Su Dung May Tinh Cam Tay Giai Nhanh Trac Nghiem Luong Giac

TRƯỜNG THPT LẠC LONG QUÂN TỔ TOÁN - TIN

CHUYÊN ĐỀ:

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC

TÊN HỌC SINH : ………………………..……………

LỚP : ……………

Khánh Vĩnh, 10/2017

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

CHUYÊN ĐỀ: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC PHẦN I. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG CÁC BÀI TOÁN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC. Bài toán 1. Đổi α = 32o sang radian.

8π 7π 10π 11π A. B. C. D. . . . .

45 45 45 45 Cách giải bằng MTCT: Muốn đổi sang đơn vị radian ra chuyển MTCT về mode radian bằng cách: SHIFT MODE 4 Nhập số 32 vào máy rồi nhấn SHIFT Ans 4 . Màn hình xuất hiện

Nhấn = màn hình xuất hiện

Đáp án đúng là A. 3π sang độ, phút, giây.

16 A. 33°45'.

B. 30°45'30''.

C. 30°44'30''.

D. 30°40'.

Cách giải bằng MTCT: Muốn đổi sang đơn vị độ ra chuyển MTCT về mode độ bằng cách: SHIFT MODE 3 3π Nhập số vào máy rồi nhấn SHIFT Ans 2 = ° ''' . Màn hình xuất hiện 16

Bài toán 2. Đổi α =

Đáp án đúng là A.

Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 1

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

PHẦN II. SỬ DỤNG CHỨC NĂNG CALC CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ KIỂM TRA CÁC ĐÁP ÁN DẠNG TOÁN 1. KIỂM TRA MỘT GIÁ TRỊ LÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH. DẠNG TOÁN 2. KIỂM TRA MỘT HỌ LÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH. DẠNG TOÁN 3. KIỂM TRA MỘT TẬP LÀ TXĐ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

U

U

U

U

U

U

DẠNG TOÁN 1. KIỂM TRA MỘT GIÁ TRỊ LÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH.

U

U

Bài toán. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos 2 x − 5sin x − 3 = 0 trong khoảng  3π  ; 4π  là   2  7π 11π 19π 5π B. C. D. . . . .

6 6 6 2 Lời giải tự luận: cos 2 x − 5sin x − 3 = 0 ⇔ 1 − 2sin 2 x − 5sin x − 3 = 0 π  1 − + k 2π x=   sin x = − (nhan) 6 ⇔ 2sin 2 x + 5sin x + 2 = 0 ⇔  ⇔ ( k ∈  ).

2  7π  = + k 2π x sin x = −2 (loai)  6

A.

 3π  2  3π  Vì x ∈  ; 4π  nên   2   3π  2

 11 x = 6 π 25 k∈ π 5 < − + k 2π < 4π  6 < k < 12 → k ∈ {1;2}  23 6 ⇔ ⇒  x =π .  7π 6 k∈  1 < k < 17 → k =1 < + k 2π < 4π   6 6 12  x = 19 π 6 

11π 19π 23π do đó đáp án đúng là B. < < 6 6 6 Cách giải bằng MTCT: Chuyển máy tính về mode radian: SHIFT MODE 4 Nhập biểu thức cos 2 x − 5sin x − 3 . Màn hình xuất hiện

Mà

 3π  Ta nhận xét: chỉ có 3 đáp án B, C, D là thỏa điều kiện trong khoảng  ; 4π  . Loại đáp án A.  2  Trong các đáp án là nghiệm, ta tìm nghiệm dương nhỏ nhất và chọn đáp án đó. Cụ thể Nhấn CALC 11π ÷ 6 ta được kết quả bằng 0, CALC 19π ÷ 6 ta được kết quả bằng 0 và CALC 19π 11π 11π 19π và là nghiệm. Mà . Vậy < 5π ÷ 2 . ta được kết quả khác 0. Do đó 6 6 6 6 Đáp án đúng là B.

Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 2

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

DẠNG TOÁN 2. KIỂM TRA MỘT HỌ LÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Thực hành: Kiểm tra một họ là nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 U

U

x= α + kaπ , k ∈ , a là hằng số

Thế vào x = α biểu thức f ( x )

• Nếu f ( x ) nhận một giá trị khác 0 thì x = α không là nghiệm của PT f ( x ) = 0 . Do đó đáp án được thế chắc chắn là đáp án sai.

• Nếu giá trị f ( x ) nhận một giá trị bằng 0 thì x = α là một nghiệm của PT f ( x ) = 0 . Do đó đáp án được thế có thể là đáp án đúng.

• Lưu ý: kiểm tra các đáp án có chu kì nhỏ nhất trước Bài toán 1. Phương trình − sin x + 2cos x = 1 có một họ nghiệm là π π A. x = B. x = − + kπ ( k ∈  ) . − + k 2π ( k ∈  ) .

3 2 π π π π C. x = D. x = − +k − +k ( k ∈  ). ( k ∈  ).

2 4 2 2 1 2 1 Lời giải tự luận: Phương trình ⇔ − sin x + cos x = 5 5 5 1  1 2 ⇔ sin ( x + α ) =  cos α = − và sin α =  5 5 5 

Lời giải này dẫn đến bế tắc trong việc chọn đáp án trắc nghiệm.

Lời giải phù hợp cho câu hỏi trắc nghiệm trên.

1 1    x + α =arcsin 5  x =−α + arcsin 5 ⇔ ⇔ ( k ∈  ).  x + α =π − arcsin 1  x =−α + π − arcsin 1   5 5

π  = − + k 2π x π   2 ⇔ sin ( x + α= ) sin  α −  ⇔  2   x = 3π − 2α + k 2π  2 Vi

( k ∈  ).

