Ecuaciones Paramétricas. Ruben Guere

2021

Ecuaciones Paramétricas

IUP “Santiago Mariño”

Rubén Guere C.I. 27.910.909 Ing. Eléctrica (43)

Ecuaciones Paramétricas

EDITORIAL

Las Ecuaciones Paramétricas son importantes, porque pueden describir cosas que son mucho más generales que simplemente dibujar imágenes en el plano o el espacio. Cada sistema imaginable tiene entradas que controlan cómo se comporta, y pone el sistema en un estado, que a veces podemos medir como salida.

Al igual que con otras ecuaciones en matemáticas, también

queremos

paramétricas.

poder

Usaremos

las

graficar mismas

ecuaciones coordenadas

cartesianas a las que estamos acostumbrados. Sin embargo, los pasos para graficar ecuaciones paramétricas son un poco más complicados. También podemos medir la longitud con una línea recta, pero las curvas también tienen longitud.

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Ecuaciones Paramétricas

Tabla de contenido EDITORIAL .................................................................................. 1 ECUACIONES PARAMÉTRICAS .............................................. 3 GRÁFICA DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS ..................... 5 Ecuación Paramétrica de una Circunferencia ........................ 5 Ecuación Paramétrica de una Elipse ....................................... 6 Ecuación Paramétrica de una Parábola ................................. 8 Ecuación Paramétrica de una Hipérbola ............................. 10 TRANSFORMACIONES DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS A LAS CARTESIANAS .............................. 12 LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS ..................................................................................................... 15

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Ecuaciones Paramétricas

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ECUACIONES PARAMÉTRICAS

En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. La representación analítica de una curva utilizando dos ecuaciones, se llaman ecuaciones paramétricas de la curva. Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable.

Según esto, designando por la letra z la tercera variable, comúnmente

llamada

variable

paramétrica,

estas

ecuaciones se representan en la siguiente forma general: x = f (z) y = f (z)

En el caso de una función real de una variable real, y =f(x), en algunos casos es preferible, tratándose del par ordenado (x,y) , expresar cada una de las coordenadas como una función; esto es x= g(t) , y = h(t). De tal manera que a t se le denomina parámetro' y al sistema formado por x=g(t) , y=h(t) se denomina ecuaciones paramétricas de la función. Extendiendo este concepto para el caso de curvas se puede hablar que las ecuaciones x= g(t), y = h(t) definen una curva recorriendo algún intervalo de números reales.

Las ecuaciones paramétricas x = 2t-5, y = 4t - 7, que corresponden a la recta de ecuación y=2x+3.

Es importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas

representan una sola curva perfectamente referida a un

sistema de ejes cartesianos

Ecuaciones Paramétricas

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EJEMPLO Considera las ecuaciones paramétricas x=t y y=[t] para -4 ≤ t ≥ 3 a. Grafica las ecuaciones. b. Escribe las ecuaciones para trasladar la gráfica 1 unidad a la izquierda y 2 unidades hacia abajo SOLUCIÓN Usa las ecuaciones para calcular los valores x y y que corresponden a los valores t en el intervalo -4 ≤ t ≥ 3 a. Después grafica los puntos a medida que t aumenta, conectando cada punto con el anterior tenemos:

t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

y 4 3 2 1 0 1 2 3

b. Para trasladar la gráfica hacia la izquierda 1 unidad, cada coordinada x debe disminuir en 1. Para trasladar la gráfica hacia abajo 2 unidades, cada coordenada y debe disminuir en 2. Las nuevas ecuaciones son x=t-1 y y=t-2

t x -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3 4

y 2 1 0 1 2 3 4 5

Ecuaciones Paramétricas

GRÁFICA DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Ecuación Paramétrica de una Circunferencia Al igual que la recta, la ecuación de una circunferencia también se puede parametrizar con las funciones trigonométricas del seno y del coseno.

Los puntos (x,y) de la circunferencia también se pueden expresar a partir del ángulo (θ) del punto a través de la circunferencia respecto al eje de coordenadas x, mediante la ecuación paramétrica. El ángulo se puede expresar radianes (θ∈[0,2π]) o grados sexagesimales (θ∈[0º,360º]).

