Unidad 3 teoremas principales

Álgebra moderna 1 Unidad 3. Teoremas principales Contenido nuclear Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en Matemáticas

Licenciatura en Matemáticas

11° Cuatrimestre

Programa de la asignatura: Álgebra moderna I

Unidad 3: Teoremas principales

Contenido nuclear

Clave: 050941141

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Álgebra moderna 1 Unidad 3. Teoremas principales Contenido nuclear

Índice Presentación .................................................................................................................... 3 Desarrollo de contenidos nucleares .............................................................................. 4 Teoremas de isomorfismo .............................................................................................. 4 Recursos audiovisuales .................................................................................................. 4 Aprende observando ...................................................................................................... 4 Aprende leyendo .......................................................................................................... 5 Cierre de la Unidad .......................................................................................................... 5 Fuentes de consulta ........................................................................................................ 5

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Álgebra moderna 1 Unidad 3. Teoremas principales Contenido nuclear Presentación El Álgebra Moderna o Álgebra abstracta estudia las estructuras algebraicas mediante sus simetrías. La estructura que estudiaremos en este curso será la estructura de grupo.

En esta unidad exploraremos los teoremas principales que nos ayudarán a construir isomorfismos entre diversos grupos y grupos cociente: o

o

o

Primer teorema de isomorfismo: Si existe un homomorfismo de grupos entre G y G’ entonces se induce un isomorfismo entre los grupos cociente de G sobre el núcleo del homomorfismo y la imagen del homomorfismo.

Segundo teorema de isomorfismo: Sean H, K subgrupos de G con K un subgrupo normal de G. Entonces la intersección de los subgrupos es un subgrupo normal de H; HK es subgrupo de G; K es subgrupo normal de HK y se tiene un isomorfismo entre el grupo cociente de H sobre (H K) y el grupo cociente de HK sobre K. Tercer teorema de isomorfismo: Si H, K son dos subgrupos normales de G tales que H es subconjunto de K entonces K/H es un subgrupo normal de G/H y se tiene un isomorfismo de (G/H)(K/H) con G/K.

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Álgebra moderna 1 Unidad 3. Teoremas principales Contenido nuclear Contenidos nucleares Teoremas de isomorfismo Los teoremas de isomorfismo (también llamados teoremas de isomorfía de Noether) relacionan a los grupos con sus grupos cociente. Nos servirán para resolver diversos problemas sobre grupos.

Para entender los teoremas de isomorfismos requeriremos investigar previamente las definiciones siguientes: 1.

2.

3.

4.

5.

Monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo Homomorfismo de grupos Núcleo e imagen de un homomorfismo Subgrupo normal Producto de grupos

Recursos audiovisuales A continuación se muestran los teoremas fundamentales de los teoremas de isomorfismos

Aprende observando En este vídeo se muestran las propiedades básicas de los homomorfismos de grupos tomado de alexmoqui recuperado de Propiedades básicas de los homomorfismos de grupos

Teoremas de isomorfismo

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En los siguientes vídeos se muestran y explica los teoremas de isomorfismo tomado de alexmoqui recuperado de

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Aprende leyendo Los siguientes contenidos te darán una idea más clara y te reforzarán al momento de resolver las actividades que se presentan en la unidad.       

http://www.dcb.unam.mx/users/casianoam/algebra/capitulos/ESTRUCTURAS%20 ALGEBRAICAS.pdf http://www.cimat.mx/~fsanchezcv/docs/AModerna.pdf http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Algebra_abstracta/abstracta.pdf http://fmwww.bc.edu/gross/MT216/aata.pdf http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/structure.html http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/ http://staffhome.ecm.uwa.edu.au/~00013270/b_a_a.pdf

Cierre de la Unidad En esta unidad utilizaste los contenidos nucleares previos para trabajar con los tres teoremas de isomorfismos. Ahora haz completado las competencias del curso.

Fuentes de consulta Zaldívar. F. (2006). Introducción a la Teoría de Grupos. Primera edición. México: Sociedad Matemática Mexicana.

Rotman. J. J. (2000). A First Course in Abstract Algebra. Second edition. United States of America. Prentice Hall.

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Álgebra moderna 1 Unidad 3. Teoremas principales Contenido nuclear Herstein. I. N. Álgebra Moderna: Grupos, Anillos, Campos, Teoría de Galois. Segunda edición. México: Trillas.

Fraleigh. J. B. (1994). A First Course in Abstract Algebra. United States of America.

Addison-Wesley Publishing Company.

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