9789150118391

6

Recept att räkna med inlaga.indd 6

2015-12-18 09.22

Till mina föräldrar och Martin Hyland.

Till minnet av Christine Pembridge.

Nyfiken på mer?

Titta in på www.alfabeta.se

Engelska originalets titel: Cakes, Custard + Category Theory Ursprungligen publicerad av Profile Books, London Copyright © 2015 Eugenia Cheng Copyright © 2016 svensk utgåva: Alfabeta Bokförlag AB, Stockholm Bilderna av vägskyltar, copyright Crown, publiceras under Open Government Licence Översättning: Anders Holmberg Omslag: Steve Panton Tryck: ScandBook, Falun 2016 ISBN 978-91-501-1839-1 2

Recept att räkna med inlaga.indd 2

2015-12-18 09.22

Eugenia Cheng

Recept att räkna med Översättning: Anders Holmberg

ALFABETA 1

Recept att räkna med inlaga.indd 1

2015-12-18 09.22

Det sägs att matematiken är en fantastisk trädgård. Jag vet att jag alldeles säkert skulle ha gått vilse utan din hjälp. Tack för att du vandrade tillsammans med oss längs de vackraste stigarna i den.

Ur ett brev till författaren från en student vid universitetet i Chicago, juni 2014.

3

Recept att räkna med inlaga.indd 3

2015-12-18 09.22

Innehåll Förord 7 Del 1 Matematik 1 Vad är matematik? 13 2 Abstraktion 20 3 Principer 51 4 Processer 64 5 Generalisering 77 6 Inre mot yttre 104 7 Axiomatisering 122 8 Vad matematik är 147 Del 2 Kategoriteori 1 Vad är kategoriteori? 167 2 Kontext 172 3 Relationer 189 4 Struktur 212 5 Likhet 228 6 Universella egenskaper 246 7 Vad kategoriteori är 270 Tack 287

5

Recept att räkna med inlaga.indd 5

2015-12-18 09.22

Förord Här är ett recept på vispgrädde.

Ingredienser Grädde Gör så här 1. Häll grädden i en riskokare.

2. Sätt den på ”varm”, med locket en aning öppet, under cirka 8 timmar.

3. Kyl i kylskåp i cirka 8 timmar.

4. Skrapa av den övre delen: det är vispgrädden.

Vad i hela världen har detta med matematik att göra?

Matematiska myter ”Matematik handlar bara om tal.”

Du kanske tror att en riskokare är avsedd för att koka ris? Det är sant, men samma utrustning kan också användas till andra saker: göra vispgrädde, koka grönsaker, ånga en kyckling. På samma sätt handlar matematik om tal, men det handlar också om många andra saker. ”Matematik handlar bara om att få fram rätt svar.”

Att laga mat innebär att blanda ingredienser så det blir gott. Ibland är själva metoden nästan viktigare än ingredienserna, som i receptet för krispig anka, där metoden är huvudsaken. Matematik är att sätta samman idéer för att få fram nya, spännande idéer. Och ibland handlar det mer om metoden än om ”ingredienserna”.

7

Recept att räkna med inlaga.indd 7

2015-12-18 09.22

”Matematik är antingen rätt eller fel.”

Matlagning kan gå fel – äggen kan stelna, sufflén kan falla ihop, kycklingen kan vara halvkokt och ge alla matförgiftning. Men även om du inte blir förgiftad så smakar viss mat bättre än annan. Och ibland, då matlagningen blir ”fel” har du av misstag uppfunnit ett delikat nytt recept. Hopfallen chokladsufflé är underbart mörk och kladdig. Om du glömmer att smälta chokladen till dina kakor så får du chokladbitskakor. Matematik fungerar på samma sätt. Om du på högstadiet skrev 10 + 4 = 2 skulle du få fel, men det är rätt under vissa förutsättningar, till exempel för att tala om vad klockan är – fyra timmar senare än klockan 10 är klockan 2. Matematikens värld är mycket märkligare och underbarare än vissa människor har lust att berätta … ”Är du matematiker? Då måste du vara riktigt smart.”

Samtidigt som jag tycker om tanken att jag skulle vara väldigt smart, visar denna vanliga myt att människor tycker att matematik är svårt.

