Unidad 3 distrib exponencial y proceso poisson

Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

Análisis Matemático I

7° cuatrimestre

Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson

Clave: 050930726

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson

INDICE Contenido Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson ................................................ 4 Presentación de la unidad ........................................................................................................ 4 Propósitos de la unidad ........................................................................................................... 4 Competencia específica ........................................................................................................... 5 3.1. La distribución exponencial y la definición de un proceso Poisson .............................. 5 3.1.1. La distribución exponencial............................................................................................ 7 3.1.2. Definición del proceso Poisson................................................................................ 10 3.1.3. Distribuciones asociadas.......................................................................................... 12 Actividad 1. Identificación de parámetros............................................................................. 15 Actividad 2.Cadenas de nacimiento y muerte....................................................................... 15 3.2. Dos procesos Poisson independientes y condicionalidad ........................................... 16 3.2.1. Suma de procesos Poisson independientes ........................................................... 16 3.2.2. La distribución uniforme y el proceso Poisson condicionado............................... 17 3.2.3. La distribución binomial y el proceso Poisson condicionado ............................... 19 3.2.4. Descomposición de un proceso Poisson en dos procesos independientes ........ 21 Actividad 3. Análisis de procesos Poisson ........................................................................... 22 3.3. Generalizaciones del proceso Poisson .......................................................................... 22 3.3.1. El proceso Poisson compuesto y ejemplos de aplicación ..................................... 22 3.3.2. El proceso Poisson no-homogéneo y ejemplos de aplicación .............................. 25 Actividad 4. Generalizaciones del proceso Poisson ............................................................ 28 Autoevaluación ....................................................................................................................... 29 Evidencia de aprendizaje. Resolución de problemas sobre procesos Poisson ................. 30 Autorreflexiones ..................................................................................................................... 31 Cierre de la unidad.................................................................................................................. 31

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson Para saber más ....................................................................................................................... 31 Referencias Bibliográficas ..................................................................................................... 32

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson

Presentación de la unidad En esta unidad se abordará el estudio de un tipo de procesos a tiempo continuo {N(t)} en los que cada variable indica el número de veces que ocurre un evento en un intervalo de tiempo [0, t] para cualquier número real positivo t. El evento cuyas ocurrencias se cuentan mediante este tipo de procesos, debe tener características que permitan que el comportamiento probabilístico de las variables N(t) se describa mediante la distribución Poisson que estudiaste en el curso de Probabilidad.

El tiempo que transcurre entre dos ocurrencias consecutivas del evento, es una nueva variable aleatoria cuya distribución se conoce como distribución exponencial, de la que se deducirán las funciones de densidad y de distribución en esta unidad.

Entre las generalizaciones de este proceso, se encuentra el proceso Poisson compuesto que surge cuando a cada ocurrencia del evento que se estudia se le asocia una variable aleatoria Yk, formando un proceso {X(t)} en el que cada variable se obtiene sumando las Yk´s de los eventos que hayan ocurrido hasta el tiempo t, es decir, N (t )

X (t )   Yk . k 1

Una aplicación típica del proceso Poisson compuesto es el monto que debe pagar una aseguradora por concepto de reclamos de cierto tipo de seguros, en donde N(t) indica el número de siniestros ocurridos hasta el tiempo t, y Yk es el monto del reclamo del k-ésimo siniestro.

La otra generalización que abordarás en esta unidad, se conoce como proceso Poisson nohomogéneo en el tiempo, es decir, en el que la probabilidad de que el evento ocurra n veces en un intervalo de tiempo [t1, t2] depende de los valores de t1 y t2. Por ejemplo, la cantidad de clientes que arriban a una oficina bancaria puede describirse mediante una distribución Poisson con un parámetro entre las 9 y las 10 horas y con otro parámetro diferente entre las 10 y las 12 horas.

Propósitos de la unidad Al finalizar el estudio de esta unidad:   

Identificarás las distribuciones asociadas a un proceso Poisson.

Resolverás problemas mediante el análisis de un proceso Poisson.

Clasificarás los procesos Poisson en simples, compuestos y no-homogéneos.

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson Competencia específica Utilizar los procesos Poisson simples, compuestos y no homogéneos para evaluar situaciones de riesgo que pueden presentarse en cualquier instante de tiempo, mediante la identificación de las componentes de estos procesos.

3.1. La distribución exponencial y la definición de un proceso Poisson En el curso de Probabilidad 1 estudiaste la distribución Poisson cuya función de densidad es:

  n   e f N ( n)  P  N  n    n !  0 

si n  0,1, 2,



en otro caso

La variable aleatoria N de esta distribución, indica el número de veces que ocurre un evento en una unidad de tiempo sabiendo que a la larga, ocurre en promedio  veces por unidad de tiempo. La distribución Poisson es un buen modelo para eventos como el número de llamadas que llegan al conmutador de una oficina durante un día o el número de mensajes electrónicos que llegan a un receptor en una hora. También se puede usar cuando el evento ocurre aleatoriamente en el espacio, en lugar de en el tiempo, por ejemplo, para el número de defectos a lo largo de una milla de cable submarino, o el número de defectos en un rollo de tela seleccionado al azar.

Si en lugar de tomar una unidad de tiempo (o de espacio) se toman t unidades de tiempo, el parámetro debe sustituirse por t, donde t puede ser cualquier número real.

Para que esta distribución de probabilidad sea un buen modelo, el evento que se estudia debe tener las siguientes características: a) Al tiempo t = 0 no ha ocurrido, es decir, el conteo empieza en cero. b) El número de veces que sucede el evento en un intervalo I, depende sólo de la longitud del intervalo. c) El número de veces que ocurre el evento en un intervalo, es independiente del número de ocurrencias en intervalos ajenos a él. d) Para t pequeño, la probabilidad de que el evento suceda una vez en [0, t] es pequeña, y la probabilidad de que suceda más de una vez es despreciable.

Esto se recoge en la siguiente proposición Proposición. Sea N(t) el número de veces que ocurre un evento en el intervalo [0, t].

Supóngase que se cumplen las siguientes condiciones: i) N(0) = 0. ii) Para t y s números reales positivos,

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson P  N  t  s   N  t   n   P  N  s   N  0   n   P  N  s   n  .

Es decir, el proceso {N(t)} tiene incrementos estacionarios. iii)

Para 0  t1  t2 

 tn , las variables N  t1  , N  t2   N  t1  , , N  tn   N  tn1  son

independientes, es decir, el proceso {N(t)} tiene incrementos independientes. iv)

lim

v)

lim

t 0

P  N  t   1 t P  N (t )  2 

t 0

t

 0

0

Entonces, N(t) se distribuye como Poisson con parámetro t, es decir:

P  N t   n 

 t   n!

n

e t para t  0.

Demostración.

