ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ

Μέρος Α΄ - Κεφάλαιο 1 : Παραγοντοποίηση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΟΝΟΠΟΙΗΣΗ 1. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) 2αx  6αy 5) 9α 2  6α 2) 6xy  3y 6) α 3  α 2β 3) 2y 2  4y 7) 3y  9y 2 4) x 2  2x 8) 12x 3  4x 2

9) x 2 y 3  xy 2 10) 6x 3 y 5  3x 2 y 2 11) 10α 4β 3  15α 2β

2. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) 2xy  4xω  6xz 4) 8α 3  12α  16α 2 5) x 3 y  x 2 y 2  xy 2 2) 4x3  x2  x 3 2 4 3) 3x  6x  9x 6) 4β 5  6α2β 3  2β 2

7) 12αβ 2  9β 2α  3α 3β 3 8) 2x 2 y 3  6x 2 y 2  2x 3 y

3. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1)  α  β  x   α  β  y 5) αβ  x  y   α  x  y  2) γ  x  y   δ  y  x  3) 4)

 x  2y  α  3  2y  x  αx  y  x  y

6) x 2  α  β   x  α  β  7) 2α  x  y   α2  y  x 

α

2

9) 2α  x  y   α3  x  y  2

10) xy  α  β   x2 y  α  β  3

8) x2 y  γ  δ   xy  δ  γ 

4. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1)  5x  3  y  1   3x  1 y  1 2)

12) 6x 2 y 2ω 3  2xy 3ω

 3α   x  y   2α  y  x 

5. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις : 1) 37  25  37  75 2) 83 123  83  23 3) 73  31 73  70  73 4) 58  61 58  28  11 58

5) 6) 7)

3)

 3x

4)

 x  5 α  1   x  3 α  1

2

 4x   α  β    x2  2x   β  α  2

2

27  14  27  13 53  74  21 53 32  18  32  21  7  32

6. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) αx  βy  βx  αy 12) 2) αx  βy  αy  βx 13) 3) 2γα  δβ  δα  2γβ 14) 4) α 2  2α  αβ  2β 15) 2 5) α  αγ  4α  4γ 16) 2 6) 3x  3y  xy  x 17) 2 7) αβ  βx  αx  x 18) 3 2 8) 3x  7x  3x  7 19) 2 2 3 9) 6x  3α x  8αx  4α 20) 10) 21αx  35αy  12x  20y 21) 2 11) 2α  3αβ  2αγ  3βγ 22)

αγ 2  2α  βγ 2  2β 6x 2  4αx  9βx  6αβ x 3  x 2 y  xy 2  y 3 α 4  3α 3  2α 2  6α x 3  2x 2ω  x 2 y  2xyω αx 3 y  βγx 3 y  αx 2ω  βγx 2ω αβx  αβy  αγx  αγy α5  α4  α3  α2  α  1 5x 3 y  10xy 3  5x 2 y 2  2x 2  4y 2  2xy αx  2αy  βx  2βy  γx  2γy 2αx 2  3βx 2  8αx  2α  12βx  3β 1

2

Μέρος Α΄ - Κεφάλαιο 1 : Παραγοντοποίηση

7. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : α) αβ  x 2  y 2   xy  α2  β2  β) αx 2  1   α  1 x 8. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις αφού πρώτα διασπάσετε κάποιον όρο τους.

1) 3α2  4αβ  β 2 3) 3α2  7αβ  2β 2 2) 2α 2  3αβ  β 2 4) 2α2  αβ  β 2 9. Οι αριθμοί α και β έχουν άθροισμα 5 και γινόμενο 3. Να βρείτε την τιμή της παράστασης A  α2β  2α  2β  αβ 2 .

10. Αν α  β  2 και αβ  8 , να βρείτε την τιμή της παράστασης A  2α2β  3β  2αβ 2  3α .

11. α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση A  α2β  3β  3α  αβ 2 . β) Αν για τους άνισους αριθμούς α και β ισχύει α2β  3α  αβ 2  3β , να αποδείξετε ότι το γινόμενο των α, β είναι 3.

12. Για τους αριθμούς α, β ισχύει ότι αβ  1  α  β . Να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους α, β είναι ίσος με 1.

13. Να λύσετε τις εξισώσεις : 1) x 2  x  0 2) 3x 2  12x  0 3) 2x 2  6x  0 4) 3x 2  5x  x 2  3x 5) 8x 2  5x  12x 2  x 6) 5  x 2  3x   4x  x  2 

7) 3x  7  x2  x    5  4x  x x 2  x x 2  9x   3x 5 2 x 2 x 2  8x x 2  6x   x 9) 6 4 3

8)

14. Ο αριθμός α όταν διαιρεθεί με το 3, δίνει υπόλοιπο 1. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός α 2  α  7 διαιρείται ακριβώς με το 9.

