Capitulo 2 triángulos

Geometría Preuniversitaria Triángulo

Triángulo Definición: Es la figura que resulta de unir tres puntos no colineales mediante segmentos de línea.

Si los lados de un triángulo son arcos de circunferencias máximas de una esfera, a dicho triángulo se le llama triángulo esférico.

Triángulo Rectilíneo Es la figura que resulta de unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta

Elementos: Vértices: A, B, C Lados: AB, BC, AC Si los lados del triángulo tienen longitudes a, b y c, entonces la longitud del triángulo es a+b+c.

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Geometría Preuniversitaria

Ángulos del triángulo:

Fig.(1) Fig. (2) Angulo Interior: es el ángulo que contiene a dos lados del triángulo.

En la Fig. (1): El ángulo PCQ es uno de los ángulos interiores del triángulo ABC Angulo exterior: es el ángulo que contiene a un lado del triángulo y a la prolongación de otro de los dos lados del triángulo.

En la Fig. (2): El ángulo MFN es uno de los ángulos exteriores del triángulo DEF.

Observación: En una circunferencia se pueden trazar diversos tipos de ángulos, como el ángulo central, inscrito, interior y exterior.

Los nombres de estos ángulos obedecen a la posición de su vértice respecto de la circunferencia.

Del ángulo inscrito se desprenden el ángulo semi inscrito y el ángulo ex inscrito.

El nombre completo de estos ángulos son, por ejemplo; ángulo central de la circunferencia, solo que por cuestiones prácticas se sobre entiende que es un ángulo de la circunferencia por tratarse el tema dentro del capítulo de circunferencia.

Propiedades de las medidas de los ángulos: En todo triángulo rectilíneo se cumple: Félix Flores Espíritu

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•

Geometría Preuniversitaria En todo triángulo la suma de las medidas de sus tres ángulos interiores es 180°.

En el triángulo ABC: α + β + θ = 180°

•

En todo triángulo la suma de las medidas de tres ángulos exteriores (uno relativo a cada vértice) es 360°.

En el triángulo ABC: θ + ϕ + Ω = 360°

•

La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.

En el triángulo ABC: Ω=α+β

•

La suma de las medidas de dos ángulos exteriores, de vértices distintos, es igual a 180° más la medida del ángulo interior no adyacente a ellos.

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Geometría Preuniversitaria

En el triángulo ABC: Ω + θ = 180° + α

Propiedades de las longitudes de sus lados: •

Desigualdad triangular ó Propiedad de existencia del triángulo

La longitud de cualquiera de sus lados es menor que la suma de las longitudes de los otros dos.

a < b + c; b < a + c y c < a + b

La longitud de cualquiera de los lados de un triángulo es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos lados pero menor que la suma. a-c=b=a+c Perímetros de figuras geométricas planas.

Conceptos Previos Todo triángulo, determina en el plano que lo contiene, dos regiones: una llamada, región interna y la otra región externa.

Perímetro Es el borde ó contorno de una región plana, también se puede entender como el límite de un espacio de tierra.

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Región Poligonal

Geometría Preuniversitaria

Es la unión de un polígono y su región interna Región Triangular Es la figura que resulta de unir el triángulo y la región interior que ella determina.

Por ejemplo: el perímetro de una región triangular, es el triángulo que lo limita, análogamente el perímetro de una región cuadrangular es el cuadrilátero que lo limita…

Notación de la longitud del perímetro de una región: Herón de Alejandría usaría la notación de p para la longitud del semiperímetro de la región triangular, concluyéndose que a la longitud del perímetro lo denotaremos con la letra 2p.

Si una región triangular tiene como longitudes de sus lados, a, b y c, la longitud de su perímetro seria a + b + c.

Luego: 2p = a + b + c Observación: •

La longitud del semiperímetro es mayor que la longitud de cualquiera de los lados de la región triangular. a < p; b < p y c < p

Propiedad: La suma de las distancias de un punto cualquiera de la región triangular, es mayor que p pero menor que 2p.

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Geometría Preuniversitaria

p < m + n + ℓ < 2p 2p = a + b + c, por lo tanto p =

a+ b+c 2

Problemas Resueltos 1. En el gráfico calcule x.

A) 10°

B) 20°

C) 25°

D) 30°

Solución:

Respuesta

2. En el siguiente gráfico calcule x si a+b = 200°.

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Página 6

E) 15°

Geometría Preuniversitaria A) 20°

B) 80°

C) 35°

D) 70°

E) 40°

C) 25°

D) 20°

E) 30°

Solución:

Respuesta

3. En el gráfico, calcule x-y

A) 10°

B) 15°

Solución:

Respuesta

4. UNI 2010-II Las longitudes de los lados de un triángulo forman una progresión geométrica de razón q > 1.

Entonces q toma los valores.

A) q >

B)

1+ √ 5 2

1−√ 5 2

C) 1 < q <

D)

1+ √ 5 2

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< q <

1+ √ 5 2

1+ √ 5 2

< q <

1+ √ 6 2

Página 7

Geometría Preuniversitaria E)

1+ √ 6 2

< q <

1+ √ 7 2

Solución:

Respuesta C.

5. Los lados de un triángulo miden: 8u, (5+

√ 16−x

)u, (5-

√ 16−x

)u respectivamente. La

suma de todos los valores enteros posibles que puede tomar x es:

A) 150

B)146

C)150

D)136

E)120

Solución:

Respuesta D.

6. En el gráfico calcule y si las diferencias de las medidas angulares EAC y CBA es 40°.

A) 100° Félix Flores Espíritu

B) 110°

C) 120° Página 8

D) 90°

Geometría Preuniversitaria Solución:

Respuesta

7.

En el gráfico α + β=100°. Calcule x.

A) 50°

B) 60°

C) 70°

D) 80°

Solución:

Respuesta

8. En el gráfico mostrado m+n=250°. Calcule x.

A) 125° Félix Flores Espíritu

B) 150°

C) 160° Página 9

D) 135°

Geometría Preuniversitaria Solución:

Respuesta

9. UNMSM 2011-II En la figura, si

α +

A) 20°

β + γ = 400°, halle x.

B) 40°

C)30°

D) 50°

E)60°

Solución:

Respuesta

10. En el siguiente gráfico AB = 2, BC = 11 y CD = 5. Calcule el mayor valor entero de AE.

A) 12 Félix Flores Espíritu

B) 16

C) 15 Página 10

D) 17

E) 13

Geometría Preuniversitaria Solución:

En el gráfico trazamos AD, luego concluimos que AD < AB + BC + CD, entonces AD < 2 + 11 + 5 = 18.

En el triángulo ADE: El ángulo AED es el mayor de los ángulos interiores del triángulo, por lo tanto AD es el mayor de los lados.

Por lo tanto AE < AD y como AD < 18, entonces AE < AD < 18 Luego el mayor valor entero que puede tomar AE es 17.

Respuesta D.

11. ABC y AEC son triángulos rectángulos cuya hipotenusa común es AC y cuyos catetos mayores AB y CE se intersecan. Si AB+CE=12 y AE+BC=6. Halle la suma de los valores enteros que puede asumir la longitud de la hipotenusa común.

A) 14

B) 15

C) 16

D) 17

Solución: Sea AB = a, BC = b, CE = c y AE = d, entonces a + c = 12 y b + d = 6

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E) 18

Geometría Preuniversitaria

En ABC: x > a > b y x < a + b En AEC: x > c > d y x < c + d Sumando ambas desigualdades: 2x > a + c, entonces 2x > 12, por lo tanto x > 6… I y 2x < a + b + c + d, entonces 2x < 18, por lo tanto x < 9… II De I y II: 6 < x < 9, luego los valores enteros que puede tomar x es 7 y 8.

Por lo tanto 7 + 8 = 15.

Respuesta B.

12. Calcule el máximo valor entero de CE si: AC tiene el mínimo valor entero, BC=3m y AC=CD. (α>90°)

A) 9

B)8

C)8,5

Solución:

Respuesta

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Página 12

D)7

E)6

Geometría Preuniversitaria 13. En los lados AB y BC de un triángulo ABC, se ubican los puntos M y N respectivamente, de modo que AM + CN = 8. Calcule el mínimo valor entero de AN + MC.

A) 7

B) 8

C) 9

D) 15

E) 17

14.En la prolongación del lado AC de un triángulo ABC, se ubica el punto D, luego en AB se ubica el punto P tal que DP

∩ BC = R; PB = BR; AP = RD y m ∡ ABC = 4(m ∡ PDC). Calcule el

máximo valor entero de la medida del ángulo PDC.

A) 21°

B) 22°

C) 23°

D) 26°

E) 30°

15.En los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC se ubican los puntos P, Q y M respectivamente, de modo que el perímetro de la región MQP es 10. Calcule el mínimo perímetro entero de la región triangular ABC.

A) 9

B) 10

C) 11

D) 19

E) 21

16.UNI 2002 I. Deduzca el valor de verdad de las siguientes afirmaciones.

I.

En todo triangulo acutángulo la altura es menor que la semisuma de los otros dos lados que parten del mismo vértice.

II.

En todo triángulo, la altura es menor que la medida de los otros tres lados del triángulo.

III. En todo triángulo acutángulo, la suma de las tres alturas es mayor que la suma de los tres lados del triangulo.

A) VVV

B)VVF

C)FFV

17.

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Página 13

D)VFV

E)VFF

Geometría Preuniversitaria

Problemas Propuestos

1. En un triangulo ABC, sobre AC se ubican los puntos P y Q (A, P, Q y C en ese orden) y en BC se ubica el punto M que equidista de los puntos B, C y Q. Si AP=8 y BP=6, calcule el valor par que toma AB.

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 14

2. Dado un triangulo BAC donde las medidas de, los ángulos en A y C son 30° y 50° respectivamente, se ubica el punto Q exterior al triangulo y relativo al lado AC, tal que AB=AQ y m

∡ QAC = 10°. Calcule la medida del ángulo ACQ.

A) 30°

B) 37°

C) 45°

D) 53°

E) 60°

3. Dado un triangulo ABC, se trazan las bisectrices interiores AP y BQ. Calcule la medida del menor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos APC y BQC, si es igual a la octava parte de la medida del ángulo ACB. A) 10°

B) 12°

C) 15°

D) 18° E) 20°

4. En un triángulo ABC donde la m ∡ BAC = 2(m ∡ ACB), se traza la bisectriz AD. Calcule el máximo valor entero que puede tomar DC, si AB=4.

A) 3

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B) 4

C) 5

Página 14

D) 6

E) 7

Geometría Preuniversitaria 5. En un triángulo ABC se traza las cevianas AQ y BD, las cuales se intersecan en P. Si AP=AD=QC y BD=DC, Calcule la diferencia del máximo y del mínimo valor entero que puede tomar la medida del ángulo ACB.

A) 7°

B) 8°

C) 9°

D) 12°

E) 18°

C) 120°

D) 126°

E) 143°

6. En el siguiente gráfico, Calcule x.

A) 105°

B) 108°

7. En el triángulo ABC, se ubica P en la región interior de modo que la m ∡ PCB =2(m ∡ PCA)= 24°. Si AC=BC y AB=PC. Calcule la m ∡ PBC.

A) 20°

B) 30°

C) 36°

D) 42°

E) 48°

8. En un triángulo ABC se cumple: AB=2 y AC=10. Halle el perímetro de la región triangular ABC sabiendo que es un número entero y el ángulo en B es obtuso.

A) 20

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B) 21

C) 22

Página 15

D) 23

E) 24

Geometría Preuniversitaria 9.

Cuadro de Respuestas pregunta

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clave

pregunta

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

Página 16

clave

10

Geometría Preuniversitaria 20

Teorema de Visschers Si en un triángulo ABC, AC < BA < BC y P es un punto cualquiera de la región interior al triángulo, entonces PA+PB+PC < BA+BC. (PROBLEMA DE VISSCHERS).

Resolución: Lema 1. Si una curva convexa en la región interior de un triángulo isósceles ABC pasa por los vértices A y C de su base AC (lado desigual), cualquier punto L de dicha curva es tal que BL < BA ^ BL < BC. Lema 2. Si una curva convexa pasa por los vértices Q 0 y Qn de un triángulo Q0BQn (Q0Qn < BQ0 < BQn) y está en su región interior, y además la ceviana interior BS, interseca a la curva en P, sucede siempre que BP < BQn.

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Página 17

Geometría Preuniversitaria

Figura1: BQ0 < BQn ó BP < BQn. Prueba: Como BP < BS y BS < BQn, entonces BP< BQn. Lema 3. Si una elipse con focos en los vértices A y C del menor lado AC de un triángulo ABC interseca al mayor lado BC del triángulo, en Q n, entonces AQn < AB. Prueba: Como AC < AB, se tiene de inmediato que AC < AQn < AB. Prueba:

Figura : Trazando la elipse.

Con focos en A y en C del menor lado AC trazamos una elipse que pase por el punto P, entonces: AP + PC = AQn + QnC Del Lema 2, tenemos: BP < BQn , Sumando AP + PC a (2), concluimos que:

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AP + BP + CP < AQn + BQn + QnC

Geometría Preuniversitaria

AP + BP + CP < AQn + BC Del Lema 3, tenemos: AQn < AB, Sumando BC a (3), concluimos que: AQn + BC < AB + BC; como: AP + BP + CP < AQn + BC; entonces: AP + BP + CP < AB + BC: •

En un triángulo ABC, AC < BA < BC Ubique el punto P de la región interna o de su frontera de modo que PA + PB + PC es máximo.

Resolución: De lo demostrado en el problema anterior y si en un triángulo ABC, AC < BA < BC y P es un punto cualquiera de la región interior o de su frontera, entonces el valor máximo de PA + PB + PC es el máx (AB + BC; BC + CA; AB + AC) es decir, sucede cuando P es un vértice del triángulo ABC.

Clasificación de Triángulos y Líneas Notables

Clasificación de los Triángulos Los triángulos se clasifican por las longitudes de sus lados o por las medidas de sus ángulos.

•

Por las longitudes de sus lados Triángulo escaleno es aquel triángulo cuyos lados son diferentes entre sí.

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Geometría Preuniversitaria AB ≠ BC BC ≠ AC AC ≠ AB

Triángulo Isósceles es aquel triángulo que tiene un par de lados de igual longitud y el tercero diferente.

