Хочеш поговорити з першими науковцями? («Якби те знати», серія книжок зі вступу до фізики)

Анна Парізі

МАГІЧНІ ЧИСЛА ТА МАНДРІВНІ ЗІРКИ Перші кроки науки

Малюнки Марко де Анджеліса

«Якби те знати»

серія книжок зі вступу до фізики

Анна Парізі. Магічні числа та мандрівні зірки. Перші кроки науки / Пер. з італійської. — К.: «К.І.С.», 2005. — 192 с.

ISBN 88–87546–40–1 (італ.)

ISBN 966–8039–73–4 (укр.) Колись усе відбувалось уперше… Наука теж колись зробила свій перший крок. З цієї книжки школяр довідається, як у давніх людей виникла природна потреба рахувати і як їм для цього бракувало калькулятора, тож і мусили якось давати собі раду (виявляється, не лише ми маленькими вчились рахувати… на пальцях!). Також автор поведе читача в таємничий світ мандрівних зірок, розповідаючи, що, скажімо, давні єгиптяни мали їх за божества й тому довго, розмірковуючи й аналізуючи, спостерігали за ними; а чи не диво дізнатись, як кмітливі жерціAастрономи, зрозумівши, чому настає високосний рік, дурили людей, видаючи це природне явище за результат свого чаклунства! Різні системи обчислення, химерні зірки та закони Всесвіту, взаємозв’язок і взаємовплив давніх культур, перші науковці та їхні чудові відкриття, дотепні й неймовірно захопливі досліди – це далеко не все, що очікує читача в цікавій подорожі в часі, яка допоможе пізнати загадковий світ науки про природу.

Анна Парізі

Магічні числа та мандрівні зірки Перші кроки науки Переклала Олена Кругликова Підписано до друку 01.11.2005. Формат 60х90 1/16. Папір офсетний. Друк офсетний. Умов. друк. арк. 12,0. Наклад 1000 прим. Зам.

Переклад книги здійснено за фінансової підтримки Європейського секретаріату наукових публікацій (SEPS).

The translation of this book has been funded by SEPS Segretariato Europeo Per Le Pubblicazioni Scientifiche Via Val d’Aposa 7 40123 Bologna Italy seps@alma.unibo.it – www.seps.it Видавництво «К.І.С.»

04080 КиївA80, а/с 1, тел. (044) 462–5269, books.dovidka.com.ua Свідоцтво про внесення до Державного реєстру суб’єктів видавничої справи ДК, №677 від 19.11.2001 р. ВАТ «Білоцерківська книжкова фабрика» 09117, м. Біла Церква, вул. Курбаса, 4 ISBN 88–87546–40–1 (італ.)

ISBN 966–8039–73–4 (укр.)

© 2005, «К.І.С.» © 2005, О.Кругликова, переклад © 2001 Edizioni Lapis © Edizioni Lapis Via Francesco Ferrara, 50 00191 Roma tel +39.06.3295935 fax +39.06.36307062 eAmail: lapis@edizionilapis.it

www.edizionilapis.it

Анна Парізі

МАГІЧНІ ЧИСЛА ТА МАНДРІВНІ ЗІРКИ Перші кроки науки Переклад з італійської

ВСТУП Скільки ж постає запитань, коли спостерігаєш за довкоA лишнім світом! Як він улаштований? З чого складається? Чому в ньому все відбувається саме так, а не інакше? Чи спадало тобі колись на думку, що такі самісінькі запитанA ня, дивлячись на камінь, що падає, чи милуючись зірками в небі, ставили люди, котрі жили до тебе? Проте перші люди, котрі намагалися зрозуміти, як улашA тована природа, не мали змоги спитати про це когось і тому відповіді шукали самотужки. БудьAхто, перед тим як відповісти на ці надважливі питанA ня, віддав не один рік на вивчення, дослідження чи просA то спостереження за природою! Ця книга допоможе тобі відчути себе на місці тих, хто вперA ше перейнявся певною науковою проблемою і знайшов її переконливе розв’язання. Ось так ти зможеш ознайомитися з досвідом людей, які осмілились дати відповідь на питання, самостійно розмірковуючи й не маючи сторонньої допомоги. Ти побачиш, як згодом ця відповідь ставала лише початA ком для формулювання низки інших — повніших і доскоA наліших пояснень.

5

Те саме повторювалося й надалі. Ось так улаштована фізика, тобто наука про природу: раз по раз вона знаходить відповідь, яка не є повним і доскоA налим розв’язанням проблеми, а лише найвдалішим поA ясненням на певний час! Якщо ти зможеш прийняти погляд кожного науковця й просA тежити за його міркуваннями, то невдовзі й сам збагнеш, як важко і водночас необхідно змінювати свою думку. Тоді ти зможеш сприйняти і глибше зрозуміти сутність наукових революцій, які не раз уже траплялися в історії людства та, ймовірно, відбуватимуться також і в майбутньому.

6

ПЕРШІ КРОКИ СЕРЕД ЧИСЕЛ І ЗІРОК

Про дещо дуже давнє – числа Хто першим з людей почав рахувати? Якби це знати! Можливо, мисливець, який хотів похвалитиA ся кількістю впольованих за день левів, або жінка, яка вваA жала, що відповідь «Не знаю» на запитання «Скільки у вас дітей?» недосконало передає її матеA ринські почуття, або ж малюк, який хотів повідати, що саме п’ять із цих дивовижних камінчиків належать йому, а не його братові! Хоч би там як було насправді, ми можемо сказати з певністю, що рахувати люди почали кілька тисячоліть тому.

7

Найдавніші свідчення Деякі єгипетські документи свідчать про те, що числа виA користовували вже 5000 років тому. Один папірус 1650 року до Різдва Христового зберіг запиA си математичних заA дач. Писар у ньому, крім того, уточнює, що скористався він давнішими записами на папірусі, який до нас не дійшов. Коли в ХІХ столітті розшифрували єгиA петське письмо, людA ство відкрило для себе цікавий факт: виявляється, єгиптяA ни користувалися десятковою системою числення. Про що це свідчить? Слід розуміти, що вони мали таку ж самісіньку систему числення, як наша теперішня.

Числення на основі 10 Десяткова система числення була однією з найпошиA реніших серед давніх і сучасних народів через дуже просA ту причину: люди мають десять пальців на руках — і неA ма доступнішого за власні пальці засобу для підрахунку. Мабуть, і ти в цьому переконався!

8

Єгипетський пастух Афет мав маленьA ку отару з двадцяти трьох овець. ЗагуA бити навіть одну з них пастухові було б великою втратою. Тому щовечора перед поверненням до кошари Афет рахував овець, аби бути певним, що вся його отара вкупі. Щоб порахувати до 23Aх, він двічі викоA ристовував пальці обох рук, а потім раA хував ще три пальці на одній.

Треба було лише пам’ятати, що пальці обох рук викорисA тано двічі (вони позначали 2 десятки) і до них додавалоA ся ще 3 пальці (3 одиниці) — разом 23. Легко! Якби він мав на руках 6 пальців (по три на кожній), то для підрахунків йому треба було б аж тричі скористатись пальцями обох рук, а потім додати до них ще 5.

Отже, він нарахував би 3 шістки та п’ять одиниць. Тобто 35? Ні, ми ж бо мусимо пам’ятати, що то було 3 шістки, а не 3 десятки.

9

Погляньмо на цей приклад у числах. В основі лежить 10: 23 = 2 десятка + 3 одиниці = 2 x 10 + 3 x 1 = 20 + 3 = 23 В основі лежить 6: 35 = 3 шістки + 5 одиниць = 3 x 6 + 5 x 1 Переходячи до звичної нам системи з основою 10, маємо: 3 x 6 = 18 і 5 x 1 = 5 Отже, овець було 18 + 5 = 23 Кількість овець не змінилася, але за десятковою системою ми отримували 23, а викорисA товуючи шісткову — могли б записати 35. То не важливо, адже кожен моA же рахувати, як йому до впоA доби, головне для розуміння результату — знати, яку застоA совано систему.

10

Символи для позначення чисел Рахували єгиптяни так само, як і ми, беруA чи за основу десятки, але їхнє письмо суттєво відрізнялося від нашого. Ми викоA ристовуємо букви, яким відповідають певні звуки, ці букви, залежно від порядку, утвоA рюють різні слова. Єгиптяни ж для позначення того, що ми теA пер називаємо складами, вживали ієрогліфи. Для чисел вони використовуваA ли такі символи: =1 = 10 = 100 = 1000, повторюючи їх у написанні, якщо певних розрядів було більше ніж один. Наприклад, число 3542 складається з 3 тисяч 5 сотень 4 десятків 2 одиниць тож записували його так:

11

Здавна люди вміли представляти числа від 1 до… дуже веA ликого числа (єгиптяни мали символи й для позначення 10000, 100000, 1000000 тощо), а також знали, як їх запиA сувати, однак єгиптянам цього було замало.