Así

pues,

las

ecuaciones

paramétricas

de

circunferencia son: 𝑥 = 𝑐1 + 𝑟. cos 𝜃 𝑝{ 𝑦 = 𝑐2 + 𝑟 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 Siendo 𝐶 = (𝑐1, 𝑐2 ) el centro y 𝜃 el ángulo del punto EJEMPLO

Consideremos lo siguiente: 𝑥 = 5. cos(2𝑡) 𝜋 { 𝑡 ∈ (0, ) 2 𝑦 = 5. 𝑠𝑒𝑛 (2𝑡) Si elevamos al cuadrado y sumamos, obtenemos: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 Construyamos la tabla de valores: t 0 p /4 p /2

(x,y) (5,0) Punto inicial (-0,5) Punto intermedio (-5,0) Punto final

la

5

Ecuaciones Paramétricas

Ecuación Paramétrica de una Elipse A partir de una elipse horizontal con centro en O (o1, o2) y semiejes a y b, se trazan dos circunferencias de radios también a y b. Un segmento cualquiera OQ, que corta a la circunferencia menor en P, forma un cualquiera t con el semieje positivo de las abscisas. A la vista de la imagen, la abscisa del punto Q coincidirá con la de un punto X de la elipse. De la misma manera, la ordenada del punto P será la misma que la del punto X. Podemos plantear las ecuaciones paramétricas de la elipse: 𝑥 = 𝑜1 + 𝑎 cos 𝑡 { 𝑦 = 𝑜2 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑡 Si la elipse horizontal está centrada en el origen de coordenadas (0, 0), sus ecuaciones paramétricas se simplificarán. 𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 {𝑦 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑡 La misma construcción geométrica se aplicará en el caso de una elipse vertical, cuyo centro esté en el origen de coordenadas (0, 0).

Aquí las ecuaciones paramétricas serán: 𝑥 = 𝑏 cos 𝑡 { 𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡

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Ecuaciones Paramétricas

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EJEMPLO Hallar una parametrización de la siguiente curva: 𝑥 2 + 4𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 𝒙𝟐 e 𝒚𝟐

Si los coeficientes de

Esta expresión

no son iguales, no puede

tratarse de una circunferencia. Tampoco puede ser una parábola. Entonces o es una elipse o es una hipérbola. Si fuera una hipérbola los signos de los coeficientes de los términos con 𝒙𝟐 e 𝒚𝟐

deberían ser distintos. Luego pensamos

inicialmente que es una elipse.

𝑎2

+

(𝑦−𝛽)2 𝑏2

𝑎

) + (

𝑦−𝛽 2 𝑏

) =1

Y por la identidad pitagórica podemos hacer: cos (𝑡) =

𝑥−𝛼 𝑎

;

sin (𝑡) =

𝑦−𝛽 𝑏

Análogamente a lo visto para la circunferencia, el parámetro t debería tomar todos los valores en el intervalo [0,2π]: 𝑥 = 𝛼 + 𝑎. cos(𝑡) { t (0,2p) 𝑦 = 𝛽 + 𝑏. 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) Obtuvimos así una parametrización de la elipse con C (α,β) y semiejes a y b.

Retomemos la ecuación dada: 𝑥 2 + 4𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 Saquemos factor común: 𝑥 2 − 2𝑥 + 4(𝑦 2 + 𝑦) + 1 = 0 1 2

1 2

Completemos cuadros: (𝑥 − 1)2 − 12 + 4 [(𝑦 + 2) − (2) ] + 1 = 0 2

1 2

1

(1, − ) y semiejes 𝑎 = 2

1, 𝑏 =

1 2

𝑥 = 1 + cos(𝑡) 1 1 { 𝑡 ∈ (0,2𝜋) 𝑦 = − + 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) 2 2

=1

podemos expresar esto como la suma de dos cuadrados: 𝑥−𝛼 2

una elipse con centro

parametrización es:

Una vez que lo escribimos así, es fácil parametrizar porque (

ecuación canónica de

Una posible

Deberíamos llegar a una ecuación como ésta: (𝑥−𝛼)2

corresponde a la

(𝑥 − 1) + 4 ( 𝑦 + 2) =1

;

2

(𝑥 − 1) +

1 2 2 1 4

(𝑦+ )

=1

Ecuaciones Paramétricas

Ecuación Paramétrica de una Parábola Las parábolas representan muchos fenómenos naturales, incluyendo el movimiento de objetos afectados por la gravedad, la cantidad de reactivos en una reacción química y cómo las poblaciones crecen o disminuyen en comparación a otras. Algunas veces los científicos necesitan saber cómo dos variables cambian con respecto al tiempo. Para registrar cómo las variables cambian a lo largo

del

tiempo,

los

científicos

pueden escribir

ecuaciones en forma paramétrica.