Llamaremos N  I  al número de veces que ocurre el evento en el intervalo I. Sea k un entero no negativo y t > 0. Para cada n  intervalos I1  0, h  , I 2   h, 2h  ,

definimos h = t/n y consideramos los

I n   n  1 h, nh  . La probabilidad que nos interesa calcular

se puede escribir mediante la intersección con eventos ajenos definidos de acuerdo a lo que sucede en cada subintervalo, de la siguiente manera:

P  N  t   k   P  N  t   k , N  I j   1 para toda j  1, 2,

n 

 P  N  t   k , N  I j   2 para alguna j  1, 2,

n 

Para pasar al caso continuo, es necesario aplicar un límite cuando n   o, equivalentemente, cuando h  0 . Vamos a analizar por separado los límites de cada uno de los sumandos anteriores. Para el segundo sumando se tiene

P  N  t   k , N  I j   2 para alguna j  1, 2,

n   P  N  I j   2 para alguna j  1, 2,

n 

 n  n t  P   N  I j   2    P  N  I j   2  nP  N  h   2  P  N  h   2 h  j 1  j 1 Así que

lim P  N  t   k , N  I j   2 para alguna j  1, 2, n 

, n   lim t

P  N  h   2

h 0

h

0

El evento del primer sumando sucede cuando en cada subintervalo ocurre el evento una vez o ninguna y el número total de veces que ocurre es k. Es decir, se trata de una distribución binomial en la que cuando ocurre una vez en un subintervalo se tiene un éxito, y cuando no ocurre el evento se tiene un fracaso.

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson n , n     P  N  h   1 k 



P  N  t   k , N  I j   1 para toda j  1, 2, n    P  N  h   1 k 



 

n  n  1 n  2 

 1  P  N  h   1  P  N  h   2  k

 n  k  1  t 

k!

 t 

k

 n  1  n  2     k !  n  n 

n

k

k

nk

 t 

  P  N  h   0  k

nk

nk

 P  N  h   1  1  P  N  h   1  P  N  h   2  k

k

 n  k 1 1  n      P  N  h   1 n  k  t   k



nk

 1  P  N  h   1  P  N  h   2  k

nk

Analicemos los límites de los factores que forman la expresión anterior cuando n   .

 n  1  n  2  lim    n   n  n  k

nc  n  k 1  c  lim 1    1 para toda constante c.    1 porque lim n  n  n  n   n

1 n lim k   P  N  h   1 n   t





1  P  N  h   1  k  lim k     k 1 h 0    h    k

k









lim 1  P  N  h   1  P  N  h   2  h 0

lim 1  P  N  h   1  P  N  h   2  n 

k

n

por la condición (iv).

 1 porque lim P  N  h   c   0 para toda constante c. h 0  1t t   lim 1   P  N  t   1  P  N  h   2    h 0 h   n h

h/t

 t   lim 1    e  t por las condiciones  iv  y  v  . n  n  n

Por tanto, el límite del primer sumando es

 t 

k

e  t .

k!

Reuniendo los límites de ambos sumandos se obtiene que

P  N  t 

 t   k  

k!

k

e  t .

3.1.1. La distribución exponencial En esta sección empezaremos por deducir las funciones de densidad y de distribución de una variable aleatoria continua X que indica el tiempo que transcurre desde t = 0 hasta la primera ocurrencia de un evento tipo Poisson.

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson Sea N(t) el número de veces que ocurre un evento tipo Poisson en el intervalo [0, t], y se X el tiempo que transcurre desde que inicia la observación hasta que por primera vez ocurre el evento. Entonces los eventos [X > t] y [N(t) = 0] son equivalentes.

Por tanto, para t > 0, P  X  t   P  N (t )  0 

 t  

0

e t  e  t . De ahí que: 0!

FX  t   P  X  t   1  P  X  t   1  et .

Así que la función de densidad de X es

f X t  

dFX  t   e t para t > 0. dt

Definición. Una variable aleatoria X se distribuye como exponencial si su función de densidad es

 e   t fX  x    0

si t  0 en otro caso

Para determinar la esperanza y la varianza de una variable con distribución exponencial, se calculará la función generadora de momentos.

m t   E e

tX





0

e

   t  x

dx  

  t

e



  t  x

 0

  t

.

De ahí que

EX  

dm  t    dt t 0    t 2

 t 0

 1  2 

d 2m t  d     dt 2 t 0 dx     t 2  2 Var  X   E  X 2   E 2  X   2  EX2 



   2 3    t  t  0 1 1  2 2



 t 0

2

2



Ejemplo. La duración X de un componente electrónico, es una variable aleatoria exponencial.

Hay dos procesos para su fabricación. El proceso I brinda una duración esperada de 100 hrs y tiene un costo unitario de c pesos. El proceso II brinda una duración esperada de 150 horas y el costo unitario es de 2c pesos. Si un componente dura menos de 200 horas, el productor tiene una pérdida que estima en k pesos. ¿Qué proceso de producción conviene más?

La función costo para cada proceso es una función de la variable aleatoria X. Se obtiene:

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson si X  200  c CI  X    c  k si X  200

si X  200  2c CII  X    2c  k si X  200

Obsérvese que las funciones costo son variables aleatorias discretas.

Si se usa el proceso I, entonces E  X   costo esperado.

1



 100 , así que  = 1/100 y se tiene el siguiente

E  CI  X    cP  X  200    c  k  P  X  200   ce200/100   c  k  1  e 200/100   ce2   c  k  1  e 2   k 1  e 2   c

Si se usa el proceso II, entonces E  X   150 

1

, así que  = 1/150 y el costo esperado es:

 E  CII  X    2cP  X  200    2c  k  P  X  200   2ce200/150   2c  k  1  e200/150 

 2ce4/3   2c  k  1  e 4/3   k 1  e 4/3   2c Para comparar los costos esperados, analicemos el signo de la diferencia:

E  CII  X    E  CI  X    k 1  e4/3   2c  k 1  e2   c  c  k  e2  e4/3   c  0.13k

De manera que si c > 0.13k conviene más el proceso I, si c < 0.13k conviene más el proceso II. La distribución exponencial tiene dos características interesantes que se resumen en las siguientes dos proposiciones. La primera de ellas establece que se trata de una distribución desmemoriada.

Proposición. Si X es una variable aleatoria que se distribuye como exponencial con parámetro > 0, entonces para cualquier par de números reales positivos s y t,

P X  t  s X  t   P  X  s .

Demostración.

P X  t  s X  t 

P  X  t  s 

 X  t  P  X  t  s  e    t  s    s    t  e  P  X  s  .

P X  t P X  t e

La segunda proposición establece que el mínimo de dos variables aleatorias independientes que se distribuyen exponencialmente, también tiene distribución exponencial.

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson Proposición. Sean T1 y T2 variables aleatorias independientes con distribución exponencial de parámetros 1 y 2 respectivamente, y sea

T  min T1 , T2  . Entonces T se distribuye como

exponencial de parámetro 1 + 2.

Demostración.

P T  t   P  min T1 , T2   t   P T1  t  P T2  t   e1t e2t  e  1 2 t

3.1.2. Definición del proceso Poisson Hay varias maneras de formular la definición de un proceso Poisson, todas ellas equivalentes entre sí. Aquí enunciaremos dos de esas definiciones sin detenernos a demostrar la equivalencia. En secciones posteriores enunciaremos otra de las definiciones.