Den sällan insedda sanningen är att målet med matematik är att göra saker och ting lättare. Och häri ligger problemet – om du måste göra saker lättare att förstå betyder det att de var svåra från början.

Matematik är svårt, men den gör också svåra saker lättare. Faktum är att på grund av att matematik är svårt, gör matematiken också matematiken enklare.

Många är antingen rädda för matematiken eller förbryllade av den, eller båda. Eller så blev de fullständigt avskräckta av lektionerna på högstadiet. Jag förstår det – jag blev helt avskräckt av idrott under lektionerna på högstadiet, och har aldrig riktigt kommit över det. Jag var så dålig att mina lärare tvivlade på att det fanns någon annan som var lika eländig. Och ändå är jag hyfsat vältränad nu, och har till och med sprungit New York maraton. I varje fall så uppskattar jag fysisk träning, men jag känner fortfarande en skräck inför alla sorters lagidrott.

8

Recept att räkna med inlaga.indd 8

2015-12-18 09.22

”Hur forskar man inom matematik?

Du kan ju inte bara upptäcka ett nytt tal.”

Denna bok är mitt svar på frågan. Det är svårt att besvara den snabbt, som på ett cocktail party, utan att låta banal, eller ta upp för mycket av någons tid, eller chocka det samlade sällskapet. Ja, ett sätt att chocka människor på en trevlig fest är faktiskt att prata om matematik. Men det är sant, man kan inte bara upptäcka ett nytt tal. Så hur upptäcker vi det nya inom matematiken? För att förklara vad denna ”nya matematik” möjligen skulle kunna handla om, behöver jag undanröja några missförstånd om vad matematik egentligen är. Det finns områden inom matematiken som inte enbart handlar om tal, och den del av matematiken jag kommer att beskriva handlar inte alls om tal. Den kallas Kategoriteori och kan betraktas som ”matematiken om matematik”. Det handlar om samband, innehåll, processer, principer, strukturer, kakor, vaniljkräm.

Ja, till och med kräm.

Eftersom matematik handlar om att hitta analogier kommer jag att visa analogier till många olika områden för att förklara hur matematik fungerar. Till exempel kräm, kakor, paj, smördeg, munkar, frallor, majonnäs, yoghurt, lasagne, sushi.

Vad du än tror att matematik är … glöm det nu.

Det här kommer att bli annorlunda.

9

Recept att räkna med inlaga.indd 9

2015-12-18 09.22

Del 1 Matematik

11

Recept att räkna med inlaga.indd 11

2015-12-18 09.22

1 Vad är matematik?

Glutenfria brownies Ingredienser 100 g smör 125 g mörk choklad 2 dl strösocker 1 dl potatismjöl 2 ägg Gör så här 1. Smält smöret och chokladen, rör ihop och låt det svalna en stund.

2. Vispa ägg och socker poröst.

3. Rör försiktigt ner chokladen i äggblandningen.

4. Vänd ner potatismjölet.

5. Grädda i små formar i 175 °C, cirka 10 minuter, eller tills de är klara och ser ut så som du vill ha dem.

M

atematik har, precis som recept, både ingredienser och en metod. Och precis som receptet skulle vara ganska oanvändbart om metoden utelämnades kan vi inte förstå matematik såvida vi inte talar om hur vi gör, inte bara vad den undersöker. Metoden i receptet ovan är ganska viktig – brownies gräddas inte så bra i en stor form.

Inom matematiken är kanske metoden ännu viktigare än ingredienserna. Matematik är troligen inte det som du studerade i grundskolan på lektionerna som kallades ”matte”. Ändå visste jag alltid på något sätt att matematiken var mer än det vi gjorde i grundskolan.

Så, vad är matematik?

13

Recept att räkna med inlaga.indd 13

2015-12-18 09.22

Kokböcker – vad skulle hända om vi organiserade recepten efter utrustningen?