Se pueden usar distintas ecuaciones paramétricas para representar una sola parábola. Por ejemplo, dos objetos pueden viajar en la misma trayectoria parabólica a distintas velocidades.

Cuando escribes una ecuación en forma paramétrica escribes x e y como funciones de una tercera variable, generalmente t de tiempo. La ecuación resultante queda así: F(t)=(x(t),y(t)) , donde x(t) e y(t) son funciones de una sola variable, t .

1

Por ejemplo, la parábola 𝑦 = 4 𝑥 2 + 3 puede ser expresada por las siguientes ecuaciones paramétricas: 𝐹(𝑡) = (𝑥𝑡 , 𝑦𝑡 )

;

𝑥𝑡 = 2𝑡

;

𝑦𝑡 = 𝑡 2 +3

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Ecuaciones Paramétricas

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EJEMPLO

𝑦 + 20 =

1 (𝑥 + 10) 2 5

Dibuja la parábola descrita por la ecuación paramétrica

𝑦 + 20 =

1 (0 + 10) 2 5

𝐹 (𝑡) = (𝑥𝑡 , 𝑦𝑡 )

;

𝑥𝑡 = 5𝑡

;

𝑦𝑡 = 20𝑡 + 5𝑡 2

𝑦 + 20 =

Para dibujar la parábola necesitas escribirla en forma estándar.

𝑦 + 20 = 20

Puedes hacerlo eliminando t de la ecuación. Resuelve una ecuación para t, e incluye ese valor de t

1 100 5

𝑦=0

en la segunda

ecuación.

El intercepto y de esta parábola está en (0, 0).

𝑥𝑡 = 5𝑡

Para

encontrar

los

𝑓𝑟𝑎𝑐𝑥5 = 𝑡

interceptos de x iguala y

𝑦𝑡 = 20𝑡 + 5𝑡 2

a 0 y resuelve.

𝑥 𝑥 2 𝑦𝑡 = 20 ( ) + 5 ( ) 5 5

Los interceptos de x de

5𝑥 2 𝑦 = 4𝑥 + 25

0) y (-20, 0). Usa la

𝑥2 𝑦 = ( ) + 4𝑥 5 1 𝑦 = (𝑥 2 + 20𝑥) 5

Ahora completa el cuadro para escribir la ecuación en forma estándar 𝑦=

1 2 (𝑥 + 20𝑥) 5

𝑦=

1 2 (𝑥 + 20𝑥 + 100 − 100) 5

𝑦=

1 2 (𝑥 + 20𝑥 + 100) − 20 5

𝑦 + 20 =

1 (𝑥 + 10)2 5

El vértice de la parábola está en (-10, -20). Ahora puedes encontrar los interceptos de x e y para que te ayuden en el dibujo. Para encontrar el intercepto de y resuelve y cuando x es 0.

esta parábola están en (0, información para dibujar una

gráfica.

Ecuaciones Paramétricas

Ecuación Paramétrica de una Hipérbola Cuando parametrizamos la circunferencia y la elipse utilizamos la relación pitagórica: 𝑠𝑒𝑛2 (𝑡) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) = 1 Esta relación no nos sirve en el caso de la hipérbola, pero podemos

utilizar

𝑠𝑒𝑐 2 (𝑡) − 𝑡𝑔 2 (𝑡) = 1.

intervalo [0,2π]

otra

identidad

Observación:

si

las funciones sec(t) 2

trigonométrica: consideramos

el

y tg(t) no están

3

definidas ni en 𝑡 = 𝜋 ni en 𝑡 = 2 𝜋 Consideremos la ecuación canónica de una hipérbola de eje focal diferencia

𝑥2

𝑦2

𝑎2

− 𝑏2 = 1. Es posible escribirla como una

de

cuadrados

trigonométrica recién

y

utilizar

(𝑡) presentada: {𝑥𝑦 == 𝑎.𝑏.sec 𝑡𝑔(𝑡)

la

identidad 𝜋 3

𝑡 ∈ [0,2𝜋] − { , 𝜋} 2 2

Que es la parametrización de la hipérbola con centro C (0.0) y eje focal y=0 (eje x).

