Dijagonala

datak je s t r a ni

31

na

ra Nag dni

za

Udruženje nastavnika matematike Crne Gore Matematički list za učenike osnovnih škola – „Dijagonala”, broj 18 Godina 2022.

Cijena: 1,50 € Glavni urednik:

mr Radomir Božović

Odgovorni urednik:

Danijela Jovanović

Redakcija:

Prof. dr Žarko Pavićević, Prof. dr Radoje Šćepanović,

Miodrag Lalić, Prof. dr Milenko Mosurović, Anđa Vujović,

Milan Rosandić, Nikola Radojičić, Irena Pavićević,

Nevena Ljujić Lektura:

Milja Božović, prof.

Korektura:

Danijela Jovanović, prof.

Priprema za štampu:

Branko Gazdić

Tiraž:

1000

Štampa:

„Studio Branko“ d.o.o. – Podgorica

Zavod za školstvo je odlukom broj 01 – 1214/2 od 03.09.2018. godine preporučio časopis „Dijagonala“ za korišćenje u osnovnim školama kao pomoćno nastavno sredstvo.

Sadržaj Simetrični brojevi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Dinamičko programiranje

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Zadaci za vježbu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Odabrani zadaci

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Takmičarski zadaci

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Rješenja takmičarskih zadataka iz prošlog broja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Pisana priprema za čas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Žene u matematici

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Aktivnosti UNMCG

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Zanimljivosti o kvadratnim brojevima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Mr Radomir Božović SIMETRIČNI BROJEVI O nekim specifičnostima u skupu prirodnih brojeva smo pisali u prethodnim brojevima. Pominjali smo parne i neparne brojeve, muške i ženske, prijateljske i neprijateljske, savršene, itd. Ovom prilikom pišemo o simetričnim brojevima.

Neka je dat prirodan broj a. Ako se prirodan broj b dobija tako što se cifre broja a napišu obrnutim redom, onda se za brojeve a i b kaže da su uzajamno simetrični. Na primjer, brojevi a = 36 i b = 63 ili a = 147 i b = 741 su parovi uzajamno simetričnih brojeva. Simetrične brojeve kod kojih je nula na mjestu cifre jedinica ne razmatramo, jer bi onda nula morala biti prva cifra simetričnog broja, a kako nijedan prirodan broj ne počinje nulom, ti brojevi ne bi imali isti broj cifara, pa nijesu simetrični.

Neki brojevi su simetrični sami sebi, tj. kada ih čitamo obrnutim redosljedom dobija se isti broj. Na primjer, brojevi 131, 2992, 43634, 77777 su primjeri simetričnih brojeva.

Simetrični brojevi se još nazivaju i palindromi, po analogiji sa riječima ili rečenicama koje se isto čitaju s lijeva u desno kao i s desna u lijevo. Poznati palindromi su: POP, RADAR, KAJAK, SIR IMA MIRIS, ANA VOLI MILOVANA, itd.

Zadaci u vezi sa parovima simetričnih brojeva.

1) Odrediti broj: a) trocifrenih; b) četvorocifrenih palindromnih brojeva.

Rješenje: a) Trocifreni palindromni brojevi su oblika 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎. Kako prvu cifru možemo birati na 9 načina, jer a ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} i drugu cifru na 10 načina, jer b ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, to po pravilu množenja ukupan broj palindromnih trocifrenih brojeva je 9 · 10 = 90. b) Četvorocifreni palindromni brojevi su oblika 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, što znači da su određeni sa prve dvije cifre. Slično kao u primjeru a) zaključujemo da je i njih 90.

2) Odrediti broj parova različitih uzajamno simetričnih dvocifrenih brojeva.

Rješenje: Dvocifrenih brojeva je 90. Svaki dvocifreni broj koji se ne završava nulom ima uzajamno simetričan broj. Dakle, kada od dvocifrenih brojeva odbacimo one koji se završavaju nulom, a takvih je 9, ostaje 81 broj. Od njih

3

4

Dijagonala

ćemo ukloniti i one brojeve sa istim ciframa, jer nijesu različiti simetrični, a takvih je 9. Ostala su 72 broja, a parova uzajamno simetričnih i različitih dvocifrenih brojeva je 72.

3) Dokazati da je zbir dva uzajamno simetrična broja djeljiv sa 11, a njihova razlika sa 9.

Rješenje: Uzajamno simetrični dvocifreni brojevi imaju oblik 𝑎𝑎𝑎𝑎 i 𝑏𝑏𝑏𝑏. Za zbir važi: 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11· (a + b), a za razliku imamo:

𝑎𝑎𝑎𝑎 – 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 10a + b – (10b + a) = 9a – 9b = 9 · (a – b), što je trebalo dokazati.

4) Dokazati da je razlika dva četvorocifrena uzajamno simetrična broja iste parnosti, djeljiva sa 18.

Rješenje:

Neka su 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 i 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 četvorocifreni brojevi iste parnosti (cifre a i d su obje parne ili obje neparne). Kako je a − d paran broj, u razlici 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1000a + 100b + 10c + d – 1000d – 100c – 10b – a = 999(a − d)+ 90(b− c) oba člana su djeljiva sa 9 i 2, pa i sa 18, što je trebalo dokazati.

5) Naći par uzajamno simetričnih četvorocifrenih brojeva ako je jedan od njih 9 puta manji od drugog.

Rješenje: Označimo manji broj sa x. Taj broj nije veći od 1111, jer je 9x četvorocifreni broj. Završava se cifrom 9, jer se 9x završava cifrom 1 i djeljiv je sa 9, jer brojevi x i 9x imaju isti zbir cifara. Taj broj ima oblik 1𝑏𝑏𝑏𝑏9, pa je zbir druge i treće cifre jednak 8, što znači da druga cifra mora biti 0. Dakle, treća cifra je 8 i traženi broj je 1089, pri čemu je 1089 ∙ 9 = 9801.

6) Naći sve parove uzajamno simetričnih brojeva čiji je proizvod osmocifren broj koji se završava sa tri nule.

Rješenje:

Neka su x = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 i y = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 traženi brojevi. Kako je proizvod ta dva broja djeljiv sa 1000, mora jedan od tih brojeva biti djeljiv sa 53 = 125, a drugi sa 23 = 8. Nijedan od ta dva broja ne može biti djeljiv sa 5 i sa 2, jer bi se takav broj završavao sa nulom. Brojevi koji su djeljivi sa 125 se završavaju sa: 125, 375, 625, 875. Razmatrajući svaki slučaj posebno i zna-

Dijagonala

5

jući da brojevi 521𝑎𝑎, 573𝑎𝑎, 526𝑎𝑎, 578𝑎𝑎 moraju biti djeljivi sa 8, zaključujemo da x može biti bilo koji od brojeva 6125, 6375, 4625, 4875. Tim brojevima odgovaraju redom njima uzajamno simetrični brojevi 5216, 5736, 5264, 5784.

7) Da li zbir dva uzajamno simetrična broja može biti 2013-tocifren broj čije su sve cifre devetke?

Rješenje: Ako sabiramo dva uzajamno simetrična broja čiji je zbir 2013-tocifren broj kome su sve cifre devetke, uočavamo da je zbir cifara u svakoj koloni jednak 9 i da ne može biti prenosa. Znači da je zbir cifara dobijenog zbira dva puta veći od zbira cifara jednog sabirka, tj da je paran broj. Međutim, zbir cifara dobijenog 2013-tocifrenog broja je 2013 ∙ 9, što je neparan broj, pa je odgovor na pitanje iz zadatka negativan.

8) Naći najmanji trocifreni broj palindrom čiji je zbir sa najmanjim dvocifrenim palindromom takođe palindrom.

Rješenje: Najmanji dvocifreni palindrom je 11. Najmanji trocifreni palindrom je oblika 1𝑎𝑎1. Ako je a < 9 zbir će biti oblika 1𝑏𝑏2, gdje je b = a + 1, pa taj zbir neće biti palindrom. Preostaje da je a = 9, pa je 191+11 = 202 palindrom. Dakle, traženi broj je 191.

9) Odrediti parove trocifrenih palindroma koji se zapisuju pomoću dvije različite cifre čija je razlika trocifren broj zapisan sa tri uzastopne cifre.

Rješenje: Neka 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 100a + 10b + a i 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 100b + 10a + b čine traženi par, pri čemu je a > b. Njihova razlika je 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 91 ∙ (a − b), gdje je 1 ≤ a − b ≤ 8. Neposrednom provjerom nalazimo da je dati uslov ispunjen samo za a − b = 6, pa dobijamo tražene parove: 717 i 171, 828 i 282, 939 i 393.

Razlika u sva tri slučaja je 91 ∙ 6 = 546.

10) Odrediti sve četvorocifrene palindrome sa tačno 5 različitih prostih djelilaca.

Rješenje: Palindrom ne može da sadrži istovremeno proste činioce 2 i 5, jer bi se završavao cifrom 0. Takođe, uočava se da je traženi broj proizvod pet različitih prostih brojeva. Ako bi se neki od tih prostih faktora pojavljivao

6

Dijagonala stepenovan nekim brojem većim od 1, taj proizvod bio bi bar petocifren, jer proizvod pet najmanjih prostih brojeva različitih od 5 jednak je 2 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 13 = 6006. Taj proizvod je četvorocifreni palindrom. Još jedno rješenje dobijamo kada 13 zamijenimo sa 19. Dakle, imamo dva rješenja: 6006 i 2 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 19 = 8778.

11) Dužina stranice kvadrata izražena u cm je prost broj, a površina tog kvadrata jednaka je zbiru dva dvocifrena uzajamno simetrična broja. Koji su to brojevi?

Rješenje: Neka je 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 10a + b i 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 10b + a, par traženih uzajamno simetričnih brojeva, pri čemu je a  b. Tada je 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 11(a + b), a kako je 11 prost broj i 3 ≤ a + b ≤ 17, jedino je moguće da je a + b = 11. Znači, dužina stranice kvadrata je 11 cm, a površina 11 ∙ 11 = 121 cm2. Sada za cifre a i b postoje sledeće mogućnosti: i) a = 9, b = 2; ii) a = 8, b = 3; iii) a = 7, b = 4; iv) a = 6, b = 5. Traženi parovi uzajamno simetričnih brojeva su: (92, 29), (83, 38), (74, 47), (56, 65).

12) Obim pravougaonika jednak je 806 cm. Odrediti dužine njegovih stranica (u cm) ako je poznato da su te dužine dva uzajamno simetrična broja.

Rješenje: Jasno je da su dužine stranica dva trocifrena uzajamno simetrična broja čiji je zbir jednak 403. Iz 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 =101(a + c) + 20b = 403, lako nalazimo da je a + c = 3 i b = 5. Dakle, tražene dužine stranica su 251 cm i 152 cm.

13) Dužina ivice kocke je cijeli broj centimetara, a zapremina je (u cm3) jednaka razlici dva dvocifrena uzajamno simetrična broja. Koji su to brojevi?

Rješenje: Neka su 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 10a + b i 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 10b + a traženi brojevi, pri čemu je a > b.

Tada je zapremina kocke jednaka razlici: 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 9(a − b) = 3∙3∙( a − b). Odavde zaključujemo da je a − b = 3, pa za par cifara a, b postoje mogućnosti: (9, 6), (8, 5), (7, 4), (6, 3), (5, 2), (4, 1). Lako nalazimo šest parova traženih brojeva: (96, 69), (85, 58), (74, 47), (63, 36), (52, 25), (41, 14).

14) Da li postoji kocka sa ivicom cjelobrojne dužine (u cm) čija je zapremina (u cm3) jednaka zbiru dva dvocifrena uzajamno simetrična broja?

Dijagonala

7

Rješenje: Posmatrajmo zbir dva dvocifrena uzajamno simetrična broja: 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 11(a + b), gdje su a i b jednocifreni brojevi. Izraz 11(a + b) ne može biti kub prirodnog broja, pa je odgovor na pitanje iz zadatka negativan.

15) Dužine stranica pravougaonika su trocifreni palindromi 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 i 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏.

Odrediti obim tog pravougaonika ako je poznato da je on, takođe, trocifren palindrom.

Rješenje: Traženi obim jednak je 2(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 +𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ) = 2∙111(a + b), što je trocifreni broj samo za a + b = 3 ili a + b = 4. U prvom slučaju je obim jednak 666 (stranice 121 i 212), u drugom 888 (131 i 313).

Zadaci za za vježbu Zadaci vježbu 1) Odrediti najmanji četvorocifreni palindrom čiji je zbir sa najmanjim dvocifrenim palindromom takođe palindrom.

2) Odrediti broj: a) petocifrenih; b) 2012-tocifrenih; c) n-tocifrenih palindroma.

3) Odrediti broj parova uzajamno simetričnih: a) trocifrenih; b) četvorocifrenih; c) n-tocifrenih brojeva.

4) Dokazati da ne postoji jednakostraničan trougao kod koga su dužina stranice i obim dva četvorocifrena uzajamno simetrična broja.

5) Odrediti dužinu stranice kvadrata, ako je poznato da su dužina i obim kvadrata (izraženi u cm) dva četvorocifrena uzajamno simetrična prirodna broja.

6) Dužina stranice kvadrata u cm je cijeli broj, a njegova površina izražena u cm2 je trocifreni palindrom. Izračunati obim tog kvadrata.

7) Odrediti dužinu ivice kocke u cm ako je poznato da je zapremina kocke izražena u cm3 zbir dva trocifrena uzajamno simetrična broja.

8) Odrediti par uzajamno simetričnih petocifrenih brojeva ako je jedan od njih 9 puta manji od drugog.

9) Dokazati da ni jedan prirodan broj ne može biti dva puta veći od njemu simetričnog broja.

10) Neka je n zbir dva petocifrena uzajamno simetrična broja. Dokazati da je bar jedna cifra broja n parna.

Dr Goran Šuković Dinamičko programiranje (drugi dio) U prethodnoj lekciji upoznali smo se sa dinamičkim programiranjem, koje je popularna tehnika u programiranju kojom značajno možemo smanjiti složenost algoritma. Ova tehnika se često koristi za nalaženje optimalnog rješenja (najboljeg rješenja tj. najkraćeg ili najdužeg ili najmanjeg ili najvećeg i sl.). Dinamičko programiranje, rješavanje jednog problema svodi na rješavanje podproblema koji najčešće nijesu nezavisni. Postoje i druge tehnike rješavanja problema, kao npr. „podijeli pa vladaj” (engleski „divide and conquer”), koje vrše podjelu polaznog problema na podprobleme, ali su ti problemi međusobno nezavisni. U oba slučaja kažemo da postoji optimalna podstruktura problema (eng. „optimal substructure“). Važna osobina dinamičkog programiranja jeste da se svaki podproblem rješava najviše jednom. Često se rješenja podproblema čuvaju u tabelama ili nizovima, pa se ovaj metod ponekad naziva i tablični metod.

Rješenje zasnovano na dinamičkom programiranju možemo ukratko predstaviti sa sljedeća 4 koraka: 1. Opisati strukturu optimalnog rješenja ili kako se često kaže, opisati stanje problema.

2. Rekurzivno definisati optimalnu vrijednost tj. definisati prelazak iz jednog stanja u drugo.

3. Izračunati optimalnu vrijednost problema, najčešće od prostijih ka složenijim stanjima (metoda „odozdo na gore”, engleski „bottom-up”).

4. Rekonstruisati optimalno rješenje.

Primjenom prva tri koraka dobijamo optimalnu vrijednost, dok četvrti korak izvršavamo ukoliko je potrebno i samo optimalno rješenje.

Postoji velika klasa zadataka koja može efikasno biti riješena primjenom ovog metoda.

Zadatak 1: Maksimalna suma nesusjednih elemenata u nizu: Dat je niz a prirodnih brojeva dužine n. Odrediti podniz datog niza čiji je zbir elemenata maksimalan, a u kome nema susjednih elemenata.

Podproblem zadatog problema možemo definisati na sljedeći način: odrediti podniz nesusjednih elemenata na nekon dijelu polaznog niza a. U tu svrhu definišimo novi niz d tako da važi:

8

Dijagonala

9

d[k] = maksimalan zbir nesusjednih elemenata niza d[k] = [a maksimalan zbir nesusjednih elemenata1 niza i n.