Matlagning går till ungefär så här: du bestämmer dig för vad du vill äta, köper ingredienserna och lagar till maten. Ibland sker det omvända: du går runt i affären, eller kanske på marknaden. Du ser några ingredienser som ser bra ut, blir inspirerad av dem och trollar fram din måltid. Du hittar kanske en särskilt fin fisk, eller en svampsort du aldrig sett förut, och så går du hem och slår upp vad du kan göra med den. Ibland händer något helt annorlunda: du köper en ny köksmaskin, och plötsligt vill du försöka göra alla möjliga olika saker med maskinen. Har du köpt en blender gör du kanske soppa, smoothies, glass. Kanske försöker du göra potatismos i den, och det går helt fel (det ser ut som lim). Du har kanske köpt en tryckkokare eller en ångkokare, eller en riskokare. Du kanske lär dig en ny teknik som att separera ägg eller klarna smör, och vill plötsligt göra så många saker som möjligt där den nya tekniken ingår.

Vi kan alltså närma oss matlagning på två sätt, och ett verkar vara mer praktiskt än det andra. De flesta kokböcker är uppdelade enligt måltidens delar snarare än enligt olika tekniker. Det finns ett kapitel om förrätter, ett kapitel om soppor, ett kapitel om fisk, ett kapitel om kött, ett kapitel om desserter och så vidare. Där kan finnas ett helt kapitel med till exempel chokladrecept, eller grönsaksrecept.

Ibland finns hela kapitel om särskilda måltider, som ett kapitel om julbordet. Men det skulle vara ganska udda att ha ett kapitel med ”recept där en slickepott används” eller ”recept där man behöver en ballongvisp”.

Med det sagt, köksredskap levereras ofta med behändiga böcker med recept där du kan använda din nya utrustning. Till en blender finns blenderrecept, samma sak med en tryckkokare eller en glassmaskin. Något liknande förekommer när det gäller forskningsområden. Ofta när man beskriver sitt område gör man det genom att ange saken som man studerar. Det kan vara fåglar eller växter, eller mat, eller matlagning, eller hur man klipper hår, eller vad som hände förr, eller hur samhället fungerar. Så snart man bestämt vad man ska studera lär man sig tekniker för att studera det, eller så uppfin14

Recept att räkna med inlaga.indd 14

2015-12-18 09.22

ner man nya – det är precis som att lära sig hur man vispar äggvitor eller klarnar smör.

Inom matematiken bestäms sakerna vi studerar också av teknikerna vi använder. Det liknar att köpa en blender och sedan komma fram till vad vi kan göra med den. Detta är kanske lite bakvänt jämfört med andra ämnen. Vanligen bestäms teknikerna vi använder av det vi studerar; ofta bestämmer vi vad vi ska ha till middag och sedan tar vi fram utrustningen som krävs för att laga maten. Men om vi verkligen är upphetsade av en ny blender försöker vi göra alla våra middagar med den ett tag (i varje fall har jag sett människor bete sig så). Det liknar frågan om hönan och ägget, men jag kommer att argumentera för att matematik definieras av teknikerna som används för att studera saker, och att sakerna man studerar bestäms av dessa tekniker.

Kubismen – när stilen påverkar valet av innehåll Att karaktärisera matematik med teknikerna man använder liknar att definiera konststilar, som kubism eller pointillism eller impressionism, där genrerna definieras av teknikerna snarare än ämnet. Eller balett eller opera, där konstformen definieras av metoderna, och ämnet är begränsat till detta. Balett är ett väldigt kraftfullt sätt att uttrycka känslor, men inte så bra på att framföra en dialog, eller att ställa krav på politisk förändring. Kubism är inte så användbar för att avbilda insekter. Symfonier är bra på att uttrycka sorg och glädje, men inte speciellt bra på att säga ”kan du vara snäll och skicka saltet”.

Inom matematiken är tekniken vi använder logik. Vi vill bara använda rena logiska resonemang. Inga experiment, inga fysiska bevis, inte blind tro eller hopp eller demokrati eller våld. Enbart logik. Så, vad är det vi studerar? Vi studerar det som lyder logikens lagar. Matematik är studiet av vad som helst som lyder logikens lagar, med användning av logikens lagar.

Jag måste omedelbart erkänna att det är en något förenklad definition. Men jag hoppas att du efter att läst lite till kommer att se 15

Recept att räkna med inlaga.indd 15

2015-12-18 09.22

att det är så noggrant det går att göra den, och inte ett cirkelresonemang som det kan verka vara till en början, och precis en sådan sak som en kategoriteoretiker skulle kunna säga.

