Page 1

Revista da Estrutura de Aço | Revista da Estrutura de Aço | Volume 1 | Número 1

Volume 1 | Número 2 Agosto de 2012

CBCA

Centro Brasileiro da Construção em Aço

1


Revista da Estrutura de Aço | Volume 1 | Número 2

ARTIGOS Análise Teórico-Experimental de Ligações Soldadas entre Pilares de Perfis de Seção Circular e Vigas de Perfis I Sylvia Letizia Ferrarezi Reis, Arlene Maria Sarmanho Freitas,

Geraldo Donizetti de Paula, Marcilio Sousa da Rocha Freitas 64

On the design methods of cold-formed steel wall studs by the AISI specification Luiz Carlos Marcos Vieira Junior, Benjamin William Schafer 79

Ajuste de um modelo para estimativa de cargade flambagem do montante de alma de vigas alveolares por meio de análise numérica Washington Batista Vieira, Eliane Gomes da Silveira, José Carlos Lopes Ribeiro, José Luiz Rangel Paes, Gustavo de Souza Veríssimo 95

Ligação mista viga-pilar resistente a momento Juliano Lanza Conceição, Gilson Queiroz, Roberval José Pimenta, Gabriel de Oliveira Ribeiro 111


Volume 1. Número 2 (agosto/2012). p. 64‐78  

ISSN 2238‐9377 

Análise Teórico‐Experimental de Ligações Soldadas  entre Pilares de Perfis de Seção Circular e Vigas de  Perfis I  Sylvia L. F. Reis1, Arlene M. S. Freitas2 *, Geraldo D. de Paula3 Marcílio S. R.  Freitas4   

1

Doutoranda, Programa de Pós‐Graduação em Engenharia Civil – PROPEC‐ DECIV/EM/UFOP, sylvialetizia@ig.com.br  2 Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil ‐ PROPEC‐ DECIV/EM/UFOP, arlene@em.ufop.br  3 Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil ‐ PROPEC‐ DECIV/EM/UFOP, geraldo@em.ufop.br  3 Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil ‐ PROPEC‐ DECIV/EM/UFOP, marcilio@em.ufop.br 

Theoretical Experimental Analysis of Welded Joints with Circular Hollow  Section Columns and I Beams  Resumo  Neste trabalho é apresentado um estudo de ligações soldadas formadas por pilar tubular sem  costura  de  seção  transversal  circular  e  viga  de  aço  de  seção  transversal  tipo  “I”.  Para  este  estudo  foram  desenvolvidas  análise  experimental  e  teórica  das  ligações.  Os  ensaios  experimentais  foram  realizados  com  protótipos  em  escala  real,  com  a  geometria  definida  através  de  estudos  de  esbeltez,  resistência  e  rigidez.  Os  ensaios  experimentais  foram  realizados  no  Laboratório  de  Estruturas  do  Departamento  de  Engenharia  Civil  da  Escola  de  Minas  da  Universidade  Federal  de  Ouro  Preto.  Os  ensaios  da  ligação  visaram  a  obtenção  do  comportamento  momento‐rotação,  carga  última  e  modo  de  colapso  da  ligação  e  a  comparação destes com modelos teóricos, o que permitiu a classificação da ligação quanto à  sua rigidez. As análises teóricas foram realizadas a partir das prescrições de norma. As ligações  ensaiadas apresentaram como modo de falha a plastificação da face do pilar.    Palavras‐chave: estruturas tubulares, ligações, testes experimentais    Abstract    This  work  presents  a  study  of  welded  joints,  formed  by  a  structural  steel  hot  rolled  hollow  section, having circular hollow sections at the columns and steel "I" sections at the beam. The  study  developed  theoretical  analyses  for  the  joints  and  experimental  tests  in  full  scale  prototypes. The experimental tests on the joints were performed at the Structures Laboratory  of  the  Civil  Engineering  Department  in  the  School  of  Mines,  at  the  Universidade  Federal  de  Ouro Preto. The results for behavior, ultimate load, stiffness, and collapse mode were analyzed  and  compared  with  theoretical  models.  The  theoretical  analysis  was  carried  out  from  the  codes prescriptions. The model represents the behavior and load capacity and the stiffness of  the tested joints. The joints tested indicated the plastic failure of the column face.    Keywords: tubular structures, joints, experimental tests    * Autor correspondente  

64


1

Introdução

No Brasil tem‐se intensificado o uso de elementos estruturais metálicos associados a  diversos  fatores  como,  por  exemplo,  a  rapidez  de  execução.  Dentre  esses  elementos  estruturais, a sua forma, sua tipologia e seção estão associadas ao tipo de aplicação,  estética, condições de uso, etc. Dentre as várias tipologias que envolvem a fabricação e  forma das seções transversais dos perfis estruturais, encontram‐se os perfis tubulares,  que são largamente utilizados em diversos países. Entretanto, para as ligações entre pilar tubular de seção circular (CHS ‐ Circular Hollow  Section)  e  viga  de  seção  tipo  I  que  é  objeto  de  estudo  deste  trabalho  (comuns  em  edifícios  de  andares  múltiplos),  existem  poucas  contribuições  em  pesquisas,  principalmente no Brasil. Os perfis tubulares geralmente são aplicados em elementos  estruturais,  como  pilares,  treliças  planas,  espaciais,  etc.  No  Brasil,  são  muitos  os  exemplos em estruturas tubulares em aço, conforme apresentado na Figura 1. 

a) Estádio João Havelange “Engenhão”, Rio de  b) Prédio da Escola de Farmácia, UFOP. Fonte:  Janeiro. Fonte: Disponível em  Arquivo pessoal. <65TTP://diariodorio.com/fotos‐do‐engenhao‐a‐noite >. Acesso  em: 20 abr. 2010. 

Figura 1. Exemplos de estruturas com perfis tubulares em aço no Brasil. 

Sendo assim,  neste  trabalho  é  feita  uma  avaliação  teórico‐experimental  de  ligação  soldada utilizando um pilar de perfil tubular circular de aço e uma viga em perfil I. Foi  feito  um  estudo  entre  as  relações  entre  diâmetro  e  espessura  do  tubo,  e  o  comprimento  da  mesa  da  viga  de  perfil  I  que  influenciam  diretamente  na  transmissibilidade  do  momento  e  na  rigidez  da  ligação  (Reis,  2011).  Faz‐se  também  uma  análise  do  comportamento  momento  versus  rotação  (M‐ϕ)  das  ligações  e  a  avaliação das prescrições existentes nas normas de dimensionamento.  65


2

Rigidez das Ligações 

Os estudos  e  observações  realizados  atualmente,  com  base  no  comportamento  estrutural  de  ligações  entre  elementos  de  estruturas  metálicas,  vêm  comprovar  a  necessidade  de  se  considerar  a  resposta  não  linear  das  estruturas  e  das  ligações  na  análise estrutural.   O  comportamento  semirrígido  das  ligações  é  considerado  pelas  especificações  mais  recentes,  uma  vez  que  para  o  aperfeiçoamento  dos  métodos  mais  tradicionais  eram  considerados  apenas  comportamentos  idealizados  da  ligação,  como  no  caso  das  ligações flexíveis e rígidas.  Os  estudos  sobre  o  comportamento  das  ligações  procuram  considerar  as  características  que  possam  classificá‐las  em  termos  de  rigidez,  resistência  e  ductilidade.  Esses  sistemas  de  classificação  são  concebidos  de  forma  a  permitir  a  inclusão e a consideração de novos tipos de comportamentos de ligações, idealizados  ou não.  O conhecimento do comportamento estrutural da ligação vem pela determinação da  relação  momento‐rotação  (M‐ϕ),  que  fornece  os  parâmetros  necessários  para  sua  classificação  assim  como  a  análise  da  estrutura  na  qual  a  ligação  está  inserida,  considerando‐se seu comportamento não linear.  De forma geral, o diagrama M‐ϕ pode ser determinado de várias maneiras tais como  simulações  numéricas,  modelos  teóricos,  modelos  semiempíricos  ou  ensaios  experimentais.  O  Eurocode  3  ‐  part  1‐8  de  2005  estabelece  os  limites  de  rigidez  que  classificam a ligação a partir do diagrama M‐ ϕ e tais limites são mostrados na Figura 3. 

66


Figura 3. Limites para classificação da rigidez de ligação viga‐pilar conforme o Eurocódigo 3   (EN 1993 – 1 – 8). 

3

Prescrições Existentes 

As primeiras pesquisas de ligações não‐enrijecidas entre chapas ou vigas tipo I e perfis  CHS  ocorreram  no  Japão  (Kurobane,  1981)  e  posteriormente  por  Wardenier  (1982),  apud  Makino  (1984),  Kamba  e  Taclendo  (1998)  e  finalmente,  por  Aryioshi  e  Makino  (2000).  Na  década  de  noventa,  um  extensivo  programa  foi  realizado  por  Winkel  (1998)  para  investigar o comportamento de ligações não enrijecidas multiplanar e uniplanar entre  vigas de seção transversal I ou H e pilares CHS.   As formulações de dimensionamento são definidas baseando‐se em como a estrutura  irá  comportar‐se  e  quais  serão  os  estados‐limites  últimos  que  poderão  ocasionar  a  ruptura da ligação.  O  comportamento  de  cada  ligação  durante  o  colapso  é  função  da  distribuição  de  tensão na região da ligação, o que é dependente das características geométricas dos  elementos ligados. Para o dimensionamento dessas ligações, diversos estados‐limites  últimos devem ser observados, a saber:       

ruína plástica da face do pilar, Figura 4 (a);  flambagem local da parede do pilar, Figura 4 (b);  ruína da mesa da viga, Figura 4 (c);  ruína da solda, Figura 4 (d);  ruína por punção da parede do pilar, Figura 4 (e);  ruína por cisalhamento do pilar, Figura 4 (f); 

a) plastificação da face do pilar

b) flambagem local da parede do pilar

67


d) ruína da solda 

c) ruína da mesa da viga

e) ruína por punção da parede do pilar  f) ruptura por cisalhamento no pilar  Figura 4. Modos de ruína para ligações soldadas entre viga tipo I e pilar CHS. Fonte: Wardenier  et al.(2010) adaptado. 

As recomendações normativas do CIDECT (Wardenier et al, 2010) foram baseadas em  estudos  feitos  por  Kurobane  (1981),  Wardenier  (1982)  e  posteriormente  por  apud  Makino et al (2000), que foram adotadas pelo Eurocode 3 part 1‐8 de 2005 (Tabela 1).  A plastificação da ligação soldada entre viga I e pilar CHS não é determinada só pela  ligação entre as mesas da viga, mas também pela espessura do pilar. Deve‐se ressaltar  que  o  efeito  da  alma  não  é  considerado  para  a  resistência  da  ligação  nas  equações  apresentadas na Tabela 1.              Tabela 1 – Equações de resistência de cálculo de ligação soldada entre viga tipo I e pilar CHS  (CIDECT E EUROCODE 3). 

Tipo de ligação T 

Estado Limite de Projeto Plastificação da face do pilar

 

N1,Rd  f y 0t02 4  20  2 10,25  f n'

68

1


2

M ip,1,Rd  h1 N1,Rd M op ,1, Rd  0,5 b1 f y 0 t o2

  3

5 1  0,25  f n ' 1  0,81 

Fator redutor do efeito de compressão no pilar

f (n' )  1  0,3n'0,3(n' ) 2 para n'  1,0 quando o pilar estiver comprimido; f ( n ' )  1 para  n'  1,0 quando o pilar estiver tracionado;

n' 

 p , Ed f y0

(6)       

(4)

(5)

Faixa de validade  θ1= 90º       d0/t0≤ 40       vigas: classe 2 

Onde: N1, Rd = força normal resistente de cálculo;  Mip,1, Rd = momento fletor resistente de cálculo no plano da ligação;  Mop,1, Rd = momento fletor resistente de cálculo fora do plano da ligação;  σp, Ed = tensão axial solicitante no pilar;  fy0 =  tensão de escoamento do aço do pilar;  β = b1/d0;  η = h1/d0;   Segundo o CIDECT Design Guide Nº 9 (kurobane et al, 2004) apud Aryioshi e Makino  (2000),  as  recomendações  para  a  rigidez  axial  da  ligação  são  dadas  de  forma  simplificada pela Equação (7) que considera a ligação T como de uma chapa: 

K  1,9 Etc  1,3 (2 ) 0,7

                                                       (7) 

onde K = rigidez axial da mesa.  E = módulo de elasticidade do aço;  t0 = espessura do pilar tubular circular;  β = relação entre a largura da mesa da viga ligada ao pilar e o diâmetro do pilar tubular  circular;  γ = relação entre o diâmetro do tubo  e o dobro da sua espessura.  Para o comportamento momento‐rotação as seguintes equações são aplicadas:  2     M ip  N1, Rd ( h1  tb , f )  Cb ,ip  Cb ,ip ( h1  tb , f )  

Cb,ip  0,5K (h1  tb, f ) 2

onde, Mip= momento fletor no plano da ligação;  N1, Rd = força normal resistente de cálculo;  69

(8) (9) 


N = carregamento axial;  h1 = altura da viga;  tb,f = espessura da mesa da viga;  Cb,ip = rigidez da ligação;  ϕ = rotação da ligação;  δ = deslocamento da viga.    Multiplicando‐se  a  rigidez  axial  K  da  mesa  da  viga  conectada  por  0,5(h1‐tb,f)2  tem‐se  uma  aproximação  da  rigidez  dada  pela  Equação  (9),  para  as  ligações  capazes  de  transmitir momento fletor. Entretanto, ressalta‐se que a contribuição da alma da viga  conectada é desprezada. 

4

Programa Experimental 

Os ensaios  realizados  são  de  ligações  soldadas  entre  pilares  de  perfis  tubulares  circulares sem costura, laminados a quente, fabricados pela Vallourec & Mannesmann  Tubes do Brasil e vigas de aço laminadas a quente com seção transversal tipo I de abas  paralelas  fabricadas  pela  Gerdau  Açominas.  Foram  realizados  um  total  de  quatro  ensaios,  sendo  dois  de  cada  protótipo.Os  protótipos  ensaiados  e  os  perfis  que  os  compõem são mostrados na Tabela 2, a seguir.  Tabela 2‐Definição dos perfis em aço dos protótipos ensaiados. 

P1

Pilar Viga  φ x to (mm) 219,1 x 9,5  310 x 38,7

P2

219,1 x 8,2  250 x 17,9

Protótipo

φ = diâmetro do tubo;  t0 = espessura do tubo.    Foi avaliada a resistência última das ligações e durante os ensaios foram observados os  mecanismos  de  colapso,  os  deslocamentos  e  deformações,  sendo  os  níveis  de  carregamento baseados em modelagens numéricas (Reis et al.,2011).As condições de  contorno,  onde  foram  engastadas  as  extremidades  do  pilar,  e  as  aplicações  dos  carregamentos  foram  feitas  de  maneira  a  simular  uma  ligação  soldada  real.  As  dimensões  nominais  dos  perfis  utilizados  na  composição  dos  protótipos  ensaiados  estão apresentadas na Tabela 3. 

70


Tabela 3 ‐ Dimensões nominais dos perfis utilizados na composição dos protótipos. 

Pilar d0 t0 (mm (mm )  ) 

Perfil

h1 (mm )

Viga b1 (mm )

tb,f (mm )

tw (mm )

219, 1

9,5 W310x38,7  310 

165

9,7

5,8

219, 1

8,2

W250x17, 9

101

5,3

4,8

251

Na Tabela 4tem‐se as propriedades mecânicas dos perfis circulares de aço utilizados.  Tabela 4 ‐ Propriedades mecânicas do aço dos perfis dos pilares dos protótipos. 