DE=EF; DF ≠ DE; DF

≠ EF DF: Es base del

∆ DEF

El tercero lado diferente a los dos primeros, es llamado base del triángulo.

Teorema: En todo triángulo isósceles a lados de igual longitud se oponen ángulos de igual medida.

Teorema Reciproco: En todo triángulo que tiene dos ángulos de igual medida, a dichos ángulos se oponen lados de igual longitud.

Triángulo Equilátero es el triángulo que tiene sus tres lados de igual longitud

GH=HI=GI Se cumple: m ∡ HGI = m ∡ HIG = m ∡ GHI=60° Teorema: En todo triángulo equilátero las medidas de sus ángulos interiores es 60°.

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Geometría Preuniversitaria

Propiedad:

Si un triángulo tiene dos lados de igual longitud y la medida del ángulo que contiene a dichos lados es 60°, entonces dicho triángulo es equilátero.

•

Por las medidas de sus ángulos

Triángulo acutángulo es aquel triángulo que tiene sus tres ángulos interiores agudos m ∡ BAC = α, si 0° < α < 90° Entonces el ángulo BAC es agudo, análogamente los ángulos ABC y ACB deben ser agudos.

∴ Δ ABC: acutángulo

Triángulo Rectángulo es el triángulo que tiene un ángulo recto.

ED y DF son llamados catetos y EF es hipotenusa a>b

y a>c

a 2 = b 2 + c2

Triángulo Obtusángulo es aquel triángulo que tiene uno de sus ángulos interiores obtuso.

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Geometría Preuniversitaria

Problema de aplicación:

Anthony mide los 6 ángulos de dos triángulos (uno es acutángulo y el otro es obtusángulo). Recuerda cuatro de los ángulos: 120°, 80°, 55°, y 10°. ¿Cuánto mide el menor ángulo del triángulo acutángulo?

A) 5°

B) 10°

C) 45°

D) 55°

E) imposible de determinar

Solución:

Sean A, B y C los vértices del triángulo acutángulo; M, N y Q los vértices del triángulo obtusángulo, como uno de los ángulos que recuerda es 120° (ángulo obtusángulo), por lo tanto es uno de los ángulos del triángulo MNQ. Los otros dos ángulos de este triángulo tienen medidas que suman 60°, por lo tanto las únicas medidas que podrían tener estos ángulos serian 55° ó 10°.

Si una de las medidas fuera 55°, entonces el triángulo ABC tendría ángulos que miden 80° y 10°, esto significa que es un triángulo rectángulo, opción que se descarta por que el triángulo ABC es acutángulo.

De lo anterior el triángulo MNQ tiene ángulos que miden 120°, 10° y el ángulo que no recuerda Anthony mide 50°.

Luego en el triángulo acutángulo ABC, los ángulos miden 80°, 55° y el que no recuerda mide 45°, siendo de los tres, el que tiene menor medida.

Respuesta C. Ceviana: es el segmento de recta, que une uno de los vértices del triángulo con un punto cualquiera de su lado opuesto (lado relativo).

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Geometría Preuniversitaria

Líneas Notables: son aquellas rectas o porciones de ella (segmentos) que cumplen una determinada propiedad.

•

Mediana Es aquella ceviana que biseca su lado relativo

•

Bisectriz Es aquella ceviana interior que biseca el ángulo del triángulo al cual es relativo.

Observación: •

Es importante recordar que la bisectriz de un ángulo es diferente a la bisectriz del triángulo, en el primer caso es un rayo y en el segundo un segmento.

•

La bisectriz exterior está más próxima al menor de los lados adyacentes a los cuales es relativo.

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•

Geometría Preuniversitaria En un triangulo isósceles no existe bisectriz exterior relativa a su base.

•

Los triángulos equiláteros no tienen bisectriz exterior alguna.

•

Altura Es la ceviana perpendicular a su lado relativo

•

Mediatriz Es la recta que biseca un lado del triángulo, perpendicularmente.

Búsqueda del triángulo isósceles: Para resolver un problema en geometría del tema de triángulos es importante tener en cuenta el teorema del triángulo isósceles.

Para que aparezca un triángulo isósceles, es necesario hacer trazos, auxiliares, como por ejemplo: una ceviana interior ó una ceviana exterior.

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Geometría Preuniversitaria

Algunas formas como se presenta: •

Si en un triángulo observamos que dos ángulos interiores miden 2α y 90°-α, entonces dicho triángulo es isósceles

•

Si en un triángulo observamos que un ángulo interior mide 2α y un ángulo exterior no adyacente al primero mide 90°+α, entonces dicho triángulo es isósceles.

Observación: Si en un triángulo, un ángulo interior es el doble de otro.

En el triángulo ABC se recomienda trazar una ceviana interior BD de tal forma que el triángulo ABD sea isósceles (BD=BA=ℓ), luego la m ∡ BDA=2α.

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Geometría Preuniversitaria

Pero en el triángulo BDC, por propiedad del ángulo exterior, la m ∡ DBC = α, entonces el triángulo DBC también es isósceles. De esta manera aparecen dos triángulos isósceles. (ΔABD y ΔBDC de bases AD y BC respectivamente) Ángulos entre bisectrices Al trazar bisectrices en un triángulo, estas al intersecarse determinan ángulos cuyas medidas las podemos relacionar de la manera siguiente: •

Dos bisectrices interiores Sea m ∡ AIC = x En el triángulo AIC: α + β + x = 180°…I y en ABCI: x = α + β + Ω, entonces α+ β = Ω - x…II Reemplazando II en I: x = 90° + Ω/2 m ∡ AIC = 90° + (m ∡ ABC)/2

•

Una bisectriz interior y una exterior

m ∡ AEC = ½ m ∡ ABC

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•

Geometría Preuniversitaria Dos bisectrices exteriores

m ∡ AEC = 90° - (m ∡ ABC)/2

Problemas Resueltos

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1. UNMSM 2012 II

En la figura, las rectas L1 y L2 son paralelas; además. QR = RP. Halle el valor de x.

A) 80°

B) 40°

C) 50°

D) 60°

E)90°

Solución:

L2//L1 entonces la m ∡ MQS = 50°, luego la m ∡ RQP = m ∡ MQS = 50°.

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Geometría Preuniversitaria

En el ΔRQP: m ∡ MQS = m ∡ RPQ = 50°, entonces en ABQP: 50° + x = 50°+ 50°, luego x = 50°

Respuesta C.

2. En el siguiente gráfico, AB=BC=CD, la m ∡ ABC=60° y la m ∡ BCD=80°. Calcule la m

∡ BAD.

A) 100°

B) 120°

C) 130°

Solución:

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D) 135°

E) 140°

Geometría Preuniversitaria Trazamos CA para aprovechar que AB = BC = ℓ y la m ∡ ABC=60°, entonces el triángulo ABC es equilátero, por lo tanto AC = ℓ y m ∡ ACB = m ∡ CAB =60°, entonces la m

∡ ACD = 20° y como CD = ℓ = AC, entonces la m ∡ ADC = m ∡ DAC=80°.

Luego la m ∡ BAD = m ∡ BAC + m ∡ CAD = 140°.

Respuesta E.

3.

IV ONEM 2007 (1ra Fase, Nivel 3) En el interior de un triángulo ABC se toma el punto E tal que AE = BE y AB = EC.

Si m ∡ ABE = x = m ∡ ECA; m ∡ EAC = 2x y m ∡ EBC = 5x, calcula el valor de x.

A) 10°

B) 12°

C) 15°

D) 18°

E) 20°

Solución:

En el triángulo isósceles AEB: la m ∡ EAB = m ∡ EBA = x, por lo tanto en el cuadrilátero Cóncavo ABEC (cóncavo en E); la m ∡ BEC = 5x, entonces el triángulo ECB es isósceles (m ∡ BEC = m ∡ EBC = 5x), por lo tanto BC = EC = ℓ.

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Geometría Preuniversitaria

Luego en el triángulo ABC: AB = BC = ℓ, de donde la m ∡ BAC = m ∡ BCA = 3x y en consecuencia la m ∡ ECB = 2x y en el triángulo ECB: 12x = 180°

→ x = 15° Respuesta C. 4. V ONEM 2008 (1ra Fase, Nivel 3) En un triángulo ABC, la bisectriz del ángulo ABC interseca al lado AC en el punto D, la bisectriz del ángulo BDC interseca al lado BC en el punto E. Si la bisectriz del ángulo BED es perpendicular al lado AB y además la m ∡ ACB = 26°. Calcule la m ∡ ADE.

A) 66°

B) 114°

C) 77°

D) 103°

E) 11°

Solución: Graficamos según el enunciado: Sea m ∡ ABC = 2β y m ∡ BDC = 4α

Para calcular la m ∡ ADE, bastara con conocer la m ∡ EDC = 2α, en el triángulo EDC, la m ∡ DEB = 2α + 26°, entonces la m ∡ DEF = m ∡ FEB = α+13° En el triángulo EBF: α + 2β = 77°…. I En el triángulo BDC: 4α + β = 64°… II

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Geometría Preuniversitaria

De I y II: 2α = 66°, por lo tanto la m ∡ ADE = 114°.

Respuesta B.

5. Sea ABC un triángulo isósceles de base AC, en BC y AC se ubican los puntos M y N respectivamente, de modo que el triángulo NBM también es isósceles de base MN. Calcule

m ∡ CNM m ∡ ABN .

A) 1

B) 2

C) 3

D) ½

E) 2/3

Solución:

En el ΔABC: la m ∡ BAC = m ∡ BCA= θ Sea la m ∡ CNM = α, entonces en el triángulo CNM: la m ∡ NMB = α + θ y en el ΔNBM:

la m ∡ MNB = m ∡ NMB = α + θ.

En el ΔABN: la m ∡ BNC = θ + m ∡ ABN. …I

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Geometría Preuniversitaria

Del gráfico: la m ∡ BNC = α + (α + θ)

…II

De I y II: la m ∡ ABN = 2α

Entonces:

m ∡ CNM m ∡ ABN

=

α 2α

=½.

Respuesta D.

6. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BD, de modo que la m ∡ BDC=2(m

∡ BCA) = 4(m ∡ BAC). Si BD+BC=10, calcule AD.

A) 5

B) 7,5

C) 10

D) 12,5

E) 15

Solución:

Sea m ∡ BDC=2(m ∡ BCA) = 4(m ∡ BAC) = 4α, si BD = a y BC = b, entonces a + b = 10 En AD ubicamos el punto E, de modo que la m ∡ BED = 2α, entonces EB = BC = b.

En el triángulo EBD: la m ∡ EBD = 2α, por lo tanto ED = BD = a En el triángulo AED: la m ∡ ABE = m ∡ BAE = α, entonces AE = BE = b Finalmente AD = AE + ED = b + a = 10.

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Página 33

Geometría Preuniversitaria Respuesta C.

7.

En el triangulo ABC se traza la ceviana interior BM, de modo que la m ∡ MBC=120°, la m

∡ ACB=20° y AM=MB +BC. Calcule la m ∡ ABM.

A) 10°

B) 15°

C) 20°

D) 25°

E) 30°

Solución:

Sea BC = a y BM = c, entonces AM = c + b y nos piden la m ∡ ABM. En el triángulo BMC: la m ∡ BMC = 40°.

En AM ubicamos el punto N de modo que MN = MB = c, entonces la m ∡

MNB = m ∡

MBN = 20°, por lo tanto NB = BC = a, como AM = a + c, resulta que AN =a.

En el triángulo ABN: (AN = NB = a) la m ∡

NAB = m ∡ NBA = 10°. Por lo tanto la m ∡

ABM = 30°.

Respuesta E.

Félix Flores Espíritu

Página 34

Geometría Preuniversitaria 8. En la región externa relativa al lado BC del triángulo ABC se ubica el punto E y en la prolongación de AC se ubica el punto D. Si m ∡ BAE=3(m ∡ EAC) y m ∡ BCE=3(m

∡ ECD), calcule la m ∡ AEC sabiendo que la m ∡ ABC=100°.

A) 10°

B) 15°

C) 20°

D) 25°

E) 30°

Solución:

En el triángulo ABC trazamos la bisectriz del

∡ interior BAC y la bisectriz del

∡

exterior BCD, que se intersecan en F. Entonces por la propiedad del ángulo formado por la bisectriz interior y exterior, la m ∡ AFC = ½ (m ∡ ABC) = 50°.

En el triángulo AFC: AE y CE son bisectrices del ángulo interior FAC y ángulo exterior FCD, respectivamente. Entonces por la propiedad del ángulo formado por la bisectriz interior y exterior, la m ∡ AEC = ½ (m ∡ AFC) = 25°.

Respuesta D.

9. UNI 2010-I En un triangulo ABC. Denote por I al incentro y por O a la intersección de la bisectriz interior del ángulo A con la bisectriz exterior del ángulo C. Si m ∡ AIC + m ∡ COA =150°, Halle m ∡ A) 20° Félix Flores Espíritu

COA.

B) 25°

C) 30° Página 35

D) 35°

E) 40°

Geometría Preuniversitaria

Solución:

Si I es incentro de ABC, entonces AI y CI son bisectrices interiores, sea la m ∡ ABC = 2α

Por propiedad del ángulo formado por dos bisectrices interiores, la m ∡ AIC = 90°+ ½(m ∡ ABC) = 90°+α Por propiedad del ángulo formado por una bisectriz interior y una exterior, la m ∡ AOC = ½(m ∡ ABC) = α Del dato: m ∡ AIC + m ∡ COA =150°, entonces (90°+α) + (α) = 150°, por lo tanto α = 30° Como nos piden la m ∡

COA = α = 30°

Respuesta C.

10. Conamat En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se traza la ceviana interior CM. Si la m ∡ BAC = 2(m ∡ MCB), BM = 2 y AM = 1. Calcule AC. A)3 Félix Flores Espíritu

B)4

C)5 Página 36

D)6

Geometría Preuniversitaria

Solución:

En la prolongación de AB ubicamos M1 el simétrico de M respecto de B, entonces M 1B =BM =2 Luego la m ∡ CM1M = m ∡ CMM1 = 90°-α.

En el triángulo AM1C: m ∡ AM1C = m ∡ ACM1 = 90°-α, entonces AC = AM1, por lo tanto x = 5.

Respuesta C.

