Page 1

matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Daniel Duf책ker Mikael Marklund

1c

Smak prov ! BONNIERS


Matematik Origo

– ett komplett läromedel Nya Matematik Origo är mer än bara en lärobok. Nya Matematik Origo är också allt det extramaterial och de hjälpmedel som förenklar ditt och elevens arbete och gör det lustfyllt och varierat. Till Matematik Origo läroböcker hör en Lärarguide med tips till din undervisning och kommentarer till läroboken. Dit hör också material för den interaktiva whiteboarden (IWB) och extramaterial tillgängligt online. Vill du hellre arbeta med nya Matematik Origo direkt i datorn, kan du välja den som interaktiv elevbok.

Interaktiv elevbok Den interaktiva elevboken ger eleven möjlighet att arbeta med Matematik Origo i datorn. Här kan eleverna läsa teori och arbeta direkt i datorn. Den interaktiva elevboken kan också användas som plattform för kommunikation mellan lärare och elev. Utkommer ht 2011.

IWB Till Matematik Origo finns ett skräddarsytt material för IWB (interaktiv whiteboard), som hjälper dig att enkelt och snabbt rita grafer, presentera statistik och rita geometriska figurer. Här kommer du också att hitta material till dina genomgångar och mängder med exempel som du kan lösa tillsammans med eleverna. Finns tillgängligt ht 2011.

Aktivitet sveriges användning av olja Oljekonsumtionen i Sverige 1946–2001 miljoner m3 35 30 25

Extrauppgifter

x

y

A

B C x

1

        

2

4a(2a – 5b) ______ 2a – 5b 8a – 20ab __________ _________ = =

12a

(cm)

4·2

1

12a

Multiplicera in i parenteser

Bryta ut faktorer ur uttryck

Vi har multiplicerat in a i parentesen

7  Exempel:

Lösning:

a) 3x2 – 9x3

2145 Multiplicera in

Alltså gäller att 4 · (2 + 5) = 4 · 2 + 4 · 5

När samtliga termer i ett uttryck har en gemensam faktor, som till exempel i 10a + 2, kan man faktorisera uttrycket genom att bryta ut den gemensamma faktorn. I exemplet kan man bryta ut 2 ur både 10a och 2. Resultatet blir:

b) 12a + 5ab

a) 6(5b – a)

c) 6x2 + 14x – 30xy

b) 7x(2x – 5y)

2146 Beräkna 5 · (3 + 6) genom att a) först beräkna summan av uttrycket i parentesen

a) 3(6b + 2a – 4) b) 2,5(7x + 3 + y) 3 5a c) 8a __ + ___ 4 6

(

)

2148 a) Förenkla uttrycket 6(14 – 3x). b) Beräkna värdet av uttrycket för x = 2.

a) 5(7a + 3)

2149 a) Förenkla uttrycket 5(2a + 7) – 3(4a + 8).

b) 2a(3 + 5a) – 3(6a + b)

b) Beräkna värdet av uttrycket för a = 8.

kation

7  Exempel:

a) 5(7a + 3) = 5 · 7a + 5 · 3 = 35a + 15

Lösning:

a) Bryt ut faktorn 3x ur uttrycket 18x2 – 24x. b) Bryt ut största möjliga faktor ur 12x3 – 20x5 a) 18x2 – 24x = 3x(6x – 8) b) 12x3 + 20x5 = 4x3(3 + 5x2)

Vi kunde i stället ha brutit ut t.ex. 2x2 eller x, men 4x3 är den största möjliga faktor som man kan bryta ut.

56 algebra och ekvationer • 2.1 algebraiska uttryck

a)

b)

5a

4 4a + 9b 2 + 3b

10a + 2 = 2(5a + 1)

Multiplicera in och förenkla uttrycket så långt som möjligt.

2154 Skriv ett uttryck för rektanglarnas area och förenkla det så långt som möjligt.

b) inleda med att multiplicera in 5 i parentesen

2147 Multiplicera in

Att faktorisera ett uttryck innebär att man skriver det som en produkt av två eller flera faktorer. Faktorisering används till exempel när man förkortar ett bråk.

b) 2a(3 + 5a) – 3(6a + b) = 6a + 10a2 – (18a + 3b) = = 6a + 10a2 – 18a – 3b = 10a2 – 12a – 3b

lad

2150 Vad ska stå i rutorna? a) 3x + 12 =

(x + 4)

b) 6x2 – 4x =

(3x – 2)

2151 Bryt ut faktorn 8x ur uttrycken

2155 Bryt ut största möjliga faktor.

14 1 6x –

12x2 – 18x = 3x ∙ (4x – 6)

Skriv ett uttryck för rektangelns area och förenkla det så långt som möjligt.

Vill man inleda med ett problem och samtidigt kontrollera elevernas förkunskaper kan man använda ett exempel på det välkända ”Tänk på ett tal...”

3a

– Tänk på ett tal 2a

b

20

Tid

10

= 28

30

20

10

5x = 2 9–

50

40

s

b) 14m2 + 15mn – 16n2

b-uppgifter

2156 Karl är en av 55 medlemmar i en klubb för myntsamlare. Han har a stycken mynt. Lena har 15 mynt mer än Karl. Sara har dubbelt så många mynt som Lena. Nils har ett mynt färre än dubbelt så många som Sara. Teckna ett uttryck för hur många mynt de har tillsammans och förenkla så långt som möjligt.

3(x + 2)

6x

2(3 – 2x)

2152 Vilka olika faktorer är möjliga att bryta ut ur uttrycket 10a2b + 30a – 20a3? algebra och ekvationer • 2.1 algebraiska uttryck 57

1990

1995

2000

• Med hur många procent har användningen av bensin ökat mellan åren 1980 och 2005? • Du kan anta att all olja som vi använder i Sverige importeras. Hur kan du då utifrån data i uppgiften uppskatta hur stor del av världens oljekomsumtion som vi i Sverige använder? • Uppskatta ett genomsnittspris på råolja i USD/fat år 2005 och beräkna utifrån det vad Sveriges import av råolja kostade. År 2005 var 1 USD = 7,16 kr. • Uppskatta hur Sveriges utgifter för oljeimport har förändrats mellan åren 1997 och 2005. Du behöver inte ta hänsyn till valutaförändringarna.

