9789113034973

Innehåll

Förord 5 Innehåll 7 Avsikten med boken 13 Den goda matematikläraren? 14 Några läsanvisningar för boken 14 Skapa din egen matematik­lärarbok under studietiden 15 Om den här bokens innehåll 15 Avgränsningar i boken 18 Resurser och fortsatta kontakter 18

Att bli en kompetent matematiklärare 19 Teoretiska beskrivningar av lärarkompetens i matematik 19 Beskrivning av PI-modellens komponenter 22 Stimulerande och spännande att vara lärare 30

Vad är matematik 33 Svar från olika håll 33 Forskning i matematik – lösning av framtidens problem? 39 Matematikens tillämpningar 40 Matematik som skön konst och intellektuellt äventyr 42 Att förbereda för undervisning i matematik 44 Vad är matematikdidaktik? 47 Sammanfattning 52

Kursplaner i matematik 55 Styrdokument för skolan 55 Kursplan i matematik 2011 56 Kursplaneforskning 60 Matematikläroböcker och kursplaner 60

 • Innehåll

7

8 Lära och undervisa matematik

De yngsta barnens matematik 63 Lärarens mentala kullerbytta 64 Tillit till barns förmåga att lära 64 Idén med att prata matematik 65 Grundläggande kognitiva ­förmågor 67 Att upptäcka det matematiska rummet 68 Begynnande aritmetiska ­färdigheter 70 Matematiska mönster och ­mönster i matematiken 71 Att få grepp om begreppen 72 Utmaningen att generalisera en abstrakt innebörd 74 Stöd för att resonera om ­matematiska principer 76 Fakta i förskolan? 77 Procedurella färdigheter 78 Framträdande räkneprinciper i förskoleåldern 79 Progressionen i läroplanen för förskolan 83 Sammanfattning 85

Taluppfattning, arimetik och algebra 87 Tal, taluppfattning och algebra i styrdokumenten 87 Att arbeta med tal och taluppfattning 89 Historisk utveckling 95 Matematisk grund för undervisningen 102 Algebra 123 Sammanfattning 138

Rummet vi finns i och formerna omkring oss 147 Varför undervisar vi om geometri i skolan? 148 Geometrin genom tiderna 149 Skolgeometrins innehåll 151 Geometrisk kompetens hos dig som lärare 152 Vad säger forskningen i matematikdidaktik? 167 Fler konkreta förslag till undervisningsinslag 171 Bilaga 1 181

Statistik och sannolikhet 185 Varför undervisar vi i skolan om beskrivande statistik? 185 Mål och motiv för kapitlet 186 Kort historik om beskrivande statistik och sannolikhetslära 187 Innehåll i skolans undervisning i statistik och sannolikhetslära 187 Vad säger den matematik­didaktiska forskningen om ­beskrivande statistik  och ­sannolikhet 201 En gruppuppgift med didaktiska inslag 202 Konkreta förslag till ­undervisningsinslag 203 Sammanfattning 203

Matematik genom ­problemlösning 209 Vad är ett problem? 209 Matematik i förhållande till ­problemlösning 211 Vad är problemlösning? 212 Några dimensioner av problemlösning 220 Problemlösning och matematisk modellering 223 Problemlösning med hjälp av olika representationsformer 225 Att angripa ett problem och lösa det 227 Problemlösningsförmåga 233 Problemlösning som bedömning för lärande 233 Varför undervisa matematik ­genom problemlösning? 235 Sammanfattning 236

Kommunikation och lärande i matematik 239 Kommunikationens betydelse för lärande 239 Professionellt språk, terminologi och lyssnande 241 Metakognition och lärande i matematik 243 Samtalen i klassrummet 244 Flerspråkiga klassrum och undervisning i matematik 247 Lära matematik och om att lära mer allmänt 254 Sammanfattning 257

Bedömning i matematik 259 Syftet med bedömningen 259 Bedömningens olika ­komponenter 260 Sammanfattning 278

