Analyse I_Chapitre_1_FPST_11_12_2020

Chapitre n◦ 1: Propriétés des nombres réels M. Benharrat & M. Cheggag

11 décembre 2020

Table des matières 1

Préambule 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Définition axiomatique de l’ensemble des nombres réels 2.1 L’ensemble des nombres réels est un corps commutatif . . . . . . . . . . . .

2.2 L’ensemble des nombres réels est ordonné . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2 2 2 2

Caractérisation axiomatique de R 5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Axiome de la borne supérieure et inférieure dans R . . . . . . . . . . . . . .

7

6

R un corps Archimédien 6.1 Partie entière . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Propriétés de la partie entière . . . . . .

8 8 9

7

Ensemble des nombres rationnels et irrationnels 9 7.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 10

8

Exercices

2 3

3

Les intervalles

4

4

Valeur absolue d’un nombre réel : 4.1 Propriétés de la valeur absolue . . . . .

4 5

1

6 6

11

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Préambule

1.1

Introduction

Le but de ce cours est de définir la droite réelle et donner les propriétés des nombres réels. Notons que ce chapitre est un prélude des chapitres suivants comme les fonctions réelles, les suites réelles,.......etc.

On s’est permis de donner quelques démonstrations de certains résultats pour enrichir le cours et surtout, satisfaire la curiosité de certains étudiants.

1.2

Rappels

1. On désigne par N, l’ensemble des nombres naturels ou encore des entiers naturels : N = {0, 1, 2, 3, ...}, et l’ensemble des entiers naturels non nuls par N∗ .

2. On désigne par Z, l’ensemble des entiers relatifs : Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, et l’ensemble des entiers relatifs non nuls par Z∗ .

En conclusion, on a bien entendu les inclusions suivantes : N ⊂ Z ⊂ R.

2

Définition axiomatique de l’ensemble des nombres réels

On rappel ci-dessous, les propriétés de l’addition, de la multiplication et de la relation d’ordre sans démonstration vu que cette partie sera traitée en détail dans la matière de l’Algèbre 1.

2.1

L’ensemble des nombres réels est un corps commutatif l’ensemble des nombres réels est noté R. Il existe deux applications de R × R dans R : + : R × R −→ R et · : R × R −→ R , (x,y)

−→ x+y

(x,y)

−→ x·y

appelées addition dans R et multiplication dans R respectivement et vérifiant les axiomes suivants : (A.1) ∀x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z) (la loi + est associative dans R).

(A.2) ∃e ∈ R tel que ∀x ∈ R, x+e = e+x = x (e = 0 est appelé l’élément neutre de R pour la loi +).

(A.3) ∀x ∈ R , ∃x0 ∈ R x + x0 = x0 + x = e = 0 (x0 = −x est appelé l’élément symétrique de x dans R pour la loi +).

(A.4) ∀x, y ∈ R, x+y = y+x (la loi + est commutative dans R).

(R, +) muni des axiomes 1,2,3 et 4 est un groupe abélien.

(A.5) ∀x, y, z ∈ R, (x · y) · z = x · (y · z) (la loi · est associative dans R).

2

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(A.6) ∀x, y, z ∈ R, x · (y + z) = x · y + x · z et (y + z) · x = y · x + z · x (la loi · et distributive par rapport à la loi + dans R).

(A.7) ∃e0 ∈ R\ {0} tel que ∀x ∈ R, x · e0 = e0 · x = x (e0 = 1 est appelé l’élément unité de R pour la loi ·).

(R, +, ·) muni des axiomes de 1 à 7 est un anneau unitaire.

(A.8) ∀x ∈ R tel que

{0} , ∃x0 ∈ R/, x · x0 = x0 · x = é = 1

1 (x0 = est appelé l’élément inverse (symétrique) de x dans R pour la loi ·). x (A.9) ∀x, y ∈ R, x·y = y·x (la loi · est commutative dans R).

(R, +, ·) muni des axiomes de 1 à 9 est un corps commutatif.

2.2

L’ensemble des nombres réels est ordonné Il existe une relation notée 6 vérifiant les axiomes suivants : (A.10) ∀x ∈ R, x6x (la relation 6 est réflexive dans R).

