PALITOS Y BOLITAS: UN POCO DE TEORÍA DE GRÁFICAS

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1 PALITOS Y BOLITAS: UN POCO DE TEORÍA DE GRÁFICAS.

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TEMPL A TE B Y ISSUU

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¿Qué es la teoría de Graficas?

La Teoría de las Gráficas es una rama de las Matemáticas Discretas que en los últimos años ha tenido un gran desarrollo, probablemente debido a la enorme cantidad de aplicaciones que estas tienen. Se considera que tiene su inicio en 1736 cuando Leonhard Euler publicó “Solutio problematis and geometrian situs pertinentis” en donde

aparece la solución al famoso Problema de los Puentes de Königsberg.

Figura 1.1: Diagrama de la ciudad de Königsber que aparece en el artículo original de Euler.

Para resolver el problema realizó lo que hoy en día se conoce como un modelo matemático. En este representaba a cada una de las islas y a las dos riberas por un vértice y puso una arista por cada puente. De esta forma obtuvo el diagrama que aparece en la Figura 1.2. No es difícil ver que resolver el problema de los Puentes de Königsberg es equivalente a realizar el dibujo, del diagrama asociado al problema, sin levantar el lápiz del papel ni trazar dos veces la misma línea.

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Figura 1.2: Diagrama asociado al problema de los puentes de Königsberg.

Después de un estudio minucioso sobre las condiciones que tiene que cumplir el diagrama para que exista paseo con estas características, Euler deduce que para que dicho recorrido sea posible es necesario que todos los vértices en el diagrama sean incidentes con un número par de líneas. Como en el diagrama todos los vértices tienen un número impar de líneas se concluye que no existe una solución al problema de los puentes de Königsberg Durante el siglo XIX la Teoría de las Gráficas fue redescubierta a través del estudio de diversos problemas obteniendo así nuevos y más resultados importantes. Por ejemplo, Arthur Cayley en 1857, mientras estudiaba la cantidad posible que podía haber de ciertas estructuras químicas, descubrió una importante familia de gráficas, a las que llamó árboles. Aunque poco a poco iba aumentando el interés en esta área, fue hasta 1936 cuando el húngaro Dénes König publicó el primer libro sobre este tema. Así que podemos decir que la Teoría de las Gráficas es un área muy joven dentro del mundo de las matemáticas, sobre todo si la comparamos con la antigüedad de otras áreas como la Geometría o el Álgebra.

¿Por qué es importante?

Debido a que las gráficas (o grafos como los llaman en otros países) tienen una gran cantidad de aplicaciones y se utilizan en muchas áreas de la ciencia (química, computación, biología, sociología, etc.), es posible que algunos términos y conceptos que aparecen en este libro se encuentren definidos con otra notación o nombre en otros textos. De forma sistemática, las palabras escritas en itálicas y negritas se refieren a la definición de conceptos.

La terminología y definiciones que aquí utilizamos intentan estar apegadas y ser congruentes con la tradición teórica de la Teoría de las Gráficas en México.

Espero que este texto sirva para lograr un mayor interés y difusión de la Teoría de las Gráficas entre estudiantes de Matemáticas y Computación.

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Índice 18 19 20

06 Editores 03 Introducci ó n a la teor í a de gr áficas 06 Autores 07 Si de clasificación hablamos…

07 Palabras clave

10 Grá ficas Eulerianas 10 Gr áficas Hamiltonianas 10 Gr áficas Unicursales 11 Gr áficas trazadas Arbitrariamente

11 Problema del Agente viajero 12 Teorema de Euler 12 Numero cromático 13 Teorema de Kuratowski

13 Teorema de los cuatro colores 14 Grá ficas Duales 15 Gráficas Lineales 16 Gráficas Totales 17 Factorización de una gráfica

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Gráficas Planas y planaeres Conoce más a los creadores Referencias

Autores Alejandra Huerta Rangel Sebastián Gutiérrez Álvarez del Castillo Miguel Raúl Sosa López

CREDIT INFO Creative Commons

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Si de clasificación hablamos‌ Tipo de gråfica

CaracterĂ­sticas bĂĄsicas

Conceptos

Especiales

Se denota como L(G) Tiene como vĂŠrtice a las lĂ­neas de G Dos puntos de L(G) son adyacentes siempre que las lĂ­neas correspondientes en G lo sean

L(G) son lineas de corte en G y viceversa G puede ser ismomĂłrfica de a L(G) si G es un circuito de grado 2 El nĂşmero de lĂ­neas es igual a un medio de la suma del grado de los vĂŠrtices de la grĂĄfica al cuadrado

Lineales

Planares

La grĂĄfica de lĂ­nea (grĂĄfica lineal) de G, se denota con L(G), es la grĂĄfica que tiene como vĂŠrtice a las lĂ­neas de G y donde dos puntos de L(G) son adyacentes siempre que las lĂ­neas correspondientes en G lo sean tambiĂŠn.

