Analyse I_Chapitre_2_FPST_08_02_2021

Chapitre n◦ 2: Suites réelles M. Benharrat & M. Cheggag

8 février 2021

Table des matières 1

2

3

Préambule 1.1 Introduction . . . . .

1.2 Suites réelles . . . .

1.3 Exemples . . . . . .

1.4 Les suites récurrentes

. . . .

2 2 2 2 3

Quelques caractères des suites 2.1 Suites monotones . . . . . . . . .

2.2 Suites bornées : . . . . . . . . . .

2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . .

3 3 5 6

4

Les suites extraites (sous suites)

12

5

Les suites adjacentes

13

Nature d’une suite

6

6

Exercices

14

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

1

Suites convergentes . . . . . . . .

Théorèmes fondamentaux . . . . .

Critère de convergence des suites récurrentes : . . . . . . . . . . . .

Propriétés des suites convergentes : Suites divergentes . . . . . . . . .

6 8 9 10 11

ENP d’Oran-Maurice Audin

1

1 ère année FPST

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2020-2021

Préambule

1.1

Introduction

Ce cours a pour objet d’étudier l’évolution de séquences de nombres réels. Notons que de nombreux phénomènes de la vie quotidienne peuvent êtres modélisés par des suites. A titre d’exemple, on veut connaître le nombre de personnes infectées au bout de n jours par une pandémie qui touche chaque jour 10% d’une population de P habitants, sachant que P0 sont déjà atteints, on a P1 = P0 + (P − P0 ) × 0.1,

P2 = P1 + (P − P1 ) × 0.1,

P3 = P2 + (P − P2 ) × 0.1, . . . ,

Pn+1 = Pn + (P − Pn ) × 0.1,

On obtient donc une suite définie par le premier terme P0 et la relation de récurrence : Pn+1 = Pn × 0.9 + P × 0.1.

Supposons maintenant que quelqu’un a placé une somme d’argent S dans une banque et veut savoir quel sera le montant au bout de 20 ans sachant que le taux d’intérêt annuel est de 5%, on obtient alors la séquence suivante : S0 = S,

S1 = S0 + S0 × 0.05 = S0 × (1 + 0.05) ,

S2 = S1 + S1 × 0.05 = S0 × (1 + 0.05)2 , ...,

Sn = Sn−1 + Sn−1 × 0.05 = S0 × (1 + 0.05)n , Finalement, au bout de 20 ans, la somme déposée avec les intérêts cumulés sera calculée par la formule S20 = S × (1.05)20 .

1.2

Suites réelles

On appelle suite à termes réels (ou suite réelle), une famille de nombres réels indexée par N, c’est-à-dire une application u de N dans R : u : N −→ R n 7−→ u(n) = un On désigne une suite, en écrivant ses termes successifs un0 ,un1 ,un2 ,...,unm ,... où les indices n0 , n1 , n2 , ..., nm ,... sont dans l’ordre et appartiennent à un sous ensemble A de N. La suite est notée (un )n∈A⊂N ou {un }n∈A⊂N ou tout simplement (un )n . un est le terme général de la suite (un )n et un0 , un1 , un2 , ...sont ses termes.

1.3 1.

Exemples

1 n2 n∈N∗

1 est la suite de termes 1, 41 , 91 , 16 , ...

2. Les premiers termes de la suite (un )n∈N du terme général un =

n−1 n+1

sont −1, 0, 13 , 12 , 35 , ...

3. La suite (un )n∈N définie par ses premiers termes u0 = 0 et u1 = 1 et la relation un+2 = un+1 − un .

Ses premiers termes sont 1, 0, −1, −1, 0, ...

2

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1.4

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Les suites récurrentes

On peut, aussi définir une suite par une relation de récurrence.

Définition 1.1 (Les suites récurrentes). Soient (un )n∈N une suite réelle et f une fonction numérique de I ⊂ R dans I. En se donnant le premier terme un0 avec n0 ∈ N et la relation de récurrence un+1 = f (un )

pour tout n > n0 .

Les termes successif de la suite sont : un0 , un0 +1 = f (un0 ) , un0 +2 = f (un0 +1 ) = f ( f (un0 )) , un0 +3 = f (un0 +2 ) = f ( f ( f (un0 ))) , ... (un )n∈N est appelée suite récurrente.

