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Origini della geometria Non può esistere un atto di nascita ufficiale della geometria, ma si può verosimilmente supporre che la sua origine sia legata a necessità di natura pratica che si manifestarono non appena le prime collettività furono in grado di costruire strade, canali, depositi, tombe, templi, ecc. Ricerche archeologiche hanno provato che i Babilonesi possedevano alcune nozioni di geometria pratica. A sua volta Erodoto, studioso greco del quinto secolo avanti Cristo, attribuisce agli Egiziani l'origine della geometria. Essi usarono regole geometriche per ristabilire i confini delle proprietà che il Nilo periodicamente cancellava con le sue inondazioni, e per costruire i loro templi e le loro piramidi. È fuor di dubbio però che la vera patria della geometria fu la Grecia dove fu introdotta da Talete di Mileto, che ne aveva appreso le prime regole nel corso di viaggi in Egitto e Babilonia. Per secoli e secoli l'uomo si affidò esclusivamente all'esperienza e si limitò a formulare qualche rozza congettura suggerita, nel migliore dei casi, da un numero sufficientemente grande di osservazioni ed esperimenti. Ma è chiaro che ad una raccolta di regole pratiche tratte dal comportamento fisico degli oggetti materiali non si può attribuire alcun valore scientifico. E cosl, si puo senz'altro dire che il processo dello sviluppo della geometria ebbe inizio solo quando i geometri greci si resero conto che talune proprietà potevano essere ottenute da altre col solo ragionamento. Talete ebbe il doppio merito di aver concepito per primo l'idea della possibilità della dimostrazione in geometria e di aver fondato una scuola capace di influenzare Pitagora e la speculazione matematica successiva. Talete viene considerato il primo vero matematico dell' antichità; a lui si attribuiscono: • la determinazione dell'altezza di una piramide mediante un procedimento di calcolo basato sulla lunghezza dell'ombra da essa proiettata; • il calcolo della distanza di una nave dalla costa e, in generale, della distanza tra due punti non collegabili; • la previsione delle eclissi solari; • alcuni teoremi sui triangoli e sulla circonferenza. Leggendaria la sua distrazione; si dice che sia caduto in un pozzo mentre camminava guardando in alto per osservare le stelle.


.Il sistema metrico decimale Il sistema metrico decimale venne messo a punto nel 1799 da una commissione di scienziati francesi nominata dal governo nel 1790 e presieduta dal matematico Lagrange. Però, per motivi politici, soltanto nel 1840 tale sistema venne definitivamente adottato in Francia. Nel 1861 venne introdotto in Italia e recentemente, nel 1975, in Inghilterra. Oggi è diffuso in quasi tutto il mondo; tra i paesi scientificamente e tecnicamente progrediti, soltanto gli Stati Uniti d'America usano ancora il sistema di misura anglosassone. Cambiare i sistemi di misurazione nel secolo passato era relativamente semplice, e lo è ancora oggi per i paesi a tecnologia poco avanzata; ma per un paese come gli Stati Uniti la cosa risulterebbe tecnicamente complicata ed economicamente molto onerosa: si tratterebbe infatti di modificare tutta la cartografia geografica, tutti gli strumenti di misurazione automatici (bilance, distributori, ecc.), tutti gli strumenti di precisione, gran parte delle macchine utensili. Ed è proprio questo il motivo per il quale il sistema metrico decimale non è ancora stato introdotto negli USAe, naturalmente, più la scienza e la tecnologia progrediscono e più diventa difficile farlo. Il problema della commissione Lagrange era questo: fissare delle unità di misura immutabili e svincolate dalle usanze locali (ogni nazione, ogni regione e talvolta ogni provincia aveva le sue). A tale scopo due membri della commissione, gli scienziati Delambre e Méchain, impiegarono oltre cinque anni per misurare in tese (antica unità di misura francese) l'arco di meridiano terrestre compreso tra Dunkerque (Francia) e Monte Fany (Spagna) e calcolarono che l'intero meridiano misurava 20.522.960 tese. Venne costruita, dopo molti tentativi, un'asta di platino-iridio lunga quanto la quarantamilionesima parte del meridiano, cioè 0,513074 tese e tale lunghezza venne assunta come unità di misura con il nome di metro (dal greco metron, che vuoI dire misura). Ma tutto questo lavoro si rivelò successivamente inutile, perché la lunghezza dell'asta non poteva considerarsi rigorosamente immutabile; di qui la scelta, nel 1960, di un metro-campione basato sulla lunghezza d'onda di una certa radiazione del gas cripta. Il successo del sistema metrico decimale è dovuto alla sua semplicità: per passare da una unità di misura all'altra, relativamente ad una stessa grandezza, basta infatti aggiungere o togliere degli zeri, oppure spostare verso destra o sinistra la virgola. La stessa commissione sopra citata fissò anche le unità di misura di peso e di capacità: il kg è il peso di 1 dm3 di acqua distillata a 4 o C, il litro è la capacità di un recipiente il cui volume interno è 1 dm3•


La nascita dei sistemi di misura per gli angoli I sacerdoti astronomi sumeri, osservando e registrando per molti anni i movimenti elle stelle del firmamento, riuscirono a capire che il sole compiva un giro in un anno 80 volte la sua circonferenza e dedussero che altrettanto lungo fosse il tragitto del'astro durante la notte. Stabilirono che il percorso diurno (giorno + notte) del sole era formato da 360 passi, cosl pure la suddivisione del giorno in parti, ecc. Fu cosl naturale adottare come nuovo sistema di misura quello di base 60. Molto è stato scritto sui motivi che avrebbero dato origine a questo cambiamento; 'ipotesi più avanzata è che la base sessanta sia stata consapevolmente adottata e riconosciuta come fondamentale ai fini della misurazione di fenomeni astronomici. Una grandezza, infatti, di sessanta unità poteva essere più facilmente divisa in metà, terzi, quarti, quinti, sesti, decimi, dodicesimi, quindicesimi, ventesimi, trenesimi, offrendo così 10 suddivisioni possibili. L'eredità dei Sumeri, che verso il 3.000 a.c. idearono il sistema sessagesimale per "l contenuto delle ore, minuti e secondi, venne raccolta prima dai Babilonesi e successivamente nel Vlo sec. a.c., da Pitagora. Il grande filosofo e matematico di SAMO, che aveva incrementato il suo sapere presso i sacerdoti dell'antico Egitto, giunse con a sua scuola all'unità interpretativa sull'argomento, andando oltre quelli che potevano essere l'ordinamento sociale e le diverse religioni del periodo. In ogni modo, il sistema di numerazione sessagesimale ha avuto una vita considerevolmente lunga: ne sopravvivono, infatti, ancor oggi le unità di misura del tempo e degli angoli, nonostante la struttura fondamentale decimale della nostra mentalità. Fu Tolomeo a considerare, per primo, l'arco ora (l'attuale nostro fuso orario di 5°) e chiamò, poi, le suddivisioni del grado prima parte sessantesima e seconda parte sessantesima. Più tardi, tali espressioni furono tradotte in latino e, rispettivamente, furono chiaate prima minuta e seconda minuta ed insieme formavano la pars minuta. Fu il Viete ad utilizzare in luogo dei gradi la parola partes ed in luogo dei minuti a parola scripula. Un primo esempio dell'uso del sistema centesimale 446 in Francia, durante la rivoluzione francese.

si ha in un manoscritto

del

Come il sistema metrico decimale, il sistema centesimale nacque dalla necessità i evitare operazioni tra numeri e valori non decimali. Poi, è caduto in disuso, ma lo troviamo solo in qualche problema di topografia, agrimensura e fra i tecnici militari.


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Euclide Matematico greco, di cui si ignora il luogo della nascita e della morte, visse ad Alessandria d'Egitto sotto il regno di Tolomeo lo Sembra abbia studiato in Atene con Socrate ed abbia avuto come allievo anche Platone. Insegnò ad Alessandria, forse, nella famosa scuola di questa città detta "Museo" (sede delle Muse), fondadovi una scuola di matematica (prima scuola di matematica alessandrina). È

immortale

per i suoi Elementi (in greco Stoicheia).

Gli Elementi di Euclide costituiscono certo la più grande opera matematica dell'antichità: essi racchiudono in forma quasi definitiva e perfetta i principi di geometria opera dei suoi predecessori e tutto il patrimonio di ricerca e di studi matematici da Pitagora ad Eudosso. Ancor oggi i trattati di geometria, sostanzialmente, differiscono si poco dal trattato di Euclide. Gli Elementi constano di 13 libri, ai quali furono in seguito aggruppati altri due, l'uno dal matematico greco Ipsicle (Il secolo a.c.), l'altro da un autore controverso, e che contengono ulteriori ricerche sui poligoni e sui poliedri regolari. I primi sei riguardano la geometria piana elementare, dal ]O al 9° viene esaminata la teoria dei numeri, nel 10° l'incommensurabilità e negli ultimi tre la geometria solida. Il libro inizia con 23 definizioni alle quali non è permesso nessun concetto primitivo. Dopo le definizioni (assiomi).

sono elencati

cinque postulati

e cinque definizioni

comuni

Oggi non esiste distinzione tra ttpostulato" e ttassioma"; per Euclide, invece, gli assiomi erano proprietà intuitive vere per tutte le scienze mentre i postulati erano meno evidenti e potevano essere confutati dagli allievi. Gli Elementi sono, oltre alla più antica opera matematica greca interamente pervenutaci e la più rigorosa e razionale sistemazione logica della stessa matematica, anche l'opera più copiata. Per questo sono stati introdotti, spesso, errori e variazioni; però fin dal IV secolo d.C. si è cercato, da parte di Teone di Alessandria, di eliminare le parti non originali e gli errori. Si può affermare che gli Elementi di Euclide sia l'opera, dopo la Bibbia, con il maggior numero di edizioni. Per curiosità storica la prima edizione a stampa dell'opera risale al 1482 e venne effettuata a Venezia.


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Platone Platone nacque ad Atene nel 427 a.c. da nobile e antica famiglia; fu educato da illustri maestri ed imparò la musica, la matematica, la ginnastica e la pittura; fu anche guerriero e poeta finché non conobbe Socrate, dopo di che si dedicò completamente alla filosofia. Dopo la morte di Socrate, lasciò Atene e viaggiò a lungo in Egitto, nell'Italia Meridionale ed in Sicilia, dove apprese moltissimo dai filosofi più illustri del momento ma dove incorse anche in varie disawenture. Ritornato in patria, Platone aprì una scuola nel ginnasio dedicato all'eroe Academo, e qui per quaranta anni fino alla morte avvenuta nel 347, dispiegò la sua attività di maestro e di educatore. A parte la sua attività nel campo della filosofia (ci sono stati tramandati 34 dialoghi e 13 lettere), Platone va citato nel campo della matematica non tanto per il contributo recato allo sviluppo di questa scienza, quanto per l'altissimo posto che egli assegnò alla matematica nell' educazione dei giovani. «Nel comprendere le cose» egli dice «esiste una eelestiale differenza fra chi si è occupato di matematica e chi non se ne occupato», e per questo nella scuola era

scritto: «Qui non entri nessuno che sia ignaro di geometria».

Il fatto principale che Platone scorge, e su cui molto insiste, è dunque che la matematica e la migliore propedeutica al pensiero concreto e alla filosofia intesa nel senso più ampio della parola. Il matematico alessandrino Pappo attribuisce comunque a Platone la distinzione dei problemi geometrici in piani, solidi e lineari, a seconda della loro modalità di risoluzione.


Eudosso di Cnido (408-355 a.c. approssimativamente) Nacque a Cnido e giunse ad Atene circa all'epoca in cui l'Accademia veniva fondata; egli frequentò le lezioni di Platone; la sua povertà lo costringeva a vivere al Pireo, nei sobborghi di Atene, e a spostarsi avanti e indietro ogni giorno (facendone così uno dei primi pendolari della storia). Più tardi viaggiò in Egitto e tornò alla nativa Cnido, sempre attento però alle scoperte della scienza e teso ad allargarne i confini. Particolarmente interessato all'astronomia, egli formulò complesse spiegazioni dei moti lunari e planetari che conservarono la loro importanza fino alla rivoluzione copernicana del sedicesimo secolo. Per nulla disposto ad accettare spiegazioni metafisiche, cercò sempre di sottoporre i fenomeni naturali all'osservazione e all'analisi della ragione. I principali contributi di Eudosso alla scienza matematica sono due: la sua teoria delle proporzioni e il cosiddetto metodo di esaustione. La prima teoria permise di superare, in modo logicamente rigoroso, la difficoltà creata dalla scoperta pitagorica delle grandezze incommensurabili, difficoltà che si manifestava particolarmente nei teoremi sui triangoli simili, inizialmente dimostrati in base all'assunto che due grandezze qualsiasi fossero sempre commensurabili. La scoperta delle grandezze incommensurabili avevano demolito, infatti, insieme a questo assunto le dimostrazioni di alcuni dei più importanti teoremi geometrici. Ebbe così origine ciò che talvolta viene chiamato lo "scandalo logico" della geometria greca: i matematici continuavano a essere convinti della verità di quei teoremi, ma non disponevano più di dimostrazioni valide a sostegno della loro convinzione. Fu Eudosso a trovare una via d'uscita. Con il presumibile sollievo di tutta la comunità scientifica dell'epoca, egli riuscì a sviluppare una corretta teoria delle proporzioni, che per l'essenziale è esposta nel libro V degli ELementi di Euclide. Il secondo importante contributo di Eudosso, il metodo di esaustione, trovò immediata applicazione nel calcolo di aree e volumi delle più complesse figure geometriche. La strategia generale di questo metodo consisteva nell'awicinarsi a una figura irregolare con una successione di figure elementari note, ognuna delle quali forniva un'approssimazione migliore di quella precedente. (da matmedia.ing.unina.it)


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Eratostene e la misura della Terra* Eratostene sapeva che a Siene (l'attuale Assuan, che si trova a circa 800 km a sudest di Alessandria), in un momento preciso dell'anno, il sole illuminava il fondo dei pozzi. Questo evento si ripeteva ogni anno a mezzogiorno del solstizio d'estate deva dal fatto che i raggi del sole cadevano verticalmente. In quel momento, un bastoncino proiettato nessuna ombra.