Un đ??ž3,3 no es planar.

Un đ??ž5 no es planar.

Un grafo, mĂşltigrafo o pseudografo puede ser planar.

Palabras Clave:

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Una grĂĄfica G es isomĂłrfica a su grĂĄfica lineal L(G) si y sĂłlo si G estĂĄ constituida por un circuito donde cada vĂŠrtice tiene grado dos.

Es plana si se dibuja la grĂĄfica G de una manera en la que sus aristas no se toquen entre ellas.

Y si es plana entonces es una grĂĄfica planar

De las gráficas especiales…

Tipo de Grafica Graficas Especiales 1. Grafica Euleriana

2. Grafica Hamiltoniana

Características Basicas

Concepto

Empieza y termina en el Un paseo en un múltigrafo que mismo nodo. pasa por todas las aristas una sola • Es un grafo o múltigrafo vez se llama paseo o camino Euleriano (se pueden repetir conectado. vértices).

• Recorre cada arista del grafo exactamente una vez.  • Se pueden repetir nodos.

Si un grafo o múltigrafo con más de  Solo las lineas se pueden tres nodos se dice que tiene una repetir  Se debe pasar por los nodos trayectoria hamiltoniana, si es un una sola vez en el recorrido paseo abierto que contiene a todos los vértices del grafo y contiene n Se usan caminos cerrados 1 aristas (n  Si una grafica es nodos). hamiltoniana no es una grafica euleriana •

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Gráficas Eulerianas Un paseo cerrado que contiene a todos los vértices y a todas las aristas de una gráfica o multigráfica se llama paseo Euleriano. Una gráfica es Euleriana si contiene un paseo Euleriano.

Como se mencionó en la Introducción de este texto, Euler resolvió el problema de los puentes de Königsber. La solución al problema de los puentes de Königsberg da lugar a la definición de una clase de gráficas, las cuales reciben el nombre de gráficas Eulerianas (en honor a Leonhard Euler).

Ejemplo: Las siguientes gráficas son Eulerianas ya todos los vértices de las gráficas son de grado par.

Gráficas Hamiltonianas Un Circuito Hamiltoniano es un circuito que pasa por todos los vértices de una gráfica.

Una gráfica que contiene un Circuito Hamiltoniano es una Gráfica Hamiltonia.

Teo: Una condición suficiente pero no necesaria para que una gráfica simple sea Hamiltoniana es que el grado de todos los vértices sea por lo menos n/2 Ejemplo: Las siguientes gráficas son hamiltonianas ya que contienen un circuito que recorre todos los vértices el cuál esta marcado con rojo

Gráficas Unicursales Una gráfica formada por una Línea Unicursal, es una Gráfica Unicursal, esto es, una grafica en la que se pueden recorrer todas las líneas de la ésta en un solo trazo, comenzando en un vértice y terminando en otro. Nota: Pueden repetirse vértices en el paseo cerrado. Teo: Una gráfica conectada es un Unicursal si y solo si todos los vértices son de grado par excepto dos, el inicial y el final.

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Ejemplo: Las siguientes gráficas son Unicursales

Gráficas trazadas arbitrariamente Una Gráfica es Trazada Arbitrariamente desde un vértice V si el conjunto de líneas puede particionarse en circuitos de líneas disjuntas y todos ellos contienen al vértice V. Ejemplo: Las siguientes gráficas son Trazadas Arbitrariamente ya que todas las gráficas se pueden descomponer en circuitos y existe en ellos por lo menos un vértice en común.