Statsminister – känneteckna något genom vad det gör Tänk dig att någon frågar dig ”Vem är statsministern?” och du svarade ”Han är chef över regeringen.” Det skulle vara korrekt men irriterande och inte riktigt rätt svar på frågan: du har beskrivit en statsminister utan att tala om vem det är. På samma sätt har min ”definition” av matematik snarare beskrivit matematik än talat om för dig vad den är. Detta är inte så hjälpsamt och ganska ofullständigt – men det är en början.

Istället för att beskriva vad matematik liknar, kan vi säga vad matematik är? Vad studerar matematik egentligen? Den studerar definitivt tal, men också andra saker som former, grafer och mönster, och saker som man inte kan se – logiska idéer. Och mer än så: till och med saker som vi ännu inte känner till. En av anledningarna till att matematik fortsätter att utvecklas är att så snart en ny teknik etablerats så hittar man alltid fler saker att studera med den, och då hittar man fler tekniker att använda för att studera dessa saker, och då hittar man fler saker att studera med de nya teknikerna, och så vidare, lite som hönor som lägger ägg som kläcks till hönor som lägger ägg som kläcks till hönor …

Berg – bestiger du ett så ser du dem som är högre Kan du känna hur det känns att komma till toppen av ett berg, bara för att inse att du nu kan se alla de högre bergen som ligger bortom det? Matematik är likadant. Ju större framsteg vi gör, desto fler saker att studera dyker upp. Lite förenklat kan man säga att det finns två sätt som detta kan ske på.

16

Recept att räkna med inlaga.indd 16

2015-12-18 09.22

Först har vi processen ”abstraktion”. Vi kommer fram till hur vi logiskt ska tänka om något som logiken annars inte skulle klara av.

Tidigare lagade du kanske bara ris i din riskokare, och sedan kom du fram till att du kan använda den för att baka en kaka, det skiljer sig bara lite från att baka en kaka på vanligt sätt i ugnen. Vi tar något som tidigare inte egentligen var matematik, och betraktar det på annat sätt för att göra det till matematik. Detta är anledningen till att x och y dök upp – vi börjar med att tänka på tal, men inser sedan att sakerna vi kan göra med ett tal även kan göras med andra saker. Det kommer att vara ämnet för nästa kapitel. För det andra har vi processen ”generalisering”: vi bygger alltmer komplicerade saker baserat på det vi redan förstått. Det är som att göra kakan i en blender och sedan glasyren i samma blender, och sedan bygga ihop det1.

Inom matematiken är motsvarigheten att få fram saker som polynom och matriser, komplicerade former, 4-dimensionell rymd och så vidare, baserat på enklare saker som tal, trianglar och vardagliga ting. Vi ser närmare på detta i kapitel 5. Dessa två processer – abstraktion och generalisering, kommer att vara ämnet för kommande kapitel, men först vill jag göra dig uppmärksam på något konstigt och underbart som visar hur matematiken gör dessa två saker.

Fåglar – de är inte detsamma som studiet av fåglar Tänk dig att du studerar fåglar. Du studerar deras beteende, vad de äter, hur de parar sig, hur de föder upp sina ungar, hur de smälter sin föda och så vidare. Du kommer emellertid aldrig att kunna bygga en ny fågel av enklare fåglar – det är inte så fåglar blir till. Så du kan inte göra en generalisering, åtminstone inte på samma sätt som matematiken gör det.

En annan sak du inte kan göra är att ta något som inte är en fågel och mirakulöst göra om det till en fågel. Inte heller det är att göra en Matematisk generalisering är inte samma sak som att göra svepande påståenden om något, men vi kommer tillbaka till det senare.

1

17

Recept att räkna med inlaga.indd 17

2015-12-18 09.22

fågel. Så du kan inte heller göra en abstraktion. Ibland inser vi att vi gjort misstag vid klassificering – till exempel ”blev” brontosaurus en form av apatosaurus. Vi gjorde dock inte brontosaurus till en apatosaurus – istället anade vi att den en gång hade varit en sådan. Vi är inga magiker, så vi kan inte förvandla något till något som det inte är. Men det kan vi inom matematiken, eftersom matematiken studerar idéerna snarare än de verkliga tingen, så allt vi behöver göra för att ändra saken som vi studerar är att ändra idén vi har i huvudet.

