9789162288112

Origo Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund

Matematik kurs B fÜr samhällsvetenskapliga och estetiska program B ONNIERS

Bonnier Utbildning Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Hemsida: www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon 08–696 86 00 Telefax 08–696 86 10

Redaktion: Karolina Danström och Olof Edblom Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Jan Wilhelmsson, Jerker von Vegesack och Jakob Robertsson Bildredaktör: Margareta Söderberg

Origo kurs B för SP och ES ISBN 978-91–622–8811–2 © 2008 Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Bonnier Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Printed in Italy by STIGE S.p.A. Turin 2008

Till läsaren Den här boken i serien ORIGO är skriven för dig som går Samhällsveten-

skapsprogrammet eller Estetiska programmet och ska läsa Matematik B. I ORIGO finns övningar och problemlösning på alla nivåer. Men matematik är inte enbart en fråga om att räkna. Här betonas också vikten av att delta i matematiska samtal.

• ORIGO kurs B är indelad i fem kapitel. Varje kapitel inleds med att ange de förkunskaper som du har nytta av och de mål som du förväntas uppnå.

• Teorigenomgång följs av lösta exempel som belyser teorin. Det finns uppgifter på tre olika nivåer och av olika karaktär. Öppna uppgifter har inte ett givet svar och kräver många gånger en matematisk diskussion. A-uppgifterna är standarduppgifter som i regel kan lösas i ett steg, medan B-uppgifterna ofta kräver en lösning i flera steg. C-uppgifterna är mer komplexa till sin karaktär och för att lösa dem behöver du ibland använda matematikkunskaper från flera områden.

• Efter varje delkapitel kommer Rätt eller fel? Där kan du tillsammans med din lärare och dina kamrater utveckla det matematiska innehållet i delkapitlet med hjälp av olika påståenden.

• En större uppgift märkt med ¤ finns i varje kapitel. Där prövas bland annat kvalitéer som behövs för ett högt betyg. Men alla har möjlighet att lösa någon eller några deluppgifter.

• I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv.

• Blandade uppgifter finns på tre nivåer och innehåller övningar, problemlösning och diskussionsuppgifter. Här får du möjlighet att befästa dina kunskaper från hela kapitlet. Du kan tillsammans med din lärare och dina kamrater göra en eller flera Undersökningar.

• Kapiteltest och Tankekarta avslutar kapitlet. Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop och är också en bra utgångspunkt för ett muntligt test. Testet och tankekartan är din kontrollstation för att du ska veta att du har uppnått kapitelmålen.

Lycka till!

Författarna

Innehåll 1 Sannolikhetslära och spel

6

1.1.Slumpförsök i ett steg.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Sannolikheten för en händelse 8 Sannolikhet genom experiment 12 Odds 15

94

¤-uppgift: Snörspel och dobbel.. . . . . . . . 28 Historia: Sannolikhetslära och spel. . . . 29 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Statistiska undersökningar 36 2.1.Att göra en statistisk undersökning. . . 38 Planering och urval 38 Genomförande 41 Analys och diskussion 45

2.2.Statistisk spridning.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Spridningsmått 49 Normalfördelning och standardavvikelse

53

¤-uppgift: Fickpengar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Historia: Opinionsundersökningar. . . . . 58 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

64

3.1.Funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Funktionsbegreppet 66 Definitionsmängd och värdemängd Korrelation 72

1.2.Slumpförsök i flera steg. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Multiplikationsregeln 18 Träddiagram 21 Utfallsdiagram 24 Komplementhändelse 26 Problemlösning med hjälp av ekvationer

3 Linjära funktioner 70

3.2.Räta linjen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Rita och bestäm räta linjer 75 Lutningen för en rät linje 78 Räta linjens ekvation 80 Räta linjen på allmän form 82 Mer om linjära funktioner 83

3.3.Linjära ekvationssystem.. . . . . . . . . . . . . . . . 85 Grafisk lösning 85 Substitutionsmetoden Additionsmetoden 90 Linjära olikheter 92

88

¤-uppgift: Stockholm Marathon.. . . . . . . 95 Historia: Kryptering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4 Andragradsekvationer

102

4.1.Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Multiplicera och bryta ut ur parenteser Multiplikation av parenteser 106 Kvadreringsreglerna 108 Konjugatregeln 110 Faktorisering av uttryck 112

104

4.2.Andragradsfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Rita grafen till en andragradsfunktion Mer om andragradsfunktioner 116

114

4.3.Att lösa andragradsekvationer.. . . . . . . . 120 Enkla andragradsekvationer 120 Grafisk lösning 123 Andragradsekvationer på faktorform En lösningsformel 127 Mer om andragradsekvationer 132

125

¤-uppgift: Profit i solsken. . . . . . . . . . . . . . 134 Historia: Ekvationer av högre grad. . . . . 135 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5 Geometri och bevis

142

5.1.Vinklar och trianglar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Vinklar 144 Likformiga trianglar

147

5.2.Satser och bevis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Matematiska bevis 151 Topptriangelsatsen och transversalsatsen Randvinklar och medelpunktsvinklar 159

155

¤-uppgift: Rubiks kub.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Historia: Det finns ingen kungsväg…. 164 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Repetition

170

Facit

180

Register

198

1 Sannolikhetslära Innehåll 1.1 Slumpförsök i ett steg 1.2 Slumpförsök i flera steg

Förkunskaper • Bråkräkning • Procenträkning • Relativ frekvens

Mål • Förstå begreppet sannolikhet • Kunna beräkna sannolikheter vid slumpförsök • Förstå i vilka situationer som sannolikhetsberäkningar kan vara användbara • Förstå hur man genom experiment kan komma fram till sannolikheten för en händelse • Förstå hur odds används

6

och spel

Sannolikheten kallas vardagligt för chans eller risk.