 • Innehåll

9

10 Lära och undervisa matematik

Några övergripande frågor 281 Är läraren en konstnär eller en yrkesarbetare? 281 En helhetsbild av undervis­ningen och den röda tråden 281 Bråkräkning – ett exempel 282 Måste vi vara abstrakta i matematiken? 283 Elever med särskild begåvning eller särskilt behov av stöd 287 Genusaspekter i matematik­undervisningen 288 Användning av tekniska ­hjälpmedel i matematiken 289 Begrepp och modenycker 290 Framtiden och lärarens arbete? 290

Samlade referenser 293 Bokens författare 307

Avsikten med boken

Den här boken är skriven av en grupp erfarna lärarutbildare i matematik med ambitionen att åstadkomma en bok som vi själva skulle vilja använda i undervisningen av blivande lärare i matematik för de tidiga skolåren. Vi vill ha en text som väver samman matematik och mate­ matikdidaktik, det vill säga ämnet som ska undervisas och frågor om hur ämnet kan lä­ ras och undervisas. Det betyder att det finns en stor mängd stoff som skulle kunna ingå i boken, men det är orimligt att göra den för omfattande, eftersom den tid som står till för­ fogande för undervisning av kurser i matema­ tik och matematikdidaktik är mycket begrän­ sad i lärarutbildningen. Boken är alltså inget försök att vara uttömmande utan innehåller snarare det vi bedömer som absolut viktigast att få med sig redan i den grundläggande ut­ bildningen. Vi menar att därefter ska läraren aktivt bygga vidare på sin egen utbildning genom reflektioner över sina erfarenheter från undervisningen, kurser och kompetens­ utveck­ling (Grevholm, 2006). Den som väljer att bli lärare har valt att syssla med livslångt lä­ rande även för egen del.

I boken bygger vi på både väl beprövad erfarenhet, såväl egen som andras, och aktu­ ell, relevant forskning i matematikdidaktik.

Lärar­professionen har gått från att vara ett yrke där man mest talar och där man grundar sin verksamhet på praktisk erfarenhet till en profession där det skrivna ordet blivit allt van­ ligare och där det finns tillgång till forsknings­

resultat att omsätta i klassrummet. De flesta aktiva lärare har emellertid varken fått tid ­eller utbildning för att kunna dra nytta av forsk­ ningsresultaten. Det är heller ingen trivial sak.

Vi ser det därför som vår uppgift att försöka väva in forskningsresultat om lärande och un­ dervisning i matematik i framställningen.

Vi ger rikligt med förslag på litteratur och andra källor där den intresserade läraren kan finna mer material att fördjupa sig i eller in­ spiration till aktiviteter med eleverna. Det är den engagerade, frågvisa, nyfikna läraren som bäst kan hjälpa sina elever till bestående läran­ de i matematik. Vi skriver därför för lärarstu­ derande som vill bli engagerade, nyfikna, vet­ giriga, frågande, lyssnande och resonerande lärare i matematik.

Vi vänder oss också till redan verksamma lärare som önskar förnya sin undervisning och utnyttja nya forskningsresultat i sin verk­ samhet. Boken kan med fördel användas i en grupp av matematiklärarkollegor på en skola som underlag för diskussioner och fortsatt ­lärande.

Eftersom vi skriver för både blivande lärare och verksamma lärare talar vi om våra läsare omväxlande som lärare, lärarstuderande och studenter. På motsvarande sätt säger vi om­ växlande elev eller barn om dem som under­ visas i skolan. Barn använder vi i regel för att markera att vi talar om de yngre eleverna.

11

12 Lära och undervisa matematik

Den goda matematikläraren?

Hur ser den goda matematikläraren ut? Det finns forskning om den frågan också. Vi vet att läraren behöver ha goda kunskaper och fär­ digheter i matematik. Läraren behöver ock­ så kunskaper om lärande och undervisning i mate­matik, och dessa kunskaper behöver vara väl integrerade med ämneskunskaperna. Lära­ ren behöver veta mycket om elevens utveck­ ling i matematik, om hur man på ett bra sätt organiserar verksamheten i klassrummet, om skolans regelverk och bedömning, betyg, om­ dömen, om föräldrakontakter, om samverkan mellan ämnen. En del av detta behandlas inom flera andra ämnen som studeras i lärarutbild­ ningen, men vissa aspekter är mer specifika för matematiken. Elever anser att en god lärare är den som kan förklara så att eleven förstår och kan lösa uppgifterna, som själv är engagerad i matematiken, som är positiv och stödjande och visar förståelse då eleven inte klarar läx­ an eller uppgifterna, har humor och gott hu­ mör och stort tålamod med eleven. En sådan uppräkning av vad elever förväntar sig av den goda läraren kan få vem som helst att tveka in­ för yrket. Men läraryrket är stimulerande, det har vi som skrivit boken upplevt själva, och det är givande att få följa samma grupp elever i flera år och se deras positiva utveckling och lärande. Eftersom matematik är det ämne som verkar bjuda störst svårigheter i skolan är det en extra utmaning att vara den som ska väg­ leda elever in i matematikens värld.

