Apunts d'iniciació a l'àlgebra.

Iniciació a l'àlgebra

Apunts d'iniciació a l'àlgebra 1. EL LLENGUATGE ALGEBRAIC 2. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES 2.1. VALOR NUMÈRIC D'UNA EXPRESSIÓ ALGEBRAICA 3. MONOMIS 3.1. SUMA I RESTA DE MONOMIS 4. IGUALTAT NUMÈRICA O ALGEBRAICA 5. IDENTITAT I EQUACIÓ 6. ELEMENTS D'UNA EQUACIÓ 7. EQUACIONS EQUIVALENTS 8. RESOLUCIÓ D'EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB UNA INCÒGNITA 8.1. EQUACIONS AMB PARÈNTESIS 8.2. EQUACIONS AMB DENOMINADORS

Pilar Bueno García

Iniciació a l'àlgebra

1. EL LLENGUATGE ALGEBRAIC Segons la Gran enciclopèdia de la llengua catalana, el llenguatge és la capacitat de les persones de comunicar els seus pensaments i sentiments a una altra persona mitjançant les paraules.

El llenguatge numèric expressa la informació matemàtica només a través dels nombres.

Exemples Llenguatge usual La suma de quatre més tres és set El quadrat de tres és nou

Llenguatge numèric 4+3=7 32=9

El llenguatge algebraic expressa la informació matemàtica amb nombres i lletres.

Les lletres que s'acostuma a fer servir en el llenguatge algebraic per representar qualsevol nombre són x, y, z, a, b, c,...

Exemples Llenguatge usual La diferència de dos nombres és 3 El triple d'un nombre és 12

Llenguatge algebraic x-y=3 3·x=12

Més exemples L'àrea d'un quadrat de costat c és cxc=c 2 i el perímetre és c+c+c+c=4·c.

Pilar Bueno García

Iniciació a l'àlgebra

2. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES Una expressió algebraica és un conjunt de nombres i lletres que es combinen amb els signes de les operacions matemàtiques.

Exemples Expressió escrita

Expressió algebraica

El triple de la suma de dos nombres

3·(a+b)

La suma de dos nombres consecutius

x+(x+1)

L'oposat d'un nombre

-x

2.1. VALOR NUMÈRIC D'UNA EXPRESSIÓ ALGEBRAICA El valor numèric d'una expressió algebraica és el nombre que resulta de substituir les lletres pels nombres que s'indiquen i fer les operacions de l'expressió algebraica.

Exemples Expressió algebraica

Valor de x

Valor numèric

2·x+3

x=1

2·1+3 = 2+3 = 5

x2-3·x

x=2

22-3·2 = 4-6 = -2

3·x+x2-8

x=-1

3·(-1)+(-1)2-8 = -3+1-8 = -10

Més exemples Expressió algebraica

Valor de a

Valor de b

Valor numèric

a+b

a=1

b=0

1+0 = 1

3·(a-b)

a=2

b=3

3·(2-3) = 3·(-1) = -3

3·a+b2-2

a=-1

b=1

3·(-1)+12-2 = -3+1-2 = -4

Pilar Bueno García

Iniciació a l'àlgebra

3. MONOMIS Els monomis són les expressions algebraiques més senzilles i estan formades per productes de lletres i nombres.

Un monomi consta d'un nombre i una o més lletres: - El nombre s'anomena coeficient.

- La o les lletres s'anomenen la part literal.

- La suma dels exponents de les lletres s'anomena grau del monomi.

Algunes coses que hem de tenir en compte: 1r.- En els monomis no usem el signe del producte, així 3·x s'escriurà simplement 3x.

2n.- Quan una lletra no té exponent és perque el seu exponent és 1, així, a vol dir, en realitat, a1.

3r.- Un monomi format només per lletres té, en realitat, coeficient 1.

Exemples Monomi

Coeficient

Part literal

Grau

3x

3

x

1

-2ab

-2

ab

1+1=2

x2y

1

x2y

2+1=3

-5a2b3

-5

a2 b3

2+3=5

Pilar Bueno García

Iniciació a l'àlgebra

3.1. SUMA I RESTA DE MONOMIS Dos monomis que tenen la mateixa part literal s'anomenen monomis semblants.

La suma (o resta) de dos monomis semblants, és un altre monomi que té com a coeficient la suma (o resta) dels coeficients dels sumands i manté la mateixa part literal.

La suma (o resta) de dos monomis no semblants no té cap sentit perque no es pot fer res. Només es deixa inidicada i ja està.

Exemples 2x+3x=5x 3x2-6x2=-3x2 5xy+8xy-3xy=10xy 3x+6y=3x+6y

Pilar Bueno García

Iniciació a l'àlgebra

4. IGUALTAT NUMÈRICA O ALGEBRAICA Una igualtat està formada per dues expressions separades pel signe igual(=).

Segons siguin les expressions que formen la igualtat, aquesta pot ser: •

Numérica: només hi intervenen nombres

•

Algebraica: hi intervenen nombres i lletres

Les que ens interessen en aquesta unitat són les igualtats algebraiques.

Exemples 3+4=2+5 és una igualtat numèrica 2x+3x=5x és una igualtat algebraica 10+x=16 és una igualtat algebraica

Pilar Bueno García

Iniciació a l'àlgebra

5. IDENTITAT I EQUACIÓ Una identitat és una igualtat algebraica que és certa per a qualsevol valor de les lletres que hi intervinguin.

Una equació és una igualtat algebraica que només és certa per a certs valors de les lletres que hi intervenen.

Exemples 3x+x=4x és una idenitat: Si x=1, 3·1+1=3+1=4 i 4·1=4 Si x=2, 3·2+2=6+2=8 i 4·2=8 ...

10+x=16 és una equació ja que només es compleix per a x=6: Si x=6, 10+6=16.

