√ đ??źđ?‘ = (.5)∗(.5) = √.25 . Finalmente, el ´area del tri´angulo đ??źđ?‘ đ??ś es 1.25 1.25 1 .5 igual a [( 2 )(đ??źđ?‘ )(đ??źđ??ś)] = ( 12 )( √.25 )( √1.25 ) = .05 cm2 . 1.25
4. Es f´acil determinar por inspecci´on que el n´ umero m´Ĺnimo de saltos necesarios para realizar un recorrido que cumpla con las reglas es 3, mientras que el n´ umero m´aximo de saltos es 7. Los recorridos que consisten de exactamente 3 saltos son: 1-2-4-14 (el grillo salta del poste 1 al 2, del poste 2 al 4 y, ďŹ nalmente, del poste 4 al 14), 1-26-14, 1-2-8-14, 1-2-10-14, 1-2-12-14, 1-3-6-14, 1-3-12-14, 1-4-6-14, 1-4-8-14, 1-4-10-14, 1-4-12-14, 1-5-10-14, 1-6-8-14, 1-6-10-14, 1-612-14, 1-8-10-14, 1-8-12-14, 1-9-12-14 y 1-10-12-14. Los recorridos que consisten de exactamente 4 saltos son: 1-2-4-6-14, 1-2-4-814, 1-2-4-10-14, 1-2-4-12-14, 1-2-6-8-14, 1-2-6-10-14, 1-2-6-12-14, 1-2-8-10-14, 1-2-8-12-14, 1-2-10-12-14, 1-3-6-8-14, 1-3-6-10-14, 13-6-12-14, 1-3-9-12-14, 1-4-6-8-14, 1-4-6-10-14, 1-4-6-12-14, 1-48-10-14, 1-4-8-12-14, 1-4-10-12-14, 1-5-10-12-14, 1-6-8-10-14, 1-68-12-14, 1-6-9-12-14, 1-6-10-12-14 y 1-8-10-12-14. Los recorridos que consisten de exactamente 5 saltos son: 1-2-4-6-8-14, 1-2-4-610-14, 1-2-4-6-12-14, 1-2-4-8-10-14, 1-2-4-8-12-14, 1-2-4-10-12-14, 1-2-6-8-10-14, 1-2-6-8-12-14, 1-2-6-9-12-14, 1-2-6-10-12-14, 1-2-810-12-14, 1-3-6-8-10-14, 1-3-6-8-12-14, 1-3-6-10-12-14, 1-3-6-9-1214, 1-4-6-8-10-14, 1-4-6-8-12-14, 1-4-6-9-12-14, 1-4-6-10-12-14, 14-8-10-12-14 y 1-6-8-10-12-14. Los recorridos que consisten de exactamente 6 saltos son: 1-2-4-6-8-10-14, 1-2-4-6-8-12-14, 1-24-6-9-12-14, 1-2-4-6-10-12-14, 1-2-4-8-10-12-14, 1-2-6-8-10-12-14, 1-3-6-8-10-12-14 y 1-4-6-8-10-12-14. Finalmente, existe solamente un recorrido que consiste de exactamente 7 saltos: 1-2-4-6-8-1012-14. Tenemos entonces que existen 75 recorridos que satisfacen las reglas. 5. Note que toda potencia positiva de 1, 5 y 6 termina en 1, 5 y 6; respectivamente. Por lo tanto, 12009 termina en 1, 52009 termina en 5 y 62009 termina en 6. Adem´as, toda potencia positiva de 2 de la forma 24∗đ?‘› termina en 6. Por lo tanto, 22009 = 2(24∗1004 ) termina en 2 y 42009 = 24018 = 22 (24∗1004 ) termina en 4. Similarmente, toda potencia positiva de 3 de la forma 34∗đ?‘š termina en 1, as´Ĺ que 32009 = 3(34∗1004 ) termina en 3. Como (1 + 5 + 6 + 2 + 4 + 3) = 21, (12009 + 22009 + 32009 + 42009 + 52009 + 62009 ) termina en 1. 100