Spazio invalsi matematica - Annotata by Gruppo Editoriale Raffaello

MATEMATICA SPAZIO INVALSI INVALSI

IN PIU TEST D’INGRESSO PER LA SECONDARIA DI SECONDO GRADO

Prova primo quadrimestre

6 allenamenti sui 4 nuclei tematici

Prova ufficiale guidata

Prova simulata completa

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CODICE DI ATTIVAZIONE

MATEMATICA SPAZIO INVALSI INVALSI

1 PREPARIAMOCI

Nel Libro digitale:

• Allenamenti e Prova simulata CBT

• Prova simulata extra CBT

• Percorsi interdisciplinari personalizzabili

• Ripasso delle regole e delle formule

PRESENTAZIONE

Il libro

Il presente volume è un valido strumento di preparazione metodologica ed esercitazione pratica alla prova INVALSI, ed è articolato in due sezioni: la prima è dedicata alla Prova nazionale INVALSI e comprende una prova per il primo quadrimestre, un allenamento guidato per apprendere il metodo, una prova ufficiale guidata, sei allenamenti e una prova simulata completa; la seconda propone tre prove di ingresso per la scuola superiore.

Nel progettarlo e realizzarlo si è fatto riferimento ai documenti ministeriali presentati dalla ultima normativa1 e agli esempi esplicativi che il Ministero ha fornito per preparare le studentesse e gli studenti rispetto alle richieste di competenza che sono oggetto di valutazione da parte dell’INVALSI.

Lo spirito del volume è invitare ciascuno, oltre che a esercitarsi, a riflettere sul proprio modo di condurre il compito da svolgere perché possa, adeguatamente sostenuto dall’insegnante in questa fase di preparazione, riconoscere e valorizzare meglio i propri punti di forza e controllare e minimizzare invece gli aspetti critici del suo essere studente, primo tra essi e comune a molti l’emotività: l’esercizio stesso e soprattutto riflettere sul come lo si fa aiutano ad alleggerire il momento della Prova nazionale dall’ansia e dagli elementi di contesto che potrebbero condizionare negativamente la sua prestazione.

Gli allenamenti e la prova simulata sono disponibili sul Libro digitale in versione digitale CBT (Computer Based Training), per permettere di acquisire familiarità e dimestichezza con la procedura della Prova nazionale INVALSI.

Sul Libro digitale si trova anche un utile compendio per aver sempre a portata di mano tutte le conoscenze di base.

La Prova nazionale INVALSI

La prima sezione si apre con una serie di esercitazioni propedeutiche: una prova del primo quadrimestre, pensata per essere svolta nella prima parte dell’anno, un allenamento per apprendere il metodo e una prova ufficiale guidata, in cui ogni domanda è accompagnata da un commento che guida nella comprensione della richiesta e nella risoluzione del quesito.

La prova del primo quadrimestre consiste in un test che, somministrato entro il primo quadrimestre, permette di avere un quadro della situazione dei singoli studenti e della classe relativamente agli aspetti che saranno oggetto prima delle esercitazioni in classe, poi della Prova nazionale INVALSI.

La prova del primo quadrimestre è costituita da quattro sezioni2: Numeri (con 15 quesiti); Spazio e figure (con 12 quesiti); Dati e previsioni (con 6 quesiti); Relazioni e funzioni (con 6 quesiti). Per ogni esercizio è indicato il livello di difficoltà, da 1 a 3.

Ciascuna delle singole sezioni è somministrabile anche completamente slegata dalle altre prevedendo almeno 40 minuti di impegno per gli alunni (le sezioni Dati e previsioni e Relazioni e funzioni possono essere somministrate insieme).

1 D.lgs n.62/2017: Valutazione e certificazione delle competenze nel primo ciclo ed esami di Stato.

Circolare 1865 del 10 ottobre 2017: Indicazioni in merito a valutazione, certificazione delle competenze ed Esame di Stato nelle scuole del primo ciclo di istruzione.

Nota 2936 del 20 febbraio 2018: Esame di Stato conclusivo del primo ciclo di istruzione. Indicazioni per lo svolgimento delle prove INVALSI.

D.M. 741 del 3 ottobre 2017: Esame di Stato conclusivo del primo ciclo di istruzione.

D.M. 742 del 3 ottobre 2017: Finalità della certificazione delle competenze.

2 Quadro di Riferimento delle prove INVALSI di Matematica del 30/08/2018.

Essendo autonome tra loro, le singole sezioni sono abbinabili a formare una prova alla quale dedicare –in proporzione − maggior tempo per lo svolgimento; tuttavia esse sono state progettate per consentire un riscontro immediato da parte dell’insegnante, ai singoli discenti e alla classe, in relazione alle aree indicate nel QDR delle prove INVALSI di matematica. Avendo infatti tali sezioni lo scopo di far emergere eventuali lacune che il citato QDR prende in considerazione nella Prova nazionale, procedere per singole aree − attraverso un numero contenuto di quesiti e senza dispersione nel tempo − e riflettere localmente su ciascuna di esse, con i singoli alunni e la classe, risulta più vantaggioso e proficuo per impostare i percorsi di consolidamento e/o recupero in vista della Prova nazionale stessa. Per assegnare i livelli di competenza si può fare riferimento alla seguente tabella:

e previsioni

le aree

Livello corrispondente iniziale base intermedio avanzato

Ogni risposta corretta vale un punto. Tuttavia si lascia all’insegnante la possibilità di modulare meglio l’assegnazione del livello ottenuto, tenendo anche conto del grado di difficoltà delle domande.

L’allenamento guidato si basa su un approccio risolutivo in tre passaggi, utile per acquisire un metodo per affrontare tutti i quesiti presenti negli allenamenti, nella prova simulata e, in generale, nella Prova nazionale INVALSI.

Si consiglia di svolgere in classe questo allenamento guidato, per analizzarlo e commentarlo insieme in modo da aiutare la classe a cogliere la ricorsività dei passaggi proposti.

Seguono sei allenamenti pensati per poter essere svolti in classe nel corso di un’ora di lezione. Ciascun allenamento è composto di 20 quesiti, che testano le quattro aree del QDR INVALSI. Per agevolare il lavoro in classe, all’inizio di ciascun allenamento viene offerta una tabella che riassume i prerequisiti necessari per svolgere i quesiti e l’area del QDR a cui afferiscono. In questo modo l’insegnante potrà selezionare i quesiti che ritiene più adatti alla situazione della propria classe.

La sezione si conclude con una prova simulata completa da svolgere in 90 minuti, il tempo stabilito dall’INVALSI: sono proposti 27 problemi, 3 dei quali hanno una doppia domanda, per un totale complessivo di 30 quesiti a cui rispondere.

1 PREPARIAMOCI ALLE PROVE INVALSI

Questa sezione si compone di cinque parti:

● una prova del primo quadrimestre;

● un allenamento guidato per apprendere il metodo;

● una prova ufficiale guidata;

● sei allenamenti;

● una prova simulata completa.

PROVA DEL PRIMO QUADRIMESTRE

NUMERI

1 LIVELLO 1 Nadya ama i fiocchi per i capelli e ne possiede molti: ne ha 5 di colore verde, 7 rossi e 4 blu.

Qual è la frazione che rappresenta il numero dei fiocchi blu rispetto al totale?

2 LIVELLO 2 Associa, se possibile, i seguenti numeri alla loro corretta posizione sulla retta orientata.

a. 4 b. 5 4 c. 9 2 d. 3,5 e. 1,75 0 1 b e d a c 2 3 4 5 6

3 LIVELLO 3 Associa le seguenti espressioni con il corrispondente numero generato.

a. 2 3

b. 3 2

c. √ 25

d. √ 16 + 25

e. 5 6

1. Numero naturale

2. Numero decimale limitato

3. Numero decimale illimitato periodico semplice

4. Numero decimale illimitato periodico misto

5. Numero decimale illimitato non periodico

4 LIVELLO 1 Calcola il risultato della seguente operazione: ( 3 7 + 4 7 6 5 2 5 ) : 8 7 =

Risposta: 5 8

5 LIVELLO 2 In una scuola 126 alunni, corrispondenti esattamente ai 3 7 degli alunni che frequentano l’istituto, partecipano alle olimpiadi studentesche. Quanti alunni ha quella scuola in totale?

Risposta: alunni.

6 LIVELLO 3 Calcola il risultato della seguente operazione:

Risposta:

7 LIVELLO 1 Quale delle seguenti uguaglianze è falsa?

Attenzione! Meglio esprimere ogni membro di sinistra come un’unica potenza.

9 LIVELLO 3 Calcola il risultato della seguente operazione:

Risposta:

LIVELLO 1 Se 256 2 = 65536, quanto vale √ 65536 ?

A √ 65536 = 65536 : 2 = 32768

B √ 65536 = 256 ⋅ 2 = 516

C √ 65536 = 256

D √ 65536 = √ 256 = 16

11 LIVELLO 2 Quale è il risultato della seguente radice?

A 5 B 525 C 125 3

D Un numero irrazionale compreso tra 11 e 12.

12 LIVELLO 3 Calcola il valore della seguente espressione:

Risposta:

13 LIVELLO 1 Indica quale serie presenta l’equivalenza sbagliata. A 5 : 10 = 1 2 = 0, 5 = 50%

1 : 2, 5 = 2 5 = 0, 4 = 4%

14 LIVELLO 2 Calcola il termine incognito.

9 : 60 = 3 20 = 0, 15 = 15%

4 : 16 = 1 4 = 0, 25 = 25%

Risposta: x =

15 LIVELLO 3 Marica e Giulia sono in campeggio in montagna e vogliono fare un’escursione al lago; nella loro carta topografica in scala 1 : 25 000, il lago dista 20 cm dal campeggio. Quanti chilometri devono camminare per arrivare al lago?

Risposta: km. 36 5 8 Attenzione! Devi risolvere una proporzione. 5

SPAZIO E FIGURE

16 LIVELLO 1 Un quadrilatero ha tre angoli interni congruenti di ampiezza 100° ciascuno. Qual è l’ampiezza del quarto angolo?

A 60°

B 100°

C 120°

D Non è possibile costruire il quadrilatero indicato.

17 LIVELLO 2 Sapendo che il perimetro del rettangolo mostrato in figura è 36 cm, quanto vale il perimetro di ciascun quadrato che lo compone?

A 9 cm

B 12 cm

C 18 cm

D 24 cm

18 LIVELLO 3 Nel triangolo rettangolo ABC rappresentato in figura è stata tracciata la mediana CM relativa all’ipotenusa, che corrisponde a metà dell’ipotenusa stessa. Sapendo che l’angolo in C è retto e che l’angolo in B misura 54°, calcola l’ampiezza dell’angolo BM ˆ C.

Attenzione!

Parti dalla relazione tra le lunghezze dell’ipotenusa

AB e della mediana CM

Risposta: °.

19 LIVELLO 1 Un quadrato di lato AB = 24 cm è equivalente a un rettangolo avente l’altezza FG = 18 cm.

Calcola la lunghezza della base EF del rettangolo.

A 24 cm B 27 cm C 32 cm D 36 cm

20 LIVELLO 2 Osserva il quadrilatero rappresentato nella seguente figura, avente il lato AB = 40 cm e il lato opposto CD = 20 cm. Sapendo che l’area della sua superficie è 900 cm2 calcola l’altezza AC della figura.

Risposta: cm.

21 LIVELLO 3 Osserva la seguente figura. Sapendo che il lato di ogni quadretto vale 1 dm, calcola l’area della figura.

Attenzione! Puoi considerare il poligono come la differenza tra due poligoni di cui sai calcolare l’area.

Risposta: dm2.

22 LIVELLO 1 Per superare il dislivello AH = 2,5 m, viene costruita una rampa di lunghezza AB = 6,5 m. A che distanza si troverà il punto B dalla base H del dislivello?

A 4 m

B 5,5 m

C 6 m

D 6,5 m

23 LIVELLO 2 Il rombo mostrato in figura ha il perimetro di 200 cm e la diagonale maggiore AC lunga 96 cm. Calcola la misura della diagonale minore BD.

Attenzione! Un teorema di un grande matematico greco può aiutarti.

Risposta: cm.

24 LIVELLO 3 Osserva il triangolo ABC nella figura.

Sapendo che l’altezza CH è pari a 10 cm, quanto vale il lato AB ?

A 30 cm

B (10 √ 2 + 20)cm

C (10 √ 2 + 10 √ 3 )cm

D (10 + 10 ⋅ √ 3 )cm

25 LIVELLO 1 I rettangoli ABCD e A'B'C'D' sono simili. Sapendo che AB = 24 cm, BC = 15 cm e A'B' = 40 cm, quanto misura il lato B'C'?

Risposta: ….................…. cm.

26 LIVELLO 2 Osserva le seguenti figure, rappresentano due aiuole, con la stessa forma, ma di dimensioni diverse. Sapendo che AB = 2 m, A'B' = 6 m e che l’area della più piccola è esattamente di 10 m2 calcola l’area dell’aiuola più grande.

Risposta: m2

27 LIVELLO 3 Al triangolo isoscele ABC di base AB = 40 cm, viene tagliata via la punta, lungo la linea DE, parallela alla base. Sapendo che i lati del triangolo DEC misurano DE = 15 cm, CE = CD = 24 cm, calcola la lunghezza del segmento BE.

Attenzione! Ricorda le relazioni tra le aree di figure simili.

Risposta: cm.

DATI E PREVISIONI

28 LIVELLO 1 In quale delle seguenti serie le misure di massa sono disposte in ordine crescente?

A 3 hg − 31 dag − 289 g − 300 dg

B 31 dag − 3 hg − 300 dg − 289 g

C 300 dg − 289 g − 3 hg − 31 dag

D 289 g − 300 dg − 31 dag − 3 hg

29 LIVELLO 2 Lucas sta calcolando quanto tempo impiega un atleta a percorrere 1 km a una certa velocità e ottiene con la calcolatrice il risultato di 3,2. A quanto corrispondono 3,2 minuti?

A 3 minuti e 2 secondi

B 3 minuti e 12 secondi

C 3 minuti e 20 secondi

D 320 secondi

30 LIVELLO 3 La media del peso di quattro cassette di frutta è di 8,4 kg. Se le prime tre pesano rispettivamente 8,6 kg, 9,4 kg e 10,2 kg, quanto pesa la quarta cassetta?

Risposta: kg.

31 LIVELLO 1 A 72 partecipanti di un campo estivo è stato chiesto quale fosse lo sport da loro praticato. I risultati sono riportati nel seguente areogramma.

Attenzione! Prima di partire meglio scegliere un’unica unità di misura. 8,6 kg 9,4 kg 10,2 kg 5,4 calcio pallacanestro nuoto pallavolo

Quante potrebbero essere le persone che praticano il nuoto?

9 B 12

32 LIVELLO 2 Nel corso di un progetto di riqualificazione ambientale sono stati piantati 50 nuovi alberi. Le misure delle loro altezze sono riportate nel seguente grafico.

Alberi (n°)

145 -149 150 -154 155 -159 160 -164 165 -169 170 -174 175 -179 180 -184 Altezza (cm)

Qual è la percentuale di alberi che hanno un’altezza inferiore a 160 cm?

Risposta: ….................…. %.

Attenzione! Puoi concentrarti solo sulle barre che verificano la condizione richiesta. 40

33 LIVELLO 3 Il seguente grafico rappresenta l’andamento delle temperature minime e massime di una località italiana durante la prima settimana del mese di marzo.

n (°C)

(°C )

Temperatura (°C) giovedì venerdì sabato

lun edì martedì mercoledì Giorno

In quale giorno si è avuta la maggiore escursione termica (differenza di temperatura) tra la temperatura minima e la massima e di quanti gradi è stata?

Riposta: la maggiore escursione termica è stata di °C e si è verificata nel giorno di

martedì

RELAZIONI E FUNZIONI

34 LIVELLO 1 Con un pieno di benzina da 40 L il papà di Giada percorre 540 km. Ora, che sono rimasti 16 L di benzina, quanti chilometri potrà ancora percorrere?

Risposta: km.

35 LIVELLO 2 In quale delle seguenti tabelle le due variabili x e y sono legate da una funzione di proporzionalità diretta? E quanto vale la costante?

Attenzione! Pensa all’equazione di una retta.

Risposta: La tabella riferita a una proporzionalità diretta è la e la costante vale

36 LIVELLO 3 Completa la seguente tabella in modo tale che le grandezze x e y siano inversamente proporzionali.

37 LIVELLO 1 A quale grafico corrisponde la funzione y = 2x?

38 LIVELLO 2 Osserva il seguente grafico di proporzionalità inversa.

Sapendo che y = k _ x , determina il valore della costante k.

Risposta:

39 LIVELLO 3 Tre atleti corrono lungo lo stesso percorso, ognuno con velocità diversa. Quando A parte, B ha già percorso 500 m, mentre C parte 100 secondi dopo A.

Attenzione! Basta considerare un punto della curva.

40 Dopo quanto tempo A raggiunge B? Quanti chilometri avrà percorso A nel momento in cui raggiunge B?

Risposta: A raggiunge B dopo secondi, dopo aver percorso chilometri.

APPRENDERE IL METODO

Questo primo allenamento che proponiamo è guidato: ti forniremo una serie di strategie e suggerimenti per affrontare le domande, per acquisire un metodo che potrai poi utilizzare negli altri allenamenti, nella prova simulata e, soprattutto, nella Prova INVALSI ufficiale. Cerca di svolgere con attenzione questo allenamento e confrontati con l’insegnante nel caso di dubbi su come procedere o per chiarimenti.

