O funkciji ne moremo govoriti, kadar:
• predpis ne preslika vseh elementov iz množice A
• kakšen element iz množice A preslika v dva ali več elementov v množici B
Drugi trije predpisi so funkcije; imajo celo posebne lastnosti. Drugi je surjektiven, tretji injektiven in zadnji bijektiven.
Funkcija, ki preslikuje iz množice A v množico B, je surjektivna, če je njena zaloga vrednosti, to je množica vseh slik funkcije, enaka množici B (Zf = B) oz. če je vsak element iz B slika vsaj enega elementa iz A .
Funkcija, ki preslikuje iz množice A v množico B, je injektivna, če se dva poljubna različna originala iz množice A preslikata v različni sliki v množici B oz. če je vsak element iz B slika kvečjemu enega elementa iz A . Če imata dva originala isto sliko, pa funkcija ni injektivna.
Funkcija je bijektivna, če je surjektivna in injektivna hkrati – če je vsak element iz B slika natanko enega elementa iz A
Če v množici B obstajajo elementi, ki niso slike nobenega originala, pravimo, da funkcija ni surjektivna.
Zgled 10
Dana je funkcija f: ℝ ℝ, f(x): –|x – 2| + 3. Ali je ta funkcija surjektivna, injektivna?
DELOVNA RAZLIČICA DELOVNA RAZLIČICA
Funkcija iz množice A v množico B je lahko bijektivna samo v primeru, če imata množici A in B enako moč, torej enako število elementov. To je potrebni, ni pa zadostni pogoj za bijektivnost. ni injektivna je surjektivna ni bijektivna je injektivna je surjektivna je bijektivna je injektivna ni surjektivna ni bijektivna ni injektivna ni surjektivna ni bijektivna
Zgled 9
Ali je funkcija, katere graf je na sliki, injektivna?
Na grafu si zamislimo vse vzporednice z abscisno osjo. Če katera od vzporednic dvakrat ali večkrat seka graf funkcije, funkcija ni injektivna.
f(x1) = f(x2) = f(x3); x1, x2 in x3 imajo enake slike, zato funkcija ni injektivna.
Zgled 11
Funkcija f: ℝ ℝ ni surjektivna, ker y, ki so večji od 3, niso slike nobenega originala. Če bi množico B zožili z ℝ na interval (–∞, 3], bi postala surjektivna.
Funkcija f tudi ni injektivna, ker se v vsak y, ki je manjši od 3, preslikata dva originala (npr. x = 0 in x = 4 se preslikata v 3). Če bi definicijsko območje skrčili z ℝ na interval [2, ∞), bi postala bijektivna.
Tako »popravljena« funkcija f: [2, ∞) (–∞, 3] f: x –|x – 2| + 3 postane surjektivna in injektivna hkrati, torej bijektivna.
Dani so množici A = {0, 1, 2} in B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ter funkcijski predpis f(x) = 2x + 1, ki iz A slika v B. Ali je funkcija injektivna? Kaj pa surjektivna?
Funkcija je injektivna, ker se poljubna dva različna elementa iz množice A preslikata v različna elementa v množici B.
Funkcija pa ni surjektivna, ker so v množici B elementi 0, 2 in 4, ki niso slike nobenega elementa iz A .
Naloge
1093. Za f(x) = 4x – 1 dopolnite tabelo:
x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
f(x)
1094. Za funkcijo f: ℝ ℝ, f: x x 3 – 2 izpolnite tabelo.
x –1 –1 2 0 1 2 1 2
f(x)
1095. Realni funkciji f: A ℝ in g: A ℝ; A = {x ∈ ℤ; –4 ≤ x ≤ 4} tabelirajte od –4 do 4 s korakom 1 in zapišite njuni definicijski območji in zalogi vrednosti. a) f(x) = x 2 b) g(x) = (x + 2)(x – 5)
Video razlaga naloge
