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Le formalisme de Lagrange
On peut ´ecrire l’´equation de Lagrange : d ∂T 0 ∂T 0 − =0 dt ∂ q˙ ∂q On obtient q¨ =
−q˙2 q
La forme de l’expression de l’´energie cin´etique montre que tout se passe comme si ` a chaque instant, la corde tournait autour du point de contact. Dans ce cas T ne travaille pas et l’´energie cin´etique doit ˆetre conserv´ee. En effet, on trouve 2 dT 0 −q˙ = 2q q˙3 + 2q 2 q˙q¨ = 2q q˙3 + 2q 2 q˙ =0 dt q
Exemple 4.10 Le pendule cyclo¨ıdal On cherche la forme d’une courbe telle que la fr´equence d’oscillation d’un point mat´eriel pesant glissant sans frottement sur la courbe, sous l’effet de la pesanteur, soit ind´ependante de l’amplitude. Il s’agit ici d’un nouveau type de probl`eme. On ne cherche pas l’´equation du mouvement pour des forces et des contraintes donn´ees. Au contraire, on impose le type de mouvement et on d´eduit les contraintes (4.1). Soit s la coordonn´ee curviligne sur la courbe. L’´energie cin´etique vaut en termes de l’abscisse curviligne : T =
1 ms˙ 2 2
Il faut que V = 12 ks2 pour avoir une ´equation du mouvement de la forme p m¨ s = −ks avec ω = k/m. Or V = mgy, o` u y est la coordonn´ee verticale de la courbe. On en tire 1 2 ks = mgy 2 r 2g √ s= y ω2 De plus ds2 = dx2 + dy 2 , donc s 2 ds dx = dy −1 dy
1 2 2 ω s 2g r ds 1 2g 1 = √ dy 2 ω2 y
y=
r
Z x=
dy
g −1 2ω 2 y