TRIGONOMETRI
A.
• Pengukuran Sudut : Derajat dan Radian
2 π radian = 360O π radian = 180O ⇒ 1O = 1 radian =
B.
π
radian
atau 1 radian = 57,3O
• Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku Siku
Perbandingan trigonometri bergantung pada besarnya sudut, bukan bergantung pada panjang sisi. Sehingga perbandingan trigonometri merupakan fungsi dari θ (besar sudut) C Perbandingan antar sisi segitiga siku-siku siku : β 1. Sinus Sinus suatu sudut adalah perbandingan antara b panjang sisi siku-siku siku dihadapan suatu a sudut tersebut dengan hipotenusa θ a b ( sin θ = dan sin β = ) A B b c c 2. Kosinus Kosinus suatu sudut adalah perbandingan antara panjang sisi siku-siku siku yang mengapit sudut tersebut dengan hipotenusa
( cos θ =
c b
a
dan cos β = ) b
3. Tangen Tangen suatu sudut adalah perbandingan antara panjang sisi siku-siku siku dihadapan dengan sisi siku-siku siku yang mengapit sudut tersebut ( tan θ =
4. Kosekan Kosekan merupakan kebalikan dari sinus ( cosec θ =
b a
b
dan cosec β = ) c
5. Sekan Sekan merupakan kebalikan dari kosinus ( sec θ =
b c
b
dan sec β = a )
6. Kotangen Kotangen merupakan kebalikan dari tangent ( cot θ = a dan cot β = ) c c
1
a
http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
a c
c
tan β =
a
)
Perbandingan trigonometri dengan menggunakan lingkaran. p (x , y)
p (x , y)
y+
r y
x-
y
x+
A 0 x
A 0
x
y-
Perbandingan trigonometri berdasarkan lingkaran dengan jari-jari jari jari : sin A = cos A = tan A =
C .
D.
y r
=
= =
ordinat jari--jari absis jari-jari jari ordinat absis
cotan A =
=
cosec A =
=
sec A
=
=
absis ordinat jari-jari ordinat jari-jari absis
• Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Sudut Khusus
0O
30O
45O
60O
90O
sin θ
0
1 2
1
1 √3 2
1 √3 2
1
cos θ
1 √2 2
1 2
0
tan θ
0
1 √3 3
√3
–
1 √2 2 1
• Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
Sumbu koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat bagian yang disebut kuadran. 1. Kuadran pertama ( 0 < θ < 90O ) 2. Kuadran kedua ( 9 < θ < 180O ) 3. Kuadran ketiga ( 180 < θ < 270O ) 4. Kuadran keempat ( 270 < θ < 360O )
2
http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
Perbandingan trigonometri sudut di kuadran pertama sin θ = cos ( 90O – θ ) cos θ = sin ( 90O – θ ) tan θ = cot ( 90O – θ )
+
+
+
Kuadran II
sin θ
Tanda cos θ
tan θ
+
–
–
sin θ
Tanda cos θ
tan θ
–
–
+
sin θ
Tanda cos θ
tan θ
–
+
–
Perbandingan trigonometri sudut di kuadran ketiga sin ( 180O + θ ) = – sin θ cos ( 180O +θ ) = – cos θ tan ( 180O + θ ) = tan θ
tan θ
Perbandingan trigonometri sudut di kuadran kedua sin ( 180O – θ ) = sin θ cos ( 180O – θ ) = – cos θ tan ( 180O – θ ) = – tan θ
Kuadran I
sin θ
Tanda cos θ
Kuadran III
Perbandingan trigonometri sudut di kuadran keempat sin ( 360O + θ ) = – sin θ cos ( 360O +θ ) = – cos θ tan ( 360O + θ ) = tan θ
Kuadran IV
Perbandingan trigonometri sudut negatif sin (– α) = – sin α cot (– αO) = – cot αO cos (– α) = cos α sec (– αO) = sec αO tan (– α) = – tan α cosec (– αO) = – cosec αO
Perbandingan sudut yang lebih dari 360O a. sin ( n . 360O + αO ) = sin αO b. cos ( n . 360O + αO ) = cos αO c. tan ( n . 360O + αO ) = tan αO d. cot ( n . 360O + αO ) = cot αO e. sec ( n . 360O + αO ) = sec αO f. cosec ( n . 360O + αO ) = cosec αO
Grafik fungsi Trigonometri a. Nilai maksimum dan minimum fungsi sinus dan kosinus : 1. Nilai maksimum sin αO sama dengan 1, dicapai untuk αO = 90O + n . 360O nilai minimum sin αO sama dengan –1, dicapai untuk αO = 270O + n . 360O jadi , –1 ≤ sin αO ≤ 1 untuk tiap sudut αO 2. Nilai maksimum cos αO sama dengan 1, dicapai untuk αO = n . 360O nilai minimum cos αO sama dengan –1, dicapai untuk 180O + n . 360O 3. tan αO tidak mempunyai nilai maksimum maupun minimum.
