9789162291341

Origo

Origo

Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund

Origo är en modern matematikbok för gymnasieskolan och vuxenutbildning med övningar, problemlösning och kommunikationsuppgifter på olika nivåer, mål, test och tankekartor som kontrollstationer, matematikens historia och undersökningar som ger fördjupade kunskaper.

Serien består av

Origo Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund

Origo kurs AB för NV och TE Origo kurs C för NV och TE Origo kurs D för NV och TE Origo kurs E för NV och TE Origo kurs A för SP och ES Origo kurs B för SP och ES Origo kurs C för SP och ES Origo Lärarhandledning kurs A Origo Lärarhandledning kurs B Origo Lärarhandledning kurs C Origo Lärarhandledning kurs D Origo Lärarhandledning kurs E

ISBN 978-91-622-9134-1

www.bonnierutbildning.se

(9134-1)

Matematik kurs E för naturvetenskapliga och tekniska program B ON N I E R S

Till läsaren DEN HÄR BOKEN i serien ORIGO är skriven för dig som går Naturvetenskaps-

eller Teknikprogrammet och ska läsa Matematik E. I ORIGO finns övningar och problemlösning på alla nivåer. Men matematik är inte enbart en fråga om att räkna. Här betonas också vikten av att delta i matematiska samtal.

• ORIGO kurs E är indelad i tre kapitel. Varje kapitel inleds med att ange de förkunskaper som du har nytta av och de mål som du förväntas uppnå.

BONNIER UTBILDNING Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Hemsida: www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08–696 86 00 Telefax 08–696 86 10

Redaktion: Karolina Danström och Olof Edblom Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Jakob Robertsson och Yann Robardey Bildredaktör: Margareta Söderberg

Origo kurs E för NV och TE ISBN 978-91–622–9134-1 © 2009 Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Bonnier Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Printed in Italy by STIGE S.p.A. Turin 2009

• Teorigenomgång följs av lösta exempel som belyser teorin. I samband med exemplen finns kortfattade instruktioner till hur du kan använda din grafritande räknare.

• Det finns uppgifter på tre olika nivåer och av olika karaktär. Öppna uppgifter har inte ett givet svar och kräver många gånger en matematisk diskussion. A-uppgifterna är standarduppgifter som i regel kan lösas i ett steg, medan B-uppgifterna ofta kräver en lösning i flera steg. C-uppgifterna är mer komplexa till sin karaktär och för att lösa dem behöver du ibland använda matematikkunskaper från flera områden.

• Efter varje delkapitel kommer Diskutera och fundera. Där kan du tillsammans med din lärare och dina kamrater utveckla det matematiska innehållet i delkapitlet.

• I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv.

• Blandade uppgifter finns på tre nivåer och innehåller övningar, problemlösning och diskussionsuppgifter. Här får du möjlighet att befästa dina kunskaper från hela kapitlet.

• Du kan tillsammans med din lärare och dina kamrater göra en eller flera Undersökningar. Dessa har mer laborativ karaktär och kräver ibland tillgång till material eller dator.

• Kapiteltest och Tankekarta avslutar kapitlet. Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop och är också en bra utgångspunkt för ett muntligt test. Testet och tankekartan är din kontrollstation för att du ska veta att du har uppnått kapitelmålen.

Lycka till!

Författarna

Innehåll 1 Derivator och integraler 1.1 Derivator

6

...................................

Deriveringsregler 8 Maximi- och minimiproblem 12 Förändringshastigheter och kedjeregeln Implicit derivering 19

8

16

1.2 Volymberäkningar med hjälp av integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Primitiva funktioner 22 Areaberäkningar med hjälp av integraler 26 Volymberäkning genom rotation krin x-axeln 31 Volymberäkning genom rotation kring y-axeln 35

Historia: Arkimedes och klotets volym . . 39 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2 Komplexa tal

46

2.1 Aritmetik och ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

82

3.1 Vad är en differentialekvation? . . . . . . . . . . 84 Lösningen till en differentialekvation 84 Den primitiva funktionen som lösning till en differentialekvation 88 Riktningsfält 90 Eulers stegmetod 92

3.2 Differentialekvationer av första ordningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Den homogena differentialekvationen y’ + ay = 0 96 Den inhomogena differentialekvationen y’ + ay = f(x) 98 Naturvetenskapliga tillämpningar 102

3.3 Differentialekvationer av andra ordningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Den homogena differentialekvationen y’’ + ay’ + by = 0 108 Den karakteristiska ekvationen ger en dubbelrot Den karakteristiska ekvationen ger två icke-reella rötter 114 Den inhomogena differentialekvationen y’’ + ay’ + by = f(x) 116

112

Historia: Matematikens historia – en tidsresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

En utvidgning av talsystemet 48 Aritmetik med komplexa tal 51 Andragradsekvationer 54 Ekvationer av högre grad 57

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2.2 Det komplexa talplanet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Polär form 61 Multiplikation och division med tal i polär form Potensformen ez 66 Potenser av komplexa tal 70 Ekvationen zn = w 72

3 Differentialekvationer

Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

64

Historia: Imaginär hjälp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Facit

128

Register

141

1 Derivator och

integraler Enligt integralkalkylens huvudsats är

Innehåll 1.1 Derivator 1.2 Volymberäkningar med integraler

Förkunskaper • Funktioner • Derivator • Primitiva funktioner • Integraler

Mål

b

∫ f(x) dx = F(b) – F(a), där F'(x) = f(x). a

T

idigare har vi lärt oss att derivera och integrera olika typer av funktioner. Vi har också lärt oss att se samband mellan derivator och primitiva funktioner. I det här kapitlet ska vi använda och fördjupa dessa kunskaper. Till en början kommer vi att repetera derivator och integraler, sedan kommer vi att arbeta med förändringshastigheter och derivatan av sammansatta funktioner. Vi kommer också att utvidga användningen av integraler genom att lära oss att beräkna volymen av kroppar som bildas när en kurva roterar runt någon av koordinataxlarna.

• Kunna derivera och integrera olika typer av funktioner • Kunna lösa problem med hjälp av derivator och integraler • Förstå och kunna använda kedjeregeln • Kunna tillämpa implicit derivering • Kunna beräkna volymer av rotationskroppar med hjälp av integraler

6

7

1 Derivator och

integraler Enligt integralkalkylens huvudsats är

Innehåll 1.1 Derivator 1.2 Volymberäkningar med integraler

Förkunskaper • Funktioner • Derivator • Primitiva funktioner • Integraler

Mål

b

∫ f(x) dx = F(b) – F(a), där F'(x) = f(x). a

T

idigare har vi lärt oss att derivera och integrera olika typer av funktioner. Vi har också lärt oss att se samband mellan derivator och primitiva funktioner. I det här kapitlet ska vi använda och fördjupa dessa kunskaper. Till en början kommer vi att repetera derivator och integraler, sedan kommer vi att arbeta med förändringshastigheter och derivatan av sammansatta funktioner. Vi kommer också att utvidga användningen av integraler genom att lära oss att beräkna volymen av kroppar som bildas när en kurva roterar runt någon av koordinataxlarna.

• Kunna derivera och integrera olika typer av funktioner • Kunna lösa problem med hjälp av derivator och integraler • Förstå och kunna använda kedjeregeln • Kunna tillämpa implicit derivering • Kunna beräkna volymer av rotationskroppar med hjälp av integraler

6

7

Bestäm först skärningspunkterna. Beräkna sedan arean av det skuggade området med hjälp av primitiva funktioner.

1221

y

y 1

y = x2

1 y = ​ __ ​ x

x

1 1

1

a

1227 Beräkna arean av området som i intervallet π π ​ ​ begränsas av kurvorna y = cos 2x – __ ​ ​ ≤ x ≤ __ 4 4 och y = cos (2x + π).

y = –2x

y y = x2 – 5x

x

Rotationskropp

1228 a) Vilket är det största intervall a ≤ x ≤ b, där

1

b

1223

A1 –π

π ​ __ ​ 2

–1

y = sin x x π A2

värdet av integralen ∫​ ​ ​(x2 – 3x – 10)​dx är a negativt?

2π

c-uppgifter

a) Använd integraler för att beteckna arean av område A1. b) Använd integraler för att beteckna arean av område A2. c) Beräkna arean av hela det skuggade området.

b-uppgifter

Beräkna arean av det skuggade området exakt.