Exemple 1.1. La suite (un )n∈N définie par :

u0 = 0 un+1 =

un +1 un +2

est une suite récurrente.

1 3 Les premiers termes de la suite (un )n∈N sont u0 = 0, u1 = , u2 = , . . .

2 5 Sans restreindre la généralité, supposons dans la suite A = N.

2

Quelques caractères des suites On rappel ci-dessous, les différents caractères des suites.

2.1

Suites monotones

1. Une suite (un )n∈N est dite croissante si et seulement si ∀n ∈ N,

un 6 un+1 ,

ou bien ∀n, m ∈ N,

m 6 n ⇒ um 6 un .

2. Une suite (un )n∈N est dite décroissante si et seulement si ∀n ∈ N,

un > un+1 ,

ou bien ∀n, m ∈ N,

m 6 n ⇒ um > un .

3. Une suite (un )n∈N est dite monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante.

4. Une suite (un )n∈N est stationnaire ou constante à partir d’un certain rang n0 si et seulement si ∀n ≥ n0 ,

un = un+1 ,

ou bien ∀n, m ∈ N,

n0 ≤ m 6 n ⇒ um = un .

3

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Remarque 2.1. Si (un )n∈N est une suite à termes strictement positifs, elle est croissante si et seulement si un+1 > 1. ∀n ∈ N, un Remarque 2.2. On dit qu’une suite (un )n∈N est strictement croissante, strictement décroissante ou strictement monotone si l’inégalité correspondante est stricte.

Exemple 2.1. .

1. La suite du terme général un = 2n2 + 1 est strictement croissante car 2 ∀n ∈ N, un+1 = 2 (n + 1)2 + 1 = 2n | {z+ 1} + 4n + 2 > un , un

sinon, vu que la suite (un )n∈N est strictement positif, on a 4n + 2 un+1 = 1+ 2 > 1. un 2n + 1 2. La suite (un )n∈N définie par le terme général un = ∀n, m ∈ N, 3. La suite du terme général un =

1 n+1

est strictement décroissante, en effet :

m 6 n ⇒ m+1 6 n+1 ⇒ n 2

1 1 6 . n+1 m+1

est croissante et non pas strictement croissante car

u0 = u1 = 0, u2 = u3 = 1, u4 = u5 = 2, ...

4. La suite du terme général un = (−1)n n’est pas monotone, c’est une suite alternée.

Théorème 2.1. Soient f : I ⊂ R −→ I x 7−→ f (x) une fonction croissante et (un )n∈N une suite récurrente avec un+1 = f (un ) . Alors (un )n∈N est une suite monotone. De plus, – Si un0 6 un0 +1 avec n0 ∈ N alors (un )n∈N est une suite croissante.

– Si un0 > un0 +1 avec n0 ∈ N alors (un )n∈N est une suite décroissante.

Exemple 2.2. On considère la suite (un )n∈N définie par la relation de récurrence ; ( u0 = −1 . √ un+1 = 1 + un , n ∈ N Étude de la monotonie de (un )n∈N : Nous avons, un+1 = f (un ) avec f (x) =

√ 1 1 + x, x ≥ 0. Puisque f 0 (x) = √ , x ≥ 0, alors f 2 1+x

est croissante sur [0, +∞[.

Comme u0 = −1, u1 = 0 < u2 = 1 et f est croissante sur [0, +∞[, alors la suite (un )n∈N est croissante.

4

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Exemple 2.3. On considère la suite (un )n∈N définie par la relation de récurrence ;  u0 = 1 . −1 un+1 = , n∈N 3 + un Étude de la monotonie de (un )n∈N : Nous avons, un+1 = f (un ) avec f (x) =

−1 1 , x > −3. Puisque f 0 (x) = , x > −3, alors f 3+x (3 + x)2

est croissante sur ]−3, +∞[. −1 Comme u0 = 1 > u1 = et f est croissante sur ]−3, +∞[, alors la suite (un )n∈N est décroissante.

4 Remarque 2.3. Si la fonction f est décroissante, la suite (un ) n’est plus monotone, comme on peut le constater sur l’exemple suivant.  u0 = 0 .

