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Assistente Administrativo Fazendário

»»» MATEMÁTICA Material elaborado pelo professor Sérgio Altenfelder.

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SUMÁRIO MATEMÁTICA Conjuntos.................................................................................................................................................................. 05 Sistema Legal de Medidas .......................................................................................................................................... 10 Regra de Três Simples ................................................................................................................................................ 14 Regra de Três Composta ............................................................................................................................................ 18 Regra da Torneira ...................................................................................................................................................... 21 Razão e Proporção ..................................................................................................................................................... 24 Porcentagem ............................................................................................................................................................. 31 Problemas do 1º e 2º Grau ......................................................................................................................................... 38 Inequação do 1º e 2º Grau ......................................................................................................................................... 47 Progressões Aritméticas............................................................................................................................................. 50 Progressões Geométricas ........................................................................................................................................... 58 Análise Combinatória ................................................................................................................................................ 62 Arranjo/Permutação .................................................................................................................................................. 64 Matrizes .................................................................................................................................................................... 67 Determinantes .......................................................................................................................................................... 92 Sistemas Lineares .................................................................................................................................................... 106 Trigonometria ......................................................................................................................................................... 113 Geometria ............................................................................................................................................................... 118 Relações Trigonométricas ........................................................................................................................................ 123

www.cpcconcursos.com.br SEFAZ - Técnico Tributário da Receita Estadual

CONJUNTOS

União de Conjuntos: Considerando os conjuntos A e B, a união é formado por todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou a B.

Intersecção de Conjuntos: Considerando os conjuntos A e B , a intersecção é formada por elementos que pertencem ao conjunto A e B simultaneamente

Diferença de Conjuntos: Considerando os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja

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MATEMÁTICA

OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

RACIOCÍNIO LÓGICO

Prof. Sérgio Altenfelder

Passo 1:

Começa pela intersecção e vai subtraindo, só não vai subtrair se estiver escrito “apenas”.

Passo 2:

Caso a intersecção não seja dada, devemos começar pelo “apenas” e imediatamente encontrar a intersecção.

Passo 3:

Caso a intersecção não seja dada e nem o termo “apenas”, devemos somar o total de elementos dos dois conjuntos e o “nenhum” se for dado no enunciado, e depois subtrair deste total, o “total real” para encontrar a intersecção.

1. Em um colégio sabe-se que: •

80 alunos estudam Matemática.

•

60 alunos estudam Português.

• 20 alunos estudam Matemática e Português.

Sabendo-se que apenas são dadas aulas destas duas disciplinas, quantos alunos estudam neste colégio? a.) 120 b.) 130 c.) 140 d.) 150 e.) 160 2. Em um colégio sabe-se que: •

80 alunos estudam apenas Matemática.

•

60 alunos estudam apenas Português.

• 20 alunos estudam Matemática e Português.

Sabendo-se que apenas são dadas aulas destas duas disciplinas, quantos alunos estudam neste colégio? a.) 120 b.) 130 c.) 140 d.) 150 e.) 160 3. Em um colégio sabe-se que: •

80 alunos estudam Matemática.

•

60 alunos estudam Português.

• 20 alunos estudam apenas Matemática.

Sabendo-se que apenas são dadas aulas destas duas disciplinas, quantos alunos estudam neste colégio? a.) 80 b.) 90 c.) 100 d.) 120 e.) 140

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4. Em um colégio estudam 150 alunos, sabe-se que: 80 alunos estudam Matemática.

•

60 alunos estudam Português.

•

20 alunos estudam Matemática e Português.

MATEMÁTICA

•

Quantos alunos não estudam nem Matemática, nem Português? a.) 10 b.) 25 c.) 30 d.) 15 e.) 20

5. Em um colégio estudam 120 alunos, sabe-se que: •

80 alunos estudam Matemática

•

60 alunos estudam Português

Sabendo-se que apenas são dadas aulas destas duas disciplinas, quantos alunos estudam as duas disciplinas ao mesmo tempo? a.) 10 b.) 25 c.) 30 d.) 15 e.) 20

GABARITO 1. A 2. E

3. A

4. C

5. E

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Uma empresa divide-se unicamente nos departamentos A e B. Sabe-se que 19 funcionários trabalham em A, 13 trabalham em B e existem 4 funcionários que trabalham em ambos os departamentos. O total de trabalhadores dessa empresa é a.) 36 b.) 32 c.) 30 d.) 28 e.) 24

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RACIOCÍNIO LÓGICO

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2. (FCC) O resultado de uma pesquisa com os funcionários de uma empresa sobre a disponibilidade para um dia de jornada extra no sábado e/ou no domingo, é mostrado na tabela abaixo:

Dentre os funcionários pesquisados, o total que manifestou disponibilidade para a jornada extra “apenas no domingo” é igual a a.) 7 b.) 14 c.) 27 d.) 30 e.) 37 3. (FCC) Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão.

Quantos alunos erraram as duas questões? a.) 5 b.) 6 c.) 7 d.) 8 e.) 9 4. A partir de uma amostra de 1.200 candidatos a cargos em determinado concurso, verificou-se que 600 deles se inscreveram para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B e 400, para cargos distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A também se inscreveram para o cargo B. Qual a quantidade de candidatos que se inscreverem para os cargo A e B? a.) 200 b.) 150 c.) 250 d.) 220 e.) 180 5. Uma entrevista foi realizada com 46 empregados de uma empresa. Considerando que os empregados entrevistados dessa empresa pratiquem tênis ou ciclismo e que, na entrevista, tenha sido constatado que 30 funcionários gostam de praticar tênis e 28 gostam de ciclismo, é correto afirmar que a quantidade de empregados dessa empresa que gostam de praticar tênis e ciclismo é: a.) 10 b.) 12 c.) 8 d.) 14 e.) 6

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6. Dos 420 detentos de um presídio, verificou-se que 210 foram condenados por roubo, 140, por

homicídio. Qual a quantidade de detentos que estavam presos por terem sido condenados por roubo e homicídio? a.) 60 b.) 65 c.) 70 d.) 75 e.) 80

7. No curso Alfa com n alunos, 80 estudam informática, 90 estatística, 55 matemática, 32 informática e estatística, 23 matemática e informática, 16 estatística e matemática e 8 estudam as três matérias.

Sabendo-se que neste curso, somente são lecionadas as três matérias, quantos alunos estão matriculados neste curso? a.) 304 b.) 162 c.) 288 d.) 154 e.) 225

8. (TFC) Em uma pesquisa entre 3.600 pessoas sobre os jornais que costumam ler, obteve-se seguinte resultado: •

1.100 leem o “J.B.”

•

1.300 leem “O Estado”

•

1.500 leem “A Folha”

•

300 leem o “J.B.” e “O Estado”

•

500 leem “A Folha” e “O Estado”

•

400 leem “Folha“ e o “J.B.”

• 100 leem “A Folha”, o “J.B.” e “O Estado” É correto afirmar que: a.) 600 pessoas leem apenas o “J.B.” b.) 500 pessoas leem apenas “O Estado”. c.) 900 pessoas não leem nenhum dos três jornais. d.) 400 pessoas leem apenas “O Estado” e “A Folha”. e.) 1.200 pessoas leem mais de um dos três jornais.

GABARITO 1. D 2. D

3. A

4. A

5. B

6. C

7. B

8. D

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MATEMÁTICA

homicídio e 140, por outros crimes. Verificou-se, também, que alguns estavam presos por roubo e

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SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS 1. Um operário trabalha das 7 h às 10 h 45 min e das 13 h às 16 h 30 min. Calcular o tempo após 5 dias de trabalho. a.) 35h 15min b.) 37h 30min c.) 36h 15min d.) 35h 30min e.) 36h 30min 2. Um avião percorre 900 km/h. Que distância percorrerá em 45 min 45 s? a.) 688 km b.) 688,25 km c.) 686,25 km d.) 688,35 km e.) 688,45 km 3. Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo Horizonte, de 729 km, em 7 horas e 30 minutos.

Qual a sua velocidade média? a.) 97,2 km/h b.) 98 km/h c.) 100 km/h d.) 110 km/h e.) 972 m/s 4. Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia seguinte, percorreu mais 0,72 km e, no terceiro dia, mais 12.500 cm. Podemos dizer que essa tartaruga percorreu nos três dias uma distância de: a.) 1.450 m b.) 12.506,77 m c.) 14.500 m d.) 12.506 m e.) 1.250 m 5. (TTN) 100 dm x 0,1 dam x 100 mm = a.) 0,010 m3 b.) 10 m3 c.) 100 m3 d.) 1 m3 e.) 0,100 m3

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6. Numa loja comprei 22 m de seda por R$ 1.430,00. Verifiquei, porém, que o metro usado pelo

MATEMÁTICA

vendedor era 2 cm menor. Qual a importância que devo reclamar? a.) R$ 28,00 b.) R$ 28,20 c.) R$ 28,40 d.) R$ 28,60 e.) R$ 28,80 7. Um automóvel, com velocidade de 80 km/h, percorre uma estrada em 1h30min. Em quanto tempo o mesmo automóvel percorrerá 3/5 da mesma estrada com 25% da velocidade inicial? a.) 3h 36min b.) 3h c.) 3h 30min d.) 2h 16min e.) 2h 36min

8. (TTN) Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80 cm, com velocidade constante de 2 m/s.

Quantos passos ela dará em 60 segundos? a.) 240 b.) 180 c.) 150 d.) 120 e.) 90 9. (TTN) Para passar totalmente uma ponte de 100 m de comprimento, um trem de 200 m, a 60 km/h, leva: a.) 6 s b.) 8 s c.) 10 s d.) 12 s e.) 18 s

10. (MPU) Um trem de 400m de comprimento, tem velocidade de 10 km/h. Quanto tempo ele demora para atravessar completamente uma ponte de 300m de comprimento? a.) 1min 48s b.) 2min 24s c.) 3min 36s d.) 4min 12s e.) 5min

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RACIOCÍNIO LÓGICO

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11. Gustavo, um pesquisador e profundo desconhecedor das leis matemáticas, verificou em um de seus experimentos que em 4 litros de água do mar há 5 gramas de sal. Ajude este pesquisador a descobrir quantos Kg de sal há em 5 m3 de água do mar. a.) 6,25 kg b.) 6,5 kg c.) 7,0 kg d.) 6,0 kg e.) 5,75 kg 12. (TTN) Uma indústria possui, em seu reservatório, 0,25 dam3 + 150 m3+22.000 dm3 + 3.000.000 cm3 de óleo de soja. A empresa pretende embalar o produto em latas de 900 ml. Sabendo-se que no processo de embalagem há uma perda de 1% do líquido, o número de latas de soja que a indústria produzirá é a.) 459.500 b.) 467.500 c.) 460.300 d.) 425.300 e.) 456.800 13. Se 300 cm3 de uma substância tem uma massa de 500 g, quanto custarão 75 dl dessa substância, sabendo-se que é vendido R$ 25,50 o quilograma? a.) R$ 3.187,50 b.) R$ 31,87 c.) R$ 381,75 d.) R$ 318,75 e.) R$ 31.875,50 14. (CESPE) Se um dia corresponde a 24 horas, então 9/12 do dia correspondem a: a.) 8h b.) 9h c.) 12h d.) 18h e.) 20h 15. 7/15 do dia correspondem a que horas: a.) 11h 30 min b.) 11h 12 min c.) 12h 25min d.) 12h 44 min e.) 13h 20min

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16. (FCC) Uma pessoa saiu de casa para o trabalho decorridos 5/18 de um dia e retornou à sua casa

MATEMÁTICA

decorridos 13/16 do mesmo dia. Permaneceu fora de casa durante um período de a.) 14 horas e 10 min b.) 13 horas e 50 min c.) 13 horas e 30 min d.) 13 horas e 10 min e.) 12 horas e 50 min 17. (FCC) Às 13h 45min iniciei um trabalho. Às 16h 45min já tinha executado 3/4 desse trabalho.

Prosseguindo nesse ritmo, terminarei meu trabalho às: a.) 17h b.) 17h 15min c.) 17h 30min d.) 17h 45min e.) 18h 18. Um Técnico Judiciário iniciou a digitação de um texto quando eram decorridos 4/9 de certo dia e terminou essa tarefa quando eram decorridos 61/96 do mesmo dia. Se ao longo desse intervalo de tempo ele interrompeu seu trabalho apenas por 55 minutos, quando, então, foi almoçar, o tempo que ele gastou na digitação de tal texto foi de a.) 2 horas e 30 minutos b.) 2 horas e 45 minutos c.) 3 horas e 20 minutos d.) 3 horas e 40 minutos e.) 3 horas e 45 minutos 19. O relógio de um analista adianta 30 segundos por dia e o de outro atrasa 10 segundos por dia. Às 9 horas do dia 3 de fevereiro deste ano eles acertaram seus relógios e combinaram não consertá-los nem mexer nos ponteiros até o próximo encontro. Alguns dias depois eles se encontraram e verificaram que os horários marcados diferiam de 3 minutos e meio. O segundo encontro ocorreu em fevereiro, às a.) 15 horas do dia 8 b.) 9 horas do dia 10 c.) 9 horas do dia 13 d.) 21 horas do dia 13 e.) 18 horas do dia 15

GABARITO 1. C

2. C

3. A

4. A

5. D

6. D

7. A

8. C

9. E

10. D 11. A 12. B 13. D 14. D 15. B

16. E 17. D 18. D 19. A

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REGRA DE TRÊS SIMPLES CUIDADO, nem sempre um exercício de regra de três é para multiplicar em cruz. O aluno precisa seguir alguns passos: 1º passo: colocar uma seta na grandeza X. Tanto faz o sentido desta seta.

2º passo: verificar se as grandezas são inversamente ou diretamente proporcionais. Para fazer essa verificação o aluno precisa interpretar as grandezas.

3º passo: Utilização das setas: •

Se as grandezas forem diretamente proporcionais as setas ficarão no mesmo sentido.

•

Se as grandezas forem inversamente proporcionais as setas ficarão em sentidos opostos.

4º passo: fazer as continhas.

REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETAMENTE PROPORCIONAL Quando uma grandeza aumenta e a outra também aumenta ou quando uma grandeza diminui e a outra também diminui, a regra de três é chamada de diretamente proporcional. Acontecendo isso, basta multiplicar em cruz.

REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSAMENTE PROPORCIONAL Quando uma grandeza aumenta e a outra diminui ou quando uma grandeza diminui e a outra aumenta, a regra de três é chamada de inversamente proporcional. Acontecendo isso, basta multiplicar em linha.

EXEMPLOS 1. Um quilo de feijão custa R$ 0,15. Carlos compra 10 Kg. Quanto pagou? a.) R$ 150,00. b.) R$ 15,00. c.) R$ 1.500,00. d.) R$ 1,50. e.) R$ 10,50.

2. Carlos viaja para o Rio de Janeiro em 7 horas, mantendo uma velocidade de 100 km/h. Se viajasse a 140 km/h, em quantas horas chegaria ao Rio de Janeiro? a.) 5 horas b.) 7,7 horas c.) 7 horas e 42 minutos d.) 9 horas e 48 minutos e.) 9,8 horas

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3. Um muro com 20 m2 foi feito em 15 dias, para fazer um muro com 36 m2 demorará quantos dias?

MATEMÁTICA

a.) 27 dias. b.) 24 dias. c.) 22 dias. d.) 20 dias. e.) 19 dias.

4. Trabalhando 12 horas por dias, um grupo de trabalhadores executam uma obra em 15 dias. Se trabalhassem 9 horas por dias, em quanto tempo este mesmo grupo de trabalhadores executariam a mesma obra? a.) 11 dias e 6 horas. b.) 11,25 dias. c.) 18 dias. d.) 20 dias. e.) 24 dias.

GABARITO 1. D

2. A

3. A

4. D

EXERCÍCIOS 1. Duas rodas dentadas, engrenadas uma na outra, têm respectivamente, 24 e 108 dentes. Quantas voltas dará a menor, enquanto a maior dá 16? a.) 72 b.) 73 c.) 74 d.) 75 e.) 76

2. Numa cocheira existem 30 cavalos, para os quais uma certa quantidade de feno dura 40 dias. Tendo sido retirados 10 cavalos, quanto tempo demorará agora aquela quantidade de feno? a.) 40 b.) 45 c.) 50 d.) 55 e.) 60

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3. Numa transição de correia, a polia maior tem diâmetro de 30 cm e a menor, 18 cm. Qual o número de rotações por minuto da polia menor, se a maior dá 45 voltas no mesmo tempo? a.) 74 b.) 75 c.) 76 d.) 77 e.) 78 4. (AFC) Para fazer uma auditoria, 6 técnicos previram sua conclusão em 30 dias. Tendo sido observada a ausência de um dos componentes da equipe, o trabalho agora deverá ser executado em: a.) 36 dias b.) 40 dias c.) 35 dias d.) 45 dias e.) 25 dias 5. (TTN) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6 horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por dia, a estrada será concluída em quantos dias? a.) 90 b.) 84 c.) 72 d.) 128 e.) 60 6. (COPEL) Um trajeto pode ser percorrido em 7 horas, à velocidade média de 75 km/h. Se a velocidade média for de 100 km/h, o tempo necessário será de: a) 6 horas e 5 minutos b) 4 horas e 45 minutos c) 5 horas e 15 minutos d) 5 horas e 25 minutos 7. (TJ/PR) Um caminhão-pipa entra em um posto com uma carga de 10800 litros de gasolina. Ele vai descarregar essa gasolina, colocando no reservatório 1200 litros por minuto. A quantidade de litros varia em função do tempo de descarga em que C representa a carga do caminhão, em litros, e t, o tempo de descarga, em minutos. Nessas condições, após quantos minutos de descarga o caminhão estará praticamente vazio? a) 0,9 minuto. b) 9 minutos. c) 8 minutos. d) 0,8 minuto. e) 18 minutos.

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8. (TJ/PR) Usando o enunciado da questão anterior. Três minutos após o início da operação de

MATEMÁTICA

descarga, quantos litros de gasolina ainda restam na carga do caminhão? a) 9600 litros. b) 12000 litros. c) 7200 litros. d) 14400 litros. e) 10000 litros.

9. (TJ/PR) Se de cada 10 kg de morango resultam 25 tortas, quantos kg de morango serão necessários para se obter 200 tortas de morango? a) 125 b) 120 c) 80 d) 40 e) 45 10. (COPEL) As especificações de uma fita de vídeo, quanto ao tempo de gravação, são: duas horas de gravação, se for usado o modo padrão, e seis horas, se for usado o modo econômico. Sabendo-se que essa fita foi gravada inicialmente por 25 minutos no modo padrão, durante quanto tempo ainda poderá ser gravada no modo econômico, se for mantida a gravação já feita? a) 5 horas e 20 minutos b) 4 horas e 55 minutos c) 4 horas e 45 minutos d) 4 horas e 30 minutos

11. (TRT 11ª) A altura máxima, em metros, que um guindaste é capaz de içar uma carga é inversamente proporcional ao peso dessa carga, em toneladas. Sabe-se que esse guindaste iça uma carga de 2,4 toneladas a uma altura máxima de 8,5 metros. Sendo assim, se a altura máxima que o guindaste consegue içar uma carga é de 12 metros, o peso máximo da carga, que pode ser içada a essa altura, é igual a 1 tonelada e (A) 900 kg.

