Soekirno Elven Seorang guru di Subang
Buku saku matematika Trigonometri - 1
Copyright Š oke.or.id Artikel ini boleh dicopy ,diubah , dikutip, di cetak dalam media kertas atau yang lain, dipublikasikan kembali dalam berbagai bentuk dengan tetap mencantumkan nama penulis dan copyright yang tertera pada setiap document tanpa ada tujuan komersial
0 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
Trigonometri 1. Perbandingan Trigonometri suatu segitiga siku-siku A
c
b miring = mi
depan = de
B
α a
B
C
samping = sa Segitiga ABC dengan siku-siku di C, maka akan diperoleh nilai perbandingaan (nisbah) berikut : § § §
de c = . mi b sa a = . Cosinus sudut α = cos α = mi b de c = . Tangen sudut α = tan α = sa a Sinus sudut α = sin α
=
Sedangkan untuk sudut di bawah ini merupakan kebalikannya dari sin α, cos α, tan α.
1 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
1 b = . sin α c 1 b = = . cos α a 1 a = = . tan α c
=
§
Cosecan sudut α = csc α
§
Secan sudut α = sec α
§
Cotangen sudut α = cot α
2. Perbandingan Sudut Istimewa, 0o, 30o, 45o, 60o dan 90o. Sudut 45o.
B p
p√2
!
BB = proyektor dari AB
AB = proyektum
B
45o B!
p
A
!
AB = Proyeksi dari AB Secara geometri terdapat suatu hubungan tertentu antara proyeksi,proyektum dan proyektor. Apabila panjang AB = p√ √2 satuan ! ! dan AB = BB = p satuan, maka dengan menggunakan perbandingan trigonometri segitiga siku-siku di peroleh : •
sin 450
=
BB! AB
•
cos 450
=
AB! AB
=
p p 2
=
tan 450
=
!
=
p p
=1
•
BB AB!
=
p p 2
=
1 2
2. 1 2
2
. .
2 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
0
•
. csc 45
•
. sec 45
•
. cot 45
0
0
=
1 sin 45 0
=
=
1 cos 450
=
=
1 tan 45 0
= 11
= 2
..
= 2
..
=1
..
1 1 2
2 1
1 2
2
Sudut 30o dan 60o.
B 30o p√3
2p
!
AB = proyektum
B
BB = proyektor dari AB
60o p
B!
A
!
AB = Proyeksi dari AB perbandingan trigonometri segitiga siku-siku di peroleh : •
sin 300
=
AB ! AB
•
cos 30 0
=
BB! AB
•
tan 30
0
=
!
•
csc 300
•
=
=
p 2p
=
p 3 2p
AB BB !
=
p
=
1 sin 300
=
sec 300
=
1 cos 30 0
=
•
cot 300
=
1 tan 300
=
•
sin 600
=
BB ! AB
=
=
=
p 3
. 1 2
3
1 3
3
=2
1 1 2
1 1 2
3 1
1 3
1 2
3
p 3 2p
=
2 3
1 2
. .
3
= 3 =
.
. .
3.
3 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
•
cos 600
=
AB ! AB
=
p 2p
=
•
tan 600
=
BB ! AB !
=
p 3 p
= 3
•
csc 600
=
1 sin 60 0
=
•
sec 600
=
1 cos 60 0
=
•
cot 600
=
1 tan 60 0
=
Sudut 90o.
=
1 1 2
3
1 2
2 3
. .
3
.
=2
1 1 2
=
1 3
1 3
.
3
.
B proyeksi B adalah B berimpit dengan A
!
p !
Proyektor dari B adalah BB = BA Proyektum = AB
90o
g
A=B! A = Proyeksi AB ke g o
Sudut 0 . !
Proyektum = AB = p
Proyektor dari B ke g adalah BB = 0, ! Maka B Proyeksi B pada garis g.
0o A
g
B=B!
p
Proyeksi dari AB ke g adalah AB sendiri = p • •
sin 00
=
cos 00
=
=
BB! AB !
AB AB
=
0 p p p
=0 =1
. .