Perfis φ x to (mm) 

Resistência ao  Escoamento fy (MPa) 

Resistência à  Ruptura fu (MPa) 

Alongamento (%) 

219,1 x 8,2  219,1 x 9,5 

385 374 

582 571 

33 34 

Para as  vigas  foram  utilizados  perfis  laminados  de  aço  da  empresa  Gerdau  Açominas  onde  foram  considerados  os  valores  nominais  de  345  MPa  para  a  resistência  ao  escoamento e 485 MPa para a resistência à ruptura. 

4.1 Montagem e instrumentação dos ensaios  O  sistema  de  aplicação  de  carga  foi  instalado  em  um  pórtico  de  reação,  com  carregamento  aplicado  por  meio  de  um  atuador  hidráulico,  sendo  o  valor  do  carregamento medido por uma célula de carga, em cuja extremidade foi colocada uma  rótula  de  carga  visando  manter  a  verticalidade  do  carregamento.A  Figura  5  a  seguir,  mostra o sistema de aplicação de carga. 

71


Figura 5 ‐ Sistema de aplicação de cargas. 

A instrumentação  usada  no  ensaio  experimental  visou  ao  monitoramento  de  deformações e deslocamentos assim como o controle dos carregamentos aplicados. A  leitura de deslocamentos ocorridos na viga durante o ensaio, flecha da viga, foi feita  por meio de LVDT’s (Linear Variable Displacement Transducers), em que as leituras dos  deslocamentos  são  medidas  e  armazenadas  por  meio  de  sistema  de  aquisição  de  dados controlado por computador. Utilizou‐se os deflectômetros de haste, que foram  posicionados no pilar para a monitoração eventual de deslocamento.  Os LVDT’s foram posicionados abaixo da viga no total de três em cada ensaio (L1, L2 e  L3), sendo o L3 a 29 cm da face do pilar, o L2 e o L1 a uma distância de 29 cm entre  eles, sendo que o L1 ficou posicionado abaixo do sistema de aplicação de carga, Figura  6. 

72


Figura 6 ‐ Posicionamento dos LVDT's instalados no protótipo. 

Para medição  das  deformações  foram  utilizados  os  extensômetros  elétricos  de  resistência unidirecionais e também do tipo roseta 45°. Nas ligações ensaiadas, foram  coladas  rosetas  na  face  do  pilar  e  extensômetros  nas  mesas  da  viga,  como  pode  ser  observado na Figura 7. 

a) Dimensões do protótipo. 

b) Extensômetros tipo Rosetas de 90°( R1, R2,  R3 e R4) e extensômetros uniaxiais (E1, E2,  E15 e E16).  Figura 7 ‐ Posicionamento dos extensômetros e rosetas nos protótipos. 

Para aquisição  dos  dados  foi  utilizado  um  sistema  automático  controlado  por  computador  dotado  de  um  sistema  de  controle  e  monitoramento  de  aquisição.  Os  ensaios  foram  realizados  com  uma  pré‐carga  para  ajuste  e  verificação  dos  equipamentos. Em seguida foi aplicado o carregamento, sendo o critério de parada do  ensaio a identificação do mecanismo de falha e a perda de resistência da ligação.  73


4.2 Apresentação dos Resultados Experimentais  Para cada etapa de carga de cada ensaio do protótipo, foram medidas as deformações  e  os  deslocamentos,  e  a  partir  desses  resultados  foi  possível  determinar  a  curva  momento‐rotação e a rigidez da ligação dos protótipos em questão.  A  partir  dos  resultados  obtidos  nos  ensaios,  verificou‐se  que  o  modo  de  falha  preponderante  foi  a  “plastificação  da  face  do  pilar”  com  o  escoamento  inicial  na  roseta 4,  como  pode  ser  visto  nasFiguras8  e  9  como  os  representativos  da  série,  indicados a partir da carga x deformação específicobtidas.  200 180 160

Carga (kN)

140 120 100

E 12

80

E 13

60

E 14

40 20 0 ‐6000

‐5000

‐4000

‐3000

‐2000

‐1000

0

Deformação (µm/m)

Figura 8‐ Carga x Deformação específica para a roseta R 4 do protótipo P1. 

90 80

Carga (kN)

70 60 50

E 12

40

E 13

30

E 14

20 10 0 ‐3000

‐2500

‐2000

‐1500

‐1000

‐500

0

Deformação (µm/m)

Figura 9 ‐Carga x Deformação específica para a roseta R 4 do protótipo P2. 

74


Para se obter a curva momento‐rotação da ligação em estudo, calculou‐se o momento  fletor para cada carga aplicada considerando que o braço é a distância da aplicação de  carga até a face do pilar. A rotação obtida é a rotação da ligação. Os valores máximos  de  momento  fletor  e  de  rotação  para  esse  ensaio  foram  respectivamente  de  143,66  kNm  e  0,074  rad,  como  mostra  a  Figura10.  Para  o  cálculo  da  rigidez  foi  utilizado  o  Método  da  Inclinação  Inicial  (Reis,  2011),  chegando  a  uma  rigidez  igual  a  9004,27  kNm/rad.  160

Momento ( kN.m)

140 120 100 80 60 40 20 0 0

0,02

0,04

0,06

0,08

Rotação  (rad)

Figura 10 -Curva Momento-Rotação da ligação para o protótipo P1.

Para o  ensaio  P2  pôde‐se  determinar  os  valores  máximos  de  momento  fletor  e  de  rotação que foram respectivamente de 72,52 kNm e 0,058 rad. A Figura 11 mostra a  curva momento‐rotação do ensaio P2 através da qual foi obtida um valor darigidez da  ligação igual a 4759,71 kNm/rad.  80

Momento ( kN.m)

70 60 50 40 30 20 10 0 0

0,02

0,04

0,06

Rotação  (rad) Figura 11 ‐ Curva Momento‐Rotação da ligação do protótipo P2. 

75


A Figura 12 a seguir mostra o esmagamento da face do pilar pela viga, onde se percebe  um enrugamento da mesa inferior da viga. 

Figura 12 ‐ Esmagamento do pilar pela mesa da viga por forças de compressão. 

Na Tabela 5 a seguir têm‐se os resultados obtidos nos ensaios, onde Py corresponde à  carga  aplicada  que  ocasionou  a  plastificação  do  aço  do  pilar,  Pmax é  a  carga  máxima  aplicada  nos  ensaios.Nessa  tabela  é  indicado  também  o  momento  fletor  máximo  obtido nos ensaios, a rotação máxima e a rigidez da ligação obtida experimentalmente.  Tabela 5 ‐ Resultados obtidos nos ensaios experimentais. 

Protótipo P1  P2 

Cargas Experimentais (kN)  Py

Pmax.

135,08 71,73 

186,69 83,35 

Momento Fletor  Máximo  (kNm)  162,42  72,51 

Rotação Máxima  (rad) 

Rigidez   (kNm/rad) 

0,074 0,058 

9004,27 4759,71 

5

Análise e Comparação dos Resultados 

A exposição  e  discussão  dos  resultados  é  feita  de  modo  a  se  estabelecer  um  comparativo entre os resultados teóricos e experimentais obtidos a partir do Eurocode  3  part  1‐8  de    2005  e  CIDECT  (Kurobane  et  al,  2004).  A  Tabela  6  a  seguir,  mostra  a  comparação  entre  esses  resultados,  onde  se  pode  observar  que  houve  uma  boa  correlação  entre  os  valores  da  rigidez  experimental  e  teórica  principalmente  para  os  ensaios  do  protótipo  P1.  Todas  as  ligações  são  classificadas  como  semirrígidas  de  acordo com os limites de rigidez do Eurocode 3. 

76


Tabela 6 ‐ Comparação entre os resultados teóricos e experimentais. 

Ensaio P1  P2 

Teórico Rigidez  Mip,1,Rd (kN.m)  (kN.m/rad)  (Eq. (2)) (Eq. (9)) 160,54  8089,23  53,60  2227,66 

Experimental Mmax. (kN.m) 

Rigidez (kN.m/rad) 

143,66 72,52 

9004,27 4759,71 

6

Considerações Finais 

A determinação  da  rigidez  inicial  das  ligações  é  influenciada  pelas  características  elásticas  dos  materiais  pelas  características  geométricas  e  pela  tipologia  do  carregamento.  No  entanto,  as  representações  do  desenvolvimento  de  deformações  plásticas,  redistribuições  de  tensões  e  colapso,  dependem  dos  modelos  constitutivos  dos  materiais.  A ligação apresentou deformações plásticas na face do pilar principalmente na região  comprimida,que recebe as forças oriundas da viga, definindo como modo de colapso a  plastificação do pilar.  Os  resultados  experimentais  obtidos  proporcionaram  a  determinação  da  rigidez  da  ligação, distribuição de tensões na região do pilar e da viga, o mecanismo de colapso  desenvolvido e a carga última aplicada.  Neste trabalho procurou‐se o avanço do conhecimento do comportamento da ligação  soldada  entre  viga  de  seção  tipo  I  e  pilar  de  perfil  tubular  circular  em  aço,  evidenciando‐se  a  necessidade  de  se  conhecer  e  explorar  o  conceito  de  semirrigidez  das ligações tubulares em aço,propondo formulações capazes de prever sua rigidez e  desenvolvendo aplicações.   

7

Agradecimentos

Os autores  agradecem  a  FAPEMIG  (Fundação  de  Amparo  a  Pesquisa  do  Estado  de  Minas Gerais), CNPq (Conselho Nacional de Pesquisa), FINEP (Financiadora de Estudos  e Projetos), CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) e a  empresa Vallourec & Mannesmann do Brasil.  77


8

Referências bibliográficas 

Eurocode 3, ENV 1993‐1‐8, 2005: Design of steel structures ‐ Part 1‐8: Design of joints.  CEN, European Committee for Standardization, Brussels.  Eurocode 3, ENV 1993‐1‐8, 2005: Design of steel structures ‐ Part 1‐8: Design of joints.  CEN, European Committee for Standardization, Brussels.  Kurobane,  Y.,  1981:  New  developments  and  practices  in  tubular  joint  design  (+  addendum) International Institute of Welding Commission XV, IIW Doc. XV‐488‐81.  Wardenier, J., Packer, J.A, Zhao, X.‐L and Vegte, G. J. van der, 2010: Hollow Sections in  Structural Applications. 2nd Edition, CIDECT, Geneva, Switzerland. ISBN 978‐90‐73830‐ 86‐9.  Wardenier,  J.,  1982:  Hollow  section  connections.  Delft  University  Press,  Delft  Netherlands.  Makino, Y., 1984: Experimental study on ultimate capacity and deformation for tubular  joints. Ph.D. Thesis, Osaka University, Osaka, Japan. (in Japanese).  Kamba, T and Taclendo, C., 1998: CHS column connections without stiffener. Proc. 8th  Int. Symposium on Tubular Structures, Singapore, pp. 567‐576.  Aryioshi, M and Makino, Y., 2000: Load‐deformation for gusset‐plate to CHS tube joints  under compression loads. Int. Journal of Offshore and Polar Engineering, Vol. 10, Nº 4,  pp 292‐300.  Kurobane,  Y.,  Packer,  J.A.,  Wardenier,  J.,  &  Yeomans,  N.,  2004:  Design  guide  for  structural hollow section column connections. CIDECT Series "Construction with hollow  steel sections" No. 9, TÜV‐Verlag, Köln, Germany, ISBN 3‐8249‐0802‐6.  Wardenier, J., Packer, J.A, Zhao, X.‐L and Vegte, G. J. van der, 2010: Hollow Sections in  Structural Applications. 2nd Edition, CIDECT, Geneva, Switzerland. ISBN 978‐90‐73830‐ 86‐9.  Reis,  S.L.F.;  de  Paula,  G.D.;  Araújo,  A.H.M.;  Freitas,  A.M.S.:    Theoretical  Analysis  of  Tubular  and  "I"  Connections.  In:  XXXIV  Jornadas  Sudamericanas  de  Ingeniaría  Estrutural, San Juan, Argentina,2010.  Reis,  S.L.F.(2011).  Análise  Teórico‐Experimental  de  Ligações  Metálicas  Soldadas  entre  coluna em Perfil Tubular Circular e Viga em Perfil de Seção Transversal “I”. Dissertação  (Mestrado  em  Engenharia  Civil)  ‐  Programa  de  Pós‐Graduação  do  Departamento  de  Engenharia Civil, Universidade Federal de Ouro Preto.  Reis,  S.L.F.;  Freitas,  A.M.S.:  de  Paula,  G.D.;  Lima,  L.  R.  O.:  Avaliação  Numérica  de  Ligações Tubulares Soldadas entre Perfis Circulares e Vigas I. In: Congresso de Métodos  Numéricos em Engenharia 2011, Coimbra, Portugal. Anais APMTAC, Portugal, 2011. 

78


Volume 1. Número 2 (agosto/2012). p. 79‐94

ISSN 2238‐9377

On the design methods of cold‐formed steel wall  studs by the AISI specification   Luiz Carlos Marcos Vieira Junior1* and Benjamin William Schafer2   

1

Visiting Scholar, Johns Hopkins University, 3400 North Charles Street,  Baltimore, MD 21218, USA, luizvieirajr@gmail.com 

2

Professor, Johns Hopkins University, 3400 North Charles Street, Baltimore, MD  21218, USA, schafer@jhu.edu 

Abstract 

This paper  discusses  the  various  design  methods  for  sheathed  walls  framed  from  cold‐formed steel studs proposed by the American Iron and Steel Institute (AISI) since  1962.  The  discussion  focuses  on  the  development  the  equations  used  in  the  design  methods,  and  aims  to  establish  an  understanding  of  the  assumptions  and  simplifications  employed.  Special  attention  is  given  to  the  “2a”  rule  used  since  AISI  (1962).  The  2a  rule  prescribes  that  the  buckling  length  of  a  sheathed  stud  shall  be  equal  to  twice  the  distance  between  fasteners  (2a),  in  order  to  consider  a  missing  fastener. A reliability study is used herein to evaluate the 2a rule, which is shown  to  lead  to  conservative  strength  predictions.  Resistance  factors  are  proposed  as  a more  rational choice to take account of ineffective fasteners or construction flaws.    Keywords: AISI specification, fastener spacing, wall stud, cold‐formed steel   

1

Introduction Cold‐formed  steel  may  be  used  to  frame  the  walls,  floors,  and  roofs  of  modern 

buildings. The individual cold‐formed steel members (studs) have sheathing attached  to  provide  appropriate  architectural  enclosures,  Figure  1.  In  Brazil,  this  construction  * Autor correspondente                                               79   


system is  best  known  as  “steel  framing”.  The  considerable  growth  in  the  use  of  sheathed  wall‐studs  rather  than  traditional  masonry  walls  is  primarily  due  to  its  lightweight and because it is faster to build.   In  a  “steel  framing”  building  the  sheathing  –  usually  plywood,  gypsum,  and/or  oriented strain board (OSB) – braces the cold‐formed steel studs under load and has a  significant impact on the stability and strength of cold‐formed steel studs.    

a) View from outside the building 

b) View from inside the building 

Figure 1 – Low‐rise building with cold‐formed steel wall stud.    Since 1962 the AISI specification has proposed essentially three different methods  (sections 2.1 and 2.2) to design sheathed stud walls. The first method was proposed in  1962 (AISI, 1962), the design method was revisited and a new proposal was published  in  1980  (AISI,  1980),  which  remained  on  the  specification  until  2004  when  it  was  abandoned in favor of something similar to the 1962 approach (AISI‐S211, 2007). This  paper  also  discusses  in  section  3  the  double  fastener  spacing,  or  “2a”  rule,  which  in  essence implies that given the possibility of a missed fastener, where fasteners are at  spacing  (a),  one  should  design  for  a  stud  buckling  at  a  length  twice  the  size  of  the  spacing between fasteners, i.e. 2a.    