Råoljeprisutveckling 1997–2005 USD/fat 40 35 USD/fat 30 40 25 35 20 30 15 25 10 20 5 15 0 10 5 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 0 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

8x ___ 3 12 = 3

fritaren. med hjälp av gra 2 b) 10x – x – 9 = 0

5 Lös ekvationerna 2 a) x + 4 = 4x 2

c) 4x – 8 = x

Övningsblad

15 20

0 s? hade båten efter 3 a) Vilken hastighet t under den s högsta hastighe b) Vilken var båten visas av grafen? del av loppet som

49

rita grafen till x __ b) y = – 2

6 Gör en tabell och a) y = 4x – 5

2 324 4 x =

Uttryck och parenteser 1

10

y Eldningsolja x 1 Diesel Eldningsolja 1 Bensin Diesel 5 1945 1950 1955 1960 1965 1970 Bensin 1975 1980 1985 1990 1995 2000 0 1945 1950 1955 1960 1965 er 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

15

5 10 0

har und t i ett fjällområde iell tillväxt. 7 Antalet lämlar y s ckor en exponent entialnågra sommarve rna C och a i expon visar Bestäm konstante t så att funktionen funktionen y = C ∙ a t fanns 540 r t veckor, om de antalet lämlar efte lar vid t = 6. 1310 läm lämlar vid t = 0 och

© origo. bonnier

Aktiviteter Kommutativa och associativa operationer

författarna

10 = 12 14x +____ ____ 9

– 8) 7 3(6x

=5

– 4) 8 (5x

– Halvera talet

utbildning och

74 funktioner

2 – 10 = 0 5 0,1x

6

Exempel

30

tionerna

Lös ekva

Vill man bryta ut den största möjliga faktorn får man

c) 63a4 + 21a2 – 56a2b2

a) 8x + 24x2 b) 16x2 – 32xy + 40x

40

ner 1 ekvatio

a) 9x3y – 15x2y2 + 24xy3

2157 Fyll i de tomma fälten, så att uttrycket i varje fält blir summan av uttrycken i de två fält som det står på.

1985

ll Mora. il från Karlstad ti 5 Håkan ska köra b vänt proportionell mot Restiden t h är om ionalitetskon v km/h. Proport medelhastigheten 235. stanten har värdet r restiden miljoner m3 era en formel som beräkna 86 statistik © origo. bonnier utbildning och författarna a) Konstru eten. 35 e på medelhastigh beroend miljoner m3 konstanten för? onalitets 30 35 b) Vad står proporti el 25 30 tion. Ange en formTjockolja njär funk Flygbränsle isar en li 6 Grafen v tion. 20 25 river samma funk som besk Tjockolja Flygbränsle

Hastighet

knop 50

12x2 – 18x = 2 ∙ (6x2 – 9x) eller 12x2 – 18x = x ∙ (12x – 18x)

2153 Bryt ut en faktor ur uttrycken

1980

b-uppgifter

torbåt un igheten för en mo 4 Grafen visar hast tävling. inledningen av en

Övningsb

Lösning Till exempel

NIVÅ 1

På samma sätt gäller för algebraiska uttryck att a · (b + c) = a · b + a · c.

Nu finns det ingen mer gemensam faktor

Faktorn 4a finns i både täljare och nämnare

Parentesen kan alltså tas bort om man samtidigt multiplicerar båda termerna i parentesen med 4.

faktor tal eller uttryck som ingår i en multipli-

3

der

Bryt ut en faktor ur uttrycket 12x2 – 18x

Arean = 4 · 2 + 4 · 5 eller Arean = 4 · (2 + 5)

4·5

                

term tal eller uttryck som ska adderas eller

subtraheras

5

– 20ab Förenkla uttrycket _________ så långt som möjligt. 12a

                 

Viktiga begrepp

2

4

Exempel

Förkorta genom att först bryta ut 4a ur täljaren

1975

x –x 1 y = 2 m 3 1 miljoner Råoljeimport 2003–2005 1 8 –x 3 2 y = 3 7 miljoner m År 2003 8 –x – 4 3 6 y = 3 7 x År 2003 År 2004 4 5 y = 4 6 n. m längre än höjde År 2005 4 År 2004 asen 19 c ngel är b 5 en är 122 cm. 3 I en rekta s area, om omkrets 3 Bestäm r År 2005 4 ektangeln en 2 ne två olika märk 3 en hittar Madelei kr för 1 4 I frysdisk ings kostar 13,60 2 ta ärter. Greenth kg. med frys 0 r 26,40 kr för 1,5 1 k h Fryspunkt kosta n a a 800 g oc is? ge en nd el ar rig Ira st kilopr or ni la zu Na har läg Öv nm ss ita ne Vilket av Da 0 Ry märken Ve orbr a ge St Iran ela ark rig nien land zu Nor Öv nm ss ita ne Da Ry Ve orbr St

D

Lösning:

1970

*1 fat = 159 liter

av 3 Vilken eller vilka graferna visar en funktion y = f(x)?

7  Exempel:

1965

rna. visar bland annat da finns en linjära f mängdunktione statistik som ch m i de 1 Ange k oanvändning, priserb) ochy = 7,2x import av olja. En del av den + 10 visas här. a) y = 5x statistiken 1 7x __ ___ d) y = – 4 + 4 diagrammet och 2beskriv • Studera hur oljekonsumc) y = –x tionen i Sverige har ändrats från år 1970. yD ABC raf hör • Hur har råoljeimporten från Ryssland förändrats 2 Vilken g d vilken ihop mefrån år 2003 till år 2005? funktion?

r har punkterna? 1 Vilka koordinate

B

1960

energikällor. På Svenska Petroleuminstitutets hemsia-uppgifter

a-uppgifter

2 – 3x + 1. Beräkna 2 Låt f(x) = 7x c) f(–1) b) f(2) a) f(0)

1955

I Sverige ionervi minska vårt oljeberoende funktförsöker Speciellagenom att använda mer energi från förnyelsebara

ioner

Allmänt om funkt

C

1950

Efterfrågan på energi i världen ökar hela tiden och olja utgör fortfarande en viktig energikälla. Enligt statistik från år 2005 är världens konsumtion av olja ungefär 82 miljoner fat* per dag (mbpd).

1

För att visa hur man multiplicerar in en faktor i ett uttryck inom parentes tar vi hjälp av en rektangel och beräknar arean i kvadratcentimeter på två olika sätt:

Diesel Bensin 1945

A

8a2

Eldningsolja

5 0

1

Parenteser i uttryck

Flygbränsle

15 10

y

Att kunna multiplicera en faktor med ett algebraiskt uttryck inom parentes, behövs bland annat för att senare kunna faktorisera algebraiska uttryck och för att kunna lösa ekvationer med parenteser. Avsnittet bygger vidare på Att förenkla uttryck, där vi adderade och subtraherade algebraiska uttryck. Avsikten är här att multiplicera in en faktor i ett uttryck inom parentes. Det kan här vara värt att påminna eleverna om potenslagarna och teckenreglerna vid addition och subtraktion med en parentes.

Tjockolja

20

3) = –7

+ (2x –

– Lägg till 7

Lösning Uppgiften kan lösas på två sätt Hela rektangelns area: 3a ∙ (2a + b) = 3a ∙ 2a + 3a ∙ b = 6a2 + 3ab Summan av de två delrektanglarna: 3a ∙ 2a + 3a ∙ b = 6a2 + 3ab

68

lärarguide matematik origo 1c • algebra och ekvationer

– Multiplicera summan med två – Dra bort det tal du tänkte på Har man räknat rätt ska man ha kvar 14. Om eleverna nu kan multiplicera in en faktor i ett uttryck inom parentes, så bör de (åtminstone med lite hjälp) också kunna visa att resultatet är detsamma oberoende av vilket tal man väljer.

= 5 – (8x

– 1) 9 4(3x

Lärarguide

2

2) 10 (x –

69

ing och

arna författ

Extramaterial o. bonnier

Lärarguiden förenklar din vardag. Här hittar du bland annat kommentarer till läroboken, förslag på arbetsuppgifter och tips till din undervisning. Lärarguiden innehåller också fullständiga lösningar till alla uppgifter i läroboken. Utkommer ht 2011. Se nästa uppslag här i smakprovet. lärarguide matematik origo 1c • algebra och ekvationer

+ 4)

=9

utbildn

© orig

ra

34 algeb

Extramaterial till lärare och elever kommer att finnas tillgängligt online. Där kommer du att finna mer träning och mer utmanande uppgifter till dina elever. Där kommer du också att hitta prov till varje kapitel och till varje kurs. Utkommer ht 2011.


