control 3

SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL

Diseño de Controladores Digitales PID Las figuras P1.5.a y P1.5.b muestran dos variantes de un sistema de control digital con controlador PID en su forma de posición y en su forma de velocidad .

r(kT)

e(kT)

KP + KI

z z −1 + KD z −1 z

u(kT )

GP(z)

y(kT)

GD(kT) Figura P1.5.a Sistema de Control con PID digital en su forma posicional

r(kT)

e(kT)

KI

u(kT )

z z −1

G1(kT)

GP(z)

KP + KD

y(kT)

z −1 z

G2(kT) Figura P1.5.b Sistema de Control con I-PD digital en su forma de velocidad 1 − e − Ts  25  Donde G P ( z ) = Z    s s 2 + 6 s + 25  La frecuencia de muestreo es igual a  s = 50 rad/seg Para las dos estructuras de control se pide: a) Determinar las ganancias KP, KI, KD de los controladores para que los polos en lazo cerrado se ubiquen en el plano Z en z=0.6+0.6j, z=0.6-0.6j, z=0.35, Evaluar las funciones de transferencia pulso. b) Mostrar las graficas de: y(kT), e(kT), u(kT) para una entrada de un escalón unitario en r(kT) y evalué Mp, td, tp, tr, ts. c) Mostrar las gráficas de: y(kT), e(kT), u(kT) para una entrada de una rampa unitaria en r(kT) y evalué analítica y gráficamente ess.

Solución La función de transferencia pulso de Gp(z) con ωs=50 rad/seg es igual a 0.151088 z + 0.117245 GP ( z) = 2 z − 1.202156 z + 0.470489 Solución A a) La función de transferencia pulso del sistema de la figura P1.5.a de lazo cerrado es

Ing. José A. Machuca Mines

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G D ( z )G P ( z ) Y ( z) = R ( z ) 1 + G D ( z )G P ( z )

donde GD ( z) = K P + K I

z z −1 + KD z −1 z

Entonces ( K D ( z − 1) 2 + K P ( z − 1) z + K I z 2 )G P ( z ) Y ( z) = R( z ) z ( z − 1) + ( K D ( z − 1) 2 + K P ( z − 1) z + K I z 2 )G P ( z )

(

)

(K D + K P + K I )z 2 − (K P + 2 K D )z + K D G P ( z ) Y ( z) = R( z ) z ( z − 1) + (K D + K P + K I )z 2 − (K P + 2 K D )z + K D G P ( z ) Simplificando se obtiene

(

)

( K1 z 2 − K 2 z + K 3 )G P ( z ) Y ( z) = R ( z ) z ( z − 1) + ( K1 z 2 − K 2 z + K 3 )G P ( z )

donde K1 = K D + K P + K I K 2 = K P + 2K D K3 = K D Escribiendo la expresión de La FTP de lazo cerrado con la función Gp(z) desarrollada se obtiene (K1 z 2 − K 2 z + K 3 )(0.151088 z + 0.117245 ) Y ( z) = R ( z ) z(z − 1 )( z 2 − 1.202156 z + 0.470489 ) + (K1 z 2 − K 2 z + K 3 )(0.151088 z + 0.117245 ) Y ( z) (K1z 2 − K 2 z + K3 )(0.151088 z + 0.117245 ) = R( z ) ( z 4 − 2.202156 z 3 + 1.672646 z 2 − 0.470489 z ) + (K1z 2 − K 2 z + K3 )(0.151088 z + 0.117245 )

Desarrollando y reformulando la última ecuación mediante cambio de variables se obtiene

b1 z 3 + b2 z 2 + b3 z + b4 Y ( z) = R( z ) z 4 − a1z 3 + a 2 z 2 − a3 z + a 4 donde

b1 = 0.151088 K1 b2 = 0.117245 K1 − 0.151088 K 2 b3 = 0.151088 K 3 − 0.117245 K 2 b4 = 0.117245 K 3 a1 = 2.202156 − 0.151088 K1 a 2 = 1.672646 + 0.117245 K1 − 0.151088 K 2 a3 = 0.470489 + 0.117245 K 2 − 0.151088 K 3 a 4 = 0.117245 K 3

El sistema de control digital de lazo cerrado de la figura P1.5.a resulta ser de cuarto orden y el sistema de control de lazo cerrado en tiempo continuo es de tercer orden incluyendo el controlador PID. Como los polos deseados en lazo

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cerrado son únicamente tres, es necesario aumentar un polo más (no arbitrario) para formar un polinomio característico de cuarto grado como sigue: P(z) = (z − 0.6 − 0.6 j)(z − 0.6 + 0.6 j)(z − 0.35 )(z − z 4 )

