Spremembo v matematiki označimo z grško veliko črko delta Δ. Potem diferenčni količnik lahko zapišemo: k = Δy Δx .
Izpeljava:
Ker je diferenčni količnik pri linearni funkciji povsod enak, si lahko izberemo katera koli dva originala in izračunamo njuni sliki:
Če linearna funkcija f(x) = kx + n original x1 preslika v y1 original x2 pa v y2 potem je
y1 = kx1 + n
y2 = kx2 + n
Odštejmo prvo enačbo od druge in izrazimo k:
y2 – y1 = kx2 – kx1
y
• Graf linearne funkcije f(x) = kx + n je premica z enačbo y = kx + n; k, n ∈ ℝ.
Dokaz:
Na premici p izberimo dve določeni točki A(x1 y1) in B(x2 y2), s T(x y) pa označimo poljubno točko na njej.
Ker je funkcija dana s predpisom f(x) = kx + n velja:
za ordinato točke A: y1 = kx1 + n za ordinato točke B y2 = kx2 + n
za ordinato poljubne točke T y = kx + n
Točke A, B in T so lahko oglišča trikotnika, in ko izračunamo njegovo ploščino
p(△ABT) =
(±1) x
x1) = 0, ugotovimo, da je enaka 0. Torej so točke A, B in poljubna točka T kolinearne – ležijo na isti premici.
k(x
Začetna vrednost linearne funkcije f(x) = kx + n je enaka n, zato bo premica, ki je graf linearne funkcije, sekala ordinatno os v točki (0, n).
Diferenčni količnik k pa določa naklon premice, zato ga imenujemo tudi smerni koeficient premice.
Ker je premica natanko določena z dvema točkama, bo za risanje grafa dovolj izbrati dva originala in izračunati njuni sliki.
Pri enakomernem gibanju je pot premo sorazmerna s časom gibanja.
Vrednost funkcije pri x = 0 se imenuje začetna vrednost. Ime je prišlo iz fizike, kjer je neodvisna spremenljivka pogosto čas, in preden začnemo meriti čas, uro štoparico nastavimo na nič.
f(0) = k ∙ 0 + n = n
V točki T(0, n) premica (graf linearne funkcije) seka ordinatno os.
• Če se vrednost neodvisne spremenljivke x poveča za 1, se vrednost linearne funkcije f spremeni za k.
Dokaz:
f(x) = kx + n
f(x + 1) = k(x + 1) + n = kx + k + n = f(x) + k
Pri pozitivnem k se vrednost funkcije poveča, pri negativnem k pa se njena vrednost zmanjša.
Zgled 4