1, a2, ..., ak], za svako k između [a1, a2, ..., ak], za svako k između 1 i n.

Rješenje polaznog problema biće d[n].

Rješ enje polaznog problema d[n]. optimalnu podstrukturu polaznog U ovom slučaju lako smo biće odredili U ovom slučajuslučaju, lako smo odredili optimalnu podproblema podstrukturu ne polaznog problema.

U opštem algoritam za definisanja postoji problema.

U opštem slučaju, algoritam za definisanja podproblema ne postoji i zavisi od same prirode problema. i zavisi od same prirode problema.

Definiš imo sada rekurzivnu formulu za izračunavanje vrijednosti niza d.

Definiš i mo sada rekurzivnu formulu za izračunavanje vrijednosti d.

Pretpostavimo da smo izračunali vrijednosti d[1], d[2], …, d[k-1]niza i sada Pretpostavimo da smo želimo da izračunamo d[k].izračunali vrijednosti d[1], d[2], …, d[k-1] i sada želimo da izračunamo Poslije dodavanja d[k]. novog elementa ak, za traženu optimalnu vrijednost Poslije dodavanja novog ak, za traženu optimalnu vrijednost dvije mogućnosti: podniza (a1, a2, ... ,ak ) imamo elementa podniza (a1, a2, ... ,ak ) imamo dvije mogućnosti: • element ak uključujemo u traženu sumu, •• element ujemo u traž enuenu sumu, element aakk uključ ne uključ ujemo u traž sumu.

• element u traž enu sumu. k ne uključu Еlemente saaindeksima 1,jemo ... ,k−2 koristimo u oba slučaja, jer na njih ne Еlemente sa indeksima 1, ... ,k−2 koristimo u oba slučaja, jer na njih ne utiče činjenica da li je element k ušao u podniz ili ne. utičUkoliko e činjenica da liimo je element k ušao ua podniz ili ne. uključ ak tada element k−1 ne može ući u sumu, jer je susjedan uključielement mo ak tada element ak−1uključ ne može u sumu, jer je susjedan sa akUkoliko , u suprotnom, ak−1 možemo iti u ući sumu.

Ovo možemo zapisa a , u suprotnom, element a mož e mo uključ i ti u sumu.

Ovo možemo zapisati ksljedećom formulom: k−1 sati sljedećom formulom: d[k] = max{d[k − 1], ak + d[k − 2]}, za k ≥ 3 d[k] = max{d[k − 1], ak + d[k − 2]}, za k ≥ 3

Ostaje da još definišemo d[1] i d[2]. Lako se vidi da je d[1] = a1 i d[2] = Ostaje definišemo d[1] i d[2].

Lako se vidiizračunati da je d[1]sve = a1elemente i d[2] = max{a1 , ada Sada je lako, pomoću jednog ciklusa, 2}. još max{a niza d.1 , a2}. Sada je lako, pomoću jednog ciklusa, izračunati sve elemente niza d.

Algoritam Algoritam Ulaz: Niz a prirodnih brojeva duž ine n Ulaz: Niz a prirodnih brojeva duž ine n sa najvećom sumom Izlaz: pne - podniz nesusjednih elemenata Izlaz: 1 pneif- podniz elemenata sa najvećom sumom n = 1 nesusjednih then 1 2 2 3

3 4 4 5

5 6 6

if n = 1 then return pne = a; return pne = a; end

end d[1] = a1; d[1] 1; d[2] = = a max{a 1 , a2 }; d[2] = max{a a2 }; for k ← 3 to1 n, do for k ← 3 to n do

10

Dijagonala 7

8 7

9 8

if d[k − 1] > d[k − 2] + a[k] then

d[k] = d[k if d[k − 1]−>1]; d[k − 2] + a[k] then

else d[k] = d[k − 1];

10 d[k] 9 else = d[k − 2] + a[k];

11 10 end d[k] = d[k − 2] + a[k]; 11 pne end = ∅; 12

13 ind = n; 12 pne ∅;

14 while (ind > 0) do 13 ind = n;

15 d[ind] 14 if while (ind!= > d[ind 0) do − 1] then

16 a[ind]!= tod[ind pne; − 1] then 15 add if d[ind]

17 ind −to 2;pne; 16 ind add = a[ind] 18 17 else ind = ind − 2; 19 18 ind else= ind − 1;

20 19 end ind = ind − 1;

21 20 end

22 end return pne 21

return pnerješenja potrebno je da znamo da li je za vrijednost d[k] Za22 rekonstrukciju element ak ušao u podniz ili nije.

Idemo je kroz unazad dobijamo optimalni Za rekonstrukciju rješenja potrebno da niz znamo da lii je za vrijednost d[k] podniz uakobrnutom poretku.

AkoIdemo bi element an unazad pripadao traženomoptimalni podnizu, element ušao u podniz ili nije. kroz niz i dobijamo tada bi uvrijednost bila jednaka − 2] a+n apripadao element sa n, pa ispitujemo podniz obrnutomd[n] poretku.

Ako bi d[n element traženom podnizu, indeksom n − 2; ud[n] suprotnom n-ti element ne+pripada traženom podnizu, element pa sa tada bi vrijednost bila jednaka d[n − 2] an, pa ispitujemo zato prelazimo na element a .

Lako se provjerava da je broj koraka opisanog n − 1 indeksom n − 2; u suprotnom n-ti element ne pripada traženom podnizu, pa algoritma proporcionalan niza se tj, provjerava O(n). da je broj koraka opisanog zato prelazimo na elementdužini an − 1. Lako Provjerite da ako je datdužini niz a = [1, tj, 1, O(n).

2, 8, 11, 3, 1], tada će niz d biti [1, 1, algoritma proporcionalan niza 3, 9,Provjerite 14, 14, 15]. da ako je dat niz a = [1, 1, 2, 8, 11, 3, 1], tada će niz d biti [1, 1, sami da napišete C++ program na osnovu datog algoritma a 3, 9,Pokušajte 14, 14, 15]. zatim i rekurzivnu koja C++ izračunava elemente niza d.

Pokušajte samifunkciju da napišete program na osnovu datog algoritma a zatim i rekurzivnu funkciju koja izračunava elemente niza d.

Zadatak 2: Maksimalni zbir elemenata u tabeli: Data je kvadratna matrica (tabela) Zadatak 2: koja se sastojizbir od prirodnih brojeva.

PionData se nalazi u gornjem lijevom uglu Maksimalni elemenata u tabeli: je kvadratna matrica (tabela) ikoja može se kretati jedno polje dolje ili jedno polje dijagonalno dolje-desno. se sastoji od prirodnih brojeva. Pion se nalazi u gornjem lijevom uglu Cilj je do donjeg daili je jedno zbir brojeva na putu maksimalan. i može doći se kretati jednoreda poljetako dolje polje dijagonalno dolje-desno.

Prvo potrebno uočiti datako li dati problem ima optimalnu podstrukturu.

Cilj jejedoći do donjeg reda da je zbir brojeva na putu maksimalan.

Pogledajte sa uočiti slike. da li dati problem ima optimalnu podstrukturu.

Prvo jematricu potrebno Pogledajte matricu sa slike.

Dijagonala

11

Da li je moguće da crveni put bude dio optiDa lirješenja? je moguće put bude dio optimalnog Jasnodajecrveni da ne može i taj zaključak malnog rješenja?

Jasno je da ne može i taj zaključak nam pomaže da definišemo stanja našeg problema. namDefinišimo pomaže da definišemo stanja našeg matricu dp[r][s] kao problema. vrijednost Definišimo matricu dp[r][s] kao vrijednost najboljeg puta od gornjeg lijevog ugla do pozicije (r, najboljeg puta od gornjeg lijevog ugla do pozicije (r, s) u matrici. s) uLako matrici. se vidi da je: Lako se vidi da je: dp[r][s] = max{dp[r-1][s] + dp[r-1][s-1]} + A[r][s] dp[r][s] = max{dp[r-1][s] + dp[r-1][s-1]} + A[r][s]

Rješenje je: Rješenje je:

max{dp[n-1][i] za 0 <= i < n } max{dp[n-1][i] za 0 <= i < n }

Kako ćemo popunjavati matricu dp? Svi preduslovi za izračunavanje Kako popunjavati matricu dp? Svi preduslovi za izračunavanje elemenata ćemo matrice dp su prikazani na slici: elemenata matrice dp su prikazani na slici:

Možemo prvo s lijeva na desno izračunati vrijednosti matrice dp u prvom Možemo prvoslijeva s lijeva na desno izračunati vrijednosti matrice prvom redu, zatim opet nadesno u drugom redu, i tako dalje dok dp ne udođemo redu, zatim opet slijeva nadesno u drugom redu, i tako dalje dok ne dođemo do n-tog reda.

C++ program koji izračunava matricu dp je sljedeći: do n-tog reda. C++ program koji izračunava matricu dp je sljedeći:

12

Dijagonala dp[0][0] = A[0][0]; for (int r = 1; r < n; r++) { dp[0][0] = A[0][0]; dp[r][0] = dp[r-1][0] + A[r][0]; for (int r = 1; r < n; r++) { for (int c = 1; c <= r; c++) { dp[r][0] = dp[r-1][0] + A[r][0]; dp[r][c] = max(dp[r-1][c], dp[r-1][c-1]); for (int c = 1; c <= r; c++) { dp[r][c] += A[r][c]; dp[r][c] = max(dp[r-1][c], dp[r-1][c-1]); } dp[r][c] += A[r][c]; } } int best = 0; } for (int i = 0; i < n; i++) int best = 0; best = max(best, dp[n-1][i]); for (int i = 0; i < n; i++) best = max(best, dp[n-1][i]);

Zadaci Zadaci za za vježbu vježbu 1. Problem maksimalnog zbira u matrici: Data je matrica a dimenzije n × m Zadaci za vježbu popunjena cijelim brojevima. Sa svakog polja u matrici dozvoljeno je preći 1. samo Problem u matrici: Data dimenzije n×m na maksimalnog polje ispod ilizbira na polje desno od je togmatrica polja a(ukoliko postoje). popunjena cijelim brojevima.

Sa svakog polja u matrici dozvoljeno je preći Potrebno je izabrati put od gornjeg lijevog polja (polja sa koordinatama samo ispod ili na polje desno od tog polja(n-1, (ukoliko (0, 0)),na dopolje donjeg desnog polja (polja sa koordinatama m-1)),postoje). tako da Potrebno je izabrati put od gornjeg lijevog polja (polja sa koordinatama zbir brojeva u poljima preko kojih se ide, bude maksimalan.

(0, 0)), ima do donjeg sa koordinatama (n-1, prije m-1)),nego takošto da 2. Mirko ruksakdesnog u kojipolja stane(polja maksimalno N kilograma zbir brojeva u poljima preko kojih se ide, bude maksimalan. pukne kaiš. Na raspolaganju ima M predmeta od kojih svaki ima svoju 2. masu MirkoTiima ruksak uVi. koji stane predmeta maksimalno kilogramamnogo. prije nego što i vrijednost Svakog ima N beskonačno Ruksak pukne kaiš.

Na raspolaganju ima M predmeta od kojih svaki ima svoju je prazan pa u njega treba smjestiti predmete tako da zbir vrijednosti svih masu Ti i vrijednost Vi. Svakog predmeta ima beskonačno mnogo. Ruksak predmeta bude maksimalan. je prazan pa u njega treba smjestiti predmete tako da zbir vrijednosti svih predmeta bude maksimalan.

Primjer: Primjer: 6 2 36 42 53 74 U ruksak 5 7stane 6 kilograma, a na raspolaganju imamo 2 predmeta: predmet mase 3 kilograma, vrijednosti 4 i predmet mase 5 kilograma vrijednosti 7.

U ruksak stane 6 kilograma, a na raspolaganju imamo 2 predmeta: predmet Potrebno je štampati najveći vrijednosti u ruksaku. mase 3 kilograma, vrijednosti 4 imogući predmetzbir mase 5 kilograma vrijednosti 7.

Rješenje: Potrebno je štampati najveći mogući zbir vrijednosti u ruksaku.

8 (više se isplati uzeti dva predmeta mase 3, nego jedan predmet mase 5 Rješenje: kilograma).

8 (više se isplati uzeti dva predmeta mase 3, nego jedan predmet mase 5 kilograma).

8x

Dijagonala

13

Zadaci vježbu ZADACI za ZA VJEŽBU VIRAZRED razred VI 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Uglovi. Razlomci.

Koji dio kružnice odgovara centralnom uglu od: a) 30°; b) 45°; c) 120°; d) 300°?

Pretvoriti mjerene jedinice: 4° = _____' 180” = _____' 15'=_______” 39600” = ________° 7' = _____” 3600000” = _____° 12°=_____' 10800” = ______° Dati su uglovi α = 143°24'44” i β = 59°15'. Izračunati sljedeće uglove: a) 3·β + α; b) α − 2·β; c) β : 5; d) α : 4.

Nacrtati pomoću uglomjera uglove α = 63°, β = 115° i γ = 90°, a zatim grafički odrediti uglove: a) 3·α-γ; b) β + γ − 2·α.

Dat je ugao α = 27°42'24”. Odrediti mjeru njemu: a) komplementnog; b) suplementnog; c) unakrsnog ; d) uporednog ugla.

Ugao β je za 3225' manji od svog komplementnog ugla. Izračunati ugao suplementan uglu β.

Odrediti mjere uglova sa slike: a) b) a)

b)

c)

γ

30° α 9α

8x

3α

c)

d) c)

c)

30°

d)

30° γ

γ αβ

α

β 100°

8x

x

x

x

δ

d)

20° α

20°

γ

γ

β 90° α90° α

β α α

β

γ

α + 20°

β

αβ

α

14

Dijagonala 2 1 4 6 3 15 7 17 5 8 7

8. Iz skupa A = {23 , 15 , 42 , 65 , 33 , 15 , 7 , 17 , 55 , 84 , 77} izdvojiti: 8. Iz skupa A = {3 , 5 , 2 , 5 , 3 , 22 , 88 , 20 , , , } izdvojiti: 20 5 4 7 2 1 4 6 3 15 7 17 5 razlomke; 8 7 a) prave razlomke; b) neprave 8. Iz = {3 , 5 , 2 , 5 , 3 , b) ,neprave , , , razlomke; , } izdvojiti: a)skupa prave A razlomke; 2 8 20 5 4 7 c) razlomke jednake 1; d) razlomke jednake 2. c) prave razlomke jednake 1; b) d) neprave razlomkerazlomke; jednake 2. a) razlomke; 9. Napisati u obliku nesvodljivog razlomka: a) 15 min = _______ h; 9. Napisati u obliku nesvodljivog razlomka: a) 152.min = _______ h; c) razlomke jednake 1; d) razlomke jednake b) 50 min = _______ h; c) 28 cm = _____ m; d) 750 m = ______ km. b) 50 minu obliku = _______ h; c) 28razlomka: cm = _____ d) 750 m = ______ 9. Napisati nesvodljivog a) m; 15 min = _______ h; km.

10. Napisati 6 razlomaka koji se na brojevnoj polupravoj nalaze između 10.b)Napisati se cm na =brojevnoj između 4 50 min 6=3 razlomaka _______ h;koji c) 28 _____ m;polupravoj d) 750 m =nalaze ______ km. razlomaka 34 i 45 . i 5.

10. razlomaka Napisati 64 razlomaka koji se na brojevnoj polupravoj nalaze između 3 9 5 5 15 3 4 11. razlomaka Proširiti razlomke , , tako da svaki od njih ima brojilac 45 a 3 9 i . 5, 10, 56,, 52 ii 15 16 tako da svaki od njih ima brojilac 45 a 11. Proširiti razlomke 4 5 5 10 6 2 16 zatim ih poređati po 3 veličini.

9 5 5 15 zatim ih razlomke poređati po 11. Proširiti , veličini.