80  


2

Design methods of cold‐formed steel wall stud by the AISI  specification 

2.1

AISI 1962‐1980 and 2004‐Present (2011)  The  1962  AISI  Specification  (AISI,  1962)  was  based  on  two  papers:  one  was 

published in 1947 by Cornell University that included three authors: Green, Winter and  Cuykendall (Green et al., 1947), and the other paper revisits the problem, published in  1960  by  Winter  (Winter,  1960)  who  had  been  a  co‐author  on  the  previous  paper.  Winter highlighted at the very beginning of his paper:    “[A]  simple  elementary  method  is  developed  that  permits  the  lower  limits  of  strength  and  rigidity  of  lateral  support  to  be  computed in order to provide “full bracing” to columns and beams.  “Full  bracing”  is  defined  as  equivalent  in  effectiveness  to  immovable lateral support” Winter (1960)   Winter  (1960)  found  that  a  small  strength  and  stiffness  were  necessary  to  guarantee “full bracing” to the stud, therefore the connection should be checked just  to  make  sure  that  the  sheathing  is  able  to  restrain  it.  Additionally  to  strength  and  stiffness  the  AISI  (1962)  specification  also  requires  that  maximum  space  between  fasteners is checked (For more information on the design methods see Schafer et al.  (2008)).  Even  though  the  AISI  (1962)  specification  and  the  AISI‐S211  (2007)  are  based  on  the  same  research,  they  have  some  differences.  The  AISI‐S211  (2007)  is  more  of  an  “analysis”  method  in  that  it  attempts  to  provide  the  capacity  regardless  of  how  the  member  fails,  while  the  AISI  (1962)  is  a  more  “prescriptive”  method  where  the  limit  state has been pre‐selected and the provisions are intended to insure that stiffness (k)  and fastener spacing (a) are selected such that this limit state does occur.  The  AISI  (1962)  insures  that  global  buckling  load  in  the  weak  axis  (Pcry)  over  a  buckling length equal to two times the fastener spacing (2a) is greater or equal to the  strong  axis  buckling  load  over  the  column  length  (L).  Pcry  over  L  and  supported  by  81   


lateral springs  at  the  fastener  location  is  also  required  to  be  greater  or  equal  to  the  squash load (Py=Afy). If both requirements for Pcry are guaranteed the global buckling  load (Pcr) is given by the buckling load in the strong axis (Pcrx) over L. It is important to  note that AISI (1962) did not check for flexural‐torsional buckling.  While  AISI  (1962)  insures  that  the  buckling  load  is  governed  by  Pcrx,  the  buckling  load in AISI‐S211 (2007) is given by lowest buckling load between weak‐axis buckling  (Pcry)  and  flexural‐torsional  buckling  (PcrFT).  However,  Pcry  must  be  checked  over  a  buckling length of 2a and PcrFT must be checked over a buckling length 2a for torsion  and  L  for  strong‐axis  buckling,  in  both  checks  –  Pcry  and  PcrFT  –  the  springs  that  represents the fasteners are disregarded (k=0).   The  fastener  demand  on  the  fastener‐sheathing  assembly  shall  also  be  checked.  While AISI (1962) adopted the equations proposed by Winter Winter (1960), the AISI‐ S211  (2007)  simplified  the  problem  and  adopted  the  well  know  2%  rule,  where  the  bracing force is given by 2% of the axial load. In fact, Schafer et al. (2008) shows that  the use of AISI (1962) equations to check fastener demand will lead values similar than  the  2%  rule.  Table  1  summarizes  the  comparison  between  AISI‐1962  AISI  (1962)  and  AISI‐2007 AISI‐S211 (2007).  Table 1 – Summary of comparison between AISI (1962) and AISI‐S211 (2007).  AISI (1962)  Pcr=Pcrx((KL)x=L)  subject to  Pcry(k=0, (KL)y=2a)Pcrx((KL)x=L)  Pcry(k@a, (KL)y=L) Afy  and  ~2%P for fasteners 

AISI‐S211 (2007).  Pcr=min (Pcry, PcrFT)  where  Pcry(k=0, (KL)y=2a)  PcrTF(k=0, (KL)x=L, (KL)t=2a)  and  2%P for fasteners 

2.2

AISI 1980‐2004  From 1980 to 2004 AISI adopted the design method for sheathed walls (AISI, 1980) 

developed by Simaan and Pekoz (1976). In Simaan and Pekoz (1976) the buckling load  is found by solving an energy problem. The total potential energy of the sheathed wall  (  ),  Eq.  (1),  consists  in  three  components:  (i)  the  strain  energy  of  the  stud  ( U stud ),  82   


which incorporates  the  contribution  of  bending,  warping  and  twist,  (ii)  the  potential  energy  of  the  concentric  axial  load  (Wload),  and  (iii)  the  energy  of  the  diaphragm  ( U diaphragm ), which a priori includes the contribution of diaphragm strain energy due to 

shear distortion  ( U diaphragmshear ),  and  strain  energy  of  diaphragm  due  to  rotational  distortion ( U diaphragmrotation ).      U stud U diaphragm Wload 

(1)

The  buckling  load  is  given  in  Simaan  and  Pekoz  (1976)  by  using  the  Rayleigh‐Ritz  method to solve Eq. (1). In the solution  U diaphragmshear  is the strain energy contribution  given  by  a  rotational  spring  on  the  plane  of  the  sheathing.  In  fact,  the  rotational  restriction provided by the connection sheathing‐fastener‐stud is little if any, but the  rotational  spring  in  discussion  is  actually  the  product  of  the  binary  created  by  two  fasteners with lateral stiffness kx.   

AISI (1980) adopted a couple of simplifications, an example is that they ignored 

the diaphragm rotational stiffness since it provided very little resistance. An important  advance  of  the  design  method  is  that  it  provides  a  way  to  verify  not  only  flexural  buckling but also flexural‐torsional buckling, which hadn’t been considered before. In  the  method  flexural  buckling  still  considered  the  buckling  length  in  the  minor  axis  equal  to  “2a”,  more  discussions  about  this  assumption  are  provided  in  the  following  sections.  The  design  method  also  proposed  a  way  of  checking  the  shear  strain  resistance of the sheathing, and it allows the engineer to design studs with sheathing  on one flange only, or with different sheathing, even though it is not explicit in the AISI  specification how to proceed with the design.  Nonetheless  the  design  method  given  in  the  AISI  specification  is  considered,  as  agreed  by  other  authors  (Trestain,  2002),  too  complex  for  ordinary  design  method.  Trestain  (2002)  even  highlighted  that  “Provided  there  is  adequate  steel  bridging,  the  approach in Section D4 (a) [the method discussed here] can produce a lower capacity  83   


than an  all  steel  approach”.  Due  to  its  complexity  and  inefficiency  the  method  was  abandoned in 2004.     

3

Discussion on the “2a” fastener spacing rule  As detailed in the previous sections, since the first specification in 1962, the “2a” 

rule has been used. There is no explanation for this rule other than one fastener may  be defective or missed and so design should account for a stud in this condition.   The  study  of  this  section  aims  to  show  the  inefficiency  of  this  arbitrary  rule.  The  study consists of analyzing a column under flexural buckling, in which the sheathing is  modeled  as  translational  spring  elements.  The  springs  are  considered  as  random  variables,  all  other  variables  are  deterministic,  see  Figure  2.  In  the  study  expected  statistics  for  the  fastener  stiffness  are  first  established,  and  then  used  to  find  the  flexural  buckling  load  (Pcr)  of  the  column.  A  Monte  Carlo  simulation  is  performed  to  determine  the  variation  in  Pcr  due  to  the  variation  of  the  spring  stiffness  and  the  probability  of  failure  of  a  fastener.  The  Pcr  values  are  used  to  find  the  resistance  of  each configuration.   

84  


Figure 2 – Problem definition.    3.1

  Statistical study of the in‐plane translational stiffness (k) 

In Vieira  (2011),  lateral  stiffness  tests  are  performed  in  which  fastener  spacing,  distance  to  the  edge  of  the  board,  sheathing  humidity  level  and  possibility  of  overdriving a fastener were varied. This section is based on the tests reported in Vieira  (2011) that used OSB boards (a total of 21 tests). In the tests, two‐lipped channels are  pulled  apart  (tension)  or  pushed  together  (compression),  but  they  are  connected  by  the  flanges  to  two  pieces  of  sheathing  through  eight  fasteners,  which  provide  a  resistance  to  the  movement,  Figure  3.  The  resistance  can  be  determined  as  stiffness  since the displacement is also recorded. 

Figure 3 – Translational stiffness test    To  perform  the  Monte  Carlo  simulation  varying  the  spring  stiffness,  it  was  necessary  to  find  the  best  probability  distribution  for  the  available  test  results.  Two  distributions  were  considered:  normal  and  lognormal.  Figure  4  shows  both  distributions compared to the test results in a Cumulative Distribution Function (CDF)  plot. The goodness of fit was compared using the Kolmogorov‐Smirnov test, while the  normal curve gives a statistically significant difference (p‐value) of 0.76, the lognormal  85   


curve gives a p‐value of 0.98. The lognormal distribution was considered appropriate  to be used in the reliability study.   1

Cumulative frequency or Fx(k)

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

Lognormal fit Normal fit 800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Spring stiffness (k) in N/mm

Figure 4 – Curve fitting study for spring stiffness (k). Mean of k is 1,278.5 N/mm  (7.2974 kip/in) and variance is 72,511 (N/mm)2 (2.3623 (kip/in)2).    3.2

Rayleigh‐Ritz approach to find the global buckling load (Pcre) of columns  supported by discrete springs (k)  Chen (1987) provide a clear explanation of the Rayleigh‐Ritz method used – in this 

case –  to  find  the  buckling  load  or  eigen‐value  of  a  column  supported  laterally  by  discrete springs. They summarize that by using the Rayleigh‐Ritz method and assuming  a  displacement  function  that  satisfies  the  geometric  boundary  condition:  “[A]  structural  system  with  an  infinite  degree  of  freedom  is  now  reduced  to  a  system  of  finite degrees of freedom. As a result of this simplification, the total potential energy  function reduces from a functional to a function, and, so, instead of using the calculus  of variations (which operates on functionals), we can now use ordinary calculus (which  operates  on  functions)  to  obtain  solutions  directly  from  the  total  potential  energy  function.” Given that we assumed a displacement equation, Eq. (2):  86   


n

n

i 1

i 1

   aii   ai sin(

(2)

ix ) L

The strain  energy,  the  potential  energy  due  to  the  axial  force  P  and  the 

potential energy due to the discrete springs can be expressed respectively by Eq. (3),  (4) and (5), the bar above the strain and potential energy represents that the energy  equations  are  using  an  approximate  deflection  curve.  The  total  potential  energy  is  equal to the sum of Eq. (3), (4) and (5).  (3)

L

1 d 2v 2 U   EI ( 2 ) dx 20 dx

P L  dv  VP     dx 2 0  dx 

(4)

2

n



1 VS   kk v k1 2

(5)

2

By the principle of stationary total potential energy, the total potential energy 

differentiated for  ai  is  equal  to  zero,  Eq.  (6),  and  so  the  global‐buckling  load  can  be  found by solving this eigen‐value problem. 

(U VP VS ) 0 ai  

(6)

The components  of  the  total  potential  energy  (Eq.  (3),  (4)  and  (5)) 

differentiated for ai can be represented in a matrix format (Eq. (7), (8) and (9)).  

  4 1 0 0 0 0    0 0 0    U EI  4  i 4 0 0   3   ai 2L  0    sym n4   

a1  ai  an

87  

       

(7)


  4 1 0 0 0 0    0 0 0    VP P 2  4 i  0 0   ai 2L   0    sym n4        VS n   kk B ai k1   

a1  ai  an

a1  ai  an

       

(8)

       

(9)

where B is:    1 xk   1 xk   1 xk   j  xk   1 xk   n xk   sin   sin    sin   sin    sin   sin    L   L   L   L   L   L          i  xk   j  xk   i  xk   n xk   sin  B  sin    sin   sin    L   L   L   L        n xk   n xk  sym sin    sin    L   L  

 (10)           

The eigen‐value problem cannot be simplified since the buckled shape developed  by  the  minimum  elastic  buckling  load  may  require  many  sine  waves,  Figure  5,  depending on the spring stiffness. If the spring stiffnesses are very small, the column  buckles in just one half‐wave length, on the other extreme, if the springs are very rigid  the  column  is  forced  to  buckle  in  several  waves,  which  coincides  to  the  number  of  springs  plus  one.  For  the  spring  stiffnesses  reported  in  Vieira  (2011),  the  half‐wave  lengths are close to two times the fastener spacing “2a”, which might be a justification  for the “2a” rule, but such stiffnesses may not always be provided to the column.   

88  


k1

k1

k1

k2

k2

k2

k3

k3

k4

k4

k3

k4

kn

kn

kn

m=1

m=number of springs + 1

m=2

Figure 5 – Buckled shape for different wavelengths (“m” is the number of half waves).    For validation a finite element (FE) model was generated in ABAQUS v6.7 (ABAQUS,  2007),  the  model  consisted  of  a  column  L=2.54m  (100in)  long,  cross‐section  area  A=211mm2  (0.327in2),  moment  of  inertia  I=47,158mm4  (0.1133in4),  Young’s  modulus  E=203GPa  (29500ksi),  yield  stress  fy=227MPa  (33ksi)  and  fastener  spacing  a=20.3cm  (8in), starting at 5.1cm (2in) from the stud end by a springs of stiffness kk=2.3kN/mm  (kk=13kip/in = 2 springs of 6.5kip/in). Comparing Pcr of the analytical solution to the FE  model a difference of only 1.3% is found, thus suggest that the analytical solution is a  good approximation.      3.3

Monte‐Carlo simulation of restricted columns  Since both flanges of a stud are connected to the sheathing, there are two ways of 

understanding the  defective  fastener:  case  (i)  both  fasteners  are  defective  and  we  would have to consider no fasteners over a length “2a”; and case (ii) a single fastener is  defective  but  the  other  flange  still  connected,  which  is  the  more  likely  defect.  Both  cases are simulated here. 

89  


The details for the models (L, E, I, and a) are the same as provided in the previous  section, but the spring stiffness is generated using the lognormal PDF curve defined in  section 2.1, also to each fastener location (case (i)) or fastener by itself (case (ii)) there  is a probability of failure (Pf) associated to it, Pf is varied from 0, 1, 2, 5, 8, and 10%.  For each probability of failure 1000 models were analyzed, Figure 6.   As depicted in Figure 6, case (ii) shows less variability and higher mean values for  the  buckling  load.  In  the  same  graph  the  buckling  load  of  models  that  consider  the  fastener spacing of “a” or “2a” (8in (20.3cm) or 16in (40.6cm)), kk equal to the mean  value found in the tests and no fastener failure (Pf=0%) is also plotted. The mean value  for  all  the  simulations  without  fastener  failure  (Pf=0%)  is  very  close  to  the  value  of  Pcr(k=mean,  a=a)  as  expected.  The  line  defined  by  Pcr(k=mean,  a=a)  also  shows  how  much the mean buckling load varies depending on the probability of fastener failure.  The second horizontal line (Pcr(k=mean, a=2a)) clearly shows how conservative it is to  consider a buckling length equal to “2a”, the mean buckling load only gets closer to the  horizontal line (Pcr(k=mean, a=2a)) in case (i) with Pf=10%.   

a) Case (i) – perfectly correlated fastener failure  90   


b) Case (ii) – independent fastener failure   Figure 6 – Global buckling Monte Carlo simulation of columns with discrete  connections  3.4

Resistance factor  To  explore  the  impact  of  “2a”  rule  on  design,  we  consider  the  means  by  which 

variability is intended to be added to the design methods. According to the Load and  Resistance Factor Design (LRFD) method the nominal resistance of a member (Rn) shall  be multiplied by a resistance factor (). Assume the nominal load (Pn) is given by Pn=Pcr  we  may  then  explore  what  resistance  factor  ()  would  be  appropriately  used  to  establish a target reliability index of 2.5.  AISI‐S100 (2007) presents in chapter F an equation to find the resistance factor (),  Eq. (11).   

