MATURIT ` A2025-PROVADIMATEMATICA
SAMUELEMONGODI
Problema1. a)Lafunzione fk pu`oesseredescrittacome fk (x)= kx se x ≥ 0 kx se x< 0 esivedeimmediatamentechelafunzione`econtinuaper x =0(`elinearein(0, +∞) ein(−∞, 0)).Ilimitidestroesinistroin0sicalcolanofacilmenteesonoentrambi ugualia0,che`eilvaloredi fk (0).
Perlostessomotivo, fk (x)`ederivabileper x =0,mentreabbiamo lim h→0± fk (h) fk (0) h =lim h→0± k|h| h =lim h→0± ±kh h = ±k
evistoche k< 0,iduelimitidestroesinistrodelrapportoincrementalesono diversi,ilchesignificache fk (x)non`ederivabilein0.
Figura1. Circonferenza C2,graficodi f 1 esettorecircolare
Inunacirconferenzadiraggio r,unsettorecircolaredescrittodaunangolo α (inradianti)hacontornodilunghezza2r + rα earea r2α/2.Sedunquel’area deveessere π,avremo α =2π/r2 ediconseguenzalalunghezzadelcontornosar`a 2r +2π/r. Risolviamo
2r + 2π r =4+ π ovvero
2r 2 +2π = r(4+ π) 1
dacui
r 2 r 4+ π 2 + π =0
ovvero(r 2)(r π/2)=0.Leduesoluzionisono r =2e r = π/2e,comerichiesto, 2`elamaggiore.
b)Lafunzione g(x)= √4 x2 `edefinitaper |x|≤ 2(l’argomentodellaradicedeve esserenonnegativo)ed`eunafunzionepari: g( x)= 4 ( x)2 = √4 x2 = g(x).
Calcoliamoneladerivataneipuntiinternideldominio(ovvero( 2, 2)): g ′(x)= x √4 x2
quindi g(x)`ederivabilein( 2, 2).
Notiamoche
esimilmente
Dunquein2e 2lederivaterispettivamentesinistraedestranonesistonofinite. Inoltre, g′(x) > 0seesolose x< 0,quindi g(x)`ecrescentein[ 2, 0),ha unmassimoin x =0edecrescein(0, 2].Essendounafunzionecontinua,peril teoremadeivaloriintermedi,assumetuttiivaloritra g(2)= g( 2)e g(0).Quindi l’immmaginedi g(x)`e[0, 2]eilgraficodi g(x)`eunsemicerchio,descrittoda y = √4 x2 ovverodallecondizioni
y 2 =4 x 2 ,y ≥ 0
Dunquecoincideconlaporzionedi C2 contenutanelsemipiano y ≥ 0. Ognivalorein[0, 2)`eassuntoduevolte,poich´elafunzione`epariedunque g(x)= g( x).Inparticolare, g(x)non`einiettivada[ 2, 2]a R edunquenon`e invertibile.
Perlostessoragionamento, g(x)non`einvertibilesunessunintervallodeltipo [a,b]con a< 0.D’altraparte, g(x)`emonotonaedunqueinvertibilesu[0, 2];intal casolasuainversadeverispettare
x = 4 h(x)2
dacui,elevandoalquadrato(possibileperch´esiamoin[0, 2]edunque x ≥ 0), h2(x)=4 x2 ovvero h(x)= √4 x2 = g(x).
Questosipotevanotaredirettamentedalfattocheilquartodicirconferenza C2 contenutonelprimoquadrante`esimmetricorispettoallabisettrice(igraficidi g(x) e h(x)devonoesseresimmetricirispettoallabisettrice).
c)Possiamovederecheilquadrilatero AMOR `esempreunrettangolo,infatti OM e OR sonosegmentisugliassieperdefinizionediproiezioneortogonale ∡AMO = ∡ARO = π/2.
Leduediagonalisonoquindiugualieovviamente OA =2;se θ `el’angolotrale diagonali,abbiamochel’areadi AMOR `e2sin θ.E’chiarochetalearea`emassima persin θ =1,ovvero(poich´e θ ∈ [0,π])quando θ = π/2,ovveroquando AMOR `e unquadrato,ovveroquando A =(√2, √2).
Quadrilatero AMOR
Notiamoche ∡AOM =(π θ)/2edunqueilsemiperimetrodi AMOR `e
OM +OR =2cos(π/2 θ/2)+2cos(θ/2)=2sin(θ/2)+2cos(θ/2)= √2sin(π/4+θ/2) ancoraunavoltaquestaquantit`a`emassimaper π/4+ θ/2= π/2,ovveroquando θ = π/2. d)Lafunzione F (t)`el’areadellapartedipianodelimitatadall’asse x,dalgrafico di g(x)edallaretta x = t.Quindi F (2)`el’areadelsemicerchio,ovvero2π.
Abbiamoche F ′(x)= g(x)edunque F (x)`emonotonacrescente(poich´e g(x) ≥ 0 perogni x ∈ [ 2, 2]).Inoltre, g(x)`eprimacrescenteepoidescrescenteediconseguenza F (x)sar`aprimaconvessaepoiconcava,avendounflessoincorrispondenza delmassimodi g(x),ovvero x =0,incuisiha F (0)= π (unquartodicerchiodi raggio2).