(A.11) ∀x, y ∈ R, x6y

et

y6x⇒x=y

(la relation 6 est antisymétrique dans R).

(A.12) ∀x, y, z ∈ R, x6y

et

y6z⇒x6z

(la relation 6 est transitive dans R).

La relation 6, définie dans R, est une relation d’ordre.

(A.13) ∀x, y, z ∈ R, x 6 y =⇒ x + z 6 y + z.

(A.14) ∀x, y ∈ R, 06x

0 6 y ⇒ 0 6 x · y.

et

(A.15) ∀x, y ∈ R, on a soit x 6 y soit y 6 x.

(6) est une relation d’ordre total sur R. Remarque 2.1. .

(R, +, ·, 6) muni des quinze axiomes précitées est un corps ordonné.

1

Propriétés : Pour tout x, y et z de R, on a : 1. ∀x, y, z ∈ R, x + y = x + z ⇒ y = z.

1. Pour plus de détails sur la notions de corps, voir le cours de l’algèbre.

3

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2. ∀x ∈ R, x · 0 = 0 = 0 · x (0 est un élément absorbant) 3. ∀x, y ∈ R, x · (−y) = − (x · y) = (−x) · y 4. ∀x, y ∈ R, x · y = 0 ⇐⇒ x = 0 ou bien y = 0.

Proposition 2.1. Soient x, y, z et w des réels.

1. x 6 y et z 6 w ⇒ x + z 6 y + w.

2. x 6 y et 0 6 z ⇒ x.z 6 y.z.

3. x 6 y et z 6 0 ⇒ x.z > y.z 4. 0 6 x 6 y et 0 6 z 6 w ⇒ x.z 6 y.w

3

Les intervalles

Définition 3.1 (Intervalle). Une partie I de R est dite un intervalle si, dès qu’elle contient deux réels, alors elle contient tous les réels intermédiaires : ∀a, b ∈ I,

∀x ∈ R,

a 6 x 6 b =⇒ x ∈ I.

Par exemple R est un intervalle.

Différents types d’intervalles de R Soient a et b des réels tels que a < b. Les différents types d’intervalles de R sont : * Les intervalles fermés de R : 1. [a, b] = {x ∈ R : a 6 x 6 b} .

2. [a, +∞[ = {x ∈ R : a 6 x} .

3. ]−∞, b] = {x ∈ R : x 6 b} . * Les intervalles ouverts de R : 4. ]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b} .

5. ]a, +∞[ = {x ∈ R : a < x} .

6. ]−∞, b[ = {x ∈ R : x < b} . * Les intervalles semi-ouverts (ou semi-fermés) de R : 7. [a, b[ = {x ∈ R : a 6 x < b} .

8. ]a, b] = {x ∈ R : a < x 6 b} .

4

Valeur absolue d’un nombre réel :

Notations 1. On note R+ , l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls : R+ = {x ∈ R : x > 0} = [0, +∞[ .

2. On note R− , l’ensemble des nombres réels négatifs ou nuls : R− = {x ∈ R : x 6 0} = ]−∞, 0] .

3. On note R∗ , l’ensemble des nombres réels (positifs ou négatifs) non nuls : R∗ = {x ∈ R : x 6= 0} .

4

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Conséquences : R+ ∪ R− = R = ]−∞, +∞[

R+ ∩ R− = {0} .

et

Remarques 1. R+ et R− sont des intervalles, car tout réel compris entre deux réels positifs (respectivement négatifs) est positif (respectivement négatif).

2. R∗ n’est pas un intervalle, car il contient 2 et −2 sans contenir 0.

Définition 4.1 (La valeur absolue). L’application de R dans R+ et définie par : |.| : R −→

x

−→ |x| =

R x si x ∈ R+ −x si x ∈ R−

est appelée valeur absolue. y

y = |x|

1 0

4.1

x

1

Propriétés de la valeur absolue Soient x et y des nombres réels. Alors

1. |x| = max {−x, x}.

2. |−x| = |x|.

3. |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.

4. |x + y| 6 |x| + |y| (inégalité triangulaire).

5. |x| 6 y ⇐⇒ −y 6 x 6 y.

6. |x · y| = |x| · |y| .