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Egli notò che ad Alessandria, dove egli viveva, nello stesso giorno e alla stessa ora i raggi del Sole non erano perpendicolari ma formavano un angolo di 7°,2 con la verticale. Eratostene assunse, correttamente, che la distanza del Sole dalla Terra fosse molto grande e che quindi i suoi raggi fossero praticamente paralleli quando raggiungono la superficie terrestre. Inoltre considerava che la Terra dovesse avere forma sferica. La differenza di inclinazione di 7°,2 dipende dalla curvatura della superficie terrestre che cambia il punto di vista dal quale gli abitanti delle due città vedono il Sole.

• Eratostene, nato nel 276 a.c. a Cirene (Libia) e morto nel 194 a.c. ad Alessandria d'Egitto, fu un matematico, astronomo e poeta greco, ed è stato considerato il primo uomo ad aver descritto ed applicato una tecnica valida di misurazione delle dimensioni della Terra. Egli riuscì inoltre a determinare con grande accuratezza l'inclinazione dell'eclittica (e cioè l'inclinazione dell'asse terrestre) e compilò un catalogo stellare. Come matematico, viene ricordato soprattutto per il famoso Crivello di Eratostene: una tecnica per compilare la tavola dei numeri primi. Dopo aver compiuto i suoi studi ad Alessandria e ad Atene, nel 255 a.c. Eratostene si stabilì definitivamente in Alessandria e divenne il direttore della famosa biblioteca. Lavorò ad un calendario e cercò di fissare le date dei principali eventi letterari e politici accaduti a partire dall'assedio di Troia. I suoi scritti comprendono poemi ispirati all' Astronomia, come anche lavori di teatro e trattati di etica. In tarda età divenne cieco e si dice che abbia voluto suicidarsi lasciandosi morire di fame.


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Egli ragionò in questo modo: l'angolo ,2 è congruente all'angolo che ha per vertice il centro della Terra ed i cui lati passano rispettivamente per Alessandria e Siene. Si tratta quindi di una "distanza angolare" tra le due città, pari a un cinquantesimo dell'angolo giro. Ciò significa anche che la distanza "effettiva" tra le due città (ritenuta stadi) è un cinquantesimo della circonferenza terrestre. Eratostene moltiplicò per 50 questo valore, ottenendo misura scientifica della circonferenza terrestre.

di 5.000

250.000 stadi: la prima

A quel tempo la stima di distanze così grandi, misurate a passi, era sicuramente molto imprecisa; inoltre è molto difficile stabilire una corrispondenza esatta tra lo stadio e il metro attuale. Di conseguenza non è facile determinare il margine di errore dei risultati ottenuti da Eratostene. La lunghezza dello stadio greco è una misura molto incerta variando dai 154 metri ai 215 metri. Secondo le opinioni più accreditate, lo stadio usato da Eratostene corrispondeva a 185 metri attuali: ne risulterebbe così una circonferenza terrestre di 46.250 km, un dato che, nonostante superasse di oltre 6.000 km la misura accettata attualmente, era comunque molto buono, tenuto conto dell'imprecisione degli strumenti utilizzati e delle assunzioni di quel tempo. Secondo altri autori, Eratostene arrivò molto più vicino: lo stadio doveva essere lungo 157,5 metri e quindi la circonferenza calcolata da lui corrispondeva 39.690 km, un dato questo molto vicino al valore di 40.009,152 km calcolato oggi sulla base dei parametri dell'ellissoide internazionale, riconosciuti dall'Unione Internazionale di Geodesia e Geofisica.


Il Formulario matematico di Giuseppe Peano Giuseppe Peano (1858-1932), matematico italiano, docente all'Università di Torino ed anche, dal 1887 al 1901, alla Regia Accademia Militare, fu membro dell' Accademia delle Scienze di Torino e lavorò in molti campi della matematica. Si distinse particolarmente nel campo della logica matematica, costruì un sistema e un simbolismo che lo rese famoso.

per la quale

Autore di un Vocabolario de interlingua, creò una lingua internazionale, ossia il latino sine flexione, con la quale scrisse sulla rivista Revista de Matematica da lui pure diretta, e che utilizzò anche per il famoso Formulario matematico. Esso è una specie di enciclopedia delle parti della matematica che si prestano ad essere esposte mediante il simbolismo da lui ideato, ossia linguaggio espresso in simboli che è, per semplicità, completezza ed evidenza, un'ideografia logica non ancora superata e nemmeno uguagliata da altri sistemi che l'hanno preceduta o l'hanno seguita. Particolarmente varie simmetrie:

rilevanti in tale opera sono le notazioni introdotte

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Sym O per la simmetria centrale rispetto a un centro O;

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Sym x per la simmetria assiale rispetto a un asse x;

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Formula di Erone* In geometria la notissima formula di Erone è quella che esprime l'area della superficie di un triangolo in funzione dei suoi lati a , b , c , e quindi del suo semipe-

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La formula, attribuita ad Archimede da parte dell'arabo Al-BinJnl, autore ben informato e presumibilmente in possesso di altre opere di Archimede a noi non pervenute, è particolarmente evidenziata nell'opera di Erone Metrikà, dove la dimostrazione è fatta con tale eleganza e tale rigore di argomentazione che le pagine ad essa dedicate possono annoverarsi tra le più belle della letteratura matematica gre-

ca.

Nel Medioevo la formula fu attribuita a Giordano Memorario, detto Giordano del Bosco, contemporaneo di Dante, astronomo e matematico tedesco morto nel 1237, autore di Spherae atque astrorum coelestium natura et motus. Il primo però a dare formula di Erone alle stampe e a divulgarla fu Luca Pacioli, nella sua notissima Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità e precisamente nel Tractatus geometriae che chiude la Summa con carte aventi numerazione propria, dove si insegna: « ••• comme ciascuno triangolo senza investigatione del cateto (altezza del triangolo) si possa misurare» (formula di Erone). La formula di Erone è una delle applicazioni dell'algebra alla geometria, cioè uno dei primi esempi in cui l'algebra è impiegata in modo metodico a risolvere un problema geometrico. Alla formula di Erone si connette la denominazione di eroniani data ai triangoli per cui le misure dei lati e dell'area, per opportuna scelta dell'unità lineare, siano numeri interi.

* Formula di Erone (dal nome di frane di Alessandria, vissuto fra il Il e il 111 secolo d.C., fisico e matematico greco, famoso soprattutto per la risoluzione di problemi pratici, quali ad esempio il calcolo di aree e di volumi).


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Pitagora di Samo (VI sec. a.C.) Filosofo e matematico greco, la sua figura è avvolta nella leggenda. Viaggiò a lungo nell' Asia Minore e di certo fu in Egitto. Negli anni della maturità fondò a Crotone una delle più fiorenti colonie della MagnaGrecia, una scuola scientificoreligiosa, detta poi Scuola pitagorica o Scuola italica, i cui componenti conducevano una vita in comune molto severa e ai quali Pitagora insegnavaetica, religione e matematica. Morì durante una sommossapopolare verso il 500 a.c. Nulla ci rimane di autentico degli scritti di Pitagora; la sua dottrina è ricostruita sugli accenni di Platone e di Aristotele, su pochi frammenti di pitagorici posteriori e sulle testimonianza dei neopitagorici. Secondola dottrina pitagorica i numeri sono l'essenza delle cose; la matematica (tà mathematikci, da mcithema, insegnamento) comprende l'aritmetica, la musica, la geometria e l'astronomia, e queste tre ultime dipendono, in un certo modo, dalla prima. Nel campo della geometria sono dovute poligoni regolari e sui poliedri regolari, alla de importanza. Ma la più nota formulazione noto, almeno per qualche caso particolare, da lui prese il nome e fu riconosciuto valido

ai pitagorici particolari ricerche sui scoperta dei quali essi diedero grandi Pitagora è quella del teorema (già ai geometri indiani ed egiziani), che per ogni triangolo rettangolo.

Le idee di Pitagora e della sua scuola si diffusero in Grecia e poi in tutto il mondo, affermandosi in modo determinato fino all'età dei filosofi pitagorici Filolao e Archita, nella seconda metà del IV secolo a.c.


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La Divina Proporzione "La Geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l'altro è la Sezione Aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d'oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello». JOHANNES

(1571-1630)

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Il primo incontro con la Divina Proporzione in genere avviene in geometria. La proposizione 11 del libro Il degli Elementi di Euclide recita cosl: «Come dividere un segmento in modo che il rettangolo che ha per lati l'intero segmento e la parte minore sia equivalente al quadrato che ha per lato la parte maggiore», ovvero come trovare la Sezione Aurea di un segmento, cioè la parte media proporzionale tra l'intero segmento e la parte rimanente.

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La costruzione è tra le più classiche della geometria: dato il segmento AB tracciare il cerchio di pari diametro

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e tangente ad esso in B, quindi la secante per A passante per il centro C del cerchio. La parte esterna della secante (AE) è la sezione aurea del segmento, essendo la tangente (AB) media proporzionale tra l'intera secante (AD) e la sua parte esterna (AE) [Euclide L 111, p. 36], essendo ED = AB e per alcune proprietà delle proporzioni:

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AD : AB = AB : AE (AD - AB) : AB = (AB - AE) : AE AS : AB = SB : AS AB : AS = AS : SB Volendo invece trovare quel segmento di cui un dato segmento AB sia la Sezione Aurea, si procede nel modo seguente: • trovare il punto medio M del segmento dato; • costruire il quadrato sul segmento dato; siano C e D gli altri due vertici; • centrato in M, tracciare il cerchio con raggio MC (= MD), che interseca in S il prolungamento di AB. AS è il segmento cercato, di cui AB è la Sezione Aurea.

A

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Il numero ]t Il rapporto tra la misura di una circonferenza e quella del suo diametro è un numero irrazionale (decimale illimitato non periodico). Ciò significa che non esiste un segmento che sia sottomultiplo di entrambe le grandezze e che di conseguenza, se la misura di una di esse è esprimi bile mediante un numero razionale, l'altra non lo è, o viceversa. Può darsi benissimo, per esempio, che un diametro sia lungo esattamente 1m (oppure 1dm, 1 cm, ecc.); ma in tal caso, se si taglia la circonferenza, trasformandola in un segmento, e la si misura con strumenti di assoluta precisione e sensibilità (ammettendo che esistano), si trova che essa è lunga 3m più 1 dm più 4cm più 1 mm più 0,5 mm più 0,09 mm più ... ; ma nessuna suddivisione dello strumento usato, per quanto piccola possa essere, coincide esattamente con la fine del segmento. Viceversa; può darsi benissimo, per esempio, che una circonferenza sia lunga esattamente 1 m; ma in tal caso, se si va a misurarne il diametro, non si trova un valore finito, ma una misura espressa dal numero 0,31831 ... (misura in metri). Si dice quindi che la lunghezza di una circonferenza e lunghezza del suo diametro sono grandezze incommensurabili; non esiste cioè un numero finito con il quale si possa esprimere la misura di una di esse mediante la misura dell'altra. Il problema del numero Jt è antichissimo. Indirettamente se ne parla già nella Bibbia, quando, affermando che un oggetto circolare ha tre palmi di giro ed uno di larghezza, si dà per scontato che il rapporto circonferenza/ diametro sia uguale a 3. Gli egizi attribuivano a Jt il valore 3,16, abbastanza vicino a quello attualmente accettato. Ma fu Archimede che per primo trovò un valore non basato soltanto su misurazioni dirette, ma anche sul ragionamento; tale valore (3,14) è già abbastanza soddisfacente, essendo quello stesso che noi usiamo nei normali problemi relativi alla circonferenza e al cerchio. In seguito molti matematici si occuparono del problema e determinarono il valore di altre cifre decimali; ma soltanto nella seconda metà del '700 il matematico Lambert dimostrò che la ricerca non avrebbe mai potuto avere fine, perché il numero di tali cifre è infinito ed esse non si ripetono periodicamente. Oggi, grazie all'elaboratore elettronico, dopo 3,14 sono state trovate altre decine di migliaia di cifre, le quali però rappresentano più l'appagamento di una curiosità che qualche cosa di praticamente utile.


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Stereometria Con il termine Stereometria (dal greco stereòs, solido, e métron, misura), introdotto dal discepolo di Platone Filippo di Opunte nel IV secolo a.c., si intende la parte della geometria che studia le figure solide ed è quindi sinonimo di geometria solida. La geometria solida non è avanzata di pari passo con la geometria piana; essa ha avuto rispetto a questa uno sviluppo più tardo anche se nozioni riguardanti figure e corpi solidi si trovano già nell' antichissimo manuale egiziano di Ahmes, che risale a circa 2000 anni prima dell'era volgare (noto con il nome di Papiro di Rhind). I primi contributi alla geometria solida intesa come scienza razionale furono portati nel VI secolo a.C da Pitagora e dai suoi discepoli, che a partire da cognizioni pratiche, seppero arrivare a considerazioni teoriche e scientifiche. Dopo di loro però, la stereometria sembra sia stata ancora più trascurata tanto che Platone nel suo Le leggi, giudica in modo negativo le cognizioni stereometriche dei suoi contemporanei. Ma già Archita di Taranto, il maestro di Platone, soprannomi nato "l'ultimo dei pitagorici", aveva risvegliato un certo interesse per questa parte della geometria. Egli può essere a ragione considerato il padre della stereometria, avendo contribuito a stabilirne i principi nonché a scoprirne importantissime proposizioni. Gli studi di Archita furono continuati con gran successo dal suo discepolo Eudosso da Cnido (410-356 a.c.), uno dei più illustri matematici dell'antichità; a lui di deve la formulazione di nuovi teoremi e di un rigoroso metodo di ricerca e di dimostrazione, il metodo di esaustione, ma gli è anche attribuita la compilazione del più antico trattato scientifico di stereometria. Posti così dai due grandi maestri i fondamenti teorici di questa parte della geometria, non le mancarono più degni cultori, tra cui va ricordato anche Menecmo, discepolo di Eudosso, che la condussero ad un ragguardevole livello di sviluppo e perfezionamento. I risultati vennero in seguito raccolti verso il 300 a.c. da Euclide, il celebre maestro della scuola di Alessandria. I libri XI, XII e XIII dei suoi Elementi ne contengono un'esposizione riassuntiva e contengono la teoria della geometria solida elementare così come veniva insegnata dai greci. Non si può non riconoscere che l'esposizione euclidea della stereometria, sia sotto il profilo logico quanto nei principi e nella forma, sia comunque molto inferiore a quella che riguarda la geometria piana.


