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Publicaciones AFAMaC

OMPR Olimpiadas de Matem´ aticas de Puerto Rico 2008-2009 Luis F. C´ aceres Jonathan Ho Fung Arturo Portnoy Departamento de Ciencias Matem´ aticas Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayag¨ uez


Primera Edici´ on, 2009 c Derechos ⃝AFAMaC Director: Dr. Luis F. C´ aceres

Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni retransmitida por ning´ un medio, electr´ onico, mec´ anico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permiso previo por escrito de AFAMaC. Esta producci´ on ha sido subvencionada por el proyecto AFAMaC mediante proyectos del Departamento de Educaci´ on Puerto Rico. Contrato #2009-AF-0185

Realizado por Luis F. C´ aceres Jonathan Ho Fung Arturo Portnoy Departamento de Ciencias Matem´ aticas Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayag¨ uez Impreso y hecho en Puerto Rico

ii


Pr´ ologo Otro ciclo ol´ımpico se acerca a su fin y nuevamente, miles de estudiantes provenientes de las escuelas p´ ublicas y privadas de la isla participaron con entusiasmo de los procesos de selecci´on. Estos meses de arduo trabajo culminaron con la selecci´on de la delegaci´on que, una vez m´as, represent´o exitosamente a la Isla en la Olimpiada Internacional de Matem´atica celebrada en Alemania y las delegaciones que, al momento de la redacci´on de esta publicaci´on, se disponen a participar de la Olimpiada Iberoamericana de Matem´atica y la Olimpiada Matem´atica de Centroam´erica y el Caribe; las cuales ser´ıan celebradas en M´exico y Colombia, respectivamente. Es importante se˜ nalar que adem´as de los propios estudiantes, hay una serie de personas que a˜ no tras a˜ no son parte integral de estos ciclos. Nos referimos a los padres, familiares y maestros cuyo apoyo y esfuerzo, en algunos casos manifestado a trav´es del simple hecho de viajar a tempranas horas del d´ıa para que los estudiantes puedan participar de las distintas actividades pertinentes, o en proveer ayuda y gu´ıa fuera del horario escolar en otros; son cruciales para el buen desempe˜ no de estos j´ovenes. A todas estas personas: muchas gracias. Ciertamente el ser una fuente constante de aliento y motivaci´on ha rendido frutos. Por u ´ltimo, no cabe duda que cada ciclo ol´ımpico es especial, sin embargo; la versi´on 2009-2010 lo ser´a por una raz´on adicional: Puerto Rico, espec´ıficamente Mayag¨ uez, sera la sede de la XXII Olimpiada Matem´atica de Centroam´erica y el Caribe a celebrarse durante los meses de mayo y junio. Esta gesti´on, en la que se espera la participacion de 15 pa´ıses, representa la primera vez que la Isla se convierte en anfitri´on de una olimpiada acad´emica. Por tal raz´on confiamos que t´ u, estudiante que al ser part´ıcipe de alguna de las etapas de los procesos de selecci´on se convierte en la parte fundamental de estos, te esfuerces m´as que nunca; inspirado(a) en el esp´ıritu de la ocasi´on en que la ciudad de Mayag¨ uez se transforma en el foco de la actividad matem´atica de la region. Jonathan Ho Fung

iii


AFAMaC Alianza para el Fortalecimiento del Aprendizaje de las Ciencias y las Matem´aticas. Estos proyectos est´ an subvencionados por el Departamento de Educaci´ on de Puerto Rico y son realizados en el Departamento de Ciencias Matem´ aticas del Recinto Universitario de Mayag¨ uez de la Universidad de Puerto Rico.

iv


Tabla de Contenido

P´agina Examen de Primera Fase: Nivel Elemental Examen de Primera Fase: Nivel Intermedio Examen de Primera Fase: Nivel Superior Examen de Segunda Fase: Nivel Elemental Examen de Segunda Fase: Nivel Intermedio Examen de Segunda Fase: Nivel Superior Olimpiada de Matem´aticas de Puerto Rico: Nivel Elemental Olimpiada de Matem´aticas de Puerto Rico: Nivel Intermedio Olimpiada de Matem´aticas de Puerto Rico: Nivel Superior Examen de Selecci´on 2009 Soluciones al Examen de Primera Fase: Nivel Elemental Soluciones al Examen de Primera Fase: Nivel Intermedio Soluciones al Examen de Primera Fase: Nivel Superior Soluciones al Examen de Segunda Fase: Nivel Elemental Soluciones al Examen de Segunda Fase: Nivel Intermedio Soluciones al Examen de Segunda Fase: Nivel Superior Soluciones a la Olimpiada de Matem´aticas: Nivel Elemental Soluciones a la Olimpiada de Matem´aticas: Nivel Intermedio Soluciones a la Olimpiada de Matem´aticas: Nivel Superior Soluciones al Examen de Selecci´on 2009

5

6 13 21 28 33 37 42 44 46 48 49 56 65 74 79 83 91 94 98 105


COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase 2008-2009 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL(4to, 5to y 6to) 1. Carmela dibuja canguros: uno azul, uno verde, uno rojo, uno negro, uno amarillo, uno azul, uno verde, uno rojo, uno negro, uno amarillo, etc. ¿De qu´e color es el 28avo canguro? a. azul

d. negro

b. verde

e. amarillo

c. rojo 2. Juan empez´o a comer un dulce este lunes y cada d´ıa siguiente se come uno m´as que el d´ıa anterior. ¿Cu´antos dulces habr´a comido Juan hasta el mi´ercoles de la siguiente semana? (incluyendo los dulces que se comi´o ese mi´ercoles) a. 10

d. 55

b. 25

e. 110

c. 45 3. La combinaci´on de una caja fuerte es un n´ umero de tres d´ıgitos distintos. ¿Si se sabe que los d´ıgitos son 2, 4 y 6, cu´antas combinaciones son posibles? a. 2

d. 8

b. 5

e. 9

c. 6

6


4. En una calle hay 5 casas numeradas del 1 al 5. Una de ellas es azul, otra es roja, otra es verde, otra es blanca y otra es gris. Se sabe que las casas azul y blanca tienen n´ umero par; que la casa roja s´olo tiene una casa al lado y que la casa azul est´a junto a las casas gris y roja. ¿De qu´e color es la casa 3? a. azul

d. blanca

b. roja

e. gris

c. verde 5. En 6 segundos el conejo hace 4 saltos. ¿En cu´antos segundos hace 10 saltos? a. 10

d. 18

b. 12

e. 20

c. 15 6. En la cuadr´ıcula de la figura se deben escribir los n´ umeros 1, 2 y 3 de manera que un n´ umero no aparezca dos veces en la misma fila o en la misma columna. ¿Qu´e n´ umeros pueden escribirse en la celda que est´a marcada con *? 1 2

* 1

a. s´olo 3

d. cualquiera de 2 o´ 3

b. s´olo 2

e. cualquiera de 1, 2 ´o 3

c. s´olo 1

7


7. En la librer´ıa se vende: 1 marcador por $2 y 2 libros de cuentos por $5. Mar´ıa compr´o 18 libros de cuentos y varios marcadores. Pag´o con un billete de $50 y dos billetes de $20 y le dieron $11 de cambio. ¿Cu´antos marcadores compr´o Mar´ıa? a. 14

d. 17

b. 15

e. 18

c. 16 8. Arturo tiene tri´angulos y rect´angulos de madera. ¿Si en total sus piezas tienen 17 esquinas, cu´antos tri´angulos tiene Arturo? a. 1

d. 4

b. 2

e. 5

c. 3 9. Sebasti´an naci´o el d´ıa en que Ana cumpli´o 3 a˜ nos. ¿Cu´antos a˜ nos tendr´a Sebasti´an cuando Ana tenga el doble de a˜ nos que Sebasti´an? a. 1

d. 4

b. 2

e. 10

c. 3

8


10. Dividimos un rect´angulo en cuatro partes, un cuadrado y tres rect´angulos, como se muestra en la figura. Las a´reas est´an escritas dentro de las partes. ¿Cu´anto mide el ´area total en unidades cuadradas?

a. 15

d. 40

b. 25

e. No se puede determinar

c. 35 11. Los asientos de un carrusel est´an numerados con los n´ umeros 1, 2, 3, . . . . ¿Si Abelardo est´a sentado en el n´ umero 11 y Brenda est´a sentada en el n´ umero 4, diametralmente opuesta a ´el, cu´antos asientos tiene el carrusel? a. 13

d. 17

b. 14

e. 22

c. 16 12. Jorge cort´o un cuadrado de papel que ten´ıa 20 cm de per´ımetro y obtuvo dos rect´angulos. ¿Si el per´ımetro de uno de los rect´angulos recortados es de 16 cm, cu´al es el per´ımetro del otro? a. 8 cm

d. 14 cm

b. 9 cm

e. 16 cm

c. 12 cm

9


13. Un cubo de madera blanca se mete en una cubeta con pintura azul. Cuando la pintura se ha secado, el cubo se corta en 27 cubitos id´enticos. ¿Cu´antos cubitos tienen exactamente dos caras pintadas? a. 4

d. 10

b. 6

e. 12

c. 8 14. Arturo, Juan y Francisco tienen 30 canicas entre los tres. Si Francisco le da 5 canicas a Juan, Juan le da 4 canicas a Arturo y Arturo le da 2 canicas a Francisco, todos quedan con la misma cantidad. ¿Cu´antas canicas ten´ıa Francisco al principio? a. 8

d. 12

b. 9

e. 13

c. 11 15. ¿Cu´antos rect´angulos puedes ver en la siguiente figura?

a. 28

d. 31

b. 29

e. 32

c. 30

10


16. Mar´ıa practica tenis y nataci´on. Juega al tenis todos los jueves y practica nataci´on un d´ıa cada 3 (un d´ıa s´ı y los dos d´ıas siguientes no). Hoy es jueves y Mar´ıa practic´o los dos deportes. Despu´es de cu´antos d´ıas, a partir de hoy, Mar´ıa volver´a a practicar los dos deportes en el mismo d´ıa? a. 7

d. 28

b. 14

e. 35

c. 21 17. Lo que tienen Omar y Luis suma $320. Adem´as, el 30% de lo que tiene Omar es igual al 50% del 20% de lo que tiene Luis. ¿Cu´anto tiene Omar? a. $40

d. $90

b. $60

e. $120

c. $80 18. Juan asiste a un campamento de verano donde debe escoger una clase de deporte, una clase de matem´aticas, una clase de arte y la clase de ciencias. En deporte puede seleccionar entre tenis, pelota o baloncesto; en matem´aticas puede seleccionar entre geometr´ıa, aritm´etica o estad´ıstica y en arte puede seleccionar entre pintura o escultura. ¿De cu´antas formas posibles puede Juan organizar su campamento de verano? a. 8

d. 18

b. 9

e. 19

c. 10 19. Calcular la suma de los d´ıgitos del n´ umero 102008 − 2008. a. 2008

d. 20080

b. 18,055

e. Ninguna de las anteriores

c. 18,063 11


20. Encontrar el a´ngulo � del corbat´Ĺn:

a. 41∘

d. 94∘

b. 45∘

e. No se puede determinar

c. 53∘

12


COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase 2008-2009 EXAMEN NIVEL INTERMEDIO(7mo, 8vo y 9no) 1. Mario, Pedro, Ignacio, Jorge y Ang´elica est´an formados en una ďŹ la. Mario est´a despu´es de Ignacio, Ang´elica est´a antes de Mario y justo despu´es de Jorge. Jorge est´a antes de Ignacio pero Jorge no es el primero en la ďŹ la. ÂżCu´al es el lugar de Pedro en la ďŹ la? a. Primero

d. Cuarto

b. Segundo

e. Quinto

c. Tercero 2. ÂżSi la longitud đ?‘? es de 6 cm, cu´anto vale el a´rea de la cruz de la ďŹ gura, formada por cinco cuadrados iguales?

a. 6

d. 30

b. 12

e. 36

c. 24 3. ¿Cu´antos sumandos tiene la siguiente suma: 3 + 10 + 17 + 24 + . . . + 346? a. 40

d. 60

b. 50

e. 65

c. 52 13


4. La maestra piensa repartir 20 dulces entre varios ni˜ nos. ¿Si piensa darle al menos un dulce a cada ni˜ no pero no quiere que ninguno tenga la misma cantidad de dulces que otro, cu´al es la m´axima cantidad de ni˜ nos a los que la maestra les puede repartir los dulces? a. 5

d. 10

b. 6

e. 20

c. 8 5. En la tabla de la figura hay 12 celdas, que han sido dibujadas usando 4 l´ıneas horizontales y 5 verticales. ¿Cu´al es la mayor cantidad de celdas que se pueden obtener dibujando 15 l´ıneas en total?

a. 30

d. 42

b. 36

e. 60

c. 40 6. Una calculadora descompuesta no muestra el n´ umero 1 en la pantalla. Por ejemplo, si escribimos el n´ umero 3131 en la pantalla se ve escrito el 33 (sin espacios). Pepe escribi´o un n´ umero de seis d´ıgitos en la calculadora, pero apareci´o 2008. ¿Cu´antos n´ umeros pudo haber escrito Pepe? a. 11

d. 14

b. 12

e. 15

c. 13 14


7. Hay 60 p´ajaros en tres a´rboles. Despu´es de escuchar un disparo vuelan 6 p´ajaros del primer a´rbol, 8 p´ajaros del segundo y 4 p´ajaros del tercero. ¿Si ahora hay el doble de p´ajaros en el segundo a´rbol que en el primero, y el doble en el tercer a´rbol respecto al segundo, cu´antos p´ajaros hab´ıa originalmente en el segundo a´rbol? a. 7

d. 20

b. 11

e. 24

c. 15 8. La figura que se muestra est´a formada por cuatro cuadrados. Los per´ımetros de los cuadrados B y C miden respectivamente 16cm y 24cm. ¿Cu´anto mide el per´ımetro del cuadrado A?

a. 56 cm

d. 72 cm

b. 60 cm

e. 80 cm

c. 64 cm 9. Jorge pens´o en un n´ umero entero, Liz multiplic´o por 5 o´ 6 al ´ n´ umero que pens´o Jorge, Oscar le sumo 5 o´ 6 al resultado de Liz y ´ finalmente Alejandro le rest´o 5 o´ 6 al resultado de Oscar y obtuvo 78. ¿Cu´al fue el n´ umero que pens´o Jorge? a. 10

d. 13

b. 11

e. 14

c. 12 15


10. M´onica sali´o a correr durante dos horas. Su recorrido empez´o en un terreno plano donde su velocidad fue de 4 km/h y sigui´o con un terreno inclinado en donde su velocidad fue de 3 km/h. Regresando por el mismo lugar la velocidad en la parte inclinada fue de 6 km/h mientras que la velocidad en la parte plana fue de 4 km/h. ¿Cu´al es la distancia total (ida y vuelta) que recorri´o M´onica? a. Imposible de determinar

d. 8 km

b. 6 km

e. 10 km

c. 7.5 km 11. El primer d´ıgito (el de m´as a la izquierda) de un n´ umero de 4 d´ıgitos es la cantidad de ceros que aparecen en ´el, el segundo d´ıgito es la cantidad de 1’s, el tercer d´ıgito es la cantidad de 2’s, y el u ´ltimo d´ıgito es la cantidad de 3’s. ¿Cu´antos n´ umeros de cuatro d´ıgitos cumplen con estas condiciones? a. 1

d. 4

b. 2

e. 5

c. 3 12. El dibujo muestra 24 palitos colocados sobre una mesa formando 9 cuadrados iguales. ¿Cu´al es el m´ınimo n´ umero de palitos que deben quitarse para que quedan 5 cuadrados completos si cualquiera de los palitos que se queda es el lado de al menos un cuadrado?

a. 2

d. 8

b. 4

e. 9

c. 6

16


13. En la ďŹ gura, đ??´đ??ľđ??ś y đ??śđ??ˇđ??¸ son dos tri´angulos equil´ateros iguales. ÂżSi el a´ngulo đ??´đ??śđ??ˇ mide 80∘ , cu´anto mide el ´angulo đ??´đ??ľđ??ˇ?

a. 25∘

d. 40∘

b. 30∘

e. 45∘

c. 35∘ 14. En una carrera participaron 28 niËœ nos. El n´ umero de niËœ nos que llegaron detr´as de Ra´ ul fue el doble del n´ umero de niËœ nos que llegaron antes que ´el. ÂżEn qu´e lugar lleg´o Ra´ ul? a. sexto

d. noveno

b. s´eptimo

e. d´ecimo

c. octavo

17


15. En la ďŹ gura se muestra un cuadril´atero đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ con algunos a´ngulos dados. ÂżSi đ??ľđ??ś = đ??´đ??ˇ, cu´anto mide el ´angulo đ??´đ??ˇđ??ś?

a. 30∘

d. 65∘

b. 50∘

e. 70∘

c. 55∘ 16. En la ďŹ gura, đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ y đ??¸đ??š đ??şđ??ť son dos cuadrados iguales, con lados correspondientes paralelos. El a´rea de la regi´on sombreada es 1. ÂżCu´al es el a´rea del cuadrado đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ?

a. b. c.

1 2 2 3 3 4

d. 1 e. Depende de la ďŹ gura

18


17. ¿Cu´antos n´ umeros � satisfacen al mismo tiempo las 5 condiciones siguientes? 1. 2. 3. 4. 5.

� es par. � deja residuo 1 al dividirlo entre 5. � es m´ ultiplo de 7. � es menor que 1000. La suma de los d´Ĺgitos de � es 23.

a. 0

d. 3

b. 1

e. 4

c. 2 18. En la ďŹ gura, đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ es un cuadrado y los tri´angulos đ??´đ??ľđ??š y đ??ˇđ??¸đ??ś son equil´ateros. ÂżSi đ??´đ??ľ = 1, cu´al es la longitud de đ??¸đ??š ?

a. b. c.

1 2 √

d.

3 2

√

e.

√

3−1

3 2

2

19. ÂżCu´antas palabras diferentes se pueden formar borrando al menos una de las letras de la palabra ANTENA? Por ejemplo, algunas palabras que se obtienen as´Ĺ son A, TNA, ANTNA. a. 26 − 4

d. 6! − 4!

b. 25

e. 6! − 2!

c. 3 ∗ 24

19


20. Si đ?‘Žđ?‘Ž = 224 y đ?‘?đ?‘? = 318 , hallar đ?‘Žđ?‘?−đ?‘Ž . a. 8

d. 216

b. 9

e. 512

c. 81

20


COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase 2008-2009 EXAMEN NIVEL SUPERIOR(10mo, 11mo y 12mo) 1. ¿Cu´al es el per´Ĺmetro de la estrella si se sabe que la estrella est´a formada por cuatro c´Ĺrculos iguales de radio 5 cm, un cuadrado y cuatro tri´angulos equil´ateros?

a. 40 cm

d. 160 cm

b. 80 cm

e. 240 cm

c. 120 cm 2. Sean �, �, � enteros no negativos tales que � + � + � = 12. ¿Cu´al es el valor m´as grande de la suma ��� + �� + �� + ��? a. 62

d. 102

b. 72

e. 112

c. 92 3. Cada tercer d´Ĺa Luis dice la verdad y los dem´as miente. Hoy Luis ha dicho exactamente 4 de los enunciados de los incisos. ¿Cu´al es el enunciado que no dijo hoy? a. Mi nombre es Luis b. Siempre digo la verdad c. Tengo la misma cantidad de amigas que de amigos d. Soy amigo de tres personas m´as altas que yo e. Soy amigo de una cantidad prima de personas 21


4. Cuando un profesor lleva corregidos los seis primeros ex´amenes de una clase, la nota promedio es de 84 puntos. Al corregir el s´eptimo, la nota promedio sube a 85 puntos. ÂżQu´e caliďŹ caci´on tiene el s´eptimo examen? a. 64

d. 91

b. 75

e. 99

c. 87 5. Un n´ umero tiene 5 cifras y el producto de estas cifras es 100. S´olo una de las siguientes puede ser la suma de sus cifras. ¿Cu´al es? a. 10

d. 20

b. 14

e. 100

c. 15 6. En la ďŹ gura se muestra un cuadril´atero đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ con algunos a´ngulos dados. ÂżSi đ??ľđ??ś = đ??´đ??ˇ, cu´anto mide el ´angulo đ??´đ??ˇđ??ś?

a. 30∘

d. 65∘

b. 50∘

e. 75∘

c. 55∘

22


7. Isabel escoge 8 puntos de los marcados. ¿Cu´al es la probabilidad de que cuatro de los puntos escogidos sean los v´ertices de un rect´angulo?

a. b. c.

1 4 1 2 2 3

d. 1 e. No se puede determinar

8. ¿Cu´antos enteros positivos tienen la propiedad de que al elimi1 narles la u ´ltima cifra (la de las unidades) el nuevo n´ umero es 14 del original? a. 0

d. 3

b. 1

e. 4

c. 2 9. ÂżCu´antos n´ umeros de 3 d´Ĺgitos đ?‘Žđ?‘?đ?‘? (con đ?‘Ž ∕= 0) son tales que đ?‘Ž + 3đ?‘? + đ?‘? es m´ ultiplo de 3? a. 100

d. 600

b. 300

e. 990

c. 330 10. Los n´ umeros reales đ?‘Ž ∕= 0 y đ?‘? ∕= 0 cumplen que đ?‘Žđ?‘? = đ?‘Ž − đ?‘?. ÂżCu´al de los siguientes valores es un valor posible para đ?‘Žđ?‘? + đ?‘Žđ?‘? − đ?‘Žđ?‘?? 1 2

a. -2

d.

b. - 12

e. 2

c.

1 3

23


11. Un hombre de treinta aËœ nos le pregunta a una mujer su edad. La mujer responde: Cuando yo tenga tu edad, tendr´as el doble de la edad que tengo ahora. ÂżCu´al de las siguientes propiedades tiene la edad de la mujer? a. m´ ultiplo de 3

d. m´ ultiplo de 11

b. m´ ultiplo de 5

e. Ninguna de las anteriores

c. m´ ultiplo de 7 12. Un pastor al que le gustan mucho las matem´aticas tiene entre 80 y 100 ovejas en su rebaËœ no. Un d´Ĺa pens´o que el n´ umero de ovejas que dorm´Ĺan era igual a 87 de las que no dorm´Ĺan. ÂżCu´antas ovejas hay en el rebaËœ no? a. 81

d. 95

b. 85

e. 99

c. 90 13. Calcula el a´rea sombreada de una corona circular cuya cuerda tangente mide 10 cm.

a. 5đ?œ‹ cm

d. 15đ?œ‹ cm

b. 8đ?œ‹ cm

e. Ninguna de las anteriores

c. 10đ?œ‹ cm

24


14. Un coleccionista gasta 100 d´olares en comprar sellos de 1, 4 y 12 d´olares. ¿Cu´antos sellos de 4 d´olares compr´o, si en total ha comprado 40 sellos y si al menos compr´o uno de cada uno? a. 5

d. 8

b. 6

e. 9

c. 7 15. ÂżPuedes determinar la edad de una persona cuyo n´ umero de aËœ nos en 1998 es igual a la suma de los valores de los d´Ĺgitos del aËœ no de su nacimiento? a. 15

d. 21

b. 17

e. 28

c. 18 16. ¿En que d´Ĺgito termina el n´ umero 22008 + 22009 ? a. 2

d. 1

b. 4

e. 8

c. 6 17. Los v´ertices đ??´ y đ??ś del cuadrado đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ de lado 1, son el centro de dos circunferencias de radio 1.

25


¿Cu´al es el ´area de la intersecci´on entre ambos c´Ĺrculos? a. b. c.

đ?œ‹ 2 đ?œ‹âˆ’1 2 đ?œ‹âˆ’2 2

d.

4−đ?œ‹ 2

e. Ninguna de las anteriores

18. Mi clave secreta es un n´ umero de tres d´Ĺgitos. Si lo divido entre 9 tengo como resultado un n´ umero cuya suma de d´Ĺgitos disminuye en 9 con respecto a la suma de los d´Ĺgitos en mi clave. ¿Cu´antos n´ umeros pueden ser mi clave secreta? a. 1

d. 5

b. 2

e. 11

c. 4 19. La lista (1, �2 , �3 , . . . , 1000) es la sucesi´on m´as larga de enteros positivos tal que cada t´ermino a partir del tercero es la suma de todos los anteriores. ¿Cu´anto vale �2 ? a. 2

d. 124

b. 7

e. 125

c. 8 20. En el tri´angulo rect´angulo đ??´đ??ľđ??ś cuyos lados tienen longitudes đ?‘Ž, đ?‘? y đ?‘?, se inscribe una circunferencia.

