริมาณขาวกลองที่รานคาแหงหนึ่งขายไดรายป ตั้งแตป พ.ศ. 2537 ถึงป พ.ศ. 2546 (Y) (หนวยเปนกิโลกรัม) มาสรางความสัมพันธเชิงฟงกชันกับชวงเวลา (X) โดยกําหนดใหป พ.ศ. 2541 และ 2542 มีคา x = – 1 และ 1 ตามลําดับ แลวไดความสัมพันธเชิงฟงกชันของปริมาณขาวกลองที่รานคาแหงนี้ขายไดโดยประมาณ คือ y = 192 + c x ถาทํานายโดยใชความสัมพันธนี้ ปรากฏวาปริมาณขาวกลองที่รานคาแหงนี้ขายไดในปริมาณ พ.ศ. 2547 โดยประมาณ เทากับ 316.3 กิโลกรัม แลวในป พ.ศ. 2548 จะทํานายวาปริมาณขาวกลองที่รานคาแหงนี้ขายไดโดยประมาณเทากับเทาใด (มีนา 47) __________ 10. จากรายการซอมแซมเครื่องซักผา 6 เครื่อง ปรากฏผลดังนี้ เครื่องซักผาเครื่องที่ จํานวนปที่ใชงาน : x คาซอมแซมตอป (รอยบาท) : Y

1 1 4

2 2 7

3 3 10

4 2 8

5 1 3

6 3 10

สมการที่ใชแทนความสัมพันธเชิงฟงกชันสําหรับการประมาณคาซอมแซมจากจํานวนปที่ใช คือขอใดตอไปนี้ (ตุลา 47) 1. Y = 3.25 X + 0.5

2. Y = 3.5 X + 0.5

3. Y = 3.5 X + 0.75

2

4. Y = 3.75 X + 0.25

¾ ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

11. ถาความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูลชุดหนึ่ง ระหวางตัวแปร x และ y มีกราฟเปนเสนตรง โดยที่

8

∑x i =1

i

= 32,

8

∑y i =1

i

= 16,

8

∑x y i =1

i

i

= 65,

8

∑x

2 i

i =1

= 140,

8

∑y i =1

2 i

= 34 ถา x = 8 แลว

จะประมาณคา y ไดเทาใด (ตอบเปนทศนิยมสองตําแหนง) (A-NET 50) __________ 12. ถาในการหาความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางคะแนนสอบวิชาที่หนึ่ง (X) และวิชาที่สอง (Y) ของนักเรียนชั้นหนึ่งจํานวน 10 คน ของโรงเรียนแหงหนึ่ง ไดพจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณคาคงตัวจากสมการปกติดังนี้ 10

∑ xi = 50, i =1

10

∑ yi = 50, i =1

10

10

∑ xi yi = 288,

10

∑ xi2 = 304 และ

i =1

∑y

i =1

i =1

2 i

= 284

ไดสมการประมาณคะแนนสอบวิชาที่สองจากคะแนนสอบวิชาที่หนึ่งเปน Yˆ = 1.5 + 0.7 X (ใชทศนิยมหนึ่งตําแหนง) พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถานักเรียนสองคนในกลุมนี้มีคะแนนสอบวิชาที่หนึ่งตางกัน 2 คะแนน แลวคะแนนสอบวิชาที่สองของนักเรียน สองคนนี้ตางกันประมาณ 1.4 คะแนน ข. เมื่อทราบคะแนนสอบวิชาที่สอง จะประมาณคะแนนสอบวิชาที่หนึ่งของนักเรียนในกลุมนี้ ไดจากสมการ Xˆ = 1.4Y − 2.1 ขอใดตอไปนี้ถูก (A-NET 51) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 13. กําหนดความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล X และ Y เปน Y = X 2 − 2 X + 5 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา Y = 4 แลว X = 1 ข. ถา X เพิ่มจาก 1 ไปเปน 2 แลว Y จะเพิ่มขึ้น 1 หนวย ขอใดตอไปนี้ถูก (PAT ตุลา 51) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 14. ในการหาความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร (X) และวิชาฟสิกส (Y) ของนักเรียน 100 คน ของโรงเรียนแหงหนึ่ง ไดพจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณคาคงตัวจากสมการปกติของความสัมพันธเชิงฟงกชันที่มีรูปสมการ เปน Y = a + bX ดังนี้

100

∑ xi = i =1

100

∑ yi = 1000, i =1

100

∑ xi yi = 2000, i =1

100

∑x

2 i

i =1

= 4000

ถาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนายสมชายเทากับ 15 คะแนน แลวคะแนนสอบวิชาฟสิกส (โดยประมาณ) ของนายสมชายเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1. 16 คะแนน 2. 16.67 คะแนน 3. 17 คะแนน 4. 17.67 คะแนน 15. ในการหาความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางปริมาณสารปนเปอนชนิดที่หนึ่ง (X) และปริมาณสารปนเปอนชนิดที่สอง (Y) จากตัวอยางอาหารจํานวน 100 ตัวอยาง พบวาความแปรปรวนของปริมาณสารชนิดที่ 1 มีคาเทากับ 1.75 100

∑ xi yi = 100,

คาเฉลี่ยเลขคณิตของปริมาณสารชนิดที่ 2 มีคาเทากับ 0.5

i =1

100

∑x i =1

2 i

= 200 ถาสมการปกติของ

ความสัมพันธเชิงฟงกชันดังกลาวอยูในรูป Y = a + bX แลว เมื่อพบสารปนเปอนชนิดที่ 1 อยู 4 หนวย จะพบสารปนเปอนชนิดที่ 2 (โดยประมาณ) เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 0.5 หนวย 2. 1 หนวย 3. 1.5 หนวย 4. 2 หนวย

3

¾ ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

16. กําหนดใหขอมูล X และ Y มีความสัมพันธกันดังตารางตอไปนี้ ถาสมการปกติของความสัมพันธเชิงฟงกชันดังกลาวอยูในรูป Y = a + bX แลวเมื่อ X = 10 คาของ Y เทากับเทาใด (PAT ตุลา 52) __________

4

¾ ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 19 แคลคูลัสเบื้องตน (1) 1. กําหนดให f เปนฟงกชันที่มีอนุพันธ และ F ( x) = ( f ( x))3 + 15 ถา F (1) = f ′(1) = 4 แลว F ′(1) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41) 1. 0.5 2. 1.5 3. 8 4. 24 2. พื้นที่ปดลอมดวยเสนโคง y = x 2 − 3x + 2 จาก x = 0 ถึง x = 2 เฉพาะสวนที่อยูเหนือแกน x เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41) 1.

3 ตารางหนวย 2

2.

1 ตารางหนวย 6

3.

2 ตารางหนวย 3

4.

5 ตารางหนวย 6

3. กําหนดให f เปนฟงกชันซึ่ง f (2) = − 1 แลว f ′(1) = − 3 และ f ′′( x) = 3 ทุกคา x แลว f (0) มีคา เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41) 1. 5 2. 6 3. 12 4. 15 an = 1 แลว 4. ให f ( x) = x8 − x 6 และ f ′ คืออนุพันธของ f ถา {an } เปนลําดับซึ่งมี lim n →∞ lim ( fof ′)an มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 41) n →∞

1. 68

2. 92

3. 150

4. 192

5. ให f เปนฟงกชันที่หาอนุพันธได และ f (3) = − 2 f ′(3) = 5 ถา g ( x) =

f ( x) แลว g ′(3) x2 + 1

มีคาเทาใด (มีนา 42) __________ 6. กําหนดให a , b , c , d เปนจํานวนจริง และ f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d โดยที่ f มีคาสูงสุดสัมพัทธเปน 2 ที่ x = 1 และ f ′′(1) = − 4 ถา f (0) = 1 แลว f มีคาต่ําสุดสัมพัทธที่จุดในขอใดตอไปนี้ (มีนา 42) 2. x = −

1. x = − 3

7. ถา θ ∈ R และ

1

∫

1 3

3. x =

1 3

4. x = 3

(4 x − 3)dx = 0 แลว cos 2θ เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 42)

sin θ

1. 0 หรือ

3 2

2. 0 หรือ −

3 2

3. −1 หรือ

8. ให u และ v เปนฟงกชันของ x โดยที่ v( x) = x 2 − 2 x ถา f ( x) =

1 2

4. −1 หรือ 1

u ( x) และ u (3) = − 9 , u′(3) = 3 v( x)

แลวคาของ f ′(3) เทากับเทาใด (ตุลา 42) __________

1

¾ แคลคูลัส (Calculus)

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

9. ถา f เปนฟงกชัน ซึ่งมีกราฟผานจุด (0, 2) และ f ′( x) = 3x 2 − 12 x + 9 แลวคาสูงสุดสัมพัทธของ f เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 1. 2 2. 3 3. 6 4. 8 10. ให F ( x) = f ( g ( x)) ถา g ( x) = x3 + 2 x + 2 และ ∫ F ( x)dx = 5 x3 + 2 x + c แลวคาของ f ′(5) เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 42) 1. 6 2. 5 3. 4 4. 3 11. กําหนดให f ( x) = x3 + cx 2 − 9 x เมื่อ c เปนจํานวนจริง ถาคาวิกฤตคาหนึ่งของ f คือ 1 แลว f เปนฟงกชันลดในเซตใดตอไปนี้ (มีนา 43) 2. (−∞, − 3) ∪ (1, ∞) 3. (−1, 4) 4. (−∞ , − 1) ∪ (4, ∞) 1. (−3,1) 12. ให F เปนปฏิยานุพันธของ f โดยที่ f ( x) = 3x 2 − 6 x + 3 ถา F (0) = − 1 และ F มีคาสูงสุดสัมบูรณ ในชวง [0, 2] ที่จุด x = c แลว F (c) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 43) 1. – 1 2. 0 3. 1 4. 2 13. กําหนดให f เปนฟงกชันที่มีอนุพันธ และ g ( x) = ( x + 1) f ( x) ถา มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 43) 1.

3 4

2.

5 4

3.

∫ g ( x)dx = x

3 2

4.

2

− x + c แลว f ′(1)

5 2

⎛ g ⎞′

14. ให f ( x) = x3 − x 2 + g ( x) และ f ′(2) = f (2) = 2 แลว ⎜ ⎟ (2) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43) ⎝ f ⎠ 1. – 2 2. 0.5 3. 0 4. 2 15. ถาเสนโคง y = f ( x) ผานจุด (0,1) และ (4, c) เมื่อ c เปนจํานวนจริง และความชันของเสนโคงนี้ที่จุด ( x , y ) ใด ๆ มีคาเทากับ x − 1 แลว c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 43) 1.

4 3

2.

7 3

3. 8

4. 9

16. ให f ( x) = x 2 − c โดยที่ c เปนคาคงตัวซึ่ง c ≥ 4 ถาพื้นที่ที่ปดลอมดวยเสนโคง y = f ( x) จาก x = − 2 ถึง x = 1 เทากับ 24 ตารางหนวย แลว c มีคา เทาใด (ตุลา 43) __________ 5 4

1 −1 π ) ทํามุม θ กับแกน X โดยที่ o ≤ θ ≤ 2 16 2

17. ถาเสนสัมผัสเสนโคง y = ( x − 1)2 (2 x − ) ที่จุด ( , แลว sin 2

θ 2

มีคาเทากับเทาใด (มีนา 44) __________

2

¾ แคลคูลัส (Calculus)

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

18. กําหนดให f ( x) = ax3 + bx เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง และ f มีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ − 2 ที่จุด x = 1 ถา g ( x) = x 3 + f ′( x) แลว g เปนฟงกชันลดในชวงใดตอไปนี้ (มีนา 44) 2. (−3, − 1) 3. (−1,1) 4. (−2, 0) 1. (0, 2) 19. กําหนดให f ( x) = ax3 + bx 2 + 2 x − 2 เมื่อ a , b เปนจํานวนจริง ถา f ′(1) = 5 และ f ′′(0) = − 12 แลว ∫ [ f ′( x) + f ′′( x)] dx เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 44) 2. 5 x3 + 9 x 2 + 10 x + c 1. 5 x3 + 9 x 2 − 10 x + c 3. 5 x3 − 9 x 2 + 10 x + c 4. 5 x3 − 9 x 2 − 10 x + c 20. ให f เปนฟงกชัน ซึ่งอนุพันธของ f เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวงปด [0,1] และ g ( x) = ถา f (1) = f ′(1) = 1 และ f (0) = f ′(0) = − 2 แลว

1

∫ g ′′( x) dx

f ( x) x4 + 1

เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 44)

0

1. −

5 2

2. −

1 2

3.

3 2

4.

7 2

21. ถาเสนตรง x = a แบงครึ่งปดลอมดวยเสนโคง y = 2 x จาก x = 0 ถึง x = 8 แลว a3 มีคาเทาใด (ตุลา 44) __________ 22. กําหนดให g เปนฟงกชัน ซึ่งมีอนุพันธที่ทุกจุด x > 0 และ g ′(3) = 3 แลวจํานวนเต็มบวก n ที่ทําให g ( x n + 2 x) = 4 x3 + 6 x 2 + 31 คือจํานวนในขอใด (ตุลา 44) 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 23. ให f เปนฟงกชันพหุนามกําลังสาม ซึ่งมีคาสูงสุดสัมพัทธเทากับสามเทาของคาต่ําสุดสัมพัทธ และ f (0) = 2 ถา f มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ x = − 1 และมีคาต่ําสุดสัมพัทธที่ x = 1 แลว f (4) เทากับขอใด (ตุลา 44) 1. – 28 2. – 24 3. 24 4. 28 24. กําหนดใหเสนโคง y = f ( x) ผานจุด (1, 0) และมีความชันที่จุด ( x, y ) ใด ๆ เปน 3x 2 − 4 x +

2 x2

ถา

(a, b) เปนจุดตัดระหวางเสนโคงนี้กับเสนตรง x − 2 = 0 แลว a + b มีคาเทากับขอใด (ตุลา 44)

1. 1.5

2. 2

3. 3.5

4. 4

25. ถาให a คือจํานวนจริงที่ทําใหพื้นที่ที่ปดลอมดวยเสนโคง y = a 2 x 2 + 4ax + 10 จาก x = 0 ถึง x = 1 มีคานอยที่สุด แลวพื้นที่ที่ไดเทากับเทาใด (มีนา 45) __________ 26. กําหนดให f ( x) = 3x + 1 ถา g เปนฟงกชันซึ่ง ( fog )( x) = x 2 + 1 ทุก x ∈ R แลว f ′(1) + g ′(1) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1.

41 12

2.

35 12

3.

3

33 4

4.

39 4

¾ แคลคูลัส (Calculus)

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

27. กําหนดใหกราฟของ y = f ( x) เปนเสนโคงที่อยูเหนือแกน X และมีความชันของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด ( x, y ) ใด ๆ เทากับ 6 x + 2b เมื่อ b เปนจํานวนจริง ถาพื้นที่ปดลอมดวยเสนโคงนี้จาก x = 0 ถึง x = 2 เทากับสองเทาของ พื้นที่ที่ปดลอมดวยเสนโคงนี้จาก x = 0 ถึง x = 1 แลว f มีคาต่ําสุดสัมพัทธที่จุด x ในขอใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1. x = 2 2. x = 1 3. x = 0 4. x = -1 28. กําหนดให g ( x) = x 2 f ( x) ถา f ′( x) = 2 x + 3 และ g ′′(1) = 0 แลว f (4) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 45) 1. 0 2. 11 3. 13 4. 28 ⎧3 x 2 + 1 ; 0 ≤ x ≤ b 29. ให b เปนจํานวนจริง และกําหนด f ( x) = ⎨ ; x<0 ⎩ 1

ถา

b

∫ f ( x) dx

= 12 แลว b มีคา

−2

เทากับเทาใด (ตุลา 45) __________ 30. กําหนดให f ( x) = x 2 − 6 x + c โดยที่ c เปนจํานวนจริง ถา a และ b เปนรากของสมการ f ( x) = 0 และ 3a + 2b = 20 แลว f ′(c) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45) 1. – 38 2. – 26 3. 26 4. 38 31. กําหนดให f ( x) = x 2 − 2 x และ g ( x) = x 2 + 1 แลว ( gof )′(-3) + ( fog )′(3) เทากับขอใด (ตุลา 45) 1. – 132 2. – 84 3. 84 4. 132 32. กําหนดให f ′′( x) = ax เมื่อ a เปนคาคงตัว ถาเสนตรง 2 x + y − 6 = 0 สัมผัสกับกราฟของ f ที่จุด (1, 4) และ f (0) = 8 แลว

1

∫ f ( x) dx

เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 45)

0

1.

22 4

2.

23 4

3.

42 4

33. กําหนดให f เปนฟงกชันซึ่ง f ′′( x) = 2 x + 1 ถาคาสูงสุดสัมพัทธของ f เทากับ

4.

43 4

1 ที่ x = − 1 แลว 2

คาต่ําสุดสัมพัทธของ f เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 46) 1. −1

2. −

1 3

3. 0

4.

1 3

34. ในการไปทัศนศึกษาครั้งหนึ่ง ผูจัดคิดคาบริการเปนเงื่อนไขดังนี้ ถามีผูรวมเดินทาง 50 คน ผูจัดจะคิดคาบริการอัตราหนึ่ง, ถามีผูรวมเดินทาง 51 คน คาบริการจะลดลงคนละ 2 บาท ถามีผูรวมเดินทาง 52 คน คาบริการจะลดลงคนละ 4 บาท, ถามีผูรวมเดินทาง 53 คน คาบริการจะลดลงคนละ 6 บาท เปนเชนนี้ไปเรื่อย ๆ ปรากฏวา ถามีผูรวมเดินทาง 90 คน แลวจะเก็บคาบริการไดมากที่สุด ถามีผูรวมเดินทาง 100 คน จะเก็บคาบริการไดทั้งหมดเปนเงินเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 46) 1. 16,000 บาท 2. 16,200 บาท 3. 16,400 บาท 4. 16,600 บาท

4

¾ แคลคูลัส (Calculus)

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

35. ถาความชันของเสนโคง y = f ( x) ที่จุด (x, y) ใด ๆ เทากับ x 2 − 3x + 2 และ

2

∫ f ( x) dx

= 4 แลวจุด (x, y)

0

ในขอใดตอไปนี้อยูบนเสนโคง y = f ( x) (มีนา 46) 4 3

4 3

2. (0, − )

1. (0, )

3. (1,

13 ) 4

4. (1, −

13 ) 4

36. กําหนดให A เปนบริเวณในระนาบ XY ซึ่งปดลอมดวยพาราโบลา y = x 2 − 7 แกน X จาก x = 0 ถึง x = a เมื่อ a เปนคาคงตัว ถาพื้นที่ของบริเวณ A สวนที่อยูเหนือแกน X มากกวาพื้นที่ของบริเวณ A สวนที่อยูใตแกน X เทากับ 2a ตารางหนวย แลว a คือจํานวนในขอใดตอไปนี้ (มีนา 46) 2. 3 3 3. 5 4. 7 1. 2 3 37. กําหนดใหเสนตรง y = − 6 x − 5 สัมผัสเสนโคง y = f ( x) ที่จุด x = − 1 ถา f ( x) = ax3 + bx 2 − 3 เมื่อ a, b เปนจํานวนจริง แลวคาสูงสุดสัมพัทธของ f เทากับเทาใด (ตุลา 46) __________ 38. กําหนดให f ( x) = x 2 + 4 x และ g ( x) = x 2 − 16 ถา a, b เปนคําตอบทั้งสองของสมการ f ( x) = g ( x) f ( x) f ( x) + lim เทากับเทาใดตอไปนี้ (ตุลา 46) x → b g ( x) g ( x) 3 5 1 1.

2.

3.

2 6 2

แลว lim x →a

4.

