Unidad tres pensamiento matematico algebraico

Actividad 8 Construcciones con regla y compĂĄs. AnĂĄlisis sobre imposibilidad Parte 1: Realiza una investigaciĂłn sobre la fĂłrmula de los nĂşmeros primos de Fermat, y la relaciĂłn encontrada por Gauss con esta fĂłrmula y los polĂ­gonos regulares construibles.

La fĂłrmula de los nĂşmeros primos de Fermat đ?’?

Es una secuencia de la forma đ?‘­đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?&#x;? con đ?’? = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, đ?&#x;?, ‌ Es evidente que todos los nĂşmeros primos de Fermat son impares.

En otras palabras, cada uno tiene un factor primordial que no es compartida por ningĂşn otro nĂşmero.

Los nĂşmeros primos de Fermat son considerados como los nĂşmeros primos casi cuadrados.

La relaciĂłn encontrada por Gauss con esta fĂłrmula de los nĂşmeros primos de Fermat A los diecisiete aĂąos, Gauss investigĂł la relaciĂłn de constructibilidad de los đ?’‘ âˆ’ĂĄgnos regulares (polĂ­gonos de đ?’‘ lados) siendo đ?’‘ un nĂşmero primo.

Solo se conocĂ­a entonces la construcciĂłn para đ?’‘ = đ?&#x;‘, đ?’‘ = đ?&#x;“ hasta que Gauss descubriĂł que el đ?’‘ âˆ’ĂĄgono regular era construible si y solo si đ?’‘ es un đ?’? nĂşmero primo de Fermat, es decir đ?’‘ = đ?‘­đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?&#x;?

Los primeros nĂşmeros de Fermat son: đ?&#x;‘, đ?&#x;“, đ?&#x;?đ?&#x;•, đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;•, đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;“đ?&#x;‘đ?&#x;•.

Por lo que Gauss concluye que un polĂ­gono regular con đ?’? lados puede ser construido si đ?’? = đ?&#x;?đ?’Œ đ?’‘đ?&#x;? đ?’‘đ?&#x;? ‌ đ?’‘đ?’• , donde đ?’Œ ≼ đ?&#x;Ž, y đ?’‘đ?&#x;? , đ?’‘đ?&#x;? , ‌ , đ?’‘đ?’• son primos impares de Fermat.

Donde đ?’‘đ?’• se consideran los distintos nĂşmeros primos de Fermat, es decir los đ?’? nĂşmeros primos de la forma đ?‘­đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?&#x;?. đ?’?

Sabemos que los primos de Fermat son de la forma đ?‘­đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?&#x;?, sin embargo hasta ahora no se conocen expicitamente otros primos de Fermat ademĂĄs de los generados por đ?’? = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘, đ?&#x;’, y en consecuencia no se sabe si hay una infinidad.

Los polĂ­gonos regulares construibles El tema de los polĂ­gonos construibles surge desde la antigua Grecia. Con ciertas herramientas, y bajo reglas bien definidas ya eran conocidas algunas tĂŠcnicas para la construcciĂłn de algunos polĂ­gonos.

Pero fue Gauss el primero en dar una caracterizaciĂłn usando matemĂĄticas mĂĄs allĂĄ de la geometrĂ­a para proponer cuĂĄles polĂ­gonos son construibles por regla y compĂĄs que este consiste cuando traslada la teorĂ­a del punto anterior a la divisiĂłn del cĂ­rculo y su conexiĂłn con la construcciĂłn de polĂ­gonos regulares.

En su estudio Gauss, vincula el anĂĄlisis algebraico de la ecuaciĂłn đ?’›đ?’? − đ?&#x;? = đ?&#x;Ž con el problema de construir polĂ­gonos regulares de đ?’? lados con regla y compĂĄs.

Parte 2: Muestra que es imposible construir con regla y compĂĄs el polĂ­gono regular de nueve lados.

Sugerencia: Este problema es equivalente a demostrar que es imposible construir con regla y compĂĄs un ĂĄngulo đ?œ˝ =

đ?&#x;?đ??… đ?&#x;—

= đ?&#x;’đ?&#x;ŽÂ°.