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Storia delle piramidi Da sempre le piramidi di Egitto hanno incuriosito ed attratto i viaggiatori e i conquistatori nei tempi antichi e continuano a meravigliare turisti, matematici e archeologi che le visitano, le esplorano, le misurano e le descrivono. Le prime tombe dei re egiziani erano dei tumuli a forma di panca (mastabe). La mastaba era la tomba per i nobili e i ricchi, fatta sul modello della casa che il defunto aveva abitato quand'era in vita. Intorno al 2780 a.c., l'architetto del Re Zoser, Imhotep, costruì la prima piramide ponendo sei mastabe, una sopra l'altra, dalla più grande alla più piccola, creando una sorta di catasta o trPiramide a Gradoni". Questa Piramide può essere ammirata sulla riva del Fiume Nilo a Sakkara vicino a Memphis e come le altre piramidi, contiene varie stanze e passaggi, compresa la camera di sepoltura del re. La transizione della Piramide a Gradoni a quella con le pareti lisce ebbe luogo, però, durante il regno del Re Snefru, il fondatore della Quarta Dinastia (2680-2560 d.C.). A Meidum, infatti, era stata costruita una piramide inizialmente a gradoni, che fu ricoperta poi con la pietra, e rivestita da lastre di calcare. Era la Piramide di Huni (111 dinastia), anch'essa concepita come piramide tra gradoni" (prima 7, poi 8). Fu durante il regno di Snefru che venne trasformata in piramide trgeometrica", a facce lisce. La piramide di Meidum, col tempo, subì il crollo dei muri esterni più recenti, che aderivano ai lisci blocchi del rivestimento a gradoni più antico. Per questi motivi oggi presenta l'aspetto bizzarro tta torrione", ed è chiamata in arabo Haram el-Kadab, la ttfalsa piramide". Un'altra grande piramide fu costruita a Dahshur durante il regno di Snefru, con i lati che si elevavano con un angolo di un poco più di 43 gradi, col risultato di una vera piramide ma rannicchiata e chiamata ttPiramide Rossa" per il colore del calcare su cui fu costruita. La più grande e più famosa di tutte le piramidi, però, è la Grande Piramide a Giza, che fu costruita dal figlio di Snefru, Khufu, conosciuto meglio con nome greco Cheope. Fu costruita tra il 2700 e il 2600 a.c. Le sue misure sono imponenti: il lato di base misura 230 metri; l'altezza è di 150 metri. È composta da due milioni e trecento mila blocchi di granito, che pesano circa due tonnellate e mezzo l'uno' il suo peso totale è di cinque milioni e settecentocinquantamila tonnellate.

All'interno è quasi completamente piena, ma stretti passaggi collegati con l'esterno da prese d'aria conducono a camere sotterranee. Due altri grandi piramidi sono state costruite a Giza, per il figlio del Khufu, Khafre (Chephren), ed un successore di Khafre, Menkaure (Micerino). (adattato e ridotto

da www.illuweb.it)


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Singolare nascita del principio di Archimede Singolare fu il modo in cui Archimede giunse a una delle sue più importanti scoperte: «Ogni corpo immerso in un liquido è sottoposto a una spinta verticale diretta dal basso verso l'alto uguale al peso del liquido che esso sposta». Enunciato per sommi capi, è questo il famoso principio che rappresenta una delle basi dell'idrostatica in particolare, e dell'intera storia della scienza in generale. Archimede giunse a tale fondamentale intuizione mentre, facendo il bagno, si rese conto che suo corpo, nell'acqua sembrava più leggero. Questo fatto, elaborato dall'istintiva fulmineità del suo genio, gli permise di giungere immediatamente all'intuizione, se non alla formulazione, del suo principio. La classica scintilla che balena in una frazione di secondo e che illumina di sé tutti i secoli a venire. Narrano le cronache che il distrattissimo Archimede, preso da improwiso entusiasmo per la scoperta, uscisse nudo di casa e corresse per le vie di Siracusa, tra gli sguardi attoniti dei suoi concittadini, gridando «Eureka! Eureka!» (Ho trovato! Ho trovato!). Proprio la sua distrazione fu causa della sua morte. Durante il saccheggio di Siracusa il console Marcello, comandante delle truppe romane, grande ammiratore del genio di Archimede, aveva dato ordine che venisse risparmiata la vita all'uomo che, con le sue continue invenzioni, per tre anni aveva bloccato e semidistrutto la sua flotta. Archimede, incurante di quanto stava succedendo intorno a lui, era intento ai suoi studi, completamente chiuso nel suo mondo di ricerca e di pensiero. Quando un soldato romano gli si avvicinò e gli chiese chi fosse, Archimede non gli rispose. Molto probabilmente non lo aveva sentito. Allora il soldato, irritato, non avendolo riconosciuto lo uccise. Era l'anno 212 avanti Cristo. Marcello, addolorato per la morte del genio, gli fece tributare solenni onoranze funebri. Indi, come perenne tributo alla sua mente prodigiosa, gli fece erigere una tomba sulla quale, secondo il volere dello stesso Archimede, venne posta una sfera inscritta in un cilindro con i numeri che regolano i rapporti fra questi due solidi. Il monumento esiste ancora. Delle opere di Archimede ricordiamo Della sfera e del ciUndro, Dell'equiUbdo de; p;an; e loro centro d; gravjtà, M;sura del cerch;o, Arenado, Su; corp; gallegg;antL (www.ilpaesedeibambinichesorridono.it)


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Archimede e il metodo meccanico La determinazione del volume e dell'area della sfera costituisce una delle maggiori scoperte di Archimede, il quale, a quanto narra Plutarco (Marcello, 17), volle che come iscrizione sul suo cippo sepolcrale si incidessero soltanto una sfera col cilindro equilatero

circoscritto (figura a) e la frazione ~, la quale rappresenta appunto il rapporto tra il volume della sfera e quello del cilindro circoscritto. Basandosi su questo indizio Cicerone afferma (Tusculane, V, 64 e segg.) d'essere riuscito, durante la sua questura in Sicilia, nel 75 a.c., a scoprire alle porte di Siracusa la tomba di Archimede, oramai occultata da sterpi e dimenticata dai Siracusani. Nel Metodo, Archimede espone come sia pervenuto alla sua scoperta per mezzo del cosiddetto «metodo meccanico», nel quale è in qualche modo implicito il concetto degli indivi· sibili di B. Cavalieri.

Dato un cerchio di centro O e diametro orizzontale AC (figura b), Archimede considera il rettangolo concentrico EFGH, in cui i lati EH e FG sono tangenti in A e C al cerchio e l'altezza EH è doppia del diametro AC, e il triangolo rettangolo '~"'---------isoscele ECH. • fig. a Il cerchio, il rettangolo e il triangolo, ruotando intorno ad AC, generano rispettivamente una sfera, un cilindro e un cono; e si riconosce facilmente che ogni piano perpendicolare al diametro AC in un suo punto P seca i tre solidi secondo cerchi tali che quello corrispondente al cilindro sta alla somma degli altri due in ragione inversa di CP a CA. Preso allora CK = CA, e immaginati H G i tre solidi costituiti di materia pesante uniforme, si consideri AK come una leva col fulcro in C; il cerchio sezione del cilindro, pensato come una sottile lamina e lasciato dov'è, equilibra, per quanto si è or ora detto, gli altri due trasportati parallelamente a sé stessi fino ad avere il centro in K. E poiché ciò si può ripetere per ogni sezione, si ha, considerando i A K solidi come somme dei cerchi-sezione, che il cilindro, lasciato dov'è, o anche concentrato in O, fa equilibrio al cono e alla sfera concentrati in K. Si ha dunque:

c

cilindro:

(cono + sfera) = 2 : 1

e di qui si deduce senz'altro della sfera.

il volume

(d a EnClc "I ape d"la I ta l"lana, pago 565 )

E

F

fig. b


Antichi sistemi di numerazione È possibile affemare con assoluta certezza che l'invenzione di un sistema di numerazione posizionate sia stata una tra le più grandi conquiste del pensiero umano. Infatti i moderni sistemi di numerazione posizionale sono risultati, al pari di altre invenzioni e scoperte (il fuoco, la ruota, l'alfabeto), di importanza fondamentale per lo sviluppo economico, tecnologico e scientifico dell'umanità. Gli antichi sistemi additivi, complessi e di difficile utilizzo pratico, vengono immediatamente abbandonati. Andiamo indietro nei tempi quando l'uomo primitivo, per contare, faceva uso di parti del proprio corpo e soprattutto delle mani e delle dita. Proviamo ad immaginare il procedimento da lui seguito: stringeva a pugno le mani e alzava, per ogni oggetto da contare, prima le dita di una mano, poi quelle dell'altra. Quando tutte le dita erano alzate, l'uomo faceva un segno sulla parete della caverna in modo da essere sempre in grado di ricordare. Avendo due mani, l'uomo primitivo poteva fare un segno ogni cinque oggetti: nascevano così due sistemi di numerazione quinario (per cinque) e decimale (per decine).

Una delle civiltà più antiche, quella Babilonese che si sviluppò circa cinquemila anni fa nella vallata tra i fiumi Tigri ed Eufrate (odierno Iraq), usava un sistema di numerazione decimale. Anche l'antica civiltà degli Egizi, sviluppatasi nella vallata del fiume Nilo, utilizzava numerazione decimale, adoperando i seguenti simboli:

la

Per scrivere gli altri numeri si servivano di una legge additiva; scrivendo, per esempio, tre volte il simbolo del cento: leggevano cento più cento più cento, cioè trecento. Uno stesso simbolo poteva essere ripetuto fino a nove volte (un simbolo non si ripete mai dieci volte perché c'è un apposito nuovo simbolo). Ecco come scrivevano centoventitre:

I Greci, grandissimi geometri, adoperavano tre sistemi di numerazione in base dieci, ma nessuno era soddisfacente. Il primo serviva ai mercanti, che usavano trattini per indicare le unità, raggruppandole poi in decine. Il secondo sistema veniva usato dagli epigrafi ed utilizzava come simbolo del numero la prima lettera del nome del numero stesso. Il terzo sistema, detto alfabetico, adoperava come simboli le ventiquattro lettere dell'alfabeto, più le tre lettere cadute in disuso (stigma, coppa, sampi). Ecco la rappresentazione:


a

~

alta

beta

a

b

y

Ò

f

ç

gamma g (duro)

delta

epsilon

zeta

d

e (breve)

z

20 ç

eta

8 theta

e (lunga)

th

TI

stigma

t iota

i

K

À

kappa

lambda

l

c (dura)

60

Il

v

1;

mi

ni

csi

omicron

pi

m

n

x

o (breve)

pi

100

o

,

1t

coppa

500

400 I

(j'

't

u

ro

sigma

tau

ipsilon

r

s

t

p

<l>

X

ti

hi

f

y

h

(u francese)

700

800

\j/ psi

ro

~

omega

sampi

ps

o (lunga)

E per indicare mille, duemila, e così via? Si ricominciava però un segnetto (indice) in basso; ad esempio ,ex =

mille

,~ =

dalla prima lettera

(eh duro)

premettendole

duemila

8 = nove mila

Ricordiamo anche i simboli del sistema di numerazione adoperato dai Romani:

Quando i simboli si susseguono da sinistra verso destra, in ordine decrescente, si sommano: CLX significa ,'cento + cinquanta - +~- dieci, cioè centosessanta»; --------Se invece una cifra di minor valore precedeva (sempre da sinistra verso destra) una di maggior valore, allora quella di minor valore si sottraeva dall'altra; ad esempio: XC è "cento meno dieci cioè novanta».