1 π  sin  α −  . = − cos α = 5 2 

Đáp án đúng là A. Cách giải bằng MTCT: Chuyển máy tính về mode radian: SHIFT MODE 4 Nhập biểu thức − sin x + 2cos x − 1 .

NhấnCALC −π ÷ 2 được kết quả 0. Nhấn CALC −π ÷ 3 ta được kết quả Trường THPT Lạc Long Quân

3 . Loại đáp án B. 2

Trang 3

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

Ta kiểm tra các đáp án có chu kì nhỏ nhất trước. Kiểm tra đáp án D: π Nhấn CALC −π ÷ 2 + 1. . Ta được kết quả khác 0. Do đó loại đáp án D 4 Nhấn CALC −π ÷ 6 + 1.

π 2

. Ta được kết quả khác 0. Do đó loại đáp án C.

Đáp án đúng là A. Bài toán 2. Giải phương trình

cos x − 3 sin x =0 1 sin x − 2

π A. x =+ kπ ( k ∈  ) .

6 7π C. x =+ k 2π ( k ∈  ) .

6

π B. x = + k 2π ( k ∈  ) .

6 7π D. x = + kπ ( k ∈  ) .

6 π  x ≠ + k 2π  1 1  6 Lời giải tự luận: Điều kiện sin x − ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ⇔  2 2  x ≠ 5π + k 2π  6

( k ∈  ).

Phương trình cos x − 3 sin x = 0 ⇔ cos x = 3 sin x cot ⇔ cot x =3 ⇔ cot x =

π

π

⇔ x =+ lπ ( l ∈  ) .

6 6

π Biểu diện nghiệm x =+ lπ ( l ∈  ) trên Hình 2,đối chiếu điều kiện được biểu diễn ở Hình 1.

6 7π π Ta loại nghiệm x = + l 2π ( l ∈  ) .Vậy phương trình có nghiệm x = + l 2π ( l ∈  ) 6 6 Đáp án đúng là C.

Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 4

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

Cách giải bằng MTCT: Chuyển máy tính về mode radian: SHIFT MODE 4 cos x − 3 sin x .

1 sin x − 2 Nhấn CALC π ÷ 6 . Ta được kết quả khác 0. Do đó loại đáp án A và B, còn lại C hoặc D. Ta kiểm tra các đáp án có chu kì nhỏ nhất trước. Kiểm tra đáp án D: 7π Ta kiểm tra đáp án D. Nhấn CALC + π . Ta được kết quả khác 0. Do đó đáp án D là sai.

6 Đáp án đúng là C.

Nhập biểu thức

Bài toán 3. Giải phương trình

5π  x + k 2π = 6 A.  π 2π x = − +k  18 3 7π  =  x 6 + kπ C.  π 2π x = − +k  18 3

π π   3 cos  x +  + sin  x −  = 2sin 2 x.

2 2  

( k ∈  ).

7π  =  x 6 + k 2π B.  π 2π x = − +k  18 3

( k ∈  ).

( k ∈  ).

π  x + k 2π = 18 D.  π 2π x = − +k  18 3

( k ∈  ).

π π   Lời giải tự luận: Ta có cos  x +  = − sin x, sin  x −  = − cos x.

2 2   Do đó phương trình − 3 sin x − cos x = 2sin 2 x ⇔ 3 sin x + cos x = −2sin 2 x 3 1 π  ⇔ sin x + cos x = − sin 2 x ⇔ sin  x +  = sin ( −2 x ) 2 2 6  π 2π  π  + = − + = − + x x k π x k 2 2   6 18 3 ⇔ ⇔ ( k ∈  ). π π 5  x + =+ x = − − k 2π π 2 x − k 2π   6 6 5π 7π k =−1−k ' Xét nghiệm x = − x= − k 2π → + k '2π . , ' k k ∈ ∈   6 6 π 2π 7π Vậy phương trình có nghiệm x = , x = + k '2π ( k , k ' ∈  ) . − +k 18 3 6 Đáp án đúng là B.

Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 5

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

Cách giải bằng MTCT: Chuyển máy tính về mode radian: SHIFT MODE 4 π π   Nhập biểu thức 3 cos  x +  + sin  x −  − 2sin 2 x .

2 2   π xuất hiện ở cả 4 đáp án, không cần kiểm tra giá trị này, nó là nghiệm của PT. Nhận xét: − 18 Nhấn CALC 5π ÷ 6 và CALC 7π ÷ 6 và CALC 18π ÷ 6 .

7π là nghiệm của PT. Nên loại A và D, đáp án đúng nằm ở B hoặc C. 6 Trong các đáp án còn lại, ta kiểm đáp án có chu kì nhỏ nhất trước.

7π Ta kiểm tra đáp án C. Nhấn CALC + π . Ta được một số khác 0. Do đó đáp án C là sai.

6 Đáp án đúng là B. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ta được kết quả chỉ có

DẠNG TOÁN 3. KIỂM TRA MỘT TẬP LÀ TXĐ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

U

U

Bài toán 1. Tập xác định của hàm số y =

sin x − cos x là 4 − 5cos x − 2sin 2 x

 π   π  A. D=  \ ± + k 2π , k ∈   .

B. D=  \ ± + kπ , k ∈   .  6   6   π   π  C. D=  \ ± + k 2π , k ∈   .

D. D=  \ ± + kπ , k ∈   .  3   3  Lời giải tự luận: HSXĐ ⇔ 4 − 5cos x − 2sin 2 x ≠ 0 PT 4 − 5cos x − 2sin 2 x = 0 ⇔ 2cos 2 x − 5cos x + 2 = 0 cos x = 2 (loai) π ⇔ ⇔x= ± + k 2π ( k ∈  ) .

1 cos x = (nhan) 3  2 π Do đó HSXĐ ⇔ x ≠ ± + k 2π ( k ∈  ) .