  C  M mFmPm  e

(11)

 o VM2 VF2 CPVP2 VQ2

91  


In Eq. (11) the values for the variables were selected according to the instructions  in  AISI‐S100  (2007),  meaning  that:  C  (calibration  coefficient)  is  equal  to  1.52,  Mm  (mean value of material factor) is equal to 1.10, Fm (mean value of fabrication factor) is  equal  to  1.00,  Pm  (mean  value  of  professional  factor)  is  equal  to  1.00,  o  (target  reliability index) is equal to 2.5, VM (coefficient of variation of material) is equal to 0.1,  CP  (correction  factor)  is  given  by  the  result  of  CP=(1+1/n)*((n‐1)/(n‐3)),  “n”  being  the  number of simulations (n=1000), which results in our case to CP=1.003 ,VP (coefficient  of variation of test results) is given by calculating the coefficient of variation for each  probability of failure, and finally VQ (coefficient of variation of load effect) is equal to  0.21. With all these values the resistance factor () can be found using Eq. (11).  As provided in Table 2 the resistance factor () decrease – as expected – with the  increase  of  the  probability  of  defective  fastener  failure  (Pf)  in  both  cases,  but  it  decreases a lot faster in case (i) than in case (ii). Given  =0.85 in column design today  and  given  uncorrelated  fastener  failure  (case(ii)),  this  study  shows  that  about  5%  of  fasteners  may  be  defective  and  it  would  still  be  reasonable  to  ignore  the  loss  in  capacity due to defective fasteners. Therefore, this reliability study concludes that the  “2a”  rule  leads  to  conservative  strength  prediction  and  that  the  probability  of  a  defective fastener would be better captured by means of a resistance factor.    Table 2 – Resistance factor () for different probability of defective fastener perfectly  correlated (case (i)) vs. uncorrelated (case (ii)) defective fasteners. 

Resistance factor ( )

Problem conception Case (i) Case (ii)

0% 0.89 0.91

Probability of defective fastener (P f) 1% 2% 5% 8% 0.79 0.66 0.52 0.40 0.89 0.88 0.83 0.76

10% 0.34 0.70

4

Conclusions The  summary  of  design  methods  provided  herein  shows  that  in  essence  the  AISI 

specification still prescribes the method first proposed in 1962 with few modifications.  At the core of this method is the assumption that the wall studs should be checked at a  92   


buckling length equal to twice the fastener spacing. This is based on the potential for a  deficient/missing  fastener.  However,  even  when  a  fastener  is  missing  sheathed  walls  have unbraced lengths resulting from the overall stud‐fastener‐sheathing interaction,  and  not  just  between  fasteners.  An  elastic  stability  analysis  accounting  for  the  stud‐ fastener‐sheathing  interaction  is  provided  and  a  reliability  study  performed  with  this  tool  to  assess  the  buckling  length  under  different  conditions  of  deficient  and/or  missing  fasteners.  The  results  are  summarized  in  the  form  of  proposed  resistance  factors to account for quality of construction. Given advances in numerical methods as  well  as  the  availability  of  software  for  stability  analysis,  forthcoming  design  specifications can adopt more accurate and robust design methods that fully account  for  stud‐fastener‐sheathing  interaction.    A  new  design  method  proposed  in  Vieira  (2011) to do just that is currently under review by AISI.   

5

References

ABAQUS. ABAQUS/Standard Version 6.7‐1. D. Systemes, 2007.  AISI. Light Gage Cold‐Formed Steel Design Manual. New York, N.Y., American Iron and  Steel Institute, 1962.  AISI. Light Gage Cold‐Formed Steel Design Manual. New York, N.Y., American Iron and  Steel Institute, 1980.  AISI‐S100.  North  American  Specification  for  the  Design  of  Cold‐Formed  Steel  Structural Members, American Iron and Steel Institute, 2007.  AISI‐S211.  North  American  Specification  for  the  Design  of  Cold‐Formed  Steel  Structural Members, American Iron and Steel Institute, 2007.  CHEN,  Wai‐Kai.  Structural  Stability:  Theory  and  Implementation.  New  York,  Elsevier.(1987)  GREEN,  G. G.;  WINTER,  George;  CUYKENDALL, T.R.  Light  Gage  Steel  Columns  in Wall‐ braced Panels. Cornell University Engiineering Experiment Station 35: 1‐50, 1947.  SCHAFER, Benjamin William; IOURIO, Ornella; VIEIRA, Luiz Carlos Marcos Jr. Notes on  AISI  Design  Methods  for  Sheathing  Braced  Design  of  Wall  Studs  in  Compression.  A  supplemental report for AISI‐COFS Project on Sheathing Braced Design of Wall Studs.  Baltimore, The Johns Hopkins University, 2008.  93   


SIMAAN, Amir; PEKÖZ, Teoman. Diaphragm Braced Members and Design of Wall Studs.  ASCE J Struct Div 102(1): 77‐92, 1976.  TRESTAIN,  T.  W.  J.  AISI  Cold‐Formed  Steel  Framing  Design  Guide  CF02‐1.  Washigton  D.C., American Iron and Steel Institute, 2002.  VIEIRA,  Luiz  Carlos  Marcos  Jr.  Behavior  and  Design  of  Sheathed  Cold‐Formed  Steel  Stud  Walls  under  Compression.  Baltimore,  Johns  Hopkins  University.  Doctor  of  Philosophy: 239, 2011.  WINTER,  George.  Lateral  Bracing  of  Beams  and  Columns.  Journal  of  the  Structural  Division, 1960.     

94  


Volume 1. Número 2 (agosto/2012). p. 95‐110                                                                                                          

ISSN 2238‐9377 

Ajuste de um modelo para estimativa de carga  de flambagem do montante de alma de vigas  alveolares por meio de análise numérica  Washington Batista Vieira1*; Eliane Gomes da Silveira2; José Carlos Lopes  Ribeiro3; José Luiz Rangel Paes4 e Gustavo de Souza Veríssimo5*   

1

Estudante de Doutorado, DEC/UFV, email: washington.vieira@ufv.br  2  Mestre em Engenharia Civil, UFV, email: eliane.silveira@ufv.br  3  Professor Adjunto, DEC/UFV, email: jcarlos.ribeiro@ufv.br   4  Professor Adjunto, DEC/UFV, email: jlrangel@ufv.br  5  Professor Adjunto, DEC/UFV, email: gustavo@ufv.br   Universidade Federal de Viçosa, Av. P. H. Rolfs, s/n, 36570‐000, Viçosa – MG.    

Adjustment of a model to estimate the web post buckling load for  alveolar beams through numerical analysis    Resumo  Neste  trabalho  apresenta‐se  a  avaliação  de  um  modelo  analítico  para  obtenção  da  carga  de  flambagem do montante de alma (FMA) de vigas alveolares de aço, desenvolvido em meados  do  século  passado.  Desde  então,  a  resistência  dos  aços  estruturais  aumentou  e  seções  de  perfis  laminados  com  almas  mais  esbeltas  têm  sido  produzidas.  Experimentos  recentes  têm  demonstrado um comportamento diferente para os novos perfis disponíveis, justificando uma  reavaliação dos modelos analíticos existentes. Com o auxílio de um modelo numérico validado  a  partir  de  resultados  experimentais,  obteve‐se  a  carga  crítica  de  FMA  para  diversas  vigas  alveolares  obtidas  de  perfis  atuais.  Os  resultados  foram  comparados  com  os  obtidos  com  o  modelo analítico para as mesmas vigas. Enfim, propõe‐se um ajuste no modelo analítico que  proporciona resultados melhores para a verificação do estado limite último de FMA em vigas  alveolares.  Palavras‐chave:  vigas  alveolares,  modelo  numérico,  flambagem  do  montante  de  alma,  vigas  casteladas.    Abstract    This  paper  presents  the  evaluation  of  an  analytical  model  to  predict  the  web  post  buckling  (WPB) load for alveolar steel beams, developed in the middle of last century. Since then, the  resistance  of  structural  steel  has  increased  and  rolled  I‐shapes  with  slender  webs  have  been  produced. Recent experiments have shown a different behavior for the new I‐shapes available,  justifying  a  reassessment  of  existing  analytical  models.  Using  a  numerical  model,  validated  from  experimental  results,  the  critical  load  related  to  WPB  for  various  cellular  beams  fabricated from actual I‐shapes was obtained. The results were compared with those obtained  from  the  analytical  model  for  the  same  beam.  Finally,  we  propose  an  adjustment  in  the  analytical model that provides better results for the verification of ultimate limit state of WPB  in alveolar beams.    Keywords: open‐web expanded beams, numerical model, web post buckling, castellated  beams. 

* Autor correspondente

95


1

Introdução

As vigas  alveolares  de  aço  surgiram  na  Europa  na  década  de  1930,  devido  à  necessidade de vigas com altura superior à dos perfis I produzidos à época. Essas vigas  são obtidas de perfis I laminados cortados longitudinalmente em ziguezague, de forma  que as duas metades obtidas, deslocadas de certo comprimento e soldadas, formam  uma  viga  com  uma  sequência  de  aberturas  na  alma,  com  altura  superior  à  do  perfil  original, como ilustrado na Figura 1. 

Figura 1 – Esquema do procedimento utilizado na fabricação de vigas casteladas (a)  sem chapa intermediária e (b) com chapa intermediária (Grünbauer 2012).  Há  algumas  décadas,  as  vigas  alveolares  deixaram  de  ser  competitivas  e  caíram  em  desuso,  devido  ao  encarecimento  da  mão‐de‐obra  nos  países  desenvolvidos.  Recentemente,  avanços  tecnológicos  na  área  de  automação  de  corte  e  solda  de  aço  têm  possibilitado  novamente  fabricar  essas  vigas  a  custos  competitivos,  e  tem‐se  observado  o ressurgimento do interesse pelas vigas alveolares de aço, em função de  suas vantagens estruturais e arquitetônicas.  Os  avanços  tecnológicos  ocorridos  nas  últimas  décadas  têm  possibilitado  o  desenvolvimento  de  aços  mais  resistentes  e  perfis  com  chapas  mais  esbeltas.  Dependendo da esbeltez dos elementos constituintes da seção do perfil, predominam  96


determinados modos  de  colapso  que  não  são  contemplados  pelas  metodologias  de  cálculo propostas por outros autores no passado.   Embora os estudos passados tenham fornecido procedimentos para projeto e cálculo  de alguns tipos particulares de vigas alveolares obtidas a partir dos perfis produzidos à  época, pesquisas recentes demonstraram a necessidade de novos estudos.   Zaarour e Redwood (1996) realizaram experimentos com vigas casteladas fabricadas a  partir  de  uma  série  de  perfis  laminados  esbeltos  produzidos  pela  Chaparral  Steel,  conhecidos  como  vigas  BANTAM.  Esses  perfis  possuíam  chapas  com  esbeltezes  superiores  à  dos  perfis  laminados  usuais  à  época  e  as  vigas  casteladas  produzidas  a  partir  deles  manifestaram  modos  de  colapso  inusitados  nos  ensaios  de  laboratório,  relacionados à instabilidade.  Outro  fato  que  suscitou  o  interesse  por  novos  estudos  foi  o  início,  relativamente  recente,  da  produção  de  perfis  I  laminados  no  Brasil,  pela  siderúrgica  Gerdau‐ Açominas, a partir de 2002. Alguns dos novos perfis I laminados produzidos no Brasil  possuem elementos com esbeltez além da faixa coberta pelos estudos experimentais  realizados no passado, como mostrado na Figura 2.  predomina o colapso por instabilidade

predomina o colapso por plastificação

5 4

? 3 Laminados brasileiros (AÇOMINAS)

2 Vigas BANTAM

1 Perfis europeus

0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

esbeltez da alma

Figura 2 – Variação da esbeltez da alma para perfis europeus, BANTAM e brasileiros.  O  objetivo  deste  trabalho  é  avaliar  a  qualidade  da  resposta  de  um  modelo  analítico  proposto por Delesques (1968), para determinação da carga crítica de flambagem do  montante de alma em vigas alveolares, com o auxílio de análises numéricas, tendo em  97


vista os aços e perfis laminados disponíveis atualmente e, se necessário, propor algum  ajuste nesse modelo analítico. 

2

Modelo analítico proposto por Delesques (1968) 

Delesques (1968)  apresentou  um  estudo  da  estabilidade  dos  montantes  de  alma  de  vigas casteladas de aço, desenvolvendo um modelo analítico para a obtenção da força  cortante  crítica  que  promove  a  flambagem  elástica  do  montante  de  alma  (Figura  3).  Esse  modelo  analítico  tem  como  base  o  princípio  variação  da  energia  potencial.  O  autor igualou a variação energia potencial dos esforços internos de meio montante à  variação  dos  trabalhos  das  forças  externas  aplicadas  à  metade  do  montante  da  viga,  chegando à expressão do esforço cortante dada pela Eq. (1). 

V

  E tw3    tg A   0,203  72 yo  0,65 tg A 

(1)

onde: E 

módulo de elasticidade do aço 

tw

espessura da alma 

yo

distância entre o centro de gravidade do tê ao eixo da viga 

A

ângulo de inclinação das diagonais formadas no montante da viga, em relação à 

vertical (ver Figura 2)  Φ, Ψ  ver Eq. (2) e Eq. (3)  V 

esforço cortante no montante (ver Figura 4) 

Figura 3 – Diagonal comprimida e diagonal tracionada no montante de alma (adaptado  de Delesques 1968).  98


V2

V2

Figura 4 – Esforço cortante considerado na formulação para verificação da flambagem  do montante de alma. 

  hp  2 b   hp     o  2   3  1  w     2 p h   exp   yo    

  hp     h  exp  h    1  2 bw   1  p   o  2     p   2 hexp   yo       

  hp  hp     hexp   b   2 bw  yo  2 bw  yo w 2        1  2  1   1  3  1     o 1  1   yo   p p h y p h    exp   exp  o          hp  2 b   hp     o  2   3  1  w     p h 2    exp   yo  

     

 hp        h exp   h     1  2 bw   1  p   o  2   p   2 hexp   yo       

  hp   hp   hexp         b y 2b   1  2 bw   yo  1  2  3  1  w   o 1  1  w   o  1  2 p  p  hexp  yo   p  hexp  yo          onde:

     

  (2)

  (3)

φo, φ1,  ,   = funções apresentadas nas Eq. (4) a (7)  bw, p, hp, hexp são apresentados na Figura 5 

 y  y o    16     yo   yo 

3

2 4   y  25  y    3  6      7  yo     yo  

(4)

(2)

 9  y 2 25  y 4     5      8  yo    4  yo  

(5)

(2)

 

 y  y 1   16     yo   yo 

3

99

 


 y  y o    16     yo   yo 

 1 2  y 2 1  y 4            3 5  yo  7  yo  

3

  (6)

(2)

 y  y o    16     yo   yo 

3

 1 1  y 2 1  y 4            4 3  yo  8  yo  

bw

b

  (7)

(2)

bw

dg

hp

ho

p

Figura 5 – Simbologia relacionada às dimensões e espaçamento das aberturas nas vigas  alveolares.  Delesques  (1968)  mostra  que  o  valor  mínimo  do  esforço  cortante  dado  pela  Eq.  (1)  ocorre quando: 

tg  A 

 0,65 

(8)

  (2)

Substituindo a  Eq.  (8)  na  Eq.  (1),  Delesques  obteve  uma  equação  que  determina  o  esforço crítico de instabilidade do montante de alma, dado pela Eq. (9).  Vcr 

E t w3  5,9 yo

(9)

Entretanto, como se pode notar pelas Eqs. (2) e (3), a obtenção dos parâmetros Φ e Ψ  é  bastante  trabalhosa.  Segundo  Delesques  (1968),  um  valor  aproximado  para  a  raiz  quadrada  do  produto  ΦΨ  pode  ser  descrito pela Eq.  (10),  originando  uma  expressão  aproximada  para  o  cálculo  da  força  cortante  crítica  de  flambagem  do  montante  de  alma, apresentada na Eq. (11). 