1 un+1 = , n∈N 2 1 + un 1 −2x , x ≥ 0. Puisque f 0 (x) = , x ≥ 0, alors f est 2 1+x (1 + x2 )2 décroissante sur [0, +∞[. La suite n’est pas monotone car Nous avons, un+1 = f (un ) avec f (x) =

u0 = 0, u1 = 1, u2 = 0.5, u3 = 0.8, ...

2.2

Suites bornées :

1. Une suite (un )n∈N est majorée si et seulement si ∃M ∈ R :

∀n ∈ N,

un 6 M.

un + +

M

+ + + +

+ + +

+ n

1 2 3 +

+

2. Une suite (un )n∈N est minorée si et seulement si ∃m ∈ R :

∀n ∈ N,

m 6 un .

un

+

+ +

+ + +

+

1 2 3 + +

++ +

5

n m

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Une suite (un )n∈N est bornée si et seulement si elle majorée et minorée en même temps, c’est-àdire ∃M ∈ R, ∃m ∈ R : ∀n ∈ N, m 6 un 6 M. un

+

M

+ +

+ + +

+

1 2 3 + +

n

++ +

m

Proposition 2.1. Une suite (un )n∈N est bornée si et seulement si ∃M > 0 :

∀n ∈ N,

|un | 6 M.

Démonstration. Si (un )n∈N est une suite bornée alors il existe deux réels M1 et M2 tels que ∀n ∈ N,

M1 6 un 6 M2 ,

On a M2 6 |M2 | 6 max (|M1 | , |M2 |)

min (− |M1 | , − |M2 |) 6 − |M1 | 6 M1 ,

et

et puisque ∀a, b ∈ R,

max (a, b) = − min (−a, −b) ,

alors pour M = max (|M1 | , |M2 |) et pour tout n ∈ N, on obtient −M 6 un 6 M ⇐⇒ |un | 6 M. La réciproque est évidente.

2.3

Exemples

1. La suite (un )n∈N définie par le terme général un =

1 n+1

est bornée car 0 6

1 n+1

6 1.

n

2. La suite du terme général un = (−1) est bornée car ∀n ∈ N, −1 6 un 6 1 (ou bien |(−1)n | 6 1).

3. La suite 3n2 − 1 n∈N est minorée par −1 (borne atteinte en n = 0) mais elle n’est pas majorée.

3 3.1

Nature d’une suite Suites convergentes

Définition 3.1. Une suite réelle (un )n∈N est dite convergente s’il existe un élément l de R tel que : ∀ε > 0, ∃Nε ∈ N : ∀n ∈ N, [n > Nε =⇒ |un − l| 6 ε] .

Cela veut dire que la suite (un )n∈N devient aussi proche de l (un ' l) à partir du rang Nε . On dit, dans ce cas, que la suite (un )n∈N tend ou converge vers l et on écrit : un −→ l ou bien lim un = l. n−→+∞

n−→+∞

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un + l +ε ⊕

l

⊕ ⊕

l −ε + + +

⊕ ⊕ ⊕

⊕ ⊕

+

Nε 3.1.1

n

Exemples : 1 n−→+∞ n+1

1. Montrons que lim

= 0. Utilisons la définition précédente c’est-à-dire, pour tout ε > 0,

on peut toujours trouver un entier (le rang) Nε ∈ N, vérifiant :

1

− 0

6 ε. ∀n > Nε =⇒

n+1 En effet, d’après l’axiome d’Archimède, on a ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : n0 .ε > 1, et donc

1 1 6 6 ε, n0 + 1 n0 et d’une autre part, pour tout n > n0 , on a 1 1 6 , n + 1 n0 + 1 donc, on a montré que

∀ε > 0, ∃Nε = n0 ∈ N : ∀n ∈ N, n > n0 =⇒

1 6ε . n+1

1 vaut 0. En utilisant la définition précédente, monn−→+∞ 2n

2. Montrons maintenant que la limite lim trons la proposition suivante :

1 ∀ε > 0, ∃ ?Nε ∈ N : ∀n ∈ N, n > Nε =⇒ n 6 ε .