Проблема на всі віки Вміння представляти дуже великі числа допомагало генеA ралам порахувати воїнів, які вишикувалися до бою, але втрачало сенс, коли, наприклад, треба було поділити чорA ничний пиріг! Проблеми (не лише математичні) виникаA ли за потреби поділити щось невелике на багатьох людей. Жоден з генералів не мав наміру поступатися своїм шмаA точком пирога!

12

Малі числа

Фатіма, вродлива молода єгиптянка, допомагає батькові в земельному господарюванні. По завершенні робочого дня вона має заплатити наймаA ним працівникам, що збирали зерно. І ось надвечір дівчиA на клопочеться: як поділити 5 мішків із зерном між вісьA мома працівниками? Найпростіше для Фатіми було б дати по мішку першим п’ятьом, але як учинити з трьома, для яких мішків не вистачить? Мабуть, вони не буA дуть вельми вдоволеними, якщо залишатьA ся з порожніми руками! Геніальна думка майнула в голові Фатіми. Дівчина чимдуж біжить до найA ближчого базару, щоб куA пити калькулятора, але не знаходить його, бо виробA лятимуть їх лише за кільA ка тисячоліть.

13

Фатімі не лишається нічого іншого, як подрібнити мішки й вигадати позначення для меншого за одиницю числа.

1 Наприклад, – , що читається «одна друга», або «половиA 2 на», або «одиниця, поділена на два», і означає: я беру одA ну річ (1) і ділю (—) її на двох (2), тобто навпіл.

1 Фатіма радіє: кожен з працівників матиме – мішка і ще 2 один залишиться цілим. Його б вона не проти привласA нити.

Але наймити не згодні: треба ділити й останній мішок. Це вже не так важко: Фатіма знає, що за тою ж системою поA винна поділити один мішок на восьмеро осіб, і вигадує 1 нове позначення 8 (один поділити на вісім, або ж одна восьма).

14

Всі працівники задоволені: кожен поA вертається додому з половиною мішка та ще його восьмою частиA 1 1 ною ( 2 + 8 ). Спосіб було знайдено! МожлиA во, саме тому єгиптяни спершу завжди намагалися поділити навпіл, а потім решту ділили ще на кілька частин. Та могло статися й так, що поділити навпіл було замало. Наприклад, якби мішків із зерном було 2, а найманих робітників — п’ятеро, перші четверо з них узяли б по півмішка кожен, а п’ятий лишився б ні з чим. Тоді Фатіма 1. поділила б кожен мішок на три частини, записуючи – 3 Тобто: 1 3 — першому, 1 3 — другому, 1 3 — третьому, 1 3 — четвертому, 1 3 — п’ятому, 1 , яка, поділена на 5, стала б 1 . і залишилися б ще – 15 3 Отже, кожен би отримав 1 + 1 3 15

мішка з зерном.

15

Як бачиш, єгиптяни, використовуючи цю систему, завжA ди отримували суму дробів, які мали чисельник (число над рискою), що дорівнював одиниці, й більший за одиницю знаменник (число під рискою). Знаменник поступово збільшувався, отож другий дріб мав більший знаменник, ніж перший, а третій — більший, ніж другий. Єгиптяни користувалися подібною сумою дробів, не цікавA лячись, чи можна було б у такий спосіб записати всі чисA ла, менші за одиницю. Лише значно пізніше вдалося довести, що будьAяке число, написане у формі дробу, можна записати й на єгипетсьA кий лад, тобто як суму дробів з чисельником, що дорівнює одиниці (доведення ти знайдеш на стор. 167).

16

Єгипетська задача Звичайно ж, на уроках історії ти вже вивчав, що річка Ніл, яка перетинає Єгипет, щороку в один і той же час вихоA дить з берегів і затоплює навколишні землі, роблячи їх дуA же родючими. Повені на Нілі були життєво важливими для господарA ства країни, але спричиняли й невеличку проблему: вода руйнувала загорожі, що розділяли землі різних власA ників. Щороку потрібно було ділити землю поAновому, а для цього треба вміти «міряти землю», знати «геометрію». Це слово згодом винайдуть греки, але його значення (гео — земля, метрія — міра) походить від застосування єгипA тянами навичок землемірства: вони могли розв’язувати

17

нескладні геометричні задачі для поділу землі після повеA ней, тобто вміли вираховувати площу таких плоских фігур, як квадрати, трикутники, прямокутники, трапеції.

Задерши носа догори Для єгиптян зірки символізували божества, тому жерці проводили багато часу, спостерігаючи за їх рухом.

18

Неважко помітити, що після кожної ночі настає день, а потім знову приходить ніч. Але триваліші спостереження за зірками та планетами можуть відкрити й інші таємниці їх пересування: повторення їхнього руху щоA ночі, або протягом тривалішого часу — місяців, а то й років.

Зірки<провісниці Зі своїх спостережень жерці зробили висновок, що зірка Сиріус з’являється на небі на сході Сонця того дня, коли повінь Нілу сягне приблизно околиць теперішнього Каїру. Появу Сиріуса не можна було бачити безпосередньо, оскільA ки зі сходженням Сонця зірки на небі гаснуть, але спостеA реження доводили, що це явище відбувається щоA365 діб: інформація дуже важлива, бо від повені Нілу залежало житA тя всієї країни!

Єгипетський календар Так єгиптяни поділили час на роки, кожен з яких складавA ся з 365 днів. Кожен рік ділився на 12 місяців по 30 днів плюс 5 додаткових днів на кінець кожного року. І справді: 12 x 30 = 360 + 5 = 365. Як бачиш, єгипетський календар дуже нагадує наш. Тож моA жемо привітати з цим одного єгипетського жерцяAастроA нома, що опинився проїздом у наших краях:

19

— Пане жерче$астрономе, мої найщиріші вітання…

—Можеш називати мене магом, синку!

— О, перепрошую, пане магу. Ви й ваші друзі — справжні молодці. Ви зуміли визначити, що певні небесні явища повторюються що$365 діб, і таким чином встановили три$ валість року.

— Ти маєш рацію, синку, ми справді молодці! Оскільки ти мені подобаєшся, я для тебе почаклую. Інакше який з мене маг? Ти пригадуєш, якого дня за календарем була повінь на Нілі 8 років тому?

— Звичайно!

— Так ось, цього року я зроблю так, що вона прийде двоA ма днями пізніше!

Маг має рацію, а тепер твоя черга: або повірити в чаклунA ство, або розгадати трюк давньоєгипетського мага.

20

Розгадав? Молодець! Тепер послухай, що відповість маг: — Доброго дня Вам, Ви й справді талановитий астроном. Як Вам удалося визначити, що рік три$ ває трішки більше за 365 днів?

— Про що ти говориш, синку? Це — результат мого чаклунства!

— Яке там чаклунство! Рік триває 365 діб і чверть доби, тобто щочотири роки до календаря треба вписувати ще один день. Цей рік ми звемо високосним.

— Кажи тихше, це таємниця. Не збагA ну, звідки ти все це знаєш, але, якщо це буде відомо лише нам небагатьом, ми матимемо величезA ну владу, всі нас вважатимуть магаA ми, яким підкоA ряється сама природа, тож люди і робитимуть те, що ми накажемо!

21

Ти бачиш, якими хитрунами були ці єгипетські жерці! З цього можна зробити висновок: чим більше ти знаєш, тим важче іншим тебе ввести в оману, видаючи за правду всілякі побрехеньки. Це чудовий привід, для того щоб підштовхA нути до роботи власний мозок! З плином століть кілька правок до календаря таки було внесено, але, як і піраміди, єгипетський календар дійшов до наших часів.

22

Скільки пальців мали давні вавилоняни? За офіційним твердженням, давні вавилоняни, нібито, як і всі ми, теж мали по 10 пальців на руках! Але на відміну від єгиптян, вони рахували, беручи за основу не 10, а 60.

Здається малоймовірним, аби щоразу для підрахунків воA ни збиралися втрьох та використовували також і пальці ніг. Тоді науковці висунули гіпотезу, що цю химерну сисA тему підрахунків було обрано, бо число 60 можна легко поділити в різний спосіб. І справді, 60 можна точно (себто без остачі) поділити на: 2 (60 : 2 = 30) 10 (60 : 10 = 6) 3 (60 : 3 = 20) 12 (60 : 12 = 5) 4 (60 : 4 = 15) 15 (60 : 15 = 4) 5 (60 : 5 = 12) 20 (60 : 20 = 3) 6 (60 : 6 = 10) 30 (60 : 30 = 2)

23

Непогано, особливо, коли згадати, що число 10 можна з точністю поділити лише на 2 і 5!