7. ||x| − |y|| 6 |x − y| et ||x| − |y|| 6 |x + y| .

1

1 8.

= si x 6= 0. |x| x Démonstration. On va vérifier l’inégalité triangulaire 4.. Pour tout x, y ∈ R, on a − |x| ≤ x ≤ |x|

et

− |y| ≤ y ≤ |y| .

Ajoutons membre à membre ces inégalités (l’axiome (A.13)), on obtient − |x| − |y| ≤ x + y ≤ |x| + |y| .

D’où le résultat.

Vérifions encore la propriété 5.. Soit x ∈ R. Si |x| 6 y alors y ≥ 0 et d’après la propriété 3. de la Proposition 2.1, on a −y ≥ − |x| .

Comme − |x| ≤ x ≤ |x| , 5

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on obtient −y ≤ − |x| ≤ x ≤ |x| ≤ y, d’où −y ≤ x ≤ y.

Inversement, si −y ≤ x ≤ y, alors y ≥ 0 et en appliquant les propriété 2. et 3. de la Proposition 2.1, on a aussi −y ≤ −x ≤ y ce qui montre que |x| 6 y.

La vérification des autres propriétés se fait simplement et est laissée au soin des étudiants (voir la solution de la fiche de TD No 1).

Remarque 4.1. Sur la droite numérique, |x − y| représente la distance entre les réels x et y. |x − y| |

| x

0

| y

En particulier, |x| représente la distance entre le réel x et 0. |x| |

| x

0

| y

De plus on a, |x − y| < α ⇔ y − α < x < y + α ⇔ x ∈ ]y − α, y + α[ . i h | ////////////// α y+α +∞ y−α

−∞ et

−∞

5 5.1

|x − y| > α ⇔ x < y − α ou x > y + α ⇔ x ∈ ]−∞, y − α[ ∪ ]y + α, +∞[ . h i | ////////////// ///////////// α y+α +∞ y−α

Caractérisation axiomatique de R Définitions Soient X une partie non vide de R muni de la relation d’ordre 6 et M, m des éléments de R.

Définition 5.1 (majorant). On dit que M est un majorant de X si et seulement si ∀x ∈ X,

x 6 M.

On dit, dans ce cas, que X est majorée.

Définition 5.2. La borne supérieure de l’ensemble X est le plus petit des majorants de X noté sup X.

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Définition 5.3 (minorant). On dit que m est un minorant de X si et seulement si ∀x ∈ X,

m 6 x.

On dit, dans ce cas, que X est minorée.

Définition 5.4. La borne inférieure de l’ensemble X est le plus grand des minorants de X noté inf X. Définition 5.5. On dit que X est bornée si X est majorée et minorée simultanément. minorants

X

]

majorants

[

Définition 5.6. On dit que X admet un plus grand élément (respectivement plus petit élément) s’il existe x ∈ X tel que pour tout y ∈ X, y 6 x (respectivement :x 6 y).

Remarques 1. Le plus grand élément s’il existe, il est nécessairement unique et est à la fois une borne supérieure de X et un élément de X. On le note par max X. 2. Le plus petit élément s’il existe, il est nécessairement unique et est à la fois une borne inférieure de X et un élément de X. On le note par min X. 3. Le fait que l’ordre sur R soit total entraîne que tout ensemble fini de réels admet un plus petit élément et un plus grand élément. Autrement dit, si {x1 , x2 ..., xn } est un ensemble fini de réels, nous noterons que min{x1 , x2 ..., xn } est le plus petit et max{x1 , x2 ..., xn } est le plus grand élément.

4. Un ensemble infini de réels n’admet pas nécessairement de plus petit ou de plus grand élément.

Proposition 5.1. X est bornée si et seulement si ∃M > 0 :

|x| 6 M

∀x ∈ X.

Proposition 5.2. La borne supérieure et la borne inférieure, lorsqu’elles existent, sont uniques.

Exemple 5.1. Si X = [−5, 1[ alors : – ]−∞, −5] est l’ensemble des minorants de X et inf X = −5 ∈ X, donc min X = −5.

– [1, +∞[ est l’ensemble des majorants de X et sup X = 1 ∈ / X. Ici le max X n’existe pas.

Remarque 5.1.