M

ed sannolikhetslära försöker man bestämma chansen eller risken för att något ska inträffa. Därför har det alltid varit intressant att räkna sannolikheter för dem som sysslar med spel av olika slag. I dagens samhälle används sannolikhetsläran inom många fler områden, till exempel för att förutsäga olika scenarier inom ekonomi och industri. I det här kapitlet kommer du att få lära dig att beräkna sannolikheter för att en eller flera händelser ska inträffa.

7

1.1 Slumpförsök i ett steg Sannolikheten för en händelse Hur stor är chansen att vinna på ett lotteri? Hur stor är chansen att få träffa Madonna efter hennes konsert? Hur stor är risken att dö om man råkar ut för en lavin i Alperna? Hur stor är risken för nederbörd i sydöstra Götaland på lördag?

När man pratar om sannolikheter, så brukar man använda begreppen chans och risk. Chans använder man när man vill att något ska hända och risk när det är något man helst undviker. Vissa sannolikheter kan man beräkna, till exempel chansen att vinna på ett lotteri, eller risken att man bara får en etta när man slår en tärning. Andra sannolikheter bygger på undersökningar eller statistik, till exempel risken att dö i en lavin eller chansen för solsken på lördag.

I matematiken kan sannolikheten för en händelse anges med ett värde mellan 0 och 1. Om det är säkert att något ska inträffa, så är sannolikheten för detta 1. Om det är omöjligt att händelsen ska inträffa, så är sannolikheten 0.

Ordboken Beteckningen P för sannolikhet kommer från franskans probabilité som betyder just sannolikhet.

Malin drar ett kort ur en vanlig kortlek. Hur stor chans är det att hon drar klöver kung? Det finns 52 kort i kortleken och bara 1 1 klöver kung. Chansen är 1 på 52. Sannolikheten är ___ ​ ​.

52 Sannolikheten för en händelse betecknas ofta med P och beräknas som kvoten av antalet gynnsamma utfall och antalet möjliga utfall. Antalet gynnsamma utfall är det som ger det önskade resultatet och antalet möjliga utfall är alla som finns att välja mellan. antalet gynnsamma utfall ___ 1 P(klöver kung) = _____________________ ​ ​= ​ ​ ≈ 0,02 = 2 %

antalet möjliga utfall 52 Det är 2 % chans att Malin drar klöver kung.

Sannolikhet Sannolikheten för en händelse A antalet gynnsamma utfall ​ P(A) = _____________________ ​

antalet möjliga utfall Sannolikheten kan anges som ett bråk, som ett decimaltal eller i procent.

8

sannolikhetslära och spel • 1.1 slumpförsök i ett steg

7 Exempel:

Lösning:

Du kastar en vanlig tärning. Beräkna sannolikheten i procent för att du får a) en 5:a

b) ett tal mellan 1 och 6

c) en 7:a

d) minst fem prickar

a) Det finns 1 gynnsamt utfall av 6 möjliga.

1 antalet gynnsamma utfall __ ​= ​ ​≈ 0,17 = 17 % P(5) = _____________________ ​

antalet möjliga utfall 6

Svar: Det är 17 % sannolikhet för att slå en 5:a.

b) Eftersom det är alldeles säkert att det ska bli ett tal mellan 1 och 6 så är sannolikheten 1 = 100 %.

Svar: Sannolikheten för att det ska bli ett tal mellan 1 och 6 är 100 %.

c) Eftersom det är omöjligt att slå en 7:a med tärningen så är sannolikheten 0 = 0 % för att händelsen ska inträffa.

Svar: Det är 0 % sannolikhet för att slå en 7:a med en tärning.

d) Minst fem prickar betyder 5 eller 6. Det finns 2 gynnsamma utfall och 6 möjliga.

7 Exempel:

Lösning:

antalet gynnsamma utfall __ 2 P(minst 5) = ​ _____________________ ​= ​ ​≈ 0,33 = 33 %

antalet möjliga utfall 6

Svar: Det är 33 % sannolikhet för att få minst fem prickar.

En påse innehåller 3 svarta och 5 vita kulor. Du stoppar ner handen och tar slumpmässigt upp en kula. Beräkna sannolikheten att kulan du tar upp är vit. Svara i decimalform.

Det finns 5 gynnsamma utfall, de vita kulorna, på totalt 8 möjliga utfall.

5 P(vit) = __ ​ ​= 0,625 8 Svar: Sannolikheten att du tar en vit kula är 0,625.

7 Exempel:

Lösning:

Sannolikheten för att vinna på ett lotteri är 12 %. Hur många vinster bör man få om man köper 200 lotter?

12 % av lotterna är vinstlotter.

Antal vinster: 12 % av 200 st = 0,12 · 200 st = 24 st Svar: Det borde bli cirka 24 vinster.

sannolikhetslära och spel • 1.1 slumpförsök i ett steg

9

1106 En klass består av 11 pojkar och 14 flickor.

Klassen har vunnit en biobiljett. En vinnande elev väljs slumpvis från klasslistan. Hur stor är sannolikheten att den utvalde är en pojke?