11. En la figura mostrada BE=a, EC =b. Halle AE.

A) a+b

B) (a+b)/2

C) 2(a+b)

Solución:

Félix Flores Espíritu

Página 37

D) 2a+b

E) 2b+a

Geometría Preuniversitaria

Sea E1 el simétrico de E respecto de B, entonces E1B = BE = a, luego la m ∡ E1AB = m

∡ EAB = 10°+2α, además AE = AE = x 1 En el triángulo AE1C: la m ∡ E1AC = m ∡ E1CA = 50° + α, por lo tanto E1A = E1C = 2a + b Finalmente x = 2a + b.

Respuesta D.

12. En el gráfico: AD = BC, calcule x.

A) 5°

Félix Flores Espíritu

B) 9°

C) 10°

Página 38

D) 15°

E) 20°

Geometría Preuniversitaria

Solución: Sea AD = BC = ℓ

Prolongamos CD y en dicha prolongación ubicamos el punto E, de modo que BE = BC = ℓ, entonces la m ∡ BEC = 20° y en el triángulo DBC; la m ∡ BDE = 80°, por lo tanto el triángulo EBD es isósceles (ED = EB = ℓ).

También la m ∡ EDA = 60° y como ED = AD = ℓ, el triángulo EDA es equilátero de lado ℓ.

Luego en el triángulo AEB: la m ∡ AEB = 80° y AE = EB = ℓ, por lo tanto la

m

∡ BAE = m ∡ EBA = 50°, entonces x = 10°.

Respuesta C. 13. En la región interna de un triángulo isósceles ABC, de base AC, se ubica el punto P. De modo que la m ∡ PAB= 40°, m ∡ PBA = 30° m ∡ PBC = 10°. Calcule la m ∡ PCB.

A) 10°

Félix Flores Espíritu

B) 15°

C) 20°

Página 39

D) 30°

E) 40°

Geometría Preuniversitaria

Solución:

Sea AB = BC = ℓ y en el triángulo ABP, prolongamos AP hasta Q, entonces la m ∡ BPQ = 70°, como Q es un punto de la recta AP, ubicamos el punto Q de tal modo que BQ = AB = ℓ

Respuesta C.

14. ABC es un triangulo isósceles de base AC, se ubica un punto interior D de modo que m ∡ BAD=50°, m ∡ DAC=30° y m ∡ DCB=25°. Calcule m ∡ DBC.

A) 5°

B) 7°

C) 8°

D) 9°

Solución:

Félix Flores Espíritu

Página 40

E) 10°

Geometría Preuniversitaria

Sea AB = BC = ℓ. Si la m ∡ BAC = 80° entonces la m ∡ BCA = 80° y la m ∡ ABC = 20° En la prolongación de AD ubicamos el punto E de modo que BE = AB = ℓ, entonces la

m

∡ BEA = 50° y en el triángulo ABE; la m ∡ CBE = 60°.

Si BC = BE = ℓ y la m ∡ CBE = 60°, entonces el triángulo CBE es equilátero, por lo tanto EC = ℓ y la m ∡ CEA = 10°.

En el triángulo ACD: la m ∡ CDE = 85°, entonces el triángulo CDE es isósceles (m ∡ CDE=m ∡ DCE= 85°) en consecuencia DE = CE = ℓ.

Finalmente en el triángulo DBE: la m ∡ DBE = 60° + x = m ∡ BDE = 65°, en consecuencia x = 5°.

Respuesta A.

15. En el gráfico AB = AC, calcule x.

Félix Flores Espíritu

Página 41

Geometría Preuniversitaria

A) 40°

B) 50°

C) 60°

D) 70°

E) 80°

Solución: Como AB = AC y la m ∡ BAC = 20°, entonces la m ∡ ABC = m ∡ ACB = 80° Sean M, N y P los puntos del triángulo ABC, además BC = ℓ

En el triángulo MBC: m ∡ BAC = 80° y MC = BC = ℓ En el triángulo PBC: m ∡ CPB = m ∡ CBP = 50°, entonces PC = BC = ℓ En el triángulo NMC: m ∡ MNC = m ∡ MCN = 40°, luego MN = MC = ℓ En el triángulo ABC: la m ∡ MCA = 60°, entonces el triángulo PCM es equilátero (CM = CP = ℓ y m ∡ MCP = 60°), por lo tanto NP = ℓ y la m ∡ CMP = m ∡ CPM = 60°.

En el triángulo NMP: NM = PM = ℓ y la m ∡ PMN = 40°, por lo tanto la m ∡ PNM = m ∡ NPM = x = 70°.

Félix Flores Espíritu

Página 42

Geometría Preuniversitaria

Respuesta D.

16. En un triángulo ABC: AB=CM. Halle el valor de θ. Si el ángulo en A es obtuso.

B) 10°

B) 12°

C) 15°

D) 18°

E) 20°

Solución:

En el triángulo BCM: por ser la m ∡ MCB = 2(m ∡ MBC), trazamos ML de modo que ML = LB, entonces m ∡ LMB = m ∡ LBM = θ, por lo tanto m ∡ MLC = 2θ = m ∡ MCB y BL = ML= CM = ℓ

Félix Flores Espíritu

Página 43

Geometría Preuniversitaria

En el triángulo ABC: la m ∡ ABC = 180°-12θ, entonces en el triángulo ABL; (AB = BL = ℓ), luego m ∡ ALB = m ∡ LAB = 6θ, por lo tanto la m ∡ LAC = 4θ = m ∡ LMA y LA = LM = ℓ.

Finalmente el triángulo ABL resulta ser equilátero, por lo tanto 6θ = 60°, de ello se concluye que θ = 10°.

Respuesta A.

17. En la región exterior del triangulo ABC y relativo al lado AB, se ubica el punto M, de modo que BM=AC, m ∡ ABM=25°, m ∡ BAC=75° y m ∡ BCA=70°, calcule la m ∡ MAB. A) 15°

B) 20°

C) 30°

D) 18°

E) 36°

Solución:

En el triángulo ABC la m ∡ ABC = 35°, como la m ∡ ACB = 70°, entonces trazamos AN (N en BC) de modo que la m ∡ BAN = 35°, para que la m ∡ ANC = 70°.

Luego en CAN: AN = AC = ℓ y en ANB: BN = AN = ℓ.

También podemos observar que la m ∡ MBN = 60° y como MB = AC = ℓ, concluimos que el triángulo MBN es equilátero. Por lo tanto la m ∡ BMN = m ∡ BNM = 60° y MN = ℓ.

Félix Flores Espíritu

Página 44

Geometría Preuniversitaria

Ahora notamos que el triángulo MNA es isósceles y la m ∡ MNA = 50°, por lo tanto la m

∡ NAM = m ∡ NMA = 65°, entonces x + 35° = 65°, de donde x = 30° Respuesta C.

18. Si BP = AB + AM, calcule α.

A) 20°

B) 30°

C) 40°

D) 50°

E) 60°

Solución:

Prolongamos MA hasta N de modo que AN = AB = a, entonces la m ∡ ANB = m ∡ ABN = θ, resultando isósceles el triángulo NBC; (NB = BC), también el triángulo NBM resulta ser isósceles pues la m ∡ BMN = m ∡ MBN = α + θ Respuesta C. 19. Del gráfico que se muestra, Calcule α.

Félix Flores Espíritu

Página 45

Geometría Preuniversitaria

A) 15°

B) 10°

C) 8°

D) 6°

E) 5°

Solución:

En el triángulo ADC: la m ∡ DCA = m ∡ DAC = 2α En la región interna del ΔABC; Ubicamos el punto D', de modo que el ΔAD'C es el Simétrico del ΔADC. Entonces la m ∡ D'AC = m ∡ D'CA = 2α y AD' = D'C = t y la m ∡ D'CB = 3α.

Como en todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°, entonces en el ΔABC: la m ∡ D'AB = 180° - 20α En el ΔBAD' (isósceles): la m ∡ ABD' = m ∡ AD'B = 10α, por lo tanto la m ∡ D'BC = 3α, de lo cual el triángulo D'BC es isósceles y D'B = D'C = t.

Finalmente el triángulo ABD' resulta ser equilátero, por lo tanto 10α = 60° Félix Flores Espíritu

Página 46

Entonces α = 6°

Geometría Preuniversitaria

Respuesta D.

20. En el triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en B, que se muestra en la figura calcule x.

Solución:

Sea AB=BC=ℓ, prolongamos AD hasta el punto E, buscando el triángulo isósceles ABE, luego BE=AB=ℓ y la m ∡ BEA=2x.

En el triángulo ABD, la m ∡ BDE=90°-x. por lo tanto El triángulo BED también es isósceles, donde DE=BE=ℓ.

Como la m ∡ BAC = m ∡ BCA = 45°, entonces la m ∡ DCB = 45°- x = m ∡ CDE. Si P es el punto de intersección de DE y BC, entonces DP = PC y BP = PE.

Félix Flores Espíritu

Página 47

Geometría Preuniversitaria

Por lo tanto la m ∡ PBC= 2x y en el Δ DBE: 90°- x = 5x de donde x = 15°.

Respuesta B.

Problemas Propuestos 1. En un triángulo ABC se traza la altura BH y la bisectriz interior AD, que se intersecan en L, tal que BL=LD, además, en el triángulo ADC se traza la bisectriz interior AE. Calcule la mAEC. A) 90°

B) 105°

C) 120°

D) 127°

E) 135°

2. En un triángulo acutángulo ABC se traza la bisectriz interior AP y la altura BH. Si la mACB - mABH=10°, calcule la medida del menor ángulo determinado por AP y la bisectriz del ángulo HBC. A) 75°

B) 80°

C) 85°

D) 90°

E)70°

3. En el gráfico, los triángulos ABC y DEF son isósceles de bases AC y DF, respectivamente.

Calcule x.

A) (a°+b°)/2

B) (a°-b°)/2

C) (2a°+b°)/2

D) (a°+2b°)/2

4. En el gráfico, ABC es un triángulo isósceles de base AC, calcule x.

Félix Flores Espíritu

Página 48

E) (a°+b°)/3

Geometría Preuniversitaria

A) 30°

B) 45°

C) 40°

D) 37°

E) 50°

5. En la región externa y relativa al lado AC del triángulo ABC se ubica el punto D, de modo que AB=AD, mBAC=3(mDAC)=3θ y mBCA=60°-θ. Calcule la mDCA. A) 20°

B) 25°

C) 30°

D) 35°

E) 40°

6. En el triángulo ABC se traza la ceviana interna BM. Si la mMBC=120°, mBCA=20° y AM= MB + BC. Calcule la mABM. A) 10° 7.

B) 15°

C) 20°

D) 25°

E) 30°

En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se traza la ceviana interior CM. Si la m ∡ BAC = 2(m ∡ MCB) = 40°, BM=a y AM=b. Calcule AC.

A) a+b

8.

B) 2a +b

C) 2b +a

Del grafico, Calcule x. Si AB=CD.

Félix Flores Espíritu

Página 49

D)

√ a .b

A) 15°

B) 22°30'

Geometría Preuniversitaria C) 30° D) 45°

E) 60°

9. En el gráfico AB=AD=DC. Halle el valor de α

A) 10°

B) 15°

C) 18°

D) 20°

E) 30°

10. En el gráfico , AB = AD = DC, calcule la m ∡ BAC.

A) 30°

B) 35°

C) 40°

D) 45°

E) 50°

11. En el gráfico, si AB = DC, calcule x.

A) 5° Félix Flores Espíritu

B) 6°

C) 8° Página 50

D) 9°

E) 10°

Geometría Preuniversitaria 12. En la prolongación de AC, de un triángulo ABC, se ubica el punto D y en AB se ubica el punto E. Si AB=AD=DE y la mBCD=134°. Calcule el valor entero que puede tomar la m ABC. A) 40°

B) 45°

C) 48°

D) 50°

E) 60°

13. En el triángulo BAC, calcule x. Si mABC=80°

A) 65°

B) 70°

C) 75°

D) 80°

E) 55°

14. En el grafico mostrado. Calcule x.

A) 45°

B) 78°

C) 60°

15.Según el gráfico calcule x.

Félix Flores Espíritu

Página 51

D) 56°

E) 45°

Geometría Preuniversitaria

A) 10°

B) 12°

C) 15°

D) 20°

E) 25°

16. Sobre los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC, se ubican los puntos P, Q y R respectivamente; tal que PR=QR y mPRQ=90° y mBPQ+ mRQC=65°. Halle la mARP, si AB=BC. A) 10°

B) 15°

C) 18°

D) 20°

E) 30°

17. Dado un triángulo ABC, se ubica el punto P en la región interna al triángulo, de modo que AP = BC, la m ∡ APC=120°, m ∡ PBC=30° y la m ∡ PCB =40°. Calcule la m ∡ PAB.

A) 10°

B) 15°

C) 20°

D) 30°

E) 40°

18. En el triángulo ABC, se traza la ceviana interior BD, de modo que DC = AB. Si la m ∡ BAC = 96° y la m ∡ ACB = 30°. Calcule la m ∡ DBC.

A) 15°

Félix Flores Espíritu

B) 24°

C) 30°

Página 52

D) 36°

E) 21°

Geometría Preuniversitaria

19. En la región exterior a BC de un triángulo ABC, se ubica D, tal que AC = BD = CD, m ∡ BAC = 70° y m ∡ ACD = 100°, calcule m ∡ ABD, sabiendo que es obtuso.

A) 80°

B) 90°

C) 100°

D) 120°

E) 130°

20. En el triángulo ABC, se traza la ceviana interna AM y en los triángulos ABC y AMC se trazan la bisectriz interior BP y bisectriz interior MQ, respectivamente.

De modo que la m ∡ BAM =

A) 12°

m ∡ BPA 4

B) 18°

=

m ∡ MQC . Calcule la m ∡ MAB. 3

C) 24°

D) 30°

E) 36°

Cuadro de Respuestas

Félix Flores Espíritu

pregunta

clave

pregunta

clave

1

E

11

B

2

C

12

B

3

A

13

A

4

E

14

C

5

C

15

D

6

E

16

A

7

B

17

C

Página 53

8

Geometría Preuniversitaria C 18

B

9

B

19

E

10

D

20

C

Historia.

El teorema matemático el nombre de Jakob Steiner (Suiza - 1796-1863) Daniel Christian Ludolf Lehmus (alemán - 1780-1863).