– Si X est une partie non vide et non majorée de R. On pose sup X = sup R = +∞.

– Si X est une partie non vide et non minorée de R. On pose inf X = inf R = −∞.

5.2

Axiome de la borne supérieure et inférieure dans R Considérons l’ensemble R muni de la relation d’ordre 6. Alors : – Toute partie non vide et majorée X de R admet une borne supérieure.

– Toute partie non vide et minorée X de R admet une borne inférieure.

Théorème 5.1 (Caractérisation de la borne supérieure). Soient X une partie non vide de R et M un majorant de X. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. M est une borne supérieure de X (sup X = M) , 2. ∀ε > 0, ∃x ∈ X : M − ε < x 6 M. Démonstration. Supposons que M = sup X et donc M est le plus petit des majorants de X. Alors,∀ε > 0, sup X − ε ne peut pas être un majorant. Il existe donc un élément x de X supérieur à sup X − ε. Comme sup X est un majorant de X, cet élément est inférieur à sup X. Réciproquement : Si ∀ε > 0, ∃x ∈ X : M − ε < x 6 M, alors pour tout ε > 0, M − ε n’est pas un majorant de X, donc si M est un majorant, c’est bien le plus petit.

Théorème 5.2 (Caractérisation de la borne inférieure). Soient X une partie non vide de R et m un minorant de X. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. m est une borne inférieure de X (inf X = m) , 2. ∀ε > 0, ∃x ∈ X : m 6 x < m + ε.

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6 R un corps Archimédien Théorème 6.1 (Axiome d’Archimède). Pour tout réel a et tout réel strictement positif b, il existe un entier naturel non nul n tel que le produit n par b soit strictement supérieur à a : ∀a ∈ R, ∀b > 0,

∃n ∈ N :

a < n · b.

On dit, dans ce cas, que R est un corps Archimédien.

Démonstration. Soit B = {n.b : n ∈ N}. Supposons qu’il n’existe pas n tel que a < n · b. Alors pour tout n ∈ N, a > n · b, donc B est majorée par a. La construction de R implique alors que α = sup B existe. On a alors pour tout n ∈ N, (n + 1)b 6 α d’ou‘ il vient pour tout n ∈ N, n.b 6 α − b. Ainsi α − b est un majorant de B et α − b < α = sup B. c’est absurde car la borne supérieure est le plus petit des majorants ! Donc il existe n ∈ N tel que a < n · b.

Remarque 6.1. Il existe un critère équivalent à l’axiome : R est Archimédien ⇐⇒ ∀a > 0, ∀b > 0, ∃n ∈ N∗ :

a < n · b.

Proposition 6.1. ∀x > 0, ∃n ∈ N∗ :

0<

1 < x. n

La proposition précédente est une conséquence de l’axiome d’Archimède, il suffit de prendre a = 1 et b = x.

Proposition 6.2. ∀a ∈ R, ∀b > 0, ∃n ∈ Z : (n − 1) b 6 a < nb, c’est-à-dire a = (n − 1) b + c avec 0 6 c < a.

Remarque 6.2. Si a > 0, on définit la relation de congruence modulo a par a ≡ c [b] ⇔ ∃m ∈ Z : a = mb + c.

6.1

Partie entière

Définition 6.1 (La partie entière). Si x est un réel, alors l’unique entier relatif n vérifiant la relation n 6 x < n + 1, s’appelle la partie entière de x et se note E (x) ou [x] .

Proposition 6.3. Soit x ∈ R. Il existe un unique entier n ∈ Z tel que n 6 x < n + 1.

Démonstration.

Unicité : si n et n0 sont deux entiers relatifs vérifiant : n 6 x < n + 1 et n0 6 x < n0 + 1, alors n0 < n + 1 et n < n0 + 1.

Nous avons donc des entiers tels que n0 < n + 1 < n0 + 2 donc, on a forcément n = n0 .

Existence : – Si x = 0, il suffit de prendre n = 0.

– Si x est un entier, alors n = x convient.