— Але ж рахувати, беручи за основу 60, неймовірно складно!

— Ти, однак, робиш це щодня!

БЮРО ПАТЕНТІВ

— Невже? От ніколи не думав!

— Поб’ємося об закA лад? Скажи мені, котра зараз година?

— Сьома година 53 хвилини.

— А за 10 хвилин котра буде година?

— Три хвилини на дев’яту.

— Три на дев’яту? Або то буде сьома година 63 хвилини, або ж я виграв! Хвилини ми рахуємо до 59, а потім кажемо, що «пройшла одна година», а не «пройшло 60 хвилин». Година ділиться на 60 хвилин, а не на 10. Секунди та хвиA лини ми й досі рахуємо, беручи за основу 60!

24

60 ми сьогодні також беремо за основу вимірювання кутів.

Клинки й таблички Для письма вавилоняни використовували глиняні табличA ки, на яких креслили знаки. Ці знаки мали бути досить простими, інакше було б дуже важко їх накреслити. Тому вавилоняни користувалися для записів так званими «клинками» — прямолінійними позначками (їх ти можеш побачити на малюнку), які вони робили більшого чи менA шого розміру й розташовували прямо або навкіс. Їхнє письмо нині ми називаємо «клинописом».

25

Після нанесення напису глиняні таблички сушили на сонці або обпалювали в печах, внаслідок чого вони ставали дуA же міцними. Під час розкопок у місцях поA селень давніх вавилонян знайдено багато глиняних табличок з написами, але ніхто не міг зрозуміти їхнього змісту. Коли в ХІХ столітті люA ди почали розшифровувати клинопис, виявилося, що баA гато табличок зберігають записи математичних задач і деA які «клинки» вживаються для позначення чисел. Цей значок використовували для запису одиниці

,

а цей — для десятка Для запису чисел до 60 вавилоняни користувалися схеA мою дуже подібною до єгипетської. Наприклад, 56 єгипA тяни писали так: а вавилоняни — так: Символи відрізнялися, але спосіб позначення був однакоA вим: п’ять позначок для десятків і шість — для одиниць.

26

Позначки та позиції Для запису чисел, більших за 60, вавилоняни винайшли геніальний спосіб: вони не вигадували інших позначок, а змінювали їх розташування. Таку схему легко зрозуміти, адже й ми робимо дещо подібне. Розгляньмо її на прикладі чисел. Коли ти пишеш 222, ти використовуєш тричі один і той же символ — «2», але розташовуєш його в різних позиціях. Перша двійка позначає сотні, друга — десятки, а третя — одиниці. Тобто 222 = 2 х 100 + 2 х 10 + 2 х 1, що так само дорівнює 2 х 10 х 10 + 2 х 10 + 2 х 1 (так стає зрозуміло, що ми рахуємо, беручи за основу 10). Вавилоняни також вдавалися до цього трюку з розташуA ванням символів, але рахували, беручи за основу 60. Тому запис означав: 2 х 60 х 60 + 2 х 60 + 2 х 1, що в десятковій системі дорівнюA вало б 7322. Спробуй тут порахувати! Зараз ми поговоримо з цим кмітливим вавилонським маA тематиком.

27

— Я знаю, що ви, вави$ лоняни, були найкра$ щими математика$ ми стародавнього світу. Чи можна, коли Ваша ласка, я задам Вам одну задачку?

— Прошу, залюбки!

— Почнімо з простого: в кожного з двох чабанів було по 50 овець. Скільки всього було овець? Результат запишіть на табличці.

— 1.

— Як це 1? 50 в кожного з двох чабанів, я хотіла б довідатись суму всіх овець… Добре, що я почала з простої задачі, а ви — найкращі мате$ матики давнини. Я сама Вам відповім: всього було 100 овець.

— Саме так, як я й написав: 1!

— Але ж це не одне й те ж!

28

— Звісно, одне й те ж. Ми далеко пішли в цьоA му і користуємося одним позначенням для одиниць і сотень. Це і є «1».

— Справді, ми теж так само робимо. Але як ви здога$ дуєтесь, що мається на увазі — одиниці чи сотні?

— Це стає зрозумілим із задачі. Нікому не спаде на думку, що 50 овець у кожA ного з 2 чабанів разом становитиA муть 1 вівцю, очевидно, це буде 1 сотA ня овець! Ті з нас, хто добре знає маA тематику (а таких небагато), звісно, не заплутаються в такій простій заA дачі. Одразу видно, про скількох овець ідеться.

— А якби була 101 вівця?

— Спочатку ми справді писали 11, але таки мали з цим певний клопіт, тож потім посеA редині вмістили «0» (записуємо ми його так: ) — і все стало на свої місця.

— Хіба так важко було дописати його в кінці числа?

— Ніколи про це не думав, адже він так мало важить, все зрозуміло вже з задачі…

29

Вавилоняни дійсно були досить вправними математикаA ми й пішли далеко вперед порівняно з єгиптянами. Єгиптяни, наприклад, переходячи від одного розряду до іншого (тобто від одиниць до десятків, а потім — до соA тень, тисяч, десятків тисяч, сотень тисяч, мільйонів тощо), постійно мусили вигадувати нове позначення. ВавилоняA ни ж користувалися тими самими позначеннями, але змінювали їх розташування. Ми також маємо всього 10 цифр, чи знаківAсимволів (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), а можемо записати з їх допомогою всі числа, які нам заманеться. Крім того, вавилоняни «майже» винайшли нуль; «майже», бо, як ти бачив, вони використовували його лише між іншими цифрами й ніколи не писали в кінці.

Якщо дроби тобі не до вподоби Запис чисел з повторенням тих самих символів у різних позиціях наштовхнув ваA вилонян на думку, що й менші за 1 числа можA на записувати в такий спосіб: пересуваючи цифри після позначки, яка б указувала, що

30

йдеться про число, менше за одиA ницю. Це те ж саме, що робимо й ми, ставлячи цифри після коми в деA сяткових дробах. Замість 1 2 ми можемо написати 0,5. Що ж означає цей запис? Все дуже просто: коли ми пишеA мо 32,5, то знаємо, що йдеться про 3 десятки, 2 одиниці та 5 десятих. Один десяток удесятеро більший за одиницю (тобто 1 х 10). Одиниця дорівнює 1. Одна десята вдесятеро менша за одиницю: тобто 1 : 10, або 1 10 , що так і читається — «одна десята».

1 Тому 32,5 = 3 х 10 + 2 х 1 + 5 х 10 А якщо нам потрібне більше число? Нічого складного, використовуємо сотні. Одна сотня в сто разів більша за одиницю (тобто 1 х 100, або ж 1 х 10 х 10). Маємо потребу в меншому числі? Будь ласка, використовуємо соті. Одна сота в сто разів менша одиниці, тобто: 1 1 : 100 або 1 або (10 x 10) 100

31

Порівняння малих чисел Користуючись позиційним записом (тобто записуючи ті ж самі символи з різним розташуванням, у різних поA зиціях), набагато легше виконувати математичні дії. НапA риклад, нескладно вирахувати, що 0,75 + 0,2 = 0,95. Єгиптяни ж замість 0,75 написали б 1 + 1 , 2 4 1 а замість 0,2 — .

5 Результат суми записали б так: 1 + 1 + 1 2 4 5 Якщо ти вмієш виконувати дії з дробовими числами, тобі не важко буде пересвідчитися, що 1 + 1 + 1 = 0,95 (на 2 4 5 стор. 173 ти знайдеш ці обчислення), але в якому з двох прикладів легше здійснювати розрахунки? Позиційний спосіб запису дав змогу вавилонянам обчислюA вати дуже точно.

Від математики один зиск? І єгиптяни, й вавілоняни почали вивчати матемаA тику для розв’язання практичних задач: щоб

32

поділити зерно чи землю, визначити відстань і час. Однак знайдено єгипетські й вавилонські документи із записом розв’язків задач, які зовсім не стосувалися повсякденних проблем. Це означає, що вчені обох цих народів бралися до матеA матики ще й тому, що вважали її цікавою. Вони надавали великого значення розгадуванню таємниць чисел – не маючи зиску від безпосередньо практичного застосуванA ня отриманих результатів.

Спостерігаючи за зірками Як у єгиптян, так і у вавилонян були жерці, що займалися дослідженням і викладанням. Не існувало поділу на науку, релігію та чакA лунство. Астрономічні спостереження (спостереження за зірками) мали величезA не значення, бо їх використовували, склаA даючи прогнози, тобто передбачаючи майA бутнє та визначаючи дати релігійних святA кувань. Завдяки своїм спостереженням вже близько 750 року до Р.Х. вавилоняни визA начили головні особливості руху зірок і планет.