3  π  Vậy TXĐ D=  \ ± + k 2π , k ∈   . Đáp án đúng là C.  3  Cách giải bằng MTCT: Cở sở lý thuyết: Tập xác định của một hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của biến số làm cho hàm số có nghĩa.

Thực hành: TXĐ của hàm số y = f ( x ) là D =  \ {α + kaπ , k ∈ , a la hang so}

Thế vào x = α biểu thức f ( x )

Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 6

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

• Nếu f ( x ) nhận một giá trị nào đó thì x = α thuộc TXĐ của hàm số. Do đó đáp án được thế chắc chắn là đáp án sai.

• Nếu giá trị f ( x ) được máy tính báo lỗi Math ERROR thì x = α không thuộc TXĐ của hàm số. Do đó đáp án được thế có thể là đáp án đúng.

• Lưu ý: kiểm tra các đáp án có chu kì nhỏ nhất trước Chuyển máy tính về mode radian: SHIFT MODE 4 sin x − cos x Nhập biểu thức . Màn hình xuất hiện 4 − 5cos x − 2sin 2 x Nhấn CALC π ÷ 6 . Màn hình xuất hiện

π

thuộc TXĐ của hàm số. Do đó loại đáp án A, B. 6 Nhấn CALC π ÷ 3 . Màn hình xuất hiện Điều này chứng tỏ

π

không thuộc TXĐ của hàm số. Do đó đáp án đúng là C hoặc D. 3 Trong các đáp án còn lại, ta kiểm đáp án có chu kì nhỏ nhất trước. Ta kiểm tra đáp án D: Nhấn CALC π ÷ 3 + π . Màn hình xuất hiện Điều này chứng tỏ

Điều này chứng tỏ Đáp án đúng là C.

Trường THPT Lạc Long Quân

π 3

+ π thuộc TXĐ của hàm số. Do đó loại đáp án D.

Trang 7

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Bài toán 2. Tập xác định của hàm số y =

A. D = \ {π + k 2π , k ∈ }.  π  C. D  \ k , k ∈   . =  2 

Biên soạn: Trần Anh Khoa

1 1 1 + + là 1 − sin x cos x + 1 tan  x − π    2   π  B. D  \ k , k ∈   . =  4 

= D. D  \ {kπ , k ∈ }.

Lời giải tự luận: HSXĐ 1 − sin x > 0 sin x < 1 π cos x + 1 > 0 cos x > −1      x ≠ 2 + k 2π sin x ≠ 1       π π π ⇔  tan  x −  ≠ 0 ⇔ sin  x −  ≠ 0 ⇔ cos x ≠ −1 ⇔  x ≠ π + k 2π ⇔ x ≠ k 2 2 2      π  π π     x − ≠ k x ≠ k π π 2 2 2   cos  x −  ≠ 0 cos  x −  ≠ 0 2 2    

( k ∈  ).

 π  TXĐ D  \ k , k ∈   . Đáp án đúng là C. =  2  Cách giải bằng MTCT: Chuyển máy tính về mode radian: SHIFT MODE 4 1 1 1 + + Nhập biểu thức . Màn hình xuất hiện 1 − sin x cos x + 1 tan  x − π    2 

Nhấn CALC π và CALC 0 . Màn hình đều báo lỗi, điều này chứng tỏ π và 0 không thuộc TXĐ của hàm số. Do đó chưa thể loại được đáp án nào.

Trong các đáp án còn lại, ta kiểm đáp án có chu kì nhỏ nhất trước.

π Ta kiểm tra đáp án B. Nhấn CALC 1. . Màn hình xuất hiện 4

Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 8

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

π thuộc TXĐ của hàm số. Do đó loại đáp án B. 4 π π π π Ta kiểm tra đáp án C. Nhấn CALC 1. và CALC 2. và CALC 3. và CALC 4. .

2 2 2 2 Điều này chứng tỏ

(đủ một chu kì 2π ) Màn hình đều xuất hiện

Đáp án đúng là C.

PHẦN III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY HỖ TRỢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Để giải phương trình a sin u + b cos u = c. Ta biến đổi c a sin u + b cos u =c ⇔ sin(u + Y ) = X Bước 1. Bấm Shift + a Shift ) b =

Bước 2. Bấm RCL Bấm RCL

S↔D

)

(Ta có được X) (Ta có được Y)

Lưu ý: a sin u + b cos u = X sin(u + α ) . Sử dụng phép biến đổi này cho giải phương trình dạng a sin x + b cos x = a / sin x / + b / cos x / .

Bài toán 1. Biến đổi phương trình 3 sin x − cos = 2 về phương trình lượng giác cơ bản, ta được phương trình nào sau đây? π π π π 2 2     A. sin  x −  =.

B. sin  x +  =.

C. sin  x −  = D. sin  x +  = 2.

2.

6 6 6 2 6 2     Lời giải tự luận: Ta có a = 3, b = −1, c = 2. Chia 2 vế của phương trình cho

a 2 + b2 = 2.

3 1 2 sin x − cos = 2 2 2 π π 2 π 2  ⇔ cos sin x − sin cos = ⇔ sin  x −  = 6 6 2 6 2  Đáp án đúng là A.

Phương trình

3 sin x − cos = 2 ⇔

Cách giải bằng MTCT: Ta có a =

Trường THPT Lạc Long Quân

3, b = −1.

Trang 9

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

Chuyển máy tính về mode radian: SHIFT MODE 4 Nhấn SHIFT +

3 SHIFT ) −1 và =. Màn hình hiển thị

Nhấn RCL ) : ta được X = 2.

π Nhấn RCL S↔D : ta được Y = − .

6 2 π  Do đó 3 sin x − cos = 2 ⇔ sin  x −  = .

