ELIPSE Y SUS APLICACIONES

ELIPSE Y SUS APLICACIONES

INDRODUCCION AL ESTUDIO DE FUNCIONES LICDA. MARTA ESTELA MONTANO DELMY YARITZA HERNANDEZ FLORES XENIA ZULEMA COCA CASTILLO ROCIO ESTEFANI LEMUS CASTRO

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

EJERCICIOS

❖Para

curar los cálculos renales en una persona, en ocasiones se utiliza un procedimiento conocido como litotripcia. Este procedimiento utiliza una cubierta semi-elíptica, y se fundamenta en la propiedad de los focos de una elipse: se localiza un aparato generador de ondas de choque en el foco de la elipse y estas tendrán efecto sobre el otro foco, lugar donde se encuentra el cálculo renal. Si el aparato tiene 13 cm de altura y 10 cm de diámetro, determina a qué distancia podría estar el cálculo para poder pulverizarlo utilizando este aparato.

Considerando una elipse con centro en el origen, 𝑣(0,13) → 𝑣(0, ±𝑎) Entonces 𝑎 = 13 Eje menor = 10 cm de diámetro 2𝑏 = 10 𝑏=5 → 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏 2 𝑐 2 = 132 − 52 𝑐 2 = 144 𝑐 = 12 Por lo tanto, para poder pulverizar el cálculo renal, este debe estar a 12 cm de distancia del litotriptor.

❖ Se diseña una lámpara con forma semi-eliptica de 13 cm de altura de modo que proyecta la luz emanada desde un foco hacia el otro que está a 25 m de distancia del vértice de la lámpara. Determina de cuanto debería ser el diámetro de la lámpara para que funciones correctamente.

Considerando una elipse con centro en el origen, entonces uno de los vértices tendrá coordenadas (13, 0), y uno de los focos (12, 0), por lo tanto, a = 13, c = 12, entonces: 𝑏 2 = 132 − 122 𝑏 2 = 169 − 144 𝑏 2 = 25 𝑏=5

La ecuación de dicha elipse será: 𝑥2 𝑦2 + =1 132 52

Entonces el diámetro estará dado por la medida del eje menor de la elipse, es decir, 2b = 2(5) = 10. Por lo tanto, el diámetro de la lámpara debe ser 10 cm.

❖ Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de la elipse cuya ecuación es 𝑥 2 + 2𝑦 2 − 2𝑥 + 8𝑦 + 5 = 0 • Obtenemos la ecuación canónica 𝑥 2 + 2𝑦 2 − 2𝑥 + 8𝑦 + 5 = 0 (𝑥 2 − 2𝑥 + 1) + 2(𝑦 2 + 4𝑦 + 4) = −5 + 1 + 8 (𝑥 − 1)2 + 2(𝑦 + 2)2 = 4 ( 𝑥−1)2 4

+

(𝑦+2)2 2

dividimos entre 4

=1

• Centro (ℎ, 𝑘) → (1, −2) • Vértices 𝑎2 = 4 → 𝑎 = 2 𝑉(1 ± 2, 𝑘) → 𝑉(3, −2)

𝑉′(−1, −2)

• Focos 𝑏2 = 2 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏 2 𝑐 = √4 − 2 𝑐 = √2 𝐹(1 ± √2, 𝑘) → 𝐹(1 + √2, −2) • Excentricidad 𝑒=

𝑐 √2 →𝑒= 𝑎 2

𝐹′(1 − √2, −2)

❖ El arco de un puente es de forma semielíptica y tiene una amplitud horizontal de 40 m y una altura de 16 m en su centro. ¿Qué altura tiene el arco a 9 m a la derecha o izquierda del centro?

DATOS 2𝑎 = 40 → 𝑎 = 20 𝑏 = 16 𝑥2

𝑦2

+ 𝑏2 = 1 𝑎2

SOLUCION Sustituimos los valores de a y b 𝑥2

𝑦2

𝑥2

𝑦2

+ 162 = 1 202 + 256 = 1 400 A 9 m del centro 92 400

+

𝑦2 256 𝑦2

=1 92

= 1 − 400 256 81

𝑦 2 = 256(1 − 400) 319

𝑦 2 = 256(400) 𝑦 2 = 204.16 𝑦 = √204.16 𝑦 = 14.29 Por lo tanto, la altura que tiene el arco a 9 m a la derecha o izquierda del centro es de 14.29 m

❖ La órbita de la tierra es una elipse, en uno de cuyos focos está el sol, si el semieje mayor de la órbita mide 148.5 millones de kilómetros y sabiendo que la excentricidad de la órbita es de 1/62, obtener la distancia mínima y máxima entre el sol y la tierra.

𝑎 = 148.5𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑘𝑖𝑙ó𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 1

𝑒 = 62 𝑐

𝑒=𝑎 𝑐 = 𝑒𝑎 = (

1 ) (148.5) 62

𝑐 = 2.39 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑘𝑖𝑙ó𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 = 𝑎 − 𝑐 = 148.5 − 2.39 = 146.11 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑘𝑖𝑙ó𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝑎 + 𝑐 = 148.5 + 2.39 = 150.89 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑘𝑖𝑙ó𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

PROBLEMAS PROPUESTOS

❖ La órbita de la tierra alrededor del sol es de forma elíptica, con el sol en uno de los focos y un semieje mayor de longitud de 92.96 millones de millas. Si la excentricidad de la elipse es de 0.0167, determine la mayor distancia posible entre la tierra y el sol.

❖ Un puente cuya abertura tiene forma semi-elíptica sobre un río tiene 28 metros de largo y una altura de 12 metros sobre el nivel del río.

Determina la altura máxima que debe tener un barco de 14 metros de ancho para que pase con total seguridad bajo el puente.

Asume que el barco es simétrico respecto el eje vertical, y que pasa justo en medio del puente. Además, piensa que el barco tiene la misma altura en todo punto.

❖ Una estructura arquitectónica fue diseñada para poder enviar secretos a otra persona sin que los demás los escuchen. La forma de su diseño es semi-elíptico(aprovechando las propiedades focales de la elipse), la altura de dicha estructura en el punto más alto es de 15 metros y la distancia entre los vértices del salón es de 34 metros. Determina la ubicación que deben tener dos personas para que uno pueda escuchar al otro, aunque se hablen por susurros.

BIBLIOGRAFIA • M425 Matemática: segundo año de bachillerato : libro de texto / equipo técnico autoral Ana Ester Argueta, César Omar Gómez, Diana Marcela Herrera, Francisco Antonio Mejía ; revisión técnica José Nerys Funes ; diseño y revisión de diagramación Francisco René Burgos, Judith Samanta Romero ; corrección de estilo Mónica Marlene Martínez, Marlene Elizabeth Rodas. -- 1a ed. -- San Salvador, El Salv. : MINED, 2018. 218 p.: il. ; 28 cm. -- (Esmate) ISBN 978-99961-70-74-4 (impreso) 1. Matemáticas-Problemas, ejercicios, etc. 2. Matemáticas Libros de texto. 3. MatemáticasEnseñanza. I. Argueta Aranda, Ana Ester, 1991-, coaut. II. Título.