Innehåll 1 Tal

6

5 Statistik

182

1.1 Tal på olika former.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

5.1 Tolka statistik.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

1.2 Potenser.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

5.2 Granska statistik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

1.3 Decimalsystemet.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

¤-uppgift, Historia, Tankekarta,

Blandade uppgifter, Problem och undersökningar, Test.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

¤-uppgift, Historia, Tankekarta,

Blandade uppgifter, Problem och undersökningar, Test.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6 Sannolikhetslära

210

2 Algebra och ekvationer

56

6.1 Slumpförsök. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

2.1 Algebraiska uttryck.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

6.2 Slumpförsök i flera steg. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

218

2.2 Ekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.3 Formler.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

¤-uppgift, Historia, Tankekarta,

Blandade uppgifter, Problem och undersökningar, Test.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

¤-uppgift, Historia, Tankekarta,

Blandade uppgifter, Problem och undersökningar, Test.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7 Geometri

234

3 Procent

7.1 Vinklar och bevis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

236

104

7.2 Trigonometri i rätvinkliga trianglar.. . . . . . . .

254

3.1 Procent och procentberäkningar. . . . . . . . . . .

106

7.3 Vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

266

3.2 Ränta och lån. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

¤-uppgift, Historia, Tankekarta,

Blandade uppgifter, Problem och undersökningar, Test.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4 Funktioner

138

4.1 Ekvationer, tabeller och grafer. . . . . . . . . . . . .

142

4.2 Räta linjens ekvation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152

4.3 Vad är en funktion?.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

¤-uppgift, Historia, Tankekarta,

Blandade uppgifter, Problem och undersökningar, Test.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Facit

284

Register

302

¤-uppgift, Historia, Tankekarta,

Blandade uppgifter, Problem och undersökningar, Test.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Matematik Origo 1c Exempel och uppgifter har fokus på naturvetenskapliga och tekniska frågeställningar.


Parenteser i uttryck För att visa hur man multiplicerar in en faktor i ett uttryck inom parentes tar vi hjälp av en rektangel och beräknar arean i kvadratcentimeter på två olika sätt: 2

5

                      4     

(cm)

4·2

Arean = 4 · 2 + 4 · 5 eller Arean = 4 · (2 + 5)

4·5

                

Att kunna multiplicera en faktor med ett algebraiskt uttryck inom parentes, behövs bland annat för att senare kunna faktorisera algebraiska uttryck och för att kunna lösa ekvationer med parenteser. Avsnittet bygger vidare på Att förenkla uttryck, där vi adderade och subtraherade algebraiska uttryck. Avsikten är här att multiplicera in en faktor i ett uttryck inom parentes. Det kan här vara värt att påminna eleverna om potenslagarna och teckenreglerna vid addition och subtraktion med en parentes.

Multiplicera in i parenteser

Alltså gäller att 4 · (2 + 5) = 4 · 2 + 4 · 5 Parentesen kan alltså tas bort om man samtidigt multiplicerar båda termerna i parentesen med 4. På samma sätt gäller för algebraiska uttryck att a · (b + c) = a · b + a · c. Vi har multiplicerat in a i parentesen

Bryta ut faktorer ur uttryck

När samtliga termer i ett uttryck har en gemensam faktor, som till exempel i 10a + 2, kan man faktorisera uttrycket genom att bryta ut den gemensamma faktorn. I exemplet kan man bryta ut 2 ur både 10a och 2. Resultatet blir: 10a + 2 = 2(5a + 1) Att faktorisera ett uttryck innebär att man skriver det som en produkt av två eller flera faktorer. Faktorisering används till exempel när man förkortar ett bråk.

Viktiga begrepp

7  Exempel:

subtraheras faktor tal eller uttryck som ingår i en multiplikation

Multiplicera in och förenkla uttrycket så långt som möjligt. a) 5(7a + 3)

term tal eller uttryck som ska adderas eller

b) 2a(3 + 5a) – 3(6a + b)

Lösning:

a) 5(7a + 3) = 5 · 7a + 5 · 3 = 35a + 15 b) 2a(3 + 5a) – 3(6a + b) = 6a + 10a2 – (18a + 3b) = = 6a + 10a2 – 18a – 3b = 10a2 – 12a – 3b

7  Exempel:

a) Bryt ut faktorn 3x ur uttrycket 18x2 – 24x. b) Bryt ut största möjliga faktor ur 12x3 – 20x5

Lösning:

a) 18x2 – 24x = 3x(6x – 8) b) 12x3 + 20x5 = 4x3(3 + 5x2)

Vi kunde i stället ha brutit ut t.ex. 2x2 eller x, men 4x3 är den största möjliga faktor som man kan bryta ut.

56 algebra och ekvationer • 2.1 algebraiska uttryck

Exempel Skriv ett uttryck för rektangelns area och förenkla det så långt som möjligt.

Vill man inleda med ett problem och samtidigt kontrollera elevernas förkunskaper kan man använda ett exempel på det välkända ”Tänk på ett tal...”

3a

– Tänk på ett tal 2a

b

– Halvera talet – Lägg till 7

Lösning Uppgiften kan lösas på två sätt Hela rektangelns area: 3a · (2a + b) = 3a · 2a + 3a · b = 6a2 + 3ab Summan av de två delrektanglarna: 3a · 2a + 3a · b = 6a2 + 3ab

68 lärarguide matematik origo 1c • algebra och ekvationer

– Multiplicera summan med två – Dra bort det tal du tänkte på Har man räknat rätt ska man ha kvar 14. Om eleverna nu kan multiplicera in en faktor i ett uttryck inom parentes, så bör de (åtminstone med lite hjälp) också kunna visa att resultatet är detsamma oberoende av vilket tal man väljer.


7  Exempel:

Lösning:

Bryt ut en faktor ur uttrycket 12x2 – 18x

Förkorta genom att först bryta ut 4a ur täljaren 2

4a(2a – 5b) ______ 2a – 5b 8a – 20ab __________ _________ = =

Exempel

8a2 – 20ab Förenkla uttrycket _________ så långt som möjligt. 12a

12a

12a

3

Nu finns det ingen mer gemensam faktor

Lösning

Faktorn 4a finns i både täljare och nämnare

Till exempel NIVÅ 1

12x2 – 18x = 2 ∙ (6x2 – 9x) eller 12x2 – 18x = x ∙ (12x – 18x)

2153 Bryt ut en faktor ur uttrycken a) 3x2 – 9x3

2145 Multiplicera in

b) 12a + 5ab

a) 6(5b – a)

c) 6x2 + 14x – 30xy

b) 7x(2x – 5y)

2146 Beräkna 5 · (3 + 6) genom att a) först beräkna summan av uttrycket i parentesen

2154 Skriv ett uttryck för rektanglarnas area och förenkla det så långt som möjligt. a)

b) 4

b) inleda med att multiplicera in 5 i parentesen

4a + 9b 2 + 3b

2147 Multiplicera in a) 3(6b + 2a – 4) b) 2,5(7x + 3 + y) 3 5a c) 8a __ + ___ 4 6

(

5a

)

2148 a) Förenkla uttrycket 6(14 – 3x). b) Beräkna värdet av uttrycket för x = 2.