6 2  Đáp án đúng là A. 2 π π   Bài toán 2. Biến đổi phương trình − sin  x −  + 3 cos  x −  = 2 về dạng sin ( x + Y ) = X 3 3   với Y ∈ ( 0 ; π ) . Tính X .π + Y .

A.

5π .

3

B.

3π .

2

C. −

8π .

3

D.

7π .

3

Lời giải tự luận: Ta có a = −1, b = 3, c = 2. Chia 2 vế của phương trình cho

π π   Phương trình − sin  x −  + 3 cos  x −  = 3 3   ⇔ cos

a 2 + b2 = 2.

π π 1  3 2  2 ⇔ − sin  x −  + cos  x −  = 2  3 2 3 2 

π 2π 2π 2π 2 π π    sin  x −  + sin cos  x −  = ⇔ sin  x − + 3 3 3 3 3 3 2   

2 π 2    = ⇔ sin  x +  = 3 2  2 

π π 7π Suy ra Y = , X = 2 ⇒ X .π + Y = 2π + = .

3 3 3 Đáp án đúng là D. Cách giải bằng MTCT: Ta có a = −1, b = 3.

Chuyển máy tính về mode radian: SHIFT MODE 4 Nhấn SHIFT + −1 SHIFT )

3 và =. Màn hình hiển thị

Nhấn RCL ) : ta được X = 2.

Nhấn RCL S↔D : ta được Y =

2π .

3

Do đó π π π 2π  2 π 2     − sin  x −  + 3 cos  x −  =2 ⇔ sin  x − +  = ⇔ sin  x +  = .

3 3 3 3  2 3 2     Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 10

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

π π 7π Suy ra Y = , X = 2 ⇒ X .π + Y = 2π + = .

3 3 3 Đáp án đúng là D. Bài toán 3. Nghiệm của phương trình cos 2 x + sin= x

π  = + k 2π x  2 A.  ( k ∈  ). π x = − + k 2π  6 π 2π − +k C. x = ( k ∈  ).

6 3

3 ( cos x − sin 2 x ) là

  x= B.  = x 

π

+ k 2π

( k ∈  ). k 2π + 18 3 π + k 2π ( k ∈  ) .

D. x = 2 2

π

(Sử dụng lưu ý ở trang 10 và cách bấm máy như trên)

Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 11

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

PHẦN IV SỬ DỤNG CHỨC NĂNG TABLE CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY Dạng toán 1. TÌM GTNN VÀ GTLN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. Dạng toán 2. TÌM CHU KÌ TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. Dạng toán 3. XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. Dạng toán 4. TÌM NGHIỆM VÀ SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG MỘT KHOẢNG CHO TRƯỚC. U

U

U

U

U

U

U

U

Đôi nét về chức năng TABLE - Chức năng: Tính giá trị hàm số tại một vài điểm. Ta có thể sử dụng chức năng tính giá trị của hai hàm số f ( x ) và g ( x ) .

- Thao tác: + Để tính giá trị của một hàm số f ( x ) tại một số điểm: Cài đặt bằng cách bấm SHIFT MODE 0T

0T

0T

0T

0T

0T

0T

0T

(SET UP), tiếp theo bấm Replay xuống, chọn 5 (TABLE). Máy hỏi Select Type, các bạn chọn 1 tương ứng với yêu cầu chỉ cần tính giá trị của một hàm số tại một điểm.

Tương ứng với 2 là tính giá trị của đồng thời hai hàm số tại một số điểm.

- Sau khi cài đặt xong, bạn vào chế độ tính bằng cách bấm: + Bước 1: MODE 7 , nhập hàm số f ( x ) cần tính. + Bước 2: Start: Nhập mốc x bắt đầu từ đâu? + Bước 3: End: Nhập mốc x kết thúc tại đâu? + Bước 4: Step: Bước nhảy là khoảng cách giữa các điểm đầu mút.

Bấm = ta được bảng giá trị mong muốn.

- Tối đa: Chúng ta chỉ có thể tính tối đa được 30 giá trị cho một hàm số.

0T

0T

Dạng toán 1. TÌM GTNN VÀ GTLN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

U

U

• Tìm GTLN và GTNN của một hàm số y = f ( x ) trên [ a ; b ] .

Bước 1. Nhấn MODE 7 (TABLE) Bước 2. Nhập biểu thức f ( x ) vào máy b-a . (Có thể lấy từ 29 trở xuống) 20 (Chia 20 để có được 20 bước nhảy, và bảng TABLE có 21 gía trị, như thế là đủ!)

Sau đó, dựa vào bảng TABLE, ta tìm GTNN và GTLN.

Bước 3. Nhấn = sau đó nhập Start = a , End = b , Step =

Bài toán 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y= 3 − 2sin 2 x lần lượt là A. −3 ; 0.

B. 0 ; 1.

C. 1 ; 3.

D. −1 ; 2.

Lời giải tự luận: Ta có −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ⇔ 0 ≥ −2sin 2 x ≥ −2 ⇔ 3 ≥ 3 − 2sin 2 x ≥ 1 ⇒ 3 ≥ y ≥ 1 . Vậy GTNN là 1 và GTLN là 3.

Đáp án đúng là C. Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 12

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

Cách giải bằng MTCT: Chuyển máy tính về mode độ: SHIFT MODE 3 (thực tế để mode radian cũng tính được GTLN và GTNN, tuy nhiên ở mode độ ta dễ dàng nhận ra giá trị mà tại đó hàm số đạt GTLN, GTNN) Nhấn MODE 7 (TABLE). Nhập biểu thức f ( x )= 3 − 2sin 2 x , màn hình hiển thị

Nhấn =, một số máy sẽ hiện thị g ( x ) = , để xóa hàm này ta nhấn SHIFT MODE ▼ 5 1 .