Durante la Prova INVALSI è importante controllare e utilizzare al meglio il tempo che hai a disposizione: capire bene le domande e applicare alcune strategie per individuare la risposta corretta ti permetterà di gestire il tempo in modo efficace.

Per questo ti proponiamo un metodo in 3 semplici passi:

COSA RICORDARE Cerca di capire quale conoscenza devi richiamare alla memoria.

COSA CONSIDERARE Leggi con attenzione la domanda e individua gli elementi utili alla risoluzione.

COME PROCEDERE Risolvi il quesito seguendo uno svolgimento lineare, come ti è stato insegnato; valuta anche possibili alternative alla risoluzione che possono essere una verifica della tua risposta.

Iniziamo? Per prima cosa risolvi gli esercizi seguendo i suggerimenti: vedrai che sarà tutto più semplice.

NUMERI

1 Qual è la metà di 224?

A 124

B 212

COSA RICORDARE Le potenze e le loro proprietà.

COSA CONSIDERARE Quale operazione corrisponde a «la metà di»; se ci sono delle proprietà delle potenze che riguardano la divisione.

C ( 1 2 )2

D 223

COME PROCEDERE II risultato è dato dalla divisione 2 24 : 2, tuttavia per poter applicare le proprietà delle potenze devi ricordare che 2 = 2 1, quindi 2 24 : 2 1 = 2 24 1 = 2 23 .

2 Zia Carla per preparare le ciliegie sciroppate usa 150 g di zucchero per ogni barattolo. Quante confezioni di zucchero da 1 kg dovrà acquistare per preparare 48 barattoli?

Risposta: confezioni di zucchero.

COSA RICORDARE Equivalenze tra unità di misura; come risolvere dei problemi.

COSA CONSIDERARE Utilizzare le stesse unità di misura; le confezioni di zucchero sono sempre numeri interi.

COME PROCEDERE Trasforma i grammi necessari di zucchero in chilogrammi: 150 g = 0,15 kg; quindi moltiplica per i barattoli: 0,15 kg ⋅ 48 = 7,2 kg

In alternativa puoi fare: 150 g ⋅ 48 = 7200 g; 7200 g = 7,2 kg

Poiché 7 confezioni non sono sufficienti, occorre acquistarne una in più, ovvero 8.

3 Osserva le seguenti figure:

Se a vale 8 5 , quanto vale b?

A 2,5

B 3,75

C 4

D 8

COSA RICORDARE Operazioni e problemi con le frazioni.

COSA CONSIDERARE Il valore di un quadratino.

COME PROCEDERE II valore di un quadratino è 8 5 : 2 = 8 5 1 2 = 4 5 b è formato da cinque quadratini, quindi è uguale a 4 5 ⋅ 5 = 4

In alternativa puoi ritenere che b è 5 2 di a , quindi è uguale a 8 5 5 2 = 4

4 Sapendo che la metà di x è uguale a √ 3 , quanto vale x?

A 2 + √ 3

B √ 2 3

C √ 3 2

D √ 12

COSA RICORDARE Il significato dell’operazione di estrazione della radice; le proprietà delle radici quadrate.

COSA CONSIDERARE Che cosa significa «la metà» o «il doppio» di una certa quantità; l’elevamento al quadrato è l’operazione inversa della radice quadrata (es. √ 4 = 2, perché 2 2 = 4 ).

COME PROCEDERE Per trovare il doppio devi moltiplicare √ 3 per 2 (2 ⋅ √ 3 ), che non è tra le opzioni.

Per le proprietà delle radici 2 = √ 2 2 = √ 4 , quindi 2 √ 3 = √ 4 √ 3 = √ 12 .

5 Per una cerimonia viene svolto un servizio fotografico. Il fotografo chiede € 1,50 per ciascuna foto, € 12,00 per l’album e € 15,00 per il video. Carlo, Dario, Eleonora e Fabiola richiedono un preventivo, ma il fotografo distratto lo fornisce incompleto. Numero

Carlo 12 Sì

Dario 15 Sì No

Eleonora 30 … … € 57,00

Fabiola … Sì Sì € 60,00

a. Quanto sarebbe la spesa totale di Dario? Risposta: € ……………………

b. Quale servizio ha richiesto Eleonora? Risposta: Album Sì No ; Video Sì No

c. Quante foto ha richiesto Fabiola? Risposta: foto

COSA RICORDARE Ricavare dati da tabelle o grafici; risolvere problemi aritmetici.

COSA CONSIDERARE Come calcolare dai dati la spesa totale; come procedere in modo inverso; come verificare l’esattezza dei risultati.

COME PROCEDERE Per Dario si tratta di calcolare in modo diretto i costi: 15 foto vengono € 22,50 (15 ⋅ € 1,50), a cui bisogna aggiungere € 12,00 per l’album, per un totale di € 34,50.

Per Eleonora devi calcolare la differenza tra il totale (€ 57,00) e il costo delle foto. Le foto costano € 45,00 (30 € 1,50), per cui la differenza è € 12,00 (57 – 45), corrispondente al prezzo di un album. Quindi dobbiamo scrivere «Sì» sull’album e «No» sul video.

Per Fabiola devi prima trovare il costo delle sole foto, sottraendo al totale il prezzo di album e video: € 60,00 – € 12,00 – € 15,00 = € 33,00. Poi dividere per € 1,50 questo totale: € 33,00 : € 1,50 = 22.

6 Per risolvere un’espressione Anna digita in sequenza sulla calcolatrice i seguenti tasti:

1 8 7 2 1 0 5

Quale delle seguenti espressioni ha risolto?

A 18 + 7 2 10 : 5 =

B (18 + 7 ⋅ 2 10) : 5 =

COSA RICORDARE Calcolo di espressioni aritmetiche.

COSA CONSIDERARE Le operazioni che devono essere svolte per prime in un’espressione.

COME PROCEDERE La calcolatrice tradizionale non tiene conto della priorità delle operazioni, ma esegue i calcoli nell’ordine in cui vengono inseriti. Devi trovare l’espressione in cui le operazioni svolte in serie sono addizione, moltiplicazione, sottrazione

e divisione. Procedi per esclusione: la A non può essere perché si svolgono la moltiplicazione e la divisione prime delle altre; nella B vengono svolte correttamente prima l’addizione e poi la moltiplicazione, ma dopo si dovrebbe svolgere la divisione prima della sottrazione; neanche la C può essere perché la prima operazione da svolgere è la moltiplicazione; infine nella D, opzione corretta, si devono svolgere in ordine addizione, moltiplicazione, sottrazione e infine la divisione. 34,50

C (18 + 7) 2 10 : 5 =

D [(18 + 7) ⋅ 2 10] : 5 =

DATI E PREVISIONI

7 Questa tabella rappresenta la distribuzione dei voti dell’ultimo compito di matematica della 3a A:

Voto 4 5 6 7 8 9 10 Numero alunni 2 2 5 3 4 3 1

Qual è la media dei voti?

Risposta:

COSA RICORDARE La media matematica; le tabelle di distribuzione di frequenza.

COSA CONSIDERARE Gli alunni in totale; la somma complessiva dei voti degli alunni.

COME PROCEDERE La media aritmetica si calcola dividendo la somma di tutti i dati (somma dei voti) per il numero totale dei dati (numero di compiti e quindi di alunni).

Numero totale di alunni: 2 + 2 + 5 + 3 + 4 + 3 + 1 = 20

Somma di tutte le valutazioni:

4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7

In alternativa: 4 2 + 5 2 + 6

138

+ 30 + 21 + 32 + 27 + 10 = 138

Ricorda che è sbagliato fare: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49

Infine calcola la media m: 138 : 20 = 6,9

8 Il territorio della Campania è per il 15% pianeggiante, per il 50% collinare e per il 35% montuoso; l’Emilia-Romagna è per il 48% pianeggiante, per il 27% collinare e per il 25% montuosa; la Toscana è per l’8% pianeggiante, per il 67% collinare e per il 25% montuosa.

Scrivi a quale grafico corrisponde ciascuna Regione.

Risposta: Campania ; Emilia-Romagna ; Toscana .

COSA RICORDARE Interpretare le rappresentazioni grafiche.

COSA CONSIDERARE La relazione tra l’ampiezza di un settore circolare e la percentuale.

COME PROCEDERE Nell’areogramma l’intero cerchio (360°) rappresenta il 100% e l’ampiezza dei settori circolari è proporzionale alla percentuale. Considera mentalmente che la percentuale del 50%

corrisponde a metà della «torta», il 33% a un terzo, il 25% a un quarto ecc. È facile dunque scoprire che la Campania, che ha il 50% di territorio collinare, non può essere altro che il grafico B. Toscana ed Emilia-Romagna hanno entrambe il 25% di territorio montuoso: saranno o il grafico A o il grafico C. Ma l’Emilia-Romagna ha quasi il 50% di territorio pianeggiante e sarà rappresentata dal grafico C e quindi la Toscana dal grafico A. 6,9

Pianura Collina Montagna

9 La seguente tabella riporta la temperatura e la piovosità di una località italiana.

(°C)

Gennaio 4 60

Febbraio 6 65

Marzo 8 70

Aprile 12 70

Maggio 18 65

Giugno 22 50

Luglio 26 40

Agosto 24 50

Settembre 20 75

Ottobre 16 90

Novembre 12 100

Dicembre 6 85

Quale dei seguenti grafici corrisponde ai dati riportati in tabella?

Temperatura (°C)

Precipitazioni (mm)

COSA RICORDARE Ricavare dati da tabelle e interpretare rappresentazioni grafiche.

COSA CONSIDERARE Quali sono gli elementi per orientarsi nei grafici anche in assenza di riferimenti numerici; in cosa differiscono i grafici.

COME PROCEDERE In questi casi puoi procedere per esclusione prendendo dei punti di riferimento. Tutti i grafici nella serie delle temperature e della piovosità hanno dei valori massimi e dei valori minimi. Devi chiederti: questi valori corrispondono

ai mesi indicati in tabella? Nel grafico B il mese più piovoso è settembre, mentre nella tabella è indicato il mese di novembre. Nel grafico C il mese con la temperatura più elevata è agosto, mentre la tabella indica luglio. In A e D i mesi con i valori massimi e minimi per la temperatura e la piovosità sono identici, per cui devi ricorrere a qualche altro elemento. Osservando la differenza delle precipitazioni tra luglio e novembre si può osservare che nel grafico A è poco più del doppio come indicato dalla tabella, mentre nel grafico D è più del quadruplo. Pertanto quello corretto è il grafico A.

10 Per costruire l’avatar di una ragazza un sito propone la scelta tra 6 elementi per i capelli, 4 per gli occhi, 3 per il naso e 6 per la bocca.

Marta ne vuole uno che abbia i capelli neri, gli occhi azzurri e che sorrida. Quanti sono i possibili avatar che può realizzare?

Risposta: ….................…. avatar.

COSA RICORDARE Calcolo del numero di combinazioni semplici.

COSA CONSIDERARE Tra quanti elementi per ogni categoria è possibile scegliere.

COME PROCEDERE Per calcolare il numero di combinazioni possibili devi moltiplicare gli elementi possibili per ogni categoria. Per realizzare l’avatar che la rappresenti Marta può scegliere tra 2 stili per i capelli, 1 per gli occhi, 3 per il naso, 2 per la bocca. Pertanto: n = 2 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 2 = 12.

CAPELLI OCCHI

NASO BOCCA

RELAZIONI E FUNZIONI

12 Quando Paolo va in bicicletta parte da casa, arriva fino al circuito, fa un certo numero di giri e poi torna a casa seguendo lo stesso percorso dell’andata.

Sapendo che il circuito è lungo 400 m e che la casa di Paolo dista 700 m dal circuito, qual è la formula che permette di stabilire quanti metri ha percorso Paolo (d ) in funzione del numero di giri (n ) del circuito?

A d = 400 + 700 n

B d = 1300 n

C d = 700 + 400 ⋅ n

D d = 1400 + 400 n

COSA RICORDARE Interpretare e costruire formule che contengono lettere per esprimere relazioni tra due grandezze.

COSA CONSIDERARE La distanza che dipende dal numero di giri del circuito; la distanza totale percorsa per raggiungere il circuito e tornare a casa.

COME PROCEDERE Il circuito ha una lunghezza di 400 m e se Paolo fa n giri, percorre 400 n metri. Inoltre Paolo percorre due volte la strada da casa al circuito (una volta all’andata e una al ritorno): il doppio di 700 m è 1400 m. Sommando i due valori si ottiene la formula che esprime la distanza percorsa da Paolo in funzione del numero di giri: d = 1400 + 400 n. La risposta esatta è quindi la D.

13 Jury costruisce una serie di quadrati sempre più grandi con i fiammiferi:

Ha usato 4 fiammiferi per il primo quadrato, 12 per il secondo, 24 per il terzo, 40 per il quarto. Quanti fiammiferi userà per il decimo quadrato?

Risposta: fiammiferi.

COSA RICORDARE Riconoscere regolarità in una sequenza di numeri o di figure.

COSA CONSIDERARE Come sarà formata la decima figura; espressioni che permettono di calcolare il numero di fiammiferi senza contarli uno a uno; quanti fiammiferi avrà per fila; su quante file saranno disposti.

COME PROCEDERE Osserva come è costruito il terzo quadrato: è formato da file di 3 fiammiferi, 4 file verticali e 4 orizzontali per un totale di 8 file. Il quarto quadrato è formato invece da 5 file orizzontali e 5 verticali di 4 fiammiferi ciascuna. Il decimo quadrato avrà dunque 10 fiammiferi per fila e sarà composto da 11 file verticali e 11 orizzontali per un totale di 22 file. Da cui n = 22 ⋅ 10 = 220 fiammiferi.

Karima e Nicola corrono spesso lungo la spiaggia. Sotto è riportato il grafico che rappresenta la distanza percorsa dai due amici lo scorso venerdì in funzione del tempo. 0

In base al grafico riportato indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

a. Karima è più veloce di Nicola.

b. Per percorrere 3 km Nicola ha impiegato 25 minuti.

c. Alle 16:15 i due amici avevano percorso la stessa distanza.

d. Nicola è partito quando Karima aveva già percorso 1,5 km.

COSA RICORDARE Interpretare e rappresentare relazioni e funzioni nel piano cartesiano.

COSA CONSIDERARE Cosa rappresenta la pendenza della retta; come calcolare il tempo trascorso e lo spazio percorso tra due diversi punti di una stessa retta.

COME PROCEDERE

a. La pendenza della retta azzurra (Karima) è minore di quella rossa (Nicola): infatti in 10 minuti Karima percorre 1 km, mentre sempre in 10 minuti Nicola percorre 1,5 km

b. Alle 16:25 Nicola ha percorso 3 km, ma è partito alle 16:05, quindi ha impiegato solo 20 minuti.

c. Alle 16:15 entrambi hanno percorso 1,5 km.

d. Nicola è partito alle 16:05 e in quel momento Karima aveva percorso solo 0,5 km.

15 Nella figura seguente è mostrato un trapezio in cui l’altezza e la base minore misurano x, mentre la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore vale 10.

Qual è la formula che esprime l’area in funzione di x?

Risposta: A = …………………………….

COSA RICORDARE Costruire formule che contengono lettere per esprimere relazioni e proprietà; calcolare l’area di figure piane.

COSA CONSIDERARE Calcolare l’area di un trapezio; come esprimere, usando i dati dell’esercizio, le lunghezze dei segmenti che consentono di trovare l’area.

COME PROCEDERE L’area del trapezio è data dalla formula

A = B + b 2 ⋅ h

Dai dati del testo ricaviamo:

B = x + 10 b = x h = x

Andando a sostituire nella formula generale, si ha:

A = (x + 10) + x 2 x

che già è una espressione elementare della formula, ma semplificando con le regole del calcolo letterale diventa:

A = (x + 10) + x 2 ⋅ x = 2x + 10 2 ⋅ x = (x + 5) ⋅ x = = x 2 + 5x

In alternativa puoi considerare il trapezio come formato da un quadrato e un triangolo rettangolo. L’area del quadrato è x 2, mentre quella del triangolo rettangolo è x 10 2 = 5x, da cui A = x 2 + 5x

SPAZIO E FIGURE

16 Una scala a libretto lunga 2,5 m viene aperta in modo che le due basi distino tra loro di 1,4 m. Di quanti centimetri si abbassa il vertice della scala? A B Risposta: cm.

COSA RICORDARE Teorema di Pitagora; risolvere problemi con le figure geometriche.

COSA CONSIDERARE Quale figura si forma avendo la scala a libretto; come applicare il teorema di Pitagora alla figura per calcolare l’altezza; la differenza tra le altezze nelle due figure.

COME PROCEDERE Puoi schematizzare la scala aperta come un triangolo isoscele: calcola l’altezza del triangolo applicando il teorema di Pitagora

(ricordati di dividere per due la base, per trovare il cateto minore):

HB = 1,4 : 2 = 0,7 m CH = √ 2.5 2 0.7 2 = √ 6.25 0.49 = √ 5.76 = = 2.4 m

La differenza tra l’altezza della scala chiusa e aperta è dunque h CH = 2,5 2,4 = 0,1 m = 10 cm.