Consideremos en definir el problema de construir los polĂ­gonos de đ?’? lados con regla y compĂĄs en vincular el anĂĄlisis algebraico de la ecuaciĂłn ciclotĂłmica de la forma đ?’›đ?’? = đ?&#x;?.

Para este caso decimos que sea definido el polĂ­gono regular con đ?’? = đ?&#x;— lados, que este es considerado como nonĂĄgono o eneĂĄgono por lo que esto implica sustituir en la ecuaciĂłn ciclotĂłmica el valor de đ?’? , por lo que entonces queda esta ecuaciĂłn como đ?’›đ?&#x;— = đ?&#x;?.

Por lo que đ?’›đ?&#x;— = đ?&#x;? define sus nueve raĂ­ces del polinomio, que estos se ubican en nueve puntos del cĂ­rculo unitario en el plano complejo, para realizar esto ocupamos el software de wĂłlfram alpha de la direcciĂłn electrĂłnica http://www.wolframalpha.com/ , por lo que escribimos la sintaxis de resoluciĂłn de esta ecuaciĂłn en el idioma inglĂŠs de la siguiente manera: Sintaxis: solve z^9=1 DĂĄndole ¨â€?enterâ€? nos despliega la localizaciĂłn de las raĂ­ces en el plano complejo:

De esta manera consideremos el ĂĄngulo que se define para este caso como đ?œ˝=

đ?&#x;?đ??… đ?&#x;—

, con esto decimos que de esta manera el ĂĄngulo đ?&#x;?đ??… queda dividido

en nueve partes iguales, es decir, en ĂĄngulos de medida

đ?&#x;?đ??… đ?&#x;—

, ĂĄngulo que nos

interesa para el caso del nonĂĄgono regular.

Por lo que se elabora en el plano complejo presentado, las consideraciones de trazar el cĂ­rculo unitario, de definir el origen como đ?‘ś, de considerar el punto donde se sitĂşa la raĂ­z a considerar como đ?‘ˇ , un punto medio de transiciĂłn en el origen y la raĂ­z que se considera como đ?‘¨ y el ĂĄngulo definido como đ?œ˝ y esto queda descrito y plasmado en el siguiente imagen:

Por lo que la ecuaciĂłn ciclotĂłmica definida para este caso como: đ?’›đ?&#x;— = đ?&#x;? →∴ đ?’›đ?&#x;— − đ?&#x;? = đ?&#x;Ž Por lo que esta ecuaciĂłn ciclotĂłmica con đ?’? = đ?&#x;— igualada a cero se puede factorizar de manera algebraica, es decir: đ?’›đ?&#x;— − đ?&#x;? = (đ?’›đ?&#x;‘ − đ?&#x;?)(đ?’›đ?&#x;” + đ?’›đ?&#x;‘ + đ?&#x;?) = đ?&#x;Ž.

Por lo que despuĂŠs se vuelve a factorizar para đ?’›đ?&#x;‘ − đ?&#x;?, por lo que entonces queda como: đ?’›đ?&#x;— − đ?&#x;? = (đ?’›đ?&#x;‘ − đ?&#x;?)(đ?’›đ?&#x;” + đ?’›đ?&#x;‘ + đ?&#x;?) = (đ?’› − đ?&#x;?)(đ?’›đ?&#x;? + đ?’› + đ?&#x;?)(đ?’›đ?&#x;” + đ?’›đ?&#x;‘ + đ?&#x;?) = đ?&#x;Ž.

Entonces consideremos con el primer tĂŠrmino factorizado que es: đ?’›âˆ’đ?&#x;?=đ?&#x;Žâ†’đ?’›=đ?&#x;?

Por lo que decimos que la raĂ­z đ?’› = đ?&#x;? corresponde al punto (đ?&#x;?, đ?&#x;Ž) del cĂ­rculo unitario definido y considerado para este caso.