El problema de probar que un triángulo con dos bisectrices iguales es isósceles parece ser han propuesto por primera vez en 1840 por Steiner Lehmus y por lo tanto, toma su nombre.

De este teorema se han propuesto las demostraciones algebraicas, trigonométricas y "absurda" (La mayoría de las demostraciones matemáticas de contradicciones odia), incluyendo una en 1844, atribuido en el mismo Steiner, seguido por otro en 1850 atribuido a Lehmus, pero estos no se encuentran pistas. Hay informes, sin embargo, la incertidumbre, de una primera demostración directa del teorema (siempre por absurdo) propuso en 1970. La única manifestación de tipo euclidiano que se puede realizar el seguimiento del Web (www.lorenzoroi.net) es demasiado larga y demasiado difícil para los estudiantes.

La prueba que presento por primera vez tiene la ventaja (perdóneme el atrevimiento) para ser corto, tan rápido y fácil de entender.

Congruencia de Triángulos

Félix Flores Espíritu

Página 54

Geometría Preuniversitaria

Al superponer las dos figuras, sus puntos homólogos deben de coincidir exactamente. Es decir A, B y C deben coincidir con A’, B’ y C´ respectivamente. Si esto sucede para todos sus puntos homólogos, entonces ambas figuras serán congruentes.

Definición de Congruencia: dos figuras son congruentes si al superponer una respecto de la otra, estas coinciden exactamente.

Cuando dos figuras son congruentes podemos apreciar, que tienen la misma forma y el mismo tamaño.

En algunas figuras bastara comprobar la igualdad de sus medidas para concluir que son congruentes, como es el caso de: •

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.

•

Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.

•

Dos circunferencias son congruentes si sus radios tienen igual longitud.

En el caso del par angular, el hecho que sus lados tengan la misma longitud no nos garantiza la congruencia de estas figuras. Es necesario saber que la medida angular de ambas es la misma.

Triángulos Congruentes Dos triángulos son congruentes si existe una coincidencia de todos sus elementos punto a punto respectivamente.

Si A = D; B=E y C = F

→ ΔABC ΔDEF

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Página 55

≅

Geometría Preuniversitaria Al superponer los triángulos ABC y DEF, los lados AB, BC y AC coinciden con DE, EF y DF, respectivamente.

Aplicación: En el gráfico calcule x si las regiones sombreadas son congruentes

Solución: sean A, B, C, D y E. los vértices de las regiones sombreadas, entonces AC = CE =ℓ.

Por lo tanto la m ∡ CAE = m ∡ CEA = x. Como los triángulos ABC y EDC son congruentes (dato del problema), entonces la m ∡ CED = m ∡ CAB = x. Finalmente en el

Casos de Congruencia: Para reconocer si dos triángulos son congruentes o no, es necesario tener en cuenta los siguientes casos, aceptando como un postulado el primero de ellos.

I. Caso; Lado – ángulo - Lado (Postulado) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente de igual longitud y el ángulo que las contiene tiene la misma medida.

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Página 56

Geometría Preuniversitaria

Si AB = DE = c, AC = DF = b y la m ∡ BAC = m ∡ EDF = α •

→ el ∆ ABC ≅

∆ DEF.

De lo planteado, aceptamos que si se cumple las condiciones de lados y ángulo, entonces al superponer ambos triángulos estos van a coincidir exactamente. (A C

≡ D; B ≡ E;

≡ F)

Ejemplo del caso Lado-ángulo-lado Si ABC y DBE son triángulos equiláteros, además AD=4 calcule EC.

Solución: Sea AB = BC = AC = a; BE = ED = BD = b y sea la m ∡ ABD = α, entonces en el triángulo ABC: La m ∡ DBC = 60°- α, luego en el triángulo DBE, la m ∡ CBE = α.

Por lo tanto los triángulos ABD y CBD son congruentes (caso L.A.L.): Entonces EC = AD = 4.

II. Caso; ángulo – Lado – ángulo Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos interiores respectivamente de igual medida y el lado común que ellas contienen, tiene la misma longitud. ℓ

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Página 57

Geometría Preuniversitaria

Si m ∡ BAC = m ∡ EDF = α, m ∡ BCA = m ∡ EFD = θ y AC = DF = ℓ

≅

→

∆ ABC

∆ DEF.

Demostración: Dados los triángulos ABC y DEF si se cumple que: m ∡ BAC = m ∡ EDF = α; m ∡ BCA = m

∡ EFD =θ y AC=DF= ℓ.

Para demostrar que son congruentes bastara con demostrar que AB = DE ó que BC=EF. Para ello asumimos que AB es diferente de DE, siendo así existen dos posibilidades: I.

Que AB > DE. Entonces en AB podemos ubicar un punto P tal que AP=DE=c, entonces el triángulo DEF es congruente con APC (Caso L-A-L), luego la m ∡ EFD = m ∡ PCA = θ.

En el ΔABC: observamos que m ∡ BCA = m ∡ PCA = θ. Situación que solo puede darse si es que P= B. Por lo tanto APC = ABC y en consecuencia los triángulos ABC y DEF son congruentes.

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Página 58

Geometría Preuniversitaria II.

Que AB < DE. Entonces en la prolongación de AB podemos ubicar un punto P tal que AP=DE=c, entonces el triángulo DEF es congruente con APC (Caso L-A-L), luego la m ∡ EFD = m ∡ PCA =θ.

En el Δ ABC: observamos que m ∡ BCA = m ∡ PCA = θ. Situación que solo puede darse si es que P= B. Por lo tanto APC = ABC y en consecuencia los triángulos ABC y DEF son congruentes.

•

El otro supuesto es que AB = DE, si es así los triángulos ABC y DEF son congruentes por el caso (L.A.L.). Por lo tanto en cualquiera de los tres casos, estos triángulos resultan ser congruentes.

Ejemplo del caso ángulo-lado-ángulo En el gráfico la m ∡ ABC = m ∡ CBD=20°, m ∡ ACB= m ∡ EDB= 10°, la m ∡ BCD=80°.

Calcule la m ∡ EAB.

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Página 59

Geometría Preuniversitaria

Solución: El triángulo CBD es isósceles (CB=BD=ℓ), como

∡ ABC = m ∡ EBD=20° y m

∡ ACB= m ∡ EDB= 10°. Los triángulos ACB y EDB son congruentes por el caso (A.L.A.): Luego EB=AB=a.

El triángulo ABE es isósceles; por lo tanto la m ∡ AEB= m ∡ EAB=x.

III. Caso; Lado - Lado – Lado Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente de igual longitud.

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Página 60

Geometría Preuniversitaria Si: BC = EF = a; AC = DF = b y AB = DE = c

→

∆ DEF ≅

∆ ABC.

Demostración: Sean los triángulos ABC y DEF, en donde se cumple que AB=ED=c; BC=EF=a y AC=DF=b, para demostrar que son congruentes, construimos el triángulo DGF congruente al triángulo ABC (Caso L.A.L.), entonces GF=BC=a, luego los triángulos EFG y EDC son isósceles de base EG. En el ΔEFG: la m ∡ GEF=m ∡

EGF = θ; en el ΔEDC: la m ∡ DEG= m ∡ DGE = β.

Podemos observar que la m ∡ DEF = m ∡ DGF = β+θ y como DE=DG=c y EF=GF=a, luego los triángulos DGF y DEF son congruentes.

Como el triángulo ABC es congruente al triángulo DGF, entonces los triángulos ABC y DEF son congruentes.

Ejemplo del caso Lado-lado-lado En un triángulo ABC se trazan las cevianas interiores AN y BM tal que AM=BM, MN=MC, AN=BC y la m ∡ MBC = 30°. Calcule la m ∡ ANM. Solución:

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Página 61

Geometría Preuniversitaria Sea AM=BM=c, MN=MC=b, AN=BC=a, luego los triángulos AMN y BMC son congruentes por el caso (L.L.L.), entonces la m ∡ MAN = m ∡ MBC = 30° y m ∡ BCM = m ∡ ANM =x y como el triángulo MNC es isósceles, la m ∡ MNC = m ∡

Observación: Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente de igual longitud.

Los triángulos ABC y DEF son congruentes por el caso L.L.L. debido a que, al aplicar el teorema de Pitágoras, AB = EF = •

√ b2−a 2

.

En el caso que los dos catetos respectivamente tuvieran igual longitud los triángulos también son congruentes por el caso L.A.L.

Teorema En todo triángulo Isósceles, se cumple que; a los lados congruentes se oponen ángulos interiores de igual medida.

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Página 62

Geometría Preuniversitaria

1ra. Demostración: Sea el triángulo ABC de modo que AB=BC=a y sean m ∡ BAC = α y m ∡ BCA = β Si trazamos la bisectriz BM (m ∡ ABM = m ∡ MBC=θ), entonces los triángulos ABM y MBC son congruentes por el caso L.A.L. Entonces α = β

2da. Demostración: Sea el triángulo ABC de modo que AB=BC=a y sean m ∡ BAC = α y m ∡ BCA = β Si trazamos la mediana BM (BM = MC = c), entonces los triángulos ABM y MBC son congruentes por el caso L.L.L. Entonces α = β

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Página 63

Geometría Preuniversitaria

Propiedad de correspondencia de un triángulo En todo triángulo escaleno, a mayor lado se opone mayor ángulo interior y a menor lado se opone menor ángulo interior.

Demostración: Sea el triángulo ABC, de modo que BC >AB y sea la m ∡ BAC = α y m ∡ BCA = β.

Como BC > AB entonces podemos ubicar un punto P en BC de manera que BP = AB, sea la m ∡ PAC = θ, entonces en el triángulo APC, por la propiedad del ángulo exterior al triángulo, la m ∡ APB = θ +β.

Del teorema anterior, en el ΔABP: la m ∡ BAP = m ∡ BPA = θ +β, entonces la m ∡ BAC = β+2θ = α, por lo tanto α > β con lo cual queda demostrado que m ∡ BAC > m ∡ BCA. Caso Recíproco: Si en un triángulo un ángulo interior es mayor que otro entonces se cumple que, al mayor de los ángulos se opone el mayor lado y al menor de los ángulos se opone el menor lado.

Aplicación de Congruencia de Triángulos Teorema de la bisectriz Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo.

Félix Flores Espíritu

Página 64

Geometría Preuniversitaria OP bisectriz del

∡ AOB

Entonces PA = PB = d También se cumple que: OA = OB = a.

Ejemplo: En el gráfico BC = 8cm. Calcule CD.

Solución: Al prolongar AB, la medida del ángulo exterior en B es 70°. Entonces formamos el triángulo isósceles AEC AEC

=

m ∡ ACE=70°),

(m ∡ formándose

también el triángulo isósceles BCE, por lo tanto EC=BC=8cm.

Como la m ∡ CAE = 2(m ∡ CAD), trazamos la bisectriz AH del ángulo EAC, de donde CH=HE=4cm.También AC es bisectriz del ángulo HAD, por lo tanto CD = Teorema de la mediatriz Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento.

Félix Flores Espíritu

Página 65

Geometría Preuniversitaria

Si MP es mediatriz de AB (AM = MB y MP

⊥ AB)

Entonces PA = PB = d P es cualquier punto de la

Ejemplo: UNMSM 2010-II En la figura, AB=DE y M es punto medio de BC. Halle la medida del ángulo MEC.

A) 34°

B) 36°

C) 32°

D) 33°

Solución: Sea la m ∡ DEC = x

Félix Flores Espíritu

Página 66

E) 37°

Geometría Preuniversitaria

Como ME ⊥ BC y BM = MC entonces ME es mediatriz de BC, por lo tanto DB = DC = l y la m

∡ DBC=m ∡ DCB = 24°.

En el triángulo ABC; si la medida del ángulo exterior en B es 72°, entonces la m ∡ el triángulo BDC, la m ∡ BDA = 48°( ∡

BAC=48°, En

exterior), por lo tanto BD = AB= ℓ de donde

concluimos que ED = DC = ℓ y la m ∡ DEC = m ∡ DCE = x.

Finalmente en el triángulo MEC: 2x + 24° = 90° de donde x = 33° Respuesta D.

Teorema de los puntos medios En todo triángulo, el segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de la misma.

Si: M es punto medio de AB (AM = MB = c) y N punto medio de BC (BN = NC = a).

Entonces: • El segmento MN es paralelo a AC (MN // AC) y • MN es la mitad de AC (MN = ½ AC)

Demostración:

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Página 67

Geometría Preuniversitaria Si prolongamos MN hasta el punto Q de modo que NQ = MN = b, entonces los triángulos QNC y MNB son congruentes (Caso L.A.L.), por lo tanto CQ = BM = c y la m ∡ QCN = m ∡ MBN = α, en consecuencia CQ // BA. Luego: CQ = AM = c y CQ // AM, por lo tanto, MQ = AC = 2b. (Ver, 1 er •

Teorema Adicional)

Teorema Reciproco: Si por el punto medio del lado de un triángulo se traza una recta paralela a un segundo lado, entonces dicha recta biseca el tercer lado.

Si MN // AC y M es punto medio de AB (AM = MB) Entonces N también es punto medio de BC (BN = NC)

Demostración: Como la recta MN // AC, trazamos por C una recta paralela a AB que interseca a MN en Q (N en MQ) entonces: MQ//AC y CQ//AM por lo tanto, CQ = AM=c. (ver propiedades adicionales) Como la m ∡ QMB = m ∡ MQC = α y la m ∡ CBM = m ∡ BCQ = β, en consecuencia, los triángulos QCN y MBN son congruentes (caso A.L.A.), por lo tanto BN = NC.

Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa En todo triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la hipotenusa.

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Página 68

Geometría Preuniversitaria ABC: Triángulo Rectángulo (Recto en B).

Si BM es mediana de AC (mediana relativa a la hipotenusa).

Entonces: BM = AM = MC = ℓ.

En consecuencia BM = ½ AC.

Demostración: Si BM es mediana de AC entonces AM = MC = ℓ.

Por M (punto medio de AC) trazamos una paralela a AB que interseca a BC en N. Entonces MN

⊥ BC (m ∡ MNC = m ∡ ABC = 90°) y del teorema reciproco de los puntos

medios, N es punto medio de BC, por lo tanto NM resulta ser mediatriz de BC. En consecuencia MB = MC = ℓ y queda demostrado que BM = ½ AC.