Notiamoche F ′(x)tendea0per x →±2∓ edunqueilgraficodi F (x)giunger`a atalipunticontangenteorizzontale.
Larettatangentealgraficodi F (x)intalepunto`e y F (0)= F ′(0)x ovvero y =2x + π,doveabbiamoancorausatol’interpretazionedi F (x)comeareaeil fattoche F ′(0)= g(0).
Problema2. a)Abbiamoche ep(x) =0perogni x edunqueglizeridi f (x)sono glizeridi p(x),quindi p(x)= Ax(x 1).Inoltre f ′(x)= p ′(x)ep(x) + p ′(x)p(x)ep(x) = p ′(x)ep(x)(1+ p(x))
Abbiamo p′(x)= A(2x 1)edunqueilfattore p′(x)contribuiscealpuntostazionario x =1/2.D’altraparte, Ax2 Ax +1=0
hasoluzione
eaffinch´eunodiquestiduenumerisia φ,dobbiamoavere A = 1.Questo determina p(x)= x2 + x
Glizeridi g(x)sonoallostessomododatidaglizeridi q(x).Quindi q(x)= B(x C)(x + φ);inoltre g(0)=1,quindi q(0)ep(0) =1,dacui,sapendoche
Figura3. Graficodi F (x)edellasuarettatangentenelpuntodi flesso(0,π).
p(0)=0,abbiamo q(0)=1,ovvero BCφ =1.Sappiamopoiche g′(0)=0e dunque
q ′(0)ep(0) + p ′(0)q(0)ep(0) =0
ovvero B(φ C)= 1.Dunque B = 1/Cφ eanche B = 1/(φ C),dacui
Cφ = φ C,ovvero C = φ/(1+ φ)=(√5 1)/2e B = 1.
Quindi q(x)= x2 + x +1.
b)Lafunzione f (x)`edefinitasu R,dove`econtinuaederivabile.Sihache f (x) > 0 seesolose p(x) > 0seesolose0 <x< 1.
Inoltre
lim x→±∞(x x 2)ex x 2 =0
pergerarchiadiinfiniti(l’esponenzialebattelepotenze).Quindilafunzionehaun asintoto y =0per x →±∞
Infine,comegi`acalcolato
f ′(x)=( 2x +1)ex x 2 (1+ x x 2)
edunqueipuntistazionarisono x =1/2, x = φ, x =(1 √5)/2=1 φ.Ovvero
f ′(x)= 2(x 1/2)(x φ)(x +1 φ)ex x 2
edunqueilsegno`edatodalsegnodeisingolifattorilineari(l’esponenziale`esempre positivo).Daci`osiricavache f (x)decrescein(−∞, 1+ φ),haunminimoin x = 1+ φ,crescein( 1+ φ, 1/2),haunmassimoin x =1/2,decrescein(1/2,φ), haunminimoin x = φ epoicrescein(φ, +∞).
Calcolandoladerivataseconda,otteniamo
f ′′(x)= ex x 2 x(4x 3 8x 2 5x +9)
epossiamoriconoscere x =1comeradicedelpolinomiotraparentesi;proseguendo lafattorizzazionetroviamo
Essendotuttifattorilineari,ognunodiloroproduceunpuntodiflesso,lecuiascisse sarannoquindi
Poich´e p(1/2 x)= p(x),sihaanche f (1/2 x)= f (x)edunqueilgraficodi f (x)`esimmetricorispettoallaretta x =1/2.Notiamocheipunti φ e 1+ ϕ sono simmetricirispettoa x =1/2edunque f (φ)= f (φ 1)
Dalladiscussionedellamonotoniafattaprima,abbiamochel’immaginedi f (x) `e[f (φ),f (1/2)]=[ e 1,e1/4/4].Allostessomodo,permonotoniaecontinuit`a, tenendocontodell’asintoto,abbiamochel’equazione f (x)= k ha
(1) 0soluzioniper k>f (1/2)e k<f (φ)
(2) 1soluzioneper k = f (1/2)
(3) 2soluzioniper0 ≤ k<f (1/2)
(4) 4soluzioniper f (φ) <k< 0
(5) 2soluzioniper k = f (φ).
c)Poich´e q(x)=1 x x2,risolvendo q(x)=0otteniamoradici
Quindilasecondaradice`e1/φ
Abbiamoquindi
Sihaquindi
eperPitagora, ABC `erettangolo.
Pertrovarel’intersezionedi γ1 e γ2,calcoliamoladifferenza f (x) g(x),ottenendo e
(2
1) ed`echiarochetalefunzionehaununicozero,incorrispondenadi x =1/2,poich´e ilfattore ex x 2 nonsiannullamai.Ilpuntodiintersezione`edunque(1/2,e1/4/4).
Infine,lalunghezzadelsegmento P1P2,sel’ascissacomune`e x,`edatada f (x) g(x),poich´eper x ≥ 1/2avremo f (x) >g(x).Calcolandoladerivataotteniamo ex x 2 ( 4x 2 +4x +1)= ex x 2 (x 1/2+1/√2)(x 1/2 1/√2) chehaunozeromaggioredi1/2in x =1/2+1/√2,primadelquale`epositivae dopoilquale`enegativa.Dunque x =1/2+1/√2`eunpuntodimassimoassoluto.