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Revista da Estrutura de Aço | Volume 3 | Número 2 Revista da Estrutura de Aço | Volume 3 | Número 3 Revista da Estrutura de Aço | Volume 5 | Número 3

Volume 5 | Número 3 Dezembro de 2016

CBCA

Centro Brasileiro da Construção em Aço


Revista da Estrutura de Aço | Volume 5 | Número 3

ARTIGOS Tabuleiros de pontes híbridas aço-concreto: modelos de dimensionamento das regiões de ligação Pedro M. Esteves, José J. Oliveira Pedro e João F. Almeida 148

Método geral para a verificação da estabilidade em elementos estruturais metálicos Trayana Tankova, Liliana Marques e Luís Simões da Silva 162

Ligações aparafusadas entre vigas e pilares de secção tubular Guiomar Vicente, Rui Simões, Carlos Rebelo e Luis S. Silva 180

Um elemento finito geometricamente exato para colunas mistas aço-concreto David Manta e Rodrigo Gonçalves 197


Revista da Estrutura de Aço | Volume 5 | Número 3

Prefácio A CMM, Associação Portuguesa de Construção Metálica e Mista organiza de dois em dois anos, desde a sua fundação em 1997, um Congresso que junta acadêmicos, projetistas e empresas do setor, proporcionando uma mostra dos últimos desenvolvimentos científicos e de obras realizadas no âmbito da construção metálica e mista. Na sua última edição, realizada em 26 e 27 de Novembro de 2016, o X Congresso de Construção Metálica e Mista deu especial relevância ao tema da reabilitação do ambiente construído. As intervenções nessa área requerem o estabelecimento de equipas multidisciplinares, envolvendo interlocutores de diferentes especialidades, cuja interação o congresso estimulou. Na tradição dos Congressos anteriores, o X Congresso de Construção Metálica e Mista teve como principal objetivo divulgar as mais recentes inovações e realizações nessa temática, procurando contribuir para a divulgação, promoção, consolidação e expansão do setor. O congresso foi um local privilegiado para o intercâmbio de ideias e experiências entre os vários intervenientes no projeto e na execução de estruturas metálicas e mistas, bem como nas atividades de investigação e ensino da área. Para além de conferencistas convidados o congresso contou com a apresentação oral de cerca de 90 trabalhos distribuídos pelos seguintes temas: arquitetura e aço; eficiência energética e sustentabilidade de edifícios; execução e gestão da qualidade da construção em aço; grandes projetos; pontes metálicas e mistas; segurança estrutural e desempenho de novos materiais e produtos, soluções industrializadas para construção de edifícios e a construção em aço na indústria petrolífera, mineira e na produção de energias renováveis. Em face da qualidade técnica e científica dos artigos apresentados, os Editores da “Revista da Estrutura de Aço” apoiada pelo CBCA – Centro Brasileiro da Construção em Aço convidaram o Presidente da Comissão Científica do Congresso a selecionar, com base na sua qualidade, artigos para publicação na Revista. Seguindo essas premissas foram selecionados 4 artigos que posteriormente seguiram o processo normal de revisão adotado pela revista.


Revista da Estrutura de Aço | Volume 5 | Número 3

Os trabalhos selecionados para o número especial da “Revista da Estrutura de Aço”, que contêm tanto artigos de âmbito científico quanto de cunho técnico, foram: Método geral para a verificação da estabilidade em elementos estruturais metálicos; Um elemento finito geometricamente exato para colunas mistas aço-betão; Ligações aparafusadas entre vigas e pilares de secção tubular e Tabuleiros de pontes híbridas aço-betão: modelos de dimensionamento das regiões de ligação. É a segunda vez que a “Revista da Estrutura de Aço” edita um número especial com base em artigos apresentados em um Congresso de Construção Metálica e Mista organizado pela CMM, Associação Portuguesa de Construção Metálica e Mista. A CMM colabora com grande entusiasmo nessa iniciativa, pois considera a “Revista da Estrutura de Aço” um veículo privilegiado para divulgar no Brasil o que de melhor se faz em Portugal no domínio da Construção Metálica e Mista.

Editor convidado Paulo Vila Real Universidade de Aveiro Portugal


recebido: 27/05/2016 aprovado: 24/10/2016

Volume 5. Número 3 (dezembro/2016). p. 143 - 161

ISSN 2238-9377

Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICTo

Tabuleiros de pontes híbridas aço-concreto: modelos de dimensionamento das regiões de ligação Pedro M. Esteves1*, José J. Oliveira Pedro1 e João F. Almeida1 1

CEris, ICIST, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa, Avenida Rovisco Pais, 1 — 1049-001 Lisboa – Portugal, pedro.esteves@ist.utl.com, jose.oliveira.pedro@ist.utl.pt, jalmeida@civil.ist.utl.pt

Steel-concrete hybrid bridge decks: design models for connection regions Resumo Os tabuleiros híbridos aço-concreto são utilizados em diversas pontes por razões construtivas e/ou económicas. Tipicamente, a estrutura do tabuleiro é constituída por vigas de concreto nos tramos laterais e vigas de aço ou mistas aço-concreto nos tramos principais, habitualmente ligadas com continuidade nas regiões de transição entre os dois materiais. As normas de projecto referem-se separadamente ao dimensionamento de estruturas de aço e concreto. Contudo, a ligação híbrida deve ser projectada de uma forma integrada, utilizando um modelo eficiente e intuitivo de encaminhamento das cargas na região de ligação. Deste modo, propõe-se um novo modelo de dimensionamento para estas zonas, baseado em formulações desenvolvidas nas últimas décadas, relacionadas com a instabilidade de placas e modelos de campos de tensões. Analisa-se pormenorizadamente o caso de estudo de uma ligação utilizada no tabuleiro híbrido de um viaduto sobre a auto-estrada A4, em Portugal. Palavras-chave: tabuleiros de pontes híbridas; regiões de ligação; modelos de campos de tensões; instabilidade de placas; modelos de bielas e tirantes. Abstract Steel-concrete hybrid bridge decks have been used in several bridges due to constructive and economical reasons. Usually they adopt reinforced concrete back spans and main spans with all-steel or steel-concrete composite girders, typically with monolithic connections in between. Design codes address separately to the design of the steel and concrete parts of the connection. However, a rational design, with an efficient transfer of stresses between the steel and the concrete parts, should be based on a global understanding of the connection region structural behaviour. Therefore, a new model for the design of the connection region is proposed, based on web shear buckling models developed over the last decades for steel panels and stress field models for structural concrete elements. A detailed case-study of the connection region of a hybrid bridge deck, crossing the A4 highway, in Portugal, is presented. Keywords: hybrid bridge decks; connection regions; tension field models; plate buckling; strut-and-tie models.

*autor correspondente

143


1. Introdução Nos últimos anos, pontes híbridas constituídas pela combinação de tabuleiros de aço ou mistos aço-concreto, e de concreto armado, têm merecido a atenção dos Engenheiros, devido às suas vantagens económicas, construtivas e estruturais. O conceito fundamental de uma estrutura híbrida consiste na utilização racional dos materiais estruturais. Tabuleiros de concreto armado protendido são usualmente soluções económicas em pontes de pequeno vão, enquanto os tabuleiros metálicos ou mistos são, em geral, utilizados em pontes de maior vão, por serem mais leves, rápidos e fáceis de construir. As soluções híbridas permitem conjugar as vantagens das duas tipologias anteriores, adotando-se tabuleiros em concreto nos tramos laterais e tabuleiros totalmente metálicos ou mistos aço-concreto nos longos vãos principais. Este foi o caso, por exemplo, da Ponte da Normandia, da Ponte Stonecutters ou, recentemente, da Terceira Travessia do Bósforo, contribuindo para o aumento dos vãos destas estruturas. Os tabuleiros híbridos têm sido também utilizados em pontes de pequeno a médio vão, com vantagens funcionais e construtivas, nomeadamente nos casos de alargamento de tabuleiros existentes. Os regulamentos EN1992 e EN1993 sugerem modelos de dimensionamento individuais das regiões metálica e de concreto estrutural. Contudo, a questão fundamental no dimensionamento de uma ligação híbrida consiste na definição integrada da solução estrutural mais eficiente para transmitir os esforços entre a região metálica e a região de concreto.

2. Principais tipos de ligações híbridas As ligações híbridas aço-concreto podem transmitir apenas esforços de corte ou também momentos fletores, sendo neste último caso uma ligação monolítica executada: (1) com chapas e conetores; (2) com barras e/ou cabos de protensão; ou (3) combinando as duas soluções anteriores.

144


Uma solução do primeiro tipo foi utilizada nos viadutos sobre a auto-estrada auto estrada A3 (Figu( ra 1). Nesta ligação, localizada na seção a 1/5 do vão, onde os esforços de flexão das cargas permanentes são mais reduzidos, os esforços de corte são distribuídos pelos conetores onetores dispostos nas almas e banzos de uma peça metálica auxiliar, que permite a ligação à parte metálica do tabuleiro por soldadura ou aparafusamento.

Figura 1 – Peça metálica utilizada na ligação dos viadutos sobre a auto-estrada auto A3 (Portugal) onde se dispõem os conetores de corte (Cabral, Bispo & Rito, 2011). 2011)

O segundo tipo de ligação utiliza a compressão da seção de ligação com barras ou cac bos de protensão.. O afastamento entre barras permite resistir ao momento fletor insin talado na seção.. Frequentemente, prolongam-se prolongam se também os cabos de protensão do tabuleiro de concreto protendido, protendido ancorando-os os na zona metálica ou mista. A obra de alargamento da PI 275 (Portugal) constitui um exemplo deste tipo de ligação, tendo sido utilizados simultaneamente ltaneamente cabos e barras protendidass na conexão monolítica Figura 2a (Rito & Loureiro, 2006). 2006) A solução utilizando zando simultaneamente conectores e barras ou cabos protendidos foi aplicada, por exemplo, na Ponte de Nagisa (Japão) e na Terceira Travessia do Bósforo (Turquia). Ambas adotaram um tabuleiro híbrido, suspenso por tirantes e pendurais, mas vãos principais bastante diferentes, 110 m na Ponte de Nagisa e 1408 m na TerceiTerce ra Travessia do Bósforo. Na ligação híbrida da Ponte de Nagisa é utilizada uma peça metálica pré-fabricada, pré preenchida por concreto armado autocompactável (Figura ( 2b). A transmissão de flexão é assegurada pelos conetores dispostos nos banzos da peça de ligação, ligação, enquanto a transmissão do corte é assegurada pelos conetores dispostos na chapa vertical e pela força de atrito mobilizada pela compressão das barras de protensão. 145


(a) Ligação adotada na PI 275 - Portugal (Rito & Loureiro, 2006)

(b) Ligação adotada na Ponte de Nagisa Japão (Sato, et al., 2003)

Figura 2 – Exemplos de ligações híbridas com cabos e barras de protensão (unidades: m). A ligação utilizada na Terceira Travessia do Bósforo é topo a topo, com “dentes” metálicos na seção de concreto, barras protendidas e conetores. As barras protendidas são dimensionadas para equilibrarem o binário produzido pelo momento fletor atuante, garantindo ainda a compressão da ligação. O esforço cortante é equilibrado pelos “dentes” e conetores soldados verticalmente ao longo da extremidade do tabuleiro metálico e pela força de atrito gerada na interface de ligação entre os dois materiais.

3. Análise da região de ligação Estuda-se uma ligação híbrida de uma nervura de concreto armado protendido a um caixão misto com o mesmo contorno exterior, a 1/5 do vão principal, com geometria semelhante à da Figura 2a (Rito, 2011). No estudo da ligação avalia-se a resistência do caixão misto. O consolo curto de concreto armado é dimensionado para este esforço resistente, utilizando modelos de bielas e tirantes. 3.1. Modelo do comportamento estrutural da região mista A questão fundamental consiste na avaliação da capacidade última ao esforço cortante do painel de extremidade do caixão misto. A geometria da alma na interface de ligação torna necessária uma análise local do encaminhamento das cargas. A capacidade da alma esbelta dos tabuleiros de pontes (são correntes esbeltezas entre 100 e 200, tendo-se adotado uma esbelteza de 150) é determinada pela instabilidade local de placa, sendo, por isso, corrente avaliar a resistência pós-crítica associada à instabilidade por esforço cortante da alma.

146


A resistência de uma placa ao corte pode ser obtida por diversos métodos (Lebet & Lääne, 2005), tendo-se adotado o Método do Campo Diagonal de Tração (MCDT), baseado no modelo de Cardiff-Praga. Trata-se do método incluído na ENV 1993-1-1 de 1992, e que deve ser aplicado a vigas de alma cheia com reforços transversais intermédios, com espaçamento entre  ≤  ≤ 3, sendo  e  a altura e o espaçamento entre reforços da alma de espessura  (Figura 3a). De acordo com este método, o painel da alma instabiliza quando se atinge a tensão crítica de corte  , não tendo capacidade para absorver compressões adicionais. Neste instante, um novo mecanismo de transmissão de forças é desenvolvido, permitindo absorver os esforços de corte adicio-

(a) Fase pré-crítica

nais através de uma membrana de tração inclinada que se pode ancorar nos banzos superior e inferior e nos reforços transversais da alma (Figura 3b). Pode estabelecer-se uma analogia entre este mecanismo de pós-flambagem e o comporta-mento estrutural de uma treliça (b) Fase pós-crítica

de Pratt, equiparando-se a resistência Sc

de pós-flambagem disponível na chapa

Rótula plástica

de alma à resistência da barra diagonal

da treliça (Stiemer, 2007), controlada pela capaci-dade de ancorar a força diagonal com inclinação . O colapso ocorre ao atingir-se a cendência desta dia-

St

gonal fictícia, e com a formação das ró-

Diagonal plastificada

tulas plásticas nos banzos. A resistência

(c) Colapso

Figura 3 – Modelo de comportamento segundo o MCDT (Stiemer, 2007). 147

última é obtida pela sobreposição da


resistência prÊ-critica da placa com a resistência do campo diagonal de traçþes da fase pós-critica (Figura 3c). Assim, a resistência total ao esforço cortante ,  Ê obtida pela soma da parcela elåstica ou prÊ-crítica com a parcela correspondente à resistência pós-crítica:

.  =   + 0.9  sin

(1)

O valor da tensão associada ao campo de trações  pode ser deduzido pelo critério de von Mises-Hencky. Assim que a tensão de tração na alma atinge o valor da tensão resistente do aço, ocorre um mecanismo de colapso semelhante ao apresentado na Figura 4a, formando-se quatro rótulas plásticas nos banzos. A contribuição para a resistência ao corte deste mecanismo, associado ao campo de trações formado na alma, depende da largura do campo de tensões, definida por . O valor de  é, por sua vez, função da distância entre rótulas plásticas nos banzos comprimido e tracionado,  e  , as quais podem ser obtidas através do equilíbrio da viga da Figura 4b.