2149 a) Förenkla uttrycket 5(2a + 7) – 3(4a + 8). b) Beräkna värdet av uttrycket för a = 8.

2150 Vad ska stå i rutorna? a) 3x + 12 =

(x + 4)

b) 6x2 – 4x =

(3x – 2)

2151 Bryt ut faktorn 8x ur uttrycken

2155 Bryt ut största möjliga faktor.

b)

– 32xy + 40x

12x2 – 18x = 3x ∙ (4x – 6)

a) 9x3y – 15x2y2 + 24xy3 b) 14m2 + 15mn – 16n2 c) 63a4 + 21a2 – 56a2b2

2156 Karl är en av 55 medlemmar i en klubb för myntsamlare. Han har a stycken mynt. Lena har 15 mynt mer än Karl. Sara har dubbelt så många mynt som Lena. Nils har ett mynt färre än dubbelt så många som Sara. Teckna ett uttryck för hur många mynt de har tillsammans och förenkla så långt som möjligt. 2157 Fyll i de tomma fälten, så att uttrycket i varje fält blir summan av uttrycken i de två fält som det står på.

a) 8x + 24x2 16x2

Vill man bryta ut den största möjliga faktorn får man

3(x + 2)

6x

2(3 – 2x)

2152 Vilka olika faktorer är möjliga att bryta ut ur uttrycket 10a2b + 30a – 20a3? algebra och ekvationer • 2.1 algebraiska uttryck 57

Övningsblad Uttryck och parenteser 1

Aktiviteter Kommutativa och associativa operationer

Lärarguide Till varje kursbok kommer en Lärarguide. Den ger dig som lärare tips och idéer för din undervisning, uppslag för uppslag. Här hittar du bland annat kommentarer till läroboken, förslag på arbetsuppgifter och tips till din undervisning. Lärarguiden innehåller också fullständiga lösningar till alla uppgifter i läroboken. Utkommer ht 2011.

lärarguide matematik origo 1c • algebra och ekvationer 69


2 Algebra och ekvationer Delkapitel 2.1 Algebraiska uttryck 2.2 Ekvationer 2.3 Formler

Förkunskaper, innehåll och mål

Förkunskaper ˭˭ De fyra räknesätten ˭˭ Prioriteringsreglerna ˭˭ Negativa tal ˭˭ Potenser

Centralt innehåll ˭˭ Generalisering av aritmetikens räknelagar till att hantera algebraiska uttryck. ˭˭ Begreppet linjär olikhet. ˭˭ Algebraiska metoder för att lösa linjära ekvationer, olikheter och potensekvationer. ˭˭ Skillnader mellan begreppen ekvation, olikhet, algebraiskt uttryck och funktion. ˭˭ Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.

48

Varje kapitel inleds med att berätta vilka förkunskaper som behövs och vad eleven förväntas lära sig av kapitlet. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.


O

rdet algebra kommer från arabiskans al-jabr och betyder ungefär ekvationslösning. Det första vetenskapliga arbetet om algebra skrevs 830 e.Kr. av den persiske matematikern al-Khwarizmi. Kring år 1600 började man beteckna tal med hjälp av bokstäver eller symboler. Det räknas som den moderna algebrans födelse. I dag är algebra inte bara ett eget område, utan också ett hjälpmedel inom alla grenar av matematiken. Många matematiska formler som bygger på algebra har stor betydelse i vardagslivet, oftast utan att vi behöver vara medvetna om dem. Till exempel används en slags formler i vågen på affären, i taxibilens taxameter och när telebolaget sammanställer din mobilräkning.

När du är klar med det här kapitlet ska du kunna ˭˭ förenkla och tolka algebraiska uttryck ˭˭ lösa linjära ekvationer och linjära olikheter ˭˭ lösa enkla potensekvationer och utföra beräkningar med potenser med rationella exponenter ˭˭ använda ekvationer för att lösa problem ˭˭ ställa upp, använda och skriva om formler

Bottental Bottentalet till ett antal tal får man genom att skriva dem i varsin ruta på en rad, som i figuren här nedanför och sedan skriva summan av intilliggande tal i rutan under. Det här upprepas tills man fått ett enda tal, bottentalet. • Beräkna bottentalet till utgångstalen 3, 11, 4, 17

3

11

4

17

14

• Vilket tal ska stå i rutan längst till höger om bottentalet ska bli 30?

8

5

1

30 • Kan man utifrån de fyra utgångstalen avgöra ifall bottentalet blir jämnt eller udda? Formulera en regel.

Inledande problem Med ord, bild och ett inledande problem, placeras kapitlets innehåll i ett matematiskt sammanhang.

49


2.1 Algebraiska uttryck

Teckna och tolka uttryck Matematiska problem och beräkningar beskrivs ofta genom uttryck.

Numeriska uttryck

Adam köper 2 hg lösgodis för 6,90 kr/hg, 3 hg cashewnötter för 11,90 kr/hg och en plastkasse för 1,50 kr. Det totala priset i kronor kan beskrivas med uttrycket 6,90 · 2 + 11,90 · 3 + 1,50 Uttrycket innehåller bara siffertermer. Sådana uttryck kallas numeriska uttryck.

Algebraiska uttryck

Om Adam köper x hg lösgodis för 6,90 kr/hg och y hg cashewnötter för 11,90 kr/hg samt en kasse för 1,50 kr, beskrivs priset i kronor av det algebraiska uttrycket 6,90 · x + 11,90 · y + 1,50. I algebraiska uttryck förekommer också tal beskrivna med bokstäver. Om bokstaven i uttrycket kan anta olika värden, kallas den variabel. Namnet variabel kommer av att talet inte har något bestämt värde, utan det kan variera.

Teori och exempel

Koefficienter   

  

6,90x + 11,90y + 1,50 Variabeltermer

Här är x och y variabler

  

  

  

Förståelse skapar motivation. Teorigenomgångarna är skrivna för att vara lätta att följa utan att för den skull väja för det som är svårt. Exemplen är rikligt kommenterade och har utförliga förklaringar.

I exemplet här ovanför är alltså x och y variabler. Med det algebraiska uttrycket kan man beräkna det totala priset oavsett hur mycket godis och nötter Adam väljer att köpa. Man sätter bara in det värde som gäller för x respektive y och beräknar därefter värdet av uttrycket.

Konstantterm

1,50 kallas konstantterm, eftersom den inte innehåller någon variabel och därmed alltid har samma värde. Vanligtvis skriver man inte ut multiplikationstecknet mellan koefficienten och variabeln. Till exempel skrivs 11,90y i stället för 11,90 · y.

7  Exempel:

Bartek spelar poker. Han har a st 5-kronor och b st 10-kronor. a) Tolka uttrycket 5a + 10b. b) Beräkna värdet av uttrycket 5a + 10b, om a = 9 och b = 14. Beskriv med ord vad du har räknat ut.

Lösning:

a) 5a + 10b är det sammanlagda värdet av Barteks marker. b) 5a + 10b = (5 · 9 + 10 · 14) kr = 185 kr. Värdet av Barteks marker är 185 kr.