1 3

39. กําหนดให g เปนฟงกชันพหุนาม และ f ( x) = x g ( x) ถา f ′( x) = 4 x3 + 9 x 2 และ f (0) = 0 แลว d ⎡ f ( x) ⎤ ที่จุด x = − 2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 46) dx ⎢⎣ g ( x + 1) ⎥⎦

1. – 4

2. – 2

3. 2

4. 4

40. กําหนดให a, b เปนจํานวนจริง และ f ( x) = x + ax + bx + 1 ถา f ′(1) = 15 และ 3

2

1

55

∫ f ( x) dx = 12 0

แลว f (1) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 46) 1. 9 2. 10

3. 11

4. 12

41. กําหนดให f ( x) = x 2 − 1 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก.

1

4

∫ f ( x) dx = 3

−1

ข. พื้นที่ปดลอมดวยเสนโคง y = f ( x) จาก x = − 1 ถึง x = 1 เทากับ ขอใดตอไปนี้ถูก (ตุลา 46) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก

2. ก. ถูก และ ข. ผิด

3. ก. ผิด และ ข. ถูก

5

4 ตารางหนวย 3

4. ก. ผิด และ ข. ผิด

¾ แคลคูลัส (Calculus)

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

42. กําหนดให f ( x) = 3x + 1 และ ( fog )′( x) = 3x 2 + 1 ถา g (0) = 1 แลว

1

∫ g ( x) dx 0

มีคาเทากับเทาใด (มีนา 47) __________ 1 4

2 3

1 2

43. เมื่อพิจารณากราฟของฟงกชัน f ( x) = x 4 − x3 − x 2 + 2 x −

( c,

1 พบวา f กราฟของ มีจุดวิกฤต 3

f ( x) ) ซึ่ง c > 0 เปนจํานวน a จุด และกราฟของ f ตัดแกน X เปนจํานวน b จุด ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 47)

1. a = 1, b = 2

2. a = 1, b = 4

3. a = 2, b = 2

4. a = 2, b = 4

44. กําหดให f เปนฟงกชันพหุนามกําลังสาม ซึ่ง f (0) = 1 = f (1) ถา f ′(0) = 1 และ

1

∫ f ( x) dx = 6

แลว

−1

f (−1) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 47)

1. – 7

2. – 1

3. 13

4. 15

45. กําหนดให f เปนฟงกชันซึ่งสามารถหาอนุพันธไดที่ทุกจุด และ h( x) = x3 + 1 ถา a เปนจํานวนจริง ซึ่ง (h D f )(a) = 9, (h D f )′(a) = 0, (h D f )′′(a) = − 1 แลวขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 47) 1. f มีคาสูงสุดสัมพัทธที่จุด a และมีคาเทากับ 1 2. f มีคาสูงสุดสัมพัทธที่จุด a และมีคาเทากับ 2 3. f มีคาต่ําสุดสัมพัทธที่จุด a และมีคาเทากับ 1 4. f มีคาต่ําสุดสัมพัทธที่จุด a และมีคาเทากับ 2 46. กําหนดให f ( x) และ g ( x) เปนฟงกชันซึ่งหาอนุพันธได และมีสมบัติดังนี้ f ′( g ( x)) =

1 และ g ′( x)

f ( g (0)) = 5 แลวคาของ f ( g (2)) เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 47)

1. 1

2. 3

3. 5

4. 7

47. กําหนดให y = f ( x) เปนฟงกชันพหุนามซึ่งมีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ 3 ที่จุด x = 2 และมีเสนตรง 2

∫ g ′′( x) dx

3x + y − 7 = 0 เปนเสนสัมผัสกราฟที่จุด (1, 4) ถา g ( x) = x 2 f ( x) แลว คาของ

1

เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 47) 1. 5 2. 7

3. 8

4. 10

⎧ x − n ; 2n ≤ x ≤ 2n + 1 โดยที่ n = 0, 1, 2, ..., 9 แลวคาของ 48. ถา f ( x) = ⎨ ⎩ n + 1 ; 2n + 1 ≤ x ≤ 2n + 2

เทากับขอใดตอไปนี้ (ตุลา 47) 1. 105 2. 115

3. 125

6

20

∫

f ( x) dx

0

4. 135

¾ แคลคูลัส (Calculus)

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

49. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา f และ g เปนฟงกชันซึ่ง lim

h → 0+

f ( x + h) − f ( x ) f ( x + h) − f ( x ) = lim− = g ( x) h→0 h h

แลว g ( x) = f ′( x) ก. ถา f เปนฟงกชันซึ่ง f ( x) > 0 สําหรับทุก ๆ จํานวนจริง x และ f ′(a) ≠ 0 แลว ความชันของเสน สัมผัสกราฟของฟงกชัน y = ขอใดตอไปนี้ถูก (มีนา 48) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 50. คาของ

2

∫

1 1 ที่จุด a คือ f ( x) f ′(a)

2. ก. ถูก และ ข. ผิด

3. ก. ผิด และ ข. ถูก

4. ก. ผิด และ ข. ผิด

3. (6.1, 6.2)

4. (6.2, 6.3)

4 − x 2 dx อยูในชวงใดตอไปนี้ (มีนา 48)

−2

1. (3.1, 3.2)

2. (3.2, 3.3)

51. ถาความชันระหวางเสนสัมผัสเสนโคง y = f ( x) ที่จุด ( x, y ) ใด ๆ เปน 2 x − 4 และ f มีคาต่ําสุดสัมพัทธ เทากับ 10 หนวยแลว พื้นที่ปดลอมดวยกราฟของ y = f ( x) กับแกน x จาก x = 0 ถึง x = 3 เทากับขอใดตอไปนี้ (มีนา 48) 1. 33 2. 36 3. 39 4. 42

7

¾ แคลคูลัส (Calculus)

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 19 แคลคูลัสเบื้องตน (2) 52. ถา P( x) เปนพหุนามดีกรีสาม ซึ่งมี 1, 2, 3 เปนคําตอบของสมการ P( x) = 0 และ P(4) = 5 แลว P′(1) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 49) 1. −

6 7

2. −

5 6

3.

4 5

4.

5 3

53. กําหนดให กราฟของ y = f ( x) มีความชันที่จุด ( x, y ) ใด ๆ เปน 2 x + 2 และ f มีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ −3 พื้นที่ของอาณาบริเวณที่ปดลอมดวยกราฟของ y = f ( x) แกน X เสนตรง x = −1 และเสนตรง x = 0 เทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 49) 1.

7 ตารางหนวย 3

54. กําหนดให f ( x) = 1 +

2.

8 ตารางหนวย 3

3. 9 ตารางหนวย

4. 12 ตารางหนวย

a 1 f และ g ( x) = x 2 + b ถา ( f D g )(0) = และ f ′′(−1) = 2 แลว ( )′(a + b) g x 2

เทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 50) 1. −

1 3

2. −

1 4

3.

1 4

4.

1 3

55. พื้นที่ของบริเวณที่ปดลอมดวยเสนโคง y = x3 − 2 x 2 + 2 x และแกน X จาก x = 0 ถึง x = 4 เทากับขอใดตอไปนี้ (A-NET 50) 1. 16 ตารางหนวย 2. 16.25 ตารางหนวย 3. 16.5 ตารางหนวย 4. 17 ตารางหนวย 56. กําหนดให f เปนฟงกชันที่นิยามบนชวง (0, ∞) โดยที่ f (2) = 2 f (1) และ f ′( x) = 27 x −

1 x2

ถา L เปนเสนสัมผัสกราฟของ y = f ( x) ที่จุด (1, f (1)) แลว จุดในขอใดตอไปนี้อยูบน L (A-NET 51) 1. (2, 64) 2. (2, 66) 3. (3, 94) 4. (3, 96) 57. กําหนดให f เปนฟงกชันพหุนามกําลังสาม ซึ่งนิยามบนชวง [−2, 2] โดยที่ f (0) = 1, f (1) = 0 และ f มีคาต่ําสุดที่ x = 1 มีคาสูงสุดที่ x = −1 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. f (−2) ≤ f ( x) ทุก x ∈ [−2, 2] ข. f (2) ≥ f ( x) ทุก x ∈ [−2, 2] ขอใดตอไปนี้ถูก (A-NET 51) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด ⎧ax 2 + b ; x ≥ 0

⎪ 58. กําหนดให f เปนฟงกชันตอเนื่อง ที่นิยามโดย f ( x) = ⎨

3 ⎪⎩ x + 1 ; x < 0

1 2

ถา f ′(1) = 4 แลว ( f D f )(− 3 ) มีคาเทาใด (A-NET 51) __________

8

¾ แคลคูลัส (Calculus)

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions ⎧ x + 3 ; x < −1

59. กําหนดให f ( x) = ⎨

3 ⎩ −2 x ; x ≥ − 1

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

พื้นที่ปดลอมดวยกราฟของ f บนชวง [−4, 0] มีคาเทาใด

(A-NET 51) __________ 60. กําหนดให a เปนจํานวนจริงบวกและ (a, b) เปนจุดบนเสนโคง C ที่มีสมการเปน y = x 2 ถา P เปนจุดบนเสนโคง C ที่มีสมบัติวา ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง C ที่จุด P เทากับ ความชันของเสนตรงที่ผาน (0, 0) และ (a, b) แลวพิกัดของจุด P เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) a a2 ) 2 4

1 1 2 4

1. ( , )

a a2 ) 4 16

2. ( ,

3. ( ,

a a2 ) 3 9

4. ( ,

t 2 −1 dt เมื่อ a เปนจํานวนจริงใด ๆ ที่มากกวา 1 แลวคาของ f (2551) t2 1 a

61. ถา f (a) = ∫

เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 51) 2. ( 2550 )

1. 2550

( 2550 ) 3.

2

2551

2

2550 ⎞ 4. ⎛⎜ ⎟ ⎝ 2551 ⎠

2

f (1 + h) − f (1) 1⎛ 1 1 ⎞ เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) + ⎟ แลวคาของ lim 3 h → 0 f (4 + h) − f (4) 2⎝ x x ⎠ 16 7 1 2.

3.

4.

5 5 5

62. ถา f ′( x) = ⎜ 1. 1

63. กําหนดให f ( x) = x 4 − 3x 2 + 7 แลว f เปนฟงกชันเพิ่มบนเซตในขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 2. (−3, − 2) ∪ (1, 2) 1. (−3, − 2) ∪ (2, 3) 4. (−1, 0) ∪ (1, 2) 3. (−1, 0) ∪ (2, 3) 64. กําหนดให A แทนพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ปดลอมดวยเสนโคง y = 1 − x 2 และแกน X B แทนพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ปดลอมดวยเสนโคง y =

x2 เหนือแกน X จาก x = − c ถึง x = c 4

คาของ c ที่ทําให A = B เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 2. 2 3. 2 2 1. 2 65. ถา f ′( x) = 3x + x − 5 และ f (0) = 1 แลว 2

1

∫ f ( x) dx

4. 4

มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52)

−1

1.

5 3

2.

7 3

3.

9

2 3

4.

1 3

¾ แคลคูลัส (Calculus)

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

66. ถา f , g และ h สอดคลองกับ f (1) = g (1) = h(1) = 1 และ f ′(1) = g ′(1) = h′(1) = 2 แลวคาของ ( fg + h)′(1) เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 1 2. 2 3. 4 4. 6 67. เสนตรงซึ่งตัดตั้งฉากกับเสนสัมผัสของเสนโคง y = 2 x3 + 1. 13x – 2y – 11 = 0 68. ถา f ′( x) = x 2 − 1 และ

1 ที่จุด x = 1 คือเสนตรงในขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) x

2. 13x + 2y – 15 = 0

1

∫ f ( x) dx

= 0 แลว

3. 2x – 13y + 11 = 0

4. 2x + 13y – 15 = 0

f (1) มีคาเทากับเทาใด (PAT ตุลา 52) __________

0

69. กําหนดให f ( x) = ax 2 + b x เมื่อ a, b เปนจํานวนจริงที่ b ≠ 0 ถา 2 f ′(1) = f (1) แลว

f (4) f ′(9)

มีคาเทาใด (PAT ตุลา 52) __________ 70. กําหนดให y = f ( x) เปนฟงกชันซึ่งมีคาสูงสุดที่ x = 1 ถา f ′′( x) = − 4 ทุก x และ f (−1) + f (3) = 0 แลว f มีคาสูงสุดเทาใด (PAT ตุลา 52) __________ 71. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชัน 2 3

โดยที่ f ( x) = 3x , g (1) = 8 และ g ′(1) = 1.

1 3

2.

2 คาของ 3

2 3

( f D g )′ (1) เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 53)

3. 1

4.

4 3

72. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R เปนฟงกชัน โดยที่ f ′( x) = 3 x + 5 สําหรับทุกจํานวนจริง x และ f (1) = 5 แลวคาของ lim x→4

f ( x2 ) − 2 เทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________ f ( x)

73. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R เปนฟงกชัน โดยที่ f ′′( x) = 6 x + 4 สําหรับทุกจํานวนจริง x และความชันของเสนสัมผัสเสนโคง y = f ( x) ที่จุด (2, 19) เทากับ 19 แลว คาของ f (1) เทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________

10

¾ แคลคูลัส (Calculus)

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

ชุดที่ 21 ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร 1. สมมติวาประเทศไทยมีเหรียญอยูสองราคาเทานั้นคือ เหรียญ 3 บาท และเหรียญ 5 บาท เราจะสามารถกําหนดราคาสินคา ไดกี่ราคา ตั้งแต 1 – 20 บาท ที่สามารถซื้อไดดวยเหรียญสองราคานี้โดยไมมีการทอนเงิน (PAT ตุลา 51) 1. 10 2. 13 3. 16 4. 19 2. ถา P1 = x + 2, P2 = 3x 2 + 4, P3 = 5 x3 + 8 และ P4 = 7 x 4 + 16 แลว P5 ควรเปนเทาใด (PAT ตุลา 51) 1. 9 x5 + 32

3.

2. 11x5 + 32

9 x5 + 64

4.

11x5 + 64

3. ในการจัดคน 5 คนยืนเขาแถวหนากระดาน พบวา นาย ก. ไมยืนขางนาย ข., นาย ค. ยืนอยูริม, นาย ง. ยืนอยูขาง นาย จ. และไมยืนอยูกลางแถว ขอใดตอไปนี้เปนไปได (PAT ตุลา 51) 1. นาย ค. ยืนขางนาย จ.

2. นาย จ. ยืนอยูริมดานหนึ่ง 3. นาย ก. ยืนอยูตรงกลาง 4. นาย จ. ยืนอยูตรงกลาง 4. จากโจทยขอที่แลว ถานาย ข. ยืนอยูริมดานหนึ่งแลว ขอใดตอไปนี้ผิด (PAT ตุลา 51) 1. นาย ค. ยืนติดนาย ก.

2. นาย ก. ยืนอยูตรงกลาง 3. นาย จ. ยืนอยูต รงกลาง 4. นาย ง. ยืนติดกับนาย ข.

5. รถตูคันหนึ่งมีที่นั่งสําหรับผูโดยสาร 5 แถว แถวที่ 1 ถึงแถวที่ 5 โดยแตละแถวมี 2 ที่นั่ง ผูโดยสาร 6 คนคือ นาย ก, ข, ค, ง, จ และ ฉ ขึ้นรถในเวลาเดียวกันและนั่งรถตามเงื่อนไขดังนี้ - นาย ก ไมนั่งแถวเดียวกับนาย ข และนาย จ - นาย ข นั่งแถวที่ 3 หรือแถวที่ 4 - นาย ค ไมนั่งคนเดียวในแถว - นาย ง ไมนั่งแถวเดียวกับคนอื่น และจะนั่งหลังแถวที่วาง ถานาย ข นั่งแถวหลังถัดจากแถวของนาย ค และนาย ก นั่งแถวหลังถัดจากแถวของนาย ข แลวขอใดตอไปนี้ไมเปนจริง 1. นาย ก นั่งแถวที่ 5 2. นาย ข นั่งแถวที่ 4 3. นาย จ นั่งแถวที่ 3 4. นาย ฉ นั่งแถวที่ 1 6. จากโจทยขอที่แลว พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. นาย ก และนาย ฉ ไมไดนั่งคนเดียวในแถว ข. นาย ข และนาย จ ไมไดนั่งคนเดียวในแถว ขอใดตอไปนี้ถูก (PAT ตุลา 51) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด

3. ก. ผิด และ ข. ถูก

7. กําหนดแบบรูป 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, … จํานวนในพจนที่ 5060 ของรูปแบบนี้มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1. 1 2. 10 3. 100

1

4. ก. ผิด และ ข. ผิด

4. 1,000

¾ ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

8. กําหนดให n เปนจําวนนับใด ๆ และ r เปนเศษเหลือจากการหาร n2 ดวย 11 จํานวนในขอใดตอไปนี้เปนคาของ r ไมได (PAT มีนา 52) 1. 1 2. 3 3. 5 4. 7 9. กําหนดให P( x) และ Q( x) เปนพหุนามดีกรี 2551 ซึ่งสอดคลองกับ P(n) = Q(n) สําหรับ n = 1, 2, ..., 2551 และ P(2552) = Q(2552) + 1 คาของ P(0) − Q(0) เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1. 0 2. 1 3. – 1 4. หาไมไดเพราะขอมูลไมเพียงพอ 10. ชาย 6 คน นาย ก, ข, ค, ง, จ และ ฉ ยืนเขาแถวตอนตามลําดับ โดยมีเงื่อนไขดังนี้ นาย ฉ ไมยืนติดกับนาย ข, นาย ฉ ยืนอยูในลําดับกอนนาย ก, นาย ก ยืนติดนาย ง, นาย จ ยืนอยูลําดับที่ 4 ถานาย ฉ ยืนติดและอยูหลังนาย ค แลว คนที่มีโอกาสอยูในลําดับที่ 5 ไดแก ชายในขอใดตอไปนี้ (PAT มีนา 52) 1. นาย ข 2. นาย ค 3. นาย ง 4. นาย ฉ 11. จากเงื่อนไขในโจทยที่แลว ขอความใดตอไปนี้จริง (PAT มีนา 52) 1. นาย ง ยืนอยูในลําดับที่ 2 2. นาย ค ยืนอยูในลําดับที่ 3 4. นาย ข ยืนอยูหลังนาย จ 3. นาย ง ยืนอยูหลังนาย ข 12. กําหนดให n เปนจํานวนนับ ถา f :{1, 2, ..., n } → {1, 2, ..., n } เปนฟงกชัน 1 – 1 และทั่วถึง ซึ่งสอดคลองกับ เงื่อนไข f (1) + f (2) + ... + f (n) = f (1) f (2)... f (n) แลวคามากที่สุดที่เปนไปไดของ f (1) − f (n) เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 2 2. 5 3. 8 4. 11 13. กําหนดให an เปนลําดับซึ่งสอดคลองกับเงื่อนไข

1 1 + = 1 สําหรับทุกจํานวนนับ n an an +1

ถา a1 + a2 + ... + a100 = 250 แลว a2552 − 2.5 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. 1 + 5

2. 2 + 5

3.