Nhấn =, Start = 0 , End = 360 , Step = ( 360 − 0 ) ÷ 20 .

Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy GTNN là 1 tại hàng thứ 6 và 16.

GTLN là 3 tại hàng thứ 1, 11 và 21. Đáp án đúng là C. π Đặc biệt: Ta nhận thấy GTNN đạt tại x = 90, x = 270 ⇒ x = + kπ ( k ∈  ) .

2 GTLN đạt tại x= 0, x= 180, x= 360 ⇒ x= kπ ( k ∈  ) .

2π   π Bài toán 2. Tập giá trị của hàm số y= 2sin 2 x + sin x + 4 với x ∈  − ; là 3   6

A. [ 4 ; 7 ].

C.  30 ; 4  . 8 

B.  30 ; 7  . 8 

D.  31 ; 7  . 8 

2π  Su dung  π  1  Lời giải tự luận: Đặt t = sin x , x ∈  − ;  → = t sin x ∈  − ; 1 .  DTLG 3   6  2  b 1  1  =− ∈  − ; 1 .

Khi đó y= 2t 2 + t + 4 . Ta có − 2a 4  2  1 1 − , x= − , x= 1.

Do đó GTNN và GTLN của hàm số sẽ đạt tại x = 2 4  1  1  31 f  − = 4, f  − = , f (1)= 7. Vậy GTNN m = 31 và GTLN là M = 7 .

8  2  4 8 2π   π Vậy tập giá trị của hàm số trong đoạn  − ; là  31 ; 7  .  3   6 8  Đáp án đúng là D.

Cách giải bằng MTCT: Chuyển máy tính về mode độ: SHIFT MODE 3 Nhấn MODE 7 (TABLE). Nhập biểu thức f ( x )= 2sin 2 x + sin x + 4 .

Nhấn =, Start = −30 , End = 120 , Step =

(120 + 30 ) ÷ 20 .

Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy GTNN là 3,8751 ở hàng thứ 3 tại x = −15°.

Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 13

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

GTLN là 7 ở hàng thứ 17 tại x= 90°.

Vì

31 30 31 31 hơn. Do đó GTNN là . Đáp án đúng là D. = 3,875 và = 3, 75 nên 3,8751 gần với 8 8 8 8

Bài toán 3. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

1 + sin x . Khi đó 2 + cos x

M 2 − m 2 bằng

A.

2 3 5 4 16 .

B. C. .

D. . .

3 3 3 9 Lời giải tự luận: Phương trình ⇔ 1 + sin x = y ( 2 + cos x ) ⇔ sin x − y cos x = 2 y − 1.

Phương trình có nghiệm ⇔ 12 + ( − y ) ≥ ( 2 y − 1) 2

2

⇔ y2 + 1 ≥ 4 y2 − 4 y + 1

⇔ 3y2 − 4 y ≤ 0 4 ⇔0≤ y≤ .

3 4 Do đó GTNN là 0 và GTLN là . Khi đó 3 Đáp án đúng là C.

4 M 2 − m2 = .

3

Cách giải bằng MTCT: Chuyển máy tính về mode độ: SHIFT MODE 3

1 + sin x .

2 + cos x Nhấn =, Start = 0 , End = 360 , Step = ( 360 − 0 ) ÷ 20 .

Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy GTNN m = 0 tại hàng thứ 16.

GTLN M = 1,333172048 tại hàng thứ 9.

4 Khi đó M 2 − m 2 ≈ 1,333 ≈ . Đáp án đúng là C. 3 Nhấn MODE 7 (TABLE). Nhập biểu thức f ( x ) =

Bài toán 4. Hằng ngày mực nước cuả con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong con kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức  πt π  = h 3cos  +  + 12 . Mực nước của kênh cao nhất khi:  8 4 A. t = 13 (giờ).

B. t = 14 (giờ).

C. t = 15 (giờ).

D. t = 16 (giờ).

Lời giải: Mực nước của con kênh cao nhất khi h lớn nhất: πt π  πt π  ⇔ cos  +  =1 ⇔ + =k 2π với 0 < t ≤ 24 và k ∈ .

8 4  8 4 Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn. πt π Vì t = 14 → + = 2π (đúng với k = 1 ∈  ). Đáp án đúng là B. 8 4 Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 14

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

Dạng toán 2. TÌM CHU KÌ TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

U

U

Cơ sở lý thuyết: và y cos ( ax + b ) tuần hoàn với chu kỳ T0 = • Hàm= số y sin ( ax + b )=

2π . a

• Hàm= số y tan ( ax + b )= và y cot ( ax + b ) tuần hoàn với chu kỳ T0 =

π . a

• Hàm số y = f1 ( x ) tuần hoàn với chu kì T1 và hàm số y = f 2 ( x ) tuần hoàn với chu kì T2 thì hàm= số y k . f1 ( x ) ± h. f 2 ( x ) ( k , h là hằng số) tuần hoàn chu kì T0 là BCNN của T1 và T2 .

π x   Bài toán 1. Tìm chu kì T của hàm số y = sin  + 2017  − 2 tan  2 x +  .

4 2   A. T = 4π .

B. T = π .

C. T = 3π .

D. T = 2π .

Lời giải tự luận: 2π x  Hàm= số y sin  + 2017  tuần hoàn với chu kì = T1 = 4π .

1 2  2 π π  Hàm= số y tan  2 x +  tuần hoàn với chu kì T2 = .

4 2  π x   Suy ra hàm số y = sin  + 2017  − 2 tan  2 x +  tuần hoàn với chu kì T0 = 4π .

4 2   Đáp án đúng là A.

Cách giải bằng MTCT: • Nhấn MODE 7 (TABLE). Nhập biểu thức f ( x ) = •

Start: một giá trị xo bất kì thuộc TXĐ. Nếu chu kì thuộc TXĐ thì nhập luôn chu kì.

