Tema19

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TEMA

CURSO 2005-2006

19

Cálculo de límites de sucesiones*

Propiedades aritméticas de los límites de sucesiones. Sean las sucesiones {an } y {bn } tales que : lim an = a lim bn = b , donde a, b ∈ R n→∞

n →∞

Entonces podemos obtener su suma, su diferencia, su producto y su cociente, tal como vimos en el tema anterior. En estas condiciones se cumple:

Para {an + bn } : lim ( an + bn ) = lim an + lim bn = a + b n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Para {an − bn } : lim ( an − bn ) = lim an − lim bn = a − b Para {an ⋅ bn } : lim ( an ⋅ bn ) = a ⋅ b n →∞

a  a a Para  n  : lim n =  bn  n→∞ bn b

bn ≠ 0 ∀n b ≠ 0

Es decir: El límite de una suma de sucesiones es la suma de los límites de ambas, el de una diferencia la diferencia de los límites, el de un producto es el producto de los límites y el de un cociente (con las condiciones ya sabidas) es el cociente de los límites. Además se cumplen las dos propiedades siguientes:

Si c ∈ \ es una constante, entonces lim c = c n→∞

y lim ( c ⋅ an ) = c.lim an = c ⋅ a n→∞

n →∞

Es decir: El límite de una sucesión constante es la propia constante y el límite de una constante por una sucesión es la constante por el límite de la sucesión.

Límites infinitos Una sucesión {an } tiende a infinito y lo denotaremos por:

lim an = +∞ n →∞

cuando para cualquier M ∈ \ podemos encontrar n0 ∈ ` tal que si n ≥ n0 entonces

an ≥ M

Dicho de otro modo: Una sucesión tiende a +∞ cuando dado un número real cualquiera (por muy grande que sea), siempre existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son mayores que ese número real.

1

Una sucesión {an } tiende a menos infinito y lo representamos por:

lim an = −∞ n →∞

cuando para cualquier M ∈ \ podemos encontrar n0 ∈` tal que si n ≥ n0 entonces

an ≤ M .

Ej.: Las sucesiones {n} y {n 2 } claramente tienden a +∞ , mientras que la sucesión {− n 2 } tiende a −∞

Propiedades aritméticas de los límites infinitos.

Supongamos que tenemos dos sucesiones tales que lim an = +∞ y Entonces se cumple que lim ( an + bn ) = +∞

n →∞

lim bn = b n→∞

n →∞

Esto lo abreviaremos escribiendo que: +∞ + b = +∞ , entendiéndolo como una notación abreviada, nunca como una operación que realmente es irrealizable. Aplicando esta notación se cumplen las siguientes propiedades:

+∞ + b = +∞; + ∞ + ∞ = +∞; − ∞ + b = −∞; − ∞ + ( −∞ ) = −∞; +∞ si b > 0  −∞ si b < 0

( +∞ ) ⋅ bb≠0 = 

−∞ si b > 0  +∞ si b < 0

( −∞ ) ⋅ bb≠0 = 

( +∞ ) ⋅ ( +∞ ) = +∞; ( +∞ ) ⋅ ( −∞ ) = −∞; ( −∞ ) ⋅ ( −∞ ) = +∞; +∞ si a > 1 a∞ =   0 si a < 1 0 ∞ k ∞ n = ∞ n ∈ N ; ∞ ∞ = ∞ ; ∞ −∞ = 0 ; = 0 ; n ∞ = ∞; = 0; =∞ ±∞ ∞ 0  +∞ si k > 0 y los términos de la sucesión del denom. son positivos  k  −∞ si k > 0 y los términos de la sucesión del denom. son negativos = 0 +∞ si k < 0 y los términos de la sucesión del denom. son negativos  −∞ si k < 0 y los términos de la sucesión del denom. son positivos Si k ≠ 0