33

Ось які висновки вони зробили: 1. На небі ми спостерігаємо переміщення різноманітних світил: нерухомих зірок, Сонця, Місяця та п’ятьох планет.

2. Нерухомі зірки так звуться не тому, що непорушно стоA ять на місці, а тому, що під час їх руху відстань між ниA ми не змінюється.

3. Протягом 24 годин усі нерухомі зірки здійснюють один повний оберт навколо однієї завжди нерухомої зірки, яка вказує на північ, — тепер вона називається Полярною зіркою.

4. Сонце також здійснює один оберт щоA24 години, але його шлях не однаковий кожного дня: влітку воно піднімається вище над горизонтом, а взимку — прохоA дить нижче. Щороку, однак, Сонце опиняється в тому самому місці, де було й минулого, і здійснює ті ж самі переміщення.

34

5. Місяць також змінює свою траєкторію щодня, але весь свій шлях долає швидше за Сонце, приблизно за 29 днів.

6. Не такими регулярними видаються переміщення плаA нет (планети, за якими спостерігали вавилоняни, тепер називаються Меркурій, Венера, Марс, Юпітер і Сатурн). Зазвичай вони слідують за Сонцем, але час від часу здається, що відносно розташування нерухомих зірок вони зупиняються, або навіть повертаються назад (погA лянь на малюнок). Це явище дістало назву «зворотного руху планет».

1 квітня

1 серпня ОВЕН

ТІЛЕЦЬ 1 вересня 1 травня 1 липня

1 жовтня 1 червня

Зворотний рух Марса відносно нерухомих зірок та сузір’їв Тільця й Овена Вавилоняни спостерігали за всіма цими явищами, але не прагнули зрозуміти, чому світила рухаються саме так.

35

Перші кроки Математика й астрономія і були першими кроками тієї сфеA ри людського мислення, яку згодом називатимуть наукою. Вивчення природи почалося зі спостереження за зіркаA ми — видовища величного й захопливого, але водночас чи не найзагадковішого та найнедосяжнішого. Вивчення математики почаA лося з «винаходом» числа. І справді, числа ми не можеA мо спостерігати в природі, як, скажімо, зірки, але насамA перед вони слугували нам для того, щоб полічити якA раз те, що ми бачимо.

36

ШУКАЮЧИ В ПРИРОДІ Греки У підручниках з культури різних народів звично представA лені «почергово» спершу єгиптяни, потім — вавилоняни, греки, римляни… і так далі — розділ за розділом. Однак історія розвивалася інакше. Справді, єгипетська культура давніша за вавилонську та грецьку, але ці культури довго співіснували та «обмінювалися інформацією». У VIII столітті до Р.Х. грецькі міста почали колонізувати сусідні узбережжя й засновувати нові центри в південній Італії, на Сицилії; просувались також на схід до берегів суA часної Туреччини. Колонії мали постійні зв’язки з метроA полією, особливо це стосувалося торгівлі, але політично — були незалежними. Влада в кожному такому місті була впорядкована за зразком грецького містаAдержави.

«Перший учений» Попрямуймо до берегів Малої Азії, теперішньої ТуреччиA ни. Якщо ти поглянеш на географічну карту, то одразу поA бачиш, який зручний зв’язок мали ці місця, розташовані між сходом і заходом, на межі з Месопотамією та ЄгипA том. Тож тутешнім мешканцям було легко обмінюватися думками з сусідніми народами.

37

Італія МАССІЛІЯ

РИМ

БАРі КУМИ

БРУНДИЗіЙ

НЕАПОЛЬ ЕЛЕЯ

ТАРЕНТ

METAПОНТ КРОТОН МЕССАНА

ПАНОРМОС

РЕГіЙ КАТАНА

АКРАГАНТ КАРФАГЕН

е Мак Еп ір

О

ДЕЛФ

МіКЕ ОЛіМПіЯ

СИРАКУЗИ

ЗАМА

АРСИНОЯ ЛЕПТіС<МАГНА БЕРНіКА

Кір

ХЕРСОНЕС

СИНОП

Фракія ПЕЛЛА

ВіЗАНТіЯ АБДЕРА

Віфінія

СТАГіР

Лесбос

ФіВИ КОРіНФ АРГОС

ГЕРАКЛЕЯ

ТРОЯ

мп

ФАРСАЛ

ТРАПЕЗУНД

ПЕРГАМ ІКОНіЙ

ЕФЕС Самос МІЛЕТ ГАЛіКАРНАС АФІНИ

АРТА

АНТИОХіЯ

ЗАНТЕ

КНІД КНОС

КіЛіОКіЯ

Родос

Кіпр

ТИР

Кріт

КЕСАРіЯ ЄРУСАЛИМ АПОЛОНіЯ

КіРЕНА

аїка

АЛЕКСАНДРІЯ

ПЕЛУСіЙ

Єгипет

ГЕЛіОПОЛЬ МЕМФіС

Палестина

нія

У Малій Азії, землі сонця, моря та вітру, близько 624Aго року до Р.Х. в місті Мілеті народився Фалес — політик і купець, але передусім мисA литель. Греки, що жили після нього, вважали його одним з наймудріших мужів. (Додамо від себе невеличкий доказ того, що культури існували не «по черзі», як може здатиA ся, коли гортаєш підручник з історії. Фалес народився приблизно за 100 років після заснування Риму в 753 році до Р.Х.). Звичайно ж, Фалес запозичив багато понять з математиA ки, геометрії й астрономії в єгиптян і вавилонян, але, попA ри це, якби ми хотіли назвати засновника науки, «першоA го науковця», то мусили б згадати саме його ім’я. І ми робимо це через дві причини: Фалес першим відокремив дослідA ження природи від магічного риA туалу та релігії і першим запроваA див у науку диспут, тобто можA ливість аналізувати й критикувати досягнуті результати.

40

Історії героїв У Єгипті та Месопотамії знання були «власністю» жерців, їх передавали за допомогою священних книг. А греки не мали таких книг. Їхній найвидатніA ший літературний твір — поему «ІліаA да» — написано за три століття до наA родження Фалеса. «Іліада» оповідає про героїчні вчинки сильних воїнів (АгаA мемнона, Ахілла, Одисея…). В описувані події втручаються боги, але герої поеми — люди. Ця деталь може підтвердити, наскільки важливою істотою в грецькій культурі була людина, навіть порівняно з богами. Людина, яка не схиляється перед божеA ством, — це саме та людина, що вважає за можливе осягнути Всесвіт завдяки лиA ше своїм власним силам і своєму мисленA ню; це та людина, яка шукатиме маA теріальні причини того, що відбувається в природі, а не звертатиме все на надприA родні сили.

41

Фалес вірив у богів, але не вважав, що все, що діється в світі — від грози до розвитку рослин, від руху планет до народження живих істот — є наслідком божественної діяльA ності. Він розглядав ці події як природні явища й тому був пеA вен, що причини їх треба шукати в самій природі.

Розмови з друзями

Є ще один важливий момент: Фалес не приховував своїх знань та роздумів, а як і всі його грецькі друзі, розповідав, пояснював, сперечався, приймав поради та критичні заA уваження. Дискусії відбувались на площах, у тавернах або вдома. Різноманітні думки вивчали й критикували, аби потім

42

прийняти те, що вважалося правильним, і шукати нове поA яснення явищу, тлумачення якого не було переконливим. Знання не приховувалися в храмах, а обговорювалися на площах (агора, як їх називали греки).

Фалес і перше питання Фалес спостерігав не лише за рухом світил, а й за іншими природними явищами навколо себе: всьому треба було знайти пояснення. Він досліджував Сонце, траву, мух, море і риб… всі природні створіння, які так різнилися між собою. Звідки вони взялиA ся? Чи завжди вони існували? Якщо ні, то коли і як виникA ли? Складалися вони з різного матеріалу чи мали єдину перA шооснову?

43

Чи може метелик складатися з «матерії для метеликів», квітка — з «матерії для квітів», камінь — з «матерії для каміння» тощо? Скільки ж різновидів матерії мало б існуA вати для створення цілого Всесвіту? Чи може таки все поA ходить з одного? Чи цікавився ти колиAнебудь, «що є в середині» предA метів, на які ти дивишся, які торкаєш, нюхаєш? Ця доA питливість цілком природна: якщо ти береш у руки закA ритий пакунок, то пробуєш відкрити його, аби довідаA тися, що в ньому. Фалес також намагався вдовольнити свою допитливість:

— Має існувати єдина першооснова всіх речей.

— Ваші співвітчизники створили чудові міфи про те, як боги дали всьому поча$ ток.

— Основний першопочаток має бути маA теріальним, а не божественним: саме його ми й повинні шукати, якщо прагнемо зрозуміти Всесвіт.

— На Вашу думку, що це може бути?