Definición. Primera definición de un proceso Poisson. Un proceso Poisson de tasa  > 0 es un proceso a tiempo continuo {N(t)} con espacio de estados S = {0, 1, 2, …} que satisface que: i) ii) iii) iv) v)

N(0) = 0.

Tiene incrementos estacionarios.

Tiene incrementos independientes.

1 lim P  N  t   1    0 . t 0 t 1 lim P  N  t   2  0 . t 0 t

Observación. Cuando una función f(t) decrece más rápido que t, es decir, lim t 0

f t  t

 0, se

suele escribir f  t   o  t  . Usando esa notación, las condiciones (iv) y (v) se pueden escribir así:

P  N  t   1  t  o  t 

y

P  N  t   2  o  t  .

La proposición que se demostró en la sección anterior garantiza que cada una de las variables N(t) que forma un proceso como el descrito en la definición 1, tiene distribución Poisson de parámetro t.

Ejemplo. Sea {N(t)} el proceso Poisson que describe el número de defectos que se presentan en un cable submarino en las primeras t millas de longitud y supongamos que la tasa es  = 0.1 defectos por milla. (a) Calcular la probabilidad de que no se presenten defectos en las primeras 2 millas. (b) Si no se presentan defectos en las primeras 2 millas, calcular la probabilidad de que no se registren defectos entre las millas 2 y 3.

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson (a) N(2) tiene distribución Poisson con parámetro 2(0.1) = 0.2. así que:

P  N (2)  0  e0.2  0.8187.

(b) Como N(3) – N(2) y N(2) – N(0) = N(2) son independientes y como los incrementos son estacionarios, se tiene:

P  N  3  N  2   0 N  2   0  P  N  3  N  2   0  P  N 1  0  e0.1  0.9048 .

Ejemplo. El arribo de los clientes a un comercio se describe mediante un proceso Poisson con tasa  = 14 por hora. Si el comercio abre a las 9 de la mañana, calcular la probabilidad conjunta de que a las 9:30 hayan llegado 5 clientes y a las 11:30 haya llegado un total de 15 clientes.

 1   1  5 5 1 P  N    5, N    15  P  N    5, N    N    10  2 2 2  2   2   1   5  1  P  N    5 P  N    N    10  2  2   2   1   P  N    5 P  N  2   10   2   14 / 2 5 14/2  14  2 10 14 2   e e    5!  10!      75   2810  28    e 7   e  0.0000072  5!   10!  La segunda forma de definir un proceso Poisson, es la siguiente.

Definición. Segunda definición de un proceso Poisson. Un proceso Poisson de tasa  > 0 es un proceso a tiempo continuo {N(t)} con espacio de estados S = {0, 1, 2, …} que cumple las siguientes condiciones: a) N(0) = 0. b) Tiene incrementos independientes. c) N(t + s) – N(s) se distribuye como Poisson con parámetro t para números reales

s  0 y t  0.

En esta definición se sustituyen tres de las cinco condiciones de la definición anterior por el requerimiento de que cada incremento se distribuya como Poisson. Obsérvese que la condición (c) implica que los incrementos son estacionarios porque el parámetro de su distribución depende sólo de la longitud del intervalo. Se puede demostrar que las tres condiciones de esta definición implican los límites de las condiciones (iv) y (v) de la primera definición.

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson 3.1.3. Distribuciones asociadas Una de las aplicaciones más estudiadas de este tipo de procesos, es la de teoría de colas, en la que los eventos que se observan son llegados de nuevos clientes o trabajos a una fila de espera. Por ello, con frecuencia se usa la terminología correspondiente a este caso al referirse a varios aspectos del proceso Poisson. Usaremos esa terminología porque es la que se encuentra en buena parte de la bibliografía disponible.

1. Tiempo entre dos ocurrencias sucesivas o tiempo interllegadas.

Consideremos un proceso Poisson {N(t)} de tasa λ. Sea T₁ el tiempo en que ocurre la primera llegada y Tn el tiempo entre la (n-1)-ésima y la n-ésima llegadas. Es decir, los tiempos entre dos llegadas consecutivas son T₁, T₂, T₃,…

En la sección 3.1.1 se demostró que T1 es una variable con distribución exponencial de parámetro . La siguiente proposición permite asegurar que las variables T₁, T₂, T₃,… tienen toda distribución exponencial y son independientes, puesto que la densidad conjunta de n de esos tiempos, es el producto de n densidades exponenciales de parámetro .

Proposición. Sea {N(t)} un proceso Poisson de tasa . Los tiempos interllegadas T1, T2,…, Tn tienen distribución conjunta:

  n e fT1 ,T2 ,...,Tn  t1 , t2 ,..., tn     

   t1 t2  tn 

0

si t j  0 para toda j en otro caso

Demostración.

Haremos la prueba para n = 2; el caso general es similar. Sea F  t1 , t2  la función de distribución conjunta de T1 y T2, es decir,

F  t1 , t2   P T1  t1 , T2  t2  .

Entonces,

fT1 ,T2  t1 , t2  

 2 F  t1 , t2  t2 t1



  F  t1 , t2     t2  t1 

F  t1  h, t2  k   F  t1 , t2  k   F  t1  h, t2   F  t1 , t2   1  lim  lim  k 0 k h 0 h   P t1  T1  t1  h, t2  T2  t2  k   lim lim k 0 h 0 hk La probabilidad del numerador corresponde al siguiente esquema

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson

t1  T1  t1  h  t2  T2  t2  k  sucede si no ocurren llegadas en los  0, t1  y  t1  h, t1  h  t2  y ocurre exactamente una llegada en cada uno de los  t1 , t1  h y t1  h  t2 , t1  h  t2  k  . Por tanto, usando que se tienen incrementos

Es decir, el evento intervalos intervalos

independientes y estacionarios, se obtiene,

1 P t1  T1  t1  h, t2  T2  t2  k  hk 1  P  N  t1   0  P  N  t1  h  t2   N  t1  h   0     hk  P  N  t1  h   N  t1   1 P  N  t1  h  t2  k   N  t1  h  t 2      1  1   e  t1 et2  P  N  h   1   P  N  k   1  h  k  Aplicando el límite cuando h y k tienden a cero, se llega a:

fT1 ,T2  t1 , t2    2e  t1 t2  .

2. Momentos en que ocurre el evento o momentos de las llegadas Sea Wn el momento de la n-ésima llegada o el momento en el que ocurre por n-ésima vez el evento. Entonces, n

Wn   T j . j 1

Obsérvese que el evento [Wn > t] sucede si en el intervalo [0, t] hay menos de n llegadas, es decir, n 1

n 1

 t 

k 0

k 0

k!

P Wn  t    P  N  t   k  

k

e  t

De ahí que la función de distribución de Wn es: n 1

 t 

k 0

k!