Problemas Resueltos: 1. En el grafico mostrado, el triángulo ABC es isósceles de base AC. Si las regiones sombreadas son congruentes calcule x.

A) 20°

B) 30°

C) 36°

D) 40°

E) 24°

Solución:

Del dato AB = BC y la m ∡ BAC = m ∡ BCA = x, como los triángulos ABD y DEC son congruentes, BD=DE (por ser lados que se oponen a ángulos de igual medida).

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Página 69

Geometría Preuniversitaria

Del gráfico, si BD = ED, entonces la m ∡ DBE = m ∡ DEB = 80°, por lo tanto la m ∡ DEC = 100°.

En el triángulo ABD debe haber un ángulo de medida 100°, pero este no puede ser el

∡ ABD ni el ∡ BAD, por lo tanto la única posibilidad es que la m ∡ ADB = 100° y en consecuencia AB = DC, como AB = BC entonces el triángulo DBC es isósceles de donde x = 20°.

Respuesta A.

2. En un triangulo rectángulo ABC (recto en B), se traza la ceviana BM, de modo que AB=MC y la m ∡ BAC=2(m ∡ ABM). Calcule la m ∡ ACB.

A) 30°

B) 45°

C) 60°

D) 37°

Solución: Sea la m ∡ BAC=2(m ∡ ABM)=2α, entonces la m ∡ MBC= 90°- α.

Si desde M trazamos MN, de modo que la m ∡ MNB=m ∡ MBC=90°-α.

La m ∡ NMC=α. Luego los triángulos MBA y NMC son congruentes (L-A-L).

Félix Flores Espíritu

Página 70

Geometría Preuniversitaria Entonces X = 2α, finalmente en el triangulo ABC, X=45°.

Respuesta B.

3. En un triángulo isósceles ABC, de base AC, se ubica el punto P en la región interior, de modo que BP = AC. Si la m ∡ ABP=30° y la m ∡ PBC= 10°. Calcule la m ∡ PCB.

A) 10°

B) 20°

C) 25°

D) 30°

E) 15°

1ra Solución: Sea AB = BC =

l

y BP = AC = a, como la m ∡ ABC = 40°entonces la m ∡ BAC = m ∡

BCA = 70°.

Si construimos el triángulo equilátero BQC en la región exterior (relativa al lado BC) El triángulo PBQ es congruente al triángulo CAB por el caso (L.A.L.)

Luego PQ = BC = ℓ y la m ∡ BQP = m ∡ ABC = 40°, entonces en el triángulo PQC La m ∡ PQC = 20° y la m ∡ PCQ = 80°, luego x + 60° = 80°

Félix Flores Espíritu

Página 71

Geometría Preuniversitaria

X = 20°

2da Solución: Sea AB = BC =

l

y BP = AC = a, como la m ∡ ABC = 40°entonces la m ∡ BAC = m ∡

BCA = 70° Ahora construimos un triángulo equilátero BQC, con Q en la región externa relativa al lado AB, como se muestra en la figura.

Luego la m ∡ QCA = 10°, m ∡ QBA = 20° y en el triángulo isósceles ABQ; la m ∡ BQA = m ∡ BAQ = 80°, luego la m ∡ AQC = 20°.

Como los triángulos QCA y CBP son congruentes por el caso (L.A.L.), entonces x = 20°.

Respuesta B.

4. En un triángulo ABC, AB=BC, en AC y BC se ubican los puntos D y F respectivamente, de modo que AD = CF y la m ∡ FAC = m ∡ ABD. Calcule la m ∡ ACB.

A) 45°

Félix Flores Espíritu

B) 30°

C) 36°

Página 72

D) 54°

E) 60°

Geometría Preuniversitaria

Solución:

En los triángulos ABD y CAF: la m ∡ BAC = m ∡ ACB = x, m ∡ ABD = m ∡ CAF = α.

Entonces la m ∡ ADB = m ∡ CFA = β, luego los triángulos ABD y CAF son congruentes por el caso (A.L.A.). Por lo tanto AC = AB = a.

De ello se concluye que el triángulo ABC es equilátero. Entonces x = 60°

Respuesta E.

5. Se tiene un triangulo ABC se traza la ceviana interior BD, BD=AC, m ∡ ABD=2(m ∡ DBC), m ∡ BDC=2(m ∡ ABC), calcule la m ∡ ABD.

A) 30°

B) 36°

C) 45°

D) 54°

E) 60°

Solución: Sea la m ∡ ABD=2(m ∡ DBC) = 2α, entonces la m ∡ BDC=2(m ∡ ABC) = 6α y sea BD=AC =a Félix Flores Espíritu

Página 73

Geometría Preuniversitaria

En el triángulo ABD, la m ∡ BAD=4α En ΔABC: trazamos AE, de modo que AE = BE =b, entonces la m ∡ BAE = m ∡ ABE = 3α, luego la m ∡ CAE = m ∡ CBD = α, siendo los triángulos ACE y BDE congruentes por el caso L.A.L. Entonces EC = ED, luego la m ∡ ECD = m ∡ EDC = Ω y por la congruencia entre ACE y BDE; la m ∡ EDB = m ∡ ECA =Ω.

En D: 6α = 2Ω entonces Ω = 3α Finalmente en el triángulo ABC: 3α +3α +4α = 10α = 180° entonces α = 18° y la m ∡ ABD =2α=36°.

2da Solución:

Félix Flores Espíritu

Página 74

Geometría Preuniversitaria

Trazamos la ceviana interior CE, de modo que el triángulo ACE sea isósceles, entonces CE = AC = a y la m ∡ EAC = m ∡ AEC = 4α. Por lo tanto la m ∡

ECB = α, resultando ser

congruentes los triángulos ECB y DBC por el caso (L.A.L.).

Entonces m ∡ DCB = m ∡ EBC = 3α.

Finalmente en el triángulo ABC: 3α +3α +4α = 10α = 180° entonces α = 18° y la m ∡ ABD =2α=36°.

3ra Solución:

Félix Flores Espíritu

Página 75

Geometría Preuniversitaria

Prolongamos el lado BA hasta E, de modo que la m ∡ ECA = α, entonces la m ∡ AEC = 3α, resultando ser el triángulo ECB, un triángulo isósceles, donde EC =BC, por lo tanto los triángulos ECA y CBD son congruentes por el caso(L.A.L.), en consecuencia la m ∡ AEC = m

∡ DCB = 3α.

Finalmente en el triángulo ABC: 10α = 180° y α = 18° y la m ∡ ABD =2α=36°.

Respuesta B.

6. En un triángulo ABC se traza la mediana BM, si la m ∡ ABM = 2(m ∡ BAC) y la m ∡ BCA = 30°. Calcule la m ∡ BAC.

A) 10°

B) 20°

C) 30°

Solución: En el triángulo ABM, la m ∡ BMC = 3x.

Félix Flores Espíritu

Página 76

D) 36°

E) 40°

Geometría Preuniversitaria

Si se construye un triángulo equilátero de lado MC = ℓ, hay dos posibilidades:

1ra posibilidad: si 3x < 60° Al construir el triángulo equilátero CMD, el punto B estará en la región interna a dicho triángulo.

Como la m ∡ MCB = m ∡ DCB = 30° y MC = CD = ℓ, los triángulos MCB y DCB son congruentes por el caso (L.A.L.), luego MB = DB = a.

En el triángulo ABM, si trazamos MN de modo que la m ∡ MNB = 2x, entonces MN = MB = a y la m ∡ AMN = x, luego AN = MN =a, entonces los triángulos ANM y MBD son congruentes por el caso (L.L.L.), por lo tanto θ = x.

Finalmente en el triángulo CMD: 4x = 60° de donde x = 15°.

2da posibilidad: si 3x > 60° Félix Flores Espíritu

Página 77

Geometría Preuniversitaria Al construir el triángulo equilátero CMD, el punto B estará en la región externa a dicho triángulo.

Como la m ∡ MCB = m ∡ DCB = 30° y MC = CD = ℓ, los triángulos MCB y DCB son congruentes por el caso (L.A.L.), luego MB = DB = a.

En el triángulo ABM, si trazamos MN de modo que la m ∡ MNB = 2x, entonces MN = MB = a y la m ∡ AMN = x, luego AN = MN =a, entonces los triángulos ANM y MBD son congruentes por el caso (L.L.L.), por lo tanto θ = x.

Finalmente en el triángulo CMD: 2x = 60° de donde x = 30°.

Respuesta C.

7.

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubica el punto D en AC, de modo que CD=AB. Si las mediatrices de BC y AD se intersecan en P y la m ∡ ACP = 2(m ∡ ACB). Calcule la m

∡ ACB.

A) 18°

B) 20°

C) 24°

D) 30°

E) 36°

Solución: Graficando según el enunciado y haciendo uso de la propiedad de la mediatriz, para ℓ 1 y ℓ2.

Félix Flores Espíritu

Página 78

Geometría Preuniversitaria

Entonces PB = PC = b y PA = PD = a, respectivamente. De donde la m ∡ PBC = m ∡ PCB=3α Sea CD=AB=c, entonces los triángulos PAB y PDC son congruentes por el caso (L.L.L.) Luego la m ∡ ABP = m ∡ DCP = 2α.

En el vértice B: 5α = 90°, entonces α = 18°

Respuesta A.

8. En un triángulo ABC, se ubica el punto D en el lado AC de tal forma que AC = BD y 4

∡ BAC = 3

A) 10°

∡ BCA = 6 ∡ CBD. Halle la medida del ángulo ABD.

B) 12°

C) 15°

Solución

Félix Flores Espíritu

Página 79

D) 20°

E) 18°

Geometría Preuniversitaria

Asumir un supuesto, como único camino para abordar la solución de un problema, nos puede llevar a una conclusión errada.

Cuando trazamos una ceviana, el estudiante puede considerarla a esta, formando un ángulo agudo u obtuso con su lado relativo. Si asumimos uno de los casos debemos tener presente que si lo asumido nos lleva a una conclusión absurda, entonces debemos analizar la otra posibilidad.

Así en el problema: Sea, 4

∡ BAC = 3

∡ BCA = 6

∡ CBD =12α y AC = BD =

ℓ.

Si asumimos que el

∡ BDA es agudo.

Entonces al observar que la m

∡ BDA = 6α = 2(m ∡ BAD), trazamos BE de modo que la m

∡

ABE= 3

α

,

luego en el triángulo ABE, la m

∡ BED=6α, entonces

BE=BD=ℓ, pero en ABE, AE=BE=ℓ. Por lo tanto sería absurdo, pues por dato del problema AC=ℓ.

Si asumimos que el es obtuso y Sea, 4

∡ BAC = 3 ∡ BCA = 6 ∡ CBD =12α; AC=BD= m+n donde AD =

m y DC = n.

Félix Flores Espíritu

∡ BDA

Página 80

Geometría Preuniversitaria

Prolongamos DC hasta E de modo que CE=m (buscando el triángulo isósceles BDE) Como la m ∡ BDA=6α, entonces la m ∡ DBE=m ∡ DEB=3α.

Luego los triángulos ABD y EBC son congruentes (Caso L-A-L), entonces BD=BC y en el triángulo DBC: 10α = 180° luego α=18° y la m ∡ ABD=18°.

Respuesta E.

9. En el gráfico calcule x. Si BD = AC.

A)8°

Félix Flores Espíritu

B) 10°

C) 12°

Página 81

D) 15°

E) 18°

Solución:

Geometría Preuniversitaria

Sea BD = AC = ℓ.

Para aprovechar el ángulo de 30°, construimos el triángulo equilátero ACE, entonces BC es mediatriz de AE, por lo tanto BE = AB =a, además la m ∡ BAE = m ∡ BEA = 40° y la m

∡ ABE = 100°.

En la prolongación de CA ubicamos el punto F de modo que FB=BA=a, entonces la m ∡ BFA = m ∡ BAF = 80°.

Prolongamos AF hasta H buscando formar el triángulo isósceles BHF, entonces HF =BF =a y la m ∡ FHB = m ∡ FBH= 40°, por lo tanto la m ∡ BFH = 100°.

Los triángulos BFH y ABE son congruentes por el caso (L.A.L.) de donde HB = AE = ℓ.

Luego El triángulo HBD es isósceles, siendo la m ∡ BDH = 40°, entonces en el triángulo DBC: x + 30° = 40° por lo tanto x = 10°

Respuesta B.

10.En el triángulo ABC se traza la ceviana interior BM de modo que CM = AB, si la m ∡ BAC = 40° y la m ∡ ACB = 30°. Calcule la m ∡ CBM. Félix Flores Espíritu

Página 82

Geometría Preuniversitaria A) 40°

B) 30°

C) 45°

D) 50°

E) 60°

Solución:

Prolongamos el lado CA hasta D de manera que DA = AB =ℓ, luego en el triángulo isósceles DAB, la m ∡ ADB = m ∡ ABD = 20°.

Construimos el triángulo equilátero ADE, entonces: AE = ED = ℓ y la m ∡ ADE = m ∡ DAE = 60°, luego la m ∡ BDE = 40°.

En el triángulo isósceles EAB, la m ∡ BAE = 80° de donde la m ∡ AEB = 50° y la m ∡ DBE = 30°.

Sea N el punto de intersección de AE con BD. Entonces en el triángulo ABN, la m ∡ ANB = 80°, siendo NB = AB = ℓ.

Como los triángulos DEB y ABC son congruentes por el caso (A.L.A.) Entonces la m ∡ MBC = m ∡ NEB = 50°.

Respuesta D.

Félix Flores Espíritu

Página 83

Geometría Preuniversitaria 11.En el triángulo ABC, se traza la mediatriz de BC que interseca a AC en L y la mediatriz de AL,

m ∡ ACB m ∡ BAC .

contiene a B. Calcule A) 1

B) 2/3

C) ¾

D) ½

E) 1/3

Solución:

LM es mediatriz de BC por lo tanto LB=LC=ℓ y m ∢ LBC=m ∡ LCB=α, luego la m ∡ BLA=2α.

HB es mediatriz de AL, de donde la m ∡ BAL=m ∡ BLA=2α. Finalmente

α 2α

m ∡ ACB m ∡ BAC

=

= 1/2 Respuesta D.