Por lo que los otros 8 puntos quedan determinados por las raĂ­ces de las ecuaciones de los tĂŠrminos factorizados es decir: đ?’›đ?&#x;? + đ?’› + đ?&#x;? = đ?&#x;Ž y đ?’›đ?&#x;” + đ?’›đ?&#x;‘ + đ?&#x;? = đ?&#x;Ž Por lo que para encontrar las coordenadas del punto en el cĂ­rculo que subtiende el ĂĄngulo đ?œ˝ =

đ?&#x;?đ??… đ?&#x;—

, por lo que utilizamos la fĂłrmula exponencial, es

decir:

đ?’›đ?’Œ = đ?’†đ?’Œđ?œ˝đ?’Š DĂłnde: đ?’Œ = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, đ?&#x;?, ‌ , (đ?’? − đ?&#x;?).

Por lo que en este caso quedarĂ­a considerado como: đ?&#x;?đ??…

đ?’› đ?’Œ = đ?’†đ?’Œ đ?&#x;— đ?’Š DĂłnde: đ?œ˝ =

đ?&#x;?đ??… đ?&#x;—

, đ?’Œ = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, ‌ , đ?&#x;–.

Por la fĂłrmula de Euler decimos que: đ?&#x;?đ??…

đ?’›đ?’Œ = đ?’†đ?’Œ đ?&#x;— đ?’Š = đ?’„đ?’?đ?’” (đ?’Œ

đ?&#x;?đ??… đ?&#x;?đ??… ) + đ?’Š ∙ đ?’”đ?’†đ?’? (đ?’Œ ) đ?&#x;— đ?&#x;—

Entonces decimos que para đ?’Œ = đ?&#x;?, obtendremos el punto que nos interesa, es decir: đ?&#x;?đ??… đ?&#x;?đ??… đ?’›đ?&#x;? = đ?’„đ?’?đ?’” ( ) + đ?’Š ∙ đ?’”đ?’†đ?’? ( ) đ?&#x;— đ?&#x;—

El segmento đ?‘śđ?‘¨ de la Ăşltima figura presentada tiene una longitud igual a đ?&#x;?đ??…

đ?’„đ?’?đ?’” ( đ?&#x;— ) . Si se pudiese construir esta longitud con regla y compĂĄs el nonĂĄgono regular, se deberĂ­a poder construir esta longitud. Enseguida analizamos si esto es posible.

Por lo que consideramos que el conjugado de đ?’›đ?&#x;? debe ser raĂ­z del polinomio de sexto grado que estaba factorizado anteriormente, entonces con esto decimos que: đ?&#x;?đ??… đ?&#x;?đ??… đ?&#x;?đ??… đ?’›đ?&#x;? = đ?’†âˆ’đ?’Šđ?’Œ đ?&#x;— = đ?’„đ?’?đ?’” ( ) − đ?’Š ∙ đ?’”đ?’†đ?’? ( ) Ě…Ě…Ě… đ?&#x;— đ?&#x;—

Satisface a đ?’›đ?&#x;” + đ?’›đ?&#x;‘ + đ?&#x;? = đ?&#x;Ž Ahora, bien, decimos que: đ?’›đ?&#x;? + Ě…Ě…Ě… đ?’›đ?&#x;? = đ?’› đ?&#x;? +

đ?&#x;? đ?’›đ?&#x;?

Por lo que realizando operaciones queda como: đ?&#x;?đ??…

đ?&#x;?đ??…

đ?&#x;?

đ?&#x;?đ??…

đ?’›đ?&#x;? + Ě…Ě…Ě… đ?’›đ?&#x;? = đ?’†đ?’Šđ?’Œ đ?&#x;— + đ?’†âˆ’đ?’Šđ?’Œ đ?&#x;— = đ?’†đ?’Šđ?’Œ đ?&#x;— +

đ?&#x;?đ??… đ?’†đ?’Šđ?’Œ đ?&#x;—

= đ?&#x;? đ?’„đ?’?đ?’” (

đ?&#x;?đ??… ) đ?&#x;—

Regresando a la ecuaciĂłn de sexto grado: đ?’›đ?&#x;” + đ?’›đ?&#x;‘ + đ?&#x;? = đ?&#x;Ž Dividimos por đ?’›đ?&#x;‘ : đ?’›đ?&#x;” + đ?’›đ?&#x;‘ + đ?&#x;? = đ?&#x;Ž →