(B) 700 kg.

(C) 500 kg.

(D) 800 kg.

(E) 600 kg.

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12. (TRT 24ª) Uma avenida que possui 7 km de extensão teve o seu limite máximo de velocidade alterado de 50 km/h para 60 km/h. Levando-se em consideração apenas a extensão da avenida e veículos trafegando nas velocidades máximas permitidas, com a alteração do limite máximo permitido de velocidade, o tempo para percorrer a extensão total da avenida diminuiu em (A) 2 minutos e 40 segundos.

(B) 1 minuto e 24 segundos.

(C) 2 minutos e 45 segundos.

(D) 1 minuto e 8 segundos.

(E) 1 minuto e 40 segundos.

GABARITO 1. A

2. E

3. B

4. A

5. C

6. C

7. C

8. C

9. C

10. C 11. B 12. B

REGRA DE TRÊS COMPOSTA 1. (TTN) 12 pedreiros constroem 27 m2 de um muro em 30 dias, de 8 horas. Quantas horas devem trabalhar por dia 16 operários, durante 24 dias, para construírem 36 m2 do mesmo muro? a.) 7 b.) 8 c.) 10 d.) 12 e.) 17 2. (TTN) Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários, trabalhando 6 horas por dia, o restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10 horas por dia, em quantos dias? a.) 7 b.) 6 c.) 2 d.) 4 e.) 3 3. (AFC) 20 operários trabalhando 10 horas por dia, abriram um canal de 180m de comprimento em 15 dias. Quantos operários serão necessários para abrir 480m do mesmo canal em 20 dias de 8 horas de trabalho? a.) 20 b.) 30 c.) 40 d.) 50 e.) 60

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4. (TTN) 24 operários fazem 2/5 de um determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. de trabalho diminuído de uma hora por dia? a.) 8 b.) 11 c.) 12 d.) 21 e.) 18 5. 20 operários de capacidade 4 fazem uma obra em 15 dias. Quantos operários de capacidade 5 fazem a mesma obra em 20 dias? a.) 8 b.) 9 c.) 10 d.) 11 e.) 12 6. (COPEL) Um texto de 80 laudas plenas está digitado em formato de 40 linhas por página e 90 caracteres por linha. Qual será o número de laudas, no caso de o mesmo texto ser digitado no formato de 60 linhas por página e 100 caracteres por linha? a.) 48 b.) 52 c.) 56 d.) 64 7. Se 2000 kg de ração são suficientes para alimentar 27 cavalos durante 40 dias, quantos dias durarão 1000 kg de ração, se existirem apenas 30 cavalos? a.) 18 b.) 20 c.) 15 d.) 19 e.) 24 8. 15 teares trabalhando 6 horas por dia, durante 20 dias, produzem 600 m de pano. Quantos teares são necessários para fazer 1.200 m do mesmo pano, em 30 dias, com 8 horas de trabalho por dia? a.) 13 b.) 16 c.) 13 d.) 15 e.) 18

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MATEMÁTICA

Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 operários e o regime

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9. (ICMS) Para entregar uma encomenda de 250 manuais de Legislação Tributária em 10 dias, os empregados de uma gráfica trabalharam durante 9 horas diariamente. Para produzir 300 manuais, esses empregados trabalharão 12 horas diárias durante: a.) 6 dias b.) 9 dias c.) 11 dias d.) 15 dias e.) 16 dias 10. (TTN) Um navio, com guarnição de 300 homens, necessita de 120.000 litros de água para efetuar uma viagem de 20 dias. Aumentando a guarnição em 50 homens e a água em 6.000 litros, determine qual poderá ser a duração da viagem. a.) 24 dias b.) 22 dias c.) 20 dias d.) 18 dias e.) 16 dias 11. (DPE/RS) Um grupo de 8 funcionários analisou 32 propostas de reestruturação de um determinado setor de uma empresa em 16 horas de trabalho. Para analisar 48 dessas propostas, em 12 horas de trabalho, um outro grupo de funcionários, em igualdade de condições do grupo anterior, deverá ser composto por um número de pessoas igual a (A) 18.

(B) 12.

(C) 16.

(D) 14.

(E) 20.

12. Certo trabalho é executado por 8 máquinas iguais, que trabalham 6 horas diárias, em 15 dias. Dez máquinas do mesmo tipo, para executar o triplo do trabalho anterior, trabalhando 5 horas diárias, com a velocidade que torna o rendimento 1/8 maior, levaria: a.) 36 dias e 2 horas b.) 36 dias e 3 horas c.) 38 dias e 2 horas d.) 38 dias e 4 horas e.) 38 dias e 6 horas

GABARITO 1. C

2. C

3. D

4. D

5. E

6. A

7. A

8. D

9. B

10. D 11. C 12. C

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REGRA DA TORNEIRA funcionando a torneira e a válvula, qual o tempo para enchê-lo? a.) 6 h b.) 12 h c.) 18 h d.) 24 h e.) 30 h 2. Um alfaiate pode fazer uma roupa em 3 dias, a sua esposa pode fazê-la em 6 dias, trabalhando juntos, em quantos dias farão a roupa? a.) 2 b.) 3 c.) 1 d.) 1/2 e.) 1/3 3. Um trabalho pode ser feito em 2 horas por um homem, em 3 horas por uma mulher, e em 6 horas por menino. Em quanto tempo será feito pelas 3 pessoas juntas? a.) 1/2 h b.) 1 h c.) 1,5 h d.) 2 h e.) 2,5 h 4. A pode fazer uma obra em 20 dias; B pode fazê-la em 15 dias e C pode fazê-la em 12 dias.

Trabalhando juntos em quantos dias farão a obra? a.) 3 b.) 4 c.) 5 d.) 6 e.) 7 5. Um depósito de água leva 360 litros, possui uma torneira que o enche em 15 horas e uma válvula que o esvazia em 20 horas. Funcionando a torneira e a válvula, em quantas horas o depósito ficará cheio? a.) 60 b.) 40 c.) 30 d.) 25 e.) 20

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MATEMÁTICA

1. Uma torneira enche um tanque em 10 horas; uma válvula o esvazia em 15 horas. Vazio o tanque, e

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6. Uma caixa leva 900 litros de água, uma torneira a enche em 9 horas e uma válvula o esvazia em 18 horas. Funcionando a torneira e a válvula, a caixa ficará cheia em: a.) 18 horas b.) 12 horas c.) 6 horas d.) 3 horas e.) 8 horas 7. Uma torneira é capaz de encher um tanque em 5 horas, outra em 4 horas e uma válvula é capaz de esvaziá-lo em duas horas. O tanque, estando cheio, abrem-se as torneiras e a válvula ao mesmo tempo.

Assim, o tempo em que o tanque estará vazio será: a.) 10 horas b.) 16 horas c.) 22 horas d.) 20 horas e.) 24 horas 8. Dois operários levam 12 horas para fazer um trabalho; o primeiro só levaria 20 horas. Que tempo levará o segundo trabalhando só? a.) 6 h b.) 12 h c.) 18 h d.) 24 h e.) 30 h 9. A e B podem forrar uma casa em 4 dias; B pode forrá-la sozinho em 12 dias. Em quantos dias A poderá forrá-la trabalhando sozinho? a.) 6 b.) 7 c.) 8 d.) 9 e.) 5 10. (TTN) Uma caixa de água com capacidade para 960 m3 possui uma tubulação que a alimenta e que a enche em 7 horas. Possui também um "ladrão" que a esvazia em 12 horas. Com a água jorrando, enchendo a caixa e o ladrão funcionando simultaneamente, em quanto tempo a caixa de água ficará cheia? a.) 16h 08min b.) 14h 08min c.) 16h 28min d.) 16h 48min e.) 14h 48min

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11. (FUVEST) Duas garotas realizam um serviço de datilografia. A mais experiente consegue fazê-lo

lo no menor tempo possível, esse tempo será: a.) 1,5 horas b.) 2,5 horas c.) 72 minutos d.) 1 hora e.) 95 minutos

12. (FCC) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas.

Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito? a.) 2 horas e 7 minutos b.) 2 horas e 5 minutos. c.) 1 hora e 57 minutos d.) 1 hora e 43 minutos e.) 1 hora e 36 minutos

13. (TJ/PR) Um tanque é abastecido com água por três torneiras, cada uma com uma vazão diferente, que podem ser abertas e fechadas individualmente. Quando o tanque se encontra vazio, cada uma delas é capaz de enchê-lo em 2, 5 e 10 horas individualmente. Se as três torneiras forem abertas simultaneamente, no momento em que o tanque está vazio, quanto tempo será necessário para enchêlo? a) 1 hora e 15 minutos. b) 1 hora e 48 minutos. c) 3 horas e 20 minutos. d) 7 horas e 12 minutos.

GABARITO 1. E

2. A

3. B

4. C

5. A

6. A

7. D

8. E

9. A

10. D 11. C 12. D 13. A

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MATEMÁTICA

em 2 horas, a outra em 3 horas. Se dividirmos esse serviço de modo que as duas juntas possam fazê-

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RAZÃO E PROPORÇÃO RAZÃO Para calcular razão, basta indicar a divisão de um número por outro que será solicitado na questão. A ordem de leitura deve ser sempre respeitada. A fração que será obtida deverá estar o mais simplificado possível.

Normalmente os exercícios de razão são resolvidos ou por um sistema de equações ou apenas pela indicação de uma divisão.

1. Numa sala de aula há 50 alunos, onde 36 são homens. Calcule a razão entre homens e mulheres: a.) 7/18. b.) 18/7. c.) 18/25. d.) 7/25. e.) 25/18.

2. A razão entre homens e mulheres em uma sala de aula é 2/3. Sabe-se que total de pessoas nesta sala de aula é igual a 50. Quantos homens existem nesta sala de aula? a.) 20. b.) 25. c.) 30. d.) 35. e.) 40.

3. A razão entre homens e mulheres em uma sala de aula é 2/3. Se oito homens saírem da sala de aula e 2 mulheres também saírem da sala de aula a nova razão entre homens e mulheres será 1/2. Quantas mulheres existiam na sala de aula? a.) 20. b.) 28. c.) 42 d.) 40. e.) 50.

9. Num mapa cuja escala é 1:500.000 a distância entre as cidades A e B é de 43 cm. A distância real entre A e B é: a.) 215.000 km b.) 21.500 km c.) 2.150 km d.) 215 km e.) 21,5 km

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GABARITO 2. A

3. C

4. C

EXERCÍCIOS 1. Em um auditório se encontram 78 pessoas das quais 26 são mulheres. Determine a razão entre o número de homens e o total de pessoas do auditório. a.) 1/3 b.) 2/3 c.) 4/5 d.) 3/5 e.) 2/5 2. A razão entre dois capitais é de 2/3. Aumentando o maior em R$ 1.000,00 e o menor em R$2.000,00, a relação passa a ser de 3/4. Os dois capitais inicias serão: a.) R$ 16.000,00 e R$ 14.000,00 b.) R$ 15.000,00 e R$ 17.000,00 c.) R$ 13.000,00 e R$ 18.000,00 d.) R$ 17.000,00 e R$ 15.000,00 e.) R$ 10.000,00 e R$ 15.000,00 3. (CESGRANRIO) Em uma empresa, a razão do número de empregados homens para o de mulheres é 3/7. Portanto, a porcentagem de homens empregados nessa empresa é: a.) 30% b.) 43% c.) 50% d.) 70% e.) 75% 4. Na equipe de Mário há 6 mulheres a mais do que homens. Sabendo que essa equipe tem ao todo 60 membros, a razão do número de mulheres para o número de homens é: a.) 6/5 b.) 5/4 c.) 3/5 d.) 20/11 e.) 11/9.

5. (PUC) Um mapa está na escala de 1:20.000. Qual o valor real de uma distância representada no mapa por um segmento de 5 cm. a.) 100 m b.) 250 m c.) 1 km d.) 2,5 km e.) 10 km

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MATEMÁTICA

1. B

RACIOCÍNIO LÓGICO

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6. (DPE/RS) A razão entre as alturas de dois irmãos era 3/4 e, nessa ocasião, a altura do irmão mais alto era 1,40 m. Hoje, esse irmão mais alto cresceu 10 cm. Para que a razão entre a altura do irmão mais baixo e a altura do mais alto seja hoje, igual a 4/5, é necessário que o irmão mais baixo tenha crescido, nesse tempo, o equivalente a (A) 13,5 cm.

(B) 10,0 cm.

(C) 12,5 cm.

(D) 14,8 cm.

(E) 15,0 cm.

7. (DPE/RS) Foram f = 780 processos que deram entrada no mês de fevereiro em uma repartição pública. No mês seguinte, março, deram entrada outros m = 624 processos. O número mínimo de processos que deverão entrar nessa repartição, no mês de abril (a), para que a razão entre (a) e (f) supere a razão entre (f) e (m) é igual a (A) 810 (B) 989 (C) 584 (D) 976 (E) 1012

8. (TRT 11ª) Em janeiro de 2016, Tiago conseguiu guardar um dinheiro. Em cada mês subsequente, até dezembro do mesmo ano, ele sempre conseguiu guardar o dobro do dinheiro que havia guardado no mês imediatamente anterior. Sendo assim, a razão entre o dinheiro guardado por Tiago nos meses de julho e de dezembro, nessa ordem, foi igual a (A) 1/2 (B) 1/6 (C) 1/64 (D) 1/32 (E) 1/16

GABARITO 1. B

2. E

3. A

4. E

5. C

6. E

7. D

8. D

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PROPORÇÃO A C = B D

A leitura desta igualdade é identificada nos enunciados pela seguinte linguajar: “A está para B, assim como, C está para D.”.

Normalmente os exercícios de proporções são resolvidos ou por um sistema de equações ou por regra de três.

EXEMPLOS 1. Dividir 20 em duas partes tais que a primeira está para a segunda assim como 3 está para o 7. O valor da primeira parte é: a.) 6. b.) 8. c.) 10. d.) 12. e.) 14.

2. Dividir 10.000 em três partes tais que a primeira esteja para a segunda como 2 está para 3, e a segunda para a terceira como 3 está 5. O valor da segunda parte é: a.) 1.000. b.) 2.000. c.) 3.000. d.) 4.000. e.) 5.000.

3. Dividir 35.000 em três partes tais que a primeira esteja para a segunda como 2 está para 3, e a segunda para a terceira como 4 está 5. O valor da terceira parte é: a.) 8.000. b.) 10.000. c.) 12.000. d.) 15.000. e.) 18.000.

GABARITO 1. A

2. C

3. D

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MATEMÁTICA

Proporção é uma igualdade de razões:

RACIOCÍNIO LÓGICO

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EXERCÍCIOS DE RAZÃO E PROPORÇÃO 1. Dividir 15.000 em três partes tais que a primeira esteja para a segunda como 3 está para 5, e a segunda para a terceira como 5 está 7. a.) 5.000, 3.000 e 7.000 b.) 3.000, 5.000 e 7.000 c.) 3.000, 7.000 e 5.000 d.) 5.000, 7.000 e 3.000 e.) 7.000, 5.000 e 3.000 2. Dividir 17.000 em três partes tais que a primeira esteja para a segunda como 2 está para 6, e a segunda para a terceira como 6 está 9. a.) 3.000, 5.000 e 9.000 b.) 3.000, 6.000 e 8.000 c.) 2.000, 6.000 e 9.000 d.) 2.000, 7.000 e 8.000 e.) 1.000, 6.000 e 10.000 3. (TTN) Dividir o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5, e a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12. Nestas condições, a terceira parte vale: a.) 120 b.) 150 c.) 320 d.) 300 e.) 250 4. (MPU) Se dividirmos 2.840 em três partes, tais que a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5, e a segunda esteja para a terceira como 4 está para 7, o valor da terceira parte é de: a.) 1.400 b.) 800 c.) 1.440 d.) 710 e.) 1.243 5. Se dividirmos 2.190 em três partes, tais que a primeira esteja para a segunda como 2 está para 5, e a segunda esteja para a terceira como 4 está para 9, o valor da primeira parte é de: a.) 240 b.) 300 c.) 1.200 d.) 120 e.) 360

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7. (TRF 4ª) A idade do irmão mais novo está para 3, assim como a idade do irmão mais velho está para 4. A idade do irmão mais velho está para 2, assim como a idade do pai está para 11. O pai tinha 36 anos quando nasceu o filho mais velho. Dessa maneira a diferença de idade entre esses dois irmãos é, em anos, igual a (A) 5.

(B) 3.

(C) 2.

(D) 4.

(E) 1.

8. (TRT 4ª) Em um município, a razão entre o número de homens e de mulheres é 91:92, e entre o número de mulheres e o de crianças é 23:5. Nesse município, a razão entre o número de crianças e o de homens é igual a (A) 20/91.

(B) 83/368.

(C) 81/362.

(D) 60/81.

(E) 25/25.

9. Suponha que a razão das hóspedes de um hotel seja de 2 mulheres brasileiras para 5 mulheres estrangeiras. Se houvesse 24 mulheres brasileiras hospedadas, quantas hóspedes haveria no total?

A) 24.

B) 44.

C) 60.

D) 84.

E) 90.

10. Em uma palestra, participaram agentes de saúde e agentes de controle às endemias, em uma razão de cinco para três. Considerando que 240 agentes de saúde participaram da palestra, é correto afirmar que o total de agentes de saúde e de controle às endemias participantes da palestra é de: A) 144.

B) 196.

C) 384.

D) 426.

E) 450.

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MATEMÁTICA

6. Para fabricar uma determinada substância, que é composta pelo componente A e pelo componente B, uma indústria química usa a proporção de 1 parte de A para 7 partes de B. Qual será a quantidade necessária de cada componente para fabricar 560 g dessa substância? a.) 490 g do componente A e 70 g do componente B. b.) 480 g do componente A e 80 g do componente B. c.) 80 g do componente A e 480 g do componente B. d.) 160 g do componente A e 400 g do componente B. e.) 70 g do componente A e 490 g do componente B.

RACIOCÍNIO LÓGICO

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11. Em uma pesquisa envolvendo 240 jovens que utilizam automóvel ou ônibus para o deslocamento de casa até o trabalho, verificou-se que a razão entre o número de jovens que utiliza carro e o que utiliza ônibus é de três para sete. Nessa situação, qual a quantidade de jovens que utiliza ônibus?

A) 72.

B) 108.

C) 168.

D) 176.

E) 184.

12. Para pintar uma casa, um pintor misturou tinta e solvente na razão de 10 partes de tinta para uma parte de solvente. Se na pintura foram gastos 93,5 litros dessa mistura, quantos litros de solvente foram utilizados?

A) 8,1.

B) 8,5.

C) 9,0.

D) 9,3.

E) 10,8.