12. En un triángulo rectángulo ABD recto en B, desde D se traza la perpendicular DC a la bisectriz del ángulo BAD. (C en la bisectriz). Si AB=a y la distancia de C a BD es b. Calcule AD.

A) a + 3b

B) 2a +b

C) a + 2b

1ra Solución:

Félix Flores Espíritu

Página 84

D) 2a + 3b

E) 2a - b

Geometría Preuniversitaria

En la línea ABDC; la m ∡ ACD = m ∡ ABD = 90°, entonces la m ∡ BDC = m ∡ BAC =α Como AC es bisectriz del ángulo BAD, trazamos PQ

⊥ AD (P = BD ∩ AC) entonces AQ

= AB = a Por D trazamos DE ⊥ AD, de modo que E pertenece a la prolongación de AC, luego la m

∡ EDC=α, por lo tanto EC=CP=m y CM=CH=b.

Si trazamos PN ⊥ ED, en el triangulo PEN: PN=2CM=2b (teorema de los puntos medios).

Entonces QD=2b y AD=a+2b.

2da Solución:

Félix Flores Espíritu

Página 85

Geometría Preuniversitaria Prolongamos AB y DC hasta que se intersecan en E, en el triángulo AED; AE = AD y EC=CD=m En el triángulo BED: del teorema de los puntos medios EB = 2b (b: distancia de C a BD) Entonces AD = AE = a + 2b.

Respuesta C

13. los lados de un triángulo ABC miden AB= 4cm, BC=7cm y AC=9cm. Calcule la longitud del segmento que une los pies de las perpendiculares trazadas desde C a las bisectrices interior de A y exterior de B.

A) 1

B) 2

C) 3

D) 1,5

E) 2,5

Solución:

Prolongamos AB y trazamos las bisectrices exterior BE e Interior AJ. Como CE y CJ son perpendiculares a dichas bisectrices, entonces al prolongar CE y CJ hasta que se intersequen con la prolongación de AB en H y F respectivamente. Por lo tanto BH = BC = 7; AF = AC = 9 y en consecuencia HE = EC y FJ = JC respectivamente.

En el gráfico podemos observar que BF = 5 y FH = 2, luego en el triángulo FHC: del teorema de los puntos medios, EJ = ½ FH = ½ (2) = 1.

Respuesta A.

Félix Flores Espíritu

Página 86

Geometría Preuniversitaria 14. Sobre una recta se toman los puntos A, B y C y hacia un mismo lado se construyen los triángulos equiláteros AEB y BFC tal que EF=16. Halle la longitud de la mediana BM del triángulo EBC.

A) 2

B) 4

C) 8

D) 10

E) 16

Solución:

Como M es punto medio de EC, buscamos que B también sea punto medio, para aprovechar el teorema de los puntos medios.

Entonces en AB ubicamos el punto P de modo que PB = BC = a y en el triángulo PEC: BM es la mitad de PE. En los triángulos equiláteros ABE y CBF, las medidas de los ángulos ABE y CBF es 60°, por lo tanto la m ∡ EBF = 60°.

Podemos observar en el gráfico que los triángulos PBE y FBE son congruentes (Caso L.A.L.) entonces PE = EF = 16.

Finalmente en el triángulo PEC: x = ½ (16) = 8.

Respuesta C.

15. En un triángulo ABC obtuso en B, se traza por B dos rectas isogonales, a las cuales desde A y C se trazan las perpendiculares AP y CQ. Si MP=6cm.Halle MQ, M es punto medio de AC. Félix Flores Espíritu

Página 87

Geometría Preuniversitaria A) 4cm

B) 5cm

C) 6cm

D) 8cm

E) 12cm

Solución:

Si BP y BQ son isogonales del ángulo ABC, entonces la m ∡ ABP = m ∡ CBQ = θ.

En los triángulos rectángulos APB y CQB, trazamos las medianas relativas a la hipotenusa, entonces EP = EA = EB = c y QF = FB = FC = a, respectivamente.

En ABC del teorema de los puntos medios; EM = ½ BC = a y FM = ½ AB = c, además EM//BC y FM//AB, por lo tanto la m ∡ MEB = m ∡ MFB. También la m ∡ PEA = 2θ = m ∡ QFC. Por lo tanto la m ∡

PEM = m ∡ QFM =

φ y los triángulos PEM y MFQ son congruentes (Caso L.A.L.) y en consecuencia MQ = PM = 6.

Respuesta C.

16. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se ubican los puntos M y N en AC, de manera que AM = NC, sea P el punto medio de BC. Si la m ∡ MPN = 90°, calcule MN/AB.

A) 1 Félix Flores Espíritu

B) 2

C) ½ Página 88

D) 2/3

E) 3/4

Geometría Preuniversitaria Solución:

En el triángulo rectángulo MPN, trazamos la mediana relativa a la hipotenusa PQ, entonces PQ=MQ=QN=ℓ, además Q es punto medio de AC, entonces en ABC, del teorema de los puntos medios PQ = ½ AB = ℓ, por lo tanto AB = 2ℓ = MN. Luego MN/AB = 1

Respuesta A.

17. IV ONEM 2007 (Nivel 3, 2da fase) En un triángulo ABC se tiene que D en AC, de modo que

∡ BAC = 2( ∡ ACB). Se traza el segmento BD, con

∡ DBA = 2( ∡ BAD). Si además DC = 2(BD) + AD, calcule la

medida del ángulo ACB, en grados sexagesimales.

A) 8°

B) 12°

C) 15°

D) 18°

E) 20°

Solución Graficando según el enunciado obtenemos el siguiente grafico. Sea: BD=a y AD=b, entonces DC= 2a+b.

Félix Flores Espíritu

Página 89

Geometría Preuniversitaria

En el triangulo DBA se puede apreciar que la medida angular (DBA) es el doble de (DAB), entonces trazamos la ceviana interior DN de modo que la m ∡ NDA= m ∡ DAB=2α, luego en el triángulo NDA, la m ∡ DNB = 4α = m ∡ DBA, por lo tanto DN=NA=a.

También podemos observar que la m ∡ NDA= 2 m ∡ ACB, entonces ubicamos en DC el punto M de modo que DM=a, para que el triángulo MDN sea isósceles (MD=DN=a), luego m ∡ DMN= m ∡ DNM = α, resultando M punto medio de AC y MN//CB, por el Teorema 2 de los puntos medios, N también es punto medio de AB. Si BN=NA=a, entonces BND es equilátero, de donde 4α = 60° y la m ∡ ACB = α = 15°.

Respuesta C.

Nota: este problema se repitió en la V ONEM 2008 en la 3ra fase del Nivel 3

18. En un triangulo ABC, se traza la ceviana interior BM de modo que AC=BM, m ∡ ABM=30°, m ∡ MBC=x-30°, m ∡ ACB=x+30°, Calcule el valor de x.

A)

45°

Félix Flores Espíritu

B ) 40°

C) 30°

Página 90

D) 50°

E) 60°

Geometría Preuniversitaria

Solución: Sea AC = BM = ℓ

En la prolongación de AC ubicamos el punto N, de modo que MN = MB = ℓ, entonces la m ∡

MBN = m ∡

MNB = x, pues en el triángulo MBC, la m ∡

AMB ( ∡

exterior) = 2x.

Luego podemos observar que la m ∡ entonces

CBN = 30° = m ∡

MBA y como MN = CA,

AM = NC = m.

Siendo los triángulos ABM y NBC congruentes, (Caso Especial, ver apéndice) resultando el triángulo MBC, ser isósceles (MB = BC = ℓ).

Luego en C; (30°+ x) + (2x) = 180° Por lo tanto x = 50°.

Respuesta D. 19. En un triangulo ABC se traza la ceviana CD, de manera que BD = BC, la m ∡ BAC = 30° y m ∡ ACD = 10°. Si AB = ℓ, calcule CD.

A) 2ℓ

Félix Flores Espíritu

B) ℓ

√2

C) ℓ

√3

Página 91

D)

l 2

E) ℓ

Geometría Preuniversitaria Solución:

Para aprovechar el ángulo de 30°, trazamos el triángulo equilátero AFC, entonces los triángulos ABF y ABC son congruentes, (caso L.A.L.)

Sea BF = BC = a, entonces en el triángulo DBC: BD = BC = a. Si AD = b, entonces AB = a + b.

Si en CD ubicamos el punto E, de modo que DE = AD = b, entonces, en el triángulo ADE: m

∡ EAD = m ∡ AED = 20°, luego la m ∡ EAC = 10° = m ∡ ECA. Por lo tanto, los triángulos AED y CBF, son congruentes por el caso (A.L.A.), luego AE = EC = BF = BC = a.

De lo anterior se concluye que CD = AB = a + b = ℓ.

Respuesta E. Félix Flores Espíritu

Página 92

Geometría Preuniversitaria 20. En el gráfico, si AD = BC, calcule x.

A) 21°

B) 30°

C) 42°

D) 36°

E) 48°

Solución:

Si en DC ubicamos el punto F de modo que BF = BC, entonces la m ∡ CFB = m ∡ BCF = 84°, entonces la m ∡ CBF = 12° y la m ∡ FBD = 30°.

Construimos el triángulo equilátero FBG, entonces FG ⊥ BD en H. por lo tanto FH = HG y DF = DG = a.

En F; la m ∡ GFA = 36° entonces también la m ∡ FGA = 36° y la m ∡ GDA = 72°.

Félix Flores Espíritu

Página 93

Geometría Preuniversitaria

Sea GH = HF = ℓ, entonces GB = BF = BC = AD = 2ℓ.

Si trazamos GP = GD = a (P en AD), la m ∡ GPD = m ∡ GDP = 72°, entonces el triángulo PGF es isósceles, resultando PF = 2ℓ.

Luego los triángulos GDA y GPF son congruentes (caso L.A.L.), por lo tanto GA = GF= 2ℓ y la m ∡ AGB = 168°.

En el triángulo AGB: la m ∡ GAB = m ∡ GBA = 6°.

Entonces x + 6° = 36°, por lo tanto x = 30°.

Respuesta B.

Félix Flores Espíritu

Página 94

Geometría Preuniversitaria

Problemas Propuestos: 1.

En el gráfico, las regiones sombreadas son congruentes. Calcule x/y

A) 2 2.

B) 3

D) 3/2

E)4/3

Dado el triángulo ABC, en AB, BC y AC se ubican los puntos P, Q y R respectivamente. Calcule la m ABC si AP=RC, mPAC=mPRQ=40° y m RPQ=70°.

A) 100°

3.

C) 4

B) 110°

C) 120°

D) 130°

E) 150°

En un triángulo ABC la mBAC=2(mACB) en AC se ubican los puntos M y N de modo que BM=BN. Si m NBC=m BAC, AM=a y AB=b. Calcule NC. A) 2a-b

4.

B) 2b-a

C) 3a-b

D) a+b

E) 2a+b

En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BD de modo que CD=AB, si la m

∡ BAC = 40° y la m ∡ DBC = 70°. Calcule la m ∡ ACB. A) 30°

5.

B) 40°

C) 50°

D) 60°

E) 70°

En un triángulo ABC, se ubica el punto P en la región interna al triángulo, de modo que

PC = AB, la m ∡ PAB = m ∡ ACP y la m ∡ APC = m ∡ ACP + 2(m

∡ ABP). Calcule AC si AP= 5m.

A) 5m

Félix Flores Espíritu

B) 6m

C) 8m

Página 95

D) 10m

E) 7,5m

6.

Geometría Preuniversitaria En el triangulo ABC, Q es punto medio de AC y P es un punto de BC de manera que PC=AB+BP. Si la m QPC=40°. Calcule la mABC. A) 40°

7.

A1C1.

B) 60°

D) 90°

E) 50°

El triángulo ABC gira coplanarmente alrededor de B, tal que C está contenido en Si la m ACA1=40°. Calcule la m CBC1.

A) 20°

8.

C) 80°

B) 25°

C) 30°

D) 40°

E) 50°

En un triangulo rectángulo ABC, recto en C, en AC se ubican los puntos M y N (N en AM) y en AB se ubica el punto P. Si m ABN= m NBM=m MBC, mNPM=20° y m BNP=90°. Calcule la m BAC. A) 20°

9.

B) 30°

C) 40°

D) 25°

E) 50°

En un triángulo BAC, se traza la mediana BM y en ella se ubica el punto P, si la mAPM = 80°, la mMPC = 50° y PM = 15. Calcule AP. A) 15

B) 30

C) 40

D) 45

E) 60

En la figura mostrada, calcule la m ∡ MBC. Si BM es mediana del triángulo ABC

10.

y BC = 2(BM).

A) 30°

11.

B) 36°

C) 45°

En el triangulo ABC, PB=AC. Calcule α.

Félix Flores Espíritu

Página 96

D) 60°

E) 67°30'

Geometría Preuniversitaria

A) 8° 12.

B) 10°

C) 12°

D) 15°

E) 20°

En la región interior de un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto P, tal que PB=13, PA=12 y PC=5. Calcule la m APC. A) 120°

13.

B) 127°

C) 135°

D) 143°

E) 150°

UNFV 2012 En la figura Halle x, x es la medida de un ángulo agudo, AB = PC.

A) 20°

14.

B) 10°

C) 15°

UNAC 2009-I En el triángulo ABC, BE = AC, calcule x.

Félix Flores Espíritu

Página 97

D) 17°

E) 25°

Geometría Preuniversitaria

A) 10°

B) 9°

C) 11°

D)

180 ° 17

E)

180 ° 13 15.

UNI 1998-I En la figura mostrada el triángulo ABC es recto en B y ademas AB = CD, calcule x.

A) 15°

Félix Flores Espíritu

B) 22° 30'

C) 18° 30'

Página 98

D) 26° 30'

E) 30°

Geometría Preuniversitaria En el triángulo ABC, se ubica el punto P en la región interior, de modo que la m

16.

∡ PAB = 40°, m ∡ PAC = 30°, m ∡ PCB = 20° y la m ∡ PCA = 50°. Calcule BF si AC = 5.

A) 3

17.

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7.5

En un triángulo ABC, se traza la ceviana AF en cuya prolongación se ubica el punto H, tal que las medidas de los ángulos BCH, ABC, CBH y AHB son proporcionales a 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Calcule la m ∡ BCH si AB = BC.