5 2

4. 2 5

14. กําหนดให A, B และ C เปนจํานวนนับที่มีคาไมเกิน 100 ถา A + B = C และ B + C = 2A แลวคามากสุดที่เปนไปไดของ B อยูในชวงใดตอไปนี้ (PAT กรกฎา 52) 1. [0, 40] 2. [45, 60] 3. [70, 85] 4. [90, 100] 15. นักวิ่ง 5 คนคือ ก, ข, ค, ง และ จ วิ่งแขงกัน 6 ครั้ง โดยผลการแขงขันทั้ง 6 ครั้งเปนดังนี้ “ นาย ข เขาเสนชัยกอนนาย ค ทุกครั้ง, นาย ก เขาเสนชัยเปนลําดับที่ 1 หือที่ 5 เสมอ, นาย จ เขาเสนชัยเปน ลําดับที่ 1 หือที่ 5 เสมอ “ ถาครั้งหนึ่งนาย ง เขาเสนชัยเปนลําดับที่ 3 แลวในครั้งนั้นขอความใดตอไปนี้เปนจริง 1. นาย ก เขาเสนชัยเปนลําดับที่ 1 2. นาย ข เขาเสนชัยเปนลําดับที่ 2 4. นาย จ เขาเสนชัยเปนลําดับที่ 1 3. นาย ค เขาเสนชัยเปนลําดับที่ 2

2

¾ ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

16. จากเงื่อนไขในโจทยขอที่แลว กําหนดใหผูเขาเสนชัยเปนลําดับที่ 1 ได 10 คะแนน, ลําดับที่ 2 ได 8 คะแนน ลําดับที่ 3 ได 6 คะแนน ลําดับที่ 4 ได 4 คะแนน และลําดับที่ 5 ได 2 คะแนน ถานาย ง เขาเสนชัยลําดับที่ 2 เพียง 2 ครั้ง แลวคะแนนรวมนอยที่สุดที่เปนไปไดของนาย ข จากการแขงขันทั้ง 6 ครั้ง เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ก.ค. 52) 1. 38 คะแนน 2. 40 คะแนน 3. 44 คะแนน 4. 48 คะแนน 17. กําหนดให A เปนเซตซึ่งสอดคลองกับเงื่อนไขตอไปนี้ ก. 1∈ A ข. ถา x ∈ A แลว

1 ∈ Ax ∉ A x 2x ∈ A

ค. x ∉ A ก็ตอเมื่อ จํานวนในขอใดตอไปนี้เปนสมาชิกของ A (PAT ตุลา 52) 1.

1 2

2.

1 8

3.

1 16

4.

1 32

18. ถา θ เปนมุมซึ่ง 0D ≤ θ ≤ 180D แลว จากเวลาเที่ยงวันถึงบายโมง เข็มยาวและเข็มสั้นของนาฬิกาจะทํามุมกันเทากับ θ เปนครั้งแรกเมื่อเวลาผานไปกี่นาที (PAT ตุลา 52) 1.

2θ 13

2.

2θ 11

3.

2θ 9

4.

2θ 7

2 n −1 , n) เมื่อ n เปนจํานวนนับ n 3 2551 2553 , ] เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 52) คาของ n ที่นอยที่สุดที่ทําให I n ⊂ ( 2554 2552 1 2

19. กําหนดให I n = (0, 1) ∩ ( , 2) ∩ ( , 3) ∩ ... ∩ (

1. 2554

2. 2552

3. 1277

4. 1276

โจทยสําหรับขอ 20 – 21 นาย ก, ข, ค, ง, จ และ ฉ นั่งเกาอี้ 6 ตัวที่มีหมายเลข 1 ถึง 6 เรียงแถวหนาหระดานจากดานซายไปขวา โดยมีเงื่อนไขดังตอไปนี้ “ นาย ค นั่งเกาอี้หมายเลข 1 หรือ 6, นาย จ ไมนั่งติดนาย ค, นาย จ ไมนั่งติดนาย ข, นาย ฉ นั่งติดดานซายนาย จ “ 20. ถานาย ค นั่งเกาอี้หมายเลข 1 และนาย ข นั่งเกาอี้หมายเลข 5 แลวขอใดตอไปนี้เปนจริง (PAT ตุลา 52) 1. นาย ก นั่งเกาอี้หมายเลข 4 2. นาย ก นั่งเกาอี้หมายเลข 6 3. นาย ฉ นั่งเกาอี้หมายเลข 2 4. นาย ง นั่งเกาอี้หมายเลข 6 21. ถากําหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมใหมีคนนั่งคั่นกลางระหวางนาย ข และ ค อยู 3 คน แลว จํานวนวิธีของการนั่งทั้งหมดเทากับ ขอใดตอไปนี้ (PAT ตุลา 52) 1. 1 วิธี 2. 2 วิธี 3. 3 วิธี 4. 4 วิธี 22. กําหนดให A = 7(7 ) , B = 777 , C = 777 และ D = ( 777 ) ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (PAT มีนา 53) 1. B < A < C < D 2. B < C < A < D 3. C < B < D < A 4. C < A < D < B 7

7

3

¾ ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

23. จํานวนตอไปนี้ เรียกวา “จํานวน PAT” 16325, 34721, 12347, 52163, 90341, 50381 จํานวนตอไปนี้ ไมเปนจํานวน PAT 2564, 12345, 854, 12635, 34325, ขอใดตอไปนี้เปน “จํานวน PAT” (PAT มีนา 53) 1. 75401 2. 13562 3. 72341 4. 83051 24. ให N แทนเซตของจํานวนนับ กําหนดให a * b = a b สําหรับ a, b ∈ N พิจารณาขอความตอไปนี้ สําหรับ a, b, c ∈ N ข. (a * b)* c = a *(b * c) ก. a * b = b * a ง. (a + b) * c = (a * c) + (b * c) ค. a *(b + c) = (a * b) + (a * c) ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (PAT มีนา 53) 1. ถูก 2 ขอคือ ข. และ ค.

2. ถูก 2 ขอคือ ค. และ ง.

3. ถูก 1 ขอคือ ค.

4. ก. ข. ค. และ ง. ผิดทุกขอ 25. นายชัดแจงไดทราบขอมูลของคน 5 คน คือ A, B, C , D และ E ดังนี้ A บอกวา “ C และ D พูดโกหก” B บอกวา “ A และ C เปนคนพูดจริง” C บอกวา “ D พูดโกหก” D บอกวา “ E พูดโกหก” E บอกวา “ B พูดโกหก” จากขอมูลดังกลาวทานจะชวยนายชัดแจงคนหาวาใครบางเปนคนพูดจริงและใครบางเปนคนพูดเท็จ (PAT มีนา 53) 2. B และ D พูดจริง A และ C พูดจริง 1. A, B, D พูดเท็จ C และ E พูดจริง 3. A, B และ C พูดเท็จ D และ E พูดจริง 4. B และ E พูดเท็จ A และ C พูดจริง 26. ถา a, b, c, d เปนเลขโดดที่แตกตางกันที่ทําใหจํานวนเต็ม 4 หลัก dcba เทากับ 9 เทาของ abcd แลว b เทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________ 27. พิจารณารูปตอไปนี้ แนวตั้ง

แนวนอน

x

ใหเติมจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, …, 11 ลงในชองรูปสี่เหลี่ยม ชองละ 1 จํานวน โดยใหผลบวกของจํานวนในแนวตั้ง เทากับ 43 และผลบวกของจํานวนในแนวนอนเทากับ 28 จํานวน x ในชองรูปสี่เหลี่ยมมุม เทากับเทาใด (PAT มีนา 53) __________

4

¾ ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

28. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวน 2, 3, 4, 5, 6, ... ในตารางดังตอไปนี้ แถวที่ 1 2 3 4 5

9 8 7 6

2 3 4 5

17 16 15 14

10 11 12 13

… … … … …

จํานวน 2400 อยูในแถวที่เทาใด (PAT มีนา 53) _________ 29. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวนคี่ 1, 3, 5, 7, 9, ... ในตารางดังตอไปนี้ แถวที่ แถวที่ แถวที่ แถวที่ แถวที่ #

1 2 3 4 5

1 3 7 13 #

9 15

#

#

#

5 11 17 #

#

19 #

#

# #

#

จากตารางจะเห็นวา จํานวน 15 อยูในตําแหนงที่ 2 (จากซาย) ของแถวที่ 4 อยากทราบวา จํานวน 361 จะอยูตําแหนงใดในแถวที่เทาใด (PAT กรกฎา 53) 1. ตําแหนงที่ 9 (จากซาย) ของแถวที่ 18 2. ตําแหนงที่ 10 (จากซาย) ของแถวที่ 19 3. ตําแหนงที่ 11 (จากซาย) ของแถวที่ 20 4. ตําแหนงที่ 12 (จากซาย) ของแถวที่ 21 30. กําหนดจุด 10 จุด โดยที่ระยะหางระหวางจุดเทา ๆ กัน ดังรูป

จะตองลบจุดออกจากภาพอยางนอยที่สุดกี่จุด เมื่อลบออกจากภาพแลวไมมีสามจุดใด ๆ (ที่เหลือ) เปนจุดยอดของ สามเหลี่ยมดานเทา (PAT กรกฎา 53)___________ 31. ใหเติมจํานวนเต็มบวกลงในชองสี่เหลี่ยมโดยใหผลรวมของจํานวนในชองสี่เหลี่ยมสามชองที่ติดกัน เทากับ 18 7

x

8

คาของ x เทากับเทาใด (PAT กรกฎา 53)___________

5

¾ ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร

เอกสารประกอบการสอนเพื่อเตรียมสอบ Admissions

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1)

32. จากตารางที่กําหนดให มีชองวางทั้งหมด 16 ชอง ดังรูป หลัก (ค) หลัก (ง) แถว (ก)

1

5

แถว (ข)

x

13

ใหเติมจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, ..., 16 ลงในชองสี่เหลี่ยมชองละ 1 จํานวน โดยใหผลบวกของจํานวนใน แตละแถว ((ก) และ (ข)) และในแตละหลัก ((ค) และ (ง)) มีคาเทา ๆ กัน ถาเติมจํานวนเต็มบวก 1, 5, 13 ดังปรากฏในตารางแลว จํานวน x ในตาราง เทากับเทาใด (PAT กรกฎา 53) ___________ 33. ใหเติมจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4, 5 ลงในชองวางในตาราง 5 × 5 ตอไปนี้ 5 3

1

4 5 3

2

3 1 x

โดยที่ แตละแถวตองมีจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 แตละหลักตองมีจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 จํานวน x ในตาราง เทากับเทาใด (PAT กรกฎา 53) ___________ 34. สําหรับ a และ b เปนจํานวนเต็มบวกใด ๆ กําหนดให a ⊗ b เปนจํานวนจริงที่มีสมบัติดังตอไปนี้ (ข) a ⊗ b = b ⊗ a

(ก) a ⊗ a = a + 4

(ค)

a ⊗ ( a + b) a+b = a ⊗b b

คาของ (8 ⊗ 5) ⊗ 100 เทากับเทาใด (PAT กรกฎา 53) ___________ 35. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวน 2, 5, 8, 11, 14, ... ในตารางดังตอไปนี้ หลักที่ 1

หลักที่ 3 5 17 29 41

หลักที่ 4 8 14 32 38

หลักที่ 5

47

หลักที่ 2 2 20 26 44

#

#

#

#

#

23

11 35

จํานวน 2012 อยูในหลักที่เทาใด (PAT กรกฎา 53) ___________

6

¾ ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร

โครงการพัฒนาอัจฉริยภาพทางคณิตศาสตร ระดับ ป.6 (สสวท.) เสารที่ 7 พฤศจิกายน 2552 เวลา 09.30- 11.30 น. http://www.ipstgenius.multiply.com 1. กําหนดให a ∗ b = a × (a + b) − 1 เมื่อ a และ b เปนจํานวนนับใด ๆ ถา a ∗ b = 35 และ a นอยกวา b อยู 1 แลว a b จงหา ⎛⎜ + ⎞⎟ ×100 b a ⎝

⎠

2. มีบัตรตัวเลข 4 ใบ คือ 8 2 3 และ 0 จงหาวามีจํานวนไมเกิน 3 หลัก กี่จาํ นวน

เมื่อนําบัตรตัวเลขเหลานี้มาวางเปนจํานวนตาง ๆ กัน

3. จงหาวาตัวเลขในหลักหนวยของ 245 + 338 + 521 คือตัวเลขใด 4. เด็กชายชินจังยืนอยูที่ปายหยุดรถประจําทางแหงหนึ่ง เขาสังเกตวารถประจําทางสายที่หนึ่ง สายที่สอง และสายที่สาม จะมา วนรับผูโดยสารที่ปายนี้ทุก ๆ 12 นาที, 16 นาที และ 18 นาที ตามลําดับ ในขณะที่ยืนสังเกตรถอยูนั้นเปนเวลา 12.36 น. ซึ่งเปนเวลาที่รถประจําทางทั้ง 3 สาย มาจอดพรอมกันพอดี อยากทราบวาเวลาใดที่รถประจําทางทั้ง 3 สาย จะวนมารับ ผูโดยสารที่ปายนี้พรอมกันทั้ง 3 สายในครั้งตอไป 5. ถา a เปนตัวประกอบที่เปนจํานวนเฉพาะที่มีคามากที่สุดของ 1,023 และ b เปนตัวประกอบที่เปนจํานวนเฉพาะที่มีคานอยที่สุดของ 1,023 แลว ห.ร.ม. ของ a 2 × b และ a × b 2 เทากับเทาใด 6. แมคามีสม 3 ขนาด ดังนี้ สมขนาดเล็ก 1,080 ผล สมขนาดกลาง 3,420 ผล และสมขนาดใหญ 2,040 ผล ถาตองการแบง สมแตละขนาดออกเปนกอง กองละเทา ๆ กันทุกกอง โดยใหมีจํานวนสมมากที่สุดและไมใหสมแตละขนาดปนกัน หลังจากแบงสม ออกเปนกอง ๆ แลวแมคาจะขายสมขนาดเล็ก กองละ 50 บาท ขายสมขนาดกลาง กองละ 60 บาท และขายสมขนาดใหญ กองละ 70 บาท จงหาวาแมคาจะขายสมทั้งหมดไดเงินมากกวา 6,000 บาทยูเทาใด 7. กําหนดให a ⊗ b = ⎛⎜ × a ⎞⎟ + (10 × b ) เมื่อ a และ b เปนจํานวนนับใด ๆ 2 3

⎝

⎠

ถา c เปน ห.ร.ม. ของ 16, 26 และ 30 และ d เปน ค.ร.น. ของ 9, 12 และ 18 แลว

( c ⊗ d ) มีคาเทาใด 3

8. นักเรียนจํานวนหนึ่ง ยืนเปนรูปวงกลม โดยนักเรียนแตละคนยืนหางกันเปนระยะเทากัน ถาใหนักเรียนคนหนึ่งนับหนึ่ง และ นักเรียนที่ยืนถัดไปทางขวานับเพิ่มทีละหนึ่งเปน สอง สาม สี่ ... ปรากฏวานักเรียนที่นับ สามสิบ ยืนตรงขามกับนักเรียนที่นับ แปดสิบ พอดี จงหาวามีนักเรียนทั้งหมดกี่คน 9. ใหสังเกตแบบรูปของจํานวนตอไปนี้ 1 1 2 4 7 13 จงหาคาของ

A B + 9 2

24

44

A

149

B

10. ใหสังเกตแบบรูปตอไปนี้ จงหาวาในรูปที่ 5 จะมีรูป

รูปที่ 1

รูปที่ 2

ทั้งหมดกี่รูป

รูปที่ 3

11. สมชายตัดกระดาษแผนหนึ่งเปนชิ้นเล็ก ๆ โดยใชเกณฑดังนี้ ถาโยนเหรียญแลวออกหัวจะตัดกระดาษเปน 3 ชิ้น ถาโยนเหรียญแลวออกกอยจะตัดกระดาษเปน 5 ชิ้น สมชายนํากระดาษที่ตัดแลวไปใสกลอง แลวหยิบขึ้นมา 1 ชิ้น โดยใชเกณฑเดิมในการตัดกระดาษเปนชิ้นยอยลงไปอีก เมื่อทําตามกระบวนการนี้ 3 ครั้ง แลวจํานวนกระดาษยอยที่มากที่สุดในกลองนี้ที่เปนไปได จะมีทั้งหมดกี่ชิ้น 12. เจาของฟารมแหงหนึ่งเลี้ยงสัตวไว 4 ชนิด โดยเลี้ยงไกและเปดรวมกันเปนจํานวน 250 ตัว เลี้ยงเปดและวัวรวมกันเปนจํานวน 300 ตัว เลี้ยงไกและวัวรวมกันเปนจํานวน 150 ตัว และเลี้ยงเปดเปนจํานวน

2 ของจํานวนแพะที่เลี้ยวไว 5

ทั้งฟารมมีสัตวที่เลี้ยงรวมกันทั้งหมดกี่ตัว 13. กําหนดใหตัวเลขในตารางนี้มีผลบวกในแนวตั้งและแนวนอนมีคาเทากัน และไมเกิน 100 6 B 13

A 8 D

3 C 10

จงหาคาที่มากที่สุดของ A + B + C+ D 14. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร วิชาสังคมศาสตร และวิชาวิทยาศาสตร สมศักดิ์สอบไดคะแนนแตละวิชา ดังนี้ วิชาคณิตศาสตรไดคะแนน 38 คะแนน จากคะแนนเต็ม 40 คะแนน วิชาสังคมศาสตรสอบไดคะแนน 40 คะแนน จากคะแนนเต็ม 50 คะแนน ถาวิชาวิทยาศาสตรมีคะแนนเต็ม 40 คะแนน จงหาวาสมศักดิ์จะตองทําคะแนน วิชาวิทยาศาสตรอยางนอยกี่คะแนน จึงจะทําใหไดคะแนนเฉลี่ยทั้ง 3 วิชาตั้งแต 80 % ขึ้นไปของคะแนนเต็มรวมทั้ง 3 วิชา 15. มะลิซื้อโทรทัศนมาในราคาลด 30 % จากาคาปายที่หางสรรพสินคาแหงหนึ่งติดไว จากนั้นนํามาขายตอใหระยาในราคาที่บวก เพิ่มเขาไปอีก 30 % ของราคาที่ซื้อมา จงหาวาระยาซื้อโทรทัศนมาในราคาที่ต่ํากวาปายราคาที่หางสรรพสินคาติดไวกี่เปอรเซ็นต 16. รูปสี่เหลี่ยมผืนผารูปหนึ่งมีความกวาง 50 เซนติเมตร และมีความยาวเปน 3 เทาของความกวาง ถาความยาวของรูปสี่เหลี่ยม รูปนี้ลดลง 20 % ของความยาวเดิม และความกวางเพิ่มขึ้น 20 % ของความกวางเดิม จงหาวาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมรูปใหม จะเปลี่ยนแปลงจากพื้นที่เดิมรอยละเทาใด

17. กะทิซื้อดินสอมาจํานวนหนึ่ง ในราคา 6 แทง 5 บาท แลวขายไปในราคา 4 แทง 5 บาท ถากะทิตองการกําไรจากการขาย ดินสอเปนเงิน 300 บาท กะทิจะตองซื้อดินสอมาขายทั้งหมดกี่แทง 18. บอเพาะปลาทองทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดกวาง 90 เซนติเมตร ยาว 2 เมตร สูง 1.3 เมตร ถาตองการใสน้ําใหต่ํากวา ขอบบอ 10 เซนติเมตร จะตองใชน้ํามากกวา 2,000 ลิตร อยูกี่ลิตร 19. ชาวนาคนหนึ่งตองการเกี่ยวขาวในที่นาจํานวน 30 ไร 2 งาน 50 ตารางวา ใหเสร็จภายใน 5 วัน โดยการจางคนงาน ถาคนงานคนหนึ่งสามารถเกี่ยวขาวได 2 งาน 45 ตารางวา ในเวลา 1 วัน จงหาวาเขาจะตองจางคนงานกี่คนจึงจะทําใหงาน เสร็จตามกําหนด 20. ผูใหญลีใชเครื่องสูบน้ํา สูบน้ําออกจากบอปลาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีน้ําเต็มบอ ตั้งแตเวลา 8.30 น. เมื่อเวลาผานไป 2 ชั่วโมง 20 นาที พบวามีน้ําเหลืออยูในบอคิดเปน 9 ใน 10 ของความจุของบอ ถาผูใหญลีสูบน้ําได 3,300 ลูกบาศก เซนติเมตร ในเวลา 1 ชั่วโมง แลวบอปลานี้มีความจุกี่ลิตร 21. ลุงสมัยขับรถจากกรุงเทพมหานคร ไปทําธุระที่จังหวัดนครปฐมเปนระยะทาง 60 กิโลเมตร ขาไปพบวารถใชน้ํามันไป 10 กิโลเมตรตอลิตร ขากลับใชน้ํามันไป 15 กิโลเมตรตอลิตร จงหาวาโดยเฉลี่ยทั้งขาไปและขากลับรถใชน้ํามันกี่กิโลเมตรตอลิตร 22. สนามหญาหนาบานของนิรมล กวาง 10 วา ยาว 25 วา ถานิรมลตองการสรางน้ําพุที่มีฐานเปนรูปวงกลม ซึ่งมีรัศมี 7 เมตร จะเหลือพื้นที่สนามหญาหลังสรางน้ําพุแลวกี่ตารางเมตร ( กําหนดให π มีคาเทากับ 22/7 ) 23. กําหนดใหระยะทางจากบานถึงโรงเรียนของเด็กชายปงคุงเปนทางที่ราดยางไวเพียง