4 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
•
tan 00
=
BB! AB!
=
0 p
=0
•
csc00
=
1 sin 0 o
=
p 0
•
sec 00
=
1 cos 0o
=
p p
•
cot 00
=
1 tan 0 o
=
p 0
.
= tak terdefinisi .
=1
.
= tak terdefinisi .
3. Sudut 180o, 270o, dan 360o. Perhatikan gambar berikut :
y P(x,y) r
y
α 0 x
x-
x
misalkan panjang r = 1 satuan panjang
ySudut 180o. Apabila r bergerak berlawanan arah jarum jam sehingga berimpit o pada sumbu x negatif, maka sudut α= 180 , r = 1, x = -1 dan y = 0. Sehingga diperoleh : •
sin 180 0
=
y r
•
cos1800
=
•
0
=
x r y x
•
csc180
0
=
1 sin 180 o
•
sec1800
=
1 cos180o
=
•
cot 1800
=
1 tan 180 o
= 10
tan 180
=
=0
0 1
=
−1 1
= −1
=
0 −1
=0
=
. . .
= tak terdefinisi .
1 0
= −1
1 −1
.
= tak terdefinisi .
5 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
Sudut 270o. Apabila r bergerak berlawanan arah jarum jam sehingga berimpit o pada sumbu y negatif, maka sudut α= 270 , r = 1, x = 0 dan y = -1. Sehingga diperoleh : •
sin 270 0
=
y r
•
cos 270 0
=
•
0
=
x r y x
0
=
1 sin 270o
•
sec 270
0
=
1 cos 270 o
•
cot 2700
=
1 tan 270 o
•
tan 270
csc 270
=
−1 1
= −1
0 1
=0
= =
. .
= tak terdefinisi .
-1 0
= =
= −1
1 −1
= tak terdefinisi
1 0
=
.
=0
1 −1
0
.
Sudut 360o dan Sudut 0o. Apabila r bergerak berlawanan arah jarum jam satu putaran penuh o sehingga berimpit pada sumbu x lagi, maka sudut α= 360 , r = 1, x = 1 dan y = 0. jadi perbandingan trigonometrinya sama dengan o sudut α = 0 . •
sin 360 0
=
y r
•
0
=
0
=
x r y x
cos 360
=
•
tan 360
•
csc3600
1 = sin 360 o
•
sec 3600
=
1 cos 360 o
•
cot 3600
=
1 tan 360o
=0
0 1
.
= 11
=1
.
=
=0
.
0 1
= 10
= tak terdefinisi .
= 11 =
1 0
=1
.
= tak terdefinisi .
6 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
4. Sudut pada Kuadran. Koordinat kartesius di bagi ke dalam 4 bagian yang sama besar, tiap bagian mewakili kuadran I, kuadran II, kuadran III dan kuadran IV.
y Kuadran II 90o < α < 180o
Kuadran I 0o < α < 90o
x
x-
0
Kuadran III 180o < α < 270o
Kuadran IV 270o < α < 360o
y-
Tanda Perbandingan Trigonometri Pada setiap Kuadran. Kuadran II P(-x, y)
P(x,y)
r
y
r α
o
x
Kuadran III y
o
P(-x,-y)
x
y
α 0
o
x
x Kuadran IV
y α
-y
Kuadran I
y
y
-x
α
x
-y
r
r -x
x
P(x,-y)
7 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
TIPS - 1 Tidak dianjurkan sebelum memahami konsep-konsep matematika dengan baik, penggunaan tips ini hanyalah sebagai variasi dalam belajar matematika.
Secara umum di simpulkan : semua-sindikat-tangannya-kosong
Kuadran II : sindikat = nilai perbandingan trigonometri untuk sinα dan csc α bertanda POSITIF, sedangkan perbandingan trigonometri lainnya bertanda NEGATIF.
Kuadran III : tangannya = nilai perbandingan trigonometri untuk tan α dan cot α bertanda POSITIF, sedangkan perbandingan trigonometri lainnya bertanda NEGATIF.