FWn  t   P Wn  t   1  

k

e  t .

Para obtener la función de densidad, derivamos la función de distribución. Así obtenemos que, para t > 0,

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson f X (t ) 

dFWn  t 

 e

dt  t

k k d  n 1  t   t  d   t n 1  t   t   1   e    e   e   dt   dt  k 0 k ! k ! k 1   

k k k 1 n 1    t   t t    d    t   t   t   e    e     e  k e  t   k!    k! k! k 1 dt k 1     n 1

 t 

  t  e  t  e    e   k! k 1 k 1  k  1 ! k k 1 n 1 n 1 n 1  t   t t  t      t   e  e  e  t . k ! k  1 ! n  1 !    k 1 k 2   t

n 1

k

 t

k 1

n 1

La distribución obtenida, recibe el nombre de distribución gama.

Definición. Una variable aleatoria absolutamente continua X se distribuye como gama con parámetros n  y  >0 , si su función de densidad es

  n x n 1   x e  f X  x     n  1 !  0 

si x  0 en otro caso

Como Wn se puede escribir como

Wn  T1  T2 

 Tn ,

donde cada Tj se distribuye como exponencial de parámetro  y las Tj´s son independientes, se tiene que

E Wn    E T j   n

j 1

n



Var Wn    Var T j   n

j 1

n

2

.

Ejemplo. Supongamos que la emigración de una población de personas ocurre de acuerdo a un proceso Poisson con tasa  = 2 por día. Calcular el tiempo esperado hasta emigran 10 personas y la probabilidad de que después a los 15 días hayan migrado al menos 20 personas.

Se tiene que el momento esperado de la décima migración es: E W10  

10  5 días.

2

Por otro lado, que a los 15 días hayan emigrado al menos 20 personas es equivalente a pedir que el momento de la emigración de la 20ª persona ocurra antes del día 15 o en ese día.

P W20  15  

15

0

220 t19 2t e dt  0.97813 .

19!

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson Ahora estamos en condiciones de abordar una tercera formulación de la definición de un proceso Poisson.

Definición. Tercera definición de un proceso Poisson. Sea {Tn} una sucesión de variables aleatorias independientes, todas con distribución exponencial de parámetro . El proceso Poisson de tasa  es un proceso a tiempo continuo {N(t)} dado por

N  t   max n | Ti  T2 

Tn  t .

Si el conjunto de esta definición es vacío, entonces N(t) = 0.

Obsérvese que la última oración de la definición anterior garantiza que el proceso empieza en 0, y se puede demostrar que el proceso {N(t)} de esta tercera definición tiene incrementos independientes y estacionarios y cada una de sus variables aleatorias tiene distribución Poisson de parámetro , con lo que se garantiza la equivalencia entre esta definición y las dos que se vieron en la sección 3.1.2.

Actividad 1. Identificación de parámetros En esta actividad identificarás los parámetros de las distribuciones involucradas en diversos procesos Poisson.

Instrucciones: 1. Descarga el documento “Actividad 1. Identificación de parámetros” 2. Estudia cada una de las situaciones descritas y contesta lo que se pregunta 3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MPES_U3_A1_XXYYZ.

Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, y la Y por la inicial de tu apellido y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a).

Actividad 2.Cadenas de nacimiento y muerte Con esta actividad serás capaz de investigar las variables que intervienen en una investigación, los tipos de procesos, parámetros, características probabilísticas.

Instrucciones:

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson 1. En equipos de 4 a 5 personas, realicen una investigación acerca de los procesos de nacimiento y muerte que incluya los siguientes aspectos: a. Explicación de lo que describe cada una de las variables de este tipo de procesos y los parámetros que se requieren. b. Principales características probabilísticas de los procesos de nacimiento y muerte a tiempo continúo. c. Tres ejemplos de aplicación en contextos reales. d. Referencias utilizadas (deben incluir al menos un libro y sitios de internet) 2. Cada integrante del equipo deberán distribuirse las tareas del trabajo de investigación y hacer aportaciones a través de un archivo que se deberá subir a la base de datos de manera individual.

3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MPES_U3_A2_XXYYZ.

Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, y la Y por la inicial de tu apellido y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Un coordinador(a) hará la redacción final del trabajo.

5. La calificación será de manera individual de acuerdo a la aportación de cada elemento del equipo.

6. Consulta la rúbrica de la base de datos

3.2. Dos procesos Poisson independientes y condicionalidad El proceso Poisson se relaciona con distribuciones como la Binomial y la uniforme continua cuando se condiciona por ciertos eventos. En esta sección estudiaremos esas relaciones y las características de un proceso formado mediante la suma de dos procesos Poisson independientes.

3.2.1. Suma de procesos Poisson independientes La siguiente proposición garantiza que la suma de dos procesos Poisson independientes, es un nuevo proceso Poisson.

Proposición. Sean {Na(t)} y {Nb(t)} dos proceso Poisson con tasas a y b respectivamente.

Entonces el proceso {N(t)} dado por N(t) = Na(t) + Nb(t) es un proceso Poisson con tasa a + b.

Demostración: Como Na(0) = 0 y Nb(0) = 0, es claro que N(0) = 0. Además, el hecho de que {Na(t)} y {Nb(t)} tengan incrementos independientes y estacionarios, obliga a que ocurra lo

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson mismo con {N(t)}. Por tanto, basta demostrar que cada N(t) tiene distribución Poisson de parámetro (a+b)t. n

P  N  t   n   P  N a  t   N b  t   n    P  N a  t   k , N b  t   n  k  k 0

n



 at 

k 0

k!

e

  t  bt   a   t  bt   a

 a t

n

n!

n!

 bt  e  t   at  bt  n!  n  k ! nk

k

e

b

 a  b t

n

e

 a  b t

k

 n   a   b        k  0  k   a  b   a  b  n

 at   bt  n!  n k  0 k ! n  k  !  a t  b t 

e

 a  b t

nk

nk

 a b   a t  bt   a b t  e    n!  a  b a  b  n

n

k

n

n

3.2.2. La distribución uniforme y el proceso Poisson condicionado Si se sabe que el número de llegadas ocurridas hasta un tiempo t es un número fijo n, entonces algunas distribuciones de variables relacionadas con un proceso Poisson toman la forma de distribuciones sencillas y conocidas.

Antes de ver lo anterior, recordemos que si se tienen n variables aleatorias X₁, X₂,…, Xn independientes e idénticamente distribuidas, sus estadísticos de orden son las variables aleatorias X₍₁₎, X₍₂₎,…, X(n) definidas por:

X 1  min  X 1 , X 2 ,

, X n

X  2  min  X 1 , X 2 ,

, X n   X 1

X  n   max  X 1 , X 2 ,

, X n

 

Es decir, X₍₁₎ es la variable que toma el valor mínimo, X₍₂₎ es la variable que toma el siguiente valor, y así sucesivamente hasta que X(n) es la que toma el valor máximo. Si la función de densidad común de las variables X₁, X₂,…, Xn es f, entonces la densidad conjunta de sus estadísticos de orden es

f X 1 X 2

X  n

 x1 , x2 ,

n ! f  x1  f  x2  xn    0 

f  xn  si x1  x2 

 xn

en otro caso

En particular, si la distribución común es uniforme continua en el intervalo [0, t], se tiene que

f X 1 X  2

X  n

 x1 , x2 ,

 n! si x1  x2   xn  xn    t n  0 en otro caso

Proposición. Sea {N(t)} un proceso Poisson de tasa λ. Si se sabe que N(t) = n, entonces los momentos de los arribos W₁,W₂,…, W n tienen la misma densidad conjunta que los estadísticos de orden de n variables aleatorias independientes con distribución uniforme en [0,t].