Observación: el conjunto de valores del parámetro puede expresarse también así: [0,2𝜋]– {𝜋2 , 32 𝜋} = [0, 𝜋2) ∪ (𝜋2 , 3𝜋2) ∪ (3𝜋2 , 2𝜋]

En el caso de la hipérbola de eje focal x=0 (eje y), se opera 𝑦2

𝑥2

de forma análoga: 𝑎2 – 𝑏2 = 1 𝑦2 𝑎2

−

𝑥2 𝑏2

𝑦 2

𝑥 2

= 1 ( ) − ( ) = 1 𝑎

sec (t)

𝑏

tg (t)

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Ecuaciones Paramétricas

EJEMPLO

Hallar una parametrización de la hipérbola definida por la siguiente ecuación.

Hallar una parametrización de la hipérbola definida por la siguiente ecuación.

𝑥2 4

− 𝑦2 = 1

Se trata de una hipérbola de eje focal x. Así que siguiendo la parametrización realizada para el caso general podemos llegar 𝑥 2

sec(𝑡) a: ( 2) − (𝑦)2 = 1 entonces: {𝑥 𝑦==2.𝑡𝑔(𝑡)

𝜋 3

𝑡 ∈ [0,2𝜋] − { , 𝜋} 2 2

Nótese que cuando: 𝑡 ∈ [0,2𝜋] se obtienen puntos de la hipérbola en el primer cuadrante 𝜋 3𝜋

𝑡∈{ , 2

2

} se obtienen puntos de la hipérbola en el tercer y segundo

cuadrante 𝑡∈{

3𝜋 2

, 2𝜋} se

obtienen puntos de la hipérbola en el cuarto cuadrante

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Ecuaciones Paramétricas

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TRANSFORMACIONES DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS A LAS CARTESIANAS

Como sabemos las ecuaciones rectangulares son las

Las ecuaciones paramétricas

ecuaciones con varias variables como x, y, y z y las

pueden

ecuaciones paramétricas son nuestras mismas ecuaciones rectangulares reescritas con una sola variable, el

transformarse

cartesianas aplicando simple

reducción.

en

una La

longitud de la curva puede

parámetro (t). Entonces, las ecuaciones rectangulares

ser estudiada aplicando el

tienen más de una variable y las ecuaciones paramétricas

teorema de Pitágoras a sus

solo tienen una. Además, mientras que la ecuación

componentes.

rectangular solo tiene una ecuación, una ecuación paramétrica tiene una ecuación de definición para cada variable.

Para transformar una ecuación rectangular a una ecuación paramétrica, necesitamos mirar la ecuación y compararla con otras ecuaciones que sabemos que tienen la misma forma. Si es una línea recta, podemos hacer una sustitución sencilla como x = t y luego insertar eso en nuestra ecuación para averiguar a qué es igual y. Para ecuaciones rectangulares más complejas, es posible que debamos observar posibles identidades trigonométricas y otras identidades que conocemos.

Para transformar una ecuación paramétrica en una ecuación rectangular, resolvemos una de las ecuaciones paramétricas para una de las variables rectangulares y la conectamos a la otra ecuación para encontrar una ecuación rectangular.

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EJEMPLO De Rectangular a Paramétrico a.-Transformar

la

siguiente

ecuación

rectangular

a

paramétrica: y = 4x Con este proceso,

Se nos ha dado un problema para transformar la ecuación

definitivamente es

rectangular y = 4x a forma paramétrica. Esta es una ecuación

posible obtener

lineal simple, por lo que podemos hacer la sustitución

diferentes ecuaciones

paramétrica fácil de x = t. Luego, para averiguar qué es y en

paramétricas que producirán la misma

términos de t, sustituimos t por x. Obtenemos y = 4t.

ecuación rectangular.