100

  (2)


  2b   5 1  1  w p  

  y o  0,8hexp  h p    yo  

E t w3   2 bw Vcr  1  1  p 1,18 y o  

  

  y o  0,8hexp  h p    yo  

  

  (10)

(11)

A Eq. (11) é aplicável a qualquer padrão de viga castelada (com alvéolos hexagonais ou  octogonais) ou celular (com alvéolos circulares), uma vez que depende basicamente do  passo p e da largura do montante bw (ver Figura 5). 

3 3.1

Modelagem Modelo Numérico 

O modelo  numérico  de  elementos  finitos  foi  desenvolvido  no  software  ABAQUS   (Vieira  et  al.  2011).  Criou‐se  um  modelo  geométrico  tridimensional  formado  por  elementos  de  casca  fina  que  representam  a  superfície  média  das  chapas  de  aço  que  compõem a viga castelada. Optou‐se por dividir o modelo em regiões para facilitar a  geração de malhas estruturadas de elementos finitos, como mostrado na Figura 6. 

Figura 6 – Modelo geométrico típico utilizado para uma viga castelada,   com subdivisão em regiões.  Nas  regiões  triangulares  formadas  nas  proximidades  das  aberturas  foram  usados  elementos  de  casca  fina  triangulares.  tipo  S3  (elementos  lineares  de  casca  fina  com  três nós e seis graus de liberdade por nó). Nas regiões quadrilaterais foram utilizados 

101

(2)


elementos S4R  (elementos  de  casca  fina  lineares,  com  quatro  nós,  seis  graus  de  liberdade por nó com integração reduzida), como mostrado na Figura 7. 

Figura 7 – Malha de elementos finitos de um modelo com detalhe da região com  malha triangular.  Na Figura 8 são apresentadas algumas características dos elementos utilizados. A partir  de uma análise de sensibilidade da malha, foram adotados elementos com dimensão  aproximada de 10 mm  3 4

Ponto de Integração 3 1

1

5 4

1

3 2

1

1

2

S3

2

(a)

S4R

(b)

(c)

Figura 8 – Representação dos elementos do ABAQUS, (a) S3 e (b) S4R e dos (c) pontos  de integração ao longo da espessura dos mesmos.  Para  o  aço,  adotou‐se  um  modelo  constitutivo  não‐linear,  elastoplástico  sem  encruamento, e o critério de escoamento de Von Mises.  Para validação do modelo numérico, foram simulados os ensaios feitos com treze vigas  originárias de quatro programas experimentais distintos (Redwood e Demirdjian 1998;  Zaarour  e  Redwood  1996;  Bazile  e  Texier  1968  apud  Zaarour  1995;  Toprac  e  Cooke 

102


1959) obtendo‐se  uma  boa  concordância  entre  os  resultados  numéricos  e  os  experimentais, tanto para carga última como para o modo de colapso observado.  A  rigor,  a  simulação  numérica  é  feita  em  duas  etapas.  A  primeira  consiste  de  uma  análise  de  flambagem  elástica  –  onde  o  carregamento  é  aplicado  como  uma  perturbação  linear  do  tipo  Buckle  (Hibbitt  et  al.,  2009)  –  para  obtenção  dos  autovetores e autovalores, que representam, respectivamente, o modo de flambagem  e  a  carga  crítica  de  flambagem  (Figura  9).  A  segunda  etapa  consiste  de  uma  análise  não‐linear material e geométrica, pelo método de Riks modificado, com consideração  de imperfeições iniciais e tensões residuais no perfil (Hibbitt et al., 2009).     

Figura 9 – Modo de flambagem representado no ABAQUS para uma viga ensaiada por  Redwood e Demirdjian (1998).   

103


3.2

Características geométricas das vigas analisadas 

Para este  estudo  foram  analisadas  21  vigas  alveolares,  variando‐se  a  geometria  dos  alvéolos  e  o  vão  livre  entre  apoios.  Variou‐se  também  o  tipo  de  carregamento  para  cada geometria, totalizando 42 análises realizadas.   Na Tabela 1 são apresentadas as características geométricas das vigas analisadas e na  Figura 10 são mostrados esquemas representativos da geometria das mesmas.          Tabela 1 – Características geométricas das vigas analisadas.  dg 

p  

bw

hp

(mm)

(mm)

(mm)

(mm)

Anglo‐Saxão

525,5

376,9

87,3

AS‐4.5

Anglo‐Saxão

525,5

376,9

87,3

AS‐6.0

Anglo‐Saxão

525,5

376,9

ASC‐3.0

Anglo‐Saxão

625,5

ASC‐4.5

Anglo‐Saxão

ASC‐6.0

Viga

Padrão

AS‐3.0

n

Vão

xca

(mm)

(mm)

7

3000

369,2

11

4500

365,4

87,3

15

6000

361,6

376,9

87,3

100

7

3000

369,2

625,5

376,9

87,3

100

11

4500

365,4

Anglo‐Saxão

625,5

376,9

87,3

100

15

6000

361,6

PN‐3.0

Peiner

525,5

523,5

174,5

5

3000

453,0

PN‐4.5

Peiner

525,5

523,5

174,5

8

4500

417,8

PN‐6.0

Peiner

525,5

523,5

174,5

11

6000

382,5

PNC‐3.0

Peiner

625,5

523,5

174,5

100

5

3000

453,0

PNC‐4.5

Peiner

625,5

523,5

174,5

100

8

4500

417,8

PNC‐6.0

Peiner

625,5

523,5

174,5

100

11

6000

382,5

LT‐3.0

Litzka

525,5

604,5

201,5

4

3000

593,3

LT‐4.5

Litzka

525,5

604,5

201,5

7

4500

436,5

LT‐6.0

Litzka

525,5

604,5

201,5

9

6000

582,1

LTC‐3.0

Litzka

625,5

604,5

201,5

100

4

3000

593,3

LTC‐4.5

Litzka

625,5

604,5

201,5

100

7

4500

436,5

LTC‐6.0

Litzka

625,5

604,5

201,5

100

9

6000

582,1

CEL‐3.0

Celular

525,5

523,5

174,5

5

3000

453,0

CEL‐4.5

Celular

525,5

523,5

174,5

8

4500

417,8

CEL‐6.0

Celular

525,5

523,5

174,5

11

6000

382,5

dg – altura total da viga alveolar  p – distância entre os centros de alvéolos adjacentes  bw – distância entre bordas de alvéolos adjacentes = comprimento da solda  hp – altura da chapa expansora 

104


n – número de alvéolos  xca – coordenada do centro do primeiro alvéolo = seção onde é obtido o valor do esforço cortante   

AS-3.0

AS-4.5

AS-6.0

ASC-3.0

ASC-4.5

ASC-6.0

PN-3.0

PN-4.5

PN-6.0

PNC-3.0

PNC-4.5

PNC-6.0

LT-3.0

LT-4.5

LT-6.0

LTC-3.0

LTC-4.5

LTC-6.0

CEL-3.0

CEL-4.5

CEL-6.0

Figura 10 – Esquemas da geometria das vigas alveolares analisadas.   

4

Resultados

Para verificar os resultados do modelo analítico de Delesques (1968), foram realizadas  simulações  numéricas  em  um  conjunto  de  vigas  alveolares  para  obtenção  da  força  cortante crítica que provoca a flambagem elástica do montante de alma, utilizando‐se  uma  análise  linear  do  tipo  Buckle.  Os  resultados  das  análises  numéricas  foram  comparados  com  aqueles  obtidos  pelo  modelo  analítico  desenvolvido  por  Delesques  (1968), apresentado na Eq. (11).  Para  as  vigas  apresentadas  na  Tabela  1,  obtiveram‐se  os  valores  da  força  cortante  crítica  de  flambagem  elástica  do  montante  de  alma  para  duas  situações  de  carregamento:  ‐ carregamento uniformemente distribuído ao longo do vão;  ‐ carga concentrada no centro do vão.  As mesmas vigas foram analisadas com o modelo numérico, para as mesmas condições  de  contorno,  para  que  os  resultados  obtidos  com  o  modelo  analítico  de  Delesques  (1968) pudessem ser verificados. 

105


Na Tabela  2  são  apresentados  os  resultados  do  modelo  analítico,  bem  como  os  do  modelo  numérico,  para  as  vigas  submetidas  a  carregamento  uniformemente  distribuído e carregamento concentrado no centro do vão.  Tabela 2 – Força cortante crítica de flambagem elástica do montante de alma. 

Viga AS‐3.0  AS‐4.5  AS‐6.0  ASC‐3.0  ASC‐4.5  ASC‐6.0  PN‐3.0  PN‐4.5  PN‐6.0  PNC‐3.0  PNC‐4.5  PNC‐6.0  LT‐3.0  LT‐4.5  LT‐6.0  LTC‐3.0  LTC‐4.5  LTC‐6.0  CEL‐3.0  CEL‐4.5  CEL‐6.0 

Vcr.eq   (kN) 

166,41 166,41  166,41  123,53  123,53  123,54  154,59  154,58  154,59  119,27  119,25  119,25  154,59  154,58  154,59  119,27  119,25  119,25  154,59  154,58  154,59 

Vigas com carga distribuída ao longo  do vão 

Vigas com carga concentrada no  centro do vão 

Vcr.num

Vcr.eq / Vcr.num 

Vcr.num

(kN)

(kN)

(kN)

Vcr.eq / Vcr.num  (kN) 

1,18 1,22  1,17  1,33  1,33  1,25  1,34  1,20  1,15  1,37  1,28  1,22  1,53  1,23  1,19  1,54  1,18  1,26  1,67  1,39  1,29  1,30 

148,23 139,35  135,51  103,13  94,61  92,02  147,12  137,61  134,44  108,06  99,55  97,30  143,91  139,40  135,06  105,99  101,00  98,29  133,28  123,62  120,14   

1,12 1,19  1,23  1,20  1,31  1,34  1,05  1,12  1,15  1,10  1,20  1,23  1,07  1,11  1,14  1,13  1,18  1,21  1,16  1,25  1,29  1,18 

169,25 151,74  152,96  111,57  103,07  106,40  153,45  150,38  149,49  115,96  108,67  108,65  151,14  150,37  148,67  115,98  121,53  108,04  142,60  135,92  135,02  MÉDIA 

Vcr.eq – força cortante crítica de flambagem do montante de alma, obtido pelo modelo analítico de Delesques  (1968), apresentado na Eq. (11).  Vcr.num – força cortante crítica de flambagem do montante de alma, obtido na etapa Buckle do modelo numérico   

Na  Figura  11  são  apresentados  os  resultados  para  o  caso  das  vigas  submetidas  a  carregamento  uniformemente  distribuído  ao  longo  do  vão.  Nota‐se  que,  na  maioria  dos  casos,  a  equação  de  Delesques  (1968)  apresenta  resultados  maiores  que  os  obtidos com o modelo numérico. 

106


180

Esforço cortante crítico (kN)

160 140 120 100 80 60 MEF

Delesques

40 20

CEL-6.0

CEL-4.5

CEL-3.0

LTC-6.0

LTC-4.5

LTC-3.0

LT-6.0

LT-4.5

LT-3.0

PNC-6.0

PNC-4.5

PN-6.0

PNC-3.0

PN-4.5

PN-3.0

ASC-6.0

ASC-4.5

ASC-3.0

AS-6.0

AS-4.5

AS-3.0

0

Vigas

Figura 11 – Força cortante crítica que promove a flambagem do montante de alma em  vigas alveolares submetidas a carregamento uniformemente distribuído ao longo do  vão.  Na  Figura  12  são  apresentados  os  resultados  das  vigas  submetidas  a  uma  carga  concentrada  no  centro  do  vão.  Observa‐se  que  para  todos  os  casos  a  equação  de  Delesques (1968) superestima os valores obtidos de carga de flambagem em relação  ao modelo numérico. 

180

Esforço cortante crítico (kN)

160 140 120 100 80 MEF

Delesques

60 40 20

CEL-6.0

CEL-4.5

CEL-3.0

LTC-6.0

LTC-4.5

LTC-3.0

LT-6.0

LT-4.5

LT-3.0

PNC-6.0

PNC-4.5

PNC-3.0

PN-6.0

PN-4.5

PN-3.0

ASC-6.0

ASC-4.5

ASC-3.0

AS-6.0

AS-4.5

AS-3.0

0

Vigas

Figura 12. Força cortante crítica que promove a flambagem do montante de alma em  vigas alveolares submetidas a carregamento concentrado no centro do vão. 

107


5

Discussão

Nas equações  desenvolvidas  por  Delesques  (1968),  considerou‐se  uma  condição  específica  de  um  montante  de  alma  isolado,  sujeito  a  esforços  de  cisalhamento  que  causam  a  flambagem  do  montante.  Numa  viga  real,  existem  vários  outros  efeitos  combinados de momentos secundários atuando, o que provoca no modelo numérico  um  rebaixamento  do  valor  da  carga  crítica  de  flambagem.  Esse  efeito  é  notado  claramente na Figura 11, com a variação da carga crítica de flambagem em função do  comprimento do vão.  Observando  os  resultados  apresentados  anteriormente,  nota‐se  que,  em  média,  os  resultados  numéricos  são  cerca  de  80%  superiores  aos  valores  obtidos  pela  equação  simplificada  de  Delesques  (1968).  Assim,  inserindo‐se  um  fator  multiplicador  igual  a  0,80 na Equação (11), obtém‐se a Equação (12).  Vcr 

  2 bw   y o  0,8hexp  h p  1  1  p   yo  

E t w3 1,475 y o

  

  (12)

Na Figura  13  e  na  Figura  14  são  apresentados  os  resultados  comparativos  entre  o  modelo numérico e a Equação (12). 

160

Esforço cortante crítico (kN)

140 120 100 80 60

MEF

Delesques

40 20

CEL-6.0

CEL-4.5

CEL-3.0

LTC-6.0

LTC-4.5

LTC-3.0

LT-6.0

LT-4.5

LT-3.0

PNC-6.0

PNC-4.5

PNC-3.0

PN-6.0

PN-4.5

PN-3.0

ASC-6.0

ASC-4.5

ASC-3.0

AS-6.0

AS-4.5

AS-3.0

0

Vigas

Figura 13 – Força cortante crítica que promove a flambagem do montante de alma em  vigas alveolares submetidas a carregamento distribuído ao longo do vão – comparação  entre os valores numéricos e a Eq. (12). 