17 Sapendo che ogni quadretto misura 1 cm, qual è l’area della figura?

Risposta: cm2.

COSA RICORDARE Principio di equiscomponibilità; calcolare l’area di figure piane anche scomponendole in altre figure più semplici.

COSA CONSIDERARE Se è necessario calcolare l’area delle parti curvilinee; se la figura può essere ritagliata in figure più semplici e ricomposta in altro modo.

COME PROCEDERE Per risolvere questo problema conviene scomporre la figura come mostrato di seguito.

Troverai che la figura è equivalente a un quadrato di lato 4 cm: A = l 2 = 42 = 16 cm2 .

18 Calcola il perimetro della figura sapendo che ogni segmento è lungo 20 cm.

COSA RICORDARE Calcolare il perimetro delle figure piane; calcolare le lunghezze della circonferenza e di parti della circonferenza.

COSA CONSIDERARE Se è possibile scomporre la figura in parti lineari e curvilinee; come è possibile sommare le lunghezze lineari con quelle curvilinee.

COME PROCEDERE La figura è composta da tre segmenti lineari e tre linee curve che sono delle semicirconferenze. La lunghezza complessiva dei tre segmenti è 3 ⋅ 20 cm = 60 cm

La lunghezza di ogni semicirconferenza è uguale alla metà della lunghezza della circonferenza corrispondente: C = d π = 20 π cm

Quindi C1/2 = 20 π : 2 = 10 π cm

La lunghezza complessiva delle tre semicirconferenze è: 3 ⋅ 10 π cm = 30 π cm. Il perimetro della figura è: 60 + 30 π ≈ 60 + 94,2 = 154,2 cm, pertanto la risposta è B È errato invece: 60 + 30 π = 90 π ≈ 282,6 cm poiché bisogna prima trasformare la scrittura esatta con π nella scrittura approssimata per poter sommare le misure curvilinee con quelle lineari.

19 Un cubo viene tagliato lungo i punti medi di sei dei suoi lati, come mostrato in figura.

Sapendo che lo spigolo del cubo è lungo 8 cm, qual è il perimetro dell’esagono formato nella sezione di taglio?

A 24 cm.

COSA RICORDARE Conoscere le forme del piano e dello spazio; applicare il teorema di Pitagora; calcolare il perimetro di figure geometriche piane.

COSA CONSIDERARE A cosa corrisponde il lato dell’esagono; come calcolare la sua lunghezza.

COME PROCEDERE La lunghezza del lato dell’esagono equivale all’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele i cui cateti corrispondono a metà dello

spigolo del cubo. c = 8 : 2 = 4 cm l = 4 √ 2

Per calcolare il perimetro dell’esagono basta moltiplicare la lunghezza del suo lato per 6: 2p = 6 l = 6 4 √ 2 = = 24 √ 2 ≈ 33,94 cm≈ 33,94 cm

20 Osserva il seguente solido:

Le seguenti figure rappresentano lo stesso solido visto da angolazioni differenti, tranne una che rappresenta un solido simmetrico a quello dato, quale?

A Figura 1 B Figura 2 C Figura 3 D Figura 4

COSA RICORDARE Rappresentare figure solide.

COSA CONSIDERARE Ruotare la figura di 90° attorno a una delle tre direzioni ortogonali dello spazio.

COME PROCEDERE Questi esercizi necessitano dell’abilità di visualizzare e rappresentare mentalmente oggetti tridimensionali. Provando a ruotare le varie figure puoi osservare che la 2 non può essere trasformata nella figura originale, ma è la sua simmetrica. 1 2 3 4

PROVA UFFICIALE GUIDATA anno

scolastico 2018-2019

1 La ripartizione in base al titolo di studio dei dipendenti di tre aziende è la seguente:

Azienda X: laureati 50%, diplomati 30%, non diplomati 20%

Azienda Y: laureati 30%, diplomati 30%, non diplomati 40%

Azienda Z: laureati 20%, diplomati 40%, non diplomati 40%

diplomato

diplomato laureato

laureato non diplomato

non diplomato

diplomato

non diplomato

laureato non diplomato diplomato laureato

Associa ad ogni azienda il grafico che rappresenta la ripartizione in base al titolo di studio dei suoi dipendenti.

Azienda X:

A Grafico A

B Grafico B

Azienda Y:

A Grafico A

B Grafico B

Azienda Z:

A Grafico A

B Grafico B

L’azienda X ha il 50% dei dipendenti che sono laureati, quindi metà torta deve essere viola, e l’unico grafico a torta con questa caratteristica è il grafico C; l’azienda Y ha lo stesso numero di laureati e diplomati, quindi, le fette viola e rossa devono essere della stessa grandezza e, insieme, costituire il 60% della torta intera, cioè un po’ meno dei 2 3 .

C Grafico C

D Grafico D

C Grafico C

D Grafico D

C Grafico C

D Grafico D

Questa situazione è raffigurata nel grafico D; infine, l’azienda Z ha lo stesso numero di diplomati e non diplomati, quindi, le fette rossa e gialla devono essere della stessa grandezza e, insieme, costituire l’80% della torta intera, cioè i 4 5 . Questa situazione è raffigurata nel grafico A. Che percentuali assoceresti al numero di laureati, diplomati e non, nel grafico a torta B? 75%, 10% e 15%

Grafico A Grafico B

Grafico C

Grafico D

2 I seguenti grafici rappresentano i dati della raccolta differenziata dei rifiuti in una città italiana da gennaio 2014 ad aprile 2016.

In quale mese del 2014 sono stati raccolti più rifiuti di carta?

Guardiamo il grafico in alto a sinistra (quello della carta) e concentriamoci sulla spezzata più in basso (quella del 2014). Cerchiamo il punto a cui è associato il numero più alto: 588, che si ottiene in corrispondenza del mese di settembre.

Qual è il simbolo che viene apposto per i rifiuti da catalogare come carta e cartone? Tre frecce bianche che si inseguono a formare un triangolo su sfondo blu.

3 I seguenti grafici rappresentano i dati della raccolta differenziata dei rifiuti in una città italiana da gennaio 2014 ad aprile 2016.

È possibile affermare che nel 2014 con la raccolta differenziata sono state raccolte meno tonnellate di plastica rispetto al 2015?

Indica la sola argomentazione che giustifica la risposta corretta.

A Sì, è possibile affermarlo perché la linea del 2015 della plastica è sempre sopra quella del 2014.

B Sì, è possibile affermarlo perché la linea del 2015 della plastica è sempre crescente.

C No, non è possibile affermarlo perché in alcuni mesi del 2014 si è raccolta più plastica rispetto a qualche mese del 2015.

D No, non è possibile affermarlo perché la linea del 2014 della plastica non è sempre crescente.

Sì, è possibile affermarlo perché la linea del 2015 della plastica è sempre sopra quella del 2014.

4 I seguenti grafici rappresentano i dati della raccolta differenziata dei rifiuti in una città italiana da gennaio 2014 ad aprile 2016.

Qual è il totale di rifiuti della raccolta differenziata nel gennaio del 2015?

tine raccolte; nel terzo, 277 tonnellate di plastica. In totale, quindi, abbiamo 524 + 115 + 277 = 916 tonnellate di rifiuti raccolti. 916 tonnellate.

Sommiamo i valori della raccolta rifiuti effettuata a gennaio del 2015 nei tre grafici: nel primo risulta che sono state raccolte 524 tonnellate di carta; nel secondo, risultano 115 tonnellate di vetro e lat-

5 In una scuola sono presenti 9 classi terze. Nei grafici è rappresentata la distribuzione del numero di alunni in ogni classe. In quale grafico la linea tratteggiata rappresenta la media del numero degli alunni per classe?

Classi Terze

La media non può essere né al di sotto di tutti i valori considerati, caso che esclude le opzioni B e D, né al di sopra di tutti i valori, caso che esclude l’opzione C. Quindi, per esclusione, la risposta corretta è la A. Un altro modo per procedere, è quello di misurare la lunghezza delle 9 colonne, sommare tali lunghezze e dividere per 9.

Nel grafico A, abbiamo:

27 + 23 + 28 + 25 + 22 + 24 + 26 + 28 + 22 9 = 25

Questo conferma la correttezza della risposta scelta. Qual è la definizione di media? È il valore intermedio compreso tra l’estremo superiore e quello inferiore nell’insieme di più valori considerati.

6 Nella borraccia di Michele, piena per metà, ci sono 0,6 litri di acqua. Michele beve la metà dell’acqua contenuta nella borraccia. Quanta acqua rimane?

0,03 litri

0,3 litri

Nella borraccia ci sono 0,6 litri di acqua e Michele ne beve la metà. Quindi, l’acqua rimanente è l’altra metà, cioè 0,6 L 2 = 0,3 L . La risposta corretta

0,5 litri

1,2 litri

è la B. Attenzione ! L’informazione che l’acqua nella borraccia inizialmente ne riempie solo la metà non è importante ai fini della risoluzione del problema. Quanti litri contiene la borraccia? 1,2 litri.

7 Usa la calcolatrice per calcolare l’espressione raffigurata nell’immagine.

43,2 (5,8 + 7,3) 4,9 + 0,5

Risultato:

Se non hai una calcolatrice in grado di fare più di un calcolo per volta, effettua prima la somma tra parentesi al numeratore e quella al denominatore; poi il prodotto al numeratore, e infine la divisione:

43,2 (5,8 + 7,3) 4,9 + 0,5 = 43,2 13,1 5,4 = 565,92 5,4 = 104,8

Come si chiama il tipo di calcolatrice che permette di fare calcoli avanzati e rappresentare il grafico delle funzioni? Calcolatrice scientifica.

8 Antonio e Bruno camminano contemporaneamente lungo la linea dei numeri. Antonio (A) parte da 0 e procede verso destra di un mezzo ad ogni passo. Bruno (B) parte da 3 e procede verso destra di un quarto ad ogni passo. A quale numero corrisponde il punto in cui Antonio e Bruno si incontrano?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Antonio e Bruno si muovono entrambi verso destra. Antonio parte da 0 e ogni suo passo è lungo 1 2 , mentre Bruno parte da 3 e ogni suo passo è lungo 1 4 . Quindi, possiamo escludere la risposta A, perché Bruno dovrebbe andare verso sinistra per raggiungere la posizione 2, ed escludiamo la risposta B, perché mentre Antonio raggiungerebbe la posizione 3 in 6 passi ( 3 = 6 1 2 ), Bruno dovrebbe rimanere fermo. Per trovare la risposta al problema, dobbiamo considerare che la posizione raggiunta da Antonio con n passi di lunghezza 1 2 partendo da

0 deve essere la stessa di Bruno con n passi di lunghezza 1 4 partendo da 3. Quindi, è la soluzione dell’equazione

0 + n ⋅ 1 2 = 3 + n ⋅ 1 4 ⇒ 3 = n( 1 2 1 4 ) ⇒ 3 = n 4 ⇒ n = 12

Sostituendo in uno dei due membri dell’equazione iniziale, otteniamo che Antonio e Bruno in 12 passi raggiungono entrambi la posizione 6, per cui la risposta corretta è la C. Ma tu sai che cos’è un membro di un’equazione? È l’espressione numerica e/o letterale che si trova da un lato del segno «uguale».

9 Osserva la figura. A quale numero può corrispondere la lettera a?

A 1,5

B 3 10

Il punto a è precisamente a metà tra i valori 0

e 3 5 , quindi, per trovare la risposta esatta, dobbiamo calcolare il punto medio del segmento di estremi 0

e 3 5 : a = 0 + 3 5 2 = 3 / 10, che ci porta a scegliere l’opzio -

ne B.

Si poteva anche ragionare per esclusione, conside -

10 Osserva la figura.

Quanto vale x?

A x = 2√2

B x = 2√3

Osservando la figura, deduciamo che un’ unità sull’asse dei numeri è lunga √ 2 , essendo questa la lunghezza del lato del primo quadratino a destra di 0, e che la distanza tra 0 e x è lunga due unità. Di conseguenza, essa è pari a 2 ⋅ √ 2 , rendendo vera la risposta A.

C 3 D 1 5

rando che 3 5 = 0,6 e che 0 < a < 0,6. Questo esclude le opzioni A e C perché 1,5 e 3 sono entrambi maggiori di 0,6. Inoltre, esclude anche l’opzione D, visto che 1 5 è la terza parte di 3 5 e, quindi, non la sua metà. Sapresti definire che cos’è un segmento? È una porzione di linea retta compresa tra due suoi punti, detti estremi.

C x = √

Che cos’è un’unità (di misura)? È una particolare quantità, definita e adottata per convenzione, con cui si confrontano le altre grandezze delle stessa natura.

11 Antonio lavora in un bar. Viene pagato 8 euro l’ora se lavora all’ora di pranzo e 11 euro l’ora se lavora all’ora di cena. Se lavora la domenica il suo datore di lavoro gli dà in più una mancia di 15 euro. La tabella della figura riporta il numero di ore in cui Antonio ha lavorato la scorsa settimana. Completa la tabella.

Pranzo Cena Guadagno

Lunedì 3 ore / 24 euro

Martedì / 4 ore euro

Mercoledì 2 ore 2 ore euro

Giovedì 4 ore / 32 euro

Venerdì / / /

44 38 68

Sabato 3 ore 4 ore euro

Domenica / / /

Il martedì Antonio lavora solamente a cena per 4 ore. Ogni ora viene pagata 11 €, per cui guadagna 4 ⋅ 11 € = 44 €; il mercoledì lavora 2 ore a pranzo (pagate 8 € l’una) e 2 ore a cena (pagate 11 € l’una),

per un guadagno totale pari a 2⋅ 8 € + 2 ⋅ 11 € = 38 €; infine, il sabato lavora 3 ore a pranzo (pagate 8 € l’una) e 4 ore a cena (pagate 11 € l’una), per un guadagno totale pari a 3 8 € + 4 11 € = 68 € . a 3 5 0

12 Antonio lavora in un bar. Viene pagato 8 euro l’ora se lavora all’ora di pranzo e 11 euro l’ora se lavora all’ora di cena. Se lavora la domenica il suo datore di lavoro gli dà in più una mancia di 15 euro.

Questa domenica Antonio ha lavorato sia a pranzo sia a cena e ha guadagnato 75 euro. Se a pranzo ha lavorato due ore, quante ore ha lavorato a cena?

Risposta:

Questa domenica Antonio ha lavorato: questo gli dà diritto a 15 € di mancia. Sappiamo che ha lavorato per 2 ore a pranzo (pagate 8 € l’una) e per un certo numero x di ore a cena (pagate 11 € l’una). Vogliamo trovare il valore di x, sapendo che il guadagno totale di Antonio è pari a 75 €. Risolviamo, quindi, la seguente equazione: 15 + 2 8 + x 11 = 75 ⇒ x 11 = 75 15 16 ⇒ x = 44 11 = 4. Per cui concludiamo che Antonio ha lavorato per 4 ore durante la cena.

13 In una classe di 25 alunni le femmine sono il 40% e due terzi dei maschi giocano a basket. Quanti sono i maschi che NON giocano a basket?

Se il 40% degli alunni di una classe sono femmine, vuol dire che i maschi sono il 60% del totale, che ammonta a 25 alunni. Per cui, calcoliamo il 60% di 25: 60 100 ⋅ 25 = 60 4 = 15. Quindi, dei 25 alunni, 15 sono maschi e 10 sono femmine. Dei 15 alunni maschi, i 2 3 praticano basket, cioè: 2 3 ⋅ 15 = 10. Di conseguenza, i rimanenti, che sono 5, non lo praticano.

14 Filippo per il suo bassotto compra sempre scatole di cibo per cani da 500 grammi, come quella mostrata in figura.

Ogni giorno il bassotto mangia 200 grammi di cibo per cani. Filippo conserva ogni scatola aperta finché non l’ha completamente svuotata.

Filippo oggi non ha più scatole di cibo per cani e quindi deve comprarle.

Quante scatole almeno dovrà comprare se vuole che gli bastino per una settimana? Rispondi alla domanda e scrivi sul foglio il procedimento.

Risultato:

La risposta corretta è 3. Per arrivarci possiamo seguire uno di questi due procedimenti:

• se il bassotto mangia 200 grammi di cibo per cani al giorno, in una settimana mangerà 200 7, quindi 1400 grammi. Se ogni scatoletta contiene 500 grammi di cibo per cani, per arrivare a 1400 saranno necessarie 1400 : 500 = 2,8, quindi 3 scatole;

• il risultato è 3 scatole a settimana. 4

La risposta corretta è A. Un altro modo per risolvere il problema è calcolare direttamente la frazione della percentuale dei maschi che non praticano basket, in questo modo: se sappiamo che i 2 3 del totale dei maschi, che sono il 60% di 25, praticano basket, allora 1 3 del totale dei maschi non lo pratica, cioè: 1 3 ⋅ 60 100 ⋅ 25 = 5.

500 g 3

• se una scatola contiene 500 grammi di cibo, e il bassotto ne mangia 200 grammi al giorno, 500 : 200 = 2,5, quindi in una scatola ci sono 2,5 pasti. Se dividiamo i giorni della settimana per 2,5, quindi 7 : 2,5 = 2,8;

15 Per la manutenzione del sistema di riscaldamento di un condominio un tecnico richiede un compenso fisso di 60 euro, più 40 euro per ogni ora di lavoro.