1229 1

π –1

y

y

1

–π

π

A1

2π

x 1 A3

1 y = –​ __ ​ 2

–1 2

1225 Hitta en funktion f, så att ∫​ ​ ​f(x)​dx < 0 –2 ö och arean av området mellan funktionens graf, x-axeln samt linjerna x = –2 och x = 2 är större än noll.

a) Beräkna arean av område A1. b) Beräkna arean av område A2. c) Beräkna arean av område A3.

derivator och integraler • 1.2 volymberäkningar med hjälp av integraler

1

x 1

y

__

y = 2​√x ​

n

n

k=1

k=1

r = y(xk)

1

x 1

2

3

4

V ≈ ​∑ ​π rk2​∙ Δx = ∑ ​ ​π yk2​∙ Δx Om vi låter Δx gå mot noll och n mot oändligheten, så kan rotationskroppens volym beräknas med integralen 4

A2

y = sin x x

2π Radien vid x = xk är rk = y(xk) = yk

1230 Figuren visar graferna som hör till f(x) = 2 – x2, g(x) = –x och h(x) = x.

1

Om Δx är tillräckligt litet, så kan hela kroppens volym uppskattas med summan av alla n stycken skivornas volymer

x

1224 Beräkna arean av det skuggade området.

__

y = 2​√x ​

ΔV = basarean ∙ höjden = πr2 ∙ Δx = πy2 ∙ Δx y = sin x

–π

y

Volymen ΔV av en cirkulär skiva med tjockleken Δx och med radien r = y(x) blir

y y = cos x

__

Om vi låter funktionskurvan y = 2​√x ​rotera kring x-axeln, så bildas ett objekt som inom matematiken kallas rotationskropp. Volymen av den skuggade rotationskroppen, som bildas i intervallet 0 ≤ x ≤ 4, kan beräknas med hjälp av integraler.

När vi började studera integraler, så uppskattade vi arean under en kurva genom att dela in området i rektanglar och summera rektanglarnas areor. På ett liknande sätt kan vi uppskatta rotationskroppens volym, genom att först dela in kroppen i cirkulära skivor och sedan summera skivornas volymer.

b) Beräkna arean av området mellan grafen till f(x) = x2 – 3x – 10 och x-axeln för det största intervall där integralen har negativa värden.

y 1

30

Schackpjäser och ljusstakar är exempel på figurer som kan formas med hjälp av svarvning. Ett förenklat sätt att beskriva tekniken är att man låter en träeller metallbit rotera kring sin egen axel samtidigt som man formar biten efter önskad modell. Rotationen gör att schackpjäserna och ljusstakarna blir runda och får symmetriska former.

x

1

1222

Volymberäkning genom rotation kring x-axeln

1226 Bestäm talet a exakt, så att arean av det skuggade området blir 2 areaenheter.

4

4

Δx

[ ]

__ x2 4 V = ​∫ ​ ​πy2​dx = π ∫​ ​ ​(2​√x ​ ​ ​​ ​​ = 32π v.e. ​)2​dx = π ∫​ ​ ​4x​dx = 4π​​ __ 2 0 0 0 0

dx är ett sätt att skriva gränsvärdet Δx • 0

Volymen av en rotationskropp kring x-axeln Om funktionen f(x) är kontinuerlig i intervallet a ≤ x ≤ b och funktionskurvan y = f(x) roterar kring x-axeln i a ≤ x ≤ b, så kan rotationskroppens volym V beräknas enligt b

V = π ∫​ ​ ​(f(x))2​dx a

derivator och integraler • 1.2 volymberäkningar med hjälp av integraler

31

Bestäm först skärningspunkterna. Beräkna sedan arean av det skuggade området med hjälp av primitiva funktioner.

1221

y

y 1

y = x2

1 y = ​ __ ​ x

x

1 1

1

a

1227 Beräkna arean av området som i intervallet π π ​ ​ begränsas av kurvorna y = cos 2x – __ ​ ​ ≤ x ≤ __ 4 4 och y = cos (2x + π).

y = –2x

y y = x2 – 5x

x

Rotationskropp

1228 a) Vilket är det största intervall a ≤ x ≤ b, där

1

b

1223

A1 –π

π ​ __ ​ 2

–1

y = sin x x π A2

värdet av integralen ∫​ ​ ​(x2 – 3x – 10)​dx är a negativt?

2π

c-uppgifter

a) Använd integraler för att beteckna arean av område A1. b) Använd integraler för att beteckna arean av område A2. c) Beräkna arean av hela det skuggade området.

b-uppgifter

Beräkna arean av det skuggade området exakt.

1229 1

π –1

y

y

1

–π

π

A1

2π

x 1 A3

1 y = –​ __ ​ 2

–1 2

1225 Hitta en funktion f, så att ∫​ ​ ​f(x)​dx < 0 –2 ö och arean av området mellan funktionens graf, x-axeln samt linjerna x = –2 och x = 2 är större än noll.

a) Beräkna arean av område A1. b) Beräkna arean av område A2. c) Beräkna arean av område A3.

derivator och integraler • 1.2 volymberäkningar med hjälp av integraler

1

x 1

y

__

y = 2​√x ​

n

n

k=1

k=1

r = y(xk)

1

x 1

2

3

4

V ≈ ​∑ ​π rk2​∙ Δx = ∑ ​ ​π yk2​∙ Δx Om vi låter Δx gå mot noll och n mot oändligheten, så kan rotationskroppens volym beräknas med integralen 4

A2

y = sin x x

2π Radien vid x = xk är rk = y(xk) = yk

1230 Figuren visar graferna som hör till f(x) = 2 – x2, g(x) = –x och h(x) = x.

1

Om Δx är tillräckligt litet, så kan hela kroppens volym uppskattas med summan av alla n stycken skivornas volymer

x

1224 Beräkna arean av det skuggade området.

__

y = 2​√x ​

ΔV = basarean ∙ höjden = πr2 ∙ Δx = πy2 ∙ Δx y = sin x

–π

y

Volymen ΔV av en cirkulär skiva med tjockleken Δx och med radien r = y(x) blir

y y = cos x

__

Om vi låter funktionskurvan y = 2​√x ​rotera kring x-axeln, så bildas ett objekt som inom matematiken kallas rotationskropp. Volymen av den skuggade rotationskroppen, som bildas i intervallet 0 ≤ x ≤ 4, kan beräknas med hjälp av integraler.

När vi började studera integraler, så uppskattade vi arean under en kurva genom att dela in området i rektanglar och summera rektanglarnas areor. På ett liknande sätt kan vi uppskatta rotationskroppens volym, genom att först dela in kroppen i cirkulära skivor och sedan summera skivornas volymer.

b) Beräkna arean av området mellan grafen till f(x) = x2 – 3x – 10 och x-axeln för det största intervall där integralen har negativa värden.

y 1

30

Schackpjäser och ljusstakar är exempel på figurer som kan formas med hjälp av svarvning. Ett förenklat sätt att beskriva tekniken är att man låter en träeller metallbit rotera kring sin egen axel samtidigt som man formar biten efter önskad modell. Rotationen gör att schackpjäserna och ljusstakarna blir runda och får symmetriska former.

x

1

1222

Volymberäkning genom rotation kring x-axeln

1226 Bestäm talet a exakt, så att arean av det skuggade området blir 2 areaenheter.

4

4

Δx

[ ]

__ x2 4 V = ​∫ ​ ​πy2​dx = π ∫​ ​ ​(2​√x ​ ​ ​​ ​​ = 32π v.e. ​)2​dx = π ∫​ ​ ​4x​dx = 4π​​ __ 2 0 0 0 0

dx är ett sätt att skriva gränsvärdet Δx • 0

Volymen av en rotationskropp kring x-axeln Om funktionen f(x) är kontinuerlig i intervallet a ≤ x ≤ b och funktionskurvan y = f(x) roterar kring x-axeln i a ≤ x ≤ b, så kan rotationskroppens volym V beräknas enligt b

V = π ∫​ ​ ​(f(x))2​dx a

derivator och integraler • 1.2 volymberäkningar med hjälp av integraler

31

Kapitel 1

1 Använd grafen och bestäm var y E C A

D

y = f(x)

F x

B

a) y' = 0

b) y' > 0

c) y'' < 0

d) y'' = 0 x2

dy 1– x 2 Visa att ___ = ________ om y = _____ 2 2 2 dx (x + 1) x +1 3 När man tömmer en vattentank kan man beskriva vattenvolymen V dm3 efter t timmar med funktionen V(t) = 200(50 – t)2. a) Bestäm den genomsnittliga hastigheten som vattnet rinner ut med under de 10 första timmarna. b) Bestäm med vilken hastighet vattnet rinner ut efter 5 timmar.

4 Bestäm största och minsta värdet av f(x) = x3 – 12x – 2 i intervallet –3 ≤ x ≤ 5.

5 Beräkna arean mellan x-axeln och kurvan

Derivator och integraler 7 Visa att förändringshastigheten för volymen av en sfär som utvidgas kan skrivas dV dr ___ = 4πr2 __. dt dt 8 Jonas vill tillverka en låda utan lock som ska rymma 4 liter. Bottenarean ska vara kvadratisk. Bestäm de mått på lådan som gör att det går åt minst material.

