control 2

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3 DISEÑO DE CONTROLADORES Y OBSERVADORES DE SISTEMAS DE SIMPLE ENTRADA Y SIMPLE SALIDA EN EL ESPACIO DE ESTADO MEDIANTE EL METODO DE UBICACIÓN DE POLOS INTRODUCION El método de diseño de ubicar los polos en lazo cerrado en localizaciones deseadas en el plano z, se conoce como la técnica de diseño de ubicación de polos; en esta técnica se realimentan todas las variables de estado, de tal forma que todos los polos del sistema en lazo cerrado quedan ubicados en las localizaciones deseadas. Sin embargo en algunos sistemas reales de control, no se pueden medir todas las variables de estado para su realimentación. Para poner en práctica un diseño basado en este método, es necesario estimar las variables de estado no medibles mediante el uso de observadores de estados.

Considerando un sistema de control lineal invariante en el tiempo descrito mediante las ecuaciones de estado y de salida como (3.1) x(k + 1) = Gx(k ) + Hu(k ) (3.2) y(k ) = Cx(k ) + Du(k ) x(k) : vector de estado de n×1 y(k) : vector de salida de 1×1 u(k) : vector de entrada o de control de 1×1 G : matriz de estado de n×n H : matriz de entrada de n×1 C : matriz de salida de 1×n D : matriz de transmisión directa de 1×1 3.1 CONTROLABILIDAD Se dice que un sistema de control es de estado completamente controlable en el tiempo, si es posible transferir el sistema de un estado inicial arbitrario x(0) a cualquier otro estado deseado arbitrario x(kT), mediante un vector de control u(kT) sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito La matriz de controlabilidad M de dimensión n×n es





M = H GH G 2 H  G n −1H El sistema es controlable en estado completo si la matriz M tiene rango = n

(3.3)

3.2 OBSERVABILIDAD Se dice que un sistema de control es de estado completamente observable, si cualquier estado inicial x(0) se puede determinar a partir de la observación de y(kT) sobre un número finito de periodos de muestreo. El sistema, por lo tanto, es completamente observable, si cualquier transición del estado de manera eventual afecta a todos los elementos del vector de salida.

La matriz de observabilidad N de dimensión n×n es

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 C   CG    N =  CG 2       CG n −1  El sistema es observable en estado completo si la matriz N tiene rango = n

(3.4)

3.3 DISEÑO DE UN CONTROLADOR (REGULADOR) CON ENTRADA DE REFERENCIA NULA La técnica de diseño se emplea para sistemas de control en los cuales la entrada de referencia es cero. Este método empieza con una determinación de los polos deseados en lazo cerrado, basados en los requisitos de respuesta transitoria y/o respuesta en frecuencia. Los polos deseados en lazo cerrado deben estar en z=μ1 , z=μ2 ,..., z=μn. Al seleccionar una matriz de ganancia apropiada para la realimentación de estado, es posible conducir el sistema para tener los polos en lazo cerrado en las posiciones deseadas, siempre y cuando el sistema original sea de estado completamente controlable.

La condición necesaria y suficiente para la ubicación arbitraria de polos, es que el sistema sea de estado completamente controlable.

Sea el sistema de control completamente controlable de simple entrada descrito por las ecuaciones (3.1) y (3.2 como) x(k + 1) = Gx(k ) + Hu(k ) y(k ) = Cx(k ) + Du(k ) La representación gráfica de las ecuaciones (3.1) y (3.2) se muestra en la figura 3.1 D u(k)

x(k+1)

z-1I

H

x(k)

y(k) C

G

Figura 3.1 Sistema de control en lazo abierto.

El diagrama de bloques del sistema de control de la figura 3.1 se puede simplificar mediante la representación gráfica de la figura 3.2 u(k)

x( k + 1) = Gx( k ) + Hu ( k ) y ( k ) = Cx ( k ) + Du ( k )

y(k)

x(k)

Figura 3.2 Sistema de control simplificado en lazo abierto.

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x( k + 1) = Gx( k ) + Hu ( k ) y ( k ) = Cx ( k ) + Du ( k )

u(k)

y(k)

x(k) -K

Figura 3.3 Sistema de control en lazo cerrado.

La señal de control u(k) no acotada se puede expresar como (3.5) u(k ) = −Kx (k ) La matriz K es la matriz de ganancia de realimentación de estado de dimensión 1×n, entonces el sistema se convierte en un sistema de control en lazo cerrado, como el que se muestra en la figura 3.3 y al reemplazar la ecuación (3.5) en la ecuación (3.1) se obtiene (3.6) x(k + 1) = Gx(k ) − HKx (k ) = (G − HK )x(k ) La matriz K se escoge, de tal manera que los valores característicos de la matriz G-HK sean los polos en lazo cerrado deseados: μ1, μ2, ..., μn. los que resultan de la ecuación característica zI − G + HK = 0 (3.7) La solución de la ecuación de estado es

x(k ) = (G − HK ) k x(0) Reemplazando la ecuación (3.5) en la ecuación (3.2) resulta y(k ) = Cx(k ) − DKx(k ) = (C − DK)x(k )

(3.8) (3.9)

Método directo. Este método consiste en igualar la ecuación característica del sistema en lazo cerrado a la ecuación característica deseada; es decir: zI − G + HK = ( z − 1 )( z −  2 ) ( z −  n ) = 0 (3.10) Obteniendo el polinomio característico de lazo cerrado como z n + 1 z n−1 +  2 z n−2 +  +  n−1 z +  n = 0 Para calcular los valores de K = k1 k 2  k n  se desarrolla la ecuación (3.10) y se igualan los valores de ambos lados de la ecuación (3.10) que tienen las mismas potencias en z y se resuelven las ecuaciones planteadas para obtener los valores de la matriz K. Método algorítmico. Con este método la matriz de ganancias de realimentación K se calcula empleando los siguientes pasos: 1. Verificar que el sistema es de estado completamente controlable, ya que en otro caso no se puede calcular la matriz K.





M = H GHG 2 H G n −1H . rango(M)=n 2. Identificar los coeficientes, ai, del polinomio característico original. zI − G = z n + a1 z n −1 + a2 z n − 2 +  + an −1 z + an (3.11) 3. determinar la matriz de cambio de base T, que transforma las ecuaciones de estado del sistema a la forma canónica controlable.

(3.12) T = MW Ing. José A. Machuca Mines

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donde M es la matriz de controlabilidad y W es una matriz simétrica que se expresan respectivamente como





(3.13) M = H GHG 2 H G n −1H  a n −1 a n − 2  a1 1 a   n − 2 a n − 3  1 0 (3.14) W=       1  0 0  a1  1 0  0 0 siendo ai los coeficientes del polinomio característico del sistema original.

Si el sistema de control está expresado en su forma canónica controlable, entonces la matriz T es igual a la matriz identidad (T=I) 4. Determinar los coeficientes, αi , del polinomio característico deseado. zI − G + HK = ( z − 1 )( z −  2 ) ( z −  n ) (3.15) (3.16) zI − G + HK = z n + 1 z n−1 +  2 z n−2 +  +  n−1 z +  n 5. Determinar la matriz de ganancias de realimentación de los estados K como K =  n − a n

 n−1 − a n−1   2 − a 2 1 − a1  T −1

(3.18)

Fórmula de Ackermann. Con este método la matriz de ganancias de realimentación de los estados K se calcula siguiendo los siguientes pasos: 1. Verificar que el sistema es de estado completamente controlable, ya que en otro caso no se puede calcular la matriz K.





M = H GHG 2 H G n −1H . rango(M)=n 2. Determinar el polinomio característico deseado

 ( z ) = ( z − 1 )( z −  2 )  ( z −  n ) = z n + 1 z n −1 +  2 z n − 2 +  +  n −1 z +  n (3.19) 3. Determinar la matriz  (G ) , donde  es el polinomio característico deseado y G es la matriz de estados del sistema.  (G ) = G n + 1G n −1 +  2 G n − 2 +  +  n −1G +  n I (3.20) 4. Determinar la matriz de ganancias de realimentación de los estados K como (3.21) K = 0 0  0 1 M −1 (G) Método matemático. Si los valores característicos que se desean μ1, μ2, μ3 ..., μn de la matriz (G-HK) son distintos entonces la matriz de ganancia de realimentación de estados requerida se puede expresar como K = 1 1  1ζ1  ζ 2    ζ n 

−1

donde los vectores ζ i son los vectores característicos de (G-HK) que satisfacen la siguiente ecuación ζ i = (G −  i I )−1 H , i = 1, 2,  , n

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3.4 DISEÑO DE UN CONTROLADOR CON ENTRADA DE REFERENCIA Y COMPENSACIÓN EN PREALIMENTACIÓN DIRECTA Esta técnica de diseño se utiliza para sistemas de control con entrada de referencia diferente de cero. En este método se considera la colocación de polos para un sistema de seguimiento en el cual se desea que el sistema compensado sea capaz de seguir a una entrada de referencia de escalón.