26


Del centro de la circunferencia se traza un segmento hasta el v´ertice đ??ś que interseca la circunferencia en el punto đ??ˇ. ÂżCu´al es la longitud del segmento đ??śđ??ˇ? √ √ 2 − 1)( đ?‘Ž+đ?‘?−đ?‘? a. 2( đ?‘Ž+đ?‘?+đ?‘? ) d. ( ) 2 2 √ ) e. Ninguna de las anteriores b. ( 2 − 1)( đ?‘Ž+đ?‘?+đ?‘? 2 √ đ?‘Ž+đ?‘?−đ?‘? c. 2( 2 )

27


COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2008-2009 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL(4to a 6to grado) 1. Hay tres jaulas: la pequeËœ na, la mediana y la grande. Una de ellas contiene un gorila, la otra contiene un le´on y la otra est´a vac´Ĺa. Encuentra el gorila, si se sabe que el gorila est´a en la pequeËœ na o en la mediana y el le´on no est´a en la pequeËœ na ni en la grande. a. jaula pequeËœ na

d. mediana o grande

b. jaula mediana

e. No se puede determinar

c. jaula grande 2. Juan divide correctamente un n´ umero đ?‘ por 8 y obtiene como respuesta 0.25. Omar multiplica el mismo n´ umero đ?‘ por 8. ÂżQu´e respuesta debe obtener Omar? a. 2

d. 16

b. 4

e. 32

c. 8 3. Petra estaba jugando con cuatro ďŹ chas y cada una ten´Ĺa escrito uno de los d´Ĺgitos 2,0,0,9. ÂżPoniendo las cuatro ďŹ chas en cualquier orden, cu´antos n´ umeros pudo formar Petra? a. 6

d. 15

b. 9

e. Ninguna de las anteriores

c. 12

28


4. Mar´ıa quiere colorear todos los v´ertices (es decir las esquinas) de un cubo de tal manera que dos v´ertices unidos por una misma arista (o eje) tengan diferente color. ¿Cu´al es el m´ınimo n´ umero de colores que Mar´ıa necesita?

a. 2

d. 5

b. 3

e. 8

c. 4 5. Se tienen tres luces intermitentes. Una alumbra cada 2 minutos, otra alumbra cada 2.5 minutos y la tercera alumbra cada 3 minutos. ¿Si las tres luces coinciden en alumbrar a las 9:00 am, cu´al es la siguiente hora en que las tres vuelven a coincidir? a. 9:10 am

d. 9:40 am

b. 9:20 am

e. 10:00 am

c. 9:30 am

29


6. En la ďŹ gura se muestran tres l´Ĺneas que se cortan en un punto. Se dan dos a´ngulos, hallar la medida del a´ngulo đ?›ź.

a. 15∘

d. 45∘

b. 25∘

e. 55∘

c. 35∘ 7. Dos rect´angulos tienen las medidas que se muestran en el dibujo. El a´rea sombreada oscura es 31. ÂżCu´al es el a´rea de la regi´on sombreada clara?

a. 9

d. 70

b. 31

e. No se sabe

c. 61

30


8. Si đ?‘Žâ–Ąđ?‘? = đ?‘Žđ?‘? + đ?‘Ž + đ?‘? y 3â–Ą4 = 2â–Ąđ?‘Ľ, entonces đ?‘Ľ es igual a: a. 5 b. c.

d. 6

16 3 17 3

e.

19 3

9. Supongamos que Tomas escribe los n´ umeros enteros del 1 al 100 sin brincar ning´ un n´ umero. ÂżCu´antas veces escribe Tom´as el d´Ĺgito “2â€?? a. 10

d. 25

b. 15

e. Ninguna de las anteriores

c. 20 10. Seis cartones con n´ umeros solamente en una cara son colocados sobre una mesa, como se muestra en la ďŹ gura. Los cartones X y Y est´an con la cara numerada hacia abajo. El promedio de los n´ umeros de todos los cartones es 5. El promedio del cart´on Y y sus dos vecinos es 3. ÂżCu´al es el n´ umero escrito en el cart´on X?

a. 10

d. 13

b. 11

e. No se sabe

c. 12 11. Anita tiene escrito en la libreta el n´ umero 51379052. ¿Cu´al es el menor n´ umero impar que ella puede formar borrando cuatro de los ocho d´Ĺgitos? 31


12. Un n´ umero entero se llama ascendente si cada d´ıgito es mayor que el d´ıgito a su izquierda. Por ejemplo, el n´ umero 2478 es un n´ umero ascendente. ¿Cu´antos n´ umeros ascendentes hay entre 4007 y 5007? 13. El n´ umero de tres d´ıgitos AB8 es 296 m´as que el n´ umero de dos d´ıgitos AB. ¿Cu´al es el n´ umero de dos d´ıgitos AB? 14. Un n´ umero de cuatro d´ıgitos estaba escrito en la pizarra y por error Mar´ıa le borr´o los dos u ´ltimos d´ıgitos y solamente se puede umero original era divisible por ver el n´ umero as´ı: 8 6 ? ?. El n´ tres, cuatro y cinco. Encontrar el n´ umero de cuatro d´ıgitos. 15. En una hoja rectangular se dibuja un rect´angulo dejando m´argenes de 2 cm arriba y abajo y de 3 cm en cada lado. El rect´angulo que resulta tiene el lado horizontal igual a las tres cuartas partes del lado vertical y un a´rea de 675 cm2 . ¿Cu´ales son las dimensiones de la hoja?

32


COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2008-2009 EXAMEN NIVEL INTERMEDIO(7to a 9no grado) 1. En una hoja de papel de 15 cm x 9 cm se cortaron cuadrados en cada una de sus esquinas para obtener una cruz. ¿Si cada uno de los cuadrados ten´ıa un per´ımetro de 8 cm, cu´al es el per´ımetro de la cruz? a. 48 cm

d. 24 cm

b. 40 cm

e. 16 cm

c. 32 cm 2. Un elevador puede subir 12 adultos o 20 ni˜ nos. ¿Cu´antos ni˜ nos puede subir con 9 adultos? a. 3

d. 8

b. 4

e. 11

c. 5 3. El producto 1∗2∗3∗. . .∗100 se escribe 100! y se lee “cien factorial”. ¿Cu´al es la mayor potencia del n´ umero 5 que est´a contenida en 100!? a. 20

d. 23

b. 21

e. 24

c. 22

33


4. Sabiendo que ∠đ??ľđ?‘‚đ??ˇ = 140∘ , ∠đ??śđ?‘‚đ??´ = 120∘ , hallar la medida del a´ngulo đ?›ź = ∠đ??śđ?‘‚đ??ˇ.

a. 20∘

d. 80∘

b. 40∘

e. 100∘

c. 60∘ 5. ÂżSi đ?‘€ es el 30% de đ?‘„, đ?‘„ es el 20% de đ?‘ƒ y đ?‘ es el 50% de đ?‘ƒ , ? cu´anto vale đ?‘€ đ?‘ a. b.

3 250 3 25

d. e.

6 5 4 3

c. 1 6. ÂżCu´antos pares de enteros positivos (đ?&#x2018;&#x17D;,đ?&#x2018;?) con đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;? < 100 satisfacen la ecuaci´on đ?&#x2018;&#x17D; + 1đ?&#x2018;? = 13(đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x17D;1 )? a. 5

d. 11

b. 7

e. 13

c. 9

34


7. En la ďŹ gura, los lados đ??´đ??š y đ??śđ??ˇ son paralelos, đ??´đ??ľ y đ??š đ??¸ son paralelos y đ??ľđ??ś y đ??¸đ??ˇ son paralelos. Si cada lado tiene longitud 1 y â&#x2C6; đ??š đ??´đ??ľ = â&#x2C6; đ??ľđ??śđ??ˇ = 60â&#x2C6;&#x2DC; , entonces el ´area del pol´Ĺgono đ??´đ??ľđ??śđ??ˇđ??¸đ??š es:

â&#x2C6;&#x161;

a.

3 2

d.

b. 1 c.

â&#x2C6;&#x161;

3

e. 2

3 2

8. Enrique tiene 3 hermanas y 5 hermanos. Su hermana Enriqueta tiene đ?&#x2018;Ś hermanas y đ?&#x2018;§ hermanos. ÂżCu´anto vale el producto đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§? a. 8

d. 15

b. 10

e. 18

c. 12 9. ¿Si el promedio de 15 enteros positivos distintos es 13, cu´al es el valor m´aximo que puede tomar el segundo n´ umero mas grande de estos enteros? a. 51

d. 54

b. 52

e. 55

c. 53

35


10. Un ciclista ha recorrido dos tercios de su trayecto cuando se le explota una goma. Decide terminar su recorrido a pie, pero este tramo del viaje le toma el doble de tiempo del que hizo en bicicleta. ¿Cu´antas veces mas r´apido anda en bicicleta que a pie? a. 2

d. 8

b. 4

e. 10

c. 6 11. ÂżCu´antos n´ umeros diferentes de 7 cifras pueden ser formados usando cada uno de los d´Ĺgitos 1;2;3;4;3;2;1 exactamente una vez, de tal manera que los d´Ĺgitos impares ocupen lugares impares? 12. El n´ umero đ?&#x2018;&#x20AC; tiene 2009 d´Ĺgitos, todos ellos iguales a 1: đ?&#x2018;&#x20AC; = 111 . . . 111. ÂżCu´al es la suma de los d´Ĺgitos del n´ umero 2009xđ?&#x2018;&#x20AC; ? 13. ÂżAl menos cu´antas personas debe haber en un teatro para poder asegurar que hay al menos dos personas del mismo sexo nacidos en el mismo mes? umeros 14. Hallar todos los n´ umeros de tres cifras đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? tales que los n´ de cuatro cifras đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?1 y 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? satisfagan la igualdad đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?1 = 3 â&#x2C6;&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?. 15. ÂżCu´antos divisores tiene 2828 que son cuadrados perfectos?

36


COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2008-2009 EXAMEN NIVEL SUPERIOR (10mo a 12mo grado) 1. Luis tiene el mismo n´ umero de hermanos que de hermanas, pero su hermana Ana tiene el doble de hermanos que de hermanas. ¿Cu´antos hermanos y hermanas tiene Luis? a. 2

d. 5

b. 3

e. 6

c. 4 2. ¿Cu´antos enteros positivos de dos d´ıgitos son menores que el producto de sus d´ıgitos? a. 0

d. 3

b. 1

e. 45

c. 2 3. Un par de n´ umeros enteros se llama “cool” si la suma de estos n´ umeros es igual que su producto. Determinar cu´antos pares de n´ umeros cool existen. a. 1

d. 4

b. 2

e. infinitos

c. 3

37


4. Cinco enteros se escriben en c´Ĺrculo de forma que no haya dos o tres n´ umeros consecutivos cuya suma sea m´ ultiplo de tres. ¿Cu´antos de estos cinco n´ umeros son divisibles entre tres? a. 0

d. 3

b. 1

e. No se puede determinar

c. 2 5. ÂżTendr´a la ecuaci´on 9đ?&#x2018;&#x203A; + 9đ?&#x2018;&#x203A; + 9đ?&#x2018;&#x203A; = 32009 soluciones enteras? ÂżSi las tiene, cu´al de las siguientes es una soluci´on? a. 2009

d. 502

b. 2008

e. No existen soluciones

c. 1004 6. En la ďŹ gura se dibujaron 9 puntos. ÂżDe cu´antas maneras diferentes se puede dibujar un tri´angulo de tal manera que los v´ertices caigan en tres de los puntos de la ďŹ gura?

a. 76

d. 496

b. 84

e. 504

c. 92

38


7. Juan marca una carta con un â&#x20AC;&#x153;1â&#x20AC;?, dos cartas con un â&#x20AC;&#x153;2â&#x20AC;?,. . . , cincuenta cartas con un â&#x20AC;&#x153;50â&#x20AC;?. Coloca estas 1 + 2 + 3 + . . . + 50 = 1275 cartas en una caja y las mezcla. ÂżCu´antas cartas necesita sacar al azar Juan para estar seguro que tendr´a por lo menos 10 con el mismo n´ umero? a. 413

d. 416

b. 414

e. 417

c. 415 8. En un c´Ĺrculo con centro đ?&#x2018;&#x201A;, đ??´đ??ˇ es un di´ametro, đ??´đ??ľđ??ś es una cuerda, đ??ľđ?&#x2018;&#x201A; es perpendicular a đ??´đ??ˇ, đ??ľđ?&#x2018;&#x201A; = 5 y â&#x2C6; đ??´đ??ľđ?&#x2018;&#x201A; = 60â&#x2C6;&#x2DC; como se muestra en la ďŹ gura. Entonces la longitud de đ??ľđ??ś es:

a. 3

d. 5

â&#x2C6;&#x161; b. 3 + 3

e. Ninguna de las anteriores

â&#x2C6;&#x161;

c. 5 â&#x2C6;&#x2019;

3 2

9. Sea đ??¸(đ?&#x2018;&#x203A;) la suma de los d´Ĺgitos pares de đ?&#x2018;&#x203A;. Por ejemplo, đ??¸(3458) = 4 + 8 = 12. ÂżCu´al es el valor de đ??¸(1) + đ??¸(2) + . . . + đ??¸(100)? a. 200

d. 900

b. 360

e. 2250

c. 400

39


10. La suma de las longitudes de las 12 aristas de una caja rectangular es 140 y la distancia de una esquina de la caja a la esquina m´as lejana es 21. ¿Cu´al es el ´area total de la caja? a. 776

d. 800

b. 784

e. 812

c. 798 11. En la ďŹ gura đ??´đ??ľđ??ˇđ??¸ es un cuadrado, đ??ľđ??śđ??ˇ es un tri´angulo is´osceles de base đ??ľđ??ś y â&#x2C6; đ??´đ??ľđ??ś = 160â&#x2C6;&#x2DC; . Determinar la medida del a´ngulo â&#x2C6; đ??´đ??¸đ??ś.

12. Hallar todos los n´ umeros de cuatro cifras que satisfagan las condiciones siguientes: â&#x2C6;&#x2122; La suma de los cuadrados de los d´Ĺgitos de los extremos es igual a 13. â&#x2C6;&#x2122; La suma de los cuadrados de los d´Ĺgitos del medio es igual a 85. â&#x2C6;&#x2122; Si del n´ umero buscado se sustrae 1089, resultar´a un n´ umero escrito con las mismas cifras que el buscado pero en orden inverso. 13. ÂżDe cuantas formas se pueden acomodar los n´ umeros del 1 al 9 en una cuadr´Ĺcula 3x3 de tal manera que no haya dos n´ umeros de la misma paridad en casillas que comparten un lado? 14. Cada una de seis personas tratan de adivinar el n´ umero de piedras contenidas en una caja. Sus conjeturas fueron 52, 59, 62, 65, 49 y 42. Las seis se equivocaron y sus errores (por exceso o por defecto) en alg´ un orden fueron de 1, 4, 6, 9, 11 y 12 piedras. ÂżCu´antas piedras hab´Ĺa en la caja? 40


15. ÂżCu´antas ternas đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś, đ?&#x2018;§ de n´ umeros reales positivos satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones? đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;§) = 26 đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;§) = 27 đ?&#x2018;§(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;§) = 28

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´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2009 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL(4to, 5to y 6to) 1. Con una botella de refresco se llenan 6 vasos. Despu´es de la fiesta quedaron 15 botellas vac´ıas y 5 botellas por la mitad. ¿Cu´antos vasos se hab´ıan llenado en la fiesta? 2. La ciudad Westmaya tiene 35000 habitantes. De cada 100 habitantes, 24 tienen estudios universitarios completos. De la poblaci´on que tiene estudios universitarios completos, las dos quintas partes son mujeres. ¿Cu´antas mujeres tienen estudios universitarios completos en ciudad Westmaya? 3. En un diagrama, en cada fila horizontal hay una casilla m´as que en la anterior. En las casillas se escriben los n´ umeros desde el 1, consecutivamente, como se ve. Si se contin´ ua este procedimiento, ¿en qu´e fila se escribe el n´ umero 256?

4. Un cubo de madera blanca se mete en un balde de pintura amarilla. Cuando la pintura se ha secado, el cubo se corta en 27 cubitos id´enticos. ¿Cu´antos cubitos tienen exactamente dos caras pintadas? 5. El libro que lee Marco tiene 242 p´aginas. El primer d´ıa ley´o 22 p´aginas. Durante el segundo d´ıa ley´o 4 m´as que el primero, y la misma cantidad el tercer d´ıa. ¿Cu´antos d´ıas tardar´a Marco en terminar el libro si a partir del cuarto d´ıa lee 2 p´aginas m´as que el tercero durante cada d´ıa adicional?

42


6. En la ďŹ gura, đ??´đ??ľđ??śđ??¸ es un rect´angulo de 80 cm de per´Ĺmetro. đ??śđ??¸ = 4đ??ľđ??ś y đ??śđ??ˇ = đ??ˇđ??¸. El tri´angulo đ??śđ??ˇđ??¸ tiene 86 cm de per´Ĺmetro. ÂżCu´al es el per´Ĺmetro de la ďŹ gura đ??´đ??ľđ??śđ??ˇđ??¸?

7. ÂżQu´e d´Ĺgito hay que poner en el lugar del * en el n´ umero 2009* para que ´este sea divisible entre 6? 8. De una hoja rectangular se cortan tres pedazos como indica la ďŹ gura. đ??´ es un cuadrado con a´rea de 144 cm2 . đ??ľ es un cuadrado con ´area de 81 cm2 . đ??ś es un tri´angulo rect´angulo con a´rea de 102 cm2 . ÂżCu´al es el a´rea del pedazo que sobra?

9. Encuentra el menor entero positivo tal que al multiplicarlo por 2520 resulta en un entero al cuadrado. 10. En un entrenamiento de f´ utbol se encontraban 225 niË&#x153; nos y 105 pelotas. Los niË&#x153; nos fueron separados en grupos de igual tamaË&#x153; no. Cada grupo recibi´o la misma cantidad de pelotas. ÂżDe cu´antas formas diferentes pudo haber ocurrido esto? Escribe el tamaË&#x153; no de los grupos y la cantidad de pelotas por grupo en cada caso.

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´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2009 EXAMEN NIVEL INTERMEDIO (7mo, 8vo y 9no) 1.

4 7

de los pasajeros de un tren tur´Ĺstico son extranjeros. Hay 72 pasajeros puertorriqueË&#x153; nos. Los extranjeros ocupan las 83 partes de los asientos del tren. ÂżCu´antos asientos tiene el tren?

2. Pedro est´a leyendo un libro que tiene entre 300 y 600 p´aginas. Si lee 6 p´aginas por d´Ĺa, el u ´ltimo d´Ĺa le quedar´an para leer 3. Si lee 7 p´aginas por d´Ĺa, el u ´ltimo d´Ĺa le quedar´an para leer 5. ÂżCu´antas p´aginas puede tener el libro que est´a leyendo Pedro? 3. En la ďŹ gura, đ??´đ??ľđ??¸ es un tri´angulo equil´atero, đ??ľđ??ś = đ??śđ??ˇ = đ??ˇđ??¸ y đ??ľđ??¸ = đ??śđ??¸. El per´Ĺmetro del tri´angulo đ??ľđ??śđ??¸ es 28 cm, mientras que el del tri´angulo đ??śđ??ˇđ??¸ es 26 cm. ÂżCu´al es el per´Ĺmetro del pol´Ĺgono đ??´đ??ľđ??śđ??ˇđ??¸?

4. Encontrar el menor entero positivo de tres d´Ĺgitos tal que su triple tiene s´olo d´Ĺgitos pares. 5. Con los d´Ĺgitos 1-2-4-6-8, sin repetir, se arman todos los n´ umeros pares de cuatro cifras, mayores que 4500. ÂżCu´antos son? 6. Juan dibuj´o un tri´angulo rect´angulo đ??´đ??ľđ??ś con â&#x2C6; đ??´ = 90â&#x2C6;&#x2DC; , đ??´đ??ľ = 60 cm y đ??´đ??ś = 80 cm. Sobre el lado đ??´đ??ś marc´o un punto đ??ˇ; por đ??ˇ traz´o la paralela al lado đ??´đ??ľ que corta al lado đ??ľđ??ś en el punto đ??¸. Result´o que đ??ˇđ??¸ = 24 cm y que los tri´angulos đ??´đ??śđ??¸ y đ??´đ??ľđ??¸ ten´Ĺan igual per´Ĺmetro. ÂżCu´al es el a´rea del tri´angulo đ??´đ??ľđ??¸? 7. En un entrenamiento de f´ utbol se encontraban 225 niË&#x153; nos y 105 pelotas. Los niË&#x153; nos fueron separados en grupos de igual tamaË&#x153; no. 44


Cada grupo recibi´o la misma cantidad de pelotas. ÂżDe cu´antas formas diferentes pudo haber ocurrido esto? Escribe el tamaË&#x153; no de los grupos y la cantidad de pelotas por grupo en cada caso. 8. Un estudiante estaba multiplicando dos n´ umeros. Durante la multiplicaci´on cambi´o el u ´ltimo d´Ĺgito del primer n´ umero, que era 4, y puso 1. De esta forma, obtuvo como resultado 525 en lugar de 600. ÂżQu´e n´ umeros quer´Ĺa multiplicar el estudiante originalmente? 9. Encuentra todos los enteros positivos que tienen 6 como su primer d´Ĺgito, y que al remover el primer d´Ĺgito se obtiene un entero 25 veces menor que el entero original. 10. Encontrar las soluciones enteras de la ecuaci´on

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đ?&#x2018;Ľ2 2

+

5 đ?&#x2018;Ś

= 7.


´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2009 EXAMEN NIVEL SUPERIOR (10mo, 11mo y 12mo) 1. Flora compr´o caramelos para que Federico, Tom´as e In´es se los repartieran en partes iguales. Federico sac´o su parte y no avis´o. Cuando Tom´as fue a buscar sus caramelos, creyendo que esos eran todos los caramelos que hab´Ĺa comprado Flora, tom´o su parte y tampoco avis´o. Finalmente In´es se llev´o la tercera parte de los que quedaban. Cuando In´es se fue, quedaron 48. ÂżCu´antos caramelos hab´Ĺa comprado Flora? 2. Ana tiene 10 monedas de $1 y 6 cajitas de distintos colores: azul, blanca, celeste, negra, roja y verde. Quiere guardar las monedas en las cajitas de manera que ninguna quede vac´Ĺa. ÂżDe cu´antas maneras puede hacerlo? Indica cu´ales son. 3. Sea đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ un cuadrado con lado 1 cm. Sean đ?&#x2018;&#x20AC; y đ?&#x2018; los puntos medios de los lados đ??´đ??ľ y đ??´đ??ś respectivamente. Sea đ??ź el punto de corte de los segmentos đ?&#x2018;&#x20AC; đ??ś y đ?&#x2018; đ??ˇ. ÂżCu´al es el ´area del tri´angulo đ??źđ?&#x2018; đ??ś?

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4. Un grillo recorre un camino recto seË&#x153; nalizado con postes, saltando de poste en poste. Los postes est´an numerados, en forma creciente, del 1 al 14. Sale del poste que tiene el n´ umero 1 y llega al poste que tiene el n´ umero 14, seg´ un estas reglas: â&#x2C6;&#x2122; Debe moverse en el sentido creciente de la numeraci´on. â&#x2C6;&#x2122; Debe hacer por lo menos tres saltos. â&#x2C6;&#x2122; Del poste que tiene el n´ umero 1 puede saltar a cualquier otro poste. â&#x2C6;&#x2122; A partir de all´Ĺ, s´olo puede ir de un poste a otro si los n´ umeros de ambos postes tienen alg´ un divisor com´ un distinto de 1. ÂżCu´antos recorridos distintos puede hacer el grillo? 5. ÂżCu´al es el d´Ĺgito de las unidades del n´ umero 12009 + 22009 + 32009 + 42009 + 52009 + 62009 ? 6. ÂżCu´antos n´ umeros de 5 d´Ĺgitos de la forma 37đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? existen tales que 37đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?, 37đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D; y 37đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? son divisibles entre 37? 7. Encuentre todas las soluciones enteras de la ecuaci´on đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś 3 = 91. 8. Sean đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x17E; y đ?&#x2018;&#x; tres n´ umeros primos tales que 5 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;? < đ?&#x2018;&#x17E; < đ?&#x2018;&#x;. Dado que 2đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;2 â&#x2030;Ľ 49 y 2đ?&#x2018;&#x17E; 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;2 â&#x2030;¤ 193, encuentra đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x17E; y đ?&#x2018;&#x;. 9. El cuadril´atero đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ est´a inscrito en una circunferencia y sus diagonales se cortan en đ?&#x2018;&#x201E;. El lado đ??ˇđ??´ prolongado a partir de đ??´ y el lado đ??śđ??ľ prolongado a partir de đ??ľ se cortan en đ?&#x2018;&#x192; . Si đ??śđ??ˇ = đ??śđ?&#x2018;&#x192; = đ??ˇđ?&#x2018;&#x201E;, calcula el â&#x2C6; đ??śđ??´đ??ˇ. 10. El maestro orden´o a 20 estudiantes de una clase en una ďŹ la y les reparti´o 800 dulces. Cada estudiante ten´Ĺa que calcular la raz´on đ?&#x2018;Ľ , donde đ?&#x2018;Ľ representa el n´ umero de dulces que recibi´o y đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľ+2đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 su posici´on en la ďŹ la. Resulta que todos los estudiantes obtuvieron el mismo resultado en su c´alculo. ÂżCu´antos dulces recibi´o el estudiante n´ umero 12?

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´ OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO ´ 2009 EXAMEN DE SELECCION 1. Al terminar una ďŹ esta un total de 28 dadas de mano se dieron. Si todos le dieron la mano a todos una sola vez, Âżcu´antas personas hab´Ĺa en la ďŹ esta? 2. Los u ´ltimos tres d´Ĺgitos de đ?&#x2018; son đ?&#x2018;Ľ25. ÂżPara cu´antos valores de đ?&#x2018;Ľ puede ser đ?&#x2018; el cuadrado de un entero? 3. En cualquier tri´angulo đ??´đ??ľđ??ś sea đ??¸ un punto sobre la altura desde đ??´. Probar que (đ??´đ??ś)2 â&#x2C6;&#x2019; (đ??śđ??¸)2 = (đ??´đ??ľ)2 â&#x2C6;&#x2019; (đ??¸đ??ľ)2 . 4. Encuentra todos los enteros đ?&#x2018;? y đ?&#x2018;? tales que la ecuaci´on đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;? = 0 tenga dos soluciones reales đ?&#x2018;Ľ1 , đ?&#x2018;Ľ2 con đ?&#x2018;Ľ21 + đ?&#x2018;Ľ22 = 5. 5. Sea đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ un cuadril´atero inscrito en un c´Ĺrculo. La diagonal đ??ľđ??ˇ biseca a đ??´đ??ś. Si đ??´đ??ľ = 10, đ??´đ??ˇ = 12 y đ??ˇđ??ś = 11, hallar đ??ľđ??ś. 6. Las casillas de un tablero đ?&#x2018;&#x203A; x đ?&#x2018;&#x203A; est´an coloreadas blanco y negro como en el tablero usual de ajedrez, donde la casilla de la esquina superior izquierda es negra. Coloreamos de negro las casillas blancas de la siguiente manera: en cada paso escogemos un rect´angulo arbitrario de tamaË&#x153; no 2x3 o 3x2 que todav´Ĺa contenga tres casillas blancas y coloreamos de negro estas tres casillas blancas. ÂżPara qu´e valores de đ?&#x2018;&#x203A; se puede colorear todo el tablero de negro despu´es de un n´ umero ďŹ nito de pasos?