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson Demostración Sean w₁, w₂,…, wn números reales tales que 0 < w₁ < w₂ < ⋯ < wn < t. Como W n es el momento de la n-ésima llegada y N(t) es el número de llegadas en el intervalo [0, t] es claro que los eventos [W n ≤ t] y [N(t) ≥ n] son equivalentes. Entonces

fW1 ,W2 ,

w , w2 , ,Wn | N  t   1

, wn | n  

n P W1  w1 ,W2  w2 , Wn  wn | N  t   n  w1w2 wn 

n  P  N  w1   1, N  w2   2, w1w2 wn 

, N  wn   n | N  t   n 

 P  N  w1   1, N  w2   N  w1   1, , N  wn   N  wn 1   1, N  t   N  wn   0   n     w1w2 wn  P  N  t   n   

 w1w2



n w1w2

n

    w e   w1   w  w  e    w2  w1    w  w  e    wn  wn1  e   t  wn   2 1 n n 1  1  n wn     t  e  t   n!    n ! w1  w2  w1   wn  wn 1   n !   n. wn  tn  t

Así que las variables W₁, W₂,…, W n tienen la misma distribución que los estadísticos de orden de n variables independientes con distribución uniforme en el intervalo [0, t].

La proposición anterior brinda un mecanismo para simular trayectorias muestrales de un proceso Possin. El procedimiento es el siguiente: se eligen dos reales positivos t y . Se genera un valor aleatorio para la variable N(t) simulando una distribución Poisson de parámetro t. Si se obtiene por ejemplo N(t) = 4, entonces se generan 4 números aleatorios en el intervalo [0, t] (los números aleatorios son realizaciones de una distribución uniforme continua). Luego se ordenan los números generados de menor a mayor y se identifica cada uno de ellos con los valores de las variables W1, W2, W3 y W4. Así se obtiene una trayectoria del siguiente tipo:

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson

3.2.3. La distribución binomial y el proceso Poisson condicionado Supongamos que durante el intervalo de tiempo [0, t] se han observado n llegadas, es decir, se sabe que ha ocurrido el evento [N(t) = n]. ¿Cuántas de ellas ocurrieron en el intervalo [0, s] con s < t? La respuesta está dada por una variable aleatoria que se distribuye como binomial.

Proposición. Sean s y t números reales positivos con s < t, y sean k y n enteros que cumplen que 0 ≤ k ≤ n. Entonces

 n  s  P  N  s   k | N  t   n       k  t 

k

 s 1    t

nk

.

Demostración.

La probabilidad de que una llegada que ocurre en [0 ,t] haya ocurrido en [0, s], es

P T1  s | N  t   1  

P T1  s, N  t   1 P  N  t   1



P T1  s  P  N  t  s   0 P  N  t   1

 se  s e   s t  s  . te t t

El número de arribos en el intervalo [0, s] es el número de eventos [Wi < s] que ocurren. Estos eventos son independientes y cada uno tiene probabilidad s/t. Así que la probabilidad del

 n s   s  evento  N  s   k | N  t   n  es    1    k  t   t  k

nk

.

El siguiente resultado muestra que se puede obtener otra distribución binomial cuando lo que se sabe es que la suma de dos procesos Poisson independientes toma un valor fijo.

Proposición. Sean {N₁(t)} y {N₂(t)} dos procesos Poisson independientes de parámetros λ₁ y λ₂ respectivamente, y sean k y n enteros tales que 0 ≤ k < n. Entonces k

 n   1   2  P  N1  t   k | N1  t   N 2  t   n          k  1  2   1  2 

nk

Demostración: Usando que los incrementos son estacionarios e independientes y que la suma de dos proceso Poisson independientes es un nuevo proceso Poisson, tenemos:

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson P  N1  t   k | N1  t   N 2  t   n   

P  N1  t   k , N1  t   N 2  t   n  P  N1  t   N 2  t   n 

P  N1  t   k  P  N 2  t   n  k  P  N1  t   N 2  t   n 

 1t   2t  e   t k !  n  k !  n  1  2  t n e  t nk

k

1

1

2



2

1k 2 n  k n! k ! n  k  !  1  2 n

n!

k

 n   1   2         k  1  2   1  2 

nk

La relación de otras distribuciones de probabilidad con la distribución binomial, permite la aplicación de esas otras distribuciones en el cálculo de ciertas probabilidades relacionadas con procesos Poisson. Una situación de este tipo se presenta en el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Dado un proceso Poisson de arribos tipo a con tasa a, y otro proceso Poisson independiente de llegadas tipo b con tasa b, calcular la probabilidad de que el momento del 6° arribo tipo a sea menor al momento del 4° arribo tipo b.

Lo que se pide es equivalente a tener al menos 6 arribos tipo a en los primeros 9 arribos del proceso general. Si esto pasa, entonces se tendrán a lo más 3 arribos tipo b antes del 6º tipo a.

El cuarto arribo tipo b puede ser el 10° o el 11° o cualquiera posterior.

Calculemos la probabilidad de que ocurra una llegada tipo a antes que una tipo b: 

P W1a  W1b   P T1a  T1b    P T1a  T1b | T1b  x  b e  b x dx 0 







  P T1a  x  b e  b x dx   1  e  a x b e  b x dx 0 0 



0

0

  b e b x dx   b e

 a  b  x

dx  1 

b a  b



a a  b

Ahora consideremos el evento consistente en 2 llegadas tipo a antes de la primera tipo b, es decir P W2 a  W1b  . Para que ocurra este evento, es necesario que la primera y la segunda llegadas sean tipo a. Dada la independencia de los tiempos interllegadas, el primer evento es tipo a con probabilidad λa/(λa+λb) y el segundo es tipo a con la misma probabilidad, de manera que:

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson 2

 a  P W2  W     .  a  b  a

b 1

El evento que nos interesa analizar se puede ver como la probabilidad de que haya cuando menos 6 éxitos en 9 pruebas donde la probabilidad de éxito es p =λa/(λa+λb), es decir, 9 9  9 k P W6 a  W4b      p k 1  p  . k 6  k 

La fórmula general para calcular la probabilidad de que el tiempo del m-ésimo arribo tipo a sea menor que el del n-ésimo tipo b es:

P Wm a  Wnb  

3.2.4. Descomposición independientes

de

m  n 1

 m  n  1 k m  n 1 k  p 1  p  k  



k m

un

proceso

Poisson

en

dos

procesos

Sea {N(t)} un proceso Poisson con tasa λ, y supongamos que cada evento que ocurre puede ser de tipo 1 con probabilidad p o bien de tipo 2 con probabilidad 1-p. Por ejemplo, sea {N(t)} el proceso Poisson que indica el número de clientes que llegan a un comercio desde que abre hasta el tiempo t. Los clientes pueden ser hombres o mujeres con probabilidad p o 1-p respectivamente. Entonces {N(t)} se puede descomponer en dos procesos Poisson que indican el número de hombres y el número de mujeres que llegan de 0 a t.