(a) Plastificação do banzo superior ao ancorar a diagonal tracionada

(b) Modelo de resistĂŞncia plĂĄstica do banzo superior

Figura 4 – Modelo de comportamento do painel de extremidade ao ancorar a diagonal tracionada. O MCDT foi adotado por permitir individualizar as parcelas prÊ-crítica e pós-crítica, o que não se verifica no MÊtodo do Campo de Tensþes Rodado, incluído na versão atual do Eurocódigo 3 – Parte 1-5. Acresce que o MCDT trata da mesma forma as situaçþes de um reforço de extremidade rígido e não rígido, que podem ambas ocorrer nas ligaçþes em estudo. 148


3.2. Modelo do comportamento estrutural da região de concreto estrutural Os modelos de bielas e tirantes têm sido utilizados na análise, dimensionamento e pormenorização de regiões especiais em concreto estrutural. Tratam-se de modelos de aplicação geral, tanto em zonas onde é válido o princípio de Bernoulli, como em zonas de descontinuidade, apresentando consistência no tratamento das regiões de transição entre as zonas B e D (Lourenço & Almeida, 2013). De fato, estes modelos constituem uma ferramenta sólida para avaliar o comportamento estrutural de um elemento de concreto, permitindo simular espacialmente o caminho das cargas no interior de uma região em estudo e ainda ter em conta o comportamento do concreto em estado fendilhado. Estas vantagens conduzem a que o Método de Bielas e Tirantes seja particularmente interessante no estudo das regiões de descontinuidade dos tabuleiros híbridos.

3.3. Geometria da ligação híbrida As dimensões ℎ e  do consolo curto de concreto são importantes no comportamento da ligação (Figura 5). Existe todo o interesse em que o comprimento  seja curto, sendo função da carga vertical a transmitir. A altura ℎ limita, por outro lado, a largura da diagonal de tração pós-crítica (Figura 5), e consequentemente a resistência ao esforço

1500

300

cortante.

Figura 5 – Exemplo de incompatibilidade geométrica com o MCDT.

149


No dimensionamento do consolo de concreto armado, uma relação /ℎ baixa conduz a uma transmissão direta da carga, facilitando a pormenorização dessa região. A calibração do comprimento  do consolo curto está também dependente da necessidade de assegurar que, no caso da adoção de um reforço de extremidade duplo (Figura 6c), o dimensionamento do painel de apoio  × ℎ! não é condicionado pela sua estabilidade, mas sim pela sua resistência plástica.

(a) Corte transversal 1-1

1500

790

300

(b) Planta por 2-2 e 3-3

650

(c) Corte longitudinal 4-4

Figura 6 – Região mista da ligação híbrida do caso de estudo (unidades: mm). 150


4. Caso de estudo Na apresentação dos possíveis modelos de dimensionamento da ligação híbrida é utilizado o caso de estudo com a geometria apresentada na Figura 6, realizado com aço estrutural S355 J2K3 e o concreto C35/45 XC4. Primeiramente são apresentados os modelos de dimensionamento para as regiões de ligação, considerando uma conexão simplesmente apoiada. Em seguida, o modelo de dimensionamento para uma ligação monolítica é introduzido. A espessura dos reforços transversais é definida em cada caso, de modo a que estes não condicionem a resistência da ligação.

4.1. Modelo 0 – Modelo de resistência crítica de pré-flambagem O Modelo 0 admite que a resistência ao corte é limitada pela tensão de corte crítica da chapa de alma. Trata-se, assim, de um modelo de uma placa sujeita a um estado de corte puro, com tensões principais orientadas segundo ângulos de 45o em relação à direção de atuação do esforço cortante (Figura 7). Este modelo deve ser aplicado quando não existem reforços transversais de extremidade com capacidade para ancorar as trações do campo diagonal, no regime pós-crítico.

Figura 7 – Modelo 0 com resistência crítica de pré-flambagem (unidades: mm).

A chapa de reforço de extremidade inferior de 10 mm cumpre as exigências mínimas de inércia aplicáveis a reforços transversais com a função de apoios de painéis de alma 151


do Eurocódigo 3 – Parte 1-5. A resistência ao corte calculada por este modelo é de 817 kN, para uma chapa de alma com 1500 mm de altura e 10 mm de espessura.

4.2. Modelo 1 – Modelo com reforço de extremidade simples A utilidade de um reforço transversal de extremidade no aumento da resistência ao corte é notável, permitindo ancorar um campo diagonal de tração que se desenvolve após a chapa de alma instabilizar. A resistência total ao corte da seção de ligação é dada pela soma desta parcela pós-crítica com a resistência crítica ao corte, avaliada pelo Modelo 0. O modelo 1A utiliza um reforço transversal de extremidade simples (Figura 8) e não considera a contribuição da laje de concreto na resistência ao esforço cortante, metodologia habitual no dimensionamento de vigas mistas.

Figura 8 – Modelo de dimensionamento 1A (unidades: mm). A Figura 9 apresenta o mecanismo de colapso associado à plastificação dos banzos e do reforço transversal de extremidade, para um esforço cortante atuante de 1429 kN, traduzindo-se num aumento de resistência de 75% em relação ao Modelo 0. O modelo 1B (Figura 10) apresenta a mesma composição de um reforço transversal de extremidade simples, tal como o 1A. A diferença consiste unicamente ao nível da consideração da contribuição parcial da resistência à flexão da seção mista formada pela laje de concreto armado e pelo banzo superior de aço para a resistência pós-crítica ao esforço cortante (Figura 10). Para assegurar o comportamento misto entre o banzo superior e a laje de concreto deve existir uma pormenorização adequada de conetores, sujeitos localmente aos esforços impostos pela diagonal tracionada da alma (Figura 11). 152


2

∅1

3 Área (A)

=

/ 4

(a) Mecanismo global do painel de extremidade

∅2

(b) Modelo de cálculo plástico do reforço de extremidade

Figura 9 – Mecanismo de colapso proposto para o Modelo 1.

(a) Modelo de dimensionamento proposto 1B 20//0.20 + 16//0.20

400x35 mm2

20//0.20 + 12//0.20 3200

(b) Seção mista do banzo superior e da laje de concreto armado

Figura 10 – Modelo de dimensionamento 1B (unidades: mm).

Figura 11 – Esforços de dimensionamento dos conetores devido à ação do campo diagonal de tração.

153


Verifica-se que, considerando apenas 10% da resistência à flexão da laje de concreto, obtém-se um esforço cortante resistente de 1596 kN (95% superior ao do Modelo 0). Apesar deste modelo se basear numa adaptação do MCDT, ensaios laboratoriais têm comprovado a influência benéfica da laje de concreto na resistência ao corte póscrítica das vigas mistas (Gomes, Cruz & Silva, 2000).

4.3. Modelo 2 – Modelo com reforço de extremidade duplo No Modelo 2 adotam-se dois reforços de extremidade constituídos por chapas de 13 mm, para assegurar a sua estabilidade local, o que conduz a um esforço cortante

650

1500

674

790

300

resistente de 1712 kN, 110% superior ao do Modelo 0 (Figura 12).

Figura 12 – Modelo de dimensionamento 2 (unidades: mm).

Através da Figura 13 verifica-se que, ao contrário dos modelos anteriores, a carga vertical não pode ser transmitida na vertical até ao apoio pela chapa do reforço de extremidade, dando origem à força de desvio "# . Torna-se, assim, necessário adaptar o modelo de cálculo do reforço de extremidade (Figura 13c), devido à existência desta força de desvio e ao fato do comportamento estrutural do reforço ser distinto dos modelos anteriores, na situação em que é vencida a força de atrito no apoio.

154


=

Assim, considerando a fle-

/ 2

xão vertical do reforço, as-

∅1 Área (A)

sume-se o modelo de uma viga de inércia variável,

3

com o vão igual à altura total da alma (1500 mm)

4

(a) Equilíbrio de forças no apoio de extremidade

∅2

[mm]

encastrada no banzo superior/laje e apoiada no ban-

(b) Mecanismo de cálculo plástico do reforço de extremidade

zo inferior, e sujeita à componente

horizontal

do

campo diagonal de tração da fase pós-crítica. Para evitar a rotura prematura da ligação para um valor inferior à resistência de 1712 kN, adota-se um re(c) Deformada aproximada do painel de extremidade

Figura 13 – Mecanismo de colapso associado ao Modelo 2.

forço transversal de extremidade inferior com 39 mm de espessura.

4.4. Modelo 3 – Modelo de ligação monolítica O Modelo 3 considera a ligação monolítica, com a transmissão adicional do momento fletor. Utilizam-se reforços transversais duplos semelhantes aos do Modelo 2, devido ao fato desta solução apresentar uma maior resistência ao corte relativamente às anteriores. A transmissão de flexão nesta ligação híbrida é possibilitada através da introdução das barras de protensão e das chapas de topo (Figura 14). As chapas de topo a toda a largura da seção transmitem as compressões diretamente ao concreto, e as barras comprimem o tabuleiro na ligação, eliminando as trações que resultam dos momentos fletores, tornando assim a ligação monolítica.

155


300

650

1500

790

100

300

(a) Seção transversal 1-1

600

1000

400

(b) Corte longitudinal 4-4

(c) Planta por 2-2

(d) Planta por 3-3

Figura 14 – Geometria da ligação proposta para o Modelo 3 (unidades: mm). A concretagem de um bloco de concreto armado de 1 m no interior da seção mista (Figura 14) confere maior rigidez e resistência à ligação monolítica, facilitando também a ancoragem dos cabos protendidos. As chapas de topo facilitam esta concretagem em 2ª fase e evitam que o caixão metálico deslize em relação à seção de concreto. A existência do bloco de concreto comprimido contra as chapas de topo evita que estas tenham flexão significativa, sendo a sua espessura apenas função da rigidez que se pretende assegurar na ligação topo a topo. Assim, na rotura, as rótulas plásticas formam156


se na seção mista composta pelo banzo superior/laje, sendo avaliada a resistência à flexão desta seção tendo em conta: 1) O esforço axial imposto pela diagonal tracionada da alma; 2) Uma compressão/tração adicional devida ao momento fletor global na ligação. No caso do momento fletor global instalado na ligação híbrida ser de 40% da resistência plástica do tabuleiro misto, obtêm-se esforços cortantes resistentes de 1677 kN e 1645 kN, em simultâneo com a atuação de um momento fletor positivo e negativo,

650

1500

661

790

300

respetivamente (Figura 15).

650

1500

664

790

300

(a) Modelo de dimensionamento para uma ligação híbrida sujeita a um momento fletor positivo

(b) Modelo de dimensionamento para uma ligação híbrida sujeita a um momento fletor negativo

Figura 15 – Modelos de dimensionamento 3 – Ligação monolítica (unidades: mm).

157


4.5. Distribuição transversal da reação vertical no consolo curto de concreto Para dimensionar a região em concreto estrutural da ligação para o Modelo 3 é necesnece sário caraterizar a distribuição transversal da reação vertical de 1645 kN no consolo curto de concreto. De fato, fato a carga vertical é transmitida lateralmente pelas almas do caixão misto e, por isso, a sua distribuição transversal depende muito da rigidez da chapaa de topo da ligação. Com recurso a um modelo de elementos finitos (Figura ( 16), analisou-se se a distribuição transversal da reação no n consolo curto para quatro casos disdi tintos, apresentados na Figura 17.

Chapas de topo Chapas de reforço

Figura 16 – Modelo de elementos finitos e identificação das chapas intervenientes no estudo paramétrico.

400

NERVURA

400

(a) Chapas de topo com 50 mm e com reforços 30 mm

(b) Chapas de topo com 50 mm e sem reforços

400

(c) Chapas de topo com 20 mm e com reforços 30 mm

400

(d) Chapas de topo com 20 mm e sem reforços

Figura 17 – Distribuição transversal da reação de apoio no consolo curto de concreto (unidades: mm).

158


É interessante observar a influência da espessura das chapas de topo e das chapas de reforço/nervuras na uniformização da reação de apoio. A adoção de chapas de topo com maiores espessuras e de reforços rigidifica a zona central do caixão misto, diminuindo os picos de tensão transmitidos à nervura de concreto (observável nas Figuras. 17c e 17d).

4.6. Dimensionamento da região de concreto estrutural O encaminhamento de cargas na nervura em concreto estrutural pode ser traduzido pelo esquema tridimensional do modelo de bielas e tirantes proposto (Figura 18a). Este modelo cor-

(a) Modelo de equilíbrio para a reação vertical atuante sobre o consolo curto de concreto

responde ao caso (d) da Figura 17, em que a reação vertical se concentra essencialmente nos 0.4 m junto ao

contorno

da

seção

transversal na interface de ligação, na proximidade das almas do caixão misto. A adoção de barras de protensão na ligação conduz ao

(b) Modelo de equilíbrio das barras protendidas e da reação vertical

Figura 18 – Modelo de bielas e tirantes da região de concreto da ligação híbrida monolítica.

segundo modelo de bielas e tirantes (Figura 18b). Na região da nervura de concreto da ligação híbrida deve ser adotada uma pormenorização de armaduras coerente com as forças de tração dos tirantes destes modelos.

5. Conclusões A questão fundamental no dimensionamento de uma ligação híbrida consiste na definição integrada da solução estrutural mais eficiente para transmitir os esforços entre a 159


região metálica/mista e a região de concreto. Para os casos de estudo de uma ligação rotulada e monolítica, e com base em modelos de campos de tensões, foram propostos modelos para a transmissão de um esforço cortante e um momento fletor para o dimensionamento da ligação de um tabuleiro híbrido. O estudo realizado conduziu às seguintes conclusões: i. Os modelos propostos permitem entender de forma simples o caminho das cargas na região de ligação, constituindo, por isso, uma ferramenta essencial no seu dimensionamento; ii. A consideração da contribuição da resistência pós-crítica ao esforço cortante permite um incremento de 817 kN para 1429 kN do esforço cortante resistente da ligação; iii. O Modelo 1B, que considera a contribuição de 10% da resistência à flexão da laje de concreto armado, permite maiores comprimentos de ancoragem da diagonal do modelo pós-crítico sobre o banzo superior, o que se traduz no aumento para 1596 kN do esforço cortante resistente; iv. O Modelo 2, com um reforço de extremidade duplo, é mais eficiente que os anteriores, conduzindo ao aumento para 1712 kN do esforço cortante resistente da ligação; v. A ancoragem das barras de protensão numa ligação monolítica analisada com o Modelo 3 aumenta a rigidez da ligação e evita a flexão local das chapas de topo da ligação; vi. As chapas de topo aplicadas no Modelo 3 têm uma influência relevante na distribuição transversal da reação vertical sobre o consolo curto de concreto; esta distribuição da reação é essencial para definir os modelos de bielas e tirantes de dimensionamento da nervura de concreto na zona de ligação.