Derivator

Primitiva funktioner

• geometrisk tolkning

• F'(x) = f(x)

• förändringshastigheten i en punkt

• samtliga primitiva funktioner till f(x)

• derivatan som funktion

• primitiva funktioner med villkor

taNkEkarta

kaPitELtEst

?

!

• produktregeln, kvotregeln, kedjeregeln • derivatans nollställen

9 Bestäm den area som begränsas av kurvorna a) f(x) =

x2

• bestämning av extrempunkter

Integraler • ∫f(x) dx = [F(x)]

+ x – 2 och g(x) = x + 2

b

b) f(x) = x2 + 3x och g(x) = –x2 – 3x

b= a

a

10 Bestäm konstanterna a och b så att linjen y = –2x + 6 är en tangent till kurvan y = x2 + ax + b i punkten (1, 4).

11 Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas då kurvan y = x2 i intervallet 1 ≤ x ≤ 5 får rotera kring x-axeln.

12 Magda arbetar i en glasskiosk och fyller glasstrutar med mjukglass. Hur snabbt stiger glassen, då struten är fylld med glass till 8 cm?

Strutarna fylls på med hastigheten 50 cm3/s.

10

Förändringshastigheter och kedjereglen

F(b) – F(a), där F'(x) = f(x)

• räkneregler för integraler • areaberäkningar

• volymförändringar dV ___ dV ___ dr ___ = · dt dr dt

Areaberäkningar

• implicit derivering

• arean är alltid ett positivt tal • arean under en kurva • arean av områden mellan två kurvor • arean av områden kring x-axeln

(cm)

__

a) y = 2√x i intervallet mellan x = 1 och x = 4 e2x + 1

b) y = i intervallet mellan x = –1 och x = 0 6 En partikel rör sig med hastigheten v(t) = t2 – t + 2 cm/s, 0 ≤ t ≤ 5. Beräkna sträckan som partikeln rör sig under de fyra första sekunderna.

44

derivator och integraler • kapiteltest

Volymberäkningar 18

• rotationskropp b

∫a

• volymen av en rotationskropp kring x-axeln, V = π (f(x))2 dx

13 En skål har samma form som den kropp som bildas då området mellan kurvan y = x2, y-axeln och linjen y = 5 får rotera kring y-axeln. Bestäm skålens volym.

b

∫a

• volymen av en rotationskropp kring y-axeln, V = π (f(y))2 dy

derivator och integraler • tankekarta

45

Kapitel 1

1 Använd grafen och bestäm var y E C A

D

y = f(x)

F x

B

a) y' = 0

b) y' > 0

c) y'' < 0

d) y'' = 0 x2

dy 1– x 2 Visa att ___ = ________ om y = _____ 2 2 2 dx (x + 1) x +1 3 När man tömmer en vattentank kan man beskriva vattenvolymen V dm3 efter t timmar med funktionen V(t) = 200(50 – t)2. a) Bestäm den genomsnittliga hastigheten som vattnet rinner ut med under de 10 första timmarna. b) Bestäm med vilken hastighet vattnet rinner ut efter 5 timmar.

4 Bestäm största och minsta värdet av f(x) = x3 – 12x – 2 i intervallet –3 ≤ x ≤ 5.

5 Beräkna arean mellan x-axeln och kurvan

Derivator och integraler 7 Visa att förändringshastigheten för volymen av en sfär som utvidgas kan skrivas dV dr ___ = 4πr2 __. dt dt 8 Jonas vill tillverka en låda utan lock som ska rymma 4 liter. Bottenarean ska vara kvadratisk. Bestäm de mått på lådan som gör att det går åt minst material.

Derivator

Primitiva funktioner

• geometrisk tolkning

• F'(x) = f(x)

• förändringshastigheten i en punkt

• samtliga primitiva funktioner till f(x)

• derivatan som funktion

• primitiva funktioner med villkor

taNkEkarta

kaPitELtEst

?

!

• produktregeln, kvotregeln, kedjeregeln • derivatans nollställen

9 Bestäm den area som begränsas av kurvorna a) f(x) =

x2

• bestämning av extrempunkter

Integraler • ∫f(x) dx = [F(x)]

+ x – 2 och g(x) = x + 2

b

b) f(x) = x2 + 3x och g(x) = –x2 – 3x

b= a

a

10 Bestäm konstanterna a och b så att linjen y = –2x + 6 är en tangent till kurvan y = x2 + ax + b i punkten (1, 4).

11 Beräkna volymen av den rotationskropp som bildas då kurvan y = x2 i intervallet 1 ≤ x ≤ 5 får rotera kring x-axeln.

12 Magda arbetar i en glasskiosk och fyller glasstrutar med mjukglass. Hur snabbt stiger glassen, då struten är fylld med glass till 8 cm?

Strutarna fylls på med hastigheten 50 cm3/s.

10

Förändringshastigheter och kedjereglen

F(b) – F(a), där F'(x) = f(x)

• räkneregler för integraler • areaberäkningar

• volymförändringar dV ___ dV ___ dr ___ = · dt dr dt

Areaberäkningar

• implicit derivering

• arean är alltid ett positivt tal • arean under en kurva • arean av områden mellan två kurvor • arean av områden kring x-axeln

(cm)

__

a) y = 2√x i intervallet mellan x = 1 och x = 4 e2x + 1

b) y = i intervallet mellan x = –1 och x = 0 6 En partikel rör sig med hastigheten v(t) = t2 – t + 2 cm/s, 0 ≤ t ≤ 5. Beräkna sträckan som partikeln rör sig under de fyra första sekunderna.

44

derivator och integraler • kapiteltest

Volymberäkningar 18

• rotationskropp b

∫a

• volymen av en rotationskropp kring x-axeln, V = π (f(x))2 dx

13 En skål har samma form som den kropp som bildas då området mellan kurvan y = x2, y-axeln och linjen y = 5 får rotera kring y-axeln. Bestäm skålens volym.

b

∫a

• volymen av en rotationskropp kring y-axeln, V = π (f(y))2 dy

derivator och integraler • tankekarta

45

2 Komplexa tal Att något är komplext betyder att det består av många delar, som hänger samman på ett svåröverskådligt sätt.

Innehåll 2.1 Aritmetik och ekvationer 2.2 Det komplexa talplanet

Förkunskaper • Algebraiska förenklingar • Faktorisering av uttryck • Andragradsekvationer • Enkla potensekvationer • Trigonometri

Mål • Kunna utföra beräkningar med komplexa tal skrivna i olika former • Kunna omvandla komplexa tal mellan formen a + bi, polär form och potensform • Kunna avläsa och representera tal geometriskt i det komplexa talplanet • Kunna lösa andragradsekvationer och enkla potensekvationer med reella koeffi cienter

N

är vi tidigare har löst andragradekvationer av typen x2 = –1 har vi sagt att de saknar reella lösningar. I det här kapitlet kommer vi att införa imaginära tal. Med hjälp av dem kommer vi att kunna teckna lösningarna, inte bara till ekvationen x2 = –1, utan till alla andragradsekvationer och potensekvationer.

Det har visat sig att många beräkningar blir enklare om man använder imaginära tal. Till exempel om man vill beskriva ström och spänning i en växelströmskrets.

• Kunna lösa polynomekvationer med hjälp av faktorisering • Kunna beräkna potenser av komplexa tal

46

47

2 Komplexa tal Att något är komplext betyder att det består av många delar, som hänger samman på ett svåröverskådligt sätt.

Innehåll 2.1 Aritmetik och ekvationer 2.2 Det komplexa talplanet

Förkunskaper • Algebraiska förenklingar • Faktorisering av uttryck • Andragradsekvationer • Enkla potensekvationer • Trigonometri

Mål • Kunna utföra beräkningar med komplexa tal skrivna i olika former • Kunna omvandla komplexa tal mellan formen a + bi, polär form och potensform • Kunna avläsa och representera tal geometriskt i det komplexa talplanet • Kunna lösa andragradsekvationer och enkla potensekvationer med reella koeffi cienter

N

är vi tidigare har löst andragradekvationer av typen x2 = –1 har vi sagt att de saknar reella lösningar. I det här kapitlet kommer vi att införa imaginära tal. Med hjälp av dem kommer vi att kunna teckna lösningarna, inte bara till ekvationen x2 = –1, utan till alla andragradsekvationer och potensekvationer.

Det har visat sig att många beräkningar blir enklare om man använder imaginära tal. Till exempel om man vill beskriva ström och spänning i en växelströmskrets.