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS ´ COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE MATEMATICAS Primera Fase EXAMEN NIVEL ELEMENTAL(4to, 5to y 6to) 1. Si analizamos el patr´on, nos damos cuenta que los siguientes canguros ser´an azules: el 1ero, el 6to, el 11mo, el 16avo, el 21avo, el 26avo, etc. Esto significa que el canguro n´ umero 27 es de color verde y el n´ umero 28 es rojo. 2. Juan se comi´o 1 dulce el lunes, 2 el martes, 3 el mi´ercoles, 4 el jueves, 5 el viernes, 6 el s´abado, 7 el domingo, 8 el siguiente lunes, 9 el siguiente martes y 10 el siguiente mi´ercoles. Por lo tanto, Juan comi´o 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 dulces. 3. Existen 6 posibles combinaciones. Estas son: 246, 264, 426, 462, 624 y 642. 4. De acuerdo a los datos del problema, la casa 2 es azul o blanca y la casa 4 es blanca o azul (dependiendo de que color es la casa 2), mientras que la casa roja tiene que ser la 1 o la 5. Esto significa que hay 4 posibilidades:

Como la casa azul est´a junto a la gris y la roja, descartamos la posibilidad #2 y #3. En ambos casos restantes, la posibilidad #1 y #4, la casa 3 es gris. 5. El conejo se tarda 6/4 = 1.5 segundos por salto. Por lo tanto, se tarda 1.5 ∗ 10 = 15 segundos para hacer 10 saltos. 49


6. Seg´ un las reglas, en la celda que corresponde a la columna 1 y fila 3 debe escribirse el n´ umero “3”: 1 2 3

* 1

Ahora, como en la fila 3 tenemos que llenar las casillas restantes con 1 o 2, la u ´nica forma que lo podemos hacer respetando las reglas es: 1 * 2 1 3 2 1 Por lo tanto, el u ´nico n´ umero que se puede escribir en la casilla con * es “3”. De esta forma la cuadr´ıcula queda: 1 3 2 2 1 3 3 2 1 7. El problema nos dice que Mar´ıa pag´o 50 + 2 ∗ 20 = 50 + 40 = $90 y le devolvieron $11. Sabemos que compr´o 18 libros, as´ı que gast´o (18/2) ∗ 5 = 9 ∗ 5 = $45 en estos. Esto significa que 90 − 45 = $45 era el dinero que le quedaba para gastar en los marcadores y, como le devolvieron $11, Mar´ıa gast´o $34 en estos. Como 1 marcador cuesta $2, Mar´ıa compr´o 34/2 = 17 marcadores.

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8. Suponga que Arturo tiene 1 tri´angulo, esto significar´ıa que el n´ umero m´aximo de rect´angulos que podr´ıa tener es 3 (sumando las esquinas, tendr´ıamos 1 ∗ 3 + 3 ∗ 4 = 15), pero como tiene 17 esquinas, descartamos esta posibilidad. Considere la siguiente tabla en donde resumimos todos los casos posibles: Tri´angulos N´ umero m´aximo de rect´angulos Esquinas 1 3 15 2 2 14 3 2 17 4 1 16 El u ´nico caso en donde obtenemos un total de 17 esquinas es aquel en donde Arturo tiene 3 tri´angulos 9. Cuando Sebasti´an tenga 1 a˜ no, Ana tendr´a 4; cuando Sebasti´an tenga 2 a˜ nos, Ana tendr´a 5; cuando Sebasti´an tenga 3, Ana tendr´a 6. En este u ´ltimo caso se cumple lo que nos pide el problema. 10. Observe que el cuadrado tiene un ´area de 9 unidades cuadradas, lo cual implica que los lados de dicho cuadrado miden 3 unidades cada uno. Ahora, como el rect´angulo que est´a encima del cuadrado tiene un a´rea de 6 unidades cuadradas y su base mide 3 unidades (el rect´angulo y el cuadrado comparten un lado), esto significa que la altura de dicho rect´angulo mide 6/3 = 2 unidades. Note que esta tambi´en es la medida de la altura del rect´angulo cuya a´rea es 10 unidades cuadradas, por lo que su base mide 10/2 = 5 unidades. Ya tenemos todos los datos necesarios para calcular el a´rea del rect´angulo que desconocemos y as´ı obtener el a´rea total:

El ´area del rect´angulo que desconocemos es 3 ∗ 5 = 15 unidades cuadradas, as´ı que el a´rea total es 6 + 9 + 10 + 15 = 40 unidades cuadradas. 51


11. Considere el siguiente diagrama:

Observe que los n´ umeros 5, 6, 7, 8, 9 y 10 (seis n´ umeros) tendr´ıan que ir acomodados en la regi´on derecha del c´ırculo; entre el 4 y el 11. Similarmente, seis n´ umeros tendr´ıan que ser acomodados en la regi´on izquierda (tres mayores que 11 y los tres enteros menores que 4); entre el 11 y el 4. Estos seis n´ umeros son el 1, 2, 3, 12, 13 y 14. Por lo tanto, el carrusel tiene 14 asientos. 12. Como el cuadrado original ten´ıa 20 cm de per´ımetro, tenemos que cada lado med´ıa 5 cm. Luego de realizar un corte y obtener 2 rect´angulos, uno de estos ten´ıa un per´ımetro de 16 cm. Adem´as, este rect´angulo con per´ımetro de 16 cm tiene dos lados con medida de 5 cm cada uno, as´ı que los lados restantes miden (16 − 10)/2 = 6/2 = 3 cm cada uno:

Ahora, el rect´angulo restante tiene un per´ımetro de 5 + 5 + 2 + 2 = 14 cm.

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13. Considere el siguiente diagrama:

Hemos colocado un punto en aquellos cubitos que tienen exactamente dos caras pintadas (3 de estos est´an ocultos en el diagrama). El total de estos cubitos es 3 + 9 = 12. 14. Observe que al ďŹ nal, Arturo, Juan y Francisco quedan con la misma cantidad de canicas y, como hab´Ĺan 30 originalmente; esto signiďŹ ca que cada uno acaba con 10. Sea đ??š la cantidad de canicas que Francisco ten´Ĺa al principio. Seg´ un el problema, Francisco le da 5 de estas a Juan y Arturo le da 2 de las suyas a Francisco, esto es: đ??š â&#x2C6;&#x2019; 5 + 2 = 10. Resolviendo, obtenemos que đ??š = 13. 15. Considere el siguiente diagrama en donde se muestra los 12 tipos de rect´angulos que se pueden ver en la ďŹ gura original:

Empezando por el tipo de rect´angulo que se muestra en la esquina superior izquierda y movi´endonos a la derecha tenemos que existen: 4 rect´angulos del primer tipo, 4 del segundo, 4 del tercero, 3 del cuarto, 3 del quinto, 3 del sexto, 2 del s´eptimo, 2 del octavo, 53


2 del noveno, 1 del d´ecimo, 1 del und´ecimo y 1 del duod´ecimo. Por lo tanto, se pueden ver ((4)(3) + 3(3) + 2(3) + 1(3)) = 30 rect´angulos. 16. Llamemos a hoy jueves el d´Ĺa 0, maË&#x153; nana viernes el d´Ĺa 1, al s´abado el d´Ĺa 2, etc. Bajo nuestra convenci´on, el pr´oximo jueves, por ejemplo; ser´Ĺa ser´Ĺa el d´Ĺa 7. Note que Mar´Ĺa practica tenis los d´Ĺas 0, 7, 14, 21, 28, etc. Por otro lado, practica nataci´on los d´Ĺas 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, etc. Por lo tanto, Mar´Ĺa practica los dos deportes el mismo d´Ĺa 21 d´Ĺas despu´es que hoy jueves. 17. Sea đ?&#x2018;&#x201A; la cantidad que tiene Omar y sea đ??ż la que tiene Luis. Seg´ un el problema, đ?&#x2018;&#x201A; + đ??ż = 320 y (.30)đ?&#x2018;&#x201A; = (.50)(.20 â&#x2C6;&#x2014; đ??ż). Despejando para đ??ż en la segunda ecuaci´on, obtenemos que đ??ż = 3 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201A;. Ahora, sustituyendo esta expresi´on en la primera ecuaci´on tenemos que đ?&#x2018;&#x201A; + (3 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201A;) = 320 y resolviendo đ?&#x2018;&#x201A; = 80. Omar tiene $80. 18. Juan tiene 3 posibilidades para su clase de deporte, 3 posibilidades para su clase de matem´aticas, 2 posibilidades para su clase de arte y una posibilidad para su clase de ciencia. Las formas en que puede organizar su campamento de verano est´a dado por 3â&#x2C6;&#x2014;3â&#x2C6;&#x2014;2â&#x2C6;&#x2014;1 = 18. 19. Observe que 101 = 10, 102 = 100, 103 = 1000, etc. Siguiendo este patr´on, sabemos que 102008 puede ser representado escribiendo un â&#x20AC;&#x153;1â&#x20AC;? seguido de 2008 ceros a la derecha. De esta forma, si realizamos la resta 102008 â&#x2C6;&#x2019;2008 encontramos que el resultado consiste de 2004 9â&#x20AC;&#x2122;s seguidos por â&#x20AC;&#x153;7992â&#x20AC;? a la derecha (999. . . 9997992). Sumando los d´Ĺgitos de este resultado, obtenemos 2004 â&#x2C6;&#x2014; 9 + 7 + 9 + 9 + 2 = 18063.

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20. Note que como la suma de los ´angulos interiores de un tri´angulo es 180â&#x2C6;&#x2DC; , el a´ngulo que desconocemos del tri´angulo de la derecha mide 180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; (41â&#x2C6;&#x2DC; + 45â&#x2C6;&#x2DC; ) = 180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; 86â&#x2C6;&#x2DC; = 94â&#x2C6;&#x2DC; :

Ahora, como el a´ngulo đ?&#x2018;Ľ es opuesto por el v´ertice al a´ngulo cuya medida acabamos de obtener, tenemos que su medida tamb´en es 94â&#x2C6;&#x2DC; . Como la suma de los a´ngulos interiores del tri´angulo de la izquierda es 180â&#x2C6;&#x2DC; , tenemos que 33â&#x2C6;&#x2DC; + đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;˘ = 180â&#x2C6;&#x2DC; . Sustituyendo, 33â&#x2C6;&#x2DC; + 94â&#x2C6;&#x2DC; + đ?&#x2018;˘ = 180â&#x2C6;&#x2DC; y resolviendo, đ?&#x2018;˘ = 53â&#x2C6;&#x2DC; .

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´ COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE MATEMATICAS Primera Fase EXAMEN NIVEL INTERMEDIO(7mo, 8vo y 9no) 1. Seg´ un los datos del problema, Jorge est´a antes que Ang´elica, que Mario (esto ya que Ang´elica est´a antes de Mario) y que Ignacio. Como Jorge no es el primero en la ďŹ la y la u ´nica persona que falta es Pedro, Pedro tiene que estar primero. 2. Sea đ?&#x2018;Ľ la medida de uno de los lados de uno de los cinco cuadrados:

Observe que el ´area de uno de los cuadrados es đ?&#x2018;Ľ2 , mientras que el a´rea de la cruz es 5đ?&#x2018;Ľ2 . Por lo tanto, tenemos que hallar el valor de đ?&#x2018;Ľ2 . Comenzamos aplicando el Teorema de Pit´agoras en el tri´angulo rect´angulo cuya hipotenusa es đ?&#x2018;?: đ?&#x2018;Ľ2 + (2đ?&#x2018;Ľ)2 = 62 . SimpliďŹ cando, obtenemos 5đ?&#x2018;Ľ2 = 36 y despejando đ?&#x2018;Ľ2 = 36 . Por lo 5 36 2 2 tanto, el ´area de la cruz es 5đ?&#x2018;Ľ = 5( 5 ) = 36 cm . 3. Observe que el primer sumando, 3, puede ser escrito de la forma 7(1 â&#x2C6;&#x2019; 1) + 3 = 3. Similarmente, podemos expresar a 10 (segundo sumando) como 7(2 â&#x2C6;&#x2019; 1) + 3 = 10 y al tercer sumando como 7(3 â&#x2C6;&#x2019; 1) + 3 = 17. En general, el đ?&#x2018;&#x203A;-´esimo sumando puede ser expresado como 7(đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1) + 3. Si queremos conocer el n´ umero de sumandos, tenemos que hallar el valor de đ?&#x2018;&#x203A; que hace que la expresi´on 7(đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1) + 3 sea igual a 346: esto es, 7(đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1) + 3 = 346. Restando 3 y diviendo entre 7 en ambos lados de la ecuaci´on, llegamos a que (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1) = 49; as´Ĺ que đ?&#x2018;&#x203A; = 50. Por lo tanto, hay 50 sumandos. 4. Para maximizar el n´ umero de niË&#x153; nos a los que les puede dar dulces sin que ninguno tenga la misma cantidad, la maestra tendr´a que usar una estrategia similar a la siguiente: al primer niË&#x153; no le da 1 56


dulce, al segundo 2, al tercero 3, al cuarto 4 y al quinto 5. Hasta ahora ha repartido un total de 15 dulces y si quiere darle dulces a un sexto ni˜ no tendr´ıa que darle por lo menos 6. Sin embargo, como empez´o con 20 dulces, s´olo le quedan 5, as´ı que la m´axima cantidad de ni˜ nos a los que les puede dar es a cinco. 5. Hay que dibujar 15 l´ıneas y tenemos que usar 4 para dibujar el rect´angulo “exterior”:

Note que si dibujamos, por ejemplo, 1 l´ınea horizontal dentro del rect´angulo, obtenemos 2 rect´angulos. Si dibujamos 2 l´ıneas horizontales, obtendremos 3 rect´angulos; etc. Lo mismo sucede si comenzamos a dibujar l´ıneas verticales, en vez de hozizontales: al dibujar 1 l´ınea vertical dentro del rect´angulo “exterior”, obtenemos 2 rect´angulos; etc.

Ahora, si dibujamos, por ejemplo; 2 l´ıneas horizontales y luego 3 verticales, se formar´an (2 + 1)(3 + 1) = 12 celdas. El problema se reduce a averiguar que distribuci´on de l´ıneas horizontales y verticales producen el mayor n´ umero de celdas. Observe que hay que dibujar 11 = (0+11) = (1+10) = (2+9) = (3+8) = (4+7) = (5 + 6) l´ıneas dentro del rect´angulo exterior. Suponga, sin p´erdida de generalidad, que deseamos dibujar menos l´ıneas horizontales que verticales. Existen 6 casos (correspondientes a las 6 formas de escribir a 11 como una suma) a considerar y los n´ umero de celdas correspondientes que se forman son, respectivamente: 1(12) = 12, 57


2(11) = 22, 3(10) = 30, 4(9) = 36, 5(8) = 40 y 6(7) = 42. Por lo tanto, el mayor n´ umero de celdas que se pueden dibujar con 15 l´Ĺneas es 42. 6. Como Pepe escribi´o un n´ umero de seis d´Ĺgitos y 2008 s´olo tiene cuatro, tenemos que dos de los d´Ĺgitos originales eran 1. Si los d´Ĺgitos â&#x20AC;&#x153;1â&#x20AC;? est´an separados por cuatro d´Ĺgitos tenemos una posibilidad: 120081. Si est´an separados por tres, tenemos dos posibilidades: 120018 y 210081. Si est´an separados por dos, tenemos tres posibilidades: 120108, 210018 y 201081. Si est´an separados por uno, tenemos cuatro posibilidades: 121008, 210108, 201018 y 200181. Finalmente, si no est´an separados, tenemos cinco posibilidades: 112008, 211008, 201108, 200118 y 200811. Por lo tanto, existen 15 posibles n´ umeros que pudieron haber sido escritos por Pepe. 7. Sean đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś y đ?&#x2018;§ el n´ umero de p´ajaros que hab´Ĺa originalmente en el primer, segundo y tercer ´arbol; respectivamente. Se´gun los datos del problema: đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;§ = 60 2(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6) = (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 8) 2(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 8) = (đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; 4) Despejando para đ?&#x2018;§ en la primera ecuaci´on tenemos que đ?&#x2018;§ = (60 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś) y si sustituimos esta expresi´on en la tercera ecuaci´on y resolvemos para đ?&#x2018;Ľ obtenemos đ?&#x2018;Ľ = 72â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ś. Finalmente, sustituyendo esta expresi´on en la segunda ecuaci´on: 2((72 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ś) â&#x2C6;&#x2019; 6) = (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 8). Al resolver para đ?&#x2018;Ś, tenemos que hab´Ĺa originalmente 20 p´ajaros en el segundo a´rbol. 8. Si el per´Ĺmetro del cuadrado đ??ľ es 16 cm, entonces cada uno de = 4 cm. Similarmente, como el per´Ĺmetro del sus lados mide 16 4 cuadrado đ??ś es 24 cm, cada uno de sus lados mide 6 cm. Como un lado de cuadrado đ??ˇ mide lo mismo que la suma de la medida de un lado del cuadrado đ??ľ y del cuadrado đ??ś, tenemos que cada uno de los lados del cuadrado đ??ˇ mide 4 + 6 = 10 cm. Adem´as, la medida de un lado del cuadrado đ??´ es la suma de las medida de un 58


lado del cuadrado đ??ś y un lado del cuadrado đ??ˇ: 6 + 10 = 16 cm. Es por esto que el per´Ĺmetro del cuadrado đ??´ es 16 â&#x2C6;&#x2014; 4 = 64 cm. 9. Sea đ?&#x2018;Ľ el n´ umero entero que Jorge pens´o. Considere el caso en el ´ cual Liz lo multiplica por 5, Oscar le suma 5 al resultado obtenido ´ por Liz y Alejandro le resta 5 al resultado obtenido por Oscar. Al ďŹ nal obtendr´Ĺamos la expresi´on ((5đ?&#x2018;Ľ) + 5) â&#x2C6;&#x2019; 5 = 5đ?&#x2018;Ľ. Si estudiamos cada una de las ocho posibilidades, las expresiones que obtendr´Ĺamos al ďŹ nal ser´Ĺan: 5đ?&#x2018;Ľ (se obtiene en dos de los casos), (5đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1), (5đ?&#x2018;Ľ + 1), 6đ?&#x2018;Ľ (dos casos), (6đ?&#x2018;Ľ + 1) y (6đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1). Al igualar cada una de estas expresiones a 78, nos damos cuenta que la u ´nica que nos produce una soluci´on entera es 6đ?&#x2018;Ľ, en cuyo caso đ?&#x2018;Ľ = 13. 10. Note que el tiempo đ?&#x2018;Ą que le toma a M´onica recorrer el terreno plano en el viaje de ida, es el mismo que le toma en el viaje de vuelta. Adem´as, sean đ?&#x2018;Ą1 y đ?&#x2018;Ą2 el tiempo que le toma recorrer el terreno inclinado en el viaje de ida y el tiempo que le toma en el viaje de vuelta; respectivamente. Seg´ un el problema, (đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;Ą1 + đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;Ą2 ) = (2đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;Ą1 + đ?&#x2018;Ą2 ) = 2. Como la distancia del tramo inclinado se puede expresar como 3đ?&#x2018;Ą1 o como 6đ?&#x2018;Ą2 , 3đ?&#x2018;Ą1 = 6đ?&#x2018;Ą2 , as´Ĺ que đ?&#x2018;Ą1 = 2đ?&#x2018;Ą2 . Sustituyendo en la ecuaci´on que ofrece una relaci´on entre los tiempos, tenemos que (2đ?&#x2018;Ą + (2đ?&#x2018;Ą2 ) + đ?&#x2018;Ą2 ) = (2đ?&#x2018;Ą + 3đ?&#x2018;Ą2 ) = 2 2 . Ahora, la distancia del tramo y, despejando para đ?&#x2018;Ą, đ?&#x2018;Ą = 2â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ą 2 2â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ą2 plano est´a dada por (4đ?&#x2018;Ą) = 4( 2 ) = (4 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ą2 ). Por otro lado, la distancia del terreno inclinado es 6đ?&#x2018;Ą2 , as´Ĺ que la distancia recorrida en el viaje de ida (la cual es la misma que la distancia recorrida en el viaje de vuelta) es ((4 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ą2 ) + 6đ?&#x2018;Ą2 ) = 4. Finalmente, la distancia total recorrida por M´onica es 4 + 4 = 8 km. 11. Como estamos considerando n´ umeros de 4 d´Ĺgitos, el primer d´Ĺgito no puede ser 0 y como este d´Ĺgito representa la cantidad de ceros que aparecen en el, tenemos que el n´ umero que buscamos deber´Ĺa contener por lo menos un 0. Tambi´en, como el n´ umero que buscamos tiene solamente 4 d´Ĺgitos, ninguno de estos puede ser mayor que 3. Estudiemos los casos posibles: a) Suponga que el n´ umero tiene un 0. Seg´ un los datos, el n´ umero tiene que ser de la forma 1đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§, en donde s´olo uno de los d´Ĺgitos que desconocemos puede ser 0. Ahora, đ?&#x2018;Ľ no puede ser 0, ya que 59


este representa la cantidad de 1â&#x20AC;&#x2122;s que tiene el n´ umero. Considere la posibilidad de que đ?&#x2018;§ = 0: 1đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś0. Surgen tres casos: el n´ umero contiene s´olo un d´Ĺgito 1, dos d´Ĺgitos 1 o tres d´Ĺgitos 1. Si s´olo tuviese un d´Ĺgito 1, đ?&#x2018;Ľ = 1 y tendr´Ĺamos 11đ?&#x2018;Ś0, lo cual no satisface las condiciones del problema. Si contiene dos d´Ĺgitos 1, la u ´nica posibilidad que cumple con las condiciones del problema es 1210. Por u ´ltimo, si contiene tres d´Ĺgitos 1, el n´ umero tendr´Ĺa que ser 1110; el cual no cumple con las condiciones. Volviendo al caso en donde el n´ umero tiene solamente un 0 y es de la forma 1đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§. Estudiemos lo que sucede si đ?&#x2018;Ś = 0: 1đ?&#x2018;Ľ0đ?&#x2018;§. Usando un an´alisis similar, conclu´Ĺmos que no existe ning´ un n´ umero de esta forma que cumpla con las condiciones. b) Suponga que el n´ umero tiene dos 0. Tenemos que este tendr´Ĺa que ser de la forma 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§, en donde đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2022;= 0. Esto signiďŹ ca que đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;§ = 0: 20đ?&#x2018;Ś0. Como đ?&#x2018;Ś representa el n´ umero de d´Ĺgitos 2, tendr´Ĺamos 2010, pero este no satisface las condiciones del problema, ya que hay un d´Ĺgito 1, pero đ?&#x2018;Ľ = 0. c) Suponga que el n´ umero tiene tres 0. Entonces, tiene que ser de la forma 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§, con đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2022;= 0. Como no tenemos forma de â&#x20AC;&#x153;acomodarâ&#x20AC;? los tres 0, conclu´Ĺmos que no existen n´ umeros con tres d´Ĺgitos 0 que cumplan las condiciones del problema. Por lo tanto, 1210 es el u ´nico n´ umero que satisface las condiciones. 12. Note que la forma m´as r´apida de eliminar completamente uno de los 9 cuadrados (de tal forma que cada uno de los palitos que quedan es el lado de al menos un cuadrado) es quitando cualquiera de los cuatro palitos que se muestran en el diagrama:

Si eliminamos estos 4 palitos, nos quedamos con 5 cuadrados que cumplen con las condiciones. Por lo tanto, 4 es el m´Ĺnimo n´ umero de palitos que se tienen que quitar. 60


13. Considere el tri´angulo đ??ľđ??śđ??ˇ. Tenemos que â&#x2C6; đ??ľđ??śđ??ˇ = 60 + 80 = 140â&#x2C6;&#x2DC; . Adem´as, la medida del lado đ??ľđ??ś es igual a la medida del lado đ??śđ??ˇ:

Esto implica que â&#x2C6; đ??ˇđ??ľđ??ś = â&#x2C6; đ??śđ??ˇđ??ľ y como â&#x2C6; đ??ˇđ??ľđ??ś + â&#x2C6; đ??śđ??ˇđ??ľ = 40â&#x2C6;&#x2DC; , tenemos que â&#x2C6; đ??ˇđ??ľđ??ś = â&#x2C6; đ??śđ??ˇđ??ľ = 20â&#x2C6;&#x2DC; . Ahora, â&#x2C6; đ??´đ??ľđ??ˇ + â&#x2C6; đ??ˇđ??ľđ??ś = 60â&#x2C6;&#x2DC; , as´Ĺ que â&#x2C6; đ??´đ??ľđ??ˇ = 60 â&#x2C6;&#x2019; 20 = 40â&#x2C6;&#x2DC; . 14. Sea đ?&#x2018;Ľ el n´ umero de niË&#x153; nos que llegaron al frente de Ra´ ul. Tenemos que el n´ umero de niË&#x153; nos que llegaron despu´es que Ra´ ul est´a dado por 2đ?&#x2018;Ľ y 2đ?&#x2018;Ľ + 1 + đ?&#x2018;Ľ = 28. Resolviendo para đ?&#x2018;Ľ tenemos que đ?&#x2018;Ľ = 9; as´Ĺ que Ra´ ul lleg´o en la d´ecima posici´on. 15. Considere el tri´angulo đ??´đ??ľđ??ś. El ´angulo đ??ľđ??´đ??ś mide 180 â&#x2C6;&#x2019; (75 + 30) = 75â&#x2C6;&#x2DC; . Esto implica que la medida del lado đ??ľđ??ś es igual a la medida del lado đ??´đ??ś:

Ahora considere el tri´angulo đ??´đ??śđ??ˇ. Como la medida de los lados đ??´đ??ś y đ??´đ??ˇ son iguales, la medida de sus respectivos ´angulos opuestos tambi´en lo son, â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś = â&#x2C6; đ??´đ??śđ??ˇ. Pero como â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś + â&#x2C6; đ??´đ??śđ??ˇ = 180 â&#x2C6;&#x2019; 50 = 130â&#x2C6;&#x2DC; , tenemos que â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś = 130 = 65â&#x2C6;&#x2DC; . 2

61


16. Considere el siguiente diagrama en donde hemos identiďŹ cado los puntos adicionales đ??˝ y đ??ž:

Sean đ?&#x2018;&#x2122;, đ?&#x2018;Ľ y đ?&#x2018;Ś la medida de un lado del cuadrado đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ, la medida del segmento đ??śđ??˝ y la medida del segmento đ??śđ??ž; respectivamente:

El ´area de la regi´on sombreada (que de acuerdo a los datos es 1) es igual a la suma de las a´reas de los tri´angulos (đ??¸đ??ľđ??š , đ??ˇđ??ťđ??ś, đ??śđ??˝đ??š y đ??ˇđ??žđ??¸) y del cuadrado đ??¸đ??žđ??śđ??˝. Tenemos entonces: [( 12 (đ?&#x2018;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)))+( 12 (đ?&#x2018;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)))+( 12 (đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś)))+( 21 (đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś)))+(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś)] = 1 Expandiendo y combinando t´erminos semejantes, nos queda đ?&#x2018;&#x2122;2 = 1, pero esta expresi´on es igual al a´rea del cuadrado đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ. 17. Note que como 9 + 9 = 18 < 23, đ?&#x2018;&#x203A; tiene que ser un n´ umero de tres d´Ĺgitos (đ?&#x2018;&#x203A; es menor que 1000). Como la suma de los d´Ĺgitos de đ?&#x2018;&#x203A; es 23, los u ´nicos candidatos para đ?&#x2018;&#x203A; son: 995, 986, 977, 968, 959, 896, 887, 878, 869, 797, 788, 779, 698, 689 y 599. Como đ?&#x2018;&#x203A; es par, la lista se reduce a: 986, 968, 896, 878, 788 y 698. Ahora, como đ?&#x2018;&#x203A; deja residuo 1 al dividirlo entre 5, nos quedan 986 y 896. De estos, el u ´nico que es m´ ultiplo de 7 es 896. 62


18. Note que la distancia de đ??¸ al punto medio del lado đ??´đ??ľ es la misma que de đ??š al punto medio del lado đ??ˇđ??ś. Sea đ?&#x2018;Ľ esta distancia:

Tenemos que đ?&#x2018;Ľ + đ??¸đ??š + đ?&#x2018;Ľ = 1. Adem´as, observe que đ?&#x2018;Ľ + đ??¸đ??š es la medida de un cateto del tri´angulo rect´angulo con hipotenusa đ??ľđ??š = 1 (el otro cateto mide 21 ). Aplicando elâ&#x2C6;&#x161;Teorema de Pit´agoras a este tri´angulo, tenemos que đ?&#x2018;Ľ + đ??¸đ??š = 23 y sustituyendoâ&#x2C6;&#x161;en â&#x2C6;&#x161; đ?&#x2018;Ľ + đ??¸đ??š + đ?&#x2018;Ľ = 1: ( 23 ) + đ?&#x2018;Ľ = 1. De aqui, obtenemos đ?&#x2018;Ľ = 1 â&#x2C6;&#x2019; ( 23 ) â&#x2C6;&#x161; y đ??¸đ??š = ( 3 â&#x2C6;&#x2019; 1). 19. Considere los casos posibles: () 6! =6 a)Si s´olamente queremos borrar una letra, tenemos 61 = 1!5! formas de escogerla. Note que cada una de estas 6 formas produce una palabra distinta (NTENA, ATENA, ANENA, ANTNA, ANTEA ( )y ANTEN). b)Hay 62 = 15 formas de escoger 2 letras para ser borradas y en cada uno de estos casos se produce una palabra distinta. c)Hay 20 formas de escoger 3 letras para ser borradas, pero note que en los casos en donde se borran â&#x20AC;&#x153;TENâ&#x20AC;? y â&#x20AC;&#x153;NTEâ&#x20AC;? se produce la misma palabra: â&#x20AC;&#x153;ANAâ&#x20AC;?. Por lo tanto, este caso aporta 19 palabras distintas. d)Hay 15 formas de escoger 4 letras para ser borradas y cada uno de estos produce una palabra distinta. e)Hay 6 formas de escoger 5 letras para ser borradas. Sin embargo, los casos en donde se borran â&#x20AC;&#x153;ANTENâ&#x20AC;? y â&#x20AC;&#x153;NTENAâ&#x20AC;? producen la misma palabra: â&#x20AC;&#x153;Aâ&#x20AC;?. Este caso aporta 5 palabras distintas. Por lo tanto, se puede formar (6 + 15 + 19 + 15 + 5) = 60 = (26 â&#x2C6;&#x2019; 4) palabras distintas. 63


3

3

20. Note que đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; = 224 = 22 â&#x2C6;&#x2014;3 = (23 )2 = 88 y đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 318 = (32 )9 = 99 , as´Ĺ que đ?&#x2018;&#x17D; = 8 y đ?&#x2018;? = 9. Por lo tanto, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; = 89â&#x2C6;&#x2019;8 = 81 = 8.

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COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Primera Fase 2008-2009 EXAMEN NIVEL SUPERIOR(10mo, 11mo y 12mo) 1. Sea đ?&#x2018;Ľ la medida de uno de los lados de uno de los tri´angulos equil´ateros. Observe que el per´Ĺmetro de la estrella es igual a 8đ?&#x2018;Ľ. Ahora, đ?&#x2018;Ľ tambi´en es la medida de un lado del cuadrado, y como esta es igual a la medida de 2 di´ametros de uno de los c´Ĺrculos: đ?&#x2018;Ľ = 2(2 â&#x2C6;&#x2014; 5) = 20 cm. As´Ĺ, el per´Ĺmetro de la estrella es 8đ?&#x2018;Ľ = 8(20) = 160 cm. 2. Considere la terna (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś, đ?&#x2018;§) = (8, 3, 1) que cumple đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;§ = 12. Note que đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§ + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§ + đ?&#x2018;§đ?&#x2018;Ľ = 59. Ahora considere (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś, đ?&#x2018;§) = (3, 8, 1). Calculando, obtenemos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§ + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§ + đ?&#x2018;§đ?&#x2018;Ľ = 59. En general, si consideramos todas las ternas conformadas por el mismo conjunto de tres n´ umeros, el valor de la expresi´on đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§+đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś+đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§+đ?&#x2018;§đ?&#x2018;Ľ ser´a siempre el mismo por simetr´Ĺa. Este hecho nos permite no tener que considerar todas las posibles ternas. Para simpliďŹ car el trabajo, consideremos s´olo aquellas ternas (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś, đ?&#x2018;§) tales que đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;§: đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ś 12 0 11 1 10 2 10 1 9 3 9 2 8 4 8 3 8 2

đ?&#x2018;§ 0 0 0 1 0 1 0 1 2

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§ 0 0 0 10 0 18 0 24 32

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś 0 11 20 10 27 18 32 24 16

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§ 0 0 0 1 0 2 0 3 4

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đ?&#x2018;§đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§ + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§ + đ?&#x2018;§đ?&#x2018;Ľ 0 0 0 11 0 20 10 31 0 27 9 47 0 32 8 59 16 68


Continuaci´on: đ?&#x2018;Ľ 7 7 7 6 6 6 6 5 5 4

đ?&#x2018;Ś 5 4 3 6 5 4 3 5 4 4

đ?&#x2018;§ 0 1 2 0 1 2 3 2 3 4

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§ 0 28 42 0 30 48 54 50 60 64

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś 35 28 21 36 30 24 18 25 20 16

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§ 0 4 6 0 5 8 9 10 12 16

đ?&#x2018;§đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§ + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§ + đ?&#x2018;§đ?&#x2018;Ľ 0 35 7 67 14 83 0 36 6 71 12 92 18 99 10 95 15 107 16 112

As´Ĺ, el valor m´aximo para (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§ + đ?&#x2018;§đ?&#x2018;Ľ) es 112. 3. a) Considere el caso de que hoy es uno de los d´Ĺas en que Luis dice la verdad. Esto implicar´Ĺa que el enunciado â&#x20AC;&#x153;Siempre digo la verdadâ&#x20AC;? no lo pudo haber dicho hoy, signiďŹ cando que los cuatro enunciados restantes fueron los que dijo. Sin embargo, los enunciados â&#x20AC;&#x153;Tengo la misma cantidad de amigas que de amigosâ&#x20AC;? y â&#x20AC;&#x153;Soy amigo de tres personas m´as altas que yoâ&#x20AC;? nos indicar´Ĺan que la cantidad de amigos que tiene Luis es un n´ umero par mayor que 2. Esto contradice el enunciado â&#x20AC;&#x153;Soy amigo de una cantidad prima de personasâ&#x20AC;&#x153;, as´Ĺ que hoy tiene que ser uno de los d´Ĺas en que Luis miente. b) Como hoy es uno de los d´Ĺas en que miente, el u ´nico enunciado que podemos descartar con certeza es â&#x20AC;&#x153;Mi nombre es Luisâ&#x20AC;?. 4. Como el promedio de los primeros seis ex´amenes es 84, la cantidad de puntos en total acumulados hasta el momento es 84 â&#x2C6;&#x2014; 6 = 504. Sea đ?&#x2018;Ľ la caliďŹ caci´on del s´eptimo ex´amen. Como el nuevo promedio = 85. Resolviendo, tenemos đ?&#x2018;Ľ = 91. es 85, tenemos 504+đ?&#x2018;Ľ 7 5. Note que 100 = (22 )(52 ). Hay dos formas (salvo orden) de expresar a 100 como el producto de 5 enteros menores que 10 (los cuales corresponder´an a las 5 cifras del n´ umero original): 66


100 = 2 â&#x2C6;&#x2014; 2 â&#x2C6;&#x2014; 5 â&#x2C6;&#x2014; 5 â&#x2C6;&#x2014; 1 y 100 = 4 â&#x2C6;&#x2014; 5 â&#x2C6;&#x2014; 5 â&#x2C6;&#x2014; 1 â&#x2C6;&#x2014; 1. Para el primer caso, la suma de las cifras del n´ umero ser´Ĺa (2+2+5+5+1) = 15, mientras que para el segundo caso la suma ser´Ĺa (4 + 5 + 5 + 1 + 1) = 16. Como 16 no se encuentra entre las alternativas, la respuesta es 15. 6. Considere el tri´angulo đ??´đ??ľđ??ś. El ´angulo đ??ľđ??´đ??ś mide 180 â&#x2C6;&#x2019; (75 + 30) = 75â&#x2C6;&#x2DC; . Esto implica que la medida del lado đ??ľđ??ś es igual a la medida del lado đ??´đ??ś:

Ahora considere el tri´angulo đ??´đ??śđ??ˇ. Como la medida de los lados đ??´đ??ś y đ??´đ??ˇ son iguales, la medida de sus respectivos ´angulos opuestos tambi´en lo son, â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś = â&#x2C6; đ??´đ??śđ??ˇ. Pero como â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś + = 65â&#x2C6;&#x2DC; . â&#x2C6; đ??´đ??śđ??ˇ = 180 â&#x2C6;&#x2019; 50 = 130â&#x2C6;&#x2DC; , tenemos que â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś = 130 2 7. Demostraremos que si Isabel escoge 8 puntos de los marcados, la probabilidad de que 4 de estos sean los v´ertices de un rect´angulo es 1. Comenzamos trazando una l´Ĺnea horizontal que divide en dos regiones a los 12 puntos:

Hay 5 casos a considerar: a)Suponga que ninguno de los 8 puntos que se escogieron estaban encima de la l´Ĺnea horizontal. Es f´acil ver que se pueden escoger 4 puntos de tal forma que estos sean los v´ertices de un rect´angulo. b)Suponga que s´olo 1 de los puntos que se escogen est´a por encima de la l´Ĺnea. Esto signiďŹ ca que 7 de los puntos se encuentran debajo y siempre se puede garantizar que de estos, 4 puntos proven´Ĺan de 67


la segunda ďŹ la de puntos o´ 4 proven´Ĺan de la tercera ďŹ la de puntos. Ilustremos uno de estos casos:

Estos 4 puntos provenientes de la misma ďŹ la, junto a los 3 puntos que se encuentran en la otra ďŹ la, garantizan que siempre se pueda dibujar un rect´angulo. c)Suponga que s´olo 2 de los 8 puntos que se escogen se encuentran arriba de la l´Ĺnea horizontal. Como 6 de los 8 puntos est´an debajo de la l´Ĺnea, todos los puntos de la ďŹ la 2 o la ďŹ la 3 se escogen. Dos de estos puntos (provenientes de la ďŹ la en la que se escogieron todos los puntos), junto a los 2 puntos que est´an encima de la l´Ĺnea horizontal, forman un rect´angulo. Por ejemplo:

d)Suponga que se escogen exactamente 3 puntos encima de la l´Ĺnea horizontal. Como los otros 5 se encuentran debajo de esta, 4 de estos deben provenir de la misma ďŹ la. Un argumento similar al del caso anterior demuestra que 4 de los 8 puntos son los v´ertices de un rect´angulo. e)Suponga que se escogen los 4 puntos de la primera ďŹ la (la que est´a encima de la l´Ĺnea horizontal). Siempre podemos garantizar que en por lo menos una de las ďŹ las restantes, se escoger´an por lo menos dos puntos. Estos dos puntos, con dos puntos de la primera ďŹ la, formar´an el cuadrado que buscamos. Por lo tanto, hemos demostrado que la probabilidad es 1. 8. El n´ umero que buscamos debe tener, por lo menos, 2 cifras. Suponga que tiene exactamente 2 cifras y represent´emoslo por đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?, en donde 68


đ?&#x2018;&#x17D; representa el d´Ĺgito de las decenas y đ?&#x2018;? el de las unidades. Tenemos que đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? = 14 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;, de donde obtenemos 10đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? = 14đ?&#x2018;&#x17D;. Despejando para đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;? = 4đ?&#x2018;&#x17D;. Recordando que đ?&#x2018;&#x17D; y đ?&#x2018;? son enteros tales que 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;¤ 9 y 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;? â&#x2030;¤ 9, las u ´nicas posibilidades son: đ?&#x2018;&#x17D; = 1 y đ?&#x2018;? = 4; đ?&#x2018;&#x17D; = 2 y đ?&#x2018;? = 8. Suponga ahora que el n´ umero tiene 3 cifras y represent´emoslo por đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?. Tenemos (100đ?&#x2018;&#x17D; + 10đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?) = 14(10đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) y manipulando esta expresi´on adecuadamente, llegamos a (100đ?&#x2018;&#x17D; + 10đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?) = (10+4)(10đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;?) = (100đ?&#x2018;&#x17D;+10đ?&#x2018;?)+(40đ?&#x2018;&#x17D;+4đ?&#x2018;?). De aqui, (đ?&#x2018;? = 40đ?&#x2018;&#x17D;+4đ?&#x2018;?), pero como đ?&#x2018;? es un entero tal que 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;? â&#x2030;¤ 9; tendr´Ĺamos đ?&#x2018;&#x17D; = 0. Pero đ?&#x2018;&#x17D; no puede ser 0, pues esta es la cifra de las centenas. Por lo tanto, ning´ un n´ umero de 3 cifras cumple con las condiciones del problema. Similarmente, se puede demostrar que ning´ un n´ umero de 4 cifras o m´as cumple con los requisitos. Por lo tanto, los n´ umeros 14 y 28 son los u ´nicos. 9. De acuerdo a los datos del problema, đ?&#x2018;&#x17D;+3đ?&#x2018;?+đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x2DC;, en donde đ?&#x2018;&#x2DC; es un entero positivo. Manipulando esta ecuaci´on, (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) = 3(đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?), as´Ĺ que el problema se reduce a contar cuantos n´ umeros đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? son tales que (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) es m´ ultiplo de 3. Los u ´nicos posibles valores para đ?&#x2018;&#x17D; y đ?&#x2018;? son los siguientes: i)(đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) = 3: (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = (3, 0), (2, 1), (1, 2) ii)(đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) = 6: (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = (6, 0), (5, 1), (1, 5), (4, 2), (2, 4), (3, 3) iii)(đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) = 9: (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = (9, 0), (8, 1), (1, 8), (7, 2), (2, 7), (6, 3), (3, 6), (5, 4), (4, 5) iv)(đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;?) = 12: (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = (9, 3), (3, 9), (8, 4), (4, 8), (7, 5), (5, 7), (6, 6) v)(đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) = 15: (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = (9, 6), (6, 9), (8, 7), (7, 8) vi)(đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) = 18: (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = (9, 9) Cada uno de estos 30 pares ordenados (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) tiene asociado 10 n´ umeros de 3 d´Ĺgitos đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? (correspondientes a 10 posibles valores para đ?&#x2018;?) que cumplen con las condiciones del problema. Por lo tanto, existen 30 â&#x2C6;&#x2014; 10 = 300 n´ umeros de 3 d´Ĺgitos tales que (đ?&#x2018;&#x17D; + 3đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?) es m´ ultiplo de 3. 10. Hallando el m´Ĺnimo com´ un denominador y simpliďŹ cando: đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?

+

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? = 69

đ?&#x2018;&#x17D;2 +đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?)2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?


Ahora, como (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?) = (đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?), (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?)2 = (đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?+đ?&#x2018;?2 ); sustituyendo en 2 2 2 la expresi´on ( đ?&#x2018;&#x17D; +đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?) ) y simpliďŹ cando nos queda: ( đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?) = 2. 11. Sean đ?&#x2018;Ľ la edad actual de la mujer y đ?&#x2018;§ el n´ umero de aË&#x153; nos que necesitan pasar para que la mujer tenga 30 aË&#x153; nos. Seg´ un el problema, (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;§) = 30 y (30 + đ?&#x2018;§) = 2đ?&#x2018;Ľ. Despejando para đ?&#x2018;§ en la primera ecuaci´on, đ?&#x2018;§ = (30 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ) y sustituyendo en la segunda, (30 + (30 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ)) = 2đ?&#x2018;Ľ. Resolviendo, tenemos que đ?&#x2018;Ľ = 20, as´Ĺ que la u ´nica propiedad que cumple la edad actual de la mujer es que es m´ ultiplo de 5. 12. Sean đ?&#x2018;Ľ y đ?&#x2018;Ś el n´ umero de ovejas que duermen y el n´ umero de ovejas que no duermen, respectivamente. Tenemos que đ?&#x2018;Ľ = ( 78 ) â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Ś y 80 â&#x2030;¤ (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś) â&#x2030;¤ 100. Sustituyendo la primera ecuaci´on en la segunda desigualdad y simpliďŹ cando, obtenemos 80 â&#x2030;¤ ( 15 )đ?&#x2018;Ś â&#x2030;¤ 8 100. Por inspecci´on, el u ´nico valor permitido para đ?&#x2018;Ś (đ?&#x2018;Ś es un entero) que satisface esta desigualdad, es đ?&#x2018;Ś = 48. Esto implica umero de ovejas en que đ?&#x2018;Ľ = ( 87 )đ?&#x2018;Ś = 48( 78 ) = 42. Por lo tanto, el n´ el rebaË&#x153; no es (48 + 42) = 90. 13. Sean đ?&#x2018;&#x; y đ?&#x2018;&#x2026; el radio del c´Ĺrculo pequeË&#x153; no y el radio del c´Ĺrculo grande, respectivamente. Considere el siguiente diagrama en donde hemos seË&#x153; nalado un tri´angulo rect´angulo con hipotenusa cuya medida es đ?&#x2018;&#x2026; y catetos con medidas de 5 cm y đ?&#x2018;&#x;:

Note que el a´rea sombreada đ??´đ?&#x2018;  es igual a la diferencia entre el a´rea del c´Ĺrculo grande y el c´Ĺrculo pequeË&#x153; no: đ??´đ?&#x2018;  = (đ?&#x153;&#x2039;(đ?&#x2018;&#x2026;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;2 )). Aplicando el Teorema de Pit´agoras en dicho tri´angulo: đ?&#x2018;&#x;2 + 52 = đ?&#x2018;&#x2026;2 , de donde đ?&#x2018;&#x2026;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;2 = 52 . Sustituyendo en la expresi´on para đ??´đ?&#x2018;  , tenemos que el a´rea sombreada es 25đ?&#x153;&#x2039;. 70


14. Sean đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś y đ?&#x2018;§ la cantidad de sellos de $1, $4 y $12 que el coleccionista compr´o, respectivamente. De acuerdo al problema, (đ?&#x2018;Ľ + 4đ?&#x2018;Ś + 12đ?&#x2018;§) = 100 y đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;§ = 40. Despejando para đ?&#x2018;Ľ en la segunda ecuaci´on, đ?&#x2018;Ľ = (40 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;§) y sustituyendo esta expresi´on en la primera, tenemos que ((40 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;§) + 4đ?&#x2018;Ś + 12đ?&#x2018;§) = 100. SimpliďŹ . Como đ?&#x2018;Ś y đ?&#x2018;§ son cando y despejando para đ?&#x2018;Ś, tenemos đ?&#x2018;Ś = 60â&#x2C6;&#x2019;11đ?&#x2018;§ 3 enteros mayores que 1 (el coleccionista compr´o al menos 1 sello de cada precio), el u ´nico valor para đ?&#x2018;§ que al ser evaluado en esta expresi´on, produce un valor para đ?&#x2018;Ś que satisface estas restricciones; = 9. es đ?&#x2018;§ = 3. En este caso, đ?&#x2018;Ś = 60â&#x2C6;&#x2019;11â&#x2C6;&#x2014;3 3 15. Sean đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018; y đ?&#x2018;Ľ el aË&#x153; no de nacimiento de la persona y su edad en 1998, respectivamente. De acuerdo a la informaci´on del problema, 1998 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;Ľ y đ?&#x2018;Ľ = (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018;). Tenemos entonces que 1998 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018; = (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018;). Note que đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018; = (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2014; 103 + đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; 102 + đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2014; 10 + đ?&#x2018;&#x2018;) y si sustitu´Ĺmos esta expresi´on en la u ´ltima ecuaci´on y manipulamos adecuadamente los t´erminos, obtenemos 1998 = (1001đ?&#x2018;&#x17D; + 101đ?&#x2018;? + 11đ?&#x2018;? + 2đ?&#x2018;&#x2018;). Observe que como 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;¤ 9 y 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;? â&#x2030;¤ 9, la u ´nica forma que esta ecuaci´on se cumple es si đ?&#x2018;&#x17D; = 1 y đ?&#x2018;? = 9, en cuyo caso (11đ?&#x2018;? + 2đ?&#x2018;&#x2018;) = 88. Por inspecci´on, los u ´nicos valores permitidos (recordar que đ?&#x2018;? y đ?&#x2018;&#x2018; son enteros no negativos menores que 10) para los cuales se satisface la ecuaci´on son đ?&#x2018;? = 8 y đ?&#x2018;&#x2018; = 0. Por lo tanto, la persona naci´o en 1980, en 1998 ten´Ĺa 18 (1 + 9 + 8 + 0 = 18) aË&#x153; nos y en el 2008 tiene 28. 16. Note que 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64, 27 = 128, 28 = 256, 29 = 512, etc. Observe que toda potencia positiva de la forma 4đ?&#x2018;&#x203A; de 2, termina con el d´Ĺgito 6. Ahora, 22008 +22009 = 22008 (1+2) = 3(22008 ). Como 2008 = (4â&#x2C6;&#x2014;502), 22008 termina en 6 y al ser multiplicado por 3, el resultado terminar´a en el d´Ĺgito 8. 17. Sean đ??´, đ??´â&#x2013;Ą y đ??´đ?&#x2018;&#x2013; , el a´rea de uno de los c´Ĺrculos de radio 1, el a´rea del cuadrado đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ de lado 1 y el ´area de la intersecci´on entre ambos c´Ĺrculos; respectivamente. Observe que đ??´â&#x2013;Ą = (( 41 )đ??´+ (( 14 )đ??´ â&#x2C6;&#x2019; đ??´đ?&#x2018;&#x2013; ), de donde đ??´đ?&#x2018;&#x2013; = (( 21 )đ??´ â&#x2C6;&#x2019; đ??´â&#x2013;Ą ). Pero đ??´ = (1 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x153;&#x2039;) y đ??´â&#x2013;Ą = 1 â&#x2C6;&#x2014; 1. Sustituyendo, obtenemos đ??´đ?&#x2018;&#x2013; = (( 12 )(đ?&#x153;&#x2039;) â&#x2C6;&#x2019; 1) = đ?&#x153;&#x2039;â&#x2C6;&#x2019;2 . 2 71