Svara i decimalform. Avrunda till två gällande siffror där inte annat anges.

a-uppgifter

1107 Ett lyckohjul snurras.

Beräkna sannolikheten och ge svaret i procent för att hjulet

1101 Vilka möjliga utfall finns a) när man singlar slant b) när man ska välja en veckodag c) på slutsiffran i ett telefonnummer

a) stannar på 6 b) stannar på ett udda nummer

1102 Hur stor är sannolikheten att a) du kommer att hoppa över 3 m i höjdhopp i dag

c) stannar på ett nummer större än 5

b) du har en näsa c) du kommer att resa till månen i morgon 1103 Para ihop sannolikheterna för händelserna med pilarna till talen på tallinjen. a

b

c

0

0,25

0,5

d

e

0,75 0,86

f 1

Sannolikheten

1108 Man kastar en tärning och får en 6:a. Hur stor är sannolikheten att man ska få en 6:a igen nästa gång man kastar?

1109 Hur många klave är det sannolikt att man får om man singlar slant 2 500 gånger?

1110 I en urna finns 2 500 lotter. Av dessa är 100 vinstlotter. a) Om du köper en lott, hur stor är då sannolikheten att den är en vinstlott?

1 att Pia inte är född på en måndag 2 att någon i en slumpvis vald klass är pojke

b) Hur många vinster borde du få, teoretiskt sett, om du köper 100 lotter?

3 att någon i klassen har 140 syskon 4 att Lisa är högerhänt

c) Kommer du verkligen att få så många vinster om du köper 100 lotter?

5 att Per är vänsterhänt 6 att solen lyser någonstans i världen

a) en 2:a

1111 Tabellen visar åldersfördelningen bland personalen på en arbetsplats.

b) en 3:a, 4:a eller 5:a

1104 Du kastar en tärning. Beräkna sannolikheten i bråkform för att resultatet blir

c) högst en 3:a 1105 En godispåse innehåller 6 gröna, 2 blå och 4 röda karameller. Du tar upp en av karamellerna helt slumpmässigt. Ange sannolikheten i bråkform för att den är a) röd

10

b) grön

c) grön eller röd

sannolikhetslära och spel • 1.1 slumpförsök i ett steg

Beräkna sannolikheten för att en slumpmässigt vald person är a) mellan 31 och 40 år b) äldre än 50 år c) yngre än 51 år

Ålder

Frekvens

–20

3

21–30

14

31–40

20

41–50

22

51–60

12

61–

6

1112 Du drar slumpmässigt ett kort ur en kortlek med 52 kort. Hur stor är sannolikheten att det blir a) spader ess b) en klöver c) en kung eller en dam 1113 Hur stor är sannolikheten för att en slumpmässigt vald person a) är född på en söndag b) är född på en måndag, tisdag eller onsdag c) inte är född på en fredag eller en lördag

b-uppgifter 1114 I ett lotteri finns lotter numrerade från 1 till 1 000. Det är vinst på alla lotter som har nummer som slutar med 5. Hur stor är sannolikheten att du drar en vinstlott?

c-uppgifter 1120 I en större svensk stad har 75 % av invånarna mellan 30 och 40 år körkort för bil. 11 % av åldersgruppen har körkort för motorcykel och 8 % har körkort för både bil och motorcykel. a) Hur stor är sannolikheten att en slumpvis vald person i åldersgruppen har körkort för motorcykel, men inte för bil? b) Hur stor är sannolikheten att personen varken har körkort för bil eller motorcykel?

1121 Två tal väljs slumpvis bland: –2, –1, 0, 1, 2 och 3. Hur stor är sannolikheten att talens summa är positiv?

1115 Du spelar poker och har kort med valörerna 4, 5, 6, 8 och knekt. Hur stor är sannolikheten att du får en stege, dvs. att du får en 7:a om du byter knekten?

1116 Lasse spelar poker och har fått korten 3, 4, 5, 6 och 9 i olika färger. Han byter bort sin 9:a.

Hur stor är sannolikheten att han får en stege, dvs. att han byter till sig en 2:a eller en 7:a?

1117 I ett lotteri finns lotter numrerade från 101 till 999. Det är vinst på alla lotter där de tre siffrorna har en summa som är 25. Vad blir sannolikheten för vinst?

1118 Sanna spelar poker. I sin hand har hon två 5:or, två damer och en 9:a. Om hon byter sin 9:a, hur stor är då sannolikheten att hon ska få en kåk, dvs. att hon bara får femmor och damer i sin hand?

1119 En påse innehåller 2 000 röda, blå och vita stenkulor. Sannolikheten att ta upp en röd kula är 0,25 och att ta upp en blå 2/5. Hur många vita kulor finns i påsen?

sannolikhetslära och spel • 1.1 slumpförsök i ett steg

11

b-uppgifter 1126 Så här såg statistiken ut för vinnare på V75 fram till mitten av sommaren år 2005.

Spår

a) Hur många av 500 lopp bör vinnas av en häst från spår 5? b) Hur stor andel av loppen vinns från bakspår, dvs. från spår 9–12? c) Hur många av 3 000 lopp bör vinnas av häst från framspår, dvs. från spår 1–8?

Vinster

1

9%

2

8%

3

8%

4

12 %

5

18 %

6

7%

7

8%

8

1%

9

10 %

10

7%

11

6%

12

7%

1127 Så här blev den slutliga ställningen för allsvenskan i fotboll år 2005.

Tabell

Totalt D

P

1128 På bordet står tre skålar med godis som består av rosa och vita mintkulor. Du gillar de vita bäst. Ur vilken av skålarna ska du då ta en godiskula?