3
http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
b. Fungsi-fungsi fungsi trigonometri sinus, kosinus dan tangent merupakan fungsi periodik atau fungsi berkala. 1. Fungsi sinus y = sin xO dan fungsi kosinus y = cos xO mempunyai periode 360O 2. Fungsi tangent y = tan xO mempunyai periode 180O
E.
â&#x20AC;˘ Persamaan Trigonometri Sederhana
F.
I.
k â&#x2C6;&#x160; bilangan bulat
Cos x = cos Îą x = Âą Îą + k . 360O
k â&#x2C6;&#x160; bilangan bulat
tan x = tan Îą x = Îą + k . 180O
k â&#x2C6;&#x160; bilangan bulat
â&#x20AC;˘ Koordinat Kutub
G.
Sin x = sin Îą x1 = Îą + k . 360O x2 = (180O â&#x20AC;&#x201C; Îą ) + k . 360O
Jika koordinat Cartesius titik P adalah ( x , y ),, maka koordinat kutub titik P adalah ( r , θ ) dimana r = ! dan tan θ = Jika koordinat kutub diketahui P ( r , θ ); maka dalam bidang Cartesius koordinat P adalah ( r cos θ,, r sin θ )
â&#x20AC;˘ Identitas Trigonometri
Sin2 θ + cos2 θ = 1
tan θ =
1 + tan2 θ = sec2 θ
cot θ =
1 + cot2 θ = cosec2 θ
sin θ
cos θ 1 tan θ
cosec θ =
, cos θ â&#x2030; θ
,
sec θ =
1
%&' θ
â&#x20AC;˘ Aturan Sinus dan Kosinus dalam Segitiga
Aturan sinus a b c = = sin A sin B sin C
4
http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
1
$ % θ
, dan
C
a B
Aturan kosinus 2 2 2 a = b + c – 2bc bc cos A b2 = a2 + c2 – 2acc cos B c2 = a2 + cb2 – 2a ab cos C
b c
A
J.
• Luas Segitiga
B
1
L ∆ ABC = 2 bc sin A 1
c
L ∆ ABC = 2 ab sin C
a
1
L ∆ ABC = ac sin B 2
D
A b Luas ∆ ABC = Luas ∆ ABC = Luas ∆ ABC =
a2 sin B sin C 2 sin A b2 sin A sin C 2 sin B c2 sin A sin B 2 sin C
Luas ∆ ABC = (s)s-a ) a-)s-b-(s-c) 1
Dengan s = ( a + b + c ) 2
K.
• Latihan
LATIHAN 1 1. Ubahlah kedalam ukuran radian a. 30O f. 300O b. 45O g. 50O O c. 120 h. 315O O d. 150 i. 330O e. 210O j. 108O 2. Ubahlah ke dalam ukuran derajat a. b. c.
π 6 π 3 5 6
5
radian
f.
radian
g.
π radian
h.
6
3 7 6 7 4
π radian
π radian
π radian
http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
C
d. e.
4
π radian
i.
0
radian
j.
3 π
5
π radian
12 13
π radian
12
LATIHAN 2 1. Diketahui segitiga siku-siku seperti tampak pada gambar. Tentukan keenam perbandingan trigonometri untuk sudut A. C
3 cm
B
A
4 cm
2. Jika sin θ =
√2 , tentukan nilai perbandingan trigonometri lainnya 2
! 3. Manakah sisi didepan, sisi di dekat dan hipotenusa untuk setiap sudut lancip yang diberi tanda dalam segitiga berikut : a. B b. c. R
Z
X
P A
Q
C
Y
4. Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut A pada setiap gambar berikut : a. b. c. B
C
C
B
17 3
2
8
3 A
C
B
1
A
A
5. Diketahui ∆ ABC siku-siku di B. Jika AB = 1 cm dan AC = 3 cm, hitunglah semua perbandingan trigonometri ∠ CAB ! 1
6. Diketahui salah satu sudut segitiga siku-siku ABC adalah θ. Jika diketahui sin θ = 2 dan panjang sisi siku-siku dihadapan θ adalah 4 cm, hitunglah cos θ , tan θ , cot θ, sec θ dan cosec θ !