6. Agradecimentos Este trabalho foi realizado com o apoio de uma bolsa de iniciação à investigação da Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT), a qual se agradece. Reconhece-se igual160


mente o apoio concedido pelos Engenheiros da Armando Rito, S.A. durante a realização deste trabalho.

7. Referências bibliográficas CABRAL, Pedro; BISPO, Susana; RITO, Armando. Aplicação de tabuleiros mistos no atravessamento de auto-estradas. VIII Congresso de Construção Metálica e Mista, 2011. DD ENV 1993-1-1: Eurocode 3. Design of Steel Structures: General Rules and Rules for Buildings, CEN, 1992. EN 1992-1-1: Eurocode 2 – Design of concrete structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings, CEN, 2006. EN 1993-1-1: Eurocode 3 – Design of steel structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings, CEN, 2006. EN1993-1-5: Eurocode 3 – Design of steel structures – Part 1-5: Plated structural elements, CEN, 2006. ESTEVES, Pedro Marques. Tabuleiros de pontes híbridas betão/aço - Modelos de dimensionamento para as regiões de ligação. Dissertação para obtenção do Grau de Mestre Eng. Civil, Lisboa, Abril 2015. GOMES, C M; CRUZ, Paulo; SILVA, Luís. Avaliação experimental do comportamento ao corte de vigas de aço esbeltas. Universidade do Minho, 2000. LEBET, J-P; LÄÄNE, A. Comparison of shear resistance models with slender composite beam test results. Eurosteel 2005 Proceedings, vol. B, p. 4.3-33/40, 2005. LOURENÇO, Miguel; ALMEIDA, João. Adaptive Stress Field Models: Formulation and Validation. ACI Structural Journal, 2013. RITO, Armando. Projecto de Execução do Viaduto V4.1 - Viaduto sobre a A4. Lisboa, 2011. RITO, Armando; LOUREIRO, Manuel. Alargamento do viaduto sobre o rio Antuã e da passagem inferior 275 na A1. JPEE 2006, 2006. SATO, Y; SASAKI, S; MOROHASHI, K; SUZUKI, N. Construction of Nagisa Bridge: Hybrid system of cable-stayed PC bridge and steel suspension bridge. Japan, 2003. STIEMER, S. Plate Girders. Advanced Structural Steel Design, 2007.

161


recebido: 13/06/2016 aprovado: 24/10/2016

Volume 5. Número 3 (dezembro/2016). p. 162 - 179

ISSN 2238-9377

Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICTo

Método geral para a verificação da estabilidade em elementos estruturais metálicos Trayana Tankova1*, Liliana Marques1, Luís Simões da Silva1 1 recebido: 27/05/2016 aprovado: 24/10/2016

Departamento de Engenheira Civil, Universidade de Coimbra, Portugal ttankova@uc.pt, lmarques@dec.uc.pt, luisss@dec.uc.pt

A general methodology for the stability design of steel members Resumo Este artigo sumariza o desenvolvimento de uma novo método para a verificação da estabilidade de elementos estruturais esbeltos em aço, garantindo consistência com as regras de dimensionamento presentes na EN 1993-1-1 (EUROCODE, (2005)), e permitindo aos projetistas a verificação de elementos estruturais com diversos tipos de geometrias, carregamentos e condições de fronteira. Para a verificação do método proposto, é necessário efetuar uma análise bifurcacional de estabilidade e usar o multiplicador da carga crítica do modo relevante de modo a obter os esforços de 2ª ordem. Neste artigo, o método bem como os fundamentos teóricos na qual a mesma se baseia serão apresentados. A validação será efetuada para elementos de secção e/ou carregamento variável ao longo do seu comprimento. Palavras-chave: Método Geral; Estabilidade; Instabilidade por flexão; Estruturas Metálicas; Metodologia de Dimensionamento

Abstract This paper summarizes the development of a new design methodology for the stability verification of slender steel members. The methodology aims for generality and consistency with the recommendations of EN 1993-1-1, thus allowing the designers to apply it to members of various geometries, loading and support conditions. For the verification by the proposed method, it is required to perform a Linear Buckling Analysis and use the critical load multiplier and relevant buckling mode to obtain the second order forces that appear in slender steel members. In this paper the methodology and its background are summarized. Validation for members with non-uniform geometry and/or loading along the length is performed. Keywords: General Methodology; Stability; Flexural buckling; Steel structures; Design methodology

*autor correspondente

162


1

Introdução

O EC3 fornece várias metodologias para a verificação de elementos e pórticos. No entanto, estas metodologias apresentam uma aplicabilidade limitada no que diz respeito ao tipo de secção, condições de fronteira, tipo de carregamento. Adicionalmente, existem vários parâmetros a ser determinados tal como o comprimento

de

encurvadura

e

os

fatores

de

momento

equivalentes.

Consequentemente, a verificação de elementos não uniformes conduz a dificuldades tais como a definição da curva de encurvadura; as propriedades da secção a considerar para a verificação de estabilidade; ou mesmo a classe da secção, tendo em conta que esta varia em função da forma da secção e do tipo de carregamento. Alternativamente, a cláusula 6.3.4 do EC3-1-1 (Metodologia Geral) deve ser considerada para verificação da segurança de estruturas com elementos de secção variável, uma vez que a sua aplicação resolve algumas das dificuldades descritas. No entanto, tem-se verificado a falta de fiabilidade aquando da sua aplicação (Simões da Silva et al., 2010), o que se deve essencialmente à falta de clareza relativamente a certos aspetos da sua aplicação como, por exemplo a escolha da curva de encurvadura; e também ao seu empirismo. Em Marques et al., (2012) e (2013) foram apresentadas deduções analíticas para a verificação da instabilidade por flexão de colunas e instabilidade por flexão-torção de vigas. Através da consideração de fatores calibrados que têm em conta a secção do elemento estrutural na qual a combinação de esforços de 1ª e 2ª ordem é mais elevada, são apresentadas nestes trabalhos metodologias práticas para o dimensionamento de colunas e vigas de secção variável. No entanto, a generalização destes fatores a elementos com combinações generalizadas de carregamento, forma da secção transversal e condições de fronteira, é irrealista. Deste modo, é desenvolvida uma nova metodologia, a qual será apresentada de seguida. A mesma baseia-se numa interação linearizada das tensões mais relevantes à qual a secção está sujeita: (i) tensões devido às forças aplicadas; (ii) tensões devido às forças de segunda ordem. O procedimento é de simples aplicação e extende-se a vários tipos de geometria, carregamento, e condições de fronteira. 163


Neste artigo apresentam-se os fundamentos teóricos da metodologia desenvolvida bem como a sua validação para colunas de secção variável com esforço axial constante e variável, sujeitas a instabilidade por flexão.

2

Modelo analítico

A nova metodologia desenvolvida é consistente com as regras de dimensionamento para colunas no EN 1993-1-1. Assim, este mesmo modelo analítico é apresentado. 2.1

Instabilidade por flexão de colunas

As regras de dimensionamento para colunas são apresentadas na cláusula 6.3.1 da EN 1993-1-1. A dedução das mesmas pode ser consultada em Maquoi e Rondal (1978) e Strating e Voz (1973). A instabilidade lateral de uma coluna com uma imperfeição inicial (ver Figura 1) é brevemente apresentada aqui. Como referência, considera-se encurvadura por flexão de uma coluna prismática em torno do eixo de menor inércia (z-z), sendo que o processo é análogo para a verificação da instabilidade em torno do eixo de maior inércia. Assim, considerando a equação diferencial respetiva (1),

EI z v′′( x) + Nv( x) = − Nv0 ( x)

(1)

bem como as condições de fronteira v(0)= v(L)=0, obtém-se

πx πx N vˆ0 sin = vˆ sin (2) N cr, z − N L L é a carga crítica elástica, v(x) é o deslocamento lateral e v0(x) é a v( x ) =

em que Ncr,z

imperfeição inicial, a qual se assuma ter a mesma forma que v(x):

v0 (x ) = vˆ0 sin

πx L

Figura 1 Coluna com imperfeição inicial

164

(3)


Estabelece-se assim a seguinte relação de amplificação devido à presença de imperfeições inicias:

vˆtot = vˆ0 + vˆ =

1 vˆ0 1 − N N cr, z

(4)

Considerando um critério de cedência elástico a meio vão, isto é, igualando as tensões normais na fibra mais comprimida à tensão de cedência fy, obtemos:

N M zII + = fy A Wz

(5)

Que resulta na equação conhecida de Ayrton-Perry:

χ z +ηz

χz = 1.0 2 1− χz λ z

(6)

em que

λz =

Af y N cr , z

é a esbelteza normalizada;

χz =

N Ed é o fator de redução; N pl , Rd

ηz =

e0 A é o fator de imperfeição generaliza; Wz

e Wz o módulo elástico de flexão em torno do eixo de menor inércia (z-z). 2.2

Verificação prática

O modelo teórico para colunas de secção prismática é transposto para regras práticas através da calibração de fatores de imperfeição os quais têm em conta a presença de várias imperfeições, geométricas e materiais. A calibração destes fatores de imperfeição e desenvolvimento das respetivas curvas de encurvadura presentes no EC3-1-1 podem ser consultados em Maquoi e Rondal (1978) e Strating e Voz (1973). Apenas os fatores ηi são calibrados, sendo que toda a formulação analítica é preservada.

165


Tabela 1: Métodos de verificação da estabilidade Instabilidade por flexão

Método Resistència NRk, MRk

Cláusula 6.3.1, EN 1993-1-1 A . fy – secções de classe 1, 2 e 3 Aeff . fy – secções de classe 4

Carga crítica

Ncr,i =

L2

λi

λ i = N Rk / N cr ,i

ηi

α i λ i − 0 .2

αi

Ver tabela 6.2 da EN1993-1-1

(

(

2

)

2 2 1  φ i + φ i − λ i  ≤ 1  

χi Verificação

)

0.5 × 1 + η i + λ i

ϕi

3

π 2 E Ii

NEd ≤ Nb,i, Rd = χi × NRk / γ M 1

Metodologia

3.1

Introdução

A metodologia de dimensionamento do EC3-1-1 apresentada na Secção 2 foi deduzida para: - elementos de secção prismática; - colunas simplesmente apoiadas; - carregamento pontual, isto é, diagrama de esforço axial constante. Adicionalmente, os fatores de imperfeição a considerar foram calibrados com base nos mesmos pressupostos. Assim, os mesmos não são aplicáveis a elementos de secção variável com carregamento variável e outras condições de fronteira. De modo a generalizar a aplicabilidade da verificação de colunas sujeitas a instabilidade por flexão, desenvolveu-se uma nova metodologia a qual é apresentada neste artigo. Esta metodologia é também baseada num modelo de Ayrton-Perry, no entanto o formato final na qual a mesma é apresentada é distinto do formato conhecido. No EC3-1-1 a verificação é efetuada através da determinação de um fator de redução χ (ver Tabela 1), enquanto que na nova mitologia a verificação da segurança é feita através da verificação de uma equação de interação, a qual se baseia na interação 166


linear das tensões do elemento estrutural e considera: (i) tensões normais devido aos esforços aplicados; (ii) tensões normais devido os esforços de segunda ordem. A Figura 2 ilustra a utilização de tensões na fibra mais comprimida do banzo de uma coluna de secção variável com instabilidade no eixo de maior inércia. O rácio de utilização é apresentado ao longo do comprimento da coluna, x/L. É possível verificar que a contribuição dos esforços de segunda ordem não é negligenciável Esta interação entre os esforços de primeira e segunda ordem é consistente com a metodologia presente no EC3-1-1 e apresentada na Secção 2, em que o fator de redução … é também deduzido com base numa interação linear das tensões do elemento (Eqs. (5) e (11)). Para aplicar a nova metodologia, o projetista deverá primeiro efetuar uma análise bifurcacional de estabilidade (LBA – Linear Buckling Analysis), a qual resultará para um dado modo crítico relevante, no fator de carga crítica bem como a forma do respetivo modo. A metodologia em questão trata a instabilidade por flexão. O valor da carga crítica bem como a forma do modo crítico são então considerados para a determinação das tensões devidas aos esforços de segunda ordem. Os termos que dizem respeito aos esforços de segunda ordem são amplificados de modo a ter em conta a imperfeição do modo relevante. Deste modo, a consistência com o caso de colunas prismáticas é garantida.

Figura 2 Utilização das tensões de compressão num elemento não uniforme

Metodologias análogas são propostas em Chladný e Stujberová (2013), Aguero et al. (2015), Badari e Papp, (2015) e Papp, (2015). Em Chladný e Stujberová (2013), os autores baseiam a sua abordagem nas recomendações da EN 1993-1-1, secção 5.3.2(11), em que a amplitude da imperfeição é definida com base na instabilidade 167


lateral de colunas prismáticas, e a forma é adotada a partir do modo crítico relevante. Adicionalmente, considerando a metodologia proposta, o projetista deverá encontrar a localização ao longo do elemento na qual a verificação deve ser realizada. Em certos casos é necessário um processo iterativo para o fazer. Em Aguero et al. (2015), os autores propõem uma metodologia para obter a imperfeição equivalente de elementos em compressão e flexão com imperfeições laterais e torsionais. Esta metodologia baseia-se também na secção 5.3.2(11) da EN 1993-1-1, sendo que neste caso os autores propõem expressões (para secções elásticas e plásticas) a considerar na amplificação dos esforços de segunda ordem obtidos da LBA. O projetista deverá utilizar um processo iterativo de modo a encontrar a localização crítica ao longo do elemento na qual a magnitude desta imperfeição é determinada. Em Badari e Papp, (2015) são propostas novas curvas de encurvadura para instabilidade por flexão-torção de vigas, as quais forma calibradas com base em simulações numéricas avançadas. A verificação é efetuada através da determinação do fator de redução χ em várias localizações da viga. Em Papp, (2015) é proposta uma metodologia generalizada inovadora para o cálculo da resistência à instabilidade de colunas, vigas e vigas-coluna. A metodologia proposta não se baseia num processo iterativo, tal como as anteriores, mas sim na determinação de um membro simplesmente apoiado equivalente. Esta transformação é feita através da resolução de uma equação de 2ª ordem, a qual poderá ser pouco prática. Adicionalmente, de modo a simplificar o processo de aplicação desta metodologia, o autor permite que se assuma que a transformação seja feita com base no ponto de referência onde apenas os esforços de segunda ordem atingem um valor máximo (Papp, (2015)). Embora os métodos anteriores sejam bastante similares e se baseiem no mesmo modelo analítico, considera-se que a simplicidade de aplicação da presente metodologia garantindo sempre elevada consistência analítica, prevalece em relação aos mesmos. Em termos gerais, para aplicar a aplicação da metodologia proposta neste artigo, basta verificar a equação de interação apresentada em várias localizações

168


ao longo do elemento e garantir que é sempre respeitada. O procedimento é apresentado na secção 3.2. 3.2

Metodologia proposta

A equação geral de interação que representa a verificação da instabilidade por flexão de colunas é dada na Eq. (15). Aqui, as equações são generalizadas ao modo crítico – em torno do eixo de menor ou maior inércia, devendo ser consideradas as propriedades respetivas para cada caso.