•

End: xo + 10T , Step: đáp án đang kiểm tra.

• Nếu các giá trị f ( x ) đều bằng nhau thì đáp án đó là chu kì.

• Nếu không phải ta nhấn AC rồi kiểm tra đáp án tiếp..

• Ta phải thử đáp án là chu kì nhỏ nhất trước.

Cụ thể, ta thực hiện như sau: Chuyển máy tính về mode rad: SHIFT MODE 4

π x   Nhấn MODE 7 (TABLE). Nhập biểu thức f ( x ) = sin  + 2017  − 2 tan  2 x +  .

4 2   Ta kiểm tra tính đáp án có chu kì nhỏ nhất trước. Ta kiểm tra đáp án B : Nhấn =, Start = π , End = 10π , Step = π .

Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột f ( x ) có các giá không bằng nhau. Loại đáp án B. Ta kiểm tra đáp án D : Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 15

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

Nhấn AC =, Start = 2π , End = 10.2π , Step = 2π .

Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột f ( x ) có các giá không bằng nhau. Loại đáp án D. Thực hiện tương tự, ta loại đáp án C. Suy ra đáp án đúng là A. Thử kiểm tra đáp án A. Nhấn AC =, Start = 4π , End = 10.4π , Step = 4π .

Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột f ( x ) có các giá bằng nhau. Đáp án đúng là A.

π  Bài toán 2. Tìm chu kì T của hàm số y 2sin 2  3 x +  + sin 4 x.cos x. = 6  A. T = 4π .

B. T = 3π .

C. T =

2π .

3

D. T = 2π .

Lời giải tự luận:

π π 1   Ta có y = 2sin 2  3 x +  + sin 4 x.cos x = 1 − cos  6 x +  + ( sin 3 x + sin 5 x ) 6 3 2   2π π π  Hàm số y cos  6 x +  tuần hoàn với chu kì = T1 = . = 6 3 3  2π Hàm số y = sin 3 x tuần hoàn với chu kì T2 = .

3 2π Hàm số y = sin 5 x tuần hoàn với chu kì T3 = .

5 π  Suy ra hàm số = y 2sin 2  3 x +  + sin 4 x.cos x tuần hoàn với chu kì T0 = 2π .

6  (Ta tìm BCNN của 60, 120 và 72. Đáp án là 360) Đáp án đúng là D. Cách giải bằng MTCT: Chuyển máy tính về mode rad: SHIFT MODE 4

π Nhấn MODE 7 (TABLE). Nhập biểu thức f= ( x ) 2sin 2  3x +  + sin 4 x.cos x 6  Ta kiểm tra tính đáp án có chu kì nhỏ nhất trước. Ta kiểm tra đáp án C : Nhấn =, Start = 2π ÷ 3 , End = 10.2π ÷ 3 , Step = 2π ÷ 3 Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột f ( x ) có các giá không bằng nhau. Loại C. Ta kiểm tra đáp án D : Nhấn AC =, Start = 2π , End = 10.2π , Step = 2π .

Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột f ( x ) có các giá bằng nhau. Đáp án đúng là D. Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 16

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

Dạng toán 3. XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

U

U

Ghi chú: Sử dụng chức năng TABLE để xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác, có phần hơi

U

U

không tối ưu cho lắm vì việc giải tự luận là không khó. Tuy nhiên, chúng ta vẫn nên làm quen với việc giải dạng toán này bằng TABLE, sẽ hữu ích cho việc xét tính đơn điệu của hàm số lớp 12.  31π 33π  Bài toán 1. Với x ∈  ;  , mệnh đề nào sau đây là đúng?

4   4

A. Hàm số y = cos x nghịch biến.

B. Hàm số y = sin x đồng biến.

C. Hàm số y = tan x nghịch biến.

D. Hàm số y = cot x nghịch biến.

Cách giải bằng MTCT: Chuyển máy tính về mode rad: SHIFT MODE 4 Ta kiểm tra tính đơn điệu bằng cách quan sát giá trị f ( x )

• Nếu cột f ( x ) luôn tăng ta kết luận hàm số đồng biến trên khoảng đã xét.

• Nếu cột f ( x ) luôn giảm ta kết luận hàm số nghịch biến trên khoảng đã xét.

Ta kiểm tra đáp án A Nhấn MODE 7 (TABLE). Nhập biểu thức f ( x ) = cos x Nhấn =, Start = 31π ÷ 4 , End = 33π ÷ 4 , Step = ( 33π ÷ 4 − 31π ÷ 4 ) ÷ 20 .

Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột f ( x ) có lúc tăng, lúc giảm. Do đó A là đáp án sai.

Tương tự, ta nhận thấy biểu thức f ( x ) = sin x luôn tăng trên khoảng đã cho. Đáp án đúng là B.  π Bài toán 2. Với x ∈  0;  , mệnh đề nào sau đây là đúng?  4

A. Cả hai hàm số y = − sin 2 x và y =−1 + cos 2 x đều nghịch biến.

B. Cả hai hàm số y = − sin 2 x và y =−1 + cos 2 x đều đồng biến.

C. Hàm số y = − sin 2 x nghịch biến, hàm số y =−1 + cos 2 x đều đồng biến.

D. Hàm số y = − sin 2 x nghịch biến, hàm số y =−1 + cos 2 x đều đồng biến.

(Thực hiện từng hàm y = − sin 2 x và y =−1 + cos 2 x để kiểm tra sự đồng biến, nghịch biến)

Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 17

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

Dạng toán 4. TÌM NGHIỆM VÀ SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG MỘT KHOẢNG CHO TRƯỚC

U

U

13  π  Bài toán 1. Trên đoạn  − ; 2π  , phương trình cos x = có bao nhiêu nghiệm?