7. Segitiga ABC siku-siku di C dan αo menyatakan besar sudut A. Carilah perbandingan trigonometri sudut αo, jika diketahui panjang sisi-sisinya sebagai berikut : a. a = 3 dan b = 12 c. a = 2 dan c = 2√5 b. a = 4 dan b = 6 d. b = 5 dan c = 13
6
http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
LATIHAN 3 1. Hitunglah ! a. sin 60O + cos 45O b. sin 60O cos 30O + cos 60O sin 30O c. sin 30O + tan 45O d. sin 30O cos 60 O + cos 45O e. sin 30O cos 45O tan 60O 2. Diantara tiap perbandingan trigonometri berikut ini manakah yang bertanda positif dan manakah yang bertanda negatif ? a. sin 105O e. tan 98O i. sec 144O O O b. sin 330 f. tan 281 j. sec 195O c. cos 72O g. cot 87O k. cosec 312O O O d. cos 236 h. cot 269 l. cosec 80O 3. Diketahui tan αo = − , αo sudut di kuadran IV. Hitunglah ! 12 a. sin αo d. sec αo e. cosec αo b. cos αo o c. cot α 5
4. Diketahui sin αo = − 0 dan tan αo bernilai positif, tentukan ! a. cos αo d. cosec αo o c. sec αo b. cot α 3
5. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya ! a. sin 36O b. cos 42O c. tan 53O 6. Hitunglah nilai dari : a. sin 120O
b. cos 135O
c. tan 150O
7. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut lancip ! a. sin 235O c. tan 198O e. sec 249O O O d. cot 261 f. cosec 212O b. cos 204 8. Hitunglah ! a. sin 240O b. cos 225O
c. tan 210O d. sin 330O
e. cos 315O f . tan 300O
9. Hitunglah ! a. sin (– 30O) b. cos (– 60O)
c. tan (– 45O) d. sin (– 240O)
e. cos (– 225O) f. cos (– 315O)
10. Hitunglah ! a. sin 390O b. cos 405O c. tan 420O d. sin 480O e. cos 510O f. tan 585O
g. h. i. j. k. l.
11. Carilah nilai dari sin (
7
π 6
cos 1.050O cos 1.110O tan 1.395O tan 1.485O sin 855O cos 930O
) cos
π 4
– tan
m. sin 1.230O n. tan 1.410O o. tan 1.470O
2π 3
http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
LATIHAN 4 1. Carilah nilai maksimum dan nilai minimum dari tiap fungsi trigonometri berikut ini : a. y = 3 sin xO e. y = – 2 cos xO 1 b. y = 2 cos xO f. y = cos xO – 2 c. y = sin xO – 1 g. y = 1 + 2 sin xO 1 h. y = – 3 + 2 cos xO d. y = cos xO + 2 2. Salin dan lengkapilah tabel-tabel berikut :
a. x
0
1
6
π
1
3
π
1
2
2
π
3
π
5
6
π
π
7
6
π
4
3
π
3
2
π
5
3
π
11 6
π
2π
y=sin x
b. x
1
0
6
π
1 3
π
1 2
π
2 3
π
π
5 6
π
7 6
π
4 3
π
3 2
π
5 3
π
11 6
π
2π
y=cos x
c. x
1
0
4
π
1
2
2
π
3
π
π
π
5
3
2
π
7
2
π
2π
y=tan x
Dari tabel diatas, gambarlah grafik fungsi trigonometri berikut, dalam interval 0 ≤ x ≤ 2π ! a. y = sin x b. y = cos x c. y = tan x 3. Salin dan lengkapilah table berikut, kemudian gunakanlah hasilnya untuk menggambar grafik fungsi trigonometri : a. y = sin x b. y = cos x c. y = tan x dalam interval 0O ≤ x ≤ 360O a. x y=sin x
O
30
O
30
O
45
0
O
60
O
90
O
60
O
90
O
120
O
90
O
135
O
150
O
120
O
180
O
150
O
210
O
180
O
240
O
210
O
270
O
240
O
300
O
270
O
330
O
300
O
360
O
330
O
O
360
O
b. x y=cos x
0 O
c. x y=tan x
0
O
O
180
O
225
O
270
O
315
O
8
O
360
http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
O
LATIHAN 5 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut, untuk 0O ≤ x ≤ 360O 1 k. sin xO = 2 a. sin xO = sin 15O 1
b. sin xO = sin 180O
l. cos 3xO = 2
c. sin 2xO = sin 50O d. cos 2xO = cos 40O
e. f. g. h. i. j.