σ ( x) fy

N ( x) M II ( x) = + ≤1 A( x) f y W ( x) f y

(15)

Na Eq. (15), é dado o momento fletor de segunda ordem M II ( x) = EI ( x)δ " ( x)

(16)

Em que E é o modulo de Young, I(x) é o momento de inércia e δ” a curvatura. Em cada secção, a curvatura pode ser calculada a partir da relação de amplificação (Marques et al., (2012)):

δ " ( x) =

N ( x)δ 0 " ( x) (α cr N ( x) − N ( x))

(17)

Tal como considerado na Secção 2.1, assume-se que a imperfeição inicial apresenta a mesma forma que o modo crítico:

δ 0 " ( x) = δ cr " ( x)e0

e 0 = α ( λ ( x ) − 0 .2 )

W ( x) A( x)

(18)

ou a imperfeição inicial é proporcional à forma do modo crítico δcr”, e a amplitude é dada por e0, que por sua vez foi calibrado para colunas prismáticas sujeitas a instabilidade por flexão. Deste modo, mantém-se consistência com o EC3-1-1 (cláusula 6.3.1) e o respetivo fator de imperfeição α. A verificação final é dada por:

ε ( x) =

EI ( x)δ cr " ( x) N ( x) + α (λ ( x) − 0.2) ≤ 1 A( x) f y A( x) f y (α cr − 1)

(19)

em que λ é a imperfeição generalizada obtida do seguinte modo:

λ=

A( x) f y

α cr N ( x )

169

(20)


A verificação de qualquer elemento sujeito a esforço axial e instabilidade por flexão pode ser efetuada através da verificação da Eq. (19) num número adequado de secções ao longo do elemento, considerando para isso o valor do esforço axial, N(x), e propriedades da secção, A(x), Iz(x). Com este procedimento evita-se a calibração de parâmetros que representem a localização crítica (na qual as tensões são máximas), uma vez que se baseia na equação de Ayrton-Perry no seu formato mais “bruto”, isto é, sem haver necessidade de ser manipulada e representada em termos de um fator de redução χ e, consequentemente, da sua resistência última, Nb,Rd. A verificação pode ser interpretada como uma verificação de diversas “colunas equivalentes” com propriedades geométricas das respetivas secções e carga crítica αcrN(x). 3.3

Resumo

Nas secções anteriores foi apresentada uma nova metodologia para verificação de colunas sujeitas a instabilidade por flexão. Baseia-se na verificação das tensões devidas aos esforços de primeira e segunda ordem. O procedimento é facilmente aplicável a elementos com secção variável, esforço axial variável e diversas condições de fronteira. De modo a garantir simplicidade na formulação da metodologia, torna-se necessário proceder a uma simplificação inevitável. A metodologia proposta assume que o valor da imperfeição é independente do nível de carregamento. No entanto, esta imperfeição é apenas válida quando a equação é igual a 1 e não <1: a localização da secção crítica varia com o aumento do carregamento uma vez que a relação entre esforços de primeira e de segunda ordem variam. Por exemplo, na Figura 3, o método é aplicado a uma coluna de secção variável com um rácio γh=γb=hmax/hmin=bmax/bmin=3 com carregamento axial constante, na qual o esforço axial máximo é Nmax=587kN. A Figura 3 representa o rácio de utilização das secções para vários níveis do esforço axial considerados na equação (19). É visível a variação da localização crítica com os diferentes níveis de esforço axial aplicados. Verifica-se também que quando é aplicado um esforço mais elevado que o máximo (neste caso Nmax=658kN), a equação conduzirá a um resultado maior que a unidade. 170


1.6 Nmax=131.6kN

1.4

Nmax=329kN Nmax=460.6kN

Rácio de utilização ε

1.2

Nmax=526.4kN Nmax=559.3kN

1

Nmax=587kN

0.8

Nmax=658kN Secção critica

0.6 0.4 0.2 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Comprimento, m

Figura 3 Rácio de utilização para vários níveis de carregamento

Embora a generalização desta metodologia está ainda sob validação, devido à sua forte base analítica, espera-se que conduza a níveis adequados e consistentes de segurança. Adicionalmente, é bastante mais flexível e geral quando comparada com metodologias que se baseiam na calibração de fatores auxiliares, as quais são inevitavelmente aplicáveis a um número limitado de casos mais gerais. Os efeitos locais para secções esbeltas podem ser introduzidos posteriormente através da consideração das propriedades efetivas de cada secção na qual a equação está a ser aplicada. Finalmente, os esforços de segunda ordem relevantes devem ser escolhidos tendo em conta uma observação cuidada da forma do modo crítico bem como das forças envolvidas. O valor do multiplicador da carga crítica, αcr, bem como a forma do modo respetivo, podem ser obtidos a partir de qualquer programa de elementos finitos. A Figura 4 ilustra a sequência de aplicação da metodologia.

171


Figura 4 Aplicação da metodologia proposta

4 4.1

Validação Modelo numérico

O modo crítico é obtido usando o programa de elementos finitos Abaqus 6.14 [15]. Cada elemento é modelado com elementos finitos lineares de casca com 4 nós (S4) e 6 graus de liberdade por nó. Análises avançadas foram também efetuadas considerando não linearidades geométricas e materiais com imperfeições, ou seja, GMNIA. Este tipo de análises permite capturar os efeitos de segunda ordem que são essenciais para problemas de estabilidade.

Figura 5 Lei constitutiva

A não linearidade material é incorporada no modelo através duma lei constitutiva elasto-plástica de acordo com a Figura 5. As imperfeições geométricas foram 172


modeladas utilizando uma imperfeição inicial de acordo com o primeiro modo crítico global e uma amplitude de L/1000. As tensões residuais foram consideradas de acordo com a Figura 6.

(a) Secção soldada

(b) Secção laminada, h/b>1.2

Figura 6 – Tensões residuais (“+” Tracção and “–“Compressão)

O carregamento é aplicado de modo incremental, no qual o tamanho do incremento é escolhido de modo a garantir convergência. As equações de equilíbrio são resolvidas para cada incremento utilizando o procedimento iterativo de Newton-Raphson. A malha adotada tem 16 subdivisões em cada banzo e alma, e entre 100 e 300 ao longo do comprimento do elemento. As condições de fronteira são implementadas de modo a representar apoios de forquilha: impedimento de deslocamentos transversais (δz) e verticais (δy) e rotação em torno do eixo longitudinal (ϕx). Num dos apoios o deslocamento longitudinal (δX) é também impedido. As secções dos apoios são modeladas de modo a impedir a distorção das mesmas. 4.2

Estudo paramétrico

De modo a mostrar a aplicabilidade da metodologia, foi efetuado um estudo paramétrico utilizando o modelo numérico apresentado na secção 4.1. Tabela 2: Estudo paramétrico

Rácio

Rácio Modo

Carregamento

γh=hmax/hmin γb=bmax/hmin

1...5

1…5

173

Secções

N crítico z-z

18

y-y

14

100x100x10x10


Nesta fase, pretendeu-se verificar a aplicabilidade do método a colunas de secção variável, com esforço axial variável. Os parâmetros considerados apresentam-se na Tabela 2. 4.3

Resultados e discussão

Aplicação da metodologia De modo a poder avaliar a fiabilidade do método, foram efetuados diversos tipos de análise. Em primeiro lugar analisou-se a variação do rácio de utilização das secções ao longo do elemento, comparando com a expressão analítica derivada em Marques et al., (2012). Uma vez que a relação de amplificação é ligeiramente diferente, é espectável que a localização da secção crítica seja diferente. De todo o modo, verificou-se que o multiplicador do carregamento último, αb, é semelhante para ambos os casos, como pode ser observado na Figura 7, a qual representa uma coluna de secção variável com rácio de variação γh=γb=3 e carregamento axial distribuído. Na Figura 7 o rácio de utilização εtot é representado para o carregamento último, αb. São também representadas as contribuições de ambos os termos do rácio de utilização, εI e εII, respetivamente as tensões devido ao esforço axial aplicado e devido ao momento de segunda ordem. Por sua vez, εtot corresponde à soma dos termos anteriores. A nova metodologia é comparada com o modelo teórico de Marques et al., (2012). Observa-se pela Figura 7 que existe uma diferença na localização crítica entre os dois métodos devido ao fator de amplificação aplicado na componente dos esforços de segunda ordem. A diferença entre o valor do carregamento último nos dois métodos é, no entanto, negligenciável. Elementos de secção variável Uma das principais lacunas nas regras de verificação da estabilidade de elementos no Eurocódigo 3 é a limitação da sua aplicabilidade. Por exemplo, não são aplicáveis a elementos de secção variável. A metodologia presente é válida para elementos com secção variável. A validação da metodologia proposta a colunas de secção variável é apresentada na Figura 8a) e 9a), em que se comparam o método proposto em Marques et al., (2012) com o novo método, em termos de carregamento máximo, αb, respetivamente para instabilidade por flexão em torno do eixo de maior inércia e de 174


menor inércia. Os resultados são apresentados para vários comprimentos de coluna, representação esta que é feita no eixo das abcissas em termos de esbelteza normalizada. 1.2 εtot, novo εM, novo

Rácio de utilização ε

1

αb=0.89

εN, novo

αb=0.91

0.8

εtot, LM εN, LM εM, LM

0.6 0.4 0.2 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Comprimento, m

Figura 7 Rácio de utilização

Curva b

No plano

1.00 1.2

Curve b 1

Teoretioco αb

Novo

0.8

αb

0.80

GMNIA

0.60

LM [3] 0.6

0.40

0.4

Novo LM [3]

0.20 0.2 0.00 0.00

0 0

1

2

3

4

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

5

λ(xcI)

Experimental (GMINA), αb

(a) Instabilidade por flexão em torno do eixo de maior inércia

(b) Dispersão dos resultados

Figura 8 Resistência analítica vs. experimental – Instabilidade por flexão em torno do eixo de maior inércia

A dispersão dos resultados é apresentada na Figura 8b) e 9b), indicando uma aproximação muito próxima de ambos os métodos (αb,model) aos modelos numéricos (αb,GMNIA), com a vantagem de que o método proposto é mais abrangente. Finalmente, na Tabela 3 estão resumidos os parâmetros estatísticos para os casos analisados, em termos do rácio αb,GMNIA/ αb,model. Um rácio acima da unidade indica que o método 175


“analítico” está do lado da segurança, e vice-versa. A média da variável αb,GMNIA/ αb,model bem como o coeficiente de variação (CoV) são apresentados na Tabela 3. Curva c

Fora do plano 1.00

1.2

αb

Curve c 1

GMNIA Teoretico αb

0.80

Novo

0.8

LM [3] 0.6

0.60 0.40

0.4

Novo LM [3]

0.20

0.2 0 0

1

2

λ(xc

3

4

0.00 0.00

5

0.20

I)

0.40

0.60

0.80

1.00

Experimenta(GMINA), αb

(a) Instabilidade por flexão em torno do eixo de menor inércia

(b) Dispersão dos resultados

Figura 9 Resistência analítica vs. experimental – Instabilidade por flexão em torno do eixo de menor inércia Table 3: Avaliação estatística αb,GMNIA/ αb,model Modo crítico

Maior inércia (y-y) LM

5

NM

Menor inércia (z-z) LM

NM

Média (αb,GMNIA/ αb,model)

1.03

1.04

1.02

1.03

CoV (αb,GMNIA/ αb,model)

5%

4%

5%

4%

Exemplo

Finalmente, ilustra-se no seguinte exemplo o processo de aplicação do método proposto. Considera-se para tal uma coluna de secção linearmente variável com rácios de variação da secção γh=γb=3 e esforço axial constante. A coluna é impedida de instabilizar em torno do eixo de menor inércia, sendo então o modo relevante a instabilidade em torno do eixo de maior inércia. Em primeiro lugar, é efetuada uma análise LBA de modo a obter a carga crítica bem como a forma do modo crítico δcr e subsequentemente a respetiva segunda derivada δcr”. A Figura 10 ilustra estes passos.

176


αcr,1 =1.37 > 1.0

N1(x) = 421kN

δcr(x)” 0.2

δcr''

0.15

0.1

0.05

0 0

2

4 6 Length, L [m]

8

10

Figura 10 Obtenção da carga e modo crítico

De seguida, a Eq. (11) é aplicada num número significativo de localizações ao longo da coluna, permitindo calcular o rácio de utilização global e proceder à verificação final. A Figura 11a) ilustra o processo de cálculo, e a Figura 11b) ilustra a variação da utilização de esforços ao longo do elemento. N(x) kN 421 421 421 421 421 421 421 421 421 421 421 421 421 421 421

Iy m4 4.5E-06 6.1E-06 8.1E-06 1.0E-05 1.3E-05 1.7E-05 1.8E-05 2.0E-05 2.9E-05 4.1E-05 5.5E-05 7.2E-05 9.3E-05 1.2E-04 1.4E-04

A m2 2.8E-03 3.1E-03 3.4E-03 3.7E-03 4.0E-03 4.3E-03 4.4E-03 4.6E-03 5.2E-03 5.8E-03 6.4E-03 7.0E-03 7.6E-03 8.2E-03 8.8E-03

λ(x) 1.33 1.40 1.47 1.53 1.59 1.65 1.67 1.71 1.82 1.92 2.02 2.11 2.20 2.28 2.36

εN (x) 0.64 0.58 0.53 0.48 0.45 0.42 0.41 0.39 0.34 0.31 0.28 0.26 0.24 0.22 0.20

εM(x) 0.01 0.17 0.31 0.42 0.50 0.54 0.55 0.56 0.55 0.49 0.40 0.31 0.20 0.10 0.00

ε(x) Check 0.647 <1 0.751 <1 0.842 <1 0.906 <1 0.943 <1 0.958 <1 0.959 <1 0.952 <1 0.894 <1 0.801 <1 0.684 <1 0.562 <1 0.439 <1 0.317 <1 0.209 <1

1

ε(x) Rácio de utilização ε(x)

x m 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 2.63 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00

0.8

εN(x) εM(x)

0.6 0.4 0.2 0 0

Processo de cálculo

2

4 6 8 Comprimento, L [m]

10

Rácio de utilização

Figura 11 Aplicação da método

6

Conclusões e trabalho futuro

No presente artigo foi apresentado um novo método para a verificação da estabilidade de elementos estruturais em aço. A verificação é feita através de uma equação de interação ao longo de várias localizações no seu comprimento. É de simples aplicação, assentando numa forte base teórica. Deverá ser aplicável a elementos com vários tipos de secções; condições de fronteira e carregamento; elementos com secção variável; e com contraventamentos irregularmente espaçados. O modelo teórico foi apresentado sucintamente e subsequentemente validado através da comparação com simulações numéricas e com a dedução analítica presente em 177


Marques et al., (2012). Como expectável, foram observadas diferenças na localização da secção crítica (secção sujeita a tensões mais elevadas). Por outro lado, o valor da resistência última apresentou resultados muito próximos de ambos os métodos em comparação – análise numérica GMNIA e método apresentado em Marques et al., (2012). A validação do método foi efetuada para elementos com secção em I linearmente variável (alma e banzos) e carregamento axial variável. Numa próxima fase da investigação, o método será aplicado e validado a um maior número de casos distintos – secções não linearmente variáveis; outros tipos de secções transversais; condições de fronteira e contraventamentos intermédios. Pretende estender-se o método a outros tipos de fenómenos, tais como a instabilidade de vigas por flexão-torção, ou a instabilidade torsional de colunas. Numa fase final, verificar-se-á a aplicabilidade do método a estruturas porticadas.