1129 Ge exempel på ett slumpförsök där man ö skulle ha svårt att förutsäga resultatet.

1130 Penninglotteriet har funnits sedan år 1897 och är ett av våra klassiska spel i Sverige.

Av 600 000 lotter så finns det en vinst på 3 000 000 kr. Under år 2004 omkom 480 personer i trafiken i Sverige. Beräkna sannolikheterna för händelserna P(vinna 3 000 000 på en lott om man köper en) och P(bli trafikdödad under året). För vilken av händelserna är sannolikheten högst?

c-uppgifter

Lag

S

V

O

F

GM–IM

Djurgårdens IF

26

16

5

5

60–26

+34 53

IFK Göteborg

26

14

7

5

38–22

+16 49

Kalmar FF

26

11 10

5

36–21

+15 43

Hammarby IF

26

12

7

7

43–30

+13 43

Malmö FF

26

12

5

9

38–27

+11 41

Helsingborgs IF

26

12

3 11

32–38

–6 39

IF Elfsborg

26

10

7

9

35–43

–8 37

BK Häcken

26

11

3 12

29–29

0 36

Örgryte IS

26

10

5 11

37–38

–1 35

6

Halmstads BK

26

9

5 12

38–38

0 32

4

Gefle IF

26

9

4 13

27–33

–6 31

Landskrona B.

26

8

6 12

26–44

–18 30

GIF Sundsvall

26

6

7 13

31–46

–15 25

Assyriska Fören. 26

4

2 20

17–52

–35 14

a) Vad var sannolikheten för att Djurgården skulle vinna en slumpmässigt vald match? b) Vad var sannolikheten för att Sundsvall spelade oavgjort? c) Om ett mål gjordes, vad var sannolikheten för att det gjordes av Elfsborg?

14

sannolikhetslära och spel • 1.1 slumpförsök i ett steg

1131 Histogrammet beskriver antalet anmälda arbetsolycksfall per 1 000 förvärvsarbetande år 2004.

Arbetstagare och egenföretagare 12 Källa: AV/ISA, SCB/AKU 2004 10 8

2 0

16–24

25–34

35–44

45–54

55–59 60–64 Åldersgrupper

a) Beräkna sannolikheten för att en man som har råkat ut för ett anmält arbetsolycksfall är mellan 35 och 44 år. b) Beräkna sannolikheten för att en kvinna som har råkat ut för ett anmält arbetsolycksfall är över 54 år. c) Beräkna sannolikheten för att någon som har drabbats av ett anmält arbetsolycksfall är en man.

Odds Ordboken Odds kommer från engelskans odd som betyder udda. Det finns tre olika system som i huvudsak används, det amerikanska, det brittiska och det europeiska. Här i Sverige är det i huvudsak det europeiska systemet som används.

Insats

Du har säkert sett att man i tidningen och på tv ofta anger odds i samband med idrottsevenemang. Oddsen för hemmavinst, oavgjort och bortaseger, i en fotbollsmatch kan t.ex. anges så här BK Häcken–Djurgården

1

X

Odds

3,60 3,45

2 1,95

En händelse med högt odds har lägre sannolikhet och ger alltså mer utdelning i pengar. På samma sätt har en händelse med lågt odds större sannolikhet att inträffa.

Pengarna som betalas ut om en händelse slår in kan beräknas som U=O·I där O är oddset, I är insatsen och U är pengarna som betalas ut vid vinst.

Om du till exempel har satsat 10 kr på att Häcken skulle vinna i matchen ovan skulle du ha kunnat kvittera ut 36 kr: U = O · I = 3,60 · 10 kr = 36 kr Din vinst skulle då bli 36 kr – 10 kr = 26 kr.

Teoretiskt odds

Det är respektive spelbolag som bestämmer oddset för matcherna. I matchen mellan Häcken och Djurgården har spelbolaget ansett att det är betydligt troligare med en Djurgårdsvinst än att matchen ska sluta oavgjord eller med seger för Häcken.

1 Man kan beräkna det teoretiska oddset: O = ​ _________________ ​.

P(för händelsen) För att spelbolaget ska kunna tjäna pengar på att folk spelar, så måste det teoretiska oddset skilja från det odds som spelbolagen sätter. Vi tar ett tärningsspel som exempel. Att få en femma vid kast med en vanlig tärning har 1 sannolikheten __ ​ ​ .

6 1 1 Det teoretiska oddset blir då O = ______ ​ ​ = ​ ___ ​ = 6.

P(5:a) 1/6 Men för att tjäna pengar på att folk kastar tärning, så måste spelbolaget erbjuda odds som är lägre än 6. Om de vill ha 10 % i vinst, så sätts oddset till 0,9 · 6 = 5,4. Det kallas för vinstmarginal. Om de vill ha 20 % i vinst så sätts oddset till 0,8 · 6 = 4,8.

sannolikhetslära och spel • 1.1 slumpförsök i ett steg

15

7 Exempel:

a)

Hur stor blir vinsten för en spelare som satsat 20 kr på oavgjort i matchen Sirius– Bunkeflo och får rätt?

b) En spelare kvitterar ut 3 825 kr efter att ha satsat 1 500 kr. Vad satsade hon på?

Lösning:

a) U = O · I

1

X

2

IK Sirius–Bunkeflo IF

2,05

3,55

4,05

Mjällby AIF–Häcken

3,60

3,60

2,10

Albinoleffe–Pisa

2,22

2,87

4,60

Ascoli–Chievo

2,55

2,95

3,26

Bournemouth–Swansea

3,80

3,45

2,20

U är pengarna som betalas ut vid vinst

U = 3,55 · 20 kr = 71 kr

Vinst = 71 kr – 20 kr = 51 kr

Svar: Vinsten blev 51 kr

b) U = O · I U O = __ ​ ​ Lös ut oddset O. Det är oddset för vinst för Ascoli I 3 825 ​= 2,55 O = _____ ​

1 500 Svar: Hon satsade på att Ascoli skulle vinna mot Chievo.