– Sinon, lorsque x > 0, on applique l’axiome d’Archimède en posant : a = x et b = 1 alors, il existe n ∈ N∗ : x < n.1. Ainsi, l’ensemble A = {n ∈ N∗ : x < n} est non vide. Supposant que l’entier n0 est le plus petit élément. Alors x < n0 car n0 ∈ A et n0 − 1 6 x car sinon x < n0 − 1 et dans ce cas n0 ne serait plus le plus petit élément. On a aussi n0 − 1 6= x car x n’est pas un entier donc n0 − 1 < x < n0 . Alors, l’entier n = n0 − 1 convient.

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– Si x < 0, on raisonne comme ci-dessus avec −x et obtient n0 ∈ N tel que n0 < −x < n0 + 1. On en déduit que −n0 − 1 < x < −n0 et donc n = −n0 − 1 convient.

Exemple 6.1. – La partie entière de 3, 874 est 3 ([3, 874] = 3) car 3 6 3, 874 < 4.

– La partie entière de −2.48 est −3 ([−2.48] = −3) car −3 6 −2.48 < −2. y = [x]

y [3, 874] = 3

1 −2, 48

0

1

3, 874

x

[−2, 48] = −3

6.2

Propriétés de la partie entière

1. ∀x ∈ R : [x] 6 x < [x] + 1 et x − 1 < [x] 6 x.

2. [x] = x ⇔ x ∈ Z. 3. ∀x ∈ R, ∀p ∈ Z, [x + p] = [x] + p.

7

Ensemble des nombres rationnels et irrationnels

Définition 7.1. l’ensemble des nombres rationnels est un sous corps de R défini par

p ∗ Q= : p ∈ Z et q ∈ Z . q Définition 7.2. L’ensemble des nombres irrationnels est le complémentaire de R par rapport à Q (R Q) et défini par I = {x ∈ R : x ∈ / Q} . √ Exemple 7.1.

1. Le nombre 2 défini comme la diagonale d’un carré de côté 1. Ou bien le rapport de l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle sur l’un des côtés de l’angle droit, ce qui est un cas particulier du théorème de Pythagore.

√ 2

1 2. Le nombre π = 3, 1415... défini comme la circonférence d’un cercle de diamètre 1.

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π •

1

3. Le nombre d’Euler e = 2, 718..., la base de l’exponentielle, défini comme somme infinie e = 1+ 4. Les racines carrés n = k2 avec k ∈ N.

7.1

1 1 1 1 + + + ....... + + ....

2! 3! 4! k!

√ n si n est un entier qui n’est pas un carré, c’est-à-dire qui n’est pas de la forme

Propriétés

1. L’ensemble I = R\Q est non vide (I 6= 0) / puisqu’il contient

√ 2.

2. La somme, le produit et la division de deux rationnels est un nombre rationnel.

3. La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est irrationnel, ∀x ∈ Q, ∀y ∈ I ⇒ x + y ∈ I, en effet, raisonnons par l’absurde, supposons que : ∀x ∈ Q, ∀y ∈ I ⇒ z = x + y ∈ Q, ce qui implique y = z−x ∈ Q ⇒ y ∈ / I, ce qui est contradictoire.

4. Le produit d’un rationnel non nul par un irrationnel est irrationnel, ∀x ∈ Q\ {0} , ∀y ∈ I ⇒ x.y ∈ I, en effet, raisonnons par l’absurde, supposons que : ∀x ∈ Q\ {0} , ∀y ∈ I ⇒ z = x.y ∈ I, ce qui implique y=

z ∈Q⇒y∈ / I, x

ce qui est contradictoire.

√ 5. L’ensemble I = R Q est infini puisqu’il contient tous les réels de la forme x + 2 avec x ∈ Q. 6. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R et Q ∪ I = R. 7. Un nombre réel est rational si et seulement s’il admet une écriture décimale periodique ou finie. Par 3 1 exemple ; = 0.375 et = 0.33333 . . ..

8 3 Théorème 7.1. Q est archimédien : ∀a ∈ Q, ∀b ∈ Q avec b > 0,

∃n ∈ N :

a < n · b.

p r Démonstration. Si a 6 0, il suffit de prendre n = 1. Sinon, on pose a = et b = avec p, q, r, s des entiers q s r p strictement positifs. Pour n = ps + 1 on a nqr = qr(ps + 1) > ps et donc n > . s q Remarque 7.1. La somme et le produit de deux irrationnels peuvent très bien être des nombres rationnels.