108

(2)


160

Esforço cortante crítico (kN)

140 120 100 80 MEF

Delesques

60 40 20

CEL-6.0

CEL-4.5

CEL-3.0

LTC-6.0

LTC-4.5

LTC-3.0

LT-6.0

LT-4.5

LT-3.0

PNC-6.0

PNC-4.5

PNC-3.0

PN-6.0

PN-4.5

PN-3.0

ASC-6.0

ASC-4.5

ASC-3.0

AS-6.0

AS-4.5

AS-3.0

0

Vigas

Figura 14 – Força cortante crítica que promove a flambagem do montante de alma em  vigas alveolares submetidas a carregamento concentrado no centro do vão –  comparação entre os valores numéricos e a Eq. (12). 

6

Conclusões

Delesques (1968) propôs dois modelos analíticos para a determinação da carga crítica  de  flambagem  elástica  do  montante  de  alma  para  vigas  casteladas,  um  rigoroso,  bastante complexo, e outro simplificado, que produz resultados ligeiramente inferiores  aos do modelo complexo.  Neste  trabalho,  42  vigas  alveolares  foram  analisadas  com  o  auxílio  de  um  modelo  numérico  de  elementos  finitos,  validado  a  partir  de  resultados  experimentais,  com  o  objetivo  de  verificar  a  concordância  dos  resultados  obtidos  com  o  modelo  analítico  simplificado proposto por Delesques (1968).  Analisando‐se  os  resultados,  observa‐se  que  os  valores  de  força  cortante  crítica  obtidos  com  o  modelo  analítico  de  Delesques  (1968)  são  superiores  aos  do  modelo  numérico.  Acredita‐se  que  isso  se  deva  principalmente  às  diferenças  de  comportamento  de  um  montante  de  alma  isolado  em  relação  a  uma  viga  real,  onde  existem  momentos  secundários  que  influenciam  na  ocorrência  da  flambagem  do  montante.  Para  aproximar  os  resultados  obtidos  pela  equação  aos  do  modelo  numérico,  foi  proposto um ajuste no qual um coeficiente 0,80 é introduzido na equação simplificada 

109


de Delesques, fazendo com que os resultados analíticos apresentem melhor correlação  com os dos experimentos numéricos.  A equação modificada proposta pode ser utilizada para estimar a carga de flambagem  elástica  do  montante  de  alma  tanto  para  vigas  casteladas,  padrões  Litzka,  Peiner  ou  Anglo‐Saxão, como para vigas celulares (com alvéolos circulares). 

7

Agradecimentos

Os autores agradecem à FAPEMIG, à FUNARBE e ao Departamento de Engenharia Civil  da Universidade Federal de Viçosa pelo apoio para a realização deste trabalho. 

8

Referências bibliográficas 

DELESQUES, R. Stabilité des montants  de poutres ajourées. Construction Métallique, n. 3,  p.  26‐33. 1968.    GRÜNBAUER BV. Web Page: http://www.grunbauer.nl/eng/waarom.htm. Acessado em 11 de  junho de 2012.    HIBBITT,  KARLSSON  e  SORENSEN.    “ABAQUS  Theory  Manual”,  Hibbitt,  Karlsson  &  Sorensen,  Inc, EUA; 2009.    REDWOOD, Richard G.; DEMIRDJIAN, Sevak. Castellated beam web buckling in shear, Journal  of Structural Engineering, v.124, p.1202‐1207. 1998    TOPRAC,  A.  A.;  COOKE,  B.  R.  An  experimental  investigation  of  open‐web  beams,  Welding  Research Council Bulletin Series. 1959    VIEIRA, Washington Batista, VERÍSSIMO, Gustavo de Souza, SILVEIRA, Eliane Gomes, PAES, José  Luiz Rangel; RIBEIRO, José Carlos Lopes Development and validation of a numerical model for  behavior assessment of castellated beams susceptible to collapse by web post buckling. XXXII  Iberian  Latin‐American  Congress  on  Computational  Methods  in  Engineering,  Ouro  Preto,  2011.    ZAAROUR, Walid Jacques. Web buckling in thin webbed castellated beams. PhD Thesis. McGill  University, Canadá. 1995    ZAAROUR,  Walid  Jacques,  Redwood,  Richard  G.  Web  buckling  in  thin‐webbed  castellated  beams; Journal of Structural Engineering, Vol.122, No.8, paper 11030. 1996 

110


Volume 1. Número 2 (agosto/2012). p. 111‐132        ISSN 2238‐9377     

Ligação Mista Viga‐Pilar Resistente a Momento  Juliano L. Conceição1, Gilson Queiroz2*, Roberval J. Pimenta1* e Gabriel O.  Ribeiro2*   

1

CODEME, Codeme Engenharia S/A, Gerência de Engenharia, Distrito Industrial  Paulo Camilo, BR‐381 km 421, 32530‐000, Betim, MG, Brasil,  http://www.codeme.com.br (juliano.lanza@codeme.com.br)  2  DEES, Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia,  Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), Campus Pampulha, 31270‐901,  Belo Horizonte, MG, Brasil, http://www.pos.dees.ufmg.br  (gilson@dees.ufmg.br) 

Beam‐to‐Column Moment‐Resisting Composite Connection    Resumo  Apesar  do  aumento  do  emprego  de  estruturas  mistas  de  aço  e  concreto  no  Brasil,  poucas  referências são encontradas sobre o comportamento das ligações mistas viga‐pilar resistentes  a  momento.  As  normas  de  dimensionamento  tanto  Brasileiras  quanto  internacionais  não  prevêem  procedimentos  específicos  para  projeto  e  cálculo  dessas  ligações.  Frente  a  esse  cenário,  é  proposto  neste  trabalho  o  estudo  preliminar  de  uma  ligação  mista  viga‐pilar  com  chapa  de  extremidade  parafusada  na  mesa  do  pilar  metálico.  Foram  feitas  simulações  numéricas  utilizando‐se  o  MEF/ANSYS  considerando‐se  as  não  linearidades  físicas  dos  materiais,  permitindo  identificar  os  principais  mecanismos  de  falha  e  quantificar  o  momento  fletor  resistente  da  ligação.  Foram  realizadas  análises  paramétricas  para  avaliar  a  influência  das principais variáveis geométricas e físicas na resistência da ligação possibilitando propor um  modelo mecânico preliminar.  Palavras‐chave: Ligação Mista de Aço e Concreto, MEF    Abstract    The  use  of  steel  and  concrete  composite  structures  in  Brazil  has  been  increased.  However,  there  are  only  a  few  references  about  the  behavior  of  beam‐to‐column  composite  moment  connections.  The  Brazilian  and  international  standards  for  steel  and  concrete  do  not  provide  specific  design  and  calculation  procedures  for  moment‐resisting  composite  connections.  Therefore, this work proposes to perform the preliminary study of a beam‐to‐column moment‐ resisting  composite  connection  with  end  plate  bolted  at  the  steel  column  flange.  Numerical  simulations were performed by the FEM/ANSYS. The physical nonlinearities of materials were  considered, allowing to identify the major failure mechanisms and to quantify the connection  flexural strength. Parametric analyses were performed to evaluate the influence of geometric  and  physic  variables  on  the  connection  strength  and  a  preliminary  mechanical  model  was  proposed.    Keywords: Beam‐to‐Column Composite Connection, FEM.   

* Autor correspondente

111


1

Introdução

Ligações são  potencialmente  as  partes  mais  críticas  e  possivelmente  as  menos  entendidas  dos  pórticos  estruturais.  O  papel  principal  das  ligações  é  transferir  as  solicitações  entre  os  elementos  estruturais  mantendo  a  integridade  da  estrutura  sob  os carregamentos aplicados. Diferentes tipos de elementos estruturais se interceptam  nas  ligações  e  a  combinação  de  seus  esforços  solicitantes  gera  um  comportamento  muitas vezes complexo.   Este trabalho visa avaliar uma ligação de pórtico misto de aço e concreto por meio de  simulação numérica considerando as não linearidades físicas dos materiais envolvidos.  Trata‐se de uma ligação de viga metálica com um pilar misto constituído por um perfil  de aço totalmente revestido com concreto, capaz de resistir aos momentos fletores e  esforços  cortantes  provenientes  das  ações  verticais  e  horizontais  na  estrutura  de  estabilização. A Fig. 1 ilustra a ligação estudada.   Armadura transversal do pilar Armadura longitudinal do pilar  Chapa de extremidade parafusada 

Estribo externo Estribo interno Barra oblíqua

Viga metálica

Perfil de aço  Concreto 

Figura 1: Esquema da ligação mista viga‐pilar estudada neste trabalho  Almeja‐se  identificar,  via  análise  numérica,  os  principais  mecanismos  de  falha  da  ligação  e  também  o  momento  resistente  desse  tipo  de  ligação  para  algumas  configurações  geométricas  pré‐definidas.  A  partir  do  estudo  do  comportamento  da  ligação  proposta,  almeja‐se  propor  um  modelo  mecânico  preliminar,  o  qual  será 

112


aprimorado futuramente  após  comprovações  experimentais  que  serão  realizadas  no  Departamento de Engenharia de Estruturas da UFMG.  A  ligação  mista  resistente  a  momento  do  tipo  viga‐pilar  proposta  neste  estudo  não  exige  a  continuidade  das  vigas  de  pórtico,  não  sendo  necessária,  portanto,  a  interrupção  do  perfil  de  aço  interno  ao  pilar  de  concreto.  A  ligação  proposta  prevê  fixação das vigas no perfil de aço por meio de chapa de extremidade parafusada, além  da passagem das barras de armadura da viga mista através do pilar. Essa configuração  demonstra  ser  mais  simples  do  ponto  de  vista  construtivo,  uma  vez  que  não  é  necessária  solda  de  campo  para  emendar  os  perfis  de  aço,  como  também  se  mostra  vantajosa  na  fase  de  montagem  dos  pilares  devido  à  utilização  de  peças  de  maior  comprimento  além  da  facilidade  de  montagem  inerente  a  uma  ligação  parafusada  quando comparada a uma ligação soldada. 

2 2.1

Metodologia Comportamento da Ligação Mista Proposta 

A ação do momento fletor atuante na viga faz surgir dois modos de falha potenciais no  concreto: um devido à ação da tração na mesa da viga, que por sua vez provoca um  efeito de arrancamento da chapa de extremidade de dentro do pilar (corte A, Fig. 2); e  outro, devido à compressão na mesa oposta da viga, que empurra a mesa do perfil de  aço, mobilizando o maciço de concreto no interior do pilar (corte B, Fig. 2).  As porções de concreto hachuradas na Fig. 2 indicam a predominância de tensões de  compressão, e as delimitações das hachuras apontam para as prováveis superfícies de  separação,  onde  surgirão  as  principais  fissuras  no  concreto  que  se  propagarão  até  a  perda completa de resistência do material.  O ACI 318‐08 (2008) apresenta formulações com base em ensaios de arrancamento de  conectores  de  cisalhamento  em  concreto  armado,  onde  são  mostrados  ângulos  dos  "cones" de falha de aproximadamente 1:1,5. Portanto, por analogia, espera‐se que no  entorno  da  mesa  tracionada  da  viga  (corte  A,  Fig.  2)  seja  formado  um  cone  com  aproximadamente  essa  inclinação,  e  o  equilíbrio  dos  esforços  horizontais  seria  garantido  pelas  barras  de  armadura  que  atravessam  a  superfície  do  cone,  chamadas  aqui de armaduras transversais efetivas.  113


1.5

Cones de  ruptura 1

1.5

Corte A  Momento  Fletor

A B

1

1.5

1

Tração e compressão  nas mesas da viga  Corte B 

Figura 2: Hipóteses de falhas potenciais para o concreto do pilar misto na região da  ligação  2.2

Modelo de Elementos Finitos 

O modelo numérico de elementos finitos elaborado para simular a ligação mista viga‐ pilar é mostrado na Fig. 3. Adotou‐se uma modelagem 3D com elementos sólidos. Foi  utilizado como ferramenta o programa computacional ANSYS (versão 12.1).  Tanto os carregamentos quanto a geometria da ligação analisada possuem simetria em  relação  ao  plano  vertical  que  passa  pelo  plano  médio  da  alma  da  viga.  O  pilar  de  concreto  foi  modelado  com  uma  altura  suficiente  para  que  os  efeitos  localizados  decorrentes das condições de contorno nas seções extremas do pilar não afetassem a  resposta na região de interesse da ligação. Nas seções extremas do pilar foram criadas  chapas grossas, cujo objetivo é garantir que as seções das extremidades permaneçam  planas.  As  chapas  de  confinamento  do  concreto  (ver  Figs.  3  e  4)  promovem  o  aumento  da  resistência uniaxial à compressão do concreto na região nodal em função da geração  de  estados  multiaxiais  de  compressão.  Elas  foram  modeladas  como  nervuras  transversais na viga. 

114


Pilar de concreto Chapa de  confinamento  do concreto

Pilar de aço incorporado 

Chapa grossa  (fictícia) 

Viga metálica

Chapa grossa  (fictícia) 

Figura 3: Modelo global de elementos finitos da ligação mista viga‐pilar  As  armaduras  longitudinais  e  transversais  do  pilar  foram  modeladas  mediante  uma  taxa  de  armadura  dispersa  nos  elementos  SOLID65  nas  proporções  e  direções  apropriadas (ver Fig. 4). As barras oblíquas, em virtude da forma como foi construída a  malha  3D,  foram  modeladas  com  elementos  de  treliça  do  tipo  LINK8  interligando  os  nós da malha de concreto, conforme mostradas em vermelho na Fig. 4.  Todas  as  superfícies  de  contato  existentes  entre  o  aço  e  o  aço,  ou  entre  o  aço  e  o  concreto,  foram  modeladas  com  elementos  de  contato  do  tipo  CONTA173  e  TARGE170.  Os parafusos que constituem a ligação da chapa de extremidade com a mesa do pilar  metálico  foram  modelados  com  elementos  de  barra  bi‐rotulados  do  tipo  LINK8.  Os  furos  nas  chapas  não  foram  considerados  no  modelo.  Para  transferir  os  esforços  de  cisalhamento da chapa de extremidade para a mesa do pilar metálico foram adotados  acoplamentos  nodais  rígidos,  com  isso  as  tensões  de  cisalhamento  atuantes  nos  parafusos  oriundas  da  força  cortante  tiveram  de  ser  desprezadas  nas  análises  numéricas. Foi considerada uma protensão inicial dos parafusos equivalente a 70% da  tensão  de  ruptura  do  parafuso,  aplicada  por  meio  de  uma  deformação  inicial  processada  em  um  passo  de  carga  anterior  à  aplicação  dos  demais  carregamentos  presentes na ligação. 

115


Chapas de aço modeladas com  elementos sólidos SOLID185 

Armaduras dispersas nos  elementos SOLID65 

Armaduras inclinadas discretizadas  com elementos de treliça LINK8 

Elementos com armaduras  dispersas nas três direções

Figura 4: Detalhe da modelagem das armaduras, dos perfis e das chapas de aço  Para facilitar a convergência numérica os carregamentos foram impostos em forma de  deslocamento prescrito.   2.3

Relações Constitutivas e Propriedades Geométricas Adotadas 

Foram consideradas  as  não  linearidades  físicas  de  todos  os  materiais  presentes  no  modelo numérico, com exceção da viga de aço, cuja falha não é o foco deste estudo.  As curvas das relações constitutivas adotadas estão esquematizadas na Fig. 5.  O  comportamento  do  concreto  é  representado  por  meio  do  modelo  Concrete  disponível  no  ANSYS,  que  tem  como  referência  o  modelo  proposto  por  WILLAM  e  WARNKE  (1975)  e  permite  simular  a  fissuração  do  concreto,  quando  submetido  a  tensões de tração, e o esmagamento, quando submetido a tensões de compressão.  Para  melhorar  a  resposta  do  comportamento  do  concreto  à  compressão  foram  realizados  testes  mesclando‐se  diferentes  superfícies  de  falha  com  o  critério  de  Willam‐Warnke.  Os  melhores  resultados  foram  obtidos  adotando‐se  o  critério  de  escoamento de von Mises. 