5 , 1 , 5 i 7 tako da svaki od njih ima brojilac 45 a 52 10 12. Poređati razlomke 2, 5, 16, 52 i 16 7 od najvećeg do najmanjeg svodeći ih na 9, 2, 6 i 18 od najvećeg do najmanjeg svodeći ih na ih poređati 12. zatim Poređati razlomkepo33,veličini.

9 2 6 18 isti imenilac.

2 5 1 5 7 isti imenilac.

12. Poređati razlomke 53, 9, 2, 6 i 18 od najvećeg do najmanjeg svodeći ih na 13. Milan je potrošio 58 svoje ušteđevine i kupio jaknu od 90 eura. Koliko je imenilac.

13. isti Milan je potrošio 8 svoje ušteđevine i kupio jaknu od 90 eura. Koliko je imao ušteđevine? Koliko mu je ostalo?

5 mu je ostalo?

13. imao Milanušteđevine? je potrošio Koliko svoje ušteđevine i kupio jaknu od 90 eura. Koliko je 8 imao ušteđevine?

Koliko mu je ostalo?

Prijedlog drugog pismenog zadatka Prijedlog drugog zadatka Prijedlog drugog pismenog pismenog zadatka I grupa Prijedlog drugog pismenog zadatka grupa I Igrupa 3

1

1. a) Od 25 eura, koliko je Risto imao, potrošio je 3 , a 1 ostatka je pozajmio drugu.

I grupa a) a) Od 25 eura, koliko je Risto imao, b) potrošio je 5 , a 2 ostatka je pozajmio c) 1. drugu.

8 5 2 3 1 Koliko mu je još ostalo? b) Od kog broja iznosi 72?

8 1. a) Od 25mu eura, koliko je Risto imao, potrošio je broja , a 9 iznosi ostatka72? je pozajmio drugu.γ Koliko je još ostalo? b) Od kog 5 29 5 1 11 30° 3 6 5 8 2. Koliko Na brojevnoj polupravoj, prikazati sljedeće razlomke: , 1 , 11, 3 , 6 i α5, mu je još ostalo? b) Od kog broja iznosi5 372?

2. Na brojevnoj polupravoj, prikazati sljedeće razlomke: , 2 , 6 , 3 , 2 i 2, 9 3 1 2 11 6 3 3 6 2 5 2 5 a potom te razlomke poređati od najmanjeg do najvećeg. a potom te razlomke poređati od najmanjeg do najvećeg., , , , i , 2.

Na brojevnoj polupravoj, prikazati sljedeće razlomke: 3. Dati su uglovi: α = 39° 42′ 43″ i β = 47° 38′ 26″.

3 2 6 3 2 2 9α 3. aDati su uglovi: α = 39° 42′ 43″odi βnajmanjeg = 47° 8x 38′ do 26″.

3α x potom te razlomke poređati najvećeg.

Izračunati: a) 2α − β; b) β : 2; c) komplement ugla β .

Izračunati: a) 2αα −= β; b) βi :β2;= 47° 38′c)26″. komplement ugla β .

3. Dati su uglovi: 39° 42′ 43″ 4. Dopuniti: a) 6° = _______ ′ ; b) 200′ = _____°_____′; 4. Izračunati: Dopuniti: a) ′ ; βb): 200′ a) 6° 2α =− _______ β; b) 2; = _____°_____′; c) komplement ugla β . c) 3′12″ = _____″; d) 7500″ = _____°____′. c) 6° 3′12″ = _____″; _____°____′.

4. Dopuniti: a) = _______ ′ ; d) b) 7500″ 200′ = =_____°_____′; 5. Odrediti nepoznate uglove sa slike: 5. Odrediti nepoznate sa slike: c) 3′12″ uglove = _____″; d) 7500″ = _____°____′.

Odrediti nepoznate uglove sa slike: 5.

α

100°

δ

γ

β

α α

α + 20°

β

b)

Dijagonala 9α

15 8x

3α

II grupa II grupa II grupa

1

2

1. a) Od 32 eura, koliko je Hana imala, potrošila je 1 , a 2 ostatka je pozajmila 1. a) Od 32 eura, koliko je Hana imala, potrošila je 4 , a 3 ostatka je pozajmila 4 3 2 b) Od kog broja 27 iznosi 36? drugarici. Koliko joj je još ostalo? drugarici. Koliko joj je još ostalo? b) Od kog broja 7 iznosi 36?

4

1 13 2

6

5

2. Na brojevnoj polupravoj prikazati razlomke: 4 , 1 , 13, 2 , 6 i 5, a potom d) polupravoj 2. Na brojevnoj prikazati razlomke: 3 , 3 , 6 , 2 , 3 i 2, a potom 3 3 6 2 3 2 γ date razlomke poređati od najvećeg do najmanjeg. γ α date razlomke poređati od najvećeg do najmanjeg.

20° 100° 3.

Dati su uglovi: α = 57° 34′ 38″ i β = 65° 43′ 34″.

Izračunati: β α 3. βDati su uglovi: α 90° = 57°α34′ 38″ i β = 65° 43′ 34″. Izračunati: β δ α. a) α + 2β; b) α : 2; c) suplement ugla a) α + 2β; b) α : 2; c) suplement uglaγ α.

4. Dopuniti: a) 5° = ________ ′; b) 350′ = _____°_____′; 4. Dopuniti: a) 5° = ________ ′; b) 350′ = _____°_____′; c) 2′37″ = ______″; d) 8100″ = ____°_____′. c) 2′37″ = ______″; d) 8100″ = ____°_____′.

5. Odrediti nepoznate uglove sa slike: 5. Odrediti nepoznate uglove sa slike: β

α

60° α

γ

α + 50°

δ

α

Jasna Maraš, JU OŠ „Milija Nikčević“, Nikšić VII VIIRAZRED razred VII RAZRED y Jednačine i nejednačine u skupu Z. Trougao.

Jednačine i nejednačine u skupu Z. Trougao. 3 E 1. Izračunati vrijednost izraza: C 1. Izračunati vrijednost izraza: 2 a) 24 : (− 6) – 15F : (−3) −20 : (−5), a) 24 : (− 6) – 15 : (−3) −20 : (−5), b) −72 : 4 + 3 · { −64 ∶ 4 − 3 · [ −5 + 2 · (−28 ∶ 2 + 9 − 18 ∶ 6)] }. b) −72 : 4 + 3 · { −64 ∶ 4 − 3 · [ −5 + 2 · (−28 ∶ 2 + 9 − 18 ∶ 6)] }.

1 2. Riješiti jednačine: a) x : (−6) = 78; b) x · 12 = −144; 2. Riješiti jednačine: b) x · 12 = −144; A B a) x : (−6) = 78; c) −8 · x = 336; d) −56 : x = −14; e) 7x + 15 = −27; c) −8 · x = 336; d) −56 : x = −14; e) 7x + 15 = −27; f) −16 = − 9m − 52; g) 3 – 3x= −18; h) 2│x│ 1 = 17; –2 –1 − f) −16 = − 9m − 52; g) 3 – 3x= −18; h) 2│x│ −01 = 17; 1 i) 45 : │x│ − 3 = 6; j) (5x + 70) ∙ (−2x − 14) = 0; j) (5x + 70) ∙ (−2x − 14) = 0; ASUi) 45 : │x│ − 3 = 6;R –1 Č A A k) −4x · (−3x − 12) = 0.

D N k) −4x · (−3x − 12) = 0.

A

D

U

I UP GR

MO SF ER

30°

a)

2

3 x

16 3.

3.

4.

4.

Dijagonala

Zbir tri uzastopna cijela broja je −21. Koji su to brojevi?

Zbir uzastopna cijela broja je −21. Koji su to brojevi?

Ako tri broj −48 umanjimo za petostruku vrijednost nepoznatog broja dobiAko broj umanjimo za petostruku vrijednost nepoznatog broja dobijamo broj −48 −8. Koji je to broj? jamo broj −8. Koji jea) to7broj?

5. Riješiti nejednačine: · x ≤ −56; b ) x · (−6) ≥ 162; 5. Riješiti nejednačine: a) 7 x ≤<−56; x · +(−6) c) x : (−13) ≥ − 5; d) 3x· −2 −17; be)) 4a 3 >≥ 162; −13; f) │x + 1│ < 2. x : (−13) ≥ − 5; promjenljive d) 3x −2 < −17; e) 4aje+dati 3 >razlomak −13; f) pozitivan │x + 1│ < 2.

6. c) Odrediti vrijednosti n za koje 6. Odrediti vrijednosti promjenljive−7 n za koje je dati razlomak pozitivan .

20−7 − 4𝑛𝑛 .

20 −trougla 4𝑛𝑛 ABC, izračunati uglove β i γ, a 7. Ako su α = 56° i γ1 = 116° uglovi zatimsuuporediti stranice.

7. Ako α = 56° injegove γ1 = 116° uglovi trougla ABC, izračunati uglove β i γ, a zatim uporediti njegove stranice.

8. Simetrale unutrašnjih uglova α i β trougla ABC obrazuju ugao od 95°.

Izračunati unutrašnjih mjeru ugla γuglova ako je α =i β64°.

Napisati kakav je to trougao 8. Simetrale trougla ABC obrazuju ugao odprema 95°. uglovima. mjeru ugla γ ako je α = 64°. Napisati kakav je to trougao prema Izračunati uglovima.

9. U jednakokrakom trouglu ugao pri vrhu je za 21° veći od ugla na osnovici.

Koliki su uglovi tog trougla?

9. U jednakokrakom trouglu ugao pri vrhu je za 21° veći od ugla na osnovici.

Koliki su uglovi tog trougla?

10. Osnovica jednakokrakog trougla je za 4 cm kraća od kraka. Izračunati kraka i osnovice ako je obim 14kraća cm. od kraka. Izračunati 10. dužine Osnovica jednakokrakog trougla je trougla za 4 cm osnovice je obimduži trougla cm. da je AM = BM. 11. dužine Ako je kraka M biloi koja tačkaako simetrale AB,14 dokazati 11. bilo kojatežišne tačka simetrale duži AB, dokazati AM = BM.AB, 12. Ako Ako je su M AM i BN linije jednakokrakog trouglada sajeosnovicom ≅ ∆BCN. dokazati da jei BN ∆ACM 12. Ako su AM težišne linije jednakokrakog trougla sa osnovicom AB, dokazati da je ∆ACM ≅ ∆BCN. Prijedlog drugog pismenog zadatka Prijedlog drugog pismenog zadatka Prijedlog drugog pismenog zadatka I grupa grupa I Igrupa 1. Riješiti jednačine: 1. Riješiti jednačine: a) 11 – 3x = − (−2); b) −2 = −8 – 3 (x − 2); c) │4x + 2│ = 14.

11cijeli – 3x = − (−2); b) −2 = −8 – 3 (x − 2); c) │4x + 2│ = 14.

2. a) Koji brojevi su rješenja nejednačina: 2. Koji su rješenja nejednačina: a) 3xcijeli : 2 ≥ brojevi 6; b) (2x – 1 ) : (−3) > − 1? a) 3x : 2 ≥ 6; b) (2x – 1 ) :uglove (−3) > −∆ABC 1? ako je α1 =102°41ʹ i 3. Izračunati sve unutrašnje i spoljašnje = 81°42ʹ26ˮ.

3. γIzračunati sve unutrašnje i spoljašnje uglove ∆ABC ako je α1 =102°41ʹ i γ = 81°42ʹ26ˮ.

4. Spoljašnji ugao kod vrha jednakokrakog trougla iznosi 128°. Izračunati između visine krakjednakokrakog i simetrale ugla, koja iznosi polazi 128°. iz istog tjemena 4. ugao Spoljašnji ugao kodna vrha trougla Izračunati kao ugaoi visina. između visine na krak i simetrale ugla, koja polazi iz istog tjemena kao i visina.

5. Nad stranicom AB kvadrata ABCD konstruisan je sa spoljašnje strane jedtrougao sa osnovicom AB. Dokazati da je CE =strane DE. jed5. nakokraki Nad stranicom AB ABE kvadrata ABCD konstruisan je sa spoljašnje nakokraki trougao ABE sa osnovicom AB. Dokazati da je CE = DE.

Dijagonala

17

IIIIgrupa grupa II grupa

1. Riješiti jednačine: a) – 3x + 7 = −2;

5𝑥𝑥+10

5𝑥𝑥+10 c) 𝑥𝑥−2 = 0.

b) −17 + 4 · (−x) = − 25;

2. Koji cijeli brojevi su rješenja nejednačine: a) 2x · 3 ≥ 6; b) −18 : (5 – 2x) < −2.

3. Izračunati sve unutrašnje i spoljašnje uglove ∆ABC ako je: β1 = 108°31ʹ i γ =71°32ʹ22ˮ.

4. U jednakokrakom trouglu ABC, sa osnovicom AB, simetrala ugla BAC i visina AD sijeku se pod uglom od 12°. Izračunati unutrašnje uglove tog trougla.

5. Data je kružnica k(O,r) i na njoj tetiva AB. Ako je OC normalna duž na tetivu AB, dokazati da je tačka C središte duži AB. Ljiljana Vučić, JU OŠ „Milija Nikčević“, Nikšić VIII VIIIRAZRED razred Stepeni. Monomi, binomi, razlika kvadrata.

Funkcija direktne proporcionalnosti. Linearne jednačine.

1. Izračunati vrijednost izraza: a) 2. Uprostiti izraze: a)

(2∙222 ∙233 )44 ∶ (222 )33 (222 )55 ∶ (222 )33

2 3 4 2 3 (𝑎𝑎∙𝑎𝑎2 ∙𝑎𝑎3 )4 ∶(𝑎𝑎2 )3 7 3 2 8 (𝑎𝑎7 )3 : (𝑎𝑎2 )8

;

2𝑎𝑎

;

2𝑎𝑎 b) (−2𝑎𝑎𝑎𝑎)3 ∙ ( 𝑏𝑏 )3.

(3𝑎𝑎22 𝑏𝑏)33 ∶(9𝑎𝑎33 𝑏𝑏)22

b) (3𝑎𝑎

𝑎𝑎𝑎𝑎

(𝑎𝑎𝑎𝑎)44 3

.

3

3. Svesti na stepene sa istom osnovom, a zatim izračunati: a) 643 ∶ (42 )3 ;

522 ∙125∙577

5 ∙125∙5 b) (588∙5):625 .

4. Izračunati vrijednost izraza: 1

2

1

12 ∙812 12 ∙ 612

3

∙8 ∙ 3 12 a) (0,6)3 · (3 13) 3 ; b) (27)7 · (312)7 ; c) (15612 12 ∙ 1212 12 ) : (5) .

5. Napisati kao stepen sa osnovom 2, a zatim izračunati:

4 5 3 (324 ∙25 )3 (1024 ∙ 244 )33

.

6. Proizvod 75·125·81 napisati u obliku 15n .

7. Uprostiti izraze: a) 4(2x − 3)2 – 5(3x − 4)(3x + 4) – (2x − 3)(x − 5); b) (4x − 3)2 + (2x + 5)(2x − 5).

8. Kvadrat monoma −4a3b2 uvećati za proizvod monoma 2ab i −4ab4, a zatim srediti izraz.

18

Dijagonala

9. Rastaviti na činioce: a) (a − 2)22 − 25; b) (5a – 4b)22 – (3a – 2b)22.

9. Rastaviti na činioce: a) (a − 2) − 25; b) (5a – 4b) – (3a – 2b) .

10. Nacrtati grafik funkcije f(x) = 4x.

10. Nacrtati grafik funkcije f(x) = 4x. 1 a) Sa grafika odrediti vrijednosti f(− 1) i f(2). a) Sa grafika odrediti vrijednosti f(− 22) i f(2). b) Da li tačke A(−3, 9) i B(−3, −12) pripadaju grafiku? b) Da li tačke A(−3, 9) i B(−3, −12) pripadaju grafiku? 𝑥𝑥+17 3𝑥𝑥−7 11. Riješiti jednačine: a) 𝑥𝑥+17 − 3𝑥𝑥−7 = −2; 11. Riješiti jednačine: a) 55 − 44 = −2; 𝑏𝑏) (4𝑥𝑥 + 3)2 + (x − 4) (x + 4) = 17x2 + 41. 𝑏𝑏) (4𝑥𝑥 + 3)2 + (x − 4) (x + 4) = 17x2 + 41.