Quale delle seguenti formule consente di calcolare il costo complessivo S (in euro) al variare della durata t (in ore) del lavoro svolto?

A S = 40t

B S = 60t

C S = 40 + 60t

D S = 60 + 40t

La risposta esatta è la D, infatti il costo complessivo S che il condominio deve sostenere se accetta il tecnico proposto è dato da un costo fisso di 60 € più uno variabile che dipende dal numero di ore di lavo -

ro (40 € l’ora), cioè S = 60 € + (40 €)t. Le opzioni A e B considerano solo costi variabili, rispettivamente, di 40 € l’ora e 60 € l’ora, mentre la C, esprime il costo totale come 40 € fisso e 60 € variabile.

16 Per una ditta, il costo di ogni fotocopia è 1 centesimo di euro.

La ditta, inoltre, paga un canone mensile fisso di 50 euro per il noleggio della fotocopiatrice.

La formula che descrive il costo mensile C in euro in funzione del numero x di fotocopie è:

C = 50 (0,01x )

C = 0,01 + x

C C = 50 + 0,01x

D C = 0,01x

La ditta paga un costo fisso mensile (CF) di 50 € per il noleggio della fotocopiatrice e un costo variabile (CV) dovuto al numero di fotocopie che fa in un mese. Tale costo variabile è il prodotto tra il costo di una fotocopia, 0,01 €, per il numero incogni -

to x di fotocopie totale. Per cui, il costo complessivo è esprimibile come C = CF + CV = 50 + 0,01x.

La risposta esatta è dunque la A. Sai che cosa vuol dire noleggio? È un contratto relativo all’uso temporaneo di un oggetto.

17 In un test sono assegnati 2 punti per ogni risposta corretta, –1 punto per ogni risposta errata e 0 punti per ogni risposta mancante. Il test è costituito da 30 domande.

Qual è la formula che permette di calcolare il punteggio (P) totalizzato nel test?

• C indica il numero delle risposte corrette;

• E il numero delle risposte errate;

• M il numero delle risposte mancanti.

1 2 0

Digita i completamenti nelle caselle: P = C + E + M

Lo studente ottiene un punteggio uguale a 2 per ogni risposta corretta, quindi, se C denota il numero di risposte corrette date, otterrà un punteggio pari a 2 C ; analogamente, per ogni risposta errata ottiene 1, quindi in totale 1 ⋅ E, se E denota il numero di risposte errate date; e 0 per ogni risposta

non data, quindi in totale 0 ⋅ M, dove M è il numero di risposte mancanti. Il punteggio finale è la loro somma: 2 ⋅ C + ( 1) ⋅ E + 0 ⋅ M, con C + E + M = 30.

Qual è il suo punteggio finale se ha risposto a 15 domande correttamente e a 4 in modo errato? 30 − 4 = 26.

18 Nel trapezio isoscele in figura la base maggiore è il doppio della minore.

Quale formula esprime il perimetro 2p del trapezio in funzione di b?

Risposta: P =

Il trapezio dato è isoscele, quindi i lati obliqui hanno stessa lunghezza, uguale a 5. Sappiamo che la base maggiore è il doppio di quella minore, per cui misura 2b. Di conseguenza, il perimetro del trapezio

può essere espresso dalla formula b + 2b + 2 ⋅ 5 = 3b + 10

Che cos’è il perimetro di un poligono? È la somma delle lunghezze di tutti i suoi lati.

19 Una sala cinematografica propone le tre seguenti opzioni, valide per il mese di dicembre.

• Opzione 1: acquisto di una tessera personale mensile di 60€ che dà diritto a un numero illimitato di ingressi nella sala, senza ulteriori costi.

• Opzione 2: acquisto di un biglietto al costo di 8€ per ogni ingresso in sala.

• Opzione 3: acquisto di una tessera personale mensile al costo di 20€ che dà il diritto a uno sconto del 25% sul costo del biglietto di 8€ per ogni ingresso in sala.

Nella figura sono riportati i grafici che rappresentano il costo C in euro (€) in funzione del numero n di ingressi in sala per ciascuna delle tre opzioni. 2

(€)

Qual è il numero n di ingressi per cui il costo dell’Opzione 3 è uguale a quello dell’Opzione 2?

Risposta: n =

b b + 2b + 2 ⋅ 5 = 3b + 10 10

Le opzioni 2 e 3 hanno lo stesso costo quando vale l’uguaglianza tra le relative funzioni, cioè: 8n = 20 + 6n ⇒ 8n 6n = 20 ⇒ 2n = 20 ⇒ n = 10. Quindi, se si sa a priori che la tessera verrà usata 10 volte, è

del tutto indifferente se scegliere l’opzione 2 o l’opzione 3.

Quale opzione però conviene considerare in questo caso? L’opzione 1, perché costa 60 € anziché 80 € .

20 Una sala cinematografica propone le tre seguenti opzioni, valide per il mese di dicembre.

• Opzione 1: acquisto di una tessera personale mensile di 60€ che dà diritto a un numero illimitato di ingressi nella sala, senza ulteriori costi.

• Opzione 2: acquisto di un biglietto al costo di 8€ per ogni ingresso in sala.

• Opzione 3: acquisto di una tessera personale mensile al costo di 20€ che dà il diritto a uno sconto del 25% sul costo del biglietto di 8€ per ogni ingresso in sala.

Nella figura sono riportati i grafici che rappresentano il costo C in euro (€) in funzione del numero n di ingressi in sala per ciascuna delle tre opzioni.

Associa ad ogni grafico l’opzione corrispondente.

Grafico f:

A Opzione 1

Grafico g:

A Opzione 1

Grafico h:

A Opzione 1

B Opzione 2

C Opzione 3

B Opzione 2 C Opzione 3

L’opzione 1 è rappresentata dalla funzione costo C(n) = 60, dove n è il numero di giorni in cui si utilizza la tessera. Il costo è fisso, cioè non dipende da n, in quanto è sempre costantemente pari a 60 € : la semiretta h è il suo grafico.

L’opzione 2 è descritta dalla funzione costo C (n) = 8n. Il costo cresce all’aumentare dei giorni in cui si utilizza la tessera: è nullo se la tessera non viene utilizzata, è pari a 8 € se viene usata solo una volta, 16 € se viene usata due volte, ecc. La semiretta f ne rappresenta il grafico.

L’opzione 3 propone un costo fisso pari a 20 € più un costo variabile pari al 75% degli 8 € per ingresso, cioè 75 100 ⋅ 8 € = 6 € , e quindi è descritta dalla funzione costo C(n) = 20 + 6n. Il costo cresce all’aumentare dei giorni in cui si utilizza la tessera: è 20 € se la tessera non viene utilizzata, è pari a 26 € se viene usata solo una volta, 32 € se viene usata due volte, ecc.: la semiretta g ne rappresenta il grafico.

Che cos’è una semiretta? È l’insieme di un punto su una retta con una delle due parti della retta in cui viene divisa dal punto.

21 Il giorno 7 novembre il livello dell’acqua di un fiume è aumentato di circa 10 cm all’ora per tutte le 24 ore. Il giorno successivo, il livello dell’acqua è diminuito di circa 5 cm all’ora per tutte le 24 ore. Quale tra i grafici della figura può rappresentare la situazione descritta?

La funzione che rappresenta la situazione descritta deve essere formata da due segmenti di retta, di cui il primo ha il punto più in basso alle ore 0 del 7 novembre e il più in alto esattamente dopo 24 ore; il secondo parte da questo secondo punto e va verso il basso col procedere delle ore. L’ inclinazione del primo segmento, rispetto all’orizzontale, è maggiore dell’inclinazione del secondo, perché l’acqua sale di 10 cm ogni ora nel primo giorno e scende

di 5 cm ogni ora il secondo. Così possiamo escludere il grafico C perché il picco della funzione non è in corrispondenza delle 24 ore trascorse dall’inizio; il grafico B perché cresce meno nella prima parte rispetto a quanto decresce nella seconda; il grafico D perché i segmenti di retta hanno uguale pendenza. Sai definire che cosa è l’inclinazione di una retta? È l’ampiezza dell’angolo che forma con una qualsiasi retta orizzontale.

22 Osserva la seguente figura.

Il solido viene ruotato.

Quale tra le seguenti figure non può rappresentare il solido ruotato?

Per rispondere a questa domanda è utile andare a esclusione. Nella figura iniziale il parallelepipedo rosso è attiguo sia al parallelepipedo grigio, che a quello blu, mentre questi due, tra loro, non si toccano. L’unica figura in cui la situazione non è quella

descritta è quella proposta nell’opzione D, in cui è il parallelepipedo grigio ad essere attiguo ai parallelepipedi rosso e blu, ma questi non si toccano tra loro. Sai definire il termine parallelepipedo? È un poliedro con sei facce, parallele a due a due.

23 La figura rappresenta la situazione climatica sul versante Nord e sul versante Sud di una montagna in un certo periodo dell’anno. Da quale punto cardinale è vista la montagna in questa immagine? Per rispondere puoi aiutarti con la rosa dei venti.

A Nord B Ovest

Supponiamo di metterci in piedi su una delle punte della rosa dei venti con lo sguardo rivolto verso il suo centro, su cui si innalza la montagna. Se vediamo il versante Nord alla nostra sinistra e il versante Sud alla nostra destra, allora necessariamente

C Sud D Est

saremo sulla punta Ovest (contrassegnata con la O). Per cui la risposta esatta è la B. Che cos’è il versante nord di una montagna? È la parte della stessa che va dalla parte più in basso (valle) a quella più in alto (cima).

24 La figura rappresenta la situazione climatica sul versante Nord e sul versante Sud di una montagna in un certo periodo dell’anno.

Quale differenza di temperatura si registra, a 200 m di altitudine, sui due versanti della montagna?

4,8

Risultato: .................... °C

Da come possiamo vedere in figura, a 200 m di altitudine , sul versante Sud si registra una temperatura di 13,0 °C, mentre sul versante Nord è solo di 8,2 °C.

Per cui la differenza di temperatura tra i due versanti è pari a 13,0 ° C 8,2 ° C = 4,8 ° C.

Sapresti dire che cosa misura l’altitudine? È l’altezza di un punto sul livello del mare.

25 La figura rappresenta la situazione climatica sul versante Nord e sul versante Sud di una montagna in un certo periodo dell’anno.

Uno scalatore parte da 200 m di altitudine e arriva a 1200 m di altitudine. Nel corso della scalata la temperatura diminuisce di 10°C.

Su quale versante ha scalato la montagna?

Versante Sud

Rispondi alla domanda e scrivi sul foglio la giustificazione della tua risposta.

Supponiamo che lo scalatore stia salendo lungo il versante Nord: a 200 m di altitudine ci sono 8,2 °C, mentre a 1200 m se ne registrano 2,2 °C.

La differenza di temperatura è pari a 8, 2 ° C 2, 2 ° C = 6, 0 ° C

Facciamo l’analogo calcolo sul versante Sud: a 200 m di altitudine ci sono 13,0 °C, e 3,0 °C a 1200 m, quindi, la differenza di temperatura è 13, 0 ° C 3, 0 ° C = 10, 0 ° C.

Quindi lo scalatore si trova sul versante Sud.

26 Gabriele ha comperato un nuovo frigorifero. Per portarlo in cucina usa un carrello, come rappresentato nella figura.

Quale espressione ti permette di calcolare la massima distanza dal suolo del punto B quando il frigorifero è trasportato sul carrello?

√180 2 + 90 2 + 7,5

√180 2 – 90 2 + 7,5

C √180 + 90 + 7,5

√180 2 + √90 2 + 7,5

Sia O il centro della ruota del carrello su cui viene trasportato il frigorifero. La distanza del punto B dal suolo è uguale alla somma tra la distanza di B da O e la distanza di O dal suolo. La distanza di B da O è la lunghezza dell’ipotenusa del triangolo di cateti 90 cm e 180 cm, per cui, per il teorema di Pitagora , è √(90 cm) 2 + (80 cm) 2 ; la distanza di O dal suolo è la lunghezza del raggio della ruota, di cui il diame -

tro misura 15 cm, per cui, dividendo per due, è pari a 7,5 cm. In definitiva, l’espressione che permette di calcolare la distanza di B dal suolo è quella dell’opzione A: √90 2 + 180 2 + 7,5 Ricordi l’enunciato del teorema di Pitagora? In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

27 Nella seguente figura le rette r ed s sono perpendicolari fra loro e l’arco ECB è una semicirconferenza di centro O. La lunghezza del segmento AB è di 20 cm e la lunghezza del segmento OB è di 12 cm.

Qual è l’area del quadrilatero ABCE?

Consideriamo il quadrilatero ABCE come l’unione di 4 triangoli rettangoli in O, centro della semicirconferenza . Osserviamo che i triangoli ABO e AOE hanno stessa area, in quanto hanno in comune il cateto AO e i rispettivi cateti OB e OE sono raggi della semicirconferenza. I cateti OB e OE misurano 12 cm, mentre la lunghezza di OA si calcola applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABO, la cui ipotenusa è lunga 20 cm, quindi

OA = √(20 cm) 2 (12 cm) 2 = 16 cm.

Di conseguenza, l’area di ABO e di AOE è (12 cm)(16 cm) 2 = 96 c m 2 .

Osserviamo poi che anche i triangoli OBC e CEO hanno stessa area, in quanto rettangoli e isosceli, con cateti lunghi 12 cm.

Per cui la loro area misura (12 cm)(12 cm) 2 = 72 cm 2

In definitiva, l’area di ABCE è 2 ⋅ 96 cm 2 + 2 ⋅ 72 cm 2 = 336 cm 2

Quindi la risposta corretta è la B.

Quanto misura l’area di una semicirconferenza di raggio OB? 72π cm 2

28 Un cubo ha lo spigolo lungo 10 centimetri. La sezione ottenuta dal piano che passa per i vertici A, B e C del cubo è la base di una piramide.

Il perimetro di base della piramide è il perimetro del triangolo ABC, che è equilatero, e ha il lato lungo come la diagonale di una faccia del cubo di spigolo 10 cm. In particolare, AB = AC = BC = 10 √2 cm.

Per cui il perimetro misura 3 10 √2 cm = 30 √2 cm ≈ 42 cm dato nell’opzione D.

Che cosa significa letteralmente equilatero? «Che ha i lati uguali».

ALLENAMENTO 1

RIEPILOGO AMBITI E PREREQUISITI

QUESITI AMBITO

2, 3, 8, 11, 17

10, 14, 16, 19

4, 6, 13, 18

1, 5, 7, 9, 12, 15, 20

Numeri

Relazioni e funzioni

Dati e previsioni

Spazio e figure

PREREQUISITI

Proporzioni • numeri relativi • operazioni • ordinamento • calcolo letterale • equazioni di primo grado in un’incognita

Grandezze costanti e variabili • variabile dipendente e indipendente in una relazione • rappresentazione cartesiana di funzioni semplici

Indici statistici • organizzazione e rappresentazione di dati statistici • calcolo combinatorio • concetti base del calcolo delle probabilità

Scomposizione di figure geometriche • teorema di Pitagora • definizioni e proprietà di cerchi e circonferenze • rappresentazione oggetti solidi tramite disegni sul piano • equivalenza di solidi • aree superficiali e volumi di solidi

1 Andrea costruisce delle figure utilizzando tessere bianche e verdi come quella in figura. Quale delle seguenti figure non è possibile costruire?

tessera

2 Se il numero naturale n è pari, come sarà il prodotto di (n + 1) ⋅ (n − 1) ?

A Pari, perché se aggiungo 1 e sottraggo 1 il risultato sarà sempre pari

B Pari, perché la differenza tra n + 1 e n 1 è sempre 2

C Dispari, perché il prodotto di due numeri dispari è dispari

D Non ci sono dati sufficienti per dare la risposta

3 Quale frazione corrisponde alla parte colorata del disegno?

A 3 4

B 6 10

C 16 6

D 3 8

Attenzione!

Ritaglia un foglio a quadretti in tessere e prova a costruire le figure proposte!

A Figura A B Figura B C

Figura C D

Figura D

Il punteggio delle prove INVALSI di Matematica viene assegnato sulla base della seguente tabella:

Blocco A

Punti

0 domande o item ai quali è stato risposto correttamente 0

Da 1 a 3 domande o item ai quali è stato risposto correttamente 10

Da 4 a 8 domande o item ai quali è stato risposto correttamente 15

Da 9 a 13 domande o item ai quali è stato risposto correttamente 20

Da 14 a 17 domande o item ai quali è stato risposto correttamente 25

Da 18 a 19 domande o item ai quali è stato risposto correttamente 30

Blocco B

0 domande o item ai quali è stato risposto correttamente 0

Da 1 a 2 domande o item ai quali è stato risposto correttamente 2

Da 3 a 7 domande o item ai quali è stato risposto correttamente 5

Da 8 a 10 domande o item ai quali è stato risposto correttamente 10

Da 11 a 12 domande o item ai quali è stato risposto correttamente 14

Blocco C

0 domande o item ai quali è stato risposto correttamente 0

Da 1 a 2 domande o item ai quali è stato risposto correttamente 2

Da 3 a 4 domande o item ai quali è stato risposto correttamente 4

Da 5 a 6 domande o item ai quali è stato risposto correttamente 6

Totale blocchi A, B e C 50

Se Silvia ha risposto correttamente a 12 domande del Blocco A, 9 domande del blocco B e 3 domande del blocco C, quale sarà il suo punteggio?