La diffusione del sistema decimale posizionale avvenne più tardi con molta lentezza ec apparve per la prima volta in India, verso il VII secolo. Gli indiani riuscirono a collegare; seguenti tre principi: • una base decimale • una notazione posizionale • un simbolo diverso per le dieci cifre. Un contributo notevole per matematico italiano Leonardo gono presentati i nuovi simboli Verso la fine del XVII secolo, del sistema binario con le cifre viene utilizzato nei computer.

la conoscenza del nuovo sistema di numerazione fu dato da Fibonacci che, nel 1202, pubblicò Uber abaci, nel quale vene le nuove regole di calcolo. il grande matematico tedesco Goffredo Leibniz suggerì l'uso O e 1, sistema che oggi ha assunto grande importanza poiché


Le origini della matematica L'uomo si differenzia dagli altri animali soprattutto per l'uso del linguaggio. Lo sviluppo di quest'ultimo ha avuto un'importanza fondamentale per il sorgere del pensiero matematico: tuttavia le parole che esprimono numeri si vennero formando con relativa lentezza. Segni numerici probabilmente precedettero le parole che indicavano numeri; è infatti più facile praticare incisioni su un bastone che formulare una frase ben costruita per indicare un numero. Quanto sia stata lenta la formazione di un linguaggio che esprimesse astrazioni quali il numero, si deduce anche dal fatto che le espressioni numeriche verbali primitive facevano sempre riferimento a raccolte concrete - come /tdue pesci" o /tdue bastoni" - e che solo più tardi una espres· sione del genere fu adottata per indicare tutti gli insiemi di due oggetti. In parecchie delle attuali misure di lunghezza si riscontra la tendenza del linguaggio a evolversi da forme concrete verso forme astratte. L'altezza di un cavallo è misurata in /tmani", e le parole /tpiede" e /tbraccio" sono analogamente derivate da parti del corpo. Le parecchie migliaia di anni che furono necessarie all'uomo per ricavare concetti astratti da ripetute situazioni concrete testimoniano le difficoltà che indubbiamente si incontrarono nella costruzione di basi anche molto primitive della matematica. Per di più, vi sono molte questioni irrisolte circa le origini della matematica. Si suppone solitamente che la matematica sia sorta in risposta a bisogni pratici dell'uomo, ma recenti ricerche suggeriscono la possibilità di un'origine diversa. È stata avanzata l'ipotesi che l'arte del contare sia sorta in connessione con riti religiosi primitivi, e che l'aspetto ordinale abbia preceduto il concetto quantitativo. In cerimonie rituali che rappresentavano miti della creazione era necessario chiamare in scena i partecipanti secondo un ordine specifico, e forse il contare fu inventato per rispondere a questa esigenza. Se le teorie sull'origine rituale del contare sono corrette, può darsai che il concetto di numero ordinale abbia preceduto quello di numero cardinale. Inol· tre un'origine del genere tenderebbe a indicare la possibilità che unica sia stata l'origine del contare, diffusosi in seguito ad altre regioni della Terra. Questa teoria, sebbene non abbia ancora trovato una conferma definitiva, si accorderebbe con la divisione rituale dei numeri interi in dispari e pari, i primi considerati come maschili e i secondi come femminili. Simili distinzioni erano familiari a civiltà fiorite in tutti gli angoli della Terra e miti riguardanti i numeri maschili e femminili to una notevole continuità. Adattato e ridotto da: C.

BOYER,

hanno presenta-

Storia della matematica,

Oscar Mondadori


A nove anni stupisce i suoi contemporanei Nel 1777 nasce a Brunswich (Germania) Carlo Federico Gauss. A nove anni comincia a frequentare il corso di aritmetica del maestro Buttner che un giorno assegna a' ragazzi il seguente compito: Calcola la somma dei primi 60 numeri interi. Secondo l'usanza della scuola il primo alunno che avesse trovato la soluzione doveva posare la sua lavagnetta su un banco, il secondo sulla prima e COS1 via d' seguito. Appena Buttner finisce di dettare il compito, Gauss corre a posare la propria lavagna sul banco dicendo in dialetto: «Ligget se» ("fatto"). I suoi compagni si affaticano per più di un'ora e quando tutte le lavagne sono deposte sul banco solo allora il maestro si accorge che sulla prima è scritto un numero: 1.830, la somma esatta. Il ragazzo spiega con semplicità di aver scritto mentalmente su una riga i numeri da 1 a 60 e sotto, su una seconda riga, gli stessi numeri disposti però in ordine inverso: 1 60 61

2 59 61

3. .. 58 58. . . 3 61 ... 61

59 60 2 1 61 61

Sommando i numeri in colonna si ottiene sempre 61 e, poiché queste somme uguali sono 60, il prodotto 60 x 61 = 3.660 dà il doppio della somma richiesta. Fu

COS1

che Gauss entrò nel regno dei grandi matematici.

Carlo Federico Gauss venne chiamato il «principe dei matematici»

del suo tempo.

Le sue geniali scoperte in altri campi del sapere, come in fisica ed in astronomia, lo hanno consacrato scienziato completo. r;


·:/ F• r ella matematica ,.}1'

" ;',/.?""::

Dall' abaco al personal computer L'uomo ha sempre nutrito il sogno di poter disporre di una macchina calcolatrice. Ecco, in sintesi, le tappe dei successivi perfezionamenti di questo sogno. L'abaco fu la prima macchina calcolatrice e risale a circa 2500 anni fa. Ancora oggi in Oriente si usa qualcosa di simile; in Giappone lo potreste comunemente vedere nei negozi e anche nelle banche ed in Cina sopravvive in aperta concorrenza con i moderni strumenti di calcolo. Per molto tempo l'abaco fu l'unico strumento di calcolo delle prime civiltà umane e rimase tale fino al grande rinnovamento scientifico del XVII secolo. Nel 1612 John Napier (scozzese), detto Nepero, inventò un apparecchio moltiplicatore: «la tavola pitagorica mobile". Nel 1642 il matematico e filosofo francese Blaise Pascal riuscì a dimostrare che le operazioni di calcolo possono essere condotte in modo puramente meccanico. Egli costruì una macchina capace di eseguire somme e sottrazioni, composta da una serie di quadranti sulle cui circonferenze erano segnate le cifre da O a 9. I quadranti rappresentavano le unità, le decine e le centinaia e la loro rotazione rendeva automatica l'operazione di riporto. Trent'anni dopo, nel 1671, il filosofo tedesco Leibniz progettò una macchina che poteva eseguire anche moltiplicazioni e divisioni sotto forma di addizioni e sottrazioni ripetute. Le calcolatrici meccaniche funzionavano per mezzo di ingranaggi: uno di questi dopo aver compiuto un giro completo (corrispondente a 10 scatti) fa avanzare di uno scatto l'ingranaggio successivo. Da un punto di vista teorico le macchine per calcolare ebbero continue evoluzioni finché, verso la fine dell'800, Herman Hollerith riuscì ad abbinare per la prima volta l'applicazione dell'elettricità e della scheda perforata per far funzionare una macchina calcolatrice. Le istruzioni e dati arrivavano alla macchina per mezzo della corrente elettrica, che passava o non passava in corrispondenza dei fiori della scheda. I dati del censimento degli U.S.A. nel 1890 furono elaborati mediante l'utilizzo di schede perforate. Si deve a Charles Babbage il primo progetto di macchina calcolatrice con l'uso di scheda perforata. Non si trattava di una macchina di tipo elettrico ma di tipo meccanico, che avrebbe dovuto funzionare a vapore. Questa macchina non venne mai realizzata perché la tecnologia dell'epoca era del tutto inadeguata alle capacità ideative di Babboge. Va sottolineato che la struttura logica del funzionamento della macchina era del tutto simile a quella dei primi elaboratori elettronici. Il primo calcolatore elettronico, autentico progenitore degli attuali elaboratori, venne costruito subito dopo la prima guerra mondiale, nel 1946. Si chiamava E.N.I.A.C. (Electronic Numerical Intégrator and Calculator), impiegava 18.000 tubi elettronici e occupava una superficie di 180 m2• Con l'inizio degli anni '50 si passa dalla fase puramente sperimentale alla produzione di macchine in molti esemplari, destinate alla commercializzazione.

i

Il successivo salto di qualità venne fatto con la possibilità di introdurre nella memoria delle macchine non solo i dati da passare all'unità logico-aritmetica, ma anche il programma con le istruzioni per l'elaborazione dei dati.


Tale conquista fu dovuta agli studi di un matematico mann.

di origine ungherese, John von New-

Ne segue una rapidissima evoluzione tecnologica che ancora continua e che anzi è diventata una caratteristica dei nostri tempi. L'evoluzione è andata nella direzione della diminuzione delle dimensioni e dell'aumento della velocità operativa. Attualmente possiamo ammirare potenti elaboratori non più grandi di questo libro, capaci di fare qualche miliardo di operazioni al secondo.

Un misterioso numero preso dal Vangelo Si legge nel Vangelo, Giovanni XXI, 11, che «5imon Pietro montò nella barca e tirò a terra la rete piena di 153 grossi pesci". Perché 153 e non 150 o 155? Forse arcani misteri si nascondono dietro il 153? Quali? In verità questo numero ha qualcosa di magico. Intanto soddisfa alcune proprietà aritmetiche di fronte alle quali solo i minerali più grezzi restano indifferenti: 1+2+3+4+... +15+16+17 = 153 13 + 53 +33+ = 153 Ci sono soltanto altri tre numeri, oltre a 1 e 153, che sono uguali alla somma dei cubi delle loro cifre: 370, 371 e 407. Queste curiose proprietà appartengono a 153 dalla notte dei tempi e potrebbero dare della matematica quell'idea, sbagliata, che sia una disciplina che tratta cose vecchie quanto il mondo. Che dire allora di quest'altra meravigliosa proprietà del numero 153, scoperta dal matematico israeliano Phil Kohn nel 1961? Prendete un qualsiasi numero multiplo di tre, sommate i cubi delle sue cifre, poi sommate i cubi delle cifre del risultato ottenuto e così via. Riuscite ad indovinare cosa apparirà alla fine? Facciamo una prova col numero 162. 13 + 63 + 23 = 225 23 + 23 + 53 = 141 13 + 43 + 13 = 66 63 + 63 = 432 43 + 33 + 23 = 99 93 + 93 = 1458 13 + 43 + 53 + 83 = 702 73 + 23 = 351 et voila

Ed ora, ripetendo l'algoritmo (sequenza di istruzioni), avremo sempre il numero 153 di Simon Pietro o dell'evangelista Giovanni. Il 1961 non è un anno tanto lontano; ci si lamenta spesso che la Storia insegnata nelle nostre scuole si ferma troppo presto e che non tratta gli avvenimenti della seconda metà dell'ultimo secolo. Almeno parla della prima guerra mondiale! E la Matematica? Di che secolo è l'argomento più giovane di matematica nostri ragazzi? In certe scuole non ci si ferma che alla fine del '600. Da un articolo

studiato dai di

MARCO CERASOLI


Un rompicapo per i matematici: i numeri primi La distribuzione dei numeri primi è piuttosto imprevedibile. Tra i primi venti numeri ne troviamo 8, tra 20 e 40 ne troviamo 4, tra 40 e 60 ne troviamo 5, tra 60 e 80 ne troviamo ancora 5, mentre tra 80 e 100 ne troviamo 3. Procedendo in questo modo non scopriamo alcun indizio di regolarità. Qualcosa di più riusciamo a capire se andiamo di mille in mille. Si trova infatti che i numeri primi contenuti nel primo migliaio sono 168, quelli contenuti nel secondo migliaio sono 135, quelli contenuti nel terzo migliaio sono 127 e quelli contenuti nel quarto migliaio sono 120. Cioè: più grande è il migliaio che si considera e più piccolo mi in esso contenuti.

è il

numero dei numeri pri-

Allora ci domandiamo: è possibile, ad esempio, che dal miliardesimo sia alcun numero primo?

migliaio in poi non vi

La risposta è sicuramente negativa. Già Euclide, intorno al 300 avanti Cristo, riuscì a dimostrare che non è possibile contare tutti i numeri primi, per il semplice motivo che:

Quello dei ,numeri primi . . .~.

è un insieme

infinito .

'.

Dunque esistono infiniti Vi sonotuttavia Essi sono:

~umeri ptimi.

altri prob~emi. legati ~ Q~esti misteriosi numeri.

ricerca di una regola generale che consenta di individuare naturali sono primi; ,

ricerca di una regola per calcolare quanti sono i numeri primi minori di un numero naturale assegnato, oppure compresi tra due numeri naturali assegnati;

ricerca di una regola che consenta di riconoscere rapidamente se un dato numero naturale è primo oppure no.

Nessuno di questi problemi è stato ancora soddisfacentemente

con certeiZa

quali numeri

risolto.

Il metodo del crivello di Eratostene, oltre che essere laborioso, non può essere considerato una legge generale, ma soltanto un procedimento per verificare se un numero è primo oppure no. Esso però fu per molti secoli il solo a disposizione dei matematici; infatti bisogna giungere al XVI secolo per trovare la regola di Mersenne (scienziato francese), che si può così enunciare: se p è un numero primo, allora Ma la validità

2P

-

1

è numero

di tale regola è molto limitata, per p = 11

che non è numero primo.

si ha che

primo.

dato che già 211

-

1 = 2.047,


Nel '700 il matematico tedesco Goldbach ipotizzò che ogni numero pari (eccetto il 2 fosse la somma di due numeri primi; per la verità non si è ancora trovata un'eccezione a tale regola, ma ciò non vuoI dire che essa sia valida in generale; infatti una serie di veri .che, per quanto lunga, non costituisce certo una dimostrazione matematica. In altre parole: anche se una persona passasse tutta la vita a fare delle prove e trovasse sempre che qua siasi numero pari è la somma di due numeri primi, ciò non sarebbe sufficiente per affermare che l'ipotesi di Goldbach è una legge matematica. Anche Eulero (matematico svizzero del XVI secolo) si occupò dei numeri primi, ma co scarsi risultati: egli trovò soltanto regole parziali valide per insiemi di numeri naturali molt limitati. Ciò che a tutt'oggi

sappiamo sui numeri primi può essere riassunto nei seguenti punti:

l'insieme dei numeri primi è infinito;

la somma di due numeri primi (eccetto il 2) 23+7

la differenza

30,

29+ 19

=

48;

tra due numeri primi (eccetto il 2) è un numero composto; esempi: 13 - 5

=

è un numero composto; esempi:

=

8 ,

47 - 19

=

28;

i numeri primi con più di due cifre terminano con 1, 3, 7, 9.

Con l'aiuto dell'elaboratore elettronico si sono trovati numeri primi di decine di migliaia di cifre; ma questo non aggiunge nulla a ciò che già sappiamo.