Sea N₁(t) el número de eventos tipo 1 y N₂(t) el número de eventos tipo 2. Entonces N(t) = N₁(t) + N₂(t) Calculemos la siguiente probabilidad conjunta

P  N1  t   n, N 2  t   m   P  N1  t   n, N 2  t   m | N  t   n  m  P  N t   n  m  n  m n m t   t    p 1  p  e  n  m !  n   n  m ! m e  t n    tp    t 1  p   n !m !  n  m ! nm

e

  tp

  tp  n!

n

e

  t 1 p 

 t 1  p  

m

m!

Como esta probabilidad es el producto de dos distribuciones Poisson con parámetros λpt y λ(1p)t, se desprende que {N₁(t)}, {N₂(t)} son procesos Poisson independientes con tasas λp y λ(1p).

Ejemplo. En cierta región, llegan inmigrantes a una tasa de 10 por semana y cada inmigrante puede ser latino con probabilidad 1/2. ¿Cuál es la probabilidad de que durante el mes de febrero no llegue ningún latino?

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson Solución. Es claro que se trata de un proceso Poisson con tasa 4(10)(1/2) = 20 y la probabilidad deseada es e⁻²⁰=2.0612×10⁻⁹. El resultado sería igual en cualquier periodo de 4 semanas a lo largo del tiempo en el que la tasa se mantiene constante.

Actividad 3. Análisis de procesos Poisson En esta actividad resolverás ejercicios y problemas sobre procesos Poisson simples.

Instrucciones: 1. Descarga el documento “Actividad 3.Análisis de procesos Poisson” 2. Resuelve cada uno de los problemas que se presentan en el documento 3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MPES_U3_A3_XXYYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, y la Y por la inicial de tu apellido y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a).

3.3. Generalizaciones del proceso Poisson Hay varias generalizaciones del proceso Poisson que permiten aplicaciones posible usar el proceso Poisson simple que hemos estudiado hasta aquí. estas extensiones. El proceso Poisson compuesto en el que a cada evento asigna una variable aleatoria nueva, y el proceso Poisson no-homogéneo en ocurrencia  no es constante.

en las que no es Veremos dos de que ocurre se le el que la tasa de

3.3.1. El proceso Poisson compuesto y ejemplos de aplicación Supongamos que se tiene un proceso Poisson {N(t)} y que se asigna una variable aleatoria Yi al i-ésimo evento que ocurre, donde las Yi´s son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, que además son independientes del número de ocurrencias N(t). Por ejemplo, si N(t) cuenta llegadas de vehículos a un estacionamiento, Yi puede ser el número de personas en el i-ésimo vehículo. Si N(t) es el número de mensajes que llegan a un centro de transmisión vía internet, Yi puede ser el tamaño del i-ésimo mensaje en bytes. Las variables aleatorias X(t) = Y₁ + Y₂ + ⋯ + YN(t), forman lo que conocemos como un Proceso Poisson compuesto.

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson Definición. Sea {Yi} una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución común F. Sea {N(t)} un proceso Poisson . El proceso {X(t)} dado por

X (0)  0 N t 

X  t    Yk para t  0, k 1

se llama proceso Poisson Compuesto.

El proceso Poisson compuesto se emplea para modelar situaciones como las siguientes: a) N(t): número de reclamaciones que una aseguradora recibe hasta el tiempo t y Yi el monto de la i-ésima reclamación. b) N(t): número de transacciones de un tipo de acciones bursátiles hasta el tiempo t y Yi el número de acciones negociadas en la i-ésima transacción. c) N(t): número de transacciones en el mercado accionario hasta el tiempo t y Yk cambio en el precio de mercado de un tipo de acciones entre las transacciones k-1 y k.

En los siguientes párrafos, se abordarán las principales características de un proceso Poisson compuesto.

1. Media y varianza de las variables X(t) Recordemos la siguiente proposición acerca de la esperanza y la varianza de una suma de un número aleatorio de variables aleatorias.

Proposición Sean Y₁, Y₂,… variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.

Sea N una variable aleatoria con valores enteros no-negativos y S = Y₁ + Y₂ + ⋯ + YN con S = 0 cuando N = 0. Se tiene que: i) Si E(N) < ∞, entonces E(S) = E(N) E(Yi) ii) Si E(N²) < ∞, entonces Var(S) = E(N)Var(Yi) + Var(N)(E(Yi)² Por tanto, en el proceso Poisson compuesto, tenemos:

E  X  t    E  N  t   E Yi   tE Yi 

Var  X  t    E  N  t  Var Yi    E Yi   Var  N  t    tVar Yi   t  E Yi    tE Yi 2  .

2

2

Ejemplo. Suponga que la llegada de familias de migrantes a una región se puede modelar mediante un proceso Poisson con tasa λ = 2 por semana. Si el número de personas en cada familia es independiente del tamaño de las otras familias y toma los valores 1, 2, 3, 4 con probabilidades 1/6, 1/3, 1/3 y 1/6 respectivamente, entonces para obtener el número esperado de individuos que migran a esa región durante un periodo de 5 semanas, calculamos:

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson 1 1 1 1 5 E Yi   1   2    3    4    6  3  3 6 2 5 E  X  5    2  5     25 personas 2 La varianza del número de individuos que migran en 5 semanas requiere los siguientes cálculos:

1 1 1  1  43 E Yi 2   12    22    32    42    6 3 3 6 6  43  215 Var  X  5    2  5     3  6  2. Incrementos estacionarios e independientes Para t > 0 y h > 0, N(t + h) - N(t) tiene la misma distribución que N(h). Además, como las Yk´s son independientes e idénticamente distribuidas, Y₁, Y₂, …, YN(h) tienen la misma distribución que YN(t)+1, YN(t)+2,…, YN(t+h). Pero X(t+h) - X(t) = YN(t)+1, YN(t)+2, …, YN(t+h) y X(h) = Y₁, Y₂, …, YN(h), por tanto {X(t)} es un proceso de incrementos estacionarios.

Además, la independencia de las Yi´s respecto a N(t) nos permite asegurar que números enteros 0 ≤ t₀ < t₁< ⋯ < tn, los vectores

Y , Y , , Y   , N  t   , Y   , Y   , , Y   , N  t   N  t   1

2

N t0

N t0 1

Y  

N tk 1

N t0  2

, YN tk  2 ,

0

N t1

1

0



, YN tk 1  , N  tk 1   N  tk  ,

son independientes.