50 algebra och ekvationer • 2.1 algebraiska uttryck


7  Exempel:

Teckna ett uttryck för rektangelns a) omkrets

y

b) area x

Lösning:

a) Omkrets = x + x + y + y = 2x + 2y Addera koefficienter med lika variabler: x + x = 2x

Svar: Omkrets = 2x + 2y

b) Svar: Area = xy

Nivå 1

Arean = basen · höjden = x · y = xy

2108 Teckna ett uttryck med betydelsen

2101 Ange vad i uttrycket 5a + 8 som är a) variabelterm och konstantterm b) koefficient och variabel

2102 Värdet av ett guldmynt är g kronor och värdet av ett silvermynt är s kronor. Tolka uttrycket a) 4g

b) 2g + 6s

c) g – s

2103 Lina är 7 år. Teckna ett uttryck för hennes ålder om t år. 2104 Om a = 4, vad är då värdet av uttrycket a) 7 + a

b) 5 – 3a

c) 2

2105 Beräkna värdet av uttrycket 9x + 2 om a) x = 3

b) x = 0

c) x = –2

2106 Teckna ett uttryck för rektangelns a

b) hälften av y c) 3 mindre än fyra gånger värdet av b

2109 Cilla äger a stycken cd-skivor. Harald har fem skivor mer än Cilla. Sten har tre gånger så många skivor som Cilla. Nora har hälften så många skivor som Cilla. Teckna ett uttryck för hur många cd-skivor var och en har. 2110 Jakob gillar att läsa böcker och är medlem i en bokklubb. Han äger i dag 158 böcker och varje månad köper han en ny bok för 79 kr på ”månadens erbjudande”. a) Teckna ett uttryck för hur många böcker Jakob har m månader från och med i dag. b) Hur många böcker har Jakob efter 3 år från och med i dag?

Nivå 2 2111 Ett heltal betecknas med m. Ange ett uttryck för

2a

a) omkrets b) area

2107 Teckna ett uttryck för triangelns x

a) 5 mer än x

y z

a) omkrets b) area

a) heltalet närmast före m b) heltalet närmast efter m c) summan av m och de två talen i uppgift a) och b)

2112 Heltalet x är ett udda tal. Teckna uttryck för de två närmast följande jämna heltalen.

algebra och ekvationer • 2.1 algebraiska uttryck 51


Parenteser i uttryck För att visa hur man multiplicerar in en faktor i ett uttryck inom parentes tar vi hjälp av en rektangel och beräknar arean i kvadratcentimeter på två olika sätt: 2

5

                  (cm)

4·2

Arean = 4 · 2 + 4 · 5 eller Arean = 4 · (2 + 5)

4·5

                

4

        

Multiplicera in i parenteser

Alltså gäller att 4 · (2 + 5) = 4 · 2 + 4 · 5 Parentesen kan alltså tas bort om man samtidigt multiplicerar båda termerna i parentesen med 4. På samma sätt gäller för algebraiska uttryck att a · (b + c) = a · b + a · c. Vi har multiplicerat in a i parentesen

Bryta ut faktorer ur uttryck

När samtliga termer i ett uttryck har en gemensam faktor, som till exempel i 10a + 2, kan man faktorisera uttrycket genom att bryta ut den gemensamma faktorn. I exemplet kan man bryta ut 2 ur både 10a och 2. Resultatet blir: 10a + 2 = 2(5a + 1) Att faktorisera ett uttryck innebär att man skriver det som en produkt av två eller flera faktorer. Faktorisering används till exempel när man förkortar ett bråk.

7  Exempel:

Multiplicera in och förenkla uttrycket så långt som möjligt. a) 5(7a + 3) b) 2a(3 + 5a) – 3(6a + b)

Lösning:

a) 5(7a + 3) = 5 · 7a + 5 · 3 = 35a + 15 b) 2a(3 + 5a) – 3(6a + b) = 6a + 10a2 – (18a + 3b) = = 6a + 10a2 – 18a – 3b = 10a2 – 12a – 3b

7  Exempel:

a) Bryt ut faktorn 3x ur uttrycket 18x2 – 24x. b) Bryt ut största möjliga faktor ur 12x3 – 20x5

Lösning:

a) 18x2 – 24x = 3x(6x – 8) b) 12x3 + 20x5 = 4x3(3 + 5x2)

56 algebra och ekvationer • 2.1 algebraiska uttryck

Vi kunde i stället ha brutit ut t.ex. 2x2 eller x, men 4x3 är den största möjliga faktor som man kan bryta ut.


7  Exempel:

Lösning:

8a2 – 20ab  ​  Förenkla uttrycket ​ _________  så långt som möjligt. 12a Förkorta genom att först bryta ut 4a ur täljaren

Problemlösning för alla 4a(2a – 5b) ______ 2a – 5b ​8a​2​– 20ab __________ Nu finns det ingen mer  ​  = ​   ​  = ​   ​  ​ _________       gemensamFärdighetsträning faktor behövs, men 12a 12a 3

räcker inte. Matematik Origo har problemlösning för alla elever på alla nivåer. Behövs mer träning eller mer utmanande uppgifter, så finner du det i Matematik Origo Extramaterial.

Faktorn 4a finns i både täljare och nämnare

Nivå 1

2153 Bryt ut en faktor ur uttrycken a) ​3x​2​– ​9x​3​

2145 Multiplicera in

b) 12a + 5ab

a) 6(5b – a)

c) ​6x​2​+ 14x – 30xy

b) 7x(2x – 5y)

2146 Beräkna 5 ∙ (3 + 6) genom att a) först beräkna summan av uttrycket i parentesen

2154 Skriv ett uttryck för rektanglarnas area och förenkla det så långt som möjligt. a)

b)

b) inleda med att multiplicera in 5 i parentesen

4a + 9b 2 + 3b

2147 Multiplicera in a) 3(6b + 2a – 4) b) 2,5(7x + 3 + y) 3 5a c) 8a​  ​ __  ​+ ​ ___ ​   ​ 4 6

( 

)

2148 a) Förenkla uttrycket 6(14 – 3x). b) Beräkna värdet av uttrycket för x = 2.

2149 a) Förenkla uttrycket 5(2a + 7) – 3(4a + 8). b) Beräkna värdet av uttrycket för a = 8.

2150 Vad ska stå i rutorna? a) 3x + 12 = b)

6x2

– 4x =

5a

4

(x + 4) (3x – 2)

2151 Bryt ut faktorn 8x ur uttrycken

2155 Bryt ut största möjliga faktor. a) 9x3y – ​​15x​2​y2​ ​+ ​24xy​3​ b) ​14m​2​+ 15mn – ​16n​2​ c) ​63a​4​+ ​21a​2​– ​56a​2​​b​2​

2156 Karl är en av 55 medlemmar i en klubb för myntsamlare. Han har a stycken mynt. Lena har 15 mynt mer än Karl. Sara har dubbelt så många mynt som Lena. Nils har ett mynt färre än dubbelt så många som Sara. Teckna ett uttryck för hur många mynt de har tillsammans och förenkla så långt som möjligt. 2157 Fyll i de tomma fälten, så att uttrycket i varje fält blir summan av uttrycken i de två fält som det står på.

a) 8x + 2​ 4x​2​ b) ​16x​2​– 32xy + 40x

3(x + 2)

6x

2(3 – 2x)

2152 Vilka olika faktorer är möjliga att bryta ut ur uttrycket 10a2b + 30a – 20a3? algebra och ekvationer • 2.1 algebraiska uttryck 57


Nivå 2 2158 a) Förenkla uttrycket 9(3y – 5z) – (14y – z) så långt som möjligt.