2 Soit ε > 0, il n’est pas toujours facile de trouver directement l’entier naturel Nε , c’est pour cela que, en général, nous utiliserons l’implication inverse comme suit : 1 1 6 ε =⇒ 6 2n , 2n ε ce qui donne ln

1 6 n ln 2, ε

c’est-à-dire −

ln ε 6 n, ln 2

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et vu que le rang est un entier naturel, il suffit donc de prendre

ln ε Nε = − + 1. ln 2

ln ε ε En effet, si on suppose, pour tout ε > 0, que n > − ln ln 2 + 1 alors on obtient n > − ln 2 ce qui donne 21n 6 ε i.e |un − 0| 6 ε. [.] désigne la partie entière (voir le chapitre précédent).

Par exemple, dans le tableau suivant on donne les valeurs de Nε pour des valeurs de ε données : ε Nε

0.02 0.0005 6 11

10−10 34

10−20 67

Proposition 3.1. Toute suite convergente n’admet qu’une seule limite.

Démonstration. Soit (un )n∈N une suite convergente. Raisonnons par l’absurde et supposons que la limite n’est pas unique, c’est-à-dire, il existe deux limites l1 et l2 avec l1 6= l2 . Alors lim un = l1 ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃Nε ∈ N : ∀n ∈ N, [n > Nε =⇒ |un − l1 | 6 ε] ,

(1)

lim un = l2 ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃Nε0 ∈ N : ∀n ∈ N, n > Nε0 =⇒ |un − l2 | 6 ε .

(2)

n−→+∞

et n−→+∞

Posons Mε = max (Nε , Nε0 ), de (1) et (2) on obtient donc ∀ε > 0, ∀n ∈ N, [n > Mε =⇒ |un − l1 | 6 ε et |un − l2 | 6 ε] , D’autre part, on a |l1 − l2 | = |l1 − un + un − l2 | 6 |un − l1 | + |un − l2 | 6 2ε ⇐⇒ −2ε 6 l1 − l2 6 2ε, et du fait que ε est une valeur considérée négligeable, on a forcément l1 − l2 = 0, d’où l’unicité de la limite.

Remarque 3.1. Une suite (un )n∈N est convergente si elle admet une limite finie. Elle est divergente sinon (c’est-à-dire soit la suite tend vers ±∞, soit elle n’admet pas de limite).

3.2

Théorèmes fondamentaux

Théorème 3.1. Toute suite monotone et bornée est convergente, en particulier : 1. Toute suite (un )n∈N croissante et majorée est convergente vers la limite l = sup {un ∈ R : n ∈ N} .

2. Toute suite (un )n∈N décroissante et minorée est convergente vers la limite l = inf {un ∈ R : n ∈ N} .

Exemples : n+2 1. La suite du terme général un = 2n+5 est convergente, en effet : – La suite (un )n∈N est strictement croissante car

∀n ∈ N,

un+1 − un =

n+3 n+2 1 − = > 0, 2n + 7 2n + 5 (2n + 7) (2n + 5)

– La suite (un )n∈N est majorée car ∀n ∈ N,

06 8

n+2 n+2 1 6 = .

2n + 5 2n + 4 2 M. Benharrat & M. Cheggag

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n+3 2. La suite du terme général vn = 3n+2 est convergente car – La suite (vn )n∈N est strictement décroissante :

∀n ∈ N,

vn+1 − vn =

n+4 n+3 −7 − = < 0, 3n + 5 3n + 2 (2n + 7) (2n + 5)

– La suite (vn )n∈N est minorée : ∀n ∈ N,

06

n+3 3n + 3 3 n+3 6 6 = .

3n + 2 2n + 2 2n + 2 2

Théorème 3.2 (Théorème des trois suites). Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites convergentes vers la même limite l et (wn )n∈N une suite telle qu’il existe n0 ∈ N : ∀n > n0 ,

un 6 wn 6 vn ,

∀n > n0 ,

un < wn < vn ,

ou bien alors la suite (wn )n∈N est convergente vers la même limite l. vn +

l

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + wn + + + + + + un + + n0

Exemple 3.1. Soient les suites (vn )n∈N et (wn )n∈N du terme général : vn =

1 2n

et

Pour tout n ∈ N∗ , on a 06

wn =

1 . n!