Risposta:

Attenzione!

Calcola il punteggio per ogni blocco e trai le dovute conclusioni. 34

5 Nella figura a sinistra è rappresentata la pianta di tre edifici. Se un osservatore vede i tre edifici come nella figura a destra, da quale posizione li sta osservando?

A Posizione A

B Posizione B

C Posizione C

D Posizione D

6 Il seguente grafico rappresenta la distribuzione dei voti in un compito in classe di Grammatica:

Attenzione!

Puoi mettere tre scatole di dimensioni tali da replicare la figura di destra e posizionarti nei punti indicati.

a. Quanti alunni hanno preso almeno la sufficienza?

Risposta:

b. Qual è la media dei voti degli alunni della classe?

Risposta: …................…

7 Osserva la seguente figura che rappresenta il triangolo inscritto nella circonferenza di centro O:

Se l’angolo AB ˆ C misura 27°, quanto misura l’angolo CÂB?

Attenzione! Ciò che conta è la semicirconferenza per i tre punti. 63

Risposta: °

8 Indica se ciascuna delle seguenti uguaglianze è vera (V) o falsa (F).

a. √ 36 : 100 = 6 : 10

b. √ 41 2 40 2 = 41 40

c. √ 13 8 = 13 4

d. √ 12 2 + 5 2 = 12 + 5

V F

9 Osserva il seguente solido costituito dal cubo di lato a, a cui è stata tolta una sezione a forma di prisma quadrangolare regolare con lato di base pari a b:

Qual è la formula che esprime il volume del solido?

A V = a 3

B V = a 3 b 3

C V = a 3 a b 2

D V = a 3 b 2

10 Un’automobile viaggia per 120 km a 60 km/h e per altri 120 km a 100 km/h.

Qual è la sua velocità media?

A 65 km/h

B 70 km/h

C 75 km/h

D 80 km/h

11 Zia Ada va dal fioraio e compra una begonia da € 8,50 e tre sanseverie da € 18,00. Se paga con due banconote da € 50,00 come può essere calcolato il resto?

A 2 50 (8,50 + 18) 3

B 2 50 (8,50 + 18 3)

12 Osserva le seguenti lettere maiuscole:

C 2 50 (8,50 18 3)

D 8,50 + 18 3 50 2

Quale delle quattro ha il maggior numero di assi di simmetria interni?

A Lettera R

B Lettera A

C Lettera D

D Lettera I

13 Vincenzo ha la passione per le rose. Coltiva cespugli di rose rosse, bianche, rosa e gialle. Il seguente grafico rappresenta la distribuzione delle rose nei diversi colori:

Attenzione! Importa solo la porzione di cerchio occupata da un settore.

Rosse

Gialle

Rosa

Bianche

Che percentuale rappresentano le rose bianche rispetto al totale?

12,5

Risposta: %

14 Di seguito sono elencati i prezzi della benzina senza piombo di quattro diversi distributori:

a. Qual è la massima differenza di prezzo al litro tra i vari distributori scegliendo il «servito»?

A 0,142 centesimi/litro

B 1,42 centesimi/litro

C 14,2 centesimi/litro

D 142 centesimi/litro

b. Quanti euro risparmia il papà di Veronica facendo il pieno di 40 litri al self-service invece che al servito presso il distributore ZetaBenz?

Risposta: €

15 Il rettangolo ABCD ha un’area di 30 cm2. Se i punti E, F, G, H sono i punti medi dei lati, qual è l’area dell’esagono EBFGDH?

A 20 cm2

B 22,5 cm2

C 24 cm2

D 25 cm2 2,6

Attenzione! Concentrati sulle aree dei triangoli ABD e AEH

16 Di seguito è rappresentata schematicamente una gru meccanica.

Le macchine di questo tipo si comportano come leve di primo genere in cui vale la relazione P ⋅ b P = R ⋅ b R.

a. Sapendo che il prodotto della resistenza per il braccio della resistenza, R ⋅ b R, non può superare il prodotto della potenza per il braccio della potenza, P b P , quale sarà la portata massima (ovvero la resistenza massima, R) al termine del braccio della gru?

A 750 kg

B 3000 kg

C 12 000 kg

D 24 000 kg

b. Qual è la distanza massima dal fulcro per un carico di 1000 kg?

P 6000 kg R ? fulcro bP 2 m bR 16 m 12

Risposta: m

17 Osserva la seguente moltiplicazione:

216 35 = 7560

Indica quali delle seguenti operazioni sono corrette (C) e quali sono errate (E).

a. 2,16 ⋅ 350 = 756 C E

b. 21,6 35 = 75,6

c. 0,216 ⋅ 3,5 = 0,0756

d. 2,16 ⋅ 0,35 = 0,756

Attenzione! Trasforma il membro di destra in 7560 per un multiplo o sottomultiplo di 10 e vedi che cosa succede a quello di sinistra.

18 In un sacchetto ci sono 4 caramelle alla menta e 2 alla fragola.

a. Qual è la probabilità di estrarre casualmente una caramella alla menta?

b. Come calcoleresti invece la probabilità che estraendo due caramelle siano entrambe alla fragola?

19 Un biologo ha a disposizione una bottiglia da 25 cl di un certo liquido da suddividere in una serie di provette da 15 cm3 ciascuna. Quante provette riuscirà a riempire completamente?

Risposta: provette

20 Nella seguente immagine sono rappresentati due contenitori cilindrici:

Sapendo che il secondo ha altezza doppia, ma diametro la metà rispetto a quello del primo, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

a. Il volume del primo è doppio di quello del secondo. V F

b. L’area di base del primo è quattro volte quella del secondo. V F

c. I due solidi sono equivalenti. V F

d. L’area laterale del primo è doppia rispetto a quella del secondo. V F

Attenzione! Riprendi le formule di area e volume di un cilindro e vedi che cosa accade raddoppiando o dimezzando una delle sue misure.

ALLENAMENTO 2

RIEPILOGO AMBITI E PREREQUISITI

4, 5, 7, 9, 10, 19 Numeri

1, 15, 16, 20 Relazioni e funzioni

2, 11, 17

3, 6, 8, 12, 13, 14, 18

Dati e previsioni

Spazio e figure

Proporzioni • numeri relativi • operazioni • ordinamento • calcolo letterale • equazioni di primo grado in un’incognita

Grandezze costanti e variabili • variabile dipendente e indipendente in una relazione • rappresentazione cartesiana di funzioni semplici

Indici statistici • organizzazione e rappresentazione di dati statistici • calcolo combinatorio • concetti base del calcolo delle probabilità

1 Carlo, che è pasticciere, quando prepara delle torte usa una quantità di impasto (in grammi) pari a:

q = 2,5 ⋅ d 2 dove d è il diametro (in cm) della tortiera utilizzata.

Attenzione! C’è un quadrato!

In genere usa tortiere da 24 cm, ma l’altro giorno ha dovuto utilizzarne una da 36 cm.

Poiché il diametro della tortiera è aumentato di 1,5 volte, di quante volte sarà aumentata in proporzione la quantità di impasto? A 1,5 volte B 2 volte

2 La seguente tabella rappresenta la distribuzione delle altezze tra gli alunni di una classe:

Quale tra i seguenti grafici rappresenta la distribuzione della tabella?

3 Di seguito sono riportate la pianta del sito archeologico di Stonehenge e una sua foto dall’alto.

Quale numero riportato sulla pianta corrisponde alla pietra indicata con la freccia rossa?

Attenzione!

Prova a partire da un pezzo che riconosci e numera i blocchi di pietra partendo da esso.

4 Collega ogni numero razionale con una scrittura equivalente:

0,3

0,03

3,0

5 Osserva la seguente uguaglianza, ad ogni simbolo uguale corrisponde uno stesso valore.

Sapendo che = , quanto vale ? A Zero

6 Osserva il seguente solido.

Tra le seguenti figure, quale potrebbe rappresentare il suo sviluppo piano?

Attenzione!

Potresti disegnare ognuna delle figure piane su un foglio, ritagliarle e piegarle lungo le linee nere.

A Figura 1

B Figura 2

C Figura 3

D Figura 4

7 Un commerciante decide di liberarsi dei modelli di televisione dello scorso anno e li mette in vendita con il 30% di sconto. Visto che non è riuscito a vendere l’ultimo televisore che a prezzo intero costava € 800, decide di fare un ulteriore sconto del 20% sul prezzo già scontato.

Qual è il prezzo finale del televisore?

Risposta: €

8 Il recipiente conico mostrato in figura è riempito con 1 litro d’acqua fino a un’altezza h che è la metà di quella massima, 2h. L’area A della superficie dell’acqua è un quarto rispetto a quella sul recipiente completamente pieno 4A.

Attenzione!

Parti dalla relazione tra i due volumi e poi trasforma in litri.

Ricordando che il volume di un cono è V = A h ____ 3 , quanti altri litri d’acqua servono per riempire completamente il recipiente?

A 1 L

B 3 L

C 5 L

D 7 L

9 Se a è 3 2 e b è i suoi 2 5 , quanto vale b?

A 2 5

B 5 7

C 3 5

D 4 15

10 Dati quattro numeri consecutivi, indica quale delle seguenti affermazioni è falsa.

A La loro somma è sempre pari, infatti 2 + 3 + 4 + 5 = 14

B Il loro prodotto è multiplo di tre, infatti 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120

C La differenza tra la somma degli ultimi due e la somma dei primi due è sempre uguale a uno stesso numero, infatti (4 + 5) (2 + 3) = 9 5 = 4, ma anche (8 + 9) (6 + 7) = 17 13 = 4

D Il loro prodotto è sempre multiplo di cinque, infatti 2 3 4 5 = 120

11 Antonio, Lara e Carlo giocano a testa o croce lanciando due monete. Antonio vince se escono due teste, Lara vince se escono due croci e Carlo vince se esce una testa e una croce.

Chi ha più probabilità di vincere?

A Antonio

B Lara

C Carlo

D Nessuno, hanno tutti la stessa probabilità

12 Osserva la seguente figura costruita in modo tale che ogni triangolo inscritto ha i vertici sui punti medi del triangolo circoscritto:

Attenzione!

Imposta il problema prendendo numeri consecutivi generici: n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4 e fai i calcoli richiesti.

Sapendo che l’area azzurra è 156 cm2 calcola l’area verde della figura.

Risposta: …................… cm2 36

13 Enrico vorrebbe costruire una compostiera come quella disegnata in figura, utilizzando dei pannelli di legno larghi 80 cm.

a. Quale dovrà essere la lunghezza x del coperchio?

A 80 cm B 100 cm C 120 cm D 140 cm

b. Qual è la superficie totale dei pannelli che dovrà usare in tutto?

Risposta: m2

14 Secondo Esopo, la volpe e la cicogna si invitano spesso a pranzo. Quando la volpe va a casa della cicogna percorre il tragitto ABCD, mentre la cicogna vola direttamente dalla propria casa a quella della volpe secondo il tragitto DA.

Sapendo che AB = 528 m; BC = 850 m; CD = 792 m, quanta strada percorre in più la volpe rispetto alla cicogna?

A 600 m

B 850 m

C 1570 m

D Non si può sapere, perché non si hanno le misure di BH e HC

Attenzione! Un teorema di un grande matematico greco può aiutarti.

15 Nella notazione musicale ogni nota ha una sua durata corrispondente a una certa frazione secondo lo schema seguente:

Figura musicale Valore

semibreve 4/4

minima 2/4

semiminima 1/4

croma 1/8

semicroma 1/16

biscroma 1/32

semibiscroma 1/64

La durata delle note può però essere aumentata ad esempio dalla legatura di valore, per cui il valore della nota è data dalla somma dei valori delle singole note. Ad es.:

Qual è il valore complessivo della seguente scrittura?

Attenzione! Usa il minimo comune multiplo.

A 3 4

B 7 4

C 5 8

D 7 16

16 Il pianeta Marte dista da noi mediamente 225 milioni di km.

a. Come si può esprimere la distanza in metri?

A 2,25 106 m

B 2,25 108 m

C 2,25 ⋅ 1011 m

D 2,25 1014 m

b. Se i segnali radio viaggiano alla velocità di 300 000 km/s, quanto impiega un segnale inviato da quel pianeta a raggiungere la Terra?

A Meno di 1 secondo

B Circa 2 minuti

C Circa 12 minuti

D Circa 2 ore

c. Sapendo che in un’ora ci sono 3600 secondi, se riceviamo i segnali di una sonda spaziale circa 4 ore dopo che sono stati emessi, a che distanza si trova la sonda?

A Circa 1,2 milioni di km

B Circa 72 milioni di km

C Circa 144 milioni di km

D Circa 4,3 miliardi di km

17 È Halloween, quattro bambini vestiti da Fantasma, Mummia, Strega e Zombie sono intenti a fare «dolcetto o scherzetto», ma poiché litigano sempre su chi deve essere il primo o il secondo decidono di seguire questa semplice regola: a ogni casa a cui suonano il campanello per chiedere i dolcetti dovranno utilizzare un ordine differente da ognuno dei precedenti ed, entro la serata, dovranno aver esaurito tutte le possibili combinazioni.

a. In quanti modi si possono disporre in ordine Fantasma, Mummia, Strega e Zombie?

A 4

B 8

C 16

D 24

b. Ipotizzando che impieghino 5 minuti per ogni casa, dopo quante ore avranno terminato?

Risposta: …................… ore

Attenzione!

Ricorda che la velocità è il rapporto tra spazio e tempo. 2

18 Nel seguente piano cartesiano è rappresentato il quadrilatero ABCD, Nicoletta deve disegnare il simmetrico della figura rispetto alla retta r.

Quali sono le coordinate del punto B' simmetrico del punto B rispetto alla retta r?

Risposta: B' (…................… ; …................…)

19 Un quarto di 440 è:

Attenzione! Usa la retta come uno specchio di fronte al quale si trova il quadrilatero.

20 Il seguente profilo altimetrico rappresenta una delle quattro sezioni della successiva carta in rilievo di una zona appenninica:

Distanza

A quale delle sezioni corrisponde il profilo altimetrico?

A Sezione A

B Sezione B

C Sezione C

D Sezione D

Attenzione! Osserva la forma del profilo altimetrico e l’intervallo delle quote in cui esso varia.

ALLENAMENTO 3

1, 5, 14, 16

4, 10, 11, 20

2, 7, 9, 13, 18

3, 6, 8, 12, 15, 17, 19

Numeri

Relazioni e funzioni

Dati e previsioni

Spazio e figure

Proporzioni • numeri relativi • operazioni • ordinamento • calcolo letterale • equazioni di primo grado in un’incognita

Grandezze costanti e variabili • variabile dipendente e indipendente in una relazione • rappresentazione cartesiana di funzioni semplici

Indici statistici • organizzazione e rappresentazione di dati statistici • calcolo combinatorio • concetti base del calcolo delle probabilità

1 La radice quadrata di 1000 è circa pari a:

A 10 B 30 C 100 D 500

2 Il seguente grafico rappresenta l’andamento climatico di una località sciistica italiana: Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

a. Il mese più piovoso è luglio. V F

b. I mesi più freddi sono febbraio e marzo. V F

c. Il mese meno piovoso è dicembre. V F

d. Nel mese più piovoso cadono più di 100 mm di pioggia. V F

3 Di seguito sono riportate la pianta del castello di Chenonceau in Francia e una sua fotografia.

A quale numero sulla piantina corrisponde la stanza contrassegnata con la freccia?

A 1 B 2

C 4 D 9

4 Una ditta che vende prodotti on line applica le spese di spedizione solo sugli ordini inferiori a € 50. Il seguente grafico rappresenta il costo complessivo per l’acquisto di DVD (che hanno tutti lo stesso prezzo) in funzione del numero di DVD acquistati.

Osserva il grafico e completa la frase.

Ogni DVD costa € e le spese di spedizione per ordini inferiori a € 50 ammontano a €

5 Laura e Martina misurano la loro altezza. Laura misura 148,5 cm e Martina 156 cm, però si accorgono che al metro da loro usato mancano i primi 2,5 centimetri.

Attenzione! Considera che cosa cambia se compri 6 o 7 DVD.

a. Quanto è più alta Martina di Laura?

A 5 cm

B 7,5 cm

C 8,5 cm

D 10 cm

b. Quanto è alta realmente Laura?

Risposta: cm

6 Disponi i seguenti poligoni in ordine da quello di area minore a quello di area maggiore.

7 In un Istituto Comprensivo nel 2019 si sono avute 200 nuove iscrizioni, nel 2020 si è registrato un calo del 20% rispetto al 2019 e nel 2021 si è avuto un aumento del 20% rispetto al 2020.

Qual è la variazione percentuale del numero di nuove iscrizioni del 2021 rispetto a quelle del 2019?

A Nessuna variazione (0%)

B Un decremento del 4%

C Un decremento dell’8%

D Un incremento del 4%

8 Osserva la seguente figura ABCDEF, ottenuta ritagliando il quadrato DCKE dal quadrato ABKF:

Attenzione! Devi calcolare la percentuale di una percentuale.

Sapendo che il lato AB è lungo 8 cm, mentre il lato CK è lungo x, quale delle seguenti affermazioni è falsa?