18. Sea đ?&#x2018;Ľ la clave secreta de tres d´Ĺgitos. Note que el problema nos dice â&#x20AC;&#x153;Si lo divido entre 9 tengo como resultado un n´ umero cuya suma de d´Ĺgitos disminuye en 9 con respecto a la suma de los d´Ĺgitos de mi claveâ&#x20AC;?. Esto nos dice dos cosas: el entero đ?&#x2018;Ľ es divisible por 9 y, adem´as, đ?&#x2018;Ľ9 tambi´en es divisible por 9. Adem´as, como 100 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ 999, đ?&#x2018;Ľ9 es un entero tal que 12 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ9 â&#x2030;¤ 111. Los u ´nicos enteros con esta restricci´on que son divisibles por 9 son: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99 y 108. De estos, los u ´nicos que satisfacen las condiciones del problema son 54 (con un valor asociado de đ?&#x2018;Ľ = 486), 63 (đ?&#x2018;Ľ = 567), 72 (đ?&#x2018;Ľ = 648), 81 (đ?&#x2018;Ľ = 729) y 108 (đ?&#x2018;Ľ = 972). Por lo tanto, existen 5 n´ umeros que podr´Ĺan ser la clave. 19. Podemos construir el siguiente sistema de ecuaciones: đ?&#x2018;Ľ3 = 1 + đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ľ4 = 1 + đ?&#x2018;Ľ2 + đ?&#x2018;Ľ 3 . . . đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 = 1 + đ?&#x2018;Ľ2 + . . . + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; = 1 + đ?&#x2018;Ľ2 + . . . + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 Por otro lado, observe que: (đ?&#x2018;Ľ4 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ3 ) = đ?&#x2018;Ľ3 (đ?&#x2018;Ľ5 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ4 ) = đ?&#x2018;Ľ4 . . . (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 ) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 De aqui se obtiene que 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;+1 para 3 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2030;¤ (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1). Si sustitu´Ĺmos estas expresiones en la ecuaci´on (1 + đ?&#x2018;Ľ2 + đ?&#x2018;Ľ3 + . . . + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; ) = 1000, obtenemos (1 + đ?&#x2018;Ľ2 + (đ?&#x2018;Ľ4 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ3 ) + (đ?&#x2018;Ľ5 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ4 ) + . . . + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 ) + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; = 1000). Combinando t´erminos semejantes, (1 + đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; ) = 1000, pero como đ?&#x2018;Ľ2 = (đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2C6;&#x2019; 1); 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; = 1000. 72


Tenemos que đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; = 500. Ahora, como 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; , đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 = 250. Similarmente, đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;2 = 125. Recordando que estamos trabajando con enteros positivos, nos damos cuenta que (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 2) = 3, en cuyo caso đ?&#x2018;Ľ3 = 125 (si existiese un entero đ?&#x2018;§ > 3, tal que đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;§ = 125, tendr´Ĺamos 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;1 = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;§ = 125 lo que signiďŹ car´Ĺa que đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;1 no es entero). Como đ?&#x2018;Ľ3 = (1 + đ?&#x2018;Ľ2 ), tenemos que đ?&#x2018;Ľ2 = 124. 20. Sea đ?&#x2018;&#x; el radio de la circunferencia inscrita en el tri´angulo rect´angulo đ??´đ??ľđ??ś. Se puede demostrar que el radio de esta circunferencia es . Considere el tri´angulo rect´angulo cuyo ambos catetos đ?&#x2018;&#x; = (đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?) 2 tienen longitud igual a đ?&#x2018;&#x; y cuya hipotenusa es el segmento đ??śđ?&#x2018;&#x201A;:

Aplicando el Teorema de Pit´agoras: 2đ?&#x2018;&#x;2 = (đ??śđ?&#x2018;&#x201A;)2 , pero đ??śđ?&#x2018;&#x201A; = (đ?&#x2018;&#x; + đ??śđ??ˇ), as´Ĺ que 2đ?&#x2018;&#x;2 = (đ?&#x2018;&#x; + đ??śđ??ˇ)2 . Expandiendo y manipulando los t´erminos adecuadamente, tenemos que [(đ??śđ??ˇ)2 + (2đ?&#x2018;&#x;)(đ??śđ??ˇ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;2 ] = 0. â&#x2C6;&#x161;Utilizando la Ecuaci´on Cuadr´atica, obtenemos que đ??śđ??ˇ â&#x2C6;&#x161; = (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; Âą đ?&#x2018;&#x;â&#x2C6;&#x161; 2), pero como đ??śđ??ˇ tiene que ser positivo, đ??śđ??ˇ = (đ?&#x2018;&#x; 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;) = đ?&#x2018;&#x;( 2 â&#x2C6;&#x2019; 1). â&#x2C6;&#x161; Sustituyendo la expresi´on que ten´Ĺamos para đ?&#x2018;&#x;, đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? đ??śđ??ˇ = ( 2 )( 2 â&#x2C6;&#x2019; 1).

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COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2008-2009 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL(4to a 6to grado) 1. Como el le´on no est´a ni en la pequeË&#x153; na ni en la grande, tiene que estar en la mediana. Ahora, como el gorila est´a en la pequeË&#x153; na o en la mediana y esta u ´ltima est´a ocupada por el le´on, signiďŹ ca que el gorila est´a en la pequeË&#x153; na. 2. De acuerdo al problema, đ?&#x2018; 8 = 0.25, as´Ĺ que đ?&#x2018; = 2. Por lo tanto Omar debe obtener đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; 8 = 2 â&#x2C6;&#x2014; 8 = 16. 3. Petra puede formar 12 n´ umeros: 0029, 0092, 0209, 0290, 0920, 2009, 2090, 2900, 9002, 9020 y 9200. 4. Suponga, sin p´erdida de generalidad, que se pinta de blanco una de las esquinas:

Como queremos minimizar la cantidad de colores usados, pintemos de negro las tres esquinas que est´an unidas por una arista a la esquina que acabamos de pintar:

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Las condiciones del problema nos permiten pintar de blanco tres esquinas adicionales:

Nos falta colorear la esquina que no se muestra en los diagramas. Observe que las tres esquinas que est´an unidas a esta por una arista est´an pintadas de blanco. As´Ĺ que podemos pintar de negro la esquina que no se muestra en los diagramas y el n´ umero m´Ĺnimo de colores que se necesitan es 2. 5. Seg´ un el problema la primera luz alumbra cada 2 minutos, la segunda cada 2.5 minutos y la tercera cada 3 minutos. Esto signiďŹ ca que la primera alumbr´o 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, etc. minutos despues de las 9:00 am. La segunda alumbr´o 2.5, 5, 7.5, 10, 12.5, 15, 17.5, 20, 22.5, 25, 27.5, 30, etc. minutos desp´es de las 9:00 am. Por u ´ltimo, la tercera alumbr´o 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, etc. minutos desp´es de las 9:00 am. Podemos ver que las 3 luces alumbraron simult´aneamente 30 minutos despu´es, o sea, a las 9:30 am. 6. Considere el ´angulo đ?&#x2018;Ľ en el diagrama:

Tenemos que (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x203A;ź) = 95â&#x2C6;&#x2DC; y (đ?&#x2018;Ľ + 120â&#x2C6;&#x2DC; ) = 180â&#x2C6;&#x2DC; . Resolviendo la segunda ecuaci´on tenemos que đ?&#x2018;Ľ = 60â&#x2C6;&#x2DC; y sustituyendo en la primera: (60â&#x2C6;&#x2DC; ) + đ?&#x203A;ź = 95â&#x2C6;&#x2DC; . Finalmente, đ?&#x203A;ź = 35â&#x2C6;&#x2DC; . 75


7. Observe que el ´area del rect´agulo de la izquierda es 5 â&#x2C6;&#x2014; 8 = 40. Como el a´rea sombreada oscura es 31, el ´area de la intersecci´on entre ambos rect´angulos es 40 â&#x2C6;&#x2019; 31 = 9.

Ahora, el ´area del rect´angulo de la derecha es 10 â&#x2C6;&#x2014; 7 = 70, as´Ĺ que el ´area de la regi´on sombreada clara es 70 â&#x2C6;&#x2019; 9 = 61 unidades. 8. Para cualquier par de n´ umeros đ?&#x2018;&#x17D; y đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2013;Ąđ?&#x2018;? = (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?). El problema nos pide el valor de đ?&#x2018;Ľ, dado que 3â&#x2013;Ą4 = 2â&#x2013;Ąđ?&#x2018;Ľ. (3â&#x2013;Ą4) = [(3)(4) + 3 + 4] = 19, mientras que (2â&#x2013;Ąđ?&#x2018;Ľ) = (2đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ + 2). As´Ĺ que . 19 = (3đ?&#x2018;Ľ + 2) y resolviendo obtenemos que đ?&#x2018;Ľ = 17 3 9. Tomas escribe el d´Ĺgito â&#x20AC;&#x153;2â&#x20AC;? una vez para escribir los enteros del 1 al 10, 2 veces para escribir los enteros del 11 al 20, 10 veces para escribir los enteros del 21 al 30 y una vez para escribir cada uno de los siguientes: los enteros del 31 al 40, del 41 al 50, del 51 al 60, del 61 al 70, del 71 al 80, del 81 al 90 y del 91 al 100. Por lo tanto, escribi´o el d´Ĺgito â&#x20AC;&#x153;2â&#x20AC;? un total de (1 + 2 + 10 + 1(7)) = 20 veces. 10. Seg´ un el problema (đ?&#x2018;&#x2039;+đ?&#x2018;&#x152; )+8+2+4+6 = 5 y đ?&#x2018;&#x152; +4+6 = 3. Resolviendo 6 3 la primera ecuaci´on obtenemos (đ?&#x2018;&#x2039; + đ?&#x2018;&#x152; ) = 10, mientras que resolviendo la segunda đ?&#x2018;&#x152; = â&#x2C6;&#x2019;1. Sustituyendo este valor en (đ?&#x2018;&#x2039; + đ?&#x2018;&#x152; ) = 10, tenemos que đ?&#x2018;&#x2039; = 11. 11. Anita empez´o con el n´ umero 51379052. Como quiere obtener un n´ umero impar borrando 4 d´Ĺgitos, el n´ umero resultante no puede terminar en 0 ni en 2. Respetando estas restricciones, el n´ umero m´as pequeË&#x153; no que puede formar es 1305. 76


12. Observe que cada uno de los enteros ascendentes entre 4007 y 5007 tiene que ser de uno de los siguientes estilos: 456x, 457x, 458x, 467x, 468x o 478x. Es por esto que los u ´nicos enteros ascendentes entre 4007 y 5007 son: 4567, 4568, 4569, 4578, 4579, 4589, 4678, 4679, 4689 y 4789. Por lo tanto, hay un total de 10 enteros ascendentes entre 4007 y 5007. 13. Note que đ??´đ??ľ8 = (100đ??´ + 10đ??ľ + 8) y đ??´đ??ľ = 10đ??´ + đ??ľ. De acuerdo al problema, (296+(10đ??´+đ??ľ)) = (100đ??´+10đ??ľ +8). Esta ecuaci´on es equivalente a (90đ??´ + 9đ??ľ) = 288 y si factorizamos 9 en el lado izquierdo y luego dividimos por esta cantidad a ambos lados de la ecuaci´on: (10đ??´ + đ??ľ) = 32. Como đ??´ y đ??ľ son enteros tales que 1 â&#x2030;¤ đ??´ â&#x2030;¤ 9 y 0 â&#x2030;¤ đ??ľ â&#x2030;¤ 9, los u ´nicos valores que satisfacen esta u ´ltima expresi´on son đ??´ = 3 y đ??ľ = 2. El n´ umero đ??´đ??ľ es 32. 14. Mar´Ĺa borr´o los u ´ltimos dos d´Ĺgitos de un n´ umero de cuatro d´Ĺgitos umero original era y solamente se ve 86? ?. Como se sabe que el n´ divisible por cinco, tenemos que el u ´ltimo d´Ĺgito tiene que ser 0 o 5. Adem´as, como el n´ umero original era divisible por cuatro, tenemos que por reglas de divisibilidad (para que un n´ umero sea divisible por 4, sus u ´ltimos dos d´Ĺgitos tienen que ser 0 o divisibles por cuatro); el n´ umero tiene que terminar en: 00, 20, 40, 60 u 80. Tenemos entonces cinco candidatos: 8600, 8620, 8640, 8660 y 8680. De estos, el u ´nico que es divisible por tres es 8640. Como este n´ umero tambien es divisible por cuatro y cinco, este es el n´ umero original. 15. Sea đ?&#x2018;Ľ el lado vertical del rect´angulo que se dibuja en la hoja. Considere el siguiente diagrama:

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Podemos ver que las dimensiones de la hoja rectangular est´an dadas por ( 43 đ?&#x2018;Ľ + 3 + 3) y (đ?&#x2018;Ľ + 2 + 2). Para hallar el valor de đ?&#x2018;Ľ, note que el problema nos dice que el ´area del rect´angulo dibujado es 675 cm2 , as´Ĺ que (( 43 )đ?&#x2018;Ľ)(đ?&#x2018;Ľ) = 675. Resolviendo, tenemos que đ?&#x2018;Ľ2 = 900, as´Ĺ que đ?&#x2018;Ľ = 30 cm. Por lo tanto, las dimensiones de la hoja rectangular son (30( 34 ) + 3 + 3) = 28.5 cm y (đ?&#x2018;Ľ + 2 + 2) = (30 + 4) = 34 cm.

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COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2008-2009 EXAMEN NIVEL INTERMEDIO(7to a 9no grado) 1. Como cada uno de los cuadrados que se cortaron ten´Ĺa un per´Ĺmetro de 8 cm, uno de sus respectivos lados mide 84 = 2 cm. Considere el siguiente diagrama, en donde hemos inclu´Ĺdo las dimensiones de la cruz resultante:

El per´Ĺmetro de la cruz es igual a ((2 â&#x2C6;&#x2014; 8) + (11 â&#x2C6;&#x2014; 2) + (5 â&#x2C6;&#x2014; 2)) = 48 cm. 2. Note que como el elevador puede subir a 12 adultos o a 20 niË&#x153; nos, 20 tenemos que este sube 12 = 53 niË&#x153; nos por cada adulto. Ahora, queremos saber cuantos niË&#x153; nos puede subir con 9 adultos. Como faltan (12 â&#x2C6;&#x2019; 9) = 3 adultos para llegar al m´aximo, tenemos que el nos con los 9 adultos. elevador puede subir ( 53 ) â&#x2C6;&#x2014; 3 = 5 niË&#x153; 3. Los enteros entre 1 y 100 que contienen a 5 como factor son: 5, 5 â&#x2C6;&#x2014; 2 = 10, 5 â&#x2C6;&#x2014; 3 = 15, 5 â&#x2C6;&#x2014; 4 = 20, 52 = 25, 5 â&#x2C6;&#x2014; 6 = 30, 5 â&#x2C6;&#x2014; 7 = 35, 5 â&#x2C6;&#x2014; 8 = 40, 5 â&#x2C6;&#x2014; 9 = 45, 52 â&#x2C6;&#x2014; 2 = 50, 5 â&#x2C6;&#x2014; 11 = 55, 5 â&#x2C6;&#x2014; 12 = 60, 5 â&#x2C6;&#x2014; 13 = 65, 5 â&#x2C6;&#x2014; 14 = 70, 52 â&#x2C6;&#x2014; 3 = 75, 5 â&#x2C6;&#x2014; 16 = 80, 5 â&#x2C6;&#x2014; 17 = 85, 5 â&#x2C6;&#x2014; 18 = 90, 5 â&#x2C6;&#x2014; 19 = 95 y 52 â&#x2C6;&#x2014; 4 = 100. Por lo tanto, la mayor potencia de 5 que aparece en 100! es (1 â&#x2C6;&#x2014; 16) + (2 â&#x2C6;&#x2014; 4) = 24. 4. Note que ((120â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;ź) + 140â&#x2C6;&#x2DC; ) = 180â&#x2C6;&#x2DC; . Resolviendo, obtenemos que đ?&#x203A;ź = 80â&#x2C6;&#x2DC; . 5. De acuerdo al problema, đ?&#x2018;&#x20AC; = .3đ?&#x2018;&#x201E;, đ?&#x2018;&#x201E; = .2đ?&#x2018;&#x192; y đ?&#x2018; = .5đ?&#x2018;&#x192; . El ) 3 cociente đ?&#x2018;&#x20AC; = .3đ?&#x2018;&#x201E; = .3(.2đ?&#x2018;&#x192; = .06 = 25 . đ?&#x2018; .5đ?&#x2018;&#x192; .5đ?&#x2018;&#x192; .5 79


6. Buscando el m´Ĺnimo com´ un denominador de las respectivas sumas en la ecuaci´on (đ?&#x2018;&#x17D;+ 1đ?&#x2018;? ) = 13(đ?&#x2018;?+ đ?&#x2018;&#x17D;1 ) se obtiene la ecuaci´on equivalente đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?+1 = 13( đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?+1 ). Multiplicando por đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?+1 en ambos lados de la đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D; ecuaci´on (podemos hacerlo ya que, por las restricciones del problema, (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + 1 â&#x2C6;&#x2022;= 0)) llegamos a 13( đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? ) = 1. Tenemos entonces que 1 el cociente đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? = 13 , as´Ĺ que las parejas de enteros positivos (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) que satisfacen las condiciones son (13,1), (26,2), (39,3), (52,4), (65,5), (78,6) y (91,7). 7. Considere el siguiente diagrama en donde hemos trazado el segmento đ??ľđ??¸ (el cual es paralelo a đ??´đ??š y a đ??śđ??ˇ, respectivamente):

Observe que los paralelogramos đ??´đ??ľđ??¸đ??š y đ??śđ??ľđ??ˇđ??¸ son id´enticos. Adem´as, si trazamos las respectivas diagonales đ??ľđ??š y đ??ľđ??ˇ se forman 4 tri´angulos equil´ateros de lado 1:

Como el ´area de uno de estos tri´agulos equil´ateros es â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; (12 ) 3 a´rea del pol´Ĺgono đ??´đ??ľđ??śđ??ˇđ??¸đ??š es (4( 4 )) = 3.

â&#x2C6;&#x161; (12 ) 3 , 4

el

8. Note que đ?&#x2018;Ś = (3 â&#x2C6;&#x2019; 1) = 2 (Enriqueta tiene una hermana menos que las que tiene Enrique) y đ?&#x2018;§ = (5 + 1) = 6 (Enriqueta tiene un hermano mas que los que tiene Enrique). As´Ĺ, đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;§ = 6 â&#x2C6;&#x2014; 2 = 12. 9. Como el promedio de los 15 enteros positivos distintos es 13, la suma de estos es 15â&#x2C6;&#x2014;13 = 195. Escribamos los 13 enteros positivos mas pequeË&#x153; nos que pueden formar parte de la lista de 5 enteros: 80


1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 y 13. La suma de estos 13 n´ umeros es 91. Como 195 â&#x2C6;&#x2019; 91 es 104, considere las formas en que podemos expresar 104 como la suma de dos enteros positivos distintos: (53 + 51), (54 + 50), (55 + 49), . . . , (102 + 2) y (103 + 1). La forma de expresar 104 que nos sirve es (53 + 51), as´Ĺ que el valor m´aximo para el segundo entero positivo m´as grande es 51. 10. Sean đ?&#x2018;&#x2018;, đ?&#x2018;Ą, đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;? y đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;? la distancia total del trayecto, el tiempo que el ciclista recorre en su bicicleta, la velocidad del ciclista cuando va en bicicleta y la velocidad del ciclista cuando va caminando; ( 1 )đ?&#x2018;&#x2018; ( 2 )đ?&#x2018;&#x2018; y đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;? = 32đ?&#x2018;Ą = 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2018; . respectivamente. Tenemos que đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;Ą = 2đ?&#x2018;&#x2018; 3đ?&#x2018;Ą 2đ?&#x2018;&#x2018;

Por lo tanto, đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2018; = 2â&#x2C6;&#x2014;6 = 4. El ciclista anda 4 veces mas 3 6đ?&#x2018;Ą r´apido en bicicleta que cuando va a pie. 11. Como los d´Ĺgitos impares tienen que ocupar lugares impares, todo n´ umero que se forme tiene que ser del estilo o e o e o e o (en donde una â&#x20AC;&#x153;oâ&#x20AC;? representa que en ese espacio debe ir un n´ umero impar y una â&#x20AC;&#x153;eâ&#x20AC;? un n´ umero par). Tenemos entonces tres formas de acomodar los n´ umeros pares: 2 2 4 2 4 2 4 2 2 Por otro lado, existen 6 formas de acomodar los n´ umeros impares: 1 1 1 3 3 3

1 3 3 1 1 3

3 1 3 1 3 1

3 3 1 3 1 1

Por lo tanto, hay 3 â&#x2C6;&#x2014; 6 = 18 n´ umeros que se pueden formar. 12. Note que el producto (2009 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x20AC; ) = 2232 . . . 221999 (â&#x20AC;&#x153;. . . â&#x20AC;? representa 2002 d´Ĺgitos â&#x20AC;&#x153;2â&#x20AC;?, o sea, (2009 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x20AC; ) se representa escribiendo 81


dos d´Ĺgitos 2, seguido de un d´Ĺgito 3, 2005 d´Ĺgitos 2, un d´Ĺgito 1 y tres d´Ĺgitos 9). La suma de los d´Ĺgitos de (2009 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x20AC; ) es entonces ((1 â&#x2C6;&#x2014; 1) + (2 â&#x2C6;&#x2014; 2007) + (3 â&#x2C6;&#x2014; 1) + (9 â&#x2C6;&#x2014; 3)) = 4045. 13. En el peor de los casos puede suceder lo siguiente: hay 12 mujeres (cada una con un mes de nacimiento distinto) y 12 hombres (cada uno con un mes de nacimiento distinto). As´Ĺ que para garantizar que haya dos personas del mismo sexo que nacieron en el mismo mes, tiene que haber otra persona (no importa si es hombre o mujer, ni tampoco en que mes naci´o) en el teatro. Por lo tanto, se necesitan (12 + 12 + 1) = 25 personas. 14. Considere la ecuaci´on que nos da el problema: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?1 = 3(2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?). Esta ecuaci´on es equivalente a (1000đ?&#x2018;&#x17D;+100đ?&#x2018;?+10đ?&#x2018;?+1) = 3(2(1000)+ 100đ?&#x2018;&#x17D; + 10đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?) y si la manipulamos adecuadamente, llegamos a (100đ?&#x2018;&#x17D; + 10đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?) = 857. Los u ´nicos valores que satisfacen esta ecuaci´on son đ?&#x2018;&#x17D; = 8, đ?&#x2018;? = 5 y đ?&#x2018;? = 7. Por lo tanto, el u ´nico n´ umero que cumple con las condiciones del problema es 857. 15. Observe que 2828 = (22 â&#x2C6;&#x2014; 7)28 = (256 â&#x2C6;&#x2014; 728 ). Considere 256 y note que cada n´ umero de la forma 22đ?&#x2018;&#x203A; (en donde 2đ?&#x2018;&#x203A; es un entero tal que 0 â&#x2030;¤ (2đ?&#x2018;&#x203A;) â&#x2030;¤ 56) es un divisor de 256 que es un cuadrado perfecto. Existen 29 de estos divisores. Similarmente, todo n´ umero de la forma 72đ?&#x2018;&#x161; (0 â&#x2030;¤ (2đ?&#x2018;&#x161;) â&#x2030;¤ 28) ser´a un divisor de 728 que es un cuadrado perfecto. Hay 15 de estos divisores. Por lo tanto, el n´ umero de divisores de 2828 que son cuadrados perfectos es 29 â&#x2C6;&#x2014; 15 = 435.