7 Exempel:

Lösning:

Ett spelbolags vinstmarginal är 15 %. Hur bör oddsen sättas på travhästen Jolly Boy som har 45 % chans att vinna ett lopp?

1 1 O = __ ​ ​= ​ ____ ​ ≈ 2,22 P 0,45 0,85 · 2,22 ≈ 1,89

Det teoretiska oddset är 2,22 1 – 0,15 = 0,85

Svar: Oddset blir 1,89 på vinst för Jolly Boy.

a-uppgifter 1132 Vilket/vilka av följande påståenden stämmer? a) Oddsen är höga för att månen snurrar runt jorden även i morgon. b) Oddsen är låga för att det är skola nästa måndag. c) Oddsen är låga för att en varmkorv kostar 1 000 kr i ett gatukök. d) Oddsen är höga för att din mattelärare är bror/syster till den svenska kungen.

16

sannolikhetslära och spel • 1.1 slumpförsök i ett steg

1133 Tabellen visar oddsen för att olika fotbollslag ska vinna den italienska ligan.

Lag

Odds

Lag

Atalanta

401,00 Milan

Cagliari

1 001,00 Napoli

Odds 4,50 201,00

Catania

751,00 Palermo

151,00

Empoli

751,00 Parma

501,00

Fiorentina Genova

21,00 Reggina 401,00 Roma

a) vid Malmövinst

4,50

1,80 Sampdoria

Juventus

7,50 Siena

1 001,00

251,00 Torino

751,00

1 001,00 Udinese

201,00

Livorno

1136 I ishockeymatchen Malmö–Skellefteå ges oddsen: 1,8 på Malmöseger, 3,7 på Skellefteåseger och 3,1 på oavgjort. Hur mycket vinner man om man satsat 50 kr och får rätt

1 001,00

Inter Lazio

1135 Nr 3 Quick Rose vann ett V75-lopp till oddset 25,38. Hur mycket vann Yvonne när hon spelade 50 kr på hästen?

301,00

c) vid Skellefteåseger

b-uppgifter 1137 Se uppgift 1136. a) Hur stor är sannolikheten (enligt spelbolaget) för Malmövinst, oavgjort respektive Skellefteåseger?

a) Vilket lag har störst chans att vinna ligan enligt spelbolaget? b) Vilka lag har minst chans enligt spelbolaget? c) Hur mycket betalar spelbolaget ut om jag satsar 20 kr på Juventus och de vinner?

1134 Oddset för att dö av stroke är 24 och oddset för att drunkna är 1 008.

b) vid oavgjort

b) Summera sannolikheterna, förklara resultatet.

1138 Sannolikheten att det i en match ska bli 1:a är 42 %, för X 27 % och 2:a 31 %. Beräkna spelbolagets odds om vinstmarginalen är 20 %.

a) Vilken dödsorsak är vanligast, stroke eller drunkning?

c-uppgifter

b) Hur stor är risken att dö av drunkning?

1139 Bestäm oddsen för klave respektive krona när man singlar slant. Låt spelbolaget ta ut en marginal på 10 %.

c) Den vanligaste dödsorsaken är hjärtsjukdom. Sannolikheten att dö i hjärtsjukdom är 20 %. Vilket är oddset?

1140 Bestäm själv oddsen för någon match. Låt ö spelbolaget ta ut en vinstmarginal på 8 %.

Rätt eller fel?

• Sannolikheten för att en händelse ska inträffa kan vara större än 1.

• Sannolikheten för att nästa bil du ser är en Ferrari är mindre än 0,5.

• Vid likformig sannolikhetsfördelning är alla utfall lika sannolika.

• Sannolikheten för att Per är vänsterhänt är 0,6.

• Oddset för en favorit är högt. sannolikhetslära och spel • 1.1 slumpförsök i ett steg

17

¤-uppgift

¤

Snörspel och dobbel

– Hör upp gott folk. Överlista mig i snörspelet och vinn en slant!

Bondfångaren Putte försöker locka folk att spela ett spel med honom på Kiviks marknad.

– Hur gör man då, frågar Ingrid?

– Jo, jag håller tre snören i min högra hand på det här viset. Du behöver bara knyta ihop de övre snörändarna med de undre. Om snöret är hopknutet i en enda ring då jag öppnar handen så vinner du.

– Vad vinner jag, undrar Ingrid?

– Har du satsat 10 kronor så får du 20 av mig vid vinst, svarar Putte.

Ingrid funderar en stund och rynkar pannan.

– Det låter som ett dåligt odds.

– Nej det är jättemånga som vinner, påstår Putte.

– Om det gäller två snören i stället för tre så ställer jag upp, säger Ingrid.

– Bara två snören! Då förlorar jag ju varje gång, snäser Putte.

• Vilket odds är det som Putte ger Ingrid?

• Om man ska knyta ihop två snören till en ring, så börjar man med en snörända ovanför handen. Hur många är då de gynnsamma utfallen, det vill säga de snörändar på undersidan handen som ger en ring.

28

sannolikhetslära och spel • ¤-uppgift

• Hur stor är sannolikheten att man knyter ihop två snören till en ring?

• Varför tycker Ingrid att det odds som Putte ger passar bättre till två snören än tre?

• Hur stor är sannolikheten att man knyter ihop tre snören till en ring?

• Hur stor vinstmarginal får Putte på sitt odds till tre snören?

• Vad händer om man knyter ihop fler snören än tre? Vilken sannolikhet är det att knyta ihop fyra eller fem till en ring?

• Hur stor är sannolikheten att knyta ihop n stycken snören till en ring?

• Försök att förklara hur du kom fram till resultatet i föregående fråga.

historia

h

Sannolikhetslära och spel Hasardspel

Blaise Pascal (1632–1662).