El que estudiarem a partir d'ara són les equacions: com resoldre-les, com plantejar-les,...

Pilar Bueno García

Iniciació a l'àlgebra

6. ELEMENTS D'UNA EQUACIÓ Els membres d'una equació són les expressions algebraiques que hi ha a cada costat de la igualtat.

Els termes d'una equació són els sumands que formen els membres.

Exemples Equació

Membres

Termes

Primer

Segon

6x+5=23

6x+5

23

6x, 5 i 23

2a-2=1-a

2a-2

1-a

2a, -2, 1 i -a

Les incògnites d'una equació són les lletres que apareixen en els termes, els valors de les quals són desconeguts.

El grau d'una equació és el major dels graus de tots els termes.

La solució d'una equació són els valors numèrics de les incògnites que fan certa la igualtat algebraica.

Exemples Equació

Incògnites

Grau

Solució

x+5=10

x

màx{1,0,0}=1

x=5

a2=9

a

màx{2,0}=2

a=3

Nosaltres aprendrem a resoldre, més endavant, equacions de primer grau amb una incògnita.

Pilar Bueno García

Iniciació a l'àlgebra

7. EQUACIONS EQUIVALENTS Dues equacions equivalents són aquelles que tenen la mateixa solució.

Més endavant veurem que el mètode per resoldre equacions de primer grau amb una incògnita és trobar, a cada pas, una equació equivalent a l'anterior però que sigui algebraicament més senzilla.

Doncs ens interessa saber quines transformacions algebraiques ens donen equacions equivalents a una donada: ● Si als dos membres d'una equació els sumem o restem un mateix nombre o expressió algebraica, obtenim una equació altra equivalent Exemple 2x+4=8 és equivalent a 2x=4, restant 4 als dos membres.

● Si els dos membres d'una equació els multipliquem o dividim per un mateix nombre diferent de zero, obtenim una altra equació equivalent.

Exemple 2x=4 és equivalent a x=2, dividint els dos membres per 2.

Pilar Bueno García

Iniciació a l'àlgebra

8. RESOLUCIÓ D'EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB UNA INCÒGNITA Resoldre una equació és trobar-ne la seva solució.

El mètode per a la resolució consisteix en fer transformacions algebraiques com les explicades a l'apartat anterior, de manera que obtenim cada vegada una equació equivalent a l'anterior però més senzilla.

Exemples Marcarem les transformacions en vermell: 1.-

2.-

x+5=7

3.-

3x-1=x+3

x+5-5=7-5

3x-1+1=x+3+1

x=2

3x=x+4

3x-1=8

3x-x=x+4-x

3x-1+1=8+1

2x=4

3x=9

2x/2=4/2

3x/3=9/3

x=2

x=3 Observeu que el que fem en realitat és passar tots els termes amb x al primer membre i els termes independents al segon membre, de manera que els termes que sumaven passen restant i els que resten, passen sumant.

Igualment, un producte passa a l'altra banda com a divisor i un divisor passa a l'altra banda com a multiplicador.

Pilar Bueno García

Iniciació a l'àlgebra

8.1. EQUACIONS AMB PARÈNTESIS Els passos a seguir per resoldre equacions amb parèntesis són: Exemple 4·(x-3)+40=64-3·(x-2)

Passos Operar els parèntesis (usant la propietat distributiva: a·(b+c)=a·b+a·c). a·(b+c)=a·b+a·c

4x-12+40=64-3x+6

Operar els termes semblants de cada membre.

4x+28=70-3x

Agrupar els termes amb la incògnita al primer membre i els termes sense incògnita al segon membre, com vam estudiar a l'apartat anterior.

4x+28-28=70-3x-28 4x=42-3x 4x+3x=42-3x+3x 7x=42

Aïllar la incògita i calcular-ne el valor numèric, com vam estudiar a l'apartat anterior.

7x/7=42/7 x=6

Més exemples Marcarem les transformacions en vermell: 1.-

x-2·(x-1)=3

2.-

2·(x-5)=3·(x+1)-3

x-2x+2=3

2x-10=3x+3-3

x-2x+2-2=3-2

2x-10=3x

-x=1

2x-10+10=3x+10

x=-1

2x=3x+10 2x-3x=3x-3x+10 -x=10 x=-10

Pilar Bueno García

Iniciació a l'àlgebra

8.2. EQUACIONS AMB DENOMINADORS Els passos a seguir per resoldre equacions amb denominadors són: Exemple

Passos

x −3 x −5 2x−13 − = 4 6 9

Calcular el mínim comú múltiple dels denominadors.

Multiplicar l'equació sencera pel mínim comú múltiple i operar els paréntesis (utilitzant la propietat distributiva: a·(b+c)=a·b+a·c). a·(b+c)=a·b+a·c

m.c.m.(4, 6, 9)=36 36⋅

x −3 x −5 2x−13 − =  4 6 9

9·(x-3)-6·(x-5)=4·(2x-13) 9x-27-6x+30=8x-52

Operar els termes semblants de cada membre.

3x+3=8x-52

Agrupar els termes amb la incògnita al primer membre i els termes sense incògnita al segon membre, com vam estudiar a l'apartat anterior.

3x+3-3=8x-52-3 3x=8x-55 3x-8x=8x-8x-55 -5x=-55

Aïllar la incògita i calcular-ne el valor numèric, com vam estudiar a l'apartat anterior.

-5x/(-5)=-55/(-5) x=11

Un altre exemple Marcarem les transformacions en vermell: 2x+7 =9 3 3⋅(

2x+ 7 = 9) 3

perque m.c.m.(3, 1)=3

2x+7=3·9

2x=20

2x+7=27

x=20/2

2x+7-7=27-7

x=10 Pilar Bueno García