Entonces nuestra ecuación paramétrica es x = t y y = 4t. Desde nuestra ecuación rectangular tiene solamente las variables x e y, nuestra ecuación paramétrica tendrá sólo dos ecuaciones, una para x y otra para y. b.- Transformar la siguiente ecuación a paramétrica 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 Para

transformar

paramétrica,

esta ecuación

utilizamos

nuestro

rectangular en forma conocimiento

de

la

trigonometría y sus identidades. Al observar esta ecuación, vemos que se parece mucho a la identidad pitagórica en trigonometría, 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒕) + 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒕) = 𝟏. Al ver cómo se comparan, podemos hacer la sustitución paramétrica de x = sin (t) e y = cos (t). Entonces, nuestra ecuación paramétrica es x = sin (t) e y = sin (t).

Si bien las ecuaciones rectangulares simples pueden tener una sustitución rectangulares

paramétrica más

simple,

complicadas

algunas utilizarán

ecuaciones nuestro

conocimiento matemático extendido. La clave está en conocer la forma del gráfico y las otras ecuaciones que también tienen el mismo gráfico de forma.

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De Paramétrico a Rectangular Ir al revés y convertir de forma paramétrica a forma rectangular es más sencillo. Lo que tenemos que hacer es resolver primero una ecuación para x o y y luego conectarla a la otra para encontrar nuestra ecuación rectangular.

La transformación de forma paramétrica a forma rectangular es más sencilla y requiere una

sustitución y una resolución directas.

Convierta x = t + 1 e y = 2t en una ecuación rectangular.

Ambas ecuaciones son fáciles de resolver para x o y . Así que solo elegiremos uno.

Resolvamos x = t + 1 para t.

Obtenemos t = x – 1.

Ahora, convertimos esto en y = 2t.

Obtenemos y = 2 (x – 1).

Esto se convierte en y = 2x – 2, una ecuación lineal.

Hemos terminado.

Nuestra ecuación rectangular es y = 2x – 2.

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LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Se define la longitud de arco de una curva paramétrica entre dos valores del parámetro t. Se define además la función

Al aplicar la fórmula para

longitud de arco como la integral de la magnitud de la

la longitud de arco a una

derivada de la función vectorial.

curva, hay que asegurarse de que la curva recorra una

Si una curva suave C está dada por x=f(t) y y=g(t) y C no se

sola

vez

en

el

intervalo de integración.

corta a sí misma en el intervalo a ≤ t ≥ b (excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de C en ese intervalo está dada por:

2

2

𝑏 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑆 = ∫𝑎 √( 𝑑𝑡 ) + ( 𝑑𝑡 ) 𝑏

dt

𝑆 = ∫𝑎 √(𝑓(𝑡))2 + (𝑔 (𝑡))2

dt

Observaciones: 1.- Una curva C puede tener más de una parametrización. Sin embargo, se debe tener cuidado de que la parametrización que completa.

2.- Una curva descrita por una función y = f (x) siempre se podrá parametrizar mediante: x = t, y = f (t)

Un punto en el círculo pequeño es el que traza una

epicicloide

en

la

3.- La gráfica de una función diferenciable y = f (x) puede tener

medida que el círculo

solamente una tangente en un punto, pero la gráfica de una

pequeño rueda alrededor

curva descrita paramétricamente puede tener más de una

del círculo grande

tangente en un punto, puesto que la curva puede cruzarse a sí misma.

Ecuaciones Paramétricas

EJEMPLO Hallar

la longitud

de

arco

mediante las

ecuaciones

paramétricas: 𝒙 = 𝟓 𝐜𝐨𝐬 𝒕 − 𝐜𝐨𝐬 𝟓𝒕 y 𝒚 = 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝒕 − 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒕 para (𝟎, 𝟐𝝅) Para poder utilizar la fórmula de la longitud de arco, primero se va derivando la ecuación paramétrica x con respecto a t, se tiene lo siguiente: 𝑥 = 5 cos 𝑡 − cos 5𝑡 𝑑𝑥 𝑑 𝑑 𝑑 = (5 cos 𝑡 − cos 5𝑡) = 5 (cos 𝑡) − (cos 5𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = −5 𝑠𝑖𝑛 𝑡 + 5 𝑠𝑖𝑛 5𝑡 𝑑𝑡