17 12. Koji broj treba oduzeti od brojioca i imenioca razlomka 17 da bi se dobio 12. Koji broj treba oduzeti od brojioca i imenioca razlomka 19 da bi se dobio 6 19 razlomak 67 ? razlomak 7 ?

Prijedlog drugog pismenog zadatka Prijedlog drugog zadatka Prijedlog drugog pismenog pismenog zadatka I grupa

I Igrupa grupa 1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

1.

1.

2.

2.

(𝑥𝑥 4 ∙ 𝑥𝑥 2 )5 ∶(𝑥𝑥∙𝑥𝑥 3 )4

1

2

1

3 2 3 3 4 Uprostiti izraz: a) (𝑥𝑥 4(𝑥𝑥 )3 + (2)7 · (31)7 . ∙ 𝑥𝑥 2 )5 ∶(𝑥𝑥∙𝑥𝑥 2 )3 ) · (𝑥𝑥 2 )3 ; b) 0,63 ·(3 1 3)3 + (7)7 · (32)7 .

Uprostiti izraz: a) (𝑥𝑥 33 ∙𝑥𝑥∙𝑥𝑥 · (𝑥𝑥 ) ; b) 0,6 ·(3 ∙𝑥𝑥∙𝑥𝑥 2 )3 3 7 2 3 a) Ako je A = 4x22 – 2x +1, B = −4x + 2, C = 32x , odrediti A ∙ B − C. a) Ako je A = 4x – 2x +1, B = −4x + 2, C = 2x , odrediti A ∙ B − C. b) Srediti izraz: 2(2x − 3)22 + (3x − 4)(3x + 4). b) Srediti izraz: 2(2x 3−(4𝑥𝑥−8) 3) + (3x8𝑥𝑥−2 − 4)(3x + 4).

Riješiti jednačine: a) 3 (4𝑥𝑥−8) − 8𝑥𝑥−2 = −3; 4 Riješiti jednačine: a) − 22 = −3; 4 2 b) 5(x − 3) + 5 (x + 4)(8 − x) = 75. b) 5(x − 3)2 + 5 (x + 4)(8 − x) = 75. a) Zbir polovine i trećine nekog broja je za 9 manji od tog broja. Koji je to a) Zbir polovine i trećine nekog broja je za 9 manji od tog broja. Koji je to broj? broj? b) Obim pravougaonika je 48 cm. Jedna stranica je 2 puta veća od druge. b) Obim površinu pravougaonika je 48 cm. Jedna stranica je 2 puta veća od druge.

Odrediti pravougaonika.

Odrediti površinu pravougaonika.

Odrediti parametar k funkcije y = kx, ako grafik sadrži tačku A(−4,3; Odrediti parametar funkcijezay datu = kx, ako grafik sadrži tačku A(−4,3; 12,9).

Nacrtati grafikk funkcije vrijednost parametra k.

12,9). Nacrtati grafik funkcije za datu vrijednost parametra k.

II grupa grupa IIIIgrupa Uprostiti izraze: Uprostiti izraze: ((𝑥𝑥 7 )3 ∶ 𝑥𝑥 13 ) ∙ 𝑥𝑥 5 612 ∙1812 3 7 3 13 ) ∙ 𝑥𝑥 5 ; 12 ) : (3)10 . a) ((𝑥𝑥 b) ( ) ∶ 𝑥𝑥 612 9 12 4 5 12∙18 12 (𝑥𝑥 ):(𝑥𝑥 ∙𝑥𝑥 ) 15 ∙12 a) (𝑥𝑥 9∙𝑥𝑥12 ):(𝑥𝑥 4 )5 ; b) (1512 ∙1212 ) : (55)10 . a) Ako je A = x22 + 1, B = −4x + 5 i C = −4x22 − 5x + 1, odrediti C − A∙B. + 1, B = −4x + 5 i C = −4x − 5x + 1, odrediti C − A∙B. a) Ako je A =jexdobijeni Kog stepena polinom?

Kog stepena je dobijeni polinom? b) Srediti izraz: (3x − 1)22 – (4x + 5)(4x − 5). b) Srediti izraz: (3x − 1) – (4x + 5)(4x − 5).

a)

b)

c)

γ

30°

Dijagonala 9α

α

19

8x

3α

x 3. Riješiti jednačine: 2𝑥𝑥−4 3𝑥𝑥 3. Riješiti jednačine: a) (x + 5)(x + 2) – 3(4x − 5) = (x − 5)2 + 15; b) x+ 2 − 5 = 1.

2𝑥𝑥−4 3𝑥𝑥 a) (x + 5)(x + 2) – 3(4x − 5) = (x − 5)2 + 15; b) x+ − 5 = 1.

4. a) Zbir polovine i petine nekog broja manji je za 999 od tog2 broja.

Koji je to broj?

4. a) Zbir polovine i petine nekog broja manji je za 999 od tog broja. Koji je 2 1 to b) broj? Štap je svoje dužine u zemlji, njegove dužine je u vodi i 1,2 m van 5 2

3 1

b) ŠtapKolika je 5 svoje dužine u zemlji, 3 njegove dužine je u vodi i 1,2 m van vode. je dužina štapa? α Kolika je dužina štapa?100° Popuniti 5. vode.

Funkcija y = kx data je tabelarno. tabelu i nacrtati grafik date funα date β kcije.

5. Funkcija y = kx data je tabelarno. Popuniti tabelu i nacrtati grafik α funδ 3 kcije. x −6 −4 γ α + 20° x 3 − 6 −4 y = kx 4 1,2 0,4 y = kx 4 1,2 0,4 Ana Jovanović, JU OŠ „Luka Simonović“, Nikšić Ana Jovanović, JU OŠ „Luka Simonović“, Nikšić IX razred

IX IX razred razred

2.

2.

y 3

ATM OS FE R

1.

1.

Linearna funkcija. Površina i zapremina prizme.

Linearna funkcija. Površina i zapremina prizme.

Date su funkcije u implicitnom obliku: 𝑎𝑎) 2𝑥𝑥 – 4𝑦𝑦 + 4 = 0; α 𝑏𝑏) 5𝑥𝑥su– funkcije 2𝑦𝑦 – α3+ = 0.

Date u50° implicitnom obliku: 𝑎𝑎) 2𝑥𝑥 – 4𝑦𝑦 + 4 = 0; α Napisati date funkcije u eksplicitnom obliku, a zatim nacrtati njihove 𝑏𝑏) 5𝑥𝑥 – 2𝑦𝑦 – 3 = 0. grafike. date funkcije u eksplicitnom obliku, a zatim nacrtati njihove Napisati grafike.

Napisati jednačinu koja odgovara nacrtanom grafiku.

Napisati jednačinu koja odgovara nacrtanom grafiku.

2

A

ČA NA

1

–2

–1

0

1

3 x

NA

UČ

–1

2

IO

SA

M

20

Dijagonala

3.

4.

3.

4.

5.

5.

Odrediti linearnu funkciju čiji grafik sadrži tačke 𝐴𝐴(− 1, −4) i 𝐵𝐵(1, 2).

Data je funkcija = (𝑚𝑚 +čiji 2)𝑥𝑥grafik + (𝑚𝑚 − 4), gdje𝐴𝐴(− je 𝑚𝑚1,∈−4) ℝ.Odrediti Odrediti linearnu𝑦𝑦funkciju sadrži tačke i 𝐵𝐵(1, 2).vrijednost parametra m tako da je nula funkcije 𝑥𝑥 = 4.

Data je funkcija 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 + 2)𝑥𝑥 + (𝑚𝑚 − 4), gdje je 𝑚𝑚 ∈ ℝ.Odrediti vriAko tačka 𝐴𝐴(3, 2)mpripada jednost parametra tako dagrafiku je nula funkcije funkcije 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥 =−4. 2𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 – 𝑚𝑚, izračunati vrijednost ∈ ℝ i za tu vrijednost parametra Ako tačka 𝐴𝐴(3,parametra 2) pripada𝑚𝑚grafiku funkcije 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 2𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 – m 𝑚𝑚,napisati izračufunkciju u eksplicitnom obliku. nati vrijednost parametra 𝑚𝑚 ∈ ℝ i za tu vrijednost parametra m napisati 6. funkciju Odrediti ulinearnu funkciju y = kx + n, čiji grafik sadrži tačku 𝑀𝑀(1 ,5) i eksplicitnom obliku. paralelan je grafiku funkcije – 𝑦𝑦+ − 0.

6. Odrediti linearnu funkciju y 2𝑥𝑥 = kx n, 1 čiji= grafik sadrži tačku 𝑀𝑀(1 ,5) i 7. paralelan Odrediti vrijednost je grafiku parametra funkcije 2𝑥𝑥𝑚𝑚–∈𝑦𝑦ℝ,−tako 1 =da 0. funkcija 𝑦𝑦 = (4 − 𝑚𝑚)𝑥𝑥 + (2𝑚𝑚 – 5)vrijednost bude rastuća.

7. Odrediti parametra 𝑚𝑚 ∈ ℝ, tako da funkcija 𝑦𝑦 = (4 − 𝑚𝑚)𝑥𝑥 + 8. (2𝑚𝑚 Izračunati površinu pravilne: a) trostrane b) četvorostrane prizme, čija je – 5) bude rastuća. osnovna ivica 4 cm, a visina 6a)cm.

8. Izračunati površinu pravilne: trostrane b) četvorostrane prizme, čija je 9. osnovna Izračunatiivica zapreminu dijagonalu 4 cm, a ivisina 6 cm. kvadra čije su osnovne ivice 12 cm i 5 2 . cm, ako je zapreminu njegova površina 392 cmkvadra 9. Izračunati i dijagonalu čije su osnovne ivice 12 cm i 5 2 10. Zbir dužina jednakoivične je 54 cm. Izračunati površinu cm, ako je njegova površinatrostrane 392 cm prizme . i zapreminu prizme.

10. Zbir dužina jednakoivične trostrane prizme je 54 cm. Izračunati površinu 11. iOsnova prave prizme je romb sa dijagonalama 12 cm i 16 cm. Izračunati zapreminu prizme. površinuprave prizme ako jejemanji presjek12kvadrat.

11. Osnova prizme rombdijagonalni sa dijagonalama cm i 16 cm. Izračunati 12. površinu Izračunatiprizme površinu i zapreminu pravilne šestostrane prizme visine 3 cm ako je manji dijagonalni presjek kvadrat. ako je dužina duže dijagonale 4 cm.

12. Izračunati površinu i zapreminu pravilne šestostrane prizme visine 3 cm 13. ako Prostorna dijagonala pravilne četvorostrane prizme dužine 12 cm nagnuta je dužina duže dijagonale 4 cm. je prema ravni osnovepravilne pod uglom od 45°. Izračunati zapreminu te nagnuta prizme.

13. Prostorna dijagonala četvorostrane prizme dužine 12 cm je prema ravni osnove pod uglom od 45°. Izračunati zapreminu te prizme.

Prijedlog II pismenog zadatka Prijedlog drugog pismenog zadatka Prijedlog II pismenog zadatka I grupa grupa I Igrupa 1. Data je funkcija 𝑥𝑥 – 2𝑦𝑦 + 2 = 0.

1. a) Data je funkcija – 2𝑦𝑦 + 2 = 0.

Datu funkciju 𝑥𝑥napisati u eksplicitnom obliku; b) Odrediti presjeke grafika funkcije sa koordinatnim osama; c) Nacrtati funkcije. a) Datu funkciju napisati u eksplicitnom obliku; grafik b) Odrediti presjeke grafika funkcije sa koordinatnim osama; c) Nacrtati grafik funkcije.

2. Odrediti vrednost parametra m ∈ ℝ, tako da funkcija 1

3

Odrediti m ∈ opadajuća. ℝ, tako da funkcija 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 vrednost − 2)𝑥𝑥 +parametra (𝑚𝑚 + 4) bude 1 3 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 linearnu − 2)𝑥𝑥 +funkciju (𝑚𝑚 + 4)𝑦𝑦bude opadajuća.

Odrediti = 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑛𝑛, čiji grafik sadrži tačku presjeka linearnih funkcija 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 4 i 𝑥𝑥 2 i paralelan je presjeka grafiku Odrediti linearnu funkciju 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 + +𝑛𝑛,2𝑦𝑦 čiji=grafik sadrži tačku 1 linearnih𝑦𝑦 funkcija funkcije = 2 𝑥𝑥 + 5.𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 4 i 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 2 i paralelan je grafiku 1 funkcije 𝑦𝑦 površinu = 𝑥𝑥 + 5.i zapreminu pravilne trostrane prizme ako je osnovna 4. Izračunati 2 ivica dva puta kraćaiod visine čija je dužina 8 cm. prizme ako je osnovna 4. Izračunati površinu zapreminu pravilne trostrane ivica dva puta kraća od visine čija je dužina 8 cm.

2.

3.

3.

Dijagonala

21

5. Izračunati površinu i zapreminu pravilne šestostrane prizme čija je veća 5. Izračunati zapreminu šestostrane čija od je 30°. veća dijagonala površinu dužine 16i cm, nagnutapravilne prema ravni osnove prizme pod uglom dijagonala dužine 16 cm, nagnuta prema ravni osnove pod uglom od 30°. grupa IIIIgrupa II grupa 1. Data je funkcija 2𝑥𝑥 – 𝑦𝑦 + 3 = 0.

1. Data je funkcija – 𝑦𝑦funkcije + 3 =i 0. a) Odrediti nulu2𝑥𝑥 date tok; b) Odrediti presjeke grafika funkcije a) Odrediti nulu date funkcije i tok; b) grafik Odrediti presjeke grafika funkcije sa koordinatnim osama; c) Nacrtati funkcije. sa koordinatnim osama; c)𝑚𝑚 Nacrtati grafik 2. Odrediti vrijednost parametra ∈ ℝ, tako da funkcije. funkcija 2. Odrediti vrijednost parametra 𝑚𝑚 ∈ ℝ, tako da funkcija 3 𝑦𝑦 = (2𝑚𝑚 − 3)𝑥𝑥 – 2(𝑚𝑚 – 1 ) bude rastuća. 𝑦𝑦 = (2𝑚𝑚 − 22)𝑥𝑥 – 2(𝑚𝑚 – 1 ) bude rastuća.

3. Odrediti parametar m tako da grafik funkcije (𝑚𝑚 − 3) 𝑥𝑥 – 2𝑦𝑦 + 6 = 0 3. Odrediti parametar m tako funkcije da grafik2𝑥𝑥funkcije − i3)odrediti 𝑥𝑥 – 2𝑦𝑦 + 6=0 bude paralelan sa grafikom − 𝑦𝑦 + 3(𝑚𝑚 =0 monotobude paralelan sa grafikom funkcije 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 3 = 0 i odrediti monotonost tako dobijene funkcije. nost tako dobijene 4. Izračunati površinufunkcije. i zapreminu pravilne četvorostrane prizme, čiji je di4. Izračunati površinu i zapreminu pravilne prizme, čiji je dijagonalni presjek kvadrat površine 36 cm2četvorostrane .

2 jagonalni presjek kvadrat površinepravilne 36 cm .šestostrane prizme čija je veća 5. Izračunati površinu i zapreminu 5. prostorna Izračunatidijagonala površinu i8zapreminu šestostrane čija je cm nagnutapravilne prema ravni osnoveprizme pod uglom odveća 60°. prostorna dijagonala 8 cm nagnuta prema ravni osnove pod uglom od 60°.

Smiljana Lazović, JU OŠ „Narodni heroj Savo Ilić”, Kotor Smiljana Lazović, JU OŠ „Narodni heroj Savo Ilić”, Kotor ODABRANI ZADACI ODABRANI Zadaci ODABRANI ZADACI VI razred VI razred razred VI 1. Dva suplementna ugla razlikuju se za 1°. Koliki su ti uglovi?

1. ugla razlikuju se zaje1°.

Koliki su od ti uglovi?