GABARITO 1. B

2. C

3. D

4. A

5. A

6. E

7. C

8. A

9. D

10. C 11. C 12. B

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PORCENTAGEM Toda questão onde o examinador cobrar um aumento seguido de outro aumento ou um desconto seguido de outro desconto, ou aumento sobre desconto ou desconto sobre aumento, devemos multiplicar os fatores.

FATOR é 100% + % de aumento

ou

FATOR é 100% - % de redução.

1. Uma mercadoria sofre um aumento de 20% e em seguida um de 30%. Qual a porcentagem real do aumento? a.) 50% b.) 52% c.) 54% d.) 56% e.) 58% 2. Uma mercadoria sofre um desconto de 20% e em seguida outro desconto de 10%. Qual a porcentagem real de desconto? a.) 24% b.) 26% c.) 28% d.) 30% e.) 32% 3. Um produto é vendido com um lucro bruto de 30%. Sobre o preço total da nota, 20% corresponde a despesas. O lucro líquido do comerciante é: a.) 4% b.) 8% c.) 11% d.) 2% e.) 12% 4. Certa categoria de trabalhadores obteve em junho um reajuste salarial de 50% sobre os salários de abril, descontados as antecipações. Como ela havia recebido em maio uma antecipação de 20% (sobre o salário de abril), a percentagem do aumento obtido em junho, sobre o salário de maio, é de: a.) 20% b.) 25% c.) 30% d.) 35% e.) 40%

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MATEMÁTICA

1º CASO: PORCENTAGEM SOBRE PORCENTAGEM

RACIOCÍNIO LÓGICO

Prof. Sérgio Altenfelder GABARITO

1. D

2. C

3. A

4. B

2º CASO: AUMENTO OU REDUÇÃO SOBRE O VALOR INICIAL Valor Inicial

-----

100%

Valor Final

-----

fator

Aumento

------

% de aumento

Redução

------- % de redução

1. Obtive 20% de desconto numa compra de R$ 24.000,00. Quanto paguei? a.) R$ 20.640,00 b.) R$ 22.300,00 c.) R$ 23.000,00 d.) R$ 23.200,00 e.) R$ 19.200,00 2. Uma loja vende calçados com desconto de 10%. Um calçado custa R$ 220,00 sem desconto. Qual é o seu preço de venda? a.) 198,00 b.) 200,00 c.) 175,00 d.) 180,00 e.) 190,00 3. O lucro de uma transação foi de R$ 20.000,00 e representa 25% do preço de custo. Qual foi o preço de venda deste produto? a.) R$ 75.000,00 b.) R$ 80.000,00 c.) R$ 85.000,00 d.) R$ 90.000,00 e.) R$ 100.000,00 4. João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás pagando R$ 24.000,00, incluindo imposto de 20%. O valor do imposto foi de: a.) R$ 4.000,00 b.) R$ 2.000,00 c.) R$ 5.000,00 d.) R$ 6.000,00 e.) R$ 8.000,00

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5. Entre 10 de fevereiro e 10 de novembro de 1990 o preço do quilograma de mercadorias num era R$ 40,00, qual era o preço em 10 de fevereiro? a.) 15,00 b.) 16,00 c.) 17,00 d.) 18,00 e.) 19,00 6. Uma loja vende um produto à vista por R$ 400,00 com 20% de desconto. Qual o preço de tabela deste produto? a.) 450,00 b.) 440,00 c.) 460,00 d.) 480,00 e.) 500,00 7. Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com 10% de desconto sobre o preço de tabela ou no cartão com 5% de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que à vista sai por R$ 150,00, no cartão sairá por: a.) 160,00 b.) 165,00 c.) 170,00 d.) 175,00 e.) 180,00 8. Maria vendeu um relógio por R$ 16.000,00 com um prejuízo de 20% sobre o preço de compra. Para que tivessem um lucro de 25% sobre o custo, ela deveria ter vendido por: a.) R$ 24.000,00 b.) R$ 25.000,00 c.) R$ 26.000,00 d.) R$ 27.000,00 e.) R$ 28.000,00 9. Uma loja vende um produto à vista por R$ 28.000,00 com 30% de desconto. Qual o preço de tabela deste produto? a.) R$ 30.000,00 b.) R$ 32.400,00 c.) R$ 36.800,00 d.) R$ 38.600,00 e.) R$ 40.000,00

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MATEMÁTICA

determinado “sacolão” sofrem um aumento de 150%. Se o preço do quilograma em 10 de novembro

RACIOCÍNIO LÓGICO

1. E

2. A

3. E

4. A

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5. B

6. E

7. D

GABARITO 8. B 9. E

EXERCÍCIOS 1. Uma mercadoria sofre um aumento de 15%, em seguida, outro de 20% e, finalizando, sofre outro aumento de 5%. Qual a porcentagem real do aumento? a.) 40% b.) 45,9% c.) 42% d.) 44,9% e.) 43% 2. Uma mercadoria sofre um desconto de 15%, em seguida, outro de 20% e, finalizando, sofre outro desconto de 5%. Qual a porcentagem real do desconto? a.) 40% b.) 38,5% c.) 35,4% d.) 36,5% e.) 37% 3. Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço da mercadoria. Sabendo-se que o preço de venda, sem desconto, é superior em 20% ao custo, pode-se afirmar que houve por parte do comerciante um: a.) lucro de 5% b.) prejuízo de 4% c.) lucro de 4% d.) prejuízo de 2% e.) lucro de 2% 4. Um produto é vendido com um lucro bruto de 20%. Sobre o preço total da nota, 10% corresponde a despesas. O lucro líquido do comerciante é: a.) 5% b.) 8% c.) 11% d.) 2% e.) 12% 5. O preço de certa mercadoria sofre anualmente acréscimo de 100%. Supondo que o preço atual seja R$ 100,00, daqui a três anos será de: a.) R$ 300,00 b.) R$ 400,00 c.) R$ 500,00 d.) R$ 600,00 e.) R$ 800,00

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6. Um comerciante comprou um lote de mercadorias por R$ 80.000,00. Deu um aumento de 30% nessa

foi: a.) R$ 1.600,00 b.) R$ 2.400,00 c.) R$ 3.200,00 d.) R$ 4.800,00 e.) R$ 8.000,00 7. Ao pagar com atraso uma parcela do meu imposto de renda cujo valor era de R$ 50.000,00, tive uma multa de R$ 10.000,00. Qual a taxa da multa? a.) 5% b.) 10% c.) 15% d.) 20% e.) 25% 8. Dos 300 alunos de minha escola, 75% solicitaram passes escolares. Quantos são os alunos que não solicitaram passes escolares? a.) 252 b.) 225 c.) 75 d.) 220 e.) 150 9. Os 6% de alunos estrangeiros de uma escola somam 36. Quantos alunos tem essa escola? a.) 600 b.) 60 c.) 6000 d.) 300 e.) 200 10. Num curso de treinamento de Fiscais de Tributos Estaduais compareceram 108 dos 150 fiscais inscritos. A porcentagem de comparecimentos foi de: a.) 70% b.) 72% c.) 75% d.) 80% e.) 82%

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MATEMÁTICA

mercadoria, mas teve que abater 20% na venda, para desencalhar estoque. Seu lucro nessa transação

RACIOCÍNIO LÓGICO

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11. Obtive 14% de desconto numa compra de R$ 24.000,00. Quanto paguei? a.) R$ 20.640,00 b.) R$ 22.300,00 c.) R$ 23.000,00 d.) R$ 23.200,00 e.) R$ 19.800,00 12. Uma loja vende calçados com desconto de 20%. Um calçado custa R$ 60,00 sem desconto. Qual é o seu preço de venda? a.) R$ 48,00 b.) R$ 45,00 c.) R$50,00 d.) R$ 40,00 e.) R$ 38,00 13. O lucro de uma transação foi de R$ 30.000,00 e representa 30% do preço de custo. Qual foi o preço de venda deste produto? a.) R$ 103.000,00 b.) R$ 120.000,00 c.) R$ 130.000,00 d.) R$ 123.000,00 e.) R$ 140.000,00 14. Quando o açúcar custa R$ 1.200,00 o quilo, seu preço representa 40% do preço de uma determinada marca de café. Qual o preço do quilo desse café? a.) 3.000,00 b.) 4.000,00 c.) 5.000,00 d.) 6.000,00 e.) 7.000,00 15. João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás pagando R$ 322.000,00, incluindo imposto de 15%. O valor do imposto foi de: a.) R$ 40.000,00 b.) R$ 42.000,00 c.) R$ 45.000,00 d.) R$ 46.000,00 e.) R$ 48.000,00

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16. Entre 10 de fevereiro e 10 de novembro de 1990 o preço do quilograma de mercadorias num era R$ 67,50, qual era o preço em 10 de fevereiro? a.) R$ 19,00 b.) R$ 18,00 c.) R$ 18,50 d.) R$ 19,50 e.) R$ 17,00 17. Uma loja vende um produto à vista por R$ 14.000,00 com 30% de desconto. Qual o preço de tabela deste produto? a.) R$ 20.000,00 b.) R$ 18.200,00 c.) R$ 24.000,00 d.) R$ 19.200,00 e.) R$ 19.200,00 18. Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com 30% de desconto sobre o preço de tabela ou no cartão com 10% de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que à vista sai por R$ 7.000,00, no cartão sairá por: a.) R$ 10.000,00 b.) R$ 12.000,00 c.) R$ 11.000,00 d.) R$ 15.000,00 e.) R$ 10.500,00 19. A meta de crescimento de um banco para o biênio 2011-2012 é de 50%. Se no ano de 2011 foi registrado um crescimento de 20%, então, para que a meta seja atingida, o banco deverá crescer em 2012 a.) 35% b.) 30% c.) 25% d.) 20% e.) 15%

1. D 2. C 3. B 4. B 5. E 16. B 17. A 18. C 19. C

6. C

7. D

GABARITO 8. C 9. A

10. B 11. A 12. A 13. C 14. A 15. B

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MATEMÁTICA

determinado “sacolão” sofrem um aumento de 275%. Se o preço do quilograma em 10 de novembro

RACIOCÍNIO LÓGICO

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PROBLEMAS DO 1º E 2 º GRAU 1. Resolva esta proporção: 5 - X = X .

4 6 O resultado correto de X é: a.) 2 b.) 3 c.) 4 d.) 5 e.) 6 2. Um vasilhame de 32 litros de capacidade contém leite somente até os seus 3/4. Tirando-se 2/3 do leite contido, quantos litros restam? a.) 5 b.) 8 c.) 7 d.) 6 e.) 9 3. Ao comprar um aparelho de som, dei de entrada a quarta parte do valor e o restante, em duas prestações de $ 450,00 cada. Qual era o preço do aparelho? a.) $ 2.400,00 b.) $ 3.000,00 c.) $ 3.400,00 d.) $ 2.000,00 e.) $ 1.200,00 4. João ficou 1/3 de sua vida solteiro, 2/5 casado e ainda viveu mais 20 anos viúvo. Com que idade faleceu? a.) 60 b.) 65 c.) 70 d.) 80 e.) 75 5. Os 3/5 dos 5/9 de $ 600,00 são iguais a: a.) $ 3.000,00 b.) $ 2.000,00 c.) $ 200,00 d.) $ 800,00 e.) $ 600,00

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6. Sabe-se que, um número menos 1/3 de sua quinta parte é igual a 70. Este número é:

MATEMÁTICA

a.) 75 b.) 70 c.) 80 d.) 60 e.) 65

7. Se aos 3/4 do que um menino possui, juntarmos $ 0,50 obteremos $ 0,80. Então, a quantia que o menino possui é: a.) $ 0,40 b.) $ 0,50 c.) $ 0,60 d.) $ 0,70 e.) $ 0,80

8. Um motorista oficial do TJ/CE abasteceu seu carro com 60 litros de combustível e gastou 3/5 do mesmo. Então sobraram: a.) 64 b.) 30 c.) 34 d.) 24 e.) 20

9. A idade atual de Carlos é a diferença entre a metade da idade que ele terá daqui a 20 anos e a terça parte da que teve 5 anos atrás. Qual a idade de Carlos? a.) 15 b.) 14 c.) 13 d.) 12 e.) 11

10. O valor de 1,728 é 0,12 a.) 144 b.) 14,4 c.) 1,44 d.) 0,144 e.) 0,0144

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RACIOCÍNIO LÓGICO

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11. Um pai distribui a seus filhos a importância de $ 36.300,00, de modo que o segundo tenha o dobro do primeiro e o terceiro o quádruplo do segundo. Quanto deverá receber cada um? a.) $ 3.300,00, $ 6.600,00 e $ 26.400,00 b.) $ 6.600,00, $ 3.300,00 e $ 26.400,00 c.) $ 6.600,00, $ 26.400,00 e $ 3.300,00 d.) $ 26.400,00, $ 6.600,00 e $ 3.300,00 e.) $ 26.400,00, $ 3.300,00 e $ 6.600,00 12. Pensei um número. Multipliquei-o por 2. Depois somei a terça parte do número ao resultado e obtive 14. Qual o número pensado? a.) 5 b.) 6 c.) 7 d.) 8 e.) 9 13. Um pai e um filho possuem hoje 45 anos juntos. Daqui a quinze anos, a idade do pai será o dobro da idade do filho. Calcule as idades atuais do pai e do filho. a.) 30 e 15 b.) 30 e 10 c.) 35 e 10 d.) 33 e 12 e.) 34 e 11 14. Um número é tal que se do seu quadrado subtrairmos o triplo do seu antecedente obtemos a unidade. Calcule o número. a.) 0 ou 1 b.) -1 ou -2 c.) -1 ou 2 d.) 1 ou -2 e.) 1 ou 2 15. Há oito anos, o quadrado da minha idade era exatamente igual ao décuplo da idade que terei daqui a doze anos. Qual a minha idade? a.) 24 b.) 25 c.) 26 d.) 27 e.) 28

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40

16. Uma pessoa gastou num dia 1/5 do seu dinheiro e no outro, 2/7. Ficou ainda com $ 3.600,00. Quanto

MATEMÁTICA

possuía? a.) $ 6.500,00 b.) $ 8.000,00 c.) $ 7.000,00 d.) $ 6.800,00 e.) $ 7.500,00 17. Um excursionista fez uma viagem de 360km. Os 3/4 do percurso foram feitos de trem, 1/8 a cavalo e o resto de automóvel. Quantos quilômetros andou de automóvel? a.) 45 km b.) 44 km c.) 43 km d.) 42 km e.) 41 km 18. Certa quantidade de sacos precisam ser transportados e para isto dispõem-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada jumento, sobram treze sacos; se colocarmos três sacos em cada jumento, sobram três jumentos. Quantos sacos precisam ser carregados? a.) 44 b.) 45 c.) 57 d.) 22 e.) 30 19. Os 2/3 de 5/3 de uma moto equivalem a 3/2 de 2/5 do preço de um automóvel, avaliado em R$ 9.600,00. O preço da moto é de a.) R$ 5.760,00 b.) R$ 8.640,00 c.) R$ 6.400,00 d.) R$ 16.000,00 e.) R$ 5.184,00 20. Em duas caixas existem 23 bolas. Se tirarmos 5 bolas de um e pusermos 2 na outra, ambas ficarão com o mesmo número de bolas. O número original de bolas em cada caixa é: a.) 11 e 2 b.) 14 e 9 c.) 15 e 8 d.) 18 e 11 e.) 19 e 4

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RACIOCÍNIO LÓGICO

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21. Um número é formado por três algarismos cuja a soma é 19. O algarismo das dezenas é a metade do algarismo das unidades, e o algarismo das centenas é o antecessor do algarismo das unidades.

Esse número é: a.) 324 b.) 469 c.) 568 d.) 748 e.) 849 22. Um indivíduo possui 65 notas, umas de R$ 50,00 e outras de R$ 20,00, ao todo R$ 2.320,00. Quantas notas há de cada espécie: a.) 31 e 34 b.) 30 e 31 c.) 39 e 30 d.) 29 e 30 e.) 28 e 29 23. Duas vasilhas contém, em conjunto 36 litros de água. Se transferíssemos para a que tem menos água, 2/5 da água contida na outra, ambas ficariam com a mesma quantidade de água. Quantos litros da água contém cada vasilha? a.) 30 e 6 b.) 29 e 7 c.) 28 e 8 d.) 27 e 9 e.) 31 e 5 24. Tenho R$ 53,00, em notas de R$ 5,00 e R$ 1,00. Sabendo-se que o total de notas são 21, calcular o número de notas de cada espécie. a.) 8 e 13 b.) 9 e 12 c.) 10 e 11 d.) 7 e 14 e.) 6 e 15 25. Tem-se emas e hienas, ao todo 21 cabeças e 50 pés. Quantos animais há de cada espécie? a.) 17 e 4 b.) 16 e 5 c.) 15 e 6 d.) 14 e 7 e.) 13 e 8

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26. Um casal saiu com uma quantia de R$ 700,00. O marido gastou R$ 92,50 e ficou com a metade da

MATEMÁTICA

quantia da esposa. Quanto tinha cada um ao sair? a.) R$ 290,00 e R$ 410,00 b.) R$ 285,00 e R$ 415,00 c.) R$ 305,00 e R$ 395,00 d.) R$ 295,00 e R$ 405,00 e.) R$ 300,00 e R$ 400,00

27. Um colégio quer premiar os melhores alunos distribuindo entre eles um certo número de livros. Se der 6 livros para cada um, restarão 10 e se der 8 livros a cada um, faltarão 4. Quantos são os alunos premiados e quantos são os livros? a.) 7 e 52 b.) 8 e 60 c.) 9 e 58 d.) 5 e 68 e.) 7 e 48

28. Num ônibus, transportando crianças, se sentassem, duas crianças em cada banco ficariam 9 em pé. No entanto, se sentassem 3 em cada banco, sobrariam 3 bancos. Qual o número de bancos e quantas crianças estavam no ônibus respectivamente? a.) 18 e 45 b.) 15 e 45 c.) 19 e 48 d.) 17 e 55 e.) 13 e 62

29. Determinar quantos passageiros viajam em um certo ônibus, sabendo que se dois passageiros ocupassem cada banco, 26 ficariam em pé, e que se 3 passageiros ocupassem cada banco, 2 ficariam vazios. a.) 90 b.) 40 c.) 35 d.) 32 e.) 30

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RACIOCÍNIO LÓGICO

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30. Um pai diz ao seu filho: “Hoje a sua idade é 2/7 da minha, e há 5 anos era 1/6”. Qual é a idade do filho? a.) 10 b.) 15 c.) 20 d.) 25 e.) 30 31. Os 3/4 de um número juntos aos seus 5/6 fazem 494. Qual é esse número? a.) 123 b.) 132 c.) 231 d.) 312 e.) 321 32. Os 5/6 do preço de uma propriedade diminuídos de R$ 3.000,00 valem R$ 563.000,00. Qual é o preço da propriedade? a.) R$ 679.200,00 b.) R$ 796.200,00 c.) R$ 769.200,00 d.) R$ 967.200,00 e.) R$ 976.200,00 33. Um homem recebeu R$ 2.400,00 por um cavalo e um jumento. O jumento vale os 7/8 do cavalo.