15. Ο αριθμός α όταν διαιρεθεί με το 3, δίνει υπόλοιπο 1, ενώ ο αριθμός β όταν διαιρεθεί με το 3, δίνει υπόλοιπο 2. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός α  β διαιρείται ακριβώς με το 3.

16. Αν ο αριθμός α είναι περιττός, να αποδείξετε ότι ο αριθμός α 2  3 διαιρείται ακριβώς με το 4.

17. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) α 2  4 4) 25  α 2 5)  x 2  49 2) β 2  1 6) y 2  3 3) x 2  16 18. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) α 2  4β 2 6) α2  β 2 γ 2 2) x 2  16y 2 7) 16α2  β 2 γ 2 3) 9α 2  γ 2 8) 16λ2  4μ2 ν 2 4)  x 2  25y 2 9) 25α 2 x 2  49β 2 y 2 5) 49α 2  β 2 10) 1  100α 2β 2 2

7)  x 2  y 2 8) β 2  100 9) 64  α 2 11) 4α 2  9β 2 12) 16x 2  25y 2 13) 49x 2  16y 2 14) 64α2  100β2

Μέρος Α΄ - Κεφάλαιο 1 : Παραγοντοποίηση

19. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) 2x 2  8 6) αx 2  αy 2 2) 32  2α 2 7) α 3  α 3) 5α 2  20 8) 20x 2  45y 2 4) 12  3y 2 9) 6  24x 2 2 2 5) 8α  18β 10) x 3  4xy 2

11) 2α 3β 2  8αγ 2 12) 12x 5 y 3  27x 3 y 5 13) 2α 4β  32β 14) α9β  αβ

20. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) x 4  y 4 5) 9α 2  25β 4 2) x 8  y 8 6) α2  β 2 γ 4 3) x 6  y 2 7) α 4  36β 2 γ 4 4) x 2  16y 4 8) 64x 2  4y 4 ω 6 21. Να βρείτε τα αποτελέσματα : 1) 752  252 2) 10002  9992 3) 992  1

9) 25x 2  y 4 ω 2 10) x 2β 8  49α10

4)

252  242

5)

132  122  412  402

22. Να παραγοντοποιήσετε τις επόμενες παραστάσεις : 2 2 1)  x  2y   x 2 5) y 2   x  2y  2) 3) 4)

 α  β   25 2 49   α  3  2 4x 2   x  4y  2

6) 7) 8)

3) x 5  x  y  ω 

2

 α  β   16γ 2 2 9  α  β   25γ 2 2 2  x  y    3x  2y  2

23. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 2 1) αx2  α  x  y  2) 4α3  α  β  γ 

 2α  5β    3α  4β  2 2  3x  1   x  1

9)

4) αx3  α3 x  y  ω 

2

5) α3 x5  β  γ   αx  β  γ 

2

2

2

2

24. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) αx 2  βy 2  βx 2  αy 2 2) α2 x  2β 2  2α 2  β 2 x 3) 2yx 2  5x 2  2yω 2  5ω 2 4) 9α2 x  4β 2 y  9α 2 y  4β 2 x 5) 12α 2 x  8α 2  3x  2 6) 2αx 2  18αω 2  5x 2  45ω 2 7) 5α 2β  2α 2  20β  8

8) 9) 10) 11) 12) 13)

α2 x 2  β2 y 2  α2 y 2  β2 x 2 αβx 2  γαy 2  βαy 2  αγx 2 2α 2 x 2  6α 2 x  2x 2  6x 6α 5  3α 4  24α 3  12α 2 αx 3 y  αxy 3  βx 3 y  βxy 3 αx 4  β  βx 4  α

25. Δίνεται η παράσταση A  α 2 x  2β 2 y  xβ 2  2yα 2 .

1) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση Α.

2) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α, αν οι αριθμοί α και β είναι αντίθετοι.

3

2

Μέρος Α΄ - Κεφάλαιο 1 : Παραγοντοποίηση

26. Δίνεται η παράσταση A  3x 3 y 2  y  3x  x 2 y 3 .

1) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση Α.

2) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α, αν οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι.

27. Να λύσετε τις εξισώσεις : 1) x 3  16x  0 2) 2x 3  50x  0 3) x 3  9x 4) 12x 3  27x

5) 6) 7) 8)

9) 2x  3x  1  8x 3

18x  2x 3 3x 3  5x  x 3  3x 12x  x 3  x 3  6x

2

10) x 3  2x 2  x  2  0 11) x 3  x 2  9x  9  0

x  x  1  9x  0 2

28. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Aˆ  90o ). Να βρείτε την πλευρά ΑΒ όταν : α) BΓ  25 και ΑΓ  24 β) BΓ  41 και ΑΓ  40 γ) BΓ  10,4 και ΑΓ  9,6 29. Να αποδείξετε ότι το τετράγωνο ενός περιττού αριθμού μειωμένο κατά 1 είναι πολλαπλάσιο του 4.

