El Arte de Escher, la Gráfica Smith y la Geometría Hiperbólica Madhu S. Gupta Traducción: Dr. Roberto S. Murphy Arteaga
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l propósito de este artículo es señalar un enlace conceptual entre la creación artística del bien conocido artista holandés M.C. Escher (1898-1972), llamada Círculo Límite IV (grabado en madera, 1960), y la más conocida ayuda gráfica en ingeniería de microondas, llamada Gráfica Smith (1939-1944), creada por el ingeniero estadounidense P.H. Smith (1905-1987). El fundamento del arte de Escher y de la gráfica Smith se puede atribuir a la invariancia de la razón cruzada de cuatro números complejos sujetos a una transformación de Möbius en el dominio de los números complejos. Al ser medidas usando una métrica de distancia hiperbólica inducida por la razón cruzada invariante con el modelo de disco abierto del espacio hiperbólico de Poincare, las figuras geométricas visualmente diferentes del trabajo de Escher muestran periodicidad y forman un mosaico de tamaño fijo. La Gráfica Smith se puede usar como una herramienta para construir otros dibujos parecidos a los de Escher, que presentan patrones en mosaico periódicos y a la vez se perciben como una progresión infinita en el círculo unitario. A pesar de la imagen pública del ingeniero transmitida por los medios, los ingenieros se involucran, disfrutan, contribuyen, hacen posible e inspiran las bellas artes, tanto personal como profesionalmente. Esto es de esperarse, ya que la ingeniería, como el arte, requiere creatividad, disciplina, atención al detalle, y sensibilidad a la percepción humana. La vibrante frontera entre tecnología y arte ha sido ejemplificada por una gran variedad de trabajos, aparatos y exhibiciones creativas de varias formas de arte, como son la música, el drama, la fotografía, la escultura y la pintura [1]-[3]. Este artículo destaca otra frontera, aunque poco conocida, entre el arte y las herramientas tecnológicas, específicamente aquella que enlaza ciertos grabados en madera de Escher y la gráfica Smith, que permea la ingeniería de microondas. Los lectores lo pueden usar para aumentar su apreciación de ese arte, para estimular el interés en microondas entre los no-profesionales, o para crear arte similar a la de Escher ellos mismos.
Madhu S. Gupta está en la Universidad Estatal de San Diego, San Diego, CA 92182 EUA, 1 619 594 7015, mgupta@mail.sdsu.edu. Este artículo es una versión aumentada de la plática invitada dada por el autor en MIKON-2006, Cracovia, Polonia, en mayo de 2006. Más información sobre MIKON-2006 se puede encontrar en “Transnational News”, en la p. 94.
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Escher y su arte Un artista apreciado por los tecnólogos Han existido varios artistas, como sería Leonardo da Vinci, cuyo trabajo tiene un cierto atractivo y ofrece un nivel de apreciación más profundo entre el público orientado a la tecnología. Entre este tipo de artistas, uno de los favoritos del Siglo XX es Escher, cuyos trabajos han fascinado a los científicos y a los ingenieros por cerca de medio siglo. Sus trabajos han sido reproducidos en publicaciones científicas, revistas y monografías, y en las cubiertas de libros de texto, pósteres, calendarios, y en los medios populares. Una razón de su atractivo se debe al uso de Escher de figuras como poliedros regulares, diseños periódicos, imágenes en espejo, y objetos como la banda de Möbius, que son conocidos por los tecnólogos y que proporcionan un sentido de armonía y orden. Una segunda razón de su popularidad es la forma poco usual en que maneja el espacio en sus trabajos, con reflexiones, estiramiento, deformaciones, proyecciones y otras transformaciones similares, que le llaman la atención al público orientado a la tecnología. Esto es de especial importancia si consideramos que Escher no fue un matemático profesional, y ni siquiera tenía algún entrenamiento en matemáticas. Sin embargo, su manipulación intuitiva de regiones espaciales, derivada de principios estéticos, representa herramientas matemáticas sofisticadas, tales como el mapeo conformal y la geometría hiperbólica, lo que sugiere que estas operaciones no son enteramente arbitrarias en un modo abstracto, sino que están relacionadas a la percepción humana. La vida de Escher Maurits Cornelis Escher nació en Leeuwarden, Holanda, el 17 de junio de 1898, y creció con sus cuatro hermanos en Arnhem. A pesar de que su padre era un ingeniero civil, y tres de sus hermanos siguieron carreras en los campos de la ciencia y la ingeniería, él no tenía inclinaciones hacia las matemáticas y orientó sus intereses a las artes gráficas. Estudió en la Escuela de Arquitectura y Artes Decorativas de Haarlem, en donde aprendió la técnica de madera de Samuel de Mesquita. En 1922 emigró a Italia, estableciéndose en Roma, donde vivió hasta 1934. En este tiempo, produjo una gran cantidad de bocetos de paisajes y edificios del sur de Italia. En 1935 viajó a Suiza, donde vivió por dos años, seguidos de tres años en Bélgica, y finalmente en 1941, se estableció en Baarn, Holanda, donde vivió las siguientes tres décadas hasta su muerte en Octubre 2006