Qual é o preço do cavalo e do jumento respectivamente. a.) R$ 1.280,00 e R$ 1.220,00 b.) R$ 1.120,00 e R$ 1.280,00 c.) R$ 2.180,00 e R$ 820,00 d.) R$ 1.820,00 e R$ 1.120,00 e.) R$ 1.280,00 e R$ 1.120,00 34. Em um jogo de tiro ao alvo, um jogador tem que atirar 20 tiros. Recebe R$ 500,0 cada vez que acerta; mas paga R$ 750,00 cada vez que erra. Depois dos 20 tiros não perdeu nem ganhou nada.

Quantas vezes acertou o alvo? a.) 2 b.) 12 c.) 18 d.) 22 e.) 28

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35. Uma pessoa paga R$ 103,00 com 29 notas de R$ 2,00 e outras de R$ 5,00. Quantas notas há de

MATEMÁTICA

cada espécie? a.) 14 notas de R$ 2,00 e 18 notas de R$ 5,00 b.) 14 notas de R$ 2,00 e 15 notas de R$ 5,00 c.) 15 notas de R$ 2,00 e 14 notas de R$ 5,00 d.) 15 notas de R$ 2,00 e 18 notas de R$ 5,00 e.) 18 notas de R$ 2,00 e 23 notas de R$ 5,00 36. Numa fábrica, fazem-se 480 peças de ferro, umas de 12 kg e outras de 20 kg. O peso total é de 7520 kg. Quantas peças há de cada espécie? a.) 220 peças de 12 kg e 250 de 20 kg b.) 230 peças de 12 kg e 260 de 20 kg c.) 260 peças de 12 kg e 250 de 20 kg d.) 260 peças de 12 kg e 220 de 20 kg e.) 280 peças de 12 kg e 250 de 20 kg 37. Um rádio de R$ 280,00 devia ser comprado por u grupo de rapazes que contribuiriam em partes iguais. Como 3 deles desistiram, a quota de cada um dos outros ficou aumentada de R$ 12,00. Quantos eram os rapazes? a.) 10 b.) 11 c.) 12 d.) 13 e.) 14 38. A soma de 3 algarismos de um número é 16. O da centena excede de 4 o da dezena e este excede de 3 o da unidade. Qual é este número? a.) 259 b.) 529 c.) 862 d.) 952 39. Pensei num número multipliquei-o por 3, depois somei a terça parte ao resultado e obtive 10. Qual é este número? a.) 1 b.) 2 c.) 3 d.) 4 e.) 5

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RACIOCÍNIO LÓGICO

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40. Distribui-se certa quantidade de lápis entre três alunos; o primeiro ficou com 1/3, o segundo com 1/4 e o terceiro com os 25 lápis restantes. Dê o número de lápis distribuídos. a.) 50 b.) 55 c.) 60 d.) 65 e.) 70

41. Do vinho contido num barril, vendeu-se 3/7, a seguir 1/4 do resto e finalmente os 15 litros restantes, que sobraram. Quantos litros continham no barril? a.) 25 b.) 30 c.) 35 d.) 40 e.) 45

42. A diferença entre os 4/5 e os 2/3 do preço de um objeto é de R$ 12,00. Qual o preço do objeto? a.) R$ 90,00 b.) R$ 95,00 c.) R$ 80,00 d.) R$ 85,00 e.) R$ 98,00

43. Se um pai desse R$ 5.000,00 a cada filho, ainda lhe sobrariam R$ 20.000,00. Se desse R$ 7.000,00 só lhe sobraria R$ 8.000,00. Quantos eram os filhos e quanto possuía o pai? a.) 6 filhos e R$ 50.000,00 b.) 8 filhos e R$ 50.000,00 c.) 7 filhos e R$ 50.000,00 d.) 6 filhos e R$ 80.000,00 e.) 8 filhos e R$ 40.000,00

GABARITO 1. B

2. B

3. E

4. E

5. C

6. A

7. A

8. D

9. B

10. B 11. A 12. B 13. C 14. E 15. E

16. C 17. A 18. C 19. E 20. C 21. D 22. A 23. A 24. A 25. A 26. D 27. A 28. A 29. A 30. A 31. D 32. A 33. E 34. B 35. B 36. D 37. A 38. D 39. C 40. C 41. C 42. A 43. A

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INEQUAÇÃO DO 1º E 2º GRAU

MATEMÁTICA

1. Calcule as inequações abaixo: a.) 2x + 4 > 0 b.) 3x – 6 < 0 c.) 8x – 5x < 3 d.) –3x – 5x < 8 e.) –2 + 4x > 0 f.) 2x + 7 > 5x g.) –2x – 4  0 h.) x – 3  3 – x i.) 2x + 4  0 j.) 3x – 6  0 k.) 8x – 5x  3 l.) –3x – 5x  8 2. Calcule as inequações abaixo: a.) ( x – 5 ) . ( 2x + 4 ) . ( x – 5 ) > 0 b.) ( -x – 5 ) . ( -2x + 4 ) . ( x – 5 ) > 0 c.) ( x – 3 ) . ( x + 3 )  0 d.) ( x – 3 ) . ( 2x + 4 ) . ( x – 5 )  0 3. Calcule as inequações abaixo: a.) x2 – 5x + 6 < 0 b.) - x2 + 5x + 6 < 0 c.) x2 – 4x + 4 < 0 d.) x2 – 4x + 4 > 0 e.) x2 – 5x + 6 > 0 f.) - x2 + 5x + 6 > 0 g.) x2 – 4x + 8 < 0 h.) x2 – 4x + 8  0 i.) x2 – 4x + 8  0 j.) x2 – 4x > 0 2. Calcule as inequações abaixo: a.) (x2 -10x + 25) . (x2 +2x + 1) < 0 b.) (x2 -4x + 4) . (-x2 -3x - 5) < 0 c.) (x2 +4x + 4) . (x2 -3x + 5) . (x2 +5x + 6) < 0 d.) (x2 +2x - 1) . (-x2 +5x + 6) . (x2 +2x - 3) < 0

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RACIOCÍNIO LÓGICO

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4. (AFC) O conjunto dos valores reais de x, que tornam verdadeira a sentença 2x2 – x < 1, é: a.) { x  R | -1/2 < x < 1} b.) { x  R | x > 1 ou x < 1/2} c.) { x  R | x < 1} d.) { x  R | 1/2 < x < 1} e.) { x  R | x < 1/2} 5. (TFC) Os valores de x que satisfazem a inequação 9 . ( x – 5 ) < -4 . ( 1 – x ) são necessariamente: a.) x > 2 b.) x < 1 c.) x < 8 d.) x < 41/5 e.) x > -2 6. (PUC) Quantas soluções inteiras a inequação x² + x – 20 ≤ 0 admite? a.) 2 b.) 3 c.) 7 d.) 10 e.) 13 7. (UDESC) O conjunto solução da inequação x² - 2x – 3 ≤ 0 é: a.) {x R / -1 < x < 3} b.) {x R / -1 < x ≤ 3} c.) {x R / x < -1 ou x > 3} d.) {x R / x ≤ -1 ou x ≥ 3} e.) {x R / -1 ≤ x ≤ 3} 8. (ITA) A inequação (x - 1) . (x - 2) < 0 tem solução: a) {x  R | 1 < x < 2} b) {x  R | x < 1} c) {x  R | x > 1 ou x >2} d) {x  R | x < 2} e) {x  R | x > 2} 9. (AFC) A inequação

(2 x − 2) 1 tem solução (x + 3)

a) x  -3 b) x  5 c) x  5 ou x  3 d) x  -3 e) x  5 ou x < -3

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11. O número de soluções inteiras da inequação

x 2 − 6x + 10 x2 − 1

 0 é:

a.) 0 b.) 1 c.) 2 d.) 3 e.) infinito

GABARITO 1.

a.) X > -2

b.) X < 2

c.) X < 1

d.) X > -1

i.) X  -2

j.) X  2

k.) X  1

l.) X  -1

e.) X > 1/2

f.) X < 7/3

g.) X  -2

h.) X  3

2.

a.) X > -2 e X  5

b.) X > 5 ou -5 < X < 2

c.) X  -3 ou X  3

3.

a.) 2 < X < 3

b.) X < -1 ou X > 6

c.) 

d.) R – {2}

e.) X < 2 ou X > 3

f.) -1 < X < 6

g.) 

h.) R

i.) 

j.) X < 0 ou X > 4

4.

5. D

a.) 

6. D

b.)  – {2}

7. E

c.) -3 < X < -2

8. A

9. E

10. D

d.) X  -2 ou 3  X  5

d.) X < -3 ou 1 < X < 4 ou X > 6

11. B

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49

MATEMÁTICA

10. O valor das somas das soluções inteiras da inequação (3x2 – 4x + 8) . (x –1) . (x + 3) < 0 é igual a : a.) 0 b.) -1 c.) -2 d.) -3 e.) -4

RACIOCĂ?NIO LĂ&#x201C;GICO

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PROGRESSĂ&#x2022;ES ARITMĂ&#x2030;TICAS Ă&#x2030; sequĂŞncia que tem como propriedade a soma ou subtração de um nĂşmero constante pra encontrar o prĂłximo termo.

Exemplo: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...

A razĂŁo (o tal nĂşmero constante) do exemplo ĂŠ igual a 2

RAZĂ&#x192;O ĂŠ subtrair qualquer termo da PA pelo seu anterior.

FORMULA DO TERMO GERAL Usada para encontrar termos de uma PA, razĂŁo de uma PA e o nĂşmero de termo de uma PA

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; + (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;). đ?&#x2018;&#x2026; Onde: an= ĂŠ o termo a ser encontrado. an = ĂŠ o Ăşltimo termo de uma PA, usaremos esta definição quando for pedido o nĂşmero de termos da PA. ak = qualquer termo da PA. R = razĂŁo da PA. n = nĂşmero associado a qualquer termo de uma PA.

SOMA DOS TERMOS DE UMA PA

ď&#x192;Ś a +a ď&#x192;ś Sn = ď&#x192;§ n 1 ď&#x192;ˇ.n ď&#x192;¨ 2 ď&#x192;¸

CONDIĂ&#x2021;Ă&#x192;O DE EXISTĂ&#x160;NCIA DE UMA PA

a2 â&#x2C6;&#x2019; a1 = a3 â&#x2C6;&#x2019; a2

SEFAZ 2018 â&#x20AC;&#x201C; AAF â&#x20AC;&#x201C; TTRE - AFRE

50

EXERCÍCIOS a.) 260 b.) 254 c.) 266 d.) 270 e.) 275

2. Determine o termo de ordem 101 de uma P.A finita cujo primeiro termo é -20 e cuja razão é 7. a.) 673 b.) 680 c.) 687 d.) 694 e.) 700

3. Determine o termo de ordem 138 de uma P.A. infinita cujo primeiro termo é 14 e cuja razão é 3. a.) 219 b.) 422 c.) 425 d.) 428 e.) 420

4. Qual é o trigésimo sétimo termo de uma P.A. cujo quinto termo é 9 e cujo nono termo é 15? a.)55 b.) 56 c.) 57 d.) 58 e.) 60

5. Numa P.A finita com 21 termos, o primeiro termo é 4 e o último termo é 124. Qual é a razão desta P.A? a.) 6 b.) 7 c.) 8 d.) 9 e.) 10

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51

MATEMÁTICA

1. Determine o termo de ordem 46 de uma P.A infinita cujo primeiro termo é -10 e cuja razão é 6.

RACIOCÍNIO LÓGICO

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6. Numa P.A., tem-se o 1° termo igual a -3 e o 19° igual a 1. Calcule a razão. a.) 1/18 b.) 0 c.) 1 d.) 1/3 e.) 2/9

7. Numa P.A. finita com 51 termos, o primeiro termo é -34 e o último termo é 116. Qual é a razão desta P.A.? a.) 3 b.) 5 c.) 4 d.) 7 e.) 6

8. Determinar o número de termos de uma P.A. de razão 3 na qual o 1° termo é -6 e o último 21. a.) 15 b.) 13 c.) 8 d.) 10 e.) 12

9. Determinar o número de termos de uma P.A. de razão 2 na qual o 1° termo é 10 e o último 1.222. a.) 606 b.)607 c.) 608 d.)609 e.) 610

10. Determinar o número de termos de uma P.A. de razão 15 na qual o 1°termo é -356 e o último 4. a.)23 b.) 24 c.) 25 d.) 26 e.) 27

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11. Determinar o 14° termo de um P.A. em que o 5° termo é 15 e o 11°termo é 39.

MATEMÁTICA

a.) 50 b.) 51 c.) 52 d.) 53 e.) 55

12. Determinar o 38° termo de um P.A. em que o 7° termo é 4 e o 11° termo é 16. a.) 111 b.) 48 c.) 58 d.) 118 e.) 97

13. Determinar o 104°termo de um P.A. em que o 8° termo é 36 e o 16°termo é 76. a.) 186 b.) 187 c.) 188 d.) 189 e.) 516

14. Se (x + b), (3x + a) e (x - b) estão P.A. nesta ordem,então x é igual a: a.) a/4 b.) (a+b)/2 c.) –a/2 d.) a/2 e.) –a/3

15. Determine a soma dos 101 primeiros termos da P.A. (-2, 0, 2, 4, ...) a.) 9.898 b.) 9.800 c.) 9.750 d.) 9.662 e.) 9.854

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RACIOCÍNIO LÓGICO

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16. Determine a soma dos dez primeiros termos da P.A. (-4, 0, 4, 8, ...) a.) 139 b.) 138 c.) 150 d.) 151 e.) 140

17. Calcular a soma dos 25 primeiros termos da PA (1, 3, 5, ...) a.) 495 b.) 375 c.) 650 d.) 625 e.) 500

18. Calcular a soma dos termos da P.A. finita (25, 39, 53, ..., 375) a.) 30 b.) 35 c.) 600 d.) 7.850 e.) 5.200

19. A soma de todos os 40 primeiros números naturais é igual a: a.) 400 b.) 410 c.) 700 d.) 670 e.) 780 20. Qual é o trigésimo termo da Progressão Aritmética “P.A.” (5, 8, ...) a.) 83 b.) 86 c.) 89 d.) 92 e.) 95

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21. Num programa de condicionamento físico, uma pessoa correndo 300m num dia, 400m no dia

dia ela estará correndo 2 km por dia? a.) 16° b.) 17° c.) 18º d.) 19º e.) 20º

22. Um atleta nadou, hoje, 500 metros. Nos próximos dias, ele pretende aumentar gradativamente essa marca nadando, a cada dia, uma mesma distância a mais do que nadou no dia anterior. No 15o dia, ele quer nadar 3300 metros. Determine a distância que ele deverá nadar a mais por dia. a) 100 m b) 150 m c) 200 m d) 250 m e) 50 m 23. Ainda em relação à questão anterior, determine a distância que deverá nadar no 10o dia. a) 2500 m b) 1300 m c) 1800 m d) 2000 m e) 2300 m

24. Quantos números compreendidos entre 1 e 5000 são divisíveis por 3 e 7. a.) 234 b.) 235 c.) 236 d.) 237 e.) 238

25. Quantos números inteiros compreendidos entre 1.000 e 10.000, são divisíveis por 3 e 7. a.) 427 b.) 428 c.) 429 d.) 430 e.) 431

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MATEMÁTICA

seguinte, 500m no próximo dia e assim sucessivamente até chegar aos 2 km por dia. A partir de que

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26. Determine o número total de múltiplos de 15 compreendidos entre 1492 e 3427. a.) 161 b.) 150 c.) 129 d.) 113 e.) 120

27. Quantos números inteiros compreendidos entre 10 e 4000 são divisíveis por 3 e por 5 ao mesmo tempo? a.) 225 b.) 250 c.) 256 d.) 260 e.) 266

28. Determine o número total de múltiplos de 15 compreendidos entre 1759 e 3825. a.) 136 b.) 137 c.) 138 d.) 139 e.) 140

29. Três números estão em uma progressão aritmética (PA) crescente. O produto dos três é 66 e a soma deles é 18. Determine o próximo termo dessa progressão aritmética. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

30. (PUC) As quantias, em reais, de cinco pessoas estão em progressão aritmética. Se a segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$ 250,00 e R$ 400,00, a primeira possui: a.) R$ 200,00 b.) R$ 180,00 c.) R$ 150,00 d.) R$ 120,00 e.) R$ 100,00

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31. (CESGRANRIO) Uma empresa de propaganda instalou dois painéis em uma estrada, o primeiro no

de modo que a distância entre dois outdoors consecutivos seja sempre a mesma. Qual será, em km, essa distância? a.) 21 b.) 24 c.) 26 d.) 28 e.) 31 32. A seqüência (s – 1, 3s – 1, s – 3), onde s é um real, é, nesta ordem, uma Progressão Aritmética de 3 termos. A soma dos termos extremos de tal PA é igual a: a.) 5 b.) 3 c.) 0 d.) –3 e.) –5

GABARITO 1. A

2. B

3. C

4. C

5. A

6. E

7. A

8. D

9. B

10. C 11. B 12. E 13. E 14. C 15. A

16. E 17. D 18. E 19. E 20. D 21. C 22. C 23. E 24. E 25. C 26. C 27. E 28. B 29. E 30. A 31. A 32. E

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MATEMÁTICA

km 78 e o segundo no km 246. A mesma empresa pretende instalar outros 7 painéis entre esses dois,

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PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS É uma sequência que tem como propriedade a multiplicação ou divisão de um número constante para encontrar o próximo termo.

Exemplo: 2, 4, 8, 16, 32, 64, ....

A razão (o tal número constante) do exemplo é igual a 2.

RAZÃO é dividir qualquer termo da PG pelo seu anterior.

FORMULA DO TERMO GERAL Usada para encontrar termos de uma PA, razão de uma PA e o número de termo de uma PA

an = ak . (q )

n−k

Onde: an= é o termo a ser encontrado. an = é o último termo de uma PG, usaremos esta definição quando for pedido o número de termos da PG. ak = qualquer termo da PG. q = razão da PG. n = número associado a qualquer termo de uma PG.

SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA

(

INFINITA

)

 q n −1  S n = a1 .    (q −1) 

S=

a1 1− q

* Para usar esta fórmula a razão tem que ser * Para usar esta fórmula a razão tem que um diferente de 1 (q  1).

número em módulo entre 0 e 1 (0 < q < 1) ou (-1 < q < 0).