A L’area della figura ABCDEF è A = 64 – x 2

B La lunghezza del lato DC è x

C Il perimetro della figura ABCDEF è pari a 2p = 32 – 4x

D Il segmento FE è lungo 8 – x

9 Matteo in questo quadrimestre ha avuto come valutazioni di Scienze tre 6 e un 8.

a. Qual è la media dei voti?

Risposta:

6,5

b. Quale altro voto dovrebbe prendere per avere la media esatta del 7?

A Sette B Otto C Nove D Dieci

10 La famiglia Schmidt, composta da padre, madre e due bambini, in estate va in vacanza in una località balneare della Puglia. L’albergo da loro scelto applica le seguenti tariffe a persona:

Dal 1/1 al 31/5

Dal 16/9 al 31/12

Dal 1/6 al 30/6

Dal 1/9 al 15/9

Dal 1/7 al 31/8

Dal 25/8 al 31/8

Dal 1/8 al 24/8

letto in camera doppia

a. Quanto spende la famiglia Schmidt se arrivano il pomeriggio del 15/6 e ripartono la mattina del 22/6, alloggiando a mezza pensione?

Risposta: €

b. Quanto avrebbe speso di meno al giorno la famiglia Schmidt se avesse alloggiato in camera con la sola colazione?

Risposta: €

1596,00 74,00

11 Un’automobile viaggia per due ore a 80 km/h e per un’ora a 110 km/h.

Qual è la sua velocità media?

A 85 km/h

B 90 km/h

C 95 km/h

D 100 km/h

12 Osserva la seguente immagine, è una «piramide» formata da cubi tutti uguali. Quanti sono i cubi nascosti, cioè quelli che non è proprio possibile vedere, nemmeno osservando la struttura dall’altro lato?

Risposta:

13 Cinque cuginetti decidono di misurare la loro statura e la segnano su un foglio:

Quale valore rappresenta la mediana?

A 1,37 m

B 1,38 m

C 1,40 m

D 1,45 m

14 Determina il valore dell’espressione:

Attenzione! Se trasformi tutti i termini in frazioni a loro equivalenti aventi stesso denominatore, il conto non è così complicato.

15 Il marchese di Falcobolzo sta assaltando il castello del conte di Roccataccola. Le sue truppe hanno delle scale alte 15 m e il castello ha le mura alte 14 m, ma è protetto da un fossato largo 9 m disposto come nella figura.

a. A quanti metri dalla cima delle mura poggerà la scala?

Risposta: m

b. Quanti metri dovrà essere lunga come minimo la scala per riuscire a raggiungere la cima delle mura?

16 m

16 Osserva la mappa di una zona centrale di Milano. Corso Sempione si estende da piazza Firenze (punto A) a piazza Sempione (punto B).

a. Considerando che la scala della cartina è 1 : 25 000, quanto è lungo corso Sempione?

A Circa 180 m

B Circa 300 m

C Circa 1,8 km

D Circa 3 km

b. Se la scala fosse 1 : 10 000 quanto sarebbe la lunghezza di corso Sempione sulla carta?

A Circa 3 cm

B Circa 10 cm

C Circa 18 cm

D Circa 30 cm

17 L’Adansonia grandidieri è un baobab del Madagascar dal tronco pressoché cilindrico.

Se il tronco di un albero adulto è alto 20 m e ha un diametro di 4 m quale potrebbe essere il suo volume?

A 40 π m3

B 80 π m3

C 160 π m3

D 320 π m3

Attenzione! Bastano un righello, una proporzione e un’equivalenza.

18 In alcuni giochi, oltre al comune dado a 6 facce, si usano dei dadi a 4 facce; in quest’ultimo caso il risultato è il numero che si legge sul vertice in alto.

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

a. La probabilità che esca 1 nel dado a quattro facce è maggiore di quella che esca 1 in quello a 6 facce.

b. La probabilità che esca un numero pari è uguale in entrambi i dadi.

V F

c. La probabilità che esca il numero 4 nel dado a quattro facce è uguale alla probabilità che esca 4 nel dado a sei facce. V F

d. La probabilità che esca un numero primo è uguale in entrambi i dadi. V F

19 Osserva la seguente figura:

Sapendo che OH = HB, e che ED è perpendicolare al diametro AB, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

a. Il segmento EB (non rappresentato) è congruente al raggio OA. V F

b. L’angolo ODE (non rappresentato) è di 45°. V F

c. Il segmento OH è la metà del segmento DH. V F

d. Il segmento AE (non rappresentato) è il doppio del segmento DH. V F

20 In un uomo di 78 kg circolano circa 6 litri di sangue. Se in 1 millimetro cubo ci sono mediamente 5 000 000 di globuli rossi, quanti globuli rossi saranno presenti in tutto?

A 30 milioni

B 30 miliardi

C 300 miliardi

D 30 bilioni

(= 30 000 miliardi)

Attenzione!

Ricorda che la probabilità è pari al numero di casi favorevoli fratto il numero di casi possibili.

ALLENAMENTO 4

RIEPILOGO AMBITI E PREREQUISITI

QUESITI AMBITO PREREQUISITI

3, 4, 6, 10, 12, 15

9, 13

1, 5, 7, 16

Numeri

Relazioni e funzioni

Dati e previsioni

2, 8, 11, 14, 17, 18, 19, 20 Spazio e figure

Proporzioni • numeri relativi • operazioni • ordinamento • calcolo letterale • equazioni di primo grado in un’incognita

Grandezze costanti e variabili • variabile dipendente e indipendente in una relazione • rappresentazione cartesiana di funzioni semplici

Indici statistici • organizzazione e rappresentazione di dati statistici • calcolo combinatorio • concetti base del calcolo delle probabilità

1 In una scuola viene fatto un sondaggio per valutare quali corsi pomeridiani attivare. Il risultato viene riportato nella seguente tabella:

Quale dei seguenti grafici può rappresentare la distribuzione delle preferenze?

Attività

Preferenze (n)

Attività sportive 30

Laboratorio teatrale 10

Strumento musicale 15

Laboratorio di informatica 25

2 Osserva il seguente solido composto da un cubo con due piramidi aventi le basi coincidenti a due delle sue facce opposte:

Completa la seguente tabella.

a. Numero facce quadrate

b. Numero facce triangolari

c. Totale facce

3 Se n è un numero pari qualsiasi, quale delle seguenti operazioni dà sempre come risultato un numero dispari?

4 Tra i pianeti nani del sistema solare, Eris ha una massa quattro volte maggiore a quella di Haumea. Sapendo che la massa di Haumea è di 4,2 10 21 kg, qual è la massa di Eris?

A 4,2 ⋅ 1084 kg

B 16,8 ⋅ 4021 kg

C 1,68 ⋅ 1022 kg D 4,2 ⋅ 1025 kg

5 La professoressa di Scienze ha scritto su un foglio il numero di relazioni che gli alunni le hanno consegnato nel quadrimestre, in ordine crescente. Purtroppo una macchia di caffè ha coperto tre valori, tuttavia la professoressa pensa di poter calcolare almeno uno dei seguenti indicatori statistici: media, moda e mediana.

Attenzione! Ricorda come esprimere un numero in notazione scientifica.

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

a. La media dei valori è sicuramente 4. V F

b. Non è possibile calcolare la moda perché non si può determinare quale dei valori è il più frequente. V F

c. La mediana è 3. V F

d. È possibile calcolare la mediana perché non sono stati coperti i valori centrali. V F

6 Per svolgere la moltiplicazione 57 · 990 si possono utilizzare diversi modi. Quale tra i seguenti NON è corretto?

A 50 ⋅ 990 + 7 ⋅ 990

B 57 ⋅ 900 + 57 ⋅ 90

C 50 ⋅ 900 + 7 ⋅ 90

D 57 ⋅ 1000 57 ⋅ 10

7 Osserva il seguente grafico che rappresenta l’andamento della raccolta differenziata e dei rifiuti urbani residui nella Regione Veneto a partire dal 2000. Le percentuali indicano la parte di raccolta differenziata rispetto al totale.

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

a. Dal 2007 la raccolta differenziata supera i rifiuti urbani residui V F

b. Nel 2010 sono stati raccolti 1 000 000 000 di kg di rifiuti

c. Dal 2010 la raccolta differenziata è di circa 1400 tonnellate per anno V F

d. Dal 2010 al 2012 la percentuale della raccolta differenziata sul totale è aumentata V F

Attenzione!

La chiave è la proprietà distributiva.

differenziata

8 Una struttura a base quadrata è composta da elementi verticali e orizzontali di metallo, uniti da tiranti in acciaio che decorrono lungo tutte le diagonali delle facce laterali.

Se tutta la struttura è alta 12 m e larga 4 m, quanti metri di tiranti in acciaio serviranno come minimo per sostenere la struttura?

A 80 m

B 160 m

C 250 m

D 320 m

9 Di seguito è rappresentata la tabella di conversione delle misure delle scarpe da donna.

Paese

Taglia

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

a. Chi ha in Europa il 38 in Brasile indosserà il 36,5. V F

b. La taglia 8 degli Stati Uniti corrisponde alla taglia 6 nel Regno Unito. V F

c. Chi ha la taglia 40 in Europa ha il piede più lungo di chi ha la taglia 40 in Brasile. V F

d. Per passare dalle taglie degli Stati Uniti a quelle del Brasile è sufficiente moltiplicarle per 5. V F

Attenzione! Un teorema di un grande matematico greco può aiutarti.

10 Quanto vale la metà di ( 1 2 )16 ?

A ( 1 2 ) 17

B ( 1 4 ) 16

C ( 1 2 ) 15

D ( 1 2 ) 8

11 Osserva la seguente figura mistilinea:

Quale delle seguenti figure ha il perimetro diverso da quella sopra rappresentata?

A Figura 1 B Figura 2 C Figura 3 D Figura 4

12 Luca risolve l’equazione 3(x 4) = 2(9 x) + 5 nel seguente modo:

testo: 3(x 4) = 2(9 x) + 5 primo passaggio 3x 12 = 18 2x + 5 secondo passaggio 3x 2x = 18 12 + 5

terzo passaggio x = 11

Secondo Marco, il suo compagno di banco, c’è un errore in un passaggio, ma Luca è convinto di averla svolta correttamente. Chi dei due ha ragione?

A Luca, perché effettivamente l’equazione è corretta.

B Marco, perché Luca ha commesso un errore nel ................................................ passaggio. 1 2 3 4

Attenzione!

Ricorda che cosa succede ai termini di una equazione quando vengono spostati da un membro all’altro. secondo

13 La seguente figura rappresenta un cubo. La relazione che lega la lunghezza del lato l al volume V è V = l3.

Un secondo cubo avente il lato pari alla metà del primo avrà il volume pari:

A a un ottavo rispetto a quella del primo cubo

B a un sesto rispetto a quella del primo cubo

C a un quarto rispetto a quella del primo cubo

D alla metà rispetto a quella del primo cubo

14 In un poster appare la scritta seguente:

Osservando il poster da uno specchio, come apparirà la scritta?

Attenzione!

Basta sostituire a l la sua metà.

15 Nel sistema di misurazione anglosassone 16 once corrispondono a 1 libbra, mentre 14 libbre corrispondono a 1 stone. Se 1 oncia corrisponde a circa 28 grammi, a quanti chilogrammi corrisponde il peso di 1 stone?

A 0,45 kg

B 1,8 kg

C 3,6 kg

D 6,4 kg

16 Per una ricerca di Scienze, Rachele, Simone e Tania raccolgono fiori di Pisum sativum. Nella seguente tabella riassumono i dati ottenuti:

Alunno Fiori viola Fiori bianchi Percentuale di fiori bianchi

24 16

Gli studenti decidono poi di mettere insieme i risultati. Quale sarà la percentuale di fiori bianchi tra tutti i fiori raccolti?

A Circa il 23%

B 25%

C Circa il 27%

D 30%

17 La seguente figura è formata da quadrati di diverse dimensioni:

Se il lato del quadrato azzurro è lungo 1 cm, quanto vale l’area dell’intera figura?

Risposta: …................… cm2

18 Quale delle seguenti quantità è la più piccola?

A 2 10 di 250

B 7 6 di 42

C 16% di 300

D 16 9 di 30 40

Attenzione! Basta calcolare dei prodotti e confrontarli.

19 Osserva la seguente figura che rappresenta il rettangolo ADEF inscritto nel triangolo isoscele rettangolo ABC:

Sapendo che i lati AB e AC del triangolo misurano 10 cm e il lato AD del rettangolo misura x, qual è la formula che permette di trovare l’area del rettangolo?

A A = 10 ⋅ x

B A = x (10 x)

C A = 100 x 2

D Non è possibile con i dati a disposizione calcolare l’area del rettangolo

20 Osserva il seguente quadrilatero inscritto in una circonferenza.

Sapendo che la lunghezza del lato AD è uguale a quella del raggio AO e che l’angolo AÔB è retto, quale sarà l’ampiezza dell’angolo DÂB? A

Attenzione! Parti dagli angoli interni del triangolo AOD

ALLENAMENTO 5

RIEPILOGO AMBITI E PREREQUISITI

QUESITI AMBITO PREREQUISITI

1, 2, 6, 8, 12, 14

3, 7, 10, 18, 19, 20

9, 17

4, 5, 11, 13, 15, 16

Numeri

Relazioni e funzioni

Dati e previsioni

Spazio e figure

Proporzioni • numeri relativi • operazioni • ordinamento • calcolo letterale • equazioni di primo grado in un’incognita

Grandezze costanti e variabili • variabile dipendente e indipendente in una relazione • rappresentazione cartesiana di funzioni semplici

Indici statistici • organizzazione e rappresentazione di dati statistici • calcolo combinatorio • concetti base del calcolo delle probabilità

1 Se il numero naturale n è dispari come sarà il prodotto n ⋅ (n + 3) ?

A Dispari perché il prodotto di due numeri dispari è dispari

B Pari, perché il fattore n + 3 è pari

C Pari, perché la somma di due numeri dispari è sempre pari

D Non ci sono dati sufficienti per dare la risposta

2 In quale delle seguenti successioni i numeri sono disposti in ordine crescente?

A 2; 3 2 ; 1 2 ; √ 2 2

B 3 2 ; 2; 1 2 ; √ 2 2 C 1 2 ; √ 2 2 ; 3 2 ; 2 D 2; 3 2 ; √ 2 2 ; 1 2

3 Un contenitore cilindrico in plastica, vuoto e chiuso, ha un volume esterno di 3 dm3 , pesa 750 g e galleggia in acqua.

a. Considerando che il peso specifico è il rapporto del peso rispetto al volume P 3 = P V , qual è il peso specifico del contenitore espresso in kg/dm3?

0,25

Risposta: kg/dm3

b. Per affondare il contenitore è possibile riempirlo anche parzialmente di sabbia fino a fargli superare il peso specifico dell’acqua che è di 1 kg/dm3 . Quanti grammi di sabbia si dovranno aggiungere come minimo per fare affondare il contenitore?

Attenzione!

Scrivi tutti i numeri di ogni successione come frazioni con stesso denominatore.

4 Di seguito è rappresentato un solido e quattro possibili sviluppi piani:

Quale dei quattro sviluppi piani genera il solido rappresentato nella figura in alto?

Figura 1 B Figura 2 C Figura 3 D Figura 4

5 Osserva il seguente triangolo ABC, in cui è inscritto il quadrato CDEF:

a. Calcola l’area del triangolo EBF.

Risposta: cm2

b. Qual è il rapporto tra l’area del triangolo EBF e l’area del triangolo AED?

4 : 1

Attenzione! La chiave è la similitudine tra triangoli.

6 Francesca, Giulio, Ilaria e Luca risolvono la seguente espressione: √ 8 2 + 4 2 =

Chi dei quattro la svolge correttamente? = √ 64 + 16 = =

+ 16 =

80 = 40

Francesca Giulio Ilaria Luca

7 Roberto e Simona sono nel laboratorio di fisica: Roberto fa muovere un oggetto lungo un percorso e Simona prende i dati della posizione dell’oggetto per un minuto. Simona ha prodotto poi il seguente grafico:

Distanza (cm) Tempo (secondi)

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

a. A 10 secondi l’oggetto sta accelerando. V F

b. Tra 20 e 40 secondi l’oggetto è fermo. V F

c. A 50 secondi l’oggetto è tornato nella posizione di partenza. V F

d. A 45 secondi la velocità è maggiore che a 15 secondi. V F

8 Carla, durante i saldi di fine stagione, decide di comprarsi una certa borsa venduta in due diversi negozi, A e B. Nel negozio A la borsa costa € 250 ed è scontata del 20%; nel negozio B la stessa borsa costa € 270 ed è scontata del 30%.

Completa la frase:

A Carla conviene acquistare la borsa nel negozio , dove la pagherà € in meno rispetto all’altro negozio. A B C D 0 20 40 60 80 100 120 140 0102030405060

Attenzione!

Ricorda che la velocità è il rapporto tra spazio e tempo.

Tommaso e Daryl giocano con i dadi. Tommaso lancia due dadi a 6 facce e somma il punteggio ottenuto, Daryl lancia un solo dado a dodici facce.

Chi ha la maggiore probabilità di fare come punteggio 12?