2 ของระยะทางทั้งหมด 5

สวนที่ไมไดราดยางคิดเปนระยะทาง 0.3 กิโลเมตร ถาเด็กชายปงคุงขี่จักรยานทีมีความยาวของเสนรอบวงลอ 1

2 เมตร 3

จงหาวาเมื่อปงคุงขี่จักรยานจากบานไปโรงเรียน ลอหนาของจักรยานจะหมุนทั้งหมดกี่รอบ 24. แผนที่แผนหนึ่งใชมาตราสวนในการเขียนที่เปน 1 เซนติเมตร ตอ 1,000,000 เซนติเมตร ระยะทางจากเมือง A ถึงเมือง B เทากับ 250 กิโลเมตร จงหาวาเมืองทั้งสองหางกันเทาไรบนแผนที่ 25. คาเฉลี่ยน้ําหนักตัวของมานะ มานี ชูใจ ปติ และวีระเทากับ 45 กิโลกรัม ถาน้ําหนักตัวของมานะ มานี และชูใจ รวมกันเปน 130 กิโลกรัม ถาปติมีน้ําหนักตัวมากกวาวีระอยู 5 กิโลกรัม แลววีระมีน้ําหนักตัวเทาใด 26. คาเฉลี่ยของคะแนนสอบของนักเรียน 4 คน คือ สดใส นารัก จริงใจ และแสนดี เปน 20 คะแนน ถาจริงใจและนารักสอบได คะแนนเทากัน และสดใสสอบไดคะแนนเปนสองเทาของจริงใจ และแสนดีสอบไดคะแนนเปนครึ่งหนึ่งของสดใส แลวสดใสสอบไดคะแนนเทาใด

27. กําหนดให รูปสี่เหลี่ยมผืนผาทั้งสองรูปมีความกวางและความยาวตามที่ปรากฏ ดังรูป และเมื่อนําความกวางไปหารความยาว ของรูปสี่เหลี่ยมแตละรูปจะไดผลลัพธเทากัน ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมรูปเล็กคิดเปนกี่เปอรเซ็นตของความยาวรอบรูป ของรูปสี่เหลี่ยมใหญ

ˆ ) ˆ + ACB 28. รูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD มีขนาดของมุมและความยาวของดานที่กําหนดให ดังรูป จงหาขนาดของ ( ADB

29. มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 5 รูป เมื่อนํามาตอกันเปนรูปหลายเหลี่ยม ACDEGHIJKL ดังรูปที่กําหนดให พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABG คิดเปนรอยละเทาไร ของพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ACDEGHIJKL

30. ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ความยาวของดานสองดานรวมกันจะมากกวาดานที่สามเสมอ กําหนดใหรูปสามเหลี่ยมมีความยาวรอบรูป เทากับ 17 หนวย และมีดานหนึ่งยาว 5 หนวย แลวจงหาวามีรูปสามเหลี่ยมที่แตกตางกันตามเงื่อนไขที่กําหนดทั้งหมดกี่รูป โดยแตละดานของรูปสามเหลี่ยมมีความยาวเปนจํานวนนับ (รูปที่มีความยาวดานเปนตัวเลขชุดเดียวกัน ถือวาเปนรูปเดียวกัน) 31.

พิจารณารูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทา CDEFGH ที่มี O เปนจุดศูนยกลางและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCH จงหาวามุม OBA มีขนาดกี่องศา

32. จากรูป ถา ABC = 175D , BCD = 170D , CDE = 60D ˆ ) เทากับกี่องศา ˆ + CFB ˆ + BGA แลว ผลรวมของ ( DEC

33.

กําหนดใหรูปสามเหลี่ยม ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ˆ = 110D ที่ AC = BC และ DE // AB และ ACF ˆ มีขนาดกี่องศา จงหาวา EBG

34. กลองเล็กใบหนึ่งมีรูปทรงเหมือนกลอง ดังรูป แตมีปริมาตรเปน

1 ของกลองใบนี้ 8

จงหาวา กลองใบเล็กมีความสูงเทาใด

35. ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ รูปหนึ่ง มีมุม A เปนมุมฉาก มุม B มีขนาดเปน มุม C มีขนาดเปน

3 เทาของมุม C 2

3 เทาของมุม D จงหาผลรวมของมุม A และมุม D 5

36. จากการสํารวจเปอรเซ็นตของคาใชจายของครอบครัวหนึ่ง พบวา จายเปนคาอาหาร 35% จายเปนคาผอนบาน 25% จายเปนคารักษาพยาบาล 5% จายเปนเงินออมทรัพย 15% และคาใชจายอื่น ๆ 20% ถาครอบครัวนี้ จายคารักษาพยาบาล เดือนละ 325 บาท อยากทราบวาในเดือนหนึ่ง ๆ ครอบครัวนี้ จะตองจายคาอาหารมากกวาคาใชจายอื่น ๆ เปนเงินกี่บาท 37. แบงนักเรียนออกเปน 4 กลุม โดยแตละกลุมจะมีจํานวนนักเรียนและน้ําหนักเฉลี่ยดังแสดงในตาราง จํานวนนักเรียน (คน น้ําหนักเฉลี่ย (กิโลกรัม

กลุมที่ 1 15 32

กลุมที่ 2 20 39

กลุมที่ 3 10 50

กลุมที่ 4 25 a

ถาทราบวา น้ําหนักเฉลี่ยของนักเรียนทั้ง 4 กลุม มีคาเทากับ 38 กิโลกรัม จงหาวา น้ําหนักเฉลี่ของนักเรียนในกลุมที่ 4 มีคาเทากับเทาใด 38. a b c d เปนจํานวนที่มี 4 หลัก ซึ่งมีสมบัติดังนี้ a b c d + b c d + c d + d = 2,750 ถามีจํานวนที่มีสมบัติดังกลาวอยูทั้งหมด 2 จํานวน จงหาผลตางของจํานวน 2 จํานวนนั้น 39. มีรูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มีจุดที่กําหนดใหเปนจุดยอด ทั้งหมดกี่รูป

40. กลองลูกบาศกใบหนึ่งบรรจุลูกบอลขนาดใหญสุดได 1 ใบ บริเวณชองวางที่เหลืออยูบรรจุลูกบอลขนาดใหญสุดลําดับถัดมา ได 8 ใบ ถาพิจารณาชองวางที่เหลือตอไป จะสามารถบรรจุลูกบอลขนาดใหญสุดลําดับถัดไปอีกไดกี่ใบ

วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1) สอบวันเสารที่ 3 กรกฎาคม 2553 เวลา 13.00 – 16.00 น. ตอนที่ 1 แบบปรนัย 4 ตัวเลือกจํานวน 25 ขอ (1 - 25) ขอละ 5 คะแนน 1. กําหนดให p, q, r และ s เปนประพจน ที่ประพจน ( p ∨ q) → (r ∨ s ) มีคาความจริงเปนเท็จ และประพจน p ↔ r มีคาความจริงเปนจริง ประพจนในขอใดมีคาความจริงเปนจริง 1. (q → p) ∧ (q → r ) 2. q → [ p ∨ (q ∧ ~ r )] 4. (r ↔ s ) ∧ [ q → ( p ∧ r )] 3. ( p → s) ↔ (r ↔ q) 2. กําหนดเอกภพสัมพัทธ คือ { − 1, 0, 1 } ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ∀x∀y [ x + y + 2 > 0] มีคาความจริงเปนจริง 2. ∀x∃y [ x + y ≥ 0] มีคาความจริงเปนเท็จ 4. ∃x∃y [ x + y > 1 ] มีคา ความจริงเปนเท็จ 3. ∃x∀y [ x + y = 1 ] มีคาความจริงเปนเท็จ 3. ให A = {φ , {φ}, {φ , {φ}}} และ P( A) เปนเพาเวอรเซตของเซต A ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 2. จํานวนสมาชิกของ P( A) − {φ , {φ}} เทากับ 7 1. จํานวนสมาชิกของ P( A) เทากับ 16 4. {φ , {φ}, {{φ}}} ⊂ P( A) 3. {φ , {φ , {φ}}} ⊂ P( A) − {φ , {φ}} ⎧

4. ให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา A = ⎪⎨ x ∈ R ⎪⎩

1 2 1. ⎛⎜ , ⎞⎟ 3 3 ⎝

⎠

1 2. ⎛⎜ , 1⎞⎟ 3 ⎝

⎠

⎫⎪ 1− x − 2 > 1 ⎬ แลว A ∩ [0, 1) x+ x −3 ⎪⎭ 2 3. ⎛⎜ , 1⎞⎟ 4. ⎝3 ⎠

เทากับขอใดตอไปนี้ ⎛2 3⎞ ⎜ , ⎟ ⎝3 2⎠

5. ให f และ g เปนฟงกชัน ซึ่งมีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง x+3 −6 x และ ( f −1 g )( x) = ถา g (a) = 2 แลว a อยูในชวงใดตอไปนี้ x −1 x+6 2. [1, 3) 3. [3, 5) 4. [5, 7) 1. [−1, 1)

โดยที่ f ( x) =

6. กําหนดให x เปนจํานวนจริง ถา arcsin x = 1 1. ⎛⎜ 0, ⎞⎟ 2 ⎝

⎠

⎛1

π

π

แลวคาของ sin ⎛⎜ + arccos ( x 2 ) ⎞⎟ อยูในชวงใด 4 ⎝ 15 ⎠

1 ⎞

2. ⎜ , ⎟ ⎝2 2⎠

⎛ 1 3⎞ , ⎟⎟ ⎝ 2 2 ⎠

3. ⎜⎜

⎛ 3 ⎞ , 1⎟⎟ 2 ⎝ ⎠

4. ⎜⎜

7. ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใด ๆ ถา a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A มุม B และมุม C ตามลําดับ แลว

1 1 1 cos A + cos B + cos C เทากับขอใดตอไปนี้ a b c 2 2 2 a +b +c (a + b + c)2 (a + b + c)2 1.

2.

3. abc 2abc 2abc

4.

a 2 + b2 + c2 abc

8. กําหนดวงกลมรูปหนึ่งมีจุดปลายของเสนผานศูนยกลางอยูบนจุดศูนยกลางและจุดโฟกัสดานหนึ่งของไฮเพอรโบลา 9 x 2 − 16 y 2 − 90 x + 64 y + 17 = 0 แลววงกลมดังกลาวมีพื้นที่เทากับขอใดตอไปนี้ 1.

25π ตารางหนวย 4

2.

25π ตารางหนวย 2

3. 4π ตารางหนวย

4. 5π ตารางหนวย

ˆ เปนมุมฉาก และดานตรงขามมุมฉากยาว 10 หนวย ถาพิกัดของจุด A และจุด B 9. รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม ABC คือ (−4, 3) และ (−1, 2) ตามลําดับ แลวสมการเสนตรงในขอใดผานจุด C 1. x + 8 y − 27 = 0 2. 8 x + y − 27 = 0 3. 4 x − 5 y + 3 = 0 4. −5 x + 4 y + 3 = 0

10. พิจารณาขอความตอไปนี้ 3

ข. log 2 ⎛⎜ ⎞⎟ < log 3 ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝8⎠ ⎝2⎠

4

3

ก. 2 2 < 3 3 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก

2. ก. ถูก แต ข ผิด

1

3. ก. ผิด แต ข. ถูก

11. ถา A เปนเซตคําตอบของสมการ 32 x + 2 − 28(3x ) + 3 = 0 และ B เปนเซตคําตอบของสมการ log x + log( x − 1) = log( x + 3) แลวผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต A ∪ B เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1 2. 2 3. 3

4. ก. ผิด และ ข. ผิด

4. 4

⎡0 1⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡1 −1⎤ , B และ C คาของ det ( 2 At + BC 2 + Bt C ) = = ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣0 2 ⎦

12. กําหนดให A = ⎢

เทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 1

2. 0

3. 2

4. 6

13. ถา sin15 และ cos15 เปนคําตอบของสมการ x 2 + ax + b = 0 แลว คาของ a 4 − b เทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 1 2. 1 3. 2 4. 1 + 3 2 14. กําหนดให x เปนจํานวนจริงบวกที่สอดคลองกับสมการ 35 x ⋅ 9 x = 27 และ y = 2

(log 2 3)(log 4 5)(log 6 7) (log 4 3)(log 6 5)(log8 7)

คาของ x y เทากับขอใดตอไปนี้ 1. −

1 8

2.

1 8

3. −27

4. 27

3 4 5 5

15. ให z1 และ z2 เปนจํานวนเชิงซอน ถา z1−1 = − i เมื่อ i 2 = − 1 และ 5 z1 + 2 z2 = 5 แลว z2 เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 3 − 2 i

2. 3 + 2 i

3.

1− 2i

4.

1+ 2i

16. กําหนด u และ v เปนเวกเตอร โดยที่ u = i + 3 j , v = 3 และ u − v = 4 คาของ u + v เทากับขอใดตอไปนี้ 1.

6

2.

3.

10

4. 4

13

17. กําหนดให x, y, z เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเทากับ r และ x ≠ y ถา x, 2 y, 3z เปนลําดับเลขคณิต แลว คา r เทากับขอใดตอไปนี้ 1.

1 4

2.

1 3

3.

1 2

4. 2

18. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R เปนฟงกชัน โดยที่ f ( x) = ax + b เมื่อ a, b เปนจํานวนจริง ถา f เปนฟงกชันลด และ f ( f ( f ( f ( x)))) = 16 x + 45 แลวคาของ a + b เทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 11 2. – 5 3. 11 4. 5 ⎧ x3 − 1 ⎪ ⎪ x −1 19. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริง และให f เปนฟงกชัน โดยที่ f ( x) = ⎪⎨ ax + b ⎪ 5 ⎪ ⎪⎩ ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง (−1, ∞) แลวคาของ ab เทากับขอใดตอไปนี้

1.

5 4

2. −

7 4

3. 15

; −1 < x < 1 ; 1≤ x < 5 ; x≥5

4. −10

20. ถาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 30 คน มีคะแนนเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 60 คะแนน และมีสวนเบี่ยงเบน มาตรฐานเทากับ 10 ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนของนักเรียนกลุมนี้เพียง 29 คน เทากับ 2.5 แลวนักเรียนอีก 1 คนที่เหลือสอบไดคะแนนเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 35 2. 58 3. 60 4. 85 21. มีนักเรียน 5 คน รวมกันบริจาคเงิน ไดเงินรวม 360 บาท ความแปรปรวน (ประชากร) เทากับ 660 ถามีนักเรียนเพิ่มอีก 1 คน มารวมบริจาคเปนเงิน 60 บาท ความแปรปรวน จะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตรงกับขอใดตอไปนี้ 1. เพิ่มขึ้น 80 2. เพิ่มขึ้น 90 3. ลดลง 80 4. ลดลง 90 22. ในการทอดลูกเตา 2 ลูกพรอม ๆ กัน ความนาจะเปนที่ผลรวมของหนาลูกเตาทั้งสองเทากับ 7 หรือผลคูณของหนาลูกเตา ทั้งสองเทากับ 12 เทากับขอใดตอไปนี้ 1.

1 18

2.

1 6

3.

1000

23. กําหนดใหอนุกรมตอไปนี้ A = ∑ (−1) , k

k =1

คาของ A + B + C + D เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 7,917 2. 7,919

B=

20

∑k

2

,

2 9

C=

k =3

4.

100

∑ k, k =1

3. 7,920

∞

4 9

⎛1⎞ D = ∑ 2⎜ ⎟ k =1 ⎝ 2 ⎠

k

4. 7,922

24. กําหนด a = 248 , b = 336 และ c = 524 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1.

1 1 1 > > b c a

2.

1 1 1 > > a b c

3.

1 1 1 > > b a c

4.

1 1 1 > > a c b

25. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวนคี่ 1, 3, 5, 7, 9, ... ในตารางดังตอไปนี้ แถวที่ แถวที่ แถวที่ แถวที่ แถวที่

1 2 3 4 5

1 3 7 13

5 9

15

11 17

19

จากตารางจะเห็นวา จํานวน 15 อยูในตําแหนงที่ 2 (จากซาย) ของแถวที่ 4 อยากทราบวา จํานวน 361 จะอยูตําแหนงใดในแถวที่เทาใด 1. ตําแหนงที่ 9 (จากซาย) ของแถวที่ 18 2. ตําแหนงที่ 10 (จากซาย) ของแถวที่ 19 3. ตําแหนงที่ 11 (จากซาย) ของแถวที่ 20 4. ตําแหนงที่ 12 (จากซาย) ของแถวที่ 21

ตอนที่ 2 แบบระบายตัวเลข จํานวน 25 ขอ (26 - 50) ขอละ 7 คะแนน 26. ในการสอบวิชาภาษาไทย วิชาภาษาอังกฤษ และวิชาคณิตศาสตร ของโรงเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียนเขาสอบทั้งหมด 66 คน ปรากฏวามีนักเรียนที่สอบตกทั้งสามวิชาจํานวน 13 คน นักเรียนที่สอบไดทั้งสามวิชามีจํานวน 17 คน นักเรียนที่สอบได วิชาภาษาไทยและวิชาภาษาอังกฤษแตสอบตกวิชาคณิตศาสตรมีจํานวน 10 คน นักเรียนที่สอบไดวิชาภาษาไทยและวิชา คณิตศาสตรแตสอบตกวิชาภาษาอังกฤษมีจํานวน 11 คน นักเรียนที่สอบไดเพียงวิชาเดียว มีจํานวน 6 คน จํานวนนักเรียน ที่สอบไดวิชาภาษาอังกฤษและวิชาคณิตศาสตร เทากับเทาใด __________

{

27. ให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา S = x ∈ R

x + 1 + 3x − 1 = 7 x − 1

}

และ T = { y ∈ R y = 3x + 1, x ∈ S } แลวผลบวกของสมาชิกใน T เทากับเทาใด __________ 28. ให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f1 , f 2 , f3 , f 4 , g และ h เปนฟงกชันจาก R ไปยัง R โดยที่ f1 ( x) = x + 1,

f 2 ( x) = x − 1,

f3 ( x) = x 2 + 4,

f 4 ( x) = x 2 − 4

( f1 g )( x) + ( f 2 h)( x) = 2 และ ( f 3 g )( x) − ( f 4 h)( x) = 4 x

คาของ ( g h)(1) เทากับเทาใด __________ 44

29. คาของ

∑ cos n n =1 44

∑ sin n n =1

44

−

∑ sin n n =1 44

∑ cos n n =1

เทากับเทาใด __________

⎡5a

30. ให a, b, c, d เปนจํานวนจริง ถา 3 ⎢

⎣2

c

⎡ 5a b⎤ 6⎤ ⎡ 4 = ⎥ ⎢ ⎥+⎢ c d⎦ ⎣ d − 1 3⎦ ⎣ 2

5a + b ⎤ ⎥ 2d ⎦

แลว คาของ b + c เทากับเทาใด ___________ ⎡a b ⎤ 2 −1 ⎥ โดยที่ det A = t ≠ 0 และ det ( A + t A ) = 0 c d ⎣ ⎦

31. ให a, b, c, d , t เปนจํานวนจริง ถา A = ⎢

แลวคาของ det ( A − t 2 A−1 ) เทากับเทาใด ___________

32. กําหนดให u = 2 i − 5 j และ v = i + 2 j ให w เปนเวกเตอร โดยที่ u ⋅ w = − 11 และ v ⋅ w = 8 ถา θ เปนมุมแหลมที่เวกเตอร w ทํามุมกับเวกเตอร 5i + j แลว tan θ + sin 2θ เทากับเทาใด ___________ n

⎛ 2 i 2⎞ 2 + 33. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกที่นอยที่สุดที่ทําให ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 เมื่อ i = −1 2 2 ⎝ ⎠ แลว n มีคาเทากับเทาใด ___________

34. ให {an } เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ a1 + a2 + a3 + ... + an = n 2 an สําหรับ n = 1, 2, 3, ... ถา a1 = 100 แลว lim n 2 an มีคาเทากับเทาใด ___________ n →∞ 35. กําหนดให β เปนจํานวนจริง และให {an } เปนลําดับของจํานวนจริงที่ นิยามโดย an =

βn −7 n+2

สําหรับ

n = 1, 2, 3, ... ถาผลบวก 9 พจนแรกมีคามากกวาผลบวก 7 พจนแรกของลําดับ {an } เปนจํานวนเทากับ a108 an มีคาเทากับเทาใด ___________ แลว lim n →∞

36. โรงงานผลิตตุกตาแหงหนึ่ง มีตนทุนในการผลิตตุกตา x ตัว โรงงานจะตองเสียคาใชจาย x3 − 450 x 2 + 60, 200 x + 10, 000 บาท ถาขายตุกตาราคาตัวละ 200 บาท โรงงานจะตองผลิตตุกตากี่ตัว จึงจะไดกําไรมากที่สุด ___________ 37. กําหนดให f ( x) เปนฟงกชันพหุนามกําลังสอง ถาความชันของเสนสัมผัสเสนโคง y = f ( x) ที่จุด (1, 2) มีคาเทากับ 4 และ

2

∫ f ( x) dx = 12

แลว f (−1) + f ′′(−1) มีคาเทากับเทาใด ___________

−1

38. กําหนดให h( x) = f ( x) g ( x) โดยที่ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง y = f ( x) ที่จุด ( x, y ) เทากับ 2 − 2 x และเสนสัมผัสเสนโคง y = f ( x) มีคาสูงสุดสัมพัทธเทากับ 5 ถา g เปนฟงกชันพหุนาม ซึ่งมีสมบัติ g (2) = g ′(2) = 5 แลว h′(2) มีคาเทากับเทาใด ___________

2

2

1 1 39. กําหนดให an = 1 + ⎛⎜1 + ⎞⎟ + 1 + ⎛⎜1 − ⎞⎟ สําหรับ n = 1, 2, 3, ... ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ 1 1 1 1 เทากับเทาใด ___________ + + +…+ คาของ a1 a2 a3 a20 k (n5 + n) + 3n 4 + 2 12 ⎛2⎞ = 15 + 6 + + ... + 15 ⎜ ⎟ 40. ให k เปนคาคงที่ และถา lim 5 n →∞ (n + 2) 5 ⎝5⎠ แลว k มีคาเทากับเทาใด ___________

n −1

+ ...