Detta betyder ofta att vi ändrar sättet att tänka på något, vi ändrar vår synvinkel, vårt sätt att uttrycka det.

Ett matematiskt exempel är knopar

Under 1700- och 1800-talet utarbetade Vandermonde, Gauss och andra fram sätt att uttrycka knopar matematiskt, så att de kunde studeras med hjälp av logikens regler. Idén är att tänka sig hur man flätar samman två repändor så att de blir en sluten slinga. Detta gör knoparna omöjliga att tillverka i verkligheten utan lim, men lätta att hantera matematiskt. Alla knopar kan uttryckas som en cirkel som har spänts upp i tre dimensioner. Det finns många tekniker för att studera den sortens former inom området topologi som vi återkommer till senare. Då kan vi inte bara undersöka saker som verkliga knopar av rep, utan också de uppenbart omöjliga formerna som dyker upp i naturen, som molekylära strukturer. Geometriska former är ett annat, mycket äldre, exempel på denna process att överföra något från den ”riktiga” världen till något i den ”matematiska” världen.

18

Recept att räkna med inlaga.indd 18

2015-12-18 09.22

Vi kan tänka på matematik som en utveckling genom följande steg.

1. Den startade som en studie av tal.

2. Tekniker för att studera dessa tal utvecklades.

3. Man började inse att dessa tekniker kunde användas för att studera andra saker.

4. Man fortsatte leta efter fler saker som kunde studeras på samma sätt.

Det finns egentligen också ett steg 0, innan studiet av tal: någon måste först föra fram idén med tal. Vi tänker på dem som de mest grundläggande sakerna inom matematik som man kan studera, men det fanns en tid före talen. Kanske var uppfinningen av tal den allra första abstraktionsprocessen.

Historien jag ska berätta handlar om abstrakt matematik. Jag kommer att argumentera för att dess kraft och skönhet inte ligger i svaren som den ger eller problemen den löser, utan i ljuset den sprider. Detta ljus gör det möjligt för oss att se klart, och är det första steget för att förstå världen runt omkring oss.

19

Recept att räkna med inlaga.indd 19

2015-12-18 09.22

2 Abstraktion

Majonnäs eller hollandaisesås Ingredienser 2 äggulor ½ kaffekopp olivolja Kryddor Gör så här 1. Vispa äggulor och kryddor med en handvisp eller en stavmixer.

2. Häll långsamt i olivoljan under fortsatt vispning.

3. För hollandaisesås använd en halv kopp smält smör istället för olivolja.

D

et finns en stor likhet mellan majonnäs och hollandaisesås – man använder samma metod för att tillaga dem, men man använder olika slags fett som blandas med äggulan. I båda fallen skapar de överraskande, nästan magiska egenskaperna hos äggulorna något gott och silkeslent.

Det liknar trolleri – jag tröttnar aldrig på att se det hända. Likheterna som finns mellan majonnäs och hollandaisesås är av den sorten som matematiken letar efter – situationer där saker på något sätt är desamma bortsett från någon liten detalj. Det är också ett sätt att spara ansträngning, så att du direkt förstår hur du kan göra båda sakerna. I kokböcker står det kanske att hollandaisesås ska göras på ett annat sätt, men för att göra mitt liv enklare struntar jag i det. Matematik handlar också om att förenkla saker genom att hitta sådant som liknar varandra, om man bortser från några små detaljer.

20

Recept att räkna med inlaga.indd 20

2015-12-18 09.22

Paj – abstraktioner som underlag De brittiska favoriterna cottage pie, shephard’s pie och fisherman’s pie är alla mer eller mindre samma ”paj” – den enda skillnaden är fyllningen som finns under täcket av potatismos. Smulpaj är samma sak – man behöver inte ett speciellt recept för olika typer av smulpaj, man behöver bara veta hur man gör smulpajsdegen. Sedan lägger man den frukt eller de bär man valt i en form och lägger smulpajsdegen ovanpå, och så in i ugnen.