đ?’›đ?&#x;” đ?’›đ?&#x;‘ đ?&#x;? + + =đ?&#x;Ž đ?’›đ?&#x;‘ đ?’›đ?&#x;‘ đ?’›đ?&#x;‘

Y obtenemos: đ?’›đ?&#x;‘ + đ?&#x;? +

đ?&#x;? =đ?&#x;Ž đ?’›đ?&#x;‘

Agrupando convenientemente y completando el cubo de un binomio respectivamente, obtenemos: đ?’›đ?&#x;‘ +

đ?&#x;? +đ?&#x;?=đ?&#x;Ž đ?’›đ?&#x;‘

đ?&#x;? đ?&#x;‘ (đ?’› + ) + đ?&#x;? = đ?&#x;Ž đ?’› đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;‘ (đ?’› + ) − đ?&#x;‘đ?’› − + đ?&#x;? = đ?&#x;Ž đ?’› đ?’› đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;? (đ?’› + ) − đ?&#x;‘ (đ?’› + ) + đ?&#x;? = đ?&#x;Ž đ?’› đ?’› đ?&#x;?

Haciendo đ?’™ = đ?’› + đ?’› , tenemos a la ecuaciĂłn equivalente đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;‘đ?’™ + đ?&#x;? = đ?&#x;Ž Por lo que esto es una ecuaciĂłn cĂşbica, por lo que esto representa la đ?&#x;?đ??…

construcciĂłn del segmento đ?&#x;? đ?’„đ?’?đ?’” ( đ?&#x;— ).

Sin embargo por el teorema general sobre las raĂ­ces de la ecuaciĂłn cĂşbica, las Ăşnicas raĂ­ces racionales serian đ?&#x;? y – đ?&#x;? , que definitivamente no son raĂ­ces.

Por lo tanto, las raĂ­ces de esta ecuaciĂłn no son construibles, es decir đ?&#x;?đ??…

đ?&#x;?đ??…

đ?&#x;? đ?’„đ?’?đ?’” ( đ?&#x;— ) no es construible y por lo tanto tampoco lo es đ?’„đ?’?đ?’” ( đ?&#x;— ), longitud que era necesaria para construir el nonĂĄgono regular, por lo tanto es imposible construirlo con regla y compĂĄs.

Fuentes de consulta bibliogrĂĄfica Para la parte 1: Isaacs, I. Martin (2009) Geometry for college students (Second Edition) Providence, Rhode Island, U.S.A., The Sally Series: Pure and Applied Undergrate Texts No.8 Ed. American Mathematical Society-AMS. Castillo Pioquinto Luz Olivia (2016) El Estudio de Gauss sobre la constructibilidad de polĂ­gonos regulares., (Tesis para obtener el tĂ­tulo de licenciatura en MatemĂĄticas) Facultad de Ciencias-UNAM. MĂŠxico, D.F. Para la parte 2: Miss Paredes AgustĂ­n Guadalupe (1984) El problema de Fermat en NĂşmeros Poligonales., (Tesis para obtener el tĂ­tulo de licenciatura en MatemĂĄticas) Facultad de Ciencias-UNAM. MĂŠxico, D.F.

Courant Richard, Robbins Herbert (1979) ¿Qué es la Matemática?: Una exposición elemental de sus ideas y métodos. (Quinta Edición) Madrid, España Ed. Aguilar S.A. Ben-Menahem Ari (2009) Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences (First Edition) New York, U.S.A., Ed. Springer.

Dickson, Leonard Eugene. (1922). First Course in the Theory of Equations.

(First Edition) London, U.K. Ed. Forgotten Books.

Rosenthal D. (2014) A Readable Introduction to Real Mathematics. (First Edition), Toronto, Canadá. Ed. Springer.