Det är kanske inte så konstigt att beteckningen P för sannolikhet kommer just från franskans probabilité. Hasardspel var otroligt populärt bland den franska societeten under 1600-talet. Utvecklingen av sannolikhetsläran sägs ha tagit fart när de båda franska matematikerna Blaise Pascal och Pierre de Fermat löste ett spelproblem åt spelaren Chevalier de Méré i mitten på 1600-talet. De Méré misstänkte att sannolikheten var större att få minst en 6:a när man kastade 4 tärningar, än att få minst en dubbelsexa vid 24 kast med 2 tärningar. Han kunde inte visa det matematiskt, men det kunde Pascal och Fermat med hjälp av komplementhändelse. Det visade sig att det var 5 % större chans att få minst en sexa när man kastade 4 tärningar än att få en dubbelsexa vid 24 kast med två tärningar.

5 4 P(minst en 6:a…) = 1 – ​​ __ ​ ​ ​​ ​≈ 0,5177 6 35 24 P(minst en dubbelsexa…) = 1 – ​​ ___ ​ ​ ​​ ​≈ 0,4914 36

( )

( )

Beat the Dealer

h ? Vilken chans är störst? Att få minst en sexa vid kast med sex tärningar, eller få minst ett klätt kort om du drar sex kort ur en kortlek.

Hasardspelande och sannolikhetslära har alltid gått hand i hand. Sedan Edward Thorps bok Beat the Dealer kom ut 1962 har det skrivits mängder av böcker som rör spelet Blackjack och möjligheten att med hjälp av matematik bli en vinnare. Genom att hålla i minnet vilka kort som har spelats kan man beräkna sannolikheten för att vissa kort kommer att dras. På det sättet kan man få en fördel gentemot banken på cirka 2 %.

Kasinon har naturligtvis reagerat på dessa ”korträknare”. För att göra det svårare att vinna mot banken används det numera ofta sex kortlekar och man använder aldrig mer än 2/3 av leken innan man blandar på nytt.

Lägg därtill mängder av videokameror som avläser varje form av hot mot kasinot, ja då förstår man att det inte är så lätt för dagens ”korträknare”.

Trots detta lyckades ett antal studerande vid MIT (Massachusetts Institute of Technology) utarbeta ett system som i mitten av 1990-talet kom att ge dem stora summor pengar. Den bästa helgen i Las Vegas gav en vinst på $400 000. Deras mycket precisa system som de hade utarbetat under många år med hjälp av datorer, kunde vid vissa tillfällen ge en stor fördel gentemot banken. För att kunna utnyttja dessa tillfällen hade man delat upp sig på kasinot. ”The back-spotter”, ”the spotter”, ”the gorilla” och ”the big player”, alla hade en roll. Gruppens lycka höll i sig under ett par år, men kasinona var dem på spåren. Snart var gruppen portförbjuden på alla kasinon från USA till Asien. De hade inte gjort något olagligt, utan helt enkelt bara varit för duktiga. sannolikhetslära och spel • historia

29

Blandade uppgifter a-uppgifter

Lös ekvationerna med valfri metod. Svara exakt.

7 a) x2 + 2x – 35 = 0

1 Bryt ut största möjliga faktor.

b) x(x + 3) = 0

a) 5x + 10

8 a) 3x2 + 17x = 0

b) 20a + a2

b) 0,8x2 – 5x + 8 = 0

2 Utveckla uttrycken

9 Mie har utvecklat uttrycket (2x + 5)2 och fått resultatet 4x2 + 25. Pär-Anders säger att Mie har gjort fel. Har Pär-Anders rätt och vilket fel har Mie i så fall gjort?

a) (9 + 3x)2 b) (5z – 11)2 c) (4b + 11a)(4b – 11a) 3 Faktorisera uttrycken a)

56a3

b)

y2

10 Skriv ett förenklat uttryck för rektanglarnas area.

+ 42a

a)

b)

– 22y + 121

3x + 8

c) 9a2 – 36 2x

4 Förenkla uttrycken c)

a) (2x – 5) – (3x + 1)(9 – 1) b) 3x(x – 4) – 5(3x + 2)(x – 1)

9a + 4b

5 Skriv ett förenklat uttryck för rektanglarnas area. a)

y–x 2y

b) 3x + 3

8–y

5ab

11 Slobodans vedstapel har formen av ett rätblock.

Stapelns längd är lika lång som dess bredd och höjden är 2,1 meter. Bestäm stapelns mått, om den innehåller 17,4 m3 ved.

2

c)

3 2a + 3b

12 Bestäm symmetrilinjen till andragradsfunktionerna. a) y = 4x2 – 5 b) y = x2 – 6x + 10

4

6 Lös andragradsekvationerna utan räknare. a) x2 = 121 b) 14 + 8y2 = 46 c) 10s2 – 10 = 0

136

andragradsekvationer • blandade uppgifter

13 En andragradsekvation x2 + px + q = 0 har lösningarna _______ _______ p p 2 p p 2 __ __ __ x1 = – ​ ​ + ​ ​​ ​ ​ ​​ ​– q ​och x2 = – ​ ​ – ​ ​​ __ ​ ​ ​​ ​– q ​ 2 2 2 2 Visa att för ekvationen x2 + 20x + 19 = 0 gäller att dess lösningar x1 och x2 uppfyller x1 + x2 = –p och x1x2 = q.

√ ( )

√ ( )

14 Hans och Greta ska ordna en kurs. De räknar med 20 deltagare och sätter priset till 375 kr per person. För varje deltagare som ger ett antal över 20, kan de sänka priset med 10 kronor.