Gli Arabi salvano la scienza Quando le truppe guidate dalla bandiera verde del Profeta conquistarono tutto il Medio Oriente, l'Africa settentrionale e via via la Sicilia e la Spagna fino ai Pirenei, per essere fermate proprio alle porte di Francia da Carlo Martello, gli europei che si radunavano tremanti a pregare nelle chiese e nei conventi sicuramente parlavano dei "barbari" venuti da remoti deserti. Ma in realtà barbari erano proprio gli abitanti dell'Europa: gli Arabi salvarono il sapere accumulato nei secoli da Freci e Romani. .. e contribuirono ad acccrescerlo. Furono grandi matematici, tanto che molti vocaboli di questa scienza che noi oggi usiamo derivano proprio dalla loro lingua. Algebra, ad esempio, era il titolo di un trattato di matematica, ma il frate che tradusse il testo non riuscì a trovare l'esatto equivalente latino e utilizzò il curioso titolo Uber algebrae, mezzo latino e mezzo arabo. Oppure algoritmo: oggi questa parola vuoI dire "metodo per risolvere un problema", ma è la storpiatura del nome di uno dei più grandi matematici arabi, Al Khowarizmi, e, anche in questo caso, il traduttore delle sue opere pensò bene di intitolarle Uber Algorismi, Il libro di AI Khowarizmi.


Il progresso delle scienze in una particolare nazione ha sempre un motivo: una particolare situazione, il radunarsi di numerose persone di genio in una certa scuola, la disponibilità di un sovrano a finanziare le scienze, magari semplicemente il desiderio di superare qualche specifica difficoltà o di raggiungere un ben preciso risultato pratico e immediato, come vincere una guerra, ad esempio. Nel periodo d'oro della scienza araba, accadde che alcune di queste condizioni si verificassero contemporaneamente. Gli Arabi avevano conquistato regioni ricche di scuole e biblioteche greche - a cominciare da Alessandria d'Egitto - e anche se distrussero proprio la Grande Biblioteca, i loro scienziati studiarono tutti gli antichi volumi di cui vennero in possesso; fra l'altro, a quel tempo nell'Europa occidentale si era persa la conoscenza della lingua greca, che era invece nota agli studiosi arabi. Il califfo era uno dei sovrani più potenti e più ricchi del suo tempo, e alla corte di Baghdad si riunivano tutti coloro che potevano contribuire in qualche modo all'idea che egli si faceva della sapienza: c'erano alchimisti e astrologi, ma anche matematici, astronomi, medici e poeti. L'impero della Mezzaluna era tanto vasto e potente che i suoi sudditi potevano viaggiare in lungo e in largo per territori vastissimi, assorbendone le conoscenze, osservandone gli usi, riportando a Baghdad qualsiasi cosa di utile avessero scoperto. Abbiamo ancora i libri di viaggio di alcuni esploratori arabi, che scesero lungo le coste africane e raggiunsero l'India e la lontana Cina su navi ben costruite e attrezzate per accontentare il viaggiatore più esigente: c'erano cabine private dotate di ogni comfort, in un'epoca in cui anche le navi europee meglio costruite, le lunghe navi vichinghe, offrivano solo un duro letto sul ponte, esposto alle intemperie ... Grazie a quei viaggiatori giunse in Occidente, fra le altre cose, la nuovissima scienza indiana dei numeri. Gli arabi portarono quella novità che è lo zero (i Romani non lo conoscevano!) e un modo speciale di scrivere i numeri usando solo dieci cifre decimali (zero compreso) in modo che a ogni posto nella successione delle cifre corrispondesse un peso (1, 10, 100 e così via) che andava moltiplicato per la cifra scritta in quel posto: sommando tutti i valori così calcolati si otteneva il numero voluto. Tale tecnica permetteva di rappresentare numeri anche grandissimi usando un numero molto piccolo di simboli e semplificava enormemente tutte le operazioni aritmetiche a cominciare da somma e sottrazione. Per noi, quelli sono i numeri arabi, perché arabi furono gli ambasciatori di quel metodo: se non lo avessimo adottato, non saremmo riusciti a costruire nemmeno i calcolatori elettronici! da M.

SAMI,

1/ grande libro della Scienza, A. Mondadori


Numeri speciali Nell' antica Grecia, il grande filosofo Pitagora (570-500 a.c.) ed i suoi seguaci erano convinti che la matematica avesse un ruolo fondamentale nella vita quotidiana e spirituale dell'uomo. Non a caso il motto della scuola pitagorica era: "tutto è numero". In particolare i pitagorici ritenevano che la perfezione di un numero fosse collegata ai suoi divisori: definirono infatti perfetto un numero naturale (;>! 1) che è uguale alla somma dei suoi divisori, escluso il numero stesso. Il numero perfetto più piccolo è 6, che ha come divisori propri 1, 2 e 3. Infatti: 6 = 1+ 2 + 3 I successivi numeri perfetti sono: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 8.128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1.016+ 2.032 + 4.064 Con l'aiuto dei computer, oggi si è giunti a calcolare numeri perfetti enormi, formati addirittura da centinaia di cifre. Si osservi però che tutti i numeri perfetti sinora trovati sono pari; nulla si sa sull'esistenza di numeri perfetti dispari. Nel corso degli studi e delle riflessioni su tali numeri i pitagorici notarono inoltre un'altra singolare proprietà: ogni numero perfetto è sempre uguale alla somma di tutti i numeri naturali, dall'uno fino al suo più grande divisore dispari. Si ha infatti:

. 6 = 1+2 + 3 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 8.128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +

+ 30 + 31 + 126 + 127

Ma l'intuito e la fantasia dei pitagorici andò ben oltre. Essi scoprirono anche i cosiddetti numeri amici o amicabili, cioè quei numeri tali che ciascuno di essi è uguale alla somma dei divisori dell'altro (escludendo dalla somma il numero del quale si considerano i divisori). Ad esempio i numeri 220 e 284 sono amica bili. Infatti: D220 =

{1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220}

D284 =

{1, 2, 4, 71, 142, 284}

Sommando i divisori di 220 (escluso 220 stesso) si ottiene: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110

=

284

Sommando i divisori di 284 (escluso 284 stesso) si ottiene: 1 + 2 + 4 + 71 + 142

=

220

È dunque provato che 220 e 284 sono numeri amicabili. continua ancora oggi con l'impiego dei computer.

La ricerca di tale tipo di numeri


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S .."!-

Gli egiziani ed il concetto di frazione

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Gli uomini dell'Età della Pietra non conoscevano l'uso delle frazioni, ma con l'avvento di culture più avanzate nell'Età del Bronzo si resero necessari il concetto di frazione e le notazioni frazionarie. Le iscrizioni geroglifiche egiziane presentano una notazione speciale per le frazioni aventi per numeratore l'unità. I[ numero reciproco di un qualsiasi intero veniva indicato semplicemente collocando al di sopra della notazione per il numero intero un segno ovale allungato. Nella notazione ieratica dei papiri, l'ovale allungato viene sostituito

+

appare come . , e 2~ con un puntino. Nel P~piro di Ahmes, per esempio, la frazione è scritto nella forma 7\. Tali frazioni venivano comunemente usate al tempo di Ahmes, ma il concetto generale di frazione sembra sia rimasto un enigma per gli egiziani. Essi si sentivano a loro agio con la frazione

+'

per rappresentare

la quale avevano uno speciale segno iera-

tico e a tale frazione essi assegnavano un ruolo speciale nei procedimenti aritmetici: così, per trovare un terzo di un numero essi ne trovavano prima i due terzi e poi toglievano metà del risultato!

Essi conoscevan e sfruttavano

somma delle due frazioni frazione zione

-21p

+'

+- è la

il fatto che due terzi della frazione

2~ e 6~ ; erano anche consapevoli del fatto che il doppio della

equivale alla frazione _1_. Tuttavia, sembra che, fatta eccezione per la frap

gli egiziani considerassero una frazione razionale generale della forma

come una "cosa» elementare,

~

non

ma come parte di un processo, inconcluso. Ridotto da:

CARL B.

BOYER,

Storia della matematica,

Mondadori

Successivi sviluppi del concetto di frazione I babilonesi, poiché usavano un sistema di numerazione a base 60, conoscevano solo frazioni aventi per denominatore 60 od una potenza di tale numero. I[ sistema sessagesimale (di 60 in 60), ancora in uso per misure di angoli e di intervalli di tempo, è evidentemente una eredità che abbiamo ricevuto da questo antico popolo. I greci usarono per lungo tempo il metodo di calcolo egiziano basato sulle unità frazionarie e soltanto nel 111 secolo a:c. impararono ad eseguire operazioni con frazioni aventi un qualsiasi numeratore. I romani usavano frazioni con denominatore plicati.

12, per cui i calcoli risultavano

Nel Medioevo per indicare u.na.frazione, per esempio

assai com-

~ ' si usava l'espressione tre fratto

quattro, la quale in seguito; con l'introduzione dei numeri arabi, venne abbreviata nella scrittura simbolica 3 f 4. Tale espressione deriva dal latino fractus, che vuol dire spezzato, ovvero diviso. I[ calcolo con le frazioni sviluppato in modo paragonabile a quello attuale si trova per la prima volta negli scritti di Leonardo Fibonacci e per la prima volta vi si trovano le frazioni scritte con la linea orizzontale che separa il numeratore dal denominatore.

;;..


Gli Egiziani e le operazioni con le frazioni Dell'aritmetica egiziano faceva anche parte la moltiplicazione di frazioni aventi l'unità come numeratore. Il problema 13 del Papiro di Ahmes, per esempio, chiede di trovare il prodotto di

1~ + 1~2 per 1 +

+

+ :

; si trova correttamente

che il risultato è

+.

Per la

divisione si inverte il procedimento di «duplicazione" e si raddoppia successivamente il divisore invece del moltiplicando. Che gli egiziani avessero sviluppato un alto grado di maestria nell'applicare il procedimento «duplicazione» e il concetto di frazione avente per numeratore l'unità, è evidente dai calcoli che accompagnano i problemi di Ahmes. Il problema 70 chiede di trovare il quoziente della divisione di 100 per 7 + 2 1 1

12+ -+ 3

-+-42

126 CARL

B.

BOYER,

+ + + +

+

con risultato

Storia della matematica,

Mondadori

Il mito dell' occhio di Horus Secondo un'antica leggenda Horus, figlio di Iside e di Osiride, volle vendicare la morte del padre, ucciso dal fratello Seth. Nella lotta Horus perse un occhio le cui parti vennero ritrovate e ricomposte dal dio Toth a meno di una piccola parte. L'occhio di Horus fu considerato un potente amuleto; al simbolo vennero attribuiti poteri magici con significati diversi nei vari campi del sapere. In matematica il simbolo fu scomposto in sei parti e ad esse si fecero corrispondere le sei frazioni unitarie più frequenti, quelle corrispondenti agli inversi delle prime sei potenze di 2:

-

J>-

O cJre[

1 1432 1 18 16 64 1 . ~ ~

-

64

Ad ogni parte dell'occhio si fece corrispondere un senso; nell'ordine: il tatto (1/64), il gusto (1/32), l'udito (1/16), il pensiero (1/8), la vista (1/4) e l'olfatto (112). La costruzione del simbolo segue una precisa regola. I sensi erano ordinati secondo l'importanza loro attribuita, a seconda cioè dell'energia "utilizzata" per ricevere una particolare sensazione. Tutti i dati ricevuti erano l'alimento della conoscenza. (Da un articolo di

ERMAN

DI RIENZO)


La notazione decimale Durante tutto il Medioevo i matematici scrivevano la parte intera di ulJ numero utilizzando il sistema decimale, mentre la prima cifra dopo la virgola rappr'esentava i sessantesimi, la seconda cifra i tremilaseicentesimi e così via. La parte decimale era quindi descritta servendosi della notazione sessagesimale e ciò sotto il chiaro influsso dell'antica matematica babilonese. Appare evidente che questa doppia notazione per la parte intera e per la parte decimale generava notevoli difficoltà di calcolo e soltanto nel XVI secolo d.C. apparvero i primi trattati in cui si adottava la notazione decimale anche per la parte decimale. In quegli anni il matematico già scrivevano, ad esempio, 3,

olandese Simon Stevin ed il francese François Viète

166 oppure 3, ~

per 3, 14, con una notazione

vicinissima a quella attuale. In generale, l'awersione dei matematici per questo modo di scrivere i numeri non interi è giustificata dal fatto che, mentre operando con le frazioni si trovano sempre risultati esatti, operando con i numeri decimali ci si deve molto spesso acc()ntentare di risultati approssimati, il che non va certo d'accordo con la matematica, scienza esatta per definizione. Abbiamo visto infatti che il risultato di una divisione può essere un numero decimale illimitato, cioè non esattamente esprimibile, qualunque sia il numero di cifre che si considera. La precisione assoluta è quindi garantiti:l solo dal calcolo con le frazioni; però i migliori calcolatori elettronici, benché operino con numeri decimali, garantiscono ugualmente ottimi risultati, perché essi considerano un numero di cifre decimali talmente grande da rendere in pratica trascurabili le differenze dai risultati che si otterrebbero operando con le frazioni.