Kuadran I : semua = semua nilai perbandingan trigonometri setiap sudut bertanda POSITIF
Kuadran IV : kosong = nilai perbandingan trigonometri untuk cos α dan sec α bertanda POSITIF, sedangkan perbandingan trigonometri lainnya bertanda NEGATIF.
5. Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub. Perhatikanlah gambar di bawah ini : Koordinat Kartesius
Koordinat Kutub
y
y
o
P(r,α )
P(x,y)
r
y 0
x
x
αo 0
x
8 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
Hubungan kedua koordinat tersebut dapat dinyatakan :
y
P(x,y)
r
y
αo 0
x x
gunakan rumus : Koordinat Kartesius P(x,y)
r = x2 + y2 , dimana
y , x y α = arctan x
Koordinat Kutub P(r,α)
tan α =
gunakan rumus :
x = r. cos α y = r. sin α
9 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
6. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi. Pengantar Mengenai Sudut Berelasi(berhubungan) : Sudut α dan sudut β akan saling o berpelurus jika α + β = 180 o o misalnya α = 80 dan β = 100 , o o o karena 80 + 100 = 180 , oleh o o sebab itu sudut 80 dan sudut 100 disebut dua buah sudut yang berelasi (berhubungan).
C
αo
βo B
A
D
o
∠ ABC = α dan ∠ DBC = β
o
ilustrasi dua buah sudut berpelurus
Sudut θ dan sudut γ akan saling o berpenyiku jika θ + γ = 90 o o misalnya θ = 30 dan γ = 60 , o o o karena 30 + 60 = 90 , oleh o sebab itu sudut 30 dan sudut o 60 disebut dua buah sudut yang berelasi (berhubungan).
P R Q
γ
o
θo
S
o
∠ SQR = θ dan ∠ PQR = γ
o
ilustrasi dua buah sudut berpenyiku
Secara Umum Sudut Berelasi (berhubungan) : P
C
o
R
o
( 90 - α )
(180o- αo) αo A
B o
αo
Q
S
D
o
o
∠ ABC = (180 - α ) dan ∠ DBC = α ilustrasi dua buah sudut berpelurus
o
o
o
∠ SQR = α dan ∠ PQR =(90 - α ) ilustrasi dua buah sudut berpenyiku
10 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
Ø Sudut αo dan (90o – αo) : Kuadran I y
Kuadran I P(x,y) (90o-α)
r
α
y x
0
x
( 90o - α )
α y r x cos α = r y tan α = x r cscα = y r sec α = x x cot α = . y
. sin α
y . r x sin (90 − α ) = . r y cot (90 − α ) = . x r sec(90 − α ) = y r csc(90 − α ) = . x x tan (90 − α ) = . y
cos(90 − α ) =
=
Kesimpulan : o
o
o
o
o
o
sin α = cos (90 - α ) ; cos α = sin (90 - α ) ; tan α = cot (90 - α ) o
o
o
o
o
o
csc α = sec (90 - α ) ; sec α = csc (90 - α ) ; cot α = tan (90 - α )
11 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
Ø Sudut αo dan (90o + αo) atau (180o - αo) : Kuadran II
y
Kuadran II P(-x,y)
y
(90o+ α)
r
α
x
0
-x y
Kuadran II P(-x,y)
r
y
(180o- α)
α
x 0
-x Dengan menggunakan cara yang sama seperti pada penentuan o o o perbandingan trigonometri α dan (90 - α ), Kesimpulan : o
o
sin (90 + α ) = cos α o o cos (90 + α ) = - sin α o o tan (90 + α ) = - cot α o
o
csc (90 + α ) = sec α o o sec (90 + α ) = - csc α o o cot (90 + α ) = - tan α
o
o
sin (180 - α ) = sin α o o cos (180 - α ) = - cos α o o tan (180 - α ) = - tan α o
o
csc (180 - α ) = csc α o o sec (180 - α ) = - sec α o o cot (180 - α ) = - cot α
12 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
Ø Sudut αo dan (270o - αo) atau (180o + αo) : Kuadran III