1 1 6 n, n! 2

1 1 = 0 alors, d’après le théorème des trois suites, lim = 0 (on a considéré ici n n−→+∞ n! n−→+∞ 2

et puisque lim un = 0).

3.3

Critère de convergence des suites récurrentes :

D’après les théorèmes 2.1 et 3.1, on a Théorème 3.3. Soient f : I ⊂ R −→ I x 7−→ f (x) une fonction croissante et (un )n∈N une suite récurrente avec un+1 = f (un ) . Alors – Si un0 6 un0 +1 et si (un )n∈N est une majorée, alors la suite (un )n∈N est convergente.

– Si un0 > un0 +1 et si (un )n∈N est une suite minorée, alors la suite (un )n∈N est convergente.

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Proposition 3.2. Soient f : I ⊂ R −→ I x 7−→ f (x) une fonction croissante et (un )n∈N une suite récurrente bornée avec un+1 = f (un ), alors (un )n∈N est une suite convergente.

Proposition 3.3. Soient f : I → I une fonction continue et (un )n∈N une suite récurrente définie par un+1 = f (un ). Alors, si (un )n∈N converge vers la limite l ∈ I, alors l est une solution de l’équation : f (l) = l.

Exemple 3.2. Soit la suite récurrente (un )n∈N définie par :

u0 = 0 un+1 =

un +1 un +2

Puisque un > 0 pour tout n ∈ N, on considère la fonction f : [0, +∞[ −→ [0, +∞[ x 7−→ f (x) = x+1 x+2 – La suite (un )n∈N est monotone car la fonction f est croissante ( f 0 (x) = – La suite (un )n∈N est croissante car u1 − u0 = – La suite (un )n∈N est bornée, en effet ∀n ∈ N,

u0 +1 u0 +2

− u0 =

0 6 un 6 un+1 6 1 −

1 2

1 (x+2)2

> 0).

> 0.

1 6 1. un + 2

D’après les propositions 3.2 et 3.3 la suite (un )n∈N est convergente vers une limite l ∈ [0, 1] avec f (l) = l d’où f (l) = l ⇐⇒ l 2 + l − 1 = 0, ce qui donne l =

3.4

√ 5−1 2

(la valeur l 0 = −

√ 5+1 2

est exclue car l 0 < 0).

Propriétés des suites convergentes :

Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites qui convergent vers l et l 0 respectivement. Alors 1.

2.

lim (un + vn ) = l + l 0 .

n−→+∞

lim (un × vn ) = l × l 0 .

n−→+∞

lim k × un = k × l avec k ∈ R.

un l 4. lim = 0 avec l 0 6= 0. n−→+∞ vn l 5. Si ∃n0 ∈ N : ∀n ∈ N, n > n0 : un 6 vn ou bien un < vn alors l 6 l 0 .

3.

n−→+∞

2un (3 − un ) 2l (3 − l) = 2 . n−→+∞ u2n + 1 l +1

Exemple 3.3. Si lim un = l alors lim n−→+∞

Proposition 3.4. Soit (un )n∈N une suite réelle. Alors 1. Toute suite convergente est bornée.

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2. Si lim un = l alors lim |un | = |l| (la réciproque est fausse, il suffit de considérer la suite n−→+∞

n−→+∞

{(−1)n }n∈N ).

3.

lim un = 0 si et seulement si lim |un | = 0.

n−→+∞

n−→+∞

Proposition 3.5. Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles telles que lim un = 0 et (vn )n∈N est n−→+∞

bornée alors lim (un × vn ) = 0. n−→+∞

Exemple 3.4.

3.5

lim cos n n−→+∞ n

1 n−→+∞ n

= 0 car lim

= 0 et (cos n)n∈N est bornée (∀n ∈ N, −1 6 cos n 6 1).

Suites divergentes

Définition 3.2. Une suite réelle (un )n∈N est dite divergente si elle n’est pas convergente c’est-à-dire : ∀l ∈ R, ∃ε > 0 : ∀N ∈ N : ∃n0 ∈ N, n0 > N et |un − l| > ε.