Problema del Agente Viajero Un agente viajero debe visitar un cierto número de ciudades y regresar a la ciudad de partida. ¿Cómo debe planear su itinerario de forma que sólo pase una vez por cada ciudad y lo haga en el menor tiempo posible? En términos de Teoría de las Gráficas este problema se puede modelar con una gráfica ponderada y la solución al problema corresponde con un ciclo Hamiltoniano de peso mínimo

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Teorema de Euler y nĂşmero cromĂĄtico

Teorema de Euler Cuando un grafo, multigrafo o pseudografo es plano y conexo, se obtiene la siguiente relaciĂłn, el cual se necesita contar el nĂşmero de regions determinadas por un grafo.

Las regiones son las ĂĄreas formadas por las lĂ­neas de la grĂĄfica.

Sea G=(V,E) una grĂĄfica, multĂ­grafo o pseudogrĂĄfo plana conexo con E aristas y V nodos. Sea r el nĂşmero de regiones, una de estas regiones tiene un ĂĄrea no acotada y se conoce como region infinita, entonces: đ?’“= đ?&#x;?−đ?‘˝+đ?‘Ź En su lado izquierdo se encuentra un ejemplo.

Tenemos un total de regiones=1, que es la region infinita, se observa a simple vista que solo existe una region.

NĂşmero CromĂĄtico Es el nĂşmero mĂ­nimo de colores con que se puede colorear un grafo, siempre que los vertices adyacentes no tengan el mismo color. La notaciĂłn que se usa es X(G).

Teorema: Para cualquier grĂĄfica el nĂşmero cromĂĄtico es: đ?‘‹(đ??ş) ≤ 1 + ∆(đ??ş) donde ∆(đ??ş) es el grado del vĂŠrtice de mayor grado.

Ejemplo: El vĂŠrtice de mayor grado es el mismo para todos, que es igual a 3, siguiendo la formula: đ?&#x;’ ≤ đ?&#x;? + đ?&#x;‘ , lo que signifĂ­ca que el teorema es correcto, y el nĂşmero cromĂĄtico es 4.

CaracterĂ­sticas: Si no tiene aristas su X(G)=1, para un camino o un ciclo de longitud 2 es X(G)=2, si es un circuito de grado impar đ?‘‹(đ??śđ?‘› ) = 3 (siempre que n sea impar), si es par entonces đ?‘‹(đ??śđ?‘› ) = 2, y si un grafo tiene un circuito de longitude impar es X(G)≼3. El ÂżSABĂ?AS QUÉ?

El problema del puente de KĂśnigsberg era un viejo rompecabezas sobre la posibilidad de encontrar un camino sobre cada uno de los siete puentes que atraviesan un rĂ­o bifurcado que fluye mĂĄs allĂĄ de una isla, pero sin cruzar ningĂşn puente dos veces.

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Teorema de Kuratowski Cualquier grĂĄfica es no planar si y solo si contiene đ?‘˛đ?&#x;‘,đ?&#x;‘ o un đ?‘˛đ?&#x;“ o alguna subdivision de ellos.

Consideraciones: Para determiner si un grafo tiene en su interior un đ?‘˛đ?&#x;“ debe:  Tener cinco o mĂĄs vertices.  Valencia de cada nodo de cuatro o mĂĄs.  Todos los nodos deben estar relacionados entre ellos.

Para determiner si un grafo tiene en su interior un đ?‘˛đ?&#x;‘,đ?&#x;‘ debe:  Seis vertices con Valencia al menos 3.  Dos conjuntos de vertices.

EJEMPLO En su lado izquierdo se encuentra una grĂĄfica Siguiendo las consideraciones tiene mĂĄs de cinco vertices, todos los nodos excepto đ?‘Ł6 tienen Valencia de cuatro. Y todos los nodos estĂĄn relacionados entre sĂ­.

Se acomodĂł la grĂĄfica de tal manera que se pueda apreciar el đ?‘˛đ?&#x;‘,đ?&#x;‘ en el interior del grafo.

Teorema de los cuatro colores El teorema dice que todo mapa se puede colorear con a lo mĂĄs cuatro colores de tal forma que dos paĂ­ses colindantes tengan distintos colores (paĂ­ses colindantes se entiende dos paĂ­ses que tengan una poriciĂłn de lĂ­nea por frontera comĂşn).

Ejemplo: Como se puede observar, se pudo colorear con cuatro colores, no mĂĄs. Por lo que el teorema se cumple. a

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GrĂĄficas Duales

Es vĂĄlido para pseudografos planos con lazos y para mĂşltigrafos planos. Para construir un dual se coloca un vĂŠrtice dentro de cada region, incluyendo la region infinita determinada por el grĂĄfo, para cada arista compartida por las dos regiones se dibuja una arista que conecte los vertices dentro de estas regiones.