2. Dva Ugaosuplementna ß je za 10° manji od ugla koji tri puta veći ugla α. Izračunati 2. uglove Ugao ß αjei za 10° manji koji je tri puta veći od ugla α. Izračunati ß, ako se znaod da ugla su oni komplementni. uglove αugla i ß, ako se zna oni komplementni.

3. Pomoću od 19°, kojidajesunacrtan uglomjerom, konstruisati ugao od 1°.

3.

Pomoću ugla od 19°, koji je nacrtan uglomjerom, konstruisati od 1°.

4. Na pitanje nastavnika koliko je odsutnih učenika, redar je ugao odgovorio: 4. „Jedna Na pitanje nastavnika je uodsutnih učenika, je pa odgovorio: šestina“.

U tom koliko momentu razred ulazi jedanredar učenik, se redar „Jedna šestina“. tom momentu u razred ulazi jedanučenika učenik,ima pa se redar ispravlja: „Jedna U osmina, nastavniče“.

Koliko ukupno u ovom ispravlja: „Jedna osmina, nastavniče“.

Koliko ukupno učenika ima u ovom odjeljenju? odjeljenju?

VII razred VII razred razred VII 1. Ugao pri vrhu jednakokrakog trougla četiri puta je veći od ugla na osno1. vici.

UgaoOsnovica pri vrhu jednakokrakog četiriteputa je veći od ugla natajosnoje dužine 6 cm.trougla Izračunati uglove i konstruisati trovici. Osnovica je dužine 6 cm. Izračunati te uglove i konstruisati taj trougao. ugao. zbir svih cijelih brojeva x za koje je |𝑥𝑥| ≤ 3 i − 𝑥𝑥 ≥ 3.

2. Odrediti 2. Odrediti zbir svih cijelih brojeva x za koje je |𝑥𝑥| ≤ 3 i − 𝑥𝑥 ≥ 3.

22 3.

3.

3.

3.

4.

4.

4.

4.

1.

1.

1.

2.

1.

2.

2.

3.

2.

3.

3.

4.

3.

4.

4.

4.

1.

1.

1.

1.

2.

2.

2.

2.

3.

3.

3.

3.

4.

4.

4.

4.

1.

1.

1.

1.

2.

2.

2.

2.

1.

1.

1.

1.

Dijagonala Ako Ako broj broj 33 umanjimo umanjimo za za neki neki cijeli cijeli broj, broj, pa pa apsolutnu apsolutnu vrijednost vrijednost dobijene dobijene razlike oduzmemo od 1, nije od brojeva Ako broj 3 umanjimo neki cijeli broj broj,koji pa apsolutnu razlike oduzmemo od za 1, dobićemo dobićemo broj koji nije manji manjivrijednost od razlike razlikedobijene brojeva – 6 i broj – 2.

Za kolikood smo broj 3?koji razlike oduzmemo 1, umanjili dobićemo broj nije manjivrijednost od razlikedobijene brojeva Ako 3 umanjimo za neki cijeli broj, pa apsolutnu – 6 i – 2. Za koliko smo umanjili broj 3?

– 6 i –ugao 2.

Zapravouglog kolikood smo umanjili razlike oduzmemo 1,trougla dobićemo broj3?koji nije manji od razlike brojeva Jedan jebroj 17°30'.

Pod kojim uglom se vide katete Jedan ugao pravouglog trougla jebroj 17°30'.

Pod kojim uglom se vide katete – 6 i – 2.

Za koliko smo umanjili 3? iz kruga opisanog oko trougla?

Jedan ugao pravouglog je 17°30'.

Pod kojim uglom se vide katete iz centra centra kruga opisanogtrougla oko ovog ovog trougla? iz centra kruga opisanogtrougla oko ovog trougla?

Jedan ugao pravouglog je 17°30'.

Pod kojim uglom se vide katete VIII razred iz centra kruga opisanog okoVIII ovograzred trougla?

VIII razred VIII 16 razred 25 Sa broj ∙∙ 5 16 25 ?

VIII4 razred Sa koliko koliko cifara cifara se se zapisuje zapisuje broj 4 5 16 25 ?

2002 +2002 2003 Sa koliko cifara se 2002 zapisuje broj 4 ∙ 5 ?

2002 2002 2003 +20022003 Riješiti jednačinu: 20022002 = 𝑥𝑥 2002 .

16 25 2003 2002 2003 2003 Sa koliko cifara se 2002 zapisuje broj 4 = ∙ 5𝑥𝑥 ? . +2002 Riješiti jednačinu: 2003 20032003 Riješiti jednačinu: = 𝑥𝑥 2002 .

2003 𝑎𝑎+𝑏𝑏 2002 2003 2003 2002 +2002 Izračunati vrijednost razlomka 𝑎𝑎+𝑏𝑏 , ako je 𝑎𝑎 .> 𝑏𝑏 > 0 i 𝑎𝑎22 + 𝑏𝑏 22 = 6𝑎𝑎𝑎𝑎.

2002 Riješiti jednačinu: = 𝑥𝑥 𝑎𝑎−𝑏𝑏, ako 𝑎𝑎+𝑏𝑏 Izračunati vrijednost razlomka je 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 > 0 i 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 6𝑎𝑎𝑎𝑎.

2003 2003 𝑎𝑎−𝑏𝑏, ako je 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 > 0 i 𝑎𝑎 2 + 𝑏𝑏 2 = 6𝑎𝑎𝑎𝑎.

Izračunati vrijednost razlomka 𝑎𝑎−𝑏𝑏 𝑎𝑎+𝑏𝑏 Šta je 5√2 ili + Izračunati razlomka ako je 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 > 0 i 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 = 6𝑎𝑎𝑎𝑎. Šta je veće: veće:vrijednost 5√2 + + 4√3 4√3 ili 3√5 3√5 +, 7?

7? 𝑎𝑎−𝑏𝑏 Šta je veće: 5√2 + 4√3 ili 3√5 + 7?

IX razred Šta je veće: 5√2 + 4√3 ili 3√5 + 7?

IX IX razred razred IX razred Izračunati graficima IX razred Izračunati površinu površinu slike slike ograničene ograničene graficima funkcija funkcija 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + + 𝑦𝑦 𝑦𝑦 = =3 3 ii 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 1 i apcisnom osom.

Izračunati površinu slike ograničene graficima funkcija 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 3 i 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 1 i apcisnom osom.

Izračunati ograničene 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 3 i dva 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = realan 1 površinu i apcisnom osom. (𝑎𝑎graficima Odrediti broj slike tako da prava prava (𝑎𝑎 − 2)𝑥𝑥 2)𝑥𝑥 + +funkcija 𝑦𝑦 − − 2𝑎𝑎 2𝑎𝑎 + + 3= 0 gradi Odrediti realan broj aa tako da − 𝑦𝑦 3 = 0 gradi dva 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 1 i apcisnom osom. puta odsječak pozitivnom na pozitivnom dijelu (𝑎𝑎 −ose Odrediti brojna a tako da pravadijelu 2)𝑥𝑥Ox + nego 𝑦𝑦 − 2𝑎𝑎 3 = 0 gradi dva puta veći većirealan odsječak na pozitivnom dijelu ose Ox nego na+ pozitivnom dijelu ose Oy. (𝑎𝑎 −ose puta većirealan odsječak pozitivnom na+ pozitivnom dijelu Odrediti brojna a tako da pravadijelu 2)𝑥𝑥Ox + nego 𝑦𝑦 − 2𝑎𝑎 3 = 0 gradi dva ose Oy. ose Oy. puta veći odsječak pozitivnom dijelu oseprizme Ox nego pozitivnom dijelu Dijagonalni presjeknapravilne četvorostrane imanaobim 42 cm i dijagDijagonalni presjek pravilne četvorostrane prizme ima obim 42 cm i dijagose Oy. onalu Odrediti dužine ivica Dijagonalni pravilne onalu 15 15 cm. cm.presjek Odrediti dužinečetvorostrane ivica prizme. prizme.prizme ima obim 42 cm i dijagonalu cm.presjek Odrediti dužine ivica prizme.

Dijagonalni pravilne ima obim 42 cm idužina dijagOdnos15 površina strana datogčetvorostrane kvadra je 2 : prizme 3 : 5. Izračunati odnos Odnos površina stranadužine datog ivica kvadra je 2 : 3 : 5. Izračunati odnos dužina onalu 15 cm.

Odrediti prizme. ivica kvadra.

Odnos površina ivica tog tog kvadra.strana datog kvadra je 2 : 3 : 5. Izračunati odnos dužina ivica tog kvadra.strana datog kvadra je 2 : 3 : 5. Izračunati odnos dužina Odnos površina TAKMIČARSKI ZADACI ivica tog kvadra.

TAKMIČARSKI ZADACI TAKMIČARSKI Zadaci TAKMIČARSKI ZADACI VI razredZADACI TAKMIČARSKI VI razred razred VI razreduglove α i ß ako je njihova Uglovi α i ß su komplementni.VI Odrediti Uglovi α i ß su komplementni.VI Odrediti α i ß ako je njihova razreduglove razlika trećini Uglovi α i ß su komplementni.

Odrediti uglove α i ß ako je njihova razlika jednaka jednaka trećini većeg većeg ugla. ugla. razlika jednaka trećini satna većegi ugla.

Uglovi α i ß zaklapaju su komplementni.

Odreditikazaljka uglove na α i časovniku ß ako je njihova Koliki ugao minutna u 8 časova i Koliki ugao zaklapaju satna i ugla. minutna kazaljka na časovniku u 8 časova i razlika jednaka trećini većeg 10 minuta?

Koliki ugao zaklapaju satna i minutna kazaljka na časovniku u 8 časova i 10 minuta?

10 minuta?

Koliki ugao zaklapaju satna i VII minutna kazaljka na časovniku u 8 časova i razred VII razred 10 minuta? rješenja jednačine: VII razred Odrediti Odrediti zbir zbir rješenja jednačine: VII razred VII razred Odrediti zbir rješenja jednačine: (−10) (−9) (−8) (𝑥𝑥 + + + ⋯ + (−10) + (−9) + (−8) + ⋯ + (𝑥𝑥 − − 1) 1) + + 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = = −27. −27.

Odrediti rješenja jednačine: (−10) +zbir (−9) + (−8) + ⋯ + (𝑥𝑥 − 1) + 𝑥𝑥 = −27. (−10) + (−9) + (−8) + ⋯ + (𝑥𝑥 − 1) + 𝑥𝑥 = −27.

2.

2.

2.

2.

Dijagonala

23

Jedan oštar oštar ugao ugao datog datog pravouglog pravouglog trougla trougla je je pet pet puta puta veći veći od od drugog Jedan drugog Jedan oštar ugao datog pravouglog trougla je pet puta veći od Jedan oštar ugao datogdapravouglog trougla jetrougla pet putačetiri većiputa od drugog drugog oštrog ugla.

Dokazati je hipotenuza ovog veća od od oštrog ugla. ugla. Dokazati Dokazati da da je je hipotenuza hipotenuza ovog ovog trougla trougla četiri četiri puta puta veća veća oštrog od oštrog ugla. Dokazati hipotenuzine visine. da je hipotenuza ovog trougla četiri puta veća od hipotenuzine visine. hipotenuzine hipotenuzine visine. visine.

VIII razred VIII razred VIII razred VIII razred VIII razred 2 3 1.

Dokazati da je zbir 𝑆𝑆 = 3 + 3 + 3 + ⋯ + 32000 + 32001 djeljiv sa 39.

2 2 + 33 3 + ⋯ + 32000 2000 + 32001 2001 1.

Dokazati da je zbir 𝑆𝑆 = 3 + 3 sa 39.

1.

Dokazati da je zbir 𝑆𝑆 = 3 + 3 djeljiv sa 2 + 33 + ⋯ + 32000 + 32001 djeljiv 1. Dokazati da je zbir 𝑆𝑆 = 3 + 3 + 3 + ⋯ + 3 +3 djeljiv sa 39.

39.

2.

Dokazati da je broj 111 ⏟ …

111 − 222 ⏟ …

222 kvadrat nekog prirodnog 2.

Dokazati da je broj 111 ⏟ …

111 − 222 ⏟ …

222 kvadrat nekog prirodnog 2.

111 …

222 …

2. Dokazati Dokazati da da je je broj broj ⏟ 1112000 ⏟ … 111 111 − −⏟ 2221000 ⏟ … 222 222 kvadrat kvadrat nekog nekog prirodnog prirodnog 2000 1000 2000 1000 broja.

2000 1000 broja. broja. broja.

IX razred IX razred IX razred IX IX razred razred 1.

Nacrtati u koordinatnom sistemu ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 čije stranice: AB, BC ii AC redom 1.

Nacrtati uu koordinatnom sistemu ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 čije stranice: AB, BC AC redom 1.

Nacrtati koordinatnom sistemu ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 čije stranice: AB, BC i AC pripadaju 𝑦𝑦 = 1, 𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 4 = 0.

Izračunati kruga 1. Nacrtati u pravima: koordinatnom sistemu ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 čije stranice: AB, BC obim i AC redom redom pripadaju pravima: 𝑦𝑦 = 1, 𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 4 = 0.

Izračunati obim pripadaju pravima: 𝑦𝑦 = 1, 𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 4 = 0.

Izračunati obim kruga kruga opisanog oko trougla ABC. pripadaju pravima: 𝑦𝑦 = 1, 𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 4 = 0.

Izračunati obim kruga opisanog oko trougla ABC. opisanog oko trougla opisanog oko jednake trougla ABC. ABC. 2.

Date su dvije prave prizme, čije osnove su jednakokraki pravougli 2.

Date su dvije jednake prave prizme, prizme, čije čije osnove osnove su su jednakokraki jednakokraki pravougli pravougli 2.

Date su dvije jednake prave 2. Date su dvije jednake od prave prizme, čije osnove su 10 jednakokraki pravougli trouglovi sa katetama 5 cm.

Visine prizmi su po cm.

Koliko različitih trouglovi sa sa katetama katetama od od 55 cm. cm. Visine Visine prizmi prizmi su su po po 10 10 cm.

Koliko različitih trouglovi cm.

Koliko različitih trouglovi sa katetama od 5 cm.

Visine prizmida su sastavimo po 10 cm. Koliko različitih trostranih ii četvorostranih prizmi možemo od te dvije jedtrostranih četvorostranih prizmi možemo da sastavimo od te dvije jedtrostranih i četvorostranih prizmi možemo da sastavimo od te dvije jedtrostranih i četvorostranih prizmi možemo da sastavimo od te dvije jednake prizme?

Koja od njih ima najveću površinu? nake prizme?

Koja od njih ima najveću površinu? nake prizme? prizme? Koja Koja od od njih njih ima ima najveću najveću površinu? površinu? nake Stanislavka Aprcović ii Irena Pavićević, Stanislavka Aprcović Irena Pavićević, Stanislavka Aprcović i Irena Pavićević, JU OŠ „Štampar Makarije“, Podgorica Stanislavka Aprcović i Irena Pavićević, JU OŠ „Štampar Makarije“, Podgorica JU OŠ OŠ „Štampar „Štampar Makarije“, Makarije“, Podgorica Podgorica JU RJEŠENJA IZ PROŠLOG BROJA RJEŠENJA TAKMIČARSKIH TAKMIČARSKIH ZADATAKA ZADATAKA IZ PROŠLOG PROŠLOG BROJA BROJA ZADATAKA RJEŠENJA ZadaTAKA IZ RJEŠENJA TAKMIČARSKIH TAKMIČARSKIH ZADATAKA IZ PROŠLOG BROJA VI RAZRED VI RAZRED VI RAZRED VI RAZRED VIkoracima razreddužinu dijagonale pravougaonog 1.

Petar i Ana su mjerili svojim 1.

Petar i Ana su mjerili svojim koracima dužinu dijagonale pravougaonog 1. ii Ana su mjerili svojim koracima dužinu dijagonale pravougaonog dvorišta.

Pošli su iz iste tačke i kretali se po istoj pravoj liniji.

Dužina te 1. Petar Petar Ana su mjerili svojim koracima dužinu dijagonale pravougaonog dvorišta.

Pošli su iz iste tačke i kretali se po istoj pravoj liniji.