2164 Fyll i de tomma fälten, så att uttrycket i varje fält blir summan av uttrycken i de två fält som det står på. a)

b) Beräkna värdet av uttrycket för y = –2 och z = 2.

a+b

2159 Rita en figur som visar sambandet 4(a + b) = 4a + 4b.

b) 4(2a – 1)

2160 Förenkla uttrycken så långt som möjligt. a) 9(3 – 5x) – 6(4 – 8x) b) 2a(3 – 8a + b) – 7b(4 + 2a) 2a a 6 4x 21y c) ​ ___ ​ ​  14 + ​ __  ​  ​+ ​ __  ​​  ​ ___ ​ – ​ ___ ​   ​ 7 2 7 3 4

( 

) ( 

)

2161 Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

8a

2165 Förenkla uttrycken så långt som möjligt. ​20x​3​+ ​5x​2​ ​15a​2​– 6a  ​   b) ​ _________  ​       a) ​ ________ 5a – 2 2xy + ​8x​2​y ​64a​4​ ​16a​3​b – 18​a2​ ​​b​2​  ​   d) ​ __________  ​ c) ​ ____________        2 36ab – 32​a​ ​ ​32a​10​+ ​24a​4​

b) 7b(a + b) – 6a(b – a) + ​5a​2​

2162 Förenkla uttrycken genom att först bryta ut faktorn 2a. 20ab – ​2ab​2​ 1​ 6a​3​+ ​8a​2​  ​  b) ​ __________  ​  a) ​ _________     6a ​10a​2​ 2163 Förenkla uttrycken så långt som möjligt. 6​ x​2​– 15xy  ​    a) ​ _________ 5xy 40x3y

28x2y2

36y3

+ – b) ​ __________________     ​    12x4y4

7a 2(a + 2)

Nivå 3

a) 14(2x + 3y) – 5(14y + 3x – 5) c) –9x(​x​2​+ 3x) – ​6x​2​(8x – 13)

3(a – b) 2(a + b)

2166

a) Beräkna summorna av datumen i kvadratens två diagonaler. Vilken iakttagelse kan du göra? b) Pröva med att göra en likadan kvadrat på ett annat ställe i almanackan. c) Förklara resultatet.

Kommunikationsuppgifter

Diskutera och fundera • Vad är skillnaden mellan variabelterm, koefficient och konstantterm? • Hur beräknar man värdet av ett uttryck? • Vad menas med termer av samma slag? • Vad menar man med största möjliga faktor? • Vilka fördelar kan det finnas med att faktorisera ett uttryck?

58 algebra och ekvationer • 2.1 algebraiska uttryck

Varje delkapitel avslutas med Diskutera och fundera, påståenden som prövar elevernas begreppsförståelse och inbjuder eleverna till att samtala matematik.


¤-uppgift

Mount Everest – världens tak ¤-uppgift I alla kapitel möter eleverna en större uppgift, som vi har valt att kalla ¤-uppgift. Här finns möjlighet för eleverna att använda flera olika matematiska förmågor och visa de kvaliteter som behövs för ett högre betyg.

Zon III: 5 500 till 7 000 meter Här är risken för att få höjdsjuka stor. Det är möjligt att befinna sig på dessa höjder endast under kortare tider. Zon IV: Över 7 000 meter Denna zon kallas också dödszonen. Man kan överleva högst fem dygn på denna höjd. Läger 4 finns på 8 300 m. Därifrån är det cirka 12 h klättring kvar till toppen. Mount Everests topp ligger på 8 848 m. ”Vilken idiot som helst kan nå toppen, tricket är att ta sig ner.” Citatet är från Rob Hall, som omkom år 1996 på Mount Everest efter att ha bestigit toppen för sent på eftermiddagen. Regeln är att inte nå toppen senare än klockan 14.00. Då riskerar man att behöva övernatta nära toppen, vilket är väldigt riskabelt. På Mount Everest finns ett basläger, där klättringsexpeditionerna slår upp sina läger. Uppe på berget finns det sedan fyra olika läger där man successivt kan acklimatisera sig och vänja sig vid det allt lägre lufttrycket. Man kan dela in berget i olika zoner: Zon I: Upp till 3 600 m Zon II: 3 600 till 5 500 meter Baslägret ligger på 5 200 m.

• När behöver man lämna läger 4 för att inte nå toppen för sent? • Skriv ett numeriskt uttryck för höjdskillnaden mellan Mount Everest topp och baslägret. • Använd formeln för lufttrycket i uppgift 3309 och beräkna lufttrycket vid toppen av Mount Everest, vid baslägret och vid havsytan. • Vilken genomsnittlig hastighet har en klättrare på vägen mellan läger 4 och toppen? • En klättrare är på väg ner från toppen. Anta att det tar lika lång tid att ta sig ner till läger 4 som att ta sig upp. Skriv en formel för höjden y meter som klättraren befinner sig på efter x minuter. • Hitta på en egen formel utifrån texten. Formulera ett problem där formeln kan användas. Låt en kamrat lösa problemet. algebra och ekvationer • ¤-uppgift 87


historia

Fibonaccis talföljd Leonardo Fibonacci Leonardo Fibonacci eller Leonardo från Pisa, som han också kallades, levde omkring år 1200. Fibonacci skötte uppdrag åt köpmän som bedrev handel med länderna runt Medelhavet. Under sina många resor kom han i kontakt med såväl arabiska som grekiska matematiker. I boken Liber abbaci, som utkom år 1202, sammanfattade han vad han hade lärt sig om aritmetik (räknekonst) och algebra. I den boken presenterar han också de arabiska siffror om vi i stort sett använder än i dag. Fibonacci är mest känd för att han har gett namn åt en talföljd. Talföljden börjar med två 1:or. Varje tal i följden är sedan summan av de två föregående talen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Leonardo Fibonacci (1170–1250). Månad 1 2

Antal ˭ kaninpar = 1 1

3

2

4

3

5

A

5

C

B

Fibonaccis talföljd återspeglas i många mönster i naturen. Ett vanligt exempel är hur en viss sorts kaniner förökar sig. Man tänker sig då att ett kaninpar föds. Efter en månad blir kaninerna könsmogna och kan då föda ytterligare ett par kaniner en månad senare. Varje månad får varje könsmoget kaninpar ett nytt par. Så länge som inga kaniner dör, kommer då antalet par att växa enligt Fibonaccis talföljd. Talföljden kan fortsätta i all evighet. Om man bildar kvoten av ett tal med det närmast efterföljande, så bildas en ny talföljd: 1 1 2 3 5 8 __ ​    ​, ​ __  ​, ​ __  ​, ​ __  ​, ​ __  ​, ​ ___  ​,  ... 1 2 3 5 8 13

I pärlbåtsnäckans spiraler ger ˭ förhållandet mellan diametrarna CB gyllene snittet: ​ ____  ​ ≈ 0,618. AB

Kvoten kommer så småningom att närma sig: Historia __

​√5 ​ – 1    ​ ______  ​   ≈ 0,618

I alla kapitel finns en eller två sidor med historiska avsnitt som belyser matematiken ur Talet 0,618 betecknar gyllene snitett idéhistoriskt perspektiv. Här tet. Du kommer att läsa mer om ges bakgrunden till den mategyllene snittet på sidan 207. matik som kapitlet tar upp.