14  2  A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 2.

13 13 ± arccos + k 2π ( k ∈  ) .

Lời giải tự luận: Phương trình cos x = ⇔ x = 14 14 13 13 π  π  + k 2π . Vì x ∈  − ; 2π  nên − ≤ arccos + k 2π ≤ 2π 2 14 14  2  13 Casio k∈ .  xap xi→ −0,3105 ≤ k ≤ 0,9394 → k= 0 → x= arccos 14

•= Với x arccos

π 13 13  π  • Với x = −arccos + k 2π . Vì x ∈  − ; 2π  nên − ≤ −arccos + k 2π ≤ 2π 2 14 14  2  13 13   Casio k∈ ; − arccos + 2π  .  xap xi→ −0,1894 ≤ k ≤ 1,0605 → k ∈ {0 ; 1} → x ∈  − arccos 14 14    π  Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm trên đọan  − ; 2π  . Đáp án đúng là A  2  Cách khác: Dùng đường tròn lượng giác. π Vẽ đường tròn lượng giác và biểu diễn cung từ − đến 2π .

2 13 Tiếp theo ta kẻ đường thẳng x = . Nhìn hình vẽ ta thấy 14 13 đường thẳng x = cắt cung lượng giác vừa vẽ tại 3 điềm.

14  π  Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm trên đọan  − ; 2π  .  2  Cách giải bằng MTCT:

Chuyển máy tính về mode rad: SHIFT MODE 4 Nhấn MODE 7 (TABLE). Nhập biểu thức f = ( x ) cos x − Nhấn =, Start = −π ÷ 2 , End = 2π , Step =

13 .

14

( 2π + π ÷ 2 ) ÷ 20 .

Lưu ý: Giá trị hàm số f ( x ) đổi dấu khi đi qua x = x1 và x = x2 thì phương trình f ( x ) = 0 có một

U

U

nghiệm trong khoảng ( x1 ; x2 ) .

Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 18

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy • Ở hàng thứ 4 và hàng thứ 5, f ( x ) đổi dấu.

Suy ra f ( x ) = 0 có một nghiệm thuộc ( −0,392 ; 0 ) .

• Ở hàng thứ 5 và hàng thứ 6, f ( x ) đổi dấu.

Suy ra f ( x ) = 0 có một nghiệm thuộc ( 0 ; 0,3926 ) .

• Ở hàng thứ 20 và hàng thứ 21, f ( x ) đổi dấu.

Suy ra f ( x ) = 0 có một nghiệm thuộc ( 5,8904 ; 6, 2831) .

 π  Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên đọan  − ; 2π  .  2  Đáp án đúng là A.

π  π  sin x có bao nhiêu nghiệm?

Bài toán 2. Trên khoảng  ; 2π  , phương trình cos  − 2 x  = 6  2  A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 2.

π  π  π  Lời giải tự luận: Phương trình cos  − 2 x  = sin x ⇔ cos  − 2 x  = cos  − x  6  6  2 

π π π  x = − − k 2π  6 − 2 x = 2 − x + k 2π  3 ⇔ ⇔ π  π − 2x =  x 2π − k 2π −  − x  + k 2π =  6  9 3 2 

( k ∈  ).

7  x= − π  π 5 k∈ 3 π  7  < − − < − ≤ < − → = − k 2 π 2 π k k 1 2  6 14 3 12 π  ⇔ ⇒  x =π .

Vì x ∈  ; 2π  nên   9 k∈ 2   π < 2π − k 2π < 2π  − 8 ≤ k < − 5 → k ∈ {−2; −1}   2 9  3 3 12 x = 8 π  9 π  Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm trên khoảng  ; 2π  . 2  Đáp án đúng là A.

Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 19

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

Cách giải bằng MTCT: Chuyển máy tính về mode rad: SHIFT MODE 4

π Nhấn MODE 7 (TABLE). Nhập biểu thức f ( x= ) cos  − 2 x  − sin x . 6  Nhấn =, Start = π ÷ 2 , End = 2π , Step = ( 2π − π ÷ 2 ) ÷ 20 .

Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy • Phương trình f ( x ) = 0 có một nghiệm thuộc ( 2,7488 ; 2,9845 ) .

• Phương trình f ( x ) = 0 có một nghiệm thuộc ( 4,8694 ; 5,105 ) .

• Phương trình f ( x ) = 0 có một nghiệm thuộc ( 5,105 ; 5,3407 ) .

π  Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm trên khoảng  ; 2π  . 2  Đáp án đúng là A.

Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 20

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Biên soạn: Trần Anh Khoa

TẠO RA SOLVE HỮU HIỆU NHỜ CHỨC NĂNG TABLE

U

π  π  sin x là Bài toán 3. Trên khoảng  ; 2π  , tổng T các nghiệm của phương trình cos  − 2 x  = 6  2  A. T =

29π .

9

B. T =

37π .

9

C. T = −

7π .

9

D. T =

23π .

9

Lời giải tự luận: (Tương tự bài 2).

5π 14π 8π π  π  sin x có các nghiệm= ;x = ;x .

Trên khoảng  ; 2π  , PT cos  − 2 x  = là x = 3 9 9 6  2  37π Vậy T = . Đáp án đúng là B. 9 Cách giải bằng MTCT: Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy • Phương trình f ( x ) = 0 có một nghiệm thuộc ( 2,7488 ; 2,9845 ) .

• Phương trình f ( x ) = 0 có một nghiệm thuộc ( 4,8694 ; 5,105 ) .

• Phương trình f ( x ) = 0 có một nghiệm thuộc ( 5,105 ; 5,3407 ) .