De kan då beräkna sina intäkter med funktionen I(x) = 375x – 10x2, där x är antalet deltagare. Hur många personer kan de ta emot utan att göra en förlust?

21 Hanna åker skateboard i en halfpipe. Hon startar från stillastående uppe på ena kanten och rullar ner. Hennes lodräta avstånd, d meter från kanten är en funktion av hastigheten v m/s enligt d = 0,05v2.

2m

15 Vilka nollställen har andragradsfunktionen y = 2x2 + 8x – 8?

b-uppgifter

a) Rita funktionens graf.

16 Utveckla uttrycken

b) Vilken är Hannas högsta hastighet?

a) (5a – 5b)(4b – 7a) 1 1 1 1 b) ​ __ ​ ​x – ​ __ ​ ​​ __ ​ ​x + ​ __ ​ ​ 2 3 3 2 c) (x + y – 1)(1 – x – y)

(

) (

)

17 Konstruera en uppgift där du kan använda konjuö gatregeln och förenkla ett uttryck till 1 – 25a4.

23 Lös andragradsekvationerna a) 4n2 – 2 = 2

18 Lös ekvationen (2x – 6)(8x – 3) – (3 + 4x)(4x – 7) = 0 19 Ge exempel på en andragradsfunktion där grafen har en maximipunkt i a) (0, 4)

22 Förenkla uttrycken så långt som möjligt. x2 + 6x + 9 a) ​ _________ ​

9 – x2 y2 – 49 ​ b) ​ ______ 7–y

b) (0, –0,5)

c) origo

20 En nyårsraket har en rörelsebana som beskrivs av funktionen h(t) = –4t2 + 24t + 1, där h är höjden i meter efter t sekunder. Vilken blir raketens högsta höjd?

b) (7 + x)2 – 9 = 0 c) x2 – 0,01 = 0 24 Beräkna utan miniräknare a) 21 ∙ 19

b) 222

c) 892

25 I en rätvinklig triangel är den ena kateten 7 cm längre än den andra. Teckna ett förenklat uttryck för a) triangelns area b) hypotenusans längd 26 Torbjörn och Christian sitter och pluggar ö matte B tillsammans. Christian säger att han inte riktigt förstått den andra kvadreringsregeln och ber att Torbjörn ska förklara den. Hjälp Torbjörn med vad han ska säga, skriva eller rita.

27 Ange extrempunktens läge och karaktär för grafen till funktionerna. a) y = 5 – 3x2 b) y = –x2 + 4x + 4 c) y = x2 + 12x + 30 andragradsekvationer • blandade uppgifter

137

33 Pelle står på en klippa invid en sjö och kastar en sten ut över sjön. Efter t sekunder är stenens höjd över vattenytan h(t) meter där h(t) = 8,5 + 9,8t – 4,9t2. a) När befinner sig stenen på höjden 10 m ovanför vattenytan? b) Bestäm stenens högsta höjd över vattenytan.

(Np MaB vt 2002)

c-uppgifter 34 Var och en av situationerna I, II och III nedan passar in på var sin graf i figuren.

I För många varor gäller att momsen motsvarar 20 % av varans pris. Momsens storlek är en funktion av varans pris.

II Du ska bygga en rektangulär hundgård med 40 m stängsel. Hundgårdens area är en funktion av hundgårdens längd.

III Från början finns det 50 bakterier i en odling.

Varje timme ökar antalet bakterier med 20 %.

Antalet bakterier är en funktion av tiden. y

y

y = f(x) P

28 Vid ett simhopp från tremeterssvikten beskrevs hoppet med funktionen h = 3 + 5t – 4,5t2 där Greg var h meter över vattenytan efter t sekunder.

Efter hur lång tid når Greg vattenytan?

y y = g(x)

x

y = h(x) x

Q

a) Kombinera ihop situationerna I, II och III med funktionerna f, g och h.

25 29 Visa att x2 – 3x – 4 ≥ – ___ ​ ​ 4

b) Vilket y-värde ska stå vid punkten P?

30 När Tina multiplicerar två heltal med varandra får hon produkten 992. De båda talen följer på varandra. Vilka tal har hon multiplicerat?

d) Ställ upp y som en funktion av x för situation II.

cm2. Bestäm

31 En rektangel har arean 1 704 rektangelns omkrets, när den ena sidan är 47 cm kortare än den andra.

32 Lös ekvationerna a) (2x – 10)2 = 400 b) (7 + 3x)2 = 1

138

andragradsekvationer • blandade uppgifter

c) Vilket x-värde ska stå vid punkten Q?

(Np MaB vt 2005) 35 När sidan på en kub minskas med 1 cm, minskar volymen med 91 cm3. Hur stor är volymen av den mindre kuben?

36 Lös ekvationerna a) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0 b) (x2 + 2x)(x – 4x2) = 0

x

37 Eddie cyklar 40 km på en viss tid, om han håller en viss medelhastighet. Om medelhastigheten sjunker med 2 km/h, tar färden 1 timme längre. Vilken fart håller Eddie, när han cyklar den snabbare varianten.

38 Faktorisera uttrycken 4 x2 a) ​ ___ ​ – ​ ___ ​ 25 81

40 Lös ekvationerna a) x4 – 12x2 – 13 = 0 __

b) x + 4​√x ​ – 12 = 0 c) x3 + 26x2 + 25x = 0

49 b) 3x6 – ___ ​ ​ 3

39 Lös ekvationerna med hjälp av kvadratkomplettering.

41 Visa att om x1 och x2 är lösningar till ekvationen x2 + px + q = 0 så gäller a) x1 + x2 = –p b) x1x2 = q

a) 5x2 – 10x = 15 b) 2x2 – 8x + 10 = 0 c) 6x – x2 = –91

Undersökning grafen till en andragradsfunktion

dagens längd

Undersökningens mål är att finna vilken betydelse konstanten b har för grafens utseende till en andragradsfunktion på formen f(x) = ax2 + bx.