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UMA PG

a 2 a3 = a1 a 2 SEFAZ 2018 – AAF – TTRE - AFRE

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EXERCÍCIOS

MATEMÁTICA

1. Determine o termo de ordem 5 de uma P.G. infinita cujo primeiro termo é -1 e cuja razão é 5. a.) -5 b.) -25 c.) -125 d.) -625 e.) -325 2. Determine o termo de ordem 6 de uma P.G. infinita cujo primeiro termo é 1 e cuja razão é 2. a.) 12 b.) 16 c.) 20 d.) 32 e.) 64 3. Determine o termo de ordem 46 de uma P.G. infinita cujo primeiro termo é 625 e cuja razão é 25. a.) 594 b.) 593 c.) 595 d.) 547 e.) 546 4. Determine o termo de ordem 6 de uma P.G. infinita cujo primeiro termo é 1/625 e cuja razão é 5. a.) 1/5 b.) 1/25 c.) 1 d.) 5 e.) 25 5. Determine o 7° termo de uma PG, na qual a3=1/25 e a9=625 a.) 125 b.) 25 c.) 5 d.) 1/5 e.) 1/25 6. Numa P.G. finita com seis termos, o primeiro termo é 2 e o sexto termo é -486. Qual é a razão dessa P.G. ? a.) -2 b.) 3 c.) 2 d.) -3 e.) 4

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7. Calcular a soma dos cem primeiros termos da P.G. (10, 10, 10, ...) a.) 900 b.) 800 c.) 1.200 d.) 7.000 e.) 1000 8. Calcular a soma dos dez primeiros termos da P.G. (1,2,4,...) a.) 1.022 b.) 2.024 c.) 1.023 d.) 2.025 e.) 2035 9. Calcule a soma dos 7 primeiros termo da P.G. (5, 15,45,...) a.) 5.400 b.) 5.465 c.) 6.335 d.) 6.745 e.) 6.835 10. Calcule a soma dos 9 primeiros termo da P.G. (8,4,2,...) a.) 511 b.) 511/32 c.) 729/15 d.) 729 e.) 324 11. Calcule o limite da soma dos termos da P.G. (5, 1, 1/5, 1/25, 1/125,...) a.) 3 b.) 10 c.) 5 d.) 25 e.) 25/4 12. Calcule o limite da soma dos termos da P.G. (1, 3/10, 9/100,27/1000,...) a.) 7/10 b.) 10/7 c.) 7 d.) 10 e.) 17

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MATEMÁTICA

13. (ITA) Dada a P.G. (1, 1/2, 1/4,.,.), o limite da soma dos termos da P.G. é: a.) 21/3 b.) 2 c.) 1 + 1/2n d.) 3/2 e.) 4/3 14. (FCC) A soma dos infinitos termos da sequência (0,5; 0,25; 0,125; 0,0625;...) é: a.) indeterminada b.) 0,75 c.) 0,875 d.) 1 e.) 1,25 15. (TFC) Cinco números estão em progressão geométrica. Sabendo-se que o primeiro é igual a 2 e o último a 32, o valor do quarto número é: a.) 30 b.) 28 c.) 24 d.) 17 e.) 16 16. (CESGRANRIO) Quando três números representam termos consecutivos de uma progressão geométrica, o termo do meio corresponde à média geométrica dos outros dois. Se a sequência (x-1; x+2; 2x-4) é uma progressão geométrica crescente, o maior termo dessa progressão é igual a a.) 9 b.) 10 c.) 12 d.) 15 e.) 16 17. Três números estão em uma progressão geométrica (PG) crescente. O produto dos três é 64 e a soma deles é 14. Determine o próximo termo dessa progressão aritmética. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

1. D 2. D 3. A 16. E 17. E

4. D

5. B

6. D

7. E

GABARITO 8. C 9. B

10. B 11. E 12. B 13. B 14. D 15. E

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RACIOCÍNIO LÓGICO

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ANÁLISE COMBINATÓRIA 1. Arranjo: ordem importa Simples

An , p =

Com repetição

n! (n − p )!

An, p = n p

2. Permutação: caso particular de arranjo Simples

Com repetição

Pn, , ,... =

Pn, = n!

Circular

n! ! .  ! .  ! . ... . !

Pn = (n – 1)!

3. Combinação: a ordem não importa.

C n, p =

Simples

Com repetição

n! p! . (n − p )!

Cr = Cn+p-1,p

PASSOS PARA IDENTIFICAR SE O EXERCÍCIO É DE ARRANJO OU COMBINAÇÃO 1º Passo:Montar um exemplo com elementos diferentes. Ë importante que nesse exemplo só tenha elementos diferentes.

2º Passo:Montar um contraexemplo com os mesmos elementos do exemplo, trocando a ordem de apenas dois de lugar. Ë importante que não use elementos diferentes daqueles que usou no exemplo.

3º Passo:Se o exemplo e o contraexemplo forem diferentes, teremos um exercício de arranjo. Se forem iguais, teremos combinação.

4º Passo:Identificando que o exercício é de arranjo, É NECESSÁRIO verificar se o exercício é de arranjo mesmo ou se é de permutação.

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EXERCÍCIOS DE COMBINAÇÃO

MATEMÁTICA

1. De quantas maneiras podemos escolher um comitê de cinco pessoas dentre oito? a.) 56 b.) 20.160 c.) 336 d.) 252 e.) 250 2. Uma Pizzaria oferece as seguintes escolhas de pizza: presunto, cogumelo, pimentão, enchova e mussarela. De quantas maneiras podemos escolher dois tipos diferentes de pizza? a.) 10 b.) 120 c.) 20 d.) 25 e.) 50 3. Uma Pizzaria oferece as seguintes escolhas de pizza: presunto, cogumelo, pimentão, enchova e mussarela. De quantas maneiras podemos escolher dois tipos de pizza? a.) 10 b.) 15 c.) 20 d.) 25 e.) 50 4. Quantas comissões de 4 mulheres e 3 homens podem ser formadas com 10 mulheres e 8 homens? a.) 15.440 b.) 87.000 c.) 11.760 d.) 1.450 e.) 720 5. (AFC) Em uma empresa existem dez supervisores e seis gerentes. Quantas comissões de seis pessoas podem ser formadas, de maneira que participam pelo menos três gerentes em cada uma delas? a.) 60 b.) 675 c.) 2.400 d.) 3.136 e.) 3.631

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RACIOCÍNIO LÓGICO GABARITO 1. A 2. A

3. B

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4. C

5. D

EXERCÍCIOS DE ARRANJO/PERMUTAÇÃO 1. Um cofre possui um disco com 10 letras. A combinação do catre é formada por 3 letras, numa certa ordem. Se o dono esquecesse essa combinação, qual o nº máximo de tentativas que ele precisaria fazer para abrir o cofre? a.) 17.576 b.) 2.600 c.) 26! d.) 15.600 e.) 1.000

2. Um cofre possui um disco com 26 letras. A combinação do catre é formada por 3 letras distintas, numa certa ordem. Se o dono esquecesse essa combinação, qual o nº máximo de tentativas que ele precisaria fazer para abrir o cofre? a.) 17.576 b.) 2.600 c.) 26! d.) 15.600 e.) 10.000

3. (TFC) Em um campeonato de pedal participam 10 duplas, todas com a mesma probabilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes poderemos ter classificação para os três primeiros lugares? a.) 240 b.) 270 c.) 420 d.) 720 e.) 740

4. Quantos são os anagramas da palavra ORDEM ? a.) 120 b.) 72 c.) 720 d.) 24 e.) 48

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5. Quantos são os anagramas da palavra BANANA?

MATEMÁTICA

a.) 720 b.) 72 c.) 60 d.) 24 e.) 48

6. Quantos números distintos podemos formar permutando os algarismos do número 777.443 a.) 720 b.) 120 c.) 72 d.) 60 e.) 24

7. Quantos sócios tem um clube de ciclistas, sabendo-se que para numerá-los, foram utilizados todos os números de três algarismos que não contém 0 nem 8? a.) 56 b.) 336 c.) 40.320 d.) 512 e.) 5.125

8. 5 pessoas vão ao cinema, encontrando 5 lugares. De quantas maneiras poderão sentar-se ficando duas determinadas pessoas sempre juntas a.) 120 b.) 12 c.) 24 d.) 48 e.) 60

9. É necessário colocar 7 livros diferentes em uma estante. De quantas maneiras poderão ajeitar esses livros na estante, ficando três determinados livros sempre juntos a.) 120 b.) 144 c.) 720 d.) 5.040 e.) 2.400

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RACIOCÍNIO LÓGICO

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10. Em uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião. Nessa situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião será igual a.) 120 b.) 100 c.) 720 d.) 550 e.) 1

11. Sérgio comprou 4 garrafas de vinho diferentes para colocar em sua adega. Sabe-se que em sua adega existem 7 lugares para guardar garrafas de vinho, assim sendo de quantas maneiras ele poderá guarda as 4 garrafas que comprou? a.) 100 b.) 256 c.) 840 d.) 5.040 e.) 24

12.

A figura acima representa, de forma esquemática, a divisão territorial de uma cidade. As linhas representam as pistas e os quadrados, os terrenos. No ponto O há um pronto socorro com uma ambulância para transporte de pacientes. Considere que tenha ocorrido um acidente no ponto P e que a ambulância deva se deslocar de O para P percorrendo as pistas apenas nos sentidos norte e leste.

De quantas maneiras distintas a ambulância poderá chegar ao local do acidente? a.) 887 b.) 512 c.) 1.024 d.) 256 e.) 1.001

1. E

2. D

3. D

4. A

5. C

6. D

7. D

GABARITO 8. D 9. C

10. A 11. C 12. E

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MATRIZES Cada um dos itens de uma matriz é chamado de elemento.

Uma matriz é, em geral, representa por uma letra maiúscula do nosso alfabeto (A, B, C, ...Z), enquanto os seus termos são representados pela mesma letra, desta vez minúscula, acompanhada de dois índices (a 11 a12 a13 ... amn), onde o primeiro representa a linha e o segundo a coluna em que o elemento está localizado.

Uma representação genérica de matriz é mostrada em seguida:

     A=       

a11 a12 a13

a14 ...

a1 j

a11 a12 a13

a14 ...

a1 j

a11 a12

a13

a14 ...

a1 j

... ai1

... ai 3

... ... ... ai 4 ... aij

... ai 2

... ... ... ... ... ... a m1 a m 2 a m 3 a m 4 ... a mj

a1n   a1n  a1n   ...   ain  ...   a mn  

Chamemos esta matriz de A, e sua ordem é m x n, ou seja, m linhas e n colunas. Nela podemos observar o elemento aij, onde i representa a linha e j a coluna. Tomemos como exemplo o elemento a32 → i = 3 e j = 2. O elemento está localizado na 3ª linha e na 2ª coluna. Ainda podemos chamar esta matriz de A = (aij)m x n.

As matrizes são essenciais para o estudo de determinantes e sistemas lineares.

Linha: normalmente será representada pela i.

Coluna: normalmente será representada pela j.

Ordem: a ordem de uma matriz é quantas linhas e quantas colunas a matriz possui. Sempre nesta ordem, primeiro o número de linhas e depois o número de colunas.

Uma matriz cuja ordem é 2x2, significa que ela possui duas linhas e duas colunas.

Uma matriz cuja ordem é 3x2, significa que ela possui três linhas e duas colunas.

Elemento: são os números que ocupam os endereços que uma matriz possui. Um elemento normalmente é representada pelo notação aij. Onde é i é a parte do endereço que se refere a linha e j é a parte do endereço que se refere a coluna.

Exemplo: a23, este elemento está localizado na 2ª linha e 3ª coluna. a42, este elemento está localizado na 2ª linha e 3ª coluna.

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MATEMÁTICA

Uma matriz é um conjunto retangular de números, símbolos ou expressões, organizados em linhas e colunas.

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Exemplo: Vejamos a matriz abaixo:

7 3

A= 

4 −2  5 − 8  2 x 3

Conclusões: •

O número 7 está na linha 1 coluna 1, seu endereço é a11.

•

O número 4 está na linha 1 coluna 2, seu endereço é a12.

•

O número -2 está n alinha 1 coluna 3, seu endereço é a13.

•

O número 3 está na linha 2 coluna 1, seu endereço é a21.

•

O número 5 está na linha 2 coluna 2, seu endereço é a22.

•

O número -8 está na linha 2 coluna 3, seu endereço é a23.

Relembrando que a ordem desta matriz é 2x3, pois ela possui duas linhas e duas colunas.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1. Quantos elementos temos nessa matriz?

2. Qual é a ordem desta matriz?

3. O elemento ''6'' está em qual posição na matriz?

4. E o elemento ''4'?

GABARITO 1. 12 elementos

2. 3x4

3. a23

4. a14

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MONTANDO ELEMENTOS EM UMA MATRIZ

matriz, para conhecer quantos elementos deverá ser montado, como por exemplo 2x2.

Assim, devemos montar uma matriz 2x2 que se a regra: aij = i + 2.j Uma matriz 2x2 possui 4 elementos distribuídos em duas linhas e duas colunas. aij = i + 2.j Substituindo i = 1 e j = 1 na regra, temos: a11 = 1 + 2.1 = 1 + 2 = 3 Substituindo i = 1 e j = 2 na regra, temos: a12 = 1 + 2.2 = 1 + 4 = 5 Substituindo i = 2 e j = 1 na regra, temos: a21 = 2 + 2.1 = 2 + 2 = 4 Substituindo i = 2 e j = 2 na regra, temos: a21 = 2 + 2.2 = 2 + 4 = 6 Representando esses elementos em uma matriz, temos:

a11 a12  3 5   =   a 21 a 22  4 6 

A= 

OPERAÇÕES COM MATRIZES Igualdade de matrizes É quando duas matrizes são iguais.

Exemplo:

3 5  a b  eB=   . Se A for igual a B. descubra os valores de a, b, c e d.  c d  4 6 

Dada as matrizes: A = 

Para resolver este exercício devemos realizar a igualdade de matrizes (elas precisam ser iguais). Os elementos de mesmo endereço de cada matriz, terão os mesmos valores.

Assim, a = 3, b = 5, c = 4 e d = 6.

Em outras palavras, dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais.

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MATEMÁTICA

Para montar os elementos de uma matriz é necessário uma regra, como por exemplo, a ij= i+2.j e a ordem da

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Soma ou Subtração de matrizes Para somar ou subtrair matrizes as ordens das matrizes precisa ser iguais. Sendo iguais você irá apenas somar ou subtrair os elementos que possuem o mesmo endereço.

Exemplo:

3 5  eB= 4 6 

Dada as matrizes: A = 

2 4  3 5  . Sabendo que C = A + B. Encontre a matriz C.  

3 5  2 4   +   = 4 6  3 5 

C= 

3 + 2 5 + 4  5 9  =  4 + 3 6 + 5  7 11 

C= 

Multiplicar ou Dividir uma constante a uma matriz.

Para realizar esta operação basta multiplicar ou dividir a constante a cada elemento da matriz.

Exemplo:

3 5  . 4 6 

Dada a matriz: A = 

Sabendo que C = 4.A. Encontre a matriz C.

3 5  4.3 4.5  12 20  = =   4 6  4.4 4.6  16 24 

C=4. 

Multiplicação de matrizes O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos Para multiplicar matrizes é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual a número de linhas da segunda matriz. Caso isso não aconteça é impossível multiplica-las Exemplo: Uma matriz cuja ordem é 2x3 pode ser multiplicada por matrizes cuja a ordem é 3xalguma coisa e o resultado será 2xalguma coisa.

Uma matriz cuja ordem é 4x2 pode ser multiplicada por matrizes suja a ordem é 2xalguma coisa e o resultado será 4xalguma coisa.

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

MATEMÁTICA

1. Multiplique as ordens das matrizes e obtenha a matriz produto. a.) (2x3) . (3x1) = b.) (5x4) x (4x3) = c.) (7x1) x (1x3) = d.) (3x4) x (5x2) = e.) (3x2) x (3x2) =

GABARITO 1.

a.) (2x1)

b.) (5x4)

c.) (7x3)

d.) impossível multiplicar

e.) impossível multiplicar

Como realizar a multiplicação? É necessário pegar os elementos de uma linha da primeira matriz e multiplicar com os elementos de uma coluna da segunda matriz. Sempre respeitando primeiro com primeiro, segundo com segundo, terceiro com terceiro, e assim em diante.

O resultado de cada multiplicação precisa ser somado para obter o elemento fruto da multiplicação de matrizes.

Vamos especificar.

Se pegarmos a primeira linha da primeira matriz e multiplicarmos com a primeira coluna da segunda matriz o resultado obtido será o elemento c11 da matriz produto.

Se pegarmos a primeira linha da primeira matriz e multiplicarmos com a segunda coluna da segunda matriz o resultado obtido será o elemento c12 da matriz produto.

Se pegarmos a segunda linha da primeira matriz e multiplicarmos com a primeira coluna da segunda matriz o resultado obtido será o elemento c21 da matriz produto.

Se pegarmos a segunda linha da primeira matriz e multiplicarmos com a segunda coluna da segunda matriz o resultado obtido será o elemento c22 da matriz produto.

E assim em diante.

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Exemplo:

3 5  eB= 4 6 

Dada as matrizes: A = 

2 4  3 5  . Sabendo que C = A . B. Encontre a matriz C.  

3 5  2 4   .   4 6  3 5 

C= 

Pegando a primeira linha da primeira matriz (3,5) e multiplicando pela primeira coluna da segunda matriz (2,3), teremos (3.2 + 5.3 = 6 + 15 = 21).

C11 = 21 Pegando a primeira linha da primeira matriz (3,5) e multiplicando pela segunda coluna da segunda matriz (4,5), teremos (3.4 + 5.5 = 12 + 25 = 37).

C12 = 37 Pegando a segunda linha da primeira matriz (4,6) e multiplicando pela primeira coluna da segunda matriz (2,3), teremos (4.2 + 6.3 = 8 + 18 = 26).

C21 = 26 Pegando a segunda linha da primeira matriz (4,6) e multiplicando pela segunda coluna da segunda matriz (4,5), teremos (4.4 + 5.6 = 16 + 30 = 46).

C22 = 46

 21 37    26 46 

C= 

Tipos de Matrizes MATRIZ LINHA: é toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é irrelevante.

Exemplo: A =

0

1 3

4 1x 4

MATRIZ COLUNA: é toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é irrelevante.

0   Exemplo: A = 1    2  3 x1

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MATRIZ NULA: é toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus

MATEMÁTICA

elementos são iguais a zero. A representação de uma matriz nula é O

0  Exemplo: O = 0  0

0 0  0  3 x 2

Podendo ser representada por 03 x 2.

MATRIZ RETANGULAR: é toda matriz onde o número de linhas diferente do número de colunas.

1 2   Exemplo: A = 0 − 2   3 − 5  3 x 2

MATRIZ QUADRADA: é toda matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas.

2  Exemplo: A = 1  0

3 5 0

1 1  2 3 x 3

Elementos de uma matriz quadrada:

•

•

•

2  Diagonal Principal: é o traço localizado na matriz ao lado: 1  0 2  Diagonal Secundária: é o traço localizado na matriz ao lado: 1  0

1 1  2

3 5 0 3 5 0

1 1  2

Traço: é a soma dos elementos da diagonal principal.

MATRIZ TRIANGULAR: é toda matriz quadrada que apresenta todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal iguais a zero.

Exemplo:

2  A= 0  0

3 5 0

1 1  2 3 x 3

2  B= 8  1

0 5 3

0 0  2  3 x 3

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MATRIZ DIAGONAL: é toda matriz quadrada onde os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. Já os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não.

2  Exemplo: A = 0  0

0 0  2 3 x 3

0 5 0

MATRIZ IDENTIDADE: é toda matriz quadrada onde os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. A representação de uma matriz identidade é In, onde n é a ordem da matriz.