Al realizar el método de ubicación de polos se modifica la ganancia del sistema en lazo cerrado, y este cambio depende de la posición elegida para los polos del sistema en lazo cerrado.

Este diseño no es robusto ante imprecisiones en el modelo, perturbaciones y señales de ruido debido que se utiliza un control en lazo abierto para eliminar el error en estado estacionario ante una entrada de un escalón.

Entonces es necesario colocar una ganancia ajustable k0 a la entrada del sistema compensado para conseguir la ganancia deseada.

Sea el sistema de control de simple entrada descrito por las ecuaciones (3.1) y (3.2) definas como x(k + 1) = Gx(k ) + Hu(k ) y(k ) = Cx(k ) + Du(k ) La variable de control u(k) no acotada se puede expresar como u (k ) = −Kx (k ) + k 0 r (k ) (3.22) donde K es la matriz de ganancia de realimentación de estado de dimensión 1×n, y el escalar k0 es un compensador ajustable proporcional.

En la figura 3.4 se muestra el diagrama de bloques correspondiente a las ecuaciones (3.1), (3.2), y (3.22) que representa un sistema de control en lazo cerrado. r(k)

k0

x( k + 1) = Gx( k ) + Hu ( k ) y ( k ) = Cx ( k ) + Du ( k )

u(k)

y(k)

x(k) K

Figura 3.4 Sistema de control con realimentación de estados y precompensador Para usar el método de ubicación de polos del sistema representado en la figura 3.4 se debe de transformar a un sistema de regulación alrededor de x(k∞).

Evaluando al sistema de control cuando k→∞ se obtiene x(k  + 1) = Gx (k  ) + Hu (k  ) (3.23) u (k  ) = k 0 r (k  ) − Kx (k  ) (3.24) Si se define la variación del estado actual con el estado en el infinito del sistema como x(k ) = x(k ) − x( k  ) , u (k ) = u (k ) − u (k  ) (3.25) La entrada r(k) de referencia se considera un escalón por lo tanto se obtiene r (k ) = r (k + 1) = r (k  ) = r (3.26) Restando las ecuaciones (3.1) y (3.23) se obtiene x(k + 1) − x(k  + 1) = G (x(k ) − x(k  )) + H (u (k ) − u (k  )) (3.27) Ing. José A. Machuca Mines

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Evaluando las variables residuales en la ecuación (3.27) se obtiene (3.28) x(k + 1) = Gx(k ) + Hu(k ) Restando las ecuaciones (3.22) y (3.24) se obtiene (3.29) u (k ) − u (k  ) = k 0 (r (k ) − r (k  )) − K (x(k ) − x(k  )) Evaluando las variables residuales en la ecuación (3.29) se obtiene (3.30) u(k ) = −Kx(k ) Las ecuaciones (3.28) y (3.30) representan un sistema de regulación del sistema alrededor de x(k∞) entonces al reemplazar la ecuación (3.30) en la ecuación (3.28) se obtiene la ecuación con realimentación de estados como (3.31) x(k + 1) = Gx(k ) − HKx(k ) = (G − HK )x(k ) La matriz K de realimentación de estados del sistema obtenido en lazo cerrado de la ecuación (3.31) se elige para que el sistema satisfaga las especificaciones para el régimen transitorio y se determina de tal forma que los valores característicos de la matriz (G-HK) sean los polos en lazo cerrado deseados: μ1, μ2, ..., μn. los que resultan de la ecuación característica siguiente zI − G + HK = 0 (3.32) El diseño de la matriz K se realiza utilizando cualquiera de los métodos de diseño de un sistema regulador visto en la sección 3.3 mediante el método de ubicación de polos de tal manera que el sistema debe ser asintóticamente estable.

Al reemplazar la ecuación (3.22) en la ecuación (3.1) se obtiene x(k + 1) = Gx(k ) − HKx (k ) + Hk 0 r (k ) (3.33) x(k + 1) = (G − HK )x(k ) + Hk 0 r (k ) (3.34) Reemplazando la ecuación (3.22) en la ecuación (3.2) se obtiene la ecuación de respuesta del sistema y(k ) = Cx(k ) − DKx(k ) + Dk 0 r (k ) (3.35) y(k ) = (C − DK)x(k ) + Dk 0 r (k ) (3.36) La ganancia k0 se selecciona para que el sistema en lazo cerrado tenga una ganancia unitaria en estado permanente, eliminado el error en estado estacionario ante una entrada escalón, r(k)=r.

Como el sistema debe permanecer en el punto de equilibrio, en el cual se tiene que x(k∞+1)= x(k∞). Entonces la ecuación de estados del sistema escribe como: x(k  + 1) = (G − HK )x(k  ) + Hk 0 r = x(k  ) (3.37) es decir x(k  ) = I − G + HK −1 Hk 0 r La ecuación de salida del sistema en estado permanente se obtiene como

(3.38)

y (k  ) = (C − DK)x(k  ) + Dk 0 r = (C − DK)I − G + HK −1 Hk 0 r + Dk 0 r (3.39) La salida en estado permanente debe ser igual a la entrada r, por tanto de la ecuación (3.39) se obtiene

(

)

y (k  ) = (C − DK )I − G + HK −1 H + D k 0 r = r (3.40) De la ecuación (3.40) se obtiene el precompensador de ganancia k0 expresado como

(

k 0 = (C − DK )I − G + HK −1 H + D La solución de la ecuación de estado es

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)−1

(3.41)

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k −1

x(k ) = (G − HK ) k x(0) +  (G − HK ) k −1− j Hk 0 r ( j ) ; k = 1, 2, 3, 

(3.42)

j =0

3.5 DISEÑO DE UN CONTROLADOR CON SEÑAL DE REFERENCIA INCLUYENDO UN INTEGRADOR DE ERROR Para obtener un sistema de control que sea robusto ante imprecisiones en el modelo, perturbaciones y señales de ruido, es necesario que la función de transferencia pulso del sistema en lazo abierto, incluya uno o más integradores para eliminar el error en estado permanente ante una entrada de un escalón, de una rampa según sea el caso.

Sea el sistema de control de simple entrada descrito por las ecuaciones (3.1) y (3.2) definidas como x(k + 1) = Gx(k ) + Hu(k ) y(k ) = Cx(k ) + Du(k ) La variable de control u(k) no acotada se expresa como u (k ) = −Kx (k ) + k I v(k ) (3.43) donde K es la matriz de ganancia de realimentación de estado de dimensión 1×n, y el escalar kI es la ganancia del integrador.

Integrador en atraso. La ecuación de un integrador en atraso es la siguiente: (3.44) v(k ) = v(k − 1) + e(k − 1) La ecuación (3.44) se puede modificar como (3.45) v(k + 1) = v(k ) + e(k ) = v(k ) + r (k ) − y(k ) En la figura 3.5 se muestra el diagrama de bloques correspondiente a las ecuaciones (3.1), (3.2), (3.43) y (3.44) que representa un sistema de control en lazo cerrado. r(k)

e(k)

z −1 1 − z −1

v(k)

kI

u(k)

x(k + 1) = Gx(k ) + Hu (k )

y(k)

y (k ) = Cx(k ) + Du (k ) x(k) K

Figura 3.5 Sistema de control con realimentación de estados e integrador Combinando las ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.45) y manipulando se obtiene v(k + 1) = v(k ) + r (k ) − Cx(k ) − Du(k ) (3.46) v(k + 1) = −Cx(k ) + v(k ) − Du(k ) + r (k ) De las ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.46) se obtiene un sistema de control ampliado como sigue: Ecuación de estado x(k + 1)  G 0 x(k )  H  0  (3.47)  v(k + 1)  = − C 1  v(k )  + − Du (k ) + 1 r (k )          Ecuación de salida

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 x( k )  y (k ) = C 0   + Du (k )  v(k ) 

(3.48)

Ecuación de control  x( k )  − kI    v(k ) 

u (k ) = −K

(3.49)

Definiendo las siguientes expresiones  x( k )  de dimensión (n+1)×1 xˆ (k ) =    v(k )  ˆ =  G 0 G − C 1   H Ĥ =    − D  0  H=  1 ˆ = C 0 C ˆ =D D

de dimensión (n+1)×(n+1) de dimensión (n+1)×1 de dimensión (n+1)×1 de dimensión 1×(n+1) de dimensión 1×1 de dimensión 1×(n+1)

K̂ = K − k I 

Integrador en adelanto. La ecuación de un integrador en atraso es la siguiente: La ecuación del integrador se escribe como (3.50) v(k ) = v(k − 1) + e(k ) = v(k − 1) + (r (k ) − y(k )) La ecuación (3.44) se puede modificar como (3.51) v(k + 1) = v(k ) + r (k + 1) − y(k + 1) En la figura 3.6 se muestra el diagrama de bloques correspondiente a las ecuaciones (3.1), (3.2), (3.43) y (3.50) que representa un sistema de control en lazo cerrado. r(k)

e(k)

1 1 − z −1

v(k)

kI

u(k)

x(k + 1) = Gx(k ) + Hu (k )

y(k)

y (k ) = Cx(k ) + Du (k ) x(k) K

Figura 3.6 Sistema de control con realimentación de estados e integrador Para el caso del integrador en adelanto se debe considerar la matriz D=0.