— Гадаю, що матеріальний першопочаток, з якого все поA ходить, — вода. І справді, вода живить усе, без неї не

44

існувало б житA тя. Навіть ваші сучасні косA мічні зонди, досліджуючи нову планету, передусім шукають саме наявність води!

— Отже, вода є у всьому Всесвіті?

— Звичайно! Земля також спирається на воду, вона плаває у величезному океані, який її підтримує в небі.

Фалес першим поставив перед собою основне питання: «З чого складається і як улаштована матерія, з котрої збудоA вано довколишній світ?» Він першим сам почав шукати відповіді на нього в природі: «Матерія складається з води». І, нарешті, Фалес першим дав пояснення, підтвердження своєї відповіді: «Тому що без води не існує життя». З перA шого пояснення й почалися наукові дослідження.

45

Якби Фалес проголосив: «Основним елементом є вода, бо так мені сказав Аполлон вустами оракула», хто б наважився киA нути у відповідь: «Це пояснення мене не задовольняє, потрібно досліджувати далі!», знаючи, що Аполлон — один із наймоA гутніших богів, та ще й такий уразливий на вдачу? Слова ж і пояснення Фалеса можна критикувати й ставити під сумнів, а це вже є початком роздумів!

46

Римський менталітет глибоко відA різнявся від грецького, і к н и ж к и латинських авторів виA разно відбиA вали цей споA сіб мислення.

РИМ

Поруч з енциклопедіями, які кількома рядками без будьA якого заглиблення, за винятком розповідей про окремі доA тепні факти, викладали теоретичні досягнення греків, здоA буті протягом століть, з’являються, наприклад, технічні тракA тати Вітрувія з архітектури та праці Юлія Фронтина, присA вячені методам вимірювання та нівелювання. Ці праці також видаються дуже бідними, поверховими і сповненими похибок, якщо порівняти їх, з одного боку, з грецькими науковими досягненнями того ж періоду, а з іншого — з величчю будівельних робіт самих римлян. Римляни вміли зводити будівлі велетенських розмірів, виA користовуючи аркові склепіння (і як вони тримаються?), вони проводили кілометрові акведуки для постачання воA ди, будували стоки для осушення болотистих ґрунтів, «вкриA вали» терени своєї безмежної імперії мережею доріг, більшістю з яких і досі користуються люди…

151

Теорія та практика … але теоретичний аспект пізнання їх не цікавив. Слово «теорія» походить з грецької мови (теорос), його первинне значення — «той, хто кидає погляд» (той, хто розглядає), тобто «споглядач». Греки вивчали, розмірковували, думали. Римляни зважали лише на факти. Греки вважали римлян «варварамиAчорA норобами», але на них справляли враження римські будівничі та організаційні здібності. Римляни ж називаA ли греків «безплідними інтелектуалами», але вибирали сеA ред них учителів для своїх дітей.

152

«Римський мир» За мирного часу, який настав після римського завоюванA ня, недовго тривало наукове відродження. Невідомо, де й коли народився такий собі Птоломей, який працював у Єгипті, майже напевне — в Александрії, між 127 і 141 рр. Найвідоміша його праця — «Математична побудова», в 13 томах — увійшла в історію під назвою «Альмагест» («найбільший»), як її нарекли араби, що знайшли її й пеA реклали своєю мовою. Завдяки цьому перекладові ми й сьогодні можемо читати майже всю Птоломеєву працю, тоді як багато частин грецьA кого оригіналу втрачено.

Т АГЕС АЛЬМ

АЛЬМАГЕСТ

АЛЬМАГЕСТ

153

— То ти винайшов «Птоломеєву систему»?

— Яка здогадливість! Але я нічого не «винаходив», я лише уважно вивчив усе те, що спостерігали й говорили астA рономи, які жили до мене, привів усе до ладу і запроA понував «досить» задовільне пояснення того ж самого руху планет, які, з першого погляду, рухаються не коA лом. Отже, я вибудував модель небес, так звану «ПтолоA меєву систему».

— Ти не міг би мені її всю розтлумачити?

— Це аж 13 томів! Я назву тобі загальні висновки:

1. НЕБО СФЕРИЧНЕ Й РУХАЄТЬСЯ ПОДІБНО ДО СФЕРИ.

2. ЗЕМЛЯ СФЕРИЧНА.

3. ЗЕМЛЯ РОЗТАШОВАНА В ЦЕНТРІ СВІТУ (ВИ ЙОГО НАЗИВАЄТЕ ВСЕСВІТОМ, МИ — СВІТОМ).

4. ВЕЛИЧИНА ЗЕМЛІ ПОРІВНЯНО ЗІ СФЕРОЮ НЕРУХОМИХ ЗІРОК ДОРІВНЮЄ ТОЧЦІ.

5. ЗЕМЛЯ НЕ ЗДІЙСНЮЄ ЖОДНОГО МІСЦЕВОГО РУХУ.

154

— …а якби я в це не повірив?

— Ось тобі доведення. Пункт 1. Сонце, Місяць та інші зірки завжди переміщуA ються зі сходу на захід паралельними колами, вони сходять і заходять, час і місце їх сходу й заходу впорядA ковані й регулярні. Якщо хочеш, можу додати: щоночі нерухомі зірки здійснюють у небі оберт навколо однієї точки (Полярної зірки).

155

Пункт 2. Якби Земля була плоскою, ми б спостерігали схід зірки в один і той же час у різних місцях Землі, а насправді ж її спершу бачать ті, хто живе на сході, і лиA ше потім — ті, хто живе від них далі на захід.

По<моєму, також!

По<моєму, восьма година!

Зараз шоста! Я ще нічого не бачу!

Ось вона, рівно о восьмій!

Пункт 3. Якби Земля не розміщувалася точно в центрі (залишаючись на однаковій відстані від небесних поA люсів), у нас ніколи б день не дорівнював ночі, що, одA нак, буває двічі на рік. Якби ж Земля була зміщена в напрямку північного (чи південного) небесного полюA са, ми ніколи не бачили б половини неба. Але ми бачиA мо саме півнеба, завжди в полі нашого бачення переA бувають 6 із 12 сузір’їв.

156

Пункт 4. З будьAякої точA ки Землі нерухомі зірки видно в одному й тому ж розташуванні та на однаA ковій відстані одна від одA ної. Якби Земля не дорівнювала точці, ми могли б побачити малеA сенькі переміщення, розA глядаючи розташування зірок з двох різних точок Землі, що знаходяться на певній відстані одна від одної. Пункт 5. З попередніх доведень випливає, що Земля не може зміщуватися від центру, інакше можна було б спосA терігати явища, описані в пункті 3. Проте дехто стверджує, що Земля може обертатися навA коло своєї осі, здійснюючи повний оберт за 24 години. Якби це було так, ми спостеA рігали б, що всі тіла, непA рикріплені до Землі, рухаютьA ся в зворотному напрямку. НаA приклад, ми ніколи не побаA чили б, як хмари рухаються

157

на схід, а якби ми в цьому напрямку пожбурили камінь, він би повернувся назад і… влучив би в нас!

— Все це видається пере$ конливим, але як пояс$ нити відхилення в русі планет?

— Гарне питання… хоча й трохи нудне. Схема моїх сфер доволі складна…

— Про які ти сфери говориш?

— Кожна планета прикріплена до сфери, і рухається саA ме ця сфера, обертаючись навколо своєї осі. Сфери складаються з ефіру, прозорої та твердої речовини; наш Всесвіт є твердим і скінченним. Я покажу тобі дуA же приблизне зображення космосу, таке, яким я його уявляю. Цим малюнком я пояснюю рух сфери Сонця, тобто сфери, заштрихованої горизонтально, яка містить сфеA ричну випуклість Сонця, заштриховану вертикально. Сфери інших планет можна описати так само, як і сфеA ру Сонця, але якщо їх усі намалювати разом, нічого не буде зрозуміло!

158

Так теж не дуже зрозуміло, однак два оберти, описані на малюнку, за моїми підрахунками, нагадують той рух Сонця, який ми спостерігаємо з Землі!

S

щоденний рух

A

D

C

щорічний рух

E

T

Місяць Меркурій Венера B Сонце

Марс Юпітер Сатурн Нерухомі зірки

— Мені все це здається дуже складним, але я вірю тобі на слово.

159

Занепад давньої науки Птоломей жив приблизно за найбільшого розквіту РимсьA кої імперії, в наступні ж роки починається її повільний заA непад, який, без сумніву, впливає й на стан науки.

СТАН ІМПЕРІЇ

СТАН НАУКИ

Хоч це й не так очевидно, але не завжди можна безпосеA редньо пов’язувати збідніння суспільства та вповільненA ня досліджень природи. Варто згадати загальний занепад Європи в період між двоA ма світовими війнами, однак саме в ці роки наука переA живала небачений поступ.