INTEGRANTES DEL EQUIPO LyR PEDRO DANIEL LARA MALDONADO……………AL12509381 (La Duplicación del cubo, La trisección del ángulo, Implicaciones para la enseñanza de la ciencia) CYNTHIA PATRICIA RODRIGUEZ LINARES…..ES1611307783 (Orígenes, La cuadratura del círculo, Implicaciones para la formación científica) Unidad 3: Actividad Complementaria.

Propósito: Profundizar el tema de “Irresolubilidad de los tres problemas griegos”.

1). Investiga el tema propuesto de “Irresolubilidad de los tres problemas griegos” en diversas fuentes Orígenes (Contexto Histórico) Los orígenes de los tres problemas clásicos no se sabe con certeza, pero para el problema de la duplicación del cubo se dijo que en el año 430 antes de Cristo en la época cuándo una gran peste asoló Atenas y su gran líder fue asesinado.

La plaga continuó hasta 423 antes de Cristo, sin embargo este problema no se resolvió antes de que terminara la plaga.

Es probable que el primer problema clásico fuera la cuadratura del círculo.

Por lo que después surgió el problema de la trisección.

Estos se convirtieron en los tres problemas matemĂĄticos de los griegos irresolubles esto se refiere a los problemas matemĂĄticos griegos no resueltos.

Por lo que los tres problemas matemåticos griegos irresolubles son los siguientes:   

La DuplicaciĂłn del cubo.

La Cuadratura del cĂ­rculo.

La TrisecciĂłn del ĂĄngulo.

La DuplicaciĂłn del cubo Problema: El doble del volumen de un cubo dado.

Restricciones: Es importante saber que el mĂŠtodo de soluciĂłn a estos problemas fue extremadamente restringidas por PlatĂłn, y sĂłlo un borde recto sin marcas y un compĂĄs plegable estaban disponibles.

PlatĂłn tambiĂŠn estableciĂł el requisito de que la soluciĂłn serĂ­a contar sĂłlo si se logra mediante una construcciĂłn geomĂŠtrica usando estas restricciones.

Por medio de estas dos herramientas, una se limita a sĂłlo cinco operaciones matemĂĄticas (que se realizarĂĄn en los nĂşmeros racionales): suma, resta, multiplicaciĂłn, divisiĂłn, y teniendo raĂ­ces cuadradas.

SoluciĂłn Restringida: Esto requiere la construcciĂłn de una lĂ­nea cuya longitud es la raĂ­z cĂşbica de dos y esto era imposible construir bajo los requisitos de PlatĂłn y lo que la soluciĂłn no era la soluciĂłn y era imposible de resolver para los antiguos griegos.

SoluciĂłn sin restricciones: Hoy en dĂ­a es fĂĄcil de resolver este problema, es sĂłlo una ecuaciĂłn algebraica: đ?’‚đ?&#x;‘ = đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;‘ donde đ?’‚ es la longitud del lado arbitrario de un cubo y

đ?’™ es la longitud del lado del cubo nuevo duplicado como se muestra en el diagrama dibujado de este tema. đ?&#x;‘

Con un poco de manipulaciĂłn algebraica obtenemos đ?’™ = √đ?&#x;?đ?’‚: que es la longitud del lado del cubo original con su volumen duplicado.

La cuadratura del cĂ­rculo Problema: Construir un cuadrado con la misma ĂĄrea que un cĂ­rculo dado con el radio, đ?’“.

SoluciĂłn Restringida: El ĂĄrea de un cĂ­rculo se generalizĂł a ser igual a su radio al cuadrado multiplicado por pi-đ??…, sin embargo, no fue definida exactamente que presenta un problema de que: pi-đ??… es irracional, es decir que no se puede expresar como una relaciĂłn de dos nĂşmeros racionales.

DespuĂŠs de haber conocido el ĂĄrea de un cĂ­rculo y un cuadrado, una simple relaciĂłn de buques se dio cuenta: la longitud del lado de la plaza buscada es el radio del cĂ­rculo dado multiplicado por un factor de la raĂ­z cuadrada de piđ??….

Como resultado de las restricciones de PlatĂłn, una soluciĂłn era (y sigue siendo) imposible por medios geomĂŠtricos.