Dužina te dvorišta.

Pošli su iz iste tačke i kretali se po istoj pravoj liniji.

Dužina dijagonale je 143 Njihove su se 20 puta (ne računajući dvorišta.

Pošli su m. iz iste tačkestope i kretali sepoklopile po istoj pravoj liniji.

Dužina te te dijagonale je 143 m.

Njihove stope su se poklopile 20 puta (ne računajući dijagonale je 143 m. Njihove Njihove stope su se se55poklopile poklopile 20 puta puta (ne računajući računajući polazni položaj).

Anin korak je dužine cm.

Kolika je dužina Petrovog dijagonale je 143 m. stope su 20 (ne polazni položaj). položaj). Anin Anin korak korak je je dužine dužine 55 55 cm. cm. Kolika Kolika je dužina dužina Petrovog polazni koraka? polazni položaj). Anin korak je dužine 55 cm. Kolika je je dužina Petrovog Petrovog koraka? koraka? koraka?

2.

Odrediti najmanji prirodan broj djeljiv sa 36, zapisan samo ciframa 4 i 7.

2.

Odrediti najmanji prirodan broj djeljiv sa 36, zapisan samo ciframa 7.

2. Odrediti Odrediti najmanji najmanji prirodan prirodan broj broj djeljiv djeljiv sa sa 36, 36, zapisan zapisan samo samo ciframa ciframa 444 iii 7.

7.

2.

Rješenja: Rješenja: Rješenja: Rješenja: 1.

Dvadeseti dio dužine dijagonale dvorišta je rastojanje između dva po1.

Dvadeseti dio dužine dijagonale dvorišta je rastojanje između dva po1. Dvadeseti Dvadeseti dio dužine dužine dijagonale dvorišta je rastojanje rastojanje između dva dva popoklapanja stopa, a to je 14300 𝑐𝑐𝑐𝑐 ∶ 20 = 715 𝑐𝑐𝑐𝑐.

1. dio dijagonale dvorišta je između klapanja stopa, a to je 14300 𝑐𝑐𝑐𝑐 ∶ 20 = 715 𝑐𝑐𝑐𝑐. klapanja stopa, stopa, aa to to je je 14300 14300 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐 ∶∶ 20 = 𝑐𝑐𝑐𝑐. klapanja 20 = 715 715 𝑐𝑐𝑐𝑐.

Broj 715 je NZS za 55 (Anin korak) ii dužinu Petrovog koraka.

Broj 715 je NZS za 55 (Anin korak) dužinu Petrovog koraka.

Broj 715 je NZS za 55 (Anin korak) i dužinu Petrovog koraka.

Broj 715 je715 NZS za 55 (Anin korak) i dužinu Petrovog koraka.

Kako je = 5 ∙ 11 ∙ 13 = 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁(55, 𝑛𝑛) i 55 = 5 ∙ 11, to su moguće Kako je 715 = 5 ∙ 11 ∙ 13 = 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁(55, 𝑛𝑛) i 55 = 5 ∙ 11, to su moguće Kako je 715 = 5 ∙ 11 ∙ 13 = 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁(55, 𝑛𝑛) i 55 = 5 ∙ 11, to su moguće vrijednosti za n: 13 cm, 5 ∙ 13 = 65 𝑐𝑐𝑐𝑐, ili 11 ∙ 13 = 143 𝑐𝑐𝑐𝑐.

Jedino Kako je 715 = 5 ∙ 11 ∙ 13 = 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁(55, 𝑛𝑛) i 55 = 5 ∙ 11, to su moguće vrijednosti za n: 13 cm, 5 ∙ 13 = 65 𝑐𝑐𝑐𝑐, ili 11 ∙ 13 = 143 𝑐𝑐𝑐𝑐.

Jedino vrijednosti za n: 13 cm, 5 ∙ 13 = 65 𝑐𝑐𝑐𝑐, ili 11 ∙ 13 = 143 𝑐𝑐𝑐𝑐.

Jedino realno rješenje je da nn = cm, Petrovog 65 cm.

565 ∙ 13 =tj.

65dužina 𝑐𝑐𝑐𝑐, ili 11 ∙ 13koraka = 143je 𝑐𝑐𝑐𝑐.

Jedino vrijednosti za n: 13 je cm, realno rješenje je da je = 65 cm, tj. dužina Petrovog koraka je 65 cm. realno rješenje je da je n = 65 cm, tj. dužina Petrovog koraka je 65 cm. realno rješenje je da je n = 65 cm, tj. dužina Petrovog koraka je 65 cm.

24

Dijagonala

2. Broj je djeljiv sa 36 ako je djeljiv sa 9 (zbir cifara djeljiv sa 9) i sa 4 2. Broj je djeljiv sa 36 ako je djeljiv sa 9 (zbir cifara djeljiv sa 9) i sa 4 (dvocifreni završetak djeljiv sa 4). Od brojeva čiji je dvocifreni završetak: (dvocifreni završetak djeljiv sa 4). Od brojeva čiji je dvocifreni završetak: 44, 47, 74, 77 samo je 44 djeljiv sa 4, a zbir njegovih cifara je 8. Zbir 44, 47, 74, 77 samo je 44 djeljiv sa 4, a zbir njegovih cifara je 8. Zbir preostalih cifara traženog broja mora biti 1, ili 10, ili 19 itd. Sabiranjem preostalih cifara traženog broja mora biti 1, ili 10, ili 19 itd. Sabiranjem brojeva 4 i 7 ne može se dobiti 1 i 10, a kako je 19 = 4 + 4 + 4 + 7, to je brojeva 4 i 7 ne može se dobiti 1 i 10, a kako je 19 = 4 + 4 + 4 + 7, to je 444744 traženi broj.

444744 traženi broj.

VII RAZRED VII VIIrazred RAZRED 1. Porodica Dijagonalović ima samo jedan fenjer i treba da po noći, trošnim 1. Porodica Dijagonalović ima samo jedan fenjer i treba da po noći, trošnim mostom, pređe preko nabujale rijeke. Otac pređe most za jedan, majka za mostom, pređe preko nabujale rijeke. Otac pređe most za jedan, majka za 2, sin za 5, a baka za 10 minuta. Koliko je najmanje vremena potrebno da 2, sin za 5, a baka za 10 minuta. Koliko je najmanje vremena potrebno da svi pređu preko mosta, ako se na mostu istovremeno mogu naći najviše 2 svi pređu preko mosta, ako se na mostu istovremeno mogu naći najviše 2 osobe, a brža osoba mora da prati ritam sporije? Osoba koja prelazi most osobe, a brža osoba mora da prati ritam sporije? Osoba koja prelazi most mora da nosi fenjer, ali preko mosta jedna osoba ne može da nosi drugu mora da nosi fenjer, ali preko mosta jedna osoba ne može da nosi drugu osobu. osobu.

2. Naći zbir cjelobrojnih rješenja nejednačine |𝑥𝑥 + 5| ≤ 7.

2. Naći zbir cjelobrojnih rješenja nejednačine |𝑥𝑥 + 5| ≤ 7.

Rješenja: Rješenja: 1. Prvo preko rijeke pređu otac i majka za 2 minuta, pa se otac sa fenjerom 1. Prvo preko rijeke pređu otac i majka za 2 minuta, pa se otac sa fenjerom vrati za 1 minut. Zatim sin i baka pređu most za 10 minuta, pa majka vrati vrati za 1 minut. Zatim sin i baka pređu most za 10 minuta, pa majka vrati fenjer za 2 minuta do muža. Na kraju njih dvoje, majka i otac, pređu most fenjer za 2 minuta do muža. Na kraju njih dvoje, majka i otac, pređu most za 2 minuta. Svi su prešli za 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 minuta. za 2 minuta. Svi su prešli za 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 minuta.

2. |𝑥𝑥 + 5| ≤ 7 2. |𝑥𝑥 + 5| ≤ 7 −7 ≤ 𝑥𝑥 + 5 ≤ 7 −7 ≤ 𝑥𝑥 + 5 ≤ 7 −12 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2. −12 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2.

Dakle, treba naći zbir brojeva: −12, −11, −10, … , 0, 1, 2. Njihov zbir je – 75.

Dakle, treba naći zbir brojeva: −12, −11, −10, … , 0, 1, 2. Njihov zbir je – 75.

VIII RAZRED

1.

1.

2.

2.

VIIIrazred RAZRED VIII

Odrediti tri prosta broja tako da im je proizvod 7 puta veći od zbira.

Odrediti tri prosta broja tako da im je proizvod 7 puta veći od zbira.

Poslodavac je nagradio radnika povećanjem zarade za 10%. Pošto je vratio Poslodavac je nagradio radnika povećanjem zarade za 10%. Pošto je vratio dug od 60 €, preostalu zaradu radnik je podijelio na 3 jednaka dijela od po dug od 60 €, preostalu zaradu radnik je podijelio na 3 jednaka dijela od po 90 €. Kolika je zarada radnika bez nagrade?

90 €. Kolika je zarada radnika bez nagrade?

Rješenje: Rješenje: 1. Neka su x, y, z prosti brojevi.

1. Neka su x, y, z prosti brojevi.

Kako je 7 ∙ (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 ∙ 𝑧𝑧, slijedi da 7 dijeli 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 ∙ 𝑧𝑧. Kako su x, Kako je 7 ∙ (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 ∙ 𝑧𝑧, slijedi da 7 dijeli 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 ∙ 𝑧𝑧. Kako su x, y, z prosti brojevi slijedi da je bar jedan od njih djeljiv sa 7, tj. pošto su u y, z prosti brojevi slijedi da je bar jedan od njih djeljiv sa 7, tj. pošto su u pitanju prosti brojevi mora biti jedan od njih jednak broju 7. pitanju prosti brojevi mora biti jedan od njih jednak broju 7.

b)

c)

d)

γ

2.

2. α β

1.

1.

2.

2.

γ

2

3 x

NA

JE N

1

UČ

EN

1

ASTA VE

ATM OS FE R

2

I UP GR

3

U

Rješenje: Rješenje: 1. Razmatramo dva moguća slučaja.

A B 1. IRazmatramo dvaAmoguća slučaja. rješenje (tačke i B su sa raznih strana ravni α). Računamo: I rješenje (tačke A i B su sa raznih strana ravni α). Računamo: 𝐴𝐴𝐴𝐴 2 = (8 + 3)2 + 122 = 112 + 122 = 265. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = √265 𝑐𝑐𝑐𝑐.

2 2 2 𝐴𝐴𝐴𝐴rješenje = (8 + 3)2 + = sa 11iste +strane 122 =Sravni 265. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = √265 𝑐𝑐𝑐𝑐.

II (tačke A 12 i B su A U α). Č RA II rješenje (tačke A i−B3)su2 sa iste2 strane 2 2 α).

D𝑐𝑐𝑐𝑐.

NA52 +ravni Onda je: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (8 + 12 = 12 = 169. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 13 2 2 2A 2 2 = (8 − 3) + 12 = 5 + 12 = 169. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 13 𝑐𝑐𝑐𝑐.trougla Onda je: 𝐴𝐴𝐴𝐴 2. Unutrašnji uglovi pravilnog petougla su 108°, a jednakostraničnog 2. Unutrašnji uglovi 108°, jednakostraničnog trougla ABF su 60°, pa jepravilnog ∢𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = petougla ∢𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 =su 108° − a60° = 48°. Trouglovi EFA 180°−48° ABF su 60°, pa je ∢𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = ∢𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 108° − 60° = 48°.

Trouglovi EFA i CFB su jednakokraki, pa je ∢𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = ∢𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 180°−48° = 66° i 2 = 66° i i CFB su jednakokraki, pa je ∢𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = ∢𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 2 ∢𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 360° − 2 ∙ 66° − 60° = 168°. ∢𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 360° −Anđa 2 ∙ 66° − 60° = 168°. Boljević, Tamara Jakovljević, Vujović, Snežana Anđa Vujović, Snežana Tamara Jakovljević, JU OŠBoljević, „Pavle Rovinski“, Podgorica JU OŠ „Pavle Rovinski“, Podgorica

y

–1

25

Neka je x = 7. Slijedi 7 ∙ (730° + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧) = 7 ∙ 𝑦𝑦 ∙ 𝑧𝑧, tj. 7 20° + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 𝑦𝑦 ∙ 𝑧𝑧. β∙ 𝑦𝑦 ∙ 𝑧𝑧, tj. 7 + 𝑦𝑦 + (7 + 𝑦𝑦 +α𝑧𝑧) = (1 Neka je x = 7.

Slijedi 7 ∙ 7 𝑧𝑧 =α𝑦𝑦 ∙ 𝑧𝑧.β 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 𝑦𝑦 ∙ 𝑧𝑧 = −7 − 𝑧𝑧) ∙ (𝑦𝑦 − 1) =90° −8 (1 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧) 𝑦𝑦 ∙ + 𝑧𝑧 = −7−7 − 1) 𝑧𝑧) ∙∙ (𝑦𝑦 =8 −8 (𝑧𝑧 − 𝑦𝑦 ∙+(1𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 = (𝑦𝑦 − − 1) 1) = (1 (𝑧𝑧 − 1) ∙ (𝑦𝑦 − 1) = 8 𝑦𝑦 ∙∙ (1 − 𝑧𝑧) = 1−7 8x − 𝑦𝑦 𝑧𝑧) + +x 𝑧𝑧𝑧𝑧 − = −8 𝑦𝑦 ∙ (1 − 𝑧𝑧) + 𝑧𝑧da−po 1= −8 zadatka jedino odgovara da je 8 = 4 ∙ 2.

Zaključujemo uslovu Zaključujemo da − po1)uslovu odgovara je 8 = rješenja 4 ∙ 2. su Prema tome, (𝑧𝑧 = 4 i zadatka (𝑦𝑦 − 1)jedino = 2, ili obrnuto.daDakle, (𝑧𝑧 5, Prema tome, 3, − 7.

1) = 4 i (𝑦𝑦 − 1) = 2, ili obrnuto. Dakle, rješenja su prosti brojevi prosti brojevi 3, 5, 7.

1 11 Zarada radnika je x €. Radnik je dobio 𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥 €.

1 𝑥𝑥 = 11 Zarada radnika je x €. Radnik je dobio 𝑥𝑥11+ 10 𝑥𝑥 = 10 𝑥𝑥 €.β α 10 Pošto je vratio dug od 60 €, ostalo mu je 11 𝑥𝑥 − 60 €. Formiramo jednačinu 60° Pošto je vratio dug od 60 €, ostalo mu je 10 𝑥𝑥 − 60 €. Formiramo jednačinu 11 10 Zarada radnika je 300 €.

(11 𝑥𝑥 − 60) : 3 = 90, čije je rješenje 300.

10 (10 𝑥𝑥 − 60) : 3 =α 90, α čije je rješenje 300. Zarada radnika γ je 300 €.

IX IXRAZRED razred δ IX RAZRED 20° Tačka A je od ravni αα+udaljena 8 cm, a tačka B je od ravni α udaljena 3 Tačka A je od ravni α udaljena cm, a tačka B ako je odjeravni α udaljena cm. Koliko je rastojanje između8 tačaka A i B, dužina normalne3 cm.

Koliko je rastojanje između tačaka A i B, ako je dužina normalne projekcije duži AB na ravan α, duž A1B1, jednaka 12 cm? Odrediti sva rjeprojekcije duži AB na ravan α, duž A1B1, jednaka 12 cm? Odrediti sva rješenja.

D šenja.

U pravilni petougao ABCDE ucrtan je U pravilni petougao ABCDE je jednakostranični trougao ABF,ucrtan kao na jednakostranični trougao ABF, kao na ∢EFC, slici. Izračunati ugao E C slici.

Izračunati ugao ∢EFC, naznačen na slici. naznačen na slici.

F

IO

SA

OĐ

°

Dijagonala

V

26

Dijagonala

PISANA Priprema za čas Škola:

JU OŠ „Lovćenski partizanski odred”, Cetinje

Predmet:

Matematika

Razred:

Deveti

Nastavnik:

Katarina Kapičić

Nastavna jedinica:

Površina pravilne prizme

Tip časa:

Obrada

TOK ČASA Aktivnost učenika

Aktivnost nastavnika

Uvodni dio časa Učenici zapisuju naslov Nastavnik kazuje i zapisuje na tabli naslov lekcije, zatim ističe cilj časa usmeno, frontalno svima. Nastavnik postavlja zahtjeve i pitanja: lekcije u svojim sveskama.

