Linearno programiranje
Metode optimiziranja so danes nekaj povsem vsakdanjega in se jih ponavadi niti ne zavedamo. Ko gremo v trgovino, imamo s seboj seznam stvari (v spominu ali napisane na papirju), ki jih bomo kupili, radi bi jih seveda dobili po najbolj ugodni ceni, ves čas pa nas opominja misel, da je v denarnici omejena količina denarja.
V optimiziranju torej nastopajo ciljna funkcija in omejitve. Če je ciljna funkcija linearna in če imajo omejitve obliko linearne enačbe ali neenačbe, tako optimiziranje imenujemo linearno programiranje.
Zgled 1
Pred začetkom šolskega leta v trgovini načrtujejo prodajo šolskih potrebščin.
V skladišču imajo 600 zvezkov, 500 map in 400 peres, iz katerih bodo naredili dve vrsti paketov. V prvem bosta dva zvezka, mapa in dve peresi, v drugem pa trije zvezki, mapa in pero. Cena prvega kompleta je 6,50 evra, drugi pa bo stal 7 evrov. Koliko posameznih kompletov morajo pripraviti, da bo zaslužek največji?
Komplet 1 Komplet 2 Zaloga
Zvezki 2 3 600
Mape 1 1 500
Peresa 2 1 400
1. korak: Izberemo in imenujemo spremenljivke, prvi komplet naj bo x, drugi komplet pa y.
2. korak: Napišemo ciljno funkcijo f(x, y) = 6,5x + 7y.
DELOVNA RAZLIČICA
3. korak: Napišemo omejitve:
x ≥ 0, y ≥ 0 število enih in drugih kompletov mora biti nenegativno
2x + 3y ≤ 600 omejitev za zvezke
x + y ≤ 500 omejitev za mape
2x + y ≤ 400 omejitev za peresa
4. korak: Narišemo premice in označimo polravnine v istem koordinatnem sistemu.
Spoznali boste:
Zgled 2
5. korak: Presek vseh množic imenujemo dopustno oz. izvršljivo območje, ki je vedno konveksna množica.
6. korak: Izračunamo vrednosti ciljne funkcije v vseh ogliščih konveksnega poligona: (0, 200), (200, 0) in (150, 100):
f(x, y) = 6,5 ∙ 0 + 7 ∙ 200 = 1400
f(x, y) = 6,5 ∙ 200 + 7 ∙ 0 = 1300
f(x, y) = 6,5 ∙ 150 + 7 ∙ 100 = 1675
Očitno je v zadnjem primeru iztržek največji. Zato je optimalno pakiranje 150 prvih in 100 drugih kompletov.
Rešitev primera zahteva še nekaj razlage, saj ciljne funkcije pri reševanju sploh še nismo omenili.
Graf ciljne funkcije f(x, y) = 6,5x + 7y je premica 6,5x + 7y = c, ki se imenuje nivojnica funkcije. Če za konstanto c izberemo različne pozitivne vrednosti, dobimo snop premic, ki so na sliki narisane z rdečo barvo.
x 0 100 100 100 150 200 0
y 0 50 100 80 100 0 200
c = f(x, y) 0 1000 1350 1210 1675 1300 1400
Na kokošji farmi pitajo piščance z dvema vrstama hrane. Piščanec mora na dan pojesti vsaj 8 enot hrane A in vsaj 15 enot hrane B. Na tržišču je mogoče kupiti hrano dveh proizvajalcev. Prvi prodaja paket X, ki vsebuje 2 enoti A in 3 enote B in stane 19 denarjev, drugi pa ponuja paket Y, ki vsebuje 2 enoti A in 4 enote B po 24 denarjev. Koliko posameznih paketov naj dnevno kupi farma, da bo strošek najmanjši?
1. korak: Imamo dve spremenljivki, število paketov X naj bo x in število paketov Y naj bo y.
2. korak: Ciljna funkcija je f(x, y) = 19x + 24y, iščemo pa njeno najmanjšo vrednost.
3. korak: Omejitve: X Y Minimum A 2 2 8 B 3 4 15
2x + 2y ≥ 8
3x + 4y