2

? Fortsätt skissen av kaninernas fortplantning månad 6 till och med 8.

88 algebra och ekvationer • historia


tankekarta

Algebra och ekvationer Algebra

Ekvationer

• uttryck

• likhet

• ekvationer • formler

Uttryck

Tankekarta

• HL = VL

I slutet av varje kapitel finns en tankekarta som sammanfattar kapitlet. Det hjälper eleverna att sortera och analysera hur de matematiska begreppen hänger ihop.

• förstagradsekvation • andragradsekvation • tredjegradsekvation • fjärdegradsekvation • potensekvationer

• variabel • koefficient • konstant • förenkla • faktorisera, bryt ut • förkorta

Rotuttryck

__  __ √    __ √   

• att lösa potensekvationer

Formler

• ​√ a ​= a1/2 roten ur, kvadratroten ur

• samband mellan variabler

• ​   a ​= a1/n där a ≥ 0 och n = 2, 3, …

3

• ​   a ​= a1/3 kubikroten ur n

• formelsamling • för ett speciellt tillfälle • lösa ut en variabel • mönster

Mönster

Summor

Ekvationslösning

• talföljd

• aritmetisk summa

• med övertäckning

• element

• ∑-tecknet

• allmän lösningsmetod

• rekursiv formel • sluten formel • aritmetisk talföljd

algebra och ekvationer procent • tankekarta 89


blandande uppgifter

Blandade uppgifter

nivå 1

Till varje kapitel hör flera sidor med blandade uppgifter. Det är en blandning av uppgifter från hela kapitlet indelade i tre olika nivåer.

1 Förenkla uttrycken så långt som möjligt. a) 2 – 6y + 3 + 2y b) 18m + (13n + 2m) – (13n + 10m)

2 Lös ekvationerna med övertäckning 36 7x + 16  ​  b) ​ _______ =6  = 4    ​  a) ​ _______ 11 3(x – 5) 3 Lös ekvationen 2(3 – 6x) = 2x – (24 – x) 4 Bryt ut faktorn 3x ur a) 3x2 – 6x b) 12xy + 6x

5 Lös ekvationerna a) 0,5x + 0,3 = 3,8 b) –12y – 1,2 = 3 4x c) ​ ___ ​ – 4 = 16 3

6 Lös ekvationen 4(x – 3) + 7 = 35 7 Formulera ett problem där ekvationen ö 500 – 3x = 128 är en del av lösningen. 8 Beräkna de fyra första elementen i talföljderna som beskrivs av a) an = 2n b) an = n – 1 c) an = 2n – 1 d) an = n2 + 1

9 Studera talföljden 100, 104, 108, … a) Beskriv den med en formel. b) Bestäm a6. c) Beräkna summan av de 10 första elementen i talföljden.

90 algebra och ekvationer • blandade uppgifter

10 Om jag subtraherar 12 från ett tal, så får jag kvar en tredjedel av talet. Ställ upp en ekvation och bestäm det ursprungliga talet. 11 Summan av tre på varandra följande heltal är 111. Ställ upp en ekvation och bestäm talen. 12 Lös ekvationerna exakt.

1 b) y2 = __ ​    ​ 9

a) x2 = 100

c) b2 = 0,5

13 Teckna en ekvation för följande händelser: a) Stefan har vunnit två veckor i rad på V75. Första gången vann han x kr och andra 350 kr mer. Sammanlagt vann han 4 740 kr. b) Martin lastar sin släpvagn med 12 brädor som var och en väger x kg. Sedan lägger han på två byggskivor som tillsammans väger 92 kg. Hela lasten väger 164 kg. c) Elin och Lotta brukar tävla om vem som kommer först till skolan. De senaste tre veckorna har Elin kommit först x gånger och Lotta dubbelt så många gånger. d) Arvids lön är x kr/mån. Han betalar 5 830 kr i skatt, vilket är 1/3 av lönen.

14 Maria, Andreas och Patrik springer stafett. Andreas springer på dubbelt så lång tid som Maria, och Patrik på 27 minuter längre än Andreas. Tillsammans har de sprungit på 2 timmar och 22 minuter. Hur lång tid behövde var och en på sin sträcka? 15 Eva och Lina har vunnit 4 300 kr på tipset. Eva ska ha dubbelt så mycket som Lina, men innan de delar vinsten måste de betala tillbaka de 700 kr som de lånat av Linas mamma. Ställ upp en ekvation och bestäm hur mycket Eva får. 16 Tändstickor läggs i mönster på följande sätt: 1

2

3

4

a) Finn en rekursiv formel för att beskriva antalet stickor i figur n. b) Finn en sluten formel för att beskriva antalet stickor i figur n.


En förening har sin klubbstuga vackert belägen vid en fiskesjö. Stugan har 30 bäddar för övernattning. Förutom att ha föreningsaktiviteter i stugan, så finns den också till uthyrning. När man hyr stugan betalar man varje dygn dels en grundavgift på 600 kr, dels en avgift på 50 kr per gäst. Föreningen informerar om detta på sin hemsida. Där vill man också lägga ut en funktion som snabbt beräknar kostnaderna om man knappar in antalet nätter och antalet gäster. Hjälp föreningen genom att införa lämpliga variabler och ange beräkningsformler till de rutor som finns på hemsidan. Antal gäster Antal nätter Total summa Total summa per gäst Total summa per natt för varje gäst

Roten ur två Med hjälp av en gissning och formeln 2    ​  ​  Gissning + _______ Gissning  ​ Nästa värde = ________________ ​       2 __ kan man uppskatta värdet av ​√2 ​    . Man börjar med en gissning och beräknar Nästa värde med hjälp av formeln. Nästa värde kommer att vara en bättre __ uppskattning av √ ​ 2 ​    än gissningen. Låter man sedan Nästa värde vara Gissning och gör om beräkningen får man ett ännu bättre värde. Det här kan __ man kan sedan upprepa tills man får ett så bra värde på √ ​ 2 ​    som man önskar. • Börja med en gissning som du vet är för liten. Vad blir Nästa värde? • Välj en gissning som du vet är för stor. Vad blir nästa värde? • Gör en ny gissning och upprepa fem gånger genom att låta Nästa värde__ sedan vara Gissning. Hur nära blev ditt resultat det verkliga värdet av √ ​ 2 ​    ? • Förklara varför Nästa värde alltid blir en minst lika bra uppskattning av ​ __ √ 2 ​ som värdet på Gissning. Matematiska förmågor Matematik Origo låter eleverna omvänd sifferföljd utveckla olika matematiska förmågor. I alla kapitel tränas kom• Välj ett tvåsiffrigt tal 59 munikations-, resonemangs- och • Kasta om ordningen mellan siffrorna 95 problemlösningsförmågorna. • Bilda differensen av de två talen

95 – 59 = 36

• Välj nya tvåsiffriga tal och upprepa proceduren. Vilket tal är differensen alltid delbar med? • Bevisa att differensen alltid är delbar med just det talet. Du kan utnyttja att ett tvåsiffrigt tal kan skrivas 10a + b, där a och b är heltal mellan 0 och 9. algebra och ekvationer • problem och undersökningar 93

problem och undersökningar

klubbstugan


kapiteltest

Del 1 Utan räknare

1 a) Förenkla uttrycket 2x – 3y + 4x + 5y – 6 b) Beräkna värdet av uttrycket om x = 2 och y = 5.