3. La función de distribución de X(t) Supongamos que la distribución común de las Yi´s es F. Entonces,

   t n  t  N t     N t  P  X  t   x   P   Yk  x    P   Yk  x N  t   n  e  n !  k 1  n 0  k 1 

 n 0

 t  n!

n

e t P Y1  Y2 

 Yn  x 

Ejemplo. Sea N(t) el proceso Poisson que indica el número de impactos que recibe un sistema hasta el tiempo t y sea Yi el daño provocado por el i-ésimo impacto. Supongamos que el daño es positivo y que el sistema continúa operando mientras el daño total (acumulado) no rebase un valor crítico a. Sea T el tiempo de vida del sistema. Vamos a calcular la E(T). Usaremos que,

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson para una variable aleatoria continua y no negativa, la esperanza se puede calcular integrando respecto a x, la probabilidad de que la variable rebase a x. Es decir: 



 y



0

0 x

0 0

0

 P  X  x dx    f X  y  dydx   f X  y  dxdy  yf X  y  dy  E  X .

Los eventos [T > t] y [X(t) < a] son equivalentes, donde X(t) es el daño acumulado hasta el tiempo t. Por tanto, 

P T  t   P  X  t   a   

 t 

n

n!

n 0

e  t P Y1  Y2 

 Yn  a . .

El tiempo esperado de vida toma la forma 

 

0

0

E T    P T  t  dt   

 

0

n 0



1





 t 

n

n!

n 0

e  t P Y1  Y2 

 Yn  a dt

n 1     t  n  t  *n   t   e dt F  a     e  t dtF *n  a   0  n!   n  1! n 0  



 F  a.  *n

n 0

donde

F *n  a   P Y1  Y2 

 Yn  a   











f  x1  f  x2 

f  xn1  f  a  x1  x2 

 xn1  dx1dx2

dxn

se conoce como la convolución de F consigo misma n veces.

Supongamos por ejemplo que las Yi´s tienen distribución exponencial de parámetro , es decir P(Yi ≤ a) = 1 - e- μa, entonces Y₁ + ⋯ + Yn se distribuye como gama, es decir, n 1

F

*n

a  1  

 a k!

k 0

k

e

 a





 a k!

k n

k

e a

y 





 F  a    *n

n 0

n 0 k  n

 a k!

k

e

 a



k

  k 0 n 0

 a k!

k

e

 a



   k  1

 a

k 0

k!

k

e  a  1   a.

Por tanto, en este caso E(T)=(1+μa)/λ.

3.3.2. El proceso Poisson no-homogéneo y ejemplos de aplicación Ahora consideremos que la tasa λ de un proceso Poisson no es una constante sino una función del tiempo t. Aunque se trata de un modelo más realista, se pierde una propiedad importantísima: la estacionariedad.

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson Definición. Un proceso Poisson no-homogéneo es un proceso a tiempo continuo {Y(t)} con espacio de estados S = {0, 1, 2, …} y cuyo parámetro es una función positiva localmente integrable λ(t), y que cumple las siguientes propiedades: 1. Y(0) = 0 2. Tiene incrementos independientes 3. Para cualquier t ≥ 0,

lim

h 0

lim

P Y  t  h   Y  t   1 h P Y  t  h   Y  t   2 

h 0 

  t  0

h

Este proceso no tiene incrementos estacionarios debido a que la variable Y(t+h) - Y(t) tiene una distribución de probabilidad que depende de los valores de la función λ(t) en el intervalo de tiempo (t, t + h). Sin embargo, algo que sí sucede es que cada variable Y(t) sigue teniendo distribución Poisson.

Observación. Las dos condiciones en la parte 3 de la definición anterior, se pueden escribir como

P Y  t  h   Y  t   1    t  h  o  h  P Y  t  h   Y  t   2  o  h 

cuando h  0

Proposición. Las variables Y(t) de un proceso Poisson no-homogéneo con tasa λ(t) tienen distribución Poisson con parámetro Λ(t) dado por

  t      s  ds , t

0

es decir, para n = 0, 1, 2, …

P Y  t 

  t   n  

n

n!

e

  t 

Demostración Sea pn(t) = P[Y(t) = n] y pn(t, t + h) = P[Y(t + h) - Y(t) = n] para cualquier h > 0. Por la independencia de los incrementos se tiene que

p0  t  h   p0  t  p0  t , t  h   p0  t  1    t  h  o  h  .

Usando lo anterior, se tiene que la derivada de p₀(t) es

p0 ´ t   lim

p0  t  h   p0  t 

h 0

 p0  t  lim h 0

 lim

p0  t  p0  t , t  h   p0  t 

h 0 h 1   t  h  o  h  1

h

h

 p0  t  lim h 0

p0  t , t  h   1 h

   t  p0  t  .

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson La ecuación diferencial p₀′(t) = -λ(t)p₀(t) con la condición inicial p₀(0) = 1 tiene como única solución t

   s  ds p0  t   e 0  et  .

Ahora, para n ≥ 1, tenemos que:

pn  t  h   pn  t  p0  t , t  h   pn 1  t  p1  t , t  h   o  h   pn  t  p0  t , t  h   pn 1  t    t  h  o  h    o  h  .

De donde se obtiene

pn ´ t   lim h 0

 lim

pn  t  h   pn  t 

pn  t  p0  t , t  h   pn 1  t    t  h  o  h    o  h   pn  t 

 lim

h 0 h h pn  t   p0  t , t  h   1  pn 1  t    t  h  o  h    o  h 

h 0

h

   t  pn  t     t  pn 1  t  .

Tenemos entonces la ecuación diferencial

pn ´ t     t  pn  t     t  pn1 t  con la condición inicial pn(0)=0. Multiplicando ambos miembros de la igualdad anterior por e y reacomodando los términos, obtenemos:

t 

pn ´ t  et     t  pn  t  et     t  pn1  t  et   t Si definimos qn  t   e   pn  t  , la ecuación anterior se transforma en

qn ´(t )    t  qn1  t  con las condiciones frontera qn(0)=0 y q₀(t)=1, cuya solución iterativa es

qn  t 

  t  

pn  t 

  t  

pn  t 

  t  

n

n!

.

Así que hemos obtenido la igualdad:

e

t 

n

n!

n!

n

e

  t 

.

Como Y(t) tiene distribución Poisson con parámetro Λ(t) a esta última función se le llama la función del valor medio del proceso. Obsérvese que en caso de que λ(t)=λ constante, estaríamos frente a un proceso Poisson simple y tendríamos que

  t     ds  t , t

0

como habíamos visto antes.