Se aplica el paso anterior para la ecuación paramétrica y 𝑦 = 5 sin 𝑡 − sin 5𝑡 𝑑𝑦 𝑑 𝑑 = 5 (𝑠𝑖𝑛 𝑡) − (𝑠𝑖𝑛 5𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 5 cos 𝑡 − 5 cos 5𝑡 𝑑𝑡

Después, del intervalo (𝟎, 𝟐𝝅), los límites inferior y superior de la integral proveniente de la fórmula de la longitud de arco son: 𝑎 = 0 y 𝑏 = 2𝜋 Con estos cuatro datos, se realiza la sustitución 𝑏

𝑆 = ∫ √( 𝑎

𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 ) + ( ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

2𝜋

𝑆 = ∫ √(−5 𝑠𝑖𝑛 𝑡 + 5 𝑠𝑖𝑛 5𝑡)2 + (5 cos 𝑡 − 5 cos 5𝑡)2 𝑑𝑡 0 2𝜋

𝑆 = ∫ √25𝑠𝑖𝑛 2𝑡 − 50𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑠𝑖𝑛5𝑡 + 25𝑠𝑖𝑛 2 5𝑡 + 25𝑐𝑜𝑠 2𝑡 − 50 cos 𝑡 cos 5𝑡 + 25𝑐𝑜𝑠 25𝑡 𝑑𝑡 0

2𝜋

𝑆 = ∫ √25 + 25 − 50 sin 𝑡 𝑠𝑖𝑛5𝑡 + 25 − 50 𝑐𝑜𝑠 𝑡 cos 5𝑡 𝑑𝑡 0 2𝜋

𝑆 = 5 ∫ √2 − 2 sin 𝑡 𝑠𝑖𝑛 5𝑡 − 2 cos 𝑡𝑐𝑜𝑠 5𝑡 𝑑𝑡 0

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Ecuaciones Paramétricas 2𝜋

𝑆 = 5 ∫ √2 − cos(𝑡 − 5𝑡) + cos(𝑡 + 5𝑡) − 𝑐𝑜𝑠(𝑡 − 5𝑡) − cos(𝑡 + 5𝑡) 𝑑𝑡 0 2𝜋

𝑆 = 5 ∫ √2 − cos(−4𝑡) + cos(6𝑡) − 𝑐𝑜𝑠(−4𝑡) − cos(6𝑡) 𝑑𝑡 0 2𝜋

𝑆 = 5 ∫ √2 − cos(−4𝑡) − 𝑐𝑜𝑠(−4𝑡) 𝑑𝑡 0 2𝜋

2𝜋

𝑆 = 5 ∫ √2 − 2cos(−4𝑡) 𝑑𝑡 = 5 ∫ √2 − 2 cos 4𝑡 𝑑𝑡 0

0

2𝜋

2𝜋

𝑆 = 5 ∫ √2(1 − 𝑐𝑜𝑠4𝑡) 𝑑𝑡 = 5 ∫ √2 − (2𝑠𝑖𝑛2 2𝑡) 𝑑𝑡 0

0

2𝜋

2𝜋

𝑆 = 5 ∫ √4𝑠𝑖𝑛2 2𝑡 𝑑𝑡 = 10 ∫ sin 2𝑡 𝑑𝑡 0

0 2𝜋

𝑆 = 40 ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑡 𝑑𝑡 = 0

40 (−𝑐𝑜𝑠2𝑡)𝜋/2 𝑜 2

𝑆 = 20 (− cos 𝜋 + cos 0) = 20 (1 + 1)

𝑠 = 40 𝑢

Finalmente,

la

longitud

de

arco

de

las

ecuaciones

paramétricas: 𝒙 = 𝟓 𝐜𝐨𝐬 𝒕 − 𝐜𝐨𝐬 𝟓𝒕 y 𝒚 = 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝒕 − 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒕 para (𝟎, 𝟐𝝅) es de 40 unidades.

Representación gráfica de la longitud de arco con las ecuaciones paramétricas dadas

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