y (270o - α) x
-y
α
r
0
P(-x,-y) Kuadran III
-x y (180o + α) α
-y
x 0
r
P(-x,-y) Kuadran III
-x
Dengan menggunakan cara yang sama seperti pada penentuan perbandingan trigonometri sebelumnya, Kesimpulan : o
o
sin (270 - α ) = - cos α o o cos (270 - α ) = - sin α o o tan (270 - α ) = cot α o
o
csc (270 - α ) = - sec α o o sec (270 - α ) = - csc α o o cot (270 - α ) = tan α
o
o
sin (180 + α ) = - sin α o o cos (180 + α ) = - cos α o o tan (180 + α ) = tan α o
o
csc (180 + α ) = - csc α o o sec (180 + α ) = - sec α o o cot (180 + α ) = cot α
13 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
Ø Sudut αo dan (270o + αo) atau (360o - αo) : Kuadran IV
y (270o + α) 0
x
α
r
-y P(x,-y) Kuadran IV
x y (360o - α)
x
α
0
r
-y P(x,-y) Kuadran IV
x
Dengan menggunakan cara yang sama seperti pada penentuan perbandingan trigonometri sebelumnya, Kesimpulan : o
o
sin (270 + α ) = - cos α o o cos (270 + α ) = sin α o o tan (270 + α ) = - cot α o
o
csc (270 + α ) = - sec α o o sec (270 + α ) = csc α o o cot (270 + α ) = - tan α
o
o
sin (360 - α ) = - sin α o o cos (360 - α ) = cos α o o tan (360 - α ) = - tan α o
o
csc (360 + α ) = - csc α o o sec (360 + α ) = sec α o o cot (360 + α ) = - cot α
14 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
Ø Sudut αo dan sudut ( - αo) atau sudut negatif
P(x, y) y α
x
-α
0
r
-y !
P (x,-y) o
sin (- α ) o cos (- α ) o tan (- α )
= - sin α = cos α = - tan α
o
csc (- α ) o sec (- α ) o cot (-α )
= - csc α = sec α = - cot α o
o
Perhatikanlah sudut negatif dengan sudut di kuadran IV, (360 - α ) adakah kesamaannya ?
TIPS - 2 Tidak dianjurkan sebelum memahami konsep-konsep matematika dengan baik, penggunaan tips ini hanyalah sebagai variasi dalam belajar matematika.
Cara menentukan sudut berelasi pada perbandingan trigonometri. a. Apabila di depan angka nol sudut berelasi angka ganjil, maka i. Nama sudut berubah sesuai pasangan (lihat tabel) ii. Tanda positif atau negatif di tentukan oleh nama sudut asal (lihat semua-sindikat-tangannya-kosong) Berlaku untuk sudut seperti di bawah ini : o
o
(90 - α )
o
o
(90 + α )
o
o
(270 - α )
15 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
o
o
(270 + α )
b.
Apabila di depan angka nol sudut berelasi angka genap, maka i. Nama sudut tetap. ii. Tanda positif atau negatif di tentukan oleh nama sudut asal (lihat semua-sindikat-tangannya-kosong Berlaku untuk sudut seperti di bawah ini : o o o o o o (180 - α ) (180 + α ) (360 - α )
o
o
(360 + α )
Nama Pasangan
1.
sin α
cos α
sec α
csc α
tan α
cot α
Nyatakanlah perbandingan trigonometri berikut dalam perbandingan sudut komplemennya. o o o b. cos 40 c. tan 57 a. sin 39 d. cot 23
o
o
e. sec 9
f. csc 76
o
Jawab : karena soal tersebut semua berada di kuadran I, maka o o o a. sin 39 = sin ( 90 – 51 ) {tips 2a maka nama sudut berubah sesuai pasangan} o = cos 51 , {tanda sudut awal sin di kd I +, maka hasilnya tetap positif}.
16 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
b.
c.
d.
e.
f.