En annan av mina favoriter är den upp-och-nedvända kakan. Man lägger frukten i botten av kakformen, häller kaksmeten ovanpå och när den är färdiggräddad så vänder man den upp-och-ned så att frukten hamnar överst. För att få en extra effekt kan man karamellisera frukten en smula genom att hälla smält smör och farinsocker i botten av formen. Det fungerar bättre med vissa frukter än med andra: bananer, äpplen, päron och plommon går bra. Vindruvor går mindre bra. Vattenmelon skulle bli hemskt. Det samma gäller för smulpaj. Smulpaj på vattenmelon? Tror inte det.

Mördegspajer och quiche följer också ett generellt mönster. Man gör ett tomt pajskal, lägger i en valfri fyllning, och häller på en blandning av ägg och mjölk eller grädde, innan pajen gräddas. Fyllningen kan vara bacon och ost, eller fisk, eller grönsaker – vad som helst du har lust med.

I alla dessa fall är ”receptet” inte ett fullständigt recept utan en grund. Man kan välja frukt, eller kött, eller fyllning för att göra sina egna variationer, inom vissa ramar.

Matematik fungerar på samma sätt. Matematikens idé är att leta efter likheter mellan saker så att den bara behöver ett ”recept” för många olika situationer. Nyckeln är att när man kan ignorera vissa detaljer blir situationerna lättare att förstå, och du kan fylla i variablerna senare. Detta är processen abstraktion.

Men man kan inte använda ett abstrakt ”recept” på allting, som smulpajen med vattenmelon, även om man har möjligheten att försöka. Ibland visar sig otippade saker fungera överraskande bra med samma recept.

21

Recept att räkna med inlaga.indd 21

2015-12-18 09.22

Titta på symmetrin hos en liksidig triangel:

Det finns spegelsymmetri och rotationssymmetri. Hur kan vi beskriva de olika symmetrierna utan att klippa ut triangeln och vika ihop den eller snurra runt den?

Ett sätt är att beteckna hörnen med 1, 2 och 3 2

1

3

och istället prata om hur talen flyttas runt. Om vi till exempel speglar triangeln i en vertikal linje så kommer talen 1 och 3 att byta plats. Och om vi roterar triangeln 120° medurs, så kommer 1 att flytta till där 2 var, 2 till där 3 var, och 3 till där 1 var.

Du kan kontrollera att triangelns sex symmetrier exakt överensstämmer med de sex olika sätten som talen 1, 2 och 3 kan sorteras. Det finns tre symmetrilinjer, och de motsvarar att byta plats på 1 och 3, eller 1 och 2, eller 2 och 3. Det finns tre typer av rotationssymmetri: 120° grader medurs, 240° medurs, och den ”triviala”, där inget rör sig (360° medurs).

Det visar att symmetrin för en liksidig triangel på ett abstrakt sätt är detsamma som permutationerna av talen 1, 2 och 3, och att de två fallen kan studeras på samma gång.

Stökigt i köket – abstraktionen att städa bort sådant du inte behöver Abstraktion är som att förbereda matlagningen, och att plocka undan de köksredskap och ingredienser man inte behöver för recep22

Recept att räkna med inlaga.indd 22

2015-12-18 09.22

tet, så att köket är mindre stökigt. Det är det samma som processen att ta bort idéer man inte behöver just nu, så att hjärnan blir mindre stökig. Är du bättre på att städa i köket än i hjärnan? ( Jag är definitivt bättre på att städa i min hjärna.) Abstraktion är det viktiga första steget för att tillämpa matematik. Det är också ett steg som kan göra dig lite osäker eftersom du avlägsnar dig en bit från verkligheten. Jag ställer aldrig undan min blender eftersom det är så besvärligt att flytta den, och jag vill veta att jag kan använda den när som helst utan behöva ta mig genom den omständliga proceduren att plocka fram den från skåpet. Du kanske känner så om abstraktion i din hjärna också.

Försök lösa detta problem: Jag köper två frimärken som kostar 12 kronor vardera.

Hur mycket kostar de tillsammans?

När barn löser sådana problem på lågstadiet kallas de ibland för ”lästal”, eftersom de formulerats i ord, och de har lärt sig att det första steget för att lösa detta ”lästal” är att överföra det till tal och symboler: 12 × 2 = ?