Consideraciones:  Una arista en G corresponde a una arista de đ??ş đ?‘‘ y viceversa.  El nĂşmero de regiones de G es el nĂşmero de nodos en đ??ş đ?‘‘ .



   

El nĂşmero de regiones de đ??ş đ?‘‘ es el nĂşmero de nodos en G. Un vĂŠrtice de grado 2 en G origina un par de aristas en đ??ş đ?‘‘ que conectan los mismos dos vertices (lĂ­neas paralelas). đ??ş đ?‘‘ puede ser un multigrafo.

Dado un bĂşcle en G entonces origina un vĂŠrtice colgante en đ??ş đ?‘‘ .

Un vĂŠrtice colgante en G origina un lazo en đ??ş đ?‘‘ .

El dual de un grafo plano es plano.

Si đ??ş đ?‘‘ es el grafo dual de un grado plano de G, entonces el grafo dual de đ??ş đ?‘‘ es G.

Ejemplo

Encontrar la grĂĄfica dual de la grĂĄfica G. Como se observa, por cada region se coloca un nodo, las aristas compartidas por las dos regiones se conectan con los nodos

G đ??şđ?‘‘

Quedando asĂ­ esta grĂĄfica dual.

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Graficas Lineales La gráfica de línea (gráfica lineal) de G, se denota con L(G), es la gráfica que tiene como vértice a las líneas de G y donde dos puntos de L(G) son adyacentes siempre que las líneas correspondientes en G lo sean también.

Ejemplo: Obtener L(G) de la siguiente gráfica

2, 3, 5 1, 3, 4 2, 4, 1, 5 2, 3, 5 1, 3, 4

TEOREMAS 

Si G tiene n vértices y e líneas entonces L(G) tiene e vértices y el número de líneas es igual a un medio de la suma del grado de los vértices de la gráfica al cuadrado, esto es:



Una gráfica G es isomórfica a su gráfica lineal L(G) si y sólo si G está constituida por un circuito donde cada vértice tiene grado dos.

Sea G1 y G2 gráficas conectadas con gráficas de línea isomórficas, entonces G1 y G2 son isomórficas a menos que sea G1 sea K3 y que G2 sea K1, 3.

 

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GRAFICAS TOTALES Son gráficas más generales que las gráficas de línea. Sirven para ubicar la adyacencia y la incidencia en una gráfica.

Una gráfica de línea es una subgráfica de una gráfica total.

TEOREMA Si G tiene n vértices y e líneas, entonces T(G) tendrá n+e vértices y el número de líneas es igual a dos veces la suma del grado de los vértices de la gráfica más un medio de la suma de los grados de los vértices de la gráfica al cuadrado menos dos veces el número de líneas, esto es:

Ejemplo: Obtener la gráfica total de G

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2, 3, E2, E3

2

1, 3, E2, E1

3

1, 2, E3, E1

E1

2, 3, E2, E3

E2

1, 2, E3, E1

E3

1, 3, E2, E1

FACTORIZACIÓN DE UNA GRÁFICA Una factorización de una gráfica G, es la unión de dos o más factores de líneas disjuntas que da como resultado la gráfica G.

Un factor de una gráfica G, es una subgráfica de G, la cual contiene a todos los vértices de G y por lo menos alguna línea.

FACTOR 1

FACTOR 2

FACTOR 3

TEOREMAS 

Una gráfica completa Kn para n par siempre tiene una 1-factorización.

Tendrá n-1 subgráficas de tipo 1-factor.



Una gráfica completa Kn para n impar siempre tiene una 2-factorización.

Tendrá (n-1)/2 subgráficas de tipo 2factor.



Una gráfica bipartida completa Kn, n siempre es 1-factorización.

Tendrá n subgráficas de tipo 1 – factor.

¿SABÍAS QUÉ?

En 1857, el matemático irlandés William Rowan Hamilton inventó un rompecabezas (el Juego de Icosia) que más tarde vendió a un fabricante de juegos por £ 25.

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Ejemplo: Determina si la gráfica es planar, si lo es, traza su gráfica plana

La gráfica es planar.