Combinando las ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.51) y manipulando se obtiene v(k + 1) = v(k ) − Cx(k + 1) + r (k + 1) v(k + 1) = v(k ) − C(Gx(k ) + Hu(k )) + r (k + 1) Si la entrada de referencia es una entrada tipo escalón entonces se cumplen las siguientes equivalencias: r (k + 1) = r (k ) = r (0) = r () Por lo tanto se obtiene:

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(3.52) v(k + 1) = −CGx(k ) + v(k ) − CHu(k ) + r (k ) De las ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.46) se obtiene un sistema de control ampliado como sigue: Ecuación de estado 0  x ( k )   H  x(k + 1)  G 0   v(k + 1)  = − CG 1  v(k )  + − CHu (k ) + 1 r (k ) (3.53)          Ecuación de salida  x( k )  (3.54) y (k ) = C 0   + Du (k )  v(k )  Ecuación de control  x( k )  (3.55) u (k ) = −K − k I     v(k )  Definiendo las siguientes expresiones  x( k )  de dimensión (n+1)×1 xˆ (k ) =    v(k )  0 ˆ = G de dimensión (n+1)×(n+1) G − CG 1    H  de dimensión (n+1)×1 Ĥ =   − CH  0  de dimensión (n+1)×1 H=  1 ˆ = C 0 C de dimensión 1×(n+1) ˆ =D=0 D de dimensión 1×1 K̂ = K − k I 

de dimensión 1×(n+1)

Las ecuaciones (3.47), (3.48) y (3.49) o las ecuaciones (3.53), (3.54) y (3.55) se pueden escribir respectivamente como  ˆ xˆ (k ) + H ˆ u (k ) + Hr (k ) xˆ (k + 1) = G (3.56) ˆ xˆ (k ) + D ˆ u (k ) y (k ) = C (3.57) ˆ xˆ (k ) u ( k ) = −K (3.58) Para usar el método de ubicación de polos del sistema representado en la figura 3.5 se debe de transformar el sistema a uno de regulación alrededor de xˆ (k  ) .

Evaluando al sistema de control cuando k→∞ como sigue  ˆ xˆ (k ) + H ˆ u (k ) + Hr (k ) xˆ (k  + 1) = G (3.59)    ˆ xˆ (k ) u (k  ) = −K (3.60)  Si se define la variación del estado actual con el estado en el infinito del sistema como xˆ (k ) = xˆ (k ) − xˆ ( k  ) , u (k ) = u (k ) − u (k  ) (3.61) La entrada r(k) de referencia se considera un escalón por lo tanto se obtiene r (k ) = r (k + 1) = r (k  ) = r (3.62)

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Restando las ecuaciones (3.56) y (3.59) se obtiene  ˆ (xˆ (k ) − xˆ (k )) + H ˆ (u (k ) − u (k )) + H(r (k ) − r (k )) (3.63) xˆ (k + 1) − xˆ (k  + 1) = G    Evaluando las variables residuales en la ecuación (3.63) se obtiene ˆ xˆ (k ) + H ˆ u (k ) (3.64) xˆ (k + 1) = G Restando las ecuaciones (3.58) y (3.60) se obtiene ˆ (xˆ (k ) − xˆ (k )) (3.65) u ( k ) − u ( k  ) = −K  Evaluando las variables residuales en la ecuación (3.65) se obtiene ˆ xˆ (k ) (3.66) u (k ) = −K Las ecuaciones (3.64) y (3.66) representan un sistema de regulación del sistema alrededor de x(k∞) entonces al reemplazar la ecuación (3.66) en la ecuación (3.64) se obtiene la ecuación con realimentación de estados como ˆ xˆ (k ) − H ˆ −H ˆK ˆ xˆ (k ) = (G ˆK ˆ )xˆ (k ) (3.67) xˆ (k + 1) = G La matriz K̂ de realimentación de estados del sistema obtenido en lazo cerrado de la ecuación (3.67) se elige para que el sistema satisfaga las especificaciones para el régimen transitorio y se determina, de tal forma que los valores característicos ˆ −H ˆK ˆ sean los polos en lazo cerrado deseados: μ1 , μ2 , ... , μn+1 , de la matriz G los que resultan de la ecuación característica siguiente ˆ +H ˆK ˆ =0 zIˆ − G (3.68)

(

)

El diseño de la matriz K̂ se realiza utilizando cualquiera de los métodos de diseño de un sistema regulador visto en la sección 3.3 mediante el método de ubicación de polos de tal manera que el sistema debe ser asintóticamente estable.

Al reemplazar la ecuación (3.58) en la ecuación (3.56) se obtiene  ˆ xˆ (k ) − H ˆK ˆ xˆ (k ) + Hr (k ) xˆ (k + 1) = G  ˆ −H ˆK ˆ )xˆ (k ) + Hr (k ) xˆ (k + 1) = (G (3.69) Reemplazando la ecuación (3.58) en la ecuación (3.57) se obtiene la ecuación de respuesta del sistema  ˆ xˆ (k ) − D ˆK ˆ xˆ (k ) + Dr (k ) y (k ) = C  ˆ −D ˆK ˆ )xˆ (k ) + Dr (k ) y (k ) = (C (3.70) En un sistema lineal invariante en el tiempo si se aplica una entrada constante, los estados del sistema llegan a un punto de equilibrio en estado permanente, es decir xˆ (k  + 1) = xˆ (k  )  v(k  + 1) = v(k  ) (3.71) Teniendo en cuenta las ecuaciones (3.45) o (3.51) y (3.71) se demuestra que el error en estado estacionario es cero ante una entrada tipo escalón del siguiente modo: v(k  + 1) = v(k  ) = v(k  ) + e(k  ) → e(k  ) = y (k  ) − r = 0 → y (k  ) = r 3.6 DISEÑO DE ESTIMADORES DE ESTADO (OBSERVADORES) MEDIANTE EL METODO DUAL VIA UBICACION DE POLOS En la práctica no todas las variables de estado estarán accesibles, de forma que algunas de ellas no se podrán medir. Para aplicar el método de localización de polos, es necesario estimar aquellas variables que no se puedan medir directamente.

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Un observador o estimador de predicción de estados, es un subsistema del sistema de control que lleva a cabo una estimación de las variables de estado del sistema a partir de las medidas de las variables de salida y las variables de control del sistema.

Un observador de orden completo es cuando estima todas las variables de estado del sistema, es de orden reducido cuando no estima todas las variables de estado y es de orden mínimo cuando estima únicamente las variables no medibles.

Observador de orden completo para sistemas de simple salida. Cuando el vector real x(k) no está disponible o no es medible en forma directa se diseña un estimador de estados para que un vector estimado ~x ( k ) sea lo mas cercano al vector de estados real x(k).

Considerando el sistema de control completamente observable descrito por las ecuaciones (3.1) y (3.2) definidas por x(k + 1) = Gx(k ) + Hu(k ) y(k ) = Cx(k ) + Du(k ) Teniendo en cuenta que las señales y(k) e ~y (k ) se pueden medir por lo tanto la ecuación dinámica del observador de estados, se escribe como ~ (3.72) x (k + 1) = G~ x (k ) + Hu (k ) + K e ( y(k ) − ~ y (k )) ~ ~ y (k ) = Cx (k ) + Du (k ) (3.73) donde Ke es una matriz de ponderación de estados de dimensión n×1.