7

Agradecimentos

A investigação presente recebeu financiamento das seguintes fontes: • European Community’s Research Fund for Coal and Steel (RFCS), projecto SAFEBRICTILE RFS-PR-12103 – SEP no. 601596 • Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT), projecto TAPERSTEEL PTDC/ECMEST/1970/2012 • Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT), bolsa SFRH/BD/99702/2014 • Fundos FEDER, Competitivity Factors Operational Programme - COMPETE e fundos nacionais FCT – Fundação para a Ciência e Tecnologia, no âmbito do projeto POCI-01-0145-FEDER-007633.

8

Bibliografia

ABAQUS (2014). v.6.14, Dassault Systems/Simulia, Providence, RI, USA. AGUERO, A., PALLARÉS, F.J., PALLARÉS, L., (2015), “Equivalent geometric imperfection definition in steel structures sensitive to flexural and/or torsional buckling due to compression”, In: Engineering Structures, 96, pp. 160-177

178


AGUERO, A., PALLARÉS, F.J., PALLARÉS, L., (2015), “Equivalent geometric imperfection definition in steel structures sensitive to lateral-torsional buckling due to bending moment”, In: Engineering Structures, 96, pp. 41-55 BADARI, B., PAPP, F., (2015) “On design method of lateral-torsional buckling of beams: State of the art and a new proposal for a general type of design method” In: Periodica Polytechnica Civil Engineering, 59, pp. 179-192. CHLADNY´ E, STUJBEROVÁ M.,(2013),” Frames with unique global and local imperfection in the shape of the elastic buckling mode (part1)”, In: Stahlbau, 82.8, pp.609–617 CHLADNY´ E, STUJBEROVÁ M.,(2013),” Frames with unique global and local imperfection in the shape of the elastic buckling mode (part2)”, In: Stahlbau, 82.9, pp.684–694 EUROCODE (2005) – EN 1993-1-1, Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings CEN, Brussels; MARQUES, L., TARAS, A., SIMÕES DA SILVA, L. GREINER, R. AND REBELO, C., (2012) “Development of a consistent design procedure for tapered columns”, In: Journal of Constructional Steel Research, 72, pp. 61-74 MARQUES, L., SIMÕES DA SILVA, L., GREINER, R., REBELO, C. AND TARAS, A. (2013) “Development of a consistent design procedure for lateral-torsional buckling of tapered beams”, In: Journal of Constructional Steel Research, 89, pp. 213–235 MAQUOI, R., RONDAL, J. (1978) “Mise en Equation des Nouvelles Courbes Europeennes de Flambement”. In: Construction Métallique, 1, pp. 17-30. PAPP, F., (2016) “Buckling assessment of steel members through overall imperfection method” In: Engineering structures, 106, 2016, pp. 124-136. SIMÕES DA SILVA, L.; MARQUES, L.; REBELO, C., (2010) “Numerical validation of the General Method in EC3-1-1 for prismatic members”, In: Journal of Constructional Steel Research, 66, pp. 575-590 STRATING, J., VOS, H. (1973) “Simulation sur Ordinateur de la Coubre C.E.E.M de Flambement a l'aide de la Metode de Monte-Carlo". In: Construction Métallique, 2, pp. 23-39.

179


recebido: 13/06/2016 aprovado: 24/10/2016

Volume 5. Número 3 (dezembro/2016). p. 180 - 196

ISSN 2238-9377

Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICTo

Ligações aparafusadas entre vigas e pilares de secção tubular Guiomar Vicente1*, Rui Simões2, Carlos Rebelo3 e Luís S. Silva4 1*, 2, 3, 4

ISISE, Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Ciências e

Tecnologia da Universidade de Coimbra, Rua Luís Reis Santos – Polo II 3030-788 Coimbra, guiomar.vicente@uc.pt | rads@dec.uc.pt | crebelo@dec.uc.pt | luisss@dec.uc.pt

Bolted joints to tubular members Resumo Detentoras de formas visualmente apelativas e de excelentes propriedades mecânicas, as secções tubulares apresentam um potencial enorme em aplicações estruturais. Contudo, são muitas vezes preteridas em consequência das dificuldades encontradas na conceção, cálculo e execução de ligações, nomeadamente de ligações aparafusadas. A ligação com “reverse channel” é uma solução aparafusada que viabiliza a união a secções tubulares com recurso a parafusos convencionais. O desempenho estrutural daquela tipologia de ligação foi avaliado experimental e numericamente para quatro configurações. Observou-se que a tipologia com “reverse channel” viabiliza a conceção de ligações de resistência total e de elevada rigidez rotacional, ao abrigo do sistema de classificação previsto na EN 1993-1-8 (CEN, 2005a), desde que adotada a configuração que melhor o propicie. Palavras-chave: Ligações aparafusadas, Secções tubulares, Análise experimental, MEF Abstract Visually appealing and with great mechanical properties, the tubular sections have a huge potential which is currently spoiled due problems with the joints conception, design and execution, mainly with the bolted joints. The use of a reverse channel enables the use of conventional bolts in joints with tubular members. The structural behaviour of the reverse channel joint was experimental and numerically observed within four different configurations. It was found that, with a proper configuration, the use of a reverse channel can provide full strength joints and high levels of rotational stiffness, according to the recommendations in the EN 1993-1-8 (CEN, 2005a) about the classification of joints. Keywords: Bolted joints, Tubular sections, Experimental analysis; FEM

180


1

Introdução

O potencial intrínseco de elementos tubulares é frequentemente subaproveitado face às dificuldades identificadas pelos engenheiros de estruturas, na conceção e dimensionamento de ligações que os envolvam. Na europa, as recomendações para o dimensionamento de ligações são apresentadas na norma EN 1993-1-8 (CEN, 2005a). As ligações a elementos tubulares são sumariamente abordadas no capítulo sétimo da norma referida, onde apenas algumas configurações soldadas são contempladas. Para essas são apresentadas formulações empíricas que permitem estimar a resistência; contudo, não é dada qualquer indicação de como deve ser determinada a rigidez rotacional. Relativamente às soluções aparafusadas para ligações a elementos tubulares, a norma EN 1993-1-8 (CEN, 2005a) é omissa. O CIDECT (Comité Internacional para o Desenvolvimento e Estudo da Construção Tubular) tem dado um grande contributo no sentido de complementar as lacunas existentes na norma EN 1993-1-8 (CEN, 2005a) relativamente à conceção e dimensionamento de ligações envolvendo elementos tubulares. Nas suas publicações números 3 (PACKER et al., 2009) e 9 (KUROBANE et al., 2004) apresenta algumas recomendações para o dimensionamento de ligações soldadas e aparafusadas. Porém, para ligações aparafusadas que se pretendem resistentes à flexão são apresentadas expressões empíricas e excessivamente conservativas, havendo ligações para as quais são apenas apresentadas propostas de configuração. A escassez de informação, de conhecimento e de regulamentação acerca do comportamento de ligações que envolvam elementos tubulares reflete-se na impossibilidade de conceber e dimensionar ligações cuja adequabilidade de desempenho estrutural sejam unanimemente aceites e reconhecidos entre os engenheiros. A aplicação de reforços em todos os pontos de união de elementos, dispostos de forma a assegurar a continuidade dos mesmos, constitui uma solução cujo desempenho estrutural é, empiricamente, aceite entre engenheiros. Porém, é também uma solução extremamente onerosa que não satisfaz a necessidade de 181


garantir o equilíbrio entre custos e segurança estrutural. Deste modo, deverá apenas ser considerada em último recurso. As ligações soldadas entre elementos tubulares são geralmente mais fáceis de executar, mesmo em algumas situações em que é requerida a aplicação de preparação de chanfros. No entanto, a execução de soldaduras de boa qualidade só é possível sob determinado tipo de condições ambientais. Em ambiente fabril, esses requisitos são facilmente cumpridos contudo, “in situ” obrigam à adoção de medidas extraordinárias que encarecem significativamente a solução. “In situ” a solução aparafusada para a união de elementos é geralmente mais vantajosa. A quantidade de material necessária à sua execução pode frequentemente ser superior ao requerido para a execução de uma solução soldada estruturalmente equivalente. Contudo, o facto de não requerer mão-de-obra especializada nem a adoção de medidas extraordinárias, que assegurem os pré-requisitos de condições ambientais, permite a adoção de um processo de montagem mais expedito e consequentemente uma redução significativa dos custos globais da obra. Com a exceção das ligações que são feitas junto à extremidade, a união a elementos tubulares com parafusos convencionais é impossibilitada pela falta de acesso ao interior das secções para colocar e apertar os parafusos. Este problema é frequentemente contornado com a adoção de pequenos troços auxiliares soldados à secção tubular (Figura 1, a e b) ou utilizando parafusos não convencionais (Figura 1, c).

a) Com chapa de extremidade

b) Com “reverse channel”

c) Com “hollow bolts”

Figura 1 - Ligações a secções tubulares 182


No âmbito de um projeto de investigação recentemente concluído no Departamento de Engenharia Civil da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra, projeto “FRAMEUP” (VELJKOVIC et al., 2013) (VELJKOVIC et al., 2014), houve necessidade de desenvolver uma ligação viga-pilar, com ambos os elementos em secção tubular, que satisfizesse determinados requisitos de resistência, de rigidez rotacional e que facilitasse a montagem “in situ” da estrutura de um edifício residencial (Figura 2). A solução adotada foi a ligação com “reverse channel”, cujo desempenho foi avaliado experimental, numérica e analiticamente. Nas secções seguintes apresenta-se o trabalho, experimental e numérico, desenvolvido.

a) Montagem do andar mais elevado

b) Montagem de um andar intermédio

c) Montagem do piso térreo

d) Edifício concluído

Figura 2 – Edifício “FRAMEUP”

183


2 2.1

Ligações com “reverse channel” Conceito

Esta tipologia de ligação consiste na utilização de um troço auxiliar, o “reverse channel”, de secção transversal em “C” que é soldado pelas suas extremidades livres (“legs”) ao elemento de secção tubular. A união ao outro elemento, ao qual deverá estar soldada uma chapa de extremidade, é feita na alma do “reverse channel” com parafusos convencionais (Figura 3).

Figura 3 - Elementos da ligação viga-pilar com “reverse channel”

Para a secção transversal do “reverse channel” podem utilizar-se perfis laminados em “C”, secções reconstruídas por soldadura de chapas ou secções obtidas por corte longitudinal de secções tubulares de secção quadrada ou retangular. No estudo aqui apresentado optou-se por um “reverse channel” obtido por corte longitudinal de elementos tubulares laminados a quente (CEN, 2006).

2.2

Programa experimental

Foram definidos quatro provetes da ligação com “reverse channel” para testar em laboratório. A geometria dos provetes foi definida com o intuito de respeitar os requisitos do edifício “FRAMEUP”, ou seja, de assegurar a resistência e rigidez rotacional necessários para garantir um desempenho adequado da estrutura. A 184


estrutura do edifício “FRAMEUP” é porticada e não pode ter contraventamentos verticais, obrigando a que as ligações viga-pilar tenham uma rigidez rotacional elevada. Face a estes requisitos, concebeu-se a configuração esquematizada na Figura 4. Os pilares e as vigas são perfis tubulares SHS 250x10 e RHS 250x150x8 (CEN, 2006), respetivamente, e os parafusos são M27 (10.9) (CEN, 2005b). As espessuras consideradas no “reverse channel”, na chapa de extremidade e no reforço da chapa de extremidade são apresentadas na Tabela 1, para cada um dos provetes. Na Figura 4, podem ver-se três “reverse channels” soldados ao pilar. Os dois “reverse channels” laterais não foram submetidos a qualquer carregamento, tendo sido considerados com o intuito de avaliar experimentalmente o efeito da sobreposição de soldaduras nos cantos da secção do pilar.

B'

A A'

A

B B' 250

125

1/2 SHS 250 x tc

105

45 70 50

ts

1/2 SHS 250 x tc

SHS 250x10

250

B

10

125

250

580

8

8

75

A'

100

15

75

250

tc

80

tc tp

105

50 70 45

1/2 SHS 250 x tc

RHS 250x150x8

80 tp

a) Vista frontal

b) Vista lateral

c) Planta

Figura 4 – Geometria das ligações

Tabela 1 - Provetes das ligações

Nome do provete

M-BC.1_CHN20_PL20_ST00 M-BC.2_CHN20_PL20_ST20 M-BC.3_CHN16_PL20_ST20 M-BC.4_CHN16_PL15_ST15

Tipo de ensaio Monotónico Monotónico Monotónico Monotónico

185

Espessura do “reverse channel” (tc) [ mm ] 20 20 16 16

Espessura da chapa de extremidade (tp) [ mm ] 20 20 20 15

Espessura do reforço (ts) [ mm ] 0 20 20 15


O esquema de ensaio adotado está representado na Figura 5. Nos pilares foi aplicada uma carga axial de compressão de 400 kN. A ligação foi submetida a momento fletor negativo sob ação de um carregamento monotónico aplicado na extremidade livre da viga. A força na viga foi aplicada em controlo de deslocamento por um atuador de capacidade 100 tf.

