Classi di grandezze Misura e proporzionalitĂ
Si dice classe di grandezze omogenee ogni insieme tale che due suoi qualsiasi elementi possano essere “confrontati” e “sommati”. La somma di due grandezze omogenee gode delle proprietà associativa e commutativa ed esiste l’elemento neutro
Esempi di classi di grandezze
Segmenti Angoli Archi di una stessa circonferenza Superfici piane
Multipli e sottomultipli
Una grandezza A si dice multipla della grandezza B secondo il numero naturale m>0 se: A =B+B+….+B (m addendi) e scriveremo A= m B ovvero diremo che B è sottomultiplo di A secondo m e scriveremo B= (1/m) A.
Grandezze commensurabili ď Ž
Due grandezze omogenee si dicono commensurabili quando ammettono una grandezza sottomultipla comune, cioè (1/n) A= (1/m)B e scriveremo A=(n/m)B. Il numero n/m viene chiamato misura di A rispetto a B Il rapporto tra le grandezze commensurabili A/B=A:B=n/m è un numero razionale
Grandezze incommensurabili ď Ž
Il
Esistono grandezze incommensurabili, esempio il lato e la diagonale di un quadrato.
ad
rapporto tra grandezze incommensurabili è un numero irrazionale
Il rapporto di due grandezze omogenee è un numero reale (positivo); esso è un numero razionale nel caso di grandezze commensurabili, irrazionale nel caso di grandezze incommensurabili.
MISURA
Date due grandezze omogenee A ed U, la misura di A rispetto ad U è il rapporto a=A/U (razionale o irrazionale a seconda che le grandezze siano commensurabili o meno). Si scrive A=aU U è detta unità di misura
Si dimostrano le seguenti proprietà: Siano A e B ed U tre grandezze omogenee, e siano a e b le misure di A e B rispetto ad U. In simboli: A=aU, B=bU
La misura della grandezza somma A+B di A e di B è uguale alla somma delle misure di A e B. In simboli: A+B=(a+b)U
Se A ≤ B allora a ≤ b e se A ≈ B allora a= b e viceversa
Il rapporto di due grandezze omogenee è uguale al rapporto delle rispettive misure. In simboli: A/B=a/b
Data una grandezza U ed un numero positivo a esiste una ed una sola grandezza A ,omogenea con U, tale che il rapporto di A rispetto ad U sia uguale ad a
Nomi delle misure di alcune grandezze: Grandezza
Misura
UnitĂ
Segmento
Lunghezza
m
Angolo
Ampiezza
Grado
Superficie
Area
m2
Estensione del solido Volume
m3
Grandezze proporzionali
Quattro grandezze ordinate A,B,C,D, le prime due omogenee tra loro e le ultime due omogenee fra loro (con B e D non nulle) formano una proporzione se il rapporto fra A e B è uguale al rapporto fra C e D. A:B=C:D B e C si definiscono medi, A e D sono gli estremi, A e C sono gli antecedenti, B e D sono i conseguenti. D è la quarta proporzionale dopo A, B, C. La proporzione si dice continua se i medi sono uguali, A:B=B:C e C si dice terza proporzionale dopo A e B.
Teorema fondamentale sulle proporzioni fra grandezze. ď Ž
ď Ž
Quattro grandezze, a due a due omogenee, formano una proporzione se e solo se sono in proporzione le rispettive misure. Questo teorema permette di estendere alle proporzioni tra grandezze, le proprietĂ delle proporzioni numeriche: (invertire, comporre, scomporre, permutare)
Classi di grandezze direttamente proporzionali
Definizione. Le grandezze di due classi in
corrispondenza biunivoca si dicono direttamente proporzionali quando il rapporto di due grandezze A e B qualunque della prima classe è uguale al rapporto delle due grandezze corrispondenti A’ e B’ della seconda classe. A:B=A’:B’
Criterio generale di proporzionalitĂ
1.
2.
Condizione necessaria e sufficiente affinchÊ due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che: a grandezze uguali del primo insieme corrispondano grandezze uguali del secondo alla somma di due o piÚ grandezze del primo insieme corrisponda la somma delle corrispondenti grandezze del secondo.
Esempio di classi di grandezze direttamente proporzionali
È data una classe A di segmenti a,b,c… costruiamo la classe A’ di rettangoli di stessa altezza h e di base rispettivamente a,b,c… Tra le classi si stabilisce la corrispondenza che ad ogni segmento della classe A associa il rettangolo con base il segmento fissato e altezza h. Tale corrispondenza risulta biunivoca. Inoltre se due segmenti sono uguali, saranno uguali anche i rettangoli corrispondenti Se il segmento b=a+c, anche il rettangolo corrispondente sarà somma dei rettangoli corrispondenti. Per il criterio generale di proporzionalità i rettangoli di altezza fissata h sono proporzionali alle rispettive basi.
Esempio di classi di grandezze direttamente proporzionali ď Ž
1.
2.
Archi e angoli al centro di una circonferenza sono insiemi di grandezze proporzionali, infatti: ad angoli al centro congruenti corrispondono archi congruenti alla somma di due angoli al centro corrisponde la somma dei rispettivi archi
TEOREMA DI TALETE Un fascio di rette parallele determina su due trasversali classi di segmenti direttamente proporzionali. AB:BC=A’B’:B’C’ AC:BC=A’C’:B’C’ Ecc…
Misura dell’area di un rettangolo
Si vuole calcolare l’area di un rettangolo R di base B=bU e altezza H =hU. Si costruisce un rettangolo R’ di base U e altezza H Si costruisce un quadrato Q di lato U e lo si prende come unità di misura delle superfici.
Misura dell’area di un rettangolo
I rettangoli R ed R’ di uguale altezza sono proporzionali alle rispettive basi:
R:R’=B:U e passando alle misure: A(R):A(R’)=b:1 Per la prop. delle proporzioni A(R)=A(R’)b
I rettangoli R’ e Q di uguale base sono proporzionali alle rispettive altezze:
R’:Q=H:U e passando alle misure: A(R’):1=h:1 Per la prop. delle proporzioni A(R’)=h
Sostituendo nella prima relazione: A(R)=bh
Che è la formula per il calcolo dell’area del rettangolo.
Ricordando i teoremi sull’equivalenza si ricavano le formule delle aree: Figura parallelogramma
Area b·h
quadrato
l2
triangolo
½b·h
trapezio
½(B+b)·h
Rombo Quadrilatero con diagonali perpendicolari Poligono circoscritto Poligono regolare
½D·d ½·2p·a=p·a (p semiperimetro, a apotema)