+∞ +∞ k > 0 = k  −∞ k < 0

Indeterminaciones

Se conocen así las expresiones a las que se llega en el cálculo de límites y que no tienen un resultado perfectamente determinado, como los incluidos en la tabla anterior. Incluso podría aventurarse para ∞ ellas varios resultados. Por ejemplo, la expresión podría valer ∞ , puesto que al dividir ∞ por una ∞ expresión debería dar ∞ ; por otro lado podría dar 0, ya que algo dividido por ∞ tiende a 0; también podría ser 1 puesto que una expresión dividida por ella misma da la unidad. La práctica nos hará ver ∞ casos, en que la expresión dará lugar en unos casos a un número y en otros a otro distinto. ∞ Las indeterminaciones más habituales son:

1∞ ; ∞ − ∞;

±∞ 0 ; ± ∞ ⋅ 0; ±∞ 0 2

Nota: 2

k

a) Sabemos que las sucesiones del tipo n, n , n tienden a ∞

1 1 1 1 , 2 , k tiende a 0 ya que tiende a 0 . ∞ n n n

b) Tengamos en cuenta que toda sucesión del tipo En general se cumple:

k =0 n →∞ n p

lim

p∈` k ∈\

5 =0 n→∞ n 6

lim

Por ejemplo:

Cálculo de límites

a) Sucesiones con expresiones polinómicas. En general dará +∞ o −∞

(

)

Ej. lim n + n + 3 = ∞ ya que se trataría de +∞ + ∞ + 3 que según la tabla anterior daría +∞ n →∞

3

2

Ej. Aunque en estás expresiones aparezca ∞ − ∞ no se trata de una indeterminación, ya que normalmente proceden de dos potencias distintas y siempre crece mucho más rápidamente la expresión con mayor potencia, por lo que esa es la que domina. Así en el ejemplo

lim ( n 3 − n 2 + 3) tendríamos que n 3 crece mucho más rápidamente que n 2 por lo que la n →∞

(

)

expresión n 3 − n 2 crecería sin parar por lo que lim n − n + 3 = ∞

(

n →∞

)

3

2

Otra forma de justificarlo, sería: lim n − n + 3 = lim  n .( n − 1) + 3 = ∞.∞ + 3 = ∞

(

)

n →∞

3

2

2

n →∞

Ej.: lim − n + 4n − 8 = −∞ n →∞

5

4

Nota: Para el signo prevalece el del coeficiente de la n de mayor grado. Por tanto: El límite de cualquier sucesión que tenga una expresión polinómica, es +∞ ó −∞. b) Caso

∞ ∞

Cuando tengamos que calcular el límite de un cociente de dos polinomios, que obviamente producirá una indeterminación del tipo

∞ , ∞

dividiremos el numerador y denominador por la n de

mayor grado y volveremos a calcular el límite aplicando las propiedades que ya conocemos de los límites. Veamos como se procede en los ejemplos siguientes: Se divide numerador y denominador por la n de mayor grado.

0

0

3n + 4 3n 4 3 4 + 2 + 2 2 2 3n + 4 n n n n n = 0 =0 a) lim 2 = lim 2 = lim lim 2 n →∞ 5n − n + 8 ↓ n→∞ 5n − n + 8 n→∞ 5n 8 n→∞ 5 − 1 + 8 5 n ∞ − + ∞ n n2 n2 n2 n2 n2 0

0

3

0

0

5n5 3n 2 2 3 2 − 5 + 5 5− 3 + 5 5 5n − 3n + 2 n = lim n n =5 = lim n 5 n b) lim 5 n →∞ 4n + n − 7 ↓ n →∞ 4n n →∞ 1 7 n 7 ∞ 4 + − 5 4 + − ∞ 5 5 5 n n n n n 5

2

0

0

3 0 60 − 3 2n + 3n − 5 n n = 2 = +∞ = lim c) lim n →∞ ↓ n →∞ 4 7 4n + 7 0 ∞ + 3 ∞ 2 n n 3

2+

2

0

0

De los ejemplos anteriores se pueden extraer las siguientes reglas: Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador el lĂ­mite siempre da 0. Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador el lĂ­mite serĂĄ +∞ Ăł −∞, segĂşn los signos de estos. Si el grado del numerador y denominador son iguales el lĂ­mite da, el coeficiente de la n de mayor grado del numerador dividido por el coeficiente de la n de mayor grado del denominador. Ej.:

2n 2 + 3 2 lim 2 = n →∞ 5n − 7 5

5n 2 − 2n lim = −∞ n →∞ −5n + 7

−5n 2 − 3 lim 3 =0 n →∞ 5n + 4

Nota: El cĂĄlculo del segundo lĂ­mite es −∞ ya que el grado del numerador es mayor que el del denominador y en cuanto al signo, el numerador tiende a +∞ mientras que el denominador lo hace a −∞ , por lo que el cociente serĂĄ negativo (regla de los signos) Ej.: Hacer el ejercicio 3 del libro pĂĄgina 413 b) Caso ∞ − ∞ . Si la indeterminaciĂłn se produce como consecuencia de que la estructura del lĂ­mite es una diferencia de dos radicales de segundo grado, se multiplica y se divide por la expresiĂłn conjugada. Ej.: Hacer en clase el ejercicio 4Âş de septiembre de 1995 y dejar el ejemplo siguiente para que lo tengan como modelo. Ej.: Se multiplica y divide por la expresiĂłn conjugada.

lim n →∞

(

n +n −

n →∞

=

2

n2 + n − n2 − n + 1

)(

n2 + n + n2 − n + 1

n2 + n + n2 − n + 1

↓ n→∞

∞−∞

2

lim

( n − n + 1 ) = lim

2

2

n + n − n + n −1 2 ( n + n ) − ( n2 − n + 1)

n2 + n − n2 − n + 1

= lim n→∞

2n − 1 n2 + n − n2 − n + 1

Paso 1 ↓

= lim ↓

∞ ∞ Se div . num . y den . por n

n →∞

2−

)=

1 n

1 1 1 1+ − 1− + 2 n n n

=

2 2 2 = = =1 1 + 1 1+1 2 4

Veamos el Paso 1, como se divide por n el denominador hasta llegar a la expresión que aparece:

n2 + n + n2 − n + 1 n2 + n n2 − n + 1 = + = n n n a b = a 2b

y

n2 + n n2 − n + 1 1 1 1 + == 1 + + 1 − + 2 2 2 n n n n n

1 b b= a a2

4  9n 2 − 1 + ( n + 2 )    = lim = Ej. lim n →∞ 9n 2 − 1 − ( n + 2 ) ↓4 n→∞  9n 2 − 1 − ( n + 2 )   9n 2 − 1 + ( n + 2 ) ∞−∞    4  9n 2 − 1 + ( n + 2 )  4  9n 2 − 1 + ( n + 2 )  4  9n 2 − 1 + ( n + 2 )   = lim   = lim  = = lim  2 2 n →∞ n →∞ 9n 2 − 1 − n 2 + 4n + 4 n→∞ 9 n 2 − 1 − n 2 − 4n − 4 ( ) ( 9n − 1) − ( n + 2 )

4

8 n 2 − 4 n −5

4  9n 2 − 1 + ( n + 2 )   = 0 (puesto que el grado del numerador es 1 y el del denominador = lim  2 n →∞ ↓ 8n − 4 n − 5 ∞ ∞

es 2) Ej.: Hay otro tipo de límites que también tienen como resultado ∞ − ∞ , pero que no tienen radicales. Veamos un ejemplo de cómo se procede en este caso.

 2  2 n 2 − 3n ) ( n + 1) − ( n 2 + 1) ( n − 1) (  n − 3n n + 1  − = lim   =↓ lim n →∞ n→∞ − + − + n 1 n 1 n 1 n 1 ( )( )  ↓  ∞−∞ ↓ ∞  ∞  − n 2 − 4 n + 1 −1 n 3 + n 2 − 3n 2 − 3n − n 3 + n 2 − n + 1 lim = lim = = −1 n →∞ n →∞ n2 − 1 n 2 − 1 −∞↓ 1 ∞

Es decir, en estos casos para calcular el límite, hay que operar previamente. ∞

c) Caso 1 Este caso se resuelve aplicando la fórmula siguiente:

lim ( an )

( bn )

n →∞

lim ( bn )⋅( an −1)

= e n→∞

(Ver nota al final del tema sobre la justificación de esta fórmula) Ej.: Hacer en clase el ejercicio 1º de junio 96 tarde y dejar el ejemplo siguiente para que lo tengan como modelo. Ej.: se calcula aparte

 n 2 − 2n + 1  lim  2  n →∞  n + 5n 

( 2 n −1)