116


(a)

(d)

(b)

(e) (c)

Figura 5: Relações constitutivas adotadas para: a) aço do pilar de aço e chapas; b) aço  dos parafusos; c) aço das armaduras; d) concreto à compressão; e) concreto à tração  Apesar  de  o  critério  de  von  Mises  ser  normalmente  utilizado  para  materiais  dúcteis,  em CHEN e HAN (2001) cita‐se que critérios como von Mises e Tresca são geralmente  utilizados em análises preliminares com elementos finitos para o concreto sob tensões  de  compressão.  Esse  artifício  tem  sido  utilizado  também  em  outros  trabalhos  como,  por  exemplo,  LEONEL  et  al  (2003),  QUEIROZ  et  al  (2005),  KOTINDA  (2006),  e  CONCEIÇÃO  (2011).  Portanto,  adotou‐se  para  representar  a  compressão  do  concreto  um  modelo  multilinear  com  encruamento  isótropico,  critério  de  escoamento  de  von  Mises, e curva tensão‐deformação dada pela EN 1994‐1‐1 (2004), reproduzida na Fig.  5(d).  Para  tanto,  a  capacidade  de  esmagamento  do  concreto  no  modelo  Concrete  é  117


desabilitada através  da  atribuição  do  valor  ‐1  ao  parâmetro    (resistência  uniaxial  à  compressão do concreto).  As propriedades geométricas e físicas adotadas nas simulações são apresentadas nas  Tabelas 1 e 2, respectivamente.  Tabela 1: Características geométricas do modelo M0 analisado numericamente  Descrição dos Parâmetros  Largura do pilar de concreto ( ) e Altura do pilar de concreto ( )  Comprimento do pilar no modelo ( )   Comprimento da viga no modelo ( )   Largura da chapa de extremidade ( )  Comprimento da chapa de extremidade ( )  Espessura da chapa de extremidade ( )  Largura da mesa da viga ( )  Altura da viga ( )  Espessura das mesas da viga ( ) [seção duplamente simétrica] Espessura da alma da viga ( )  Largura da mesa do pilar de aço incorporado ao pilar misto ( ) Altura da seção transversal do pilar de aço ( )  Espessura das mesas do pilar de aço ( ) Espessura da alma do pilar de aço ( )  Espessura da chapa de confinamento do concreto ( )  Número total de armaduras longitudinais do pilar misto ( )  Diâmetro da armadura longitudinal do pilar misto ( )  Diâmetro das armaduras transversais da ligação mista ( )  Diâmetro dos estribos do pilar misto ( )  Espaçamento entre as camadas de armaduras transversais da ligação ( )  Espaçamento entre as camadas de estribos do pilar de concreto ( )  Cobrimento das armaduras longitudinais do pilar ( )  Cobrimento das armaduras transversais do pilar ( )  Número de linhas de parafusos na ligação com chapa de extremidade ( )  Diâmetro dos parafusos ( )  Gabarito da ligação ( )  Distância da mesa da viga à 1ª linha de furação acima da mesa ( )  Distância vertical entre o furo e a borda da chapa de extremidade ( )  Distância entre as linhas de furação acima e abaixo da mesa da viga  ( )  Distância entre a 1ª linha e a 2ª linha de furação interna à viga ( )   Relação entre a área efetiva à tração e a área nominal do parafuso ( , )        118

Valor 600 mm  2,4 m  1,2 m  256 mm  760 mm  19 mm  150 mm  600 mm  16 mm  8 mm  256 mm  246 mm  10,7 mm  10,5 mm  12,5 mm  12  16,0 mm  12,5 mm  5,0 mm  7,5 cm  20 cm  50 mm   35 mm  6  ¾ in (19 mm)  79 mm  40 mm  40 mm  103,3 mm  94,7 mm  75 %


Tabela 2: Características físicas do modelo M0 analisado numericamente  Descrição dos Parâmetros  Coeficiente de atrito estático aço‐aço e aço‐concreto (   Módulo de elasticidade do aço dos perfis e das chapas ( )  Módulo de elasticidade do aço das armaduras ( )  Módulo de elasticidade inicial do concreto ( )  Coeficiente de Poisson dos aços ( )  Coeficiente de Poisson do concreto ( )  Tensão de escoamento dos aços do pilar e da chapa de extremidade ( )  Tensão de ruptura do aço do pilar de aço e da chapa de extremidade ( )  Tensão de escoamento do aço das armaduras ( ) Tensão de ruptura do aço das armaduras ( )  Tensão de escoamento do aço dos parafusos ( ) Tensão de ruptura do aço dos parafusos ( )  Resistência uniaxial à tração do concreto ( )  Resistência uniaxial à compressão do concreto ( )  Deformação de início do encruamento do aço do perfil e da chapa ( )  Deformação máxima do aço do perfil e da chapa de extremidade ( )  Deformação do concreto associada à   ( )  Deformação de ruína do concreto  )  Deformação associada à tensão de ruptura do aço das armaduras  ε )  Deformação máxima do aço das armaduras  ) Deformação associada ao fim do encruamento do aço dos parafusos  )  Deformação de início de queda da resistência do aço dos parafusos  )  Deformação final do aço dos parafusos  )

Valor 0,35 200 GPa 210 GPa 35418 MPa 0,3 0,2 350 MPa 480 MPa 500 MPa 550 MPa 635 MPa 825 MPa 3,5 MPa 40 MPa 1 % 18 % 2,2 ‰ 3,5 ‰ 5 % 8 % 4 % 8 % 12 %

3 3.1

Resultados Apresentação e Análise dos Resultados 

Neste item são apresentados os resultados da análise numérica do modelo global M0,  isento  de  força  normal  do  pilar.  A  Fig.  6  apresenta  os  deslocamentos  globais  do  modelo,  cuja  deformada  indicou  um  comportamento  do  modelo  numérico  conforme  idealizado.  A tensão axial nas armaduras transversais e longitudinais da ligação é apresentada na  Fig.  7.  Nota‐se  que  as  armaduras  são  mobilizadas  até  atingirem  a  tensão  de  escoamento do aço, tanto nas armaduras transversais horizontais e oblíquas, quanto 

119


nas armaduras longitudinais do pilar misto, mostrando com isso a importância dessas  barras de armaduras na resistência a momento da ligação estudada. 

Figura 6: Deslocamento global [mm]: a) pilar de concreto; b) armaduras do pilar; c)  perfis de aço, chapa de extremidade e armaduras oblíquas   Para  estudar  o  comportamento  da  ligação  parafusada,  foram  traçadas  curvas  Força  versus  Rotação  da  Ligação  para  todas  as  linhas  de  parafusos,  mostradas  na  Fig.  8.  Nessas curvas foram comparadas a força de tração atuante nos parafusos e a força de  compressão atuante entre a chapa de extremidade e a mesa do pilar metálico. A força  de compressão foi tomada como a soma das forças no contato entre a chapa e o perfil,  obtidas em uma região de influência de cada parafuso. Em cada linha de parafusos, a  diferença  entre  a  força  de  tração  nos  parafusos  e  a  força  de  compressão  no  contato  das  chapas  corresponde  à  força  externa  equilibrada  pela  linha.  Quando  a  força  de  compressão  supera  a  força  de  tração  em  uma  dada  linha  de  parafusos  significa  que  existe uma força de compressão externa sendo equilibrada por essa linha. 

120


(a) Armaduras transversais  paralelas e transversais à viga

(b) Armaduras transversais  oblíquas 

  Figura 7: Tensão axial nas armaduras da ligação [MPa]  Para  o  início  do  processamento  (rotação  nula  da  ligação),  as  forças  de  tração  e  de  compressão  são  iguais  em  módulo,  e  suas  magnitudes  correspondem  a  aproximadamente 70% da soma das resistências à ruptura dos parafusos (

). A força 

correspondente a ruptura de cada parafuso é igual a 175,4kN e, portanto, a força de  protensão considerando dois parafusos por linha equivale a 245,6kN, valor esse muito  próximo do obtido numericamente (Fig. 8). Nessa etapa de protensão a força externa  equilibrada  pelas  linhas  de  parafusos  é  nula.  À  medida  que  o  momento  fletor  introduzido  na  ligação  parafusada  aumenta,  a  tração  nos  parafusos  das  linhas  superiores  aumenta  (linhas  1,  2  e  3)  e  a  compressão  entre  as  chapas  diminui.  Nas  linhas 1 e 3 ocorreu o efeito prying, ocasionado por pontos de contato entre as chapas  da  ligação.  A  força  de  compressão  nesses  contatos  provoca  o  aumento  da  força  de  tração nos parafusos sem aumentar a parcela de força externa absorvida na linha de  parafusos.  

121


1ª Linha de Parafusos 400

Força [kN]

300 200 100 0 -100

0

2

4

6

8

10

12

14

12

14

12

14

12

14

-200 -300

Rotação da Ligação [mrad]

2ª Linha de Parafusos 400

Força [kN]

300 200 100 0 -100

0

2

4

6

8

10

-200 -300

Rotação da Ligação [mrad] 3ª Linha de Parafusos 400

Força [kN]

300 200 100 0 -100 0

2

4

6

8

10

-200 -300 -400

Rotação da Ligação [mrad]

4ª Linha de Parafusos 300

Força [kN]

200 100 0 0

2

4

6

8

10

-100 -200 -300

Rotação da Ligação [mrad]

122


5ª Linha de Parafusos 400

Força [kN]

200 0 -200 0

2

4

6

8

10

12

14

12

14

-400 -600 -800

-1000 -1200 -1400

Rotação da Ligação [mrad] 6ª Linha de Parafusos 500

Força [kN]

0 0

2

4

6

8

10

-500

-1000 -1500 -2000

Rotação da Ligação [mrad]

Compressão entre as chapas

Tração nos parafusos

Força externa na linha

Figura 8: Forças desenvolvidas nas linhas de parafusos em função da rotação da ligação  3.2

3.3

Estudo Numérico Paramétrico 

A partir  do  modelo  global  foi  realizado  um  estudo  paramétrico,  que  consiste  na  variação dos valores de alguns parâmetros considerados mais importantes para avaliar  a alteração do comportamento da ligação. Foram variados basicamente: a resistência  uniaxial  à  compressão  do  concreto;  a  geometria  do  pilar  de  aço;  a  existência  das  armaduras  transversais  oblíquas;  as  dimensões  do  pilar  de  concreto;  e  o  número  de  barras  de  armadura  longitudinais.  Todos  os  modelos  paramétricos  foram  analisados  isentos de força normal externa atuante no pilar. A matriz de simulação é apresentada  na Tabela 3.     

123


Tabela 3: Definição dos modelos utilizados no estudo paramétrico  Nº do  Modelo 

fc Pilar de Aço  Barra  Nº de Barras  [MPa]  [perfil]  Oblíqua  Longitudinais 

Pilar de  Concreto 

Nome do Modelo  Numérico 

[mm]

1 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  Nota (1):  oblíquas. 

30 40  30  40  30  40  30  40  30  40  30  40  30  40  30  40  30  40  30  40  30  40  30  40 

HP 250x62  HP 250x62  HP 310x79  HP 310x79  HP 250x62  HP 250x62  HP 310x79  HP 310x79  HP 250x62  HP 250x62  HP 310x79  HP 310x79  HP 250x62  HP 250x62  HP 310x79  HP 310x79  HP 310x79  HP 310x79  HP 310x79  HP 310x79  HP 310x79  HP 310x79  HP 310x79  HP 310x79 

CO(1) CO  CO  CO  SO(1)  SO  SO  SO  CO  CO  CO  CO  SO  SO  SO  SO  CO  CO  SO  SO  CO  CO  SO  SO 

12 12  12  12  12  12  12  12  20  20  20  20  20  20  20  20  12  12  12  12  20  20  20  20 

600x600 600x600  600x600  600x600  600x600  600x600  600x600  600x600  600x600  600x600  600x600  600x600  600x600  600x600  600x600  600x600  800x800  800x800  800x800  800x800  800x800  800x800  800x800  800x800 

fc30_HP62_CO_12b_p60 fc40_HP62_CO_12b_p60  fc30_HP79_CO_12b_p60  fc40_HP79_CO_12b_p60  fc30_HP62_SO_12b_p60  fc40_HP62_SO_12b_p60  fc30_HP79_SO_12b_p60  fc40_HP79_SO_12b_p60  fc30_HP62_CO_20b_p60  fc40_HP62_CO_20b_p60  fc30_HP79_CO_20b_p60  fc40_HP79_CO_20b_p60  fc30_HP62_SO_20b_p60  fc40_HP62_SO_20b_p60  fc30_HP79_SO_20b_p60  fc40_HP79_SO_20b_p60  fc30_HP79_CO_12b_p80  fc40_HP79_CO_12b_p80  fc30_HP79_SO_12b_p80  fc40_HP79_SO_12b_p80  fc30_HP79_CO_20b_p80  fc40_HP79_CO_20b_p80  fc30_HP79_SO_20b_p80  fc40_HP79_SO_20b_p80 

CO =  modelo  com  as  barras  transversais  oblíquas;  SO  =  modelo  sem  as  barras  transversais 

As curvas  Momento  Fletor  versus  Rotação  da  Ligação  para  os  modelos  listados  na  Tabela  3  são  apresentados  nas  Figs.  9  e  10.  A  rotação  relativa  da  ligação  ∆

corresponde à rotação total da região nodal descontada da parcela associada apenas à  rotação do eixo pilar (∆

).