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COMPETENCIA PREOL´IMPICA DE ´ MATEMATICAS Segunda Fase 2008-2009 EXAMEN NIVEL SUPERIOR (10mo a 12mo grado) 1. Sea đ?&#x2018;Ľ el n´ umero de hermanas que tiene Ana. Seg´ un el problema, Ana tiene el doble de hermanos que de hermanas, as´Ĺ que el n´ umero de hermanos que tiene Ana est´a dado por 2đ?&#x2018;Ľ (uno de estos 2đ?&#x2018;Ľ hermanos es Luis). Adem´as, Luis tiene el mismo n´ umero de hermanos que de hermanas, as´Ĺ que (2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) = (đ?&#x2018;Ľ + 1) (el lado izquierdo representa los hermanos de Luis: la misma cantidad de hermanos que Ana menos Luis, mientras que el lado derecho representa la cantidad de hermanas de Luis: la misma cantidad de hermanas que Ana mas una (Ana)). Resolviendo, tenemos que đ?&#x2018;Ľ = 2, as´Ĺ que Luis tiene (2 + 1) = 3 hermanas y 3 hermanos. 2. Sea đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? un entero positivo de dos d´Ĺgitos que es menor que el producto de sus d´Ĺgitos. Tenemos que (10đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) < đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?, de donde obtenemos đ?&#x2018;? < (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 10đ?&#x2018;&#x17D;) y, ďŹ nalmente; đ?&#x2018;? < đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 10). Note que đ?&#x2018;&#x17D; y đ?&#x2018;? son enteros positivos tales que 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;¤ 9 y 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;? â&#x2030;¤ 9. Por lo tanto, la expresi´on đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 10) siempre es negativa, por lo que la desigualdad đ?&#x2018;? < đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;10) nunca se cumple. No existe ning´ un n´ umero entero positivo de dos d´Ĺgitos que sea menor que el producto de estos. 3. Observe que la pareja de enteros (0,0) satisface las condiciones del problema. Sea (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) un par de enteros que tambi´en satisface las condiciones, esto es: (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś. Es f´acil ver que si uno de los enteros es 0, el otro tiene que serlo tambi´en, en otras palabras; llegar´Ĺamos al caso antes mencionado. Suponga entonces que đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2022;= 0 y đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2022;= 0. (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś implica que đ?&#x2018;Ľ = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś) y factorizando: đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1). Observe que si đ?&#x2018;Ľ = 1, tendr´Ĺamos 1 = 0, as´Ĺ que đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2022;= 1 y podemos dividir por (đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1) en ambos lados de la ecuaci´on: đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ . Note que đ?&#x2018;Ś es entero, pero ( đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 ) nunca lo es. Por lo đ?&#x2018;Ś = (đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1) tanto, aparte de (0,0), no hay mas parejas de n´ umeros â&#x20AC;&#x153;coolâ&#x20AC;?. 4. Recuerde que un n´ umero no es divisible por 3, si y s´olo si, es de la 83


forma 3đ?&#x2018;&#x2DC; Âą 1. Tambi´en, la suma de dos n´ umeros que no son divisibles por 3 es divisible por 3, si y s´olo si; uno es de la forma (3đ?&#x2018;&#x2122;+1) y el otro es de la forma (3đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1). Adem´as, ((3đ?&#x2018;&#x2DC; +1)+(3đ?&#x2018;&#x161;+1)) es de la forma (3đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1) y ((3đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1)+(3đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1)) es de la forma (3đ?&#x2018;&#x203A;+1) (podemos resumir esto diciendo que ((3đ?&#x2018;&#x2DC; Âą 1) + (3đ?&#x2018;&#x161; Âą 1)) = (3đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x201C; 1)). Suponga que empezamos escribiendo un n´ umero que es divisible por 3 en el c´Ĺrculo. A su derecha, tiene que ir un n´ uumero que no es divisible por 3 (si escribimos un m´ ultiplo de 3 a su derecha, la suma ser´Ĺa un m´ ultiplo de 3):

Note que ((3đ?&#x2018;&#x2122;) + (3đ?&#x2018;&#x2DC; Âą 1)) = (3đ?&#x2018;&#x2014; Âą 1). Como la suma de 3 n´ umeros consecutivos no puede ser divisible por 3, el pr´oximo n´ umero no puede ser de la forma (3đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2C6;&#x201C; 1). Tenemos dos casos a considerar:

(Nota: en el caso del diagrama de la derecha, tener (3đ?&#x2018;&#x2DC; Âą 1) al lado de (3đ?&#x2018;&#x161; Âą 1) signiďŹ ca que si el primer n´ umero es (3đ?&#x2018;&#x2DC; + 1), el que le sigue es (3đ?&#x2018;&#x161; + 1); mientras que si el primero es (3đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; 1) el que le sigue es (3đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; 1)).

En el caso del diagrama de la izquierda, el pr´oximo n´ umero no puede ser divisible por 3 ni tampoco de la forma (3đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x201C; 1) pues la suma de (3đ?&#x2018;&#x2DC; Âą 1), 3đ?&#x2018;&#x161; y (3đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x201C; 1) es divisible por 3. La u ´nica 84


opci´on es que sea de la forma (3đ?&#x2018;&#x203A; Âą 1) (es directo veriďŹ car que de esta forma se satisfacen las restricciones):

Para el caso del diagrama de la derecha, el pr´oximo n´ umero no puede ser de la forma (3đ?&#x2018;&#x203A; Âą 1) (la suma de 3 n´ umeros consecutivos ser´Ĺa divisible por 3) ni de la forma (3đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x201C;1) (la suma de 2 n´ umeros consecutivos ser´Ĺa divisible por 3). La u ´nica posibilidad para el pr´oximo n´ umero es que sea de la forma 3đ?&#x2018;&#x203A;:

Por argumentos similares, la u ´nica posibilidad para el u ´ltimo n´ umero en el caso del diagrama de la izquierda es que sea de la forma (3đ?&#x2018;&#x; Âą 1). Mientras que en el caso del diagrama de la derecha, la u ´nica posibilidad para el u ´ltimo n´ umero, es que tambi´en sea de la forma (3đ?&#x2018;&#x; Âą 1):

Hasta el momento, en todos los casos vistos, hay exactamente 2 n´ umeros divisibles por 3. Suponiendo que el primer n´ umero que se escribe no es divisible por 3 y realizando un an´alisis similar, se puede ver que en las posibilidades resultantes, tambi´en hay 2 n´ umeros que son divisibles por 3. 85


Como no hay ning´ un caso adicional a considerar, se concluye que si escribimos 5 n´ umeros en un c´Ĺrculo con las restricciones dadas, entonces exaxtamente 2 de estos tienen que ser divisibles por 3. 5. Considere la ecuaci´on original (9đ?&#x2018;&#x203A; + 9đ?&#x2018;&#x203A; + 9đ?&#x2018;&#x203A; = 32009 . Como 9đ?&#x2018;&#x203A; = 32đ?&#x2018;&#x203A; , esta es equivalente a 3(32đ?&#x2018;&#x203A; ) = 32009 . Tenemos que 2đ?&#x2018;&#x203A; = 2008, as´Ĺ que đ?&#x2018;&#x203A; = 1004. 6. Note que dado un conjunto de tres puntos, siempre se puede dibujar un tri´angulo de tal forma que los v´ertices caigan sobre estos, siempre y cuando los tres puntos no sean colineales. Por lo tanto, el problema se reduce a calcular las formas distintas en que puedo escoger 3 puntos del diagrama y restarle a esta cantidad 8 (correspondiente a las 8 formas en que puedo escoger 3 puntos de manera que sean colineales: las tres ďŹ las, las tres columnas y las dos diagonales). El n´ umero de( )formas distintas en que puedo escoger 3 9! = 9â&#x2C6;&#x2014;8â&#x2C6;&#x2014;7 = 84. Por lo tanto, el puntos est´a dado por 93 = 3!6! 3â&#x2C6;&#x2014;2 n´ umero de formas distintas en que se puede dibujar un tri´angulo de tal manera que los v´ertices caigan en tres de los puntos de la ďŹ gura es 84 â&#x2C6;&#x2019; 8 = 76. 7. En el peor de los casos, puede suceder lo siguiente: Juan saca la carta con el â&#x20AC;&#x153;1â&#x20AC;?, las dos cartas con el â&#x20AC;&#x153;2â&#x20AC;?, las tres cartas con el â&#x20AC;&#x153;3â&#x20AC;?,. . . , las 9 cartas con el â&#x20AC;&#x153;9â&#x20AC;?, 9 cartas con el â&#x20AC;&#x153;10â&#x20AC;&#x153;, 9 cartas con el â&#x20AC;&#x153;11â&#x20AC;?,. . . , 9 cartas con el â&#x20AC;&#x153;49â&#x20AC;? y 9 cartas con el â&#x20AC;&#x153;50â&#x20AC;?. Juan habr´Ĺa sacado (1+2+3+4+5+6+7+8+9(42)) = 414 cartas hasta ahora, as´Ĺ que para asegurar que tiene 10 cartas con el mismo n´ umero; tendr´Ĺa que sacar una adicional (esta tendr´Ĺa que ser una carta con cualquier entero entre 10 y 50, inclusive), en otras palabras, 415 en total. 8. Observe que â&#x2C6; đ??śđ??´đ?&#x2018;&#x201A; = 30â&#x2C6;&#x2DC; y â&#x2C6; đ??śđ??ľđ?&#x2018;&#x201A; = 120â&#x2C6;&#x2DC; . Considere el tri´angulo đ?&#x2018;&#x201A;đ??´đ??ś y note que como los segmentos đ?&#x2018;&#x201A;đ??ś y đ?&#x2018;&#x201A;đ??´ tienen la misma medida (estos son radios del c´Ĺrculo con centro đ?&#x2018;&#x201A;), los a´ngulos đ?&#x2018;&#x201A;đ??śđ??´ y đ??śđ??´đ?&#x2018;&#x201A; miden lo mismo, esto es; â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201A;đ??śđ??´ = 30â&#x2C6;&#x2DC; . Hasta el momento tenemos:

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Considere ahora el tri´angulo đ??śđ??ľđ?&#x2018;&#x201A; y note que â&#x2C6; đ??śđ?&#x2018;&#x201A;đ??ľ = 180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; (30â&#x2C6;&#x2DC; + 120â&#x2C6;&#x2DC; ) = 30â&#x2C6;&#x2DC; . Esto implica que la medida de los segmentos đ??ľđ?&#x2018;&#x201A; y đ??ľđ??ś son las mismas, por lo tanto, đ??ľđ??ś = 5. 9. Considere đ??¸(1) + đ??¸(2) + . . . + đ??¸(9) + đ??¸(10) = 2 + 4 + 6 + 8 = 20. Observe que si consideramos, por ejemplo, đ??¸(11) + . . . + đ??¸(20); la suma de los d´Ĺgitos de las unidades de los enteros del 11 al 20 es precisamente (2 + 4 + 6 + 8) = 20. Esto nos ayuda a simpliďŹ car los c´alculos: đ??¸(1) + . . . + đ??¸(10) = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 đ??¸(11) + . . . + đ??¸(20) = 2 + 20 = 22 đ??¸(21) + . . . + đ??¸(30) = 2(9) + 20 = 38 đ??¸(31) + . . . + đ??¸(40) = 4 + 20 = 24 đ??¸(41) + . . . + đ??¸(50) = 4(9) + 20 = 56 đ??¸(51) + . . . + đ??¸(60) = 6 + 20 = 26 đ??¸(61) + . . . + đ??¸(70) = 6(9) + 20 = 74 đ??¸(71) + . . . + đ??¸(80) = 8 + 20 = 28 đ??¸(81) + . . . + đ??¸(90) = 8(9) + 20 = 92 đ??¸(91) + . . . + đ??¸(100) = 20 La suma đ??¸(1) + đ??¸(2) + . . . + đ??¸(100) = 400. 10. Sean đ?&#x2018;&#x2122;, đ?&#x2018;¤ y â&#x201E;&#x17D; el largo, ancho y alto de la caja; respectivamente. Adem´as, sea đ?&#x2018;Ľ la medida de una de las diagonales del rect´angulo con lados de medida đ?&#x2018;&#x2122; y đ?&#x2018;¤:

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Seg´ un el problema, 4(đ?&#x2018;&#x2122; + đ?&#x2018;¤ + â&#x201E;&#x17D;) = 140, as´Ĺ que (đ?&#x2018;&#x2122; + đ?&#x2018;¤ + â&#x201E;&#x17D;) = 35. Note que el ´area total đ??´ de la caja es đ??´ = (2đ?&#x2018;&#x2122;â&#x201E;&#x17D; + 2đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;¤ + 2â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;¤). Por otro lado, (đ?&#x2018;&#x2122; + â&#x201E;&#x17D; + đ?&#x2018;¤)2 = (đ?&#x2018;&#x2122;2 + â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;¤2 + 2đ?&#x2018;&#x2122;â&#x201E;&#x17D; + 2đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;¤ + 2â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;¤) = 352 . En otras palabras, [đ??´ + (đ?&#x2018;&#x2122;2 + â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;¤2 )] = 352 . Para hallar el valor de (đ?&#x2018;&#x2122;2 + â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;¤2 ), aplicamos el Teorema de Pit´agoras en el tri´angulo rect´angulo con hipotenusa igual a 21 y catetos con medida đ?&#x2018;Ľ y â&#x201E;&#x17D;: (đ?&#x2018;Ľ2 + â&#x201E;&#x17D;2 ) = 212 . Pero note que (đ?&#x2018;&#x2122;2 + đ?&#x2018;¤2 ) = đ?&#x2018;Ľ2 (aplicando nuevamente el Teorema de Pit´agoras), as´Ĺ que sustituyendo, tenemos que ((đ?&#x2018;&#x2122;2 + đ?&#x2018;¤2 ) + â&#x201E;&#x17D;2 ) = 212 . Sustituyendo, a su vez, esta expresi´on en [đ??´ + (đ?&#x2018;&#x2122;2 + â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;¤2 )] = 352 ; tenemos đ??´ + 212 = 352 . As´Ĺ, đ??´ = 784. 11. Como â&#x2C6; đ??´đ??ľđ??ś = 160â&#x2C6;&#x2DC; , â&#x2C6; đ??ˇđ??ľđ??ś = â&#x2C6; đ??´đ??ľđ??ś â&#x2C6;&#x2019; 90 = 70â&#x2C6;&#x2DC; . Esto implica que â&#x2C6; đ??ľđ??śđ??ˇ = â&#x2C6; đ??ˇđ??ľđ??ś = 70â&#x2C6;&#x2DC; (đ??ľđ??śđ??ˇ es un tri´angulo is´osceles, los lados opuestos a â&#x2C6; đ??ľđ??śđ??ˇ y â&#x2C6; đ??ˇđ??ľđ??ś miden lo mismo), lo cual signiďŹ ca que â&#x2C6; đ??ľđ??ˇđ??ś = 180 â&#x2C6;&#x2019; 2(70) = 40â&#x2C6;&#x2DC; (suma de los ´angulos del tri´angulo đ??ľđ??śđ??ˇ es 180â&#x2C6;&#x2DC; ). Ahora, los segmentos đ??¸đ??ˇ, đ??ˇđ??ś y đ??ľđ??ˇ miden lo mismo:

Note que el tri´angulo đ??¸đ??ˇđ??ś es is´osceles tambi´en y â&#x2C6; đ??ˇđ??¸đ??ś = â&#x2C6; đ??ˇđ??śđ??¸ = 25â&#x2C6;&#x2DC; . Finalmente, â&#x2C6; đ??´đ??¸đ??ś = 90 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??ˇđ??¸đ??ś = 90 â&#x2C6;&#x2019; 25 = 65â&#x2C6;&#x2DC; . 88


12. Sea đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018; un n´ umero de cuatro cifras que satisface las condiciones. Tenemos que (đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2018;2 ) = 13 y como la u ´nica forma de expresar a 13 como la suma de dos cuadrados perfectos es (4 + 9), los u ´nicos posibles valores para đ?&#x2018;&#x17D; y đ?&#x2018;&#x2018; son: (đ?&#x2018;&#x17D; = 2 y đ?&#x2018;&#x2018; = 13) o (đ?&#x2018;&#x17D; = 3 y đ?&#x2018;&#x2018; = 2). Por otro lado, (đ?&#x2018;?2 + đ?&#x2018;?2 ) = 85, como las u ´nicas formas de expresar a 85 como la suma de dos cuadrados perfectos son (4 + 81) y (36 + 49); los posibles valores para đ?&#x2018;? y đ?&#x2018;? son: (đ?&#x2018;? = 2 y đ?&#x2018;? = 9), (đ?&#x2018;? = 9 y đ?&#x2018;? = 2), (đ?&#x2018;? = 6 y đ?&#x2018;? = 7) y (đ?&#x2018;? = 7 y đ?&#x2018;? = 6). Podemos formar un total de ocho n´ umeros: 2293, 2923, 3292, 3922, 2673, 2763, 3672 y 3762. De estos, el u ´nico que cumple la condici´on restante es 3762, pues (3762 â&#x2C6;&#x2019; 1089) = 2673. 13. Suponga que deseamos escribir un n´ umero par en la casilla correspondiente a la primera ďŹ la, primera columna. Respetando las condiciones del problema, la cuadr´Ĺcula ser´Ĺa del siguiente estilo: par impar par impar par impar par impar par Como solamente tenemos 4 n´ umeros pares, no podemos acomodar los n´ umeros del 1 al 9 de esta forma. Por otro lado, si queremos escribir un n´ umero impar en la casilla correspondiente a la primera ďŹ la, primera columna; la cuadr´Ĺcula tiene que ser del siguiente estilo: impar par impar par impar par impar par impar Considere las casillas con n´ umeros impares. Tenemos 5 opciones (1, 3, 5, 7 y 9) para llenar la casilla correspondiente a la primera ďŹ la, primera columna. Luego de escoger uno de estos n´ umeros para ocupar esta casilla, nos quedan 4 opciones para llenar la casilla correspondiente a la primera ďŹ la, tercera columna. Luego, 3 opciones para la casilla correspondiente a la segunda ďŹ la, segunda columna. 2 opciones para la tercera ďŹ la, primera columna. 89


Finalmente, 1 opci´on para llenar la casilla correspondiente a la tercera ďŹ la, tercera columna. Es decir, hay 5 â&#x2C6;&#x2014; 4 â&#x2C6;&#x2014; 3 â&#x2C6;&#x2014; 2 â&#x2C6;&#x2014; 1 = 120 formas de acomodar los n´ umeros impares. De manera similar, hay 4 â&#x2C6;&#x2014; 3 â&#x2C6;&#x2014; 2 â&#x2C6;&#x2014; 1 = 24 formas de acomodar los n´ umeros pares. Por lo tanto, existen 120 â&#x2C6;&#x2014; 24 = 2880 formas de llenar la cuadr´Ĺcula. 14. Sea đ?&#x2018;Ľ el n´ umero de piedras en la caja. Suponga que la persona que dijo 52 piedras fue la que se equivoc´o por 4. No sabemos si (52 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ) = 4 o (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 52) = 4. Sin embargo, si sabemos que (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 52)2 = 42 (no importa la paridad de (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 52), ya que (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 52)2 es positivo). Aprovechando este hecho, podemos construir la siguiente ecuaci´on:

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 52)2 + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 59)2 + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 62)2 + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 65)2 + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 49)2 + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 42)2 = 12 + 42 + 62 + 92 + 112 + 122 Expandiendo, combinando t´erminos semejantes y manipulando adecuadamente, obtenemos la ecuaci´on equivalente (6đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; 658đ?&#x2018;Ľ + 18020) = 0. Utilizando la Ecuaci´on Cuadr´atica, obtenemos dos . Como đ?&#x2018;Ľ tiene que ser un entero, soluciones: đ?&#x2018;Ľ1 = 53 y đ?&#x2018;Ľ2 = 380 12 el n´ umero de piedras que hab´Ĺa en la bolsa es 53. 15. Sumando las tres ecuaciones, tenemos que (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;§)(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;§) = (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;§)2 = (26 + 27 + 28) = 81. Como queremos aquellas ternas (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś, đ?&#x2018;§) compuestas de n´ umeros reales, positivos, la u ´nica posibilidad es que (đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ś +đ?&#x2018;§) = 9 (se descarta la posibilidad de que la suma sea â&#x2C6;&#x2019;9). El sistema de ecuaciones original nos quedar´Ĺa de la siguiente forma: 9đ?&#x2018;Ľ = 26, 9đ?&#x2018;Ś = 27 y 9đ?&#x2018;§ = 28. Tenemos que đ?&#x2018;Ľ = 26 , đ?&#x2018;Ś = 3 y đ?&#x2018;§ = 28 . Por lo tanto, s´olo existe una terna que 9 9 26 ). satisface el sistema: ( 9 , 3, 28 9

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´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2009 EXAMEN NIVEL ELEMENTAL(4to, 5to y 6to) 1. Con las botellas vac´Ĺas se llenaron 15 â&#x2C6;&#x2014; 6 = 80 vasos, mientras que con las botellas por la mitad se llenaron 5 â&#x2C6;&#x2014; 3 = 15 vasos. En total, se llenaron 80 + 15 = 95 vasos en la ďŹ esta. = 350 â&#x2C6;&#x2014; 24 = 8400 personas tienen estudios 2. Note que 35000â&#x2C6;&#x2014;24 100 universitarios completos en Westmaya. De estas 8400 personas = 1680 â&#x2C6;&#x2014; 2 = 3360 son mujeres. con estudios completos, 8400â&#x2C6;&#x2014;2 5 3. Observe los u ´ltimos n´ umeros de cada ďŹ la: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, etc. Note que la đ?&#x2018;&#x203A;-´esima ďŹ la termina en el n´ umero đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;&#x203A;+1) 2 (por ejemplo, la tercera ďŹ la termina en 3(4) = 6, la sexta ďŹ la 2 6(7) termina en 2 = 21, etc.). Considere đ?&#x2018;&#x203A; = 22: la ďŹ la n´ umero 22 22(23) termina en 2 = 253. Similarmente, la ďŹ la n´ umero 23 termina 23(24) en 2 = 276. Por lo tanto, 256 se encuentra en la ďŹ la 23. 4. Considere el siguiente diagrama:

Hemos colocado un punto en aquellos cubitos que tienen exactamente dos caras pintadas (3 de estos est´an ocultos en el diagrama). El total de estos cubitos es 3 + 9 = 12. 5. Marcos ley´o 22 p´aginas el primer d´Ĺa, al ďŹ nal del segundo hab´Ĺa le´Ĺdo (22 + (22 + 4)) = 48 p´aginas en total mientras que al ďŹ nal del tercero hab´Ĺa le´Ĺdo 48 + (22 + 4) = 74 p´aginas en total. A partir del cuarto d´Ĺa, Marcos lee 28 p´aginas por d´Ĺa. Observe que 74 + (6)(28) = (74 + 168) = 242, lo que signiďŹ ca que se tard´o 6 d´Ĺas adicionales al tercero para terminar el libro. Por lo tanto, Marcos se tard´o 9 d´Ĺas. 91


6. El per´Ĺmetro del rect´angulo đ??´đ??ľđ??śđ??¸ es igual a (2đ??śđ??¸ + 2đ??ľđ??ś) = 80. Como đ??śđ??¸ = 4đ??ľđ??ś, al sustituir, tenemos que (2(4đ??ľđ??ś) + 2đ??ľđ??ś) = 80. Tenemos que 10đ??ľđ??ś = 80, as´Ĺ que đ??ľđ??ś = 8, lo que implica que đ??śđ??¸ = 32. Ahora, el per´Ĺmetro del tri´angulo đ??śđ??ˇđ??¸ es (đ??śđ??¸ + 2đ??ˇđ??¸) = 86. Sustituyendo el valor de đ??śđ??¸ y despejando para đ??ˇđ??¸, = 27. Por u ´ltimo, el per´Ĺmetro tenemos que đ??ˇđ??¸ = đ??śđ??ˇ = 86â&#x2C6;&#x2019;32 2 de la ďŹ gura đ??´đ??ľđ??śđ??ˇđ??¸ es (đ??´đ??ľ + đ??ľđ??ś + đ??śđ??ˇ + đ??ˇđ??¸ + đ??¸đ??´), pero aprovechando el hecho que algunas de estas medidas son iguales a algunos de los valores que hemos encontrado, expresamos el per´Ĺmetro como (đ??śđ??¸ + 2đ??ľđ??ś + 2đ??ˇđ??¸) = (32 + 2(8) + 2(27)). Por lo tanto, el per´Ĺmetro de la ďŹ gura es 102 cm. 7. Para que el n´ umero 2009* sea divisible por 6, tiene que ser divisible por 2 y por 3. Esto signiďŹ ca que el n´ umero que reemplazar´a a * tiene que ser par (para que 2009* sea divisible por 2) y adem´as (2 + 9 + â&#x2C6;&#x2014;) tiene que ser divisible por 3 (de esta forma, 2009* es divisible por 3). El u ´nico n´ umero que cumple ambas condiciones es 4, as´Ĺ que el n´ umero era 20094. 8. El a´rea de cualquier cuadrado est´a dado por el cuadrado de la medida â&#x2C6;&#x161; cuadrado đ??´ â&#x2C6;&#x161; de un lado. Es por esto que un lado del mide 144 = 12 y un lado del cuadrado đ??ľ mide 81 = 9. Por otro lado, el a´rea de un tri´angulo rect´angulo est´a dado por la mitad del producto de sus catetos. Como uno de los catetos del tri´angulo rect´angulo đ??ś es un lado del cuadrado đ??´, tenemos que 1 (12)(đ?&#x2018;&#x2122;) = 102, en donde đ?&#x2018;&#x2122; es la medida del cateto restante del 2 tri´angulo đ??ś. Resolviendo, tenemos que đ?&#x2018;&#x2122; = 102 = 17. Considere 3 el siguiente diagrama:

El ´area del rect´angulo grande es 21(29) = 609 y, como el a´rea del pedazo que sobra es la diferencia entre el a´rea del rect´angulo 92


grande y la suma de las a´reas de los 2 cuadrados y el tri´angulo, tenemos que el ´area del pedazo que sobra es 609â&#x2C6;&#x2019;(144+81+102) = 282 cm2 . 9. Observe que 2520 = 23 â&#x2C6;&#x2014; 32 â&#x2C6;&#x2014; 5 â&#x2C6;&#x2014; 7. Nos falta un factor de 2, un factor de 5 y un factor de 7 para obtener un cuadrado perfecto, as´Ĺ que el n´ umero m´as pequeË&#x153; no que tenemos que multiplicar por 2520 para obtener un cuadrado perfecto es 2 â&#x2C6;&#x2014; 5 â&#x2C6;&#x2014; 7 = 70. 10. Tenemos que hallar la forma de dividir en đ?&#x2018;Ľ grupos iguales a 225 y a 105, respectivamente. Como 225 = 32 â&#x2C6;&#x2014; 52 y 105 = 3 â&#x2C6;&#x2014; 5 â&#x2C6;&#x2014; 7, đ?&#x2018;Ľ puede tomar el valor de 3, de 5 o de 15. Esto signiďŹ ca que podemos separarlos en 3 grupos de 75 niË&#x153; nos y 35 pelotas cada uno, en 5 grupos de 45 niË&#x153; nos y 21 pelotas cada uno o´ en 15 grupos de 15 niË&#x153; nos y 7 pelotas cada uno.

