LN ucb_300-301 by Založba Rokus Klett, d.o.o.

Kako so različne srednje vrednosti odvisne od podatkov?

Ekstremne vrednosti ali osamelci zelo močno vplivajo na aritmetično sredino, zlasti če ležijo le na eni strani množice podatkov. V takem primeru se aritmetična sredina pomakne v tisto smer, in to tem bolj, čim bolj oddaljen je osamelec. V primeru majhnega števila diskretnih podatkov je modus kot srednja vrednost ponavadi zavajajoč.

Mediana je od vseh omenjenih srednjih vrednosti najmanj občutljiva na osamelce in ponavadi dobro predstavlja opazovano množico. Lažje jo izračunamo, če so podatki že urejeni po velikosti (rečemo tudi, da so podatki rangirani).

V študentski restavraciji so naključno izbrane študentke in študente spraševali, koliko ur so porabili za študij v preteklem tednu, in dobili naslednje podatke:

18 60 72 58 20 15 12 26 16 29

26 41 45 25 32 24 22 55 30 31

55 39 29 44 29 14 40 31 45 62

36 52 47 38 36 23 33 44 17 24

a) Podatke predstavimo v histogramu s številkami.

Na levi strani zapišemo desetico, na levo pa enice. S tem podatke uredimo po velikosti.

Kvartile enostavno preberemo z kumulativnega grafa, ki predstavlja kumulativne frekvence in se imenuje ogiva. Beseda ogiva je francoskega izvora in pomeni oporni lok v gotski arhitekturi.

c) Narišimo škatlo z brki.

Prvi kvartil je mediana prvih 20 podatkov, torej aritmetična sredina 10. in 11. podatka.

Q1 = 24 + 24 2 = 24

Tretji kvartil je mediana druge polovice podatkov, torej aritmetična sredina 30. in 31. podatka.

Q3 = 44 + 45 2 = 44,5

Minimalni podatek je 12, maksimalni pa 72. Sedaj lahko narišemo škatlo z brki.

Zgled 2

12 0 24 31,5 44,5 72

Zgled 3

b) Izračunajmo aritmetično sredino, mediano in modus.

Aritmetično sredino izračunamo tako, da seštejemo vse podatke in delimo s številom podatkov.

DELOVNA RAZLIČICA DELOVNA RAZLIČICA

x = 18 + 60 + 72 + … + 44 + 17 + 24 40 = 34,9

Podatkov je 40, torej za mediano vzamemo aritmetično sredino 20. in 21. podatka.

m = 31 + 32 2 = 31,5

Največkrat se pojavi podatek 29.

M = 29

Zgled 4

Očitno mediana in aritmetična sredina dobro opisujeta podatke, vendar je zaradi osamelca 72 mediana boljša srednja vrednost od aritmetične sredine.

V družini Novak poleg staršev in otrok živijo tudi stari starši in neporočena teta. Njihova leta so: 47, 42, 7, 9, 12, 14, 85, 79, 47. Izračunajmo aritmetično sredino, mediano in modus.

x = 47 + 42 + 7 + 9 + 12 + 14 + 85 + 79 + 47 9 = 38

Aritmetična sredina starosti članov razširjene družine je 38 let.

Zapišimo leta po vrstnem redu: 7, 9, 12, 14, 42, 47, 47, 79, 85. Mediana je 42, vrednost modusa pa je 47, vendar je ni smiselno upoštevati, ker je v množici premalo podatkov.

V razredu je 10 dijakov in 12 dijakinj. Pri testu so dijaki dosegli povprečje 63,2 %, dijakinje pa 58,5 %. Izračunajmo povprečje razreda kot celote.

Povprečje razreda kot celoto dobimo tako, da za vsakega od dijakov vzamemo povprečje dijakov in za vsako od dijakinj njihovo povprečje. Povprečje razreda kot celote leži med danima povprečjema.

x = 10 63,2 + 12 58,5 22 = 60,6

Aritmetična sredina starosti devetih otrok je 10,3 leta. Ko se skupini priključi še en otrok, aritmetična sredina vseh desetih otrok znaša 10,5 leta. Koliko je star deseti otrok?

Najprej zapišimo enačbo za aritmetično sredino vseh 10 otrok in pri tem upoštevajmo, da za starost vseh devet otrok lahko vzamemo povprečje 10,3. Iz te enačbe izrazimo neznano starost y in jo izračunamo.

x = 10,5 = 9 ∙ 10,3 + y 10

y = 10 x 10,5 – 9 x 10,3 = 12,3

Deseti otrok je star 12,3 let.

Zgled