P(z) = (z 3 − 1.55 z 2 + 1.14 z − 0.252 )(z − z 4 ) P( z) = z 4 − ( 1.55 + z4 )z3 + ( 1.14 + 1.55 z4 )z 2 − (0.252 + 1.14 z4 ) z + 0.252 z4 Igualando los coeficientes del polinomio característico P(z) con los coeficientes ai del polinomio característico de la FTP del sistema de lazo cerrado se obtiene 1.53 + z 4 = a1 = 2.202156 − 0.151088 K1 1.14 + 1.55 z 4 = a 2 = 1.672646 + 0.117245 K1 − 0.151088 K 2 0.252 + 1.14 z 4 = a3 = 0.470489 + 0.117245 K 2 − 0.151088 K 3 0.252 z 4 = a 4 = 0.117245 K 3 ordenando las ecuaciones individuales anteriores se consigue 0.151088 K1 + z 4 = 0.652156 − 0.117245 K1 + 0.151088 K 2 + 1.55 z 4 = 0.5326456 − 0.117245 K 2 + 0.151088 K 3 + 1.14 z 4 = 0.218489 − 0.117245 K 3 + 0.252 z 4 = 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales anterior se obtiene K1 = 2.242501 K 2 = 2.051046 K 3 = 0.673479 z 4 = 0.313342 Por lo tanto K P = 0.704087

K I = 0.864935 K D = 0.673479 La expresión del controlador PID digital resulta z z −1 G D ( z ) = 0.704087 + 0.864935 + 0.673479 z −1 z Reemplazando los valores de K1, K2, K3 y z4 en la función de transferencia pulso de lazo cerrado del sistema se obtiene

Y ( z) 0.338814 z 3 − 0.0469653 z 2 − 0.138721 z + 0.0789622 = R( z ) z 4 − 1.863342 z 3 + 1.625680 z 2 − 0.609210 z + 0.078962 b) Para realizar las graficas de y(kT), e(kT) y de u(kT) ante una entrada de escalón unitario en r(kT) se deben obtener también las funciones de transferencia pulso de E(z)/R(z) y U(z)/R(z), se procede como De la gráfica P1.5.a se obtiene la F.T.P. se obtiene U ( z) 1 Y ( z) =  R( z ) G P ( z ) R( z ) (K1 z 2 − K 2 z + K 3 )(0.151088 z + 0.117245 ) U ( z ) z 2 − 1.202156 z + 0.470489 =  R( z ) 0.151088 z + 0.117245 z 4 − 1.863342 z 3 + 1.625680 z 2 − 0.609210 z + 0.078962

Simplificando la FTP, evaluando los valores de K y operando se obtiene Ing. José A. Machuca Mines

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(K1 z 2 − K 2 z + K 3 )( z 2 − 1.202156 z + 0.470489) U ( z) = R( z ) z 4 − 1.863342 z 3 + 1.625680 z 2 − 0.609210 z + 0.078962 U ( z ) 2.242501 z 4 − 4.746882 z 3 + 4.194229 z 2 − 1.774622 z + 0.316865 = R( z ) z 4 − 1.863342 z 3 + 1.625680 z 2 − 0.609210 z + 0.078962

De la Figura P1.5.a se obtiene la FTP como E( z) 1 Y ( z) = = 1− R( z ) 1 + G D ( z )G P ( z ) R( z )

E( z) 0.338814 z 3 − 0.0469653 z 2 − 0.138721 z + 0.0789622 = 1− R( z ) z 4 − 1.863342 z 3 + 1.625680 z 2 − 0.609210 z + 0.078962 E( z) z 4 − 2.202156 z 3 + 1.6726456 z 2 − 0.470489 z = R( z ) z 4 − 1.863342 z 3 + 1.625680 z 2 − 0.609210 z + 0.078962 Las gráficas obtenidas son

De la última gráfica se obtiene Sobreimpulso porcentuel MP = 40.02% Tiempo de pico tp = 0.5 seg Tiempo de subida tr = 0.377 seg Tiempo de establecimiento ts = 2.64 seg. c) Graficas del sistema ante una rampa unitaria de y(kT), u(kT), e(kT)

