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VENEZUELA – MANUEL MONTES – 17.782.518

Diseño de

SISTEMAS DE CONTROL en Tiempo Discreto

EJERCICIOS Método Transformación Bilineal Criterio de Estabilidad Routh Criterio de Juri

TIEMPO DE LEVANTAMIENTO

TEORÍA DE CONTROL II

La funciĂłn de transferencia de pulsos es la transformada z de la respuesta impulsiva

đ??ş đ?‘§ = đ?‘? đ?‘”(đ?‘˜) y puede ser descompuesta en fracciones parciales, cuando se conocen sus polos.

En caso de polos simples se obtiene đ?‘›

Un sistema discreto es estable si, sometido a una seĂąal de entrada de amplitud limitada, responde con una seĂąal de salida tambiĂŠn limitada.

Un sistema de tiempo discreto que es excitado por una secuencia acotada |u(k)| < c posee estabilidad de entrada/salida (en inglĂŠs BIBO1) si su respuesta impulsiva converge hacia cero para k â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;?

lim đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;&#x2DC; = 0

đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

đ??ş đ?&#x2018;§ = đ?&#x153;&#x2020;=1

đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x153;&#x2020; đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;§đ?&#x153;&#x2020;

Siendo đ?&#x2018;§đ?&#x153;&#x2020; los polos y RÎť los residuos correspondientes. Por otra parte y de acuerdo a la expresiĂłn g(k) admite el desarrollo en serie đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x153;&#x2020; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;§đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x153;&#x2020;=1

Vemos que para que g(k) converja hacia cero para k â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;?, es necesario que cada uno de los sumandos, tienda a cero, lo cual obviamente requiere que |zÎť | < 1. El mismo anĂĄlisis es igualmente vĂĄlido para polos mĂşltiples.

Hemos demostrado entonces que un sistema de tiempo discreto es estable, cuando todos los polos de la funciĂłn de transferencia de pulsos se encuentran en el interior del cĂ­rculo unitario en el plano z.

Error en Estado Permanente El error en un sistema de control es la diferencia entre el valor deseado r(t) y el valor actual c(t), de la variable controlada. El error en estado estacionario es aquel error que permanece despuĂŠs de que ha desaparecido el transitorio. đ??¸ đ?&#x2018;&#x2020; = đ?&#x2018;&#x2026; đ?&#x2018;&#x2020; â&#x2C6;&#x2019; đ??ť đ?&#x2018;&#x2020; đ??ś đ?&#x2018;&#x2020; (1) đ??ś đ?&#x2018;&#x2020; = đ??¸ đ?&#x2018;&#x2020; â&#x2C6;&#x2014; đ??ş(đ?&#x2018;&#x2020;) (2) Sustituyendo 2 en 1 đ?&#x2018;&#x2026;(đ?&#x2018; ) đ??¸ đ?&#x2018;&#x2020; = 1 + đ??ş đ?&#x2018; đ??ť(đ?&#x2018; ) El error en estado estacionario es đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; = đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; đ??¸ đ?&#x2018; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2026;(đ?&#x2018; ) = lim đ?&#x2018; â&#x2020;&#x2019;0 1 + đ??ş đ?&#x2018; đ??ť(đ?&#x2018; ) Puede observarse que el error depende: â&#x20AC;˘ De la entrada R(s) â&#x20AC;˘ De las caracterĂ­sticas del sistema de lazo abierto GH(S)

Tomando en cuenta que el error estacionario depende de las entradas, se analizaran algunas de las posibles entradas, como las son las funciones escalĂłn, rampa y parĂĄbola. Se mostraran las ecuaciones de error, la constante estĂĄtica y sus respectivas graficas Error en estado estable para una entrada ESCALĂ&#x201C;N de magnitud R1 , R(s)/ R s

La constante estĂĄtica de error de posiciĂłn Kp se define como

Su grafica

Error en Estado Permanente Error en estado estable para una entrada RAMPA.

La constante estรกtica de error de posiciรณn Kv se define como

Error en Estado Permanente Error en estado estable para una entrada PARABOLICA.

La constante estรกtica de error de posiciรณn Ka se define como

Tiempo de Levantamiento tr : es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%,del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas sub-amortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%.

Para sistemas sobre-amortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.

Sobrepaso máximo M p : es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema.

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