Vi ger i boken exempel på aktiviteter och undersökningar, frågor och diskussioner och de ska alla ses som en erfarenhetsbas för den blivande läraren. Avsikten är att läraren ska förstå att liknande aktiviteter, undersökningar, frågor och diskussioner finns för alla områ­ den inom matematikundervisningen och att det är lärarens uppgift att bygga vidare på egen

hand och tillsammans med kollegor utifrån de exempel vi presenterar i boken. I många fall lämpar sig liknande aktiviteter för arbete med eleverna i klassrummet. Upplevelsen av att detta är en intressant, spännande och läro­ rik övning ska ge läraren insikten att hon eller han kan arbeta vidare på egen hand inom and­ ra områden på motsvarande sätt. När vi före­ slår läsaren att genomföra övningar själv eller i grupp är det för att vi vet att en sådan erfaren­ het är utvecklande för den blivande läraren.

Förslagsvis läser du boken aktivt och anteck­ nar, kritiserar och genomför egna beräkning­ ar, undersökningar eller bevis.

Några läsanvisningar för boken Vi tänker oss att när boken används av lärar­ studerande sker det under ledning av en el­ ler flera lärarutbildare som knyter bokens innehåll till lektioner, seminarier, laboratio­ ner, ­övningar, presentationer, praktikbesök av ­olika slag och till den verksamhetsförlagda de­ len av utbildningen. Lärarutbildaren har också möjlighet att peka på vilka avsnitt i boken som är viktigast och i vilken ordning de bör stude­ ras för att komplettera det som erbjuds stu­ denten i den lokala kursen i lärarutbildning­ en. Studenter kan använda boken individuellt, men minst lika ofta genom att arbeta i grupp med bokens texter, uppgifter och aktiviteter.

Att samtala om innehållet och genomföra ak­ tiviteter tillsammans ger möjligheter till att upptäcka mer av variation och flexibelt tän­ kande kring matematiken.

Förutom att erövra en överblick över mate­ matiken och knyta an de didaktiska aspek­ terna till respektive område är det också nöd­ vändigt för en lärarstuderande att skaffa sig färdighetsträning i den mån tidigare skicklig­ het inte räcker till. En lärare behöver räkna både snabbt och rätt för att på bästa sätt kunna

stödja sina elevers framsteg och avgöra om en tankegång är utvecklingsbar. Ett bra sätt att testa varandra inom studiegruppen är att utar­ beta så kallade säkerhetstest till varandra. Ett sådant test kan bestå av ett antal enkla uppgif­ ter ur elevens bok som ska klaras av på en gi­ ven begränsad tid och i princip med alla svar korrekta. Sådana säkerhetstest används inom flera svenska lärarutbildningar, och studenter­ na konstruerar dem oftast själva för varandra.

Att sätta samman ett test och pröva ut det kan vara väl så lärorikt som att genomföra det.

Ett annat bra sätt att skapa stimulerande studiegemenskaper för att öka effekten av lä­ randet är att bilda så kallade naturliga stu­ diegrupper. Fem eller sex studenter bildar fristående grupper som träffas utanför under­ visningstiden och diskuterar och arbetar med kursmaterialet. Frågor som gruppen inte kan lösa inom sig tar man med till kommande lä­ rarledda lektioner och framför inför hela stu­ dentgruppen i kursen. Forskning har visat att sådana naturliga studiegrupper är till stor hjälp för lärandet. Inom vissa lärarutbildning­ ar anordnas så kallade matematikstugor eller frågestunder som är avsedda för att studen­ terna ska kunna ta upp sådant som de vill ha hjälp med utöver tidigare lektioner.