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´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2009 EXAMEN NIVEL INTERMEDIO (7mo, 8vo y 9no) 1. Sean đ?&#x2018;Ľ y đ?&#x2018;Ś el n´ umero total de pasajeros y el n´ umero total de asientos del tren; respectivamente. Como 47 de los pasajeros son extranjeros, 37 de los pasajeros son puertorriqueË&#x153; nos. Tenemos que ( 73 )đ?&#x2018;Ľ = 72, as´Ĺ que đ?&#x2018;Ľ = 168. De estos 168 pasajeros, (168â&#x2C6;&#x2019;72) = 96 son extranjeros y como estos ocupan 38 de los asientos; ( 38 )đ?&#x2018;Ś = 96. Resolviendo, obtenemos que đ?&#x2018;Ś = 256 asientos. 2. Sean đ?&#x2018;Ľ el n´ umero de d´Ĺas que le tom´o a Pedro leer el libro completo si lo lee a 6 p´aginas por d´Ĺa. El n´ umero de p´aginas del libro estar´Ĺa dado por (6(đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1)+3). Sea đ?&#x2018;Ś el n´ umero de d´Ĺas que le tom´o a Pedro leer el libro completo si lo lee a 7 p´aginas por d´Ĺa. Similarmente, el n´ umero de p´aginas del libro estar´Ĺa dado por (7(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 1) + 5). Tenemos (6(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) + 3) = (7(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 1) + 5) y si despejamos para . Como đ?&#x2018;Ľ y đ?&#x2018;Ś son enteros, tenemos que veriďŹ car que đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ľ = 7đ?&#x2018;Ś+1 6 valores de đ?&#x2018;Ś evaluados en la expresi´on producen un valor de đ?&#x2018;Ľ entero. Como 300 â&#x2030;¤ (7(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 1) + 5) â&#x2030;¤ 600, 44 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ś â&#x2030;¤ 86. Por inspecci´on, nos damos cuenta que los valores de đ?&#x2018;Ś para los cuales es entero son: đ?&#x2018;Ś = 47, đ?&#x2018;Ś = 53, đ?&#x2018;Ś = 59, đ?&#x2018;Ś = 65, đ?&#x2018;Ś = 71, đ?&#x2018;Ľ = 7đ?&#x2018;Ś+1 6 đ?&#x2018;Ś = 77 y đ?&#x2018;Ś = 83. Evaluando cada uno de estos valores en la expresi´on (7(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 1) + 5), nos damos cuenta que el libro podia tener 327, 369, 411, 453, 495, 537 o´ 579 p´aginas. 3. Como el tri´angulo đ??´đ??ľđ??¸ es equil´atero, đ??´đ??ľ = đ??´đ??¸ = đ??ľđ??¸ = đ??śđ??¸ (đ??ľđ??¸ = đ??śđ??¸ es dado por el problema). Considere el siguiente diagrama:

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Sean đ?&#x2018;Ľ y đ?&#x2018;Ś las medidas del segmento đ??´đ??ľ y la medida del segmento đ??ľđ??ś, respectivamente. Como el per´Ĺmetro del tri´angulo đ??ľđ??śđ??¸ es 28 cm y el per´Ĺmetro del tri´angulo đ??śđ??ˇđ??¸ es 26 cm, tenemos (2đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ś) = 28 y (2đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľ) = 26. Despejando para đ?&#x2018;Ś en la primera ecuaci´on, đ?&#x2018;Ś = (28 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ) y sustituyendo esta expresi´on en la segunda (2(28 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;Ľ) = 26. Resolviendo, đ?&#x2018;Ľ = 10 y, al sustituir este valor en la expresi´on que tenemos para đ?&#x2018;Ś, đ?&#x2018;Ś = 8. Ahora, como el per´Ĺmetro del pol´Ĺgono đ??´đ??ľđ??śđ??ˇđ??¸ es (2đ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Ś), este es (2(10) + 3(8)) = 44 cm. 4. Sean đ?&#x2018;&#x; y đ?&#x2018;  un n´ umero de tres d´Ĺgitos y su triple (el cual s´olo tiene d´Ĺgitos pares), respectivamente. Trataremos de minimizar đ?&#x2018;&#x;. Observe que como 3(200) = 600, đ?&#x2018;  no puede ser mayor que 600 y, m´as importante a´ un para nuestro an´alisis (como veremos a continuaci´on), đ?&#x2018;  no puede tener cuatro d´Ĺgitos. Todos los d´Ĺgitos de đ?&#x2018;  son pares y la suma de estos tiene que ser divisible por 3. Si la suma de los d´Ĺgitos de đ?&#x2018;  es 18, los candidatos para đ?&#x2018;  son: 882, 828, 288, 864, 846, 684, 648, 486, 468 y 666. Sin embargo, como đ?&#x2018;  es menor que 600, consideraremos de ahora en adelante a 288, 468 y 486. Si la suma de los d´Ĺgitos de đ?&#x2018;  es 12, los candidatos que consideraremos (aquellos menores que 600) son: 228, 246, 262, 282, 408, 444, 462 y 480. Finalmente, si la suma de los d´Ĺgitos de đ?&#x2018;  es 6, los candidatos son: 204, 222, 240, 402 y 420. En resumen, la lista completa de candidatos es: 204, 222, 228, 240, 246, 262, 282, = 96, 288, 402, 408, 420, 444, 462, 468, 480, 486. Sin embargo, 288 3 y como 3đ?&#x2018;  = đ?&#x2018;&#x; tiene 3 d´Ĺgitos, đ?&#x2018;  no puede ser 288 o menor. Como 402 = 104, đ?&#x2018;&#x; = 104. 3 5. Como los n´ umeros de cuatro cifras que buscamos son pares y mayores que 4500, cada uno tiene que ser de uno de los siguientes estilos: 48 2, 46 2, 48 6, 46 8, 6 4, 6 8, 6 2, 8 4, 8 6 y 8 2. Existen dos formas en que se pueden completar cada uno de los estilos a los que les falta un d´Ĺgito por escribir (por ejemplo, 48 2: 4812 y 4862), mientras que existen seis formas en que se pueden completar cada uno de los estilos a los que les faltan dos d´Ĺgitos por escribir (por ejemplo, 8 2: 8142, 8162, 8412, 8462, 8612 y 8642). Por lo tanto, se pueden formar (2(2) + 6(6)) = 40 n´ umeros.

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6. Considere el siguiente diagrama realizado con la informaci´on prove´Ĺda:

Hallemos las medidas de los lados del tri´angulo đ??´đ??ľđ??¸ para luego usar la F´ormula de Her´on para calcular su ´area. Primero, aplicando el Teorema de Pit´agoras en el tri´angulo đ??´đ??ľđ??ś hallamos que la medida de đ??ľđ??ś es 100. Como los per´Ĺmetros de los tri´angulos đ??´đ??śđ??¸ y đ??´đ??ľđ??¸ son iguales, (80 + đ??śđ??¸ + đ??´đ??¸) = (60 + đ??ľđ??¸ + đ??´đ??¸). Como đ??ľđ??¸ = (100 â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ??¸), esta ecuaci´on es equivalente a (80 + đ??śđ??¸ + đ??´đ??¸) = (60 + (100 â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ??¸) + đ??´đ??¸), de donde obtenemos que đ??śđ??¸ = 40; lo que a su vez implica que đ??ľđ??¸ = (100â&#x2C6;&#x2019;40) = 60. Para hallar la medida del segmento đ??´đ??¸, hallemos primero la medida de = đ??ˇđ??ś đ??´đ??ˇ. Como los tri´angulos đ??´đ??ľđ??ś y đ??ˇđ??¸đ??ś son similares, đ??ˇđ??¸ 60 80 y como đ??ˇđ??¸ = 24; đ??ˇđ??ś = 32. Ahora, como đ??´đ??ˇ = (80 â&#x2C6;&#x2019; đ??ˇđ??ś), đ??´đ??ˇ = 48. Aplicando el Teorema de Pit´agoras â&#x2C6;&#x161; en el tri´angulo đ??´đ??ˇđ??¸, (482 + 242 ) = đ??´đ??¸ 2 , o sea que đ??´đ??¸ = 24 5. Por lo tanto, đ??´đ??ľđ??¸ es un â&#x2C6;&#x161;tri´angulo con dos lados de medida igual a 60 cm y base igual a 24 5 cm. Aplicando la F´oâ&#x2C6;&#x161; rmula de Her´on tenemos que el â&#x2C6;&#x161; a´rea del tri´angulo đ??´đ??ľđ??¸ es igual a đ?&#x2018; (đ?&#x2018;  â&#x2C6;&#x2019; 60)(đ?&#x2018;  â&#x2C6;&#x2019; 60)(đ?&#x2018;  â&#x2C6;&#x2019; 24 5), â&#x2C6;&#x161;

5 en donde đ?&#x2018;  = 60+60+24 . Resolviendo la expresi´on, tenemos que 2 el a´rea del tri´angulo đ??´đ??ľđ??¸ es 1440 cm2 . Nota: otra forma de hallar el a´rea del tri´angulo đ??´đ??ľđ??¸ es hallando su altura y aplicando la f´ormula usual de a´rea de un tri´angulo.

7. Tenemos que hallar la forma de dividir en đ?&#x2018;Ľ grupos iguales a 225 y a 105, respectivamente. Como 225 = 32 â&#x2C6;&#x2014; 52 y 105 = 3 â&#x2C6;&#x2014; 5 â&#x2C6;&#x2014; 7, đ?&#x2018;Ľ puede tomar el valor de 3, de 5 o de 15. Esto signiďŹ ca que podemos separarlos en 3 grupos de 75 niË&#x153; nos y 35 pelotas cada uno, en 5 grupos de 45 niË&#x153; nos y 21 pelotas cada uno o´ en 15 grupos de 15 niË&#x153; nos y 7 pelotas cada uno. 96


8. Sea đ?&#x2018;Ľ el n´ umero que el estudiante multiplic´o por el n´ umero equivocado. De acuerdo al problema, (. . . 4)đ?&#x2018;Ľ = 600 y (. . . 1)đ?&#x2018;Ľ = 525. Restando las ecuaciones obtenemos la siguiente ecuaci´on: (. . . 4)đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (. . . 1)đ?&#x2018;Ľ = (. . . 4 â&#x2C6;&#x2019; . . . 1)đ?&#x2018;Ľ = 75. Como 75 = 52 â&#x2C6;&#x2014; 3 y (. . . 4 â&#x2C6;&#x2019; . . . 1) tiene que terminar en 3, (. . . 4 â&#x2C6;&#x2019; . . . 1) no puede tener como factor a 5. Esto signiďŹ ca que đ?&#x2018;Ľ = 25. Por lo tanto, el otro n´ umero que quer´Ĺa multiplicar originalmente por 25 era 600 = 24. 25 9. Multiplicando 25 por cada uno de los enteros positivos menores que 10, no encontramos ning´ un n´ umero que cumpla con las condiciones descritas en el problema. Investiguemos que sucede si suponemos que el n´ umero que buscamos lo podemos expresar como el producto de 25 y un n´ umero de dos d´Ĺgitos: 6đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? = 25(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?). Tenemos (6(100) + 10đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) = 25(10đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) y si expandimos y luego combinamos t´erminos semejantes: 24(10đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) = 600. Tenemos que (10đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) = 25, as´Ĺ que hemos encontrado el primer n´ umero que satisface las condiciones: 625. Suponga ahora que el n´ umero que buscamos se puede expresar como el producto de 25 y un n´ umero de tres d´Ĺgitos: 6đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 25(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?). Realizando un procedimiento similar, llegamos a 24(100đ?&#x2018;&#x17D;+ 10đ?&#x2018;?+đ?&#x2018;?) = 6000, de donde se obtiene (100đ?&#x2018;&#x17D;+10đ?&#x2018;?+đ?&#x2018;?) = 250. Hemos encontrado el segundo n´ umero: 6250. Siguiendo este patr´on, nos damos cuenta que la lista de n´ umeros que satisfacen las condiciones del problema son 625, 6250, 62500, 625000, etc. En otras palabras, todos los n´ umeros son de la forma 625(10đ?&#x2018;&#x203A; ), donde đ?&#x2018;&#x203A; es un entero no negativo. 10. Restando đ?&#x2018;Ś5 en ambos lados de la ecuaci´on y simpliďŹ cando, obte= (14 â&#x2C6;&#x2019; 10 ). Como đ?&#x2018;Ľ2 es entero, đ?&#x2018;Ś tiene que nemos đ?&#x2018;Ľ2 = 14đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;10 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ś dividir a 10. Esto implica que đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;1, đ?&#x2018;Ś = 1, đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;2, đ?&#x2018;Ś = 2, đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;5, đ?&#x2018;Ś = 5, đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;10 o´ đ?&#x2018;Ś = 10. Los casos đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;1, đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;2, đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;10, đ?&#x2018;Ś = 5 y đ?&#x2018;Ś = 10 producen, respectivamente, un valor no entero para đ?&#x2018;Ľ. Los otros casos producen las siguientes soluciones enteras (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś): (â&#x2C6;&#x2019;2, 1), (2, 1), (â&#x2C6;&#x2019;3, 2), (3, 2), (â&#x2C6;&#x2019;4, â&#x2C6;&#x2019;5) y (4, â&#x2C6;&#x2019;5).

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´ OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2009 EXAMEN NIVEL SUPERIOR (10mo, 11mo y 12mo) 1. Sean đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ą, y đ?&#x2018;  la cantidad de caramelos que Flora compr´o, la cantidad de caramelos que In´es vi´o y la cantidad de caramelos que Tom´as vi´o; respectivamente. De acuerdo a los datos del problema, ( 23 )đ?&#x2018;Ą = 48, ( 23 )đ?&#x2018;  = đ?&#x2018;Ą y ( 23 )đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018; . Resolviendo la primera ecuaci´on, tenemos que đ?&#x2018;Ą = 72 y si sustitu´Ĺmos en la segunda, obtenemos umero de caramelos que đ?&#x2018;  = 108. Como ( 23 )đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;  = 108, el n´ Flora compr´o fue đ?&#x2018;Ľ = 162. 2. Para simpliďŹ car el an´alisis, suponga sin p´erdida de generalidad, que las cajas se encuentran en el orden dado por el problema y ninguna cambia de posici´on: azul, blanca, celeste, negra, roja y verde. Como ninguna puede quedar vac´Ĺa, Ana tiene que colocar por lo menos una moneda en cada caja, por lo tanto; el problema se reduce encontrar las maneras distintas en que puede acomodar las 4 monedas restantes en las 6 cajas. Estudiemos los casos: a) Ana coloca las 4 monedas en una sola caja. Existen 6 formas de hacerlo (coloca las 4 monedas en la caja azul, coloca las 4 monedas en la caja blanca, etc.). () b) Ana coloca las 4 monedas en 2 cajas. Note que existen 62 = 6! = 15 formas de escoger 2 cajas. Para cada una de estas 15 2!4! formas de escoger 2 cajas, existen 3 posibles distribuciones para las 4 monedas: (1 moneda en la caja de la izquierda y 3 en la otra), (2 monedas en cada caja) y (3 monedas en la caja de la izquierda y 1 en la otra). Por lo tanto, hay 15 â&#x2C6;&#x2014; 3 = 45 maneras de acomodar 4 monedas en 2 cajas. () c) Ana coloca las monedas en 3 cajas. Existen 63 = 20 formas de escoger 3 cajas. Para cada una de estas formas, existen 3 posibles distribuciones: (1 moneda en la caja de la izquierda, 1 en la del medio, 2 en la de la derecha), (1 en la de la derecha, 2 en la del medio, 1 en la de la derecha) y (2 en la de la izquierda, 1 en la de medio, 1 en la de la derecha). Por lo tanto, hay 20 â&#x2C6;&#x2014; 3 = 60 maneras de acomodar 4 monedas en 3 cajas. () d) Ana coloca las 4 monedas en 4 cajas. Hay 64 = 15 formas 98


de escoger 4 cajas y solamente una distribuci´on posible para las monedas (1 en cada una de las 4 cajas). Existen entonces, 15 maneras de acomodar 4 monedas en 4 cajas. Finalmente, Ana puede acomodar las 10 monedas en (6 + 45 + 60 + 15) = 126 formas distintas. 3. Considere el siguiente diagrama:

Demostremos que el a´ngulo đ??śđ??źđ?&#x2018; es recto. Primero, observe que los tri´angulos đ?&#x2018;&#x20AC; đ??ľđ??ś y đ?&#x2018; đ??śđ??ˇ son congruentes y sea đ?&#x2018;Ľ la medida del ´angulo đ?&#x2018;&#x20AC; đ??śđ??ľ (esta medida es igual a la del a´ngulo đ?&#x2018; đ??ˇđ??ś). Tenemos que la medida del a´ngulo đ??ˇđ??śđ??ź es (90 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ):

Esto implica que los ´angulos đ??ˇđ??źđ??ś y đ??śđ??źđ?&#x2018; son rectos. Ahora, como las medidas de los a´ngulos đ??źđ??śđ?&#x2018; y đ?&#x2018;&#x20AC; đ??śđ??ľ son iguales y como los ´angulos đ?&#x2018;&#x20AC; đ??ľđ??ś y đ??śđ??źđ?&#x2018; son rectos, las medidas de los a´ngulos đ??śđ?&#x2018; đ??ź y đ??śđ?&#x2018;&#x20AC; đ??ľ son iguales. Todo esto signiďŹ ca que los tri´angulos đ?&#x2018;&#x20AC; đ??ľđ??ś y đ?&#x2018; đ??źđ??ś son similares. Usaremos este hecho para hallar las medidas de los catetos de đ??źđ?&#x2018; đ??ś y as´Ĺ calcular đ?&#x2018; đ??ś đ??śđ??ź su ´area. Tenemos que đ?&#x2018;&#x20AC; = đ??śđ??ľ , con (đ?&#x2018;&#x20AC; đ??ľ 2 + đ??ľđ??ś 2 ) = đ?&#x2018;&#x20AC; đ??ś 2 đ??ś (aplicando Teorema de Pit´agoras en el tri´angulo đ?&#x2018;&#x20AC; đ??ľđ??ś). Resolviendo la â&#x2C6;&#x161; u ´ltima ecuaci´on , tenemos (.52 + 12 ) = đ?&#x2018;&#x20AC; đ??ś 2 , as´Ĺ đ?&#x2018; đ??ś đ??śđ??ź que đ?&#x2018;&#x20AC; đ??ś = 1.25. Sustituyendo este valor en đ?&#x2018;&#x20AC; = đ??śđ??ľ y ređ??ś (.5)â&#x2C6;&#x2014;1 đ?&#x2018; đ??śâ&#x2C6;&#x2014;đ??śđ??ľ solviendo, obtenemos đ??śđ??ź = đ?&#x2018;&#x20AC; đ??ś = â&#x2C6;&#x161;1.25 . Para hallar la međ??źđ?&#x2018; đ?&#x2018; đ??ś dida del cateto đ??źđ?&#x2018; , considere đ??ľđ?&#x2018;&#x20AC; =đ?&#x2018;&#x20AC; , de donde obtenemos que đ??ś 99


â&#x2C6;&#x161; đ??źđ?&#x2018; = (.5)â&#x2C6;&#x2014;(.5) = â&#x2C6;&#x161;.25 . Finalmente, el ´area del tri´angulo đ??źđ?&#x2018; đ??ś es 1.25 1.25 1 .5 igual a [( 2 )(đ??źđ?&#x2018; )(đ??źđ??ś)] = ( 12 )( â&#x2C6;&#x161;.25 )( â&#x2C6;&#x161;1.25 ) = .05 cm2 . 1.25

4. Es f´acil determinar por inspecci´on que el n´ umero m´Ĺnimo de saltos necesarios para realizar un recorrido que cumpla con las reglas es 3, mientras que el n´ umero m´aximo de saltos es 7. Los recorridos que consisten de exactamente 3 saltos son: 1-2-4-14 (el grillo salta del poste 1 al 2, del poste 2 al 4 y, ďŹ nalmente, del poste 4 al 14), 1-26-14, 1-2-8-14, 1-2-10-14, 1-2-12-14, 1-3-6-14, 1-3-12-14, 1-4-6-14, 1-4-8-14, 1-4-10-14, 1-4-12-14, 1-5-10-14, 1-6-8-14, 1-6-10-14, 1-612-14, 1-8-10-14, 1-8-12-14, 1-9-12-14 y 1-10-12-14. Los recorridos que consisten de exactamente 4 saltos son: 1-2-4-6-14, 1-2-4-814, 1-2-4-10-14, 1-2-4-12-14, 1-2-6-8-14, 1-2-6-10-14, 1-2-6-12-14, 1-2-8-10-14, 1-2-8-12-14, 1-2-10-12-14, 1-3-6-8-14, 1-3-6-10-14, 13-6-12-14, 1-3-9-12-14, 1-4-6-8-14, 1-4-6-10-14, 1-4-6-12-14, 1-48-10-14, 1-4-8-12-14, 1-4-10-12-14, 1-5-10-12-14, 1-6-8-10-14, 1-68-12-14, 1-6-9-12-14, 1-6-10-12-14 y 1-8-10-12-14. Los recorridos que consisten de exactamente 5 saltos son: 1-2-4-6-8-14, 1-2-4-610-14, 1-2-4-6-12-14, 1-2-4-8-10-14, 1-2-4-8-12-14, 1-2-4-10-12-14, 1-2-6-8-10-14, 1-2-6-8-12-14, 1-2-6-9-12-14, 1-2-6-10-12-14, 1-2-810-12-14, 1-3-6-8-10-14, 1-3-6-8-12-14, 1-3-6-10-12-14, 1-3-6-9-1214, 1-4-6-8-10-14, 1-4-6-8-12-14, 1-4-6-9-12-14, 1-4-6-10-12-14, 14-8-10-12-14 y 1-6-8-10-12-14. Los recorridos que consisten de exactamente 6 saltos son: 1-2-4-6-8-10-14, 1-2-4-6-8-12-14, 1-24-6-9-12-14, 1-2-4-6-10-12-14, 1-2-4-8-10-12-14, 1-2-6-8-10-12-14, 1-3-6-8-10-12-14 y 1-4-6-8-10-12-14. Finalmente, existe solamente un recorrido que consiste de exactamente 7 saltos: 1-2-4-6-8-1012-14. Tenemos entonces que existen 75 recorridos que satisfacen las reglas. 5. Note que toda potencia positiva de 1, 5 y 6 termina en 1, 5 y 6; respectivamente. Por lo tanto, 12009 termina en 1, 52009 termina en 5 y 62009 termina en 6. Adem´as, toda potencia positiva de 2 de la forma 24â&#x2C6;&#x2014;đ?&#x2018;&#x203A; termina en 6. Por lo tanto, 22009 = 2(24â&#x2C6;&#x2014;1004 ) termina en 2 y 42009 = 24018 = 22 (24â&#x2C6;&#x2014;1004 ) termina en 4. Similarmente, toda potencia positiva de 3 de la forma 34â&#x2C6;&#x2014;đ?&#x2018;&#x161; termina en 1, as´Ĺ que 32009 = 3(34â&#x2C6;&#x2014;1004 ) termina en 3. Como (1 + 5 + 6 + 2 + 4 + 3) = 21, (12009 + 22009 + 32009 + 42009 + 52009 + 62009 ) termina en 1. 100


6. El problema se reduce a encontrar los n´ umeros đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? que sean divisibles por 37 y luego inspeccionar cuales n´ umeros de la forma 37đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? satisfacen las condiciones deseadas. 37 divide a 000, 074, 111, 148, 185, 222, 259, 296, 333, 370, 407, 444, 481, 518, 555, 592, 629, 666, 703, 740, 777, 814, 851, 888, 925, 962 y 999. Observe que para cada uno de los 27 n´ umeros đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? de la lista, se tiene que umeros de la 37 divide a đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D; y a đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?. Por lo tanto, existen 27 n´ forma 37đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? que satisfacen las condiciones del problema. 7. Note que 91 = (1 â&#x2C6;&#x2014; 91) = (â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019;91) = (7 â&#x2C6;&#x2014; 13) = (â&#x2C6;&#x2019;7 â&#x2C6;&#x2014; (â&#x2C6;&#x2019;13)). Como (đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś 3 ) = 91, sabemos que: â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ľ ni đ?&#x2018;Ś pueden ser 0. â&#x2C6;&#x2122; Si đ?&#x2018;Ľ y đ?&#x2018;Ś son positivos, đ?&#x2018;Ľ > đ?&#x2018;Ś. â&#x2C6;&#x2122; Si đ?&#x2018;Ľ y đ?&#x2018;Ś son negativos, đ?&#x2018;Ľ > đ?&#x2018;Ś. â&#x2C6;&#x2122; En el caso de que uno sea positivo y otro negativo, necesariamente se tiene que đ?&#x2018;Ľ es el positivo y đ?&#x2018;Ś es el negativo. Todo esto implica que (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś) es positivo y como (đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś 3 = (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś)(đ?&#x2018;Ľ2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ś 2 ) = 91, ((đ?&#x2018;Ľ2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ś 2 ) tiene que ser positivo tambi´en. Es por esto que las u ´nicas factorizaciones a considerar son (1 â&#x2C6;&#x2014; 91) y (7 â&#x2C6;&#x2014; 13). Considere el caso en que (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś) = 1 y (đ?&#x2018;Ľ2 +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś +đ?&#x2018;Ś 2 ) = 91: tenemos que đ?&#x2018;Ľ = (đ?&#x2018;Ś +1) y sustituyendo y simpliďŹ cando en la segunda ecuaci´on nos queda que (đ?&#x2018;Ś 2 + đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 30) = 0. Aplicando la F´ormula Cuadr´atica, tenemos que đ?&#x2018;Ś = 5 ´o đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;6. Por lo tanto, este caso produce las siguientes soluciones enteras (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś): (6, 5) y (â&#x2C6;&#x2019;5, â&#x2C6;&#x2019;6). Realizando procedimientos similares en los 3 casos adicionales: Casos Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś) 1 91 7 13

(đ?&#x2018;Ľ2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ś 2 ) 91 1 13 7

Soluciones (6, 5),(â&#x2C6;&#x2019;5, â&#x2C6;&#x2019;6) No hay soluciones reales (4, â&#x2C6;&#x2019;3),(3, â&#x2C6;&#x2019;4) No hay soluciones reales

