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POLYÈDRES RÉGULIERS
11.1 Généralités
Définitions Polygones et polyèdres Un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane formée par une ligne brisée fermée. Un triangle, un carré sont des polygones. Les polygones se regroupent en plusieurs sous-ensembles : polygones convexes, concaves, réguliers, irréguliers. Un polyèdre (du grec polus, nombreux, et hedra, face ou base) est un solide limité par des polygones plans ayant deux à deux un côté commun. Un cube, une pyramide, un prisme sont des polyèdres. Comme les polygones, les polyèdres se regroupent en plusieurs sous-ensembles (voir plus bas). D’une façon générale, on désigne les polyèdres selon leur nombre de faces, en utilisant des préfixes grecs. Polyèdres réguliers et semi-réguliers Un polyèdre régulier est un solide qui possède les propriétés suivantes : • des faces polygonales régulières et égales ; • des angles dièdres égaux ; • des angles polyèdres égaux ; • une sphère circonscrite (passant par ses sommets) ; • une sphère inscrite (tangente en chacune de ses faces). Ces caractéristiques entraînent la convexité (voir plus bas) et la symétrie du solide. On dénombre cinq polyèdres réguliers, appelés aussi les solides de Platon. Les polyèdres semi-réguliers répondent à quelques propriétés des polyèdres réguliers, auxquelles s’en ajoutent d’autres. On dénombre treize polyèdres semi-réguliers, qui sont regroupés sous le nom de solides d’Archimède. Polyèdres convexes et concaves Un polyèdre convexe est un polyèdre entièrement situé dans l’un des demi-espaces déterminé par le plan d’une
face quelconque. En termes simples, un polyèdre convexe peut être posé sur chacune de ses faces. A contrario, un polyèdre concave est celui qui possède au moins une face sur laquelle il ne peut pas être posé. Les cinq solides de Platon sont des solides convexes. Polyèdres étoilés Aux cinq polyèdres réguliers convexes, on peut associer les quatre polyèdres réguliers étoilés qui en dérivent, appelés aussi polyèdres de Kepler-Poinsot. Formule d’Euler Les polyèdres sont régis par la formule d’Euler : dans tout polyèdre, le nombre de ses faces additionné au nombre de ses sommets est égal au nombre de ses arêtes augmenté de deux. Faces + sommets = arêtes + 2. La formule d’Euler est une propriété topologique des polyèdres. Elle exclut ceux qui comportent une cavité.
angle dièdre
angle au centre angle polyèdre
sommet face arête diagonale centre
w y
Deux polyèdres semi-réguliers (dits d’Archimède) : le cube tronqué et l’octaèdre tronqué
Deux polyèdres réguliers étoilés (dits de Kepler-Poinsot) : le petit dodécaèdre étoilé et son dual le grand dodécaèdre
a
Eléments d’un polyèdre – L’angle dièdre est formé par deux faces adjacentes. Il se mesure perpendiculairement à l’arête – L’angle polyèdre est celui formé par les arêtes, considérées deux à deux, issues d’un sommet – L’angle au centre est formé par deux segments issus du centre et joignant deux sommets reliés par une arête – Les diagonales du polyèdre sont les segments joignant deux sommets non consécutifs
Deux polyèdres complémentaires, convexe et concave : un tétraèdre et une étoile tétraèdre (ou octaèdre étoilé)
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