Note on a Result of the Lemmas of Our Previous Paper

NOTE ON A RESULT OF THE LEMMAS OF OUR PREVIOUS PAPER ROBERT PETER SCHNEIDER Following up on our previous report [2], we note a pair of identities that convert summations involving the Euler totient function into summations involving the MĂśbius function, and vice versa in special cases.

Let đ??šđ?‘› đ?‘? denote the finite sum đ??šđ?‘› đ?‘? =

đ?‘“(đ?‘?đ?‘—) 1≤đ?‘— ≤đ?‘›

where đ?‘“ is an arbitrary function defined on integer arguments, and đ?‘? is constant with respect to the index of summation đ?‘—.

If this sum converges as đ?‘› approaches infinity, let đ??š(đ?‘?) denote the limit đ??š đ?‘? = lim đ??šđ?‘› đ?‘? . đ?‘›â†’∞

Theorem We have the identity between finite summations đ?‘›

đ?‘˜=1

đ?‘›

đ?œ‘ đ?‘˜ đ?‘“ đ?‘˜ = đ?‘˜

đ?‘˜=1

đ?œ‡ đ?‘˜ đ??šđ?‘› đ?‘˜ , đ?‘˜ đ?‘˜

which holds true as đ?‘› approaches infinity, yielding the identity between infinite sums ∞

đ?‘˜=1

đ?œ‘ đ?‘˜ đ?‘“ đ?‘˜ = đ?‘˜

∞

đ?‘˜=1

đ?œ‡ đ?‘˜ đ??š đ?‘˜ , đ?‘˜

when both sides converge; displaying a sort of inverse relationship between đ?œ‘ and đ?œ‡, with respect to đ?‘“ and đ??š, of a more general nature than that seen in the principal theorem of [2].

PROOF. We begin with the well-known relation [1, p. 235] đ?œ‘ đ?‘› =đ?‘› đ?‘‘|đ?‘›

đ?œ‡ đ?‘‘ , đ?‘‘

which results from applying MĂśbius inversion to the identity đ?‘› =

đ?‘‘|đ?‘›

đ?œ‘ đ?‘‘ .

The first identity of the theorem follows from Lemma 1 of [2], as đ?‘›

đ?‘˜=1

đ?œ‘ đ?‘˜ đ?‘“ đ?‘˜ = đ?‘˜

đ?‘›

đ?‘˜=1

đ?‘“ đ?‘˜ đ?‘˜

đ?‘˜ đ?‘‘|đ?‘˜

đ?œ‡ đ?‘‘ đ?‘‘

đ?‘›

=

đ?‘“ đ?‘˜ đ?‘˜=1

đ?‘‘|đ?‘˜

đ?œ‡ đ?‘‘ đ?‘‘

đ?‘›

= đ?‘˜=1

đ?œ‡ đ?‘˜ đ?‘˜

đ?‘› đ?‘˜

đ?‘›

đ?‘“(đ?‘—đ?‘˜)

=

đ?‘— =1

đ?‘˜=1

đ?œ‡ đ?‘˜ đ??šđ?‘› đ?‘˜ . đ?‘˜ đ?‘˜

Letting đ?‘› approach infinity in the above argument, the second identity of the theorem follows from Lemma 2 of [2] as ∞

đ?‘“(đ?‘—đ?‘˜) = đ??š(đ?‘˜) đ?‘— =1

by the definition of đ??š, assuming the sum converges.

This theorem enables us to move easily between summations involving the Euler totient function and summations involving the MĂśbius function, so long as an appropriate function đ?‘“ can be associated with the sum đ??š.

While it is always possible by definition to find a sum đ??š from a given function đ?‘“ and, in fact, given any function đ?‘” defined on integer arguments, to express its summatory function as đ?‘›

đ?‘›

đ?‘” đ?‘˜ = đ?‘˜=1

đ?‘˜=1

đ?œ‘ đ?‘˜ đ?‘˜

đ?‘˜ đ?‘” đ?‘˜ đ?œ‘ đ?‘˜

đ?‘›

= đ?‘˜=1

đ?œ‡ đ?‘˜ đ?‘˜

đ?‘› đ?‘˜

đ?‘— =1

đ?‘—đ?‘˜ đ?‘” đ?‘—đ?‘˜ đ?œ‘ đ?‘—đ?‘˜

by the present theorem, and also as đ?‘›

đ?‘›

đ?‘” đ?‘˜ = đ?‘˜=1

đ?‘˜=1

đ?‘”(đ?‘˜) đ?‘˜

đ?‘›

đ?œ‘ đ?‘‘ đ?‘‘|đ?‘˜

= đ?‘˜=1

đ?œ‘ đ?‘˜ đ?‘˜

đ?‘› đ?‘˜

đ?‘— =1

đ?‘” đ?‘—đ?‘˜ đ?‘—

đ?‘›

= đ?‘˜=1

đ?œ‡ đ?‘˜ đ?‘˜

đ?‘› đ?‘˜

đ?‘› đ?‘–đ?‘˜

đ?‘–=1 đ?‘— =1

đ?‘” đ?‘–đ?‘—đ?‘˜ đ?‘—

by the theorem and Lemma 3 of [2], it may not be generally possible to work backward, to construct the unknown function đ?‘“ if we are given the function đ??š; unless we have in hand an appropriate transform or inversion formula.

Having even approximate knowledge of đ?‘“ would be desirable, as the terms on the right-hand side of the theorem fluctuate irregularly in sign due to the presence of đ?œ‡, while the signs of the terms on the left depend only on đ?‘“.

References 1. Hardy, G. H., and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. New York: Oxford University Press, USA, 1980.

2. Schneider, Robert P. "On a Golden Pair of Identities in the Theory of Numbers." Draft, 2010.