A) 10°

B) 12°

C) 15°

D) 18°

E) 20°

En un triángulo ABC se traza la mediana BM, tal que BC = 2(BM) y la m ∡ ABM =

18.

2(m ∡ MBC). Calcule m ∡ MBC.

A) 15°

19.

B) 18°

D) 24°

E) 30°

En la figura mostrada, si AM = MC, calcule x.

A) 18° 30'

20.

C) 20°

B) 22° 30'

C) 30°

En la figura mostrada calcule x. Si: α + θ = 3x.

Félix Flores Espíritu

Página 99

D) 26° 30'

E) 36°

Geometría Preuniversitaria

A) 30°

B) 15°

C) 36°

D) 18°

Cuadro de Respuestas

Félix Flores Espíritu

Pregunta

Clave

Pregunta

Clave

1

B

11

C

2

A

12

E

3

D

13

B

4

B

14

D

5

D

15

B

6

C

16

C

7

D

17

D

Página 100

E) 24°

Geometría Preuniversitaria 8

B

18

B

9

B

19

B

10

C

20

A

Triángulos Notables

Triángulos Notables son aquellos triángulos cuya relación de lados o ángulos cumplen una propiedad particular que pueda emplearse para conocer un lado o un ángulo del triángulo.

Sin duda el primer triángulo notable, que el hombre conoció es el triángulo equilátero.

Para reconocer a un triángulo equilátero, bastara que el triángulo tenga dos lados de igual longitud y la medida del ángulo que estos determinan de 60°.

De él se desprende el triángulo rectángulo notable: de 30° y 60°.

Félix Flores Espíritu

Página 101

Geometría Preuniversitaria

•

Si en un triángulo ABC: BC = 2(AB) y la m ∡ ABC = 2(m ∡ ACB), entonces dicho triángulo es notable de 30° y 60°.

•

Si en un triángulo ABC: BC = 2(AB) y la m ∡ BAC = 3(m ∡ ACB), entonces dicho triángulo es notable de 30° y 60°.

El triángulo rectángulo isósceles :(45°, 45°, 90°)

√2

• Si en un triángulo ABC: AC = BC(

)y

la m ∡ ACB = 45°, entonces : La m ∡ ABC = 90° y AB = BC. • Si en un triángulo ABC:

AB 1

=

BC 1

Triángulo de 30° y 75°:

El triángulo rectángulo de 15° y 75°: este triángulo es conocido por la relación de ¼ entre altura e hipotenusa.

Demostración: sea A, B y C los vértices del triángulo y BH=a; la altura relativa a la hipotenusa AC=4a.

Félix Flores Espíritu

Página 102

Geometría Preuniversitaria

Trazamos la mediana relativa a la hipotenusa, cuya longitud es la mitad de la hipotenusa (2a), entonces dicha mediana forma con la altura, un triángulo notable de 30° y 60°. En el triángulo isósceles de base BC, los ángulos que se oponen a los lados congruentes miden cada uno 15°, en consecuencia el triángulo rectángulo ABC, tiene medidas de 15° y 75°.

Triángulos Rectángulos de medidas aproximadas:

•

Triángulo de

≈ 37° y 53°

Cuando los lados de un triángulo están en proporción a 3, 4 y 5, el ángulo que se opone al mayor de los lados es recto.

•

Triángulos de 53°/2 y de 37°/2

•

Triángulo de

Félix Flores Espíritu

≈ 14° y 76°

Página 103

Geometría Preuniversitaria

Otros triángulos que se desprenden de los triángulos Notables aproximados

•

Triángulo de

≈ 8° y 82°

Demostración: Si aceptamos que en el triángulo rectángulo de lados 3; 4; 5. Las medidas de sus ángulos agudos son 37° y 53°, entonces:

Sea ABC un triángulo rectángulo notable de 45°: En AB ubicamos el punto D, de manera que: la m

∡ DCB = 37°, entonces la m ∡ DCA = 8°, luego trazamos DE ⊥ AC, formándose el triángulo DEA (Not.de 45°): si DE=a, entonces AE=a y AD=a

Félix Flores Espíritu

Página 104

√2

.

Geometría Preuniversitaria

•

Triángulo de

≈ 16° y 74°

•

Triángulo de

≈ 23° y 67°

•

Triángulo de

≈ 31° y 59°

Félix Flores Espíritu

Página 105

Geometría Preuniversitaria

Problemas Resueltos 21.UNMSM 2011 II En la figura, MA=2cm; AB=4cm. Halle BC.

√15−2 √ 3

A)

2

E)

B)

√15− √3 2

C)

2 √ 15−√ 3 2

3 √ 15−√ ¿ ¿ D) 3¿ ¿

√15− √3 3

Solución:

Si prolongamos BM y trazamos la perpendicular AH a dicha prolongación, entonces el triángulo AHM es notable de 30° y 60°.

Félix Flores Espíritu

Página 106

Geometría Preuniversitaria

√3

En AHM: Si AM = 2cm, entonces AH = 1cm y MH =

cm

En el triángulo ABH: Calculamos BH aplicando el teorema de Pitágoras; (BH) 2 + 12 = 42. De donde BH =

√ 15

cm, por lo tanto BM =

√ 15

-

√3

.

Luego en el triángulo BCM también notable de 30° y 60°: BC = ½ BM = ½ (

√ 15

-

√3

)

Respuesta B.

22.Del gráfico que se muestra, calcule x.

A) 69 ° /2

B)53 ° /2

C)45 °

D)37 °

Solución:

En el gráfico observamos dos triángulos rectángulos, en el mayor, aplicamos el teorema de Pitágoras: a2 + (a+t)2 = (a+2t)2, luego a=3t Félix Flores Espíritu

Página 107

Geometría Preuniversitaria Resultando los dos triángulos notables el mayor de 37° y 53° y el menor de 37°/2 Donde x = 53° - 37°/2 = 69°/2 Respuesta A. 23.En el gráfico que se muestra los triángulos ABC y PQH son congruentes, además QB=BH. Calcule x.

A) 30°

B) 45°

C) 60°

D) 53°

E) 37°

Solución: En el triángulo ABH: AB > AH y AH > PH, entonces AB > PH.

Como los triángulos ABC y PHQ son congruentes, entonces AB=HQ, pero por dato QB=BH por lo tanto si BH=a entonces HQ=2a =AB, resultando ser el triángulo ABH, triángulo notable de 30° y 60°.

Como la m ∡ BAH=30° luego en ACB: m ∡ ACB=60° Félix Flores Espíritu

Página 108

Geometría Preuniversitaria

Respuesta A.

24. En un triángulo ABC, la m ∡ BAC = 3(m ∡ BCA), AB = 1 y BC =

√3

+1. Calcule la m

∡ BCA.

A) 10°

B) 12°

C) 15°

D) 18°

E) 20°

Solución: Buscando triángulos isósceles trazamos BD=AB=1, entonces la m ∡ BDA= m ∡ BAD =3α. De donde la m ∡ DBC=2α.

En el triángulo BDC: trazamos DE=BD=1, luego la m ∡ DEB= m ∡ DBE=2α resultando ser la m

∡ EDC=α, por lo tanto DE=EC=1 y BE=

√3

Finalmente en BDE: 2α=30°. De donde la m ∡ ACB=α=15°.

Respuesta C. 25. En un triángulo ABC, la m ∡ BAC = 2(m ∡ BCA) y al trazar la altura BH se cumple que CH=3(AH). Calcule la m ∡ BCA. A) 15°

B)20°

C) 30°

Solución:

Félix Flores Espíritu

Página 109

D) 45°

E) 60°

Geometría Preuniversitaria

Graficando según las condiciones del problema, nos conviene trazar una ceviana interna BL en el triángulo HBC. De modo que m ∡ LBC=m ∡ LCB=α, entonces la m ∡ BLA=m ∡ BAC=2α, de donde AB=BL=LC y HL=HA=a, pero como HC=3 AH =3a, entonces LC=2a =LB=AB, resultando el triángulo ABL equilátero por lo tanto 2α= 60° y m ∡ ACB=α = 30°.

Respuesta C. 26.Se ubica un punto E en la región interior de un triangulo ABC, tal que AB=AE=EC, m ∡ BAE=2(m ∡ BCE). Calcule la medida del ángulo entre AC y BE. A) 30 °

B) 45 °

C) 60 °

D) 50 °

Solución: Sea AB=AE=EC=ℓ, entonces en el triángulo isósceles AEC. Sea la m ∡ EAC = m ∡ ECA = θ.

En el ΔABE: trazamos la altura AM, entonces BM=ME=a.

Desde E trazamos EN

⊥ BC. Luego los triángulos AEM y CEN son congruentes (Caso

A.L.A.) Entonces EN=EM=a.

Félix Flores Espíritu

Página 110

Geometría Preuniversitaria

El ΔENB: Es notable de 30° y 60°.

En el ΔABC: (2α+θ) + (90°-α+30°) + (α+θ) = 180° Luego; α+θ = 30° entonces x = 60° Respuesta C. 27.En un cuadrilátero ABCD, AB=BC=CD, la m ∡ ABC=108° y la m ∡ CAD=18°. Calcule la m

∡ ACD. Si se sabe que dicho ángulo es agudo.

A)

18°

B) 12°

C) 27°

D) 20°

Solucionario: Prolongamos AB y trazamos la bisectriz AP del ángulo BAC, desde C trazamos la perpendicular CH a AP, cuya prolongación interseca a la prolongación de AB en E. luego la m ∡ CEA = m ∡ CBE = 72° y CE = BC = 2a. (CH=HE=a) Como AC es bisectriz del ángulo HAD, entonces CH=CM=a.

Félix Flores Espíritu

Página 111

Geometría Preuniversitaria

DC=BC=2a, entonces el triángulo DCM: es notable de 30°y 60°, de donde la m ∡ CDM=30°, por lo tanto la m ∡ DCA = 12°.

Respuesta B. 28. 15 CONAMAT 2012 En la región interna de un triángulo ABC (recto en B) se ubica el punto D, si AD=BD y AB=CD. Calcule la m ∡ DCB. A) 15°

B)20°

C)25°

D) 30°

Solucionario: Sea AB= CD= 2ℓ, trazamos DM ⊥ AB y DN ⊥ BC

Félix Flores Espíritu

Página 112

Geometría Preuniversitaria Como BD= AD, en el triángulo ADB, AM=BM=ℓ, entonces podemos observar que DN=MB=ℓ.

En el triángulo rectángulo CDN: CD = 2(DN), entonces x=30°.

Respuesta D.

29.Sea un triangulo rectángulo ABC recto en B, se ubican los puntos M y N en CB y AC respectivamente, tal que AB+MB=MC, AN=NC, calcule la m ∡ NMC.

A)

53 °

B)30 °

C)37 °

D)45 °

Solución:

Sea AB= a y BM= b, entonces MC = a+b, si prolongamos CB hasta P de modo que BP=AP=a.

El triángulo ABP es notable de 45° y M es punto medio de PC. En el triángulo APC, AP // NM y la m ∡ APC = m ∡ NMC = 45°.

Respuesta D. Félix Flores Espíritu

Página 113

Geometría Preuniversitaria 30.Del grafico AF + AE = 8 y BE=6, calcule BC.

A) 12

B) 6

√5

C) 6

√ 10

D) 10

Solución:

En el triángulos ABE: la m ∡ EAB=90°-θ, si prolongamos FA, la m ∡ BFH=90°-θ, entonces trazamos BH ⊥ FA, para aprovechar la bisectriz AB. Luego; BH=BE=6 y AH=AE=a, como a+b = 8

→ HF=8, siendo HBF un triángulo

rectángulo notable de 37° y 53°.

En HBF: 2θ = 53°

Félix Flores Espíritu

→ θ=

53 ° 2

Página 114

Geometría Preuniversitaria

El triángulo EBC es notable de

Entonces BC = BE(

√5

)=6

53 ° 2 :

√5

.

Respuesta B.

31. Según el gráfico, MC = 2(AH). Calcule x.

Félix Flores Espíritu

Página 115

A) 15°

Geometría Preuniversitaria B) 37°/2 C) 45° /2 D) 18°

E) 53°/2

Solución: En el triangulo HBM (isósceles de 45°) trazamos la altura HN, entonces BN=NM=HN=n.

Luego en BC ubicamos el punto medio Q (BQ=QC=m) y en el triangulo MBC; del teorema de los puntos medios NQ=MC/2=a.

Además la m ∡ Entonces el ∆AHN

AHN = 135° y también la m ∡ BNQ = m ∡ BMC = 135°.

≅ ∆QNB. (Caso L.A.L.)

Luego: AN=BQ=m=QC.

En ABC la m ∡ ABN=90°-

φ = m ∡ ANB. De donde AB = AN = m.

Finalmente en ABC: Como BC = 2AB, entonces la m ∡ BCA =

θ = 53°/2.

Respuesta E 32.(UNMSM 1995) En el triángulo ABC, la medida de los ángulos BAC y ABC son 60° y 90° respectivamente, además se trazan las bisectrices de los ángulos interiores que se intersecan en D, tal que DM es la mediana de triángulo ADC, calcule la medida del ángulo MDC.

Félix Flores Espíritu

Página 116

A)20°

Geometría Preuniversitaria B) 30° C) 45°

D) 60°

1ra Solución:

Graficando según el enunciado, en el triángulo ABC, la medida del ángulo ACB es 30° y al trazar las bisectrices desde A y C, en ADC nos piden x

En el triángulo ADC, el ángulo exterior en D mide 45° y para aprovechar este ángulo y el que mide 30°, prolongamos AD y trazamos CE perpendicular a la prolongación.

Entonces los triángulos rectángulos DEC y AEC son notables de 45° y 30° respectivamente.

En el triángulo rectángulo AEC, trazamos la mediana EM relativa a la hipotenusa AC. Entonces EM=AM=MB=a En el triángulo AEC: EC=a (notable de 30°) En el triángulo DEC: DE=EC=a

Félix Flores Espíritu

Página 117

Geometría Preuniversitaria En el triángulo DEM: la m ∡ DEM=30°, entonces en D: la m ∡ EDM = 45° + x = 75°.

Por lo tanto x = 30°

2da Solución:

Como la m ∡ CAB=60° y m ∡ ABC=60° entonces el triangulo ABC es notable de 30° y 60° y al ser M punto medio de AC entonces el triangulo ABM debe ser equilátero.