ArquĂ­medes, entre muchos otros, trabajĂł sobre este problema, sin darse cuenta de pi-đ??… es un nĂşmero trascendental.

SoluciĂłn sin restricciones: Para un cuadrado para que el ĂĄrea de un cĂ­rculo, su lado tiene que ser la raĂ­z cuadrada de pi-đ??… veces el radio del cĂ­rculo.

La Trisección del ángulo Problema: Encontrar un ángulo que mide exactamente un tercio de un ángulo arbitrario dado.

Solución Restringida: Los antiguos griegos, que tenían la capacidad de que dividieran en dos ángulos y la trisección de segmentos de línea, tenían dificultades para dividir un ángulo arbitrario en tres partes iguales.

Por supuesto, los griegos eran capaces de trisección de un grupo selecto de ángulos especiales como 90° y 180° grados, un método general no podía ser formulada.

Aunque Hipócrates y Arquímedes (y algunos otros) hicieron encontrar una manera de realizar una trisección de un ángulo, que no estaba dentro de la construcción griega bajo confines de Platón.

Hasta que en 1837, el matemático alemán Wantzel algebraicamente demostró este problema era imposible.

Solución sin restricciones: Algebraicamente se debe dividir el ángulo original por tres.

El uso de un transportador, con esto es una tarea simple.

Fue sólo hasta el siglo19 que se comprobó que no hay solución era una solución a los problemas clásicos en virtud de las restricciones de Platón.

Usando sólo la geometría de un círculo que no puede ser cuadrado, ya que implica que el número 𝝅 es trascendental, probada por otro matemático alemán, llamado Lindemann.

El cubo no se puede doblar debido a que es imposible hacer una línea de la longitud de bajo las restricciones.

Arquímedes descubrió una solución para la trisección de un ángulo, sin embargo su solución implicó una trisección de borde, que va en contra de las restricciones de los conjuntos de puntos.

No fue hasta 1882 que se comprobó que el problema era irresoluble bajo restricciones-también de Platón alcanzados por Lindemann.

Implicaciones para la formación científica Hay dos realizaciones importantes que surgieron de estos tres problemas fácilmente de entender, pero los problemas irresolubles de la antigüedad.

El primero es la aceptación de la comunidad científica que ninguna solución es en sí misma una solución tangible.

Al darse cuenta de la verdad es mucho más fácil de lo que justifica de la verdad tangible.

Implicaciones para la enseñanza de la ciencia La simplicidad de los problemas de la antigüedad capta fácilmente el interés de la mente inquisitiva y en la historia de esta alentó el pensamiento racional y la búsqueda de la comprensión que llevó al descubrimiento de nuevas ramas de las matemáticas.

Hoy en día con nuestro conocimiento de todas las diferentes ramas de la matemática estos problemas se pueden resolver en cuestión de minutos.

Por lo tanto, el segundo resultado importante es la apreciación de todas las ramas de las matemáticas tales como álgebra, cálculo y geometría.

El hecho de que los antiguos griegos se limitaron a la geometría ya no eran capaces de resolver los problemas destaca hoy que todas las ramas de las matemáticas están interrelacionados y son importantes para entender el mundo que nos rodea.

Fuentes de consulta bibliográfica: Courant Richard, Robbins Herbert (1979) ¿Qué es la Matemática?: Una exposición elemental de sus ideas y métodos. (Quinta Edición) Madrid, España Ed. Aguilar S.A. Conway John H., Guy Richard K. (1991) The Book of Numbers (First Edition) New York, U.S.A. Ed. Springer Verlag.

Miss Paredes Agustín Guadalupe (1984) El problema de Fermat en Números Poligonales., (Tesis para obtener el título de licenciatura en Matemáticas) Facultad de Ciencias-UNAM. México, D.F.

Isaacs, I. Martin (2009) Geometry for college students (Second Edition) Providence, Rhode Island, U.S.A., The Sally Series: Pure and Applied Undergrate Texts No.8 Ed. American Mathematical Society-AMS.