2.
o
o
o
cos 40 = cos ( 90 – 50 ) {tips 2a maka nama sudut berubah sesuai pasangan} o = sin 50 , {tanda sudut awal cos di kd I +, maka hasilnya tetap positif}. o o o tan 57 = tan ( 90 – 33 ) {tips 2a maka nama sudut berubah sesuai pasangan} o = cot 33 , {tanda sudut awal tan di kd I +, maka hasilnya tetap positif}. o o o cot 23 = cot ( 90 – 67 ) {tips 2a maka nama sudut berubah sesuai pasangan} o = tan 51 , {tanda sudut awal cot di kd I +, maka hasilnya tetap positif}. o o o sec 9 = sec ( 90 – 81 ) {tips 2a maka nama sudut berubah sesuai pasangan} o = csc 81 , {tanda sudut awal sec di kd I +, maka hasilnya tetap positif}. o o o csc 76 = csc ( 90 – 14 ) {tips 2a maka nama sudut berubah sesuai pasangan} o = sec 14 , {tanda sudut awal csc di kd I +, maka hasilnya tetap positif}.
Nyatakanlah perbandingan trigonometri berikut dalam perbandingan sudut komplemennya. o o o b. cos 122 c. tan 136 a. sin 99 d. cot 160
o
e. sec 152
o
f. csc 95
o
Jawab : karena soal tersebut semua berada di kuadran II, maka bisa 2 cara dalam menjawabnya. sin 99
Cara 1 : o o o sin 99 = sin ( 90 + 9 ) • nama sudut berubah cos, • tanda sudut sin di kd I +, o • hasilnya cos 9 .
o
Cara 2 : o o o sin 99 = sin ( 180 - 81 ) • nama sudut tetap sin, • tanda sudut sin di kd I +, o • hasilnya sin 81 .
17 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
cos 122
Cara 1 : o o o cos 122 = cos ( 90 + 32 ) • nama sudut berubah sin, • tanda sudut cos di kd II -, o • hasilnya – sin 32 .
o
Cara 2 : o o o cos 122 = cos ( 180 - 58 ) • nama sudut tetap cos, • tanda sudut cos di kd II -, o • hasilnya - cos 58 .
Dengan cara yang sama o
o
o
o
o
o
o
o
b.
tan 136 = tan ( 90 + 46 ) = - cot 46 atau o o o o tan 136 = tan ( 180 - 44 ) = - tan 44 .
c.
cot 160 = cot ( 90 + 70 ) = - tan 70 atau o o o o cot 160 = cot ( 180 - 20 ) = - cot 20 .
d.
sec 152 = sec ( 90 + 62 ) = - csc 62 atau o o o o sec 152 = sec ( 180 - 28 ) = - sec 28 .
e.
csc 95 = csc ( 90 + 5 ) = sec 5 . atau o o o o csc 95 = csc ( 180 - 85 ) = csc 85 .
o
o
o
o
o
o
o
o
Cara tersebut berlaku analog untuk kuadran III, IV hanya tinggal menyesuaikan sudut dan tanda (+ atau - ).
18 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
Ø Sudut (k.360o + αo) dan Sudut (k.360o - αo) Besarnya sebuah sudut dapat ditulis sebagai :
(k x 360o + αo)
1.
Nyatakanlah perbandingan trigonometri berikut dalam perbandingan sudut komplemennya. o
o
a. sin (-300 ) o
c. tan (-210 )
o
f. csc (-945 )
e. sec (-850 )
d. cot (-1110 )
o
b. cos (-120 )
o
Jawab : dapat diselesaikan ke dalam 2 cara penyelesaian. o
sin (-300 )
Cara 1 : o o sin (-300 ) = - sin ( 300 ) o o - [ sin ( 270 + 30 ) ] o - [ - cos 30 ] o • hasilnya cos 30 .
Cara 2 : o o sin (-300 ) = - sin ( 300 ) o o - [ sin ( 360 - 60 ) ] o - [ - sin 60 ] o • hasilnya sin 60 .
o
sec (-850 )
Cara 1 : o o sec (-850 ) = sec ( 850 ) o o sec [(3• 360 + 230 ) ] o o o sec [ 230 ] = sec (270 -40 ) o • hasilnya - csc 40 .
Cara 2 : o o sec (-850 ) = sec ( 850 ) o o sec [(3• 360 + 230 ) ] o o o sec [ 230 ] = sec (180 +50 ) o • hasilnya - sec 50 .