Boken ger inga facit, svar eller lösningar till uppgifter, övningar eller aktiviteter. Det är ett medvetet val från vår sida eftersom vi önskar markera att det är arbetet med att försöka lösa eller genomföra uppgifterna som är det väsent­ liga. Det är också önskvärt att den blivande läraren utvecklar sin förmåga att själv avgöra om en lösning är tillfredsställande och om det finns flera andra lösningar till problemet.

Alla referenser i boken är listade längst bak, och där finns även en lista med användbara länkar till matematikresurser av olika slag. Vi ger även förslag till kompletterande läsning i en särskild lista längst bak i boken.

 • Avsikten med boken

Skapa din egen matematik­ lärarbok under studietiden Lärarstuderande kommer till utbildningen med olika erfarenheter, färdigheter och kun­ skaper. Det som är nytt för en student kan vara välkänt för en annan. Därför gör du rätt i att skriva din egen matematiklärarbok under stu­ dietiden. Där kan du notera sådant som du vill kunna gå tillbaka till enkelt när du är verk­ sam i skolan, sådant du nyss har förstått och vill komma ihåg, reflektioner om vad du ska minnas när du står inför en klass eller hur du vill att dina elever ska uppfatta matematiken.

Här kan du anteckna termer och begrepp som du finner centrala och erfarenheter du gör när du arbetar med olika uppgifter eller aktivite­ ter. Självklart kan du också skriva upp sidor ur dina vanliga läroböcker som du finner särskilt användbara. Du kan också notera från de dis­ kussioner du och studiekamraterna genom­ för om de frågor som finns i den här boken.

Adresser till länkar eller lämplig litteratur som du kan ha nytta av som lärare är också bra att samla i en sådan bok.

Om den här bokens innehåll Inledningsvis har vi samlat en del som läraren ständigt behöver återkomma till såsom termi­ nologi, förkortningar och akronymer, referenser till kursplaner och andra grundläggande doku­ ment. Boken består av de följande elva kapitlen: 1. Att bli en kompetent matematiklärare 2. Vad är matematik?

3. Kursplanens målbeskrivning för de tidiga åren 4. De yngsta barnens matematik 5. Taluppfattning, aritmetik och algebra 6. Rummet vi finns i och formerna omkring oss – geometri

13

14 Lära och undervisa matematik

7. Statistik och sannolikhetslära 8. Matematik genom problemlösning 9. Kommunikation och lärande 10. Diagnos och bedömning i matematik 11. Några generella aspekter.

I kapitel 1 belyses frågan om vad det innebär att bli en kompetent matematiklärare. PI-mo­ dellen för hur man kan uppfatta lärarutbild­ ningen i matematik presenteras, och de cen­ trala kompetenserna för en matematiklärare enligt denna modell blir analyserade. Vad som menas med kunskaper i matematik relaterade till undervisning belyses även med historiska tillbakablickar på tidigare lärarutbildare, som Anna Kruse och Frits Wigforss. Kompetens att bedöma och diagnosticera elevers lärande i matematik sätts in i ett större sammanhang i samhällets utbildningsstruktur. Kunskap om klassrummet, ledning och val av metoder be­ handlas främst från aspekterna tidens bety­ delse för lärandet, planering av tid för lärande, olika former för arbete och bedömning samt läroböcker, materialkompetens och tekniska hjälpmedel. När det gäller syn på och uppfatt­ ningar om kunskap och lärande i matematik behandlar kapitlet de affektiva faktorernas be­ tydelse för lärandet, bytet av perspektiv från elev till lärare samt bilden av matematik och matematikläraren. Slutligen diskuteras det professionella språkets betydelse för läraryrket och yrkets inneboende möjligheter till stimu­ lans och personlig utveckling.