Remarque 3.2. Une suite (un )n∈N est divergente si elle n’admet pas de limite ou la limite n’est pas finie (c’est-à-dire elle tend vers ±∞).

Exemple 3.5. La suite {(−1)n }n∈N est divergente car elle n’admet pas de limite.

3.5.1

Limites infinies

Définition 3.3. .

1. Une suite réelle (un )n∈N tend vers +∞ si ∀A > 0, ∃NA ∈ N : ∀n ∈ N, [n > NA =⇒ un > A] , (A est sensée être une valeur assez grande) et on écrit : un −→ +∞ ou bien lim un = +∞. n−→+∞

n−→+∞

2. Une suite réelle (un )n∈N tend vers −∞ si ∀A > 0, ∃NA ∈ N : ∀n ∈ N,

[n > NA =⇒ un < −A] ,

on peut remplacer, dans la formule précédente, A par −B, on a dans ce cas ∀B < 0, ∃NB ∈ N : ∀n ∈ N,

[n > NB =⇒ un < B] ,

et on écrit : un −→ −∞ ou bien lim un = −∞. n−→+∞

n−→+∞

Exemple 3.6. .

1. Pour montrer que lim

n−→+∞

n2 − 1 = +∞, il suffit d’utiliser la définition précédente c’est-à-dire

pour tout A > 0, on peut toujours trouver un entier NA ∈ N vérifiant : ∀n > NA =⇒ n2 − 1 > A, √

√ ce qui donne n > A + 1 et donc, il suffit de prendre NA = A + 1 + 1.

2. Si a > 1 alors lim an = +∞. n−→+∞

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3.

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en = −∞. n−→+∞ 1 − n lim

Proposition 3.6. .

1. Toute suite (un )n∈N croissante et non majorée est divergente vers +∞.

2. Toute suite (un )n∈N décroissante et non minorée est divergente vers −∞.

Proposition 3.7. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles. Alors 1 = 0. n−→+∞ n−→+∞ un 2. Si lim un = +∞ et (vn )n∈N est une suite minorée alors lim (un + vn ) = +∞ .

1. Si lim un = ±∞ alors lim n−→+∞

n−→+∞

3. Si lim un = −∞ et (vn )n∈N est une suite majorée alors lim (un + vn ) = −∞ . n−→+∞

4. Si

n−→+∞

lim un = +∞ et (vn )n∈N est une suite minorée par un nombre strictement positif alors

n−→+∞

lim (un × vn ) = +∞.

n−→+∞

5. Si

lim un = −∞ et (vn )n∈N est une suite majorée par un nombre strictement positif alors

n−→+∞

lim (un × vn ) = −∞.

n−→+∞

1 1 = +∞ ( lim = n−→+∞ vn n−→+∞ vn

6. Si lim vn = 0 et (vn )n∈N est une suite positive (négative) alors lim n−→+∞

−∞ respectivement).

4

Les suites extraites (sous suites)

Définition 4.1. Une suite (vn )n∈N est appelée suite extraite ou sous suite d’une suite (un )n∈N s’il existe une application f strictement croissante de N dans N vérifiant : ∀n ∈ N, vn = u f (n) .

Exemple 4.1.

1. Une suite (un+1 )n∈N est une suite extraite de la suite (un )n∈N .

2. Les suites (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N sont des suites extraites de la suite (un )n∈N .

Remarque 4.1. Si f est une application strictement croissante de N dans N , on a par récurrence immédiate f (n) > n pour tout n ∈ N. Proposition 4.1. Si (vn )n∈N est une extraite de (un )n∈N et si (un )n∈N est une suite qui tende vers l ∈ R ou l = ±∞ alors (vn )n∈N tend aussi vers l.

1 1 Exemple 4.2.

1. La suite converge vers l = 0 car c’est une sous suite de (2n)! n∈N n! n∈N qui converge vers l = 0. π 2. La suite du terme général un = cos n diverge puisque la suite extraite du terme général 4 u4n = cos (nπ) = (−1)n est divergente.

Remarque 4.2. Si la suite (un )n∈N est divergente cela ne veut pas dire que sa suite extraite u f (n) n∈N est divergente.