2 Lös ekvationen a) 3x – 8 = 13,5 b) 4(2x – 1) = 3 – (2x + 2)

3 Pia betalar 49 öre per minut när hon ringer med sin mobiltelefon. Ett sms kostar 69 öre. Hennes faktura bestäms av uttrycket 0,69x + 0,49y. Vad betyder variablerna x och y?

4 Lös ut a ur 3ab + c = d

5 Skriv det matematiska uttrycket som med ord kan sägas ”y är tre mindre än dubbelt så stort som x”.

6 Vilka tal beskrivs på tallinjen? x

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

7 Lös olikheten a) 3x – 6 < –11 b) 86 – 6x < 4x + 6

5

8 Uttrycket ​∑   ​(  10i + 2)​ beskriver en aritmetisk summa. i=1

a) Bestäm uttryckets största och minsta term. b) Beräkna summan.

9 Jamal tänker på ett tal. Han multiplicerar det med 5, adderar 7 till produkten och dividerar summan med 4. Kvoten blir 13. Vilket tal tänkte Jamal på? 10 Enligt Pythagoras sats gäller x2 + (2x)2 = 402 för triangeln här nedanför. x

40

2x

Bestäm triangelns area.

94 algebra och ekvationer • kapiteltest


Del 2 Med räknare

1 Formeln P = U · I används för att beräkna effekten i en elektrisk krets. Bestäm strömmen I i ampere, om effekten P är 60 watt och spänningen U är 230 volt.

2 Lös ekvationerna a) x3 = 5 832 b) (2x + 2)6 = 46 656

3 Temperaturen i en ugn t minuter efter att den slagits av är T °C och beskrivs av formeln k t T = T0 · ​​  1 – ____ ​     ​  ​​​ 100 T0 °C är temperaturen då ugnen slogs av och k anger hur många procent temperaturen sjunker med för varje minut.

( 

)

a) Bestäm k, om T0 = 225 °C och T = 100 °C efter 15 min. b) Tolka betydelsen av det du räknade ut i a).

4 Låt p(x) = 2x2 + 3x – 4 och q(x) = 3x + 2 vara två uttryck. Avgör om följande påståenden är sanna eller falska och motivera ditt svar.

a) p(–1) = –4 b) p(x) + 5 · q(x) = 2x2 + 18x – 2 c) Det finns ett reellt tal a, sådant att p(a) = q(a)

5 Som du kanske känner till, kan summan av de n första positiva heltalen n(n + 1)  ​  . Till exempel har vi beräknas med formeln _______ ​    2 n

Summans uttryck

1

1

2

1+2

3

1+2+3

n insatt i formeln

Summans värde

1(1 + 1)  ​  ​  ________   2 2(2 + 1) ​ ________  ​    2 3(3 + 1) ​ ________  ​    2

1 3 6

Test

Du ska nu undersöka vad som händer när man adderar summan för två på Sist i varje kapitel ligger ett test, följande värden på n. Till exempel gäller att om man adderar varandra som direkt knyter an till målen i summorna för n = 1 och n = 2, så är resultatet 1 + 3 = 4. kapitlets inledning. Det ger eleverVilka iakttagelser kan du göra? Ställ upp en hypotes. Försök bevisa att den na möjlighet att själva kontrollera stämmer sina kunskaper. Testet är uppdelat oavsett vilka två värden på n man väljer, så länge man tar två på i två delar: en del som skavarandra lösas följande värden. Här ges förslag på en arbetsgång. utan räknare och en del där • räknaBeräkna summan för några andra värden på n än de som finns ovan. ren får användas. • Utför den beskrivna additionen för några olika värden på n. • Ställ upp en hypotes över dina iakttagelser. • Bevisa din hypotes. algebra och ekvationer • kapiteltest 95

kapiteltest


Nya Matematik Origo

matem

atik

Attila Sza Niclas Lar bo son Gunilla Viklund Mikael Markl Daniel Du und fåker

k emati

mat

1b

1c

Szabo Attila Larson Niclas Viklund Gunilla rklund Ma Mikael Dufåker Daniel

BO NN

IE R BO N N

Nya Matematik Origo är skriven för den nya ämnesplanen i Gy 2011 och finns i två serier, 1b för samhällsvetenskapligt, estetiskt och humanistiskt program och 1c för naturvetenskapligt och tekniskt program. Matematik Origo för kurs 1b och 1c kommer under våren 2011. Sedan följer övriga böcker i den takt du kommer att behöva dem. Matematik Origo 2c blir klar under hösten 2011. Problemlösning, resonemang Matematik Origo 1b och kommunikation 523-0924-7, 336 sidor, 269:Matematik Origo 1c 523-0925-4, 304 sidor, 269:Matematik Origo 2c (utkommer ht 2011) 523-0970-4, 240 sidor, 269:Matematik Origo Lärarguide 1b (utkommer ht 2011) 523-0971-1, 525:Matematik Origo Lärarguide 1c (utkommer ht 2011) 523-0972-8, 525:-

Matematik Origo har en tydlig struktur och ett stort matematikinnehåll. Genomtänkta realistiska uppgifter utmanar eleven till fördjupad matematisk förståelse och ger eleven möjlighet att utveckla olika matematiska förmågor. Stor vikt läggs vid problemlösning och matematiska resonemang. Med Matematik Origo får eleven god begreppsförståelse och stimuleras till kommunikation och kreativitet.

˭˭ Varje kapitel inleds med aktuellt centralt innehåll från nya ämnesplanen. Här presenteras också tydliga målbeskrivningar. Kapitlet avslutas med ett

test. Det här gör det lättare för eleven att ta ansvar för sitt eget lärande och att kontrollera sina kunskaper. ˭˭ Förståelse väcker intresse och motivation. I Matematik Origo ges stort utrymme till förklaringar av matematiken. Teori och exempel är skrivna så att eleven lätt kan följa med i framställningen. ˭˭ Matematik Origo har inspirerande utmaningar för alla elever. Här finns problemlösning och kommunikationsuppgifter för alla elever. I varje kapitel presenteras också en ¤-uppgift, en större uppgift där eleven får möjlighet att använda flera olika matematiska förmågor.

Lärarguide Till varje kursbok kommer en Lärarguide. Den ger dig som lärare tips och idéer för din undervisning, uppslag för uppslag. Dessutom innehåller Lärarguiden fullständiga lösningar till alla uppgifter.

Författare: Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Daniel Dufåker och Mikael Marklund Har du frågor om Matematik Origo kontakta: Eva Andersson, marknadsförare, eva.andersson@bonnierutbildning.se, 08 – 696 86 14 Lena Bjessmo, redaktör, lena.bjessmo@bonnierutbildning.se, 08 – 696 80 09 Olof Edblom, redaktör, olof.edblom@bonnierutbildning.se, 08 – 696 85 97

IE RS

S

© 2011 Författarna och Bonnierutbildning AB Grafisk form & Produktion: Typoform Tryck: Exaktaprinting, Malmö 2011

– för det nya gymnasiet 2011

9789152309254  

Smakpr ov! matematik matematik BONNIERS Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Daniel Dufåker Mikael Marklund

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you