1. Definiši pravu prizmu.

Odgovor: Prizma čije su bočne ivice normalne na ravni koje sadrže njene osnove zove se prava prizma.

2. Definiši pravilnu prizmu.

Učenici daju odgovore Odgovor: Pravu prizmu koja za osnove ima dva pravilna mnogougla na postavljene nazivamo pravilnom prizmom. zahtjeve i pitanja 3. Po čemu su prava i pravilna prizma slične? za ponavljanje i Odgovor: Pravilna prizma je i prava prizma. povezivanje gradiva, 4. Daj primjer pravilne prizme. slušaju uputstva Odgovor: Kocka-pravilna četvorostrana prizma, pravilna trostrana i, eventualno, prizma, pravilna n-tostrana prizma... postavljaju dodatna 5. Izračunaj površinu prave petostrane prizme čija je baza površine 10, a pitanja. bočna strana 20.

Odgovor: Kako je opšta formula za površinu prizme P= 2·B + M, a M= 5 · Pb (Pb-površina bočne strane), to je: P = 2 · 10 + 5 · 20 = 20 + 100 = 120.

6. Prodiskutuj opštu formulu za računanje površine prave prizme.

Odgovor: Opšta formula za računanje površine prizme ukazuje na to da ako znamo površine osnove prizme i jedne njegove bočne strane ili znamo da ih izračunamo, tada znamo da odredimo i površinu prizme.

Dijagonala

27

7. Koje opšte zaključke možete da izvedete?

Odgovor: Kako je pravilna prizma prava prizma, da bi odredili njenu površinu možemo da primijenimo opštu formulu za računanje P (prave) prizme.

Nastavnik obavještava učenike o predstojećim aktivnostima na času koje će se odvijati u okviru dvije cjeline. Prvi dio - u okviru njihovog grupnog rada (metoda slagalice) i drugi - kao njihov individualni rad (pisana provjera znanja, metoda demonstracije). Nastavnik upućuje učenike u način rada u metodi slagalice.

Glavni dio časa Učenici se razmještaju Nastavnik kaže učenicima da se razmjeste onako kako je dogovoreno. po unaprijed dogovore- (U odjeljenju se formiraju 4 grupe po 6 učenika.) nom rasporedu.

Svaka grupa učenika dobija na svom radnom prostoru materijal za dalji rad.

Učenici uzimaju nastavne listiće (br.1), pažljivo čitaju, dogovaraju se, određuju ,,eksperte“ u okviru svoje grupe, skiciraju osnove odgovarajuće prizme i lijepe stikere za identifikaciju.

Učenici eksperti odlaze na mjesta okupljanja ,,eksperata“ noseći svoj model.

Učenici uočavaju izazov rješavanja zadatka, prikupljaju potrebne podatke o mjerama modela (mjere modele lenjirom ili šestarom), uočavaju načine na koje mogu da riješe zadatak.

Nastavnik će da podijeli po grupama: – prazne listove A4 kao pomoćni prostor za račun, skicu; – nastavne listiće br.1 i br.2; – stikere za obilježavanje članova grupe; – flomastere; – modele trostrane, četvorostrane i šestostrane prizme; – hamer, tako što će da postavi predviđeni materijal na odgovarajuće mjesto, na klupi grupe, koje je predviđeno za to, a nastavni listić se postavlja tako da njegov sadržaj nije vidljiv. Jedna grupa dobija tačno onoliko listića koliki je broj članova grupe.

Nastavnik dodjeljuje svakoj grupi po jedan crni flomaster i po jedan flomaster u boji (crveni, plavi, žuti i zeleni) i naglašava učenicima da crnim flomasterom treba da rade zadatak na hameru, kad za to dođe vrijeme (u nastavnom listiću je precizirano kad to treba da se radi).

Kad su svi učenici uzeli nastavni listić br. 1 nastavnik obavještava učenike da sada mogu da okrenu listiće i upoznaju se sa sadržajem, upozoravajući ih da je za tu aktivnost planirano 4 minuta, a da je vrijeme predviđeno za njihovu sledeću aktivnost, tj. konsultaciju ,,eksperata“, 7 minuta.

Nastavnik uvažava i usklađuje tempo rada cjelokupnog odjeljenja.

Nastavnik pazi na vrijeme, pa obavještava ,,eksperte“ da je vrijeme za njihove konsultacije isteklo i da treba da se vrate u matične grupe, a da sledeća aktivnost traje 11 minuta (okvirno).

28

Dijagonala

Učenici pri tom razmjenjuju i stiču nova znanja, diskutuju, dogovaraju se, zapisuju ideje. Učenici poštuju zadato vrijeme i prate korake navedene u nastavnom listiću br. 1.

Nastavnik se trudi da utiče na stvaranje i održavanje radne atmosfere i vodi računa o vremenu, po potrebi pristupa učenicima individualizovano, pomaže onima koji otežano prate nastavu, da nacrtaju traženu mrežu pravilne prizme, trudeći se da se što manje upliće u rješavanje postavljenog zadatka.

Nastavnik komentariše rješenja i pohvaljuje učenike, zapisuje na tabli formule za izračunavanje površine pravilne trostrane, četvorostrane i šestostrane prizme.

Po završetku rada na drugom zadatku, nastavnik komentariše, ocjenjuje i poUčenici ,,ekspreti“ hvaljuje učenike. se vraćaju u matičnu grupu i upoznaju ostale članove te grupe sa svojim saznanjima proisteklim iz rada u H stručnim grupama.

H H Učenici računaju površine dobijenih H H a a modela pravilnih prizmi, uobličavaju a a opšte formule za a površine pravilne trostrane, pravilne četvorostrane i pravilne šestostrane prizme i sve zapisuju na dobijeni hamer H H papir.

H

Učenici postavljaju hamere na tablu.

Učenici provjeravaju korektnost formula koje su izveli, upoređujući ih sa formulama datim u njihovim udžbenicima iz matematike.

H

a

a a

Učenici uzimaju nastavni listić br. 2 i svaki učenik samostalno radi jedan od zadataka zapisanih na tom listiću. Ostali zadaci na listiću su za domaći. Učenici koji iz bilo kojih razloga otežano prate nastavu matematike ili5su to radili tokom proteklog časa, rade zadatak koji je 6 6 7 8 12 br. 2 prvonavedeni.

4 na nastavnom listiću 21 ?

4

5

10

Dijagonala

29

Završni dio časa Nastavnik postavlja pitanja: Učenici odgovaraju na 1. Navedi formulu za računanje površine pravilne trostrane prizme. postavljena pitanja Odgovor: 2 navodeći, opisujući P = 2 · a √ + 3 · a · H i demonstrirajući 4 Navedi formulu za računanje površine pravilne četvorostrane prizme. traženo.

Odgovor: Na samom kraju časa učenici ocjenjuju P = 2 · a2 + 4 · a · H određene aspekte časa.

Navedi formulu za računanje pravilne šestostrane prizme.

Odgovor: 2 P = 2 · 6 · a √ + 6 · a · H 4 2. Opiši svojim riječima kako se do nje dolazi (npr. za pravilnu trostranu prizmu). Odgovor: Polazim od opšte formule za računanje P prizme; uočavam da je osnova pravilne trostrane prizme jednakostranični trougao, a da se omotač pravilne trostrane prizme sastoji od tri podudarna pravougaonika. Na osnovu toga mogu da je izvedem.

3. Demonstriraj pomoću svog modela što čini površinu pravilne prizme.

Odgovor: Učenik na svom modelu pokazuje baze i bočne strane prizme, imenujući koji su to mnogouglovi – jednakostranični trouglovi, kvadrati, pravilni šestouglovi i pravougaonici.

Na samom kraju časa, nastavnik kaže učenicima da će primijeniti tehniku ocjenjivanja časa ,,meta“, objašnjava je, postavlja karton sa ,,metom procjene časa“ na sredini table, te učenici daju svoju ocjenu časa.

NASTAVNI LISTIĆ BR. 1 1. ZADATAK (Trajanje 4 minuta.) a) Izračunati površinu svakog od datih modela tijela; b) Zapisati opštu formulu za računanje površine one vrste

prizme kojoj dati modeli pripadaju.

Da biste to uradili podijelićete ,,posao“ na tri dijela, tj. po dva učenika grupe baviće se jednim od datih tijela. Ta dva člana grupe proglasićete ,,ekspertima“ za njima dodijeljeno tijelo. Da bi izbor bio vidljiv, na stikerima, koji su vam dati, ćete skicirati (nacrtati rukom), mnogougao koji je osnova datog modela i zalijepićete ga na lijevu stranu grudi svakog člana grupe, što znači da vaša grupa treba da označi i zalijepi tri puta po dva stikera sa istom skicom.

30

Dijagonala

2. (Trajanje 7 minuta.) Prelazite na mjesto označeno za ,,eksperte iste struke“.

Konsultujete se s članovima ,,stručne“ grupe oko rješavanja zadatka, dogovarate se, donosite zaključke koristeći pristup koji predlaže metoda slučaja: – razumijevanje zadatka; – mjerenje potrebnih dimenzija sa samog modela date pravilne prizme; – utvrđivanje na koje se načine može riješiti dati zadatak (zapisivanje matematički korektnih formula)...

Poslije ovog koraka vraćate se u početnu grupu i rješavate zadatak na hamer papiru ispisujući ga crnim flomasterom (u trajanju 11 minuta), tokom čega primjenjujete: – računanje površine modela pravilne prizme na odabrani način (primjenjivanje odabrane formule)...

(Po zapisivanju zadatka kačite hamer na tablu. Saslušate komentare nastavnika i drugih grupa, zatim primjenjujete naredni korak metode slučaja.)

– upoređivanje primijenjenog (formule) sa opšteprihvaćenim (formulom datom u udžbeniku)...

Posljednji korak ove metode: – povezanost teorijskog i računskog sa praktičnim i upotrebnim, primijenićete samostalnim radom zadatka na nastavnom listiću br. 2. Srećno!

NASTAVNI LISTIĆ BR. 2 Treba da izabereš jedan od ponuđenih zadataka i uradiš. Preostali su za domaći. (Trajanje 11 minuta.)

ZADATAK 1.

Nacrtaj mrežu pravilne trostrane prizme čija je ivica osnove 5 cm, a visina 10 cm, izreži mrežu od kartona koji ti je dat, zatim oblikuj model prizme. Izračunaj površinu prizme.

ZADATAK 2.

Nacrtaj mrežu pravilne četvorostrane prizme čija je ivica osnove 5 cm, a visina 10 cm, izreži mrežu od kartona koji ti je dat, zatim oblikuj model prizme. Izračunaj P kartona koji si odbacio.

ZADATAK 3.

Nacrtaj mrežu pravilne šestostrane prizme čija je ivica osnove 3 cm, a visina 10 cm, izreži mrežu od kartona koji ti je dat, zatim oblikuj model prizme. Izračunaj koji je procenat dobijenog kartona koji si odbacio.

γ

H

Dijagonala

D

H

a

a

H

δ

α + 20°

31

TABELA PROCJENE POSTIGNUĆA E UČENIKA. C Nastavnik popunjava tabelu za svakog učenika, pomoću svoje skale za proF cjenu postignuća.

α

a

α

A

a

B

„META“ PROCJENE ČASA a y

ATM OS FE R

2

RA D I UP GR

3

A

SU ČA NA

U

2

3 x

NA

JE N

1

UČ

–1

EN

0

ASTA VE

1

IO

SA

H

a

H

OĐ

–1

α α

β

M

KO V NI NASTA

H

VO

V

Kombinujući metodu mete i tabele postignuća svih učenika doći ću do mjere samoevaluacije.

Ako svakoj tačkici na meti dodijelimo ocjenu 1, 2, 3, u zavisnosti kojem prstenu pripada (unutrašnjem krugu-3, manjem prstenu-2 i većem-1), pa izračunamo srednjuaocjenu ,,mete“ i izračunamo srednju ocjenu na nivou odjeljenja, za ocjenu časa bih koristila formulu: Ocjena a časa= (srednja ocjena odjeljenja + srednja ocjena mete + 2) : 2.

Nagradni zadatak Znak pitanja zamijeniti određenim brojem, tako da se dobije logičan niz.

5

12 4

6

6

21 5

7

4

8

?

10

D

a svijet nauke, a samim tim i matematike, nije nastao zahvaljujući samo muškarcima dokazuju mnoge žene koje su dale veliki doprinos mnogim otkrićima. Naša želja je da vam predstavimo neke od njih.

Teano, Hipatija, Emilie du Chatelet, Maria Agnesi, Marie Sophie Germain, Augusta Ada Byron King, Florence Nightingale, Mary Everest Boole i Sofia Vasilyevna Kovalevskaya su žene, naučnice i matematičarke o kojima smo pisali u prethodnom broju. U ovom nastavljamo priču o njima, ženama koje su imale značajna dostignuća u raznim oblastima matematike.

Charlotte Angas Scott (1858 -1931) U razdoblju u kojem je obrazovanje, i to samo ono osnovno, bilo dozvoljeno samo ženama iz visokih slojeva, Charlotte Angas Scott postala je jedna od prvih engleskih žena koje su stekle doktorat iz matematike. Kraj 19. i početak 20. vijeka razdoblje je u kojem je društvo smatralo da je ženino mjesto u kući. Ipak, Charlotte Scott zastupala je jednakost polova, a njeno nastojanje postalo joj je životni izazov.

Velike su njene zasluge za promjenu ženine uloge na području matematike. Njen najraniji interes za matematiku javio se već u sedmoj godini jer joj je otac mogao priuštiti učitelje matematike, obzirom da je bio predsjednik Lancashire Collegea. U to vrijeme ženama je bilo dostupno vrlo malo višeg obrazovanja i nijesu se mogle upisati ni na jedan koledž u Engleskoj. Godine 1880. pristupila je završnom ispitu na Cambridgeu, na kojem su najbolji trebali biti nagrađeni. Nagrade su se dodjeljivale isključivo muškim studentima. Po rezultatima Charlotte je bila među osam najboljih studenata na univerzitetu, ali joj ipak nije dopušteno da prisustvuje dodjeli nagrada jer je bila žena. Diplomirala je 1882. godine, a 1885. doktorirala.

32

Dijagonala

33

Ovo veliko postignuće u području kojim su dominirali muškarci nije prošlo neprimijećeno: rezultat je bio taj da je ženama omogućen upis na Cambridge i objavljivanje njihovih imena zajedno s imenima muških studenata. Charlotte je uvela dodiplomski i poslijediplomski program matematike na Bryn Mawru.

Objavila je brojne matematičke članke iz aritmetike, algebre i geometrije. Bila je član nekoliko matematičkih društava i organizacija, prva Britanka koja je primila doktorat iz matematike i prva matematičarka na Bryn Mawr Collegeu.

Emmy Amalie Noether (1882-1935) Njemačko-jevrejsku matematičarku Emi Amaliju Neter mnogi matematičari, uključujući Alberta Ajnštajna, smatraju najznačajnijom ženom u istoriji matematike. U djetinjstvu nije bila zainteresovana za matematiku, vrijeme je provodila u školi učeći jezike. Kada je diplomirala, položila je test koji joj je omogućio da predaje engleski i francuski u ženskim školama.

Kada je imala 18 godina, odlučila je da studira matematiku na Univerzitetu u Erlangenu. Njen brat Fric je tamo već studirao matematiku, a njen otac je bio profesor matematike. Ali fakultet joj nije dozvolio da se upiše samo zato što je žena. Ipak, dvije godine je dolazila na predavanja, a onda je polagala ispit koji je trebalo da joj omogući da postane redovan student matematike. Položila je ispit i nakon pet godina studiranja doktorirala matematiku. Njeni najvažniji radovi su vezani za apstraktnu algebru i topologiju i jedna je od centralnih figura moderne algebre. Isticala se i na polju fizike. Njeno ime nosi 15 pojmova i teorema iz matematike, od kojih je učenicima najpoznatiji Noeterov prsten.