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storici '€lella matematica ',/r i "

La scoperta dei numeri irrazionali Il primo esempio di estrazione di radice quadrata è stato trovato in Mesopotamia. Lo rivela la tavoletta Yale contrassegnata dal numero 7 289 nella quale viene determinato il valore della radice quadrata di 2, riportando anche un disegno che riproduce il rapporto fra il lato e la diagonale di un quadrato. Tuttavia il procedimento per il calcolo è stato attribuito, da alcuni storici della matematica, al greco Archita (428-360 a.c.) e da altri ad Erone di Alessansecolo d.C. mentre secondo altri nel Il o nel I secolo d.C. dria vissuto secondo alcuni nel 111

I Pitagorici sentirono la necessità di introdurre nuovi numeri dopo i numeri razionali, a seguito della scoperta, fatta in geometria, che non è possibile determinare il rapporto fra il lato e la diagonale di un quadrato o fra il lato e la diagonale del cubo. È difficile stabilire quando ciò sia avvenuto, per alcuni storici la scoperta è databile al410 a.c., per altri risale a Ipparco di Metaponto vissuto nel V secolo a.c. Anche per il primo numero irrazionale preso in considerazione storici della matematica: per alcuni è stato \2., per altri \rs.

non esiste accordo fra gli

Platone (428-347 a.c.) nel dialogo Teeteto, cita l'irrazionalità di \1. attribuendone la dimostrazione a Teodoro di Cirene. In questa occasione viene usato per la prima volta il termine irrazionale. Euclide (IV secolo a.c.) riprese tali concetti in maniera rigorosa e li precisò negli Elemennelle forme:

ti classificandoli

~a±\b

~ \a

± \D

Tutte queste radici provenivano da costruzioni geometriche con riga e compasso. Nello studio dei rapporti fra le superfici del dodecaedro regolare e dell'icosaedro regolare inscritti in una stessa sfera pervenne a numeri irrazionali più complessi. Recenti indagini hanno appurato che questi studi sono attribuibili ad altri autori vissuti in epoche successive ad Euclide. Leonardo Fibonacci (circa 1170-1240) dimostra nella sua opera Liber Abbaci l'impossibilità di esprimere una radice come rapporto fra due numeri interi. Nicolas Choquet (matematico francese del XV secolo) nel volume Tripartyen la science de nombres presenta il simbolo R2 che traduce il nostro \ . Richard Un metodo completamente originale, è stato quello adottato da Julius-Whilhelm Dedekind (1831-1916) che ha definito un irrazionale come l'elemento separatore di due insiemi di numeri razionali che approsimano l'una per difetto l'altra per eccesso il numero irrazionale. Nello studio dei numeri irrazionali si sono avuti anche alcuni tentativi di rifiuto, di cui l'ultimo è dovuto a Leopold Kronecher (1823-1891) che ha espresso la convinzione di limitare lo studio dell'aritmetica e dell'algebra ai soli numeri interi. Famosa è la sua affermazione: "Dio ha creato i numeri interi; tutto il resto è opera dell'uomo». Il suo era un rifiuto completo; perciò i colleghi matematici non dovevano interessarsi al loro studio, in quanto erano numeri inesistenti! Adattato e ridotto da:

BUCCHINI-MAGI-GAMBARDELLA,

Elementi di matematica,

Calderini


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storici<a'etla matematica ~

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Pitagora: la matematica dell' armonia Il maggior vanto storico di Crotone è, senza dubbio, la scuola che Pitagora di Samo, il grande matematico e filosofo, vi fondò quando vi si trasferì dalla Grecia, verso il 530 a.c. Essa prosperò per una trentina d'anni, fino a che i pitagorici si immischiarono nelle faccende politiche della città, appoggiando il partito sbagliato. Essi furono perseguitati e cacciati, la scuola fu bruciata e Pitagora fuggì a Metaponto, dove morì poco dopo. Per commemorare queste memorie storiche, la Provincia di Crotone celebra il "Maggio pitagorico". La manifestazione alterna conferenze su temi matematici e concerti musicali. La musica non interviene nel programma in maniera puramente occasionale. Fu infatti proprio un'intuizione musicale che permise a Pitagora di formulare quel legame fra matematica e natura che costituisce, probabilmente, la scoperta più profonda e feconda della storia dell'intero pensiero umano. Secondo Giamblico, l'episodio è il seguente. Un giorno Pitagora passò di fronte all'officina di un fabbro e si accorse che il suono dei martelli sulle incudini era a volte consonante ed a volte dissonante. Incuriosito, entrò nell'officina, si fece mostrare i martelli e scoprì che quelli che risuonavano in consonanza avevano un preciso rapporto di peso. Ad esempio, se uno dei martelli pesava il doppio dell'altro, essi producevano suoni distanti un'ottava. Se invece uno dei martelli pesava una volta e mezzo l'altro, essi producevano suoni distanti una quinta (l'intervallo fra il do e il sol). Tornato a casa Pitagora fece alcuni esperimenti con nervi di bue in tensione, per vedere se qualche regola analoga valesse per i suoni generati da strumenti a corda, quali la lira. Sorprendentemente, la regola era addirittura la stessa! Ad esempio, se una delle corde aveva lunghezza doppia dell'altra, esse producevano suoni distanti un'ottava. Se invece una delle corde era lunga una volta e mezzo l'altra, esse producevano suoni distanti una quinta. Poiché nelle leggi dell'armonia scoperte da Pitagora intervenivano soltanto numeri razionali ed i rapporti armonici corrispondevano perfettamente a rapporti numerici, Pitagora enunciò la sua scoperta nella famosa massima: tutto è numero razionale. Essa codifica la fede nella intelligibilità matematica della natura ed è il presupposto dell'intera impresa scientifica, di cui Pitagora è stato appunto il padre fondatore. Un esempio tipico di ciò è la teoria cosmologica pitagorica, il cui aspetto è stato descritto da Platone. Mediante costruzioni basate sui numeri 1, 2 e 3, che corrispondono ai rapporti numerici dell'ottava e della quinta, si arriva alla determinazione dei rapporti armonici che regolano il moto dei pianeti. Il sistema solare è dunque visto come una lira a sette corde suonata da Apollo, in cui i pianeti producono i suoni che loro corrispondono e che insieme costituiscono la musica delle sfere. L'aspetto di tale modello pitagorico rimase per secoli il punto di riferimento per la cosmologia, tanto che nel 1619 Keplero lo utilizzò nel suo strabiliante libro L'armonia del mondo. In esso egli descrisse le leggi musicali che regolano il moto dei pianeti, specificando che, nella sinfonia celeste, Mercurio canta da soprano, Marte da tenore, Saturno e Giove da bassi e la Terra e Venere da alti. Nella terza delle tre famose leggi di Keplero ricompare, miracolosamente, il rapporto di quinta: il quadrato del periodo di rotazione di un pianeta attorno al Sole è infatti proporzionale al cubo della sua distanza da esso. In conclusione, rimane da notare che il pensiero pitagorico è oggi divenuto la base della cultura planetaria. La scienza e la tecnologia si basano infatti proprio su quella coincidenza fra natura e matematica che Pitagora ha per primo saputo intuire e perseguire. Adattato e ridotto da un articolo di P. ODI

FREDDI,

pubblicato su "La Stampa" del 07/05/98


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Ramanujan, il Mozart della matematica Ramanujan Srinivasa Aaiyangar, geniale matematico indiano, nacque il 22 dicembre 1887 e morì il 26 aprile 1920 a soli 33 anni. Era privo di istruzione e proveniva da uno sconosciuto villaggio dell'India. Egli rappresenta un tipico esempio di genio innato. Ramanujan è stato uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, al pari di Gauss o di Eulero, nonché un prodigio nelle capacità di calcolo: una specie di Mozart della matematica. Dotato di un talento straordinario per la teoria dei numeri, ha lasciato taccuini (Notebooks di Ramanujan) pieni formule. Ancora oggi ci si chiede come abbia potuto scoprirle senza poterne dare delle vere dimostrazioni. Si racconta che il matematico inglese Hardy, dicesse a Ramanujan malato di tubercolosi nell'ospedale di Putney: «Il numero del mio taxi è il 1.729, mi sembra un numero alquanto stupido». Al che Ramanujan rispose: «No Hardy! No! È un numero molto interessante. Il più piccolo esprimibile come somma di due cubi in due diversi modi: 1729 = 103 + 93 = 123 + 13». Ramanujan nacque a Kumbakonam presso Madras nel 1887, non un un grande centro intellettuale, purtroppo, ma proprio nella parte sbagliata del mondo, da una famiglia poverissima anche se di casta elevata. Fin dalla più tenera età, Ramanujan, si era appassionato ai numeri ed alla matematica ed aveva letto ogni libro che gli venisse a tiro. Poverissimo e con una moglie da mantenere, accetta di lavorare come impiegato al porto di Madras, con uno stipendio di 20 sterline annue. Nel gennaio 1913 viene scoperto dal grande matematico inglese G.H. Hardy, docente di matematica a Cambridge, vincitore di diversi premi e il più illustre matematico inglese. Hardy intuì immediatamente il genio matematico del povero indiano e si offrì di aiutarlo in tutti i modi possibili. Per liberarlo dai problemi economici e per permet· tergli di continuare gli studi lo fece venire a Cambridge, ove all'età di 30 anni fu eletto Fellow della Royal Society. Morirà, purtroppo, all'età di 33 anni, nel1918 malato di tubercolosi, della moglie. Hardy, per ricordare il genio di Ramanujan, scrisse:

tra le braccia

«Quando sono depresso e costretto ad ascoltare gente pomposa e noiosa, mi dico: ttBe', io ho fatto una cosa che Voi non avreste mai potuto fare e cioè aver collaborato con Ramanujan pressappoco alla pari"». Adattato e ridotto da WWW.matematicaeliberaricerca.com


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storici ~ael.lamatematica Dal baratto alla moneta Nelle società primitive ogni uomo svolgeva da solo le operazioni necessarie a soddisfare i propri bisogni, anche se all'interno della famiglia vi era una sostanziale divisione del lavoro: l'uomo si dedicava alla caccia ed alla pesca e la donna si preoccupava della casa e dei figli. In seguito si svilupparono attività produttive più evolute come l'agricoltura e la pastorizia. A quel tempo il soddisfacimento dei bisogni avveniva con il sistema del baratto: si scambiavano merci con altre merci; ad esempio un pastore dava una pecora ad un agricoltore per ricevere in cambio una certa quantità di grano. Col passare del tempo si affermò la divisione del lavoro: ogni individuo si specializzava nella produzione di un solo bene o, al massimo, di pochi beni: gli agricoltori producevano grano ed altri prodotti della terra; i pastori fornivano latte, formaggi, ecc.; i diversi artigiani (sarti, calzolai. .. ) mettevano a disposizione beni differenti. Siccome ogni persona produceva pochi beni, ma ne consumava molti per vivere, si doveva procurare quelli che non produceva personalmente; perciò lo scambio divenne un fenomeno sempre più diffuso. Tuttavia il baratto presentava notevoli svantaggi. Prima di tutto era difficile che due persone, disposte a fare uno scambio, avessero sempre i beni che ognuno di loro desiderava. Se ad esempio qualcuno voleva cedere un tegame per avere in cambio una sedia, era difficile trovare una persona che fosse disposta a offrire una sedia e che nello stesso tempo desiderasse in cambio proprio un tegame. Inoltre, se un calzolaio voleva cedere un paio di scarpe in cambio di pane, ma ne desiderava solo un chilo, tale baratto non sarebbe stato conveniente per il calzolaio, visto che il valore delle scarpe era superiore al valore di un solo chilo di pane. Allora, per eliminare gli inconvenienti del baratto, gli uomini idearono una merce che fosse desiderata da tutti; tale merce avrebbe agevolato gli scambi. Infatti, chiunque vendeva un bene avrebbe accettato questa merce in cambio del bene stesso. Così si passò dal sistema del baratto al sistema della compravendita, merce che veniva data come pagamento in tutti gli scambi era la moneta.

in cui la

Ben presto si pensò di usare come moneta i metalli preziosi - oro e argento - perché essi si conservano nel tempo senza alterarsi e sono abbastanza rari in natura. La moneta come intermediaria degli scambi viene tuttora usata nei mercati, che sono i luoghi in cui i beni vengono venduti e comprati. da

ANCORA-AvETA,

Tu cittadino oggi, Loffredo Editore


Le antiche origini della statistica Si fa risalire ad epoche molto remote il bisogno dell'uomo dell'ambiente in cui viveva.

di classificare gli oggetti

Nella Bibbia si incontra la forma più antica di indagine: il conteggio dei componenti di un gruppo di abitanti. Il primo censimento si fa risalire all'uscita gli uomini atti a portare le armi.

degli Ebrei dell'Egitto:

vennero censiti

Gli antichi Egizi, attraverso osservazioni periodiche, riuscirono a prevedere l'inizio e la fine delle piene del fiume Nilo, acquisendo notizie molto utili per l'economia del paese. A Roma, sotto il regno di Servio Tullio, venne prescritto un censimento da ripetersi ogni cinque anni e che, oltre il nome, l'età e la dimora del dichiarante, avrebbe dovuto rilevare il nome del padre, dell'avo, dei discendenti e della sposa, come pure l'indicazione dei beni e degli schiavi, maschi e femmine. Meritano menzione anche i censimenti fatti eseguire dall'imperatore Augusto nel 28 a.c., nell'8 a.c. e nel 14 d.C. (in quest'ultimo furono censiti 4.937.000 cittadini romani). Nel medioevo sono assai scarse le notizie su indagini e analisi dei fenomeni della vita umana. Ricordiamo: • una descrizione, eseguita dagli Arabi, della popolazione e delle condizioni dell'agricoltura e del commercio; • la catastazione dell'Egitto

(ripetuta a partire dal 1240);

• il Breviarum fiscalium di Carlomagno (in cui sono minutamente descritte le abitazioni, le suppellettili, le provviste, il bestiame, le varie specie di colture); • il catasto «Domesday book» di torno al 1083-1086, considerato quella di Roma, comprendente, zione dei patrimoni, dei redditi,

Guglielmo il Conquistatore, libro composto income la prima vasta rilevazione censuaria dopo oltre l'enumerazione degli abitanti, la descridei territori;

• il catasto fatto eseguire dal duca Carlo di Calabria. Un secondo periodo è quello che ebbe inizio in Inghilterra con J. Graunt (16201674), un mercante di Londra, che ebbe la felice idea di esaminare attentamente la lista della nascite e quella delle morti per categorie omogenee (per età, per sesso, per malattia) e di contarne il numero e le caratteristiche in successivi intervalli eguali di tempo; scoprì così che ogni anno era all'incirca eguale il numero dei nati e quello dei morti e che il numero dei decessi, dovuti alla pestilenza che colpì Londra nel 1625, era molto più alto di quello che figurava nei bollettini.