Detta är en abstraktionsprocess. Vi har tagit bort, eller ignorerat, det faktum att vi höll på att köpa frimärken, eftersom det inte påverkar svaret. Det kunde handla om äpplen, bananer, apor … ekvationen skulle fortfarande vara densamma, och svaret skulle också bli detsamma: 24 kronor.

Här kommer ett annat problem: Min pappa är tre gånger så gammal som jag är nu, men om tio år så kommer han vara dubbelt så gammal som jag. Hur gammal är jag?

23

Recept att räkna med inlaga.indd 23

2015-12-18 09.22

Eller det här: Jag har ett recept för att glasera ovansidan och sidorna på en 24 cm kaka. Hur mycket glasyr behöver jag för ovansidan och sidorna på en 30 cm kaka?

När det gäller frågan om frimärkena behövde du troligen inte skriva ut ekvationen, eftersom du kan se svaret direkt. För de två sista frågorna skulle du kanske behöva lite mer abstraktionsarbete för att komma fram till svaret, där du hoppar över det faktum att det handlar om din pappa, eller en kaka och glasyr, och räknar lite med tal och symboler. Vi ska se hur aritmetiken ser ut för dessa problem lite längre fram i det här kapitlet.

Småkakor – hur saker som är alltför verkliga inte lyder matematikens lagar Har du någon gång försökt lära små barn att räkna har du förmodligen stött på följande problem. Du försöker få dem att tänka på en vardaglig situation som: Om farmor ger dig fem kakor och farfar ger dig fem kakor, hur många kakor har du då?

Och barnet svarar: ”Inga, för jag har ätit upp allihop!”

Problemet här är att kakor inte lyder logikens regler, så det fungerar inte särskilt bra att använda matematik för att studera dem. Kan vi tvinga kakor att följa logiken? Vi skulle kunna ta med en extra förutsättning genom att lägga till ”… och du får inte äta kakorna”. Men om du inte får äta kakorna, vad är det då för mening med att de är kakor? Vi kunde behandla kakorna som saker istället för kakor. Vi tappar likheten med verkligheten, men vi vinner tillämpningsområde och med det effektivitet. Poängen med tal är att vi kan resonera om ”saker” utan att behöva ändra sättet att resonera beroende på vilken ”sak” vi tänker på. Så snart vi vet att 2 + 2 = 4 vet vi att två 24

Recept att räkna med inlaga.indd 24

2015-12-18 09.22

saker och två andra saker blir fyra saker, oberoende om det är kakor, apor, hus eller något annat. Det är abstraktionsprocessen: att gå från kakor, apor, hus eller vad som helst, till tal. Tal är så fundamentala att det är svårt att tänka sig livet utan dem, och det är svårt att föreställa sig processen att uppfinna dem. Vi lägger knappast märke till att vi tar ett abstraktionshopp när vi räknar saker. Det blir mycket mera märkbart när vi ser småbarn kämpa med det, eftersom de ännu inte är vana att göra det hoppet.

Ole, dole, doff – tal som abstraktion Jag kommer ihåg en underbart lättretlig mamma på en lågstadieskola där jag hjälpte till. Hon hjälpte också till där, och la märke till hur frustrerande det var när andra mammor stolt berättade att deras barn kunde räkna till 20 eller 30. ”Min son kan räkna till tre”, sa hon trotsigt, ”men han vet vad tre är.” Och hon hade en poäng. När barn först ”lär sig räkna till tio” så gör de egentligen inget annat än lär sig en liten dikt utantill, som ”Imse, vimse spindel klättrar uppför tråden …”. Det bara råkar vara så att den lilla ”dikten” går: ”Ett, två, tre, fyra, fem, sex …”

Sedan lär de sig att detta på något sätt har att göra med att peka på saker, så de börjar peka lite slumpmässigt när de läser ”dikten”.

Sedan lär de sig att de förväntas peka på en sak per ord i dikten, men de har svårt att veta att de bara pekat på en sak en gång, så de kommer fram till ganska olika svar om du frågar dem ”hur många ankor finns det på bilden?” eller så fastnar de för ett speciellt tal – t.ex. sex – och lyckas på något sätt räkna ihop allt så att det blir sex, oberoende av hur många ankor det finns.