• Kunna lösa polynomekvationer med hjälp av faktorisering • Kunna beräkna potenser av komplexa tal

46

47

7 Exempel:

a) x2 = –25

Lösning:

Aritmetik med komplexa tal

Lös ekvationerna

a) x2 = –25

x2 = 25i2

x = ±5i

b)

3x2

3x2 = –243

x2

x = ±9i

b) 3x2 + 243 = 0

Ordboken

Addition

Aritmetik kommer av grekiskans aritmtik, som betyder räknekonst.

Eftersom i2 = –1, så är –25 = 25i2 Vilka tal i kvadrat är 25i2?

Subtraktion

+ 243 = 0

Beräkningar med de fyra räknesätten går att utföra även med komplexa tal.

Om vi ska beräkna summan av 2 + 4i och 7 + i, så adderar vi talens respektive delar med varandra. Vi får (2 + 4i) + (7 + i) = 2 + 4i + 7 + i = 2 + 7 + 4i + i = 9 + 5i Subtraktion mellan två komplexa tal går till på liknande sätt som addition.

(7 + 2i) – (5 – 8i) = 7 + 2i – 5 + 8i = 2 + 10i

Multiplikation

= –81

Multiplikation av två komplexa tal fungerar på motsvarande sätt som multiplikation av två binom i algebra. Det gäller därför att 3i · 5i = 15i2 = –15

(4 – 3i)(2 – 5i) = 4 ∙ 2 – 4 ∙ 5i – 3i ∙ 2 + 3i ∙ 5i = 8 – 20i – 6i – 15 = –7 – 26i

a-uppgifter

2107 Lös ekvationerna a)

2101 Beräkna a) 15i ∙ 3

b) (–3i) ∙ 13

c) (–8) ∙ (–5i)

d) 0,2i ∙ 0,5

2102 Beräkna genom att använda

i2

= –1

i3

b) z = i4

c) z = i5

d) z = i7

a) z =

2103 Ange ett tal som är ett ö a) rationellt tal, men inte ett heltal b) reellt tal, men inte ett rationellt tal c) komplext tal, men inte ett reellt tal 2104 Beräkna a) 7i ∙ 2i c) (–4i) ∙ (–6i)

+ 20 = 0

c) 20 + 0,5y2 = 0

b) 30 –

x2

a) x2 = –49

b) x2 = –121

c) x2 + 16 = 0

d) 9y2 + 81 = 0

2106 Förenkla så långt som möjligt a) i2 ∙ i

b) i2 ∙ i7

c) 4i3 ∙ 5i10

d) (–2i6) ∙ (–4i14)

komplexa tal • 2.1 aritmetik och ekvationer

Real- och imaginärdel

Om z = –8 + 3i, så kallar vi –8 realdelen av z och 3 imaginärdelen av z. Vi skriver Re z = –8 och Im z = 3. Observera att imaginärdelen av z är 3 och inte 3i.

Konjugat

För ett tal z = 3 + 4i, så kallas talet 3 – 4i för det konjugerande komplexa talet _ till z eller konjugatet till z. Det betecknas z​ ​ eller z* och utläses ”z-konjugat”.

=0

7 d) y2 + ___ ​ ​ = 0 25

b-uppgifter

Produkten av två konjugerande tal är alltid reell. Om a + bi är ett komplext tal, så är a – bi dess komplexa konjugat. Produkten blir

2108 Lös ekvationerna a) ai ∙ 5 = 20i

b) ai ∙ 8i = 24

c) ai ∙ ai = –16

d) 5i ∙ (–8i) ∙ ai = –10i

2109 Visa genom prövning att z = ±2i är rötter till ekvationen z5 = 16z.

2110 Låt z = in. a) Bestäm z för n = 100. b) Bestäm z för n = 243.

b) (–3i) ∙ 25i i 2i d) ​ __ ​ ∙ ​ __ ​ 2 5

2105 Lös ekvationerna

50

4x2

c) Vilka olika värden kommer z att anta för n = 1, 2, 3, …?

2111 Produkten av två rent imaginära tal är –20 och kvoten av talen är 0,8. Bestäm de två talen.

= a2 – b2i2 = =

a2

+

b2

Med konjugatregeln Eftersom i2 = –1 blir –b2i2 = –b2(–1) = b2

som är reell, eftersom både a och b är reella tal.

Division

Vill vi dividera två komplexa tal med varandra, behöver vi tänka lite annorlunda. Vi utnyttjar här att produkten mellan ett tal och dess komplexa konjugat alltid är reell. Genom att förlänga bråket med konjugatet till nämnaren, så omvandlas divisionen av två komplexa tal till division av ett komplext tal med ett reellt. Till exempel är 4 + 6i ____________ (4 + 6i)(2 – i) ______ 14 + 8i ___ 14 8 _____ ​ ​ = ​ = ​ ​ ​ = ​ ​ + ​ __ ​i 2+i

(2 + i)(2 – i)

Förlänger med 2 – i, konjugatet till nämnaren

5

5

5

(2 + i)(2 – i) = 22 – i2 = 4 – (–1) = 5

Realdel, imaginärdel och konjugat

c-uppgifter

För ett komplext tal z = a + bi, där a och b är reella tal, gäller att

2112 Ange en lösning till ekvationerna a) ai = 64

(a + bi)(a – bi) =

b) bi ∙ bi ∙ 2bi = 54

Re z = a kallas realdelen av z Im z = b kallas imaginärdelen av z _

​ = a – bi kallas det konjugerande komplexa talet till z z​

komplexa tal • 2.1 aritmetik och ekvationer

51

7 Exempel:

a) x2 = –25

Lösning:

Aritmetik med komplexa tal

Lös ekvationerna

a) x2 = –25

x2 = 25i2

x = ±5i

b)

3x2

3x2 = –243

x2

x = ±9i

b) 3x2 + 243 = 0

Ordboken

Addition

Aritmetik kommer av grekiskans aritmtik, som betyder räknekonst.

Eftersom i2 = –1, så är –25 = 25i2 Vilka tal i kvadrat är 25i2?

Subtraktion

+ 243 = 0

Beräkningar med de fyra räknesätten går att utföra även med komplexa tal.

Om vi ska beräkna summan av 2 + 4i och 7 + i, så adderar vi talens respektive delar med varandra. Vi får (2 + 4i) + (7 + i) = 2 + 4i + 7 + i = 2 + 7 + 4i + i = 9 + 5i Subtraktion mellan två komplexa tal går till på liknande sätt som addition.

(7 + 2i) – (5 – 8i) = 7 + 2i – 5 + 8i = 2 + 10i

Multiplikation

= –81

Multiplikation av två komplexa tal fungerar på motsvarande sätt som multiplikation av två binom i algebra. Det gäller därför att 3i · 5i = 15i2 = –15

(4 – 3i)(2 – 5i) = 4 ∙ 2 – 4 ∙ 5i – 3i ∙ 2 + 3i ∙ 5i = 8 – 20i – 6i – 15 = –7 – 26i

a-uppgifter

2107 Lös ekvationerna a)

2101 Beräkna a) 15i ∙ 3

b) (–3i) ∙ 13

c) (–8) ∙ (–5i)

d) 0,2i ∙ 0,5

2102 Beräkna genom att använda

i2

= –1

i3

b) z = i4

c) z = i5

d) z = i7

a) z =

2103 Ange ett tal som är ett ö a) rationellt tal, men inte ett heltal b) reellt tal, men inte ett rationellt tal c) komplext tal, men inte ett reellt tal 2104 Beräkna a) 7i ∙ 2i c) (–4i) ∙ (–6i)

+ 20 = 0

c) 20 + 0,5y2 = 0

b) 30 –

x2

a) x2 = –49

b) x2 = –121

c) x2 + 16 = 0

d) 9y2 + 81 = 0

2106 Förenkla så långt som möjligt a) i2 ∙ i

b) i2 ∙ i7

c) 4i3 ∙ 5i10

d) (–2i6) ∙ (–4i14)

komplexa tal • 2.1 aritmetik och ekvationer

Real- och imaginärdel

Om z = –8 + 3i, så kallar vi –8 realdelen av z och 3 imaginärdelen av z. Vi skriver Re z = –8 och Im z = 3. Observera att imaginärdelen av z är 3 och inte 3i.

Konjugat

För ett tal z = 3 + 4i, så kallas talet 3 – 4i för det konjugerande komplexa talet _ till z eller konjugatet till z. Det betecknas z​ ​ eller z* och utläses ”z-konjugat”.