6

500

1000

5

10

1

Ligação com "reverse channel"

2

Pilar SHS 250x10

3

Viga RHS 250x150x8

4

Base rígida

5

Viga de reação HEB 500

6

Pórtico de reação

200

14

18

300

7

1250

490

240

9

15

17

8 18

1

575

16

2400

4290

1200

1 00 Tf

250

1200

3

9

Rótula superior de suporte do atuador

10 Parede de reação em betão armado

1975

12 Sapata 13 Rótula inferior do pilar

13 420

Atuador 100 tf Sistema de carregamento da viga

11 Laje de reação em betão armado

2 4

300 180

7 8

12

14 Rótula superior do pilar 11

15 Macacos hidráulicos 16 "Dywidags"

400 200 800

17 Contraventamento lateral

200 1000

1000

18 Células de carga

a) Desenho

b) Fotografia

Figura 5 – Esquema de ensaio

A força aplicada na viga foi medida, de forma redundante, pela célula de carga incorporada no atuador e por uma célula de carga intercalada entre a viga e o atuador. A carga axial no pilar foi medida com quatro células de carga colocadas entre a base rígida, existente na extremidade superior do pilar, e os macacos hidráulicos. Os deslocamentos no provete foram medidos com transdutores de deslocamento nos pontos assinalados no esquema da Figura 6.

186


AA'

Det. A A

75

D18 to D21

D18 D22

300

200

D14 / D15

D23

695

100 Det. A D16 D17

270

580

2400

4290

D14 D15

695

D21 D08

D12

Det. B

225

D09

D24 D13

40 540 Legend: Transdutores de deslocamento

420

300

D15 D17

D10

D07

D08

D19

D20

1 célula de carga

D11 D06

D14 D16

Det. B

D05

200

75

25

A'

200 100 Tf

180

D16 / D17

45

270

490

D11 / D10

4 células de carga

Célula de carga

Figura 6 – Localização dos transdutores de deslocamento e das células de carga 2.3

Análise numérica

O comportamento das ligações M_BC 2, M_BC 3 e M_BC4 (Figura 4 e Tabela 1) foi também avaliado numericamente com o “software” de análise por elementos finitos “Abaqus 6.11-2”. A geometria e as condições de fronteira foram definidas de forma a reproduzir os provetes e o esquema de ensaio adotados nos ensaios laboratoriais. Nos modelos numéricos, os “reverse channels” laterais não foram considerados. Os elementos constituintes dos provetes ensaiados foram modelados com recurso a várias “parts”. A posição relativa das “parts” foi estabelecida de acordo com a configuração de cada ligação. A interação entre elas e com o exterior foi definida com as propriedades disponíveis no “software”. A zona intermédia do pilar e o “reverse channel” foram modelados conjuntamente numa “part”, admitindo que as soldaduras de penetração total existentes nos provetes garantem a continuidade entre eles. A união entre a chapa de extremidade e a viga, que no provete é assegurada pela soldadura, foi modelada como “tie constraint”. A interação dos parafusos com a chapa de extremidade e com a alma do “reverse channel”, bem como a interação entre a chapa de extremidade e a alma do “reverse channel”, foi definida atribuindo às superfícies de contacto entre elas as propriedades seguintes: − “Tangential behaviour directionality isotropic with a friction coefficient of 0,2”; 187


− “Normal behaviour where pressure-overclosure were considered as “hard” contact” O pilar foi considerado rotulado nas duas extremidades. Na extremidade superior o deslocamento vertical, segundo o eixo do pilar, não foi restringido. Nessa extremidade foi aplicada uma carga uniformemente distribuída submetendo o pilar a uma compressão de 400 kN. Na extremidade livre da viga, foi aplicado um deslocamento de forma a solicitar a ligação com um momento fletor negativo. A modelação foi feita integralmente com elementos sólidos tridimensionais. Com exceção da zona de união entre o “reverse channel” e o pilar onde foram considerados elementos C3D6 (“6-node linear triangular prism”), todas as restantes partes foram modeladas com elementos C3D8R (“an 8-node linear brick, reduced integration, hourglass control”). Para conseguir um equilíbrio entre o rigor dos resultados e o tempo despendido com o respetivo cálculo, adotou-se uma malha refinada nos elementos da ligação e na sua envolvente e uma malha esparsa nas zonas mais distantes (Figura 7). Foram considerados quatro elementos segundo a espessura nos elementos da ligação e zona envolvente, e dois elementos nas zonas mais distantes da viga e do pilar (YU et al., 2008). Nas restantes direções, os elementos da malha foram definidos com 2.5 mm na viga e 5.5 mm nos restantes elementos da zona envolvente da ligação, e com 50 mm nas zonas mais distantes (Figura 7).

188


b) Detalhe na zona da ligação

a) Ilustração global

Figura 7 – Dimensão da malha considerada nos modelos

As propriedades materiais dos elementos da ligação foram obtidas experimentalmente através de ensaios de tração (CEN, 2005c) com provetes proporcionais cortados de peças do mesmo lote dos elementos da ligação. As relações tensão-extensão obtidas nos ensaios foram convertidas em “true-stress true-strain” e inseridas no “Abaqus”. No modelo, as propriedades materiais das soldaduras foram consideradas iguais às dos elementos em que foram modeladas. Deste modo, a soldadura entre a viga e a chapa de extremidade foi considerada com as propriedades materiais da viga, e a soldadura entre o “reverse channel” e o pilar foi modelada com as propriedades materiais do “reverse channel”.

2.4

Resultados

As propriedades estruturais das ligações, nomeadamente o momento resistente, a rigidez de rotação e a capacidade de rotação, são obtidas a partir da relação entre o momento fletor e a rotação. As curvas momento rotação (M-φ) resultantes das ligações ensaiadas foram desenhadas considerando o momento fletor atuante na secção identificada na Figura 8. A rotação foi medida tendo em consideração as 189


flexibilidades dos painéis de alma do pilar, do “reverse channel”, da chapa de extremidade, dos parafusos e do segmento de viga entre a chapa de extremidade e os pontos A-B assinalados na Figura 8. As curvas momento-rotação resultantes estão representadas na Figura 9. Na mesma figura apresenta-se também uma fotografia de um provete depois de ensaiado. Na Figura 10 apresentam-se fotografias que ilustram a forma como ocorreu a rotura da ligação, na zona adjacente da viga.

Superfície considerada para quantificar o momento fletor atuante

z

100

X A u (deslocamento vertical) B

80

100

125

Figura 8 - Identificação das superfícies de referência consideradas para a quantificação do momento fletor atuante e da rotação da ligação 300

M [ kN.m]

250 200 150 100 50 0 0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

ϕ [ rad ] experimental M_BC.1

experimental M_BC.2

experimental M_BC.3

experimental M_BC.4

a) Curvas momento-rotação

b) Fotografia do provete ensaiado

Figura 9 - Resultados dos ensaios

190


a) Detalhe do banzo tracionado da viga

b) Detalhe do painel da alma da viga

Figura 10 – Fotografias dos provetes ensaiados

A rigidez rotacional e a resistência correspondentes às ligações ensaiadas são apresentadas na Tabela 2. Estes valores foram determinados a partir das curvas momento-rotação (Figura 9). Os valores de rigidez rotacional correspondem aos declives das retas que melhor se aproximam do troço reto inicial das curvas momentorotação. A equação, de cada uma daquelas retas, foi determinada por regressão linear, assumindo um coeficiente de correlação de 0.98. Os valores de resistência são os momentos fletores correspondentes do ponto de intersecção da curva momentorotação com uma reta de inclinação igual a 1/3 da rigidez inicial (FAELLA; PILUSO; RIZZANO, 1999).

Tabela 2 - Rigidez rotacional e resistência das ligações ensaiadas

Nome do provete

Rigidez rotacional Sj, ini

Resistência Mj, Rd

M-BC.1_CHN20_PL20_ST00 M-BC.2_CHN20_PL20_ST20 M-BC.3_CHN16_PL20_ST20 M-BC.4_CHN16_PL15_ST15

[ kNm/rad ] 11617.00 18145.00 14663.00 13601.00

[ kNm ] 174 237 214 193

191


O edifício “FRAMEUP”, ao qual se destinam as ligações ensaiadas, apresenta uma estrutura porticada sem contraventamentos verticais, cujas vigas têm um comprimento médio de 5.5 m. Deste modo, segundo as recomendações da norma EN 1993-1-8 (CEN, 2005a), as ligações ensaiadas devem classificar-se como rígidas se apresentarem valores de rigidez rotacional superiores a 21955 kNm / rad e como nominalmente articuladas para valores inferiores a 439 kNm / rad. Quando os valores de rigidez rotacional estão compreendidos entre aqueles limites, a ligação deve classificar-se como semi-rígida. Segundo a resistência, as ligações ensaiadas devem classificar-se como nominalmente articuladas para valores de resistência inferiores a 49 kNm, ou como ligações de resistência total para valores de resistência superiores a 198 kNm. Sob este enquadramento, segundo a rigidez, as ligações ensaiadas classificam-se de semi-rigídas. Segundo a resistência, os provetes M_BC 2 e M_BC 3 classificam-se como ligações de resistência total e os provetes M_BC 1 e M_BC 4 como ligações de resistência parcial. As curvas momento rotação resultantes da análise numérica são apresentadas na Figura 11 e na Figura 12. A título comparativo, as curvas experimentais são também apresentadas naquelas figuras. Na Figura 12 é também apresentada uma imagem do modelo numérico no instante correspondente à aplicação da totalidade do carregamento considerado. Nela é visível a rotura da viga à semelhança do que foi

300

300

250

250

200

200 M [kNm]

M [kNm]

observado nos ensaios experimentais.

150

150

100

100

50

50

0 0.000

0.040

0.080

0.120

0 0.000

0.160

0.040

0.080

0.120

φ [rad]

φ [rad] experimental M_BC.2

experimental M_BC.3

numerical M_BC.2

numerical M_BC.3

a) Curvas M-φ da ligação BC2

b) Curvas M-φ da ligação BC3

192

0.160


Figura 11 – Resultados da análise numérica (parte I)

300 250 M [kNm]

200 150 100 50 0 0.000

0.040

0.080

0.120

0.160

φ [rad] experimental M_BC.4 numerical M_BC.3

a) Curvas M-φ da ligação M_BC4

b) Detalhe da rotura da viga

Figura 12 – Resultados da análise numérica (parte II)

De acordo com o ilustrado nas figuras anteriores, as curvas numéricas reproduzem de forma bastante aproximada o comportamento das ligações ensaiadas. As maiores diferenças entre os resultados experimentais e numéricos observam-se nas curvas M-φ da ligação M_BC2. Porém, esta diferença poderá, em parte, ser uma consequência de um deslocamento acidental observado nos apoios da ligação M_BC2 aquando da realização do ensaio. As curvas numéricas correspondentes às ligações M_BC3 e M_BC4, em regime elástico sobrepõem as correspondentes experimentais. Contudo, em regime plástico as curvas numéricas apresentam valores de resistência ligeiramente superiores aos observados experimentalmente. Nos modelos numéricos, cujos resultados aqui se apresentam, a fratura observada na viga foi simulada de forma aproximada. Deste modo, na curva “true stress”-“true strain” das propriedades do material da viga, foi considerado um ponto auxiliar após o ponto correspondente à estricção, com o qual se simulou o efeito da redução de secção sobre a capacidade resistente do material.

193


Os mapas de tensões (von Mises) observados nos modelos numéricos no instante de carga máxima são apresentados nas figuras seguintes (Figura 13, Figura 14 e Figura 15).

Figura 13 - Mapa de tensões da ligação M_BC 2

Figura 14 - Mapa de tensões da ligação M_BC 3

Figura 15 - Mapa de tensões da ligação M_BC 4 194


À semelhança do que foi observado nos ensaios, em que a viga foi o primeiro componente da ligação a atingir a rotura, as imagens anteriores mostram que as tensões mais elevadas se concentram, em primeira instância, na viga, seguindo-se-lhe a alma do “reverse channel”.

3

Conclusões

O estudo realizado permite concluir que: Os parâmetros geométricos que mais influenciam a rigidez rotacional da ligação em análise são as espessuras do “reverse channel” e da chapa de extremidade; A resistência das ligações é influenciada pelas espessuras do “reverse channel” e da chapa de extremidade, revelando-se mais baixa para espessuras menores. Contudo, em todas as análises efetuadas, a viga demostrou ser a componente que precipitou a rotura da ligação, pelo que a influência da variação de espessuras sobre a resistência da ligação não se revelou conclusiva; De acordo com os parâmetros definidos na EN 1993-1-8 (CEN, 2005a) para a classificação de juntas, verifica-se que é possível conceber ligações com “reverse channel” semi-rígidas e de resistência total; É possível prever o comportamento de ligações com “reverse channel”, com um bom nível de confiança, através de modelos numéricos; As configurações com “reverse channel” permitem obter ligações com grande capacidade de rotação; A conceção de ligações rígidas com “reverse channel” implica a adoção de reforços adicionais, o que se traduz no aumento significativo dos custos da ligação. Na sequência deste trabalho, está a ser desenvolvida uma nova configuração de ligação a elementos tubulares. Essa configuração surge com o intuito de otimizar a

195


solução com “reverse channel” para as situações em que se pretende uma ligação com elevados valores de rigidez rotacional.

4

Agradecimentos

Os autores agradecem o financiamento do Fundo de Investigação do Carvão e do Aço através do projeto de investigação FRAMEUP (RFSR-CT-2011-00035).

5

Referências bibliográficas

CEN. EN 1993-1-8 : Eurocode 3 - Design of steel structures - Part 1-8: Design of joints (European committee for standardization, Ed.), Brussels, 2005a. CEN. EN 14399-4 : High-strength structural bolting assemblies for preloading - Part 4 : System HV - Hexagon bolt and nut assemblies (European committee for standardization, Ed.), Brussels, 2005b. CEN. NP EN 10002-1 - Materiais metálicos Ensaios de tracção Parte 1: Método de ensaios à temperatura ambiente, Brussels, 2005c. CEN. EN 10210-1 : Hot finished structural hollow sections of non-alloy and fine grain steels Part 1: Technical delivery conditions, Brussels: European committee for standardization, 2006. FAELLA, C.; PILUSO, V.; RIZZANO, G. Structural steel semirigid connections - Theory, design and software, 1999. KUROBANE, Y. et al. Design Guide 9 For structural hollow section column connections (CIDECT, Ed.)Verlag TÜV Rheinland, 2004. PACKER, J. A. et al. Design Guide 3 For rectangular hollow section (RHS) joints under predominantely static loading (Comité International pour le Développement et l’Étude de la Construction Tubulaire, Ed.), 2009. VELJKOVIC, M. et al. FRAMEUP – Optimization of frames for effective assembling, Midterm Report, 2013. VELJKOVIC, M. et al. FRAMEUP – Optimization of frames for effective assembling, Final Report, 2014. YU, H. et al. Numerical simulation of bolted steel connections in fire using explicit dynamic analysis. v. 64, p. 515–525, 2008.