Las ecuaciones (3.1), (3.2), (3.72) y (3.73) se representan en un diagrama de bloques en la figura 3.7 D u(k)

H

x(k+1)

z-1I

x(k)

y(k) C

G Ke ~ x (k + 1)

-1

H

z I

~ x (k ) C

~ y (k )

G D

Figura 3.7 Sistema de control con estimador predicción de estados Reemplazando las ecuaciones (3.2) y (3.73) en la ecuación (3.72) y operando se obtiene

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~ x (k + 1) = G~ x (k ) + Hu (k ) + K e (Cx(k ) + Du (k ) − C~ x (k ) − Du (k )) ~ ~ ~ x (k + 1) = Gx (k ) + Hu (k ) + K (Cx(k ) − Cx (k )) e

~ (3.74) x (k + 1) = G~ x (k ) + Hu (k ) + K e C(x(k ) − ~ x (k )) El sistema de control representado mediante la figura 3.7 y expresado mediante las ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.74) se puede representar mediante un esquema simplificado en la figura 3.8. u(k)

x( k + 1) = Gx( k ) + Hu ( k )

y(k)

y (k ) = Cx(k ) + Du (k ) Cx(k) ~ x ( k + 1) = G~ x ( k ) + H u ( k ) + K e C( x ( k ) − ~ x ( k ))

~ x (k )

Figura 3.8 Sistema de control reducido con estimador de estados Para determinar los valores de la matriz Ke se obtiene la ecuación de error del observador restando la ecuación (3.74) de la ecuación (3.1) como sigue x(k + 1) − ~ x (k + 1) = G(x(k ) − ~ x (k )) − K e C(x(k ) − ~ x (k )) (3.75) ~ Definiendo un vector e(k) que representa la diferencia entre x(k) y x ( k ) e( k ) = x ( k ) − ~ x (k ) Empleando el vector e(k) en la ecuación (3.75) se determina la ecuación siguiente e(k + 1) = Ge(k ) − K e Ce(k ) e(k + 1) = (G − K e C)e(k ) (3.76) La ecuación (3.76) describe la dinámica del observador por lo que se debe diseñar la ganancia Ke de forma muy apropiada para que el vector del error e(k) tienda asintóticamente a cero a una velocidad lo suficientemente rápido. Para determinar el valor de Ke se puede utilizar el método de la ubicación de polos de tala manera que los valores propios de la matriz (G-KeC) sean estables. zI − G + K e C = ( z − 1 )( z −  2 ) ( z −  n ) (3.77) Sistema dual. Mediante el principio de “no unicidad de la representación en el espacio de estado” de la sección 2.3 se puede representar un sistema de control dual al sistema original descrito por las ecuaciones (3.1) y (3.2) como (3.78) xˆ (k + 1) = GT xˆ (k ) + CT uˆ (k ) (3.79) yˆ (k ) = HT xˆ (k ) + Duˆ (k ) Las matrices G, H, C, D son las mismas que las matrices de las ecuaciones (3.1) y (3.2). Considerando al sistema descrito por las ecuaciones (3.78) y (3.79) como sistema de regulación definido entonces la señal de control se expresa como uˆ (k ) = −Kxˆ (k ) (3.80) Reemplazando la ecuación (3.80) en la ecuación (3.78) se obtiene (3.81) xˆ (k + 1) = (GT − CT K )xˆ (k )

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El polinomio característico del sistema dado por la ecuación (3.81) se escribe como

zI − G T + CT K = ( z − 1 )( z − 2 ) ( z − n )

(3.82)

Aplicando la propiedad del determinante |A| = |AT| entonces la ecuación (3.82) también se expresa por

zI − G + K T C = ( z − 1 )( z − 2 )( z − n )

(3.83)

Al comparar las ecuaciones (3.77) y (3.83) y si los polos de lazo cerrado son iguales es decir  i = i entonces igualando las ecuaciones (3.77) y (3.83) se obtiene zI − G + K e C = zI − G + K T C

(3.84)

De la ecuación (3.84) se deduce que K e = KT (3.85) Si se calcula la matriz K usando cualquiera de los métodos utilizados anteriormente de diseño de un regulador mediante la ubicación de polos, entonces se determina la matriz de ganancia de estimación Ke .

Método algorítmico. Para usar este método se aplica la fórmula de la ecuación (3.18) y se obtiene la matriz K de realimentación de estados del sistema dual descrito por las ecuaciones (3.78) y (3.79) del siguiente modo

( )−1

K =  n − a n  n−1 − a n−1   2 − a 2 1 − a1  QT

(3.86) La matriz Q de la ecuación (3.86) es la matriz de transformación similar a la matriz T de la ecuación (3.12) es decir T

QT = N T W (3.87) La matriz W es la misma matriz que la de la ecuación (3.14) es decir  a n −1 a n − 2  a1 1 a   n − 2 a n − 3  1 0 W=       1  0 0  a1  1 0  0 0 La matriz NT es la matriz de controlabilidad del sistema dual del sistema descrito por las ecuaciones (3.78) y (3.79) similar a al matriz de la ecuación (3.3) es decir





(3.88) NT = CT GT CT (GT ) 2 CT  (GT ) n −1 CT Los coeficientes ai y αi son los mismos que de las ecuaciones (3.11) y (3.16).

Aplicando la transpuesta a ambos miembros de la ecuación (3.86) y sabiendo que (A-1)T = (AT)-1 y (AT)T = A-1 se obtiene (3.89) K T = Q −1  n − a n  n−1 − a n−1   2 − a 2 1 − a1 T De las ecuaciones (3.85) y (3.89) se obtiene la ganancia Ke del estimador como

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  n − an     n−1 − a n−1   K e = Q −1       2 − a2   1 − a1 

(3.90)

La matriz Q de la ecuación (3.90) aplicando la transpuesta a ambos miembros de la ecuación (3.81) se determina como Q = WN (3.91) Aplicando la transpuesta a ambos miembros de la ecuación (3.88) se obtiene  C   CG    N =  CG 2  (3.92)      CG n −1  La matriz N de la ecuación (3.92) es la misma matriz de observabilidad de la ecuación (3.4) por lo tanto si el sistema presenta observabilidad de estado completo se podrá determinar la inversa de la matriz Q y por consiguiente la matriz de ganancia del observador Ke. Fórmula de Ackermann. Para usar este método se aplica la fórmula de la ecuación (3.18) y se obtiene la matriz K de realimentación de estados del sistema dual descrito por las ecuaciones (3.72) y (3.73) aplicando la fórmula de la ecuación (3.21) del siguiente modo (3.93) K = 0 0  0 1 (NT ) −1 (G T ) Utilizando directamente la ecuación (3.85) se obtiene la ecuación

( )

−1 T  K e = K T =  (G T )T  N T  0 0  0 1T  

Aplicando propiedades de matrices se obtiene finalmente la expresión de la ganancia del estimador de predicción Ke mediante la fórmula de Ackermann 0  0    K e =  (G )N −1      0  1

(3.94)

La matriz N de la ecuación (3.94) es la misma matriz de la ecuación (3.92) La matriz  (G ) de la ecuación (3.94) es la misma matriz de la ecuación (3.20)

 (G ) = G n + 1G n −1 +  2 G n − 2 +  +  n −1G +  n I Donde los coeficientes  (G ) son los coeficientes del polinomio característico como resultado de ubicar los polos arbitrarios en el plano Z para el observador.

Método matemático. Si los valores característicos que se desean μ1, μ2, μ3 ..., μn de la matriz (G-KeC) son distintos entonces la matriz de ganancia de realimentación de estados requerida se puede expresar como

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 η1  η  Ke =  2       η n 

−1

1 1    1

Los vectores η i T son los vectores característicos de (G-KeC)T que satisfacen la siguiente ecuación ηi = C(G −  i I )−1 , i = 1, 2,  , n 3.7 EFECTO DEL ESTIMADOR DE ESTADOS EN UN SISTEMA DE CONTROL EN LAZO CERRADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS En el proceso del diseño de ubicación de polos, se había supuesto que el vector de estado verdadero x(t) estaba disponible para la realimentación, pero en la práctica en vector de estado real x(t) puede ser no medible, por lo que es necesario utilizar un vector de estado estimado ~x (t ) u observado, en lugar del vector de estado verdadero x(t), sobre la ecuación característica de un sistema de control en lazo cerrado.

Considerando el sistema de control completamente controlable y completamente observable descrito por las ecuaciones (3.1) y (3.2) definidas por x(k + 1) = Gx(k ) + Hu(k ) y(k ) = Cx(k ) + Du(k ) Para el control con realimentación del vector de estado basado en el vector de estado estimado ~x (t ) de tiene u ( k ) = − K~ x (k ) (3.95) Este vector de control se origina de las ecuaciones del estimador denotadas en las ecuaciones (3.72) y (3.73) como ~ x (k + 1) = G~ x (k ) + Hu (k ) + K e ( y(k ) − ~ y (k )) ~ y (k ) = C~ x (k ) + Du (k ) De las dos últimas ecuaciones se obtiene la ecuación (3.68) denotada como ~ x (k + 1) = G~ x (k ) + Hu (k ) + K e C(x(k ) − ~ x (k )) De las ecuaciones (3.1), (3.2), (3.74) y (3.95) se obtiene el diagrama de bloques de estado de un sistema de control (regulador de estado observado) tal como se muestra en la figura 3.9

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D u(k)

H

x(k+1)

z-1I

x(k)

y(k) C

G Ke ~ x (k + 1)

~ x (k ) -1

H

z I

C

G -K

Figura 3.9 Sistema de control con realimentación del vector de estado estimado Reemplazando la ecuación (3.95) en la ecuación (3.1) se obtiene la siguiente expresión x(k + 1) = Gx (k ) − HK ~ x (k ) = (G − HK )x(k ) + HK x(k ) − ~ x ( k ) (3.96) La ecuación (3.90) en función del vector de error de estimación e( k ) = x ( k ) − ~ x (k ) se convierte en x(k + 1) = (G − HK )x(k ) + HKe (k ) (3.97) Volviendo a restar la ecuación (3.68) de la ecuación (3.1) se obtiene la diferencia del estado real x(t) y del estado estimado ~x (t ) mediante la ecuación (3.76) que expresa el error de estimación e(k) denotada por e(k + 1) = (G − K e C)e(k ) Combinado las ecuaciones (3.97) y (3.82) se obtiene un sistema de control ampliado como HK  x(k ) x(k + 1) G − HK (3.98)  e(k + 1)  =  0 G − K e C  e(k )     La ecuación (3.98) describe la dinámica del sistema de control con realimentación de estado estimado. La ecuación característica para este sistema es zI − G + HK − HK =0 (3.99) 0 zI − G + K e C La expresión (3.99) aplicando propiedades del determinante se vuelve a escribir como zI − G + HK zI − G + K e C = 0 (3.100) La expresión (3.100) significa que el diseño del controlador y el diseño del estimador u observador son independientes uno del otro y se pueden aplicar

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métodos de diseño por separado y combinarse en forma independiente para formar el sistema de control con realimentación de estado observado.