Dùng chức năng SOLVE

π  Nhập biểu thức cos  − 2 x  − sin x . Nhấn = ◄ ALPHA CALC 0. Màn hình hiển thị 6  (Ghi chú: việc bấm = nhằm mục đích lưu biểu thức vào bộ nhớ tạm)

Nhấn SHIFT CALC 2,7488 = . Màn hình hiển thị

Nhấn RCL ) , ta nhận được kết quả x =

8π .

9

Tương tự với 2 nghiệm còn lại,

14π .

9 5π Nhấn ▲ ▲ SHIFT CALC 5,105 = RCL ) , ta nhận được kết quả x = .

3 37π π  Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng  ; 2π  là .

9 2 

Nhấn ▲ SHIFT CALC 4,8694 = RCL ) , ta nhận được kết quả x =

Đáp án đúng là B. Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 21

Ứng Dụng Máy Tính Cầm Tay

Bài toán 4. Giải phương trình

Biên soạn: Trần Anh Khoa

3 cos 2 x + 2sin x cos x − 3 sin 2 x = 1 có hai họ nghiệm có dạng

β + kπ ( k ∈  ) với − x= α + kπ và x = A.

π

π B. .

6 3 Cách giải bằng MTCT: .

π π < α , β < . Khi đó α + β bằng 2 2 C.

π 12

.

D. −

π 12

.

Chuyển máy tính về mode rad: SHIFT MODE 4 Nhấn MODE 7 (TABLE). Nhập biểu thức 3 cos 2 x + 2sin x cos x − 3 sin 2 x − 1 .

Nhấn =, Start = −π ÷ 2 , End = π ÷ 2 , = Step (π ÷ 2 + π ÷ 2 ) ÷ 20 .

Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy • Phương trình f ( x ) = 0 có một nghiệm thuộc ( −0,314 ; − 0,157 ) .

• Phương trình f ( x ) = 0 có một nghiệm x = 0,7853.

Dùng chức năng SOLVE Nhập biểu thức 3 cos 2 x + 2sin x cos x − 3 sin 2 x − 1 .

Nhấn = ◄ ALPHA CALC 0. Màn hình hiển thị Nhấn SHIFT CALC −0,314 = RCL ) . Màn hình hiển thị kết quả x = −

π 12

Nhấn ▲ SHIFT CALC 0,7853 = RCL ) . Màn hình hiển thị kết quả x =

.

π 4

.

π π π Vậy α + β = − + = . Đáp án đúng là A. 12 4 6 ----------------------- HẾT -----------------------

Mọi thắc mắc, góp ý xin liên hệ EMAIL: trananhkhoa.sptoan.k35@gmail.com Trường THPT Lạc Long Quân

Trang 22

BÀI TẬP CỦNG CỐ: CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC Họ, tên học sinh: ……………………………………………. Lớp:……………

Câu 1. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4 − 3cos x với  3π π  ;  . Khi đó M + m bằng x ∈ − 2  4

B. 4 +

A. 8.

3 2 .

2

C. 5 +

Câu 2. Tính tổng T các nghiệm của phương trình

3 2 .

2

D. 5 +

3 3 .

2

2 −1 3 sin x cos x − sin 2 x = trên khoảng 2

π   ; 2π  . 2 

A. T =

7π .

3

B. T =

21π .

8

C. T =

11π .

4

D. T =

3π .

4

BÀI TẬP CỦNG CỐ: CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC Họ, tên học sinh: ……………………………………………. Lớp:……………

Câu 1. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4 − 3cos x với  3π π  x ∈ − ;  . Khi đó M + m bằng 2  4

B. 4 +

A. 8.

3 2 .

2

C. 5 +

Câu 2. Tính tổng T các nghiệm của phương trình

3 2 .

2

D. 5 +

3 3 .

2

2 −1 3 sin x cos x − sin 2 x = trên khoảng 2

π   ; 2π  . 2 

A. T =

7π .

3

B. T =

21π .

8

C. T =

11π .

4

D. T =

3π .

4

Lời giải tự luận.  2   3π π  Su dung Câu 1. Vì x ∈  − → s x ∈ − ; 1 co ;    .

DTLG 2  4  2  2 3 2 3 2 Ta có − ≤ cos x ≤ 1 ⇔ ≥ −3cos x ≥ −3 ⇔ + 4 ≥ 4 − 3cos x ≥ 1.

2 2 2 3 2 3 2 Do đó M = + 4, m =1 ⇒ M + m =5 + .

2 2 Đáp án đúng là C. π 2 −1 2  ⇔ cos  2 x − = x Câu 2. Phương trình 3 sin x cos x − sin 2 =  2 3 2  π π 7π   =  2 x − 3 = 4 + k 2π  x 24 + kπ ⇔ ⇔ ( k ∈  ). π π 2 x − π =  x = + kπ − + k 2π  3 4 24  31π 25π 7π π Vì  ; 2π  nên x= , x= . ⇒ T= 24 24 3 2  Đáp án đúng là A.

Lời giải tự luận.  2   3π π  Su dung Câu 1. Vì x ∈  − → co s x ∈ − ; 1 ;    .

DTLG 2 2  4   2 3 2 3 2 Ta có − ≤ cos x ≤ 1 ⇔ ≥ −3cos x ≥ −3 ⇔ + 4 ≥ 4 − 3cos x ≥ 1.

2 2 2 3 2 3 2 Do đó M = + 4, m =1 ⇒ M + m =5 + .

2 2 Đáp án đúng là C. 2 −1 2 π  x ⇔ cos  2 x − = Câu 2. Phương trình 3 sin x cos x − sin 2 =  2 3 2  π π 7π   2 x k 2 π − = + x = + kπ   3 4 24 ⇔ ⇔ ( k ∈  ). π π 2 x − π =  x = + kπ − + k 2π   3 4 24 31π 25π 7π π Vì  ; 2π  nên x= , x= ⇒ T= .

24 24 3 2  Đáp án đúng là A.