=e ↓

 n 2 − 2 n +1  −1  lim ( 2 n −1) 2  n +5 n  n →∞  

= e −14

1∞

Veamos como se llega hasta e−14 :

5

7 n +1   − 2 2  n − 2n + 1 − n − 5n   n − 2n + 1   −7 n + 1  − 1  = lim ( 2n − 1)  = lim ( 2n − 1)  2 lim ( 2n − 1)  2  = 2 n →∞ n→∞ n →∞ + + + n 5 n n 5 n n 5 n         2 2 −14n + 2n + 7n − 1 −14n + 9n − 1 −14 lim = lim = = −14 2 n →∞ n →∞ n + 5n n 2 + 5n 1 2

d) Los casos ±âˆž â‹… 0 y

0 son casos infrecuentes, que además se convierten en los anteriores 0

simplemente operando.

−14n 2 + 2n + 7 n − 1 −14n 2 + 9n − 1 −14  −7 n + 1  = lim = lim = = −14  2 n →∞ n 2 + 5n n 2 + 5n 1  n + 5n  ∞↑.0 n→∞

Ej.: lim ( 2n − 1)  n →∞

2 2n3 − 2n + 10 2 Ej.: lim n + 2n − 1 = lim 2 = ↑ x →∞ 3n + 6n − 3 ↑ 3 n →∞ 3 0 ∞ n3 − n + 5 0 ∞ 2

e) Hay otros casos que también tienen la estructura de lim ( an ) n →∞

( bn )

, pero que no dan lugar a

indeterminaciones. Veamos algunos ejemplos:

lim ( n3 + 2n )

n−2

n →∞

= ∞∞ = ∞

Ej.:

lim ( n3 + 2n ) n →∞

− n+ 2

= ∞ −∞ =

1 1 = =0 ∞ ∞ ∞

2n ∞ ∞   2n 2 + n − 3  1  2 1 lim  0 1 = = = < ya que       2 n →∞ 6 4 6 3 3 n − a >1        ∞  +∞ a y sabemos que   2n ∞ a <1 0  6n 2 − 4   6 ∞ lim  2 3 3 1 = = = ∞ > ya que     n →∞ 2n + n − 3 2   

Exámenes de años anteriores: 9º junio 95 mañana 4 º septiembre 95 (Ya hecho) 5º junio 96 mañana 1º junio 96 tarde (Ya hecho) 10º junio 98 mañana 3º septiembre 98 (coincide 1º junio 96 tarde) 8º junio 99 mañana 10º junio 99 tarde 8º septiembre 99 3º junio 00 mañana

3.

6

Solución: lim x →∞

n 2 + 1 − 9n 2 + 2 3n − 2 + 4n 2 − 5

Aunque aparece la expresión n 2 + 1 − 9n 2 + 2 que da lugar a ∞ − ∞ , es desaconsejable intentar la técnica de multiplicar y dividir por la expresión conjugada. Puesto que aparecen en la expresión cocientes de infinitos, vamos a utilizar la técnica de dividir numerador y denominador por la n de mayor grado que en este caso es 1, ya que n 2 está bajo el signo de raíz cuadrada. Dividiendo numerador y denominador por n queda: n 2 + 1 − 9n 2 + 2 n2 + 1 9n 2 + 2 − n 2 + 1 − 9n 2 + 2 n n n lim = lim = lim = 2 2 x →∞ x →∞ x →∞ 3n − 2 + 4n − 5 3n − 2 + 4n − 5 3n 2 4n 2 − 5 − + n n n n

1 2 − 9+ 2 2 n n = 1 − 9 = 1 − 3 = − 2 (puesto que 1 , 2 , 2 y 5 tienden a 0) = lim x →∞ 3+ 2 5 n2 n2 n n2 2 5 3+ 4 3− + 4 − 2 n n 2 La respuesta correcta es − 5 7º septiembre 00 (coincide con 3º junio 2000 mañana) 3º junio 01 mañana 10 junio 01 tarde 1+