Este mismo principio de diseño se aplica a sistemas de control con entrada de referencia distintas a cero, inclusive a sistemas de seguimiento que incluyen un integrador en lazo cerrado, conduciéndolo a un sistema de regulación.

Por lo general el observador se diseña de tal modo que su velocidad de respuesta sea más rápida que la respuesta del controlador. Los polos en lazo cerrado que se desea que se genere mediante realimentación de estados se seleccionan para que el sistema satisfaga los requisitos de desempeño. Los polos del observador se seleccionan para que el error de estimación tienda asintóticamente a cero a una velocidad suficientemente alta. Como el observador generalmente no es una estructura de hardware, sino un algoritmo, es posible aumentar la velocidad para que el vector de estado estimado converja con rapidez al vector de estado real.

Reemplazando la ecuación (3.95) en la ecuación (3.1) se obtiene la expresión x(k + 1) = Gx (k ) − HK ~ x (k ) (3.101) Reemplazando la ecuación (3.89) en la ecuación (3.68) se obtiene la expresión ~ x (k + 1) = G~ x (k ) − HK~ x (k ) + K e C(x(k ) − ~ x (k )) ~ ~ x (k + 1) = K e Cx(k ) + G − HK − K e C x (k ) (3.102) Para efectos de simulación una vez diseñado el sistema de control con vector de estado observado se puede obtener una nueva representación de estado para sistema de regulación haciendo uso de las ecuaciones (3.101) y (3.102) como − HK   x( k )   x(k + 1)   G = (3.103)  ~  ~   x (k + 1) K e C G − HK − K e C  x (k ) Reemplazando la ecuación (3.95) en la ecuación (3.2) se obtiene la expresión de la salida como y (k ) = Cx (k ) − DK ~ x (k )  x( k )  y (k ) = C − DK  ~  (3.104)  x (k ) La ecuación (3.95) de la expresión de la ley de control se puede modificar como  x( k )  u (k ) = −0 K  ~  (3.105)  x (k )

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4 DISEÑO DE CONTROLADORES Y OBSERVADORES DE SISTEMAS DE MULTIPLE ENTRADA Y MULTIPLE (MIMO) EN EL ESPACIO DE ESTADOS 4.1 INTRODUCION Al diseñar sistemas de control de múltiple entrada y múltiple (multivariable) salida usando el método de ubicación de polos en el plazo Z se presenta el inconveniente de obtener soluciones múltiples, cada solución presenta diversidad de formas en el transitorio y generalmente no cumplen con las especificaciones de tiempo elegidas, por lo tanto el escoger la solución más próxima o sea la mejor es un gran inconveniente.

Otro método a usar es el Control Optimo que consiste en optimar u optimizar el valor de una función seleccionada como el índice de desempeño y por lo tanto es de gran interés para los ingenieros de control.

Al diseñar un controlador multivariable mediante sistemas de control óptimo, se necesita encontrar una regla que determine la decisión de control presente, sujeta a ciertas restricciones, para minimizar la desviación del comportamiento ideal, esta medida es prevista, generalmente, por el índice de desempeño seleccionado que es una función cuyo valor se considera una indicación de qué tanto se parece el desempeño del sistema real al desempeñado deseado.

Formulación de un sistema de control multivariable Considerando un sistema de control lineal invariante en el tiempo de múltiple entrada y múltiple salida descrito mediante las ecuaciones de estado y de salida como (4.1) x(k + 1) = Gx(k ) + Hu (k ) (4.2) y(k ) = Cx(k ) + Du(k ) x(k) : vector de estado de n×1 y(k) : vector de salida de m×1 u(k) : vector de entrada o de control de r×1 G : matriz de estado de n×n H : matriz de entrada de n×r C : matriz de salida de m×n D : matriz de transmisión directa de m×r La representación gráfica de las ecuaciones (4.1) y (4.2) se muestra en la figura 4.1

D u(k)

H

x(k+1)

-1

z I

x(k)

y(k) C

G

Figura 4.1 Sistema de control multivariable en lazo abierto.

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El diagrama de bloques del sistema de control de la figura 4.1 se puede simplificar mediante la representación de gráfica de la figura 4.2 x( k + 1) = Gx( k ) + Hu ( k ) y ( k ) = Cx ( k ) + Du ( k )

u(k)

y(k)

x(k)

Figura 4.2 Sistema de control simplificado en lazo abierto.

Controlabilidad de un sistema de control multivariable Un sistema de control es de estado completamente controlable, si es posible transferir el sistema de un estado inicial arbitrario a cualquier otro estado deseado arbitrario en un tiempo finito.

La matriz de controlabilidad M de dimensión n×rn es





M = H GH G 2 H  G n −1H El sistema es controlable en estado completo si la matriz M tiene rango = n

(4.3)

Observabilidad de un sistema de control multivariable Un sistema de control es de estado completamente observable, si cualquier estado inicial x(0) se puede determinar a partir de la observación de y(kT) sobre un número finito de periodos de muestreo. El sistema, por lo tanto, es completamente observable, si cualquier transición del estado de manera eventual afecta a todos los elementos del vector de salida.

La matriz de observabilidad N de dimensión nm×n es  C   CG    N =  CG 2  (4.4)      CG n −1  El sistema es observable en estado completo si la matriz N tiene rango = n 4.2 DISEÑO DE UN CONTROLADOR (REGULADOR) CON ENTRADA DE REFERENCIA NULA En el diseño de controladores en realimentación del vector de estado x(k) de dimensión n×1 cuando el vector de control u(k) de dimensión r×1 para un sistema controlable en estado completo y descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2), se elige el vector de control expresado como (4.5) u(k ) = −Kx (k ) Para determinar la matriz de ganancias de estados K de dimensión r×n se siguen los siguientes pasos: 1.

Determinar si el par (G, H) es controlable en estado completo, es decir si la matriz de controlabilidad M de dimensión n×rn tiene rango n.

2.

Obtener aleatoriamente una matriz KS de dimensión r×n y definir G0=G-HKS de tal modo que G0 presente valores propios distintos, sino elegir otra matriz Ks .

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3.

4.

5.

6.

Realizar una combinación lineal aleatoria de las columnas de H para generar H0=Hv de tal manera que el par (G0, H0) representa un sistema equivalente de entrada simple. Es decir G0, tiene dimensión n×n, H0 dimensión n×1 y el vector v debe tener dimensión r×1 Asignar el espectro o conjunto deseado de polos ubicados en lazo cerrado μ1, μ2, ..., μn y determinar la matriz de realimentación de estados K0 usando cualquier método de diseño mediante ubicación de polos de sistemas de regulación con entrada simple vistos en capítulo 3 tal que los valores propios de (G0-H0K0) sean iguales a los polos deseados en lazo cerrado.

Determinar la matriz deseada de realimentación K haciendo K=Ks+vK0 Comprobar que la matriz (G-HK) presente el mismo espectro deseado.

La representación gráfica del sistema de control simplificado expresado mediante las ecuaciones (4.1), (4.2) y (4.5) se muestra en la figura 4.3 x( k + 1) = Gx( k ) + Hu ( k ) y ( k ) = Cx ( k ) + Du ( k )

u(k)

y(k)

x(k) -K

Figura 4.3 Sistema de control en lazo cerrado.

Al reemplazar la ecuación (4.5) en la ecuación (4.1) se obtiene x( k + 1) = (G − HK )x(k ) La solución de la ecuación de estado es

x(k ) = (G − HK ) k x(0) Reemplazando la ecuación (4.5) en la ecuación (4.2) resulta y(k ) = Cx(k ) − DKx(k ) = (C − DK)x(k )

(4.6) (4.7) (4.8)

4.3 DISEÑO DE OBSERVADORES DE ESTADO DE MÚLTIPLE SALIDA MEDIANTE EL METODO DE UBICACION DE POLOS Cuando el vector real x(k) no está disponible o no es medible en forma directa de diseña un estimador de estados para que un vector estimado ~x ( k ) sea lo más cercano al vector de estados real x(k).

