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Mise en contexte historique et technique
3.10
Quand les ´equations du mouvement se compliquent : la corde vibrante
L’essentiel de cet ouvrage est consacr´e `a la m´ecanique soit du point mat´eriel, soit du solide ind´eformable. Ici, on montre que si on cherche `a aller plus loin et traiter la dynamique d’un solide d´eformable, alors l’´equation du mouvement devient bien plus complexe, car elle fait intervenir des d´eriv´ees partielles, comme on va le voir. On pose un syst`eme de coordonn´ees cart´esiennes Oxy li´e aux points de fixation de la corde (fig. 3.22). A tout point de la corde, de position (x, 0) de la corde au repos, la vibration de la corde produit une d´eformation. On suppose que cette d´eformation est petite. Elle est alors, au premier ordre d’approximation, dans la direction Oy (fig. 3.23). On la note U (x, t). y x
0
Fig. 3.22 Une corde a ` piano est excit´ee par un vibrateur accroch´e pr`es d’une extr´emit´e de la corde. négligé
dx
U (x + dx, t) – U (x, t)
q dx
Fig. 3.23 D´eformation sur un ´el´ement de longueur dx, la position de la corde en x est donn´ee par U (x, t), l’angle de d´eformation a ` la limite des petits angles vaut (U (x + dx, t) − U (x, t))/dx = ∂U/∂x, la partie n´eglig´ee est de l’ordre de dx(1 − cos θ) ≈ dx(θ2 /2), donc d’un ordre sup´erieur.
On cherche ` a ´etablir l’´equation du mouvement pour un ´el´ement infinit´esimal de la corde, de densit´e lin´eique de masse ρ. Par l’approximation des petites amplitudes, on peut prendre x comme coordonn´ee pour d´efinir cet ´el´ement de corde. La force de tension de la corde sera d´esign´ee par T (x). C’est la force exerc´ee par la partie de la corde `a droite de x sur la partie `a gauche de x. Ainsi, l’´el´ement de corde entre x et x + dx subit deux forces (fig. 3.24). L’´equation du mouvement pour cet ´el´ement de corde est T (x + dx) − T (x) = ρ dx
∂2U y ˆ ∂t2