10. 7º septiembre 01 7º junio 02 tarde 7º septiembre 02 2º junio 03 mañana

7

4Âş junio 03 tarde 2Âş septiembre 03 7Âş junio 04 maĂąana 7Âş junio 04 tarde 9Âş septiembre 04

SoluciĂłn: ∞

El lĂ­mite propuesto es del caso 1 Este caso, como sabemos se resuelve aplicando la fĂłrmula siguiente:

lim ( an ) n →∞

( bn )

lim ( bn )⋅( an −1)

= e n→∞

se calcula aparte

 n 2 + 3n + 2  lim   2 n →∞  n +n 

( 3 n −1)

=e ↓

1∞

 n2 +3 n + 2  lim ( 3 n −1) −1 2 n →∞  n +n 

= e6

↑ Ver abajo

n+ 2   2 2 2   n + 3n + 2  n + 3n + 2 − n − n  lim ( 3n − 1)  1 lim 3 n 1 − = − ( )  =  n→∞ 2 n →∞ n2 + n  n +n      6n 2 + 6n − 2n − 2 6n 2 + 4n − 2  2n + 2  lim lim = lim ( 3n − 1)  2 = =  n →∞ n →∞ n2 + n n2 + n  n + n  n→∞ 2

=

↑ Cocientes del mismo coef. n 2 num. grado⇒ coef. n 2 den.

6 =6 1

La respuesta correcta es e6 7Âş junio 05 maĂąana 8Âş junio 05 tarde 3Âş septiembre 05 En las dos pĂĄginas siguientes, figuran una serie de ejercicios resueltos, que se aĂąaden al tema. Algunos de ellos han sido ya resueltos en clase. Este tema ha sido pasado a soporte informĂĄtico por los alumnos JosĂŠ Miguel SĂĄnchez y JesĂşs Ramil, basĂĄndose en el libro MatemĂĄticas Especiales, de E. Bujalance y otros, editado por la editorial Sanz y Torres y en las explicaciones dadas en las tutorĂ­as presenciales del curso 2001-2002, por el profesor tutor del Centro de la Uned Alzira-Valencia “Francisco TomĂĄs y Valienteâ€?, JosĂŠ Luis Lombillo, que los ha corregido, completado y ampliado. *

8

9

10

JUSTIFICACIÓN DE LA FÓRMULA lim ( an )

( bn )

n →∞

lim ( bn )⋅( an −1)

= e n→∞

∞

La indeterminación del tipo 1 se resuelve mediante la fórmula anterior. Veamos como curiosidad su demostración (la técnica consiste en completar las expresiones de modo que al final aparezca el límite del número e que sabemos que viene definido por  1 e = lim  1 +  n →∞  n

lim ( an ) n →∞

( bn )

n

= lim (1 + an − 1)

( bn )

↑ n→∞ Sumo y resto 1

1   an −1     1      = lim  1 + n→∞ 1     − 1 a n     

( bn )⋅( an −1)

   1   = lim  1 + n →∞ 1     a − 1 n  

( bn )

1

⋅( bn )⋅( an −1)

  an −1  1   = lim  1 + ↑ n→∞ 1   Mult. y div.   el exp. por a − 1 n   an −1

=

lim ( bn )⋅( an −1)

1   n→∞ an −1     1      = lim  1 + ↑ n→∞ 1    Aplico que  ( bn ) − 1 a lim ( an ) = n     n →∞   lim ( bn ) = lim ( a ) n →∞

lim ( bn )⋅( an −1)

= e n→∞

↑ Ver nota final

n n →∞

n

cn

 1  1 Nota: Sabemos que e = lim  1 +  , pero también se cumple e = lim  1 +  siendo cn una n →∞ n →∞  n  cn  sucesión que tiende a ∞ cuando n tiende a ∞ . Si nos fijamos

1 es una sucesión de ese tipo, ya que cuando n tiende a ∞ , an tiende a 1 y an − 1

por lo tanto la sucesión

1 tiende a ∞ . an − 1

1   a  n −1   lim ( bn )⋅( an −1) 1    (b )   =e y lim ( an ) n = e n →∞ Por ello lim   1 + n →∞ n →∞ 1     an − 1     

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