8. Las desigualdades dadas son: 5â&#x2030;¤đ?&#x2018;?<đ?&#x2018;&#x17E;<đ?&#x2018;&#x; 2đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;2 â&#x2030;Ľ 49 2đ?&#x2018;&#x17E; 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;2 â&#x2030;¤ 193 101


Considere 2đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;2 â&#x2030;Ľ 49. Inspeccionaremos los valores de la diferencia (2đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;2 ) en donde đ?&#x2018;? y đ?&#x2018;&#x17E; son primos tales que existe un u ´nico primo đ?&#x2018;&#x17E; entre medio de estos: p 5 7 11 13 17

r 2đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;2 11 â&#x2C6;&#x2019;71 13 â&#x2C6;&#x2019;71 17 â&#x2C6;&#x2019;47 19 â&#x2C6;&#x2019;23 23 49

Observe que (2(19)2 â&#x2C6;&#x2019; 232 ) = 193 â&#x2030;¤ 193, as´Ĺ que đ?&#x2018;? = 17, đ?&#x2018;&#x17E; = 19 y đ?&#x2018;&#x; = 23. 9. Sea đ?&#x203A;˝ la medida del ´angulo đ??śđ??´đ??ˇ, đ?&#x203A;ź la medida del ´angulo đ??´đ??śđ??ľ y đ?&#x203A;ż la medida del a´ngulo đ??ľđ??śđ??´. Considere el diagrama realizado con la informaci´on dada por el problema:

Note que como đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ es un cuadril´atero c´Ĺclico, cada par de tri´angulos opuestos son similares, as´Ĺ que â&#x2013;łđ??´đ?&#x2018;&#x201E;đ??ˇ â&#x2C6;ź â&#x2013;łđ??ľđ?&#x2018;&#x201E;đ??ś y â&#x2013;łđ??´đ?&#x2018;&#x201E;đ??ľ â&#x2C6;ź â&#x2013;łđ??ˇđ?&#x2018;&#x201E;đ??ś. Tambi´en, observe que â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x192; đ??ľđ??´ = â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś y â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x192; đ??´đ??ľ = â&#x2C6; đ??ľđ??śđ??ˇ ya que en un cuadril´atero c´Ĺclico cada a´ngulo exterior mide lo mismo que su respectivo a´ngulo interior opuesto. Esta informaci´on nos ayuda a concluir que â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś = (â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;đ??ˇđ??ś + â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ?&#x2018;&#x201E;) = â&#x2C6; đ??´đ?&#x2018;&#x192; đ??ľ = (180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x192; đ??´đ??ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś) (la primera igualdad se obtiene al considerar el cuadril´atero đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ, la segunda se obtiene al considerar el tri´angulo is´osceles đ?&#x2018;&#x192; đ??ˇđ??ś y la u ´ltima 102


se obtiene al considerar el tri´angulo đ??´đ?&#x2018;&#x192; đ??ľ y utilizando el hecho que â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x192; đ??ľđ??´ = â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś). Igualando la primera y u ´ltima expresi´on, â&#x2C6;&#x2DC; tenemos que â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś = (180 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x192; đ??´đ??ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś), de donde se â&#x2C6;&#x2DC; đ??´đ??ľ obtiene que â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś = 180 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x192; . 2 Por otro lado, â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;đ??śđ??ˇ = â&#x2C6; đ??śđ?&#x2018;&#x201E;đ??ˇ = (180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;đ??ˇđ??ś â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;đ??śđ??ˇ) (ambas igualdades se obtienen al considerar el tri´angulo is´osceles đ?&#x2018;&#x201E;đ??śđ??ˇ). Igualando la primera y u ´ltima expresi´on, obtenemos que 180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;đ??ˇđ??ś . â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;đ??śđ??ˇ = 2 Ahora, considere el tri´angulo đ??ľđ??ˇđ??ś y note que â&#x2C6; đ??ˇđ??ľđ??ś = (180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??ľđ??ˇđ??ś â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??ľđ??śđ??ˇ). Por otro lado, â&#x2C6; đ??śđ??´đ??ˇ = (180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??´đ??śđ??ˇ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś). Como â&#x2C6; đ??śđ??´đ??ˇ = â&#x2C6; đ??ˇđ??ľđ??ś (recordar que los tri´angulos đ??´đ??ˇđ?&#x2018;&#x201E; y đ??ľđ?&#x2018;&#x201E;đ??ś son similares), â&#x2C6; đ??śđ??´đ??ˇ = (180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6; đ??´đ??śđ??ˇâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś) = (180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??ľđ??ˇđ??ś â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??ľđ??śđ??ˇ). Como â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;đ??śđ??ˇ = â&#x2C6; đ??´đ??śđ??ˇ, â&#x2C6; đ??śđ??´đ??ˇ = (180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;đ??śđ??ˇ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś) = (180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??ľđ??ˇđ??ś â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??ľđ??śđ??ˇ). Sustituyendo las expresiones que hab´Ĺamos encontrado para â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;đ??śđ??ˇ y â&#x2C6; đ??´đ??ˇđ??ś, tenemos que: â&#x2C6;&#x2DC; đ??´đ??ľ ) â&#x2C6;&#x2019; ( 180 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x192; )) = (180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??ľđ??ˇđ??ś â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??śđ??´đ??ˇ = (180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; ( 180â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;đ??ˇđ??ś 2 2 â&#x2C6; đ??ľđ??śđ??ˇ). A su vez, â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;đ??ˇđ??ś = â&#x2C6; đ??ľđ??ˇđ??ś y â&#x2C6; đ?&#x2018;&#x192; đ??´đ??ľ = â&#x2C6; đ??ľđ??śđ??ˇ, as´Ĺ que â&#x2C6; đ??śđ??´đ??ˇ = â&#x2C6;&#x2DC; ) â&#x2C6;&#x2019; ( 180 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6; đ??ľđ??śđ??ˇ )) = (180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??ľđ??ˇđ??ś â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??ľđ??śđ??ˇ). (180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; ( 180â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6; đ??ľđ??ˇđ??ś 2 2 Manipulando adecuadamente la segunda igualdad, llegamos a que (â&#x2C6; đ??ľđ??ˇđ??ś + â&#x2C6; đ??ľđ??śđ??ˇ) = 120â&#x2C6;&#x2DC; . Finalmente, como â&#x2C6; đ??śđ??´đ??ˇ = (180â&#x2C6;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??ľđ??ˇđ??ś â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6; đ??ľđ??śđ??ˇ), â&#x2C6; đ??śđ??´đ??ˇ = 60â&#x2C6;&#x2DC; . 10. Sea đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; la cantidad de dulces que recibi´o el estudiante sentado en la i-´esima silla. Seg´ un el problema (đ?&#x2018;Ľ1 + đ?&#x2018;Ľ2 + . . . + đ?&#x2018;Ľ19 + đ?&#x2018;Ľ20 ) = 800, adem´as: đ?&#x2018;Ľ1 đ?&#x2018;Ľ1 +2(1)â&#x2C6;&#x2019;1

=

đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ľ2 +2(2)â&#x2C6;&#x2019;1

= ... =

đ?&#x2018;Ľ19 đ?&#x2018;Ľ19 +2(19)â&#x2C6;&#x2019;1

= ... =

đ?&#x2018;Ľ19 đ?&#x2018;Ľ19 +37

=

đ?&#x2018;Ľ20 đ?&#x2018;Ľ20 +2(20)â&#x2C6;&#x2019;1

SimpliďŹ cando: đ?&#x2018;Ľ1 đ?&#x2018;Ľ1 +1

=

đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ľ2 +3

=

đ?&#x2018;Ľ20 đ?&#x2018;Ľ20 +39

Considere el siguiente sistema de ecuaciones que se obtiene de esta u ´ltima expresi´on: 103


đ?&#x2018;Ľ1 đ?&#x2018;Ľ1 +1 đ?&#x2018;Ľ1 đ?&#x2018;Ľ1 +1

đ?&#x2018;Ľ1 đ?&#x2018;Ľ1 +1 đ?&#x2018;Ľ1 đ?&#x2018;Ľ1 +1

2 = đ?&#x2018;Ľ2đ?&#x2018;Ľ+3 đ?&#x2018;Ľ3 = đ?&#x2018;Ľ3 +5 . . . = đ?&#x2018;Ľ19đ?&#x2018;Ľ19 +37 = đ?&#x2018;Ľ20đ?&#x2018;Ľ20 +39

Despejando adecuadamente en cada una de las ecuaciones del sistema: 3đ?&#x2018;Ľ1 = đ?&#x2018;Ľ2 5đ?&#x2018;Ľ1 = đ?&#x2018;Ľ3 . . . 37đ?&#x2018;Ľ1 = đ?&#x2018;Ľ19 39đ?&#x2018;Ľ1 = đ?&#x2018;Ľ20 Sustituyendo estos valores en (đ?&#x2018;Ľ1 + đ?&#x2018;Ľ2 + . . . + đ?&#x2018;Ľ19 + đ?&#x2018;Ľ20 ) = 800 y simpliďŹ cando, tenemos que 400đ?&#x2018;Ľ1 = 800, as´Ĺ que đ?&#x2018;Ľ1 = 2. Como 23đ?&#x2018;Ľ1 = đ?&#x2018;Ľ12 , đ?&#x2018;Ľ12 = 46.

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´ OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DE PUERTO RICO ´ 2009 EXAMEN DE SELECCION 1. Suponga que en la ďŹ esta hay 3 personas: la primera persona le da la mano a la segunda y tercera, mientras que la segunda le da la mano a la tercera (1 + 2 = 3 dadas de mano). Si hay 4 personas: la primera persona le da la mano a la segunda, tercera y cuarta; la segunda persona le da la mano a la tercera y cuarta, mientras que la tercera le da la mano a la cuarta (1 + 2 + 3 = 6 dadas de mano). Siguiendo este patr´on, nos damos cuenta que si en la ďŹ esta hay đ?&#x2018;Ą personas, el n´ umero de dadas de mano est´a dado por la suma de los primeros (đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 1) enteros positivos; o sea, (đ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;1)(đ?&#x2018;Ą) . Tenemos entonces que (đ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;1)(đ?&#x2018;Ą) = 28, de donde se obtiene 2 2 2 (đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 56) = 0. Aplicando la F´ormula Cuadr´atica, đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2019;7 (soluci´on que se descarta) o´ đ?&#x2018;Ą = 8, as´Ĺ que hab´Ĺa 8 personas en la ďŹ esta. 2. Sea đ?&#x2018;Ś tal que đ?&#x2018;Ś 2 = đ?&#x2018; . Como đ?&#x2018; tiene, por lo menos, tres d´Ĺgitos; đ?&#x2018;Ś tiene por lo menos dos. Suponga que đ?&#x2018;Ś tiene exactamente dos d´Ĺgitos, o sea, đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? = (10đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?). đ?&#x2018;Ś 2 = (10đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?)(10đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) = (100đ?&#x2018;&#x17D;2 + 20đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?2 ) = đ?&#x2018; . Como đ?&#x2018; es un cuadrado perfecto que termina en 5 (. . . đ?&#x2018;Ľ25), đ?&#x2018;? = 5. Tenemos đ?&#x2018; = (100đ?&#x2018;&#x17D;2 + 100đ?&#x2018;&#x17D; + 25) = . . . đ?&#x2018;Ľ25. Por inspecci´on, encontramos que đ?&#x2018;Ľ = 0 para đ?&#x2018;&#x17D; = 4,5,9; đ?&#x2018;Ľ = 2 para đ?&#x2018;&#x17D; = 1,3,6,8; y đ?&#x2018;Ľ = 6 para đ?&#x2018;&#x17D; = 2,7. Suponga ahora que đ?&#x2018;Ś tiene exactamente tres d´Ĺgitos: đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = (100đ?&#x2018;&#x17D; + 10đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?). Note que đ?&#x2018;Ś 2 = (100đ?&#x2018;&#x17D; + 10đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?)(100đ?&#x2018;&#x17D; + 10đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?) = (104 đ?&#x2018;&#x17D; + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?(103 ) + (2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?)(100) + 100đ?&#x2018;?2 + (2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?)10 + đ?&#x2018;?2 ). Note que como estamos interesados en los u ´ltimos tres d´Ĺgitos de đ?&#x2018; , 4 podemos ignorar los t´erminos 10 đ?&#x2018;&#x17D; y (2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?)(103 ) (estos no afectan los u ´ltimos 3 d´Ĺgitos de đ?&#x2018; ). Estudiemos el comportamiento de [(2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?)(100)+100đ?&#x2018;?2 +(2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?)(10)+đ?&#x2018;?2 )]. Agrupando t´erminos, tenemos [100(đ?&#x2018;?2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?) + 10(2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) + đ?&#x2018;?2 ]. Observe que đ?&#x2018;?2 determina el u ´ltimo d´Ĺgito de đ?&#x2018; (el cual es 5), as´Ĺ que đ?&#x2018;? = 5. Sustituyendo, la expresi´on toma la forma [100(đ?&#x2018;?2 + 10đ?&#x2018;&#x17D;) + 10(10)đ?&#x2018;? + 25] = [(100đ?&#x2018;?2 + 1000đ?&#x2018;&#x17D;) + 100đ?&#x2018;? + 25]. Nuevamente, como (1000đ?&#x2018;&#x17D;) no afecta ninguno de los 105


u ´ltimos tres d´Ĺgitos de đ?&#x2018; , podemos ignorar este t´ermino. Al hacer esto, tendr´Ĺamos que estudiar el comportamiento de (100đ?&#x2018;?2 +100đ?&#x2018;?+ 25), pero en el caso anterior nos qued´o una expresi´on id´entica as´Ĺ que para 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;? â&#x2030;¤ 9 no encontramos nuevos valores de đ?&#x2018;Ľ. Si đ?&#x2018;? = 0 (en el caso anterior, la variable a considerar no pod´Ĺa tomar este valor, as´Ĺ que tenemos que inspeccionar este caso), (100(0) + 100(0) + 25) = 25, as´Ĺ que đ?&#x2018;Ľ = 0 (no se obtienen nuevos valores para đ?&#x2018;Ľ). Para los casos en donde đ?&#x2018;Ś tiene mas de tres d´Ĺgitos, al realizar un an´alisis similar y eliminar aquellos t´erminos que no afectan ninguno de los u ´ltimos tres d´Ĺgitos de đ?&#x2018; , el polinomio a estudiar ser´Ĺa el mismo: (100đ?&#x2018;Ą2 + 100đ?&#x2018;Ą + 25). Por lo tanto, hay exactamente tres valores de đ?&#x2018;Ľ que hacen que đ?&#x2018; sea el cuadrado de un entero: đ?&#x2018;Ľ = 0, đ?&#x2018;Ľ = 2 y đ?&#x2018;Ľ = 6. 3. Considere el siguiente diagrama en donde hemos dibujado dos de los posibles tri´angulos đ??´đ??ľđ??ś y en los cuales hemos llamado P al punto de intersecci´on entre la altura desde đ??´ y el segmento đ??ľđ??ś (o su extensi´on):

Note que si (đ?&#x2018;&#x192; y đ??¸) o´ (đ?&#x2018;&#x192; y đ??´) no coinciden, siempre se formar´an tri´angulos đ??´đ?&#x2018;&#x192; đ??ľ, đ??´đ?&#x2018;&#x192; đ??ś, đ?&#x2018;&#x192; đ??¸đ??ś y đ?&#x2018;&#x192; đ??¸đ??ľ los cuales ser´an rect´angulos (no s´olo en los tri´angulos del diagrama). Adem´as aplicando el Teorema de Pit´agoras en los respectivos tri´angulos rect´angulos: đ??´đ??ś 2 = (đ??śđ?&#x2018;&#x192; 2 + đ??´đ?&#x2018;&#x192; 2 ), đ??śđ??¸ 2 = (đ??śđ?&#x2018;&#x192; 2 + đ??¸đ?&#x2018;&#x192; 2 ), đ??´đ??ľ 2 = (đ??´đ?&#x2018;&#x192; 2 + đ?&#x2018;&#x192; đ??ľ 2 ) y đ??¸đ??ľ 2 = đ??¸đ?&#x2018;&#x192; 2 + đ?&#x2018;&#x192; đ??ľ 2 . (đ??´đ??ś 2 â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ??¸ 2 ) = [(đ??śđ?&#x2018;&#x192; 2 + đ??´đ?&#x2018;&#x192; 2 ) â&#x2C6;&#x2019; (đ??śđ?&#x2018;&#x192; 2 + đ??¸đ?&#x2018;&#x192; 2 )] = đ??´đ?&#x2018;&#x192; 2 â&#x2C6;&#x2019; đ??¸đ?&#x2018;&#x192; 2 . Por otro lado, (đ??´đ??ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ??¸đ??ľ 2 ) = [(đ??´đ?&#x2018;&#x192; 2 + đ?&#x2018;&#x192; đ??ľ 2 ) â&#x2C6;&#x2019; đ??¸đ?&#x2018;&#x192; 2 + đ?&#x2018;&#x192; đ??ľ 2 ] = đ??´đ?&#x2018;&#x192; 2 â&#x2C6;&#x2019; đ??¸đ?&#x2018;&#x192; 2 , as´Ĺ que la igualdad deseada se cumple en este caso. En los casos en donde (đ?&#x2018;&#x192; y đ??¸) ´o (đ?&#x2018;&#x192; y đ??´) coinciden, siempre se formar´an tri´angulos rect´angulos đ??śđ?&#x2018;&#x192; đ??´ 106


y đ??ľđ?&#x2018;&#x192; đ??´. Al aplicar el Teorema de Pit´agoras en estos, se puede veriďŹ car que la igualdad deseada tambi´en se cumple. 4. Considere la ecuaci´on (đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?) = 0. Al aplicar la F´ormula â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; 2 đ?&#x2018;?+ đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;? y đ?&#x2018;Ľ2 =â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;? , Cuadr´atica obtenemos las soluciones đ?&#x2018;Ľ1 = â&#x2C6;&#x161; 2 2 2 con (đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;? â&#x2030;Ľ 0). Pero como đ?&#x2018;Ľ21 +đ?&#x2018;Ľ22 = 5, [( đ?&#x2018;?+ đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;? )2 +( đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;? )2 ] = 2 2 â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;?) 5. Expandiendo y simpliďŹ cando, obtenemos 2đ?&#x2018;? +2(đ?&#x2018;? = 5, as´Ĺ 4 2 2 2 que đ?&#x2018;? = (2đ?&#x2018;? + 5). Ahora, como (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;? â&#x2030;Ľ 0), đ?&#x2018;? â&#x2030;Ľ 4đ?&#x2018;?. Tenemos que (2đ?&#x2018;? + 5) â&#x2030;Ľ 4đ?&#x2018;?, de donde obtenemos đ?&#x2018;? â&#x2030;¤ 25 . Como đ?&#x2018;? es entero, đ?&#x2018;? â&#x2030;¤ 2. Recordando que đ?&#x2018;?2 = (2đ?&#x2018;? + 5), presentamos valores de đ?&#x2018;? (y sus correspondientes valores de đ?&#x2018;? asociados) en la siguiente tabla: đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?2 = (2đ?&#x2018;? + 5) 2 9 â&#x2C6;&#x2019;2 1

đ?&#x2018;? Âą3 Âą1

Por lo tanto, los pares de enteros (đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;?) para los cuales existen soluciones reales y que, adem´as, satisfacen la desigualdad del problema son:(â&#x2C6;&#x2019;2, â&#x2C6;&#x2019;1), (â&#x2C6;&#x2019;2, 1), (2, â&#x2C6;&#x2019;3) y (2, 3). 5. Sea đ??ź el punto de corte de las diagonales y considere el siguiente diagrama realizado con la informaci´on dada por el problema:

Observe que como los ´angulos đ??ˇđ??ľđ??´ y đ??ˇđ??śđ??´ son a´ngulos inscritos que abren el mismo arco, â&#x2C6; đ??ˇđ??ľđ??´ = â&#x2C6; đ??ˇđ??śđ??´. Por otro lado, como los ´angulos đ??´đ??źđ??ľ y đ??śđ??źđ??ˇ son opuestos por el v´ertice, â&#x2C6; đ??´đ??źđ??ľ = â&#x2C6; đ??śđ??źđ??ˇ. Esta informaci´on es suďŹ ciente para concluir que los tri´angulos đ??śđ??źđ??ˇ y đ??ľđ??źđ??´ son semejantes. Similarmente, los tri´angulos đ??ˇđ??źđ??´ y đ??śđ??źđ??ľ son semejantes.

107


Con esta informaci´on, el diagrama nos queda de la siguiente forma:

Por la similaridad entre los tri´angulos que acabamos de mencionar, đ??śđ??ź đ??ľđ??ź tenemos que đ??śđ??ˇ = đ??ľđ??´ y đ??ˇđ??´ = đ??śđ??ľ . Sustituyendo los valores que đ??źđ??´ đ??źđ??ľ nos da el problema para đ??śđ??ˇ y đ??ľđ??´ en la primera expresi´on y = 10 . Adem´as, como manipulando adecuadamente, tenemos đ??ľđ??ź đ??śđ??ź 11 10 đ??ľđ??ź đ??śđ??ź = đ??źđ??´, tenemos que đ??źđ??´ = 11 . Sustituyendo el valor para đ??ˇđ??´ en la expresi´on đ??ˇđ??´ = đ??śđ??ľ y manipulando adecuadamente, tenemos đ??źđ??´ đ??źđ??ľ đ??źđ??ľ que đ??śđ??ľ = 12( đ??źđ??´ ). Como ( đ??ľđ??ź = 10 ), đ??śđ??ľ = 120 . đ??źđ??´ 11 11 6. Los valores de đ?&#x2018;&#x203A; que debemos considerar son aquellos tales que đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ľ 3. Observe que en cada paso se pinta de negro a, exactamente, tres casillas blancas; as´Ĺ que el n´ umero total de casillas blancas tiene que ser divisible por 3. Para đ?&#x2018;&#x203A; par, el n´ umero de casillas blancas 1 2 umero de casillas blancas es 2 đ?&#x2018;&#x203A; , mientras que para đ?&#x2018;&#x203A; impar, el n´ 1 2 es 2 (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1) (hay una casilla negra m´as que casillas blancas). Note un entero đ?&#x2018;&#x2DC;. que 21 đ?&#x2018;&#x203A;2 es divisible por 3 si y solo si đ?&#x2018;&#x203A; = 6đ?&#x2018;&#x2DC; para alg´ 1 2 Similarmente, 2 (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1) es divisible por 3 si y solo si đ?&#x2018;&#x203A; = (6đ?&#x2018;&#x2DC; Âą 1). Demostremos que para cualquier đ?&#x2018;&#x203A; de las formas anteriores, es posible colorear de negro todas las casillas blancas en un n´ umero ďŹ nito de pasos. Para el caso en que el n´ umero de casillas blancas est´a dado por 21 đ?&#x2018;&#x203A;2 con đ?&#x2018;&#x203A; = 6đ?&#x2018;&#x2DC;, tenemos que es posible, ya que el tablero se puede separar en rect´angulos (de tal forma que no ocurra solapamiento) de tamaË&#x153; no 2x3 y podemos colorear las tres casillas blancas en cada uno de estos. Note que este procedimiento se puede aplicar, en general, en cualquier rect´angulo que tenga una dimensi´on divisible por 2 y la otra divisible por 3. Considere el caso en donde đ?&#x2018;&#x203A; = 6đ?&#x2018;&#x2DC; Âą 1. Demostraremos que es posible colorear de negro todas las casillas blancas por medio de inducci´on. Considere los siguientes diagramas en donde consideramos los casos m´as pequeË&#x153; nos đ?&#x2018;&#x203A; = 5 y đ?&#x2018;&#x203A; = 7 (note que para 108


garantizar la claridad de los diagramas, solamente se muestra una de las casillas negras originales, la del medio):

Hemos ilustrado en los diagramas, los respectivos rect´angulos 2x3 y 3x2 en los cuales realizamos el procedimiento de colorear para cada caso. Ahora, para prop´ositos del paso inductivo de la demostraci´on, es suďŹ ciente demostrar que si es posible colorear completamente de negro cualquier tablero de tamaË&#x153; no (đ?&#x2018;&#x203A; x đ?&#x2018;&#x203A;), entonces tambi´en lo es para un tablero de tamaË&#x153; no ((đ?&#x2018;&#x203A; + 6) x (đ?&#x2018;&#x203A; + 6)) (como đ?&#x2018;&#x203A; = 6đ?&#x2018;&#x2DC; Âą 1, los pr´oximos valores para đ?&#x2018;&#x203A; a considerar son (6(đ?&#x2018;&#x2DC; +1)Âą1) = (đ?&#x2018;&#x203A;+6)). Considere el siguiente diagrama en donde ilustramos el procedimiento a seguir:

Primero, coloreamos de negro al â&#x20AC;&#x153;sub-tableroâ&#x20AC;? central (note que este tiene cuatro esquinas negras originalmente) de tamaË&#x153; no (đ?&#x2018;&#x203A; x đ?&#x2018;&#x203A;) (lo cual es posible debido a la hip´otesis inductiva) y luego coloreamos a los rect´angulos de tamaË&#x153; no ((đ?&#x2018;&#x203A; +3) x 3) y (3 x (đ?&#x2018;&#x203A; +3)). Esto u ´ltimo es posible ya que como đ?&#x2018;&#x203A; es impar, (đ?&#x2018;&#x203A; + 3) es divisible por 2 y, como hab´Ĺamos visto anteriormente; es posible 109


colorear completamente de negro a cualquier rect´angulo que tenga una dimensi´on divisible por 2 y la otra por 3. Por lo tanto, el tablero se puede colorear de negro completamente, si y s´olo si đ?&#x2018;&#x203A; es de la forma 6đ?&#x2018;&#x2DC;, (6đ?&#x2018;&#x2DC; + 1) ´o (6đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; 1) para alg´ un entero đ?&#x2018;&#x2DC;.

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