Actividad 8 Construcciones con regla y compĂĄs. AnĂĄlisis sobre imposibilidad Parte 1: Realiza una investigaciĂłn sobre la fĂłrmula de los nĂşmeros primos de Fermat, y la relaciĂłn encontrada por Gauss con esta fĂłrmula y los polĂgonos regulares construibles. La fĂłrmula de los nĂşmeros primos de Fermat đ?’?
Es una secuencia de la forma đ?‘đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?&#x;? con đ?’? = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, đ?&#x;?, ‌ Es evidente que todos los nĂşmeros primos de Fermat son impares. En otras palabras, cada uno tiene un factor primordial que no es compartida por ningĂşn otro nĂşmero. Los nĂşmeros primos de Fermat son considerados como los nĂşmeros primos casi cuadrados. La relaciĂłn encontrada por Gauss con esta fĂłrmula de los nĂşmeros primos de Fermat A los diecisiete aĂąos, Gauss investigĂł la relaciĂłn de constructibilidad de los đ?’‘ âˆ’ĂĄgnos regulares (polĂgonos de đ?’‘ lados) siendo đ?’‘ un nĂşmero primo. Solo se conocĂa entonces la construcciĂłn para đ?’‘ = đ?&#x;‘, đ?’‘ = đ?&#x;“ hasta que Gauss descubriĂł que el đ?’‘ âˆ’ĂĄgono regular era construible si y solo si đ?’‘ es un đ?’? nĂşmero primo de Fermat, es decir đ?’‘ = đ?‘đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?&#x;? Los primeros nĂşmeros de Fermat son: đ?&#x;‘, đ?&#x;“, đ?&#x;?đ?&#x;•, đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;•, đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;“đ?&#x;‘đ?&#x;•. Por lo que Gauss concluye que un polĂgono regular con đ?’? lados puede ser construido si đ?’? = đ?&#x;?đ?’Œ đ?’‘đ?&#x;? đ?’‘đ?&#x;? ‌ đ?’‘đ?’• , donde đ?’Œ ≼ đ?&#x;Ž, y đ?’‘đ?&#x;? , đ?’‘đ?&#x;? , ‌ , đ?’‘đ?’• son primos impares de Fermat. Donde đ?’‘đ?’• se consideran los distintos nĂşmeros primos de Fermat, es decir los đ?’? nĂşmeros primos de la forma đ?‘đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?&#x;?. đ?’?
Sabemos que los primos de Fermat son de la forma đ?‘đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?&#x;?, sin embargo hasta ahora no se conocen expicitamente otros primos de Fermat ademĂĄs de los generados por đ?’? = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘, đ?&#x;’, y en consecuencia no se sabe si hay una infinidad.