41. ขอสอบปรนัย 20 ขอ คะแนนเต็ม 50 คะแนน โดยกําหนดขอ 1 – 10 ขอละ 4 คะแนน ขอ 11 – 20 ขอละ 1 คะแนน ถาหากนักเรียนตอบขอใดถูกตอง จะไดคะแนนเต็มของขอนั้น แตถาตอบผิดหรือไมตอบ จะไดคะแนน 0 คะแนน จะมีกี่วิธี ที่นักเรียนคนหนึ่ง จะทําขอสอบชุดนี้ไดคะแนนรวม 45 คะแนน ___________ 42. กําหนดให A = { 1, 2, 3, ..., 9, 10 } จงหาจํานวนสับเซตของ A ทั้งหมดที่ประกอบดวยสมาชิก 8 ตัวที่แตกตางกัน โดยที่ ผลรวมของสมาชิกทั้ง 8 ตัว เปนพหุคูณของ 5 ___________ 43. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง ถานักเรียนคนหนึ่งในหองนี้สอบได 55 คะแนน คิดเปนคะแนนมาตรฐาน ไดเทากับ 0.5 และสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน (coefficient of variation) ของคะแนนนักเรียนหองนี้ เทากับ 20% คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนหองนี้เทากับเทาใด ___________ 44. สรางตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่ง โดยใหความกวางของแตละอันตรภาคชั้นเปน 10 แลว ปรากฏวามัธยฐานของคะแนนการสอบเทากับ 57 คะแนนซึ่งอยูในชวง 50 – 59 ถามีนักเรียนที่สอบไดคะแนนต่ํากวา 49.5 คะแนน อยูจํานวน 12 คน และมีนักเรียนไดคะแนนต่ํากวา 59.5 คะแนน อยูจํานวน 20 คน จงหาวานักเรียนกลุมนี้ มีทั้งหมดกี่คน ___________ 45. กําหนดจุด 10 จุด โดยที่ระยะหางระหวางจุดเทา ๆ กัน ดังรูป

จะตองลบจุดออกจากภาพอยางนอยที่สุดกี่จุด เมื่อลบออกจากภาพแลวไมมีสามจุดใด ๆ (ที่เหลือ) เปนจุดยอดของ สามเหลี่ยมดานเทา ___________ 46. ใหเติมจํานวนเต็มบวกลงในชองสี่เหลี่ยมโดยใหผลรวมของจํานวนในชองสี่เหลี่ยมสามชองที่ติดกัน เทากับ 18 7 คาของ x เทากับเทาใด ___________

x

8

47. จากตารางที่กําหนดให มีชองวางทั้งหมด 16 ชอง ดังรูป หลัก (ค) หลัก (ง) แถว (ก)

1

5

แถว (ข)

x

13

ใหเติมจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, ..., 16 ลงในชองสี่เหลี่ยมชองละ 1 จํานวน โดยใหผลบวกของจํานวนใน แตละแถว ((ก) และ (ข)) และในแตละหลัก ((ค) และ (ง)) มีคาเทา ๆ กัน ถาเติมจํานวนเต็มบวก 1, 5, 13 ดังปรากฏในตารางแลว จํานวน x ในตาราง เทากับเทาใด ___________ 48. ใหเติมจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4, 5 ลงในชองวางในตาราง 5 × 5 ตอไปนี้ 5 3

1

4 5 3

2

3 1 x

โดยที่ แตละแถวตองมีจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 แตละหลักตองมีจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 จํานวน x ในตาราง เทากับเทาใด ___________ 49. สําหรับ a และ b เปนจํานวนเต็มบวกใด ๆ กําหนดให a ⊗ b เปนจํานวนจริงที่มีสมบัติดังตอไปนี้ (ก) a ⊗ a = a + 4

(ข) a ⊗ b = b ⊗ a

คาของ (8 ⊗ 5) ⊗ 100 เทากับเทาใด ___________ 50. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวน 2, 5, 8, 11, 14, ... ในตารางดังตอไปนี้ หลักที่ 1 23 47

หลักที่ 2 2 20 26 44

หลักที่ 3 5 17 29 41

หลักที่ 4 8 14 32 38

จํานวน 2012 อยูในหลักที่เทาใด ___________

หลักที่ 5 11 35

(ค)

a ⊗ ( a + b) a+b = a ⊗b b

เฉลยขอสอบ PAT 1 (3 ก.ค. 2553) ตอนที่ 1 ขอ ๑ ตอบ ๒ p ↔

และ

r

( p ∨

q ) →

F

T

F

F

q

→

[ p

∨

( q

U = {−1,0,1}

เปนเท็จ

2. x = −1, y = 1; x = 0, y = 0; x = 1, y = −1

4.

F

T

ขอ ๒ ตอบ ๓

3.

s )

F

T

1. − 1 + (−1) + 2 = 0

(r ∨

เปนจริง

ไมมี x ที่ทําใหทุก y; x + y = 1 เปนเท็จ ให x = 1, y = 1; x + y > 1 เปนจริง

ขอ ๓ ตอบ ๓ A = {∅, {∅}, {∅,{∅}}}; n( A) = 3 1. ∴ n( P( A)) = 2 3 = 8 2. n( P ( A) − {∅,{∅}}) = 8 − 2 = 6 3. {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ⊂ P( A) − {∅, {∅}} 4. {∅,{∅}, {∅, {∅}}} ∈ P( A)

∧

F

F

 r)

ขอ ๔ ตอบ ๓ ⎧ ⎫ | 1 − x | −2 A = ⎨x ∈ R | > 1⎬ x + | x | −3 ⎭ ⎩

พิจารณา จะได

x ∈ [0,1) 1− x − 2 >1 x+ x−3 − ( x + 1) −1 > 0 2X − 3 x +1 +1 < 0 2x − 3 x + 1 + 2x − 3 <0 2x − 3 3x − 2 <0 2x − 3

+ 2 3

⎛2 3⎞ ⎛2 ⎞ ⎜ , ⎟ ∩ [0,1) = ⎜ ,1⎟ ⎝3 2⎠ ⎝3 ⎠

ขอ ๕ ตอบ ๓ x+3 ;f x+6

y+3 → xy + 6 x = y + 3 y+6 3 − 6x y= x −1 3 − 6 g ( x) − 6 x ( f −1og )( x) = f −1 ( g ( x)) = = g ( x) − 1 x −1 ถา g (a) = 2 แลว 3 − 6(2) = − 6a 2 −1 a −1 a=3 f =

−1

:x=

ขอ ๖ ตอบ ๔ จาก

arcsin x =

π 4

→ sin

π 4

=x→x=

1 2

2 ⎛π ⎛ 1 ⎞ ⎞⎟ ⎛π 2⎞ ⎜ + arccos⎜ sin ⎜ + arccos x ⎟ = sin ⎟ ⎜ 15 ⎝ 15 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎛π π⎞ = sin ⎜ + ⎟ ⎝ 15 3 ⎠ = sin(12o + 60o )

จะเห็นวา ดังนั้น

= sin 72o sin 60 < sin 72 < sin 90

3 < sin 72 < 1 2

-

+ 3 2

ขอ ๗ ตอบ ๑ จากกฎของโคไซน

(

)

(

)

(

1 1 1 1 b2 + c2 − a2 1 a2 + c2 − b2 1 a2 + b2 − c2 + + cos A + cos B + cos C = a b c a 2bc b 2ac c 2ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b +c −a +a +c −b +a +b −c = 2abc 2 2 2 a +b +c = 2abc

ขอ ๘ ตอบ ๑

(

)

(

)

)

9 x 2 − 10 x + 25 − 16 y 2 − 4 y + 4 = −17 + 225 − 64

( x − 5)

2

−

( y − 2)

2

=1 16 9 c 2 = 16 + 9 = 25 →∴ c = 5

จะได วงกลมที่มีจุดปลายของจุดศูนยกลางอยูที่จุดศูนยกลางไฮเพอรโบลาและจุดโฟกัสจุดหนึ่งของไฮเพอรโบลาจะมีรัศมียาว เทากับ 5 หนวย 2

ดังนั้น พืน้ ทีว่ งกลม

2

25π ⎛5⎞ = πr = π ⎜ ⎟ = 4 ⎝2⎠ 2

ตารางหนวย

ขอ ๙ ตอบ ๒ C(x,y) 10 AB ⊥ BC ⎛ y − 2 ⎞⎛ 3− 2 ⎞ ∴⎜ ⎟⎜ ⎟ = −1 ⎝ x + 1 ⎠ ⎝ −4 + 1 ⎠ y = 3x + 5

(x + 4)2 + ( y − 3)2 = 10 2 (x + 4)2 + (3x + 2)2 = 100 10 x 2 + 20 x + 20 = 100 x 2 + 2x − 8 = 0 (x + 4)(x − 2) = 0 ∴ x = 2 → y = 11(8(2) + 11 − 27 = 0)

A(-4,3) B(-1,2)

ขอ ๑๐ ตอบ ๑ 3 2

9 6

4 3

8 6

( ) ก. 3 = 3 = (3 ) ∴ (3 ) > (2 ) 2 = 2 = 29

1 8 6

3 = log 2 3 − log 2 8 = log 2 3 − 3 8 1 log 3 = log 3 1 − log 3 2 = 0 − log 3 2 2 ∴ log 2 3 − 3 < − log 3 2

1 6

log 2

1 8 6

ข.

1 9 6

ถูก

ถูก

ขอ ๑๑ ตอบ ๒ 32 ⋅ 32 x − 28 ⋅ 3x + 3 = 0

(9 ⋅ 3

x

− 1)( 3x − 3) = 0

1 3x = ,3x = 3 9 ∴ x = −2, x = 1 A = {−2,1} log x + log( x − 1) = log( x + 3); x > 0, x > 1, x > −3 x( x − 1) = x + 3; x > 1 x2 − 2 x − 3 = 0 ( x − 3)( x + 1) = 0 ∴ x = 3; x ≠ 1, x > 1 B = {3} ∴ A ∪ B = {−2,1,3}

ขอ ๑๒ ตอบ ๒ 0 0 ⎡0 1⎤ A=⎢ , At = ⎡⎢ ⎤⎥ ⎥ ⎣0 1⎦ ⎣1 1 ⎦ ⎡1 − 1⎤ ⎡1 − 1⎤ ⎡1 − 3⎤ C2 = ⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎣ 0 2 ⎦ ⎣0 2 ⎦ ⎣ 0 4 ⎦ ⎡1 1⎤ ⎡1 − 3⎤ ⎡1 1⎤ BC 2 = ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣0 0 ⎦ ⎣0 4 ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎡1 0⎤ ⎡1 − 1⎤ ⎡1 − 1⎤ BtC = ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣1 0⎦ ⎣0 2 ⎦ ⎣1 − 1⎦ ⎡ 2 0⎤ 2 A t + BC 2 + B t C = ⎢ ⎥ ⎣3 1⎦ ∴ det 2 A 2 + BC 2 + B t C = 2 − 0 = 2

(

)

,

⎡0 0 ⎤ 2 At = ⎢ ⎥ ⎣ 2 2⎦

ขอ ๑๓ ตอบ ๓ จาก x 2 + ax + b = 0

(x − sin 15 )(x − cos15 ) = 0 x − (sin 15 + cos15 )x + sin 15 o

2

o

o

o

o

cos15 o = 0

∴ a = sin 15 o + cos15 o ; b = sin 15 o cos15 o 1 o sin 30 1 a 2 = 1 + 2 sin 15 o cos15 o ; b = = 2 = 2 2 4

= 1 + sin 30 o 1 = 1+ 2 3 = 2 2

1 8 ⎛3⎞ a −b = ⎜ ⎟ − = = 2 4 4 ⎝2⎠ 4

ขอ ๑๔ ตอบ ๒ 2

2

35 x ⋅ 9 x = 27 → 35 x ⋅ 32 x = 33

และ

x>0

2 x2 + 5x − 3 = 0

( 2 x − 1)( x + 3) = 0 1 x = ; x = −3 2 1 ∴x = 2 log 3 log 5 log 7 ⋅ ⋅ log 2 log 4 log 6 log 8 = = log 2 8 = 3 y= log 3 log 5 log 7 log 2 ⋅ ⋅ log 4 log 6 log 8 3

⎛1⎞ 1 x =⎜ ⎟ = ⎝2⎠ 8 y

ขอ ๑๕ ตอบ ๔ Z 1−1 =

3 4 3 4 − i → Z1 = + i 5 5 5 5

⎛3 4 ⎞ 5Z 1 + 2 Z 2 = 5 → 2 Z 2 = 5 − 5⎜ + i ⎟ ⎝5 5 ⎠ = 2 − 4i Z 2 = 1 − 2i

Z 2 = 1 + 2i

ขอ ๑๖ ตอบ ๒ 2

2

2

u − v = u − 2u v + v = 16 2

2

u = 4, v = 9 ∴ 4 − 2u v + 9 = 16 2u v = −3 2

2

2

u + v = u + 2u v + v = 4 − 3 + 9 = 10 ∴ u + v = 10

ขอ ๑๗ ตอบ ๒ x, y, z เปนลําดับเรขาคณิต

x≠ y

y y , y, yr เปนลําดับเรขาคณิต ∴ x = , z = yr r r จาก x,2 y,3z เปนลําดับเลขคณิต y ∴ 2 y − = 3 yr − 2 y r y 4 y = 3 yr + r 2 3r − 4r + 1 = 0 (3r − 1)(r − 1) = 0 1 ∴ r = ,1 3

ถา

r =1 1 ∴r = 3

แลว

x= y

ขอ ๑๘ ตอบ ๑ f ( x) = ax + b

และ

f

เปนฟงกชันลด จะได

a<0

f ( f ( f ( f ( x)))) = a 4 x + a 3b + a 2 b + ab + b = 16 x + 45 a 4 = 16 a = −2

และ

a 3b + a 2 b + ab + b = 45 − 5b = 45 b = −9

a + b = −2 + (−9) = −11

ขอ ๑๙ ตอบ ๔ ตอเนื่องบน (− 1, ∞ ) จะได

∵f

1.) lim− f ( x) = f (1) → lim− x →1

x3 −1

x →1

(x

x −1

= a+b

)

−1 = a + b → −(1 + 1 + 1) = a + b x →1 x −1 a + b = −3 → (1) 2.) lim− = f (5) → 5a + b = 5 → (2) lim− −

3

x →5

(2) − (1) → 4a = 8 a=2 b = −5

ab = 2(− 5) = −10

ขอ ๒๐ ตอบ ๑ 30

∑Z i =1

i

= 0 ∴ Z 30 = −2.5 x − 60 10 x = 60 − 10(2.5) = 35

− 2.5 =

ขอ ๒๑ ตอบ ๔ จากสูตร

σ

2

∑X =

660 =

2 i

N ∑ X i2

5

−µ

2

2

5 ⎛ 360 ⎞ −⎜ ⎟ → ∑ X i = (660 + 5184 ) × 5 = 29220 ⎝ 5 ⎠ i =1

6

∴ ∑ X i = 29220 − 3600 = 32820 i =1

32820 − 70 2 = 5470 − 4900 = 570 6 ดังนัน้ ความแปรปรวนลดลง 660 − 570 = 90

σ2 =

ขอ ๒๒ ตอบ ๓ n( S ) = 6 × 6 = 36

,

E1 (ผลบวกเทากับ 7 ) = {16,61,25,52,34,43} E 2 (ผลคูณเทากับ 12 ) = {26,62,34,43}

E = E1 ∪ E 2 = {16,61,26,62,25,52,34,43} n( E ) = 8 ∴ P( E ) =

8 2 = 36 9

ขอ ๒๓ ตอบ ๑ 1000

A = ∑ (− 1) = 0 k

k =1

20

B = ∑k2 = k =3

100

C = ∑k = k =1

20(21)(41) − (12 + 2 2 ) = 2870 − 5 = 2865 6

100(101) = 5050 2

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛1⎞ 2 ⎜ ⎟=2 D = ∑ 2⎜ ⎟ = 2 ⎜1− 1 ⎟ k =1 ⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ A + B + C + D = 0 + 2865 + 5050 + 2 = 7917 k

∞

ขอ ๒๔ ตอบ ๔

( ) = (3 ) = (5 )

a = 2 48 = 2 4 b = 336 c = 5 24

12

= 1612

3 12

= 2712

2 12

= 2512

∴a < c < b →

1 1 1 > > a b c

ขอ ๒๕ ตอบ ๒ จาก 1,3,5,7,9,...,361,...