160

Християнська «революція» Однією з причин занепаду наукового життя можна, звиA чайно, вважати утA вердження христиA янства, яке відбуA лось у західному світі в ІІІ столітті. Християнство було революційною реA лігією, порівняно з грецькими й римсьA кими віруваннями, і його утвердження радикально зміниA ло тогочасний світогляд, зміщуючи акценти передусім на теологічні проблеми та впливаючи на всі сфери духовноA го життя людини: філософію, мистецтво, літературу.

Магія та нумерологія Що ж стосується науки, треба додати, що великі христиA янські мислителі не лише вважали менш важливим вивA чення природи порівняно з поглибленням знань Святого Письма, а й у багатьох випадках через певні причини відверто повставали проти вивчення природи. Не останA

161

ньою причиною було те, що грецький всесвіт вважався вічним, а християнський був створений Богом, отже, мав чітко визначене походження.

Але для того, щоб краще зрозуміти неприйняття христиA янськими вченими науки, треба згадати, що в перші століття нашої ери багато науковців цікавилося магією чисел, властивостями зірок і впливом руху планет на хід історії та життя людей. Той самий Птоломей, крім «Альмагесту», в якому він виA користовує математичні теореми й спостереження за даA

162

ними, щоб вибудувати наукову модель космосу, пише таA кож і «Чотирикнижжя» (Tetrabiblos), де описує щось на кшталт зіркової релігії, заохочуючи астрологічні дослідженA ня, пророцтва та гороскопи. Церква рішуче повстала проти такої науки, стверджуючи, що доля й спасіння людини — в руках Бога і не залежить від чисел та зірок.

Треба зачекати Нам завжди казали, що греки залишили людству в спадок культуру, а римляни — право й дороги, щоб грецьку кульA туру можна було пізнати в усьому тодішньому світі.

163

Принаймні щодо наукових знань це не так. Грецька науA ка таки подорожувала римськими дорогами, але багатьма століттями пізніше: в Європі її почали відкривати не раніше

МІЛЕТСЬКИ

Ф АЛ ЕС

164

ДР АН ИМ КС А АН

АР

ИС

Т ТО

ЕЛ

АН

АК

СИ

М

ЕН

П ІФ А Г О

Ь

ЕВДОК

С

Е В К Л ІД

Р

РХ ТА ИС АР

ПЛ АТ ОН

Й КЛУБ

О ЕД

ХІІ століття, а плоди її поширення зав’язалися вже після століть її вивчення та поглиблення. Якщо хочеш знати продовження цієї історії, можеш проA читати книжку «Крила, яблука та підзорні труби».

ДАВАЙ,

ЕЛЮ! АРИСТОТ

КЛ

ПА РМ ЕН ІД

АПО ЛЛО НІЙ

ЛЕВКІПП

ДЕМОК

Р ІТ

СОКРАТ

ФЕН ЕРАТОС Д АРХІМЕ

ПТОЛОМЕЙ

165

ДОДАТОК Єгипетські дроби Ми хочемо довести, що будьAяке число, яке можна записати 2 7 як дріб (наприклад, 3 або 8 , або будьAяке інше) також можна записати й у вигляді єгипетського дробу, тобто як суму найпростіших дробів (дробів з чисельником, що дорівнює 1) з різними знаменниками.

2 Наприклад, 3 можна, звичайно, записати як 2 = 1 + 1 , але це — не єгипетські дроби, бо як перший, так 3 3 3 і другий мають один знаменник.

Розгляньмо спосіб обчислення, який можна застосовувати до кожного дробу, щоб перевести його в єгипетський.

2 Візьмімо і знайдімо найпростіший дріб, менший за 3 2 і з найменшим знаменником.

3

167

Ми можемо взяти 1 , справді, 2 — найменший знаменник, 2 1 який ми можемо вибрати, і 2 більше за 2 . Якщо поділиA 3 ти торт на три рівні частини й узяти з них дві, одразу стає видно, що вони становлять понад половину торта. Отже, 2 > 1 , тож 2 = 1 + остача.

3 2 3 2 Треба підрахувати остачу. Остача = 2 3

1 4–3 1 = = 2 6 6

Тоді 2 = 1 + 1 і є його єгипетською формою.

3 2 6 7 Застосуймо ті ж самі розрахунки до .

8 Найменший знаменник, який ми можемо вибрати, — 2, але чи 7 більше за 1 ? Отож, коли я поділю торт на 8 часA 2 8 тин і з них з’їм 7, це буде значно більше за половину торта! Тоді: 7 1 остача = + 8 2 7 1 7A4 3 = остача = – = 8 2 8 8 Отже, 7 = 1 + 3 , але це не єгипетський запис, бо 3 має 8 8 2 8 чисельник, який відрізняється від 1.

168

Ми мусимо ще знайти вираження для 3 .

8 1 3 Однак тепер не можна взяти , бо менше за 1 (якA 2 8 2 що взяти лише 3 частини торта, поділеного на 8 шматків, буде видно, що це менше за його половину). Тому ми пеA реходимо до наступного найменшого знаменника 3, який лежить найближче до 2).

1 3 3 1 8 більше за 3 ? Так, отже, 8 = 3 + остача. Остача = 3 – 1 = 9 – 8 = 1 8 3 24 24 3 1 1 = + і є єгипетською формою, яку ми можемо 8 3 24 використати для запису 7 .

8 Отже,

Справді, 7 = 1 + 3 = 1 + 1 + 1 8 2 8 2 3 24 Це і є єгипетською формою запису 7 .

8 Якби ми отримали іншу остачу, з чисельником, що відрізняється від 1, ми мали б продовжувати це розкладанA ня й далі. Та чи можемо ми бути певними того, що врештіA решт таки отримаємо чисельник, що дорівнює одиниці? Так, бо чисельники постійно зменшуються. Починали ми

169

3 з 7 (чисельник = 7), перша остача була 8 (чисельник = 3), 8 а потім, нарешті, 1 (чисельник = 1).

24 Кожен наступний чисельник завжди менший від попеA реднього, і врештіAрешт ми отримуємо найменший чиA сельник, а саме 1. Тепер, щоб довести постійне зменшення чисельника, ми замість чисел скористаємось літерами. Навіщо використовуються літери? Тому що літері відповідає будьAяке число, а отже, доведення залишається правильA ним для будьAяких чисел, тобто завжди. Можливо, ти ще не звик застосовувати літери замість чиA сел, але можеш спробувати, потім поступово використання літер тобі здаватиметься вже природним. Візьмімо дріб n , де n — будьAяке ціле число, а m — інше m число, яке відрізняється від п. Для запису цього числа в єгипетській формі ми маємо виA користовувати й інші літери: n =1+ m k остача

170

остача = n – 1 m k Щоб виконати цю дію, ми маємо знайти найменше спільA не кратне m і k, але не знаючи, які числа вони позначаA ють, ми можемо взяти їх добуток, котрий, звичайно, ділиA тиметься як на m, так і на k. Отже, остача =

n 1 (k x n – 1 x m) (k x n – m) – = = m k mxk mxk

Щоб довести, що чисельник постійно зменшується, ми маємо довести, що (k x n – m) < n, тобто що чисельник, який ми отримуємо (k x n – m) менший за той, з якого ми починали (n). Ми знаємо, що k найменший знаменник, який ми могли вибрати, щоб мати нерівність n > 1 , це означає, що, якA m k би ми замість k, взяли k–1 (тобто менший знаменник, що 1 , одразу йде після k), тоді б n було б меншим за m k–1 1 . тобто: n < m k–1 1 1 Наприклад, 3 > 3 але 3 < 3–1 , тобто 3 < 1 .

8 8 2 8

171

Якби це було не так, ми не вибрали б правильного знаA менника, тобто такого, що є найменшим. Розв’яжемо нерівність: n < 1 m k–1 (k–1) x n < m kxn–1xn<m kxn–n<m що дорівнює kxn–m<n Отже, ми отримали те, що й треба було довести: чисельA ники постійно зменшуються!

172

Обчислимо

1 – 2

1

1

+ –4 + –5

Найменше спільне кратне 2, 4 і 5 буде 20, отже, 1 + 1 + 1 = 10 + 5 + 4 = 19 5 4 20 20 2 Якщо тепер поділити, ми отримаємо 19 : 20 = 0,95. Можна зробити й обернену операцію, тобто записати як простий дріб 0,95.

0,95 = 95 , ділячи на 5 числа, що стоять над і під рискою, 100 отримаємо: 95 = 95 : 5 = 19 100 : 5 100 20

Все збігається!