Uz mnogo otpora, jer je žena, postala je profesor na Univerzitetu u Getingenu, da bi bila izbačena kada je Hitler došao na vlast, i otišla u SAD, gde je provela poslednje dvije godine života.

Mileva Marić Ajnštajn (1875 - 1948) Mileva Marić rođena je u Titelu 19. decembra 1875. godine u imućnoj porodici u tadašnjoj Habzburškoj monarhiji. Školovala se u Rumi, Novom Sadu, Sremskoj Mitrovici, Šapcu i Zagrebu - gdje god su primali žene. Njen otac

34

Dijagonala

je pisao Ministarstvu u Zagrebu i Ministarstvu u Beču tražeći da se napravi izuzetak, podržan od njenih profesora, da se ona primi na muško odjeljenje. Ona je imala briljantne ocjene iz svih predmeta, naročito matematike i fizike, i oni su pristali. Mileva sa 19 godina odlazi u Cirih, jedan od rijetkih evropskih gradova gdje su žene mogle da studiraju. Najprije upisuje studije medicine, a zatim 1896. prelazi na Državnu politehničku školu, na studije fizike i matematike.

Tada upoznaje sedamnaestogodišnjeg Alberta Ajnštajna koji joj je bio kolega, kasnije i suprug. Nakon prve dvije godine uspješnih studija, Mileva se ispisuje i odlazi u Hajdelberg gdje je kod nobelovca Filipa Lenarda slušala predavanja iz teorijske fizike gdje proučava fotoelektrični efekat za koji će Albert kasnije dobiti Nobelovu nagradu. Na istim predavanjima upoznala se sa četvorodimenzionalnom geometrijom koja predstavlja matematičku bazu teorije relativiteta koja će proslaviti Alberta.

Postoje i navodi da su pisma koja su Mileva i Albert razmjenjivali, a sadržala su matematičke proračune, cenzurisana kako bi se umanjio Milevin značaj.

Postoje i oni koji smatraju da nema dovoljno dokaza da je Mileva pomagala Albertu, tako da ovo pitanje nije u potpunosti razjašnjeno ni danas.

Mary Cartwright (1900-1998) Britanska matematičarka Meri Lusi Kartrajt je prva matematičarka koja je postala članica Britanskog kraljevskog društva za unapređenje nauke i prva (i do sada jedina) žena koja je osvojila Silvesterovu medalju „za doprinos analizi i teoriji složene promjenljive funkcije“.

Autorka je više od 100 radova, koji tematiziraju funkcije na jediničnom disku, topologiju, diferencijalne jednačine…, uključujući i Kartrajtovu teoremu.

Ona je takođe bila prva (i do sada) jedina žena koja je bila predsjednica Londonskog matematičkog društva.

Dijagonala

35

Julia Hall Bowman Robinson (1919 - 1985 ) Džulija Robinson je bila američka matematičarka poznata po svojim doprinosima u oblastima teorije računarstva, problema odlučivanja, teorije igara i statistike. Njen rad na Hilbertovom desetom problemu odigrao je ključnu ulogu u njegovom konačnom rješenju. Godine 1982. postala je prva predsjednica Američkog matematičkog društva i primljena je u Američku akademiju nauka i umjetnosti.

Ona je rekla: „Sva ova članstva su veoma časna, ali i sramotna. Ja sam zapravo matematičar i ne želim da me pamte kao prvu ženu u ovom ili onom. Željela bih da me kao matematičara pamte jednostavno po teoremama koje sam dokazala i problemima koje sam riješila."

Meri Lusi Kartrajt (1900–1998) Mary Cartwright bila je jedna od rijetkih žena dvadesetog vijeka koja je napravila značajan proboj u pretežno muškom svijetu matematike. Diplomirala je na univerzitetu u Oxfordu 1923. samo dvije godine nakon što je to bilo dozvoljeno ženama. Nakon što je četiri godine predavala matematiku u školama, vratila se na Oxford 1928. godine da bi stekla titulu doktora matematike. Mentori su joj bili čuveni matematičari G. H. Hardy i E. C. Titchmarsh. Svoj rad na teoriji funkcija nastavila je na Cambridge-u, gdje je 1935. godine imenovana predavačem matematike. Radila je kao univerzitetski profesor od 1935. do 1968. godine. Radila je i sa Džonom Litlvudom na rješavanju Van der Polove jednačine, koja opisuje izlaz nelinearnog radio pojačala kada je ulaz čist sinusni talas. Cio razvoj radija u Drugom svjetskom ratu zavisio je od visokonaponskih pojačala i bilo je pitanje života i smrti imati pojačalo koje je radilo sve što je potrebno. Vojnici su se mučili sa pojačalima koja su se kvarila i za to krivili proizvođače. Cartwright i Littlevood su otkrili da za to nijesu krivi proizvođači, već jednačina. Otkrili su da kako se snaga povećavala, rješenja jednačina postajala su sve nepravilnija. Pri maloj snazi,

36

Dijagonala

rješenje ima isti period kao i ulaz, ali kako se snaga povećava, period rješenja se udvostručuje i konačno se dobija neperiodično rješenje. Kartrajt je imala odličnu karijeru u teoriji analitičkih funkcija i u univerzitetskom izdavaštvu, objavljujući brojne članke o klasičnoj analizi i diferencijalnim jednačinama.

Godine 1951. izabrana je za predsjednicu Londonskog matematičkog društva, 1964. primila je Sylvesterovu medalju Kraljevskog društva, 1968. De Morganovu medalju Londonskog matematičkog društva, a 1969. dobila je titulu lady (što je ženski ekvivalent tituli sir). Bila je poštovana i voljena zbog direktnih i jasnih rješenja ljudskih i matematičkih problema.

Louise Szmir Hay (1935 -1989) Luiz Hej je bila američka matematičarka francuskog porijekla. Tek u desetom razredu njeno interesovanje za matematiku postalo je očigledno zahvaljujući profesoru Dejvidu Rozenbaumu za koga je rekla: „... više je volio logičko predavanje nego predavanje tipa dokaz-teorema (koji je propisao Euklid). Napisao je bilješke o logičkom razmišljanju i očekivao je da studenti razumiju što rade kada pišu dokaz... Uvidjela sam da je logički dio matematike mnogo zanimljiviji od numeričkog i kada sam pokazala zanimanje za to, gospodin Rosenbaum mi je preporučio da proučim neeuklidsku geometriju, da problem sagledam iz druge perspektive ...“. Njen rad se fokusirao na rekurzivno nabrojive skupove i teoriju složenosti računara, koja je bila uticajna i na sovjetske i na američke matematičare 1970-ih. Kada je imenovana za šefa odjeljenja za matematiku na Univerzitetu Ilinois u Čikagu, bila je jedina žena koja je vodila odjeljenje matematike na velikom istraživačkom univerzitetu u njenoj eri.

Dragi naši učenici, ovo su bile neke od poznatih matematičarki koje su dale veliki doprinos izučavanju matematike i borbe za ženska prava. Pitamo se da li ih je bilo još, a da njihova imena nijesu zabilježena ili su njihova dostignuća pripisana muškim kolegama. Ostavljamo vama da dalje istražujete rad žena na raznim poljima nauke.

Aleksandra-Ana Popović Vuković, JU „Srednja mješovita škola”, Golubovci Danijela-Nela Popović, JU „OŠ Vladika Danilo”, Srpska, Golubovci

Dijagonala

37

AKTIVNOSTI UNMCG Sastanak u Zavodu za školstvo Crne Gore Na sastanku predstavnika Zavoda za Školstvo i Udruženja nastavnika matematike (UNMCG) održanom 15. septembra 2022. godine bilo je riječi o velikom problemu nedostatka nastavnika matematike.

Direktorka Zavoda Zoja Bojanić Lalović je istakla da treba izraditi ozbiljnu strategiju i dodala da je problem kadra naročito izražen na sjeveru Crne Gore. Po njoj, stanje u društvu se najbolje reflektuje na obrazovanje. Podsjetila je takođe da je 61 nastavnik pred penzijom, a 34% nastave matematike je nestručno zastupljeno.

Po riječima Nataše Vlahović, nadzornice za matematiku, na birou rada nema matematičara, te kao privremeno rješenje predlaže da se matematičari sa bečelor diplomom zapošljavaju makar u osnovnim školama. Nadzornik za matematiku Miško Vučeljić takođe se osvrnuo na akutni problem nedostatka matematičara, koji je eskalirao. Sastanku su prisustvovali i nadzornici za fiziku i hemiju koji su istakli da imaju iste probleme.

Ispred UNMCG sastanku su prisustvovali predsjednik Radomir Božović i članovi Upravnog odbora: Anđa Vujović, Milan Rosandić i Danijela Jovanović. Bilo je riječi o dosadašnjim aktivnostima udruženja, ali i o problemima finansiranja, slabe saradnje sa zvaničnim institucijama za obrazovanje, materijalnom statusu nastavnika matematike...

Dogovoreno je da UNMCG inicira radni sastanak sa Ministarstvom prosvjete, Zavodom za školstvo, Ispitnim centrom, PMF-om i koordinatorom za lokalne zajednice (kako bi se i one uključile u rješavanje problema kroz stipendije, stanove). Predloženo je da se problem deficita matematičara nađe i u medijima, kako bi se široka javnost upoznala sa tim.

UNMCG u Nikšiću U Nikšiću je 26. septembra 2022. godine održan sastanak nastavnika matematike iz osnovnih škola u toj opštini i predstavnika Udruženja nastavnika matematike Crne Gore, predsjednika Radomira Božovića i članice Upravnog odbora, Danijele Jovanović.

Nastavnici iz škola „Milija Nikčević”, „Dušan Bojović”, „Olga Golović”, „Ivan Vušović”, „Ratko Žarić”, „Luka Simonović”, „Mileva Lajović Lalatović” i „Radoje Čizmović” su sa predstavnicima UNMCG razmijenili mišljenja o nastavi matematike u osnovnim školama.

38

Dijagonala

Uvodnu riječ je imao Nikola Radojičić, član Upravnog odbora UNMCG i organizator ovog sastanka, koji je preporučio kolegama koji nijesu članovi UNMCG, učlanjenje u udruženje. Predstavnici UNMCG su govorili o radu udruženja i projektima koji su realizovani. Razmijenjena su i mišljenja o statusu nastavnika matematike i načinima kako da se stanje popravi.

UNMCG u Kotoru

Član Upravnog odbora UNMCG Milan Rosandić je 7. oktobra 2022. godine organizovao sastanak sa matematičarima u Kotoru. U prostorijama škole „Narodni heroj Savo Ilić”, matematičare je ugostila direktorica škole Smiljana Lazović. Razgovorano je o načinima kupovine i pretplate na „Dijagonalu”, a prisutni su istakli zainteresovanost za učešće u projektima, naročito djece, jer imaju učenike koji su zainteresovani da uče više.

Profesori Gimnazije iz Kotora, koji su od osnivanja članovi UNMCG smatraju da u „Dijagonalu” treba ubaciti možda i još neke zanimljivosti i zanimljive poglede na matematiku, a možda proširiti list i na gimnazije.

Prisutni su iznijeli mišljenje da smanjenje norme nije rješenje, jer dovodi do većeg problema, već da treba tražiti izdvajanje i povećanje koeficijenta matematičarima ili da se čas računa kao čas i po, kao u specijalističkim odjeljenjima. Istakli su da u Kotoru svi matematičari imaju po 24 časa, jer ne mogu naći nikoga da predaje matematiku, a potvrdili su da je ista situacija i u okruženju (Tivat, Budva, Herceg Novi, Petrovac).

ZANIMLJIVOSTI O KVADRATNIM BROJEVIMA 1. Razlika kvadrata uzastopnih prirodnih brojeva.

U osmom razredu osnovne škole se uči o kvadratima. Postoji li lakši način da se izračuna razlika kvadrata dva uzastopna prirodna broja bez da se računa pismeno? Odgovor na ovo pitanje je da.

Lako je izračunati na primjer 62 – 52; ali šta je sa većim brojevima poput 282 – 272?

I to se može izračunati na lakši način i sve se svodi na samo jednu formulu.

Ta formula je sljedeća: (n + 1)2 – n2 = n + 1 + n tj. (n + 1)2 – n2 = 2n + 1 Ovdje n može da bude bilo koji prirodan broj, dok je n+1 njegov sljedbenik. Testiraćemo ovu formulu na nekim brojevima.

Primjer 1: 7 2 – 6 2 bi po formuli bilo jednako 13. Ovdje je n = 6 i n + 1 = 7.

Dijagonala

39

72 – 62 = 2 ∙ 6 + 1 49 – 36 = 12 + 1 13 = 13 Formula je dokazana računanjem. Sada možemo da odradimo neki teži primjer.

Primjer 2: n = 27 i n + 1 = 28 Provjera: 282 – 272 = 2 ∙ 27 + 1 282 = 784 282 – 272 = 54 + 1 272 = 729 282 – 272 = 55 784 – 729 = 55.

Primjenom formule, kao i u provjeri, rezultat je isti, u ovom slučaju 55.

2. Povezanost između neparnih brojeva i kvadratnih brojeva.

Neparni brojevi su više povezani sa kvadratnim brojevima nego što mislite. Sada ćemo objasniti kako.

1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 72 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 82 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81 = 92 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100 = 102 Vjerovatno ste zaključili da uzastopni neparni brojevi kada se saberu daju kvadrat određenog broja.

Ovdje n uzastopnih neparnih prirodnih brojeva počevši od 1 daju kvadrat broja n.

Primjer 1: Zbir prvih 15 prirodnih neparnih brojeva daje 152.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 152 = 225.

Sa lijeve strane ima 15 brojeva, a na desnoj je 152.

Primjer 2: Zbir prvih 19 prirodnih neparnih brojeva daje 192.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 = 192 = 361.

Sa lijeve strane ima 19 brojeva, a na desnoj je 192, što znači da ovo pravilo važi za svaki kvadratni broj.

Aleksandar Rnković, učenik VIII-3, JU OŠ ,,Oktoih“, Podgorica

Spisak prvih 5 učenika koji su tačno riješili nagradni zadatak sa naslovne strane iz prošlog broja Dijagonale: 1. Jakša Dragović, učenik VII razreda, JU OŠ „Njegoš”, Kotor 2. Dina Huremović , učenica VII razreda, JU OŠ „Trpezi”, Petnjica 3. Luka Božović, učenik VI razreda, JU OŠ „21. maj”, Podgorica 4. Lara Tošić, učenica VIII - 4, JU OŠ „Dr Dragiša Ivanović”, Podgorica 5. Almina Begović, učenica VII - 1, JU OŠ „Dušan Korać”, Bijelo Polje Redakcija časopisa sve njih nagrađuje besplatnim primjerkom Dijagonale broj 18.

Štampanje ovog broja pomogli su:

DOMEN d.o.o.

PODGORICA

MTEL d.o.o. – PODGORICA

BEMAX d.o.o.

PODGORICA

HVALA NAŠIM PRIJATELJIMA! Uredništvo poziva nastavnike, učenike i sve čitaoce da nam šalju priloge za list: članke, odabrane zadatke, zanimljivosti, priloge za zabavnu matematiku itd.

Dio tiraža ovog broja „Dijagonale” će biti besplatno podijeljen svim bibliotekama osnovnih škola u Crnoj Gori.

Ovaj broj se može kupiti u „Gradskoj knjižari“ i „Narodnoj knjizi“.

Sve informacije o pretplati i porudžbini ovog i narednih brojeva možete naći na sajtu Udruženja. Narudžbe slati putem mejla.

Broj žiro računa UNMCG je 510-206991-61 kod CKB banke.

Adresa redakcije je: Ul. Gojka Berkuljana br. 20, Podgorica.

Mejl: udruznastmatem@gmail.com www.unmcg.wordpress.com CIP - Каталогизација у публикацији Национална библиотека Црне Горе, Цетиње ISSN 2536-5851 = Dijagonala COBISS.CG-ID 36769808