Exemple 4.3. La suite (un )n∈N du terme général un = (−1)n est divergente alors que les sous suites (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N sont convergentes vers 1 et −1 respectivement.

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1 ère année FPST

ENP d’Oran-Maurice Audin

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Analyse 1

2020-2021

Les suites adjacentes

Définition 5.1. Deux suites (un )n∈N et (vn )n∈N sont dites adjacentes si l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence un − vn tend vers 0 quand n −→ +∞. vn + l un +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Théorème 5.1. Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont adjacentes alors elles sont convergentes vers la même limite ( lim un = lim vn ). n−→+∞

n−→+∞

Exemple 5.1. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles définis par : ( u0 = 1 1 et vn = un + avec n ∈ N∗ .

1 un+1 = un + (n+1)! n (n!)

Les suites (un )n∈N et (vn )n∈N sont adjacentes, en effet : 1. La suite (un )n∈N est croissante car un+1 − un =

1 (n+1)!

> 0.

2. La suite (vn )n∈N est décroissante car 1 1 − un − (n + 1) [(n + 1)!] n (n!)

1 1 1 + − = (n + 1)! (n + 1) [(n + 1)!] n (n!) −1 = 6 0. n (n + 1) (n + 1)!

vn+1 − vn = un+1 +

3.

1 = 0. n−→+∞ n (n!)

lim (vn − un ) = lim

n−→+∞

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1 ère année FPST

Analyse 1

2020-2021

Exercices

Exercice 1. Étudier la convergence des suites de termes généraux suivants : √ √ sin n 1 1 + (−1)n n2 n+1− n n un = , un = , un = 2 −(−1) , un = , 2 n+1 n 1 + n2 un = n + 1 − cos(

nπ ) 5

un = an ,

a ∈ R,

un =

2n − 3n , 2n + 3n

un =

(−1)n n un = 1+ 1 + n2

an − bn , (a > 0, b > 0). an + bn

Exercice 2. Considérons une suite suite (Un )n∈N définie par la relation de récurrence ;  U0 = 1 .

Un2 Un+1 = , n∈N 1 + Un 1. Montrer que :

∀n ∈ N,

Un > 0.

2. Étudier la monotonie de la suite (Un )n∈N .

3. En déduire que la suite (Un )n∈N est bornée.

4. Montrer que la suite (Un )n∈N est convergente et calculer sa limite.

Exercice 3. Considérons une suite suite (Un )n∈N définie par la relation de récurrence ;  U0 ≥ 0 .

2Un2 + 2Un + 1 Un+1 = , n∈N 2Un + 1 1. Montrer que : 2. Montrer que

∀n ∈ N, ∀n ∈ N,

Un ≥ 0.

Un+1 ≥ Un +

1 2

puis que

1 Un+1 ≥ U0 + .

2

3. En déduire que la limite de la suite(Un )n∈N .

Exercice 4. On considère la suite (un )n∈N définie par la relation de récurrence ;  u0 = −1 .

1 un+1 = , n∈N 3 − un 1. Calculer u1 , u2 et u3 .

2. Montrer que :

∀n ≥ 1,

0 < un < 1.

3. Etudier la monotonie de la suite (un )n∈N .

4. Montrer que la suite (un )n∈N est convergente et calculer sa limite.

5. Soit A = {un ,

n ∈ N}.

Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de A.

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ENP d’Oran-Maurice Audin

1 ère année FPST

Analyse 1

2020-2021

Exercice 5. On considère la suite récurrente définie par ( u0 = 0 √ un+1 = 6 + un , 1. Calculer u1 , u2 et u3 .

2. Montrer que la suite (un )n est majorée par 3.

1 3. Montrer que 3 − un ≤ (3 − un−1 ) pour tout n ≥ 1.

3 1 4. En déduire que 3 − un ≤ n−1 pour tout n > 1.

3 5. En déduire la limite de la suite (un )n .

6. Montrer que la suite (un )n est strictement croissante.

Exercice 6. On considère deux suites (un )n et (vn )n données par un = 1 +

1 1 1 + +...+ 1! 2! n!

et

vn = un +

1 . n.n!

i). Montrer que ces deux suites sont adjacentes. On note l leur limite commune.

1 ii). Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , n!un < n!l < n!un + . n

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