=0

7 d) y2 + ___ ​ ​ = 0 25

b-uppgifter

Produkten av två konjugerande tal är alltid reell. Om a + bi är ett komplext tal, så är a – bi dess komplexa konjugat. Produkten blir

2108 Lös ekvationerna a) ai ∙ 5 = 20i

b) ai ∙ 8i = 24

c) ai ∙ ai = –16

d) 5i ∙ (–8i) ∙ ai = –10i

2109 Visa genom prövning att z = ±2i är rötter till ekvationen z5 = 16z.

2110 Låt z = in. a) Bestäm z för n = 100. b) Bestäm z för n = 243.

b) (–3i) ∙ 25i i 2i d) ​ __ ​ ∙ ​ __ ​ 2 5

2105 Lös ekvationerna

50

4x2

c) Vilka olika värden kommer z att anta för n = 1, 2, 3, …?

2111 Produkten av två rent imaginära tal är –20 och kvoten av talen är 0,8. Bestäm de två talen.

= a2 – b2i2 = =

a2

+

b2

Med konjugatregeln Eftersom i2 = –1 blir –b2i2 = –b2(–1) = b2

som är reell, eftersom både a och b är reella tal.

Division

Vill vi dividera två komplexa tal med varandra, behöver vi tänka lite annorlunda. Vi utnyttjar här att produkten mellan ett tal och dess komplexa konjugat alltid är reell. Genom att förlänga bråket med konjugatet till nämnaren, så omvandlas divisionen av två komplexa tal till division av ett komplext tal med ett reellt. Till exempel är 4 + 6i ____________ (4 + 6i)(2 – i) ______ 14 + 8i ___ 14 8 _____ ​ ​ = ​ = ​ ​ ​ = ​ ​ + ​ __ ​i 2+i

(2 + i)(2 – i)

Förlänger med 2 – i, konjugatet till nämnaren

5

5

5

(2 + i)(2 – i) = 22 – i2 = 4 – (–1) = 5

Realdel, imaginärdel och konjugat

c-uppgifter

För ett komplext tal z = a + bi, där a och b är reella tal, gäller att

2112 Ange en lösning till ekvationerna a) ai = 64

(a + bi)(a – bi) =

b) bi ∙ bi ∙ 2bi = 54

Re z = a kallas realdelen av z Im z = b kallas imaginärdelen av z _

​ = a – bi kallas det konjugerande komplexa talet till z z​

komplexa tal • 2.1 aritmetik och ekvationer

51

ON

På din räknare

Med hjälp av din grafritande räknare kan du göra beräkningar med komplexa tal. Se först till att din räknare är inställd på att räkna med komplexa tal. Det gör du genom att trycka MODE och markera a+bi med hjälp av piltangenterna.

8–i Vill du beräkna _____ så trycker du 3 – 2i • —— ( ) ( 8 —— 2ND 3 —— 2 i •

a-uppgifter

2122 Lös ekvationerna a) 4z = 16 + 6i

2113 Beräkna

b) 5i – 2z = 4i – 3z + 7

a) 7 + 8i + 5 + 9i

c) 4z + 20 = 85i – z

b) 3i + 2i – 5i + 6i

2123 Lös ekvationen z + iz = i.

c) 1 + 2i + 3 – 3i – 4 2ND

i

)

ENTER

(Np MaE vt 1998)

d) 5i + 7 + 3i – 16 2114 Låt z = 8 – 6i. Ange

7 Exempel: Lösning:

7 Exempel:

7 Exempel:

b) Im z

c) z

a) Re z = 15

b) Im z = –6

c) z = 15 + 6i

_

4 + 2i b) 3(i – 6) – _____ 1–i

a) –7 + 3i(2 + i) = –7 + 6i – 3 = –10 + 6i 4 + 2i b) 3(i – 6) – _____ = Förläng med konjugatet till nämnaren 1–i 4 + 4i + 2i – 2 (4 + 2i)(1 + i) = 3i – 18 – ____________ = 3i – 18 – ____________ = (1 – i)(1 + i) 1+1 2 + 6i _____ = 3i – 18 – = 3i – 18 – 1 – 3i = –19 2

b) z + Re z = 5 + 7i Subtrahera 5i från båda leden Dividera båda leden med 4

b-uppgifter 2125 Lös ekvationerna a) 2z + 14i = (3i – 5)(2 + 2i) 4i b) 3z + ____ = 1 – i 2+i 2126 Lös ekvationerna

a) (5 + 2i) + (3i + 6)

a) 3 Re z – z = 4 + 10i

b) (15 + i) + (7 – 5i)

b) 2 Im z – z = 5 Re (z + 1)

c) (4i – 2) – (5 + 4i) d) (3 – 5i) – (4i – 6) 2118 Låt z = 5 + 3i och w = 1 – 8i. Beräkna a) 2z

b) 3w – z

c) 2iw

d) 2(iz + w)

2119 Förenkla (5 + i)2 och skriv resultatet på formen a + bi.

(PB MaE 05-05)

10 2127 Bestäm det reella talet x så att Re _____ = 1. x + 4i (PB MaE 05-05) 2128 Visa att _

a) Re z – Re z = 0 för alla komplexa tal z

2120 Beräkna a) (4i + 3)(5 + 2i)

Svar: z = 3 – i

b) (0,5 + 3i)(2 – 4i)

a + bi + a = 5 + 7i 2a + bi = 5 + 7i Två komplexa tal är lika om real- och imaginärdelarna är lika 2a = 5 ger a = 2,5 och bi = 7i ger b = 7

b) Im z + Im z = 0 för alla komplexa tal z _

c) z + z är reellt för alla komplexa tal z 2129 Bestäm det komplexa tal z som uppfyller _ 3z = 2z – 3 + 2i .

z=3–i b) I ekvationen z + Re z = 5 + 7i låter vi z = a + bi. Då blir Re z = a.

2115 Ange två olika komplexa tal z1 och z2 med ö Re z1 = Re z2.

2124 Ge exempel på ett komplext tal z som uppfyl_ ö ler likheten z + z = 4.

_

Lös ekvationerna

4z = 12 – 4i

c) z

2117 Beräkna Adderar real- och imaginärdel var för sig

a) 5i + 4z = 12 + i

b) Re z

2116 Ange två olika komplexa tal z1 och z2 med ö Im z1 = –Im z2.

Beräkna

a) 5i + 4z = 12 + i Lösning:

_

a) Re z

a) –7 + 3i(2 + i) Lösning:

a) Im z

Låt z = 15 – 6i och ange

_

c) 7 + 2i – (3 + 2i)(8 – 5i) 2 i 6i d) __ + __ 3 + __ 3 2 5

(

2121 Beräkna 3 + 2i a) _____ 2+i

)(

)

7 + 3i b) _____ i

5 + 2i c) ______ –1 – 3i

Svar: z = 2,5 + 7i

52

komplexa tal • 2.1 aritmetik och ekvationer

komplexa tal • 2.1 aritmetik och ekvationer

53

ON

På din räknare

Med hjälp av din grafritande räknare kan du göra beräkningar med komplexa tal. Se först till att din räknare är inställd på att räkna med komplexa tal. Det gör du genom att trycka MODE och markera a+bi med hjälp av piltangenterna.

8–i Vill du beräkna _____ så trycker du 3 – 2i • —— ( ) ( 8 —— 2ND 3 —— 2 i •

a-uppgifter

2122 Lös ekvationerna a) 4z = 16 + 6i

2113 Beräkna

b) 5i – 2z = 4i – 3z + 7

a) 7 + 8i + 5 + 9i

c) 4z + 20 = 85i – z

b) 3i + 2i – 5i + 6i

2123 Lös ekvationen z + iz = i.

c) 1 + 2i + 3 – 3i – 4 2ND

i

)

ENTER

(Np MaE vt 1998)

d) 5i + 7 + 3i – 16 2114 Låt z = 8 – 6i. Ange

7 Exempel: Lösning:

7 Exempel:

7 Exempel:

b) Im z

c) z

a) Re z = 15

b) Im z = –6

c) z = 15 + 6i

_

4 + 2i b) 3(i – 6) – _____ 1–i

a) –7 + 3i(2 + i) = –7 + 6i – 3 = –10 + 6i 4 + 2i b) 3(i – 6) – _____ = Förläng med konjugatet till nämnaren 1–i 4 + 4i + 2i – 2 (4 + 2i)(1 + i) = 3i – 18 – ____________ = 3i – 18 – ____________ = (1 – i)(1 + i) 1+1 2 + 6i _____ = 3i – 18 – = 3i – 18 – 1 – 3i = –19 2

b) z + Re z = 5 + 7i Subtrahera 5i från båda leden Dividera båda leden med 4

b-uppgifter 2125 Lös ekvationerna a) 2z + 14i = (3i – 5)(2 + 2i) 4i b) 3z + ____ = 1 – i 2+i 2126 Lös ekvationerna

a) (5 + 2i) + (3i + 6)

a) 3 Re z – z = 4 + 10i

b) (15 + i) + (7 – 5i)

b) 2 Im z – z = 5 Re (z + 1)

c) (4i – 2) – (5 + 4i) d) (3 – 5i) – (4i – 6) 2118 Låt z = 5 + 3i och w = 1 – 8i. Beräkna a) 2z

b) 3w – z

c) 2iw

d) 2(iz + w)