Como AR es bisectriz y AM=AB entonces la recta AR es porción de mediatriz para el segmento BM, luego la m ∡ DMA = m ∡ DBA = 45°.

Analizando el triangulo DCM: 45°=x+15° Por lo tanto la m ∡ MDC = 30°.

Respuesta B.

33. UNMSM 2012 I

Félix Flores Espíritu

Página 118

Geometría Preuniversitaria

√3

En el triángulo ABC de la figura, AD = 4

A) 12 cm

B) 11 cm

cm. Halle BC.

C) 13 cm

D) 14 cm

E) 15 cm

Solución:

Si prolongamos el lado AB, buscando que el triángulo AFC sea isósceles (AF=AC), entonces la m

∡ AFC = m ∡ ACF = 70°.

En el triángulo BFC: la m ∡ CBF = 70° = m ∡ CFB, entonces FC = BC = x.

Si prolongamos CD y desde A trazamos AE

⊥ CD, entonces la m ∡ ADE = 60°, luego en el

triángulo Notable ADE de (30° y 60°): como AD=4

√3

cm, entonces AE = 6cm.

En el triángulo AFC: Trazamos la altura AH, entonces FH=HC=x/2 y la m ∡ CAH= m ∡ FAH=20°

Félix Flores Espíritu

Página 119

Geometría Preuniversitaria

Como los triángulos ACE y CAH son congruentes (Caso A.L.A.): CH =AE. Luego x/2 = 6, entonces x=12.

Respuesta A.

34. En un triángulo rectángulo isósceles ABC, se traza la mediatriz relativa al cateto BC, que contiene a un punto P de la región exterior, relativa al lado AC. Si la m ∡ PAC = 30°, calcule la m ∡ PCA.

A) 10°

B) 12°

C) 15°

Solución:

Félix Flores Espíritu

Página 120

D) 18°

E) 20°

Geometría Preuniversitaria

Sea AB = BC = 2ℓ, luego, si PM es la mediatriz de BC entonces BM = MC= ℓ y PM//AB. Por lo tanto la distancia de P a AB es ℓ.

En ABC: la m ∡ BAC = m ∡ BCA = 45°, del dato la m ∡ PAC = 30°.

Entonces en el triángulo PAB; la m ∡ PAB = 75° y AB = 2(PH). Por lo tanto el triángulo PAB es notable de 30° y 75°.

Entonces θ = 30°. Por lo tanto la m ∡ PBC = m ∡ PCB = 60°, luego 45°+ x = 60°.

Finalmente x = 15°

Respuesta C.

35. En la región interna al triángulo equilátero ABC, se ubica el punto P de modo que las distancias de P a los vértices A, B y C son 3, 4 y 5 respectivamente. Calcule la m ∡ APB.

A) 150°

B) 113°

C) 97°

Solución: Félix Flores Espíritu

Página 121

D) 120°

E) 135°

Geometría Preuniversitaria

Si construimos el triángulo Equilátero PBQ; entonces PQ=BQ=PB=4.

Como la m ∡ ABC = m ∡ PBC = 60°, se puede constatar que la

∡ ABP = m ∡

CBQ. Además; AB = BC = ℓ y PB = BQ = 4.

Por lo tanto los triángulos QBC y PBA son congruentes (Caso L.A.L.), de donde concluimos que QC=PA=3.

También podemos notar que el triángulo PQC es notable de lados 3, 4 y 5, entonces la m

∡ PQC=90° y entonces la m ∡ BQC = 60° + 90° = 150°.

De la congruencia entre APB y CQB: x = 150°.

Respuesta A.

36. En el gráfico calcule x.

Félix Flores Espíritu

Página 122

Geometría Preuniversitaria

A) 30°

B)35°

C) 40°

D) 45°

E) 50°

Solución:

Del gráfico AD = BC y para aprovechar el ángulo DAC (m ∡ DAC = 30°), construimos el triángulo equilátero ADN, entonces la m ∡ ADN = 60° Trazamos DN, perpendicular a AC en N, sea DH = HN = a, entonces DN=AD=AN = 2a. en el triángulo ABD; BD = AD = 2a y la m ∡ ADB = 80°, por lo tanto BD = DN = 2a y la m ∡ BDN=140°, entonces la m ∡ NBD = m ∡ BND = 20°.

Luego se comprueba que B, E y N son colineales, además AC es mediatriz de DN, por lo tanto EN = ED y la m ∡ END = m ∡ EDN = 20°.

Finalmente x + 20° = 60°, entonces, x = 40°.

Félix Flores Espíritu

Página 123

Geometría Preuniversitaria

Respuesta C.

37. En el gráfico, calcule x.

A) 10°

B) 20°

C) 30°

Solución:

Félix Flores Espíritu

Página 124

D) 15°

E) 25°

Geometría Preuniversitaria

En el triángulo AEC; la m ∡ ECG=80°, entonces prolongamos AC y construimos el triángulo isósceles AEG: (AG=AE), entonces la m ∡ AGE=80°, por lo tanto EG=EC=2ª.

Como m ∡ EAG = 2(m ∡ EAB)=20°, entonces trazamos la bisectriz AN del ángulo GAE, entonces EN = NG = a.

También AE es bisectriz del ángulo NAB, luego EQ=EN=a.

Si trazamos la recta CP perpendicular a AE, el triángulo ECH resulta ser notable de 30° y 60°, entonces EH=a.

Como EH=EQ=a, PE es bisectriz del ángulo CPB, pero como la m ∡ PCB = m ∡ PBC = 40°, entonces PM es mediatriz de BC. Por lo tanto la m ∡ EBC= m ∡ ECB=10°

Respuesta A.

38. En un triángulo ABC recto en B, se ubica D exterior y relativo a AC, en el triángulo ACD se traza la altura DH (H en AC) tal que HC = AB, m ∡ BCA = 10°, m ∡ ADH = 70°, calcule m

∡ HDC.

A) 10° Félix Flores Espíritu

B) 20°

C) 25° Página 125

D) 30°

E) 35°

Solución:

Geometría Preuniversitaria

Sea AB = a = HC, ahora Construimos el triángulo CFA congruente a ABC. Luego construimos el triángulo CFE, simétrico de CFA respecto de AF. Entonces EF = FC = a.

En el triángulo isósceles AEC (AE=AC): trazamos CJ de modo que CJ = CE = 2a, entonces en el triángulo ECJ: la m ∡ CJE = m ∡ CEJ = 80°.

Como la m ∡ ECJ= 20° entonces la m ∡ JCA = 60°, por lo tanto trazamos JM perpendicular a AC (JM ⊥ AC) entonces el triángulo CJM es notable de 30° y 60°, como CJ = 2a, entonces CM = a, pero en el triángulo ADC; CH = a. Por lo tanto M = H.

Luego JH y HD son colineales, además la m ∡ EAC = m ∡ DAC = 20°. De lo cual concluimos que JH = HD. Finalmente: la m ∡ CDH = m ∡ CJH. Es decir x = 30°.

Respuesta D. 39. En el gráfico mostrado, calcule x.

Félix Flores Espíritu

Página 126

Geometría Preuniversitaria

A) 30°

B) 45°

C) 50°

D) 53°

E) 60°

Solución: En el triángulo ABC: La m ∡ BCA=m ∡ BAC=15°.

Si Construimos el triángulo BAH notable de 45°; AH = ℓ

√3

, además BH interseca a AD en E,

siendo el triángulo AHE; notable de 30° y 60°. Por lo tanto EH=ℓ y AE=2ℓ.

Luego los triángulos ABE y CBD son congruentes caso (A.L.A.). Por lo tanto x=45°.

Respuesta B.

40. En el grafico mostrado, calcule x.

Félix Flores Espíritu

Página 127

Geometría Preuniversitaria

A) 10°

B) 12°

C) 14°

D) 15°

E) 16°

Solución: En la prolongación de BA ubicamos el punto E, de modo que la m ∡ ECA= 14°, entonces la m ∡ ECB=37°, luego la m ∡ BEC = 37°.

En el triángulo EAC; trazamos AH

⊥ EC (H en EC), formándose los triángulos EAH y CAH

notables de (37°; 53°) y (14°; 76°), respectivamente.

Sea AH= 3a, entonces en el ΔAEH: EH=4a y AE=5a y en el ΔACH: CH = 12a. por lo tanto EC=16a y como el triángulo EBC es isósceles, trazamos la altura BM. Siendo AM = MC = 8a. resultando EH = HM = 4a y como AH//BM, entonces EA = AB. Del teorema de los puntos medios en el ΔBEC: AD//EC y entonces la m ∡ DAC = m ∡ ACE. Es decir x = 14°. .

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Página 128

Geometría Preuniversitaria

Respuesta C.

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Página 129

Geometría Preuniversitaria Problemas Propuestos 1. En el triángulo ABC, se traza la ceviana BD, de manera que AD = BC. Si la m ∡ BAC = 45° y la m ∡ BCA = 30°, calcule la m ∡ DBC. A) 10°

B) 15°

C) 20°

D) 25°

E) 30°

2. UNAM 2011-II Considerando el grafico: PM = MQ; AN = NC; AP = 4 y QC = 3. Calcule MN.

A) 2

B) 2,5

C) 3

D) 4

E) 5

3. En un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en B. Se ubican los puntos M y N en AC de modo que AM=MN=NC. Calcule la m ∡ MBN. A) 30°

B) 37°

C) 45°

D) 53°

E) 60°

4. En un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en B. Se ubican los puntos M y N en AC de modo que AM=3, NC=4 y m ∡ MBN=45°. Calcule MN. A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

5. En la región interior de un triangulo rectángulo Isósceles ABC recto en B, se ubica el punto P de modo que PC=AB. Si m ∡ PAC= m ∡ PCB=α, calcule el valor de α A)

15°

B ) 20°

C) 30°

6. En el gráfico AB = BC. Calcule el valor de α.

Félix Flores Espíritu

Página 130

D) 18°

E) 36°

Geometría Preuniversitaria

A) 10°

B) 15°

C) 18°

D) 20°

E) 22°30'

7. En el triangulo ABC, se traza la mediana BM. Si BC=AM y m ∡ ABM=45°, calcule la m

∡ BAC. A)

45°/2

B ) 15°

C) 37°/2

D) 53°/2

E) 30°

8. Los catetos AB y BC de un triángulo ABC, miden 4cm y 7cm.respectivamente, por A se traza la perpendicular AP a AC de modo que AP=AC. Calcule PB. A) 3cm

B ) 4cm

C) 5cm

D) 6cm

√2

E) 2

cm

9. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la ceviana CD tal que

m

∡

ACD = 2(m ∡ DCB); en el triángulo DBC calcule la altura BH, si AD=5cm y m ∡ BAC=53°.

A) 1cm

B ) 2cm

C) 3cm

D) 4cm

E) 2

√2

cm

10. En un triángulo ABC, la m ∡ BAC=20°, exteriormente y relativo al lado AB se ubica el punto P tal que m ∡ PAB=40° y m ∡ PBA=30°. Calcule m ∡ ACB, si PB=BC. A) 150°

B) 120°

C) 130°

D) 108°

E) 136°

11. La bisectriz exterior del ángulo BAC de un triángulo rectángulo BAC, recto en B, interseca a la perpendicular trazada a la hipotenusa en P, distando dicho punto 3cm de AC y 4cm de BC. Calcule PB. A)

3cm

B ) 4cm

C) 5cm

D) 6cm

E) 2

√2

cm

12. Exteriormente y relativo al lado AC de un triángulo equilátero ABC, se toma el punto P de modo que la m ∡ CPA=90°, Calcule PM siendo M punto medio de BC. Sabiendo que AB=2cm y m ∡ CAP=15°.

Félix Flores Espíritu

Página 131

Geometría Preuniversitaria A) 1cm

B)

√2

cm

C) 3cm

D)

√3

cm

E) 2

√2

cm

13. En el gráfico que se muestra calcule x, si CD = 2(CF)

A) 18°

B) 30°

C) 36°

D) 45°

E) 54°

14. Sobre los lados AB, BC y AC de un triángulo rectángulo ABC, recto en B se toman los puntos P, M y N; tal que MP es bisectriz del ángulo BMN y NP es bisectriz del ángulo ANM. Si 4AP=5PB. Calcule la m ∡ MPN.

A) 71°30´

B)120°

C)90°

D)127°

E)112°30´

15. En el triángulo ABC, se ubican los puntos; M en BC, P y Q en AC (Q en AP; P en QC); AQ=QP, PC=AB, BM=MC, m ∡ BAC=2(m ∡ QMP)=2(m ∡ ACB). Calcule la m ∡ ACB.

A) 15°

B)18°

C)30°

D)36°

E)45°

16.UNI 1995 I En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se ubica el punto P en la región interior. Si la m

∡ PBA=70°, m ∡ PAB=30° y m ∡ PBC=10°. Calcule la m ∡ PCB. A) 15°

B) 20°

C) 30°

D) 18°

17. En el gráfico AB = BC. Calcule MN si AM = 2 y CN = 1.

Félix Flores Espíritu

Página 132

E) 10°

Geometría Preuniversitaria

A)

√3

B) 1

C) 2

D)

√6

E) 2

√3

18. En el triángulo ABC, se traza la mediana BM. Si la m ∡ BAC = m ∡ MBC=2( m ∡ BCA). Calcule la m ∡ BAC.

A) 10°

B) 12°

C) 15°

D) 18°

E) 20°

19. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, de modo que AB = MC. Si la m ∡ MBC = 14°, calcule la m ∡ BAC.

A) 90°

B) 106°

C) 74°

D) 120°

E) 135°

20. En el gráfico, la m ∡ BAC = m ∡ MBC; la m ∡ BMC = 45° y AM/MC = 3/2. Calcule la m ∡ BCA.

A) 10°

Félix Flores Espíritu

B) 12°

C) 18°

Página 133

D) 18° 30'

E) 26°30'

Geometría Preuniversitaria

Cuadro de Respuestas

Félix Flores Espíritu

pregunta

clave

pregunta

clave

1

B

11

C

2

B

12

B

3

B

13

B

4

C

14

A

5

C

15

C

6

B

16

E

7

D

17

A

8

C

18

C

Página 134

Geometría Preuniversitaria

Félix Flores Espíritu

9

B

19

B

10

A

20

D

Página 135