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El error en estado estacionario es ess = 0.1453 Solución B. a) La función de transferencia pulso del sistema de la figura P1.5.b de lazo cerrado es G1 ( z )G P ( z ) G1 ( z )G P ( z ) Y ( z) = = R ( z ) 1 + {G1 ( z ) + G2 ( z )}G P ( z ) 1 + G D ( z )G P ( z ) donde G D ( z ) = G1 ( z ) + G2 ( z ) y z G1 ( z ) = K I z −1 z −1 G2 ( z ) = K P + K D z Entonces K I z 2GP ( z) Y ( z) = R( z ) z ( z − 1) + ( K D ( z − 1) 2 + K P ( z − 1) z + K I z 2 )G P ( z ) K I z 2GP ( z) Y ( z) = R( z ) z ( z − 1) + (K D + K P + K I )z 2 − (K P + 2 K D )z + K D G P ( z ) Simplificando se obtiene K I z 2GP ( z ) Y ( z) = R( z ) z ( z − 1) + ( K1 z 2 − K 2 z + K 3 )G P ( z )

(

donde

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)

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K1 = K D + K P + K I K 2 = K P + 2K D K3 = K D GP ( z) =

0.151088 z + 0.117245

z 2 − 1.202156 z + 0.470489 Entonces evaluando la expresión de La FTP de lazo cerrado con la función Gp(z) desarrollada se obtiene K I z 2 (0.151088 z + 0.117245 ) Y ( z) = R( z ) z(z − 1 )( z 2 − 1.202156 z + 0.470489 ) + (K1 z 2 − K 2 z + K 3 )(0.151088 z + 0.117245 ) K I z 2 (0.151088 z + 0.117245 ) Y ( z) = R( z ) ( z 4 − 2.202156 z 3 + 1.672646 z 2 − 0.470489 z ) + (K1 z 2 − K 2 z + K 3 )(0.151088 z + 0.117245 )

La expresión del denominador de la última función de transferencia pulso es exactamente la misma expresión del sistema de la figura P1.5.a y los polos de lazo abierto son los mismos para ambos sistemas entonces se obtiene K1 = 2.242501 K 2 = 2.051046 K 3 = 0.673479 z 4 = 0.313342 Por lo tanto K P = 0.704087

K I = 0.864935 K D = 0.673479

Reemplazando los valores de K1 , K2 , K3 , KI y z4 en la función de transferencia pulso de lazo cerrado del sistema se obtiene

Y ( z) 0.864935 z 2 (0.151088 z + 0.117245 ) = R( z ) z 4 − 1.863342 z 3 + 1.625680 z 2 − 0.609210 z + 0.078962 Y ( z) 0.130681 z 3 + 0.10141 z 2 = R( z ) z 4 − 1.863342 z 3 + 1.625680 z 2 − 0.609210 z + 0.078962 b) Para realizar las graficas de y(kT), e(kT) y de u(kT) ante una entrada de escalón unitario en r(kT) se deben obtener también las funciones de transferencia pulso de E(z)/R(z) y U(z)/R(z), se procede como De la gráfica P1.5.b se obtiene la F.T.P. se obtiene U ( z) 1 Y ( z) =  R( z ) G P ( z ) R( z ) U ( z ) z 2 − 1.202156 z + 0.470489 0.864935 z 2 (0.151088 z + 0.117245 ) =  R( z ) 0.151088 z + 0.117245 z 4 − 1.863342 z 3 + 1.625680 z 2 − 0.609210 z + 0.078962

Simplificando la FTP, evaluando los valores de K y operando se obtiene

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U ( z) 0.864935 z 2 ( z 2 − 1.202156 z + 0.470489) = R( z ) z 4 − 1.863342 z 3 + 1.625680 z 2 − 0.609210 z + 0.078962

U ( z) 0.864935 z 4 − 1.039787 z 3 + 0.406942 z 2 = R( z ) z 4 − 1.863342 z 3 + 1.625680 z 2 − 0.609210 z + 0.078962 De la gráfica P1.5.b se obtiene la F.T.P. se obtiene E( z) 1 Y ( z) = = 1− R( z ) 1 + G D ( z )G P ( z ) R( z )

E( z) 0.130681 z 3 + 0.10141 z 2 = 1− R( z ) z 4 − 1.863342 z 3 + 1.625680 z 2 − 0.609210 z + 0.078962

E ( z ) z 4 − 1.994023 z 3 + 1.524271 z 2 − 0.609210 z + 0.078962 = R( z ) z 4 − 1.863342 z 3 + 1.625680 z 2 − 0.609210 z + 0.078962 Las gráficas obtenidas son

De la grafica se obtiene Sobreimpulso porcentuel MP = 32.4% Tiempo de pico tp = 0.64 seg Tiempo de subida tr = 0.5 seg Tiempo de establecimiento ts = 2.764 seg. c) Graficas del sistema ante una rampa unitaria de y(kT), u(kT), e(kT)

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Error en estado estacionario ess = 0.2476 Se puede establecer las siguientes comparaciones

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