Considerando el sistema de control completamente observable descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2) definidas por x(k + 1) = Gx(k ) + Hu (k ) y(k ) = Cx(k ) + Du(k ) y ( k ) se pueden medir por lo tanto la Teniendo en cuenta que las señales y(k) e ~ ecuación dinámica del observador de estados, se escribe como ~ x (k + 1) = G~ x (k ) + Hu (k ) + K e (y (k ) − ~ y (k )) (4.9) ~ ~ y (k ) = Cx (k ) + Du (k ) (4.10) donde Ke es una matriz de ponderación de estados de dimensión n×m.

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Las ecuaciones (4.1), (4.2), (4.9) y (4.10) se representan en un diagrama de bloques en la figura 4.4 D u(k)

x(k+1)

H

z-1I

y(k)

x(k)

C

G Ke ~ x ( k + 1)

~ x (k ) -1

H

z I

~ y (k )

C

G D

Figura 4.4 Sistema de control con estimador predicción de estados Reemplazando las ecuaciones (4.2) y (4.10) en la ecuación (4.9) y operando se obtiene ~ x (k + 1) = G~ x (k ) + Hu (k ) + K e (Cx(k ) + Du(k ) − C~ x (k ) − Du(k )) ~ ~ ~ x (k + 1) = Gx (k ) + Hu (k ) + K e C(x(k ) − x (k )) (4.11) El sistema de control representado mediante la figura 4.4 y expresado mediante las ecuaciones (4.1), (4.2) y (4.11) se puede representar mediante un esquema simplificado en la figura u(k)

x( k + 1) = Gx( k ) + Hu ( k )

y(k)

y (k ) = Cx(k ) + Du(k ) Cx(k) ~ x ( k + 1) = G~ x ( k ) + Hu ( k ) + K e C( x( k ) − ~ x ( k ))

~ x (k )

Figura 4.5 Sistema de control reducido con estimador de estados Para determinar los valores de la matriz Ke se obtiene la ecuación de error del observador restando la ecuación (4.1) de la ecuación (4.11) y se obtiene x(k + 1) − ~ x (k + 1) = G(x(k ) − ~ x (k )) − K e C(x(k ) − ~ x (k )) (4.12) Definiendo un vector e(k) que representa la diferencia entre x(k) y ~x ( k ) e( k ) = x ( k ) − ~ x (k )

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Empleando el vector e(k) en la ecuación (4.12) se determina la ecuación siguiente e(k + 1) = Ge(k ) − K e Ce(k ) (4.13) e(k + 1) = (G − K e C)e(k ) La ecuación (4.13) describe la dinámica del observador por lo que se debe diseñar la ganancia Ke de forma muy apropiada para que el vector del error e(k) tienda asintóticamente a cero a una velocidad lo suficientemente rápido. Para determinar el valor de Ke se puede utilizar el método de la ubicación de polos de tal manera que los valores propios de la matriz G-KeC sean estables. zI − G + K e C = ( z − 1 )( z −  2 ) ( z −  n ) (4.14) Sistema dual. Mediante el principio de “no unicidad de la representación en el espacio de estado” de la sección 2.3 se puede representar un sistema de control dual al sistema original descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2) como (4.15) xˆ (k + 1) = GT xˆ (k ) + CT uˆ (k ) T (4.16) yˆ (k ) = H xˆ (k ) + Duˆ (k ) Las matrices G, H, C, D son las mismas que las matrices de las ecuaciones (4.1) y (4.2). Considerando al sistema descrito por las ecuaciones (4.15) y (4.16) como sistema de regulación definido, entonces la señal de control se expresa como uˆ (k ) = −Kxˆ (k ) (4.17) Reemplazando la ecuación (4.17) en la ecuación (4.15) se obtiene (4.18) xˆ (k + 1) = (GT − CT K )xˆ (k ) El polinomio característico del sistema dado por la ecuación (4.18) se da por

zI − G T + CT K = ( z − 1 )( z − 2 ) ( z − n )

(4.19)

Aplicando la propiedad del determinante |A| = |AT| entonces la ecuación (4.19) también se expresa como

zI − G + K T C = ( z − 1 )( z − 2 )( z − n )

(4.20)

Al comparar las ecuaciones (4.14) y (4.20) y si los polos de lazo cerrado son iguales es decir  i = i entonces igualando las ecuaciones (4.14) y (4.20) se obtiene zI − G + K e C = zI − G + K T C (4.21) De la ecuación (4.21) se deduce que K e = KT (4.22) Si se calcula la matriz K usando el algoritmo de solución de un sistema de control multivariable, entonces se determina la matriz de ganancia de estimación Ke

4.4 SISTEMAS DE CONTROLADOR OPTIMO Un sistema de control óptimo minimiza (o maximiza) el índice de desempeño seleccionado, este índice, en realidad determina la configuración del sistema. Un

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sistema de control que es óptimo bajo un índice de desempeño por lo general no es óptimo bajo otro índice de desempeño.

Los problemas de control óptimo que se pueden resolver en forma analítica, dan una buena visión de las estructuras y algoritmos óptimos que se pueden aplicar a casos prácticos.

Formulación de un sistema de optimización El problema de un sistema de optimización de un sistema de control se puede formular si se tiene la siguiente información: Ecuaciones del sistema, clase de vectores de control permitidos, índice de desempeño y parámetros del sistema.

La solución de un problema de control óptimo consiste en determinar el vector de control óptimo dentro de la clase de vectores de control permitidos. El vector de control depende de la naturaleza del índice de desempeño, de la naturaleza de restricciones, del estado inicial o salida inicial y del estado deseado o salida deseada.

Considerando un sistema de control multivariable lineal invariante en el tiempo descrito mediante las ecuaciones de estado (4.1) y de salida (4.2) como x(k + 1) = Gx(k ) + Hu (k ) y(k ) = Cx(k ) + Du(k ) Donde (k = 0, 1, 2, ..., N-1) y el estado inicial arbitrario es x(0) = c y la secuencia u(0), u(1), u(2), ..., u(N-1) son los vectores de control óptimos que minimiza un índice de desempeño cuadrático.

4.4.1 CONTROL OPTIMO CUADRÁTICO NO ESTACIONARIO Ley de control óptimo La ley de control óptimo para un sistema de regulación se determina mediante la ecuación (4.23) u(k ) = −K(k)x(k ) Donde K(k) es una matriz de r×n variante en el tiempo. Si N = ∞, entonces K(k) es una matriz constante de r×n.

Indice de desempeño cuadrático.

En el problema de control óptimo cuadrático se desea determinar una ley para el vector de control u(k) tal que un índice de desempeño cuadrático se minimice. Un ejemplo de índice de desempeño cuadrático es J=



N −1

1 T 1 x ( N )Sx( N ) + xT (k )Qx(k ) + u T (k )Ru(k ) 2 2 k =0



(4.24)

Donde las matrices S y Q son matrices de ponderación simétricas definidas positivas o semidefinidas positivas y la matriz R es una matriz de ponderación, simétrica definida positiva. Estas matrices se seleccionan para valorar la importancia relativa de la contribución en el desempeño debido al vector de estado x(k) (k = 0, 1, 2, ... , N-1). Al vector de control u(k) (k = 0, 1, 2, ... , N-1) y al estado final x(N), respectivamente.

El primer término dentro de los corchetes de la sumatoria toma en cuenta la importancia relativa del error durante el proceso de control y el segundo término toma en cuenta el gasto de energía de la señal de control.

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Al emplear un conjunto de multiplicadores de Lagrange λ(1), λ(2), ..., λ(N), se define un nuevo índice de desempeño L como: L=J +





N −1

1 T (k + 1)Gx(k ) + Hu (k ) − x(k + 1) + Gx(k ) + Hu (k ) − x(k + 1)T λ (k + 1) 2 k =0

(4.25) Donde J está expresado mediante la ecuación (4.24) J=



N −1

1 T 1 x ( N )Sx( N ) + xT (k )Qx(k ) + u T (k )Ru(k ) 2 2 k =0



Para minimizar la función L, se necesita diferenciar L respecto a cada uno de los componentes de los vectores x(k), u(k) y λ(k) e igualar los resultados a cero. Por lo tanto se tiene L = 0  Qx(k ) + G T λ (k + 1) − λ (k ) = 0 , k = 1, 2,  , N − 1 (4.26) x(k ) L = 0  Sx( N ) − λ ( N ) = 0 (4.27) x( N ) L = 0  Ru(k ) + H T λ (k + 1) = 0 , k = 0, 1, 2,  , N − 1 (4.28) u(k ) L = 0  Gx(k − 1) + Hu (k − 1) − x(k ) = 0 , k = 1, 2,  , N (4.29) λ (k ) Modificando adecuadamente la ecuación (4.26) se tiene

 (k ) = Qx(k ) + GT λ(k + 1) ,

k = 1, 2, , N − 1

(4.30)

Con la condición final λ ( N ) = Sx( N ) Al resolver la ecuación (4.28) para u(k) y sabiendo que R-1 existe, se obtiene (4.31) u(k ) = −R −1HT λ(k + 1) , k = 0, 1, 2, , N − 1 La ecuación (4.29) resulta ser la ecuación de estado y se puede escribir como (4.32) x(k + 1) = Gx(k ) + Hu(k ) , k = 0, 1, 2, , N − 1 Al sustituir la ecuación (4.31) en la ecuación (4.32) se obtiene (4.33) x(k + 1) = Gx(k ) − HR −1HT λ (k + 1) Con la condición inicial x(0) = c .