Aveva inizio il metodo statistico. Il terzo periodo è caratterizzato dall'applicazione, alle indagini statistiche, del calcolo delle probabilità, utilizzato dal matematico francese Simone Laplace, il quale diede un notevole contributo agli studi di statistica, fornendo nel 1816 i primi metodi razionali per la costruzione delle tavole di mortalità. Nel 1885 fu fondato a Londra l'Istituto Internazionale di Statistica. In Italia fu istituito l'lstat (Istituto Centrale di Statistica) che si occupa, fin dall'anno di uscita (1926) di rilevazioni statistiche di interesse pubblico, stampando mediamente ogni anno 22.000 pagine di dati statistici, escludendo i censimenti generali della popolazione. Infine è dei nostri giorni quello sviluppo in profondità ed in estensione con indagini nel campo economico, scolastico, scientifico, ... ; oggi si fanno statistiche per conoscere l'opinione pubblica su un determinato argomento, il numero di automobili circolanti nelle varie regioni d'Italia, il numero delle ore di sole su una data regione nei vari mesi dell'anno, la spesa media annua di un italiano per i divertimenti, il consumo medio di carne per abitante nei vari paesi d'Europa, ... Si distinguono: - la statistica metodo logica che studia i necessari per rappresentare i fenomeni;

procedimenti

e gli strumenti

tecnici

- la statistica applicata che riguarda, invece, i settori nei quali si svolgono le indagini, come quello economico e quello demografico.

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I giocatori d'azzardo interpellano i matematici Nel mondo antico i filosofi greci discutevano di probabilità, ma in generale mancavano valutazioni quantitative. I pochi riferimenti si trovano nella letteratura ebraica come commento alle prescrizioni delle leggi. Altri cenni di probabilità si trovano in S. Tommaso e nei primi versi del sesto canto del Purgatorio nella Divina Commedia, ove si parla del gioco della Zara, consistente nel lanciare tre dadi, ciascuno con le facce numerate da 1 a 6, e nel prevedere la somma dei punti che si sarebbe ottenuta. Gli inizi del calcolo delle probabilità si fanno risalire al Rinascimento, quando lo spirito sperimentale porta ad intravedere, nell'antico gioco dei dadi, alcune regolarità esprimibili mediante valori numerici. Nel popolo si diffonde il gioco d'azzardo e maggiormente viene praticato nelle corti e nei palazzi dell'aristocrazia, tra gente ricca e oziosa che ha tempo e denaro per dedicarvisi con continuità. Tra i giocatori d'azzardo non mancano persone colte e dotate di spirito di osservazione come G. Cardano (1501-1576), matematico illustre e professore di medicina, il quale si dedica a studiare la probabilità. Basandosi su ragionamenti matematici e con l'ausilio della sua esperienza di giocatore, raccoglie una serie di risultati che pubblica in un manuale dal titolo «Liber de ludo aleae" (Libro sul gioco d'azzardo). In quel periodo è praticato anche l'attuale gioco del lotto, chiamato all'inizio «lotto genovese". A Genova, fiorente repubblica indipendente, viene emanata nel 1576 una Costituzione la quale prevedeva, fra l'altro, la sostituzione ogni sei mesi di cinque membri del Consiglio con altrettanti candidati scelti a sorte in una rosa di novanta nomi. I genovesi, attribuendo un numero ad ogni candidato, cominciano a scommettere sulla cinquina di numeri sorteggiati tra i novanta considerati. Nel 1654 un altro fanatico giocatore, il Cavalier de Méré, discutendo su questioni di probabilità e non avendo le capacità matematiche di Cardano, si rivolge al matematico B. Pascal (1623-1662) lamentandosi delle frequenze dei risultati (ottenute nel gioco dei dadi) che non corrispondono alle probabilità calcolate su cui sono basate le scommesse. Ricordiamo altri matematici che si interessarono a tali argomenti: - Fermat (1601-1665), il quale raggiunse notevoli risultati. -

C. Huygens (1629-1695): il suo scritto «De ratiociniis derare il primo trattato di calcolo delle probabilità.

in ludo aleae" si può consi-

- Simone Laplace (1749-1827), che con la sua opera «Teoria analitica delle probabilità" diede il primo assetto rigoroso del calcolo delle probabilità, basato su un'impostazione classica. Nel secolo XX nacquero due nuove impostazioni del calcolo delle probabilità, denominate frequentista (o empirica) e soggettivistica.


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sto rici/ :~Jla matematica I primi simboli Il primo algebrista è stato Diofanto d'Alessandria, vissuto fra il 150 ed il 250 d.C. Prima di Diofanto i calcoli sono eseguiti a parole; anche l'esposizione di regole si mantiene verbale ed a parole sono pure espresse le formule algebriche. Per questa ragione, in questo periodo, l'algebra è detta retorica. Diofanto, invece, per esporre più comodamente gli argomenti da trattare, fa uso di speciali simboli, certamente assai lontani da quelli che noi usiamo oggi, ma che valsero a segnare un progresso sensibilissimo nella matematica greca. Per tale motivo, Diofanto è stato definito "padre dell'algebra". Tuttavia il segno = è usato per la prima volta soltanto dall'inglese 1558).

Record (1510-

I segni> e < furono introdotti da un altro inglese, Tommaso Harriot (1560-1621). Diofanto conosce le quantità positive e le quantità negative e chiama le prime quantità che si aggiungono e le seconde quantità che si sottraggono. La volgarizzazione dei segni + e - per indicare rispettivamente numeri positivi e numeri negativi è dovuta al tedesco Michele 5tiefel (1487-1567) che, nella sua Aritmetica integra considera i numeri negativi come numeri minori di zero. Il segno X di moltiplicazione, fu usato per la prima volta dall'inglese Guglielmo Oughtred (1573-1660); a questo stesso autore si deve l'introduzione dell'uso del doppio segno ±. Il segno: di divisione fu introdotto da Leibniz (1646-1716). La linea di frazione, per indicare il quoto di due numeri (di origine indiana), fu introdotta in Europa da Leonardo da Pisa. L'uso degli esponenti per indicare la potenza alla quale deve essere innalzata una quantità venne introdotta da Cartesio nel 1637; ma l'uso di una notazione esponenziale si trova nell' Algebra (pubblicata nel 1572) del matematico italiano Raffaele Bombelli. Si può dire che, da questo momento, gli esponenti furono usati metodicamente nell'algebra. La notazione modulo a fu introdotta dal francese Luigi Cauchy (1789-1857); l'altra notazione, I a I, dal tedesco Carlo Weiestrass (1815-1897), due fra i maggiori matematici moderni. Il segno 00 per indicare la parola "infinito" fu introdotto dall'inglese Giovanni Wallis (1616-1703), come pure, a lui si deve l'introduzione degli esponenti negativi. Al francese Francesco Viète (1540-1603) si deve in gran parte l'unificazione simboli e delle notazioni già adottate in algebra.

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L'uso di segni e di notazioni particolari, permette di esprimere concetti, .operazioni e formule, in modo semplice e chiaro. In quest'ambito l'algebra suole definirsi algebra simbolica.


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Il calcolo letterale

Il calcolo letterale è un insieme di regole che consentono di operare sulle espressioni letterali per trasformarle in altre più semplici, allo scopo di studiarne meglio le caratteristiche e di calcolarne più agevolmente i valori numerici per assegnati valori attribuiti alle lettere. Nell' antichità non si fece uso delle lettere per rappresentare numeri anche perché, mancando i simboli per indicare le varie operazioni, si ricorreva alle descrizioni con parole per esprimere i calcoli necessari per la risoluzione di un problema. Soltanto il filosofo greco Aristotele (384-322 a.c.) ed il matematico greco Euclide (Il secolo a.c.) usarono, sia pure limitatamente, le lettere per indicare numeri. In seguito si fece ricorso ad alcuni simboli ed abbreviazioni per sintetizzare meglio ragionamenti e calcoli. Dobbiamo fare un bel balzo nel tempo per trovare un ampio uso delle lettere per lo scopo indicato. Ciò fu dovuto al matematico tedesco Michele Stifel (1487-1567), al matematico italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) e soprattutto ad un altro matematico italiano, Raffaele Bombelli, autore di un'opera di notevole interesse intitolata L'algebra e pubblicata nel 1572. Il matematico ed astronomo francese Francesco Viète (1540-1603) introdusse l'uso sistematico delle lettere per indicare i numeri e i simboli delle operazioni tuttora usati. Con Renato Cartesio (1569-1650), matematico e filosofo francese, l'algebra venne considerata come una scienza autonoma, alla quale furono subordinati i problemi di geometria. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1719), filosofo e matematico tedesco, e Leonardo Eulero (1707-1783), matematico svizzero, aprirono più vasti orizzonti all'algebra in modo da consentire una sempre maggiore economia di pensiero e di simbolismo. L'introduzione del calcolo letterale segnò una svolta decisiva negli studi matematici, paragonabili alle più grandi scoperte scientifiche. Non ci stupisce affatto se i grandi algebristi del Rinascimento chiamarono l'algebra «ars magna» (arte grande).

L'origine della parola "algebra" Il più antico trattato d'algebra è dovuto all'astronomo e geografo arabo Muhammed Ibn MOsà Khuwarizmi vissuto a Bagdad nel periodo 813-833 d.C. in cui regnò il califfo Al MamOn. Questo trattato

s'intitola Kitab al giabr wa '1 muquàbalah e la nostra parola alge-


bra non è altro che una derivazione di al-giabr, voce che figura per la prima volta nel titolo dell'opera ora nominata. «Al-giabr» significa il trasporre, il rimettere a posto (in latino: restauratio); e vuoI significare l'operazione del trasporto di un termine da un membro all'altro di un'eguaglianza col cambiamento di segno. La voce 'l muquàbalah (in latino: appositio) significa riduzione di termini simili. Del pari la parola algoritmo ora usata per significare ogni schema di notazioni e convenzioni o tipo di calcolo (ad esempio l'algoritmo della divisione, l'algoritmo euclideo del M.C.D., ecc.) non è che il soprannome dello stesso autore arabo, derivato dal nome della provincia (Khuwàrizmi: l'odierna Diva) da cui egli era originario. Muhammed Ibn MOsà visse, riverito ed onorato, alla corte del califfo Mamun dietro il cui incitamento egli scrisse il trattato su nominato. Questo trattato ha una somma importanza perché con esso si inizia la letteratura algebrica propriamente detta; esso esercitò un'influenza potentissima sullo sviluppo delle matematiche in Europa. Di quest'opera possediamo una copia dall'originale in un manoscritto che risale al 1342 e che si trova nella biblioteca universitaria di Oxford (Inghilterra) ed alcune versioni parziali e totali. Oltre all'opera citata Muhammed Ibn MOsà scrisse pure un trattato d'Aritmetica e lasciò una collezione di tavole astronomiche importanti per la storia delle matematiche perché in esse hanno parte rilevante alcune relazioni trigonometriche. Muhammed Ibn MOsà ebbe tre figli: Muhammed, Ahmed ed Al Hasan i quali, anche se non raggiungessero l'altezza paterna, dimostrarono per le matematiche lo stesso zelo e le stesse attitudini del genitore. Nel suo trattato il nostro autore designa l'incognita con la parola ttschai" che si traduce in ttcosa" (in latino: res), questa parola ebbe corso in tutto il mondo civile per molti secoli. Il quadrato di ttcosa" veniva chiamato ttcensus". Per tale ragione Luca Pacioli (1445-1514) ed altri chiamarono l'algebra anche ttArte o regula della cosa" (ars rei et census). Come arte o metodo per eccellenza l'avevano considerata gli indiani e gli arabi del Medio Evo ed ttArte maggiore" fu detta dagli algebristi del nostro Rinascimento.


La scrittura di un'equazione I simboli utilizzati dalla matematica per scrivere un'equazione sono cambiati nel corso dei secoli. Riferiamoci, ad esempio all'equazione: 2x2

-

5x

=

23

ed ecco come era rappresentata: III secolo Dio/anto

duo quad. m quinque reb. aequalis 23

trovami un numero il cui doppio del quadrato diminuito di cinque volte lui stesso fa ventitrè

1545 Cardano

1556, Tartaglia

0CD 2 m 5 equale a 23

2 Q - 5 N aequatur 23 2

aq -

5 a aeq. 23

2aa- 5a

2zz- 5z

=

00

23

23

2 x x - 5 x = 23

1572, Bombelli

Viète

{1580 1600,

1631, Harriot

1635, Cartesio

XVIII secolo


Equazioni Le equazioni di primo grado sono uno dei più antichi argomenti di matematica. Già nel papiro di Rhind, che è la copia fatta intorno al 1650a.c. dallo scriba Ahmes di un documento ancora più antico, compaiono dei problemi che vengono risolti mediante equazioni di I grado; la stessa cosa si verifica nelle tavolette di Senkreh (risalenti al periodo tra il 2300e il 1600a.c.) che sono una delle principali fonti della nostra conoscenza della matematica babilonese. Il metodo risolutivo che appare nel papiro di Rhind, detto di falsa posizione, illustrato in termini moderni nel modo seguente.

può essere

Data l'equazione a x = b si dà alla x un valore qualsiasi (la falsa posizione), ad esempio h e si calcola a h = k. Il valore della soluzione si ottiene dalla proporzione:

x :h

=

b : k,

ossia

x

+

=

b

Questa regola è stata rielaborata dagli Arabi. Ad esempio, Abu Kamil (X secolo d.C.) usa la cosidetta regola di doppia falsa posizione che, esposta nel Liber Abaci di Leonardo P;sano, è stata usata dagli algebristi fino ad epoche recenti. Data l'equazione a x = b, si assegnano ad x due valori qualsiasi scarti k1 e k2 da b dei due risultati ottenuti: (*)

a

h1 =

b -

h1

e

h2

e si calcolano gli

k1

Sottraendo membro a membro, abbiamo:

a=---

da cui Moltiplicando

la prima delle (*) per

h2

e la seconda per

h1

k2

-

k1

h2

-

h1

e sottraendo si ricava:

da cui otteniamo:

in definitiva: b k2h1 x=-=-----

a

k2

-

k1h2

-

k1

da cui ricaviamo il sistema normale:

Jx-2y=0 l2x-y=3

che ha per soluzione x

=

2 e y = 1.