19 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
Dengan cara yang sama
2.
o
o
o
o
b.
tan (-210 ) = - tan 210 = -[tan ( 270 - 60 )] o o = -[ cot 60 ] = - cot 60 . atau o o o o tan (-210 ) = - tan 210 = -[tan ( 180 + 30 )] o o = -[ tan 30 ] = - tan 30 .
c.
cot (-1110 ) = - cot 1110 = -[cot (3â&#x20AC;˘360 + 30 )] o o = -[ cot 30 ] = - cot 30 . atau o o o = -[ cot 30 ] = - [cot (90 -60 )]. o o = -[tan 60 ] = -tan 60
d.
csc (-945 ) = - csc 945 = -[csc (3â&#x20AC;˘360 - 135 )] o o = -[ -csc 135 ] = csc 135 . atau o o o = [ csc 135 ] = [csc (90 +45 )]. o = sec 45 atau o o o = [ csc 135 ] = [csc (180 - 45 )]. o = csc 45
o
o
o
o
o
o
o
o
Nyatakanlah perbandingan trigonometri berikut dalam perbandingan sudut komplemennya. o
a. sin 1.000
o
c. csc 1.000
b. cot 1.000
o
d. cos 2.000
o
e. tan 2.000
o
f. sec 2.000
Jawab : dapat diselesaikan ke dalam 2 cara penyelesaian.
20 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
o
sin 1.000
Cara 1 : o sin 1.000 o o sin [ (3• 360 + 80 ) ] o sin [ 80 ] o sin 80 .
o
Cara 2 : o sin 1.000 o o sin [ (3• 360 + 80 ) ] o o o sin [ 80 ] = sin (90 - 10 ) o cos 10 .
tan 2.000
Cara 1 : o tan 2.000 o o tan [ (6• 360 + 160 ) ] o - [ tan ( 160 ) ] o o o - [tan(180 – 20 )] = -[-tan 20 ] o tan 20 .
o
Cara 2 : o tan 2.000 o o tan [ (6• 360 + 160 ) ] o - tan ( 160 ]) o o o -[tan (90 + 70 )] = -[-cot 70 ] o cot 70 .
Untuk b, c, d dan f dapat dikerjakan secara mandiri sebagai latihan !
21 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
7. Identitas Trigonometri. Ø Hubungan Kebalikan. • • •
1 csc α 1 cos α = sec α 1 tan α = cot α
sin α =
1 sin α 1 sec α = cos α 1 cot α = tan α cscα =
• • •
Ø Hubungan Perbandingan (kuosien). tan α =
sin α cos α
cot α =
cos α sin α
Ø Hubungan Sebab Akibat Dalil Pythagoras. y P(x,y) y
r α
O
!
x P
x
misalkan panjang r = 1 satuan panjang
22 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
!
Dari segitiga OPP , diperoleh hubungan pythagoras:
(OP ) + (PP ) ! 2
= (OP )
! 2
2
x2 + y2 Karena
=1
sin α = = y dan cos α = 1x = x , diperoleh y 1
x2 + y2 cos 2 α + sin 2 α
2
=1 =1
2
sinα × sinα = sin α 2 cosα × cosα = cos α
2
2
Apabila x + y = 1, ke dua ruas dibagi oleh x , maka diperoleh :
x2 y 2 1 + 2 = 2 2 x x x 2 2 y 1 1+ = x x y Karena tan α = x dan sec α =
1 x
, diperoleh
1 + tan 2 α = sec 2 α . 2
2
2
Sekarang jika x + y = 1, ke dua ruas dibagi oleh y , maka diperoleh :
x2 y2 1 + 2 = 2 2 y y y 2 2 1 x + 1 = y y Karena cot α = xy dan cscα =
1 y
, diperoleh
cot α + 1 = csc α . 2
2
23 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
8. Satuan Ukuran Sudut. Ø
Derajat (sexagesimal)
Perhatikan gambar di bawah ini, garis OB berimpit dengan garis OA (sebagai kedudukan awal) kemudian bergerak berlawanan dengan o arah jarum jam sebanyak 1 putaran = 360 . Maka diperoleh hubungan bahwa
1o =
!
beberapa contoh, misalnya
B
1 10
O
1 putaran. 360 1 10
putaran adalah
× 360 o = 36 o.