Para obtener la solución al problema de minimización, se necesitan resolver las ecuaciones (4.30) y (4.33) en forma simultánea con dos puntos de frontera λ ( N ) = Sx( N ) y x(0) = c respectivamente determinando el valor óptimo para el vector x(k) y para el vector λ(k) y el vector de control óptimo u(k) se puede obtener en la forma de lazo abierto. Sin embargo, si se emplea la ecuación de Riccati, el vector u(k) se puede obtener en la forma de lazo cerrado como en la ecuación (4.23) es decir u(k ) = −K(k)x(k ) Si se supone que el vector de multiplicadores de Lagrange λ(k) se puede aplicar la transformación de Riccati al definir λ(k) como (4.34) λ (k ) = P(k)x(k ) Donde P(k) es una matriz simétrica definida positiva o semidefinida positiva de dimensión n×n.

Al sustituir la ecuación (4.34) en la ecuación (4.30) resulta

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P(k)x(k ) = Qx(k ) + GT P(k + 1 )x(k + 1) Al sustituir la ecuación (4.34) en la ecuación (4.33) se obtiene x(k + 1) = Gx(k ) − HR −1HT P(k + 1 )x(k + 1) La ecuación (4.36) se puede escribir como

I + HR

−1 T



(4.35) (4.36)

H P(k + 1 ) x(k + 1) = Gx(k )

(4.37)

x(k + 1) = I + HR −1H T P(k + 1 ) Gx(k ) Al sustituir la ecuación (4.38) en la ecuación (4.35), se obtiene



(4.38)

P(k)x(k ) = Qx(k ) + GT P(k + 1 )[I + HR −1HT P(k + 1 )]−1 Gx(k ) La ecuación (4.39) también se puede escribir como

(4.39)

La ecuación (4.37) se convierte en



−1

P(k) − Q − GT P(k + 1)[I + HR −1HT P(k + 1)]−1Gx(k ) = 0

(4.40) En la última ecuación se debe cumplir para todo vector x(k). Por lo tanto se obtiene (4.41) P(k) = Q + GT P(k + 1 )[I + HR −1HT P(k + 1 )]−1 G La ecuación (4.41) se puede modificar al utilizar el lema de inversión de matrices

(A + BD)−1 = A −1 − A −1B(I + DA −1B )

−1

DA −1

Al hacer las sustituciones

A = I , B = HR −1 , Se obtiene

D = HT P(k + 1 )

[I + HR −1HT P(k + 1 )]−1 = I − HR −1[I + HT P(k + 1 )HR −1 ]−1 HT P(k + 1 ) [I + HR −1H T P(k + 1 )]−1 = I − H[R + H T P(k + 1 )H]−1 H T P(k + 1 ) En consecuencia la ecuación (4.41) se puede modificar a P(k) = Q + GT P(k + 1 )G − GT P(k + 1 )H[R + HT P(k + 1 )H]−1 HT P(k + 1 )G (4.42) La ecuación (4.42) se denomina ecuación de Riccati.

En referencia a las ecuaciones (4.27) y (4.34), para el valor de k = N se obtiene P( N )x( N ) = λ ( N ) = Sx( N ) . Entonces P(N ) = S Mediante la ecuación (4.34) se puede obtener (4.43) λ (k + 1) = P(k + 1 )x(k + 1) Reemplazando la ecuación de estado (4.32) en la ecuación (4.43) λ (k + 1) = P(k + 1 ) Gx (k ) + Hu (k ) (4.44) Sustituyendo la ecuación (4.44) en la ecuación de control (4.31) se obtiene u(k ) = −R −1HT P(k + 1 )Gx(k ) − R −1HT P(k + 1 ) Hu(k ) Despejando el vector de control óptimo u(k) obteniéndose como

(4.45)

(4.46) u(k ) = −[I + R −1HT P(k + 1 ) H]−1 R −1HT P(k + 1 )Gx(k ) Modificando la ecuación (4.46) se obtiene la siguiente ley de control óptima como (4.47) u(k ) = −[R + HT P(k + 1 ) H]−1 HT P(k + 1 )Gx(k ) Relacionado la ecuación (4.23) con la ecuación (4.47) se obtiene la expresión para la matriz de realimentación K(k) como sigue

K(k ) = [R + HT P(k + 1 ) H]−1 HT P(k + 1 )G

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(4.48)

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La ecuación (4.48) indica que la matriz de realimentación K(k) variante en el tiempo se puede calcular antes de que el proceso comience, conociendo las matrices G, H, Q, R y S y el valor de k=N. Existen otras formas equivalentes para representar la matriz de realimentación K(k). En la figura 4.6 se muestra el esquema de control óptimo del sistema regulador no estacionario basado en el índice de desempeño cuadrático. x( k + 1) = Gx( k ) + Hu ( k )

u(k) Precálculo de K(k)

y(k)

y (k ) = Cx(k ) + Du (k ) -K(k) x(k)

Figura 4.6 Sistema regulador óptimo basado en el índice de desempeño cuadrático Al realizar manipulaciones se puede evaluar el valor mínimo del índice de desempeño. Es decir N −1   1 1  (4.49) min( J ) = min  xT ( N )Sx( N ) + xT (k )Qx(k ) + uT (k )Ru(k )  2 2 k =0     Obteniéndose el valor mínimo del índice de desempeño J como 1 J min = xT (0)P(0)x(0) (4.50) 2





4.4.2 CONTROL OPTIMO CUADRÁTICO EN ESTADO ESTACIONARIO SE UN SISTEMA REGULADOR Cuando se considera el sistema de control óptimo cuadrático con el proceso sin limitaciones, o cuando N→∞ (proceso de etapas infinitas). Como N→∞, la solución de control óptimo se convierte en una solución de estado estacionario, y la matriz de ganancia variante en el tiempo K(k) se convierte en una matriz de ganancia constante K y se llama matriz de ganancia en estado estacionario.

Considerando el sistema descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2) como x(k + 1) = Gx(k ) + Hu (k ) y(k ) = Cx(k ) + Du(k ) Teniendo en cuenta el control óptimo cuadrático en estado estacionario de un sistema regulador, el índice de desempeño J se modifica a 1  (4.51) J =  x T (k )Qx(k ) + u T (k )Ru(k ) 2 k =0 El índice de desempeño J, cuando N = ∞, converge a una constante, x(∞) = 0 por





lo tanto (1 / 2) xT ()Sx() = 0 La matriz de estado estacionario P(k) se define como P (matriz real simétrica definida positiva). Entonces la ecuación de Ricatti (4.42) se convierte en (4.52) P = Q + GT PG − GT PH[R + HT PH]−1 HT PG La matriz de ganancia en estado estacionario K se obtiene modificando la ecuación (4.48) como

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(4.53) K = [R + HT P H]−1 HT PG La ley de control óptimo para la operación en estado estacionario está dada por (4.54) u(k ) = −Kx (k ) El índice de desempeño J asociando la ley de control óptimo en estado estacionario se obtiene de la ecuación (4.50) como 1 J min = xT (0)Px(0) (4.55) 2 Al implantar el controlador óptimo en estado estacionario (invariante en el tiempo) se requiere solucionar en estado estacionario la ecuación de Ricatti. Una forma es resolviendo la ecuación de Ricatti de la expresión (4.52) o también invirtiendo la dirección del tiempo de la ecuación de Ricatti (4.42) modificándose a la forma siguiente

P(k + 1 ) = Q + GT P(k)G − GT P(k)H[R + HT P(k)H]−1 HT P(k)G (4.56) La solución de la ecuación (4.56) comienza con P(0) = 0, e iterar la ecuación hasta obtener una solución en estado estacionario, es decir obtener una matriz P constante.

La representación gráfica del sistema de control óptimo en estado estacionario se muestra en la figura 4.7 x( k + 1) = Gx( k ) + Hu ( k ) y ( k ) = Cx ( k ) + Du ( k )

u(k)

y(k)

x(k) -K

Figura 4.7 Sistema de control en lazo cerrado.

4.5 DISEÑO DE UN CONTROL OPTIMO CUADRÁTICO EN ESTADO ESTACIONARIO DE SEGUIMIENTO (PROPROCIONAL) Sea el sistema de control de múltiple entrada descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2) definas como x(k + 1) = Gx(k ) + Hu (k ) y(k ) = Cx(k ) + Du(k ) La variable de control u(k) no acotada se puede expresar como u(k ) = −Kx (k ) + K 0r (k ) (4.57) Donde el vector r(k) es el vector de referencia m×1 del mismo tamaño que el vector de salida y(k), la matriz K es la matriz de ganancia de realimentación de estado de dimensión r×n, y la matriz K0 es una matriz de compensación ajustable proporcional r×m.