A Tommaso perché la sua probabilità di fare 12 è 1 6 + 1 6 = 2 6 , mentre per Daryl è 1 12

B Tommaso perché la sua probabilità di fare 12 è 1 6 + 1 6 1 36 = 11 36 , mentre per Daryl è 1 12

C Nessuno, infatti hanno entrambi 1 12 di probabilità che il punteggio sia 12

D Daryl perché la sua probabilità di fare 12 è 1 12 , mentre per Tommaso è 1 6 ⋅ 1 6 = 1 36

Osserva le seguenti figure:

a. Se si continua allo stesso modo la sequenza delle figure da quanti quadretti sarebbe composta la figura 9?

Risposta:

b. Una figura con 210 quadretti potrebbe appartenere alla sequenza?

A Sì, perché è pari a 21 ⋅ 20 : 2

B Sì, perché è uguale alla somma di tutti i numeri da 1 a 20

C No, perché il numero non è un quadrato perfetto

D No, perché è un numero pari 1 2 3 4

Attenzione!

Trova la relazione tra il numero di quadretti di ogni figura e il numero sotto di essa.

11 Il quadrilatero ABDC è formato da due triangoli rettangoli ABC e BCD e ha tre dei quattro lati lunghi 1 dm. Quanto è lungo il lato BD?

12 Agnese, Beatrice, Christian e Dario risolvono la seguente espressione: 2 + 2 ⋅ 2 2 =

Chi l’ha risolta correttamente? = 4 ⋅ 2 2 = = 8 2 = = 64 = 2 ⋅ 4 2 = = 2 + 16 = = 18

2 + 2 ⋅ 4 = = 2 + 8 = = 10

2 + 2 ⋅ 4 = = 4 4 = = 16

A Agnese B Beatrice C Christian D Dario

Attenzione! Un teorema di un grande matematico greco può aiutarti. 1 2 3 4

13 Quale delle seguenti figure ha il volume maggiore delle altre? A Figura 1 B Figura 2 C Figura 3 D Figura 4

14 Luca, Masha e Giorgio giocano al tiro al bersaglio. Luca che è meno bravo fa più tiri di Masha, Giorgio che è il più bravo ne fa meno di tutti. La seguente tabella riassume il numero dei tiri e la media dei punteggi ottenuta:

Qual è la media complessiva dei punteggi di tutti i tiri effettuati dai tre giocatori?

A 5 B 6 C 7 D 13,3

15 Sul triangolo ABC sono stati costruiti dei semicerchi aventi il diametro coincidente con ciascuno dei lati del triangolo.

Attenzione!

Osserva la relazione tra numero tiri, punteggio totale e media.

Sapendo che AB = 4 cm e BC = 6 cm, determina l’area del semicerchio costruito sul lato AC.

A 4π cm 2

B 13 2 π cm 2

C 8π cm 2

D 25 2 π cm 2

16 Nella figura è riportato un quadrato inscritto in un cerchio.

Sapendo che il raggio vale 10 cm, quanto vale l’area della figura colorata?

A 314 cm2

B 264 cm2

C 214 cm2

D 114 cm2

17 Alice e Omar giocano a dadi, lanciando ad ogni tiro due dadi blu e uno rosso. Il punteggio viene calcolato sommando il punteggio dei due dadi blu e sottraendo il punteggio del dado rosso.

Completa la frase:

Il punteggio minimo che è possibile ottenere è , il punteggio massimo è invece ..................

Attenzione!

Calcola il minimo meno il massimo e il massimo meno il minimo. – 4 11

18 In Italia ogni abitante consuma mediamente 10 kg di spaghetti all’anno.

Considerando che in Italia ci sono 60 000 000 di abitanti, che ogni spaghetto è lungo circa 25 cm e che pesa circa 1 g, mettendo in fila tutti gli spaghetti mangiati in un anno in Italia quale lunghezza si raggiungerebbe?

A Una volta e mezzo la lunghezza dell’equatore (60 000 km)

B Poco meno della metà della distanza tra la Terra e la Luna (150 000 km)

C La distanza tra la Terra e il Sole (150 000 000 di km)

D Quasi la distanza percorsa dalla sonda Voyager 2 (15 000 000 000 di km)

19 Il seguente grafico rappresenta il moto dei corpi A (linea blu) e B (linea rossa) su una traiettoria rettilinea.

a. La velocità massima è raggiunta:

A dal corpo A all’istante t = 21 s

B dal corpo A tra i tempi di 10 s e 21 s

C dal corpo B dopo i 17 s

D dal corpo B tra il tempo di 10 s e 17 s

b. Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

a. Nei primi 10 s il corpo A è più veloce del corpo B. V F

b. Tra 10 s e 17 s il corpo B è fermo. V F

c. Il corpo A si muove di moto rettilineo uniforme. V F

d. All’istante t = 10 s i due corpi hanno la stessa velocità. V F

20 La seguente carta altimetrica riporta alcuni sentieri di montagna:

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

a. Il dislivello tra A e C è di circa 200 m. V F

b. Per andare da E a C prima si sale poi si scende di quota. V F

c. Il tratto più ripido è il sentiero che va da B a C. V F

d. Il tratto col maggiore dislivello è quello che va da A a D. V F

Attenzione!

Considera i livelli di partenza e arrivo e se i sentieri attraversano eventuali altri livelli.

ALLENAMENTO 6

RIEPILOGO AMBITI E PREREQUISITI

QUESITI AMBITO PREREQUISITI

1, 3, 9, 11, 12, 15, 16, 20 Numeri

6, 13, 17

4, 5, 7, 18

2, 8, 10, 14, 19

Relazioni e funzioni

Dati e previsioni

Spazio e figure

Proporzioni • numeri relativi • operazioni • ordinamento • calcolo letterale • equazioni di primo grado in un’incognita

Grandezze costanti e variabili • variabile dipendente e indipendente in una relazione • rappresentazione cartesiana di funzioni semplici

Indici statistici • organizzazione e rappresentazione di dati statistici • calcolo combinatorio • concetti base del calcolo delle probabilità

1 Per svolgere la moltiplicazione 17 ⋅ (− 42) si possono utilizzare diversi modi. Quale tra i seguenti NON è corretto?

A 17 ⋅ 8 17 ⋅ 50

B 17 ⋅ 40 17 ⋅ 2

2 Di seguito è riportata la mappa di un giardino, qual è la sua superficie?

A 20 m

B 23 m

C 19 m2

D 21 m2

C 17 ⋅ ( 6) + 17 ⋅ (+7)

D 17 ⋅ ( 40) + 17 ⋅ ( 2)

3 Durante una gita, una guida turistica informa che l’obelisco di Montecitorio è alto circa 34 m, compreso il basamento e il globo. In quel momento un palo alto 1,8 m piantato verticalmente rispetto al terreno proietta un’ombra di 2,7 m, quanto sarà lunga l’ombra proiettata dall’obelisco? A 48 m B 51 m C 54 m D 68 m

Attenzione! Meglio considerare l’area cercata come una differenza.

4 Osserva la seguente tabella che rappresenta i dati meteorologici rilevati in una località balneare nel giugno 2021.

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

a. La più alta temperatura massima è stata registrata il giorno 13. V F

b. I giorni in cui non è piovuto sono stati i due terzi del totale. V F

c. La minore temperatura massima è stata registrata il giorno 19. V F

d. La giornata meno umida è stata il giorno 5. V F

Attenzione! Parti dalla colonna d’interesse e cerca la riga corretta.

5 Di seguito è riportato il certificato delle competenze di Letizia. I livelli di competenza degli alunni sono indicati con livelli da D (iniziale) ad A (avanzato):

Competenze chiave europee Livello

1. Comunicazione nella madrelingua o lingua di istruzione A

2. Comunicazione nelle lingue straniere B

3. Competenza matematica e competenze di base in scienza e tecnologia D

4. Competenze digitali B

5. Imparare ad imparare B

6. Competenze sociali e civiche A

7. Spirito di iniziativa e imprenditorialità B

8. Consapevolezza ed espressione culturale C

a. Qual è la moda dei livelli di competenza?

b. È possibile calcolare la media dei livelli di competenza?

A Sì

B Sì, ma solamente assegnando un valore numerico a ogni lettera

C Sì, perché ai livelli è già assegnato un valore numerico

D No, poiché i livelli sono dati qualitativi e non quantitativi

6 Osserva il seguente grafico cartesiano. Tracciando la retta r passante per AB e la retta s passante per CD quali sono le coordinate del punto di intersezione E delle rette r ed s?

Attenzione!

Disegna con matita e righello per trovare la soluzione.

7 Una ditta etichetta i suoi prodotti con un codice alfanumerico costituito da una lettera dell’alfabeto internazionale a 26 lettere, esclusa la O, e da due cifre. Sapendo che la seconda cifra deve essere pari, quante combinazioni del codice si possono ottenere? A

Attenzione! Moltiplica tutti i casi possibili per ogni posizione.

8 Collega ogni figura con quella equivalente.

3 4 12 34

9 Tra i protisti (organismi eucarioti unicellulari) l’Amoeba proteus, ha un diametro circa 10 volte più grande della lunghezza di una Euglena gracilis. Sapendo che l’Euglena gracilis è lunga 5 10 5 m, qual è il diametro di un’Amoeba proteus? Indica la potenza.

5 10

10 Nella figura a sinistra sono rappresentati due solidi visti dall’alto. Se vedi i due solidi nella prospettiva della figura a destra, da quale posizione li stai osservando?

A Punto A

B Punto B

C Punto C

D Punto D

11 Se n è un qualsiasi numero naturale, come sarà la differenza n (n + 1) n (n 1) ?

A Dispari se n è pari e pari se n è dispari

B Pari se n è pari e dispari se n è dispari

C Sempre dispari

D Sempre pari

Attenzione! Riduci l’espressione ai minimi termini.

12 Osserva la seguente carta topografica in scala 1 : 25 000.

a. Qual è la distanza in linea d’aria tra i punti A e B segnati sulla carta?

Risposta: km

b. Se la stessa distanza fosse riportata in una scala 1 : 10 000, di quanto sarebbe la distanza rispetto alla scala 1 : 25 000?

A 4 volte minore

B 2,5 volte minore

C 2,5 volte maggiore

D 4 volte maggiore

13 Sapendo che la formula per trasformare i gradi Fahrenheit in gradi Celsius è: °C = (F 32) 5 9

A quanti gradi Celsius corrispondono 14 F?

Risposta: .......................... °C 1,75 (accettato da 1,7 a 1,8)

Attenzione! Sostituisci e calcola.

14 Lo studio dei ghiacci polari fornisce numerose informazioni sull’atmosfera e sul clima del passato. Per ottenerle si effettuano delle perforazioni in profondità e vengono estratte delle «carote di ghiaccio» come quella in figura, del diametro di circa 10 cm e lunghe fino a qualche metro.

10 cm

a. Qual è il volume della carota di ghiaccio rappresentata in figura?

A π dm3

B 2,5 π dm3

C 4 π dm3

D 10 π dm3

b. A volte le perforazioni sono molto lunghe. Sapendo che il peso specifico del ghiaccio è 0,9 kg/dm3 , quale potrebbe essere l’operazione da svolgere per calcolare il peso del ghiaccio, espresso in kg, complessivamente estratto in una perforazione di 1000 m?

A π 0, 5 2 10000 : 0,9

B π ⋅ 0, 5 2 ⋅ 10000 ⋅ 0,9

C π ⋅ 1 2 ⋅ 10000 : 0,9

D 2π 5 1000 0,9

15 Indica se ciascuna delle seguenti uguaglianze è vera (V) o falsa (F).

a. 14 8 = 7 4 2 4

b. ( 3 ) 9 : ( 3 ) 6 = ( + 3 ) 3

c. 11 11 = 11 10 11

V F

d. ( 5 ) 6 = ( + 5 ) 6 V F

16 Un elefante pesa circa 6 tonnellate ovvero 6 ⋅ 103 kg. Sapendo che il peso della Grande Piramide di Giza è di 6 109 kg sapresti dire quanti elefanti ci vorrebbero per eguagliare il suo peso?

1 000 000 di

Risposta: ................................... elefanti 1 m

Attenzione!

Ricorda come si calcola il volume di un cilindro e la relazione tra volume e peso specifico.

17 Sul retro di una confezione di cornflakes sono riportati i seguenti valori nutrizionali:

Qual è il valore energetico di una porzione di cornflakes da 30 g?

A circa 108 kcal

B circa 120 kcal

C circa 450 kcal

D oltre 10 000 kcal

Valori nutrizionali ed energetici (100 g) Alimenti Cornflakes

18 Il seguente grafico rappresenta la distribuzione delle attività pomeridiane degli alunni di terza di un istituto:

Qual è la probabilità in percentuale che un alunno scelto a caso non pratichi alcuno sport?

Risposta: %

19 Osserva la seguente figura.

Sapendo che l’area dei due triangoli isosceli rettangoli è rispettivamente di 32 cm2 e 8 cm2 , qual è l’area della parte bianca della figura?

104 cm2

20 In quale delle seguenti successioni i numeri sono scritti dal più piccolo al più grande?

Attenzione! Esprimili come frazioni aventi stesso denominatore.

Calcio Basket Nuoto Altri sport Nessuna

PROVA SIMULATA

1 Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri:

a. b. c. d.

2 Il triangolo ABC è inscritto nella circonferenza di centro O. Sapendo che il raggio CO = 5 cm e che la corda BC = 8 cm, calcola la lunghezza del perimetro del triangolo.

Risposta: …................… cm

3 I satelliti geostazionari ruotano alla stessa velocità della Terra compiendo un giro attorno a essa in 24 ore esatte. Sapendo che il raggio della Terra è di 6378 km e che i satelliti geostazionari orbitano a una altitudine di 36 000 km, quale potrebbe essere la formula che permette di calcolare la velocità del satellite?

24 h A V = 6378 24 km / h

B V = 6378 + 36000 2π 24 km / h

C V = 2π ⋅ (6378 + 36000) 24 km / h

D V = 2π 36000 24 km / h

4 Quando la luce bianca attraversa un prisma, si ha il fenomeno della dispersione nelle componenti con diverse lunghezze d’onda e quindi nei diversi colori dell’arcobaleno. Alla lunghezza d’onda ( �� ) di 6 10 7 m corrisponde il colore arancione. La relazione tra frequenza e lunghezza d’onda è la seguente: f = c ��

Sapendo che la velocità della luce (c) equivale a 3 ⋅ 10 8 m / s, indica quanto vale la frequenza della luce arancione.

A 8 10 1 Hz

B 0,5 ⋅ 10 1 Hz

C 2 10 15 Hz

D 0,5 10 15 Hz

5 Su ogni lato del triangolo equilatero ABC mostrato in ﬁgura viene disegnato un triangolo rettangolo isoscele. Quanto misura l’ampiezza dell’angolo DA ˆ F?

Risposta:

6 Uno stabilimento balneare, nella terza settimana di agosto, ha 25 ombrelloni tutti prenotati. Per migliorare il servizio, il titolare segna ogni giorno se il cliente è presente o meno. Al termine della settimana riepiloga i dati nella seguente tabella:

a. In media quanti giorni è venuto nello stabilimento ogni cliente?

Risposta: giorni

b. Qual è la percentuale di clienti che è stata presente almeno 4 giorni?

Risposta: %

7 Un pallone da calcio viene realizzato cucendo tra loro 12 pentagoni e 20 esagoni, usando come modello geometrico l’icosaedro troncato.

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

a. Il lato dell’esagono è più lungo di quello del pentagono V F

b. Il numero di vertici complessivi è 60 V F

c. Il numero di spigoli complessivi è 180 V F

d. L’area complessiva degli esagoni bianchi è poco meno del doppio dell’area complessiva dei pentagoni neri V F 3,8

(valida con almeno 3 risposte corrette su 4)

8 Kevin costruisce le mura di un castello con dei cubetti colorati.

Giorno 1

Giorno 2

a. Il primo giorno ne usa 8, il secondo ne usa 24 e ogni giorno aumenta di un cubetto sia la lunghezza del lato del castello sia la sua altezza. Il settimo giorno quanti cubetti dovrà utilizzare per costruire le mura del suo castello?

Risposta: cubetti

b. Considerando n = numero dei cubetti e g = numero del giorno, quale delle seguenti relazioni NON è corretta.

A n = 4g ⋅ (g + 1)

B n = 4 g 2 + 4g

C n = 4g ⋅ (g + 2)

D n = 4 ⋅ [g ⋅ (g + 2) g]

9 Osserva la seguente ﬁgura:

Qual è il rapporto (espresso come frazione) tra l’area della parte bianca e quella della parte colorata della ﬁgura?

Risposta:

Giorno 3 224 5 9

10 Osserva la seguente ﬁgura, rappresenta due circonferenze, rispettivamente di diametro AB e CD. La corda BD unisce i due punti di intersezione delle circonferenze.

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

a. La distanza OO’ è minore della somma dei raggi

b. La retta che congiunge i due centri OO’ è perpendicolare alla corda BD

c. Il quadrilatero ABCD è un trapezio

d. Il quadrilatero OBCO’ è un parallelogramma

(valida con almeno 3 risposte corrette su 4)

V F

11 La legge di Moore è nota tra gli addetti dell’informatica perché stima la velocità di sviluppo delle prestazioni dei microprocessori.

«La complessità di un microcircuito, misurata ad esempio tramite il numero di transistor per chip, raddoppia ogni 18 mesi (cioè un anno e mezzo)»

Se un’azienda in un certo anno avesse prodotto un processore con un milione di transistor, dopo un anno e mezzo ne produrrebbe uno con 2 milioni di transistor e dopo tre anni con 4 milioni di transistor.