361 = 1 + (n − 1)2 n=

361 − 1 + 1 = 181 2

ผลบวกของจํานวนในแตละแถว 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n ≥ 181

19(20 ) = 190 2 18(19 ) n = 18 ⇒ = 171 2 ดังนั้น 361 อยูในแถวที่ 19 n = 19 ⇒

ตําแหนงที่

10

(จากซาย)

เฉลยขอสอบ PAT 1 (3 ก.ค. 2553) ตอนที่ 2 ขอ ๒๖ ตอบ ๒ T

U=66 M 11 17

X1

X2

10

Y 13

X3 E

( X 1 + X 2 + X 3 ) + 11 + 17 + 10 + Y = 66 − 13 6 + 38 + Y = 53 Y =9

ดังนั้นสอบไดอังกฤษและคณิตศาสตร

17 + 9 = 26

ขอ ๒๗ ตอบ ๒

(

) ( 2

x + 1 + 3x − 1 =

)

2

7x −1 ; x ≥

1 3

x + 1 + 3x − 1 + 2 3x 2 + 2 x − 1 = 7 x − 1

2 3x 2 + 2 x − 1 = 3x − 1

(

)

4 3x 2 + 2 x − 1 = 9 x 2 − 6 x + 1 3x 2 + 14 x − 5 = 0 ( 3x − 1)( x − 5) = 0 1 x = , x = −5 3 1 ⎛1⎞ y = 3x + 1; x = → y = 3⎜ ⎟ + 1 = 2 3 ⎝3⎠

ขอ ๒๘ ตอบ ๑

g ( x) + 1 + h( x) − 1 = 2 → g ( x) = 2 − h( x) − − − −− > (1)

(g ( x) )2 + 4 − (h( x) )2 + 4 = 4 x − − − −− > (2) แทนคา g ( x) = 2 − h( x) จาก (1) ในสมการ (2) (2 − h( x) )2 − (h( x) )2 + 8 = 4 x 2 2 4 − 4h( x) + (h( x) ) − (h( x) ) + 8 = 4 x 4h( x) = 12 − 4 x h( x ) = 3 − x g ( x) = 2 − 3 + x = x − 1 ∴ ( g h )(1) = g (h(1)) = g (3 − 1) = G (2) = 1

คน

ขอ ๒๙ ตอบ ๒ 44

∑ cos n

o

= cos1o + cos 2 o + cos 3o + ... + cos 44 o

n =1

45 o 2 45 o = 2 cos 2

43o 45 o 41o 45 o 1o cos cos + 2 cos + ... + 2 cos 2 2 2 2 2 o o o ⎛ 43 41 1 ⎞ ⎜⎜ cos + cos + ... + cos ⎟⎟ 2 2 2⎠ ⎝

= 2 cos

44

∑ sin n

cos

= sin 1o + sin 2 o + sin 3o + ... + sin 44 o

o

n =1

45 o 2 45 o = 2 sin 2

= 2 sin

43o 45 o 41o 45 o 1o cos cos + 2 sin + ... + 2 sin 2 2 2 2 2 o o o ⎛ 43 41 1 ⎞ ⎜⎜ cos + cos + ... + cos ⎟⎟ 2 2 2⎠ ⎝ cos

⎛ 45 45 ⎞ 45 45 45 45 − sin 2 2 ⎜ cos 2 ⎟ sin cos 2 − sin 2 2 2 ⎠ n =1 n =1 2 − 2 = 2 2 = ⎝ − = 44 44 45 45 45 45 45 45 o sin cos no n sin cos sin cos 2sin cos ∑ ∑ 2 2 2 2 2 2 n =1 n =1 2 cos 45 = = 2 cot 45 sin 45 = 2 44

∑ cos no

44

∑ sin n

o

cos

ขอ ๓๐ ตอบ ๔ ⎡3 ⋅ 5a 3b ⎤ ⎡ 5a + 4 ⎢ c ⎥=⎢ c ⎣3 ⋅ 2 3d ⎦ ⎣ d − 1 + 2 3d = 3 + 2d → d = 3

5a + b + 6 ⎤ ⎥ 3 + 2a ⎦

3 ⋅ 2c = 3 − 1 + 2c 2 ⋅ 2c = 2 → 2c = 1

3 ⋅ 5 a = 5 a + 4 → 5a = 2

∴c = 0

3b = 5a + b + 6 → 2b + 8 ∴b = 4 ∴b + c = 4 + 0 = 4

ขอ ๓๑ ตอบ 4 พิจารณาจากโจทย A + A−1 = 0 นั้น A นาจะเปนเมตริกซเสมือนสมมาตร (Skew symmetric matrix) โดยสมาชิกนอกแนวทแยงมุมหลัก เปน 1 นั่นคือ ⎡a b ⎤ ⎡ 0 1⎤ A=⎢ = ⎢ det A = 1 ≠ 0 ⎥ ⎥ ⎣c d ⎦ ⎣ −1 0 ⎦ 0 1⎤ 1 ⎡0 −1⎤ แทนคา A + t 2 A−1 = ⎡⎢ + (1) 2 = ⎥ (1) ⎢⎣1 0 ⎥⎦ ⎣ −1 0 ⎦ 0 1⎤ 1 ⎡0 −1⎤ ดังนั้นคาของ A − t 2 A−1 = ⎡⎢ − (1) 2 ⎥ (1) ⎢⎣1 0 ⎥⎦ ⎣ −1 0 ⎦

จะได

det( A − t 2 A−1 ) = 4

⎡0 0⎤ ⎢0 0 ⎥ จริง ⎣ ⎦ ⎡ 0 2⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ −2 0 ⎦

At = − A

ขอ ๓๒ ตอบ ให

2

w = ai + b j u ⋅ w = 2a − 5b = −11

− − − − − − > (1)

v ⋅ w = a + 2b = 8

− − − − − − > ( 2)

2 × ( 2 ) : 2a + 4b = 16

− − − − − −− > ( 3)

(1) − ( 2 ) : −9b = −27 ∴ b = 3, a = 2 w = 2i + 3 j

,

w = 4 + 9 = 13

5i + j = 25 + 1 = 26 cos θ =

(

w ⋅ 5i + j w 5i + j

)=

10 + 3 13 1 = = 13 26 13 2 2

∴θ = 45o ∴ tan θ + sin 2θ = tan 45o + sin 90o = 1 + 1 = 2

ขอ ๓๓ ตอบ

8 n

n ⎛ 2 2⎞ π π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 + i 2 ⎟ = ⎜⎝ cos 4 + i sin 4 ⎟⎠ ⎝ ⎠

nπ nπ ⎞ ⎛ = ⎜ cos + i sin ⎟ =1 4 4 ⎠ ⎝ nπ nπ cos = 1 และ sin = 0 เมื่อ n = 8,16,24,...

4 4 ∴n = 8

ขอ ๓๔ ตอบ จาก

200

a1 + a 2 + a3 + ... + a n = n 2 a n

a1 3 a a1 + a 2 + a3 = 9a3 → a 3 = 1 6 a a1 + a2 + a3 + a4 = 16a4 → a4 = 1 10 i ∴ a1 + a 2 = 4a 2 → a 2 =

i i

จะได

a1 a1 a1 a + + + ... + 2 1 = n 2 a n 3 6 10 n +n 2 2 n a ∴ lim n 2 a n = lim 2 1 = 2a1 = 2(100 ) = 200 n →∞ n →∞ n + n 2 a1 +

ขอ ๓๕ ตอบ an =

จาก

2

βn − 7 n+2 S 9 − S 7 = a108

a8 + a9 = a108 →

8β − 7 9β − 7 108β − 7 + = 10 11 110

88β − 77 + 90 β − 70 = 108β − 7 70β = 140

β =2 ∴ lim a n = lim n →∞

ขอ ๓๖ ตอบ

n →∞

2n − 7 =2 n+2

200

f ( x) = 200 x − x 3 + 450 x 2 − 60200 x − 10000 f ′( x) = 200 − 3 x 2 + 900 x − 60200 = 0

3x 2 − 900 x + 60000 = 0

x 2 − 300 x + 20000 = 0 (x − 100)(x − 200) = 0 ∴ x = 100,200 ′′ f ( x) = −6 x + 900 f ′′(100) = −600 + 900 = 300 f ′′(200) = −1200 + 900 = −300 ∴ x = 200

ขอ ๓๗ ตอบ ให

10

f ( x) = ax 2 + bx + c f ′(1) = 4 → 2

∫ (ax

−1

2

)

+ bx + c dx = 12

,

f ′( x) = 2ax + b

2a + b = 4 →

− − − − − − > (1) ⎛ x3 ⎞ x2 ⎜⎜ a + b + cx ⎟⎟ 2 ⎝ 3 ⎠

2

= 12

−1

8 a b a + 2b + 2c + − + c = 12 3 3 2 3b 3a − + 3c = 12 2 b a− +c =4 − − − − − − > (2 ) 2 f (1) = 2 → a+b+c = 2 − − − − − − > (3) 4 (2) − (3) : − 3b = 2 → b=− 2 3 4 4+ 8 4 2 , ∴c = 2 − + = แทนใน (1) : a = 3 = 8 2 3 3 3 3 8 4 2 ⎛ 8 ⎞ 30 f (−1) + f ′′(−1) = + + + 2⎜ ⎟ = = 10 3 3 3 ⎝ 3⎠ 3

ขอ ๓๘ ตอบ

10 h( x) = f ( x) g ( x) → h′( x) = f ( x) g ′( x) + g ( x) f ′( x) h′(2) = f (2) g ′(2) + f ′(2) g (2)

f ′( x) = 2 − 2 x

→

f ′(2) = 2 − 4 = −2

;

f ( x) = 2 x − x 2 + c

;

2 − 2x = 0 ∴x =1 f (1) = 5 5 = 2 −1+ c ∴c = 4

f (2) = 4 − 4 + 4 = 4 ∴ h′(2) = 4(5) + 5(−2) = 2(5) = 10

ขอ ๓๙ ตอบ

7 2

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ n 1 + ⎜1 + ⎟ − 1 + ⎜1 − ⎟ 1 ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ = 4 an

2

1 5 −1 = 4 a1 ⎛ 13 5⎞ − 2⎜ ⎟ 4 4⎠ 1 13 − 5 ⎝ = = 4 4 a2 1 25 − 13 = 4 a3 1 41 − 25 = a4 4 i i i

1 841 − 761 = a20 4 ∴

1 1 1 1 5 − 1 + 13 − 5 + 25 − 13 + ... + 841 − 761 + + + ... + = a1 a2 a3 a20 4 =

ขอ ๔๐ ตอบ lim n→∞

25

(

)

k n 5 + n + 3n 4 + 2

(n + 2)

5

−1 + 841 −1 + 29 = =7 4 4

12 + ...

5 15 15 5 k= = = 15 × 2 3 3 1− 5 5 = 15 + 6 +

= 25

ขอ ๔๑

ตอบ 352 จะตอบใหไดคะแนน

45 คะแนน

(1) ตอบถูกตอนที่ 1

10

ขอ และตอบถูกตอนที่

2

⎛10 ⎞⎛10 ⎞ 10! = 252 = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 10 5 5 !

5 ! ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 ขอ และตอบตอนที่ 2 ผิด 1

อีก

5

ขอ

จํานวนวิธตี อบ (2) ตอบตอนที่ 1 ผิด

ขอ

⎛10 ⎞⎛10 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 100 ⎝ 1 ⎠⎝ 1 ⎠ 252 + 100 = 352 วิธี

จํานวนวิธตี อบ ดังนั้นจํานวนวิธตี อบทั้งหมด คือ ขอ ๔๒

ตอบ 9 A = {1,2,3,4,5,...,9,10} 10 10(11) i= = 55

∑ i =1

2

ดังนั้น ตัวเลขทีต่ ัดออกสองตัวตองมีผลบวกเปนพหุคูณของ ซึ่งจะมี 9 แบบ ขอ ๔๓

ตอบ

5

ซึ่งมี (1,4), (1,9), (2,3), (2,8), (4,6), (5,10), (3,7 ), (6,9), (7,8)

50

55 − X − − − − − − > (1) S S 20 1 X = = → S= − − − − − − > (2) 5 X 100 5 X 0.5( ) = 55 − X 5 55 X + 0.1X = 55 → X = = 50 1.1 ตอบ 36 คน 0.5 =

ขอ ๔๔

ชวงคะแนน

f

cf ⎫ ⎪ ⎪ ⎬12 ⎪ ⎪⎭

50 − 59

⎛N ⎞ ⎜ 2 − ∑ fL ⎟ Med = L + I ⎜ ⎟ fm ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛N ⎞ ⎜ 2 − 12 ⎟ 57 = 49.5 + 10 ⎜ ⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎝ ⎠ 4 N 7.5( ) = − 12 5 2 N 6 = − 12 2

8

N = 18 2 ∴ N = 36

20

ขอ ๔๕ ตอบ

4

จุด

หรือ

ขอ ๔๖ ตอบ 3 7 8

3

7

8

3

7

7 7

3

ขอ ๔๗ ตอบ

8

8

3

7

X

7

3

8

7

3

8

ค

ง

ก

1

5

ข

X

13

7

ใหผลบวกแตละแถว ก ข แตละหลัก ค ง = k 16(17 ) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 16 = = 8(17 ) 2

4k = 2 (1 + 5 + X + 13) + (ผลบวกของจํานวนนอกเหนือจาก 1,5, X ,13 )

∴ 8 (17 ) = 4k − (1 + 5 + X + 13)

4

หาร

1 + 5 + X + 13

4 ( X + 19)

∴X =9

ลงตัว

3

7

8

7

3

8

9

จะไดวา

8

3

8

ขอ ๔๘ ตอบ

ขอ ๔๙

3

ตอบ

3

5

4

2

1

1

3

2

5

4

4

1

5

3

2

2

4

3

1

5

5

2

1

4

x=3

208

8 (5 ⊗ 3) 3 5 5 ⊗ 3 = 3 ⊗ 5 = 3 ⊗ (3 + 2) = (3 ⊗ 2) 2 3 ⊗ 2 = 2 ⊗ 3 = 2 ⊗ (2 + 1) = 3(2 ⊗ 1) 2 ⊗ 1 = 1 ⊗ 2 = 1 ⊗ (1 + 1) = 2(1 ⊗ 1) = 2(5)

8 ⊗ 5 = 5 ⊗ 8 = 5 ⊗ (5 + 3) =

⎛ 8 ⎞⎛ 5 ⎞ ∴ 8 ⊗ 5 = ⎜ ⎟⎜ ⎟(3)(2)(5) = 200 ⎝ 3 ⎠⎝ 2 ⎠ (8 ⊗ 5) ⊗ 100 = 200 ⊗ 100 = 100 ⊗ (100 + 100)

จะได ขอ ๕๐ ตอบ

⎛ 100 + 100 ⎞ =⎜ ⎟ (100 + 4 ) = 2(104) = 208 ⎝ 100 ⎠ 2

หลักที่ 1 หลักที่ 2 23 20 26 47 44 50 71 68

จากหลักที่ ถา

1

a n = 24n − 1

n = 84

จะได

2

หลักที่ 5 17 29 41 53 65

3

หลักที่ 8 14 32 38 56 62

a84 = 24(84) − 1 = 2016 − 1 = 2015

ดังนั้น

2012

อยูในหลักที่

2

4

หลักที่ 11 35 59

5

เฉลยขอสอบโควตามหาวิทยาลัยขอนแกน 2552 1.)

X = A∩C −( A∩ B ∩C)

2.)

3.)

1.

A ≠ B → A− B ≠ ∅

2.

A∪C = B ∪C → A = B

3.

A∪ B = A∩C → A = B

4.

A− B = ∅ → A = B

1.

2.

4.)

( incorrect ) ( incorrect ) ( correct ) ( incorrect )

1 → a2 = a ( incorrect ) 2 2 ( a − b ) ≥ 0 → a 2 + b 2 ≥ 2ab ( correct ) A=

3.

(a − b)

4.

a2 = a

2

= a−b

( incorrect ) ( incorrect )

( x − 2 )( x + 3) ≤ 0 ( x − 4)

เซตคําตอบคือ (−∞, −3] ∪ [2, 4)

p → q ≡∼ p ∨ q ≡ ∼ q →∼ p

5.)

∼

6.)

∧

p

(

p

∨

q

)

→

q

F

T

F

T

T

F

F

F

F

7.)

ก.

เหตุ 1.

2. ผล

p∨q ∼q

( correct )

p

ข. สัตวปก 

บินได

นก

8.)

9.)

∼ ∀x∃x [ x + y = 1 ∧ xy > 0] ≡ ∃y∀x [ x + y ≠ 1 ∨ xy ≤ 0]

17 4 i17 x − 16i173 i17 x = 175 x 173 (17i17 x − 16i17 x ) = 175 x

173 i17 x = 175 x 5x = x + 3 4x = 3 3 ∴x = 4

( correct )

1 1.log ab M = log a M b 2. y = log a M → a y = M

10.)

( incorrect ) ( correct )

→ a log a M = M 3.log N M =

log M M 1 = log M N log M N

( correct )

4.

2 x + 4 x − 6 x − 12 = 2 x ( x + 2 ) − 6 ( x − 2 )

11.)

3

2

2

= ( 2x2 6) ( x + 2)

(

)(

)

= 2 x − 3 x + 3 ( x + 2)

12.)

ก.

18 75 − 24 = 9i25i2i32 6 = 15 6 − 2 6

( incorrect )

= 13 6

ข.

7 2

42

70

6

10

3

5

42 = 7 × 2 × 3 70 = 7 × 2 × 5 ∴ ( 42, 70 ) = 14

13.)

C

3 2 A

B

5

cos ec ( B − C ) = cos ecA =

3 2

5 2 +0+ 2 5 9 = 2 5

cot A + cot B + cot C =

=

14.)

9 5 10

A

24 5 = 10 2 ∆ABC − ∆DEC tan B = 2.4 =

D 13 12

12

15.)

C

5

CD E

B

AC

=

DE AB

→ CD =

12i12 13

f ( x )=≥ AC g ( x−) → 1 ≥− 12 x 2 i−123 = 12 ⎛1 − 12 ⎞ = 12 AD CD2 x=+12 ⎜ ⎟ 13 ⎝ 13 ⎠ 13

x2 − 2 x − 4 ≤ 0 x=

2 ± 4 + 16 = 1± 5 2

+

;

(

5 ≈ 2.36

-

) +

1 − 5 ≈ −1.36

1 + 5 ≈ 3.36

A = {−1, 0,1, 2,3}

(f

16.)

g h )( x ) = 4

(

3 x2 −3 x −3

) = 1 i4 x = 4 x −1 4

3x 2 − 9 x − 9 = x − 1 3x 2 − 10 x − 8 = 0 ( 3x + 2 )( x − 4 ) = 0

∴

17.)

y=

2 x = − ,4 3

1 → y − x y =1 1− x

∴x =

y −1 y −1 → x ≥ 0, ≥0 y y

∴ y ( y − 1) ≥ 0

เซตคําตอบคือ (−∞, 0) ∪ [1, ∞)

18.)

A

⎛ 5⎞ A = arcsin ⎜ − ⎟ ⎝ 13 ⎠ 5 sin A = − 13 ให 12 ∴ cos A = 13

13 12

-5

19.)

1.

2π

2.

3π 2

sin θ ≤ cos θ

( incorrect )

cos

π 4

+ sin

π 4

1 1 2 π + = = 2 ≠ sin = 1 2 2 2 2

=

( incorrect )

3. sec θ + cos ecθ =

4.

cos θ =

14 <1 25

อยูใน

θ

∴

หรือ

Q1

5 5 15 + 20 35 + = = 4 3 12 12

( correct )

( incorrect )

Q4

20.)

13 5 4 3

θ1

θ2

j

5

12

sin (θ1 + θ 2 ) = sin θ1 cos θ 2 + cos θ1 sin θ 2

⎛ 3 5 ⎞ ⎛ 4 12 ⎞ 15 + 48 63 =⎜ × ⎟+⎜ × ⎟ = = 65 65 ⎝ 5 13 ⎠ ⎝ 5 13 ⎠

21.)

u =3 2

2

u + v = 4 → u + v + 2 u v cos θ = 16 2 ⎛ 3⎞ 9 + v + 2i3i v ⎜ − ⎟ = 16 ⎝ 5⎠

ให

v =x

;

5 x 2 − 18 x − 35 = 0

( 5 x + 7 )( x − 5) = 0 7 x = − ,5 5

22.)

u = ai + b j + ck

∴v =5

โคโซนและทิศทางของ 2

และ

⎛ ⎞ a b c , , ⎜ 2 ⎟ 2 2 2 2 2 2 2 2 a +b +c a +b +c ⎠ ⎝ a +b +c

2

2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a b c +⎜ +⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎟ =1 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎝ a +b +c ⎠ ⎝ a +b +c ⎠ ⎝ a +b +c ⎠

พิจารณา ขอ 4 23.)