173

Прості числа Ми хочемо довести, що ряд простих чисел безкінечний. Припустімо, що це не так і що 3 та 5 – єдині прості числа, які існують. Утворимо нове число з добутку всіх простих плюс 1. Якщо записати, буде ясно, що наше число p дорівнюваA тиме: p=3x5+1 (добуток усіх простих чисел – 3 і 5 – плюс 1). Отримане число p не можна буде поділити ні на 3, ні на 5, бо ми додали до їх добутку 1. І справді: p = 3 x 5 + 1 = 15 + 1 = 16 16 не ділиться ні на 3, ні на 5. Тоді 16 буде або простим числом, або ділитиметься на якесь інше. Подивімось. 16 не є простим числом, але воA но ділиться на 2. Чи є 2 простим числом? Так! Отже, простими числами будуть не лише 3 і 5, а також і 2. Гаразд, утворімо нове число р у той самий спосіб, тобто обчисливши добуток усіх наших чисел + 1.

174

p = 2 x 3 x 5 + 1 = 6 x 5 + 1 = 30 + 1 = 31 Звичайно, 31 не ділитиметься ні на 2, ні на 3, ні на 5. Мало того, 31 не можна поділити ні на яке інше число, отже, 31 є простим числом! Наше нове число p буде: p = 2 x 3 x 5 x 31 +1 = 6 x 5 x 31 +1 = 30 x 31 + 1 = = 930 + 1 = 931 931 не можна поділити на 2, 3, 5 і 31. Але чи є воно просA тим числом? Ні, я скажу тобі відразу, що його можна поділиA ти на 7 (931 : 7 = 133) і також на 19 (931 : 19 = 49). Але 7 і 19 – прості числа! Так наше число p стає дедалі більшим: p = 2 x 3 x 5 x 7 x 19 x 31 + 1. І так далі. Нове число р, яке ти, коли хочеш, можеш вираA хувати, не ділитиметься на жодне число, а отже, буде просA тим або ділитиметься на якесь число, що обов'язково відрізнятиметься від 2, 3, 5, 7, 19 і 31, оскільки до добутку цих чисел ми додали 1. Ми можемо повторювати цю дію, скільки нам заманетьA ся, а саме — безмежну кількість разів, отримуючи щоразу принаймні одне нове просте число. Отже, ряд простих чиA сел безкінечний.

175

Розкладання на прості множники Щоб довести, що кожне ціле число можна розкласти на прості множники, підемо послідовно, починаючи з найA менших чисел.

2 — просте число.

3 — просте число.

4 = 2 х 2. Його можна розкласти на прості множники.

5 — просте.

6 = 2 х 3. Його можна розкласти на прості множники.

7 — просте.

8 = 2 х 2 х 2. Його можна розкласти на прості множники.

9 = 3 х 3. Його можна розкласти на прості множники.

10 = 2 х 5. Його можна розкласти на прості множники.

11 — просте.

12 = 2 х 6. 2 — просте число, але 6 — ні. Однак ми вже довели, що 6 можна розкласти на прості множники. Отже, 12 = 2 х 6 = 2 х 2 х 3. Можна розкласти на прості множники.

176

Просуваючись далі, ми знаходимо або просте число, або таке, що його можна розкласти на добуток двох менших чисел. Якщо їх ми вже розглядали, це означає, що й усі попередні числа можуть розкладатися на прості множники. Отже, й число 12 можна розкласти на прості множники. І так можна продовжувати… поки числа не скінчаться…

177

Метод складання непарних чисел Гауса Запишемо суму всіх непарних чисел до 11 (спершу від найменшого числа до найбільшого, а потім навпаки).

N = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 N = 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 Кожна пара чисел (одне з верхнього ряду, друге — з нижньA ого) дорівнює 11 + 1. Скільки ми маємо пар? Треба пригадувати, що йдеться лиA ше про непарні числа, отже, буде не 11 пар, а половина. Половина непарного числа не є цілим числом, але число пар є, очевидно, цілим. Якщо подивитися уважніше, наA справді пар буде:

11+1 = 12 = 6 2 2 Їх дійсно 6. Отже, склавши два ряди, ми отримаємо:

2 N=

(11+1) x (11+1) 2

( ) ( )

(11+1) (11+1) N= x = 2 2

11+1 2

2

=

12 2

2

Спробуй провести обчислення ще з якимAнебудь числом.

178

2

= 6 = 36

—

√2

не можна записати як відношення двох цілих чисел

Зробимо спершу два зауваження: 1. Кожне парне число можна записати як 2, помножене на інше число. Правильним буде й протилежне, тобто кожA не число, помножене на 2, дає в результаті парне число: 2=2x1 2x1=2 4=2x2 2x2=4 6=2x3 2x3=6 8=2x4 2x4=8 10 = 2 x 5 2 x 5 = 10 2. Кожне парне число, піднесене до квадрату, залишається парним, і кожне непарне число, піднесене до квадрату, лишається непарним. Правильне й протилежне: кожен квадратний корінь парного числа дає парне число, коA жен квадратний корінь непарного числа дає непарне число (звісно, лише в разі, коли результат є цілим числом). Парні Непарні 22 = 4;

– √4

42 = 16; 62 = 36;

12 = 1;

– √1 = 1

— √16 = 4

32 = 9;

– √9 = 3

— √36 = 6

52 = 25;

=2

— √25 = 5

179

А зараз простеж за доведенням. Найкращий спосіб його зрозуміти — прочитати спершу повністю, а потім спиняA тися на кожному кроці, поки не збагнеш його змісту. ЯкA що ти справді все зрозумієш, то зможеш самостійно довести це своєму другові.

– Оскільки нам треба довести, що √2 не можна записати як відношення двох чисел, ми не можемо використовувати числа й маємо застосовувати літери.

– Припустімо, що √2 можна записати як відношення двох цілих чисел, m і п, які ми ще не знаємо й маємо – віднайти. √2 = m n Якими числами будуть n і m? Будуть це парні чи непарні числа? Доведемо, що m має бути парним числом. Щоб зробити це, піднесемо до квадрату наше відношення: 2 – m √2 = n перетворюється на 2= m2 n

Помноживши на n2 праву й ліву частину, ми отримаємо:

2 x n2 =

m2 x n2 = m2 n2

m2 = 2 x n2

180

отже, m2 — парне, бо є добутком числа (n2) на 2, і m — також парне, тому що корінь квадратний парного числа є парним. Тепер доведемо, що n має бути непарним. Справді, якби обидва числа були парними, то можна було б завжди записати:

m 2xk = n 2xi бо кожне парне число можна записати як 2, помножене на інше число. Тепер можна спростити, ділячи на 2 верхній та нижній вираз:

m 2xk k = = n 2xi i Наведемо приклад: m = 8, а n = 12

m 8 2x4 4 = = = n 12 2 x 6 6 Числівник і знаменник є парними, отже, ми можемо їх ще раз поділити на 2:

4 2x2 2 = = 6 2x3 3 Тепер знаменник є непарним — і ділити на 2 ми більше не можемо.

181

Отже, якщо m парне, n має бути непарним, а якщо це не так, то ми ділитимемо дріб на 2, поки воно ним не стане. m — парне, отже ми можемо записати його як 2, помножене на інше число. m=2xk Підносячи до квадрату праву й ліву частини рівності, отA римаємо: m2 = (2 x k)2 = 4 x k2 Нагадаймо, що (як це вже сказано кількома рядками вище): m2 = 2 x n2 Отже: 2 x n2 = 4 x k2 Розділивши на 2 праву й ліву частини рівності, отримаємо: n2 = 2 x k2 але тоді й n є парним! Справді n2 є парним, бо є добутком певного числа і 2, а квадратний корінь парного числа буде парним. Але ж ми щойно довели, що n мало бути непарним! Насправді ж, якщо m — парне, як ми довели, n має бути водночас і парним, і непарним! Оскільки це неможливо, – ми довели, що √2 не можна записати як відношення цілих чисел.

182

Аксіоми та постулати Евкліда Аксіоми — це загальні вочевидь правильні твердження, які не потребують доведення.

1.

2.

3.

4.

5.

Рівні одному й тому ж рівні між собою. Якщо до рівних додати порівну, то суми будуть однаковими. Якщо від рівних відняти порівну, то остачі будуть однаковими. Ті, що суміщаються одне з одним, рівні. Ціле більше за свою частину.

А тепер підставимо до кожної аксіоми речення, взяте зі щоденного життя. Це доведе тобі, що ці твердження праA вильні взагалі, не лише в царині математики.

1.

2.

3.

Якщо мій зошит такий самий, як у Маріо, і зошит Луки теж такий, як у Маріо, то мій та Лучин зошити однакові. Якщо в мене є стільки ж цукерок, як у Карли, і мама подарує кожному з нас ще по дві, то кількість цукерок у мене й у Карли буде одA наковою. Мене й Антоніо покарали однаковою кількістю додаткових завдань. Оскільки ми

183

стали добре поводитися, вчителька звільниA ла кожного з нас від трьох завдань. Отож ми з Антоніо муситимемо виконати однакову кількість завдань.