Kapitel 2 tar upp diskussionen om vad mate­ matik respektive matematikdidaktik är. Det finns många olika sätt att se på vad matema­ tik är. Matematik kan uppfattas som en veten­ skap, ett hantverk och en konst, ett språk och ett medel för kommunikation, ett hjälpmedel i mänsklig verksamhet och en del av våra kul­

turer. ­Exempel på dessa olika synsätt ges och vi argu­menterar för att elever i skolan ska er­ bjudas tillfällen att möta denna öppna och mångsidiga syn på matematiken. Forskning om ­lärande och undervisning i matematik handlar om alla slags företeelser och processer som är en del av undervisning och lärande i matematik. Området är interdisciplinärt men i centrum för forskningen står matema­tiken, dess undervisning och lärande. Exempel på vad matematikdidaktisk forskning kan vara är studier om kursplaner, läroböcker, lärares uppfattningar, engagemang och undervisning, lärarutbildningen, elevers prestationer och lärande, begreppsutveckling och menings­ fullt lärande, samt den sociala och kulturella lärande­situationen.

I kapitel 3 diskuteras kursplanens målbeskriv­ ning för de tidiga åren. Skolans styrdokument presenteras och kursplanens syfte diskuteras.

Begrepp, som kunskapskrav, centralt innehåll och förmåga, som används i kursplanen bely­ ses. Slutligen kommenteras läroböcker i rela­ tion till kursplaner.

Kapitel 4 berör det allra tidigaste lärandet i mate­matik. Dagens matematikundervisning tar sin utgångspunkt i att barn har en grund­ läggande matematisk förståelse och färdig­ heter i matematik redan innan de möter den obligatoriska undervisningen. Matematiken ska redan i förskolan finnas med som ett tyd­ ligt kunskapsområde man arbetar med. Det är därför nödvändigt att läraren som arbetar med äldre barn också har kunskaper i hur det mate­ matiska tänkandet utvecklas generellt liksom hur kunnandet i matematik kan ta sig uttryck hos barn i alla åldrar, också hos de allra yngs­ ta. Det blir då lättare att tolka och förstå varför missuppfattningar eller svårigheter uppkom­ mer och även hur du som lärare kan erbjuda

undervisning som hjälper varje enskild elev att utveckla sin förståelse.

Bokens 5:e kapitel handlar om taluppfattning, aritmetik och algebra. Kapitlet berör hur detta innehåll genom åren lyfts fram i grundskolans kursplaner men också den historiska utveck­ lingen av matematiken inom området. Det matematiska symbolspråket, grundläggande matematiska begrepp och idéer som elever måste utveckla förståelse för belyses, liksom kunskaper som du som lärare måste behärska för att kunna stödja dina elever. Exempel ges på hur du som lärare kan arbeta med elever­ na och vad du särskilt kan vara uppmärksam på vad gäller taluppfattning. Några kända hin­ der och svårigheter inom området redovisas.

Kapitlet behandlar bland annat strategier för huvudräkning, egenskaper hos talmängderna, aritmetikens lagar och regler, vanliga algorit­ mer samt hur undervisningen i aritmetik kan stödja elevernas förståelse för algebra. Till ka­ pitlet finns också diskussionsfrågor och ”ut­ maningar” för dig att arbeta vidare med och fördjupa dig i.

I kapitel 6 diskuteras vilka matematiska och matematikdidaktiska kunskaper och kompe­ tenser lärare behöver för undervisningen i geometri i de tidiga skolåren. Frågan om vil­ ka motiven är för geometriundervisningen och vilka mål den har belyses. Så följer reflek­ tioner över geometrins historiska utveckling och skolgeometrins utveckling och vad en axio­matiskt-deduktiv framställning av en ma­ tematisk teori är för något. De geometriska be­ greppen och objekten som är centrala för de tidiga årens skolundervisning studeras och sätts in i ett sammanhang. Begreppen axiom, definition, postulat, teorem, sats, bevis, här­ ledning, konstruktion och andra som är aktu­ ella bearbetas. Vidare presenteras vad den ma­

 • Avsikten med boken

tematikdidaktiska forskningen har att säga om geometriundervisning och lärande. Exempel på användbara aktiviteter, experiment och un­ dersökningar ges. Uppgifter och diskussions­ frågor föreslås med tanke på den kommande lärargärningen.