Till slut förstår de att de ska para ihop saker exakt med orden i dikten, en sak per ord, varken mer eller mindre. Det är först då de kan räkna på riktigt. Detta är en abstraktionsprocess, och en överraskande betydelsefull sådan.

25

Recept att räkna med inlaga.indd 25

2015-12-18 09.22

Föreställ dig att försöka göra affärer utan att kunna räkna. ”Hej, jag byter en säck säd mot ett får” och sedan ställer du upp en rad säckar med säd och får och kontrollerar att det verkligen är en säck per får. Till slut kommer du på att det är mer praktiskt att säga en liten dikt när du i jämn takt pekar på fåren, och göra samma sak med säckarna med säd. Dikten kan vara vad som helst så länge du säger den på exakt samma sätt för fåret som för säden. Det skulle kunna vara ”ole, dole, doff …”

Till slut har du kommit på en dikt som fungerar för alla affärstransaktioner, och håller dig till den. Och plötsligt har du uppfunnit talen. Det är abstraktionsprocessen som vi inte ens lägger märke till när vi ”lär oss räkna”. Vi ser alltså att det är en avgörande skillnad mellan att bara lära sig dikten ”ett, två, tre, fyra …” och att förstå hur man använder den.

Barnet och badvattnet – var försiktig och släng inte bort för mycket Det är viktigt, som alla vet, att inte slänga ut barnet med badvattnet.

När vi håller på att förenkla och idealisera olika situationer måste vi vara försiktiga så vi inte förenklar för mycket – vi får inte förenkla våra objekt till den punkt att de förlorar alla sina användbara kännetecken. Om vi till exempel tänker oss att bygga med lego, så kan vi strunta i vilken färg bitarna har, men vi kan inte strunta i vilken storlek de har, eftersom det påverkar byggandet. I en annan situation använder vi kanske legobitarna bara som räkneblock, och då kan vi även strunta i storleken.

Att välja vilka kännetecken man kan strunta i beror mycket på vilket sammanhang det handlar om. Detta är ett viktigt tema som kommer tillbaka senare. Kategoriteori lyfter fram sammanhanget till förgrunden.

26

Recept att räkna med inlaga.indd 26

2015-12-18 09.22

Tänk dig att du ska organisera en utflykt för 100 personer, och att du hyr minibussar som vardera kan ta som mest 15 personer. Hur många minibussar behöver du? Du måste då beräkna 100 ÷ 15 ≈ 6,7 Men sedan måste du ta hänsyn till sammanhanget: du kan inte boka 0,7 av en minibuss, så du måste avrunda uppåt till 7 minibussar.

Fundera nu på ett annat problem. Du vill skicka lite choklad till en vän via posten, och ett frimärke gäller för upp till 100 g. Varje chokladbit väger 15 g, så hur många chokladbitar kan du skicka? Du måste fortfarande börja med samma beräkning 100 ÷ 15 ≈ 6,7 men denna gång ger sammanhanget ett annat svar: du kan inte skicka 0,7 av en chokladbit, så du måste avrunda neråt till 6 chokladbitar.

Hjärtesorg – abstraktion eller förenkling Efter en ordentlig hjärtesorg blev jag så småningom trött på välmenande vänner som frågade om fler och fler detaljer, om vad som exakt hade hänt, i försök att ”förstå”. Till slut sa en klok vän till mig att ”det är egentligen väldigt enkelt. Du har förlorat någon du älskade.”

Det var allt som någon behövde veta om situationen. Sedan lyckades hon dra in mig i en lång diskussion om att det är klokare att förenkla saker än att komplicera dem, även om en del personer tror att man är dum. Det är en subtil skillnad mellan något som är ”enkelt” och något som är ”förenklat”; det senare indikerar att du har missat poängen, och struntat i en komplikation som är väsentlig.

Min väns visdom var en typ av abstraktion, att abstrahera hjärtesorg ner till dess innersta väsen. Abstraktion kan verka ta dig längre och längre bort från verkligheten, men egentligen kommer du allt närmare pudelns kärna. För att nå dit, måste du skala bort kläder och hud och kött och ben.

27

Recept att räkna med inlaga.indd 27

2015-12-18 09.22