En la figura 4.8 se muestra el diagrama de bloques correspondiente a las ecuaciones (4.1), (4.2), y (4.57), que representa a un sistema de control óptimo en lazo cerrado.

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r(k)

x(k + 1) = Gx(k ) + Hu(k )

u(k)

K0

y(k)

y (k ) = Cx(k ) + Du(k ) x(k) K

Figura 4.8 Sistema de control óptimo proporcional y precompensador Para determinar la ganancia óptima K en estado estacionario del sistema representado en la figura 4.8 se debe de llevar a un sistema de regulación óptimo cuadrático alrededor de x(k∞) evaluando al sistema de control cuando k→∞ como se ha procedido en el capítulo 3 para un sistema de control seguimiento a un escalón con precompensador de simple entrada obteniéndose la matriz óptima de ganancia K en estado estacionario dada en la expresión (4.53) y escrita como

K = [R + HT P H]−1 HT PG Donde la matriz P se obtiene de la matriz de Ricatti dada en la ecuación (4.52) y volviéndola a escribir como P = Q + GT PG − GT PH[R + HT PH]−1 HT PG La solución de la ecuación de Ricatti en estado estacionario se obtiene mediante la ecuación (4.56) como P(k + 1 ) = Q + GT P(k)G − GT P(k)H[R + HT P(k)H]−1 HT P(k)G La ganancia de prealimentación K0 se selecciona para que el sistema en lazo cerrado tenga una ganancia unitaria en estado permanente, eliminado el error en estado estacionario ante una entrada escalón, r(k)=r. Obteniéndose como en la ecuación (3.41) pero en forma matricial como

(

K 0 = (C − DK )I − G + HK −1 H + D

)−1

(4.58)

4.6 DISEÑO DE UN CONTROL OPTIMO CUADRÁTICO EN ESTADO ESTACIONARIO DE SEGUIMIENTO (PROPORCIONAL-INTEGRAL) Sea el sistema de control de múltiple entrada descrito por las ecuaciones (4.1) y (4.2) definas como x(k + 1) = Gx(k ) + Hu (k ) y(k ) = Cx(k ) + Du(k ) , D = 0 La variable de control u(k) no acotada se puede expresar como u(k ) = −Kx (k ) + K I v (k ) (4.59) Donde el vector v(k) es un vector de m×1 del mismo tamaño que el vector de salida y(k), la matriz K es la matriz de ganancia de realimentación de estado de dimensión r×n, y la matriz KI es una matriz de ganancia integral de r×m.

La ecuación del integrador se escribe como (4.60) v(k ) = v(k − 1) + (r(k ) − y(k ))

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En la figura 4.9 se muestra el diagrama de bloques correspondiente a las ecuaciones (4.1), (4.2), (4.59) y (4.60) que representa un sistema de control óptimo en lazo cerrado. r(k)

e(k)

v(k)

1 1− z −1

u(k) KI

x(k + 1) = Gx( k ) + Hu (k )

y(k)

y (k ) = Cx(k ) x(k) K

Figura 4.9 Sistema de control óptimo de seguimiento proporcional - integral La ecuación (4.60) en base a las ecuaciones (4.1) y (4.2) se puede modificar como (4.61) v(k + 1) = −CGx(k ) + v(k ) − CHu(k ) + r(k + 1) De las ecuaciones (4.1), (4.2) y (4.61) se obtiene un sistema de control óptimo ampliado como sigue: Ecuación de estado 0  x( k )   H   x(k + 1)   G 0  (4.62)  v(k + 1) = − CG I   v(k ) + − CHu(k ) +  I r (k + 1)          Ecuación de salida  x( k )  (4.63) y (k ) = C 0    v(k ) Ecuación de control  x( k )  u(k ) = −K − K I   (4.64)   v(k ) Definiendo las siguientes expresiones  x( k )  xˆ (k ) =  de dimensión (n+m)×1   v(k ) 0  G Ĝ =   − CG I   H  Ĥ =   − CH  0  H=  I  ˆ = C 0 C

de dimensión (n+m)×(n+m) de dimensión (n+m)×r de dimensión (n+m)×r de dimensión m×(n+m)

ˆ =0 D de dimensión m×r ˆ K = K − K I  de dimensión r×(n+m) Las ecuaciones (4.62), (4.63) y (4.64) se pueden escribir como  ˆ xˆ (k ) + H ˆ u(k ) + Hr (k + 1) xˆ (k + 1) = G ˆ xˆ (k ) + D ˆ r (k ) y (k ) = C ˆ xˆ (k ) u ( k ) = −K

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(4.65) (4.66) (4.67)

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Para diseñar la ganancia óptima en estado estacionario K̂ del sistema de control descrito por las ecuaciones (4.65), (4.66) y (4.67) se transforma a un sistema de regulación alrededor de xˆ (k  ) evaluando al sistema de control cuando k→∞ como sigue  ˆ xˆ (k ) + H ˆ u(k ) + Hr (k + 1) (4.68) xˆ (k  + 1) = G    ˆ xˆ (k ) (4.69) u ( k ) = −K 



Si se define la variación del estado actual con el estado en el infinito del sistema como xˆ e (k ) = xˆ (k ) − xˆ (k  ) , u e ( k ) = u( k ) − u( k  ) La entrada r(k) de referencia se considera un escalón por lo tanto se obtiene r (k ) = r (k + 1) = r (k  ) = r (4.70) Restando las ecuaciones (4.65) y (4.68) se obtiene  ˆ (xˆ (k ) − xˆ (k )) + H ˆ (u (k ) − u (k )) + H(r (k + 1) − r (k + 1)) xˆ (k + 1) − xˆ (k  + 1) = G    (4.71) Evaluando con las variaciones de estados y entrada se obtiene ˆ xˆ (k ) + H ˆ u (k ) (4.72) xˆ e (k + 1) = G e e Restando las ecuaciones (44.67) y (4.69) se obtiene ˆ (xˆ (k ) − xˆ (k )) (4.73) u(k ) − u(k  ) = −K  Evaluando con las variaciones de estados y entrada se obtiene ˆ xˆ (k ) (4.74) u e (k ) = −K e Las ecuaciones (4.72) y (4.74) representan un sistema de regulación de un sistema de control óptimo alrededor de x(k∞). Por lo tanto, el diseño se convierte en determinar la matriz K̂ tal que minimice al siguiente índice de desempeño cuadrático discreto en estado estacionario J como sigue 1  ˆ xˆ (k ) + u T (k )R ˆ u (k ) (4.75) J =  xˆ Te (k )Q e e e 2 k =0





La matriz de ponderación Q̂ , es simétrica definida positiva o semidefinida positiva de (n+m)×(n+m) y la matriz de ponderación R̂ , es simétrica y siempre definida positiva de r×r .

Por lo tanto la matriz de ganancia óptima en estado estacionario K̂ de la ecuación (4.74) de control óptimo del sistema de control descrito por la ecuación que minimiza el índice de desempeño J descrito por la ecuación (4.76) se determina mediante la siguiente expresión ˆ ˆ = [R ˆ +H ˆ T Pˆ H ˆ ]−1 H ˆ T Pˆ G (4.76) K Donde la matriz P̂ sigue siendo una matriz simétrica definida positiva de dimensión (n+m)×(n+m) se obtiene de la matriz de Ricatti descrita como ˆ +G ˆ T Pˆ G ˆ −G ˆ T Pˆ H ˆ ˆ [R ˆ +H ˆ T Pˆ H ˆ ]−1 H ˆ T Pˆ G Pˆ = Q (4.77) La solución de la ecuación de Ricatti se obtiene mediante la ecuación siguiente ˆ +G ˆ T Pˆ (k)G ˆ −G ˆ T Pˆ (k)H ˆ ˆ [R ˆ +H ˆ T Pˆ (k)H ˆ ]−1 H ˆ T Pˆ (k)G (4.78) Pˆ (k + 1 ) = Q Al reemplazar la ecuación (4.67) en la ecuación (4.65) se obtiene ecuación de estado el lazo cerrado como

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 ˆ xˆ (k ) − H ˆK ˆ xˆ (k ) + Hr (k + 1) xˆ (k + 1) = G  ˆ −H ˆK ˆ )xˆ (k ) + Hr (k ) xˆ (k + 1) = (G

(4.79) En un sistema lineal invariante en el tiempo si se aplica una entrada constante, los estados del sistema llegan a un punto de equilibrio en estado permanente, es decir xˆ (k + 1) = xˆ (k )  v (k + 1) = v (k ) (4.80) Teniendo en cuenta las ecuaciones (4.60) y (4.80) se demuestra que el error en estado estacionario es cero ante una entrada tipo escalón del siguiente modo: v (k + 1) = v (k ) = v (k ) + e(k ) → e(k ) = y (k ) − r = 0 → y (k ) = r

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