124


2500

Momento Fletor [kNm]

2250 2000 1750 1500 1250 1000 750 500 250 0 0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

Rotação da Ligação [rad] fc30_HP62_CO_12b_p60_mod1 fc30_HP79_SO_12b_p60_mod7 fc30_HP62_SO_20b_p60_mod13 fc30_HP79_SO_12b_p80_mod19

fc30_HP79_CO_12b_p60_mod3 fc30_HP62_CO_20b_p60_mod9 fc30_HP79_SO_20b_p60_mod15 fc30_HP79_CO_20b_p80_mod21

fc30_HP62_SO_12b_p60_mod5 fc30_HP79_CO_20b_p60_mod11 fc30_HP79_CO_12b_p80_mod17 fc30_HP79_SO_20b_p80_mod23

Figura 9: Curvas Momento Fletor x Rotação da Ligação (modelos com   = 30MPa)  3000 2750

Momento Fletor [kNm]

2500 2250 2000 1750 1500 1250 1000 750 500 250 0 0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0.022

Rotação da Ligação [rad] fc40_HP62_CO_12b_p60_mod2 fc40_HP79_SO_12b_p60_mod8 fc40_HP62_SO_20b_p60_mod14 fc40_HP79_SO_12b_p80_mod20

fc40_HP79_CO_12b_p60_mod4 fc40_HP62_CO_20b_p60_mod10 fc40_HP79_SO_20b_p60_mod16 fc40_HP79_CO_20b_p80_mod22

fc40_HP62_SO_12b_p60_mod6 fc40_HP79_CO_20b_p60_mod12 fc40_HP79_CO_12b_p80_mod18 fc40_HP79_SO_20b_p80_mod24

Figura 10: Curvas Momento Fletor x Rotação da Ligação (modelos com   = 40MPa)  Analisando‐se os resultados dos modelos paramétricos apresentados nas Figs. 9 e 10  constata‐se que o término do processamento ocorreu devido aos seguintes modos de  125


falha: (1)  escoamento  das  armaduras  transversais,  longitudinais  ou  ambas;  (2)  esgotamento  da  capacidade  da  ligação  parafusada,  dada  pela  ruptura  dos  parafusos  e/ou  escoamento  da  chapa  de  extremidade,  da  mesa  e  da  alma  do  pilar  de  aço;  (3)  deformação por compressão exagerada nas porções de concreto localizadas na face do  pilar  abaixo  da  mesa  comprimida  da  viga.  Esses  modos  ocorrem  tanto  isoladamente  quanto  em  conjunto.  De  maneira  geral,  para  rotações  iniciais,  a  ligação  parafusada  absorve a maior parcela do momento fletor, uma vez que a rigidez da ligação metálica  é maior do que a rigidez dos mecanismos de transferência de tração para o concreto.  Entretanto,  a  partir  do  instante  que  os  parafusos  atingem  deformações  superiores  a  4% (

) ou as chapas da ligação parafusada (chapa de extremidade, mesa e alma do 

pilar de aço atingem a tensão de escoamento ( ), os mecanismos de transferência de  força de tração externa para o concreto se tornam os limitadores do momento fletor  final da ligação.  A resistência à compressão horizontal da ligação não foi limitadora do momento fletor  último obtido nas análises paramétricas. Foi verificado que as tensões equivalentes de  von  Mises  na  chapa  de  extremidade  não  atingiram  a  tensão  de  escoamento    na  região mobilizada pela mesa comprimida da viga. As tensões de compressão de pico no  concreto em contato com a face interna da mesa do pilar metálico não ultrapassaram  a tensão de esmagamento 2  nessa mesma região.  A resistência ao cisalhamento dos painéis de aço e de concreto do pilar misto não foi  predominante na resistência ao momento fletor da ligação para os casos processados.   Os  pilares  mistos  com  dimensões  de  800x800mm  apresentam  maiores  resistências  a  momento do que os pilares com dimensões de 600x600mm, para um mesmo tipo de  pilar de aço (HP 310x79), uma mesma resistência uniaxial à compressão do concreto, e  uma  mesma  configuração  de  armaduras.  Constatou‐se  numericamente  que  essa  diferença de resistência deve‐se principalmente ao maior cobrimento de concreto da  chapa  de  extremidade  (

), que  influencia  na  resistência  a  momento  da  ligação  de 

duas maneiras: a) proporcionando a mobilização de um maior número de armaduras  tanto  transversais  quanto  longitudinais;  b)  aumentando  a  parcela  de  momentos  resistentes  associados  às  forças  verticais  devido  ao  aumento  dos  braços  de  alavanca 

126


dessas forças, em virtude do maior comprimento embutido da viga dentro do pilar de  concreto.  Comparando‐se  apenas  a  quantidade  total  de  barras  de  armaduras  longitudinais  (12  ou 20 barras totais), e mantendo‐se todos os outros parâmetros constantes, verifica‐se  que  a  diferença  média  entre  as  resistências  a  momento  desses  modelos  é  inferior  a  1%.  Foram  avaliados  outros  modelos  numéricos  auxiliares  nos  quais  não  foram  consideradas  as  armaduras  transversais  e  nem  os  parafusos,  constatando‐se  que  as  armaduras  longitudinais  contribuem  na  resistência  a  momento  da  ligação.  Portanto,  essa  pequena  diferença  de  resistências  a  momento  obtida  da  comparação  dos  modelos paramétricos pode ser associada à posição das barras de armadura dentro da  seção transversal do pilar, indicando que apenas as barras de armaduras longitudinais  localizadas  próximas  às  bordas  laterais  da  viga  contribuíram  efetivamente  na  resistência a momento da ligação.  Fazendo‐se  a  comparação  dos  modelos  munidos  de  armaduras  transversais  oblíquas  (modelos  “CO”)  com  os  modelos  desprovidos  dessas  armaduras  (modelos  “SO”),  contata‐se  que,  para  os  modelos  com  pilar  metálico  HP  250x62  e  modelos  com  dimensões de 800x800mm, a resistência a momento dos modelos CO é em média 4%  superior às resistências dos modelos SO. Entretanto, fazendo essa mesma comparação  apenas  para  os  modelos  com  pilar  metálico  HP  310x79  e  dimensões  de  600x600m,  constata‐se que essa diferença sobe para 13%. Ou seja, percebe‐se que nos modelos  cujo cobrimento de concreto da chapa de extremidade é suficiente para mobilizar um  número maior de barras transversais, como é caso dos modelos com pilar metálico HP  250x62 (

=19mm) e dos modelos com dimensões de 800x800, as armaduras oblíquas 

praticamente não fizeram diferença, pois a falha da ligação se deu pelo esmagamento  do concreto em contato com a chapa de extremidade. Porém, nos modelos com pilar  de  aço  HP  310x79  (

=25mm) o  cobrimento  da  chapa  de  extremidade  é  menor, 

implicando na  mobilização  de  um  número  menor  de  armaduras  transversais.  Nesses  casos,  a  falha  da  ligação  ocorre  por  esgotamento  da  capacidade  de  transmissão  dos  esforços  pelos  mecanismos  formados  pelas  armaduras,  tornando  as  armaduras  oblíquas importantes nessas situações. 

127


4

Modelo Mecânico Preliminar 

Os mecanismos de falha no concreto foram estimados pela determinação de um bloco  de  esmagamento,  definido  por  uma  largura  equivalente    que  foi  estabelecida  com  base  no  momento  fletor  de  plastificação  total  da  chapa  de  extremidade  juntamente  com  a  formação  de  um  maciço  de  concreto  esmagado.  Fazendo‐se  a  verificação  do  momento de plastificação da seção transversal da chapa de extremidade (seção A‐A,  ver Fig. 11)  é obtido o  momento resistente interno  momento  externo 

. Esse momento é igualado ao 

provocado  pela  força  resultante    do  bloco  de  concreto 

esmagado aplicada com um braço de alavanca  ⁄2, conforme Fig. 11.  2

2 A

Concreto esmagado

A

Figura 11: Modelo mecânico retangular para falha da chapa de extremidade e do  concreto  Foi  considerado  no  modelo  mecânico  que  os  blocos  de  esmagamento  ocorrem  para  tensões iguais a 2 , onde o aumento na resistência à compressão do concreto nesses  blocos deve‐se ao elevado confinamento promovido pela presença das chapas de aço  e das armaduras na região da ligação. Esse aumento de resistência foi observado nas  análises numéricas realizadas. Em VIEST et al (1997) também é recomendado utilizar  uma tensão de esmagamento igual a 2 .  A largura equivalente do bloco de concreto esmagado, Eq. 3, é obtida igualando‐se as  Eqs. 1 e 2.  ⋅

2

        (1) 

                                              (2) 

128


 

(3)

Onde  é o comprimento livre da chapa de extremidade à mesa da viga, que no caso  ⁄2.  

de uma chapa de extremidade simétrica em relação à viga torna‐se 

A Fig. 12 apresenta esquematicamente o modelo mecânico preliminar proposto para a  ligação  mista  viga‐pilar  resistente  a  momento  com  chapa  de  extremidade.  A  verificação  da  charneira  plástica  da  chapa  de  extremidade  é  feita  por  analogia  à  metodologia de cálculo de placa de base citada no item 3.1.2 do AISC (2006).   Segue abaixo a definição dos parâmetros geométricos indicados na Fig. 12:            

⁄2                     (4) 

         

         

0,1          (5) 

          

         

2

0,8

          (6) 

2 2

0,8                 (7)  5

     (8) 

2                     (9) 

          

Figura 12: Modelo mecânico global da ligação mista com chapa de extremidade  A resistência potencial à compressão total do modelo mecânico é resumida na Eq. 10.  2

  129

(10)


As resistências  potenciais  à  tração  dos  blocos  de  concreto  mobilizados  pela  mesa  tracionada  e  pela  região  da  alma  tracionada  da  viga  são  definidas  nas  Eqs.  11  e  12,  respectivamente.  2

2

4

 

 

(11)

(12)

A altura do bloco de esmagamento mobilizado pela alma da viga que foi utilizada no  cálculo da resistência potencial 

(ver Eq. 12 e Fig. 12) foi definida arbitrariamente 

igual a  ⁄3, parâmetro esse que será calibrado após os estudos experimentais.  A resistência potencial à tração total do modelo mecânico é definida na Eq. 13.  ∑ Onde ∑

(13)

é o somatório das resistências das linhas de parafusos calculadas mediante 

o método das charneiras plásticas, conforme EN 1993‐1‐8 (2005).  Em  CONCEIÇÃO  (2011)  são  apresentados  em  detalhes  os  critérios  e  a  formulação  proposta  para  determinação  da  resistência  da  ligação  estudada.  São  mostrados  também  os  mecanismos  associados  ao  escoamento  das  armaduras  transversais  e  longitudinais da ligação e do pilar.  É apresentada na Fig. 13 a comparação entre os momentos fletores últimos obtidos no  estudo  paramétrico  e  os  momentos  fletores  obtidos  do  cálculo  do  modelo  mecânico  preliminar proposto acima. Essa comparação é feita apenas com base nas parcelas de  momento  fletor  resistente  associadas  às  forças  horizontais  do  sistema,  obtido  dos  momentos  resistentes  totais  (curvas  das  Figs.  9  e  10)  deduzidos  da  parcela  de  momento  oriundo  das  forças  verticais  (cisalhamento  dos  parafusos,  compressão  no  contato entre a mesa comprimida da viga e o concreto, e parcelas de atrito vertical nas  interfaces de contato aço‐concreto). 

130


2250

Momento Fletor [kNm]

2000 1750 1500 1250 1000 750 500 250

Resultado Numérico

Resultado Numérico Reduzido em 15%(1) Resultado do Modelo Mecânico

Figura 13: Comparação entre os resultados dos modelos numéricos e os resultados do  modelo mecânico: momento fletor oriundo das forças horizontais  Nota (1):  15% corresponde ao erro médio obtido no teste de refinamento de malha [CONCEIÇÃO (2011)]. 

5

fc40_HP79_SO_20b_p80 Modelo 24

fc30_HP79_SO_20b_p80 Modelo 23

fc40_HP79_CO_20b_p80 Modelo 22

fc30_HP79_CO_20b_p80 Modelo 21

fc40_HP79_SO_12b_p80 Modelo 20

fc30_HP79_SO_12b_p80 Modelo 19

fc40_HP79_CO_12b_p80 Modelo 18

fc30_HP79_CO_12b_p80 Modelo 17

fc40_HP79_SO_20b_p60 Modelo 16

fc30_HP79_SO_20b_p60 Modelo 15

fc40_HP62_SO_20b_p60 Modelo 14

fc30_HP62_SO_20b_p60 Modelo 13

fc40_HP79_CO_20b_p60 Modelo 12

fc30_HP79_CO_20b_p60 Modelo 11

fc40_HP62_CO_20b_p60 Modelo 10

fc30_HP62_CO_20b_p60 Modelo 9

fc40_HP79_SO_12b_p60 Modelo 8

fc30_HP79_SO_12b_p60 Modelo 7

fc40_HP62_SO_12b_p60 Modelo 6

fc30_HP62_SO_12b_p60 Modelo 5

fc40_HP79_CO_12b_p60 Modelo 4

fc30_HP79_CO_12b_p60 Modelo 3

fc40_HP62_CO_12b_p60 Modelo 2

fc30_HP62_CO_12b_p60 Modelo 1

0

Conclusões

Os resultados  numéricos  permitiram  visualizar  os  mecanismos  de  falha  principais  atuantes  na  ligação,  captando  as  não  linearidades  físicas  tanto  do  aço  (armaduras,  parafusos e chapas) quanto do concreto.  As comparações feitas entre os resultados numéricos dos modelos paramétricos e os  resultados  gerados  pelo  modelo  mecânico  preliminar  proposto  neste  trabalho  mostraram boa correspondência, gerando valores em média 10% mais conservadores.  As parcelas de momento fletor da ligação oriundas das forças resistentes horizontais  (tração da ligação parafusada e arrancamento do concreto do pilar), obtidas no estudo  paramétrico,  foram  comparadas  com  os  momentos  fletores  calculados  pelo  modelo  mecânico  preliminar,  os  quais  apresentaram  tendências  semelhantes  e  valores  em  131


média 11% mais conservadores. Portanto, é possível concluir que o modelo mecânico  preliminar proposto, até que sejam obtidos dados experimentais que possibilitem uma  melhor avaliação do comportamento da ligação mista estudada, representa uma boa  estimativa  da  resistência  a  momento  da  ligação,  tanto  quantitativa  (magnitude  do  momento fletor resistente), quanto qualitativa (permitindo prever qual é o mecanismo  de falha predominante).  Após  a  realização  de  ensaios  experimentais  será  formulado  um  modelo  mecânico  de  cálculo  para  o  dimensionamento  estrutural  da  ligação  mista  viga‐pilar  resistente  a  momento estudada neste trabalho. 

6

Referências Bibliográficas 

ACI 318‐08. Building Code Requirements for Structural Concrete. American Concrete Institute,  Detroit, 2008.  AISC.  Design  Guide  1:  Base  Plate  and  Anchor  Rod  Design.  American  Institute  of  Steel  Construction 2ª ed, Chicago, USA, 2006.  ANSYS versão 12.1, Program Documentation: Theory Manual.  CHEN, W.F.;  HAN, D.J.  Plasticity for  structural engineers. Editora Springer, 1st.ed, New York,  2001.  CONCEIÇÃO,  J.L.  Ligação  Mista  Viga‐Pilar  Resistente  a  Momento.  Dissertação  de  Mestrado,240 p., Departamento de Engenharia de Estruturas, Universidade Federal de Minas  Gerais, Belo Horizonte, 2011.  EUROCODE 2 EN 1994‐1‐1. Design of concrete structures. Part 1‐1: General rules for buildings  and civil engineers structures. European Committee for Standardization, Bruxelas, 2004.  EUROCODE  3  EN  1993‐1‐8.  Design  of  steel  structures.  Part  1‐8:  Design  of  joints.  European  Committee for Standardization, Bruxelas, 2005.  KOTINDA,  T.I.  Modelagem  numérica  de  vigas  mistas  aço‐concreto  simplesmente  apoiadas:  ênfase ao estudo da interface laje‐viga. 116 p. Dissertação de Mestrado. Escola de Engenharia  de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2006.  LEONEL,  E.D.;  RIBEIRO,  G.O.;  DE  PAULA,  F.A.  Simulação  numérica  de  estruturas  de  concreto  armado  por  meio  do  MEF/ANSYS.  V  Simpósio  EPUSP  sobre  Estruturas  de  Concreto  Armado,  2003.  QUEIROZ,  F.D.;  VELLASCO,  P.C.G.S.;  NETHERCOT,  D.A.  Structural  assessment  of  composite  beams using the finite element method, Proceedings of Eurosteel, 2005.  VIEST,  M.I.;  COLACO,  J.P.;  FURLONG,  R.W.;  GRIFFIS,  L.G.;  LEON,  R.T.;  WYLLIE,  L.A.  Composite  Construction Design for Building, The American Society of Civil Engineers ASCE, McGraw‐Hill,  New York, NY, USA, 1997.  WILLAM,  K.J.;  WARNKE,  E.D.  Constitutive  Model  for  the  Triaxial  Behavior  of  Concrete,  International Association for Bridge and Structural Engineering. v.19. p.174. ISMES, Bergamo,  Italy, 1975. 

132

Revista da Estrutura de Aço - Volume 01 | Número 02 | Ano 2012  

Revista da Estrutura de Aço - Volume 01 | Número 02 | Ano 2012

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you