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√ √ Exemple 7.2. Malgré que 1 + 2 ∈ I et 1 − 2 ∈ I, on obtient

√ √ √ √ 1 + 2 + 1 − 2 = 2 ∈ Q et 1 + 2 1 − 2 = −1 ∈ Q. Remarque 7.2. L’ensemble Q des nombres rationnels ne vérifie pas la propriété de la borne supérieure.

Exemple 7.3. L’ensemble

X = x ∈ Q : 0 < x et x2 6 2 , ne possède pas de borne supérieure dans Q.

M2 + 2 En effet, Soit M un majorant de X dans Q. Posons M0 = .

2M Nous allons vérifier que M0 est un autre majorant (dans Q) et que M0 < M, ce qui prouve qu’il n’y a pas de plus petit élément majorant.

Montrons que M0 est un majorant : il suffit de voir que M02 > 2. On calcule M 4 − 4M 2 + 4 (M 2 − 2)2 (M 2 + 2)2 −2 = = 2 4M 4M 2 4M 2 √ qui est bien strictement positif. En effet M 2 − 2 6= 0, car sinon 2 serait rationnel.

M2 + 2 M2 − 2 Vérifions que M0 < M. On calcule M − M0 = M − = qui est bien strictement positif puisque 2M 2M M est un majorant rationnel de X. M02 − 2 =

8

Exercices Exercice 1. Montrer, pour tout a, b ∈ R, les propriétés suivantes : 1. |ab| = |a| |b|.

2. ||a| − |b|| ≤ |a − b|.

3. ||a| − |b|| ≤ |a + b|. |a| |b| |a + b| ≤ + .

4.

1 + |a| + |b| 1 + |a| 1 + |b|

Exercice 2.

Montrer que les nombres suivants sont rationnels : (i). a = 0, 1597 1597 1597 . . . . . . (ii). b = 1, 79 3273 3273 3273 . . . (iii). c = 0, 11111 . . . + 0, 22222 . . . + 0, 33333 . . . + 0, 44444 . . . + 0, 55555 . . . + 0, 66666 . . . + 0, 77777 . . .

(Mettre sous la forme qp avec p, q ∈ N∗ .)

Exercice 3.

1. Démontrer que

√ 2 6∈ Q,

2. Démontrer que si a ∈ Q et b ∈ / Q alors a + b ∈ / Q. 3. Démontrer que si a ∈ Q, a 6= 0 et b ∈ / Q alors ab ∈ / Q. 4. Soient a1 , a2 ∈ Q avec a1 < a2 . Posons b = a1 + Montrer que b ∈]a1 , a2 [ et b ∈ / Q. Que peut-on conclure ?

√ 2 2 (a2 − a1 ).

Exercice 4. Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum, le minimum des ensembles suivants : √ [−1, 2] , [0, 2] ∩ Q , ]0, 1[∩Q , N , ] − 1, 0[∪{2, 5}.

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1 ∗ |n∈N , (n + 1)2

Analyse 1

2 : x ∈ [2, 3[ , − (x + 1)2

2020-2021

(x + 1)2 : |x| < 2 .

Exercice 5. Soient A et B deux parties bornées de R. On note A + B = {a + b | (a, b) ∈ A × B}.

1. Pour les ensembles A1 = [0, 2], A2 = {3}, A3 =] − 1, 1[ et A4 = N, déterminer A1 + A2 , A1 + A3 , A2 + A4 et A1 + A4 .

2. Montrer que sup(A + B) = sup A + sup B et inf(A + B) = inf A + inf B.

Exercice 6. Soient A et B deux ensembles non vides et bornés de R. 1. Montrer que si A ⊂ B alors sup A ≤ sup B et inf B ≤ inf A. 2. Montrer que A ∪ B est borné dans R et i). sup(A ∪ B) = max {sup A, sup B}. ii). inf(A ∪ B) = min {inf A, inf B}.

3. Montrer que A ∩ B est borné dans R et que si A ∩ B est non vide on a alors : i). sup(A ∩ B) ≤ min {sup A, sup B}. ii). inf(A ∩ B) ≥ max {inf A, inf B}.

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M. Benharrat & M. Cheggag