I en almanacka finns tider för hur länge solen är uppe. Tabellen här nedanför visar dagens längd i Stockholm under sommarhalvåret. Med hjälp av en andragradsfunktion kan man skapa en modell för hur dagens längd beror av tiden i dagar efter nyår.

• Rita grafen till funktionen y = x2 på räknaren.

• Rita grafen till funktionen y = x2 + x på räknaren.

• Rita grafen till funktionen y = x2 – x på räknaren.

Datum

1/4

1/5

1/6

1/7

1/8

1/9

• Gissa hur grafen till funktionen y = x2 + 2x ser ut.

Rita därefter grafen på räknaren.

Dag nr

91

121

152

182

213

244

Tid uppe (h) 13,2 15,8

18,0

18,4 16,6 14,1

• Rita grafen till funktionen y = x2 + bx för några olika värden på b. Fundera varje gång på hur grafen kommer att se ut, innan du ritar den.

• Vilken betydelse har konstanten b för grafens utseende?

• Visa att funktionen y = x2 + 2x också kan skrivas y = (x + 1)2 – 1. Jämför med funktionens graf och analysera.

• Sätt dagens nummer till x och dagens längd till y och anpassa med hjälp av räknaren en andragradfunktion till dina värden. Lägg in x-värdena under lista L1 och y-värdena under lista L2.

Anpassa funktionen genom att trycka stat , gå till CALC-menyn och välja 5: QuadReg. • Hur länge är solen uppe på valborgsmässoafton enligt denna modell?

• Vilken är årets längsta dag enligt modellen?

• Diskutera hur pass väl modellen beskriver dagens längd. Gäller den andra orter i Sverige? Kan den anpassas till att också beskriva dagens längd under vinterhalvåret?

andragradsekvationer • blandade uppgifter

139

kapiteltest

?

Kapitel 4 6 En bils bromssträcka kan beskrivas med funktionen s(v) = 0,006v2 + 0,3v, där s(v) är bromssträckan i meter och v är hastigheten i km/h.

1 Utveckla uttrycken a) (7a –

8)2

b) (2a – 3)(2a + 3) 2 Lös ekvationerna a) (2x – 10)(3x + 1) = 0 b) x2 + 16x = 0 3 Lös ekvationerna b)

b) Hur fort kan man högst köra, om bromssträckan ska bli maximalt 50 meter?

7 Para ihop rätt ekvation med rätt graf.

a) x2 – 22x + 40 = 0 2x2

a) Hur lång är bromssträckan om hastigheten är 50 km/h?

a) y = – x2 – 4

+ 12x – 14 = 0

y

A

B

b) y = – 0,3x2 – 4

4 Ge ett förenklat uttryck för längden av den lodräta kateten.

c) y = (x + 3)2 + 2 x

1

d) y = (x – 3)2 + 2

1 x+6

x

5 Grafen visar en andragradsfunktion y = f(x).

Bestäm a) symmetrilinjen b) f(0) c) funktionens nollställen y

C

D

8 Förenkla uttrycken 16 – a2 ​ a) ​ ______ 4+a b2 – 16b + 64 ​ b) ​ ___________

2b – 16 9 Bestäm triangelns area.

(cm) 26

x

1 1

x

10 Arean av ett rektangulärt område ges av formeln A = 100x – 2x2. Vilken är den största area som området kan ha?

140

x – 14

andragradsekvationer • kapiteltest

tankekarta

Andragradsekvationer

!

Algebraiska uttryck • uttryck i parenteser • kvadreringsreglerna • konjugatregeln • faktorisering

Andragradsfunktioner • f(x) = ax2 + bx + c där a ≠ 0

y

• om a > 0, så har funktionen ett minsta värde

Symmetrilinje

• om a < 0, så har funktionen ett största värde • grafen är en parabel • grafen har en extrempunkt: maximi- eller minimipunkt

x

1 1 Nollställen

• grafen har en symmetrilinje Minimipunkt

• funktionen har nollställen där f(x) = 0 • nollställena är lösningarna till andragradsekvationen ax2 + bx + c = 0 • kvadratiska modeller

Andragradsekvationer • x = 25

Att lösa andragradsekvationer

• x2 – 4 = 0

• faktorisera

• (x – 2)2 = 36

• pq-formeln

• x(x + 5) = 0

• grafisk lösning

• (2x + 5)(12 – x) = 0

• kvadratkomplettering

2

• x2 + 2x – 5 = 0

andragradsekvationer • tankekarta

141

Origo Origo är en modern matematikbok för gymnasieskolan och vuxenutbildning med övningar, problemlösning och kommunikations­ uppgifter på olika nivåer, mål, test och tankekartor som kontrollstationer, matematikens historia och undersökningar som ger fördjupade kunskaper.

Serien består av Origo kurs A för SP och ES Origo kurs B för SP och ES Origo kurs C för SP och ES Origo kurs AB för NV och TE Origo kurs C för NV och TE Origo kurs D för NV och TE Origo kurs E för NV och TE Origo Lärarhandledning kurs A Origo Lärarhandledning kurs B Origo Lärarhandledning kurs C Origo Lärarhandledning kurs D Origo Lärarhandledning kurs E

ISBN 978-91–622–8811-2

www.bonnierutbildning.se

Best.nr 622–8811-2