tan xO = tan 35O sin ( xO – 10O ) = sin 35O cos (–2xO) = cos 50O cos (x + 20O) = cos 70O tan ( 2xO– 30O) = tan 20O tan 4x = tan xO
m. tan 2xO = √3 1 n. cos xO = 2 √3
o. cos (3xO) – 2 √2 = 0 p. tan ( 4xO ) + 1 = 0 q. sin ( xO + 30O ) –1 = 0 1 r. cos (xO – 15O) + 2 √3 = 0 s. 2 sin ( x + 30O ) –1 = 0 1
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut untuk 0 ≤ x ≤ 2 π : 1 1 a. sin 2 xO = sin d. cos 3x = 2 √3 3
b. sin ( x – π ) = sin
π
π
e. tan ( 2x – ) = 1
3
6
f. 2 cos ( 2x – π )
c. sin ( 2x – ) = 2 √2 π
1
4
5 6
LATIHAN 6 1. Ubahlah koordinat titik berikut kedalam koordinat kutub : a. A ( 2 , 2 ) d. D (√3 , – 1 ) b. B (– 2 , 2 √3 ) e. E ( 3 , 3 √3 ) c. C (– 6 , – 6 ) 2. Ubahlah koordinat titik berikut kedalam koordinat cartesius : a. A ( 3 , 45O ) d. D ( 5 , 315O ) O b. B ( 3 , 120 ) e. E ( 4 , –30O ) O c. C ( 2 , –120 ) 3
3. Diketahui sin α = dan 0O < α ≤ 90O . Hitunglah : a. cos αO
5
b. tan αO
4. Jika diketahui tan A = − dan 90O < A < 180O , hitunglah : 12 a. sec A b. sin A 5
5. Diketahui cosec β = 2 dan β di kuadran II, hitunglah : a. Cot β b. sin β c. cos β 6. Buktikan ! a.
b.
cot ∝ . sec2 ∝o 1+ cot2 ∝o
sin x+ tan x cotan x+cosec x
9
= tan αO
= sin x tan x
http://matematikasmun1dk.blogspot.com/
LATIHAN 7 1. Tulislah aturan sinus yang berlaku pada tiap segitiga berikut :
F
a.
b.
e
R
d
D
E
f
P
Q
2. Diketahui segitiga ABC dengan sudut A = 50O, panjang sisi a = 4 cm, dan panjang sisi b = 5 cm. Tentukan besar sudut B ! 3. Diketahui segitiga ABC dengan sudut A = 30O, b = 4 dan a = 3. Hitunglah unsur-unsur yang belum diketahui. 4. Dalam segitiga ABC, diketahui panjang sisi b = 5, sisi c = 6 dan besar ∠ A = 52O . Hitunglah panjang sisi a ! 5. Dalam ∆ ABC diketahui panjang sisi a = 7, sisi b = 8 dan sisi c = 9 , hitunglah besar ∠ A, ∠ B dan ∠ C ! 6. Dalam ∆ ABC, diketahui panjang sisi a = 4 cm, sisi b = 6 cm dan besar ∠ C = 30O. Hitunglah luas ∆ ABC tersebut ! 7. Jajaran genjang ABCD memiliki panjang AB = 8 cm, AD = 6 cm dan besar ∠ BAD = 6 O. Hitunglah luas jajaran genjang ABCD. 8. Dalam segitiga PQR diketahui panjang PQ = 10 cm dan PR = 8 cm, Jika luas ∆ PQR itu sama dengan 30 cm2, hitunglah besar ∠ P ! 9. Hitunglah luas ∆ ABC jika ∠ A = 40O , ∠ C = 65O dan sisi b = 8 cm 10. Hitunglah luas ∆ ABC berikut jika diketahui : a. Panjang sisi a = 5 cm, panjang sisi b = 6 cm dan panjang sisi c = 7 cm b. a = 4 cm, b = 5 cm, dan c = 7 cm c. C √3
1 A
2
B
11. Dari sebuah titik dipermukaan tanah, puncak dari sebuah pohon terlihat dengan sudut elevasi 40O . Jarak horizontal dari titik itu ke pohon sama dengan 15 m. Berapa meterkah tinggi pohon tersebut ? 12. Sebuah tiang bendera berdiri tegak pada tepian sebuah gedung bertingkat. Dari suatu tempat yang berada ditanah titik pangkal tiang terlihat dengan sudut elevasi 60O dan titik ujung tiang bendera terlihat dengan sudut elevasi 70O. Jika jarak horizontal dari titik pengamatan ketepian gedung sama dengan 10 meter, berapa meterkah tinggi tiang bendera tersebut ? 13. Ali, Badu dan Carli sedang bermain disebuah lapangan yang mendatar. Dalam situasi tertentu, posisi Ali, Badu dan Carli membentuk sebuah segitiga. Jarak Badu dari Ali 10 m, jarak Carli dan Ali 15 m dan jarak Carli dari Badu 12 m. Berapakah besar sudut yang dibentuk oleh Badu, Ali dan Carli dalam posisi tersebut ?
10
http://matematikasmun1dk.blogspot.com/