196


recebido: 13/06/2016 aprovado: 24/10/2016

Volume 5. Número 3 (dezembro/2016). p. 197 - 214

ISSN 2238-9377

Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICTo

Um elemento finito geometricamente exato para colunas mistas aço-concreto David Manta1 e Rodrigo Gonçalves2* 1

DEC/FCT/Universidade NOVA de Lisboa, 2829-516 Caparica, Portugal, d.manta@campus.fct.unl.pt 2 CERIS e DEC/FCT/Universidade NOVA de Lisboa, 2829-516 Caparica, Portugal, rodrigo.goncalves@fct.unl.pt

A geometrically exact finite element for steel-concrete composite columns

Resumo Neste artigo apresenta-se um elemento finito de barra 2D não-linear para colunas mistas açoconcreto, desenvolvido segundo o conceito “geometricamente exato” (e.g., Simo e Vu-Quoc, 1985). A descrição cinemática é do tipo Euler-Bernoulli, o que torna o elemento particularmente eficiente do ponto de vista computacional, uma vez que (i) a retenção de corte (shear locking) é eliminada a priori e (ii) apenas são utilizadas leis constitutivas uniaxiais. Apresentam-se vários exemplos mostrando que, com poucos elementos finitos, é possível obter, com grande precisão, trajetórias de equilíbrio pré- e pós-colapso de colunas de aço, concreto e mistas. Palavras-chave: colunas mistas aço-concreto, elementos finitos de barra, formulação geometricamente exata, encurvadura, Eurocódigo 4

Abstract In this paper, a 2D non-linear beam finite element for steel-concrete composite columns is presented, which is developed in accordance with the “geometrically exact” concept (e.g., Simo and Vu-Quoc, 1988). Euler-Bernoulli kinematics are employed, making the element particularly efficient from a computational point of view, since (i) shear locking is eliminated a priori and (ii) only uniaxial constitutive laws are employed. Several examples are presented, showing that, with a few elements, it is possible to obtain pre- and post-collapse equilibrium paths of steel, concrete and composite columns with great accuracy. Keywords: steel-concrete composite columns, beam finite elements, geometrically exact formulation, buckling, Eurocode 4.

*autor correspondente

197


1

Introdução

Muito embora o Eurocódigo 4 (CEN, 2004) permita que a verificação da segurança de colunas mistas aço-concreto seja efetuada com base em análises geometricamente e fisicamente não-lineares (o “Método Geral”, ou simplesmente “MG”), esta via não é adotada frequentemente, por requerer (i) a utilização de programas de elementos finitos sofisticados, que contabilizem todos os efeitos não-lineares relevantes, e (ii) o domínio de conceitos teóricos avançados. No entanto, conforme salientado por Roik e Bergmann (1992), o MG conduz, em geral, a um dimensionamento mais económico, dado que os métodos simplificados incorporam hipóteses que os colocam do lado da segurança, por vezes significativamente. Apesar deste argumento, existem muito poucos estudos relativos à aplicação do MG. Hanswille e Bergmann (2006) abordaram as implicações decorrentes da utilização de leis constitutivas com valores médios (conforme prescrito pelo MG) e propuseram uma abordagem alternativa, baseada num fator de segurança obtido a partir da relação entre a resistência da secção calculada usando valores de cálculo e valores médios. Esta variante do MG foi utilizada subsequentemente por Lippes e Hanswille (2011) para analisar colunas de alta resistência constituídas por um tubo de aço preenchido com concreto e um núcleo adicional de aço. Neste caso foram utilizados modelos de elementos finitos do tipo sólido 3D, os quais exigem um esforço computacional significativo. O presente artigo pretende contribuir para uma maior utilização do MG do Eurocódigo 4 (EC4). Para isso, propõe-se um elemento finito de barra 2D, relativamente simples de implementar e computacionalmente muito eficiente, que permite incorporar os efeitos não-lineares mais relevantes. O elemento é dito “geometricamente exato”, na medida em que a formulação subjacente é válida independentemente da magnitude dos deslocamentos envolvidos (Simo e Vu-Quoc, 1988). Em acréscimo, a descrição cinemática incorpora a hipótese de Bernoulli de uma forma exata, o que torna possível (i) eliminar a priori o efeito de retenção de corte (shear locking) e (ii) utilizar leis constitutivas (não-lineares) puramente uniaxiais. Neste artigo, apresenta-se um resumo dos principais resultados obtidos num trabalho anterior (Gonçalves e Carvalho, 2014), aplica-se a formulação para o caso de barras de eixo curvo, apresentam-se as expressões relativas à ação de momentos e introduz-se um método de controle de 198


dependência da malha, o que é essencial para modelar corretamente o comportamento de elementos à flexão contendo concreto. No decurso do artigo, apresentam-se vários exemplos numéricos que ilustram as potencialidades do elemento finito proposto. Para efeitos de comparação e validação, apresentam-se resultados de referência da literatura e resultados obtidos com modelos de elementos finitos do tipo 2D solid e 3D Brick, recorrendo aos programas ADINA (Bathe, 2016) e ATENA (Cervenka et al., 2013), respetivamente.

2

Descrição do elemento finito

O elemento finito de barra proposto utiliza uma descrição cinemática 2D do tipo EulerBernoulli, em que a única incógnita é o vetor de posição do seu eixo, r (ver Figura 1). Assume-se que a barra é esbelta, com dimensões da secção transversal muito inferiores ao comprimento da barra e ao raio de curvatura do eixo. Trata-se de uma versão melhorada do elemento descrito por Gonçalves e Carvalho (2014), pelo que partilha algumas semelhanças com a versão 2D do elemento de Boyer e Primault (2004), mas considera em acréscimo (i) configurações iniciais curvas e (ii) leis constitutivas não-lineares com um método para evitar dependência da malha. Utiliza-se um referencial Cartesiano (X1, X2, X3) e os respetivos vetores de base (E1, E2, E3), conforme mostra a Figura 1. Definem-se duas configurações para a barra: (i) a configuração inicial, indeformada e representada com o índice “0”, e (ii) a configuração atual, deformada. Em ambas as configurações, o eixo da barra é descrito pelo respetivo vetor de posição (r ou r0), contido no plano X2 = 0. O referencial que acompanha a secção transversal é dado por (n, E2, t) ou (n0, E2, t0), com r′ , || r ′ || n = E2 × t ,

t0 =

t=

r0′ , || r0′ ||

(1)

n0 = E 2 × t 0 ,

onde g' = dg/dX3, ||a|| é a norma do vetor a, × designa um produto externo entre dois vetores, o vetor t indica a tangente ao eixo e n define a interseção do plano do eixo com a secção transversal (definida por E2 e n ou n0). Note-se que se tem para os produtos internos t ⋅ n = t0 ⋅ n0 = 0, de acordo com a hipótese de Bernoulli. A configuração atual da barra é definida por

199


x = r + Λ( X 1E1 + X 2 E2 ), Λ = n ⊗ E1 + E2 ⊗ E2 + t ⊗ E3 ,

(2)

Figura 1 – Descrição cinemática do eixo da barra, discretização da secção transversal e leis constitutivas para o concreto e o aço. onde ⊗ designa o produto tensorial habitual entre dois vetores e Λ é a matriz de rotação que define a orientação da secção transversal, transformando (E1, E2, E3) em (n, E2, t), o que quer dizer que se considera uma configuração de referência da barra com o eixo coincidente com X3 (logo X1 e X2 definem a secção transversal). Para a configuração inicial as relações são análogas, embora escritas em termos de r0, t0 e n0. Utiliza-se o tensor de deformação introduzido por Simo (1985), que corresponde a uma retro-rotação, por ΛT, do gradiente de deformação. Em virtude da descrição cinemática adotada, este tensor apenas contém um termo não-nulo, o qual está associado à deformação longitudinal e é dado por (Gonçalves e Carvalho, 2014) ε = ε − ε 0 − X 1 (κ − κ 0 ), ε =|| r ′ || − 1, ε 0 =|| r0′ || −1, κ = n ⋅ t ′, κ 0 = n0 ⋅ t 0′ ,

200

(3)


onde ε e κ representam a extensão e a curvatura do eixo da barra, respetivamente. Deve salientar-se que se assume que a deformação em ambas as configurações é pequena (embora as rotações e deslocamentos sejam ilimitados), caso contrário existirão diferenças significativas em relação à deformação de Green-Lagrange. As equações de equilíbrio são obtidas recorrendo ao princípio dos trabalhos virtuais. Para o caso elástico, a tensão relaciona-se com a deformação através de σ = Eε, onde E é o módulo de elasticidade do material. Admitindo que os eixos X1 e X2 são centrais principais e que a barra é reta, a integração na secção transversal da parcela das forças interiores fornece as expressões clássicas da teoria das peças lineares T

δε   EA 0  ε  δWint = − ∫    dX , δκ   0 EI  κ  3 L

(4)

onde L é o comprimento da barra, A é a área da secção transversal e I é a sua inércia em relação ao eixo X2. O elemento finito é obtido aproximando, por polinómios cúbicos de Hermite, o campo de deslocamentos do eixo da barra entre as configurações de referência e atual (r − X3E3) e de referência e inicial (r0 − X3E3). Assim, para efeitos de implementação, é conveniente escrever as equações em termos das variações de r. Começando pelo trabalho virtual das forças interiores, tem-se T

δr ′  δWint = − ∫   Ξ Dε σ dV , δr ′′ V   X 1 ( I − 2t ⊗ t )( E 2 × r ′′)  t+ , Ξ Dε =  || r ′ || 2   − X 1n / || r ′ ||  

(5)

(6)

onde I é a matriz identidade, σ é a tensão normal longitudinal conjugada de ε, V é o volume da barra e ΞDε é uma matriz auxiliar. Admitindo que apenas atuam forças F e momentos ME2 no eixo da barra, o trabalho virtual das forças exteriores é dado por

δWext = F ⋅ δr + ME 2 ⋅ (t × δt ) = F ⋅ δr + Mδr ′ ⋅

E2 × t . || r ′ ||

(7)

Para efeitos de implementação, é ainda conveniente obter a linearização incrementaliterativa (∆) das expressões anteriores. Para a parcela das forças interiores tem-se 201


T

 δr ′   ∆r ′  ∆δWint = − ∫   Ξ D 2ε σ + Et Ξ Dε Ξ DT ε   dV , δr ′′ ∆r ′′ V  ~ ~ I − t ⊗t  E 2 r ′′ ⊗ t + t ⊗ E 2 r ′′ κ (4t ⊗ t − I )   − 2 X 1  +  Ξ D 2ε =  || r ′ || || r ′ || 3 || r ′ || 2     Sim.

(

)

(8) ~ X 1 ( I − 2t ⊗ t ) E 2  , (9) || r ′ || 2   0

onde Et é o módulo tangente para a relação constitutiva utilizada e a~ designa a matriz antissimétrica associada ao vetor a. Quanto à parcela das forças exteriores, a respetiva linearização é dada por

∆δWext

~ E 2 ( I − 2t ⊗ t ) = Mδr ′ ⋅ ∆r ′. || r ′ || 2

(10)

A aproximação é da forma r = Ψ(X3)( d 0 + dˆ ) + X3E3, onde a matriz Ψ(X3) contém as funções de aproximação e os vetores d 0 , dˆ correspondem aos seus valores nodais para a configuração inicial e para a diferença entre configurações, respetivamente. Assim, tem-se δr' = Ψ' δ dˆ e δr'' = Ψ'' δ dˆ e expressões análogas para as variações ∆. Substituindo nas expressões anteriores, obtém-se (i) a matriz de rigidez tangente elementar a partir de (8) e (10), (ii) o vetor das forças interiores com (5) e (iii) o vetor das forças exteriores com (7). Recorre-se a integração numérica, com três pontos de Gauss ao longo do eixo da barra para mitigar os efeitos de retenção de membrana (membrane locking). Na secção transversal, a integração é efetuada dividindo-a em “fatias”, conforme mostra a Figura 1, utilizando um único ponto de integração em cada uma delas. Para obter as trajetórias de equilíbrio, recorre-se ao método de NewtonRaphson com controle de carga/deslocamento. As leis constitutivas adotadas encontram-se representadas na Figura 1. Para o aço, considera-se uma lei do tipo elástico-perfeitamente plástico. Para o concreto, adota-se uma lei sem resistência à tração e com comportamento não-linear à compressão, admitindo que as descargas são elásticas. Uma vez que se considera que a tensão decresce (em módulo e segundo uma reta) após o valor de pico (fc), para diminuir os efeitos de dependência da malha (ver, por exemplo, Jirasek e Bazant, 2002), ajusta-se a extensão final εf através de

ε f = ε c1 −

fc d + , Ec L

202

(11)


onde L é o comprimento do elemento finito, o parâmetro d necessita ser calibrado e os restantes parâmetros são indicados na figura.

3 3.1

Aplicações Grandes deslocamentos

Em primeiro lugar, ilustram-se as potencialidades do elemento finito no campo dos grandes deslocamentos e barras curvas, em regime elástico. Na Figura 2 mostram-se as configurações deformadas de uma consola sujeita à ação de um momento concentrado, aplicado na sua extremidade livre, considerando discretizações com 2, 4, 10 e 20 elementos de igual comprimento. Note-se que, para uma deformada formando n circunferências completas, a solução exata da teoria de Euler-Bernoulli (que coincide com a presente formulação, recordar (4)) é dada por M = 2nπEI/L. Os resultados mostram que a consideração de um número crescente de elementos permite obter configurações cada vez mais precisas e que, com apenas dois elementos, é possível aproximar razoavelmente a configuração deformada correspondente à primeira circunferência completa (n = 1). Não se observam efeitos de retenção de membrana, em virtude do esquema de integração reduzida adotado.

Figura 2 – Consola sujeita a um momento aplicado na extremidade livre. 203


Considera-se agora o exemplo introduzido por DaDeppo e Schmidt (1975), o qual é utilizado frequentemente no contexto de validação de elementos finitos de barra curvos. A geometria e carregamento do problema, bem como os resultados obtidos, são fornecidos na Figura 3.