30. Να αποδείξετε ότι η διαφορά τετραγώνων δύο διαδοχικών περιττών αριθμών είναι πολλαπλάσιο του 4.

31. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 5) ω 2  12ω  36 1) x 2  2x  1 2) x 2  4x  4 6) 4α 2  4α  1 3) α 2  6α  9 7) 9x 2  12x  4 4) y 2  8y  16 8) 16y 2  24y  9 32. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) α 2  4α  4 4) 100  20β  β 2 2)  x 2  8x  16 5) 9α 2  24αβ  16β 2 2 2 3) 2xy  x  y 6) 49x 2  28αx  4α 2 33. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) x  2 xy  y 1 2) α 2  α  4 2 3) x  2 3x  3

4) 4y 2  4 5y  5 5) α 4  2α2β 2  β 4 6) 2x  2 2x  1

34. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 2 1)  x  y   2  x  y   1 2)

α  β

2

9) 4ω 2  20ω  25 10) α 2  β 2  2αβ 11) 49  14x  x 2

3)

 4α  β  4

4)

35. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) 3x 2  6x  3 2) αx 2  2αxy  αy 2 3) 2x 3  4x 2 y  2xy 2 4) αx 3 y  2αx 2 y 2  αxy 3

 x  1  6  x  1  9 2  ω  3  8  ω  3   16 2

5) x 3  6x 2  9x 6) 3x 3 y  3xy 3  6x 2 y 2 7) 18β 4  24β 3  8β 2

4

Μέρος Α΄ - Κεφάλαιο 1 : Παραγοντοποίηση

36. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) α2  β 2  2αβ  2α  2β 2) x 2  y 2  x  y  2xy 3) 4α 2  6α  β 2  3β  4αβ 4) x 2  6xy  9y 2  2x  6y

5) x 2  y 2  5αx  5αy  2xy 6) x 2  9ω 2  2x  6ω  6xω 7) 4α2  6α  25β 2  15β  20αβ

37. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) x 2  4x  4  y 2 2) x 2  9  2xy  y 2

7) 9α2  6αβ  16γ 2  β2 8) 9x 2  4yω  y 2  4ω 2 9) 4x 2  9y 2  36ω2  12xy 10) 40αβ  1  16α2  25β 2 11) α2  β2  γ 2  δ 2  2αβ  2γδ

3) α 2  β 2  γ 2  2βγ 4) x 2  y 2  6y  9 5) 9x 2  36y 2  30x  25 6) 4α2  25β 2  4α  1

38. Δίνονται τα πολυώνυμα P  x   x 2  4x  4 και Q  x   4x 2  4x  1 .

1) Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα P  x  και Q  x  .

2) Να λύσετε την εξίσωση P  x   Q  x   0 .

39. Δίνεται το πολυώνυμο P  x   4x 2  20x  25 .

1) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο P  x  .

2) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : i)

P 11

ii)

P  27 

40. Δίνεται το επόμενο σχήμα.

1) Να εκφράσετε με τη βοήθεια των x και y το εμβαδόν του παραπάνω σχήματος.

2) Να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου που έχει το ίδιο εμβαδόν με το προηγούμενο σχήμα.

41. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) x 2  3x  2 5) x 2  6x  8 3) y 2  5y  6 2) ω 2  4ω  3 4) x 2  7x  10 42. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) x 3  8 4) β 3  1 2) α 3  64 5) 27α 3  1 3) y 3  27 6) 8x 3  27

5

7) 1  64α 3 8) x 3  8y 3

Μέρος Α΄ - Κεφάλαιο 1 : Παραγοντοποίηση

43. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : 1) α2  4αβ 2  4β 2  1 2) α 3β 3  α 3  β 3  1

9)

5

2

ω

2

 4   4  ω2

10) α3  2α2  α  αβ  β 11) x 2  6xy  9y 2  x  3y 12) α 2  2α  1  β 2  4β  4

3) x  x  x  x 4) 8x 4  4x 3  2x 2 5) 15x 2 y 3  6x 3 y 2  3xy 2 1 2 3 x 9 x 6) 16 2 2 7)  x  α  x   y 2  α  y 7

 ω  1

3

13)  3α  9   α 2  9    α  3 

2

14) α 8  27α 5  α 4  27α

15)  2ω  4   ω 2  1   3ω  6  ω  1

8) β  β  1  α  α  1 44. Δίνεται το πολυώνυμο P  x   x 3  5x 2  4x  20 .

1) Να παραγοντοποιήσετε το P  x  .

2) Να λύσετε την εξίσωση P  x   0 .

45. Δίνεται το πολυώνυμο P  x   2x 3  3x 2  2x  3 .

1) Να παραγοντοποιήσετε το P  x  .

2) Να λύσετε την εξίσωση 5x 3  x 2  3x  3x 3  2x 2  5x  3 .

6

2