A
B
Hubungan derajat dengan menit dan detik,
§ § § §
o
v
1 = 60 menit ( 60’ ) = 3.600 detik ( 3.600” )
v
1’ =
v
1” =
1 o 60 1 60
'
o
Ubahlah 22,8 ke dalam menit, detik. o Nyatakan 14,54 ke dalam derajat, menit, dan detik. o Nyatakan ke dalam desimal derajat, 14 32’24”. o Bila α = 127 24’, tentukanlah hasilnya dalam derajat, menit dan detik bila
1 5
α
.
Jawab : § §
o
22,8 × 60 ’ o 22,8 × 3.600“
= 1.368 ’ (menit) ; = 82.080” (detik)
24 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
14,54 o
§
= = = = =
14 o 14 o 14 o 14 o 14 o o
o
o
o
Jadi 14,54 = 14 32’ 24”.
14 o 32'24" = = = = = §
4 ) + (105 ) + (100 5 4 + (10 × 60') + (100 × 3.600") + 30'+144" + 30'+120"+24" + 30'+ + 2'+24" = 14 o + 32'+24"
14 o + 32'+24" 24 14 o + 6032o + 3.600 o o o 14 + 0,5333 + 0,00667 o 14 o + 0,53997 o 14,53997 o = 14,54 o
( ) (
o
)
o
Jadi 14 32’ 24” = 14,54 .
127 o 24' = = = = = Jadi
1 5
127 o 125 o 125 o 125 o 125 o
+ 24' + 2 o + 24' + (2 × 60') + 24' + 144' + 140'+4' = 125 o + 140'+240"
α = 15 (125 o + 140'+240") = 25 o 28'48" .
25 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
Ø
Radian (sekuler) adalah perbandingan antara panjang busur lingkaran dengan panjang jari-jari lingkaran tersebut. A s O
Ø
B
r
radian =
∩ AB s = r r
1 Radian ( 1 rad ) diartikan sebagai besarnya sudut pusat juring yang panjang busurnya (s) sama dengan jari-jari (r). A s=r
r O
Ø
r
B
Hubungan Derajat dan Radian
π rad 180o 180o 1 rad = 1o =
1 rad = 57,296o
π
26 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
9. Grafik Fungsi Trigonometri.
1
Tabel Nilai Fungsi Trigonometri
27 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
1
Grafik Fungsi Trigonometri
28 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
29 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
Refferensi
Portable Plot3d 2.1.5 â&#x20AC;&#x201C; freeware www.softpedia.com Sartono Wirodikromo.2005. Matematika untuk SMA kelas X. Jakarta : Erlangga Suwah Sembiring,dkk. 2007. Matematika SMA/MA kelas X. Bandung : CV. Yrama Widya Tim Matematika SMU.2001. Matematika 1 untuk SMU. Jakarta : PT. Galaxy Puspa Mega. 1
Thomas.2005. Calculus 11th Editions. Pearson Addison-Wesley
Saran dan Masukan elven.soekirno@gmail.com
30 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id
Sisipan Hal 4
Sudut 90o.
B proyeksi B adalah B berimpit dengan A
!
p !
Proyektor dari B adalah BB = BA
90o
Proyektum = AB
g
A=B! A = Proyeksi AB ke g
sin 90 0
=
•
cos 90 0
=
AB AB
•
tan 90 0
=
BB! AB!
•
csc 90 0
=
1 sin 90o
•
sec 9 0 0
=
1 cos9 0 o
•
cot 90 0
=
1 tan 90o
•
=
BB! AB
=
!
=
=1
p p
=0
0 p
= 11 =
.
= tak terdefinisi .
p 0
=
.
1 0 0 p
=1
.
= tak terdefinisi = 0.
31 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Trigonometri http://oke.or.id