Quanti milioni di transistor avrebbe un processore prodotto da quell’azienda dopo 12 anni?

Risposta: milioni

12 La professoressa di italiano fa svolgere un esercizio alla classe: usare dei cartoncini colorati per comporre differenti frasi disponendo in ordine un cartoncino giallo, uno rosso e uno azzurro, tra quelli di seguito mostrati.

La mamma

Zio Peppe

Arianna

Poiché gli alunni e le alunne sono 21, è possibile per ciascuno di loro comporre una frase diversa dagli altri?

A Sì, perché il numero di combinazioni è

B No, perché il numero di combinazioni è

13 Norman taglia un triangolo (come quello mostrato sotto) lungo le linee tratteggiate a e b, che sono parallele alla base e poste rispettivamente a 1 __ 3 e a 2 __ 3 dell’altezza.

Frammento 1

Frammento 2

Frammento 3

Se l’area del frammento 2 è di 12 cm2 , quanto misura l’area del frammento 3?

A 13,5 cm2

B 20 cm2

C 16 cm2

D 18 cm2

14 Uno, nessuno e centomila, ovvero 1, 0 e 100 000. Quale delle seguenti serie di potenze corrisponde ai numeri citati nel titolo del famoso romanzo di Pirandello?

A 1 5 , 0 5 , 10 5

B 1 1 , 0 0 , 10 5

C 10 0 , 10 1 , 10 6

D 10 1 , 10 0 , 10 6

15 Nella carta geograﬁca di seguito mostrata è rappresentato lo Stato del Wyoming, negli Stati Uniti d’America.

Osservando la scala presente in ﬁgura, a quanto potrebbe corrispondere la superﬁcie del Wyoming?

A Meno di 50 000 km 2

B Tra 50 000 e 200 000 km 2

C Tra 200 000 e 400 000 km 2

D Più di 400 000 km 2

16 Osserva la seguente ﬁgura.

Sapendo che l’area della sua superﬁcie è 125 cm2 , calcola il perimetro della ﬁgura.

A 50 cm B 60 cm C 80 cm D 100 cm

17 Il seguente graﬁco mostra il numero di eventi estremi connessi con i cambiamenti climatici avvenuti in Italia tra il 2008 e il 2019.

Ra che di vento Grandine Piogge intense Tornado

2008 2009 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2010

Fonte: elaborazione Fondazione per lo sviluppo sostenibile su dati European Severe Weather Database

In base al graﬁco, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

0 (valida con almeno 3 risposte corrette su 4)

a. Nel 2013 ci sono state sicuramente meno di 600 piogge intense V F

b. Il numero totale di eventi estremi del 2014 è stato più alto degli anni precedenti V F

c. Nel 2019 ci sono stati più di 1600 tornadi V F

d. Il numero complessivo di eventi estremi è aumentato ogni anno V F

18 Eric vuole imparare a suonare un brano rock di 4 minuti. Il brano nella versione originale viene eseguito a 120 bpm (battiti per minuto). All’inizio per esercitarsi Eric lo suona più lentamente a soli 80 bpm. Quanto impiegherebbe a suonare l’intero brano a questa velocità?

Risposta: minuti

19 Gli Egizi non avevano il nostro sistema di notazione delle frazioni, ma usavano soltanto le frazioni unitarie 1 __ n . Per cui se dovevano scrivere qualsiasi altra frazione propria lo facevano come somma di frazioni unitarie. Quali delle seguenti frazioni NON corrisponde alla frazione 3 __ 7 ?

20 Per entrare in un parco giochi ci sono le seguenti opzioni:

Opzione 1 Tessera A: € 100 annuale con ingressi illimitati

Opzione 2 Tessera B: € 25 annuale + sconto del 25% a ingresso

Opzione 3 Ingresso singolo: € 12

a. Natasha vorrebbe andare al parco giochi 9 volte nella stagione. Qual è l'opzione più conveniente?

Risposta: Opzione

b. Quanto risparmia rispetto all’opzione meno conveniente?

Risposta: € 6

21 In una scuola viene svolto un sondaggio per conoscere il tipo di dispositivi utilizzati durante la didattica a distanza. I risultati in quattro delle classi sono i seguenti:

Per una delle classi viene costruito il seguente graﬁco:

Computer fisso Portatile

A quale delle classi corrisponde il graﬁco?

A Prima C

B Seconda B

22 La legge di Keplero afferma che «I quadrati dei tempi (T ) che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono proporzionali al cubo del semiasse maggiore (a)».

T 2 = a 3

Considerando per la Terra T = 1 anno e a = 1 unità astronomica, 12 = 13.

C Terza A

D Terza C

Quanto durerebbe l’anno in un pianeta in cui il semiasse maggiore dell’orbita a fosse pari a 4 unità astronomiche?

A Un anno

B 4 anni C 8 anni

64 anni

23 Enrico pensa a un numero n, poi calcola il suo quadrato n2 e il suo cubo n3, inﬁne li dispone sulla seguente linea dei numeri:

Quale potrebbe essere il numero pensato da Enrico?

A + 1 3

B − 2

C 1 2

D Nessuno dei precedenti

24 Giacomo gioca a memory con i suoi amici. Il mazzo di carte che usano è composto da 40 carte, uguali a due a due. Già sono state trovate 7 coppie di carte.

Ha girato la carta con la mela. Giacomo si ricorda che l’altra carta con la mela sicuramente non è né nella stessa riga né nella stessa colonna di quella appena girata.

Qual è la probabilità che Giacomo possa trovare al primo tentativo l’altra carta con la mela?

A 1 10

B 1 19

C 1 20 D 1 25 n n3 n2 x

25 Qual è il valore della seguente espressione?

26 Osserva la seguente ﬁgura, in cui quattro rette si intersecano tra loro.

Quanto misura l’angolo γ?

Risposta: °

27 Frida controlla tutti i mesi il proprio conto corrente. Il grafico seguente è relativo ai primi sei mesi dell’anno.

gennaio febbraio marzo maggio giugno

a. In quale mese ha risparmiato maggiormente?

Risposta:

giugno

b. Quanto ha risparmiato complessivamente nei primi sei mesi dell’anno?

2 PREPARIAMOCI ALLA SCUOLA SUPERIORE

In questa sezione trovi tre prove di ingresso di diverso livello per la scuola superiore. Puoi esercitarti con una prova di livello base, una di livello intermedio e una di livello avanzato.

PROVA DI INGRESSO

1 Data la sequenza di numeri: 1, 3, 7, 13, 21, … scegli il termine successivo tra quelli proposti.

A 30

B 33

C 31

D Nessuna risposta delle precedenti

B1 Quale criterio hai individuato?

2 In un quadrato magico la somma dei numeri in ogni riga, ogni colonna e ogni diagonale restituisce lo stesso numero chiamato «costante magica». Risolvi il seguente quadrato magico indicando la costante magica individuata.

3 Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei numeri: 28, 36, 42.

M.C.D. = 2, m.c.m. = 252

4 Traduci la seguente frase in espressione numerica e calcolane il risultato. «Aggiungi al quadrato di 2 il prodotto di 4 con 5; sottrai 6 e dividi il risultato ottenuto per 3».

5 Calcola il valore delle seguenti espressioni numeriche: 2 ⋅ [1 + (2 4 : 2 2 1) ⋅ 3] 2 2 ⋅ (5 ⋅ 3 13) [(2 4 5 ) ⋅ ( 1 3 2 + 20 6 ) ( 35 4 : 7 2 )] ⋅ ( 2 3 ) 2 + ( 1 3 + 2 9 ) ⋅ 1 5

1 3 7 13 21 31 +2 +4 +6 +8 +10 Costante magica: 9 +3 3 5 3 +7 [2 2 + (4 5) 6] : 3 = 6 12 1 9

6 Sofia invita a casa 6 amiche per fare merenda insieme e vuole preparare i pancakes. La ricetta per 4 persone richiede l’utilizzo di 100 g di farina; quanta farina deve avere a disposizione Sofia?

175 g

7 In un gioco a squadre ti viene consegnata la mappa a fianco con il percorso da seguire per vincere il premio finale. Sapresti indicare un tragitto alternativo più breve per far giungere il tuo gruppo al traguardo per primo? Disegnalo sulla mappa. Che figura geometrica hai ottenuto?

Ipotenusa del triangolo rettangolo; triangolo rettangolo isoscele

8 Due segmenti adiacenti AB e BC sono tali che BC è il doppio di AB e che la loro somma vale 9 cm. Quanto valgono AB e BC? Rappresenta la situazione graficamente.

= 3 cm,

= 6 cm

9 La carica della batteria di uno smartphone nuovo dura mediamente 15 ore; ogni 15 minuti di navigazione in internet la carica diminuisce del 5%. Paolo sta progettando una vacanza e naviga per 30 minuti con il suo cellulare: per quante ore ancora potrà utilizzarlo prima che la batteria si scarichi completamente?

ore

10 CHALLENGE IL SOLE AL CENTRO!

Nel 1687 Isaac Newton pubblicò la «legge di gravitazione universale» con la quale è possibile determinare la forza di attrazione tra i pianeti del sistema solare. Fondamentale è stato il lavoro svolto 144 anni prima da Copernico, che diffuse il primo modello in cui il Sole è collocato al centro del sistema solare. Dopo 65 anni da questa introduzione rivoluzionaria, fu Keplero a formulare le tre leggi che descrivono con precisione il moto dei corpi celesti.

B1 Assegna un opportuno valore in anni al segmento rappresentante l’unità di misura e completa la linea del tempo inserendo le date relative alle tre tappe scientifiche appena percorse.

PROVA DI INGRESSO

1 Disponi i seguenti numeri in ordine crescente: 7 2 , 2, 11 4 , 1 3 , 3, 6 8

2 Determina il M.C.D. e il m.c.m. tra i numeri: 30, 45, 108.

3 Data la proporzione a : b = c : d completa la seguente tabella:

DA ASSEGNARE

a = 16, b = 4, c = x, d = 8

a = x, b = 25, c = 6, d = 30

: 4 = x : 8

LIVELLO INTERMEDIO

M.C.D. = 3, m.c.m. = 540 2 9 : ( 1 9 + 2 3 ) = ( 1 3 + 1 6 ): x

a = 1 2 , b = x, c = 7 4 , d = 3 2 a = 2 9 , b = ( 1 9 + 2 3 ), c = ( 1 3 + 1 6 ), d = x

4 Traduci la seguente frase in espressione numerica e calcolane il risultato. «Sottrai il triplo del cubo di 2 al quadrato della differenza tra 8 e 3; moltiplica il risultato per il quoziente tra 12 e 4».

[(8 3) 2 3 2 3] ∙ (12 : 4) = 3

5 Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze quando possibile. {[3 + (12 2) : ( 5)] ( 8) + (21 5) : 4} : ( 2) 3 {[( 1 3 ) 2 ( 1 3 ) 3] 2 : ( 1 3 ) 8 [(2 1 5 ) 2]

)

6 Nella scuola di danza che frequenta Giorgia i 3 7 degli iscritti seguono un corso di danza classica, 1 4 un corso di danza moderna e la restante parte un corso di hip-hop. Se complessivamente gli iscritti alla scuola sono 56, quanti sono coloro che frequentano il corso di hip-hop? Esprimi il risultato in numero e come frazione del totale degli iscritti. 11 4 , 2, 6 8 , 1 3 , 3, 7 2

18; 9 28

7 Determina quale delle seguenti figure corrisponde alle indicazioni fornite.

Dato un triangolo isoscele di base AB prolunga il lato AC dalla parte di C di un segmento CK e il lato BC dalla parte di B di un segmento BH in maniera che AK risulti congruente a CH.

8 Due segmenti adiacenti AB e BC sono tali che AB è 5 7 di BC e che la loro somma è 48 cm. Determina la lunghezza dei due segmenti e rappresentali graficamente.

AB = 20 cm, BC = 28 cm

9 CHALLENGE IL NUOVO INTEGRATORE DI VITAMINA C

Sei il direttore di una squadra di biologi che deve condurre il test di efficacia per un integratore alimentare a base di vitamina C. L’integratore viene considerato efficace e immesso sul mercato se dopo 3 settimane di utilizzo almeno il 94% delle persone che lo hanno assunto riscontrano effetti positivi; viene definito migliorabile se gli effetti positivi si registrano tra l’85% e il 94% degli individui e da riformulare per effetti positivi su una popolazione minore dell’85%. Al termine del test la tua squadra ti consegna il report a lato con i dati e le conclusioni del test: è corretto?

B1 Metteresti la tua firma? Spiega adeguatamente.

Il report non è corretto; la % di efficacia è il 92% quindi l’integratore è migliorabile.

TEST DI EFFICACIA

PRODOTTO: INT. VIT. C

DURATA TEST: 3 WEEKS

EFFETTUATO SU N. PERSONE: 150

EFFETTI POSITIVI SU N. PERSONE: 138

% EFFICACIA: 95%

CONCLUSIONE: EFFICACE

FIRMA DIRETTORE

PROVA DI INGRESSO

1 Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni:

2 3 : 6 = x : 3 3 .................................

x : ( 1 2 + 3 4 ) = 1 5 : 2 3

2 Calcola il sesto termine della seguente successione di numeri interi: 1, 3, 9, 27, 81, ?

Quale sarà il cinquantesimo termine della successione? Motiva la tua risposta.

A ( 3) 50

B ( 3) 49

C ( 3) 51

3 49

3 50

4 Determina il M.C.D. e il m.c.m. tra i numeri: 35, 150, 360.

5 Completa inserendo i simboli <, =, >.

7 In una hamburgeria di recente apertura il titolare decide di monitorare le vendite dei panini durante il fine settimana per migliorare l’offerta. Trascorso il sabato, gli risulta che i 2 5 dei clienti hanno mangiato un panino con bacon e manzo, 1 4 ha scelto un panino con pollo e insalata e 42 persone hanno ordinato un hamburger vegetariano. Quanti clienti ha ospitato il locale in quel sabato? 8 x = 36 x = 2 243 M.C.D. = 5, m.c.m. = 12.600

6 Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze quando possibile. {[3 + ( 1 10 5 3 )] : 38 3 (2 3 2 + 1 3 ) 2} 2 3 ( 19 27 1) ................. ( 1 4 2

9 A partire dalla retta r disegnata, completa la figura seguendo le indicazioni fornite e rispondi alle domande.

• Disegna una retta s perpendicolare a r e chiama H il punto di intersezione tra s e r

• Sulla retta r individua il punto A a destra di H e il punto B a sinistra di H in maniera che il segmento HA sia il doppio del segmento HB

• Traccia la retta t parallela ad s e passante per B.

• Come sono tra loro le rette t ed r ?

• Detto C un punto della retta t che si trova nello stesso semipiano del punto Q rispetto a r, traccia la retta u perpendicolare a t e passante per il punto C in modo che il segmento BC individuato sia congruente al segmento AB

• Come sono tra loro le rette u e r ?

• Congiungi C con A

• Quali sono le caratteristiche del triangolo ABC ?

• Quanto valgono gli angoli B ˆ A C e A ˆ C B ?

10 CHALLENGE SCUOLA DI DANZA

triangolo rettangolo isoscele

45°

Anna e Veronica sono due sorelle di 7 e 13 anni rispettivamente e vogliono iscriversi alla stessa scuola di danza moderna. La scuola di danza vicino casa richiede una quota di iscrizione di 30€ a persona e una quota mensile individuale di 55€ con l’applicazione di uno sconto del 15% sul totale delle quote mensili versate se sono iscritti almeno due membri della stessa famiglia. La scuola di danza al centro del paese richiede una quota di iscrizione di 50€ a persona e una quota mensile individuale di 45€ ridotta a 40€ per gli iscritti con età inferiore a 12 anni.

• Quanto spenderebbero complessivamente i genitori di Anna e Veronica nelle due diverse scuole di danza per il primo mese?

• Considerando una stagione sportiva annuale di 10 mesi, in quale scuola di danza sarebbe più conveniente iscrivere Anna e Veronica?

• Sapresti generalizzare la spesa complessiva dei genitori per n mesi nella scuola scelta al punto precedente?

153,50 €, 185€; 995 €, 950 €, è più conveniente la scuola al centro del paese; spesa = 100 + (45 ∙ n) + (40 ∙ n)

Ideazione e stesura Prepariamoci alle Prove INVALSI: Francesco Carnevali

Ideazione e stesura Prepariamoci alla scuola superiore: Centro studi AMA

Coordinamento redazionale: Stefania Bigatti, Silvia Civerchia, Nicola Giulioni

Coordinamento digitale: Paolo Giuliani

Progetto grafico: duDAT Srl Redazione e impaginazione: duDAT Srl

Referenze fotografiche: Istockphoto, Archivio Raffaello

Copertina: Alessandra Coppola

Stampa: Gruppo Editoriale Raffaello

Il Gruppo Editoriale Raffaello mette a disposizione i propri libri di testo in formato digitale per gli studenti ipovedenti, non vedenti o con disturbi specifici di apprendimento.

L’attenzione e la cura necessarie per la realizzazione di un libro spesso non sono sufficienti a evitare completamente la presenza di sviste o di piccole imprecisioni. Invitiamo pertanto il lettore a segnalare le eventuali inesattezze riscontrate. Ci saranno utili per le future ristampe.

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