2119 Förenkla (5 + i)2 och skriv resultatet på formen a + bi.

(PB MaE 05-05)

10 2127 Bestäm det reella talet x så att Re _____ = 1. x + 4i (PB MaE 05-05) 2128 Visa att _

a) Re z – Re z = 0 för alla komplexa tal z

2120 Beräkna a) (4i + 3)(5 + 2i)

Svar: z = 3 – i

b) (0,5 + 3i)(2 – 4i)

a + bi + a = 5 + 7i 2a + bi = 5 + 7i Två komplexa tal är lika om real- och imaginärdelarna är lika 2a = 5 ger a = 2,5 och bi = 7i ger b = 7

b) Im z + Im z = 0 för alla komplexa tal z _

c) z + z är reellt för alla komplexa tal z 2129 Bestäm det komplexa tal z som uppfyller _ 3z = 2z – 3 + 2i .

z=3–i b) I ekvationen z + Re z = 5 + 7i låter vi z = a + bi. Då blir Re z = a.

2115 Ange två olika komplexa tal z1 och z2 med ö Re z1 = Re z2.

2124 Ge exempel på ett komplext tal z som uppfyl_ ö ler likheten z + z = 4.

_

Lös ekvationerna

4z = 12 – 4i

c) z

2117 Beräkna Adderar real- och imaginärdel var för sig

a) 5i + 4z = 12 + i

b) Re z

2116 Ange två olika komplexa tal z1 och z2 med ö Im z1 = –Im z2.

Beräkna

a) 5i + 4z = 12 + i Lösning:

_

a) Re z

a) –7 + 3i(2 + i) Lösning:

a) Im z

Låt z = 15 – 6i och ange

_

c) 7 + 2i – (3 + 2i)(8 – 5i) 2 i 6i d) __ + __ 3 + __ 3 2 5

(

2121 Beräkna 3 + 2i a) _____ 2+i

)(

)

7 + 3i b) _____ i

5 + 2i c) ______ –1 – 3i

Svar: z = 2,5 + 7i

52

komplexa tal • 2.1 aritmetik och ekvationer

komplexa tal • 2.1 aritmetik och ekvationer

53

HISTOrIa

h

Blandade uppgifter

Imaginär hjälp Den imaginära enheten i

a-uppgifter

Under 1500-talet började matematiker inse behovet av det vi i dag kallar imaginära tal. Till en början möttes de imaginära talen med misstro. Det är också bakgrunden till namnet. Imaginär betyder ju overklig eller skenbar. Den imaginära enheten i infördes av Leonhard Euler år 1777, men det var först under 1800-talet som man fullt ut började räkna med imaginära tal.

Egentligen är inte imaginära tal konstigare än andra tal. Det är helt enkelt behovet hos användaren som avgör vilka tal som är lämpliga att använda. För en fåraherde som har behov av att räkna antalet får i sin hjord, är t.ex. de negativa talen och bråktalen lika överflödiga som imaginära tal.

Gerolamo Cardano (1501–1576).

Med hjälp av substitutionen a x = y – __ överför man den 3 allmänna tredjegradsekvationen 3 2 x + ax + bx + c = 0 till formen y3 + py = q, där koefficienterna p och q kan uttryckas i koefficienterna a, b och c. Kan man lösa ekvationen x3 + px = q, så kan man alltså lösa alla tredjegradsekvationer.

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ___________ _______

q2

p3

____

____

h ? Visa att 1 + ω + ω2 = 0

_________ _____ _________ _____

h ? Visa att 3

3

√2 + √–121 + √2 – √–121 = 4

76

komplexa tal • hiStoria

___________ _______

3

q2

p3

___________ _______

3 3 q q 2 p3 q q 2 p3 x3 = ω __ + __ + ___ + ω2 __ – __ + ___ 2 4 27 2 4 27 __ 1 √3 där ω = – __ + i___ 2 2 Uttrycken kallas Cardanos formler.

När Cardano tillämpade lösningsformeln på ekvationen x3 – 15x = 4 fick han bland annat uttrycket 3

_________ _____

c) –4 – 0,5i

d) –4i

a)

9 Lös ekvationerna a) x2 – 6x + 11 = 0

10 Låt z = 7 + 3i. Bestäm Re

2i

3

_________ _____

x1 = √2 + √–121 + √2 – √–121

____ √

–121 = 11i

Trots att uttrycket för x1 innehåller imaginära tal, så är x1 ett reellt tal, nämligen 4. På den tiden var man bara intresserad av de reella rötterna till en ekvation, men man såg ändå här för första gången nyttan av komplexa tal. Att härleda det allmänna uttrycket för x1 fram till talet 4 är mycket arbetsamt, men kräver egentligen inte mer kunskap än som ryms inom denna kurs. Även de två övriga rötterna till ekvationen x3 – 15x = 4 är reella, men det är ännu besvärligare att härleda dem.

d) (–5 – 10i)2

c) 2x2 – 76x + 1114 = 0

lm b)

c) (6i –

b) (3i + 8)(8 – 3i)

7)2

b) x2 + 20x + 221 = 0

2 Vilka tal visas i figuren?

_

a) z

2

c) |z|

c) (10 + 6i) – (17 + 6i)

lm z

b) 7 + 3i – 2i + 15 d) –(3i + 7) + (2i – 100)

z3 z4

a) 5i ∙ (–9)

b) –i ∙ 3i

c) 6i ∙ 5i ∙ (–2i)

d) 7i(4 + 6i)

5 Beräkna a) (4i + 2)(7 + 5i) 3(2i – 5) c) _______ 4i – 5

d) –2 Im z

11 De komplexa talen z1, z2, z3, z4, z5 och z6 är markerade i det komplexa talplanet nedan.

3 Beräkna a) (5 + 2i) + (6 – 5i)

b) |z|

_

4 Beräkna

q q x2 = ω2 __ + __ + ___ + ω __ – __ + ___ 2 4 27 2 4 27 ___________ _______

Om en liknande räkneoperation skrev Cardano i sin bok Ars Magna: ”Om vi bortser från den mentala tortyr det innebär, kan vi multiplicera 5 + √–15 med 5 – √–15 . Vi får då 25 – (–15) = 40, men detta är verkligen sofistikerat”.

b) 3,5 – 4i

a) (4 + 9i)2

___________ _______

3 q q 2 p3 3 q q 2 p3 x1 = __ + __ + ___ + __ – __ + ___ 2 4 27 2 4 27 3

a) –5 + 5i

d)

Det ursprungliga användningsområdet för komplexa tal var som hjälpmedel för att lösa tredjegradsekvationer. I sin bok Ars Magna presenterade Gerolamo Cardano år 1545 den allmänna lösningen till tredjegradsekvationen x3 + px = q. Han visade där att rötterna till ekvationen kan uttryckas ___________ _______

1 Rita ett komplext talplan och markera följande tal

c)

Cardanos formler

8 Beräkna

3 – 2i b) _____ 8 + 7i 6(5i – 1) d) _______ 2(3 + i)

6 För vissa komplexa tal z (z ≠ 0) gäller att Re z = 4 ∙ Im z. Ge exempel på ett sådant tal.

(PB MaE 02-05) 7 Beräkna a) (8 + 3i) – 2(2i + 1) b) (4 – 3i)(5i + 2) – (8i + 10)(i – 3) c) 2(6 + i) + (3i + 7)(7i + 3)

z2

z1 Re z

1 z5

1 z6

För vilka av talen är a) |z| = 3

b) Re z > 0

c) arg z = 45° (PB MaE 05-05) 12 Ange absolutbelopp och argument för z. a) z = eiπ/8 b) z = 4ei12° π π c) z = 8 cos ___ + i sin ___ 12 12

(

)

d) z = cos 105° + i sin 105° 13 Skriv w i formen a + bi. a) w = 8eiπ/8

b) w = e8 – i8°

komplexa tal • blandade uppgifter

77

HISTOrIa

h

Blandade uppgifter

Imaginär hjälp Den imaginära enheten i

a-uppgifter

Under 1500-talet började matematiker inse behovet av det vi i dag kallar imaginära tal. Till en början möttes de imaginära talen med misstro. Det är också bakgrunden till namnet. Imaginär betyder ju overklig eller skenbar. Den imaginära enheten i infördes av Leonhard Euler år 1777, men det var först under 1800-talet som man fullt ut började räkna med imaginära tal.