4. Якщо в моєї кімнати такі ж довжина, шириA на й висота, як і в К’яриної, наші з К’ярою кімнати однакові.

5. Якщо шматочком свого торта я пригощу Гульєльмо, в мене залишиться менше, ніж цілий торт. Розгляньмо 5 постулатів Евкліда. Це будуть знову вочевидь правильні твердження, але стосуватимуться вони матемаA тики. Для греків довести математичне твердження — озA начало пояснити, як його рішення можна відобразити за допомогою лінійки й циркуля. Якщо вдуматися, то чудовий спосіб довести, що певну річ можна зробити, — зробити її! Перейдімо до постулатів:

1.

2.

3.

4.

184

Від кожної точки до будьAякої іншої можна провести одну пряму лінію. Обмежену пряму можна необмежено проA довжити по прямій. З будьAякого центра можна описати коло з будьAяким радіусом. Усі прямі кути рівні між собою.

5.

Дві прямі, які при перетині з третьою утворюють з нею по один бік внутрішні куA ти, в сумі менші двох прямих, при продовA женні в той самий бік перетинаються.

Неймовірно, але цих 10 простих тверджень достатньо, щоб довести всю геометрію, яку ти вивчаєш у школі. Насправді греки розв’язували за допомогою геометричA них методів також і задачі, які сьогодні розв’язують ті гаA лузі математики, що протягом століть дістали назви арифметики, алгебри та аналізу. Отже, ці постулати є основою для значно ширшого, ніж сама геометрія, поля наукового знання.

185

Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°

β α

γ

На цьому малюнку я тобі показую, які кути трикутника називаються внутрішніми. Тепер проведемо пряму, паралельну основі трикутника, яка б проходила через його вершину. Нам це під силу, бо з п’ятого постулату ми можемо вивести поняття паралельA ної прямої та спосіб, як її намалювати. Якщо ми визначаємо дві паралельні прямі як такі, що ніколи не перетинаються, це означає, що можна накреслити третю пряму, яка б утворювала з ними кут, що дорівнює 90°. Якби два кути були меншими за 90°, п’ятий постулат проголошує, що такі прямі перетиналися б, а отже, не були б паралельними.

186

δ

ε β α

θ

γ

Поглянь уважно на малюнок: кути α і δ — рівні, бо є відповідно утвореними при перетині двох паралельних прямих третьою; саме тому рівні також і кути γ та ε. Нарешті, кут ε рівний кутові θ бо вони є вертикальними. Неважко зрозуміти, що сума 3 кутів δ, θ і β дорівнює розгорнутому кутові, тобто кутові, рівному 180°, а ці 3 кути дорівнюють кутам трикутника, отже, α + β + γ = 180°.

187

ЗМІСТ РОЗДІЛІВ ТА БІОГРАФІЙ УЧЕНИХ

Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Перші кроки серед чисел і зірок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Єгиптяни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Вавилоняни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 Шукаючи в природі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 Фалес (624 – 545 до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 Анаксимандр (610 – 546 до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . . .49 Анаксимен (586 – 528 до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 Все є числом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Піфагор (560 – 496 до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Одиниця та зміни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 Парменід (520 – ? до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81 Емпедокл (490 – 430 до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 Тільки атоми та пустота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 Левкіпп (450 – ? до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 Демокрит (460 – 370 до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

189

Великі школи. Академія та Ліцей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 Платон (427 – 347 до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 Аристотель (384 – 321 до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . . . .105 Евдокс (400 – 347 до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 Великі наукові досягнення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 Евклід (жив близько 300 до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . .123 Аристарх (310 – 230 до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 Ератосфен (272 – 192 до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . . . . .130 Архімед (287 – 212 до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 Аполлоній (262 – 180 до Р.Х.) . . . . . . . . . . . . . . . . .146 Початок імперії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150 Птоломей (працював між 127 та 141 рр.) . . . . .153 Додаток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167 Єгипетські дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167 1 +– 1 +– 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 Обчислимо – 2 4 5 Прості числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174 Розкладання на прості множники . . . . . . . . . . . .176 Метод складання непарних чисел Гауса . . . . . . .178 – √2 не можна записати як відношення двох цілих чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Аксіоми та постулати Евкліда . . . . . . . . . . . . . . . . .183 Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

190

Анна Парізі народилася в Римі 1961 року; закінчила фізичний факультет Римського університету «Ла Сап’єнца». Вона не доводиться родичкою Джорджо Парізі, але це прізвище стало їй у пригоді: принаймні на перше питання кожного іспиту вона могла дати правильну відповідь. Щоразу, як її запитували, чи не родичка вона Джорджо Парізі, сумлінна студентка відповідала: «Ні!» Протягом приблизно десяти років Анна Парізі займалася науковою роботою в галузях геофізики та фінансової математики. Від 1996 вона працює над створенням науковоAпопулярних видань для дітей. Ця її книжка отримала нагороду товариства Легамб’єнте в конкурсі на найкраще науковоAпопулярне видання. Джорджо Парізі народився в Римі 1948 року, обіймає посаду штатного викладача квантових теорій у Римському університеті «Ла Сап’єнца». Він є членом італійської академії «Лінчей» та іноземним членом Французької академії.

1992 року отримав нагороду Больцмана, а 1999 — нагороду Дірака за досягнення в галузі теоретичної фізики.

«Якби те знати»

серія книжок зі вступу до фізики Подорожуючи сторінками книжки «Магічні числа та мандрівні зірки», уявно бесідуючи з єгипетськими та вавилонськими жерцями, Фалесом, Піфагором, Демокритом, Аристотелем, Архімедом та іншими видатними філософами й науковцями стародавнього світу, проводячи маленькі досліди, дізнаючись про історичні цікавинки та розглядаючи веселі малюнки, ти довідаєшся про перші кроки на довгому шляху розвитку науки. Ти дізнаєшся про труднощі Коперніка, химерні ідеї Кеплера, проблеми Галілея, нелегку вдачу Ньютона. Якщо ти захочеш простежити за міркуваннями, спостереженнями, дослідами й доведеннями цих учених, тобі також удасться зрозуміти їхні погляди, ти зможеш разом з Галілеєм спрямувати підзорну трубу до неба, збагнути застосування могутніх математичних методів Декарта, Лейбніца та Ньютона, сформулювати закон усесвітнього тяжіння. Продовження наукової революції — в книжках «Провідник, передпокій атома» та «Подорож сонячною системою».

Для замовлень: (044) 462A5269/70 books.dovidka.com.ua

«Якби те знати»

серія книжок зі вступу до фізики, видана за керівництва Джорджо Парізі. З чого складаються зірки? Чому вони сяють? Чому камінчик падає на землю, а повітряні кулі здіймаються до неба? Скільки разів на ці питання ти чув відповідь: «Не маю ні найменшого уявлення»? А скільки пояснень видалися такими складними, що, власне, не пояснювали нічого? МІ Л

ФАЛЕ С

ЕТС Ь К ИЙ К ЛУ Б

Р НД МА СИ АК АН

АР

ИС

ТО

ТЕ

ЛЬ

Н МЕ СИ АК АН

ЕВ ДО КС

ПІФ АГО

ЕВ КЛ ІД

Р

ЕМ

РХ ТА ИС АР

ПЛАТ ОН

Давай, ! елю Аристот

ПЕ

ДО

КЛ

ПАРМ ЕНІД

АПО ЛЛО НІЙ

ЛЕВКІПП

ДЕ МО КРІ

Д АРХІМЕ

Т

СОКРАТ

ФЕН ЕРАТОС

ПТОЛОМЕЙ

Чи справді так важко збагнути, як улаштована природа? Чи, може, проблема полягає в тому, що ті, хто знає відповіді на ці запитання, пояснюють тобі надто швидко речі, які стали зрозумілими людям лише після сотень років наукових досліджень? Чи не ліпше тоді «почати з початку»? Стежачи за міркуваннями перших людей, які почали розбиратися в механізмі природи, ти зможеш дізнатися, як наукові дослідження проходили нелегким шляхом відкриттів і труднощів, влучних відповідей і задач, яких не можна було розв'язати. Подорожуючи сторінками книги «Магічні числа та мандрівні зірки», уявно бесідуючи з єгипетськими та вавилонськими жерцями, Фалесом, Піфагором, Демокритом, Аристотелем, Архімедом та іншими видатними філософами й науковцями стародавнього світу, проводячи маленькі досліди, дізнаючись про історичні цікавинки та розглядаючи веселі малюнки, ти довідаєшся про перші кроки на довгому шляху розвитку науки.