1  I3 = 0  0

1 0 I2 =   0 1

0 1 0

0 0 1

MATRIZ OPOSTA: Dada uma matriz A, a matriz oposta a ela é - A.

− 2 −1   2  –A = 0  − 3 5 

1 2   Exemplo: A = 0 − 2   3 − 5 

MATRIZ TRANSPOSTA: é toda matriz obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Em outras palavras a linha 1 de uma matriz se transformará em coluna 1, a linha 2 em coluna 2, e assim por diante. A representação de uma matriz transposta é At.

1 2   Exemplo: A = 0 − 2   3 − 5 

2 1

At = 

0 −2

3 − 5

MATRIZ SIMÉTRICA: é toda matriz quadrada que é igual a sua transposta A = At , ou é a matriz que apresenta a seguinte igualdade entre seus elementos aij = aji.

Exemplo de matriz simétrica:

2  A= 3  1

3 5 1

1 1  2 3 x 3

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MATRIZ ANTISSIMÉTRICA: é toda matriz quadrada oposta da simétrica A = -At, ou é a matriz que apresenta

MATEMÁTICA

a seguinte igualdade entre seus elementos aij = - aji.

Exemplo de matriz antissimétrica:

3  2  5 A = −3   1 − 1

− 1 1  2 3 x 3

MATRIZ INVERSA: é a matriz adjunta dividida pelo determinante da matriz principal. A representação de uma matriz inversa é A-1.

A . A-1 = In. ou A-1 . A = In.

 2 3  1 5

Utilizando o mesmo exemplo da matriz A = 

a c

Chamaremos de A-1 a seguinte matriz: 

b d 

A . A-1 = I2

 2 3  a 1 5 .  c   

b  1 0 = d  0 1

Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b, c, e d.

Para isso, realizaremos uma multiplicação entre matrizes e depois uma igualdade de matrizes.

2a + 3c 2b + 3d  1 0  a + 5c b + 5d  = 0 1     Ao fazer a igualdade de matrizes, cairemos em um sistema de equações para resolver e encontrar os valores de a, b, c e d.

2a + 3c = 1   a + 5c = 0 → a = − 5c Substituindo a = -5c na primeira equação temos: 2a + 3c = 1 2(-5c) + 3c = 1 -10c + 3c = 1 7c = 1 c = 1/7 Substituindo c = 1/7 em a = -5c, temos a=-5/7

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2b + 3d = 0   b + 5d = 1 → b =1 − 5d Substituindo b= 1 - 5d na primeira equação temos: 2b + 3d = 0 2(1 - 5d) + 3d = 0 2 - 10d + 3d = 0 -10d + 3d = -2 -7d = -2 d = -2/-7 d = 2/7 Substituindo d = 2/7 em b = 1 – 5d, temos: b = 1 -5.(2/7) = 1 – 10/7 = (7-10)/7 = -3/7   -1 A inversa da matriz A é A =   

5 7 −1 7

− 3 7   2  7 

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Dadas as matrizes A = aij 2x2 e B = bij 2x2.

i + j , se i = j aij =  0 , se i  j

e bij = 2i − 3 j

Determine as matrizes A e B − 1 1  1 a.) A =  eB=   − 1 − 2 0

0 2 b.) A =   eB= 4 0  2 c.) A =  0

0 eB= 4

 0 2 d.) A =   eB=  4 0 2 e.) A =  0

0 2 

− 1 1  − 4 − 2     −1 1   − 4 −2   

− 1 − 4   1 −2  

− 1 − 4  0 eB=    4  1 −2

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2. Dadas as matrizes A = aij 2x2 e B = bij 2x2.

MATEMÁTICA

i + j , se i = j aij =  0 , se i  j

e bij = 2i − 3 j

Determine as matrizes transposta de A e de B 1/ 2 1/ 8 a.) At =   0 −1 / 4

 e Bt = 1 / 2 −1 / 8   0 1/ 4     

0 2 t  eB= 4 0  

b.) At = 

− 1 1  − 4 − 2   

2 0   −1 1  t  eB =   0 4    − 4 −2 

c.) At = 

d.) At =  0

 4

2  e Bt = − 1 − 4   1 −2 0   

1 / 2 − 1 / 8  t e.) At =   eB = 0 1 / 4  

1 / 2 − 1 / 8  0 1 / 4  

3. Dadas as matrizes A = aij 2x2 e B = bij 2x2.

i + j , se i = j aij =  0 , se i  j

e bij = 2i − 3 j

Determine as matrizes inversas de A e de B 1/ 2 1/ 8 a.) A-1 =   0 −1 / 4

 e B-1 =  

1 / 2 −1 / 8   0 1/ 4   

0 2 − 1 1  e B-1 =    4 0  − 4 − 2 

b.) A-1 = 

2 c.) A-1 =  0  0 d.) A-1 =   4

0  −1 1  e B-1 =    4  − 4 −2  2  − 1 − 4  e B-1 =    0   1 −2

1 / 2 0  -1  eB = 0 1 / 4  

e.) A-1 = 

− 1 / 3 2 / 3  − 1 / 6 − 1 / 6   

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4. Dadas as matrizes A = aij 2x2 e B = bij 2x2.

i + j , se i = j aij =  0 , se i  j

e bij = 2i − 3 j

Determine A + B a.)  1 − 4  0 −2 



b.)  3

4  − 1 6 

−1 4  c.)   − 1 2  −2 −6  d.)    4 −8 

 1 −4  e.)    1 2 

5. Dadas as matrizes A = aij 2x2 e B = bij 2x2.

i + j , se i = j aij =  0 , se i  j

e bij = 2i − 3 j

Determine A - B a.)  1 − 4  0 −2 



b.)  3

4  − 1 6 

−1 4  c.)   − 1 2  −2 −6  d.)    4 −8 

 1 −4  e.)   − 1 2 

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6. Dadas as matrizes A = aij 2x2 e B = bij 2x2.

MATEMÁTICA

i + j , se i = j aij =  0 , se i  j

e bij = 2i − 3 j

Determine A . B a.)  1 − 4   0 −2   

b.)  3

4  − 1 6 

−1 4  c.)   − 1 2  −2 −8  d.)    4 −8 

 1 −4  e.)   − 1 2 

7. Dada a matrizes A = aij 2x2.

i + j , se i = j aij =  0 , se i  j Determine 3A a.)  − 2 − 8   2 −4   

b.)  5

4  − 1 10   

c.)

6 0   0 12   

d.)  − 2 − 6  4 −8 

e.)



 1 −4  − 1 2   

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8. Dada a matriz B = bij 2x2.

bij = 2i − 3 j .

Determine 2B −2 −8  a.)    2 −4 

 5 4  b.)   − 1 10  6 0  c.)    0 12 

d.)  − 2 − 6  4 −8 



 1 −4  e.)   − 1 2 

9. Dadas as matrizes A = aij 2x2 e B = bij 2x2.

i + j , se i = j aij =  0 , se i  j

e bij = 2i − 3 j

Determine 2A - B −2 −8  a.)    2 −4 

 5 4  b.)   − 1 10  6 0  c.)    0 12 

d.)  − 2 − 6  4 −8 



 1 −4  e.)   − 1 2 

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10. Dadas as matrizes A = aij 3x3 e B = bij 3x3.

0

2 0

 6

6

2

0 4

 0

0

a.) A =  4 

b.) A =  0 

e bij = 2i − 3 j . Determine as matrizes A e B

2  −1 − 4 − 7  eB=   4   1 − 2 − 5  3 0 − 3  0 

1 3  −1 0  −4 −2  e B = 0  0   − 7 − 5 − 3  6 

2

0

 0

0

0 0  6 

0

2

 6

c.) A =  0 4

 −1 − 4 − 7 

eB=    1 − 2 − 5  3

0

− 3 

2

 −1

1

6

0 

 − 7 − 5

3 0  − 3 

0

2 0

 6

6

2  1  1 e B =  4   3 0 

d.) A =   e B =  −4 −2  4 0 4 

e.) A =  4 

MATEMÁTICA

i + j , se i = j aij =  0 , se i  j

4 2 0

7 5  3 

11. Dadas as matrizes A = aij 3x3 e B = bij 3x3.

i + j , se i = j aij =  0 , se i  j 0

2 0

 6

6

2

0 4

 0

0

a.) A =  4 

b.) A =  0 

2  −1 − 4 − 7  eB=   4   1 − 2 − 5  3 0 − 3  0 

0 1 3  −1  0  e B =  − 4 − 2 0    − 7 − 5 − 3  6 

2

0

 0

0

0 0  6 

0

2

 6

c.) A =  0 4

e bij = 2i − 3 j . Determine as matrizes transposta de A e de B

 −1 − 4 − 7 

e B =  1 − 2 − 5    3

0

− 3 

2

 −1

1

6

0 

 − 7

−5

3 0  − 3 

0

2 0

4 2

 6

6

2  1 e B =   1 4   3 0 

d.) A =   eB=  4 0 4   −4 −2

e.) A =  4 

0

7 5  3 

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12. Dadas as matrizes A = aij 3x3 e B = bij 3x3.

i + j , se i = j aij =  0 , se i  j

e bij = 2i − 3 j . Determine A - B

 − 2 − 8 − 14 

a.)  4 − 8 − 20     18

0 − 18 

 −2

8 −8

6 0   − 42 − 30 − 18 

b.)  − 16 

 3

4 6

 − 3

0

c.)  − 1   1

d.)  − 1 

 − 3

 1

e.)  1 

 3

7 5  9 

−4 −7  2 − 1  0 3 

−4 −7  2 5  0 3 

13. Dadas as matrizes A = aij 3x3 e B = bij 3x3.

i + j , se i = j aij =  0 , se i  j

e bij = 2i − 3 j . Determine A . B

 − 2 − 8 − 14 

a.)  4 − 8 − 20     18

0 − 18 

 −2

8 −8

6 0   − 42 − 30 − 18 

b.)  − 16 

 3

4 6

 − 3

0

c.)  − 1   1

d.)  − 1 

 − 3

 1

e.)  1 

 3

7 5  9 

−4 −7  2 − 1  0 3  −4 −7  2 5  0 3 

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82

i + j , se i = j . Determine 3A 0 , se i  j

0 a.)  4   6

2 0

6 b.)  0   0

0 12

0 c.)  4   6

2 0

 0 d.)  12   18

6 12  18 0 

0 e.)  2   3

1 0

MATEMÁTICA

14. Dada a matriz A = aij 3x3. aij = 

2 4  0 

6

0 0  18 

0

2 4  0 

6

6 0

1 2 0

3

15. Dada a matriz B = bij 3x3. bij = 2i − 3 j . Determine 2B  − 2 − 8 − 14 

a.)  2 − 4 − 10     6

− 6 

0

 −1 − 4 − 7  b.)  1 − 2 − 5     3 0 − 3   1

4 2

 − 3

0

 2

8 4

 − 6

6

c.)  − 1 

d.)  − 2 

0

1 0

 3

3

e.)  2 

7 5  3  14  10  6  1 2 0

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16. Dadas as matrizes A = aij 3x3 e B = bij 3x3.

i + j , se i = j aij =  0 , se i  j

e bij = 2i − 3 j

Determine 2A - B  0

a.)  8 

4 8  0 

4 0

 12 12

 −1 − 4 − 7 

b.)  1 − 2 − 5     3

0

− 3 

 1

4 2

 − 3

0

7 5  3 

 5

4 10

 − 3

0

 −1

0 −3 3  12 − 3 

c.)  − 1 

d.)  − 1 

7 5  15 

e.)  7 − 2   9

17. Determine os valores de x, y, z na igualdade abaixo, envolvendo matrizes reais 2x2

0 0   0 x   x − y 0   z − 4 0   x 0  .  0 0  =  x z  +  y − z 0         a.) 2, 4 e 5 b.) 2, 2 e 4 c.) 2, 3 e 5 d.) 2, 2 e 5 e.) 2, 4 e 6

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84

18. Escrever na forma de tabela. Uma matriz 3x2 definida por

MATEMÁTICA

aij =

2i - j , se i = j i + j, se i  j  2

0

− 1

1 

a.) A =   − 3 4   2

3 

b.) A =    0 4  − 1 − 1 

1

3 

 4

5 

c.) A =    3 2 

2 0 − 1 d.) A =   3 4 1 

 2 0 − 1

e.) A =   − 3 4 1 

19. Escrever na forma de tabela. Uma matriz real quadrada de ordem 2, definida por bij =

2i + j , se i < j i2 + 1, se i  j

a.) B =  2 5

8 5 

5 4  b.) B =   − 1 10 

c.) B =  5 5  8 2 



2 5 d.) B =    8 5   1 −4  e.) B =   − 1 2 

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Prof. Sérgio Altenfelder  x 1  2 y  3 + =    2 0 −1  z

20. Da equação matricial:  1

2 . Calcule x, y, z e t t  

a.) 1, 4, 3 e 5 b.) 1, 2, 3 e 5 c.) 1, 2, 3 e 4 d.) 1, 1, 1 e 1 e.) 1, 2, 3 e 4

1 0  2 − 1  21. Dadas as matrizes: A =  eB=   . O valor de (2B –1/2A)  0 1  3 2   1 −1 / 2  a.)    3/ 2 1 

 1 b.)   − 3/ 2

1/ 2  1 

 1 c.)   −3/ 2

1/ 2  3 

 −1 d.)   −1 / 2

1/ 2  3 

1/ 8  1 / 2 e.)    0 − 1/ 4 

a 2 − 2 22. Sejam X =   4a

 2 − 2a  eY=   − 2 + a 2  − 8

4 , onde a  R. Se X = Y, então: 2 

a.) a =2 b.) a =-2 c.) a =1/2 d.) a =-1/2 e.) a =3/2

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86

 25 

 5 

 −1 

 13 

 3 

 − 1 

MATEMÁTICA

23. Sejam A =  12  , B =  − 8  e C =  10  , então a matriz X , tal que: A + B – C – X = 0 é        31 

a.)    −6   17 

 17 

b.)    −6   31 

c.)

 − 31   −6    − 17 

 21 

d.)    −6   17 

e.)

 31   0     17 

5 1 2 24. Sendo A =  e B =   , obtenha a matriz X tal que A.X = B  3  0 1   −1  a.) A =    3 

 − 5   3

b.) 

 −5    −3 

c.) 

 − 3   3

d.) 

 3    −1 

e.) 

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RACIOCÍNIO LÓGICO

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1 25. Sendo A = 1 2 4  e B =   , o elemento c21 da matriz C = A – B é  2 3 4 6    3 

a.) 29 b.) 36 c.) 20 d.) 49 e.) não existe

3 0  26. Dadas as matrizes: A =   eB= 1 − 4 

2 1  − 1 0  . Então (A.B – B.A) é igual a:  

a.)  2 − 2   0 −2   

b.)  − 1 7   9 

1 

c.)  − 3 1   2 

7 

d.)  1 0   0 

1 

e.)  2 − 3  5 

0 

27. Dadas as matrizes: M =  1

0

2 e N =  2 0  . Então (M.N – N.M) é igual a: 1 1 1   

a.)  2 − 2   0 −2   

b.)  − 1 7   9 

1 

c.)  − 3 1   2 

7 

d.)  1 0   0 

1 

e.)  2 − 3  5 

0 

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matriz é: a.) –2 b.) –1 c.) 0 d.) 1 e.) 6

29. Se A é a matriz  1 2  , então A2 é  0 −1   

a.)

 2 −2   0 −2   

b.)  − 1 7   9 

1 

c.)  − 3 1  2 7 



 1 0  d.)    0 1 

2 e.)  5

−3 0 

3 1   y 30. Calcule X e Y para a igualdade A = B dado: A =   eB=  4 4 x   

x 1 

a.) x= –2 e y = –1 b.) x= 2 e y = –1 c.) x= 3 e y = –1 d.) x= –2 e y = 3 e.) x= 1 e y = 3

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MATEMÁTICA

1 a  2 3  4 3 28. Multiplicando  .  obtemos     . O produto dos elementos a e b da primeira b 2  1 0   2 0

RACIOCÍNIO LÓGICO

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31. Calcule X, sendo que X = At + Bt. Onde A = 2 3 

a.)  3

5 3 

b.)  3

4  3 

c.)  6

12  3 

4 

 5 

 9 

4 e B =  1 1 1  

1 2

d.)  7 12  9 4 

3 e.)  3



4 2 

2 32. Dado A =  3 a.)  3

5 3 

b.)  3

4  3 

c.)  6

12  3 

4

 5

 9

4 . Calcule X, sendo que X = 3.A + I2 1

d.)  7 12  9 4 

3 e.)  3



4 2 

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90

33. Dadas as matrizes: A = 2

4 e B = 10 0 0  

3 . Calcule X, sendo que A . X = Bt 6 

MATEMÁTICA

3 

a.)  2 − 2  0 

− 2 

b.)  − 1 7   9 

c.)  1  2 

1  2  −1 

 1 0  d.)    0 1 

2 e.)  5

−3 0 

34. Considerando-se as matrizes:  1 1 2 4 A=  eB=  . 3 1  1 2  

A soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a: a.) –10 b.) –2 c.) 1 d.) 2 e.) 10

GABARITO 1. E

2. C

3. E

4. E

5. B

6. D

7. C

8. A

9. B

10. C 11. B 12. C 13. A 14. B

15. A 16. D 17. B 18. C 19. A 20. D 21. B 22. B 23. A 24. A 25. E 26. B 27. A 28. C 29. D 30. E 31. B 32. D 33. C 34. B

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RACIOCÍNIO LÓGICO

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DETERMINANTES A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: •

Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;

•

Cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas

dos seus vértices; Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

Temos 4 métodos para calcular o determinante de uma matriz quadrada:

1º MÉTODO: USADO PARA MATRIZES DE 1ª ORDEM. Determinante de 1ª ordem Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem A=[a11], o seu determinante é o número real a11: Det(A) =|a11| = a11

Exemplos: A = [5] |A| = det(A) = 5

B = [-3] |B| = det(B) = -3

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92

2º MÉTODO: USADO PARA MATRIZES DE 2ª ORDEM.

a11 a12   , de ordem 2, para calcular o determinante desta matriz, o aluno deverá usar o a 21 a 22 

Dada a matriz A = 

seguinte procedimento: Subtrair o produto dos elementos da diagonal principal do produto dos elementos da diagonal secundária |A| =

a11 a12 a 21 a 22

= a11.a 22 − a12 .a 21

Exemplos:

| A | = det( A ) =

8

6

5

4

| B | = det(B ) =

8

6

5 3

= 8.4 – 6.5 = 32 – 30 = 2

= 8.3 – 6.5 = 24 – 30 = -6

3º MÉTODO: USADO PARA MATRIZES DE 3ª ORDEM. Determinante de 3ª ordem O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.

a11 a12 Acompanhe como aplicaremos essa regra para A = a 21

a31

a13

a 22 a 23 . a32 a33 a11 a12

a13 a11 a12

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: a 21

a 22 a 23 a 21 a 22

a31

a32 a33 a31 a32

2º passo: Somar o produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal

a11 a12

a13 a11 a12

a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a31

a32 a33 a31 a32

a11.a 22 .a33 + a12 .a 23 .a31 + a13 .a 21.a32

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93

MATEMÁTICA

Determinante de 2ª ordem

RACIOCÍNIO LÓGICO

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3º passo: Somar o produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:

a11 a12

a13 a11 a12

a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a31

a32 a33 a31 a32

a13 .a 22 .a31 + a11.a 23 .a32 + a12 .a 21.a33 4º passo: o valor obtido no 2º passo deverá ser subtraído do valor obtido no 3º passo: Exemplos:

4 1 5 | A| = 5 2 4 2 1 3

4 1 5 5 2 4

4 1 5 2

2 1 3

2 1

4.2.3 + 1.4.2 + 5.5.1= 24 + 8 + 25 = 57

4 1 5 5 2 4

4 1 5 2

2 1 3

2 1

5.2.2 + 4.4.1 + 1.5.3 = 20 + 16 + 15 = 51

|A| = det(A) = 57 – 51 = 6

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94

Propriedades dos determinantes Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

2.

Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

3.

Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo: A=

1 2 2 4

= 1.4 – 2.2 = 4 – 4 = 0

Repare que a segunda coluna é o dobro da primeira coluna. Logo, esta matriz apresenta duas filas paralelas proporcionais. Sendo assim, o determinante desta matriz é zero.

4.

Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.

5.

Multiplicando ou dividindo por um número real todos os elementos de uma fila de uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado ou dividido por esse número.

6.

Multiplicando ou dividindo uma matriz por uma constante a nova matriz terá o seguinte determinante: |k.A| = kordem . |A|

7.

Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

Exemplos:

4 1 5 a.) | A | = 0 2 4 0 0 3

= 4.2.3 = 24

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95

MATEMÁTICA

1.

RACIOCÍNIO LÓGICO

4 0 b.) | B | = 5 2 4 1

8.

0 0

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= 4.2.3 = 24

3

Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por (-1).

Exemplos:

0 a.) | A | = 0 1

0 2 0

5 4 = (-1).5.2.1 = -10 3

4 1 −1 b.) | B | = 5 2 0 = (-1).(-1).2.4 = 8 4 0 0

9.

O determinante de uma matriz e o de sua transposta é igual. |A| = |At|

10.

O determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz principal.

|A-1| =

1 | A|

Curiosidades: •

Se a matriz principal possui determinante igual a zero, dizemos que a matriz é singular ou não inversível.

•

11.

Se a matriz principal possui determinante diferente de zero, dizemos que a matriz é inversível.

O determinante do produto de duas matrizes nada mais do que o produto dos determinantes das matrizes individuais. |A.B| = |A| . |B|

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96

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

MATEMÁTICA

1. O determinante da matriz A = 1 2 é: 5 7 



a.) 18 b.) 14 c.) 0 d.) –3 e.) –1 2. Calcule o determinante da matriz At. A= 1 2 5 7   

a.) 18 b.) 14 c.) 0 d.) –3 e.) –1 3. Calcule o determinante da matriz A-1.

A = 1 2 5 7 



a.) 1/3 b.) –1/3 c.) 0 d.) –3 e.) –1 4. Calcule o determinante da matriz A2.

A = 1 2 5 7 

a.) 1/3 b.) –1/3 c.) 9 d.) –3 e.) 27

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RACIOCÍNIO LÓGICO

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5. Calcule o determinante da matriz A3.

A = 1 2 5 7   

a.) 1/3 b.) 27 c.) 9 d.) –3 e.) –27 6. O determinante da matriz A = − 4 − 3 

6 é: 1 

a.) 18 b.) 14 c.) 0 d.) –3 e.) –1 3 7. O determinante da matriz A=  0

0 é: 6 

a.) 18 b.) 14 c.) 0 d.) –3 e.) –1 8. O determinante da matriz A =  12

− 94 

0  é: 0

a.) 3 b.) 1 c.) 0 d.)–2/3 e.) –1

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98

9. Determine o valor de x da matriz  x 2x + 1 de modo que o determinante se anule: 3 

MATEMÁTICA

1

a.) 3 b.) 1 c.) 0 d.)–2/3 e.) –1

 3x x − 1 10. Determine o valor de x da matriz   de modo que o determinante seja igual a 3:  1 x  a.) 3 ou –3/4 b.) 1 ou 5/3 c.) 0 ou 4/3 d.) 1 ou –2/3 e.) 1 ou 0 1

2 9

0

8

11. O valor do determinante A =  5

3 é: 4  7 

a.) -59 b.) 81 c.) 0 d.) 21 e.) –1  0

12. O determinante A=  − a   − b

a 0 −c

b c  é: 0 

a.) -59 b.) 81 c.) 0 d.) 21 e.) –1  4

3

 − 5

0

13. O valor do determinante A =  − 2 − 2 

1 é: 3 2

a.) –59 b.) 81 c.) 0 d.) 21 e.) –1

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99

RACIOCÍNIO LÓGICO

Prof. Sérgio Altenfelder 1

2 1

 4

3

14. O valor do determinante A =  2 

1 5 é: 2 

a.) -59 b.) 81 c.) 0 d.) 21 e.) –1 1

2 1

 4

3

1

2 1

 4

3

1 5 2 

15. Calcule o valor do determinante da transposta da matriz A =  2

1 5 2 

a.) –1/21 b.) -21 c.) 1/21 d.) 21 e.) –1/21

16. Calcule o valor do determinante da inversa da matriz A =  2 a.) –1/21 b.) -21 c.) 1/21 d.) 21 e.) –1/21

1

17. Calcule o valor do determinante da matriz A2, sendo que A =  2   4

1 5 3 2 

2 1

a.) 0 b.) -21 c.) 441 d.) 21 e.) –1

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100

2 −1 3  e B=    . O valor de x para o qual o determinante da matriz A . B 4  x 2

se anule é: a.) 3 b.) 1 c.) 0 d.)–2/3 e.) –1 24. Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j – 2i, o determinante da matriz A é a.) 0 b.) 1/2 c.) –1/2 d.) 2 e.) –2 25. Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j – 2i, o determinante da matriz At é a.) 0 b.) 1/2 c.) –1/2 d.) 2 e.) –2 26. Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j – 2i, o determinante da matriz A-1 é a.) 0 b.) 1/2 c.) –1/2 d.) 2 e.) –2 3 27. Determine os valores de x para que o determinante da matriz  4   5

3 4 x

x 4  seja nulo 5

a.) –3 ou 5 b.) 3 ou 5 c.) -3 ou -5 d.) –5 ou -3 e.) 0 ou 0

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101

MATEMÁTICA

1 23. Sejam as matrizes A=  3

RACIOCÍNIO LÓGICO 2 28. A equação  4  n

1 −1 0

Prof. Sérgio Altenfelder 3  n − 1 = 12 tem conjunto verdade igual a: n 

a.) –6 ou 2 b.) –2 ou 6 c.) 2 ou 6 d.) –6 ou 6 e.) –2 ou 2

x  29. Resolver a equação  3  1

1 x 3

x 4  = -3 3

a.) 1 ou 3 b.) –1 ou 2 c.) 2 ou 4 d.) -2 ou 4 e.) -1/2 ou 2

30. Dadas as matrizes:  1 2 2  a A=  ;B=   eX=   . 0 1   b  1 

Assinale os valores de a e b, de modo que A.X=B a.) a = 0 ou b = 1 b.) a = 1 ou b = 0 c.) a = 0 ou b = 0 d.) a = 1 ou b = 1 e.) a = 0 ou b = -1

31. A matriz A, quadrada de terceira ordem, tem seus elementos aij = i + j. calculando det(A), tem-se: a.) -104 b.) 0 c.) 104 d.) 28 e.) 168

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102

32. A soma dos elementos da diagonal principal da matriz resultante do produto das matrizes:

3 1 4

2  2  4  .  0 0  − 1

0 1 3

MATEMÁTICA

1 3   2

−1  3  é: − 2 

a.) -10 b.) 3 c.) 13 d.) 20 e.) 23

33. O valor de um determinanate é 35. Multilpicando-se sua primeira linha por 5 e dividindo-se sua quarta coluna por 7, o valor do novo determinante é: a.) 35 b.) 25 c.) 5 d.) 7 e.) 15

34. Seja A uma matriz quadrada (3x3), tal que |A| = 10. O valor do determinate de 2.A é: a.) 80 b.) 10 c.) 30 d.) 60 e.) 20

35. Seja A uma matriz quadrada (2x2), tal que |A| = 10. O valor do determinate de 3.A é: a.) 20 b.) 10 c.) 60 d.) 30 e.) 90

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103

RACIOCÍNIO LÓGICO

1 2 36. Se 6 9 x y

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3 x y 12 = − 12 , então 2 3 z 1 2

z 4 será igual a: 3

a.) -4 b.) -4/3 c.) 4/3 d.) 12 e.) 4

39. Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por -3, o determinante da matriz fica: a.) Multiplicado por -1. b.) Multiplicado por -16/81. c.) Multiplicado por 2/3. d.) Multiplicado por 16/81. e.) Multiplicado por -2/3.

 2 1  .  0 1

40. Dada a matriz A = 

O determinante de A5 é igual a a.) 2 b.) 10 c.) 32 d.) 50 e.) 25

41. As matrizes, A, B, C e D são quadradas de quarta ordem. A matriz B é igual a 1/2 da matriz A, ou seja: B = 1/2 A. A matriz C é igual a matriz transposta de B, ou seja: C = Bt. A matriz D é definida a partir da matriz C; a única diferença entre essas duas matrizes é que a matriz D tem como primeira linha a primeira linha de C multiplicada por 2. Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 32, então a soma dos determinantes das matrizes B, C e D é igual a a.) 6 b.) 4 c.) 12 d.) 10 e.) 8

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104

42. A matriz quadrada A, definida genericamente por A=aij, é dada por a11 = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x;

matriz antissimétrica, os valores de a21, a23, a31 e a32 deverão ser, respectivamente, iguais a: a.) 4; -2; -2; -2 b.) 4; -2; 2; -2 c.) 4; 2; -2; -2 d.) -4; -2; 2; -2 e.) -4; -2; -2; -2

1 0 4 44. O determinante da matriz 2 0 6 é: 3 0 5 a.) 0 b.) 3 c.) 5 d.) 9 e.) 15

2 45.. O determinante da matriz 2 3

0 5 1

0 0 é: 9

a.) 0 b.) 10 c.) 40 d.) 90 e.) 100 46. As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a: a.) 1/5 b.) 5 c.) 1/40 d.) 1/20 e.) 20

GABARITO 1. D 2. D 3. B 4. C 5. E 6. B 7. A 8. C 9. B 10. D 11. B 12. C 13. A 14. D 15. D 16. C 17. C 23. D 24. D 25. D 26. B 27. B 28. B 29. E 30. A 31. B 32. E 33. B 34. A 35. E 36. E 39. E 40.C 41. E 42. C 44. A 45. D 46. A

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105

MATEMÁTICA

a22 = 0; a23 = (1-z); a31 = y; a32 = 2z e, por último, a33 = 0. Desse modo, para que a matriz A seja uma

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SISTEMAS LINEARES Um sistema linear é o conjunto de equações lineares, que pode ser classificado quanto ao número de soluções.

Podemos classificar os sistemas lineares da seguinte forma: SPD – Sistema Possível e Determinado SPI – Sistema Possível e Indeterminado SI – Sistema Impossível

Discussão de Sistemas Lineares Discutir um sistema de equações não é resolvê-lo, mas sim determinar se ele possui ou não possui solução.

E quando possuir solução, se apresentará uma única solução ou várias soluções.

Regra para discutir um sistema de equações: • |D|  0 → o sistema é Possível Determinado, apresenta uma única solução.

• |D| = 0 e algum Di  0 → o sistema é Impossível, não apresenta solução.

Outro método: Após o cálculo de |D| e o valor dele é zero, se olharmos para as equações e elas não forem proporcionais, o sistema será classificado como Sistema Impossível.

• |D| = 0 e todos Di = 0 → o sistema é Possível e Indeterminado, apresenta várias soluções.

Outro método: Após o cálculo de |D| e o valor dele é zero, se olharmos para as equações e elas forem proporcionais, o sistema será classificado como Sistema Possível e Indeterminado.

Resumindo, um sistema linear pode ser: a.) possível e determinado (solução única); b.) possível e indeterminado (infinitas soluções); c.) impossível (não tem solução).

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Discuta os sistemas abaixo  a.x + 3.a. y = 0 a.)   2.x + a. y = 4

 x− y=2 b.)   2.x + a. y = b x + y =3 c.)   2.x + m. y = 6

 2.x + a. y = a  6.x − 3. y = 2

d.) 

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106

GABARITO

MATEMÁTICA

1. a.)

b.)

c.)

d.)

SPD

a≠0ea≠6

SPI

a=0

SI

a=6

SPD

a ≠ -2

SPI

a = -2 e b = 4

SI

a = -2 e b ≠ 4

SPD

m≠2

SPI

m=2

SPD

a ≠ -1

SPI

a = -1

SISTEMAS HOMOGÊNEOS Um sistema será chamado de homogêneo, quando todos os termos independentes forem iguais a zero. x − y = 0 Exemplo:  x + y = 0

Um sistema homogêneo será sempre possível, pois tem pelo menos, a solução em que todas as incógnitas são iguais a zero. Quando isso ocorre chamaremos essa solução de: solução trivial, solução nula ou ainda solução imprópria.

A discussão de um sistema homogêneo será: • |D|  0 → o sistema é Possível Determinado e a solução é todas as incógnitas serão iguais a zero, chamada de solução trivial.

• |D| = 0 → o sistema é Possível e Indeterminado e apresentará infinitas soluções, dentre elas a solução trivial.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. O sistema de equações:  3x + 4 y − z = 0   2.x − y + 3z = 0 x + y = 0 

a.) não tem solução. b.) Admite uma única solução. c.) Admite apenas a solução trivial. d.) Admite infinitas soluções. e.) Admite apenas soluções não triviais.

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107

RACIOCÍNIO LÓGICO

Prof. Sérgio Altenfelder  m.x + 3. y = 12 , tenha solução única.  4.x − y = 10

2. Qual o valor de m para que o sistema  a.) m ≠ -10 b.) m ≠ -11 c.) m ≠ -12 d.) m ≠ -13 e.) m ≠ -14

 a.x − 2. y =1 é indeterminado se:  b.x − 4. y = 2

3. O sistema  a.) a = b b.) a = 2.b c.) a = b/2 d.) a = b+2

e.) a = k.b, k  

 2.x + 3. y =1  4.x + a. y = 5

4. O sistema 

a.) é impossível se a = 6 b.) é indeterminado, qualquer que se seja a   c.) admite a solução trivial d.) é determinado, qualquer que se seja a   e.) é impossível, qualquer que se seja a  

 y = m.x + 3 tem apenas uma solução (x,y), então o parâmetro m satisfaz a  y = (2.m − 1).x + 4

5. Se o sistema  condição. a.) m ≠ 1 b.) m ≠ -1 c.) m ≠ 0 d.) m ≠ 1/2 e.) m ≠ 2

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108

6. Qual a condição necessária e suficiente para que a solução do sistema de solução linear

MATEMÁTICA

 x − 4. y = a , seja um par de números inteiros, quaisquer que sejam a e b inteiros.   6.x + k . y = b a.) k ≠ -23 b.) k ≠ 0 c.) k ≠ - 24 d.) k ≠ 23 ou k = -25 e.) k = -23 ou k ≠ -25

 a.x + y = 4 tem uma infinidade de soluções, então a soma dos parâmetros a e b vale:  x − y =b

7. Se o sistema  a.) -5 b.) -4 c.) 2 d.) 4 e.) 5

 a.x + y − z = 0

8. O sistema  x − a. y + z =1 tem uma infinidade de soluções. Então, sobre os valores dos parâmetros a  x + y = b 

e b, podemos concluir que a.) a = 1, b arbitrário b.) a = 1, b = 1 c.) a = 0, b = 0 d.) a = 1, b ≠ 0 e.) a = 0, b = 1

9. Assinale a alternativa que nos dá o valor de k para o qual o seguinte sistema não tem solução

 x + 3. y + 4.z =1   y + k .z = 2 2.x + 2.z = 3  a.) k = 0 b.) k = 1 c.) k = 2 d.) k = 5 e.) k = -1

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109

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 2.x + y − z = m 10. O sistema   3.x + 2. y − 2.z = 0 é impossível para m igual a:  x − y + m.z = 2  a.) m = 1 b.) m = 0 c.) m = -3 d.) -1< m < 1 e.) m . 10

 2.x + z =1 11. A condição que devem satisfazer os parâmetros a e b para que o sistema   a.x + 3. y + 4.a.z = 4 , não 3.x + a.z = b  tenha solução é: a.) a = b = 3/2 b.) a ≠ 3/2 e b ≠ 3/2 c.) a + b = 3/2 d.) a ≠ 3/2 e b = 3/2 e.) a = 3/2 e b ≠ 3/2

 x + a. y − 2.z = 0 12. O sistema linear  não admite solução se a for igual a:  x + y + z =1 x − y − z = 3  a.) 0 b.) 1 c.) -1 d.) 2 e.) -2

 2.x + 5. y − z = 0 13. Para que o sistema   x + 10. y − 2.z = 0 , admita uma única solução, deve-se ter: 6.x −15. y + m.z = 0  a.) m ≠ 1 b.) m ≠ 2 c.) m ≠ -2 d.) m ≠ 3 e.) m ≠ -3

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110

MATEMÁTICA

 4.x + y − z = 0

14. Verificando o sistema linear  − x − y + z =1 verificamos que ele é: 2.x − y + z = 2 

a.) homogêneo indeterminado b.) possível e indeterminado c.) impossível e indeterminado d.) possível e determinado e.) impossível e determinado

 a.x − y = 0 de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema x + 2 . a = 0 

15. Com relação ao sistema 

a.) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a b.) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. c.) tem solução não trivial para um único valor real de a. d.) tem somente a solução trivial para todo valor de a. e.) é impossível para qualquer valor real de a.

16. Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução, e é chamado de “determinado” quando a solução for única e de “indeterminado” quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, X - Y = 2 e 2X + WY = Z, pode-se afirmar que se W = -2 e Z = 4, então o sistema é: a.) impossível e determinado b.) impossível ou determinado c.) impossível e indeterminado d.) possível e determinado e.) possível e indeterminado

 x − x =2 17. Considerando o sistema de equações lineares  1 2 , pode-se corretamente afirmar que:  2.x1 + p.x2 = q a.) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. b.) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. c.) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. d.) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. e.) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível.