Egentligen är inte imaginära tal konstigare än andra tal. Det är helt enkelt behovet hos användaren som avgör vilka tal som är lämpliga att använda. För en fåraherde som har behov av att räkna antalet får i sin hjord, är t.ex. de negativa talen och bråktalen lika överflödiga som imaginära tal.

Gerolamo Cardano (1501–1576).

Med hjälp av substitutionen a x = y – __ överför man den 3 allmänna tredjegradsekvationen 3 2 x + ax + bx + c = 0 till formen y3 + py = q, där koefficienterna p och q kan uttryckas i koefficienterna a, b och c. Kan man lösa ekvationen x3 + px = q, så kan man alltså lösa alla tredjegradsekvationer.

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ___________ _______

q2

p3

____

____

h ? Visa att 1 + ω + ω2 = 0

_________ _____ _________ _____

h ? Visa att 3

3

√2 + √–121 + √2 – √–121 = 4

76

komplexa tal • hiStoria

___________ _______

3

q2

p3

___________ _______

3 3 q q 2 p3 q q 2 p3 x3 = ω __ + __ + ___ + ω2 __ – __ + ___ 2 4 27 2 4 27 __ 1 √3 där ω = – __ + i___ 2 2 Uttrycken kallas Cardanos formler.

När Cardano tillämpade lösningsformeln på ekvationen x3 – 15x = 4 fick han bland annat uttrycket 3

_________ _____

c) –4 – 0,5i

d) –4i

a)

9 Lös ekvationerna a) x2 – 6x + 11 = 0

10 Låt z = 7 + 3i. Bestäm Re

2i

3

_________ _____

x1 = √2 + √–121 + √2 – √–121

____ √

–121 = 11i

Trots att uttrycket för x1 innehåller imaginära tal, så är x1 ett reellt tal, nämligen 4. På den tiden var man bara intresserad av de reella rötterna till en ekvation, men man såg ändå här för första gången nyttan av komplexa tal. Att härleda det allmänna uttrycket för x1 fram till talet 4 är mycket arbetsamt, men kräver egentligen inte mer kunskap än som ryms inom denna kurs. Även de två övriga rötterna till ekvationen x3 – 15x = 4 är reella, men det är ännu besvärligare att härleda dem.

d) (–5 – 10i)2

c) 2x2 – 76x + 1114 = 0

lm b)

c) (6i –

b) (3i + 8)(8 – 3i)

7)2

b) x2 + 20x + 221 = 0

2 Vilka tal visas i figuren?

_

a) z

2

c) |z|

c) (10 + 6i) – (17 + 6i)

lm z

b) 7 + 3i – 2i + 15 d) –(3i + 7) + (2i – 100)

z3 z4

a) 5i ∙ (–9)

b) –i ∙ 3i

c) 6i ∙ 5i ∙ (–2i)

d) 7i(4 + 6i)

5 Beräkna a) (4i + 2)(7 + 5i) 3(2i – 5) c) _______ 4i – 5

d) –2 Im z

11 De komplexa talen z1, z2, z3, z4, z5 och z6 är markerade i det komplexa talplanet nedan.

3 Beräkna a) (5 + 2i) + (6 – 5i)

b) |z|

_

4 Beräkna

q q x2 = ω2 __ + __ + ___ + ω __ – __ + ___ 2 4 27 2 4 27 ___________ _______

Om en liknande räkneoperation skrev Cardano i sin bok Ars Magna: ”Om vi bortser från den mentala tortyr det innebär, kan vi multiplicera 5 + √–15 med 5 – √–15 . Vi får då 25 – (–15) = 40, men detta är verkligen sofistikerat”.

b) 3,5 – 4i

a) (4 + 9i)2

___________ _______

3 q q 2 p3 3 q q 2 p3 x1 = __ + __ + ___ + __ – __ + ___ 2 4 27 2 4 27 3

a) –5 + 5i

d)

Det ursprungliga användningsområdet för komplexa tal var som hjälpmedel för att lösa tredjegradsekvationer. I sin bok Ars Magna presenterade Gerolamo Cardano år 1545 den allmänna lösningen till tredjegradsekvationen x3 + px = q. Han visade där att rötterna till ekvationen kan uttryckas ___________ _______

1 Rita ett komplext talplan och markera följande tal

c)

Cardanos formler

8 Beräkna

3 – 2i b) _____ 8 + 7i 6(5i – 1) d) _______ 2(3 + i)

6 För vissa komplexa tal z (z ≠ 0) gäller att Re z = 4 ∙ Im z. Ge exempel på ett sådant tal.

(PB MaE 02-05) 7 Beräkna a) (8 + 3i) – 2(2i + 1) b) (4 – 3i)(5i + 2) – (8i + 10)(i – 3) c) 2(6 + i) + (3i + 7)(7i + 3)

z2

z1 Re z

1 z5

1 z6

För vilka av talen är a) |z| = 3

b) Re z > 0

c) arg z = 45° (PB MaE 05-05) 12 Ange absolutbelopp och argument för z. a) z = eiπ/8 b) z = 4ei12° π π c) z = 8 cos ___ + i sin ___ 12 12

(

)

d) z = cos 105° + i sin 105° 13 Skriv w i formen a + bi. a) w = 8eiπ/8

b) w = e8 – i8°

komplexa tal • blandade uppgifter

77

3 Differential-

ekvationer I en differentialekvation är de obekanta funktioner.

Innehåll 3.1 Vad är en differentialekvation?

3.2 Differentialekvationer av första ordningen 3.3 Differentialekvationer av andra ordningen

Förkunskaper • Algebra • Funktionslära

M

ånga naturveteskapliga förlopp kan beskrivas med hjälp av differentialekvationer, det vill säga med ekvationer som innehåller en eller flera derivator av en okänd funktion. Det kan till exempel gälla antal bakterier i en bakteriekultur, temperaturen hos kaffet i en termos eller rörelsen hos en personen som gör ett bungyjump.

I det här kapitlet kommer vi att lära oss att tolka, ställa upp och lösa differentialekvationer. Vi kommer också att tillämpa de kunskaperna på olika naturvetenskapliga problem.

• Trigonometri • Differential- och integralkalkyl från föregående kurser

Mål • Förstå vad en differentialekvation är • Kunna tolka, ställa upp och lösa differentialekvationer • Kunna använda differentialekvationer i naturvetenskapliga tillämpningar • Förstå och kunna använda en numerisk metod vid lösning av differentialekvationer

82

83

3 Differential-

ekvationer I en differentialekvation är de obekanta funktioner.

Innehåll 3.1 Vad är en differentialekvation?

3.2 Differentialekvationer av första ordningen 3.3 Differentialekvationer av andra ordningen

Förkunskaper • Algebra • Funktionslära

M

ånga naturveteskapliga förlopp kan beskrivas med hjälp av differentialekvationer, det vill säga med ekvationer som innehåller en eller flera derivator av en okänd funktion. Det kan till exempel gälla antal bakterier i en bakteriekultur, temperaturen hos kaffet i en termos eller rörelsen hos en personen som gör ett bungyjump.

I det här kapitlet kommer vi att lära oss att tolka, ställa upp och lösa differentialekvationer. Vi kommer också att tillämpa de kunskaperna på olika naturvetenskapliga problem.

• Trigonometri • Differential- och integralkalkyl från föregående kurser

Mål • Förstå vad en differentialekvation är • Kunna tolka, ställa upp och lösa differentialekvationer • Kunna använda differentialekvationer i naturvetenskapliga tillämpningar • Förstå och kunna använda en numerisk metod vid lösning av differentialekvationer

82

83

3.2 Differentialekvationer av första ordningen Den homogena differentialekvationen y' + ay = 0

Ordboken Homogen är sammansatt av grekiskans homo- och genos, som tillsammans betyder av samma art.

Homogen differentialekvation

Eftersom C kan anta oändligt antal olika värden, så har ekvationen också ett oändligt antal lösningar.