Figura 3 – Arco com 215º. 204


O gráfico da Figura 3 mostra as trajetórias de equilíbrio (evolução do deslocamento vertical e horizontal do ponto de aplicação da carga) obtidas com o elemento proposto (discretizações com 20 e 30 elementos) e as obtidas por Gerstmayr e Irschik (2008) com 256 elementos de barra. Observa-se uma excelente concordância, em particular quando se usam 30 elementos. A figura mostra também as configurações deformadas obtidas com a formulação proposta, permitindo constatar a sua elevada complexidade e a magnitude dos deslocamentos envolvidos. 3.2

Colapso de colunas e vigas

Consideram-se agora alguns exemplos relativos à determinação de trajetórias de equilíbrio de barras com materiais não-lineares. A Figura 4 mostra as curvas carga-deslocamento relativas a cinco exemplos analisados por Gonçalves e Carvalho (2014), sendo três deles utilizados por vários autores para efeitos de validação de elementos finitos. Todos os parâmetros relevantes são fornecidos na figura. No caso do concreto, utilizaram-se as leis materiais uniaxiais fornecidas na bibliografia, sem alterar o troço pós-pico. O primeiro exemplo (Figura 4a) é retirado de Gonçalves e Camotim (2012) e diz respeito a uma coluna de aço simplesmente apoiada com uma imperfeição inicial de 10 mm a meio-vão, na forma do modo crítico de instabilidade. Com o elemento finito proposto, as análises são efetuadas com 1 e 4 elementos e discretizando a secção em 10 fatias. Para efeitos de comparação, mostram-se também resultados obtidos com elementos solid 2D de 9 nós em estado plano de tensão, sendo os cálculos realizados com o programa ADINA. Obtêm-se resultados excelentes com apenas um elemento finito, tanto para o caso elástico como elastoplástico. No entanto, com quatro elementos, é possível reproduzir o ramo descendente da curva elastoplástica com bastante precisão e observa-se uma ligeira melhoria dos resultados elásticos para um valor da carga próximo de 200 kN. Os resultados da Figura 4b dizem respeito a uma coluna de concreto armado ensaiada por Espion (1993) e analisada por Bratina et al. (2004) com 2 elementos finitos de barra. Com o elemento proposto, a secção transversal foi discretizada em 12 fatias e

205


observa-se que os resultados são muito satisfatórios, mesmo utilizando um único elemento finito.

Figura 4 – Colapso de colunas de aço, concreto e mistas aço-concreto

206


A Figura 4c refere-se a uma das colunas mistas ensaiadas por Bridge (1976) e analisada por Pi et al. (2006), usando quatro elementos finitos de barra. Com o elemento proposto, discretizou-se a secção em 10 fatias (incluindo o tubo de aço) e modelou-se apenas metade da coluna, devido à simetria do problema. Os resultados obtidos estão em excelente acordo com os fornecidos na bibliografia, mesmo quando apenas se utiliza um único elemento finito. No gráfico da Figura 4d apresentam-se resultados relativos a uma coluna mista de alta resistência ensaiada por O’Brien e Rangan (1993) e também analisada por Pi et al. (2006) com quatro elementos de barra. A tensão de cedência do aço utilizada por estes últimos autores é ligeiramente superior à fornecida no artigo de O’Brien e Rangan, sendo esta a razão de se terem efetuado análises com dois valores distintos, com o elemento finito proposto. Como a secção é circular, utilizou-se uma discretização em malha axissimétrica, com 7 subdivisões na direção radial (6 para o concreto e 1 para o aço) e 10 subdivisões na direção angular para metade da secção (utilizou-se uma simplificação de simetria na secção). Para além disso, analisou-se apenas metade da coluna em virtude da simetria. Os resultados com apenas um elemento estão mais uma vez em excelente concordância com os demais resultados. Por fim, o gráfico da Figura 4e mostra os resultados obtidos para quatro colunas mistas com a mesma secção transversal (constituída por um perfil HEA200 parcialmente envolvido por concreto), mas diferentes comprimentos — os valores da respetiva esbelteza, calculados de acordo com o EC4, são indicados para cada curva. Para o concreto utilizou-se a lei constitutiva do Eurocódigo 2 (CEN, 2004) com os valores dos parâmetros indicados na figura. As colunas apresentam uma imperfeição inicial sinusoidal de amplitude igual a L/200 e apenas se modela metade do comprimento, em virtude da simetria do problema. O gráfico compara os resultados obtidos com (i) modelos refinados de elementos solid 2D de 9 nós em estado plano de tensão (ADINA, ver figura) e (ii) modelos com 4 elementos de barra propostos, discretizando a secção com uma fatia para cada banzo e 8 fatias para o concreto e a alma do perfil. Observase que existe uma excelente concordância em todos os casos.

207


Figura 5 – Coluna mista sujeita à flexão Considere-se agora a coluna mista da Figura 5, a qual se encontra sujeita à flexão simples por ação de uma força vertical, aplicada na secção de meio-vão. Este caso é relativamente exigente do ponto de vista computacional, devido à ocorrência de fendilhação generalizada e de esmagamento localizado no concreto (para além de plastificação no aço). De facto, neste caso não foi possível obter resultados satisfatórios com modelos de elementos solid 2D, por perda de convergência para níveis muito reduzidos de carga, pelo que foi necessário recorrer a modelos tridimensionais com elementos do tipo brick, utilizando o programa ATENA. Os parâmetros geométricos e materiais são fornecidos na figura (foi utilizada a lei do Eurocódigo 2 para o concreto à compressão). Em virtude da simetria, os modelos com o elemento de barra proposto apenas consideram metade da peça. No caso dos modelos de elementos brick, somente um quarto da barra foi modelada e foram considerados dois níveis de discretização (ver figura). Os gráficos da Figura 5 mostram as curvas carga-deslocamento obtidas com os vários modelos e níveis de discretização. No caso dos elementos propostos, o gráfico da esquerda mostra os resultados obtidos sem ajustamento de εf e o gráfico da direita mostra os resultados para os mesmos níveis de discretização, mas com correção de εf, considerando neste caso d = 0,2 m. O 208


gráfico da esquerda permite constatar que existe uma clara dependência da malha, a qual é significativamente reduzida no gráfico da direita. Estes gráficos mostram ainda que existe uma excelente concordância entre os resultados obtidos com o elemento proposto e os elementos brick, apesar de estes últimos envolverem um número muito maior de graus de liberdade e esforço computacional. Finalmente, refere-se que se observa que o refinamento do modelo brick não conduz a resultados significativamente diferentes. 3.3

Estudo paramétrico

O elemento finito de barra proposto foi utilizado por Gonçalves e Carvalho (2014) para realizar um estudo paramétrico relativo à utilização do MG do EC4 em colunas formadas por um perfil de aço em I ou H, parcialmente/totalmente envolvido por concreto. Nesta secção apresentam-se os principais resultados desse estudo, que envolveu seis perfis de aço (IPE 200/600, HEA 200/600 e HEM 200/600) e todas as combinações de S235, S460, C25/30 e C45/55. Para reduzir o número de parâmetros, não foi considerada armadura e, para as secções totalmente envolvidas, foi adotado o valor máximo de recobrimento permitido pelo EC4: 0,3h na direção da alma, onde h é a altura do perfil, e 0,4b na direção perpendicular, sendo b a largura dos banzos do perfil. Todas as secções satisfazem os requisitos para dispensar a consideração dos efeitos da encurvadura local, de acordo com o EC4. Em primeiro lugar foi analisado o valor das imperfeições geométricas iniciais a considerar na análise. De acordo com o EC4, estas imperfeições devem ser iguais a L/200 para a flexão em torno do eixo forte (y) e L/150 para o eixo fraco (z). Pode mostrar-se que, pelo método simplificado do EC4, o qual utiliza uma amplificação de esforços simplificada, o valor da imperfeição geométrica que fornece uma resistência à compressão idêntica à das curvas de encurvadura é dado por

e0 =

α M M pl , N , Rd  χN pl, Rd  1 − , χN pl, Rd  Ncr, II 

(12)

onde αM = 0,9 (S235 a S355) ou 0.8 (S420 e S460), χ é o fator de redução, obtido da curva de encurvadura apropriada, Mpl,N,Rd é o momento resistente para um nível de esforço axial igual a χNpl,Rd (onde Npl,Rd é a resistência plástica da secção à compressão) 209


e Ncr,II é o esforço axial crítico, calculado com uma rigidez de flexão reduzida. Deve salientar-se que a expressão (12) é válida para colunas simplesmente apoiadas, sendo necessário proceder a alterações para outros casos (ver Gonçalves e Camotim, 2005). Conforme demonstrado por Gonçalves e Carvalho (2014), a imperfeição dada por (12) é por vezes significativamente inferior à prescrita pelo EC4, o que quer dizer que estas últimas podem conduzir a um dimensionamento demasiado conservativo (em relação à resistência obtida pelas curvas de encurvadura do EC4). Em particular, foram observadas reduções da resistência superiores a 30%. O estudo paramétrico efetuado comparou, para as colunas selecionadas, os valores da resistência obtidos com (i) as curvas de encurvadura do EC4 e (ii) o elemento finito proposto, usando valores médios ou de cálculo na lei constitutiva do concreto e as imperfeições geométricas dadas pelo EC4 ou a expressão (12). As análises com o elemento finito proposto foram efetuadas discretizando apenas metade das colunas (simplificação de simetria) com quatro elementos. As secções transversais foram divididas em 8/12 fatias para os casos parcialmente/totalmente envolvidos por concreto, respetivamente. Na Figura 6 apresentam-se apenas os casos que corresponderam às maiores e menores diferenças em relação à resistência fornecida pelas curvas de encurvadura. Para as secções parcialmente envolvidas, observa-se que a utilização de uma lei constitutiva do concreto baseada em valores médios (conforme preconizado no EC4) conduz a resistências superiores às das curvas de encurvadura, particularmente para esbeltezas reduzidas, mesmo no caso de se utilizar a imperfeição do EC4 (que é superior à dada pela expressão (12)). Quando se utilizam valores de cálculo, a maioria dos resultados localiza-se abaixo da curva de encurvadura, embora significativamente abaixo no caso da encurvadura ocorrer com flexão em torno do eixo fraco. No entanto, é de salientar que se observa que os resultados ficam mais perto da curva ao utilizar valores de cálculo e, simultaneamente, a imperfeição (12), muito embora em alguns casos os valores da resistência se localizarem acima da respetiva curva de encurvadura.

210


Figura 6 â&#x20AC;&#x201C; Resultados do estudo paramĂŠtrico relativo a colunas mistas 211


As conclusões para colunas totalmente betonadas são bastante semelhantes, muito embora se registe uma maior dispersão de valores. A utilização de valores médios na lei constitutiva tende a sobrestimar a resistência da coluna, por vezes significativamente, e os resultados localizam-se mais perto da curva de encurvadura do EC4 no caso de se utilizarem valores de cálculo na lei constitutiva e, simultaneamente, a imperfeição dada pela expressão (12).

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Conclusões

Neste trabalho apresentou-se um elemento finito de barra 2D, geometricamente exato, capaz de modelar, com grande precisão e eficiência, o comportamento geometricamente e fisicamente não-linear de barras curvas esbeltas. O elemento é particularmente atrativo por apenas utilizar leis constitutivas uniaxiais. Apresentaramse vários exemplos que demonstram as potencialidades do elemento, nomeadamente na área da modelação não-linear de colunas mistas aço-concreto. Mostrou-se ainda que o elemento é capaz de modelar, com grande precisão, o comportamento de barras curvas. Apresentaram-se ainda os principais resultados de um estudo paramétrico, em que o elemento proposto foi utilizado para avaliar a influência de vários parâmetros na resistência à encurvadura de colunas mistas constituídas por um perfil de aço em I ou H parcialmente/totalmente envolvido por concreto. Concluiu-se que, se a lei constitutiva para o concreto for escrita em termos de valores de cálculo e, simultaneamente, for utilizada a imperfeição dada pela expressão (12), a resistência obtida está mais próxima da fornecida pelas curvas de encurvadura do EC4. Muito embora seja necessário efetuar mais estudos antes que seja possível recomendar esta abordagem, é importante notar que, para os casos analisados, a utilização de valores médios na lei constitutiva do concreto, mesmo em conjunto com a imperfeição do EC4 (mais conservativa), conduz a valores da resistência superiores aos das curvas de encurvadura. É ainda importante salientar que a execução do estudo paramétrico foi muito facilitada pela rapidez e eficiência do elemento finito proposto.

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Referências bibliográficas

BATHE, KJ. ADINA system, ADINA R&D Inc., 2016. BOYER F; PRIMAULT D. Finite element of slender beams in finite transformations: a geometrically exact approach. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 59, 669-702, 2004. BRATINA S; SAJE M; PLANINC I. On materially and geometrically non-linear analysis of reinforced concrete planar frames. International Journal of Solids and Structures, 41(24-25), 7181-7207, 2004. BRIDGE RQ. Concrete filled steel tubular columns. Technical Report R283, University of Sydney, Civil Engineering Laboratories, 1976. CEN. EN 1992-1-1:2004. Eurocode 2: design of concrete structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings, Brussels, 2004. CEN. EN 1994-1-1:2004. Eurocode 4: design of composite steel and concrete structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings, Brussels, 2004. CERVENKA V; JENDELE L; CERVENKA J. ATENA 3D program documentation, Cervenka Consulting, 2013. DADEPPO D; SCHMIDT R. Instability of clamped-hinged circular arches subjected to a point load, Journal of Applied Mechanics, 42(4), 894-896, 1975. ESPION B. Benchmark examples for creep and shrinkage analysis computer programs. Technical report RILEM TC 114, 1993. GERSTMAYR J; IRSCHIK H. On the correct representation of bending and axial deformation in the absolute nodal coordinate formulation with an elastic line approach. Journal of sound and vibration, 318, 461-487, 2008. GONÇALVES R; CAMOTIM D. On the incorporation of equivalent member imperfections in the in-plane design of steel frames. Journal of Constructional Steel Research, 61(9), 1226-1240, 2005. GONÇALVES R; CAMOTIM D. Geometrically non-linear Generalised Beam Theory for elastoplastic thin-walled metal members. Thin-Walled Structures, 51, 121-129, 2012. GONÇALVES R; CARVALHO J. An efficient geometrically exact beam element for composite columns and its application to concrete encased steel I-sections. Engineering Structures, 75, 213-224, 2014. HANSWILLE G; BERGMANN R. New design method for composite columns including high strength steel. Composite construction in steel and concrete V, 381-389, 2006. JIRASEK M; BAZANT Z. Inelastic analysis of structures, Chichester: John Wiley & Sons, 2002. LIPPES M; HANSWILLE G. Design of composite columns made of concrete filled tubes with inner massive core profiles and high strength materials. Composite construction in steel and concrete VI, 326-337, 2011. O’BRIEN A; RANGAN B. Tests on slender tubular steel columns filled with high strength concrete. Australian Civil Engineering Transactions, 35(4), 287-292, 1993. PI Y; BRADFORD M; UY B. Second order nonlinear inelastic analysis of composite steel-concrete members. II: Applications. Journal of Structural Engineering, 132(5), 762-771, 2006.

213


ROIK K; BERGMANN R. Composite columns. Constructional steel design â&#x20AC;&#x201C; an international guide (Eds.: P. DOWLING; E. HARDING; R. BJORHOVDE), Elsevier, 443-469, 1992. SIMO J. A finite strain beam formulation. The three-dimensional dynamics problem. Part I. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 49(1), 55-70, 1985. SIMO J; VU-QUOC L. On the dynamics in space of rods undergoing large motions â&#x20AC;&#x201D; A geometrically exact approach. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 66(2), 125-161, 1988.

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Revista da Estrutura de Aço