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111

RACIOCÍNIO LÓGICO

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 x + y + 2.z = 0 19. Para que o sistema:  x − k . y + z = 0 . Tenha solução diferente da solução x=y=z=0, k deve ser k . x − y − z = 0 

um número real tal que: a.) k = -1 ou k = 0 b.) k = 2 ou k = 1 c.) k > 1 d.) k < -1 e.) k  0  3x + 4 y − z = 0 21. Os valores de a  IR para que o sistema:  2.x − y + 3z = 0 x + y = 0 

a.) a  0 e a  -1 b.) a = 0 e a = -1 c.) a = 0 e a = 1 d.) a  1 e a  -1 e.) a  0 e a = -1

GABARITO 1. D 2. C 3. C 4. A 5. A 6. C 7. A 8. E 9. B 15. A 16. E 17. A 18. B 19. A 20. A 21. A

10. A 11. E 12. E 13. D 14. B

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112

TRIGONOMETRIA

a.)

 3

b.)

5 6

c.)

7 9

d.)

 2

e.)

 4

f.)

5 3

 6

g.) 

h.)

g.) 225º

h.)150º

i.)

9 6

j.)

7 6

2. Converter para radianos: a.) 60º

b.) 45º

c.) 30º

d.) 90º

e.) 120º

f.) 180º

i.) 270º

j.) 210º

3. Calcule: a.) sen 180º

b.) sen 360º

c.) sen 270º

d.) sen 90º

e.) sen 60º

f.) sen 30º

g.) sen 45º

h.) sen 120º

i.) sen 300º

j.) sen 330º

k.) sen 210º

l.) sen 225º

m.) sen 240º

n.) sen 150º

o.) sen 135º

p.) cos 180º

q.) cos 360º

r.) cos 270º

s.) cos 90º

t.) cos 60º

u.) cos 30º

v.) cos 45º

x.) cos 120º

z.) cos 300º

aa.) cos 330º

ab.) cos 210º

ac.) cos 225º

ad.) cos 240º

ae.) cos 150º

af.) cos 135º

ag.) tg 180º

ah.) tg 360º

ai.) tg 270º

aj.) tg 90º

ak.) tg 60º

al.) tg 30º

am.) tg 45º

an.) tg 120º

ao.) tg 300º

ap.) tg 330º

aq.) tg 210º

ar.) tg 225º

as.) tg 240º

at.) tg 150º

au.) tg 135º

av.) cotg 180º

ax.) cotg 360º

az.) cotg 270º

ba.) cotg 90º

bb.) cotg 60º

bc.) cotg 30º

bd.) cotg 45º

be.) cotg 120º

bf.) cotg 300º

bg.) cotg 330º

bh) cotg 210º

bi.) cotg 225º

bj.) cotg 240º

bk.) cotg 150º

bl.) cotg 135º

bm.)cossec 180º

bn.) cossec 360º

bp.) cossec 270º

bo.) cossec 90º

bq.) cossec 60º

br.) cossec 30º

bs.) cossec 45º

bt.) cossec 120º

bu.) cossec 300º

bv.) cossec 330º

bx.) cossec 210º

bz.) cossec 225º

ca.) cossec 240º

cb.) cossec 150º

cc.) cossec 135º

cd.) sec 180º

ce.) sec 360º

cf.) sec 270º

cg.) sec 90º

ch.) sec 60º

ci.) sec 30º

cj.) sec 45º

ck.) sec 120º c

l.) sec 300º

cm.) sec 330º

cn.) sec 210º

co.) sec 225º

cp.) sec 240º

cq.) sec 150º

cr.) sec 135º

4. Resolva as equações para 0  x < 2 a.) sen x =

3 2

e.) cos x = 1 2 3 i.) cotg x = 3 2 2 m.) cos x =

b.) cos x =

3 2

c.) tg x =

j.) cotg x = −

n.) sen x =

2

−

f.) sen x = − 3 2 −

d.) sen x = 1

3

g.) cos x =

3 3 2 2

−

3 3

−

2 2

k.) tg x =

o.) cos x=

3 2

3 h.) tg x = 3

2 l.) sen x = 2 2

p.) sec x =

3 3

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113

MATEMÁTICA

1. Achar em graus, as medidas:

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q.) tg x = − 3

r.) cotg x =

x.) tg x = 0

3

t.) cotg x = − 3

u.) sen x = 0

z.) cotg x = 0

aa.) sec x = 0

ab.) cossec x = 0

ac.) sen x = 1

ad.) cos x = 1

ac.) tg x = 1

ad.) cotg x = 1

ae.) sec x = 1

af.) cossec x = 1

ag.) sen x = - 1

ah.) cos x = - 1

ai.) tg x = - 1

aj.) cotg x = - 1

ak.) sec x = - 1

al.) cossec x = - 1

5. A expressão 5.cos 90º - 4.cos 180º vale 2.sen 270º - 2.sen 90º a.) 5/2 b.) –1 c.) 9/4 d.) 1 e.) 0 6. Simplificando a2.cos 180º - (a-b)2.sen 270º +2ab cos 0º , com b diferente de 0, obtém-se b2.sen 90º a.) 0 b.) 1 c.) –1 d.) 1/2 e.) -1/2

8. O valor de sen

29  4

é:

a.) − 3 3

b.)

−

1 2

c.) − d.) e.)

2 2

1 2 3 2

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114

11. (TFC) Sabe-se que o seno do dobro de um ângulo  é igual ao dobro do produto do seno de  pelo 3 2

, o seno de um ângulo de 240º é:

3 2

a.) b.)

3 2

c.)

3

d.) 2

3

e.) 3 3 19. Determine sec a, sabendo que sen a = 2 e 0 < a <  2

5

21 5

a.)

b.) 5 21 21

c.) 5 2 d.)

3 5

e.) 3 21

20. Determine cossec a, sabendo que sen a= 2 e 0 <a <  5

2

21 5

a.)

b.) 5 21 21

c.) 5 2 d.)

3 5

e.) 3 21

21. Dado cos x = 3 , calcule tg x, sabendo-se que x pertence ao 4º quadrante 5

a.) − 4 3

b.) 4 3

c.)  4 3

d.) 3 4 e.) − 3 4

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115

MATEMÁTICA

co-seno de . Assim, sendo o seno de um ângulo de 120º igual a

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22. Se x é um arco do 3º quadrante e cotg x = 1 , então tg x é: 3

a.) 2/3 b.) 2 c.) -2/3 d.) 3 e.) 0

23. (TFC) Se x é um arco do segundo quadrante e sen x = 4 , então cos x é: 5

a.) 5 3

b.)

−

5 3

c.)  5

3

d.) 3 5

e.) − 3 5

27. Simplificando a expressão: cos x . tg x . cossec x, obtém-se: a.) 0 b.) 1 c.) sec x d.) cos x e.) tg x

37. (AFC) qual das expressões abaixo é idêntica a:

( 1 − sen 2 x ) , obtém-se: ( cot g x . sen x)

a.) sen x b.) cos x c.) tg x d.) cossec x e.) cotg x

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116

(sen a . tg a . cos sec a) , obtém-se: (cos a . cot g a . sec a)

MATEMÁTICA

38. (TFC) Simplificando a expressão a.) 0 b.) 1 c.) sen2 a d.) sec2 a e.) tg2 a

GABARITO 1. a.) 60º i.) 270º

b.) 150º j.) 210º

c.) 140º

d.) 90º

e.) 45º f.) 300º

2. a.) /3 i.) 3/2

b.) /4 j.) 7/6

c.) /6

d.) /2

e.) 2/3

c.) –1 j.) -1/2 q.) 1 z.) 1/2 ag.) 0 am.) 1 at. -3/3 bb.) 3/3 bi.) 1 bo.) -1

d.) 1 e.) 3/2 f.) 1/2 g.) 2/2 k.) -1/2 l.) -2/2 m.) -3/2 n.) 1/2 r.) 0 s.) 0 t.) 1/2 u.) 3/2 aa.) 3/2 ab.) -3/2 ac.) -2/2 ad.) -1/2 ah.) 0 ai.) não existe aj.) não existe an.) -3 ao.) -3 ap.-3/3 aq.) 3/3 au.) -1 av.) não existe ax.) não existe bc.) 3 bd.) 1 be.) -3/3 bf.) -3/3 bj.) 3/3 bk.) -3 bl.) –1 bm.) não existe bp.) 1 bq.) 23 br.) 2 bs.) 2 bt.) 23 3 3 ca. -23 3 ce.) 1 cf.) não existe cg.) não existe

3. a.) 0 b.) 0 h.) 3/2 i.) -3/2 o.) 2/2 p.) -1 v.) 2/2 x.) -1/2 ae.) -3/2 af.) -2/2 ak.) 3 al.) 3/3 ar.) 1 as.) 3 az.) 0 ba.) 0 bg.) -3 bh.) 3 bn.) não existe bu.) -23 3 cb.) 2 ch.) 2 cj.) 2 cn.) -23 3

bv.) -2

bx.) -2

cc.) 2 ci.) -23 3 ck.) -2

cd.) -1

co.) -2

cp.) -2

4.

a.) 60º ou 120º e.) 60º ou 300º i.) 60º ou 240º m.) 45º ou 315º q.) 120º ou 300º x.) 0º ou 180º ac.) 90º ae.) 0º ai.) 135º ou 315º

5. B

6. B

8. C

cl.) 2

cm.) 23 3 cq. -23 3

b.) 30º ou 330º f.) 240º ou 300º j.) 120º ou 300º n.) 225º ou 315º r.) 30º ou 210º z.) 90º ou 270º ad.) 0º af.)90º aj.) 135º ou 315º

f.) 

g.) 180º

h.) 30º

g.) 5/4

h.) 5/6

cr.) -2

c.) 60º ou 240º g.) 120º ou 240º k.) 150º ou 330º o.) 135º ou 225º t.) 150º ou 330º aa.) não existe ac.) 45º ou 225º ag.) 270º ak.) 180º

d.) 30º ou 150º h.) 30º ou 210º l.) 45º ou 135º p.) 30º ou 330º u.) 0º ou 180º ab.) não existe ad.) 45º ou 225º ah.) 180º al.) 270º

11. A 19. B 20. C 21. A 22. D 23. E 27. B 37. B 38. E

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117

RACIOCÍNIO LÓGICO

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GEOMETRIA 1. (TFC) Considere um círculo com 1,1 cm de diâmetro e um quadrado com 1cm de lado. A área do círculo: a.) é maior do que o dobro da área do quadrado. b.) é  vezes a diagonal do quadrado. c.) é o dobro da área do quadrado. d.) é igual a área do quadrado. e.) é menor do que a área do quadrado.

2. (TTN) Uma pessoa pretende medir a altura de um poste baseado no tamanho de sua sombra projetada ao solo. Sabendo-se que a pessoa tem 1,80m de altura e as sombras do poste e da pessoa medem 2 m e 60 cm respectivamente, a altura do poste é: a.) 6,0 b.) 7,0 c.) 8,0 d.) 6,5 e.) 7,5 3. Uma escada apoia-se num muro do qual seu pé dista 6 m está a uma altura de 8 m do solo. Qual o comprimento da escada a.) 16 b.) 15 c.) 11 d.) 14 e.) 10

4. (AFC) Em um triângulo retângulo, um cateto mede 5 cm e o comprimento da hipotenusa é igual ao comprimento do outro cateto mais 1 cm. O perímetro do referido triângulo é: a.) 13cm b.) 17cm c.) 20cm d.) 30cm e.) 42cm

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5. Uma rodovia será construída para ligar duas cidades A1 e A2, sendo que está última localiza-se a

impede a construção da rodovia em linha reta. Para contornar a lagoa, a estrada deverá ser feita em dois trechos, passando pela cidade A3, que está a 16 Km a leste e 17 Km ao sul de A1. O comprimento, em Km, do trecho entre a cidade A3 e a cidade A2 é igual a: a.) 2 b.) 5 c.) 4 d.) 6 e.) 7

6. Dois ciclistas partem de uma cidade em direção reta, um em direção leste e outro em direção norte.

Determinar a distância que os separa depois de 2 horas. Sabendo que a velocidade dos ciclistas são de 30 Km/h e 45 Km/h respectivamente. a.) 30.13 b.) 30 c.) 45.3 c.) 71.2 e.) 50.2 7. Em um triângulo retângulo, um dos catetos forma com a hipotenusa um ângulo de 450. Sendo a área do triângulo igual a 8 cm2, então a soma das medidas dos catetos é igual a: a.) 8 cm2 b.) 16 cm c.) 4 cm d.) 16 cm2 e.) 8 cm

8. (AFC) Considere as seguintes razões: m1 = razão entre a circunferência e o diâmetro, em um círculo de raio igual a 6 cm. m2 = razão entre a circunferência e o diâmetro, em um círculo de raio igual a 9 cm.

Então: a.) m2 = 0,5.m1 b.) m2 = m1 c.) m2 = 1,5.m1 d.) m2 = .m1 e.) m2 = 1,5..m1

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20 Km a leste e 20 Km ao sul de A1. No entanto, entre essas duas cidades, existe um grande lagoa que

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9. Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500 Km sobre uma pista circular de raio 200m. O número de voltas, aproximado, que ele deve dar é: a.) 100 b.) 200 c.) 300 d.) 400 e.) 500 10. Se uma pessoa der 4 voltas em torno de um canteiro circular de 3m de diâmetro, essa pessoa percorrerá: a.) 12 b.) 15 c.) 16 c.) 18 e.) 35 11. Num retângulo, a altura mede 3/4 da base. Se a área desse retângulo é 9 m 2, então seu perímetro em metros é: a.) 7.3 b.) 2.3 c.) 7/2 c.) 42 e.) 60 12. Num retângulo, a altura é o triplo da base. Se o perímetro desse retângulo é 24 cm. A área dele é, em cm2 de: a.) 9 b.) 3 c.) 27 d.) 54 e.) 60 13. Dois quadrados são tais que a área de um deles é o dobro da área do outro. A diagonal do menor é 4. A diagonal do maior é: a.) 8 b.) 6 c.) 6.3 d.) 4.3 e.) 4.2

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14. Se a altura de um triângulo equilátero mede 5 cm, então o perímetro do triângulo é igual é:

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a.) 15.2 b.) 10.2 c.) 10.3 c.) 15.3 e.) 20.5 15. Se a altura de um triângulo equilátero mede 3 m, então a área do triângulo é igual é: a.) 15.2 b.) 5.3 c.) 10.3 c.) 15.3 e.) 3.3 16. O lado de um quadrado mede 4 cm. A diagonal desse quadrado tem a mesma medida da altura de um triângulo equilátero. A área desse triângulo é, em cm2 igual: a.) 8. 2 b.) 4. 12 c.) 128 3 d.) 32.3 3 e.) 64.3 3 17. (TTN) Um triângulo isósceles tem um perímetro de 32 cm e uma altura de 8 cm com relação à base (isto é, com relação ao lado diferente dos demais). A área do triângulo é a.) 24 cm2 b.) 16 cm2 c.) 100 cm2 d.) 48 cm2 e.) 96 cm2 18. (GDF) A carga de uma caneta esferográfica – um reservatório cilíndrico – tem 2 mm de diâmetro e 10 cm de altura. Se forem gastos mais ou menos 10 mm3 de tinta por dia, a carga vai durar quantos dias? (=3,14) a.) 28 b.) 30 c.) 31 d.) 35 e.) 40

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19. (AFC) Sabe-se que o volume de um cubo cujas arestas medem 1m é igual a 1000 litros. Um reservatório tem a forma de um prisma reto retangular cuja base, em seu interior, tem 30 m de comprimento e 10 m de largura. A quantidade de litros, a ser acrescentada para elevar o nível de líquido do reservatório em 30 cm é igual a: a.) 15 (102) b.) 25 (102) c.) 45 (103) d.) 75 (103) e.) 90 (103)

20. (AFC) Um pequeno container em forma de paralelepípedo pesa vazio 20 kg e tem como medidas externas 50 cm de altura e base retangular com 3 dm por 400 mm. Considerando que ele está cheio de uma substância homogênea que pesa 1,5 kg por litro e que ocupa o espaço correspondente a 90% do seu volume externo, o peso total do container e da substância é, em quilogramas, a.) 60 b.) 81 c.) 90 d.) 101 e.) 110 21. (TTN) Um arquiteto planejou uma caixa de água de base quadrada, para 2.000 litros de capacidade com altura igual ao dobro do lado. A execução da obra, o construtor fez o lado igual a altura planejada. Sabendo-se que a caixa de água continuou com a mesma capacidade, a nova altura mede: a.) 0,7m b.) 2m c.) 1m d.) 1,5m e.) 0,5m

GABARITO 1. E 2. A 3. E 4. D 5. B 6. A 7. E 8. B 9. D 15. E 16. D 17. D 18. C 19. E 20. D 21. E

10. A 11. A 12. C 13. E 14. C

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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 60º com a horizontal. Qual a altura da torre?

(Dados: sen60º=0,86, cos60º=0,50, tg60º=1,73).

a.) 174,5 m b.) 173,0 m c.) 86,6 m d.) 50,0 m e.) 17,45 m

2. Quando o sol está 27º acima do horizonte (ver figura, a sombra de um edifício de 90 m de altura tem que comprimento?

Dados sen 27º = 0,45; cos 27º = 0,89; tg 27º = 0,50

27º sombra a.) 140 b.) 160 c.) 150 d.) 180 e.) 170 3. Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa de 3,25 m de comprimento e  graus de inclinação, conforme a figura. Devem-se construir sobre a rampa cinco degraus de mesma altura. Se sen  = 5/13, então a altura, em metros, de cada degrau será:

a.) 0,15 b.) 0,25 c.) 0,30 d.) 0,35 e.) 0,65

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1. Uma pessoa de 1,50 m de altura, situada a 100 m de uma torre, avista o seu topo sob um ângulo de

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4. Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se, horizontalmente, 80 m do pé da encosta (conforme figura) e visualiza o topo sob um ângulo de 55º com o plano horizontal. Calcule a altura a encosta.(Dados: sen 55º = 0,81, cos 55º = 0,57e tg 55º = 1,42.

a.) 154,3 m b.) 113,6 m c.) 116,4 m d.) 138,0 m e.) 117,9 m

5. Um engenheiro deve medir a largura de um rio. Para isso, fixa um ponto A na margem em que se encontra e um ponto B na margem oposta (conforme figura). A seguir, desloca-se 40 m perpendicularmente à reta AB até o ponto C e mede o ângulo do vértice C, obtendo 44º. Qual é a largura do rio?

(Dados: sen 44º = 0,69, cos 44º = 0,71, tg 44º = 0,96)

a.) 40,6 b.) 36,7 c.) 35,0 d.) 38,4 e.) 33,7

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6. Para obter a altura de uma torre, um topógrafo instala o teodolito a 200 m do centro da base da

valor aproximado da altura da torre é:

(Dados: sen30º=0,50, cos30º=0,86, tg30º=0,57.

a.) 116 b.) 120 c.) 120,7 d.) 112 e.) 110,7

7. Assinale a alternativa que corresponde à área do triângulo abaixo

a.) 36 cm2 b.) 36.

2 cm2

c.) 39.

2 cm2

d.) 39. 3 cm2 e.) 39 cm2

GABARITO 1. A

2. D

3. B

4. B

5. D

6. A

7. E

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mesma; o ângulo indicado na figura mede 30º. Se a luneta do teodolito está a 1,7 m do solo, então o