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson Ejemplo. Una sucursal bancaria en un día de pago a los empleados del gobierno, recibe clientes que llegan, en promedio, a un ritmo que crece a una razón constante de 5 clientes por hora empezando con 5 clientes a las 8 a.m, y llegando a 20 clientes por hora a las 11 de la mañana. De las 11 a.m. a la 1 p.m., llegan 20 clientes por hora. Posteriormente, la tasa de arribo decrece a razón constante de la 1 p.m. a las 5 p.m., teniendo en la última hora un arribo de 12 clientes. Si suponemos que la llegada de clientes es independiente en intervalos de tiempo ajenos, ¿cuál es un buen modelo probabilístico para el proceso descrito? ¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen clientes entre las 8:30 y las 9:30 de la mañana el próximo día de pago? ¿Cuál es el número esperado de llegadas en el turno de las 8 a.m. a las 5 p.m.?

Solución.

Un buen modelo para el proceso descrito consiste en un proceso Poisson no-homogéneo {Y(t)}, donde Y(t) representa el número de clientes que han llegado a la sucursal bancaria durante las primeras t horas de servicio. La descripción de la función de intensidad se puede representar mediante la expresión lineal 5 + 5t para 0 < t < 3, la constante 20 para 3 < t < 5 y una recta de pendiente negativa para t entre 5 y 9, que empieza en 20 y acaba en 12. Esta última toma la forma 20-2(t – 5).

Así obtenemos la función intensidad:

si 0  t  3  5  5t   t    20 si 3  t  5 20  2  t  5  si 5  t  9  El número de llegadas entre las 8:30 y las 9:30 es un proceso Poisson con media

3 1        , así que la probabilidad de que no haya llegadas es 2 2 3/2

 55t dt e 1/2  e10  0.000045, ya que 



3/2

1/2

5  5  5t    5t  t 2  2  1/2 

3/2

 10

El número esperado de llegadas en todo el turno es

  5  5t  dt   3

5

0

3

20dt    30  2t  dt  141.5 , 9

5

Es decir, en promedio, la sucursal bancaria atiende a más de 141 clientes diarios durante los días de pago.

Actividad 4. Generalizaciones del proceso Poisson A través de esta actividad resolverás ejercicios y problemas en los que se usen las dos generalizaciones del proceso Poisson que has estudiado.

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson Instrucciones: 1. Descarga el documento Generalizaciones del proceso Poisson 2. Realiza lo que indican las instrucciones de la actividad.

3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MPES_U3_A4_XXYYZ.

Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, y la Y por la inicial de tu apellido y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a).

Autoevaluación Es momento de realizar la autoevaluación para ello deberás responder las situaciones que se presentan en la tabla.

Instrucciones. Analiza cada una de las situaciones siguientes y arrastra las expresiones que completan correctamente la tabla.

Tabla para completar: Situación En una estación de trenes, llegan trenes de la línea A de acuerdo a un proceso Poisson de tasa A por hora y trenes de la línea B de acuerdo a un proceso Poisson independiente del anterior con tasa B por hora. El proceso Poisson que describe la llegada de trenes de cualquiera de las dos líneas tiene tasa Una compañía eléctrica recibe reclamos por fallas en domicilios y por fallas en el alumbrado público. Los dos tipos de reclamos llegan de acuerdo a procesos Poisson independientes de tasas A al mes y B al mes respectivamente. La probabilidad de que la primera falla que se presente en un mes sea en el alumbrado público es En un proceso electoral, hay 2 candidatos, A y B. El arribo de votantes a favor de cada candidato es un proceso Poisson de tasa A y B respectivamente. La probabilidad de que hasta el tiempo t haya n votos por A dado que los votos por ambos candidatos han sido m es

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Respuesta

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson La llegada de empleados de la UnAD a un restaurante durante el intervalo de tiempo de la 1 pm a las 4 pm, se describe mediante un proceso Poisson con tasa A por hora. La llegada de clientes que no son empleados de la UnAD al mismo restaurante durante el mismo periodo de tiempo, es otro proceso Poisson independiente del anterior con tasa B. La probabilidad de que el momento del 2° arribo de empleados de la UnAD sea menor que el momento del primer arribo de los otros clientes, es

Expresiones para arrastrar: 1.n

 m   A   B        n  A  B   A  B 

2.-

mn

A  B

3.-

B

A  B

4.-

 A     A  B 

2

Para comparar tus respuestas, revisa el documento “Respuestas_autoevaluación_U3, ubicada en la pestaña de Material de Apoyo.

Retroalimentación 1-2 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad.

3-4 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad ¡Sigue adelante!.

Evidencia de aprendizaje. Resolución de problemas sobre procesos Poisson A través de esta actividad, resolverás problemas que involucren problemas sobre el proceso de Poisson.

Instrucciones: 1. Descarga el documento llamado “EA. Resolución de problemas sobre procesos Poisson”

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson 2. Realiza lo que se pide en cada uno de los problemas que se presentan. Escribe el procedimiento completo en cada caso.

3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MPES_U2_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad En esta unidad estudiaste un proceso de conteo de eventos tipo Poisson desde el inicio de la observación hasta cualquier instante de tiempo t. Las características de este proceso hacen muy sencillo el cálculo de diversas probabilidades vinculadas a las variables que los compone y, al mismo tiempo, estas variables están relacionadas con distribuciones como la binomial o la uniforme continua.

Las dos generalizaciones vistas en esta unidad, el proceso Poisson compuesto y el nohomogéneo, amplían el campo de aplicaciones de este tipo de procesos permitiendo mayor flexibilidad en las condiciones necesarias para que el modelo sea adecuado.

Para saber más En la siguiente liga encontrarás unas notas de J Ortega Sánchez, investigador del Centro de Investigación en Matemáticas (cimat), acerca del proceso Poisson: http://www.cimat.mx/~jortega/MaterialDidactico/modestoI10/Poisson2.pdf Uno de los libros de la bibliografía de esta unidad, está disponible de manera gratuita en la siguiente liga: http://books.google.com.mx/books?id=i_Ovy6OvI54C&pg=PA174&dq=Essential+of+Stochastic+Processe s.+Durrett&hl=es&sa=X&ei=V-

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Procesos estocásticos Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson 4KUZPYM5GK2QW32IGgCQ&sqi=2&ved=0CC4Q6AEwAA#v=onepage&q=Essential%20of%20Stochastic% 20Processes.%20Durrett&f=false En la siguiente liga encontrarás una breve biografía de Siméon-Denis Poisson, físico matemático francés que hizo contribuciones en varias áreas de la matemática. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=3366%3Apo isson-sim-denis-1781-1840&catid=37%3Abiograf-de-matemcos-ilustres&directory=67&showall=1

Referencias Bibliográficas 

Brzezniak Z. y Zastawniak T. (2002). Basic Stochastic Processes. A Course Through Exercises, Springer, London.

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Durret, R. (1999). Essential of Stochastic Processes. Springer-Verlag, New York.

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Rincon L. (2008). Introducción a los Procesos Estocásticos. Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM, Cd. México.

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Ross, S.M. (1996). Stochastic processes. John Wiley & Sons, New York.

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Karling S. and Taylor H.M. (1975). A firts Course in Stochastic Porcesses, Academic Press Inc, London.

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