คือ

u

2

2

2

⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ +⎜− ⎟ +⎜ ⎟ ≠1 ⎝ 17 ⎠ ⎝ 17 ⎠ ⎝ 17 ⎠

u = 3, v = 4,θ = 30o

ก.

2.

3 =6 3 2 1 u iv = u v sin θ = 3 ⋅ 4 ⋅ = 6 2

u iv = u v cos θ = 3 ⋅ 4 ⋅

( correct ) ( correct )

det ( A ) = 2, det ( B ) = 32

24.)

det ( B ) = 16 det ( C )

36 =2 12 det ( C ) 2 det ( A−1C ) = = =1 det ( A ) 2

∴ det ( C ) =

25.)

จาก

⎡1 2 ⎤ ⎡3 2 ⎤ A−1 ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ 0 1 ⎦ ⎣1 4 ⎦ −1

26.)

⎡1 2 ⎤ ⎡1 −2 ⎤ ⎢0 1 ⎥ = ⎢0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡3 2 ⎤ ⎡1 −2 ⎤ ⎡3 −4 ⎤ ∴ A−1 ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣1 4 ⎦ ⎣ 0 1 ⎦ ⎣1 2 ⎦ 2 4⎤ −1 จะได ( A−1 ) = A = 1 ⎡⎢ 10 ⎣ −1 3 ⎥⎦ 4 2 นั่นคือ a12 = = 10 5 ⎛ 46 14 ⎞ ขอ 1,2 ⎜ − , ⎟ ไมอยูบน ⎝ 15 25 ⎠ ⎛ 46 14 ⎞ ไมอยูบน ขอ4 ⎜ ,− ⎟ ⎝ 25 15 ⎠

3x − 5 y = 12 3x − 5 y = 12

27.)

Y

( x + 1) F(-1,6)

b2

2

( y − 1) +

2

=1

a2

( −3, 2 ) ; C=4

4 + 0 =1 b2 ∴ b2 = 4

a 2 = b 2 + c 2 = 4 + 16 = 20 y − 2) ผานจุด ∴ (

C(-1,2)

( x + 1) +

2

2

=1 20 4 y 2 − 4 y + 4 + 5 x 2 + 10 x + 5 = 20

X

5 x 2 + y 2 + 10 x − 4 y − 11 = 0 ∴

d = −1, k = −11

(0,y)

(3,2)

28.)

(2,1)

22 + ( y − 1) = 32 = 32 + ( y − 2 ) 2

2

4 + y2 − 2 y +1 = y2 − 4 y + 4 + 9 2y = 8 → y = 4

29.)

Y

1.

2.

3.

4.

(-2,4) (1,3)

ไมผานจุด ไมผานจุด ผานจุด ไมผานจุด

(-1,-2) (-1,-2) (-1,-2) (-1,-2)

X

(-1,-2)

30.)

Y

x 2 + 5 x 2 = 52

(x,2x)

x2 = 5 → x = 5

y=2x

∴y =2 5 (0,0)

31.)

∴y = 2 5 +5

x 2 + y 2 + 4 x − 6 y − 12 = 0

( x + 2 ) + ( y − 3) = 12 + 4 + 9 = 2 ดังนั้นจุดศูนยกลางของวงกลม คือ ( −2,3) 2

x= 5

X

2

จากโจทย

d 2 d x + y 2 + 4 x − 6 y − 12 ) = ( 0 ) ( dx dx 2 x + 2 yy′ + 4 − 6 y′ = 0 ∴ 2 x + 2 yy′ + 4 − 6 y′ = 0 8 y ′ = −6 6 3 y′ = − = − 8 4 3 ( x + 2) 4 4 y − 12 = −3 x − 6

สมการเสนตรง คือ

y −3 = −

3x + 4 y − 6 = 0

32.) x 2 + y 2 + 4 x − 6 y − 38 = 0

( x + 2 ) + ( y − 3) = 38 + 4 + 9 2 ( y − 3) = 4 ( −2 )( x + 2 ) 2

2

y 2 − 6 y + 9 = −8 x − 16 y 2 + 8 x − 6 y + 25 = 0

33.)

1, 2, 2,3,3,3,3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,5,... ⎡⎣ n (1) = 1, n ( 2 ) = 2, n ( 3) = 4, n ( 4 ) = 8,...⎤⎦

เนื่องจาก

เปนเรขาคณิต

1 + 2 + 4 + 8 + ...

Sn =

a1 ( r n − 1) r −1

→

1( 2n − 1) 2 −1

≥ 2000

2n − 1 ≥ 2000 2n ≥ 2001 ∴ 2n = 2048 210 = 1024 ∴ a2000 = 11

34.)

4, a,9, b, c

เปน 8 พจนของลําดับเรขาคณิต

a>0

∴a = 4⋅9 → a = 6 6 9 3 r= = → 4 6 2 3 27 b = 9⋅ = 2 2 3 3 81 c = 9⋅ ⋅ = 2 2 4 ⎛ 81 ⎞ a + 8c = 6 + 8 ⎜ ⎟ = 6 + 162 = 168 ⎝ 4⎠ r=

35.)

101,111,121,131,...,191

i i i 909,919,929,939,...,999

n ( S ) = 999 − 100 + 1 = 900 n ( E ) = 10 ⋅ 9 = 90 ∴P(E) =

36.)

n ( S ) = 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 216 E:

37.)

n ( E ) 90 1 = = n ( S ) 900 10

ผลรวมแตมมากกวาหรือเทากับ 4 จะได n ( E ) = 216 − 1 = 215 n ( E ) 215 ∴P(E) = = n ( S ) 216

( 1 คือ ออก 1 ทั้งสามหนา)

1 3 + i = cos 60o + i sin 60o 2 2 π π 1 3 Z 30 = cos10 + i sin10 = − − i 3 3 2 2 Z 18 = cos 2π + i sin 2π = 1 Z3 =

1 3 − − i Z 2 2 = Z 18 + 1 1+1 30

2 ⎛1⎞ ⎛ 3⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎟⎠

=

4 16

=

1 4

2

1 2 4 2 Z − 81 = 0 → ( Z − 9 )( Z 2 + 9 ) = 0 =

38.)

หรือ Z 2 = −9 Z 2 = ±3 หรือ Z 2 = ±3i ผลคูณของราก เทากับ ( −3)( 3)( −3i )( 3i ) = −81 ผลบวกดีกรีทกุ จุด = 2 × เสนเชื่อมทั้งหมด ดังนั้น 3× จุดยอด = 2 × เสนเชื่อมทั้งหมด Z2 = 9

39.)

2 ×16 2 = 10 3 3 ไมไดเพราะ 3× จุดยอด = 2 × เสนเชื่อมทั้งหมด

จํานวนจุดยอด

แตจุดยอด เปน 1 นั่นคือจุดยอดตองเทากับ 12

≥

ซึ่งเปนเลขคู

40.)

3 2

ตนไมแผทั่วของกราฟวัฏจักร เพียงลบเสนเชื่อมออก 1 เสน อยากไดตนไมแผทั่วนอยที่สุด จึงตองตัด 100 ออก

1

ดังนั้นผลรวม = 1 + 2 + 3 + ... + 99 = 99 ⋅100 = 4950 2

100 99

41.)

จํานวนที่พอและแมไมนั่งติดกัน = จํานวนทีน่ งั่ ปกติ - จํานวนวิธีที่พอและแมนั่งติดกัน = ( 6 − 1) !− 2 ( 5 − 1) ! = 5!− 2 ⋅ 4! = 4!( 5 − 2 ) = 16 ⋅ 3 = 48

42.) จาก

43.)

⎛ 20 ⎞ ⎛19 ⎞ ⎛19 ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝17 ⎠ ⎝17 ⎠ ⎝ k ⎠ ⎛ n ⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ ⎝ r −1⎠ = 17 − 1 = 16

∑

( xi − 30 )

2

∑ ( x − 30 ) = 160 20 ∑ ( ( x − 29 ) − 1) = 160 ∑ ( x − 29 ) − 2∑ ( x − 29 ) + 1( 20 ) = 160 ∑ ( x − 29 ) = 160 − 20 = 140 จะได

=8

2

i

2

i

2

i

i

2

i

( S .D.)

44.)

X รวม =

จะได

N1 X 1 + N 2 X 2 N1 + N 2 ax + bd c= a+b

ac + bc = ax + bd bc bd c+ = x+ a a b x = c + (c − d ) a

2

=

140 =7 20

Q3 − Q1 1 = Q3 + Q1 3 Q3 − Q1 =4 2 8 1 = Q3 + Q1 3

45.)

− − − − − − − − − − > (1) − − − − − − − − − − > ( 2)

− − − − − − − − − − > ( 3)

Q3 + Q1 = 24

2 × ( 2) + 3

→

2Q3 = 32

→

Q3 = 16

∴ Q1 = 8

Q32 − Q12 (16 + 8 )(16 − 8 ) = = 48 = 24 ⋅ 3 4 4

ดังนั้น จํานวนเต็มบวกทีห่ าร 48 ลงตัว มี (4+1)(1+1) เทากับ 10 จํานวน 46.) ∵ P80 = 29.5

คะแนน

f

5-9

3

3

10-14

4

7

15-19

8

15

20-24

9

24

25-29

a

24 + a

30-34

5

29 + a

35-39

3

32 + a

47.)

จาก

Z=

∴

cf

ตําแหนงของ P80 = จะได

4 ( 32 + a ) 5

120 + 5a = 128 + 4a a =8

X−X S

X1 − X S X −X Z2 = 2 S Z1 =

− − − − − − − − − − > (1) − − − − − − − − − − > ( 2)

(1) − ( 2 ) ; Z1 − Z 2 =

X1 − X 2 1 = = 0.2 5 S

4 + 8 + 10 + 15 + 18 = 11 ; 5 7 + 3 + 1 + 4 + 7 22 M .D. = = = 4.4 5 5

48.)

24 + a =

80 4 ( 32 + a ) = ( 32 + a ) 100 5

X=

Med = 10

ดังนั้น ข. ผิด ดังนั้น ก. ถูก

49.) ผูเขาสอบ

วิชาที่ 1

คา Z วิชาที่ 2

ก

30 − 32 2 =− 5 5 32 − 32 =0 5

42 − 40 2 = 10 10 36 − 40 4 =− 10 10

ข

ดังนั้น ไมผานทั้ง ก และ ข

วิชาที่ 3 39 − 40 1 =− 5 5 43 − 40 3 = 10 10

รวม 3 10 1 − 10 −

50.)

30 3 = 100 10 S 3 18 3 = → = X 10 X 10 84 − 60 ∴ Z= 18 24 = 18 = 1.33 ∴ A = 0.4082

สัมประสิทธิ์การแปรผัน

=

0.5

→

X = 60

0.4082 1.33

ดังนั้นตรงกับเปอรเซ็นตไทลที่ 100(0.5+0.4082) = 90.82

คณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ โครงการทดสอบวัดความรูพื้นฐานดานเนื้อหา สําหรับครูคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ชื่อ – นามสกุล ....................................................................เบอรโทรศัพทเคลื่อนที่ ....................................... โรงเรียนที่สงั กัด .........................................................................เขตพื้นที่การศึกษา...................................... มีเวลาสอบทัง้ หมด ๓ ชั่วโมง ขอสอบแบงออกเปน ๒ ตอน ตอนที่ ๑ เปนขอสอบแบบเติมคําตอบ มี ๗๕ ขอ ขอละ ๒ คะแนน ตอนที่ ๒ เปนขอสอบแบบแสดงวิธีทาํ มี ๓ ขอ ขอละ ๑๐ คะแนน

คําชี้แจง

เกณฑการประเมิน ตอนที่ ๑ ผานไมต่ํากวา ๑๐ เรื่อง และตอนที่ ๒ ไดคะแนนไมต่ํากวา ๔๐% (๑๒ คะแนน) ตอนที่ ๑ ผานไมต่ํากวา ๖ เรื่อง และตอนที่ ๒ ไดคะแนนไมต่ํากวา ๒๐% (๖ คะแนน) หรือผานเฉพาะตอนที่ ๑ ไมต่ํากวา ๗ เรื่อง ระดับพื้นฐาน ตอนที่ ๑ ผานต่ํากวา ๗ เรื่อง และตอนที่ ๒ ไดคะแนนต่าํ กวา ๒๐ % (๖ คะแนน) หรือผานเฉพาะตอนที่ ๑ ต่ํากวา ๖ เรื่อง หมายเหตุ : เกณฑ ผาน ในแตละเรื่องของตอนที่ ๑ คือ ตองไดคะแนนอยางนอย ๘๐ % ในเรื่องนั้น ระดับดีมาก ระดับดี

สําหรับผูตรวจเทานั้น เรื่อง ตอนที่ ๑ เนื้อหาพื้นฐาน ๑. เซต ๒. ตรรกศาสตร ๓. ระบบจํานวนจริง ๔. ความสัมพันธและฟงกชัน ๕. เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย ๖. ตรีโกณมิติ ๗. เวกเตอร ๘. จํานวนเชิงซอน ๙. ฟงกชันเอกโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม ๑๐. เมทริกซ ๑๑. ลําดับและอนุกรม ๑๒. แคลคูลัส ๑๓. การนับเบื้องตนและความนาจะเปน ๑๔. สถิติ ๑ (คากลางและการกระจาย) ๑๕. สถิติ ๒ (คะแนนมาตรฐานและความสัมพันธเชิงฟงกชัน) ตอนที่ ๒ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร

คะแนน

ผาน / ไมผาน

ตอนที่ ๑ โปรดเติมเฉพาะคําตอบลงในชองวางที่กําหนดใหในแตละขอ ๑. เซต 1. กําหนด A − B = {1, 4, 7}, A ∩ B = {2, 5} และ A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} จงเขียน B − A แบบแจงแจงสมาชิก .......................................................................................................

2. จากการสอบถามนักเรียนจํานวน 32 คน ถาพบวา มีนักเรียนจํานวน 11 คนที่ชอบเลนฟุตบอล มีนักเรียนจํานวน 12 คนที่ชอบเลนปงปองแตไมชอบเลนฟุตบอล แลวจะมีนกั เรียนทั้งหมดกี่คนที่ไมชอบเลนกีฬาชนิดใดเลยในสองชนิดนี้......................................................

3. กําหนด A = {φ , {φ}} จงเขียน P( A) − A แบบแจงแจงสมาชิก ............................................................ ..............................................................................................................................................................

4. ถา

A⊆ B

แลว ( B − A)′ − A เทากับเซตใด ........................................................................................

5. กําหนด U เปนเอกภพสัมพัทธ โดย n(U ) = 20, n( A′ − B) = 10, n( B − A′) = 5 ถา A − B = {5, 10, 20} แลว n( B) เทากับเทาใด ................................................................................

๒. ตรรกศาสตร 6. จงเขียนนิเสธของประพจน

( p → q ) → ~ r โดยไมใชเครื่องหมาย ~

.......................................................

7. ใหเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนจริง จงหาคาความจริงของขอความตอไปนี้ 7.1 ∃x∀y [ xy = y ] …………………………………………………………………………………………

7.2 ∀x∀y [ x ≤ y → x 2 ≤ y 2 ] ...........................................................................................................

8. จงเติมเครือ่ งหมาย เพื่อทําใหประพจน

∨ , ∧, →

และ

( p∨ ~ q) → r

ลงในชองวาง สมมูลกับ (~ p ↔

r ) ∧ (q

r)

9. กําหนดใหประพจน [( p → q) ∧ (~ r ↔ p)] → r ∨ ( p ∧ ~ q) มีคาความจริงเปนเท็จ จงหาคาความจริงของ p, q และ r .....................................................................................................

10. พิจารณาแบบรูป 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, … จงใชการใหเหตุผลแบบอุปนัยเพื่อหาวาตัวที่ n ในแบบรูปนี้จะมีคาเทาใด.................................................

๓. ระบบจํานวนจริง 11. จงตอบคําถามตอไปนี้ 11.1 4 มีคาเทากับเทาใด ................................................................................................................

11.2 ถา x + 7 < 0 แลว x + 3 + x มีคาเทากับเทาใด ...................................................................

12. จงแยกตัวประกอบของ

x3 − 7 x + 6

………………………………………………….……………………… …………………………………..………………………….

13. จงหาเซตคําตอบของสมการ

x − 7 = 5 − 2x

14. จงหาเซตคําตอบของอสมการ

( x − 6)(1 − x 2 ) < 0 x +1

……………………………………………………….

15. จงหาจํานวนคูบวกทีน่ อ ยที่สุดทีห่ ารดวย 11 ลงตัว และหารดวย 5 เหลือเศษ 3 ....................................

๔. ความสัมพันธและฟงกชัน 16. กําหนด A = B = {1, 2} 16.1 จํานวนความสัมพันธจาก A ไป B มีคาเทากับเทาใด ................................................................

16.2 จงเขียนฟงกชนั ทัง้ หมดจาก A ไป B ………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….…………….

17. จงหาเรนจของความสัมพันธ 18. กําหนด

f ( x) = x + 1, g ( x) = x 2

โดเมนของ 19. ถา

r = { ( x, x 2 ) − 2 < x < 3 }

f +g h

h( x ) =

x

เทากับเทาใด …………………………………………………………………………….

f ( x) = 2 x + 4

20. จงรางกราฟของ

และ

……………………………………….…………

และ

g ( x + 1) = x 2

y = x +1

แลว

( g D f −1 )(0)

มีคาเทากับเทาใด …………………………

๕. เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย 21. จงหาสมการเสนตรงทีต่ ั้งฉากกับ

x+ y = 3

และผานจุด (3, 2)

22. จงหาสมการวงกลมที่มจี ุดศูนยกลางที่จุดกําเนิดและสัมผัสกับเสนตรง 3x = 4 y + 15 ............................................................................................................................................................

23. จงหาสมการพาราโบลาที่มเี สนตรง x = 4 เปนไดเรกตริกซ และมีจุด (–2, 0) เปนโฟกัส ............................................................................................................................................................

24. ถา F1 และ F2 เปนโฟกัสทัง้ สองของวงรี 9 x 2 + y 2 + 18 x = 0 และ P เปนจุดใด ๆ บนวงรีนี้ แลว PF1 + PF2 มีคาเทากับเทาใด ....................................................

25. จงหาสมการเสนกํากับทุกเสนของไฮเพอรโบลา

y 2 − 4( x + 1) 2 = 1

......................................................

๖. ตรีโกณมิติ 26. จงหาคาของฟงกชันตรีโกณมิติตอไปนี้ 26.1 26.2

5π + cos180D …………………………………………………………………………………..

6 ⎛ 4π ⎞ tan ⎜ − ⎟ ………………………………………………………………………………………….. ⎝ 3 ⎠

sin

27. รูปสามเหลี่ยม ABC มีดา น AB, BC , AC ยาว 3, 4, 5 หนวย ตามลําดับ ˆ มีขนาด θ แลว sin(2θ ) มีคาเทากับเทาใด ................................................................ ถามุม ACB 28. กราฟของ y = sin x กับกราฟของ y = tan x เมื่อ x ∈ [−π , π ] ตัดกันทัง้ หมดกี่จุด ..............................................................................................................................

29. ชายคนหนึ่งมองเห็นยอดเสาธงเปนมุมเงย 30D ถาเดินเขาไปอีก 4 3 เมตร จะเห็นเปนมุมเงย 60D เสาธงนีส้ ูงกี่เมตร (ไมคิดความสูงของชายผูน ี้) .....................................................................................

30.

arccos(0.3) + arccos(−0.3)

มีคาเทากับเทาใด ................................................................................

๗. เวกเตอร 31. ถา

u = 4 i − 2 j + 3k

32. มุมระหวาง 33. ถา

และ v

i − 2 j + 3k

u = i + j −k

และ

และ

= k −i

แลว

i +2j +k

v = i +k

แลว

2u + 3v

เทากับเทาใด ..................................................

มีขนาดเทากับเทาใด ………………………………………... (u × v ) ⋅ j

มีคา เทากับเทาใด ……………………………..