Bevis

Lösning:

a) Vi skriver först om ekvationen till formen y' – ay = 0

4y' – 2y = 0

y' – 0,5y = 0

Som har den allmänna lösningen y = Ce0,5x

Villkoret y(0) = 2 ger ekvationen

Ce0,5 ∙ 0 = 2

C=2

Svar: Lösningen y = 2e0,5x uppfyller villkoret y(0) = 2.

a-uppgifter

y' ∙ eax + ay ∙ eax = 0 ∙ eax

3201 Bestäm den allmänna lösningen till

eax)

= 0

y·

eax

måste vara konstant

Lös ut y

a) y(0) = –5 b) y(2) = e2 c) y(–1) = e7

b) y' + 2y = 0

3205 I en bakterieodling är tillväxthastigheten, N' bakterier per minut, proportionell mot antalet bakterier N. Proportionalitetskonstanten är 0,05 min–1.

c) y' – 7y = 0 3202 Bestäm den allmänna lösningen till a) 4y' = 4y

a) Ställ upp den differentialekvation som visar detta.

b) –y' = 3y c) 2y = 5y' 3203 Bestäm den lösning till y' – 5y = 0 för vilken a) y(0) = 3

Differentialekvationen y' + 5y = 0 har den allmänna lösningen

b) y(1) = 2e5

y' + ay = 0 har lösningen y = Ce–ax

e0 = 1

3204 Bestäm den lösning till 4y' = –12y för vilken

a) y' – 3y = 0

Bestäm den allmänna lösningen till y' + 5y = 0.

y = Ce–5x

Dela båda led med 4

Ce0,5 ∙ 2 = 1 1 C = __ ​ ​ e 1 Som ger y = __ ​ ​ · e0,5x = e–1 · e0,5x = e0,5x – 1 e Svar: Lösningen y = e0,5x – 1 uppfyller villkoret y(2) = 1.

För att bevisa att y = Ce–ax är den enda lösningen till ekvationen y' + ay = 0 multiplicerar vi båda led med eax.

Produktregeln D(u ∙ v) = u' ∙ v + u ∙ v'

b) y(2) = 1

b) Den allmänna lösningen är y = Ce0,5x. Vi sätter y(2) = 1 och bestämmer C

Den homogena differentialekvationen av första ordningen y' + ay = 0 har den allmänna lösningen y = Ce–ax, där C är en konstant.

y ∙ eax = C C y = ___ ​ ax ​ e y = Ce–ax v.s.b.

Lösning:

Lösningen till differentialekvationen y' + ay = 0

D(y ∙

Bestäm den lösning till 4y' – 2y = 0 för vilken a) y(0) = 2

Ekvationen här ovanför är av formen y' + ay = 0 och innehåller endast termer med y och y'. En sådan ekvation kallas för en homogen differentialekvation av första ordningen.

Jämför vi vänsterledet med D(y ∙ eax) = y' ∙ eax + y ∙ a ∙ eax, så ser vi att vi kan skriva det som derivatan av en produkt

7 Exempel:

7 Exempel:

En differentialekvation av första ordningen har förstaderivatan som högsta derivata. Ett exempel på en sådan ekvation är y' – 3y = 0. I inledningen till det här kapitlet visade vi att lösningen till en differentialekvation av den typen är av formen y = eax. Funktionen y = e3x har derivatan y' = 3e3x = 3y och är alltså en lösning till ekvationen. Men om vi deriverar y = 25e3x, så får vi y' = 3 ∙ 25e3x = 3y som också är en lösning till differentialekvationen. Man kan visa att differentialekvationen y' – 3y = 0 har den allmänna lösningen y = Ce3x, där C är en konstant. Man kan också visa att den allmänna lösningen till ekvationen y' + ay = 0 är y = Ce–ax.

y' ∙ eax + ay ∙ eax = 0

c) y(3) = e30

b) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen. c) Vilken lösning får du om du använder begynnelsevillkoret N(0) = 1 500? d) Hur många bakterier finns det då efter 7 minuter?

Svar: y = Ce–5x

96

differentialekvationer • 3.2 differentialekvationer av första ordningen

differentialekvationer • 3.2 differentialekvationer av första ordningen

97

3.2 Differentialekvationer av första ordningen Den homogena differentialekvationen y' + ay = 0

Ordboken Homogen är sammansatt av grekiskans homo- och genos, som tillsammans betyder av samma art.

Homogen differentialekvation

Eftersom C kan anta oändligt antal olika värden, så har ekvationen också ett oändligt antal lösningar.

Bevis

Lösning:

a) Vi skriver först om ekvationen till formen y' – ay = 0

4y' – 2y = 0

y' – 0,5y = 0

Som har den allmänna lösningen y = Ce0,5x

Villkoret y(0) = 2 ger ekvationen

Ce0,5 ∙ 0 = 2

C=2

Svar: Lösningen y = 2e0,5x uppfyller villkoret y(0) = 2.

a-uppgifter

y' ∙ eax + ay ∙ eax = 0 ∙ eax

3201 Bestäm den allmänna lösningen till

eax)

= 0

y·

eax

måste vara konstant

Lös ut y

a) y(0) = –5 b) y(2) = e2 c) y(–1) = e7

b) y' + 2y = 0

3205 I en bakterieodling är tillväxthastigheten, N' bakterier per minut, proportionell mot antalet bakterier N. Proportionalitetskonstanten är 0,05 min–1.

c) y' – 7y = 0 3202 Bestäm den allmänna lösningen till a) 4y' = 4y

a) Ställ upp den differentialekvation som visar detta.

b) –y' = 3y c) 2y = 5y' 3203 Bestäm den lösning till y' – 5y = 0 för vilken a) y(0) = 3

Differentialekvationen y' + 5y = 0 har den allmänna lösningen

b) y(1) = 2e5

y' + ay = 0 har lösningen y = Ce–ax

e0 = 1

3204 Bestäm den lösning till 4y' = –12y för vilken

a) y' – 3y = 0

Bestäm den allmänna lösningen till y' + 5y = 0.

y = Ce–5x

Dela båda led med 4

Ce0,5 ∙ 2 = 1 1 C = __ ​ ​ e 1 Som ger y = __ ​ ​ · e0,5x = e–1 · e0,5x = e0,5x – 1 e Svar: Lösningen y = e0,5x – 1 uppfyller villkoret y(2) = 1.

För att bevisa att y = Ce–ax är den enda lösningen till ekvationen y' + ay = 0 multiplicerar vi båda led med eax.

Produktregeln D(u ∙ v) = u' ∙ v + u ∙ v'

b) y(2) = 1

b) Den allmänna lösningen är y = Ce0,5x. Vi sätter y(2) = 1 och bestämmer C

Den homogena differentialekvationen av första ordningen y' + ay = 0 har den allmänna lösningen y = Ce–ax, där C är en konstant.

y ∙ eax = C C y = ___ ​ ax ​ e y = Ce–ax v.s.b.

Lösning:

Lösningen till differentialekvationen y' + ay = 0

D(y ∙

Bestäm den lösning till 4y' – 2y = 0 för vilken a) y(0) = 2

Ekvationen här ovanför är av formen y' + ay = 0 och innehåller endast termer med y och y'. En sådan ekvation kallas för en homogen differentialekvation av första ordningen.

Jämför vi vänsterledet med D(y ∙ eax) = y' ∙ eax + y ∙ a ∙ eax, så ser vi att vi kan skriva det som derivatan av en produkt

7 Exempel:

7 Exempel:

En differentialekvation av första ordningen har förstaderivatan som högsta derivata. Ett exempel på en sådan ekvation är y' – 3y = 0. I inledningen till det här kapitlet visade vi att lösningen till en differentialekvation av den typen är av formen y = eax. Funktionen y = e3x har derivatan y' = 3e3x = 3y och är alltså en lösning till ekvationen. Men om vi deriverar y = 25e3x, så får vi y' = 3 ∙ 25e3x = 3y som också är en lösning till differentialekvationen. Man kan visa att differentialekvationen y' – 3y = 0 har den allmänna lösningen y = Ce3x, där C är en konstant. Man kan också visa att den allmänna lösningen till ekvationen y' + ay = 0 är y = Ce–ax.

y' ∙ eax + ay ∙ eax = 0

c) y(3) = e30

b) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen. c) Vilken lösning får du om du använder begynnelsevillkoret N(0) = 1 500? d) Hur många bakterier finns det då efter 7 minuter?

Svar: y = Ce–5x

96

differentialekvationer • 3.2 differentialekvationer av första ordningen

differentialekvationer • 3.2 differentialekvationer av första ordningen

97

Origo

Origo

Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund

Origo är en modern matematikbok för gymnasieskolan och vuxenutbildning med övningar, problemlösning och kommunikationsuppgifter på olika nivåer, mål, test och tankekartor som kontrollstationer, matematikens historia och undersökningar som ger fördjupade kunskaper.

Serien består av

Origo Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund

Origo kurs AB för NV och TE Origo kurs C för NV och TE Origo kurs D för NV och TE Origo kurs E för NV och TE Origo kurs A för SP och ES Origo kurs B för SP och ES Origo kurs C för SP och ES Origo Lärarhandledning kurs A Origo Lärarhandledning kurs B Origo Lärarhandledning kurs C Origo Lärarhandledning kurs D Origo Lärarhandledning kurs E

ISBN 978-91-622-9134-1

www.bonnierutbildning.se

(9134-1)

Matematik kurs E för naturvetenskapliga och tekniska program B ON N I E R S