Gráfica planar

GRÁFICAS PLANAS Y PLANARES

Gráfica plana

Gráfica planar Una gráfica es planar si se puede transformar o pasar a una gráfica o también llamada gráfica aplanable

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Gráfica plana Una gráfica es plana si ninguna de sus arsitas se intersectan entre sí.

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Conoce más sobre los creadores…

William Rowan Hamilton Nacido en Dublín, el 4 de agosto de 1805, falleció en Ibídem el 2 de septiembre de 1865. Fue un matemático, físico, y astrónomo irlandés, que hizo importantes contribuciones al desarrollo de la óptica, la dinámica, y el álgebra. Su descubrimiento del cuaternión junto con el trabajo de Hamilton en dinámica, este último trabajo fue decisivo en el desarrollo de la mecánica cuántica, donde un concepto fundamental llamado hamiltoniano lleva su nombre.

Un día de 1843 paseaba por el puente de Brongham, que cruza el canal Real de Dublín, cuando de repente comprendió la estructura de los cuaterniones. Los cuaterniones tienen una gran importancia en física relativista y en física cuántica, así como para demostrar un teorema propuesto por LaGrange según el cual cualquier entero puede escribirse como la suma de 4 cuadrados perfectos.

Contribuciones Matemáticas: 1. Teorema de Hamilton de la hodógrafa. Postula que el vector velocidad de un planeta, sometido a la ley de fuerzas de Kepler alrededor del Sol, describe un círculo. Hamilton llamó hodógrafa a la curva descrita por el vector velocidad (del griego hodos, camino).

2.

Teorema de Cayley-Hamilton.

3.

Ecuación de Hamilton-Jacobi.

4.

Camino hamiltoniano.

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Leonhard Euler Nacido en Basilea, Suiza, en 1707 y falleció en San Petersburgo en 1783.

Fue un matemático suizo. En 1741 se trasladó a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral, que ayudó en problemas de física por ser una herramienta de fácil aplicación. Con ello desarrolló gran parte de las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego con el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos naturales).

En 1748 publicó la obra “Introductio in analysim infinitorum”, en la contribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema sobre las funciones homogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito de la geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler.

En álgebra su contribución fue el de la reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación de la constante que lleva su nombre. Contribuyó sustancialmente a la moderna notación matemática de conceptos como función, suma de los divisores de un número y expresión del número imaginario raíz de menos uno. También se ocupó de la teoría de números, campo en el cual su mayor aportación fue la ley de la reciprocidad cuadrática, enunciada en 1783.

Entre 1768 y 1772 escribió sus “Lettres à une princesse d’Allemagne”, en las que expuso concisa y claramente los principios básicos de la mecánica, la óptica, la acústica y la astrofísica de su tiempo.

De sus trabajos sobre mecánica destacan, la mecánica de fluidos, la formulación de las ecuaciones que rigen su movimiento y su estudio sobre la presión de una corriente líquida, y, en relación a la mecánica celeste, el desarrollo de una solución parcial al problema de los tres cuerpos -resultado de su interés por perfeccionar la teoría del movimiento lunar-, así como la determinación precisa del centro de las órbitas elípticas planetarias, que identificó con el centro de la masa solar. Tras su

muerte, se inició un ambicioso proyecto para publicar la totalidad de su obra científica, compuesta por más de ochocientos tratados, lo cual lo convierte en el matemático más prolífico de la historia.

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REFERENCIAS ANÓNIMO. (2004-2019). BIOGRAFÍAS Y VIDA. OBTENIDO DE LA ENCILOPEDIA BIBLIOGRÁFICA EN LÍNEA: HTTPS:// WWW.BIOGRAFIASYVIDAS.COM/BIOGRAFIA/E/EULER.HTM WILLIAM ROWAN HAMILTON. (2018, 17 DE JULIO). WIKIPEDIA, LA ENCICLOPEDIA LIBRE . FECHA DE CONSULTA: 00:24, ABRIL 24, 2019 DESDE HTTPS://ES.WIKIPEDIA.ORG/W/INDEX.PHP?TITLE=WILLIAM_ROWAN_HAMILTON&OLDID=109331965.

CARLSON S.. (MAYO 19, 2017). GRAPH THEORY. MAYO 20, 2019, DE ENCYCLOPÆDIA BRITANNICA, INC SITIO WEB: HTTPS:// WWW.BRITANNICA.COM/TOPIC/GRAPH-THEORY

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