34. ถาเวกเตอร 4 i + 3k และเวกเตอร k เปนดานสองดานของรูปสามเหลีย่ มรูปหนึง่ แลวพื้นทีข่ องรูปสามเหลี่ยมนี้มีคา เทากับเทาใด ....................................................................................

35. ถา u และ v เปนเวกเตอร ซึ่ง u + v = 2 และ u − v = 4 แลว u 2 + v 2 มีคา เทากับเทาใด .......................................................................................................

๘. จํานวนเชิงซอน 36.

(1 + i )6 i

มีคาเทากับเทาใด ……………………………………………………………………………………

100

37. ∑ i n มีคาเทากับเทาใด (ตอบเปนผลสําเร็จ) …………………………………..………………………… i =10

38. จงหาเซตคําตอบของสมการ 39. จงเขียน

−2 + 2i

z 2 + 2iz + 3 = 0

………………………..…………………………………

ในรูปเชิงขั้ว …………………………………………………………..…………………

40. จงหารากที่ 3 ทั้งหมดของ 8 ที่ไมใชจํานวนจริง …………………………………………………………

๙. ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม 41. จงหาเซตคําตอบของสมการ

( 2)

2 ( x +1)

= 1

. …………………………………………………………......

42. จงหาคาตอไปนี้ 42.1 log(40) + 2 log(50) …………………………………………………………………………………...

42.2

9

1 log3

……………………………………………………………………………………………………

43. จงหาเซตคําตอบของสมการ 44. จงหาเซตคําตอบของอสมการ

log( x 2 + 1) − 2 log x − 1 = 0

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

log( x +1)

..................................................................

≥ 1 ………………………………………………………….....

45. กําหนด A = log 0.1 0.2, B = log 0.2 0.1, C = log 0.1 0.3 จงเรียงลําดับ A, B, C จากนอยไปมาก ………………………………………………………………………………………………………………....

๑๐. เมตริกซ 46.

⎡ 2 0 ⎤ ⎡ 0 1⎤ ⎡ 0 0⎤ 2⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ 3 0 ⎦ ⎣ 2 1⎦ ⎣1 1 ⎦

47. กําหนด

⎡1 0 1 ⎤ A = ⎢⎢ 2 1 0 ⎥⎥ ⎢⎣1 2 3⎥⎦

48. กําหนด

⎡ 1 3⎤ A=⎢ ⎥ ⎣ 1 2⎦

48.1 จงหา

adj ( A)

48.2 จงหา

A−1

49. กําหนด

A

T

เทากับเมตริกซใด ..................................................................................

แลว

det A

............................................................................................................................

..................................................................................................................................

เปนเมทริกซขนาด

แลว

a1

b1

c1

det a2 a3

b2 b3

c2 = 3 c3

x

ที่ det( A) = 2 มีคาเทากับเทาใด ..............................................................................

3× 3

det( A2 ) + det( AT ) − det(2 A−1 )

50. ถา

มีคาเทากับขอใด .....................................................................

และ

ทีส่ อดคลองสมการเมทริกซ

p b1 det q r

b2 b3

⎡x⎤ ⎡ a1 ⎢ y ⎥ = ⎢a ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ a3

c1 c2 = 21 c3

b1 b2 b3

c1 ⎤ c2 ⎥⎥ c3 ⎥⎦

−1

⎡ p⎤ ⎢q⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ r ⎥⎦

มีคาเทากับเทาใด .........................

๑๑. ลําดับและอนุกรม 51. ถามีลําดับซึ่ง

an +1 = (n + 1)(2n + 3)

แลว

a2 n

เทากับเทาใด .............................................................

52. กําหนดลําดับเลขคณิตที่มีพจนแรกเทากับ 2 และผลตางรวมเทากับ 6 52.1 พจนที่

n

ของลําดับนี้เทากับเทาใด .............................................................................................

52.2 ผลบวกยอย 53. กําหนด 53.1

n

พจนแรกของลําดับนี้เทากับเทาใด ........................................................................ เปนลําดับเรขาคณิตที่มี

a1 , a2 , a3

lim ( 2an + 3) n →∞

a2 = 3

และ

a9 + a10

เทากับเทาใด ......................................................................................................

∞

53.2 ∑ an มีคาเทากับเทาใด ............................................................................................................ n =1

54.

2 n ⎞ ⎛ 1 lim ⎜ 2 + 2 + ... + 2 ⎟ n →∞ n n ⎠ ⎝n

มีคา เทากับเทาใด ...................................................................................

∞

55. ∑ 2 1 มีคาเทากับเทาใด ........................................................................................................... n + 2n n =1

๑๒. แคลคูลัส 56. กําหนด 56.1 56.2 57. ถา

⎧x +1 ; x < 1 ⎪ f ( x) = ⎨ 3 ; x = 1 ⎪x + 3 ; x > 1 ⎩

lim f ( x)

มีคาเทากับเทาใด ………………………………………………………………………….

lim f ( x)

มีคาเทากับเทาใด ………………………………………………………………………….

x →1−

x →1+

f ( x) =

1 (1 − x) 4

58. พื้นที่ระหวางกราฟ 59. ถา

f ( x) = lim h →0

แลว

f ′(0)

กับแกน

y = 1 − x2 2 3

( x + h) − x h

มีคา เทากับเทาใด ..........................................................................

2 3

แลว

X

f (1)

ในชวง

0≤ x≤2

มีคาเทากับเทาใด .................................

มีคา เทากับเทาใด ............................................................

60. ในการผลิตสินคาชนิดหนึง่ จํานวน x หนวย จะขายไดราคารวม x 2 − 10 x + 1000 บาท และมีตน ทุนรวม 2 x 2 − 40 x + 755 บาท จงหาวาตองผลิตสินคากีห่ นวยจึงจะไดกําไรสูงสุด ............................................................................................................................................................

๑๓. การนับเบื้องตนและความนาจะเปน 61. ขอสอบชุดหนึง่ มีคําถาม 10 ขอ แตละขอมี 4 ตัวเลือก สมมติวา ตองตอบคําถามทุกขอ ขอละ 1 ตัวเลือกเทานั้น แลวจะมีจํานวนแบบของการตอบขอสอบชุดนี้ไดทั้งหมดกี่แบบ ........................................

62. จงหาวิธีในการจัดเรียงอักษร “MADAM” …………………………………………………………………….

63. ในการจัดเด็ก 6 คนนั่งเปนวงกลม ซึง่ มี ก และ ข รวมอยูดวย ความนาจะเปนที่ ก และ ข นัง่ ติดกันมีคา เทากับเทาใด .......................................................................

64. สรางจํานวน 3 หลักจากเลขโดด 1, 2, 3, ...., 9 โดยใหเลขโดดในแตละหลักซ้ํากันได จงหาความนาจะเปนทีจ่ ํานวนที่สรางไดเปนจํานวนที่หารดวย 5 ไมลงตัว ..............................................

65. โยนลูกเตา 2 ลูก จงหาความนาจะเปนที่ผลบวกของแตมจะหารดวย 5 ลงตัว ......................................

๑๔. สถิติ ๑ (คากลางและการกระจาย) 66. กําหนดขอมูล 5, 7, 11, 9, 13, 15, 7, 3 แลวฐานนิยม = ………………และมัธยฐาน = ……………

67. กําหนดขอมูล 1, 3, 5, 7, 9 แลวคาเฉลี่ยเลขคณิต =………………..และความแปรปรวน = ……………

68. นักเรียนหองหนึง่ มีทั้งหมด 100 คน โดยสวนสูงเฉลี่ยของนักเรียนชายเปน 160 เซนติเมตร และสวนสูง เฉลีย่ ของนักเรียนหญิงเปน 155 เซนติเมตร ถาสวนสูงเฉลีย่ ของนักเรียนทัง้ หองเปน 158 เซนติเมตร แลวจํานวนนักเรียนหญิงในหองนี้เทากับเทาใด .......................................................................................

69. คะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึง่ เปนดังนี้ คะแนน ความถี่สะสม

11 – 20 2

21 – 30 8

31 – 40 14

41 – 50 31

51 – 60 45

61 – 70 52

71 – 80 60

ควอไทลที่ 3 ของคะแนนสอบนี้ จะมีคาเทากับเทาใด ............................................................................

70. มัธยฐานของขอมูลในตารางตอไปนีม้ คี าเทากับเทาใด ............................................................................. น้ําหนัก (กิโลกรัม) 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70

จํานวน (คน) 6 8 8 7 3

๑๕. สถิติ ๒ (คะแนนมาตรฐานและความสัมพันธเชิงฟงกชัน) 71. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรครั้งหนึ่ง คาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 60 ความแปรปรวนเทากับ 4 คะแนนมาตรฐานของผูที่สอบได 50 คะแนนจะมีคาเทากับเทาใด ...........................................................

72. นาย ก สอบวิชาคณิตศาสตร ไดคะแนน 70 คะแนน คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ 2 ถาสัมประสิทธิ์ความแปรผันของคะแนนสอบครั้งนี้เทากับ 0.2 แลวสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีคา เทากับเทาใด .........................................................................................

73. กําหนดขอมูลดังตาราง x

y

–2 2

–1 3

0 4

1 5

จงใชความสัมพันธเชิงฟงกชันที่เปนเสนตรง เพื่อทํานายคา

2 11 y

74. กําหนดตารางแสดงพืน้ ที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานที่อยูระหวาง Z A

เมือ่ 0

x=2

ถึง

.............................................

Z

0.40 0.70 1.70 0.1700 0.2580 0.4554

ถาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรมีการแจกแจงปกติ โดยมีคาเฉลีย่ เลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เทากับ 50 และ 5 ตามลําดับ นักเรียนผูห นึง่ สอบไดคะแนนเปนเดไซลที่ 3.3 เขาจะสอบไดคะแนนเทาใด .................................................................................................................

75. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร สังคมศึกษา และภาษาอังกฤษ ของนาย ก เปนดังตอไปนี้ คณิตศาสตร สังคมศึกษา ภาษาอังกฤษ คาเฉลี่ยเลขคณิต 60 80 60 สวนเบีย่ งเบนมาตรฐาน 15 10 10 คะแนนของนาย ก 75 90 72 นาย ก สอบวิชาใดไดดีที่สุด ..............................................................................................................

ตอนที่ ๒ จงแสดงวิธีทําลงในชองวางที่กําหนด 1. มีกลองอยู 2 ใบคือกลอง A และกลอง B และมีขอความบนกลองทัง้ สองดังนี้ กลอง A มีขอความวา “ขอความบนกลอง B เปนจริง และมีทองอยูในกลอง A” กลอง B มีขอความวา “ขอความบนกลอง A เปนเท็จ และมีทองอยูในกลอง A” ถาทราบวามีทองอยูในกลองใดกลองหนึ่งแนนอน แลวกลองใดเปนกลองที่มที องอยู (พรอมใหเหตุผลประกอบ)

2. กําหนดใหตัวอักษรภาษาอังกฤษแทนเลขโดดหนึ่งตัวตั้งแต 0 ถึง 9 และ ตัวอักษรเดียวกันจะแทนเลขโดดเดียวกันเสมอ แตตัวอักษรตางกันจะแทนเลขโดดที่ตางกัน จงหาวาตัวอักษรแตละตัวแทนเลขโดดใด (พรอมใหเหตุผลประกอบ) T H I N K

+

M A T H B R I G H T

3. การจัดวางชิ้นสวน 4 ชิน้ พยายามจะแสดงใหเห็นวา 64 = 65

สวนตางของพืน้ ที่ 1 ชองนัน้ เกิดขึ้นไดอยางไร จงอธิบาย

ขอสอบหลังการอบรมครั้งที่ 1 Master Teacher รายวิชาคณิตศาสตร 1. ให

A = { 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4 }

f = g =

{ ( x, y ) ∈ R × R

{ (m, n) ∈ A × A

และ ให y = x2 n= m

R

}

แทนเซตของจํานวนจริง ถาให

}

1.1 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนั ของฟงกชัน 1.2 จงหา g D f 1.3 จงหา f −1 D g −1

และฟงกชนั

f

2. ให iX : X → X กําหนดโดย iX ( x) = x สําหรับทุก x ∈ X จงแสดงวาถา f : A → B เปนฟงกชันหนึง่ ตอหนึง่ แลว f −1 D f

3. จงหาเซตคําตอบของสมการ

4. จงหาเซตคําตอบของอสมการ

4

x2 −3 x + 1

เวลา 2 ชั่วโมง

x2 −3 x

+ 1 = 5(2

g

= iA

)

y (3+ log5 y ) > 510

5. นายสมบูรณยืนอยูท ี่ริมหนาผาดานทิศเหนือ เขาตองการขามชองเขาไปยังหนาผาดานทิศใต เขาจึงเดิน สํารวจไปทางทิศตะวันออกเปนเวลา 2 ชัว่ โมงไดระยะทาง 10 ไมล เขาสังเกตเห็นกอนหินกอนหนึง่ ที่อยูฝ ง หนาผาดานทิศใต ซึ่งเขาสามารถใชผกู เชือกเพื่อไตขามชองนี้ โดยเชือกที่ผูกเชือ่ มทั้งสองฝงจะทํามุมกับ เสนทางทีเ่ ขาเริ่มเดินจากจุดเริ่มตนเปนมุม 50 องศา จงหาวา 5.1 นายสมบูรณตองไตขามชองเขานี้เปนระยะทางประมาณเทาใด 5.2 จงหาระยะทางจากจุดเริ่มตนถึงจุดทีน่ ายสมบูรณใชผูกเชือกที่ริมหนาผาดานทิศใต โดยกําหนดให sin 50o = 0.7660, cos 50o = 0.6428 และ tan 50o = 1.1918

6. จงเขียนกราฟของฟงกชนั

π

y = 2 cos (2 x − ) − 2 2

และจงหาคา

x ∈ (0, π ]

ที่ทาํ ใหเกิดคาสูงสุด

และคาต่ําสุดของกราฟนี้

วันที่ 7 พฤษภาคม 2553 8.00 – 10.00 น.

1

กลุมเนื้อหาฟงกชัน

ขอสอบหลังการอบรมครั้งที่ 1 Master Teacher รายวิชาคณิตศาสตร 7. ถา

2 cot y = 3

เวลา 2 ชั่วโมง

แลว จงหาคา

cos( x + y + z ) + cos( y + z − x) + cos( z + x − y ) + cos( x + y − z ) sin( x + y + z ) + sin( y + z − x) + sin( z + x − y ) + sin( x + y − z )

8. กําหนดให

จงพิสูจนวา

arccos x + arccos y + arccos z = π

x 1 − x 2 − y 1 − y 2 + z 1 − z 2 = 2 xz 1 − y 2

9. ถา

0≤x≤

π 2

, 0≤ y≤

π

แลว จงหาคา

2 sin x + sin y = 1

x

และ

y

เปนเรเดียน ซึง่ สอดคลองกับระบบสมการ ……….. (1) ……….. (2)

cos x + cos y = 1

10. ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ดังรูป

จงพิสูจนวา

a cos A + b cos B + c cos C =

2a csc B csc C

11. สมศักดิ์และสมชายยืนอยูที่จุด P และจุด Q ตามลําดับ โดยทีจ่ ุดทั้งสองอยูห างกัน 20 ฟุตและอยู ระหวางตึก A และตึก B สมศักดิ์มองเห็นยอดตึก A และ B เปนมุมเงย 30o และ 60o ตามลําดับ สมชายมองเห็นยอดตึก A และ B เปนมุมเงย 45o และ 45o ตามลําดับ จงหาระยะหางของสมชาย กับยอดตึก B กําหนดให 2 ≈ 1.414 และ 3 ≈ 1.732 (ตอบเปนทศนิยม 2 ตําแหนง)

วันที่ 7 พฤษภาคม 2553 8.00 – 10.00 น.

2

กลุมเนื้อหาฟงกชัน

ขอสอบหลังการอบรมครั้งที่ 2 Master Teacher รายวิชาคณิตศาสตร

เวลา 2 ชั่วโมง

1. บนรถทัศนาจรคันหนึง่ พบวา มีผูเคยไปเที่ยวชลบุรีหรือระยอง 23 คน ในจํานวนนี้มีผทู ี่เคยไปทั้งชลบุรี และระยอง 4 คน มีผูไมเคยไปชลบุรี 17 คน มีผูไมเคยไประยอง 12 คน คนบนรถมีกี่คน และมีผูไมเคยไป ทั้งชลบุรีและระยองกี่คน

2. มีกลวย 6 ผล สม 4 ผล และมะมวง 3 ผล ผลไมแตละผลตางกัน 2.1 จะใหผลไมชนิดเดียวกัน 2 ผลแกลงิ ตัวหนึ่ง กระทําไดกี่วิธี 2.2 จะใหผลไมตางชนิดกัน 2 ผลแกลงิ ตัวหนึ่ง กระทําไดกี่วิธี

3. ที่รานขายหนังสือ มีหนังสือคณิตศาสตร 3 เลม ฟสิกส 4 เลม และเคมี 6 เลม หนังสือแตละวิชาเหมือนกัน 3.1 จะมีวิธีจดั หนังสือทัง้ หมด 13 เลม บนชั้นโดยไมใหมีหนังสือวิชาเดียวกันทุกเลมอยูติดกัน ไดกี่วิธี 3.2 จะมีวิธเี ลือกซื้อหนังสือเหลานี้ 10 เลม ไดกี่วธิ ี

4. 4.1 จงพิสูจนวา ∑ ⎛⎜ ⎞⎟2k k n

n

k =0

⎝ ⎠

4.2 จงหาสัมประสิทธิข์ องพจน

= 3n

x2 y 2

จากการกระจายนิพจน

(2 + x + y )5

5. มีจาํ นวนตาง ๆ กัน 2553 จํานวน จงแสดงวามีกลุม ของจํานวนเหลานี้ (อาจมีจํานวนเดียว) ที่มีผลบวกถูก หารดวย 2553 ลงตัว

6. มีบัตรชนิด A, B และ C อยางละ 7 ใบ ถาหยิบบัตรเหลานี้อยางสุม 10 ใบ จงหาความนาจะเปนที่จะเปน บัตรชนิด A 5 ใบ

วันที่ 12 พฤษภาคม 2553 14.30 – 16.30 น.

1

กลุมเนื้อหาคอมบินาทอริก

ขอสอบหลังการอบรมครั้งที่ 2 Master Teacher รายวิชาคณิตศาสตร

เวลา 2 ชั่วโมง

7. มีแผนกระดาษซึ่งเขียนสีเ่ หลี่ยมจัตุรัสขนาด 4 × 4 เซนติเมตร ไวเต็มแผน ถาโยนเหรียญขนาดรัศมี 1 เซนติเมตร ลงบนกระดาษนี้ จงหาความนาจะเปนทีเ่ หรียญจะอยูในสี่เหลีย่ มปด โดยไมทับเสน

8. คนไทยมีผสู ูบบุหรี่ 20% ในจํานวนผูสบู บุหรี่เปนผูชาย 70% ผูไมสูบบุหรี่เปนผูช าย 35% จงหาวาคนไทย เปนผูชายกี่เปอรเซ็นต และมีกี่เปอรเซ็นตของผูชายที่สูบบุหรี่

9. เครื่องจับเท็จเครื่องหนึง่ เชื่อถือได 95% ถาใชกับผูม ีความผิด และเชื่อถือได 99% ถาใชกบั ผูบริสุทธิ์ ถามีผูตองสงสัย 30 คน เปนผูมีความผิดจริง ๆ 3 คน นําผูตองสงสัยมา 1 คน ทดสอบแลวเครื่องทดสอบ บอกวามีความผิด จงหาความนาจะเปนที่เขาเปนผูบ ริสุทธิ์

10. 10.1 จงสรางตารางจัตุรัสละตินขนาด 6 × 6 ที่เปนผลเฉลยของปญหาซูโดกุ 10.2 จงสรางปญหาซูโดกุที่มีผลเฉลยเปนตารางในขอ 10.1

วันที่ 12 พฤษภาคม 2553 14.30 – 16.30 น.

2

กลุมเนื้อหาคอมบินาทอริก