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Dal libro dei numeri La Bibbia è composta da vari libri, uno dei quali è detto Libro dei numeri. In questo caso al termine numeri va dato il significato di censimenti, in quanto traduzione della parola greca arithm6i, che significa appunto numeri, ma anche censimenti. Ciò lascia evidentemente intendere quanto sia antica questa pratica risalente a circa il

1.200 a.c. In tale libro si descrive il censimento delle dodici famiglie dei capi del popolo di Israele, ordinato dal signore a Mosè. Il Signore parlò a Mosè nel Deserto del Sinai, nella tenda del convegno, il primo giorno del secondo mese, il secondo anno della loro uscita dal paese d'Egitto, dicendo: «Fate il censimento dell'intera comunità dei figli d'Israele secondo le loro famiglie, secondo la loro casa paterna, numerando le persone, tutti i maschi testa per testa. Dai venti anni in su, tutti quelli che in Israele sono abili per l'esercito, tu ed Aronne li censirete per il loro arruolamento. Con voi, però, si unirà uno per tribù, l'uomo che si capo della sua casa paterna». (... ] Allora Mosè ed Aronne presero questi uomini che erano stati designati per nome, convocarono tutta la comunità nel primo giorno del secondo mese e furono registrate le loro famiglie, secondo la loro casa paterna, numerando le persone, testa per testa, dai venti anni in su, secondo quanto il Signore aveva comandato a Mosè. La registrazione si fece dunque nel Deserto del Sinai. E furono censiti i figli di Ruben, primogenito d'Israele, le loro generazioni secondo le loro famiglie, secondo la loro casa paterna numerando le persone, testa per testa, tutti i maschi, dai venti anni in su, tutti gli abili all'esercito. I loro censiti, per la tribù di Ruben, furono quarantaseimilacinquecento. (adattato e ridotto da La Bibbia concordata, Mondadori)


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Bruno de Finetti: un maestro della probabilità BRUNO DEFINETTI era nato a Innsbruck nel 1906 da genitori austriaci.

italiani

naturalizzati

Già negli anni Trenta era noto per le sue idee e i suoi fondamentali lavori sul calcolo delle probabilità; riferimenti alle sue intuizioni si trovano nelle opere di due grandi pensatori di quel periodo: RUDOLF CARNAP e KARLPOPPER. Dopo aver trascorso molti anni nel settore applicativo della Statistica e delle Assicurazioni, DEFINETTI ha accolto l'invito dell'Università di Roma, dove ha svolto feconda opera di studioso e di insigne docente fino alla sua morte (1985). L'idea centrale della sua teoria soggettivista della probabilità è imperniata sui diversi gradi di fiducia che i vari individui hanno di fronte al verificarsi degli eventi. Le altre due teorie, quella classica oggettivista e quella frequentista, fanno derivare il concetto di probabilità dalle regolarità oggettive degli eventi in natura, mediante l'osservazione delle frequenze di categorie di eventi in lunghi periodi. Il nostro matematico, invece, rifiuta qualunque certezza sulle regolarità oggettive degli eventi e mostra che i diversi gradi di fiducia, pur così soggettivi, si possono misurare. «Consideriamo, ad esempio, la partita di calcio che la mia squadra del cuore deve affrontare: la mia squadra vince, pareggia oppure perde. A me piace scommettere: sono disposto a pagare un massimo di x euro in anticipo ad un tifoso della squadra avversaria se lui si impegna, in caso di vittoria della mia squadra, a consegnarmi in premio una certa somma (resta inteso che se la mia squadra non vince lui non mi darà nulla ed io avrò perduto ciò che avevo anticipato). Sono anche disposto a ttscambiare" la mia posizione con quella del tifoso avversario a sua richiesta: pagherò io la somma in premio se vincerà la mia squadra, dietro pagamento anticipato, da parte sua, del massimo che io ho fissato. Il quoziente tra il prezzo massimo che mi consente di scommettere sulla vittoria della mia squadra e il premio promessomi in caso di vittoria, rappresenta il mio grado di fiducia nella vittoria della mia squadra del cuore». Il matematico DEFINETTI richiede solo che nell'assegnare i vari gradi di fiducia l'individuo sia coerente, cioè sia disposto a combinare i gradi di fiducia secondo le regole del calcolo della probabilità. Riprendendo intuizioni di grandi matematici del passato (PASCAL e LAPLACE), DEFINETTI ha costruito il suo teorema: «Intorno agli eventi incerti re si è incoerenti".

o si ragiona secondo le regole di quel calcolo oppu-


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I creatori della teoria degli insiemi I diagrammi di Venn, di cui ci siamo serviti per rappresentare gli insiemi, vengono anche chiamati diagrammi di Eulero-Venn, dal nome dei matematici che per primi hanno usato questo tipo di rappresentazione. Leonard Euler, detto Eulero (1707-1783), è stato uno dei più illustri matematici di tutti i tempi. Lavorò a lungo in Russia dove fu direttore dell'istituto di matematica dell' Accademia. Compì interessanti studi sull'uso dei grafi che utilizzò per risolvere il problema dei ponti di Konigsberg, introducendo così in matematica la cosidetta teoria dei grati. Introdusse l'uso dei diagrammi che tracciava sempre di forma circolare e furono perciò detti cerchi di Eutero. In seguito, il matematico inglese Venn (1834-1925) utilizzò anche altre linee chiuse per rappresentare i diagrammi che racchiudevano insiemi. Tuttavia, il fondatore della teoria degli insiemi

è

stato Cantor, matematico

russo.

Georg Cantor nacque a Pietroburgo nel 1845; a soli 11 anni si trasferì in Germania,a Francoforte, dove iniziò a studiare matematica. Nel corso dei suoi studi ebbe come insegnanti matematici di fama come Kronecker e Dedekinf. Nel 1872 Cantor cominciò a insegnare matematica presso l'università di Halle e contemporaneamente cominciò i suoi studi sugli insiemi, studi che lo portarono a elaborare la teoria degli insiemi che è stata tanto utile allo sviluppo della matematica di quest'ultimo secolo. La teoria elaborata da Cantor fu però ritenuta assurda da molti matematici contemporanei, fra i quali il suo vecchio insegnante Kronecker che lo ostacolò in tutti i modi fino a bloccargli la carriera universitaria. Questo fatto lo fece ammalare di nervi e nel 1884 fu ricoverato nella clinica psichiatrica di Halle dalla quale continuò a entrare e uscire fino al 1905, anno in cui, ormai inguaribile, fu ricoverato definitivamente. Morì nella stessa clinica nel 1918, quando già da alcuni anni la sua teoria era stata accettata e riconosciuta ed era diventata oggetto di studio e ricerca da parte di molti matematici.


Un genio contestatore: Uno dei personaggi più affascinanti Evaristo Galois.

Evaristo Galois

della storia della matematica

è certamente

Per suscitare interesse nei confronti di questo matematico basta pensare che egli considerato uno dei più grandi matematici di tutti i tempi e che è morto quando aveva solo 20 anni.

è

Galois nacque il 25 ottonre del 1811 vicino Parigi e fu un ragazzo normale fino alle prime classi delle scuole superiori. Quando la sua passione per la matematica esplose, lo studio delle altre materie iniziò ad annoiarlo profondamente. Cominciò ad andare così male che i suoi professori furono costretti anche a fargli ripetere delle classi. Eppure questo ragazzo leggeva direttamente non soltanto libri classici di matematica, ma anche i risultati delle ricerche dei grandi matematici contemporanei. Nel 1829 Galois pubblicò un suo studio originale sui numeri reali e questo gli diede la spinta per ulteriori importanti ricerche. Raccolse i risultati delle sue ricerche in uno scritto che presentò al più famoso matematico dell'epoca, Agostino Cauchy, perché lo sottoponesse all' Accademia delle scienze; ma il manoscritto andò perduto. Nel 1830 entrò all' Università e raccolse i risultati delle sue ricerche in uno scritto da presentare all' Accademia, ma anche questo manoscritto tavolo di qualche burocrate.

è

finito dimenticato

sul

A questo punto Galois, che certamente aveva contribuito a creare intorno a sé un'atmosfera di antipatia con la sua ambizione, cominciò a sentirsi perseguitato e divenne un acceso contestatore del sistema burocratico di quel tempo. Si trovò poi coinvolto in un duello per questione di onore e cosciente che non ne sarebbe uscito vivo, Galois passò la notte precedente il duello a scrivere freneticamente in una lunga lettera al suo amico Augusta Chevalier i risultati più importanti delle sue ricerche. Scrisse molti di questi risultati senza la dimostrazione, scrivendo in margine con disperazione «Non ho tempo! Non ho tempo!". Ci sono voluti molti anni per ricostruire la teoria che egli aveva sviluppato senza riuscire a suscitare su di essa l'interesse che meritava. Da questa ricostruzione si può anche capire il perché di tanta incomprensione. Infatti le sue più importanti scoperte erano molto difficili da capire. Galois era riuscito a dare un grande contributo al problema della ricerca delle soluzioni delle equazioni algebriche di qualsiasi grado. Quando finalmente fu capita e riordinata, la teoria divenne famosa come la teoria di Galois delle equazioni algebriche. Come aveva previsto, Galois perdette il confronto nel duello e morì il giorno dopo a causa del proiettile che gli aveva perforato l'intestino. Era il 30 maggio del 1832. Quel giorno, Galois aveva venti anni, cinque mesi e sei giorni.


Cartesio e le coordinate cartesiane Dobbiamo l'invenzione

delle coordinate cartesiane al matematico

francese René

Descartes, da cui prendono il nome. Descartes (Cartesio nella denominazione italiana) nacque nel 1596 a l'Haye e morì nel 1650 a Stoccolma. Egli visse in quell'epoca travagliata da guerre, carestie, pestilenze, congiure, lotte religiose, meglio conosciuta con il nome di tardo Rinascimento. Nonostante fosse direttamente coinvolto in questi eventi (Descartes fu per lungo tempo un militare) diede un grandissimo apporto alle scienze matematiche. La sua opera scientifica è comunemente considerata come il più grande passo che si sia mai fatto nel progresso delle scienze esatte. Descartes ebbe anche una notevole importanza come filosofo. Con l'applicazione del metodo scientifico, dell'esperienza controllata e ripetuta e del ragionamento matematico, applicato alle più svariate discipline dello scibile umano, Descartes contribuì, più di ogni altro, ad aprire la strada alla società moderna. Con il suo pensiero, che sottoponeva ogni cosa ad una sottile verifica razionale, distrusse la cultura medioevale che si basava su «princìpi di autorità», ossia su verità che venivano dall' alto e non si potevano discutere. Con la sua opera Discorso suL metodo inventò la geometria analitica. Il distacco della nuova geometria analitica rispetto a quella tradizionale, fu tale che egli fu considerato il creatore di una nuova geometria, più che un revisore di quella passata. La geometria analitica, basata sull'uso delle coordinate cartesiane, crea un rapporto tra enti geometrici e numeri che permette di tradurre le relazioni tra enti della geometria in relazioni tra enti algebrici; diventa così possibile ricolvere problemi geometrici mediante procedimenti algebrici. Da vero uomo moderno Descartes ebbe anche uno spirito cosmopolita. Girò a lungo per l'intera Europa soggiornando e lavorando in vari paesi, mantenendo nel contempo una stretta collabirazione epistolare con molti dei maggiori intellettuali dell'epoca. Oltre che di matematica si occupò di ottica, di chimica, di fisica, di anatomia, di astronomia nonché di metereologia. Suo grande ammiratore e protettore fu il Cardinale Richelieu, uno dei creatori del moderno stato francese. Benché vivesse, come abbiamo visto, in un'epoca assai difficile e calamitosa, Descartes non mancò mai di fiducia nell'uomo e nel suo futuro. Suo è il concetto che l'umanità avrebbe trovato nella razionalità e nell'applicazione pratica della conoscenza scientifica l'unico ed il solo modo per emanciparsi e per liberarsi progressivamente dai mali e dai bisogni che la assillavano. Sono concetti ancora oggi validi.


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Giorgio Boole e la nascita della logica matematica Nelle pagine precedenti abbiamo accennato alla logica matematica (o logica simbolica), scopo della quale è la costruzione di quel complesso di nozioni necessarie e sufficienti per rappresentare, mediante dei simboli, le verità matematiche e per dimostrarle, cioè per ricavare alcune verità da altre già note. La logica simbolica permette di ragionare, anziché con le parole, con dei precisi simboli. Il linguaggio matematico è infatti un linguaggio simbolico, fatto di segni che rappresentano numeri, operazioni, relazioni. La creazione di un sistema semplice e pratico di logica matematica è opera dell'inglese Giorgio Boole (1815-1864). Ma come spesso accade a chi propone delle novità che turbano equilibri lungamente consolidati, l'opera di Boole venne osteggiata, non solo da molti suoi contemporanei, ma addirittura fino ai primi decenni del nostro secolo; i più tenaci detrattori erano proprio persone che di matematica ne masticavano ben poca e, tanto per fare un esempio, si esprimevano in questi termini: « ••• la

matematica

inaridisce lo spirito ...»;

la sciocchezza è elevata al grado d'ingegno e l'ingegno abbassato a quello d'incapacità». «••• in matematica

Oggi tutti riconoscono che la logica simbolica è indispensabile per qualsiasi serio tentativo di comprendere la natura della matematica e le basi sulle quali poggia tutta la sua struttura. La mente umana sarebbe forse incapace di affrontare tali questioni se non disponesse di questo metodo, che permette di fissare in modo inequivocabile il significato delle parole e dei simboli e di condurre ragionamenti senza possibilità di errore.

•••e'nOI.? ••••

I gatti sono tutti grigi.

Aspetti storici della matematica  

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