Kapitel 7 berör områdena statistik och sanno­ likhetslära. I kapitlet behandlas lägesmåt­ ten medelvärde, median och typvärde. Sprid­ ningsmåtten variationsbredd, kvartilavstånd och standardavvikelse belyses med flera exem­ pel. Egenskaper och användningsområde för diagramtyperna stapeldiagram, stolpdiagram, cirkeldiagram, histogram, stam-blad-diagram och lådagram diskuteras och exemplifieras.

En begreppskarta över området beskrivande statistik ger en översikt över hur de olika del­ begreppen hänger samman. Enkel kombinato­ rik handlar bland annat om på hur många sätt ett antal element kan väljas ut ur en mängd.

Sådana situationer illustreras med exempel på kombinationer och permutationer av element.

Vidare presenteras multiplikationsprincipen som gäller vid upprepade val och Dirchlets lådprincip. Enkla slumpförsök exemplifieras och diskuteras.

Kapitel 8 handlar om matematik genom pro­ blemlösning. Frågan om innebörden av pro­ blemlösning diskuteras, liksom skälen till att vi undervisar om problemlösning. Några ­olika problemlösningsmodeller förklaras och ex­ emplifieras. Hur angriper man ett problem och löser det? Problemlösningsförmåga och bedömning för lärande tas upp, och slutligen ställer vi frågan varför vi ska undervisa mate­ matik genom problemlösning.

Kapitel 9 behandlar kommunikation och läran­ de i matematik. Kommunikationens betydelse för lärandet, utveckling av ett professionellt

15

16 Lära och undervisa matematik

språk, mångfalden av sätt att kommunicera på, metakognition och samtalen i klassrum­ met diskuteras och exemplifieras. Flers­pråkiga klassrum och kommunikation i matematik belyses utförligt med aktuell forskning och si­ tuationer från klassrummen. Lärares behov av att vara medveten om sin egen syn på lärande i matematik diskuteras och hur den synen kan påverka klassrummets samtal.

Kapitel 10 handlar om diagnos och bedöm­ ning. Här diskuteras såväl olika syften med be­ dömning som analys och dokumentation som hänger samman med bedömningen. I slutet av kapitlet behandlas också individuella utveck­ lingsplaner och betygssättning.

I kapitel 11 tas några övergripande frågor upp.

Vikten av att ha en helhetssyn och se till att det löper en synlig röd tråd genom skolans mate­ matikundervisning betonas. Ambitionen är att den röda tråden även ska kunna uppfat­ tas i denna bok. Med konkreta exempel från undervisningen illustrerar vi hur den röda tråden för elevernas begreppsutveckling kan synliggöras. Frågan ställs också om vi måste vara abstrakta och generella i skolmatemati­ ken. Exempel från hur barn uppfattar steget från konkret till abstrakt belyser frågan. Elev­ er med särskild begåvning, differentiering och individualisering, genusaspekter på matema­ tikundervisningen och synen på digitala verk­ tyg tas också upp till diskussion.

Avgränsningar i boken En viktig aspekt som vi inte kan ta upp i bo­ ken av utrymmesskäl är en mer övergripande syn på matematikens historia och hur den kan användas i undervisningen. De mer allmänna didaktiska frågorna behandlar vi inte, och inte heller allmänna pedagogiska frågor. Vi berör

endast kortfattat samverkan mellan matema­ tik och andra ämnen, vilken kan vara en viktig resurs. Föräldrarna som en tillgång i skolans arbete berör endast marginellt. Teorier om ­lärande och undervisning i allmänhet förut­ sätter vi att läsaren har mött i sina pedagogis­ ka studier, och de nämns kort enbart i relation till kommunikation och lärande i matematik.

Specialundervisning i matematik går vi inte in på eftersom skolan bör erbjuda en resurs med denna kompetens för de elever som är i behov av särskilt stöd.

Resurser och fortsatta kontakter Till boken finns en särskild internetsida hos förlaget med kompletterande material i anslut­ ning till bokens kapitel. Se www.norstedts.se/ grevholm.

Avslutningsvis vill vi som är författare till bo­ ken gärna att du som läsare kontaktar oss och lämnar synpunkter, kritik och förslag till för­ bättringar. E-posta till grevholm@horstedts.se.

Välkommen!