Diseños de sistemas de control en tiempo discreto Unidad 4

UNIVERSIDAD FERMIN TORO VICE-RECTORADO ACADEMICO FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE COMPUTACION

UNIDAD. Nº 4

AUTOR: ROBERTO BAPTISTA CI: 26.641.402 CURSO: TEORIA DE CONTROL II PRPFESOR: MARIENNY ARRIECHE SAIA- A

La Estabilidad En Los Sistemas De Control En Tiempo Discreto D(Z) =

=

Región

Inestable

D(Z): F. de T. del controlador HG(Z): F. de T: de pulso del sistema -1 1 La estabilidad se puede determinar a partir de la localización de los polos de lazo cerrado en el plano Z o por las raíces de la ecuación característica. + De la siente forma : 1- El sistema es estable, si los polos de lazo cerrado las raíces de la ecuación característica quedan localizado dentro del circulo unitario en el plano Z. 2- Si un polo simple esta ubicado en Z=1 o en Z=-1, el sistema es marginalmente estable, lo mismo sucede si un par de polos conjugados complejos esta sobre el circulo unitario dan como resultado un sistema inestable.

3- Los ceros de lazo cerrado no afectan la estabilidad del sistema y pueden estar ubicados en cualquier parte del plano Z.

- Pasos para analizar el error en estado permanente para los sistemas de control en tiempo discreto : Los errores en un sistema de control, pueden atribuir a muchos factores.

Los cambios en la entrada de referencia provocan errores inevitables durante los periodos transitorios y también pueden producir errores en estado estable.

Las imperfecciones en los componentes del sistema, tales como fricción estática, juego o bamboleo, deriva térmica, envejecimiento o deterioro, pueden provocar errores en el estado estacionario.

A- La secuencia muestra o impulso unitario B- La señal escalón unitario C- La señal rampa unitaria D- La señal exponencial Existen tipos de errores en estado permanente atribuidas a causas como imperfecciones en los componentes del sistema por fricción, estática, zonas muertas, deterioro o edad de los componentes.

Los sistemas de control en tiempo discreto pueden clasificarse según el numero de polos en lazo abierto en z=1.

Las constantes se estudian aplicando a la función que define el error del teorema de muestreo.

De esta forma se determina:  La constante de error de Posición Estática (Ka) que genera la respuesta a una entrada escalón.  La constante de error de Velocidad Estática (Kv) que genera la respuesta a una entrada rampa unitaria.  La constante de error de aceleración estática que genera la respuesta a una entrada de aceleración unitaria,.

-Tiempo De Levantamiento Es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas sub-amortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de o a 100%. Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%

- Sobrepaso Máximo . El sobrepaso máximo es el valor pico máximo de la curva de la respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo.

+ Diferencias que existe entre el calculo y dibujo de la tazas del diagrama de bode en tiempo continuo y en tiempo discreto :

Se tienen las siguientes diferencias: Como es periódica, el periodo ws de acuerdo a los efectos de la bandas repetidas en el plano s que se generan en el sistema muestreado. Es así como la respuesta en frecuencia no se evalúa, en el plano Z, debido a que se ejercen múltiples vueltas sobre el circulo de radio unidad en el plano z a medida que suba la frecuencia de la señal de entrada.

Las respuestas frecuenciales se pueden obtener de una manera aproximada, en cambio en los sistemas de tiempo discreto, pueden obtenerse en base a sus márgenes, tanto el de fase como el de ganancia (MF,MG), los cuales están definidos a raíz de la respuesta en frecuencia en lazo abierto.

II.Parte.Practico 1. Considere la siguiente ecuación característica.

Determine el valor de K y examine su estabilidad a través del criterio de jury.

Resolviendo en Cruz

P(z ) = z22 -1.1353 +0.1353 +1.1353k +0.5940k =0 = z22 +(1.1353k -1.1353k-1-1353)z + o.5940k +0.1353 =0 = z22 + 1.1353(k-1)z +0.5940k +0.1353 Donde n=2 a00 = 1 ;

a11 = 1.1353(k-1) ;

a22=0.5940k

Los Criterio de estabilidad son 1) P(1) > 0 1+ 1.1353(k-1) + 0.5940k + 0.1353 > 0 1.1353 +0.5940k +1.1353 -0.1353 k>0> 0

2.) P(-1) >0 ; n = 2 1 -1.1353(k-1) +0.5940k +0.1353>0 2.2706 -0.5413k >0 2.2706 > 0.5413k K<4.1946 >k 3.)

la22l < a00 l0.5940k +0.1353l <1 Como lxl es –a<x<a -1 <0.5940k + 0.1353< 1 -1 -0.1353 < 0.5940k < 1-0.1353

-1.9113<K<1.4557

Luego intersectando las 3 condiciones se obtiene el rango de valores de k para la estabilidad 0 < K < 1.4557

2. Dado el siguiente sistema de lazo cerrado.

Determine su estbilidad a través del método de transformación bilineal y el criterio de estabilidad Routh.

P(z) = 27z33 + 27z22 + 9z + 1=0 P(z) =z33 +z22 + z + = 0

; se divide cada término entre 27

Aplicando la transformación bilineal Z = 33 +22 + + = 0 Al multiplicas por (w-1)33 se tiene (w-1)33 + (w+1)22 (w-1)+ (w+1) (w-1)22 + (w-1)33 = 0 Expandiendo el polinomio se tiene

P(w)= w33 + 3w22 +3 w +1 + w33+ w22 – w -1 + (w33 - w22 – w +1) + (w33- 3w22 + 3w-1) = 0

=w33 +3w22+3w +1 +w33+w22-w -1 + w 33- w 22- w + + w33- w22 + w - = 0 Simplificando P(w)= w33 +w22+ w+ =0

Multiplicando por P(w) = w33 +w22 + w + = 0 Por el Criterio de Routh se tiene: a=

w22

w 33 w w 00

1 3/2 a=2/3 b= 1/8

3/4 1/8 0 0

; b=

Todos los elementos de la primera columna ( 1, 3/2, 2/3, 1/8) son positivos Por tanto el sistema es estable.

3.Dado el sistema de control de lazo cerrado, encuentre la expresión del error así como la constante de error de aceleración estática, ka.

Para encontrar la señal de error se tienen las siguientes ecuaciones E(s) = R(s) –B(s) 1 B(s)= D(S).C(S) 2 C(s)= G(s) .H(s).E**(s ) 3 Se sustituye 3 en 2 B(s)=D(s).G(s)H(s).E**(s) De 1 E**(s)= R**(s)-B**(s) De 4 B*(s)= DGH**(s). E**(s)

4 5 6

Se sustituye 6 en 5 E**(s)= R**(s) - DGH**(s). E**(s) E**(s) +DGH**(s).E**(s) = R**(s) E**(s) [1+DGH**(s) ] = R**(s) E**(s)= Con esta ultima ecuación se obtiene la expresión del error del sistema , por tanto queda de la siquiente manera.

E**(z)= Por otro lado para halla la constante de aceleración estática Ka se procede de la siquiente manera: R(z)=

;

Es la transformada Z de p(t)= t22

En estado estacionrio ess=

por tabla

= El error de aceleración es Essaa= = = = =

El El termino termino del del denominador denominador es es ka ka

Kaa ==